您的位置：360文档中心› 高二数学期中考试试题及答案

高二数学期中考试试题及答案

合集下载

2023-2024学年浙江省金华市一中高二上学期期中数学试题及答案

2023-2024学年浙江省金华市一中高二上学期期中数学试题及答案

金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 过点()0,2-且与直线230x y +-=垂直的直线方程为（ ）A. 220x y -+=B. 220x y ++=C. 220x y --= D. 220x y +-=2. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为 A. 4B. 5C. 6D. 83. 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.12B.C.D.4. “点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等”是“2a =-”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则a 的值为（ ）A. 2±B.C. ±D. 6. 已知数列{}n a 是公差不为0的无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S B. 在3202321,,,,232023SS S S ⋅⋅⋅中最大数是20232023S C. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S D. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是2023S 7. 设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC的距离小于a 近线斜率的取值范围是 （ ）的A. (1,0)(0,1)-B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (⋃D(,)-∞+∞ 8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A.B.C.D.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知双曲线22:13x C y -=，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 的焦距为4C. 双曲线C 的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x =10. 已知直线:10l ax y ++=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 过定点()0,1-B. 直线l 与直线10x ay --=不可能垂直C. 若点()0,1A 与点(),0Bb 关于直线l 对称，则实数a的值为D. 直线l 被圆22280x y y +--=11. 已知抛物线()2:20C y px p =>上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，点P 为直线2x =-上一.点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点．则（ ）A. 抛物线的方程为24y x = B. 直线AB 一定过抛物线的焦点C. 线段AB 长最小值为 D. OP AB⊥12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（ ）A 当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当1λ=时，△PBD 的面积为定值D. 当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =______．14. 已知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F △的面积是______．15. 已知球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球（点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为______．16. 设经过抛物线28y x =焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于,A B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ACB ∠=______．四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知动圆C ：()()()22220x m y m m m -+-=>.（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）若圆C 与圆E ：()22316x y -+=内切，求实数m 的值．18. 如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，,,23BF BA DAB AB AD π⊥∠==．的.（1）求证：BD FC ⊥；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．19. 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴相交于点,A B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：21k k -为定值；（2）过点A 作AD PB ⊥，垂足为D ，若AB 平分PAD ∠，求PAD 的面积．20. 正项数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N 都有()22112n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设nn n a b a t=+，试问是否存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列？若存在，求出所有满足要求的,t m ；若不存在，请说明理由．21. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD所成锐二面角的大的小．22. 已知点(),P x y 与定点()1,0M -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是12．（1）求点P 的轨迹E 的标准方程；（2）设点()1,0N ，若点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．金华一中2023学年第一学期期中考试高二数学一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 过点()0,2-且与直线230x y +-=垂直的直线方程为（ ）A. 220x y -+=B. 220x y ++=C. 220x y --=D. 220x y +-=【答案】C 【解析】【分析】设出该直线的方程，由点()0,2-在该直线上，即可得出该直线方程.【详解】设该直线方程为20x y m -+=由点()0,2-在该直线上，则2020m ⨯++=，即2m =-即该直线方程为220x y --=故选：C【点睛】本题主要考查了由两直线垂直求直线方程，属于中档题.2. 已知数列{}n a ,21a =,*12,n n a a n n ++=∈N ,则13a a +的值为 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8【答案】A 【解析】【分析】将n=1和n=2代入递推关系式，求解即可．【详解】数列{a n }，a 2＝1，*12,n n a a n n N ++=∈，可得a 1+a 2＝2，a 2+a 3＝4，解得a 1＝1，a 3＝3，a 1+a 3＝4．故选A ．【点睛】本题考查数列递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力.3. 若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.12B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据等边三角形边长相等的性质，建立a b 、的关系，从而求出离心率.【详解】如图，若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形，则2a b =，所以椭圆的离心率为e ====.故选：D.4. “点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=距离相等”是“2a =-”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式，并结合充分条件、必要条件的定义即可解答.【详解】若点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等，则2a =-或1a =-.∴点()()1,2,5,6A B -到直线:10l ax y ++=的距离相等”是“2a =-”的必要不充分条件.故选：B.5. 若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则a 的值为（ ）A. 2±B.C. ±D. 【答案】B 【解析】【分析】根据圆的性质，结合点到直线的距离公式进行求解即可.的【详解】圆224x y +=的圆心为()00，，半径2r =，若圆224x y +=上恰有三个点到直线:l y x a =+的距离等于1，则圆心为()00，到直线:l y x a =+的距离等于1，1=，解得a =故选：B.6. 已知数列{}n a 是公差不为0无穷等差数列，n S 是其前n 项和，若n S 存在最大值，则（ ）A. 在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S B. 在3202321,,,,232023SS S S ⋅⋅⋅中最大的数是20232023S C. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S D. 在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是2023S 【答案】A 【解析】【分析】根据题意，由条件可得0d <，由n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，2d 为公差的等差数列，即可判断AB ，由0d <可得在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是不确定的，即可判断CD .【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则0d ≠，由n S 存在最大值可知，0d <，因为()2111222n n n d d d S na n a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，则122n d d n a n S ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，所以数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，2d 为公差等差数列，且0d <，则n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是递减数列，所以在3202321,,,,232023S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是1S ，故A 正确，B 错误；在1232023,,,,S S S S ⋅⋅⋅中最大的数是不确定的，比如92n a n =-+，由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，可得7922n ≤≤，所以4n =，即4S 为最大值，故CD 错误；故选：A的的7. 设双曲线22221x y a b-=（a>0,b>0）的右焦点为F ，右顶点为A,过F 作AF 的垂线与双曲线交于B,C 两点，过B,C 分别作AC ，AB 的垂线交于点D.若D 到直线BC 的距离小于a 近线斜率的取值范围是 （ ）A. (1,0)(0,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞C. (⋃D. (,)-∞+∞ 【答案】A 【解析】【详解】由题意,根据双曲线的对称性知D 在x 轴上，设,0)Dx （，则由BD AB ⊥得：，因为D 到直线BC 的距离小于a +，所以，即01b a<<，所以双曲线渐近线斜率1,0)(0,1)bk a =±∈-⋃（，故选A ．8. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1B C 的中点，F 是棱11C D 上的动点，若点P 为线段1BD 上的动点，则PE PF +的最小值为（ ）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】连接1BC ，得出点,,P E F 在平面11BC D 中，问题转化为在平面内直线1BD 上取一点P ，求点P 到定点E 的距离与到定直线的距离的和的最小值问题，建立平面直角坐标系，问题转化为点E 关于直线1BD 到直线11C D 的距离，从而可得结果.【详解】如上图示，连接1BC 则11BC B C E = ，点,,P E F 在平面11BC D 中，且111BC C D ⊥，111C D =，1BC =，在Rt △11BC D 中，以11C D 为x 轴，1C B 为y 轴，建立平面直角坐标系，如下图示，则1(1,0)D ，B ，E ，设点E 关于直线1BD 的对称点为E '，而直线1BD为1x =①，所以EE k '=，故直线EE '为y x =+②，联立①②，解得13x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩EE '与1BD的交点1(3，所以对称点2(3E '，则PE PF PE PF E F ''+=+≥，最小值为E '到直线11C D故选：A.【点睛】关键点点睛：将立体几何问题转化为平面问题，结合将军饮马模型，求点到直线上动点距离最小.二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9. 已知双曲线22:13x C y -=，则下列结论正确的是（ ）A. 双曲线CB. 双曲线C 的焦距为4C. 双曲线C 的虚轴长为1D. 双曲线C的渐近线方程为x =【答案】BD 【解析】【分析】根据双曲线方程可确定,,a b c 的值，即可求得双曲线离心率、焦距、虚轴长以及渐近线方程，即得答案.【详解】由题意知双曲线22:13x C y -=，设双曲线实半轴长为a ，虚半轴长为b ，焦距为2c，则1,2a b c ====，故双曲线C的离心率为c a ==，A 错误；双曲线焦距为24c =，B 正确；双曲线的虚轴长为 22b =，C 错误；双曲线C的渐近线方程为b y x a =±=，即x =，D 正确，故选：BD10. 已知直线:10l ax y ++=，则下列说法正确的是（ ）A. 直线l 过定点()0,1-B. 直线l 与直线10x ay --=不可能垂直C. 若点()0,1A 与点(),0Bb 关于直线l 对称，则实数a的值为D. 直线l 被圆22280x y y +--=【答案】AC 【解析】【分析】对于A ，当0x =时，1y =,对于B ，当0a =时，结合直线的平行条件，即可判断，对于C ，求出点()0,1A 与点(),0Bb 的直线方程，根据对称，即可求出，对于D ，直线l 被圆22280x y y +--=截得的最短弦长，根据几何关系和勾股定理，即可求出【详解】解：对于A ，当0x =时，1y =，故A 正确，对于B ，当0a =时，直线l 与直线10x ay --=互相垂直,故B 错误，对于C ，由题意知直线AB 与直线l 垂直,且线段AB 的中点在直线l 上，所以11022b a ⨯++=，且()11a b ⎛⎫-⨯-=- ⎪⎝⎭，解得a =，故C 正确，对于D ，圆22280x y y +--=的圆心为()0,1，半径为3，当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆22280x y y +--=截得的弦长最短，此时圆心()0,1到直线l的距离2d ，解得0a =，所以直线l 被圆22280x y y +--=截得的最短弦长为=，故D 错误.故选：AC11. 已知抛物线()2:20C y px p =>上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，点P 为直线2x =-上一点，过点P 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,,A B O 为坐标原点．则（ ）A. 抛物线的方程为24y x = B. 直线AB 一定过抛物线的焦点C. 线段AB长的最小值为 D. OP AB⊥【答案】ACD 【解析】【分析】根据抛物线的定义，求得抛物线的方程，可判定A 正确；设(2,)P m -，得出PA 和PB 的方程，联立方程组，结合Δ0=，得到12,k k 是方程2210k km +-=的两个不等式的实数根，再由韦达定理和1AB OP k k ⋅=-，可判定D 正确；由2AB k m=，得出直线AB ，结合直线的点斜式的形式，可判定B 不正确，再由圆锥曲线的弦长公式，结合二次函数的性质，可判定C 正确.【详解】由抛物线2:2C y px =，可得焦点坐标(,0)2p F ，准线方程为2p x =-，因为抛物线C 上存在一点()2,E t 到其焦点的距离为3，由抛物线的定义可得232p+=，可得2p =，所以抛物线的方程为24y x =，所以A 正确；设(2,)P m -，显然直线PA 的斜率存在且不为0，设斜率为1k ，可得PA 的方程为1(2)y m k x -=+，联立方程组12(2)4y m k x y x-=+⎧⎨=⎩，整理得2114840k y y k m -++=，因为PA 是抛物线的切线，所以()211(4)4840k k m ∆=--+=，即211210k k m +-=，且点A 的纵坐标为11422k k --=，代入抛物线方程，可得A 横坐标为211k ，即21112(,A k k ，设直线PB 的斜率存在且不为0，设斜率为2k ，同理可得：222210k k m +-=，且22212(,)B k k ，所以12,k k 是方程2210k km +-=的两个不等式的实数根，所以12121,22m k k k k +=-=-，因为2112122221221222()()(1112222AB OPk k k k m m m k k m k k k k --⨯⋅=⋅-=⋅-=⋅-=-+--，所以OP AB ⊥，所以D 正确；由OP AB ⊥，且2OP m k =-，可得2AB k m =，则直线AB 的方程为211221(y x k m k -=-，即22111222mk y mk k x -=-，又由211210k k m +-=，可得21112k m k =-，所以3221111(2)2(12)22k k y k k x ---=-，即211(12)2(2)k y k x -=-，所以直线AB 一定过定点(2,0)，该点不是抛物线的焦点，所以B 不正确.由直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为2x my =+，且1122(,),(,)A x y B x y ，联立方程组224x my y x=+⎧⎨=⎩，整理得2480y my --=，所以12124,8y y m y y +==-，则2AB y =-====≥0m =时，等号成立，即AB的最小值为，所以C 正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：解决直线与抛物线有关问题的方法与策略：1、涉及抛物线的定义问题：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．2、涉及直线与抛物线综合问题：通常设出直线方程，与抛物线方程联立方程组，结合根与系数的关系，合理进行转化运算求解，同时注意向量、基本不等式、函数及导数在解答中的应用.的12. 在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则下列说法正确的是（ ）A. 当λμ=时，1A P ∥平面1ACD B. 当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C. 当1λ=时，△PBD 的面积为定值D. 当1λμ+=时，直线1A D 与1D P 所成角的取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】对于A 选项，确定P 点在面对角线1BC 上，通过证明面面平行，得线面平行；对于B 选项，确定P 点在棱11B C 上，由等体积法，说明三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于C 选项，确定P 点在棱1CC 上，PBD △的底BD 不变，高PE 随点P 的变化而变化；对于D 选项，通过平移直线1A D ，找到异面直线1A D 与1D P 所成的角，在正11D B C △中，确定其范围.【详解】对于A 选项，如下图，当λμ=时，P 点在面对角线1BC 上运动，又P ∈平面11A C B ，所以1A P ⊂平面11A C B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，则四边形11ABC D 为平行四边形，所以，11//AD BC ，1AD ⊄ 平面11A BC ，1BC ⊂平面11A BC ，1//AD ∴平面11A BC ，同理可证//AC 平面11A BC ，1AD AC A = ，所以，平面11//A C B 平面1ACD ，1A P ⊂ 平面11A BC ，所以，1//A P 平面1ACD ，A 正确；对于B 选项，当1μ=时，如下图，P 点在棱11B C 上运动，三棱锥1P A BC -的体积111113P A BC A BC P PBC V V S B A --==⋅⋅为定值，B 正确；对于C 选项，当1λ=时，如图，P 点在棱1CC 上运动，过P 作PE BD ⊥于E 点，则12PBD S BD PE =⋅△，其大小随着PE 的变化而变化，C 错误；对于D 选项，如图所示，当1λμ+=时，P ，C ，1B 三点共线，因为11//A B CD 且11A B CD =,所以四边形11A B CD 为平行四边形，所以11//A D B C ，所以11D PB ∠或其补角是直线1A D 与1D P 所成角，在正11D B C △中，11D PB ∠取值范围为,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：ABD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13. 已知等差数列{}n a 满足25815a a a ++=，则5a =______．的【答案】5【解析】【分析】根据等差数列下标和性质计算可得.【详解】因为25815a a a ++=，且2852a a a +=，所以5315a =，解得55a =.故答案为：514. 已知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，点P 在该椭圆上，若122PF PF -=，则12PF F △的面积是______．【解析】【分析】利用椭圆定义结合题设求得12,PF PF ，可判断212PF F F ⊥，即可求得12PF F △的面积.【详解】由题意知12,F F 是椭圆22142x y +=的两个焦点，则2,a b c ====不妨取12(F F ，则12||F F =又1224PF PF a +==，结合122PF PF -=可得123,1PF PF ==，则2221212||PF PF F F =+，即212PF F F ⊥，故12212||11||122PF F S PF F F =⨯⨯⋅==△，15. 已知球O 是直三棱柱111ABC A B C -的内切球（点O 到直三棱柱111ABC A B C -各面的距离都相等），若球O 的表面积为16π，ABC 的周长为4，则三棱锥1A ABC -的体积为______．【答案】163##153【解析】【分析】由题意求出直棱柱内切球半径，即可求得棱柱的高，将直棱柱分割为5个小棱锥，根据等体积法求得棱柱的底面积，再根据棱锥的体积公式即可求得答案.【详解】设直三棱柱111ABC A B C -的高为h ，设,,AB c BC a AC b ===，内切球的半径设为r ，则2h r =，球O 的表面积为16π，则216π4πr =，则2,4r h ==；又ABC 的周长为4，即4a b c ++=，连接111,,,,,OA OB OC OA OB OC ，则直三棱柱111ABC A B C -被分割为5个小棱锥，即以内切球球心为顶点，以三棱锥的两个底面和三个侧面为底面的5个棱锥，根据体积相等可得111123333ABC ABC r S h ahr bhr chr S =+++⨯⋅⋅ ，即()44383ABC ABC S a b c S =+++ ，即得4ABC S = ，故三棱锥1A ABC -的体积为111644333ABC V S h ==⨯=⋅⨯ ,故答案为：16316. 设经过抛物线28y x =焦点F 且斜率为1的直线l ，与抛物线交于,A B 两点，抛物线准线与x 轴交于C 点，则cos ACB ∠=______．【答案】13【解析】【分析】得到直线l 的方程为2y x =-，联立抛物线方程，求出,A B 的坐标，得到,,AC BC AB ，利用余弦定理求出答案.【详解】由题意得()2,0F ，()2,0C -，直线l 的方程为2y x =-，联立28y x =得，21240x x -+=，设()()1122,,,A x y B x y ，不妨设A 在第一象限，解得1266x x =+=-故1244y y =+=-，故((64,64A B ++--，故AC ==，BC ==12416AB x x =++=，由余弦定理得2221cos 23AC BC ABACB AC BC+-∠===⋅.故答案为：13四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 已知动圆C ：()()()22220x m y m m m -+-=>.（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程；（2）若圆C 与圆E ：()22316x y -+=内切，求实数m 的值．【答案】（1）0x =或34y x =（2）m =【解析】【分析】（1）2m =时圆心为()2,4，半径为2．当过原点的直线斜率不存在时恰好与此圆相切，此时切线方程为0x =；当过原点的直线斜率存在时设直线方程为y kx =，当直线与圆相切时圆心()2,4到直线y kx =的距离等于半径2，可求得k 的值，从而可得切线方程．（2）圆C 的圆心(),2C m m ，半径为m ；圆E 的圆心()3,0E ，半径为4．当两圆内切时两圆心距等于两半径的差的绝对值，从而可得m 的值．【详解】（1）22:(2)(4)4C x y -+-=当直线l 的斜率不存在时，l 方程为0x =,当直线l 的斜率存在时,设l 方程为y kx =，由题意得32,4d k ∴=所以l 方程为34y x =.（2）(,2),(3,0)C m m E ,由题意得4m CE -==两边平方解得m =.18. 如图，ABCD 为平行四边形，BCEF 是边长为1的正方形，,,23BF BA DAB AB AD π⊥∠==．（1）求证：BD FC ⊥；（2）求直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2【解析】【分析】（1）要证BD FC ⊥，转化只需证明BD ⊥平面BCEF ，只需证明BD BC ⊥、BD BF ⊥即可；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DFC 的一个法向量和向量DE 的坐标，转化为利用向量DE和法向量所成的角，即可求解直线DE 与平面DFC 所成角的正弦值．【小问1详解】因为60,2DAB AB AD ∠=︒=，由余弦定理得BD =，从而222BD AD AB +=，∴BD AD ⊥，又//AD BC ，故BD BC ⊥．又,BF BA BF BC ⊥⊥，,,BA BC B BA BC =⊂ 平面ABCD ，所以BF ⊥底面ABCD ，而BD ⊂底面ABCD ，可得BD BF ⊥，因为,,BF BC B BF BC ⋂=⊂平面BCEF ，∴BD ⊥平面BCEF ，FC⊂平面BCEF ，故BD FC ⊥.如图建立空间直角坐标系B xyz -，则(1,0,0),(0,0,1),(1,0,1)C D F E，()()()1,,,,01,01,DF FC DE =-=-=，设平面DFC 的法向量为(,,)n x y z =，则n DF z n FC x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，可取n = ， 设直线DE 与平面DFC 所成的角为θ．故|sin |cos |||,||DE n DE nn DE θ⋅====⨯.19. 如图，已知抛物线21y x =-与x 轴相交于点,A B 两点，P 是该抛物线上位于第一象限内的点．（1）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求证：21k k -为定值；（2）过点A 作AD PB ⊥，垂足为D ，若AB 平分PAD ∠，求PAD 的面积．【答案】（1）证明见解析 （2）1+【解析】【分析】（1）设点P 的坐标为()2,1P t t -，再利用两点间的斜率公式即可证明.（2）由AB 平分PAD ∠，可知1AD k k =-，再由AD PB ⊥求出P ，再利用AD PB 、相交求出D ，即可求出PAD 的面积.由题意得点,A B 的坐标分别为()()1,0,1,0A B -．设点P 的坐标为()2,1P t t -，且1t >，则2212111,111t t k t k t t t --==-==++-，所以212k k -=为定值．【小问2详解】由直线,PA AD 的位置关系知：11AD k k t =-=-．因为AD PB ⊥，所以()()2111AD k k t t ⋅=-+=-，解得t =，因为P是第一象限内的点，所以t =，则)P．联立直线PB 与AD的方程(()(()1111y x y x ⎧=+-⎪⎨=-+⎪⎩，解得D ．所以PAD的面积112P D S AB y y =⋅⋅-=20. 正项数列{}n a 中，11a =，对任意*n ∈N 都有()22112n n n n a a a a ++-=+．（1）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）设nn n a b a t=+，试问是否存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列？若存在，求出所有满足要求的,t m ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21n a n =-，2n S n =（2）存在，27t m =⎧⎨=⎩或35t m =⎧⎨=⎩或54t m =⎧⎨=⎩【解析】【分析】（1）利用平方差公式得到12n n a a +-=，从而判断得{}n a 是等差数列，从而利用公式法即可得解；（2）假设存在，利用中等中项公式即可得解.因为()22112n n n n a a a a ++-=+，所以()()()1112n n n n n n a a a a a a ++++-=+，因为0n a >，所以12n n a a +-=，又11a =，数列{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列．所以{}n a 的通项公式为21n a n =-，前n 项和()21212n n n S n +-==.【小问2详解】存在正整数,t m ，使得()12,,3m b b b m ≥成等差数列，由（1）得2121n n b n t-=-+，假设存在正整数,t m ，传得()12,,3m b b b m ≥成等差数列，则122m b b b +=，即12161213m t m t t -+=+-++，当1t =0=，显然不成立，所以1t ≠，得314311t m t t +==+--，*4,,1t m t ∈∴-N 为整数，10t ->，故11,2,4t -=，即2,3,5t =，对应的7,5,4m =，所以存在满足要求的,t m ，27t m =⎧⎨=⎩或35t m =⎧⎨=⎩或54t m =⎧⎨=⎩.21. 在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===E 、F 分别为PD 、PB 的中点．（1）求证：//CF 平面PAD ；（2）若直线PA 与平面CEF 的交点为G ，且1PG =，求截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小．【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】【分析】（1）先利用中位线判定四边形QFCD 是平行四边形，得到线线平行//FC QD ，再利用线面平行的判定定理即证结果；（2）先找到点G ，利用线面平行的性质定理//EG DQ ，再建立空间直角坐标系写点坐标，计算两个平面的法向量，计算夹角余弦即得结果.【详解】解：（1）取PA 的中点Q ，连接QF 、QD ，∵F 是PB 的中点，∴//QF AB 且12QF AB =，∵底面ABCD 为直角梯形，90CDA BAD ∠=∠=︒，2AB AD DC ===//CD AB ，且12CD AB =，∴//QF CD 且QF CD =，∴四边形QFCD 是平行四边形，∴//FC QD ，又⊄FC平面PAD ，QD ⊂平面PAD ，∴//FC 平面PAD ．（2）方法一：取PC 的中点M ，连接AC 、EM 、FM 、QM ，QM EF N ⋂=，连接CN 并延长交PA 于G ，已知1PG =．∵//FC 平面PAD ，且平面CEGF ⋂平面APD =EG ，∴//CF EG ，又//CF DQ ，∴//EG DQ ，建立如图所示直角坐标系，()0,0,0A，()0,B，()C，()D，)2E，()2F ，则平面ABCD 的法向量为()10,0,1n =，()2CE =，()2CF =- ，设平面CEF 的法向量为()2,,n x y z =，则有2200CE n CF n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020z z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，即z =，则1x =，1y =，即(2n =．∴设两个法向量1n u r 、2n u u r 的夹角为θ，则1212cos n n n n θ⋅===⋅ ，即两个法向量的夹角为45︒．∴截面CEF 与底面ABCD 所成锐二面角的大小为45︒．【点睛】本题考查了空间中线面平行的判定和二面角的向量求法，属于中档题.22. 已知点(),P x y 与定点()1,0M -的距离和它到定直线4x =-的距离的比是12．（1）求点P 的轨迹E 的标准方程；（2）设点()1,0N ，若点,A C 是曲线E 上两点，且在x 轴上方，满足//AM NC ，求四边形AMNC 面积的最大值．【答案】（1）22143x y +=（2）3【解析】【分析】（1）根据题意设 ，然后根据题中的几何条件得出方程，从而求解出轨迹方程；（2）根据题意设出直线，求出直线与椭圆相交弦长，并结合点到直线距离知识从而求解.【小问1详解】12=，整理化简得，223412x y +=，所以：点P 的轨迹E 的方程为：22143x y +=.【小问2详解】设O 为坐标原点，连接CO ，延长交椭圆E 于点B ，连接,,BM AN CM ，由椭圆对称性可知：OC OB =，又OM ON =，所以CMBN 为为平行四边形，所以：//,CN BM CN BM =，则：BOM CON S S = ，且,,A M B 三点共线，所以：四边形AMNC 的面积ACM COM CON ACM COM BCM ABC S S S S S S S S =++=++= ，设直线()()()11221:1,,,,0AB x my A x y B x y y =->，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得：()221212226934690,,3434m m y my y y y y m m +--=∴+==-++，所以：()2212134m AB m +===+，又//AM NC ，所以：点C 到直线AB 的距离即为点N 到直线AB的距离，因为：点N 到直线AB 的距离d =，所以12S AB d =⋅==设：234m t +=，则：24,43t m t -=≥，所以：S ====又因为：114t≤，所以当114t =时，即0m =时，四边形AMNC 面积取得最大值，最大值为3．椭圆联立求出弦长，然后再结合基本不等式求解出最值.。

