2019年高中数学必修四世纪金榜学案1.4.3正切函数的性质与图象2.探究导学课型课后提升训练十一1.4.3

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2019年高中数学必修四世纪金榜学案1.4.3正切函数的性质与图象2.探究导学课型课时达标训练1.4.3

课时达标训练
1.函数f(x)＝|tan2x|是( )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
【试题解析】选D.f(－x)＝|tan(－2x)|＝|tan2x|＝f(x)为偶函数,T＝.
2.函数y＝tan的定义域是( )
A. B.
C. D.
【试题解析】选A.由x－≠kπ＋,k∈Z,得x≠kπ＋,k∈Z,所以函数y＝tan的定义域为.
3.与函数y＝tan的图象不相交的一条直线是( )
A.x＝
B.x＝－
C.x＝
D.x＝
【试题解析】选D.因为x＝时,2x＋＝,tan＝tan无意义.
4.f(x)＝tan的单调增区间为________.
【试题解析】由kπ－<x＋<kπ＋,
得kπ－<x<kπ＋,k∈Z
所以增区间为,k∈Z
【参考答案】：,k∈Z
5.函数f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为,则
f(x)的最小正周期是________.
【试题解析】由题意知,f(x)＝tanωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝所得线段长为,即T＝.
【参考答案】：。

2019年高中数学必修四世纪金榜学案1.4.3正切函数的性质与图象1.精讲优练课型课时自测·基础达标1.4.3

课时自测·基础达标1.函数y＝tan在一个周期内的图象是( )
【试题解析】选A.当x＝时,y＝0,排除C,D;
当x＝0时,y＝tan＝－,排除B.
2.在(0,2π)内,使tanx>1成立的x的取值范围为( ) A.
B.
C.∩
D.∪
【试题解析】选D.因为x∈(0,2π),由正切函数的图象,可得使tanx>1成立的x 的取值范围为∪.
3.函数y＝是( )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数也是偶函数
D.非奇非偶函数
【试题解析】选A.定义域为,
且y＝＝,
f(－x)＝＝＝－f(x),
所以函数为奇函数.
4.函数y＝2tan的单调增区间为________.
【试题解析】函数y＝2tan,
令kπ－<－<kπ＋,k∈Z,
解得2kπ－<x<2kπ＋,k∈Z,
所以函数的单调增区间为,k∈Z.
【参考答案】：,k∈Z
5.比较大小:tan________tan.
【试题解析】因为tan＝tan,tan＝tan, 又0<<<,
y＝tanx在内单调递增,
所以tan<tan,即tan<tan.
【参考答案】：<。

人教版数学必修四第一章1.4.3 正切函数的性质和图象经典教案

1.4.3正切函数的性质与图象一、教材分析《正切函数的图象和性质》是人教A版高中《数学》必修4第一章第四单元第三节内容，本节课既是对前面正余弦函数图象和性质知识的延展、对三角函数内容的进一步完善，也为学习后续知识直线的斜率作了铺垫．一般来说，对函数性质的研究总是先作图象，通过观察图象获得对函数性质的直观认识，然后从代数角度对性质作出严格表述．但对正切函数，教材采用了先根据已有的知识（正切函数定义、诱导公式、正切线等）研究性质，然后再根据性质研究正切函数的图象．主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面．二、教学目标（一）知识与技能1．理解并掌握正切函数的定义域、周期性、奇偶性、单调性、值域等性质；2．能利用正切线画出正切函数的准确图象，利用“三点两线”画出正切函数的简图，掌握正切函数图象结构、特征；3．能根据正切函数图象观察性质，根据性质理解图象，用数形结合的思想理解和解决一些简单的三角问题．（二）过程与方法1．通过复习回顾正、余弦函数图象与性质的探究过程，引导学生将本节课要学习的内容与之建立起联系，培养学生的“类比”思维能力；2．利用诱导公式、正切线等探究正切函数的性质；3．经历由正切函数的性质推测图象，再由图象理解性质的过程，渗透了“由数到形和由形到数”的“数形结合”的思想，从而培养学生自觉运用“数形结合”的思想从不同角度解决问题的能力；4．在正切函数的图象分析中，让学生体会、感知无限逼近(极限)的思想；5．通过讲解例题，总结方法，巩固练习等，学会用数形结合的思想理解和处理问题．（三）情感态度与价值观在得到正切函数图象的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图象让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣．通过数形结合，培养学生勇于探索、勤于思考的习惯，渗透由抽象到具体的思想方法，让学生理解动与静的唯物辨证观，进一步培养学生合作学习和数学交流的能力，增强对数学的应用意识，同时，正切曲线的中心对称性让学生感受到数学的美学魅力，增强学生的学习兴趣．三、学情分析学生在知识上已经掌握了三角函数的定义，诱导公式，三角函数线，正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．四、教学重难点教学重点：正切函数的性质，用单位圆中的正切线作正切函数图象．教学难点：1．利用单位圆中的正切线探究正切函数的单调性；2．利用正切线及正切函数的奇偶性、单调性作⎪⎭⎫ ⎝⎛-∈=2,2,tan ππx x y 图象； 3．正切函数性质的简单应用．五、教学用具直尺，三角板，圆规，多媒体设备（PPT ）．六、教学过程（一）复习回顾（0.5分钟）回忆：在前面已经学习了哪几种三角函数的图象和性质?研究了它们的哪些性质?学生自由发言，互相补充，之后教师作口头梳理．设计意图：复习巩固已学知识，为后面教学作铺垫．（二）问题引入（4.5分钟）思考1：我们是先研究的正余弦函数的图象还是性质?能否采用同样的方法研究正切函数的图象与性质呢?学生口答后，教师指出：本节课我们将不从图象研究性质，而是从一个“全新”的角度来研究正切函数的性质．(给出课题，同时板书课题)设计意图：主要是为了给学生提供研究函数问题更多的视角，加强了理性思考的成分，并使数形结合的思想体现得更加全面，同时培养学生的类比思维能力，引出这节课的课题和明确研究方向．思考2：我们学过有关正切函数的哪些性质？学生简单的口答后，提问学生回顾正切函数的定义、诱导公式、正切线等，教师在PPT 上给出单位圆，引导学生进行回顾，同时板书正切函数的定义域并强调用集合或区间表示．设计意图：为后面研究正切函数的性质、画图象作铺垫．思考3：要研究一个函数的性质，我们一般从哪些方面入手？学生自由发言，互相补充，之后教师给出下一个问题．思考4：在这众多的性质中，我们先研究哪个性质更好呢？教材中是先研究的哪个性质？（周期性）学生自由发言，教师稍作等候后对给出不同回答的同学进行提问，并做补充解释，让学生明白先研究周期性的原因：如果一个函数具有周期性，那么当研究清楚该函数在一个周期内的性质之后，就可以推广到整个定义域上，可以降低探究难度．在本节中，对探究单调性和图象等有所帮助．．设计意图：周期性是学生刚刚接触到的一个函数性质，相对其他性质还比较陌生，这样设计能让学生进一步体会到周期性在函数性质研究中的地位与作用．（三）探究新知1．性质（共12分钟）（1）周期性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有周期性？→周期是多少？→如何得到的？（tanx π)tan(x =+）→正切函数的周期是π．学生自由口答，教师可视情况进行提问，引导学生结合周期性的定义对正切函数的周期是π做一强调，指出与正余弦函数周期的不同，并板书性质．（2）奇偶性（3分钟）引导性提问：正切函数有没有奇偶性？→是奇函数还是偶函数，为什么？→I x x x ∈∀=-，tan )tan(，→定义域关于原点对称→正切函数是奇函数．学生自由口答，若学生没提到检验定义域，则教师提醒学生要先检验定义域是否关于原点对称，并师生共同完成正切函数定义域的检验，为直观起见，可借助数轴．设计意图：强调判断奇偶性要先看定义域，同时先探究奇偶性对探究单调性有所帮助．（3）单调性（5分钟）思考5：既然正切函数的周期是π，那么我们只需要研究一个长度为多少的区间上的单调性？选择哪个区间好呢？学生思考后自由回答，若回答不准确，则教师引导学生选择包含原点的区间⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，因为原点附近的角是我们常见的角．思考6：这个区间能否根据我们已经得到的某一条性质进一步缩小呢？学生自由口答，教师较有指向性的提问，能使学生很容易发现“由于正切函数是奇函数，只需要探究它在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性”．思考7：如何探究正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性？已掌握的有关正切函数的知识中，可以用来比较正切值大小是什么？给学生充足的时间相互探讨，由于已学过的有关正切函数的知识只有“定义、诱导公式和正切线”，所以学生在简单的讨论交流之后应该很容易想到是正切线．教师引导学生借助正切线探究正切函数在单调性⎪⎭⎫ ⎝⎛20π，上的单调性，再根据奇偶性将结论推广到⎪⎭⎫ ⎝⎛22-ππ，，再根据周期性将结论推广到整个定义域．设计意图：正切函数单调性的探究是本节课的难点，在本节课中利用已经得到的奇偶性和周期性，将需要研究的单调区间一步步缩小，之后再利用奇偶性和周期性，还原出正切函数在定义域上的单调情况，让学生体会到函数性质之间的联系，培养学生“从特殊到一般”“从局部到整体”的数学思维．另外，当明确了单调性之后，值域也能很容易得到．（4）值域（1分钟）正切函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的值域是R→正切函数的值域是R→无最大值和最小值． 2．图象（共11分钟）猜想：根据我们已经探究出的正切函数的性质，请同学们先猜想、想象一下正切函数的图象会如何呢？学生想象，稍后教师提问一名学生，让他口头表述自己想象的正切函数的图象，之后教师引导学生画图验证猜想．设计意图：猜想图象可使学生对性质进行整合，培养学生的想象能力．思考8：利用已知的性质，如何画函数的图象？可以先画怎样的一个区间内的图象？教师较有提示性的提问，学生很容易做出回答：由于正切函数的是周期为，所以只需要画出一个周期内的图象，然后通过平移就可以得到在整个定义域内的图象．由于在探究单调性时就选取的⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ，所以学生也能很容易想到先画出⎪⎭⎫ ⎝⎛-2,2ππ上的函数图象．类比正弦函数图象的作法，利用单位圆中的正切线绘制()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ图象．（1）教师借助PPT ，引导学生按照下列步骤作图：（5分钟）①作直角坐标系，并在直角坐标系轴左侧作单位圆； ②选取特殊角：34606-4-3-ππππππ，，，，，，，分别在单位圆中作出正切线，以6π为例进行详细的步骤说明；③描点；（纵坐标是相应的正切线）④连线：当x 趋近于22-ππ或时，图象的走势如何？思考之后学生自由回答，教师引导学生理解22-ππ==x x 和是正切函数的两条渐进线．思考9：有时不需要画出正切函数精确的图象，只需画出简图，只需确定哪些点或线就能画出函数⎪⎭⎫ ⎝⎛∈=22-,tan ππ，x x y 的简图？学生可看出有三个点很关键（0，0），），（14--π，），（14π，还有两条渐近线：2π-=x ，2π=x ．即“三点两线”．学生回答之后，教师板演画出草图．思考10：如何得到函数在⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的图象？整个定义域上的图象呢？学生自由回答，根据正切函数的周期性，我们可以把上述图象左右平移，得到正切函数()Z k k x x y ∈+≠=,2,tan ππ的图象，称为“正切曲线”．教师板演画出⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2322-23-ππππ，，，上的草图．这时，学生可以拿出先前由性质推测的图象进行对比，自己找出问题，加以体会．设计意图：培养学生运用类比的方法解决问题的能力，形成对正切函数图象的感知．（2）观察图象，验证、丰富性质（4分钟）从图中可以看出，正切曲线是被相互平行的直线()Z k k x ∈+=,2ππ所隔开的无穷多支曲线组成的．教师引导学生进一步思考，这点反应了它的哪一性质——定义域；从y 轴方向看，上下无限延伸，得到它的哪一性质——值域为R ；图象关于原点中心对称，得到它的哪一性质——奇函数；每隔π个单位，对应的函数值相等，得到它的哪一性质——周期π；在每个区间图象都是上升趋势，得到它的哪一性质——单调性，单调增区间是Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++,22-ππππ，，没有减区间．设计意图：形与数的结合，更能加深对性质的认识，对比正切函数的性质和图象，分析各个性质在图象上的反映，得出：函数的性质有利于画函数的图象，函数的图象是其性质的直观反应，培养学生的识图能力，利用正切函数的图象进一步加深对性质的理解，体会“数形结合”的思想，同时，由渐近线感知无限逼近的思想．追问：在整个定义域上是增函数吗？注意：只能说在某个区间单调递增，不能说在整个定义域单调递增．设计意图：避免一些错误认识，进一步加深对正切函数单调性的理解．它的图象是关于原点对称的，得到是哪一性质——奇函数．追问：认真观察图象还有其它的对称中心吗？有没有对称轴？通过图象我们还能发现是中心对称，对称中心是Z k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛，，02π，无对称轴．强调：正切函数的对称中心是图象和渐近线与x 轴的交点．3．例题分析（8分钟）例1．求函数y ＝tan （2πx ＋3π）的定义域、周期和单调区间．教师板演讲解，说明可将2πx ＋3π作为一个整体来处理，而不必设元，并写出解题过程，以规范学生的解题步骤．设计意图：巩固正切函数的定义域、周期性和单调性，渗透换元的思想．例2．比较大小()︒167tan 1︒173tan ()⎪⎭⎫ ⎝⎛-411tan 2π 513tan π 学生思考后，举手发言，说明理由．教师提醒学生注意利用诱导公式将角度转化为同一单调区间后才能进行比较，并结合正切函数的图象加以说明．设计意图：深化对正切函数的单调性的理解和转化的思想．练习：（5分钟）1．观察正切函数的图象，写出使不等式3tan ≥x 成立的x 的集合．2．求函数x y 3tan =的定义域、值域、周期和单调区间．（学生板演）（四）小结1．正切函数的性质与图象；2．性质有助于更有效的作图，图象有助于更直观的研究性质；3．数形结合的思想方法；设计说明：从知识，方法，思想三个方面对本节课进行总结．（五）布置作业习题1．4，A组，8，9题，B组2题：其他题完成在书上．七、板书设计。