2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案

2024高二数学期中考试题及答案一、选择题（每小题3分，共计60分）1. 已知函数f(x)=2x^3-3x^2-12x+5，求f(-1)的值是多少？A) -9 B) -7 C) 7 D) 92. 若集合A={1,2,3,4}，集合B={2,3,4,5}，则A∪B的元素个数是多少？A) 4 B) 5 C) 7 D) 83. 设函数f(x)=4x-1，g(x)=2x+3，求满足f(g(x))=1的x的值。

A) 0 B) -1 C) 1 D) 24. 在等差数列an中，若a1=3，d=4，an=19，则n的值是多少？A) 4 B) 5 C) 6 D) 75. 已知直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度是多少？A) 5 B) 7 C) 25 D) 49二、填空题（每小题4分，共计40分）1. 若集合A={1,2,3,4,5}，集合B={4,5,6,7}，则A∩B的元素个数是_________。

2. 设函数f(x)=3x+2，则f(-1)的值是_________。

3. 在等差数列an中，若a1=2，d=3，an=23，则n的值是_________。

4. 男生与女生的比例是3:5，班级总人数为80，女生人数是_________。

5. 若正方形的边长为x+2，其面积是_________。

6. 已知平行四边形的底边长为5，高为3，其面积是_________。

7. 若正方形的对角线长为10，边长是_________。

8. 设函数f(x)=x^2+2x-1，g(x)=x-1，则f(g(2))的值是_________。

9. 若直角三角形的两条直角边分别为6和8，斜边的长度是_________。

10. 设集合A={a,b,c}，集合B={c,d,e}，则A×B的元素个数是_________。

三、解答题（共计40分）1. 若函数f(x)满足f(2x-1)=2x^2-2x，则求f(x)的表达式。

2. 已知数列{an}的通项公式为an=n^2-3n-4，求数列{an}的首项和前6项的和。

2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案

2023-2024学年北京通州区高二(上)期中数学试题和答案

2023北京通州高二（上）期中数 学本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 直线20x y -+=的倾斜角为（ ）A.π4B.π3C.2π3D.3π42. 已知()2,3,1A --，()6,5,3B -，则AB =（ ）A. B. C. D. 123. 已知()2,3,1a =-，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，则()a b c ⋅+ 等于（ ）A. -4B. -6C. -7D. -84. 已知圆1C ：222880x y x y +++-=，圆2C ：()()222210x y -+-=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（ ）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内含5. 设直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=.则“1a =”是“12l l //”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6. 已知ABCD 为矩形，4,1,AB AD ==点P 在线段CD 上，且满足AP BP ⊥，则满足条件的点P 有（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 4个7. 如图，四面体ABCD 中，AB a=，AC b = ，AD c = ，M 为BD 的中点，N 为CM 的中点，则AN =（ ）A. 111444a b c ++B. 111442a b c ++C. 111222a b c ++ D. 111424a b c ++ 8. 在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）ABCD 中，M ，N 分别为BC ，AD 的中点，则AM 和CN 夹角的余弦值为（ ）A.23C.13D. 23-9. 如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，4AB AD ==，1AA =，60BAD ∠=︒，1145DAA BAA ∠=∠=︒，AC 与BD 相交于点O .则1OA 的长为（ ）B. 2C. D. 10. 过直线1y x =-上一点P 作圆()2252x y -+=的两条切线1l ，2l ，切点分别为A ，B ，当直线1l ，2l 关于1y x =-对称时，线段PA 的长为（ ）A. 4B. D. 2第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 已知直线经过点A(0,4)和点B（1，2），则直线AB 的斜率为_____________.12. 在正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，则直线1AA 到平面11BB C C 的距离为_______13. 在空间直角坐标系Oxyz 中，已知()2,0,0AB = ，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = .则CD 与CB的夹角的余弦值为___________；CD 在CB的投影向量a = ___________.14. 若直线y x b =+与曲线y =恰有一个公共点，则实数b 的一个可能取值是_________.15. 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈.给出下列四个结论：①所有满足条件的点P 组成的区域面积为1；②当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值；③当1λ=时，点P 到1A B 距离的最小值为1；④当12μ=时，有且仅有一个点P ，使得1A B ⊥平面1AB P .则所有正确结论的序号为__________.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 已知直线1:280l x y +-=，直线2:20l x y -+=，设直线1l 与2l 的交点为A ，点P 的坐标为()2,0.（1）求点A 的坐标；（2）求经过点P 且与直线1l 平行的直线方程；（3）求以AP 为直径的圆的方程.17. 已知直线10x y -+=，圆22:420C x y x y m +--+=.（1）若直线与圆相交，求实数m 的取值范围；（2）在（1）的条件下，设直线与圆交于A ，B 两点.（i ）求线段AB 的垂直平分线的方程；（ii ）若AB =m 的值.18. 如图，在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，平面ABFE 平面CDEF EF =，AD ED ⊥.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.（1）求证：//CD 平面ABFE ；（2）若1EF ED ==，2CD EF =，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求平面ADE 与平面BCF 夹角的大小.条件①：CD EA ⊥；条件②：CF =.19. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点.（1）求证：,,,E F G H 四点共面；（2）求1B D 与平面EFGH 所成角的正弦值；（3）求点1B 到平面EFGH 的距离.20. 已知四边形ABCD 为正方形，O 为AC ，BD 的交点，现将三角形BCD 沿BD 折起到PBD 位置，使得PA AB =，得到三棱锥P ABD -.（1）求证：平面PBD ⊥平面ABD ；（2）棱PB 上是否存在点G ，使平面ADG 与平面ABD ？若存在，求PG GB；若不存在，说明理由.21. 长度为6的线段PQ ，设线段中点为G ，线段PQ 的两个端点P 和Q 分别在x 轴和y 轴上滑动.（1）求点G 的轨迹方程；（2）设点G 的轨迹与x 轴交点分别为A ，B （A 点在左），与y 轴交点分别为C ，D （C 点在上），设H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，直线HB 与直线AD 交于点M ，直线CH 与直线=3y -交于点N .试判断直线MN 与BD 的位置关系，并证明你的结论.参考答案第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 【答案】A【分析】根据解析式可得直线斜率为1k =，再由倾斜角与斜率之间的关系可得π4θ=.【详解】设直线的倾斜角为θ，将直线20x y -+=化为斜截式可得2y x =+，即直线斜率为1k =；所以tan 1k θ==，又[)0,πθ∈，所以π4θ=.故选：A 2. 【答案】D【分析】由空间向量模长的坐标表示代入计算即可求得结果.【详解】由()2,3,1A --，()6,5,3B -可得()8,8,4AB =-，所以12AB == .故选：D 3. 【答案】B【分析】根据空间向量的坐标运算法则进行运算即可.【详解】因为()2,3,1a =- ，()1,3,0b =，()0,0,1c = ，所以(1,3,1)b c +=，则()21(3)3116a b c ⋅+=⨯+-⨯+⨯=-，故选：B 4. 【答案】C【分析】依题意将圆的一般方程化为标准方程求出两圆圆心和半径，比较圆心距与两半径之差、之和的关系即可得出结论.【详解】根据题意将1C 化为标准方程可得()()221425x y +++=，即圆心()11,4C --，半径15r =；由()()222210x y -+-=可知圆心()22,2C ，半径2r =；此时圆心距为12C C ==，121255r r r r +=+-=-；显然1212122r r C C r r -+<<，即两圆相交.故选：C 5. 【答案】C【分析】求出12l l //时a 的值，即可判定.【详解】因为直线1l ：240ax y +-=，2l ：()120x a y +++=，故12l l //时，有(1)20a a +-=，解得1a =，或者2a =-，当1a =时，1l ：240x y +-=，2l ：220x y ++=，12l l //；当2a =-时，1l ：2240x y -+-=，即20x y -+=，2l ：20x y -+=，则两直线重合，故12l l //时，1a =，则“1a =”是“12l l //”的充要条件，故选：C.6. 【答案】C【分析】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系,设出P 点坐标，算出,AP BP 坐标，由AP BP ⊥得到0AP BP =，构建方程求解即可.【详解】以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，可得()()0,0,4,0A B ,因为点P 在线段CD 上，所以可设()(),1,04P t t ≤≤，所以()(),1,4,1AP t BP t ==-,又AP BP ⊥，所以0AP BP =，可得4t =()410t t -+=，解得；2t =±，即满足条件的点P 有2个.故选：C.7. 【答案】D【分析】利用空间向量的线性运算，以,,a b c 为基底表示出向量AN即可.【详解】由题可知AN AM MN +=，由M 为BD 的中点，N 为CM 的中点可得()12AM MN AB AD NC +=++，即()()()111222AN AB AD NC AB AD NA AC a c NA b ++=+++=+=++，即()12AN a c NA b =+++ ，所以()122AN a c b =++，即111424AN a b c =++ .故选：D 8. 【答案】A【分析】根据正四面体性质取BN 的中点为P ，即可知AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角,计算出各边长利用余弦定理即可求得结果.【详解】连接BN ，取BN 的中点为P ，连接,AP MP ，如下图所示：由正四面体的棱长为1可得AM CN BN ===又,M P 分别是,BC BN 的中点，所以//MP CN，且12MP CN ==所以AMP ∠即为异面直线AM 和CN 的夹角的平面角，又易知BN AN ⊥，且12PN BN ==AP ===因此337241616cos 3AMP +-∠==，即AM 和CN 夹角的余弦值为23.故选：A 9. 【答案】B【分析】把111122OA AA AB AD =--两边平方并展开，根据向量数量积的定义计算即可.【详解】因为1111122OA AA AO AA AB AD =-=--,所以221111||22OA AA AB AD =-- 22111111442AA AB AD AA AB AA AD AB AD=++-⋅-⋅+⋅11844444422=++--⨯⨯⨯4=,则12OA =，即1OA 的长为2,故选：B.10. 【答案】C【分析】根据题意画出图形，观察图形可知圆心与点P 的连线垂直于直线1y x =-，利用这一关系即可求得切线段的长.【详解】如图所示，圆心(5,0)C ,连接CP ,因为直线1l ，2l 关于直线1y x =-对称，所以CP 垂直于直线1y x =-，故CP而||AC =,则PA ==,故选：C.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11. 【答案】2-【详解】由两点间斜率计算公式可得42201k -==--，故答案为2-.12. 【分析】先作出直线1AA 上的点到平面11BB C C 的垂线段，然后利用勾股定理求出垂线段的长度即可.【详解】在正三棱柱111ABC A B C -中，在底面ABC 内作AD BC ⊥，因为平面11BB C C ⊥底面ABC ，平面11BB C C 底面ABC BC =，所以AD ⊥平面11BB C C ，因为11AA CC ∥，1AA ⊄平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以1AA ∥平面11BB C C ，所以AD 即为直线1AA 到平面11BB C C 的距离，因为ABC 为等边三角形，且2AB =，所以直线1AA 到平面11BB C C 的距离为AD ==.13. 【答案】 ①. 12 ②. ()1,1,0-【分析】先根据空间向量的坐标运算求出CD 与CB的坐标，然后由向量夹角的运算公式和投影向量的计算公式即可求出结果.【详解】因为()2,0,0AB =，()0,2,0AC = ，()0,0,2AD = ，所以()0,2,2CD AD AC =-=- ，()2,2,0CB AB AC =-=-，所以1cos ,2CD CB CD CB CD CB 〈〉===，CD 在CB的投影向量为()cos ,1,1,0CB CD CD CB CB〈〉=-.故答案为：12；()1,1,0-.14. 【答案】1-（答案不唯一）【分析】画出图象，结合图象确定一个公共点时的位置，求出相应的b 的值，数形结合可得答案.【详解】曲线y =1的圆的上半部分，如图所示，有图可知，当直线y x b =+在2l 和3l 之间移动或与半圆相切，即处于1l 的位置时，直线与圆恰好有一个公共点，当直线y x b =+在3l 时，经过点(1,0)，所以1b =-，当直线y x b =+在2l 时，经过点()1,0-，所以1b =，1=，所以b =，或者b =（舍），故b =或者11b -≤<.故答案为: 1.-15. 【答案】①②③【分析】对于①，根据条件得点P 在正方形11BCC B 内，即可判断；对于②，点P 在线段11B C 上，从而点P 到平面1A BC 的距离为定值，1A BC S △为定值，从而三棱锥1P A BC -的体积为定值；对于③，点P 在线段1CC 上，当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，从而判断；对于④，由题点P 在线段EF 上，当1A B ⊥平面1AB P 时，可得1//AE AB ，与1AE AB A ⋂=矛盾，从而即可判断.【详解】如图所示，对于①，因为1BP BC BB λμ=+ ，[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，所以点P 在正方形11BCC B 内（包括正方形），而正方形11BCC B 的面积为1，故①正确；对于②，1μ=时，1BP BC BB λ=+ ，所以1111,BP BB BC B P BC B C λλλ-=== ,故点P 在线段11B C 上，由题易得11//B C 平面1A BC ,所以11B C 上的点到平面1A BC 的距离都相等，又1112A BC S == 所以三棱锥1P A BC -的体积为定值，故②正确；对于③，1λ=时，1BP BC BB μ=+ ，所以111,BP BC BB CP BB CC μμμ-=== ,所以点P 在线段1CC 上，连接BP ,由题意可得，BC ⊥平面11ABB A ,1A B ⊂平面11ABB A ,1BC A B ⊥,当点P 与C 重合时，BP 即为P 到1A B 距离的最小值为1，故③正确；对于④，当12μ=时，112BP BC BB λ=+，取1BB 的中点E ,1CC 的中点F ,则点P 在线段EF 上，若1A B ⊥平面1AB P ，则AP ⊂平面1AB P ,必有1A B AP ⊥,因为PE ⊥平面11ABB A ，1A B ⊂平面11ABB A ，所以1PE A B ⊥,AP PE P ⋂=,所以1A B ⊥平面APE ，则有1A B AE ⊥,又11A B AB ⊥,所以1//AE AB ,与1AE AB A ⋂=矛盾，故不存在满足题意的点，④错误，故答案为：①②③.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.16. 【答案】（1）()2,4（2）240x y +-=（3）()()22224x y -+-=【分析】（1）解两直线方程构成的方程组即可得解；（2）求出直线1l 的斜率，然后利用点斜式即可求出直线方程；（3）根据中点坐标公式求出圆心坐标，再利用两点距离公式求出半径，进而可得圆的方程.【小问1详解】由28020x y x y +-=⎧⎨-+=⎩解得24x y =⎧⎨=⎩，所以直线1l 与2l 的交点为()2,4A .【小问2详解】由1:280l x y +-=得直线1l 的斜率为2-，又点P 的坐标为()2,0，所以经过点P 且与直线1l 平行的直线方程为()22y x =--，即240x y +-=.【小问3详解】因为()2,4A ，()2,0P ，所以AP 的中点坐标为()2,2，22AP=，所以以AP 为直径的圆的方程为()()22224x y -+-=.17. 【答案】（1）(),3-∞（2）（i ）30x y +-= （ii ）52m =【分析】（1）由题意，根据圆心到直线的距离小于半径列式求解即可；（2）（i ）由题意线段AB 的垂直平分线经过圆心，从而可直接求得直线方程；（ii ）由弦长AB =.【小问1详解】由22420x y x y m +--+=得()()22215x y m -+-=-，所以当5m <时，22420x y x y m +--+=表示以()2,1为半径的圆，由于直线10x y -+=与圆相交，所以圆心到直线的距离d =<所以3m <，即实数m 的取值范围为(),3-∞.【小问2详解】（i）由题意，线段AB 的垂直平分线经过圆心()2,1，斜率为1-，所以线段AB 的垂直平分线的方程为()12y x -=--，即30x y +-=.（ii ）由于圆心到直线的距离d ，AB =所以由AB ==解得52m =.18. 【答案】（1）证明见详解（2）选条件①π4；选条件②π4【分析】（1）根据条件知//AB CD ，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）建立空间直接坐标系，求出两个平面的法向量，根据向量夹角的余弦值即可求出夹角的大小.【小问1详解】因为在五面体ABCDEF 中，平面ABCD 为正方形，所以//AB CD ,又CD ⊄平面ABFE ，AB ⊂平面ABFE ,故//CD 平面ABFE ；【小问2详解】若选条件①：根据已知条件可得：CD AD ⊥,因为CD EA ⊥，EA AD A ⋂=,EA ⊂平面ADE ,AD ⊂平面ADE ,所以CD ⊥平面ADE ,因为DE ⊂平面ADE ,所以CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,所以12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.4若选条件②：由(1)知，//CD 平面ABFE ，CD ⊂平面CDEF ,又平面ABFE 平面CDEF EF =,所以//CD EF ,过点F 作//FG ED ,交CD 于点G ,则四边形EFGD 为平行四边形，又1EF ED ==，2CD EF =，则1,1FG ED CG CD DG ===-=,又因为CF =则222CF FG CG =+,故π2FGC ∠=,即CG FG ⊥，则CD DE ⊥,则以D 为坐标原点，分别以,,DA DC DE 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直接坐标系如下图所示，因为1EF ED ==，22CD EF ==，所以(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,1),D A B C E则(2,0,0)BC =- ,又12EF CD =,所以(0,1,1),F 即(0,1,1)FC =- .因为CD ⊥平面ADE ,所以平面ADE 的法向量为(0,2,0)DC = ,设平面BCF 的法向量为(,,)n x y z = ，则200n BC x n FC y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1,y =则(0,1,1)n = ，设平面ADE 与平面BCF 夹角为θ，则cos n DC n DC θ⋅===,又π02θ≤≤，则π,4θ=即平面ADE 与平面BCF 夹角的大小为π.419. 【答案】（1）证明见详解（2）13（3【分析】（1）取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ，先证,,,H M F G 四点共面，再证,,,H M G E 四点共面，又这两个平面重合，即可证明；（2）以D 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面EFGH 的法向量，1DB 与法向量夹角的余弦值的绝对值即为所求；（3）利用点到平面距离的向量表示公式计算即可.【小问1详解】如图，取1BB 的中点,M 连接,,EM FM HM ,因为,,,E F G H 分别是棱AB ，11B C ，11C D ，1D D 的中点，易得11//HM B D ,11//GF B D ,所以//HM GF ,所以,,,H M F G 四点共面，又1111//,//,//EM AB HG DC AB DC ,所以//EM HG ，则,,,H M G E 四点共面，而过不共线的的三点,,H M G 的平面具有唯一性，则平面HMFG 与平面EMGH 重合，故,,,E F G H 四点共面.【小问2详解】以D 为原点，1,,DA DC DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形的的边长为a则()()1,,,0,0,0,0,,0,222a aaB a a a D E a F a a G a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，则1(,,),(,,0),(,0,)22a a DB a a a GF GE a a ===-，设(),,n x y z = 是平面EFGH 的法向量，则00022000aan GFx y x y x z n GE ax az ⎧⎧⋅=+=+=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=⋅=⎩⎪⎪⎩-=⎩，取1x =,则1, 1.y z =-=所以(1,1,1)n =- ，所以1B D 与平面EFGH所成角的正弦值为11111sin ,cos ,3n DB n DB n DB n DB ⋅====⋅ 【小问3详解】由（2）知平面EFGH 的法向量(1,1,1)n =- ，又()11,0,0FB =因为1m FB m ⋅==即1B 到平面EFGH20. 【答案】（1）证明见解析（2）存在满足题意的点G ，且1PGGB =【分析】（1）由平面与平面垂直的判定定理即可证明；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADG 与平面ABD 的法向量，然后根据求面面角的方法即可列式求解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，所以OA OB OC OD ===，,OC OB OA OB ⊥⊥，所以折起后，OA OB OP OD ===，OP OB ⊥，由于折起前有222OA OB AB +=，且折起后PA AB =，所以折起后有222OA OP PA +=，即OP OA ⊥，又OP OB ⊥，OA OB O = ，,OA OB ⊂平面ABD ，所以OP ⊥平面ABD ，又OP ⊂平面PBD ，所以平面PBD ⊥平面ABD .【小问2详解】由（1）知OP OB ⊥，OP OA ⊥，OA OB ⊥，所以以O 为原点，以OA 为x 轴，以OB 为y 轴，以OP 为z 轴建立空间直角坐标系，设1OA =，则()1,0,0A ，()0,1,0B ，()0,1,0D -，()0,0,1P ，则()1,1,0AD =-- ，()0,1,1PB =- ，()1,0,1AP =- ，假设存在满足题意的点G ，设()()0,,01PG PB λλλλ==-≤< ，则()1,,1AG AP PG λλ=+=-- ，设平面ADG 的法向量为(),,n x y z = ，则·0·0AD n AG n ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，即()010x y x y z λλ--=⎧⎨-++-=⎩，令1x =，得1y =-，11z λλ+=-，即11,1,1n λλ+⎛⎫=- ⎪-⎝⎭ ，易知平面ABD 的一个法向量为()0,0,1m = ，因为平面ADG 与平面ABD，所以11cos ,n m n m n m λλ+-〈〉=== ，解得12λ=，所以在棱PB 上存在点G ，使平面ADG 与平面ABD，且G 为棱PB 的中点，所以1PG GB=.21. 【答案】（1）229x y +=；（2）//MN BD ，证明见解析.【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到OG 的长度，进而判断出G 的轨迹，得到轨迹方程；（2）写出,,,A B C D 四点的坐标，联立直线HB 与直线AD 的方程求出点M 的坐标，联立直线CH 与直线=3y -的方程求出N 的坐标，再利用坐标求出MN k 并与BD k 进行比较即可.【小问1详解】在Rt POQ 中，因为G 是线段PQ 的中点，所以1||||32OG PQ ==，所以G 的轨迹为以O 为圆心，以3为半径的圆，所以G 的轨迹方程为229x y +=.【小问2详解】//MN BD ，证明如下：依题意，下列各点坐标为(3,0),(3,0),(0,3),(0,3)A B C D --，直线AD 的方程为3y x =--.因为H 为第一象限内点G 的轨迹上的动点，故设0000(,)(03,03)H x y x y <<<<，且22009x y +=.设直线HB 的方程为00(3)3y y x x =--，00(3)33y y x x y x ⎧=-⎪-⎨⎪=--⎩ ，解得0000000339363y x x x y y y x y -+⎧=⎪+-⎪⎨-⎪=⎪+-⎩，即00000003396()33y x y M x y x y -+-+-+-，.试题21设直线CH 的方程为0033y y x x -=+，00333y y x x y -⎧=+⎪⎨⎪=-⎩ ，解得00633x x y y -⎧=⎪-⎨⎪=-⎩，即006(3)3x N y ---.所以000000000633339633MN y x y k y x x x y y -++-=-+++-- 0000000000(23)(3)(3)(3)2(3)y x y y y x y x x y -++--=-+-++-20000220000039392x y y x x y y x x --+=-+++200002200000391392(9)x y y x x y y x y --+==+--+-，又03130BD MN k k +===-，所以//MN BD.。

2024学年江苏省泰州市联盟五高二上学期期中考数学试题及答案

2024学年江苏省泰州市联盟五高二上学期期中考数学试题及答案

联盟五校2023年秋学期期中考试高二数学试题出卷人： 审核人：（考试时间：120分钟 总分：150分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．抛物线24y x =的准线方程是（ ）A ．1x =-B ．2x =-C ．1y =-D ．2y =-2． 已知12:310,:30l kx ky l x ky -+=+=，若12l l ⊥，则实数k =（）A ．0或1 B ．19- C ．1 D ．0或19-3．设m 为实数，若方程22121x y m m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围是（ ）A ．322m << B ．32m > C ．12m << D ． 32m <<1 4． 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝6，S 4＝12，则S 7＝（ ）A ．30B ．36C ．42D ．485．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．46．设等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为,n n S T ，n N *∈，都有2343n n S n T n +=-，则214313a a b b ++的值为（）A ．3765 B ．1119 C ．919 D ．19297． 已知椭圆1C 与双曲线2C 共焦点，双曲线2C 实轴的两顶点将椭圆1C 的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线2C 的离心率为( )ABCD ．8 ．在平面直角坐标系中，点A(0,3) ，直线:24=-l y x ，设圆C 的半径为1，圆心C 在直线l 上，若圆C 上存在点M ，使得MA 2MO =，则圆心C 的横坐标a 的取值范围是（ ）A ．[]0,1 B ．1215⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．1205⎛⎫ ⎪⎝⎭，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知双曲线C ：22136y x -=，则（ ）A ． 双曲线CB ． 双曲线CC ． 双曲线C 的焦点坐标为()3,0±D ． 双曲线C的渐近线方程为y =10.已知直线10l y -+=，则A ．直线l 的倾斜角为3πB．点)到直线l 的距离为2 C ．直线lD ．直线l 关于y10y +-=11．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且5678S S S S <=>，则下列命题正确的是（ ）A ．该数列公差d <0B ． 59S S <C ． a 7=0D ． S 12>012．已知圆M ：22(2)1x y +-= ，以下四个命题表述正确的是（A ．圆22230x y x ++-=与圆M 的公共弦所在直线为230x y +-=B ．若圆228100x y x y m +--+=与圆M 恰有一条公切线，则8m =-C ．直线(21)20m x y m ++--=与圆M 恒有两个公共点D ．点P 为x 轴上一个动点，过点P 作圆M 的两条切线，切点分别为A ，B ，直线AB 与MP交于点C ，若Q ，则CQ 的最大值为94三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13． 过点(2,3)A ，且平行于直线410x y --=的直线方程为 ．14． 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2 S 31n n n =++，则数列{}n a 的通项公式为 ．的15． 设m ，n 为实数，已知经过点⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛324,310P 的椭圆11022=+m y x 与双曲线121122=-++n y n x 有相同的焦距，则=n ．16． 若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知椭圆的焦点为126,06,0F F -（）,（），且该椭圆过点P （5,2）．（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点M （x 0，y 0）满足12MF MF ⊥，求y 0的值．18． (本小题满分12分)设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n n S b n=（1）证明：数列{}n b 是等差数列；（2）当74a = ，155b = 时，求数列{}n b 的前n 项和n T ．19．(本小题满分12分)已知两直线042:1=+-y x l ，0534:2=++y x l （1）求直线1l 和2l 的交点P 的坐标；（2）若过点P 作圆()1222+=+-m y m x 的切线有两条，求m 的取值范围；（3）若直线062=-+y ax 与1l ，2l 不能构成三角形，求实数a 的值.20．(本小题满分12分)已知圆C 的圆心在直线220x y --=上，且圆C 过点(3,1),(6,4).（1）求圆C 的标准方程；（2）过点(1,1)P 的直线l 与圆C 相交于A ,B 两点，当AB =l 的方程.21．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程()1222=-+y x ，设直线l 的方程为kx y =（1）若过点A(1,4)的直线与圆C 相切，求切线的方程；（2）已知直线l 与圆C 相交于A ，B 两点．若A 是OB 的中点，求直线l 的方程；（3）当21=k 时，点P 在直线l 上，过P 作圆C 的切线PM ,切点为M ，问经过C M P ,,的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标.22．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知动点M 到点(2,0)F 的距离是到直线32x =．（1）求点M 的轨迹方程；（2）设(1,0)P ，直线()3x t t =≠与M 的轨迹方程相交于,A B 两点，若直线BP 与M 的轨迹方程交于另一个点C ，证明：直线AC 过定点．2023年秋学期期中考试高二数学参考答案一、选择题：1.A2. C3. D4. C5. B6. B7. D8. C9. ,A C 10. ,,A B D 11. ,,A C D 12. ,,A C D13.450x y --= 14 .5,122,2n n a n n =⎧=⎨+≥⎩ 15.2± 16.⎛⎫⎛ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝ 17.18.解：（1）设等差数列的公差为d1(1)2n n n S na d -=+1122n n S d d b a d n a n ===+-12n n d b b +-=为常数所以数列{}n b 是等差数列………………6分（2）71464a a d =⇒+=151575b a d =⇒+=12,1a d ∴=-=52n n b -∴=294n n n T -∴=………………12分19．(1)联立方程组240243501x y x x y y -+==-⎧⎧⇒⎨⎨++==⎩⎩()P -2,1\………………3分(2)点P 在圆外，()222211m m ∴--+>+m>-1\………………6分(3) 若直线062=-+y ax 与1l ，2l 不能构成三角形31323l l l l l P或或过点8a 1a a 23=-==-或或 ………………12分（每个答案2分）20.解（1）设圆的标准方程为()()222x a y b r -+-=()()2222222203(3)(1)4364a b a a b r b r a b r ⎧--==⎧⎪⎪⎪-+-=⇒=⎨⎨⎪⎪=⎩-+-=⎪⎩圆的标准方程为()()22349x y -+-= ………………6分（2）当直线l 的斜率不存在时，直线方程为1x =，符合题设………………8分当直线l 斜率存在时，设为1(1)10y k x kx y k -=---+=即d 2=Q 512k ∴=:51270l x y -+= ………………11分综上，符合条件的直线有2条，分别为1x =或512+70x y -=.………………12分21. (1) 当直线l 斜率不存在时，直线方程为1x =，符合题设；当直线l 斜率存在时，设为4(1)40y k x kx y k -=---+=即d 1=Q k-2\=3k L :3x-4y 1304\=\+=综上，符合条件的直线有2条，分别为1x =或34+130x y -=.………………4分(2)设00(,)A x y 则00(2,2)B x y ()()22002200(2)12221x y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0098x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩:l y x =………………8分(3)设m P （2,m ）过P,M,C 的圆方程：()()()220x x m y m y -+--=()222220x y y m x y +--+-=2220220x y y x y ⎧+-=⎨+-=⎩解得405225x x y y ⎧=⎪=⎧⎪⎨⎨=⎩⎪=⎪⎩或恒过定点()0,2，4255⎛⎫⎪⎝⎭，………………12分22.解:(1)设点(,)M xy 32=2213x M y ∴-=点的轨迹方程 ………………4分（2）由题意；直线BP 的斜率不为零，设直线BP 的方程为1x my =+，11(,)B x y ，()22,C x y ，()11,A x y -，联立22131x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩消去x 整理得()223220m y my -+-=，2300m -≠∆>且，12122222,33m y y y y m m +=-=---………………8分直线AC 的方程为211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =()122121112211212121(1)1()3my y my y x x y x y x y x x y y y y y y +++-+=+===+++直线AC 过定点（3，0） ………………12分。

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含答案

北京市2023—2024学年第一学期期中阶段练习高二数学（答案在最后）2023.11班级____________姓名____________学号____________本试卷共3页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置．．．．．．．．．．．．．．．．．.1.已知(1,3),(3,5)A B --，则直线AB 的斜率为（）A.2 B.1C.12D.不存在【答案】A 【解析】【分析】由斜率公式，可求出直线AB 的斜率.【详解】由(1,3),(3,5)A B --，可得35213AB k --==--.故选：A.2.圆222430x y x y +-++=的圆心为（）．A.(1,2)-B.(1,2)- C.(2,4)- D.(2,4)-【答案】A 【解析】【分析】先将圆的一般方程化为标准方程，从而可求出其圆心坐标.【详解】由222430x y x y +-++=，得22(1)(2)2x y -++=，所以圆心为(1,2)-，故选：A3.一个椭圆的两个焦点分别是()13,0F -，()23,0F ，椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，则该椭圆的标准方程为（）A.2216428x y += B.221167x y += C.221169x y += D.22143x y +=【答案】B 【解析】【分析】利用椭圆的定义求解即可.【详解】椭圆上的点P 到两焦点的距离之和等于8，故28,4a a ==，且()13,0F -，故2223,7c b a c ==-=，所以椭圆的标准方程为221167x y +=.故选：B4.任意的k ∈R ，直线13kx y k -+=恒过定点（）A.()0,0 B.()0,1 C.()3,1 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】将直线方程整理成斜截式，即可得定点.【详解】因为13kx y k -+=，即()31y k x =-+，所以直线13kx y k -+=恒过定点()3,1.故选：C.5.已知圆221:1C x y +=与圆222:870C x y x +-+=，则圆1C 与圆2C 的位置关系是（）A.相离B.相交C.内切D.外切【答案】D 【解析】【分析】求出两圆的圆心和半径，得到12124C C r r ==+，得到两圆外切.【详解】圆221:1C x y +=的圆心为()10,0C ，半径为11r =，圆()22222:87049C x y x x y +-+=⇒-+=，故圆心()24,0C ，半径为23r =，则12124C C r r ==+，所以圆1C 与圆2C 的位置关系是外切.故选：D6.过点1,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l 与圆2214x y +=有公共点，则直线l 的倾斜角取值范围是（）A.π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.2π,π3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.π22π,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.5π,π6⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】利用直线与圆的位置关系及倾斜角与斜率的关系计算即可.【详解】易知圆的半径为12，圆心为原点，当倾斜角为π2时，即直线l 方程为12x =-，此时直线l 与圆相切满足题意；当斜率存在时，不妨设直线l方程为122y k x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，则圆心到其距离为12d =≤，解不等式得33k ≤-，所以直线l 的倾斜角取值范围为π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦故选：A7.“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】求出当12l l //时实数的值，再利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】当12l l //时，()34a a -=，即2340a a --=，解得1a =-或4.当1a =-时，直线1l 的方程为430x y -+=，直线2l 的方程为420x y -+=，此时12l l //；当4a =时，直线1l 的方程为304x y +-=，直线2l 的方程为20x y ++=，此时12l l //.因为{}1-{}1,4-，因此，“1a =-”是“直线1:430l ax y +-=与直线()2:320l x a y +-+=平行”的充分不必要条件.故选：A.8.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，12AA AD AB ===，2BAD π∠=，113BAA A AD π∠=∠=，则11AB AD ⋅=（）A.12B.8C.6D.4【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量加法的运算性质，结合空间向量数量积的运算性质和定义进行求解即可.【详解】()()21111111AB AD AB AA AD AA AB AD AB AA AD AA AA ⋅=+⋅+=⋅+⋅+⋅+ 211110222228,22AB AD ⇒⋅=+⨯⨯+⨯⨯+= 故选：B9.数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半.这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点()2,0A ，()1,2B ，且AC BC =，则△ABC 的欧拉线的方程为（）A.240x y --=B.240x y +-=C.4210x y ++=D.2410x y -+=【答案】D 【解析】【分析】由题设条件求出AB 垂直平分线的方程，且△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，结合欧拉线的定义，即垂直平分线即为欧拉线.【详解】由题设，可得20212AB k -==--，且AB 中点为3(,1)2，∴AB 垂直平分线的斜率112AB k k =-=，故垂直平分线方程为131()12224x y x =-+=+，∵AC BC =，则△ABC 的外心、重心、垂心都在垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线的方程为2410x y -+=.故选：D10.曲线33:1C x y +=.给出下列结论:①曲线C 关于原点对称;②曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1;③曲线C 只经过2个整点(即横､纵坐标均为整数的点).其中,所有正确结论的序号是A.①② B.②C.②③D.③【答案】C 【解析】【分析】将(),x y --代入，化简后可确定①的真假性.对x 分成0,0,01,1,1x x x x x <=<<=>等5种情况进行分类讨论，得出221x y +≥，由此判断曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1.进而判断出②正确.对于③，首先求得曲线C 的两个整点()()0,1,1,0，然后证得其它点不是整点，由此判断出③正确.【详解】①，将(),x y --代入曲线33:1C x y +=，得331x y +=-，与原方程不相等，所以曲线C 不关于原点对称，故①错误.②，对于曲线33:1C x y +=，由于331y x =-，所以y =，所以对于任意一个x ，只有唯一确定的y和它对应.函数y =是单调递减函数.当0x =时，有唯一确定的1y =；当1x =时，有唯一确定的0y =.所以曲线C 过点()()0,1,1,0，这两点都在单位圆上，到原点的距离等于1.当0x <时，1y >，所以221x y +>>.当1x >时，0y <，所以221x y +>>.当01x <<时，01y <<，且()()()()223322221110x y x y x y x x y y -+=+-+=-+-<，所以221x y +>>.综上所述，曲线C 上任意一点到原点的距离不小于1，所以②正确.③，由②的分析可知，曲线C 过点()()0,1,1,0，这是两个整点.由331x y +=可得()331x y -=-，当0x ≠且1x ≠时，若x 为整数，31x -必定不是某个整数的三次方根，所以曲线C 只经过两个整点.故③正确.综上所述，正确的为②③.故选：C【点睛】本小题主要考查根据曲线方程研究曲线的性质，属于中档题.二、填空题：本大题共5小题，共25分.把答案填在答题纸中相应的横线上．．．．．．．．．．．．．．．.11.已知空间()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，a b ⊥ ，则b ＝_____．【答案】【解析】【分析】根据空间向量的垂直，根据数量积的坐标表示，建立方程，结合模长公式，可得答案.【详解】由a b ⊥ ，且()2,3,1a = ，()4,2,b x =- ，则860a b x ⋅=-++=r r ，解得2x =，故b =r.故答案为：12.已知过点(0,2)的直线l 的方向向量为(1,6)，点(,)A a b 在直线l 上，则满足条件的一组,a b 的值依次为__________．【答案】1；8【解析】【分析】根据方向向量设出直线l 的方程，再由点(0,2)求出其方程，从而得出62b a =+，即可得出答案.【详解】直线l 的方向向量为(1,6)，可设直线l 的方程为60x y C -+=因为点(0,2)在直线l 上，所以2C =，即直线l 为620x y -+=所以620a b -+=，即62b a =+可取1a =，则8b =故答案为：1；813.在正方体ABCD A B C D -''''中，E 是C D ''的中点，则异面直线DE 与AC 所成角的余弦值为______.【答案】10【解析】【分析】利用正方体的特征构造平行线，利用勾股定理及余弦定理解三角形即可.【详解】如图所示，取A B ''的中点F ，易得//AF DE ，则FAC ∠或其补角为所求角，不妨设正方体棱长为2，则,3,AF FC FC AC '====，由余弦定理知：222cos 210AF AC FC FAC AF AC +-∠==⋅，则FAC ∠为锐角，即异面直线DE 与AC 所成角.故答案为：1010.14.将一张坐标纸对折，如果点()0,m 与点()()2,22m m -≠重合，则点()4,1-与点______重合.【答案】()1,2--【解析】【分析】先求线段AB 的中垂线方程，再根据点关于直线对称列式求解即可.【详解】已知点()0,A m 与点()2,2B m -，可知线段AB 的中点为1,122mm M ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，且212AB mk m -==--，则线段AB 的中垂线的斜率1k =，则线段AB 的中垂线方程为1122m m y x ⎛⎫⎛⎫-+=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20x y -+=，设点()4,1-关于直线20x y -+=的对称点为(),a b ，则114412022b a a b -⎧=-⎪⎪+⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得12a b =-⎧⎨=-⎩，所以所求点为()1,2--.故答案为：()1,2--.15.给定两个不共线的空间向量a 与b，定义叉乘运算：a b ⨯ .规定：（i ）a b ⨯ 为同时与a，b垂直的向量；（ii ）a，b ，a b ⨯三个向量构成右手系（如图1）；（iii ）sin ,a b a b a b ⨯=.如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB AD ==，14AA =.给出下列四个结论：①1AB AD AA ⨯= ；②AB AD AD AB ⨯=⨯；③()111AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯ ；④()11111ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅.其中，正确结论的序号是______________.【答案】①③④【解析】【分析】由新定义逐一核对四个选项得答案．【详解】解： ||||||sin902214AB AD AB AD ⨯=︒=⨯⨯=，且1AA 分别与,AB AD 垂直，∴1AB AD AA ⨯= ，故①正确；由题意，1AB AD AA ⨯= ，1AD AB A A ⨯=，故②错误；AB AD AC +=，∴11|()|||41AB AD AA AC AA +⨯=⨯=⨯= 且1()AB AD AA +⨯ 与DB 共线同向， 1||2418AB AA ⨯=⨯⨯= ，1AB AA ⨯ 与DA 共线同向，1||2418AD AA ⨯=⨯⨯= ，1AD AA ⨯ 与DB共线同向，11||AB AA AD AA ∴⨯+⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB共线同向，故③正确；11()||||||sin90cos022416AB AD CC AB AD CC ⨯=⨯⨯︒⨯︒=⨯⨯=，故④成立．故答案为：①③④．三、解答题：本大题共6题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程，并把答案．．．写在答题纸中相应位置上．．．．．．．．．．．.16.在平面直角坐标系中，已知(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，线段AC 的中点M ；（1）求过M 点和直线BC 平行的直线方程；（2）求BC 边的高线所在直线方程．【答案】（1）3170x y -+=（2）30x y +=【解析】【分析】（1）根据(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，求得点M 的坐标，和直线直线BC 的斜率，写出直线方程；（2）根据13BC k =，得到BC 边的高线的斜率，写出直线方程；【小问1详解】解：因为(3,9),(2,2),(5,3)A B C -，所以()1,6M ，13BC k =，所以过M 点和直线BC 平行的直线方程为()1613y x -=-，即3170x y -+=；【小问2详解】因为13BC k =，所以BC 边的高线的斜率为-3，所以BC 边的高线所在直线方程()933y x -=-+，即30x y +=17.如图，在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为线段1BB 的中点.（1）求证：1//BC 平面1AED ；（2）求点1A 到平面1AED 的距离；（3）直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）43（3）23【解析】【分析】（1）证明出四边形11ABC D 为平行四边形，可得出11//BC AD ，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；（2）以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点1A 到平面1AED 的距离；（3）利用空间向量法可求得直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值.【小问1详解】证明：在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AB C D 且11AB C D =，故四边形11ABC D 为平行四边形，则11//BC AD ，因为1BC ⊄平面1AED ，1AD ⊂平面1AED ，因此，1//BC 平面1AED .【小问2详解】解：以点A 为坐标原点，AD 、AB 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A 、()10,0,2A 、()0,2,1E 、()12,0,2D ，所以，()10,0,2AA = ，()12,0,2AD = ，()0,2,1AE = ，设平面1AED 的法向量为(),,n x y z = ，则122020n AD x z n AE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取2z =-，可得()2,1,2n =- ，所以，点1A 到平面1AED 的距离为143AA n d n⋅== .【小问3详解】解：因为11142cos ,233AA n AA n AA n ⋅<>===⨯⋅ ，因此，直线1AA 与平面1AED 所成角的正弦值为23.18.已知圆C 的圆心在直线20x y -=上，且与x 轴相切于点()1,0.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 直线:0l x y m -+=交于A ，B 两点，____，求m 的值.从下列三个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：圆C 被直线l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1；条件②：2AB =；条件③：90ACB ∠=︒.【答案】（1）()()22124x y -+-=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）利用几何关系求出圆心的坐标即可；（2）任选一个条件，利用选择的条件，求出圆心到直线的距离，然后列方程求解即可.【小问1详解】设圆心坐标为(),C a b ，半径为r .由圆C 的圆心在直线20x y -=上，知：2a b =.又 圆C 与x 轴相切于点()1,0，1a ∴=，2b =，则02r b =-=.∴圆C 圆心坐标为()1,2，则圆C 的方程为()()22124x y -+-=【小问2详解】如果选择条件①：120ACB ∠=°，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离1cos 60d CA =⨯= ，则1d ==，解得1m +或1+.如果选择条件②和③：AB =，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离d =，则d ==，解得1m =-或3.如果选择条件③：90ACB ∠=︒，而2CA CB ==，∴圆心C 到直线l 的距离cos 45d CA ⨯== ，则d ==，解得1m =-或3.19.如图，四棱锥P ABCD -中，AD ⊥平面ABP ，,90,2,3,BC AD PAB PA AB AD BC m ∠=︒==== ，E 是PB 的中点．（1）证明：AE ⊥平面PBC ；（2）若二面角C AE D --的余弦值是33，求m 的值；（3）若2m =，在线段A 上是否存在一点F ，使得PF CE ⊥．若存在，确定F 点的位置；若不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）1（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）推导出⊥BC 平面PAB ．,AE BC AE PB ⊥⊥．由此能证明AE ⊥平面PBC ;（2）建立空间直角坐标系A xyz -，利用向量法能求出m 的值;（3）设()()0,0,03F t t ≤≤，当2m =，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE ==-- ，由PF CE ⊥知，0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,从而在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．【小问1详解】证明：因为AD ⊥平面PAB ，BC AD ∥,所以⊥BC 平面PAB ,又因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．在PAB 中，PA AB =，E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．又因为BC PB B = ,,BC PB ⊂平面PBC ,所以AE ⊥平面PBC ．【小问2详解】因为AD ⊥平面PAB ，,AB PA ⊂平面PAB ，所以,AD AB AD PA ⊥⊥,又因为PA AB ⊥,所以如图建立空间直角坐标系A xyz -．则()()()()()()0,0,0,0,2,0,0,2,,1,1,0,2,0,0,0,0,3A B C m E P D ,则()0,2,AC m = ，()1,1,0AE = ，设平面AEC 的法向量为 =s s ．则00AC n AE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即200y mz x y +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =-，2z m =，故21,1,n m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．因为AD ⊥平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以AD PB ⊥,又AE PB ⊥,,,AD AE A AD AE ⋂=⊂平面AED ,所以PB ⊥平面AED ．又因为()2,2,0PB =- ，所以取平面AED 的法向量为()2,2,0PB =-所以cos ,3n PB n PB n PB⋅== ，3=，解得21m =．又因为0m >，所以1m =；【小问3详解】结论：不存在．理由如下：证明：设()()0,0,03F t t ≤≤．当2m =时，()0,0,2C ，()()2,0,,1,1,2PF t CE =-=-- ，由PF CE ⊥知0PF CE ⋅= ,220,1t t --==-，这与03t ≤≤矛盾,所以在线段AD 上不存在点F ，使得PF CE ⊥．20.已知圆()22:1C x a y -+=与直线1y x --=交于M 、N 两点，点P 为线段MN 的中点，O 为坐标原点，直线OP 的斜率为13-.（1）求a 的值及MON △的面积；（2）若圆C 与x 轴交于,A B 两点，点Q 是圆C 上异于,A B 的任意一点，直线QA 、QB 分别交:4l x =-于,R S 两点.当点Q 变化时，以RS 为直径的圆是否过圆C 内的一定点，若过定点，请求出定点；若不过定点，请说明理由.【答案】（1）12,2MON a S =-=（2）()4-【解析】【分析】（1）先确定直线OP 的方程，联立直线方程求得P 点坐标，利用垂径定理及两直线垂直的斜率关系计算可得a ，再根据点到直线的距离公式、弦长公式计算求面积即可；（2）设QA 方程，含参表示QB 方程，求出,R S 坐标，从而求出以RS 为直径的圆的方程，利用待定系数法计算即可.【小问1详解】由题知：直线OP 方程为13y x =-，则由113y x y x =--⎧⎪⎨=-⎪⎩，得到3212x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即31,22P ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 点P 为线段MN 的中点，MN PC ∴⊥，即1021132MN PC k k a -⋅=-⨯=-+，2a ∴=-，即圆心−2,0；C ∴到直线=1y x --距离为2d ==，MN ∴==，又O 到直线=1y x --的距离为22，MN 边上的高为22.11222MON S ∴=⨯= .【小问2详解】由上可知()()3,0,1,0A B --,不妨设直线QA 的方程为()3y k x =+，其中0k ≠，在直线QA 的方程中，令4x =-，可得()4,R k --，因为QA QB ⊥，则直线QB 的方程为()11y x k =-+，在直线QB 的方程中，令4x =-，可得3y k =，即点34,S k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则线段RS 的中点为234,2k F k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，半径平方为2232k k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，所以，以线段MN 为直径的圆的方程为()2222233422k k x y k k ⎛⎫⎛⎫-+++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()2223430k x y y k -++--=，由()2430031x y x ⎧+-=⎪=⎨⎪-<<-⎩，解得40x y ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩，因此，当点Q 变化时，以RS 为直径的圆恒过圆C内的定点()4-+.21.已知{}1,2,,n S = ，A S ⊆，{}12,T t t S =⊆，记{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，用X 表示有限集合X 的元素个数.（1）若4n =，12A A =∅ ，分别指出{}1,2,3A =和{}1,2,4A =时，集合T 的情况（直接写出结论）；（2）若6n =，12A A =∅ ，求12A A ⋃的最大值；（3）若7n =，4A =，则对于任意的A ，是否都存在T ，使得12A A =∅ 说明理由.【答案】（1）{}1,4（2）10（3）不一定存在，理由见解析【解析】【分析】（1）由已知得12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，当{}1,2,3A =时，12t t ，相差3；由此可求得T ，当{}1,2,4A =时，同理可得；（2）若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当{}2,3,4,5,6A =时，则12t t ，相差5，所以{}1,6T =，A 中至多有5个元素，所以12,A A 也至多有5个元素，求出12,A A 得出结果；（3）举反例{}1,2,5,7A =和{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，根据题意检验即可说明.【小问1详解】若12A A =∅ ，则12t t a b -≠-，其中,a b A ∈，否则12t a t b +=+，12A A ⋂≠∅，若4n =，当{}1,2,3A =时，211-=，312-=，所以121,2t t -≠，则1t ，2t 相差3，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以{}1,4T =；当{}1,2,4A =时，211-=，422-=，413-=，所以121,2,3t t -≠，因为1,2,3,4S =，{}12,T t t S =⊆，所以T 不存在；【小问2详解】若6n =，12A A =∅ ，{}123456S =,,,,,，当A S =时，211-=，514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，所以A S ≠，121,2,3,4,5t t -≠，所以T 不存在；所以A 中至多有5个元素；当{}2,3,4,5,6A =时，321-=，422-=，523-=，624-=，所以121,2,3,4t t -≠，则1t ，2t 相差5，所以{}1,6T =；{}(),1,2i i A x x a t a A i ==+∈=，所以{}1345,6,7A =,,，{}28910,11,12A =,,，{}12345,6,7,8910,11,12A A = ,,,,.因为A 中至多有5个元素，所以1A ，2A 也至多有5个元素，所以12A A ⋃的最大值为10.【小问3详解】不一定存在，理由如下：例如{}1,2,5,7A =，则211-=514-=，523-=，716-=，72=5-，752-=，则1t ，2t 相差不可能1，2，3，4，5，6，这与{}{}12,1,2,3,4,5,6,7T t t =⊆矛盾，故不都存在T ；例如{}{}1,2,3,4,1,6A T ==，不妨令121,6t t ==，则{}{}122,3,4,5,7,8,9,10A A ==，满足12A A =∅ .【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，要充分理解定义，并把定义进行转化为已知的知识点或结论，方便解题.。