(新课程)高中数学《1.4.3正切函数的图象与性质》导学案新人教a版必修4

§1.4.3 正、余弦函数的值域、奇偶性、单调性1.掌握正、余弦函数的有关性质并会运用.2.熟记正、余弦函数的单调区间,并利用单调性解题.3740，找出疑惑之处）在已学过的内容中，我们要研究一个函数，往往从哪些方面入手？二、新课导学※ 探索新知问题1. 在同一直角坐标系中作y=sinx,y=cosx (x ∈R)的图象，观察它们的图象，你能得到一些什么性质？分别列出y=sinx, y=cosx x ∈R 的图象与性质问题2.观察y=sinx, y=cosx x ∈R 图象，探求y=sinx, y=cosx 的对称中心及对称轴.※ 典型例题例1:求下列函数的最大值及取得最大值时x 的集合(1)3cosx y = (2)x y 2sin 2-=变式训练：（1）若)3cos(x y -=呢？变式训练：（2）若|2sin |2x y -=呢？例2:判断下列函数奇偶性（1）f(x)=1-cosx （2）g(x)=x-sinx变式训练：3、判断下列函数的奇偶性：⑴x x x f cos |sin |)(⋅=：；⑵x x x f +=3tan )(：⑶x x x f cos )(+=： . 例3 .求)32sin(π+=x y 的单调增区间变式训练：（1）求)32cos(π+=x y 的单调增区间（2）求)32sin(π+-=x y 的单调增区间（3）求)62cos()32sin(ππ-++=x x y 的单调增区间例4.求下列函数的值域（1）x y 2sin 23-=（2）x x y sin |sin |+=（3）2sin 2cos 2-+=x x y （4）xx x y sin 1cos sin 22+= （5）⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈+=6,6),32sin(2πππx x y变式训练：已知b x a x f +-=)32sin(2)(π的定义域为[0，2π]，函数的最大值为1，最小值为-5，求a,b 的值.※ 动手试试1、函数x y sin =,21≥y 时自变量x 的集合是___________.2、将54sin π=a ,45cos π-=b ,532sin π=c , 125cosπ=d ,从小到大排列起来为：__________. 3、函数x 2sin 2y =的奇偶数性为（）.A. 奇函数B. 偶函数C ．既奇又偶函数 D. 非奇非偶函数4、函数[]π2,0x cosx,32y ∈-=，其单调性是（）. A. 在[]　π,0上是增函数，在[],2ππ上是减函数B. 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2ππ上是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,23,2,0 上分别是减函数 C. 在[]ππ2，上是增函数，在[]π,0上是减函数D. 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ2,23,2,0上分别是增函数，在⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,2ππ上是减函数三、小结反思⑴正、余弦函数的定义域、值域、有界性、单调性、奇偶性、周期性等都可以在图象上被充分地反映出来，所以正、余弦函数的图象十分重要.⑵结合图象解题是数学中常用的方法.※ 当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1、设z k ∈，则三角函数x y 2sin =的定义域是（）A 、πππ+≤≤k x k 22B 、2πππ+≤≤k x k C 、222πππ+≤≤k x k D 、πππ+≤≤k x k2、在],[ππ-上是增函数，又是奇函数的是（）A 、2sinx y = B 、x y 21cos = C 、4sin x y -= D 、x y 2sin =3、已知函数3sin x y -=，其定义域是 . 4、已知函数x y cos 1-=，则其单调增区间是；单调减区间是。

人教版高中数学必修4学案 1.4.3正切函数的性质与图象

第一章三角函数三角函数1．4 三角函数的图象与性质1．4.3 正切函数的性质与图象1．理解正切函数的性质，掌握正切函数的图象的作法．2．能利用正切函数的图象与性质解决与正切函数有关的基本问题．基础梳理一、正切函数的性质1．正切函数的定义域和值域：定义域为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域为R ．2．正切函数的周期性：y ＝tan x 的周期是k π(k ∈Z ，k ≠0)，最小正周期是π．3．正切函数的奇偶性与对称性：正切函数是奇函数，其图象关于原点中心对称．4．正切函数的单调性：正切函数在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z)内都是增函数．练习：正切函数y ＝tan x 在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－π4，π4上的值域为[－1，1]．思考应用1．能否说正切函数在整个定义域上是增函数？解析：不能．正切函数在整个定义域上不具有单调性，因为它的定义域不连续，所以，不能说它在整个定义域上是增函数，正切函数在它的任一个连续区间内是单调递增函数．举反例：x 1＝π4，x 2＝5π4，x 1<x 2，tan x 1＝tan x 2这与单调性的定义矛盾．对每一个k ∈Z ，在开区间⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2内，函数单调递增．二、正切函数的图象1．根据正切函数y ＝tan x 的定义和周期，通过平移单位圆中的正切线来作出它在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象．2．将正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象，我们把它叫做正切曲线．正切曲线是被互相平行的直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)所隔开的无数多支曲线组成的．这些平行直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)叫做正切曲线各支的渐近线．3．结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数y ＝tan x 在一个单调区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的简图．其中，三点为：⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，－1，(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，1.二线为：x ＝－π2，x ＝π2.画图时，注意图象不能与直线x ＝k π＋π2(k ∈Z)相交．思考应用2．你能求不等式tan x ≥3的解集吗？分析：本题可利用图象直观解决．解析：作正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的简图，观察图象，且由正切函数y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上单调递增，tan π3＝3.∵tan x ≥ 3，即tan x ≥tan π3，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，不等式tan x ≥3的解集⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π3，π2，故由正切函数的周期性可知原不等式的解集为⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫k π＋π3，k π＋π2(k ∈Z)．自测自评1．函数y ＝tan 2x 的最小正周期是(C ) A ．2π B ．π C.π2 D.π4解析：T ＝π2，故选C.2．下列命题正确的是(C ) A ．正切函数在定义域内是增函数 B ．正弦函数在定义域内是增函数 C ．函数y ＝3tan x 2的图象关于y 轴对称D ．若x 是第一象限角，则y ＝tan x 是增函数，y ＝cos x 是减函数解析：正弦函数、余弦函数与正切函数都是区间上的单调函数，可排除A 、B 、D ，故选C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －π4的定义域是(D ) A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠π4 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠－π4 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪x ≠k π＋3π4，k ∈Z 解析：x －π4≠k π＋π2⇒x ≠k π＋3π4，k ∈Z.4．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤π6，π4的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1．基础提升1．函数y ＝lg tan x 的增区间是(B )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z)B.⎝⎛⎭⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)C.⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋π2 (k ∈Z)D ．(k π，k π＋π)(k ∈Z)解析：由tan x >0，得k π<x <k π＋π2(k ∈Z)．又y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫k π－π2，k π＋π2上是增函数．∴函数y ＝lg tan x 的增区间是⎝⎛⎭⎪⎪⎫k π，k π＋π2(k ∈Z)．故选B.2．tan 600°的值是(D )A ．－33 B.33 C ．－ 3 D. 3解析：tan 600°＝tan(360°＋240°)＝tan 240° ＝tan(180°＋60°)＝tan 60°＝ 3.3．直线y ＝a (a 为常数)与函数y ＝tan ωx (ω为常数且ω＞0)的图象相交的相邻两点间的距离是(C )A ．π B.2πω C.πωD ．与a 值有关解析：利用图象，直线y ＝a 与函数y ＝tan ωx 的图象相交，相邻两点间的距离就是y ＝tan ωx 的一个最小正周期，即为πω.故选C.4．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为(C )A.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈ZD.⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z5．方程tan x ＝－3(－π<x <π)的解集为(C )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π6，56πB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－23π，23πC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－π3，23π D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫23π，53π巩固提高6．若f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，则(A)A ．f (0)>f (－1)>f (1)B ．f (0)>f (1)>f (－1)C ．f (1)>f (0)>f (－1)D ．f (－1)>f (0)>f (1) 解析：由k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2，k ∈Z 得k π－3π4＜x ＜k π＋π4，k ∈Z ，∴f (－1)＜f (0)．又∵f (1)＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫1－3π4， ∴1－3π4，－1，0∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－3π4，π4且1－3π4＜－1＜0，∴f (1)＜f (－1)＜f (0)，故选A. 7．函数f (x )＝tan 2x tan x的定义域为(A )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π4，k ∈ZB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈ZC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π＋π4，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈R 且x ≠k π－π4，k ∈Z8．利用正切函数图象解不等式． (1)tan x ≥－1； (2)tan 2x ≤－1.分析：本题可先作出y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2上的图象，然后由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1，并结合图象的升降(单调性)便可去掉法则“tan ”，从而建立自变量间的关系．解析：(1)因为tan x ≥－1，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1，在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，满足条件的x 为：－π4≤x ＜π2，由正切函数的图象及周期性可知，满足此不等式的x的取值集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π2＋k π，k ∈Z . (2)在 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2内，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π4＝－1.所以不等式tan 2x ≤－1的解集由不等式k π－π2＜2x ≤k π－π4，k ∈Z 确定．解得k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z.所以不等式tan 2x ≤－1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪⎪k π2－π4＜x ≤k π2－π8，k ∈Z .9．已知f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．解析：(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1.∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )min ＝－43；当x ＝－1时，f (x )max ＝233.(2)函数f (x )＝x 2＋2x ·tan θ－1的对称轴为x ＝－tan θ， ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3.又θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－π2，π2，∴－π2<θ≤－π3或π4≤θ<π2，即θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π4，π2.1．正切函数单调区间的求法：求y ＝A tan(ωx ＋φ)的单调区间，可先用诱导公式把ω化为正值，再由不等式k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2(k ∈Z)求得x的范围即可．2．比较大小问题：比较两个同名函数值的大小，应先保证自变量在同一单调区间内，再利用函数单调性比较大小．如果自变量不在同一单调区间内，则可用介值法比较大小．高中数学-打印版3．解简单的三角不等式：一般地，求解简单的三角不等式时，既可以用三角函数线，又可以用三角函数的图象，先得到一个周期内的解集，再加上周期的整数倍，即可得所求的解集．精校版。

人教版高中数学必修四学案 1.4.3正切函数的性质与图象(2)

学习目的：
知识目标：熟练掌握正切函数的图象和性质，并能用之解题；
能力目标：渗透数形结合、换元法等基本数学思想方法。

一、复习引入：
1．作正切曲线的简图，说明正切曲线的特征。

2．回忆正切函数的性质：定义域、值域、周期性、奇偶性、单调性。

二、讲解新课：例1：求下列函数的周期：
（1）3tan 5y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
（2）tan 36y x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
例2：求函数⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-=33tan πx y 的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，并说明它的图象可以由正切曲线如何变换得到。

例3：用图象求函数tan 3y x =
-的定义域。

三、巩固与练习
1．“tan 0x >”是“0x >”的条件。

2．与函数tan 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
的图象不相交的一条直线是（） ()2A x π
= ()2B x π
=- ()4C x π
= ()8D x π
=
3．函数y =
． 4．函数2tan tan 1,2y x x x k k Z ππ⎛
⎫=++≠+∈ ⎪⎝⎭的值域是
． 5．函数tan cot y x x =-的奇偶性是奇函数，周期是
．
四、小结：本节课学习了以下内容：
1.
2.
3.上节课的问题是否解决，有何体会：
五、课后作业：
以下函数中，不是．．
奇函数的是( ) A.y ＝sin x ＋tan x Ｂ．y ＝x tan x －1 Ｃ．y ＝x x x cos 1tan sin +- Ｄ．y ＝lg x
x tan 1tan +-。

高中数学必修四：1.4.3正切函数的图像与性质(教、学案

§1.4.3正切函数的图像与性质【教材分析】正切函数的图象和性质》它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。

研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。

教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。

正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。

教材上直接圈定了区间（2,2ππ-），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。

这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。

在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。

本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标： 1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y =tan x 的图象，对直线x =2ππ+k ，Z k ∈是y =tan x的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。

1.4.3 正切函数的性质与图象(精讲精析)-高一数学教材配套学案(人教A版必修4)