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二上学期期中模拟考试数学试题含解析

2024-2025学年高二数学上学期期中模拟卷（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：沪教版2020必修第三册第十~十一章。

5．难度系数：0.72。

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．不重合的两个平面最多有条公共直线【答案】1【解析】根据平面的位置关系可知，不重合两平面平行或相交，当相交时，有且只有一条公共直线.故答案为：12．已知球的表面积是16π，则该球的体积为.3．空间中一个角∠A的两边和另一个角∠B的两边分别平行，若∠A=，则∠B=;【答案】【解析】如图，若角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且方向相同，则∠A 与∠B 相等此时70B A ∠=∠=︒；②当角∠A 的两边和角∠B 的两边分别平行，且一边方向相同另一边方向相反，则∠A 与∠B 互补，此时180110B A ∠=︒-∠=︒.故答案为70︒或110︒.4．如图，正三棱柱的底面边长为2，高为1，则直线1B C 与底面ABC 所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）.5．在空间中，给出下面四个命题，其中真命题为．（填序号）①过平面α外的两点，有且只有一个平面与平面α垂直；②若平面β内有不共线三点到平面α的距离都相等，则αβ∥；③若直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l α⊥；④两条异面直线在同一平面内的射影一定是两条相交直线．【答案】③【解析】①过平面α外两点可确定一条直线，当这条直线垂直于平面α时，有无数个平面垂直于平面α，故①错误；②若三点在平面α同侧，则αβ∥；若三点在平面α两侧，则α与β相交，故②错误；③直线l 与平面α内的任意一条直线垂直，则l 垂直于平面α内两条相交直线，由线面垂直的判定定理可得l α⊥，故③正确；④两条异面直线在同一个平面内的射影有可能是两条相交直线，也可能是两条平行直线，还可能是一个点和一条直线，故④错误；故答案为：③6．正四棱锥P －ABCD 的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与P A 所成角的余弦值为.连接AC 交BD 于O 点，连接OE ，则OE 因为⊥PO 面ABCD ，所以PO DB ⊥，又因为所以直在角三角形EOB 中，设PA a =，则故答案为：33.7．如图，有一圆锥形粮堆，其轴截面是边长为6m 的正ABC V ，粮堆母线AC 的中点P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是m .【答案】35【解析】解：由题意得：圆锥的底面周长是6π，则66180n ππ=，解得：180n ︒=可知圆锥侧面展开图的圆心角是180︒，如图所示：则圆锥的侧面展开图中：()3m AP =，6(m)AB =，90BAP ︒∠=所以在圆锥侧面展开图中：()223635m BP =+=故答案为：358．已知一球体刚好和圆台的上、下底面及侧面都相切，且圆台上底面的半径为2，下底面的半径为1，则该圆台的侧面积为．【答案】9π【解析】圆台的轴截面如下图示：截面中圆为内切球的最大圆，且2AF DF AG DH ====，1BE CE BG CH ====，所以3AB CD ==，而上下底面周长分别为4π、2π，故该圆台的侧面积为13(2π4π)9π2⨯⨯+=.故答案为：9π9．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为3，P ，Q ，R 分别为侧棱1AA ，1BB ，1CC 上的点，且1AP CR AA +=，则Q ACRP V -=.则111332Q ACRP V d S d -=⋅⋅=⋅⋅⋅设三棱柱111ABC A B C -的体积故答案为：1.10．已知大小为π6的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为6，则这个点到另一个面的距离为．11．正方形ABCD 中，E ，F 分别为线段AB ，BC 的中点，连接DE ，DF ，EF ，将ADE V ，CDF V ，BEF △分别沿DE ，DF ，EF 折起，使A ，B ，C 三点重合，得到三棱锥O DEF -，则该三棱锥外接球半径R 与内切球半径r 的比值为．【答案】26【解析】在正方形ABCD 中，,AD AE CD ⊥12．空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面α：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到α的距离是前三个点到α的距离的2倍，这样的平面α的个数是___________个【答案】32【解析】首先取3个点相等，不相等的那个点由4种取法；然后分3分个点到平面α的距离相等，有以下两种可能性：（1）全同侧，这样的平面有2个；（2）不同侧，必然2个点在一侧，另一个点在一侧，1个点的取法有3种，并且平面过三角形两个点边上的中位线，考虑不相等的点与单侧点是否同侧有两种可能，每种情况下都唯一确定一个平面，故共有6个，⨯=个，所有这两种情况共有8个，综上满足条件的这样的平面共有4832故答案为：32二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项)13．下列几何体中，多面体是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】A选项中的几何体是球，是旋转体；B选项中的几何体是三棱柱，是多面体；C 选项中的几何体是圆柱，旋转体；D 选项中的几何体是圆锥，是旋转体.故选B.14．已知两个平面α、β，在下列条件下，可以判定平面α与平面β平行的是（）．A ．α、β都垂直于一个平面γB ．平面α内有无数条直线与平面β平行C ．l 、m 是α内两条直线，且l ∥β，m ∥βD ．l 、m 是两条异面直线，且l ∥α，m ∥α，l ∥β，m ∥β【答案】D【解析】对于A ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B 都与平面ABCD 垂直，但这两个平面不平行，所以A 错误，对于B ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，平面11AAC C 中所有平行于交线1AA 的直线都与平面11AA B B 平行，但这两个平面不平行，所以B 错误，对于C ，如在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AAC C 和平面11AA B B ，,M N 分别为11,A B AB 的中点，则1,MN BB 在平面11AA B B 内，且都与平面11AAC C 平行，但这两个平面不平行，所以C 错误.对于D ，因为l 、m 是两条异面直线，所以将这两条直线平移到共面α时，一定在α内形成两条相交直线，由面面平行的判定定理可知，该结论正确．故选：D15．将3个1212⨯的正方形沿邻边的中点剪开分成两部分（如图1）；将这6部分接于一个边长为六边形边上（如图2），若拼接后的图形是一个多面体的表面展开图，则该多面体的体积是（）A ．17282B ．864C ．576D ．2【答案】B【解析】折成的多面体如图①所示，将其补形为正方体，如图②，所求多面体体积为正方体的一半，又依题易求得正方体的边长为12，故3112864,2V =⨯=故选：B.16．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱BC 的中点，F 是侧面11BCC B 上的动点，且1A F ∥平面1AD E ．设1A F 与平面11BCC B 所成的角为1,A F α与1AD 所成的角为β，那么下列结论正确的是（）A ．α的最小值为arctan2,β的最小值为arctan3B ．α的最小值为arctan3,β的最大值为2πC ．α的最小值大于arctan2,β的最小值大于arctan3D ．α的最大值小于arctan3,β的最大值小于2π设正方体的棱长为2，因为MN GE ∥，且MN ⊄MN ∴∥平面1AEGD ；同理1A N ∥平面1AEGD ，且∴平面1A MN ∥平面AEGD ∵11A B ⊥面11BB C C ，所以又1AD MN ，所以1A F 与1AD 所成的角为111tan A B B Fα∴=；当F 为MN 中点时，此时当F 与M 或N 重合时，此时2tan 22α∴≤≤，arctan2对于β，当F 为MN 中点时，当F 与M 或N 重合时，β()221252A F ⎛⎫∴=-= ⎪ ⎪⎝⎭tan 3β∴=，tan 3β∴≥，arctan 3β≤≤又arctan3 1.4≈，arctan2故选：A.三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.)17．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，点P 为1DD 的中点.(1)求证：直线1BD //平面PAC ；(2)求异面直线1BD 与AP 所成角的大小.【解析】（1）设AC 和BD 交于点O ，则O 为BD 的中点，连接PO ，（1分)∵P 是1DD 的中点，∴1//PO BD ，(3分)又∵PO ⊂平面PAC ，1⊄BD 平面PAC ，∴直线1BD //平面PAC ；(6分)（2）由(1)知，1//PO BD ，∴APO ∠即为异面直线1BD 与AP 所成的角，(8分)∵PA PC =12AO AC ==且PO AO ⊥，∴1sin2AO APO AP ∠==．又(0,90]APO ∠∈︒︒，∴30APO ∠=︒故异面直线1BD 与AP 所成角的大小为30︒．(14分)18．如图，在圆柱中，底面直径AB 等于母线AD ，点E 在底面的圆周上，且AF D E ⊥，F 是垂足．(1)求证：AF DB ⊥；(2)若圆柱与三棱锥D ABE -的体积的比等于3π，求直线DE 与平面ABD 所成角的大小．【解析】（1）证明：根据圆柱性质，DA ⊥平面ABE ，因为EB ⊂平面ABE ，所以DA EB ⊥，又因为AB 是圆柱底面的直径，点E 在圆周上，所以AE EB ⊥，因为AE DA A ⋂=且,AE DA ⊂平面DAE ，所以EB ⊥平面DAE ，(2分)又因为AF ⊂平面DAE ，所以EB AF ⊥，因为AF D E ⊥，且EB DE E =I ，且,EB DE ⊂平面DEB ，所以AF ⊥平面DEB ，又因为DB ⊂平面DEB ，所以AF DB ⊥．(6分)（2）解：过点E 作EH AB ⊥，H 是垂足，连接DH ，根据圆柱性质，平面ABD ⊥平面ABE ，且平面ABD ⋂平面ABE AB =,且EH ⊂平面ABE ，所以EH ⊥平面ABD ，因为DH ⊂平面ABD ，所以DH 是ED 在平面ABD 上的射影，从而EDH ∠是DE 与平面ABD 所成的角，(8分)设圆柱的底面半径为R ，则2DA AB R ==，所以圆柱的体积为32πV R =，且21233D ABEABE R V AD S EH -=⋅=⋅ ，由:3πD ABE V V -=，可得EH R =，可知H 是圆柱底面的圆心，且AH R =，且DH =，在直角EDH 中，可得tan EH EDH DH ∠==EDH ∠=(14分)19．如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折叠，使得平面ABD ⊥平面CBD ，AE ⊥平面ABD ，且2AE(1)求证：直线EC 与平面ABD 没有公共点；(2)求点C 到平面BED 的距离.【解析】（1）取BD 的中点F ，连接CF 、AF ，如图，依题意，在BCD △中，,BC CD BC CD =⊥，则CF BD ⊥，而平面ABD ⊥平面CBD ，平面ABD ⋂平面CBD BD =，CF ⊂平面CBD ，于是得CF ⊥平面ABD ，且2CF =因为AE ⊥平面ABD ，且2AE =//AE CF ，且AE CF =，从而得四边形AFCE 为平行四边形，//EC AF ，(4分)又AF ⊂平面ABD ，EC ⊂/平面ABD ，则//EC 平面ABD ，所以直线EC 与平面ABD 没有公共点；(6分)（2）因为CF ⊥平面ABD ，AF ⊂平面ABD ，所以CF AF ⊥，因为BD AF ⊥，BD CF F = ，,BD CF ⊂平面,CBD 所以AF ⊥平面,CBD 因为//,EC AF ，于是得EC ⊥平面CBD ，因为AE ⊥平面ABD ，,AB AD ⊂平面ABD ，所以,AE AB AE AD ⊥⊥，(8分)因为EC AF ==EB ED =，则等腰BED 底边BD 上的高2h ==，12BED S BD h =⋅= ，而2BCD S =，设点C 到平面BED 的距离为d ，由C BED E BCD V V --=得1133BED BCD S d S EC ⋅=⋅ ，即2=，解得1d =，所以点C 到平面BED 的距离为1(14分)20．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 是菱形，底面,AC BD O PAC = △是边长为2的等边三角形，PB =PD ，AP =4AF（1）求证：PO ⊥底面ABCD （2）求直线CP 与OF 所成角的大小.（3）在线段PB 上是否存在点M ，使得//CM 平面BDF ？如果存在，求BMBP的值；如果不存在，请说明理由.【解析】（1）因为底面ABCD 是菱形，且AC BD O = ，所以O 为AC ，BD 中点，在PBD △中，PB =PD ，可得PO ⊥BD ，因为在PAC 中，PA =PC ，O 为AC ，BD 中点，所以PO ⊥AC ，(3分)又因为AC ⋂BD =O ，所以PO ⊥底面ABCD .(4分)（2）连接OF ，取AP 中点为E ，连接OE ，因为底面ABCD 是菱形，AC ⋂BD =O ，由O 为AC 中点，且E 为AP 中点，AP =4AF ，所以F 为AE 中点，所以CP //OE .，故∠EOF 为直线CP 与OF 所成的角，(8分)又由PAC 为等边三角形，且E 为中点，所以∠EOF =30o .(10分)（3）存在，13BM BP =，连接CE ，ME ，因为AP =4AF ，E 为AP 中点，所以13EF FP =，又因为13BM BP =，所以在PFB △中，EF BMFP BP =，即EM //BF ，(12分)因为EM ⊄平面BDF ，BF ⊂平面BDF ，所以EM //平面BDF ，由（2）知EC //OF ，因为EC ⊄平面BDF ，OF ⊂平面BDF ，所以EC //平面BDF ，因为EC ⋂EM =E ，所以平面EMC //平面BDF ，因为CM ⊂平面EMC ，所以CM //平面BDF .(18分)21．在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，E 为11B C 的中点．过AE 的截面与棱111,BB AC 分别交于点F ，G．(1)若F 为1BB 的中点，试确定点G 的位置，并说明理由；(2)在（1）的条件下，求截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的正切值；(3)设截面AFEG 的面积为0S ，AEG △面积为1S ，AEF △面积为2S ，当点F 在棱1BB 上变动时，求2012S S S 的取值范围．【解析】（1）在平面11BCC B 内延长1CC ，FE 相交于点P ，则P ∈平面AGEF ，又1P CC ∈⊂平面11ACC A ，则有平面AGEF 平面11ACC A AG =，P AG ∈，即A ，G ，P 三点共线．(2分)因为E 为11B C 的中点，F 为1BB 的中点，所以11112PC B F CC ==，所以113PC PC =，又因为1//GC AC ，所以1113GC PC AC PC ==，所以111112333GC AC A C ===，即点G 为棱11AC 上靠近点1C 的三等分点．(4分)（2）在平面11BCC B 内延长CB ，EF 相交于点Q ，连接AQ ，则平面AGEF 平面ABC AQ =，在平面11ACC A 内作GM AC ⊥于点M ，则GM ⊥平面ABC ，又AQ ⊂平面ABC ，所以G M AQ ⊥，在平面ABC 内作MN AQ ⊥于点N ，连接GN ，又,GM MN ⊂平面GMN ，GM MN M ⋂=，所以AQ ⊥平面GMN ，GN ⊂平面GMN ，所以AQ GN ⊥，所以GNM ∠为截面AGEF 与底面ABC 所成锐二面角的平面角．(6分)在AQC 中，作CH AQ ⊥于点H ，11BQ C E ==，2AC =，3CQ =，60AC B ∠= ，12222ABC S =⨯⨯⨯=△AQC S =由余弦定理2222cos 4967AQ AC CQ AC CQ ACQ =+-⋅⋅∠=+-=，则AQ122AQC S AQ CH ==⋅ ，可得3217CH =，所以237MN CH ==，又22G M AA ==，所以21tan 3GM GNM MN ∠==，故截面AGEF 与底面ABC (10分)（3）设1GC m =，则[]0,1m ∈，2PG mGA m=-．设PGE 的面积为S ，所以12S m S m=-，又因为21S S S =+，所以1222S m S -=，且1221,122S m S -⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，故()22120121212212S S S S SS S S S S S +==++，令12S t S =，则1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(11分)设()112,12g t t t t ⎛⎫⎡⎤=++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，当12112t t ≤<≤时，()()()()121212121212111t t g t g t t t t t t t t t --=+--=-，120t t -<，120t t >，1210t t -<，则()()120g t g t ->，即()()12g t g t >，所以()12g t t t =++在1,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递减，所以()()min 14g t g ==，()max 1922g t g ⎛⎫== ⎪，所以()94,2g t ⎡⎤∈⎢⎥，。

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案

高二数学下学期期中考试试卷含答案高二下学期数学期中考试试卷（含答案）时量：120分钟满分：150分一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。

）1.已知全集 $U=R$，集合 $M=\{x|x<1\}$，$N=\{y|y=2x,x\in R\}$，则集合 $\complement_U (M\cup N)$ =（）A。

$(-\infty。

-1]\cup [2,+\infty)$B。

$(-1,+\infty)$C。

$(-\infty,1]$D。

$(-\infty,2)$2.曲线 $f(x)=2x-x^2+1$ 在 $x=1$ 处的切线方程为（）A。

$5x-y-3=0$B。

$5x-y+3=0$C。

$3x-y-1=0$D。

$3x-y+1=0$3.已知函数 $f(x)=\sin(\omegax+\frac{\pi}{3})(\omega>0,0<\frac{\pi}{3}<\omega<\frac{\pi}{2 })$ 的图象与直线 $y=1$ 的交点中相邻两点之间的距离为$2\pi$，且函数 $f(x)$ 的图象经过点 $(\frac{\pi}{6},0)$，则函数 $f(x)$ 的图象的一条对称轴方程可以为（）A。

$x=\frac{\pi}{6}$B。

$x=\frac{\pi}{4}$C。

$x=\frac{\pi}{3}$D。

$x=\frac{\pi}{2}$4.函数 $f(x)=\frac{e^x-1}{x(x-3)}$ 的图象大致是（）A.图略]B.图略]C.图略]D.图略]5.在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 的对边分别为$a,b,c$，$C=120^\circ$，若 $b(1-\cos A)=a(1-\cos B)$，则$A=$（）A。

$90^\circ$B。

$60^\circ$C。

$45^\circ$D。

高二期中考试(数学)试卷含答案解析

高二期中考试(数学)试卷含答案解析

高二期中考试（数学）（考试总分：150 分）一、单选题（本题共计12小题，总分60分）1.（5分）1．2i12i-=+（）A．1 B．−1 C．i D．−i2.（5分）2．函数f（x）＝x4﹣2x3的图象在点（1，f（1））处的切线方程为（）A．y＝﹣2x﹣1B．y＝﹣2x+1C．y＝2x﹣3D．y＝2x+13.（5分）3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种4.（5分）4．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62% B．56%C．46% D．42%5.（5分）5．设一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.01，则数据10x1，10x2，…，10x n的方差为（）A．0.01B．0.1C．1D．106.（5分）6．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：mm），将所得数据分为9组：[)[)[)[]5.31,5.33,5.33,5.35,,5.45,5.47,5.47,5.49，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为（）A．10B．18C ．20D ．367.（5分）7．在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）．A ．5-B ．5C ．10-D ．108.（5分）8．要安排3名学生到2个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（ ） A ．2种B ．3种C ．6种D ．8种9.（5分）9．北京2022年冬奥会和冬残奥会色彩系统的主色包括霞光红､迎春黄､天霁蓝､长城灰､瑞雪白；间色包括天青､梅红､竹绿､冰蓝､吉柿；辅助色包括墨､金､银.若各赛事纪念品的色彩设计要求：主色至少一种､至多两种，间色两种､辅助色一种，则某个纪念品的色彩搭配中包含有瑞雪白､冰蓝､银色这三种颜色的概率为（ ） A ．8225B ．245C ．115D ．21510.（5分）10．如图，将钢琴上的12个键依次记为a 1，a 2，…，a 12.设1≤i <j <k ≤12．若k –j =3且j –i =4，则称a i ，a j ，a k 为原位大三和弦；若k –j =4且j –i =3，则称a i ，a j ，a k 为原位小三和弦．用这12个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．1511.（5分）11．在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ） A ．10名B ．18名C ．24名D ．32名12.（5分）12．已知定义在（0，+∞）上的连续函数()y f x =满足：()()x xf x f x xe '-=且(1)3f =-，(2)0f =．则函数()y f x =（ ）A ．有极小值，无极大值B ．有极大值，无极小值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）13.（5分）13．设函数e ()xf x x a =+．若(1)4e f '=，则a =_________．14.（5分）14．262()x x+的展开式中常数项是__________（用数字作答）．15.（5分）15．设复数1z ，2z 满足12||=||=2z z ，12i z z +=，则12||z z -=__________.16.（5分）16．已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+.（1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围.18.（12分）18．（12分）某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区，调查得到样本数据(x i ，y i )(i =1，2，…，20)，其中x i 和y i 分别表示第i 个样区的植物覆盖面积(单位：公顷)和这种野生动物的数量，并计算得20160i ix==∑，2011200i i y ==∑，2021)80i i x x =-=∑（，2021)9000i iy y =-=∑（，201))800i i i x y x y =--=∑（（.（1）求该地区这种野生动物数量的估计值（这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数）；（2）求样本(x i ，y i )(i =1，2，…，20)的相关系数（精确到0.01）；（3）根据现有统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计，请给出一种你认为更合理的抽样方法，并说明理由.附：相关系数r =12211))))ni iiiin ni i x y x x y y y x ===----∑∑∑（（（（，≈1.414.19.（12分）19．（12分）已知函数3()6ln f x x x =+，()'f x 为()f x 的导函数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅰ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； 20.（12分）20．（12分）甲口袋中装有2个黑球和1个白球，乙口袋中装有3个白球．现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为X n ，恰有2个黑球的概率为p n ，恰有1个黑球的概率为q n ． （1）求p 1、q 1和p 2、q 2；（2）求X 2的分布列和数学期望E (X 2) ．21.（12分）21．（12分）为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和2SO 浓度（单位：3μg/m ），得下表：（1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150”的概率；（2）根据所给数据，完成下面的22⨯列联表：（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与2SO 浓度有关？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，22.（12分）22．（12分）已知12a <≤，函数()e xf x x a =--，其中e =2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数()y f x =在(0)+∞，上有唯一零点； （Ⅰ）记x 0为函数()y f x =在(0)+∞，上的零点，证明：（Ⅰ0x ≤≤； （Ⅰ）00(e )(e 1)(1)x x f a a ≥--．答案一、 单选题 （本题共计12小题，总分60分） 1.（5分）1D 2.（5分） 2B 3.（5分） 3 C 4.（5分） 4C 5.（5分） 5C 6.（5分）6B 7.（5分） 7C 8.（5分） 8 C 9.（5分） 9 B 10.（5分） 10C 11.（5分） 11 B 12.（5分） 12 A二、 填空题 （本题共计4小题，总分20分） 13.（5分）13．1 14.（5分） 14． 24015.（5分） 15． 16.（5分） 16．45三、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）17.（10分）17．（10分）【解】（1）当2a =时，()43f x x x =-+-.当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：32x ≤；当34x <<时，()4314f x x x =-+-=≥，无解；当4x ≥时，()43274f x x x x =-+-=-≥，解得：112x ≥； 综上所述：()4f x ≥的解集为32x x ⎧≤⎨⎩或112x ⎫≥⎬⎭.……（5分）（2）()()()()22222121211f x x a x a x a x a aa a =-+-+≥---+=-+-=-（当且仅当221a x a -≤≤时取等号），()214a ∴-≥，解得：1a ≤-或3a ≥，a ∴的取值范围为(][),13,-∞-+∞.……（10分）18.（12分）18．（12分）【答案】（1）12000；（2）0.94；（3）详见解析【解】（1）样区野生动物平均数为201111200602020i i y ==⨯=∑， 地块数为200，该地区这种野生动物的估计值为2006012000⨯=……（4分） （2）样本(,)i i x y (i =1，2，…，20)的相关系数为20()()0.943iix x y y r --===≈∑……（4分）（3）由（2）知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性， 由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从俄各地块间这种野生动物的数量差异很大， 采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计. ……（4分）19.（12分）19．（12分） 【答案】（Ⅰ）98y x =-；（Ⅰ）()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值；【解】(Ⅰ) ∵()36ln f x x x =+，()26'3f x x x=+.可得()11f =，()'19f =， ∴曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为()191y x -=-，即98y x =-.…4分 （Ⅰ） 依题意，()()32336ln ,0,g x x x x x x=-++∈+∞. 从而可得()2263'36g x x x x x =-+-，整理可得：323(1)(1)()x x g x x '-+=，令()'0g x =，解得1x =.当x 变化时，()()',g x g x 的变化情况如下表：，+∞)； g (x )的极小值为g (1)=1，无极大值. ……（12分）20.（12分）20．（12分）【答案】（1）112212716,,332727p q p q ====；；（2）；详见解析【解】（1）11131232,333333p q ⨯⨯====⨯⨯， 211131211227++3333333927p p q ⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯⨯， 211231122222516+0+3333333927q p q ⨯⨯+⨯=⨯⨯+=⨯⨯=⨯⨯.……（8分） （2）227(2)27P X p ===；2216(1)27P X q ===；22124(0)33327P X ==⨯⨯=；∴2X 的分布列为故210()9E X =.；……（12分） 21.（12分）21．（12分）【答案】（1）0.64；（2）答案见解析；（3）有.【解】（1）由表格可知，该市100天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的天数有32618864+++=天，所以该市一天中，空气中的 2.5PM 浓度不超过75，且2SO 浓度不超过150的概率为640.64100=；……（4分） （2）由所给数据，可得22⨯列联表为：（3）根据22⨯列联表中的数据可得222()100(64101610)()()()()80207426n ad bc K a b c d a c b d -⨯⨯-⨯==++++⨯⨯⨯36007.4844 6.635481=≈>，因为根据临界值表可知，有99%的把握认为该市一天空气中 2.5PM 浓度与2SO 浓度有关. ……（12分）22.（12分）22．（12分）【答案】（I ）证明见解析，（II ）（i ）证明见解析，（ii ）证明见解析. 【解】（I ）()1,0,1,()0,()x x f x e x e f x f x ''=->∴>∴>∴在(0,)+∞上单调递增，2212,(2)240,(0)10a f e a e f a <≤∴=--≥->=-<，所以由零点存在定理得()f x 在(0,)+∞上有唯一零点；……（4分） （II ）（i ）000()0,0xf x e x a =∴--=，002000012(1)xxx e x x e x ≤⇔--≤≤--，令22()1(02),()1(02),2xxx g x e x x x h x e x x =---<<=---<<一方面：1()1(),xh x e x h x '=--= 1()10x h x e '=->，()(0)0,()h x h h x ''∴>=∴在(0,2)单调递增，()(0)0h x h ∴>=，2210,2(1)2xx x e x e x x ∴--->-->，另一方面：1211a a <≤∴-≤，所以当01x ≥0x ≤成立，因此只需证明当01x <<时2()10x g x e x x =---≤，因为11()12()()20ln 2x x g x e x g x g x e x ''=--==-=⇒=， 当(0,ln 2)x ∈时，1()0g x '<，当(ln 2,1)x ∈时，1()0g x '>， 所以()max{(0),(1)},(0)0,(1)30,()0g x g g g g e g x ''''''<==-<∴<，()g x ∴在(0,1)单调递减，()(0)0g x g ∴<=，21x e x x ∴--<，综上，002000012(1),x xex x e x x ∴--≤≤--≤≤（8分）（ii ）0000000()()()[(1)(2)]xa a t x x f e x f x a x e x a e ==+=-+-，00()2(1)(2)0a a t x e x a e '=-+->0x ≤，0()(2)](1)(1)2)a a a a t x t e a e e a e ∴≥=--=--+-，因为12a <≤，所以,2(1)ae e a a >≥-，0()(1)(1)2(2)a t x e a a e ∴≥--+--，只需证明22(2)(1)(1)a a e e a --≥--， 即只需证明224(2)(1)(1)ae e a -≥--， 令22()4(2)(1)(1),(12)as a e e a a =----<≤， 则22()8(2)(1)8(2)(1)0aas a e e e e e e '=---≥--->，2()(1)4(2)0s a s e ∴>=->，即224(2)(1)(1)a e e a -≥--成立，因此()0x 0e (e 1)(1)x f a a≥--.……（12分）。