1.4.3正切函数的性质与图象知识④自主预习新知初探⍓知识点. 正切函数的图象与性质【思考】（1）正切函数y ＝tan x 的定义域是什么？(2)诱导公式tan(π＋x )＝tan x 说明了正切函数的什么性质？tan(k π＋x )(k ∈Z )与tan x 的关系怎样？(3)诱导公式tan(－x )＝－tan x 说明了正切函数的什么性质？【答案】（1）⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π2，k ∈Z ．（2）周期性．tan(k π＋x )＝tan_x (k ∈Z )．（3）奇偶性．（1）正切函数的图象①正切函数的图象：②正切函数的图象叫做正切曲线． ③正切函数的图象特征：正切曲线是由被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的． (2) 正切函数的性质自我测评⍓1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (2)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )(3)正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形．( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)×2．函数y ＝5tan(2x ＋1)的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π【解析】T ＝π2.【答案】B3．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z 【答案】C 4. 函数y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为------------------. 【解析】由1－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≥0，得tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，且x ＋π4≠π2＋kπ（k ∈Z ）.由图可得－π2＋kπ＜x ＋π4≤π4＋kπ（k ∈Z ），即－3π4＋kπ＜x ≤kπ（k ∈Z ）.∴函数y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－3π4＋kπ＜x ≤kπ，k ∈Z . 【答案】⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－3π4＋kπ＜x ≤kπ，k ∈Z 5．函数y ＝tan x －1，x ∈[－π4，π3]的值域为________．【解析】y ＝tan x －1在[－π4，π3]上是增函数，则－2≤tan x －1≤3－1. 【答案】[－2，3－1]【反馈记录】哪里不会问哪里，课堂全过关！题型1正切函数的定义域【例1】求下列函数的定义域.（1）y ＝1tan x －3；（2）y ＝tan x ＋lg （1－tan x ）.【解】(1)∵tan x>3，又在⎝⎛⎭⎫－ π2，π2内tan π3＝3，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－ π2，π2内单调递增， ∴tan x>3＝tan π3，∴π3<x<π2.因此函数的定义域为⎝⎛⎭⎫kπ＋π3，kπ＋π2(k ∈Z )． (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，1－tan x>0，即0≤tan x<1.由于在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，y ＝tan x 单调递增，且tan π4＝1， ∴0≤x<π4，因此，函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪kπ≤x<kπ＋π4，k ∈Z .【方法总结】求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义即x ≠π2＋k π，k ∈Z.而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解．(2)求正切型函数y ＝Atan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x.【变式训练1】求函数y ＝11＋tan x的定义域．【解】要使函数有意义，则有1＋tan x ≠0， ∴tan x ≠－1，∴x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z.因此，函数y ＝11＋tan x的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π2，k ∈Z .题型2 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例2】(1)求f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期； (2)判断y ＝sin x ＋tan x 的奇偶性．【解】(1)∵tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的周期是π2. (2)定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，关于原点对称， ∵f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )， ∴它是奇函数．【方法总结】与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y ＝Atan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系．【变式训练2】判断函数f (x )＝lg tan x ＋1tan x －1的奇偶性．【解】由tan x ＋1tan x －1>0，得tan x >1或tan x <－1.∴函数定义域为⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π－π4∪⎝⎛⎭⎫k π＋π4，k π＋π2(k ∈Z )关于原点对称． f (－x )＋f (x )＝lg tan (－x )＋1tan (－x )－1＋lg tan x ＋1tan x －1＝lg ⎝⎛⎭⎫－tan x ＋1－tan x －1·tan x ＋1tan x －1＝lg 1＝0.∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．题型3正切函数的单调性及应用角度1求单调区间【例3】求函数f （x ）＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的单调区间. 【解】由－π2＋kπ＜3x －π3＜π2＋kπ（k ∈Z ），得－π18＋kπ3＜x ＜5π18＋kπ3（k ∈Z ），∴f （x ）＝2tan ⎝⎛⎭⎫3x －π3的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π18＋kπ3，5π18＋kπ3，k ∈Z . 角度2比较大小【例4】比较tan 1，tan 2，tan 3，tan 4的大小【解】tan 2＝tan （2－π），tan 3＝tan （3－π），tan 4＝tan （4－π）. 又∵－π2＜2－π＜3－π＜4－π＜1＜π2且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数， ∴tan （2－π）＜tan （3－π）＜tan （4－π）＜tan 1，即tan 2＜tan 3＜tan 4＜tan 1. 角度3求最值或值域【例5】已知f (x )＝tan 2x －2tan x ⎝⎛⎭⎫|x |≤π3，求f (x )的值域．【解】令u ＝tan x ，因为|x |≤π3，所以u ∈[－3， 3 ]，所以函数化为y ＝u 2－2u . 对称轴为u ＝1∈[－3， 3 ]．所以当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝－3时，y max ＝3＋2 3. 所以f (x )的值域为[－1,3＋2 3 ]．【方法总结】1．求函数y ＝Atan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2<ωx ＋φ<k π＋π2，求得x 的范围即可． (2)若ω<0，可利用诱导公式先把y ＝Atan(ωx ＋φ)转化为y ＝Atan[－(－ωx －φ)]＝－Atan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可． 2．运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系．【变式训练3】若将本例中的x 改为x ∈ [0,4π],结果又将如何? 【解】令u ＝tan x ，易得u ∈[0，1 ], 当u ＝1时，y min ＝12－2×1＝－1. 当u ＝0时，y max ＝0. 所以f (x )的值域为[－1,0 ]．1.4.3正切函数的性质与图像总分：_____ 用时：_______ A 组（学业基础）一、选择题1．下列说法正确的是( ) A ．y ＝tan x 是增函数B ．y ＝tan x 在第一象限是增函数C ．y ＝tan x 在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数 D ．y ＝tan x 在某一区间上是减函数【解析】正切函数在每个区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数．但在整个定义域上不是增函数，另外，正切函数不存在减区间．【答案】 C 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域是( )A .⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠π4，x ∈RB.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠－π4，x ∈RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋π4，k ∈Z ，x ∈RD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠k π＋34π，k ∈Z ，x ∈R【解析】y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4，所以x －π4≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π＋3π4，k ∈Z ，x ∈R . 【解析】D3．f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3的最小正周期为( ) A.π4 B.π2 C ．π D ．2π 【解析】选B 法一：函数y ＝tan(ωx ＋φ)的周期是T ＝π|ω|，直接套用公式，可得T ＝π|－2|＝π2. 法二：由诱导公式可得tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3＝tan ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3－π＝tan ⎣⎡⎦⎤－2⎝⎛⎭⎫x ＋π2＋π3，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π2＝f (x )，所以周期为T ＝π2.【答案】B4．若f （x ）＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，则（） A. f （0）＞f （－1）＞f （1） B. f （0）＞f （1）＞f （－1） C. f （1）＞f （0）＞f （－1）D. f （－1）＞f （0）＞f （1）【解析】由－π2＜x ＋π4＜π2得－3π4＜x ＜π4，所以函数f(x)在区间⎝⎛⎭⎫－3π4，π4上是增函数，因此f(0)＞f(－1)．又函数f(x)＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的周期为π，因此f(1)＝f(1－π)，又1－π＜－1＜0知f(1)＜f(－1)＜f(0). 【答案】A5．函数y ＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数【解析】f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.【答案】D6．函数y ＝cos x ·|tan x |⎝⎛⎭⎫－π2<x <π2的大致图像是( )【解析】当－π2<x <0时，y ＝－sin x ；当0<x <π2时，y ＝sin x ；x ＝0时，y ＝0. 图像为C. 【答案】C二、填空题7．已知函数y ＝2tan(2x ＋φ)是奇函数，则φ＝________. 【解析】∵函数为奇函数，故φ＝k π(k ∈Z)．【答案】k π(k ∈Z)8．满足tan(x ＋π3)≥－3的x 的集合是________．【解析】由k π－π3≤x ＋π3＜π2＋k π，k ∈Z ，解得k π－2π3≤x ＜k π＋π6，k ∈Z. 【答案】{x |k π－2π3≤x ＜k π＋π6，k ∈Z} 9．若y ＝tan(2x ＋θ)图像的一个对称中心为(π3，0)，若－π2<θ<π2，则θ的值是________．【解析】由x ＝π3时2x ＋θ＝k π2，得2×π3＋θ＝k π2，∴θ＝k π2－23π(k ∈Z)．又θ∈(－π2，π2)，∴θ＝－π6或π3.【答案】－π6或π310．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图像的相邻两支截直线y ＝1所得线段长为π4，则f (π12)的值是________．【解析】由题意知π4＝πω，∴ω＝4.∴f (π12)＝tan π3＝ 3.【答案】 3 三、解答题11．利用函数图像解不等式－1≤tan x ≤33.【解】作出函数y ＝tan x ，x ∈(－π2，π2)的图像，如图所示．观察图像可得：在(－π2，π2)内，自变量x 应满足－π4≤x ≤π6，由正切函数的周期性可知，不等式的解集为 {x |－π4＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z}．12．若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 值．【解】y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＋2tan x ＋1＝tan 2x ＋2tan x ＋2 ＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]．故当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1；当tan x ＝1，即x ＝π4时，y 取最大值5.B 组（能力提升）13．函数y ＝log 12tan x 的定义域是( ) A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤π4＋k π，k ∈Z B.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2k π＜x ≤2k π＋π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2k π－π2＜x ≤k π＋π4，k ∈Z 【解析】要使函数有意义，只要log 12tan x ≥0，即0＜tan x ≤1.由正切函数的图象知，k π＜x ≤k π＋π4，k ∈Z【答案】C14．方程tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3在区间[0,2π)上的解的个数是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2【解析】由tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝3，得2x ＋π3＝π3＋k π(k ∈Z)，∴x ＝k π2(k ∈Z)，又x ∈[0,2π)，∴x ＝0，π2，π，3π2. 【答案】B15．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则ω的取值范围是________．【解析】函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是单调减函数，则有ω<0，且周期T ≥π2－⎝⎛⎭⎫－π2＝π，即π|ω|≥π，故|ω|≤1，∴－1≤ω<0. 【答案】[－1,0)16．求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域、周期及单调区间．【解】由12x －π6≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≠4π3＋2k π，k ∈Z .T ＝π12＝2π，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的周期为2π.由－π2＋k π＜12x －π6＜π2＋k π，k ∈Z ，得－2π3＋2k π＜x ＜4π3＋2k π，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π6的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－2π3＋2k π，4π3＋2k π(k ∈Z )．17．已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.(1)当θ＝－π6时，求函数f (x )的最大值与最小值； (2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数．【解】(1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝⎛⎭⎫x －332－43，x ∈[－1， 3 ]． ∴当x ＝33时，f (x )取得最小值，为－43；当x ＝－1时，f (x )取得最大值，为233. (2)函数f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ的图象的对称轴为x ＝－tan θ. ∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上单调， ∴－tan θ≤－1或－tan θ≥3，即tan θ≥1或tan θ≤－ 3. 又θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝⎛⎦⎤－π2，－π3∪⎣⎡⎭⎫π4，π2.。

高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案

高中数学必修四1.4.3正切函数的性质和图象导学案正切函数的性质和图象【学习目标】1.能借助单位圆中正切线画出y=tanx的图象.2.理解正切函数在上的性质.（预习课本第页42----44页的内容）【新知自学】知识回顾：1、周期性2、奇偶性3.单调性：x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；x在每一个区间__________上是增函数，在每一个区间___________上是减函数；最值：当且仅当x=_______时，y=sinx取最大值___，当且仅当x=______ _时，y=s inx取最小值______.当且仅当x=_______时，取最大值____，当且仅当x=_______时，y=cosx取最小值______.新知梳理：1.正切函数的性质（1）周期性：正切函数的最小正周期为_____;y=tanx( )的最小正周期为_____.（2）定义域、值域：正切函数的定义域为_________,值域为_________.（3）奇偶性：正切函数是__ ____函数.（4）单调性：正切函数的单调递增区间是______________________.2．正切函数的图象：正切函数y=tanx,x R且的图象，称“正切曲线”.探究：1. 正切函数图象是被平行直线y= 所隔开的无穷多支曲线组成。

能否认为正切函数在它的定义域内是单调递增的？2.正切曲线的对称中心是什么？对点练习：函数的周期是（）A. B. C. D.2.函数的定义域为 ( )A.BD下列函数中,同时满足(1)在(0, )上递增,(2)以2 为周期,(3)是奇函数的是( )A. BD求函数y＝的定义域【合作探究】典例精析：题型一：与正切函数有关的定义域问题例1.求函数的定义域.变式1.求函数的定义域.题型二：正切函数的单调性例2.（1）求函数y=tan(3x- )的周期及单调区间.（2）比较tan 与tan 的大小.变式2.(1)求函数y=tan( -x)的周期及单调区间.(2)比较大小：tan 与tan (－ ).【课堂小结】【当堂达标】1.下列各式正确的是（）A．B．C．D．大小关系不确定2.函数y＝5tan(2x＋1)的最小正周期为________．3.函数y＝tan 的单调区间是____________________，且此区间为函数的________区间（填递增或递减）．4.写出函数y=|tanx|的定义域、值域、单调区间、奇偶性和周期.【课时作业】1、在定义域上的单调性为（）.A．在整个定义域上为增函数B．在整个定义域上为减函数C．在每一个上为增函数D．在每一个上为增函数2、若 ,则（）.A．B．C．D．与函数的图象不相交的一条直线是（）4. 已知函数的图象过点，则可以是．tan1,tan2,tan3的大小关系是_________________________________.6.下列四个命题：①函数y＝tan x在定义域内是增函数；②函数y＝tan(2x＋1)的最小正周期是π；③函数y＝tan x的图象关于点(π，0)成中心对称；④函数y＝tan x的图象关于点成中心对称．其中正确命题的序号为__________________．7.求函数y=3tan(2x+ ),( )的值域、单调区间。

2019年高中数学必修四世纪金榜课件1.4.3正切函数的性质与图象1.精讲优练课型1.4.3

ω x+φ≠kπ + ,k∈Z,解得x. 2
2.求与正切函数相关的值域的方法 (1)对于y=tan x在不同区间上的值域,可以结合图象, 利用单调性求值域.
(2)对于y=A tan(ω x+φ)的值域,可以把ω x+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域. (3)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
值域.
【解析】1.选C.函数y= tan(x )，
4
令 x ≠ +kπ,k∈Z,
42
解得x≠ +kπ,k∈Z,
4
所以函数的定义域为 {x|x k，k Z.}
4
2.由于函数f(x)=tan x在 ( , )上单调递增,故函数
22
f(x)=tan x在 [ , ] 上单调递增,故当x= 时,函数
(3)×.正切函数是奇函数,原点是对称中心,但是正切函
数的对称中心不唯一,有无数个.
【自主总结】
(1)正切函数的性质.
①周期:一般地,函数y=Atan(ω x+φ)+B(A>0,ω >0)的周期是T= ，若不知ω 正负,则该函数的最小正周期为

T= .
||
②单调性:正切函数无单调递减区间,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间.
【变式训练】 1.函数y= tan( 2x) 的定义域为__________.
34
3
f(x)取得最小值为- 3.
答案:- 3
3.因为x∈[ , ]，所以tan
33
x∈[-
3,
3