安徽省蚌埠市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

安徽省蚌埠市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

蚌埠2023-2024学年第一学期期中检测试卷高二数学（答案在最后）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.若直线l 的一个方向向量为(-，求直线的倾斜角（）A.π3B.π6C.2π3D.5π6【答案】C 【解析】【分析】求出直线斜率，进而求出直线倾斜角即得.【详解】直线l 的一个方向向量为(-，则直线l 斜率为，所以直线l 的倾斜角为2π3.故选：C2.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，已知PA a = ，PB b = ，PC c = ，12PE PD = ，则BE = （）A.131222a b c -+B.111222a b c-+C.131222a b c ++D.113222a b c -+【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量加法法则直接求解．【详解】连接BD ，如图，则()()()1111122222BE BP BD PB BA BC PB PA PB PC PB =+=-++=-+-+-()11131131222222222PB PA PB PC PA PB PC a b c=-+-+=-+=-+故选：A ．3.已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为A.(3,4) B.(4,5)C.(4,3)-- D.(5,4)--【答案】D 【解析】【分析】根据对称列式求解.【详解】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.【点睛】本题考查关于直线对称点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.4.在一平面直角坐标系中，已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A ，B 两点间的距离为（）A.27 B.41C.17 D.35【答案】D 【解析】【分析】平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，现沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，通过向量的数量积转化求解距离即可．【详解】解：平面直角坐标系中已知()1,6A -，()2,6B -，沿x 轴将坐标平面折成60°的二面角后，作AC ⊥x 轴，交x 轴于C 点，作BD ⊥x 轴，交x 轴于D 点，则6,3,6,AC CD DB === ,AC CD CD DB ⊥⊥ ，,AC DB的夹角为120°∴AB AC CD DB =++ ，222222212+2+2=6+3+6266452AB AC CD DB AC CD CD DB AC DB =+++⋅⋅⋅-⨯⨯⨯= 35AB ∴=,即折叠后A ，B 两点间的距离为35.故选：D ．【点睛】本题考查与二面角有关的立体几何综合题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．5.如果实数x ，y 满足()2222x y -+=，则yx的范围是（）A.()1,1- B.[]1,1- C.()(),11,-∞-⋃+∞ D.(][),11,-∞-⋃+∞【答案】B 【解析】【分析】设yk x =，求y x的范围救等价于求同时经过原点和圆上的点(),x y 的直线中斜率的范围，结合图象，易得取值范围.【详解】解：设yk x=，则y kx =表示经过原点的直线，k 为直线的斜率.如果实数x ，y 满足22(2)2x y -+=和yk x=，即直线y kx =同时经过原点和圆上的点(),x y .其中圆心()2,0C ，半径2r =从图中可知，斜率取最大值时对应的直线斜率为正且刚好与圆相切，设此时切点为E则直线的斜率就是其倾斜角EOC ∠的正切值，易得2OC =，CE r ==可由勾股定理求得OE ==，于是可得到tan 1CEk EOC OE =∠==为y x的最大值；同理，yx的最小值为－1.则yx的范围是[]1,1-.故选：B.6.抛物线214x y =的焦点到双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线的距离是2，则该双曲线的离心率为（）A.B.C.2D.233【答案】A 【解析】【分析】先求得抛物线的焦点，根据点到直线的距离公式列方程，求得22b a =，由此求得双曲线的离心率.【详解】抛物线214x y =即24y x =的焦点坐标为()1,0，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，即0bx ay ±=，所以点()1,0到直线0bx ay ±=的距离为22=，则22b a =，则双曲线的离心率为c e a =====故选：A7.直线()2200ax by a b a b +--=+≠与圆2220x y +-=的位置关系为（）A.相离 B.相切C.相交或相切D.相交【答案】C 【解析】【分析】利用几何法，判断圆心到直线的距离与半径的关系，判断直线与圆的位置关系即可．【详解】由已知得，圆2220x y +-=的圆心为（0，0），所以圆心到直线()2200ax by a b a b +--=+≠.因为222ab a b ≤+，所以()()2222a b a b+≤+≤，所以直线与圆相交或相切；故选：C ．8.在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在1AC 上运动（包括端点），则BP 与1AD 所成角的取值范围是（）A.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.ππ,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设1AB =，则，01λ≤≤，利用1c s o BC BP =，，即可得出答案．【详解】设BP 与1AD 所成角为θ，如图所示，不妨设1AB =，则()0,0,0B ，()0,1,0A ，()10,1,1A ，()11,0,1C ，()111,0,1AD BC == ，()1,0,0BC = ，()11,1,1AC =-．设1AP AC λ= ，则()1,1,BP BA AC λλλλ=+=-，01λ≤≤．所以111c ·o s BC BPBC BP BC BP==⋅，当0λ=时，10cos BC BP = ，，此时BP 与1AD 所成角为π2，当0λ≠时，1c os BC BP =，，此时10cos 1BC BP <≤，，当且仅当1λ=时等号成立，因为cos y x =在π02x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，上单调递减，所以1π0,2BC BP ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭ ，，综上，π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．故选：B ．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列说法正确的有（）A.若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则()k b ，在第二象限B.直线32y ax a =-+过定点()32，C.过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-D.斜率为2-，在y 轴截距为3的直线方程为23y x =-±．【答案】ABC 【解析】【分析】由直线y kx b =+过一、二、四象限，得到斜率0k <，截距0b >，可判定A 正确；由把直线方程化简为()()320a x y -+-+=，得到点()32，都满足方程，可判定B 正确；由点斜式方程，可判定C 正确；由斜截式直线方程可判定D 错误．【详解】对于A 中，由直线y kx b =+过一、二、四象限，所以直线的斜率0k <，截距0b >，故点()k b ，在第二象限，所以A 正确；对于B 中，由直线方程32y ax a =-+，整理得()()320a x y -+-+=，所以无论a 取何值点()32，都满足方程，所以B 正确；对于C 中，由点斜式方程，可知过点()21-，斜率为的点斜式方程为)12y x +=-，所以C 正确；由斜截式直线方程得到斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，所以D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题主要考查了直线的方程的形式，以及直线方程的应用，其中解答中熟记直线的点斜式的概念及形式，以及直线的斜率与截距的概念是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若直线l 的方向向量为()1,0,3e = ，平面α的法向量为22,0,3n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则直线l α∥B.已知{},,a b c 为空间的一个基底，若m a c =+，则{},,a b m 也是空间的基底C.若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】BCD 【解析】【分析】计算得到e n ⊥，l α∥或l ⊂α，A 错误，若,,a b a c +r r r r 共面，则,,a b c 共面，不成立，故B 正确，化简得到23PA PB PC =--，C 正确，若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确，得到答案.【详解】()22,0,22031,0,3e n ⎛⎫=-=-+= ⎪⎝⎭⋅⋅ ，故e n ⊥ ，故l α∥或l ⊂α，A 错误；若,,a b a c +r r r r共面，设()()b a a c a c λμλμμ=++=++ ，则,,a b c 共面，不成立，故{},,a b m 也是空间的基底，B 正确；111632OP OA OB OC =++ ，则()()()111632OA OP OB OP OC OP -+-+- 1110632PA PB PC =++=，即23PA PB PC =--，故P ，A ，B ，C 四点共面，C 正确；若这两个向量不共线，则存在向量与其构成空间的一个基底，故D 正确.故选：BCD.11.已知平面α的法向量为()1,2,2n =-- ，点()2,21,2A x x +为α内一点，若点()0,1,2P 到平面α的距离为4，则x 的值为（）A.2 B.1C.3- D.6-【答案】AD【解析】【分析】利用向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，代入相关数值，通过解方程即可求解.【详解】解：由向量法可知，点P 到平面α的距离公式为||||AP n d n →→→⋅=，又 ()()22,(,20,2,0)122,1,x x AP x x →+--==-，()1,2,2n =--24AP n x x →→∴⋅=+，||3n ==由点()0,1,2P 到平面α的距离为4，有2443x x+=解得2x =或6x =-故选：AD【点睛】本题考查的是点面距离的计算问题，核心是会利用向量法中点到平面的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题.12.已知双曲线C 经过点6,12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且与椭圆22Γ:12x y +=有公共的焦点12,F F ，点M 为椭圆Γ的上顶点，点P 为C 上一动点，则（）A.双曲线CB.sin 3MOP ∠>C.当P 为C 与Γ的交点时，121cos 3F PF ∠= D.||PM 的最小值为1【答案】ACD 【解析】【分析】根据题意中的点求出双曲线方程，结合离心率的定义即可判断A ；根据双曲线的渐近线，结合图形即可判断B ；根据椭圆与双曲线的定义，结合余弦定理计算即可判断C ；由两点距离公式，结合二次函数的性质即可判断D.【详解】A ：由题意，12(1,0),(1,0)F F -，设双曲线的标准方程为222221,11x y a a a-=<-，将点,1)2代入得212a =，所以双曲线方程为2211122x y -=，得其离心率为22c e a ===，故A 正确；B ：由A 选项的分析知，双曲线的渐近线方程为y x =±，如图，π4MON ∠=，所以π3π44MOP <∠<，得sin 12MOP <∠≤，故B 错误；C ：当P为双曲线和椭圆在第一象限的交点时，由椭圆和双曲线的定义知，1212PF PF PF PF +=-=12,22PF PF ==，又122F F =，在12F PF △中，由余弦定理得222121212121cos 23PF PF F F F PF PF PF +-∠==⋅，故C 正确；D ：设00(,)P x y ，则22001,(0,1)2x y M -=，所以PM ==，当012y =时，min1PM =，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若空间向量(,2,2)a x =和(1,1,1)b = 的夹角为锐角，则x 的取值范围是________【答案】4x >-且2x ≠【解析】【分析】结合向量夹角公式、向量共线列不等式来求得x 的取值范围.【详解】依题意04211a b a bx x ⎧⋅=>⎪⋅⎪⇒>-⎨⎪≠⎪⎩ 且2x ≠.故答案为：4x >-且2x ≠14.已知0a >，0b >，直线1l ：()110a x y -+-=，2l ：210x by ++=，且12l l ⊥，则21a b+的最小值为__________．【答案】8【解析】【分析】根据两条直线的一般式方程及垂直关系，求出a ，b 满足的条件，再由基本不等式求出最小值即可．【详解】因为12l l ⊥，所以()11120a b -⨯+⨯=，即21a b +=，因为0a >，0b >，所以()2121422248b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b =，即12a =，14b =时等号成立，所以21a b+的最小值为8．故答案为：8．15.直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于,A B 两点，点P 在圆()2232x y -+=上，则ABP 面积的取值范围______．【答案】[]6,12【解析】【分析】由题意求得所以()30A -,，()0,3B -，从而求得AB =，再根据直线与圆的位置关系可求得点P 到直线30x y ++=距离h ⎡∈⎣，再结合面积公式即可求解.【详解】因为直线30x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，所以()30A -,，()0,3B -，因此AB =．因为圆()2232x y -+=的圆心为()3,0，半径r =，设圆心()3,0到直线30x y ++=的距离为d ，则3033222d ++==>，因此直线30x y ++=与圆()2232x y -+=相离．又因为点P 在圆()2232x y -+=上，所以点P 到直线30x y ++=距离h 的最小值为32222d r -=-=，最大值为32242d r +=+=，即22,42h ⎡⎤∈⎣⎦，又因为ABP 面积为13222AB h h ⨯⨯=，所以ABC 面积的取值范围为[]6,12．故答案为：[]6,1216.瑞士数学家欧拉（LeonhardEuler ）1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知ABC 的顶点()4,0-A ，()0,4B ，其欧拉线方程为20x y -+=，则顶点C 的坐标可以是_________【答案】()2,0或()0,2-【解析】【分析】设(,)C x y ，依题意可确定ABC ∆的外心为(0,2)M ，可得出,x y 一个关系式，求出ABC ∆重心坐标，代入欧拉直线方程，又可得出,x y 另一个关系式，解方程组，即可得出结论.【详解】设(,),C x y AB 的垂直平分线为y x =-，ABC 的外心为欧拉线方程为20x y -+=与直线y x =-的交点为(1,1)M -，∴22||||10,(1)(1)10MC MA x y ==++-=①由()4,0-A ，()0,4B ，ABC 重心为44(,)33x y -+，代入欧拉线方程20x y -+=，得20x y --=②由①②可得2,0x y ==或0,2x y ==-.故答案为：()2,0或()0,2-.【点睛】本题以数学文化为背景，考查圆的性质和三角形的外心与重心，考查逻辑思维能力和计算能力，属于较难题.四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知圆M 的圆心为()2,3，且经过点()5,1C -.（1）求圆M 的标准方程；（2）已知直线:34160l x y -+=与圆M 相交于,A B 两点，求AB .【答案】（1）()()222325x y -+-=（2）AB =【解析】【分析】（1）根据条件求出圆M 的半径,再结合圆心坐标求出标准方程即可;（2）求出圆心M 到直线l 的距离,再由垂径定理求出||AB .【小问1详解】因为圆M 的圆心为(2,3),且经过点(5,1)C -,所以圆M 的半径5r MC ===,所以圆M 的标准方程为()()222325x y -+-=.【小问2详解】由（1）知，圆M 的圆心为()2,3，半径=5r ，所以圆心M 到直线l 的距离2d =,所以由垂径定理，得AB ===.18.已知ABC 的顶点()3,2A ，边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=．（1）求顶点,B C 的坐标；（2）求ABC 的面积．【答案】（1）B 的坐标为()8,7，C 的坐标为()1,3（2）152【解析】【分析】（1）设(),B a b ，(),C m n ，由题意列方程求解即可得出答案.（2）先求出AB 和直线AB 所在的方程，再由点到直线的距离公式求出边AB 上的高，即可求出ABC 的面积．【小问1详解】设(),B a b ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以2903238022a b a b --=⎧⎪⎨++-⨯+=⎪⎩，解得87a b =⎧⎨=⎩，即B 的坐标为()8,7．设(),C m n ，因为边AB 上的中线所在直线方程为380x y -+=，边AC 上的高所在直线方程为290x y --=，所以3802132m n n m -+=⎧⎪-⎨=-⎪-⎩，解得13m n =⎧⎨=⎩，即C 的坐标为()1,3．【小问2详解】因为()()3,2,8,7A B，所以AB ==因为边AB 所在直线的方程为237283y x --=--，即10x y --=，所以点()1,3C 到边AB的距离为2=，即边AB上的高为2，故ABC的面积为115222⨯=．19.已知直三棱柱111ABC A B C -，侧面11AA C C 是正方形，点F 在线段1AC 上，且13AF =，点E 为1BB 的中点，1AA =，1AB BC ==．（1）求异面直线CE 与BF 所成的角；（2）求平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值．【答案】（1）90（2）21【解析】【分析】（1）利用直棱柱的结构特征，结合线面垂直的性质，建立空间直角坐标系，利用直线与直线所成角的向量求法，计算得结论；（2）分别求出两个平面的法向量，利用平面与平面所成角的向量求法，即可得到结果．【小问1详解】因为侧面11AA C C 是正方形，1AA =，1AB BC ==，所以BA BC ⊥，因为三棱柱111ABC A B C -直三棱柱，所以1BB ⊥面ABC ，而BC ，BA ⊂平面ABC ，因此1BB BC ⊥，1BB BA ⊥，所以BC ，BA ，1BB 两两垂直．以B 为坐标原点，BC ，BA ，1BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图：因此()100C ，，，()000，，B ，()010A ，，，(1102C ，，而点E 为1BB 的中点，所以2002E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，，，因为F 在线段1AC 上，所以设()()1,201AF AC λλλλλ==-≤≤ ，因此(),12BF BA AF λλλ=+=- ，因为13AF = ()()222123λλλ+-+=解得16λ=，因此152,,666BF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，即152,,666F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，因为21,0,2CE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以11066CE BF ⋅=-+= ，因此异面直线CE 与BF 所成的角为90 .【小问2详解】设平面CEF 的法向量为()1n x y z = ，，，而552,,666CF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，因此由1100n CE n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得2025520666x z x y z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-++=⎪⎩，取2z =得1x =，35y =，所以13125n ⎛= ⎝ ，，是平面CEF 的一个法向量，设平面11ACC A 的法向量为()2222n x y z = ，，，()110AC =- ，，，(112AC =- ，，，因此由22100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 得020x y x y z -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =得1y =，0z =，所以()2110n = ，，是平面11ACC A 的一个法向量.设平面CEF 与平面11ACC A 夹角为θ，则02πθ≤≤，因此121212cos cos ,n n n n n n θ⋅==31521+==，所以平面CEF 与平面11ACC A 夹角的余弦值为24221．20.已知双曲线C的焦点坐标为()1F，)2F ，实轴长为4，（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若双曲线C 上存在一点P 使得12PF PF ⊥，求12PF F △的面积．【答案】（1）2214x y -=；（2）1．【解析】【分析】（1）由题可知,c a 的值即可求出双曲线C 的标准方程；（2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由条件知c =，24a =，∴2,1a b ==，∴双曲线C 的方程为2214x y -=．（2）由双曲线的定义可知，124PF PF -=±．∵12PF PF ⊥，∴22212420PF PF c +==，即21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴122PF PF ⋅=，∴12PF F △的面积12112122S PF PF =⋅=⨯=．21.在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，侧面PAB ⊥底面ABCD ，2PA PB AD ===，4BC =.（1）若PB 的中点为E ，求证：//AE 平面PCD ；（2）若PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，求PC 与平面PBD 的所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）80535【解析】【分析】（1）取PC 的中点F ，连接,EF DF .先证明四边形ADFE 是平行四边形，即可得出//DF AE ，然后即可证明线面平行；（2）先证明PO ⊥平面ABCD ，即可得出60PBA ∠=︒.然后建立空间直角坐标系，得出点以及向量的坐标，求出平面PBD 的法向量，根据向量求得PC 与平面PBD 的所成角的正弦值，进而求得余弦值.【小问1详解】如图1，取PC 的中点F ，连接,EF DF ，,E F 分别为,PB PC 的中点，∴//EF BC ，且122EF BC ==.//AD BC 且2AD =，//EF AD ∴且2EF AD ==，∴四边形ADFE 是平行四边形，//DF AE ∴.AE ⊄ 平面PCD ，DF ⊂平面PCD ，∴//AE 平面PCD .【小问2详解】若O 是AB 中点，取CD 中点为G ，连结OG .,O G 分别是,AB CD 的中点，∴//OG BC .AB BC ⊥，∴OG AB ⊥.由底面ABCD 为直角梯形且//AD BC ，2PA PB AD ===，4BC =.PA PB =，∴PO AB ⊥.由侧面PAB ⊥底面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，PO ⊂面PAB ，∴PO ⊥平面ABCD ，P ∴在平面ABCD 的投影在直线AB 上.又PB 与底面ABCD 所成的角为60︒，PB ∴与底面ABCD 所成角的平面角60PBA ∠=︒，∴PAB 为等边三角形，2AB PA ==.以O 为原点，分别以,,OB OG OP 所在的直线为,,x y z 轴，如图2建空间直角坐标系，则()1,0,0B ，()1,4,0C ，()1,2,0D -，(3P ，则(3BP =- ，(1,2,3PD =- ，(1,4,3PC = .设平面PBD 的法向量(),,n x y z =r，则00n BP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即020x x y ⎧-+=⎪⎨-+-=⎪⎩，取x =，得)n = ，∴cos ,35n PC n PC n PC ⋅==r uu u r r uu u r r uu u r .设PC 与平面PBD 的所成角为θ，则sin cos ,35n PC θ== . π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴cos 0θ≥∴cos 35θ==，PC ∴与平面PBD的夹角的余弦值为35.22.已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，斜率为1的直线l 经过F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，8AB =．（1）求抛物线C 的方程；（2）过抛物线C 上一点(),2P a -作两条互相垂直的直线与抛物线C 相交于MN 两点（异于点P ），证明：直线MN 恒过定点，并求出该定点坐标．【答案】（1）24y x=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件，得到直线l 方程为2p y x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得p ，即得答案；（2）求得a 的值，设直线MN 的方程为x my n =+，联立抛物线方程，得根与系数的关系，利用PM PN ⊥，得到32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，代入直线方程，分离参数，求得定点坐标，证明结论.【小问1详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，由题意知(,0)2p F ，则直线l 方程为2p y x =-，代入()220y px p =>，得22304p x px -+=，280p ∆=>，∴123x x p +=，由抛物线定义，知1||2p AF x =+，2||2p BF x =+，∴12348AB AF BF x x p p p p =+=++=+==，∴2p =，∴抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】证明： (),2P a -在抛物线24y x =上，∴242),1(a a =∴=-，由题意，直线MN 的斜率不为0，设直线MN 的方程为x my n =+，设3344(,),(,)M x y N x y ，由24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，则216160m n '∆=+>，且34344,4y y m y y n +==-，又23434)242(x x m y y n m n +=++=+，22234344334()()()x x my n my n m y y mn y y n n =++=+++=，由题意，可知PM PN ⊥,PM PN ∴⊥,故3434(1)(1)(2)(2)0PM PN x x y y +⋅=+--+= ，故()3434343412()40x x x x y y y y -++++++=，整理得2246850n m n m --++=，即22(3)4)(1n m -=-，∴32(1)n m -=-或32(1)n m -=--，即21n m =+或25n m =-+．若21n m =+，则21(2)1x my n my m m y =+=++=++，此时直线MN 过定点(1,2)-，不合题意；若25n m =-+，则()2525x my n my m m y =+=-+=-+，此时直线MN 过定点(5,2)，符合题意，综上，直线MN 过异于P 点的定点(5,2)．【点睛】方法点睛：直线和抛物线的位置关系中，证明直线过定点问题，一般是设出直线方程，利用根与系数的关系化简，求得参数之间的关系式，再对直线分离参数，求得定点坐标，进而证明直线过定点.。

浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

浙江省宁波市镇海2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷含答案

镇海2023学年第二学期期中考试试题高二年级数学学科（答案在最后）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{230}P x x x =+-<∣，集合3{1}Q x x =>-∣，则P Q = （）A.()3,1- B.()2,1- C.()1,1- D.()1,3-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，B ，再结合交集的定义，即可求解．【详解】集合2{|230}{|31}P x x x x x =+-<=-<<，集合{}{}311Q x x x x =-=-，故(1,1)P Q ⋂=-．故选：C ．2.已知函数4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，则21()(log 3)4f f +=（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用指、对数的运算性质，即可求出结果.【详解】因为4log ,01()2,1xx x f x x <<⎧=⎨≥⎩，所以411()log 144f ==-，又2log 31>，所以2log 32(log 3)23f ==，则21((log 3)1324f f +=-+=，故选：B.3.22cos 25sin 25sin110cos 70︒-︒=︒⋅︒（）A.1-B.1C.2- D.2【答案】D 【解析】【分析】直接利用三角函数的关系式的变换求出三角函数的值．【详解】22cos 25sin 25cos50cos50sin 40211sin110cos 70sin 70cos 70sin140sin 4022︒-︒︒︒︒====︒⋅︒︒⋅︒︒︒．故选：D ．4.在ABC 中，“cos sin A B =”是“90C =︒”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】先证明条件是必要的，再构造反例说明条件不是充分的.【详解】若90C =︒，则()()cos cos 180cos 90sin A C B B B =︒--=︒-=，故条件是必要的；当10A =︒，100B =︒，70C =︒时，有cos cos10sin100sin A B =︒=︒=，7090C =︒≠︒，故条件不是充分的.故选：B.5.函数}}:f →，}}:g →，如图所示，则()(){}x f g x g f x ⎡⎤⎡⎤<=⎣⎦⎣⎦∣（）A.{}ln2B.C.{}cos2 D.【答案】A 【解析】【分析】对x =，ln 2x =cos 2x =，分别计算可判断[()][()]f g x g f x <是否成立，可求{|[()][()]}x f g x g f x <.【详解】当x =时，[()](cos 2)ln 20f g x f ==>，[()]cos 20g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，当ln 2x =时，[()](ln 2)cos 20f g x f ==<，[()](cos 2)0g f x g ==>，满足[()][()]f g x g f x <，当cos 2x =时，[()]f g x f ==[()](ln 2)ln 21g f x g ==<，不满足[()][()]f g x g f x <，综上所述：{|[()][()]}{ln 2}x f g x g f x <=.故选：A.6.我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲线”，而“平行曲线”具有性质：任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交，被截得的线段长度相等.已知函数()()πtan 06h x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭图象中的两条相邻“平行曲线”与直线2024y =相交于A 、B 两点，且3AB =，则34f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A.B.C.2D.2+【答案】D 【解析】【分析】由“平行曲线”的性质和周期公式求出ω，再代入函数值结合两角和的正切展开式计算即可.【详解】由“平行曲线”的性质可得函数的最小正周期为3T AB ==，所以ππ3T ω==，所以()ππtan 36h x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππtantan 13π3πππ463tan tan 2ππ43464631tan tan 463f ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+==+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⨯故选：D.7.如图所示，在梯形ABCD 中，//AB CD ，π2ABC ∠=，点E 是BC 上一点，π24,3CE BE AED ==∠=，ADE V的面积为AD 的长为（）A.B. C.8D.【答案】A 【解析】【分析】设,AB x CD y ==，求得24tan(π)124x y AED x y +-∠=-420x y ---=，再由ADE V的面积为2x y +=,x y 的值，即可求解.【详解】由题意，设,AB x CD y ==，则24tan(π)tan()124x y AED AED CED x y +-∠=∠+∠=-，可得2π24tan3124x y x y +==-420x y ---=，又由111()624222x y x y =+⨯-⋅-⋅，即2x y +=联立可得24xy =，联立方程组242xy x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得x y ==所以AD ==.故选：A.8.已知0.5log x x =，0.5log yx y =，0.5log zx z =，则（）A.z x y <<B.y z x <<C.x y z<< D.y x z<<【答案】D 【解析】【分析】构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<；由0.5log 0yx y =>得01y <<，从而有0.50.5log log y x >，得到y x <，由0.5log zx z =得到log log x x z x <，得到z x >，从而求出结果.【详解】令()0.5log x f x x =-，易得()f x 单调递增，又0.50log 111112222f ⎛⎫=-=-<⎪⎝⎭，()0.511110log f =-=>，所以()f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭存在唯一零点，因为0.5log x x =，所以112x <<，由0.5log 0y x y =>，知01y <<，所以0.50.5log log yx y x x =>=，又函数0.5log y x =在(0,)+∞上单调递减，所以y x <，由0.5log zx z =，知0z >，所以00.5log 1log zx x z x <=<=，所以z x >，综上，y x z <<.故选：D.【点睛】关键点点晴：本题的关键在于构造函数()0.5log x f x x =-，利用零点存在定理得到112x <<，再利用指对数函数的单调性解决问题.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若2x a x ++-的最小值是1，则实数a 的值可以为（）A.1-B.2- C.3- D.4-【答案】AC 【解析】【分析】根据条件，利用绝对值三角不等式，即可求出结果.【详解】因为22x a x a ++-≥+，当且仅当(2)()0x a x +-≥取等号，又2x a x ++-的最小值是1，所以21a +=，解得1a =-或3a =-，故答案为：AC.10.已知函数()1e exxm f x m -⋅=+是定义域上的奇函数，则下列选项中错误．．的是（）A.1m = B.()1f x =有解C.()()210f f +-=D.()2y f x =+与()4y f x =-的图象关于3x =对称【答案】ABCD【解析】【分析】对于A ，验证1m =-符合题意即可说明选项错误；对于B ，假设()1f x =，再得出矛盾即可说明选项错误；对于C ，利用单调性和奇偶性可验证结论不成立，从而说明选项错误；对于D ，利用图象对称对应的恒等式，验证其不恒成立，即可说明选项错误.【详解】对于A ：若1m ≠-，则由0e 0m +≠知()f x 的定义域包含0x =，再由()f x 是奇函数有()00f =，代入得101mm -=+，故1m =，经检验符合题意.若1m =-，则()1e e 11e e 1x x xxf x ++==-+-，其定义域0x ≠关于原点对称，且()()e 11e e 1e 11e e 1x x x x xx f x f x --+++-===-=----，从而()f x 是奇函数.这表明m 的所有可能值是1m =或1m =-，故A 错误；对于B ：由上面的结论知()1e 1e x xf x -=+或()e 1e 1x x f x +=-.无论哪种情况，()1f x =都意味着e 1e 1xx+=-，两边同时平方得到22e 2e 1e 2e 1x x x x ++=-+，即4e 0x =，这是不可能的.所以()1f x =无解，故B 错误；对于C ：若()1e 1e x x f x -=+，则由()1e 211e 1e x x xf x -==-+++知()f x 单调递减；若()e 1e 1x x f x +=-，则由()e 121e 1e 1x x xf x +==+--知()f x 在()0,∞+上单调递减.无论怎样，都有()f x 在()0,∞+上单调递减，故()()21f f <.所以()()()()21210f f f f +-=-<，故C 错误；对于D ：该选项的描述即为()()()264f x f x +-=-（若等号两边都有意义）.即()()84f x f x -=-（若等号两边都有意义）.但根据上面的论证，知()f x 在()0,∞+上单调递减，故4x <时必有()()84f x f x -<-.故D 错误.故选：ABCD.11.若a ，b 为函数()()2sin 1f x x m x =++-的两个不同零点，令()h m a b =-，则下列命题正确的是（）A.π是函数()h m 的一个周期B.02π⎛⎫ ⎪⎝⎭，是函数()h m 的一个单调递减区间C.函数()h m 的图象是轴对称图形 D.函数()h m 的图象是中心对称图形【答案】BC 【解析】【分析】由于此题的零点无法求解，因此联想到数形结合来做，即通过分析特殊值来确定选项A ，再通过24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪的解来分析选项BC ，利用反证法可判断D .【详解】对于A ，若π2m =时，()2cos 1f x x x =+-，此时()sin 2f x x x '=-+，设()sin 2s x x x =-+，则()cos 20s x x '=-+>，故()f x '为R 上的增函数，而()00f '=，故当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()00f =，故()f x 仅有一个零点，与题设矛盾，故π2m ≠.同理π2π,Z 2m k k ≠+∈，当3π2m =时，()2cos 1f x x x =-+-，此时()sin 2f x x x '=+，同理可得()f x 在(),0∞-上为减函数，在()0,∞+上为增函数，而()020f =-<，()()223cos 20f f =-=->，故此时()f x 有两个不同的零点，故()h m 的周期不是π，故A 错误.对于B ，()()2sin 1f x x m x =++-的x m =-的零点差的绝对值,其中π2π,Z 2m k k ≠+∈.设()n 24g x x π⎛⎫- ⎪⎝=⎭=，其图像如图所示，根据对称性及A 中讨论，24x x m π⎛⎫⎝⎭=--⎪在ππ,22⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的两个不同零点差的绝对值，其中02m π<<，设该方程较大的零点为b ，较小的零点为a ，则π02b <<，因为πππ222m m g ⎛⎫--=+>=- ⎪⎝⎭，故π2a >-.设1202m m π<<<，1x m =-的两个根为11,a b ，且11ππ22a b -<<<，11m a =-11b m =-11b a +=-.同理()22sin 1y x m x =++-的两边不同的零点22,a b 也满足：22b a +-，其中1212ππ22a ab b <<<-<<，而ππ,22y x ⎡⎫=∈-⎪⎢⎣⎭为减函数，<，<，故2211b a b a -<-即()()12h m h m >，故()h m 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭为减函数，故B 成立.对于C ，结合B 中()g x 的图像关于直线2x π=对称可知22h m h m ππ⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即函数()h m 的图象关于直线2m π=对称，即选项C 是正确的；对于D ，当R m ∈且π2π,Z 2m k k ≠+∈时，结合()g x 的图像可得()h m 的最小正周期为2π，且()h m 的图象有两类对称轴：π2π,Z 2m k k =+∈，3π2π,Z 2m k k =+∈，若()h m 图像有对称中心()00,m h ，根据()h m 的最小正周期为2π及对称性不妨设0π3π,22m ⎛⎤∈⎥⎝⎦，且()()0022h m m h m n -+=，而()()πh m h m -=，故()()002π2h m m h m n -+-=，故()()002π2h m m h m n -++=，所以()()00042π2π2h m m h m m n -++-+=，故()()042πh m m h m -+=，故()h m 的周期为042m π-，但(]04π,4πm π-∈，结合最小正周期为2π可得042π4πm -=即03π2m =，但直线03π2m =为对称轴，故()h m 的图像无对称中心.故D 错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：复杂函数的零点问题，可利用变换转化为简单函数的图象的交点问题，而抽象函数的性质的讨论，可以依据定义来进行判断.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.用列举法表示集合6{|}9x x∈∈-N N 的结果为_____________.【答案】{}1,2,3,6【解析】【分析】根据题意可9x -知为6的约数，求得x 的取值，用列举法表示集合即可.【详解】由6N 9x∈-可知9x -为6的约数，所以91,2,3,6x -=，因为N x ∈，所以8,7,6,3x =，此时，66,3,2,19x=-集合为{}1,2,3,6.故答案为：{}1,2,3,6.13.将函数()π3cos 2y x ϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），再向右平移π3个单位得到曲线C .若曲线C 的图象关于直线π4x =对称，则ϕ的值为_________.【答案】π6##1π6【解析】【分析】先求出曲线C 的解析式π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，然后根据图象的对称性即得πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，最后利用余弦函数的性质及ϕ的范围可求得ϕ的值.【详解】将函数()3cos y x ϕ=+的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，得到函数()3cos 2y x ϕ=+的图象；再将函数()3cos 2y x ϕ=+的图象向右平移π3个单位，得到曲线π3cos 23y x ϕ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由条件知该曲线关于直线π4x =对称，故对应函数在π4x =处取得最大值或最小值，从而ππcos 2143ϕ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即πcos 16ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.从而()ππ6k k ϕ-=∈Z ，即()ππ6k k ϕ=+∈Z .再由π2ϕ<即ππ22ϕ-<<，就得到2133k -<<，从而0k =，故π6ϕ=.故答案为：π6.14.已知1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，则z 的最大值为_________.【答案】4310【解析】【分析】由已知结合对数的换底公式进行化简，然后结合基本不等式即可求解．【详解】因为1x >，1y >，1z >，且满足log 10log 10log 10log 101x y xy z +=+=，所以111lg lg x y +=，111lg()lg xy z+=，所以2lg lg lg lg lg lg (2x y x y x y +⋅=+≤，当且仅当100x y ==时取等号，所以lg lg 4x y +≥，110lg lg 4x y <≤+，因为111lg()lg xy z+=，所以111311[,1)lg lg()lg lg 4z xy x y =-=-∈+，所以41lg 3z <≤，所以431010z <≤，故z 的最大值为4310．故答案为：4310．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知不等式603xx -≥-的解集为A ，函数()()2lg 2f x x x a =-+的定义域为B .（1）求A ；（2）若A B ⊆，求a 的范围.【答案】（1）(3,6]（2）[3,)-+∞【解析】【分析】（1）直接利用分式不等式的解法求出结果；（2）利用对数的定义域和集合间的关系求出参数a 的取值范围．【小问1详解】不等式603x x -≥-，整理得：603x x -≤-，即(3)(6)030x x x --≤⎧⎨-≠⎩，解得：36x <≤，故集合A 的解集为(3,6]．【小问2详解】由于(3A =,6]，由于A B ⊆，则2()lg(2)f x x x a =-+的定义域满足对(3A ∀=,6]，220x x a -+>恒成立，故满足2360a -+≥，整理得3a ≥-，故实数a 的取值范围[3,)-+∞．16.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()223f x f x x +-=+.（1）求()f x ；（2）若函数()()()33f x x g x t f t =+⋅-，[]1,1x ∈-，是否存在实数t 使得()g x 的最小值为3-？若存在，求出实数t 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()21f x x =+（2）不存在，理由见解析【解析】【分析】（1）将已知中的x 替换为x -，得出方程组，求解即可得到答案；（2）由（1）可得()21323x x g x t +=+⋅，利用换元法令3x u =，结合一元二次函数的单调性讨论即可.【小问1详解】由()()223f x f x x +-=+可得()()223f x f x x -+=-+，联立()()()()223223f x f x x f x f x x ⎧+-=+⎪⎨-+=-+⎪⎩，解得()21f x x =+.【小问2详解】由（1）可得()()21213231323x x x x g x t t t ++=+⋅⨯+-=+⋅，令3x u =，则当[]1,1x ∈-时，1,33u ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()232g u u tu =+，所以()g u 在,3t ∞⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在,3t ∞⎛⎫-+ ⎪⎝⎭上单调递增，当133t -≤，即1t ≥-时，()2min111323333g u g t ⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得5t =-，与1t ≥-矛盾，当33t-≥，即9t ≤-时，()()2min 333233g u g t ==⨯+⨯=-，解得5t =-，与9t ≤-矛盾，当1333t <-<，即91t -<<-时，()2min323333t t t g u g t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得1t =±，与91t -<<-矛盾，综上不存在实数t 使得()g x 的最小值为3-.17.已知函数()()2cos 2sin 10f x x x x ωωωω=+->的最小正周期为π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（2）若函数()f x 在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，求α的取值范围.【答案】（1）1ω=，πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦（2）5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换得π()2sin 26f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再由周期公式及正弦函数的单调性求解即可；（2）首先根据区间形式得到π2α>，再利用整体法结合正弦函数性质得到不等式组，解出即可.【小问1详解】()2πcos 2sin 12cos 22sin 26f x x x x x x x ωωωωωω⎛⎫=+-=-=- ⎪⎝⎭，由题意可得：2π==π2T ω，则1ω=，∴()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令πππ2π22π,Z 262k x k k -≤-≤+∈，则ππππ,Z 63k x k k -≤≤+∈∴函数()f x 的单调增区间为πππ,π,Z 63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎣⎦；【小问2详解】根据区间形式得παα>-，则π2α>，又因为[]π,x αα∈-，则11πππ222666x αα-≤-≤-，π5π266α->，若()π2sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在区间[]π,αα-内既有最大值又有最小值，则11ππ262α-≤-，解得7π6α≥；或者π3π26211ππ262αα⎧-≥⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得5π6α≥；综上两者取并集得5π6α≥.所以α的取值范围为5π,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.18.已知在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足()sin cos cos cos B c B b C B +=.（1）求B ；（2）若π2C =，且C 的角平分线交AB 于P ，Q 为边AC 的中点，CP 与BQ 交于点D .求cos PDQ ∠；（3）若5b =，求ABC 内切圆半径r 的取值范围.【答案】（1）π3B =（2）42214cos 14PDQ -∠=（3）ABC 内切圆半径r 的取值范围为(0,]6【解析】【分析】（1）由正弦定理可得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，利用三角恒等变换可得B ；（2）设2BC a =，可求得cos BQC ∠，sin BQC ∠，利用cos cos()PDQ PCQ BQC ∠=∠+∠，可求值；（3）由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，可求得510a c <+≤，进而可得325acr a c =++，进而计算可求得ABC 内切圆半径r 的取值范围.【小问1详解】由sin (cos cos )cos B c B b C B +=,结合正弦定理得sin (sin cos sin cos )cos B C B B C A B +=，所以sin sin()cos B C B A B +=，所以sin sin(π)cos B A A B -=,所以sin sin cos B A A B =，因为sin 0A ≠，所以sin B B =，所以tan B =，因为(0,π)B ∈，所以π3B =.【小问2详解】当π2C =时，设2BC a =，由（1）可知π3B =，则AC =，因为Q是AC的中点，故QC=，所以BQ==，所以cosCQBQCBQ∠==sin BCBQCBQ∠==，所以πππcos cos()cos()cos cos sin sin444 PDQ PCQ BQC BQC BQC BQC ∠=∠+∠=+∠=∠-∠2214=-=；【小问3详解】由余弦定理可得2222cosb ac ac B=+-，所以222222125()3()3(()24a ca c ac a c ac a c a c+=+-=+-≥+-=+，当且仅当5a c==时取等号，所以10a c+≤，又5a c b+>=，所以510a c<+≤,因为1111sin2222ABCar br cr S ac B++==，由225()3a c ac=+-，可得21[()25]3ac a c=+-，所以213[()25]32(5)25256a cac acr a ca b c a c a c+-====+-++++++，所以06r<≤，所以ABC内切圆半径r的取值范围为(0,6.19.已知函数()2241mx xf xx+=+，函数()22mg x x=+.（1）若0m=，求()f x的值域；（2）若(]0,4m∈：（ⅰ）解关于x的不等式：()()f xg x≤；（ⅱ）设,a b∈R，若实数t满足()()2f a f b t⋅=-，比较()()1g t m g--与18的大小，并证明你的结论.【答案】（1）[]22-,（2）（ⅰ）4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭（ⅱ）当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<，证明见解析【解析】【分析】（1）利用函数的奇偶性和双勾函数的性质可求值域.（2）利用()()()()()221421x mx g x f x x -+-=+即可求出不等式的解集，然后证明2t ≤，再代入解析式证明()()118g t m g --≤，最后判断不等号两边相等的条件即可.【小问1详解】当0m =时，()241xf x x =+，其定义域为R ，而()()241xf x f x x -=-=-+，故()f x 为奇函数，当0x =时，()0f x =;当0x >时，()41f x x x=+，而1y x x=+在()0,+∞上的值域为[)2,+∞,故此时()(]0,2f x ∈，结合()f x 为奇函数可得()f x 的值域是[]22-,.【小问2详解】若(]0,4m ∈：（ⅰ）由于()()()()()()()2222224144412421212121x mx x mx m mx x mx x g x f x x mx x x x x +-+++⎛⎫-=+-=-=-+= ⎪++++⎝⎭，故不等式()()f x g x ≤等价于()()2140x mx -+≥，即40mx +≥或1x =.由4m -是负数，知原不等式的解集为4,m ∞⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭；（ⅱ）由于关于x 的方程()2241mx x f a x +=+有解x a =，故关于x 的方程()()()240f a m x x f a --+=有解.如果()0f a m -≠，则该方程是二次方程，所以其判别式非负，即()()()1640f a f a m --≥.从而()0f a m -=和()()()1640f a f a m --≥这两个结论中，至少有一个成立.但当()0f a m -=时，亦有()()()164160f a f a m --=≥.故()()()1640f a f a m --≥一定成立，所以()()()4f a f a m -≤.同理()()()4f b f b m -≤，所以()(),22m m f a f b ⎡-+∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦.故()()2422m m t f a f b +-=≥⋅=-，所以22t -≤≤.所以由0m >，2t ≤即可得到()()()()()211111221122228228m m m m g t m g t m t m m m ⎛⎫--=-+--=--≤-=--≤ ⎪⎝⎭.根据上面的证明过程显然能够得出，不等号两边相等当且仅当2t =且12m =.综上，比较的结果为：当2t =且12m =时，()()118g t m g --=；当2t ≠或12m ≠时，()()118g t m g --<.【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于将函数的解析式与不等式结合，利用函数的性质即可更容易地解出与之相关的不等式.。