2019年高中数学必修四世纪金榜学案1.4.2正弦函数余弦函数的性质(二)2.探究导学课型课后提升训练

课后提升训练十正弦函数、余弦函数的性质(二)(45分钟70分)一、选择题(每小题5分,共40分)1.下列函数中,周期为π,且在上为减函数的是( )A.y＝sinB.y＝cosC.y＝sinD.y＝cos【试题解析】选A.根据T＝π,排除C,D,又因为该函数在上为减函数,故y ＝sin＝cos2x符合题意.2.(2017·洛阳高一检测)设M和m分别是函数y＝cosx－1的最大值和最小值,则M＋m等于( )A. B.－ C.－ D.－2【试题解析】选D.需根据y＝cosx的性质(或图象)确定M,m.由y＝cosx－1,可知y max＝M＝－1＝－,y min＝m＝－－1＝－.所以M＋m＝－2.3.函数f(x)＝cos的单调递减区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【试题解析】选D.令2kπ<πx＋<2kπ＋π,k∈Z,解得2k－<x<2k＋,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为,k∈Z.【补偿训练】函数y＝－cosx,x∈(0,2π),其单调性是( )A.在(0,π)上是增函数,在[π,2π)上是减函数B.在,上是增函数,在上是减函数C.在[π,2π)上是增函数,在(0,π)上是减函数D.在上是增函数,在,上是减函数【试题解析】选A. y＝－cosx在(0,π)上是增函数,在[π,2π)上是减函数.4.下列关系式正确的是( )A.sin162°>sin40°>cos15°B.cos15°>sin40°>sin162°C.sin40°>cos15°>sin162°D.sin162°>cos15°>sin40°【试题解析】选 B.因为cos15°＝sin75°,sin162°＝sin18°,又sin75°>sin40°>sin18°,故cos15°>sin40°>sin162°.5.下列四个函数中,既是上的增函数,又是以π为周期的偶函数的是( ) A.y＝sinx B.y＝|sinx|C.y＝cosxD.y＝|cosx|【试题解析】选B.根据三角函数的图象和性质,知y＝sinx是周期为2π的奇函数,y＝|sinx|是周期为π的偶函数,且在上为增函数,y＝cosx是周期为2π的偶函数,在上是减函数,y＝|cosx|在上是减函数,以π为周期的偶函数,只有y＝|sinx|满足.6.若a为常数,且a>1,0≤x≤2π,则函数y＝sin2x＋2asinx的最大值为( )A.2a＋1B.2a－1C.－2a－1D.a2【试题解析】选A.由0≤x≤2π,故sinx∈[－1,1].令t＝sinx,t∈[－1,1],则y＝t2＋2at＝(t＋a)2－a2,t∈[－1,1].又a>1,所以－a<－1,所以y＝t2＋2at在[－1,1]上是增函数.所以t＝1时y取最大值1＋2a.7.已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最大值与最小正周期相同,则函数f(x)在[－1,1]上的单调增区间为( )A. B.C. D.【解题指南】先求函数f(x)的最大值,根据最大值与最小正周期相同,得出ω,从而可求增区间.【试题解析】选C.由已知得2＝⇒ω＝,所以f(x)＝2sin,令－＋2kπ≤πx－≤＋2kπ,解得－＋2k≤x≤＋2k,k∈Z,又x∈[－1,1],所以－≤x≤,所以函数f(x)在[－1,1]上的单调递增区间为.8.若函数y＝f(x)同时满足下列三个性质:①最小正周期为π;②图象关于直线x＝对称;③在区间上是增函数.则y＝f(x)的解析式可以是( ) A.y＝sin B.y＝sinC.y＝cosD.y＝cos【试题解析】选A.因为f(x)最小正周期为T＝π,故排除B,又因为f(x)图象关于x＝对称,排除C.因为x∈,故－≤2x－≤,因此y＝sin在上是增函数.二、填空题(每小题5分,共10分)9.(2017·全国甲卷)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是.【试题解析】f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－cos2x＋cosx＋＝－＋1,因为x∈,所以cosx∈[0,1],当cosx＝时,函数取得最大值1.【参考答案】：110.设函数f(x)＝sin,则该函数的最小正周期为,f(x)在的最小值为.【试题解析】由题意可知,T＝＝π;因为x∈,所以2x－∈,所以sin∈,所以f(x)在的最小值为－.【参考答案】：π－【补偿训练】已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2,则ω的最小值为.【试题解析】函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间上的最小值是－2,则ωx 的取值范围是,所以－≤－或≥,所以ω的最小值为.【参考答案】：【延伸探究】本题中条件“在区间上的最小值为－2”改为“在区间上单调递增”其他条件不变,求ω的取值范围.【试题解析】由－≤ωx≤,得f(x)的一个递增区间为由题设得⊆,所以－≤－且≥,得0<ω≤.三、解答题(每小题10分,共20分)11.(2017·潍坊高一检测)已知函数f(x)＝2asin(2x＋)＋a＋b,定义域为,值域为[－5,1],求a,b的值.【试题解析】因为0≤x≤,所以≤2x＋≤,故－≤sin≤1,当a>0时,解得当a<0时,解得综上a＝2,b＝－5或a＝－2,b＝1.12.已知f(x)＝sin－.(1)求f(x)的最小正周期和最大值.(2)讨论f(x)在上的单调性.【试题解析】(1)由f(x)＝sin－,所以T＝＝π,最大值为1－.(2)当x∈时,0≤2x－≤π,从而当0≤2x－<,即≤x<时,f(x)单调递增,当≤2x－≤π,即≤x≤时,f(x)单调递减.综上可知,f(x)在上单调递增;在上单调递减.【能力挑战题】已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<π)在x＝处取得最大值3,其相邻两条对称轴间的距离为.(1)求f(x)的解析式.(2)若x∈,求f(x)的取值范围.【试题解析】(1)因为f(x)的最大值为3,所以A＝3,因为相邻两条对称轴间的距离为.所以＝,所以T＝π,所以ω＝2,所以f(x)＝3sin(2x＋φ),因为当x＝时,函数f(x)的最大值为3,所以2×＋φ＝2kπ＋,k∈Z,又0<φ<π,所以φ＝,所以f(x)＝3sin.(2)当x∈时,2x＋∈,所以sin∈,所以f(x)∈.。

高中数学必修四学案 1.4.3 正切函数的性质与图象

1．4.3 正切函数的性质与图象学习目标1.会求正切函数y＝tan(ωx＋φ)的周期.2.掌握正切函数y＝tan x的奇偶性，并会判断简单三角函数的奇偶性.3.掌握正切函数的单调性，并掌握其图象的画法．知识点一正切函数的性质思考1 正切函数的定义域是什么？[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z . 思考2 诱导公式tan(π＋x )＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 周期性．思考3 诱导公式tan(－x )＝－tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π，k ∈Z 说明了正切函数的什么性质？[答案] 奇偶性．思考4 从正切线上看，在⎝⎛⎭⎫0，π2上正切函数值是增大的吗？ [答案] 是．梳理函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z 的图象与性质见下表：知识点二正切函数的图象思考1 利用正切线作正切函数图象的步骤是什么？[答案] 根据正切函数的定义域和周期，首先作出区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上的图象．作法如下： (1)作平面直角坐标系，并在平面直角坐标系y 轴的左侧作单位圆． (2)把单位圆的右半圆分成8等份，分别在单位圆中作出正切线． (3)描点(横坐标是一个周期的8等分点，纵坐标是相应的正切线的长度)． (4)连线，得到如图①所示的图象．(5)根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，就可以得到正切函数y ＝tan x ，x ∈R 且x ≠π2＋k π(k ∈Z )的图象，把它称为正切曲线(如图②所示)．可以看出，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．思考2 我们能用“五点法”简便地画出正弦函数、余弦函数的简图，你能类似地画出正切函数y ＝tan x ，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2的简图吗？怎样画？ [答案] 能，三个关键点：⎝⎛⎭⎫π4，1，(0,0)，⎝⎛⎭⎫－π4，－1，两条平行线：x ＝π2，x ＝－π2. 梳理 (1)正切函数的图象(2)正切函数的图象特征正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 所隔开的无穷多支曲线组成的．1．函数y ＝tan x 在其定义域上是增函数．( × )提示 y ＝tan x 在开区间⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上是增函数，但在其定义域上不是增函数． 2．函数y ＝tan x 的图象的对称中心是(k π，0)(k ∈Z )．( × ) 提示 y ＝tan x 图象的对称中心是⎝⎛⎭⎫12k π，0(k ∈Z )． 3．正切函数y ＝tan x 无单调递减区间．( √ ) 4．正切函数在区间⎣⎡⎦⎤－π2，π2上单调递增．( × )提示正切函数在区间⎝⎛⎭⎫－π2，π2上是增函数，不能写成闭区间，当x ＝±π2时，y ＝tan x 无意义.类型一正切函数的定义域、值域问题例1 (1)函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π6－x 4的定义域为________． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域[答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z [解析] 由π6－x 4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠－4π3－4k π，k ∈Z ，即函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠－4π3－4k π，k ∈Z . (2)求函数y ＝tan 2⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3＋1的定义域和值域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的值域解由3x ＋π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π3＋π18，k ∈Z ，所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π3＋π18，k ∈Z . 设t ＝tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π3，则t ∈R ，y ＝t 2＋t ＋1＝⎝⎛⎭⎫t ＋122＋34≥34，所以原函数的值域是⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 反思与感悟 (1)求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时，要充分利用三角函数的图象或三角函数线．(2)处理正切函数值域时，应注意正切函数自身值域为R ，将问题转化为某种函数的值域求解．跟踪训练1 求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域． [考点] 正切函数的定义域、值域 [题点] 正切函数的定义域解由题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan x ＋1≥0，1－tan x >0，即－1≤tan x <1.在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内，满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎡⎭⎫－π4，π4. 又y ＝tan x 的周期为π，所以函数的定义域是⎣⎡⎭⎫k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )．类型二正切函数的单调性问题命题角度1 求正切函数的单调区间例2 求函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性解 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫12x －π4，由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，周期T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π. 反思与感悟 y ＝tan(ωx ＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx ＋φ看成一个整体，解－π2＋k π<ωx ＋φ<π2＋k π，k ∈Z 即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间．跟踪训练2 (2017·太原高一检测)求函数y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调区间． [考点] 正切函数的单调性 [题点] 判断正切函数的单调性解 y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－3tan ⎝⎛⎭⎫2x －π4，由－π2＋k π<2x －π4<π2＋k π，k ∈Z ，得－π8＋k π2<x <3π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝3tan ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为⎝⎛⎭⎫－π8＋k π2，3π8＋k π2(k ∈Z )．命题角度2 利用正切函数的单调性比较大小例3 比较大小：(1)tan 32°________tan 215°； (2)tan 18π5________tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. [考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] (1)< (2)<[解析] (1)tan 215°＝tan(180°＋35°)＝tan 35°， ∵y ＝tan x 在(0°，90°)上单调递增，32°<35°， ∴tan 32°<tan 35°＝tan 215°.(2)tan 18π5＝tan ⎝⎛⎭⎫4π－2π5＝tan ⎝⎛⎭⎫－2π5， tan ⎝⎛⎭⎫－28π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－3π－π9＝tan ⎝⎛⎭⎫－π9， ∵y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增，且－2π5<－π9， ∴tan ⎝⎛⎭⎫－2π5<tan ⎝⎛⎭⎫－π9，即tan 18π5<tan ⎝⎛⎭⎫－28π9. 反思与感悟运用正切函数的单调性比较大小的步骤 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内； (2)运用单调性比较大小关系．跟踪训练3 比较大小：tan ⎝⎛⎭⎫－7π4_______tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.[考点] 正切函数的单调性 [题点] 正切函数的单调性的应用 [答案] >[解析] ∵tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π4＝tan π4， tan ⎝⎛⎭⎫－9π5＝－tan ⎝⎛⎭⎫2π－π5＝tan π5. 又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫0，π2内单调递增， ∴tan π5＜tan π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫－7π4＞tan ⎝⎛⎭⎫－9π5.类型三正切函数综合问题例4 设函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3.(1)求函数f (x )的最小正周期，对称中心； (2)作出函数f (x )在一个周期内的简图． [考点] 正切函数的综合应用 [题点] 正切函数的综合应用解 (1)∵ω＝12，∴最小正周期T ＝πω＝π12＝2π.令x 2－π3＝k π2(k ∈Z )，得x ＝k π＋2π3(k ∈Z )， ∴f (x )的对称中心是⎝⎛⎭⎫k π＋2π3，0(k ∈Z )． (2)令x 2－π3＝0，则x ＝2π3；令x 2－π3＝π4，则x ＝7π6；令x 2－π3＝－π4，则x ＝π6；令x 2－π3＝π2，则x ＝5π3；令x 2－π3＝－π2，则x ＝－π3. ∴函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3的图象与x 轴的一个交点坐标是⎝⎛⎭⎫2π3，0，在这个交点左，右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x ＝－π3，x ＝5π3，从而得到函数y ＝f (x )在一个周期⎝⎛⎭⎫－π3，5π3内的简图(如图)．反思与感悟熟练掌握正切函数的图象和性质是解决正切函数综合问题的关键，正切曲线是被相互平行的直线x ＝π2＋k π，k ∈Z 隔开的无穷多支曲线组成，y ＝tan x 的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2，0，k ∈Z .跟踪训练4 画出f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．[考点] 正切函数的综合应用[题点] 正切函数的综合应用解 f (x )＝tan |x |化为f (x )＝⎩⎨⎧ tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0(k ∈Z )，－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0(k ∈Z )，根据y ＝tan x 的图象，作出f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎡⎭⎫0，π2，⎝⎛⎭⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝⎛⎦⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…).1．函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的单调递增区间为( ) A.⎝⎛⎭⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈Z B ．(k π，(k ＋1)π)，k ∈ZC.⎝⎛⎭⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z [考点] 正切函数的单调性[题点] 判断正切函数的单调性[答案] C2．函数y ＝tan x ＋1tan x是( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数[考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的奇偶性[答案] A[解析] 函数的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠12k π，k ∈Z ，且tan(－x )＋1tan (－x )＝－tan x －1tan x ＝－⎝⎛⎭⎫tan x ＋1tan x ，所以函数y ＝tan x ＋1tan x是奇函数． 3．将tan 1，tan 2，tan 3按大小排列为________．(用“<”连接)[考点] 正切函数的单调性[题点] 正切函数单调性的应用[答案] tan 2<tan 3<tan 1[解析] tan 2＝tan(2－π)，tan 3＝tan(3－π)，∵－π2<2－π<3－π<1<π2，且y ＝tan x 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∴tan(2－π)<tan(3－π)<tan 1，即tan 2<tan 3<tan 1.4．(2017·西安高一检测)函数y ＝4tan ⎝⎛⎭⎫3x ＋π6的最小正周期为________． [考点] 正切函数的周期性、对称性[题点] 正切函数的周期性[答案] π3[解析] T ＝π|ω|＝π3. 5．函数y ＝tan x ⎝⎛⎭⎫π4≤x ≤3π4，且x ≠π2的值域是________________． [考点] 正切函数的定义域、值域[题点] 正切函数的值域[答案] (－∞，－1]∪[1，＋∞)[解析] 函数y ＝tan x 在⎣⎡⎭⎫π4，π2上单调递增，在⎝⎛⎦⎤π2，3π4上也单调递增，所以函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．1．正切函数的图象正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为x ＝k π＋π2，k ∈Z ，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R . (2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T ＝π|ω|. (3)正切函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上单调递增，不能写成闭区间，正切函数无单调减区间.。

高中数学必修4公开课教案1.4.3正切函数的性质与图象

1.4.3正切函数的性质与图象全体规划教育剖析本节课的布景是:这之前咱们现已用了三节课的时刻学习了正弦函数和余弦函数的性质.函数的研讨具有其自身固有的特征和特有的研讨办法.一般来说,对函数性质的研讨总是先作图象,经过调查图象取得对函数性质的直观知道,然后再从代数的视点对性质作出严厉表述.但对正切函数,教科书换了一个新的视点,采取了先依据已有的常识(如正切函数的界说、诱导公式、正切线等)研讨性质,然后再依据性质研讨正切函数的图象.这样处理,首要是为了给学生供给研讨数学问题更多的视角,在性质的辅导下能够愈加有效地作图、研讨图象,加强了理性考虑的成分,并使数形结合的思维表现得愈加全面.教师要在学生探求活动进程中引导学生领会这种处理问题的办法.经过多媒体教育,让学生经过对图象的动态调查,对常识点的了解愈加直观、形象.以进步学生的学习爱好,进步课题教育质量.从学生的实际情况为教育起点,经过各种数学思维的浸透,合理运用各种教育课件,逐渐培育学生养成学会经过对图象的调查来收拾相应的常识点的才能,学会运用数学思维处理实际问题的才能.这样既加强了类比这一重要数学思维的培育,也有利于学生概括运用才能的进步,有利于学生把新旧常识前后联络,融会贯通,进步教育效果.由于学生现已有了研讨正弦函数、余弦函数的图象与性质的经历,这种经历彻底能够搬迁到对正切函数性质的研讨中,因而,咱们能够经过“探求”提出,引导学生依据前面的经历研讨正切函数的性质,让学生深入领会这种搬迁与类比的学习办法.三维方针1.经过对正切函数的性质的研讨,重视培育学生类比思维的养成,以及培育学生概括运用新旧常识的才能.学会经过对图象的调查来收拾相应的常识点,学会运用数学思维处理实际问题的才能.2.在学习了正弦函数、余弦函数的图象与性质的基础上,运用类比的办法,学习正切函数的图象与性质,然后培育学生的类比思维才能.3.经过正切函数图象的教育,培育学生赏识(中心)对称美的才能,激起学生酷爱科学、尽力学好数学的决心.要点难点教育要点:正切函数的性质与图象的简略使用.教育难点:正切函数性质的深入了解及其简略使用.课时组织1课时教育进程导入新课思路1.(直接导入)常见的三角函数还有正切函数,前面咱们研讨了正、余弦函数的图象和性质,你能否依据研讨正弦函数、余弦函数的图象与性质的经历,以相同的办法研讨正切函数的图象与性质？由此打开新课.思路2.先由图象开端,让学生先画正切线,然后类比正弦、余弦函数的几许作图法来画出正切函数的图象.这也是一种不错的挑选,这是传统的导入法.推动新课新知探求提出问题①咱们经过画正弦、余弦函数图象探求了正弦、余弦函数的性质.正切函数是咱们高中要学习的最终一个根本初等函数.你能运用类比的办法先探求出正切函数的性质吗？都研讨函数的哪几个方面的性质？②咱们学习了正弦线、余弦线、正切线.你能画出四个象限的正切线吗？③咱们知道作周期函数的图象一般是先作出长度为一个周期的区间上的图象,然后向左、右扩展,这样就能够得到它在整个界说域上的图象.那么咱们先选哪一个区间来研讨正切函数呢？为什么？④咱们用“五点法”能简捷地画出正弦、余弦函数的简图,你能画出正切函数的简图吗？你能类比“五点法”也用几个字总结出作正切简图的办法吗？活动:问题①,教师先引导学生回想:正弦、余弦函数的性质是从界说域、值域、奇偶性、单调性、周期性这几个方面来研讨的,有了这些常识预备,然后指点学生也从这几个方面来探求正切函数的性质.由于还没有作出正切函数图象,教师辅导学生充沛使用正切线的直观性.1.周期性由诱导公式tan(x+π)=tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是周期函数,周期是π.这儿可经过多媒体课件演示,让学生调查由角的改变引起正切线的改变的周期性,直观了解正切函数的周期性,后边的正切函数图象作出往后,还可从图象上调查正切函数的这一周期性.2.奇偶性由诱导公式tan(-x)=-tanx,x∈R,x≠+kπ,k∈Z可知,正切函数是奇函数,所以它的图象关于原点对称.教师可进一步引导学生经过图象还能发现对称点吗？与正余弦函数相对照,学生会发现正切函数也是中心对称函数,它的对称中心是(,0)k∈Z.3.单调性经过多媒体课件演示,由正切线的改变规则能够得出,正切函数在(,)内是增函数,又由正切函数的周期性可知,正切函数在开区间(+kπ,+kπ),k∈Z内都是增函数.4.界说域依据正切函数的界说tanα=,明显,当角α的终边落在y 轴上恣意一点时,都有x=0,这时正切函数是没有意义的；又由于终边落在y轴上的一切角可表示为kπ+,k∈Z,所以正切函数的界说域是{α|α≠kπ+,k∈Z},而不是{α≠+2kπ,k∈Z},这个问题不少初学者很不了解,在解题时又很简略犯错,教师应提示学生留意这点,深入明晰其内在实质.5.值域由多媒体课件演示正切线的改变规则,从正切线知,当x 大于且无限挨近时,正切线AT向Oy轴的负方向无限延伸;当x 小于且无限挨近时,正切线AT向Oy轴的正方向无限延伸.因而,tanx在(,)内能够取恣意实数,但没有最大值、最小值.因而,正切函数的值域是实数集R.问题②,教师引导学生作出正切线,并调查它的改变规则,如图1.图1问题③,正切函数图象选用哪个区间作为代表区间愈加天然呢？教师引导学生在讲堂上打开充沛评论,这也表现了“教师为主导,学生为主体”的新课改理念.有的学生或许选取了［0,π］作为正切函数的周期选取,这正是学生作图的真实性的表现.此刻,教师应调整方案,把课件中先作出［-,］内的图象,改为先作出［0,π］内的图象,再进行图象的平移,得到整个界说域内函数的图象,让学生调查考虑.最终由学生来判别终究选用哪个区间段内的函数图象既简略又能彻底表现正切函数的性质,让学生经过剖析得到先作区间(-,)的图象为好.这时条件成熟,教师引导学生来作正切函数的图象,如图2.依据正切函数的周期性,把图2向左、右扩展,得到正切函数y=tanx,x∈R,且x≠+kπ(k∈Z)的图象,咱们称正切曲线,如图3.图2 图3问题④,教师引导学生调查正切曲线,指点学生评论考虑,只需确认哪些点或线就能画出函数y=tanx,x∈(,)的简图.学生可看出有三个点很要害:(,-1),(0,0),(,1),还有两条竖线.因而,画正切函数简图的办法便是:先描三点(,-1),(0,0),(,1),再画两条平行线x=,x=,然后连线.教师要让学生着手画一画,这对往后解题很有协助.评论效果:①略.②正切线是AT.③略.④能,“三点两线”法.提出问题①请同学们仔细调查正切函数的图象特征,由数及形从正切函数的图象评论它的性质.②设问:每个区间都是增函数,咱们能够说正切函数在整个界说域内是增函数吗？请举一个比如.活动:问题①,从图中能够看出,正切曲线是被彼此平行的直线x=+kπ,k∈Z所离隔的无量多支曲线组成的.教师引导学生进一步考虑,这点反响了它的哪一性质——界说域；而且函数图象在每个区间都无限接近这些直线,咱们能够将这些直线称之为正切函数的什么线——渐近线；从y轴方向看,上下无限延伸,得到它的哪一性质——值域为R；每隔π个单位,对应的函数值持平,得到它的哪一性质——周期π;在每个区间图象都是上升趋势,得到它的哪一性质——单调性,单调增区间是(+kπ,+kπ),k∈Z,没有减区间.它的图象是关于原点对称的,得到是哪一性质——奇函数.经过图象咱们还能发现是中心对称,对称中心是(,0),k∈Z.问题②,正切函数在每个区间上都是增函数,但咱们不能够说正切函数在整个界说域内是增函数.如在区间(0,π)上就没有单调性.评论效果:①略.②略.使用示例例1 比较巨细.1.tan138°与tan143°；(2)tan()与tan().活动:使用三角函数的单调性比较两个同名三角函数值的巨细,能够先使用诱导公式将已知角化为同一单调区间内的角,然后再比较巨细.教师可放手让学生自己去探求完结,由学生类比正弦、余弦函数值的巨细比较,学生不难处理,首要是操练学生稳固本节所学的基础常识,加强类比思维的运用.解:(1)∵y=tanx在90°<x<180°上为增函数,∴由138°<143°,得tan138°<tan143°.2.∵tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan,tan()=-tan=-tan(3π+)=-tan.又0<<<,而y=tanx在(0, )上是增函数,∴tan<tan.∴-tan>-tan,即tan()>tan().点评:不要求学生强记正切函数的性质,只需记住正切函数的图象或正切线即可.例2 用图象求函数y=的界说域.活动:如图4,本例的意图是让学生了解运用正切曲线来解题.不足之处在于本例能够经过三角函数线来处理,教师在引导学生探求活动中,也应以两种办法提出处理方案,但要有侧要点,应表现函数图象使用的重要性.图4 图5解:由tanx-≥0,得tanx≥,使用图4知,所求界说域为［kπ+,kπ+)(k∈Z).点评:先在一个周期内得出x的取值规模,然后再加周期即可,亦可使用单位圆求解,如图5.本节的要点是正切线,但在往后解题时,学生哪种娴熟就用哪种.变式操练依据正切函数的图象,写出使下列不等式建立的x的调集.1.1+tanx≥0;(2)tanx+3＜0.解:(1)tanx≥-1,∴x∈［kπ-,kπ+),k∈Z;2.x∈［kπ-,kπ-),k∈Z.例3 求函数y=tan(x+)的界说域、周期和单调区间.活动:类比正弦、余弦函数,本例使用的是换元法,由于在研讨正弦、余弦函数的类似问题时现已用过换元法,所以这儿也就不必再介绍换元法,能够直接将x+作为一个全体.教师可让学生自己类比地探求,仅仅提示学生留意界说域.解:函数的自变量x应满意x+≠kπ+,k∈Z,即x≠2k+,k∈Z.所以函数的界说域是{x|x≠2k+,k∈Z}.由于f(x)=tan(x+)=tan(x++π)=tan[(x+2)+ ]=f(x+2),因而,函数的周期为2.由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,解得+2k<x<+2k,k∈Z.因而,函数的单调递加区间是(+2k,+2k),k∈Z.点评:同y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的周期性的研讨相同,这儿可引导学生探求y=Atan(ωx+φ)(ω>0)的周期T=.变式操练求函数y=tan(x+)的界说域,值域,单调区间,周期性.解:由x+≠kπ+,k∈Z可知,界说域为{x|x∈R且x≠kπ+,k∈Z}.值域为R.由x+∈(kπ-,kπ+),k∈Z可得,在x∈(kπ-,kπ+)上是增函数.周期是π,也可看作由y=tanx的图象向左平移个单位得到,其周期仍然是π.例4 把tan1,tan2,tan3,tan4依照由小到大的顺序排列,并说明理由.活动:引导学生使用函数y=tanx的单调性探求解题办法.也可使用单位圆中的正切线探求解题办法.但要提示学生留意本节中活动的定论:正切函数在界说域内的每个区间上都是增函数,但咱们不能够说正切函数在整个界说域内是增函数.学生或许的错解有:错解1:∵函数y=tanx是增函数,又1<2<3<4,∴tan1<tan2<tan3<tan4.错解2:∵2和3的终边在第二象限,∴tan2,tan3都是负数.∵1和4的终边分别在第一和第三象限,∴tan1,tan4都是正数.又∵函数y=tanx是增函数,且2<3,1<4,∴tan2<tan3<tan1<tan4.教师可放手让学生自己探求问题的解法.发现错解后不要直接纠正,当即给出正确解法,可再让学生评论剖析找犯错的原因.图6解法一:∵函数y=tanx在区间(,)上是单调递加函数,且tan1=tan(π+1),又<2<3<4<π+1<,∴tan2<tan3<tan4<tan1.解法二:如图6,1,2,3,4的正切函数线分别是AT1,AT2,AT3,AT4,∴tan2<tan3<tan4<tan1.点评:本例重在让学生弄清正切函数单调性问题,这归于学生易错点.把正切函数y=tanx的单调性简略地说成“在界说域内是增函数”是不对的.知能操练讲义本节操练1—5.回答:1.在x轴就任取一点O1,以O1为圆心,单位长为半径作圆,作垂直于x轴的直径,将⊙O1分红左右两个半圆,过右半圆与x 轴的交点作⊙O1的切线,然后从圆心O1引7条射线把右半圆分红8等份,并与切线相交,得到对应于,,,0,,,等角的正切线.相应地,再把x轴上从到这一段分红8等份.把角x的正切线向右平行移动,使它的起点与x轴上的点x重合,再把这些正切线的结尾用润滑的曲线连结起来,就得到函数y=tanx,x∈(,)的图象.点评:可类比正弦函数图象的作法.2.(1){x|kπ<x<+kπ,k∈Z};(2){x|x=kπ,k∈Z};(3){x| +kπ<x<kπ,k∈Z}.点评:只需依据正切曲线写出效果,并不要求解三角方程或三角不等式.3.x≠+,k∈Z.点评:可用换元法.4.(1) ;(2)2π.点评:可依据函数图象得解,也可直接由函数y=Atan(ωx+φ),x∈R的周期T=得解.5.(1)不是.例如0<π,但tan0=tanπ=0.(2)不会.由于关于任何区间A来说,假如A不含有+kπ(k∈Z)这样的数,那么函数y=tanx,x∈A是增函数;假如A至少含有一个+kπ(k∈Z)这样的数,那么在直线x=+kπ两边的图象都是上升的(随自变量由小到大).点评:了解正切函数的单调性.讲堂小结1.先由学生回忆本节都学到了哪些常识办法,有哪些启示、收成.本节课咱们是在研讨完正、余弦函数的图象与性质之后,研讨的又一个详细的三角函数,与研讨正弦、余弦函数的图象和性质有什么不同?研讨正、余弦函数,是由图象得性质,而这节课咱们从正切函数的界说动身得出一些性质,并在此基础上得到图象,最终用图象又验证了函数的性质.2.(教师指点)本节研讨的进程是由数及形,又由形及数相结合,也是咱们研讨函数的根本办法,特别是又运用了类比的办法、数形结合的办法、化归的办法.请同学们课后考虑总结:这种多视点调查、探求问题的办法对咱们往后学习有什么辅导意义？作业讲义习题1.4 A组6、8、9.规划感触1.本教案的规划布景刚刚学完正弦函数、余弦函数的图象与性质.因而教案的规划主线是一直捉住类比思维这条主线,让学生在稳固原有常识的基础上,经过类比,由学生自己来对新常识进行剖析、探求、猜测、证明,使新旧常识点有机地结合在一起,学生对新常识也较易承受.2.本教案规划的学习程序是:温故(相关常识预备)→新的学习目标与旧常识的联络→类比探求→处理问题→使用效果→概括总结→进一步的发散考虑→探究进步.。

高二数学(人教A版)必修4精品教案—1.4.3正切函数的性质与图像

1. 4.3 正切函数的性质与图象班级姓名学习目标：1、用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2、用正切函数图象解决函数有关的性质；3、理解并掌握作正切函数图象的方法；4、理解用函数图象解决有关性质问题的方法；教学重点：正切函数的性质与图象的简单应用. 教学难点：正切函数性质的深刻理解及其简单应用. 教学过程：知识探究（一）：正切函数的性质：思考1：正切函数的定义域是__________,思考2：根据诱导公式与周期函数的定义，你能判断正切函数是周期函数吗？若是，其最小正周期 T=_______思考3: 函数)82tan(π-=x y 的周期T=__ ,一般地，函数)0(),tan(>+=ωφωx y 的周期T=____.思考4：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？思考5：观察右图中的正切线,当角x 在（2,2ππ-）内增加时,正切函数值发生什么变化? 由此反映出一个什么性质?思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数在开区间（）（z k ∈）内都是(增、减)函数。

思考7：正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？T 1OxvAT 2O思考8：当x 大于2π-且无限接近2π-时，正切值如何变化？当x 小于2π且无限接近2π时, 正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么?知识探究（二）：正切函数的图象:思考1:类比正弦函数图象的作法,可以利用正切线作正切函数y=tanx, x ∈（2,2ππ-）的图象，具体应如何操作？思考2：右图中,直线x=2π-和x= 2π与正切函数的图象的位置关系如何？思考3：结合正切函数的周期性, 如何画出正切函数在整个定义域内的图象？思考4：正切函数y=tanx,x ∈R,x ≠2π+k π ，z x ∈ 的图象叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？思考5：根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于x 轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？应用示例例1 比较大小. (1)tan138°与tan143°； (2)tan(413π-)与tan(517π-).练习：比较大小. (1)tan1519°与tan1493°； (2)tan1175π与tan(1158π-).例2 求函数y=tan(2πx+3π)的定义域、周期和单调区间.变式训练求函数y=tan(x+4π)的定义域,值域,单调区间,周期性.课堂小结知识：正切函数的性质有哪些？正切函数的图象怎么画？能力：正切函数的性质和图象的应用及数形结合法。

高中人教版数学必修4学案：第1章 1.4.3 正切函数的性质与图象【含答案】

1.4.3 正切函数的性质与图象学习目标核心素养1.能画出正切函数的图象．(重点)2.掌握正切函数的性质．(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线．(易混点) 1.通过观察正切函数的图象获得正切函数性质的直观认识，提升学生直观想象素养.2.通过对正切函数性质的应用，提升学生数学运算素养.正切函数的图象与性质解析式 y ＝tan x图象定义域⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ∈R ，且x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 周期 π 奇偶性奇函数对称中心 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z 单调性在开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z 内都是增函数思考：正切函数图象的对称中心都在正切函数图象上吗？[提示] 不是，在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0中，当k 为偶数时，在函数图象上，当k 为奇数时，不在函数图象上．1．函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的单调增区间为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2，k ∈ZB.()k π，k π＋π，k ∈ZC.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4，k ∈Z D.⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z C [令k π－π2＜x ＋π4＜k π＋π2(k ∈Z )得k π－3π4＜x ＜k π＋π4(k ∈Z )，故单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－3π4，k π＋π4(k ∈Z )．] 2．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z[因为2x －π6≠k π＋π2，k ∈Z ，所以x ≠k π2＋π3，k ∈Z ，所以函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π3，k ∈Z.] 3．函数y ＝tan 3x 的最小正周期是． π3 [函数y ＝tan 3x 的最小正周期是π3.] 4．函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π5的对称中心是．⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z ) [令x －π5＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π5(k ∈Z )，∴对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π5，0(k ∈Z )．]有关正切函数的定义域、值域问题【例1】 (1)函数y ＝1tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＜x ＜π4，且x ≠0的值域是( ) A ．(－1,1) B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)(2)求下列函数的定义域：①y ＝11＋tan x；②y ＝lg(3－tan x )．思路点拨：(1)由x 范围求出tan x 的范围→ 求1tan x 的范围(2)①中注意分母不为零且y ＝tan x 本身的定义域； ②中注意对数大于零⇒从而得到定义域．(1)B [当－π4＜x ＜0时，－1＜tan x ＜0，∴1tan x ＜－1；当0＜x ＜π4时，0＜tan x ＜1，∴1tan x ＞1.即当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4时，函数y ＝1tan x 的值域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．](2)[解] ①要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎪⎨⎪⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .②因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .1．求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .2．解形如tan x ＞a 的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件．[跟进训练]1．求函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )的定义域．[解] 要使函数y ＝tan x ＋1＋lg(1－tan x )有意义，则⎩⎨⎧tan x ＋1≥0，1－tan x ＞0，即－1≤tan x ＜1.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上满足上述不等式的x 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－π4，π4.又因为y ＝tan x 的周期为π，所以所求x 的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－π4＋k π≤x ＜π4＋k π，k ∈Z. 正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性【例2】 (1)函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3的周期为．(2)已知函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3，则该函数图象的对称中心坐标为．(3)判断下列函数的奇偶性：①y ＝3x tan 2x －2x 4；②y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x .思路点拨：(1)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期T ＝π|ω|，也可以用定义法求周期．(2)形如y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的对称中心横坐标可由ωx ＋φ＝k π2，k ∈Z 求出． (3)先求定义域，看是否关于原点对称，若对称再判断f (－x )与f (x )的关系． (1)π2 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0(k ∈Z ) [(1)法一：(定义法)∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，即tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2＋π3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期是π2. 法二：(公式法)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的周期T ＝π2.(2)由x －π3＝k π2(k ∈Z )得x ＝k π2＋π3(k ∈Z )，所以图象的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π3，0，k ∈Z .] (3)[解]①定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝3(－x )tan 2(－x )－2(－x )4＝3x tan 2x －2x 4＝f (x )，所以它是偶函数．②定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π2，k ∈Z，关于原点对称， y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＋tan x ＝sin x ＋tan x ，又f (－x )＝sin(－x )＋tan(－x )＝－sin x －tan x ＝－f (x )，所以它是奇函数．1．函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)周期的求解方法． (1)定义法．(2)公式法：对于函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现． 2．判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法．先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f (－x )与f (x )的关系．提醒：y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )的对称中心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0，k ∈Z .[跟进训练]2．判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝tan 2x －tan xtan x －1；(2)f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ≠k π＋π2，k ∈Z ，tan x ≠1，得f (x )的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，不关于原点对称，所以函数f (x )既不是偶函数，也不是奇函数． (2)函数定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π－π4且x ≠k π＋π4，k ∈Z ，关于原点对称，又f (－x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －π4＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝－f (x )，所以函数是奇函数.正切函数单调性的应用[探究问题]1．正切函数y ＝tan x 在其定义域内是否为增函数？提示：不是．正切函数的图象被直线x ＝k π＋π2(k ∈Z )隔开，所以它的单调区间只在⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )内，而不能说它在定义域内是增函数．假设x 1＝π4，x 2＝54π，x 1<x 2，但tan x 1＝tan x 2.2．如果让你比较tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π3与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π5的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较．【例3】 (1)不通过求值，比较下列各组中两个三角函数值的大小： ①tan 13π4与tan 17π5； ②tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4与tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)求函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调区间．思路点拨：(1)把角化成同一单调区间上→ 根据正切函数单调性比较出大小(2)化为y ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4→→求出单调区间[解] (1)①因为tan 13π4＝tan π4， tan 17π5＝tan 2π5，又0＜π4＜2π5＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＜tan 2π5，即tan 13π4＜tan 17π5. ②因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＝－tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5＝－tan π5，又0＜π5＜π4＜π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以tan π4＞tan π5，所以－tan π4＜－tan π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π4＜tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－16π5.(2)y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝－3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，由－π2＋k π＜2x －π4＜π2＋k π，k ∈Z 得，－π8＋k 2π＜x ＜3π8＋k2π，k ∈Z ，所以y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＋k2π，3π8＋k 2π，k ∈Z .1．将本例(2)中的函数改为“y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4”，结果又如何？[解] 由k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，∴函数y ＝3tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π(k ∈Z )． 2．将本例(2)中函数改为“y ＝lg tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4”，结果又如何？[解] 因为函数y ＝lg x 在(0，＋∞)上为增函数，所以函数y＝lg tan x的单调递增区间就是函数y＝tan x(tan x＞0)的单调递增区间，令kπ＜2x－π4＜kπ＋π2(k∈Z)，得kπ2＋π8＜x＜kπ2＋3π8(k∈Z)，故y＝lg tan⎝⎛⎭⎪⎫2x－π4的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ2＋π8，kπ2＋3π8，k∈Z.1．求函数y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω≠0，且A，ω，φ都是常数)的单调区间的方法．(1)若ω＞0，由于y＝tan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kπ－π2＜ωx＋φ＜kπ＋π2，k∈Z，解得x的范围即可．(2)若ω＜0，可利用诱导公式先把y＝A tan(ωx＋φ)转化为y＝A tan[－(－ωx－φ)]＝－A tan(－ωx－φ)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．2．运用正切函数单调性比较大小的步骤．(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内．(2)运用单调性比较大小关系．提醒：y＝A tan(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)只有增区间；y＝A tan(ωx＋φ)(A＜0，ω＞0)只有减区间．1．正切函数的图象正切函数有无数条渐近线，渐近线方程为x＝kπ＋π2，k∈Z，相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．作正切曲线简图时，只需先作出一个周期中的两条渐近线x＝－π2，x＝π2，然后描出三个点(0,0)，⎝⎛⎭⎪⎫π4，1，⎝⎛⎭⎪⎫－π4，－1，用光滑的曲线连接得到一条曲线，再平移至各个单调区间内即可．2．正切函数的性质(1)正切函数y ＝tan x 的定义域是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z ，值域是R .(2)正切函数y ＝tan x 的最小正周期是π，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(Aω≠0)的周期为T ＝π|ω|.(3)正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上递增，不能写成闭区间．正切函数无单调减区间．1．下列说法正确的是( ) A ．正切函数的定义域和值域都是R B ．正切函数在其定义域内是单调增函数 C ．函数y ＝|tan x |与y ＝tan x 的周期都是π D ．函数y ＝tan|x |的最小正周期是π2C [y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以A 错；由正切函数图象可知B 错；画出y ＝tan x ，y ＝|tan x |和y ＝tan|x |的图象可知C 正确，D 错误，因为y ＝tan|x |不是周期函数．]2．在下列函数中同时满足：①在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递增；②以2π为周期；③是奇函数的是( )A ．y ＝tan xB ．y ＝cos xC ．y ＝tan x2D ．y ＝－tan xC [A ，D 的周期为π，B 中函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上递减，故选C.]3．函数y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π [如图，观察图象可知，y ＝|tan x |在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，3π2上的单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0和⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π.- 11 - ]4．求函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3的定义域、最小正周期、单调区间及其图象的对称中心．[解] ①由x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠2k π＋53π，k ∈Z . ②T ＝π12＝2π，∴函数的最小正周期为2π.③由k π－π2＜x 2－π3＜k π＋π2，k ∈Z ，得2k π－π3＜x ＜2k π＋5π3，k ∈Z ，∴函数的单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3， k ∈Z . ④由x 2－π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π＋2π3，k ∈Z ，∴函数图象的对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋2π3，0，k ∈Z .。