湖北省武汉市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

湖北省武汉市2023-2024学年高二上学期期中数学试题含解析

2023-2024学年度上学期高二期中检测数学试题（答案在最后）时限：120分钟满分：150分一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，M 为11A C 与11B D 的交点，若1,,AB a AD b AA c ===，则BM = （）A.1122-+ a b c B.1122++a b c C.1122--+ a b cD.1122a b c-++ 【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算进行求解.【详解】1111111111111()()()22222BM BB B M BB A D A B AA AD AB c b a a b c =+=+-=+-=+-=-++.故选：D2.平面内到两定点(6,0)A -、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为（）A.椭圆B.双曲线C.双曲线的一支D.以上选项都不对【答案】D 【解析】【分析】根据动点满足的几何性质判断即可.【详解】因为(6,0)A -、(0,8)B ，所以10AB ==，而平面内到两定点(6,0)A -、(0,8)B 的距离之差等于10的点的轨迹为一条射线.故选：D3.“4k >”是“方程22(2)50x y kx k y +++-+=表示圆的方程”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】根据()22250x y kx k y +++-+=表示圆得到2k <-或4k >，然后判断充分性和必要性即可.【详解】若()22250x y kx k y +++-+=表示圆，则()222450k k +--⨯>，解得2k <-或4k >，4k >可以推出()22250x y kx k y +++-+=表示圆，满足充分性，()22250x y kx k y +++-+=表示圆不能推出4k >，不满足必要性，所以4k >是()22250x y kx k y +++-+=表示圆的充分不必要条件.故选：A.4.已知椭圆22:141x y C k +=+的离心率为12，则实数k 的值为（）A.2B.2或7C.2或133D.7或133【答案】C 【解析】【分析】利用椭圆的标准方程、椭圆的离心率公式分析运算即可得解.【详解】由题意，椭圆22:141x y C k +=+，则10k +>，且14k +≠，由离心率12c e a ===，解得：2234b a =，若椭圆的焦点在x 轴上，则221344b k a +==，解得：2k =；若椭圆的焦点在y 轴上，则224314bak ==+，解得：133k =；综上知，2k =或133.故选：C.5.如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分．过对称轴的截口BAC 是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点1F 上，片门位于另一个焦点2F 上．由椭圆的一个焦点1F 发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点2F ．已知112BF F F ⊥，153F B =，124F F =．若透明窗DE 所在的直线与截口BAC 所在的椭圆交于一点P ，且1290F PF ∠=︒，则12PF F △的面积为（）A.2B.C.D.5【答案】D 【解析】【分析】由椭圆定义12||||6PF PF +=，根据1290F PF ∠=︒，结合勾股定理可得可得12||||F P P F ⋅的值，则即可求12F PF △的面积．【详解】由112BF F F ⊥，15||3F B =，12||4F F =，得213||3BF =，则椭圆长轴长122||||6a F B F B =+=，由点P 在椭圆上，得12||||26PF PF a +==，又1290F PF ∠=︒，则2222121212121216||||||(||||)2||||362||||F F PF PF PF PF PF PF PF PF =+==+-=-，因此12||||10PF PF ⋅=，所以12F PF △的面积为121||||52PF PF ⋅=.故选：D6.已知圆221:()(3)9C x a y -++=与圆222:()(1)1C x b y +++=外切，则ab 的最大值为（）A.2B.C.52D.3【答案】D 【解析】【分析】利用两圆外切求出,a b 的关系，再利用基本不等式求解即得.【详解】圆221:()(3)9C x a y -++=的圆心1(,3)C a -，半径13r =，圆222:()(1)1C x b y +++=的圆心2(,1)C b --，半径21r =，依题意，1212||4C C r r =+=，于是222()24a b ++=，即22122224a b ab ab ab ab =++≥+=，因此3ab ≤，当且仅当a b =时取等号，所以ab 的最大值为3.故选：D7.如图所示，三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面π,2BCD BCD ∠=，222BC AB CD ===，点P 为棱AC 的中点，,E F 分别为直线,DP AB 上的动点，则线段EF 的最小值为（）A.24B.2C.104D.2【答案】B 【解析】【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量建立EF 的函数关系求解即可.【详解】三棱锥A BCD -中，过C 作Cz ⊥平面BCD ，由π2BCD ∠=，知BC CD ⊥，以C 为原点，直线,,CD CB Cz 分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图，由AB ⊥平面BCD ，得//AB Cz ，则1(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0),(0,2,1),(0,1,)2C D B A P ，令1(1,1,)(,,22t DE tDP t t t ==-=- ，则(1,,)2tE t t -，设(0,2,)F m ，于是||2EF = ，当且仅当33,224t t m ===时取等号，所以线段EF的最小值为2.故选：B8.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，椭圆E 上存在两点,A B 使得梯形12AF F B 的高为c （c 为该椭圆的半焦距），且124AF BF =，则椭圆E 的离心率为（）A.3B.45C.5D.56【答案】C 【解析】【分析】根据124AF BF =，可得12AF BF ∥，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，所以2PF c =，则可求得1230PF F ∠=︒，再结合124AF BF =，建立,,a b c 的关系即可得出答案.【详解】如图，由124AF BF =，得12//AF BF ，则1AF ，2BF 为梯形12AF F B 的两条底边，作21F P AF ⊥于点P ，则21F P AF ⊥，由梯形12AF F B 的高为c ，得2PF c =，在12Rt F PF 中，122F F c =，则有1230PF F ∠=︒，1230AF F ∠=︒，在12AF F △中，设1AF x =，则22AF a x =-，22221121122cos30AF AF F F AF F F =+-︒，即()22224a x x c -=+-，解得2132AF x ==，在12BF F △中，21150BF F ∠=︒，同理222BF =，又124AF BF =324a c +=，即32a c =，所以离心率5c e a ==.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.直线:10l x y -+=与圆22:()2(13)C x a y a ++=-≤≤的公共点的个数可能为（）A.0B.1C.2D.3【答案】BC 【解析】【分析】根据给定条件，求出圆心到直线l 距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆22:()2C x a y ++=的圆心(,0)C a -，半径2r =当13a -≤≤时，点(,0)C a -到直线l 的距离2]22d ==，因此直线l 与圆相切或相交，所以直线l 与圆C 的公共点个数为1或2.故选：BC10.下列四个命题中正确的是（）A.过点(3,1)，且在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线方程为20x y --=B.过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++-=相切的直线方程为51250x y +-=或1x =C.若直线10kx y k ---=和以(3,1),(3,2)M N -为端点的线段相交，则实数k 的取值范围为12k ≤-或32k ≥D.若三条直线0,0,3x y x y x ay a +=-=+=-不能构成三角形，则实数a 所有可能的取值组成的集合为{1,1}-【答案】BC 【解析】【分析】利用直线截距式方程判断A ；求出圆的切线方程判断B ；求出直线斜率范围判断C ；利用三条直线不能构成三角形的条件求出a 值判断D.【详解】对于A ，过点(3,1)在x 轴和y 轴上的截距互为相反数的直线还有过原点的直线，其方程为13y x =，A 错误；对于B ，圆:C 22(1)(3)4x y ++-=的圆心(1,3)C -，半径2r =，过点(1,0)斜率不存在的直线1x =与圆C 相切，当切线斜率存在时，设切线方程为(1)y k x =-2=，解得512k =-，此切线方程为51250x y +-=，所以过点(1,0)且与圆22(1)(3)4x y ++-=相切的直线方程为51250x y +-=或1x =，B 正确；对于C ，直线10kx y k ---=恒过定点(1,1)P -，直线,PM PN 的斜率分别为()()211131,312312PN PM k k ----====----，依题意，PM k k ≤或PN k k ≥，即为12k ≤-或32k ≥，C 正确；对于D ，当直线0,3x y x ay a +=+=-平行时，1a =，当直线0,3x y x ay a -=+=-平行时，1a =-，显然直线0,0x y x y +=-=交于点(0,0)，当点(0,0)在直线3x ay a +=-时，3a =，所以三条直线0,0,3x y x y x ay a +=-=+=-不能构成三角形，实数a 的取值集合为{}113-,,，D 错误.故选：BC11.已知椭圆2225:1092x y C k k ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭的两个焦点分别为12,F F ，点P 是椭圆C 上的动点，点Q 是圆22:(2)(4)2E x y -+-=上任意一点．若2||PQ PF +的最小值为4则下列说法中正确的是（）A.k =B.12PF PF ⋅的最大值为5C.存在点P 使得12π3F PF ∠= D.2||PQ PF -的最小值为6-【答案】ABC【解析】【分析】首先得到圆心坐标与半径，即可判断E 在椭圆外部，在222||||PQ PF PE PF EF +≥+--求出2EF ，即可求出k ，再根据数量积的运算律及椭圆的性质判断B 、C ，根据椭圆的定义判断D.【详解】椭圆2225:1092x y C k k ⎛⎫+=<< ⎪⎝⎭，则3a =，所以1226PF PF a +==，圆22:(2)(4)2E x y -+-=的圆心为()2,4E ，半径r =所以2222419k+>，所以点E 在椭圆外部，又222||||PQ PF PE PF EF +≥+--，当且仅当E 、P 、2F 三点共线（P 在E 2F 之间）时等号成立，所以24EF ==，解得2c =，所以294k -=，解得k =（负值舍去），故A 正确；()()1212PF PF PO OF PO OF ⋅=+⋅+21122PO PO OF PO OF OF OF =+⋅+⋅+⋅ ()21121PO PO OF OF OF OF =+⋅+-⋅ 22214PO OF PO =-=- ，又PO ⎤∈⎦ ，所以[]25,9PO ∈ ，所以[]121,5PF PF ⋅∈ ，即12PF PF ⋅ 的最大值为5，当且仅当P 在上、下顶点时取最大值，故B 正确；设B 为椭圆的上顶点，则OB =22OF =，所以23tan 3OBF ∠=>，所以2π6OBF ∠>，所以12π3F BF ∠>，则存在点P 使得12π3F PF ∠=，故C 正确；因为()121||||6||6PQ PF PQ PF PQ PF -=--=+-11||666PE PF EF ≥+--≥--，当且仅当E 、Q 、P 、1F 四点共线（且Q 、P 在E 1F 之间）时取等号，故D 错误.故选：ABC12.在棱台1111ABCD A B C D -中，底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，侧面11CDD C 和侧面11BCC B 均为直角梯形，且113,CC CC =⊥平面ABCD ，点P 为棱台表面上的一动点，且满足112PD PC =，则下列说法正确的是（）A.二面角1D AD B --的余弦值为13B.棱台的体积为26C.若点P 在侧面11DCC D 内运动，则四棱锥11P A BCD -体积的最小值为4(63D.点P 的轨迹长度为8π9+【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，利用空间向量相关公式求出二面角的余弦值；B 选项，利用棱台体积公式求出答案；C 选项，设出(),0,P u v ，求出轨迹方程，得到P 点的轨迹，从而得到点P 到平面11A BCD 的最短距离为8134133PF EF EP =-=-，利用体积公式求出答案；D 选项，考虑点P 在各个面上运算，求出相应的轨迹，求出轨迹长度，相加后得到答案.【详解】A 选项，因为1CC ⊥平面ABCD ，,BC CD ⊂平面ABCD ，所以11,CC BC CC CD ⊥⊥，又底面1111,ABCD A B C D 分别是边长为4和2的正方形，故BC CD ⊥，故1,,CC BC CD 两两垂直，以C 为坐标原点，1,,CD CB CC 所在直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，则()()()()112,0,3,4,4,0,4,0,0,0,0,3D A D C ，平面ADB 的法向量为()0,0,1n =，设平面1D AD 的法向量为()1,,n x y z =，则()()()()111,,0,4,040,,2,4,32430n AD x y z y n AD x y z x y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅--=--+=⎪⎩ ，解得0y =，令3x =得，2z =，故()13,0,2n =，则111cos ,13n n n n n n ⋅⋅==⋅，又从图形可看出二面角1D AD B --为锐角，故二面角1D AD B --余弦值为13，A正确；B 选项，棱台的体积为(221243283V =++⨯=，B 错误；C 选项，若点P 在侧面11DCC D 内运动，112PD PC =，设(),0,P u v=，整理得()22216339u v ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，故P 点的轨迹为以2,0,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆在侧面11DCC D 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QW 即为所求，过点E 作EF ⊥1CD 于点F ，与圆弧QW 交于点P ，此时点P 到平面11A BCD 的距离最短，由勾股定理得1CD ==，因为11128233ED EC CD =+=+=，1111sin C C CD C CD ∠==1118sin 313EF D E CD C =∠=，故点P 到平面11A BCD 的最短距离为8134133PF EF EP =-=-，因为11A D 与BC 平行，且BC ⊥平面11CDD C ，又1CD ⊂平面11CDD C ，所以BC ⊥1CD ，故四边形11A BCD 为直角梯形，故面积为()()1112422A D BC CD +⋅+==则四棱锥11P A BCD -体积的最小值为314(643133⎛⎫⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭，C 正确；D 选项，由C 选项可知，当点P 在侧面11DCC D 内运动时，轨迹为圆弧QW ，设其圆心角为α，则1213cos 423C E EW α===，故π3α=，所以圆弧QW 的长度为π44π339⋅=，当点P 在面1111D C B A 内运动时，112PD PC =，设(),,3P s t=整理得2221639s t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，点P 的轨迹为以2,0,33E ⎛⎫-⎪⎝⎭为圆心，43为半径的圆在侧面1111D C B A 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧QR 即为所求轨迹，其中1213cos 423C E QER ER ∠===，故π3QER ∠=，则圆弧QR 长度为π44π339⋅=，若点P 在面11BCC B 内运动时，112PD PC =，设()0,,P kl ，则=，整理得()22433k l +-=，点P 的轨迹为以()10,0,3C 为圆心，3为半径的圆在侧面11BCC B 内部（含边界）部分，如图所示，圆弧GH 即为所求，此时圆心角1π2GC H =，故圆弧GH长度为π233⋅=，经检验，当点P 在其他面上运动时，均不合要求，综上，点P 的轨迹长度为π4π3π2938339⨯++=，D 正确.故选：ACD【点睛】立体几何中体积最值问题，一般可从三个方面考虑：一是构建函数法，即建立所求体积的目标函数，转化为函数的最值问题进行求解；二是借助基本不等式求最值，几何体变化过程中两个互相牵制的变量（两个变量之间有等量关系），往往可以使用此种方法；三是根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知(2,),(,4)P m Q m -，且直线PQ 与直线:20+-=l x y 垂直，则实数m 的值为______．【答案】1【解析】【分析】首先求出直线l 的斜率，由两直线垂直得到斜率之积为1-，即可求出PQ k ，再由斜率公式计算可得.【详解】因为直线:20+-=l x y 的斜率1k =-，又直线PQ 与直线:20+-=l x y 垂直，所以1PQ k =，即412m m-=--，解得1m =.故答案为：114.以椭圆2251162x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线的标准方程为______．【答案】221916y x -=【解析】【分析】根据给定的椭圆方程求出双曲线的顶点及焦点坐标，即可求出双曲线方程.【详解】椭圆2251162x y +=的长轴端点为(0,5),(0,5)-，焦点为(0,3),(0,3)-，因此以(0,3),(0,3)-为顶点，(0,5),(0,5)-4=，方程为221916y x-=.故答案为：221916y x -=15.椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +-=的最远距离为______．【答案】6105【解析】【分析】设出椭圆上任意一点的坐标，再利用点到直线距离公式，结合三角函数性质求解即得.【详解】设椭圆22:14x E y +=上的点(2cos ,sin )(02π)P θθθ≤<，则点P到直线20x y +-=的距离：π2sin 54d θ⎡⎤⎛⎫==-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，显然当5π4θ=时，max 5d =，所以椭圆22:44E x y +=上的点到直线20x y +-=的最远距离为5.故答案为：516.已知点A 的坐标为(0,3)，点,B C 是圆22:25O x y +=上的两个动点，且满足90BAC ∠=︒，则ABC 面积的最大值为______．【答案】252+【解析】【分析】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，由题意求解P 的轨迹方程，得到AP 的最大值，写出三角形ABC 的面积，结合基本不等式求解．【详解】设()11,B x y ，()22,C x y ，BC 的中点(,)P x y ，点B ，C 为圆22:25O x y +=上的两动点，且90BAC∠=︒，∴121225y x =+，222225x y +=①，122x x x +=，122y y y +=②，1212(3)(3)0x x y y +--=③由③得1212123()90x x y y y y +-++=，即121269x x y y y +=-④，把②中两个等式两边平方得：221122224x x x x x ++=，222121224y y y y y ++=，即221212502()44x x y y x y ++=+⑤，把④代入⑤，可得2234124x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，即P 在以30,2⎛⎫ ⎪⎝⎭为半径的圆上．则AP 的最大值为32+．所以()22222111325324422ABCS AB AC AB AC BC AP ⎛⎫++=≤+==≤= ⎪ ⎪⎝⎭．当且仅当AB AC =，P 的坐标为30,2⎛- ⎝⎭时取等号．故答案为：252+四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知ABC 的顶点(4,1)A ，边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +-=，边AC 上的中线BM 所在的直线方程为310x y --=．（1）求点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）(1,4)--；（2）7110x y ++=.【解析】【分析】（1）由垂直关系求出直线AB 的方程，再求出两直线的交点坐标即得.（2）设出点C 的坐标，利用中点坐标公式求出点C 坐标，再利用两点式求出直线方程.【小问1详解】由边AB 上的高线CH 所在的直线方程为10x y +-=，得直线AB 的斜率为1，直线AB 方程为14y x -=-，即3y x =-，由3310y x x y =-⎧⎨--=⎩，解得1,4x y =-=-，所以点B 的坐标是(1,4)--.【小问2详解】由点C 在直线10x y +-=上，设点(,1)C a a -，于是边AC 的中点2,122a a M ⎛⎫+- ⎪⎝⎭在直线310x y --=上，因此3611022a a+-+-=，解得2a =-，即得点(2,3)C -，直线BC 的斜率4371(2)k --==----，所以直线BC 的方程为37(2)y x -=-+，即7110x y ++=.18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中底面为正三角形，1114,2,120AA AB A AB A AC ==∠=∠=︒．（1）证明：1AA BC ⊥；（2）求异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）70【解析】【分析】（1）根据数量积的运算律及定义得到10AA BC ⋅=，即可得证；（2）取AB 的中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，即可得到COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角，再由余弦定理计算可得.【小问1详解】因为BC AC AB =-，所以()1111AA BC AA AC AB AA AC AA AB⋅=⋅-=⋅-⋅ 1111cos ,cos ,0AA AC AA AC AA AB AA AB =⋅-⋅=，所以1AA BC ⊥，即1AA BC ⊥.【小问2详解】取AB 的中点M ，连接1AC 交1AC 于点O ，连接CM 、OM ，则O 为1AC 的中点，所以1//OM BC ，所以COM ∠为异面直线1BC 与1AC 所成角或其补角，在等边三角形ABC 中CM ==在平行四边形11ACC A 中()222211112AC AC AA AC AC AA AA =-=-⋅+22122244282⎛⎫=-⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭，所以1A C = OC =，因为1AA BC ⊥，11//AA BB ，所以1BB BC ⊥，在矩形11BCC B 中1BC ==，所以OM =在OCM 中由余弦定理cos70COM ∠=，所以异面直线1BC 与1AC 所成角的余弦值为70.19.已知圆C 的圆心在x轴上，其半径为1，直线:8630l x y --=被圆C 所截的弦长为C 在直线l 的下方．（1）求圆C 的方程；（2）若P 为直线1:30l x y +-=上的动点，过P 作圆C 的切线,PA PB ，切点分别为,A B ，当||||PC AB ⋅的值最小时，求直线AB 的方程．【答案】（1）()2211x y -+=（2）2x y +=【解析】【分析】（1）设圆心C (),0a ，根据直线l 被圆C a ，然后写圆的方程即可；（2）根据等面积的思路得到当1PC l ⊥时，PC AB 最小，然后根据直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线求直线方程.【小问1详解】设圆心C (),0a 到直线l 的距离为d，则12d ===，解得1a =或14-，因为点C 在直线l 的下方，所以1a =，()1,0C ，所以圆C 的方程为()2211x y -+=.【小问2详解】因为12PACB S PC AB PA AC =⋅==，所以PC AB 最小即PC 最小，当1PC l ⊥时，PC 最小，所以此时1PC k =，PC 的直线方程为：1y x =-，联立130y x x y =-⎧⎨+-=⎩得21x y =⎧⎨=⎩，所以()2,1P ，PC 中点31,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，PC ==，所以以PC 为直径的圆的方程为：22311222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，直线AB 为以PC 为直径的圆与圆C 的公共弦所在的直线，联立()222231122211x y x y ⎧⎛⎫⎛⎫-+-=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-+=⎩得2x y +=，所以直线AB 的方程为2x y +=.20.已知12,F F 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右焦点，离心率2e =，点B 为椭圆上的一动点，且12BF F △面积的最大值为2．（1）求椭圆C 的方程；（2）若点A 为椭圆C 的左顶点，点(,)P m n 在椭圆C 上，线段AP 的垂直平分线与y 轴交于点Q ，且PAQ △为等边三角形，求点P 的横坐标．【答案】（1）22142x y +=（2）25-【解析】【分析】（1）根据三角形12BF F 的面积、离心率以及222a b c =+列出关于,,a b c 的方程组，由此求解出,a b 的值，则椭圆C 的方程可求；（2）表示出AP 的垂直平分线方程，由此确定出Q 点坐标，再根据PAQ △为等边三角形可得AP AQ =，由此列出关于,m n 的等式并结合椭圆方程求解出P 点坐标.【小问1详解】依题意当B 为椭圆的上、下顶点时12BF F △面积的取得最大值，则22221222c a b c a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆C 的方程为：22142x y +=.【小问2详解】依题意(,)P m n ，则22142m n +=，且()2,0A -，若点P 为右顶点，则点Q 为上（或下）顶点，则4AP =，AQ =，此时PAQ △不是等边三角形，不合题意，所以2m ≠±，0n ≠.设线段PA 中点为M ，所以2,22m n M -⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为PA MQ ⊥，所以1PA MQ k k ⋅=-，因为直线PA 的斜率2AP n k m =+，所以直线MQ 的斜率2MQ m k n +=-，又直线MQ 的方程为2222n m m y x n +-⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，令0x =，得到()()2222Q m m n y n+-=+，因为22142m n +=，所以2Q n y =-，因为PAQ △为正三角形，所以AP AQ ==，化简，得到2532120m m ++=，解得25m =-，6m =-（舍）故点P 的横坐标为25-.【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于AP 垂直平分线方程的求解以及将PAQ △的结构特点转化为等量关系去求解坐标，在计算的过程中要注意利用P 点坐标符合椭圆方程去简化运算.21.如图，在多面体ABCDEF 中，侧面BCDF 为菱形，侧面ACDE 为直角梯形，//,,AC DE AC CD N ⊥为AB 的中点，点M 为线段DF 上一动点，且2,120BC AC DE DCB ==∠=︒．（1）若点M 为线段DF 的中点，证明：//MN 平面ACDE ；（2）若平面BCDF ⊥平面ACDE ，且2DE =，问：线段DF 上是否存在点M ，使得直线MN 与平面ABF 所成角的正弦值为310若存在，求出DM DF的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，39126DM DF =-【解析】【分析】（1）根据中位线和平行四边形的性质得到MN DG ∥，然后根据线面平行的判定定理证明；（2）建系，然后利用空间向量的方法列方程，解方程即可.【小问1详解】取AC 中点G ，连接NG ，GD ，因为,N G 分别为,AB AC 中点，所以NG BC ∥，12NG BC =，因为四边形BCDF 为菱形，M 为DF 中点，所以DM BC ∥，12DM BC =，所以NG DM ∥，NG DM =，则四边形NGDM 为平行四边形，所以MN DG ∥，因为MN ⊄平面ACDE ，DG ⊂平面ACDE ，所以MN ∥平面ACDE .【小问2详解】取DF 中点H ，连接CH ，CF因为平面BCDF ⊥平面ACDE ，平面BCDF ⋂平面ACDE CD =，AC CD ⊥，AC ⊂平面ACDE ，所以AC ⊥平面BCDF ，因为CH ⊂平面BCDF ，CB ⊂平面BCDF ，所以AC CH ⊥，AC CB ⊥，因为120DCB ∠=︒，四边形BCDF 为菱形，所以三角形DCF 为等边三角形，因为H 为DF 中点，所以CH DF ⊥，CH CB ⊥，所以,,CH CB AC 两两垂直，以C 为原点，分别以,,CA CB CH 为,,x y z轴建立空间直角坐标系，()N ，()4,0,0A，()0,B，()F，()0,D，()0,DF =uuu r，()4,AB =-，()AF =-uuu r，()2,ND =--uuu r 设DM DF λ=，则()0,,0DM DF λ==uuu u r uuu r，()2,NM ND DM =+=--uuur uuu r uuu u r ，设平面ABF 的法向量为(),,m x y z = ，则40430m AB x m AF x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令x =2y =，3z =，所以2,3m ⎫=⎪⎪⎭u r ，3cos ,10NM m NM m NM m ⋅==uuuru r uuur u r uuur u r ，解得126λ=-或126+（舍去），所以线段DF 上存在点M ，使得直线MN与平面ABF 所成角的正弦值为310，此时126DM DF =-.22.已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F ，过点A 且斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆C 于点P ．（1）若||7AP =，求k 的值；（2）若圆F 是以F 为圆心，1为半径的圆，连接PF ，线段PF 交圆F 于点T ，射线AP 上存在一点Q ，使得QT BT ⋅ 为定值，证明：点Q 在定直线上．【答案】（1）1±（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设():2l y k x =+，(),P P P x y ，联立直线与椭圆方程，求出P 点坐标，再由两点间的距离公式求出k ；（2）由P 点坐标可求得PF 斜率，进而得到PF 方程，与圆的方程联立可得T 点坐标；设()(),2Q m k m +，利用向量数量积坐标运算表示出()224841k m QT BT k -⋅=+ ，可知若QT BT ⋅ 为定值，则2m =，知()2,4Q k ；当直线PF 斜率不存在时，验证可知2m =满足题意，由此可得定直线方程.【小问1详解】依题意可得()2,0A -，可设():2l y k x =+，(),P P P x y ，由()222143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得()2222341616120k x k x k +++-=，()22Δ483441440k k ∴=+-=>，221612234P k x k-∴-=+，226834P k x k -∴=+，222681223434P k k y k k k⎛⎫-=+= ⎪++⎝⎭，2226812,3434k k P k k ⎛⎫-∴ ⎪++⎝⎭，所以7A P ==，解得21k =或23132k =-（舍去），所以1k =±.【小问2详解】由（1）知2226812,3434k k P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，()1,0F ，若直线PF 斜率存在，则2414PF k k k =-，∴直线214:14k PF x y k-=+，由()222141411k x y k x y ⎧-=+⎪⎨⎪-+=⎩得222441k y k ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，又点T 在线段PF 上，所以22241441x k ky k ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，即2224,4141k T k k ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，又()2,0B ，22284,4141k k BT k k ⎛⎫∴=- ⎪++⎝⎭，设()(),2Q m k m +，则()()322242242,4141m k m k mk m QT k k ⎛⎫-++--+-= ⎪++⎝⎭，()()()()()()()22422222228421628448414141k mk m m k m k k m k QT BT k k -+-++--+∴⋅==++ ()224841k m k -=+；当480m -=时，0QT BT ⋅= 为定值，此时2m =，则()2,4Q k ，此时Q 在定直线2x =上；当480m -≠时，QT BT ⋅ 不为定值，不合题意；若直线PF 斜率不存在，由椭圆和圆的对称性，不妨设31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而有()1,1T ，()2,0B ，此时12AP k =，则直线()1:22AP y x =+，设()1,22Q m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则()11,122QT m m ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，()1,1BT =- ，112QT BT m ∴⋅=- ，则2m =时，0QT BT ⋅=，满足题意；综上所述：当0QT BT ⋅= 为定值，点Q 在定直线2x =上.。

北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

北京市中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学说明：本试卷共六道大题，26道小题，共6页，满分150分，考试时间120分钟．第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）1. 已知数列的通项公式是，则是该数列的（）A. 第9项B. 第10项C. 第11项D. 第12项2. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 3. 等差数列中，若，，则其公差等于（ ）A. 2B. 3C. 6D. 184. 如图是函数的导数的图象，则下面判断正确的是（ ）A. 是区间上的增函数B. 是区间上的减函数C. 1是的极大值点D. 4是的极小值点5. 若是等差数列的前项和，，则（）A. B. C. D. 6. 若函数有极值，则实数的取值范围是（ ）A. B. C.D. {}n a 21n a n =+1222()f x x =0(1)(1)lim x f x f x∆→+∆-=∆1234{}n a 1233a a a ++=45621a a a ++=()y f x =()f x '()f x []3,1-()f x []1,2()f x ()f x n S {}n a n ()*88,N n S S n n >≠∈890,0a a ≥<890,0a a ><890,0=<a a 890,0a a >=()3213f x x x ax =-+a (],1-∞(),1-∞()1,+∞[)1,+∞7. 已知等差数列的公差为2，若成等比数列，则（ ）A. B. C. 4D. 8. 已知在处可导，在附近x 的函数值，可以用“以直代曲”的方法求其近似代替值：．对于函数的近似代替值（ ）A. 大于m B. 小于mC. 等于mD. 与m 的大小关系无法确定9. 设为无穷等比数列前n 项和，则“有最大值”是“有最大值”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件10. 设函数定义域为D ，若函数满足：对任意，存在，使得成立，则称函数满足性质.下列函数不满足性质的是（ ）A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）11. 函数，则_____.12. 用数学归纳法证明命题“，时，假设时成立，证明时也成立，可在左边乘以一个代数式______．13. 已知函数，若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围是 ________．14. 小杰想测量一个卷纸展开后的总长度，卷纸中的纸是单层的，且卷纸整体呈一个空心圆柱形，即大圆柱在其正中间挖去了一个小圆柱，测得小圆柱底面的直径为5厘米，大圆柱底而的直径为11厘米．由于单层纸的厚度不易测量，小杰利用游标卡尺测得10层纸的总厚度为0.3厘米．试估算这个卷纸的总长度（单位：米）为______．（结果精确到个位，取）15. 与曲线在某点处的切线垂直，且过该点的直线称为曲线在某点处的法线．关于曲线的法线有下列四种说法：①存在一类曲线，其法线恒过定点；的.{}n a 124,,a a a 2a =10-6-4-()f x 0x x =0x ()f x ()()()()000f x f x f x x x '≈+-()f x =()4.001m f =n S {}n a {}n a {}n S ()f x ()f x c D ∈,a b D ∈()()()f a f b f c a b-'=-()f x ΓΓ2()f x x =3()f x x =()xf x e =()ln f x x=()sin 2f x x =()f x '=*n ∀∈N ()()()()1221321nn n n n n ++⋅⋅⋅+=⨯⨯⨯⋅⋅⋅⨯-n k =1n k =+21()2ln 2f x x ax x =+-()f x 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 3.14=②若曲线的法线的纵截距存在，则其最小值为；③存在两条直线既是曲线的法线，也是曲线的法线；④曲线的任意法线与该曲线的公共点个数均为1．其中所有说法正确的序号是______．三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）16. 已知函数，在处取得极值．（1）求在区间上的平均变化率；（2）求曲线在点处的切线方程；（3）求曲线过点的切线方程．17. 设等差数列的前项和为，，．（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求．18. 已知函数，其中．（1）当时，求的极值；（2）讨论当时函数的单调性；（3）若函数有两个不同的零点、，求实数a 的取值范围.第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）19. 已知函数满足：对任意，由递推关系得到的数列是单调递增的，则该函数的图象可以是（ ）A. B.4y x =34e x y =ln y x =sin y x =()2f x x ax =-()f x 0x =()f x []2023,2024()y f x =()()22f ,()y f x =()2,0{}n a n n S 53a =535S ={}n a {}n a n n T 10T ()()22ln f x ax a x x =-++R a ∈1a =-()f x 0a >()y f x =2()()g x f x ax =-1x 2x ()y f x =()10,1a ∈()1n n a f a +={}n aC. D.20. 设数列的前n 项和，若，则（ ）A. 数列满足B. 数列为递增数列C.的最小值为D. ，，不成等差数列21. 已知正项数列满足为前项和，则“是等差数列”是”的（ ）A 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件22. 已知无穷数列，．性质，，，性质，，，，给出下列四个结论：①若，则具有性质；②若，则具有性质；③若具有性质，则；④若等比数列既满足性质又满足性质，则其公比的取值范围为．则所有正确结论的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）23. 写出一个满足的函数______．24. 已知函数，设曲线在点处切线的斜率为，若，，均不相等，且，则___.25. 若曲线上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线的“自公切线”，则下列曲的.{}n a n S 23n S n n =++{}n a ()1122n n n a a a n -+=+≥{}n a nn S a n+17242S S -64S S -86S S -{}n a 213,n a a S ={}n a n {}n a {}n a 11a =:s m ∀*n ∈N m n m n a a a +>+:t m ∀*n ∈N 2m n ≤<11m n m n a a a a -++>+32n a n =-{}n a s 2n a n ={}n a t {}n a s n a n ≥{}n a s t ()2,+∞()221f x x '=+()f x =()()()()()1230f x a x x x x x x a =--->()y f x =()(),i i x f x ()1,2,3i k i =1x 2x 3x 22k =-1311k k +=()y f x =()y f x =线中，所有存在“自公切线”的序号为______．①；②；③；④．三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）26. 已知无穷数列满足：①；②．设为所能取到的最大值，并记数列．（1）若数列为等差数列且，直接写出其公差的值；（2）若，求值；（3）若，，求数列的前100项和．的()y f x =22y x x =-3sin 4cos y x x =+13y x x=+y ={}n a ()*1,2,i a i ∈=⋅⋅⋅N ()11,2,,1,2,,3i j i j i j a a a a a i j i j ++≤≤++=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅+≥*i a ()1,2,i a i =⋅⋅⋅{}*n a {}n a 11a =d 121a a ==*4a 11a =22a ={}*n a中国人民大学附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学 简要答案第Ⅰ卷（共18题，满分100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【1题答案】【答案】C 【2题答案】【答案】B 【3题答案】【答案】A 【4题答案】【答案】D 【5题答案】【答案】B 【6题答案】【答案】B 【7题答案】【答案】C 【8题答案】【答案】A 【9题答案】【答案】D 【10题答案】【答案】B二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）【11题答案】【答案】【12题答案】【答案】2cos 2x 42k【答案】【14题答案】【答案】【15题答案】【答案】①②④三、解答题（本大题共3小题，共35分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【16题答案】【答案】（1）4047 （2） （3）或【17题答案】【答案】（1） （2）【18题答案】【答案】（1）的极大值为，无极小值. （2）答案略（3）．第Ⅱ卷（共8道题，满分50分）一、选择题（共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．）【19题答案】【答案】C 【20题答案】【答案】C 【21题答案】【答案】C3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭2544y x =-0y =816y x =-132n a n =-52()f x 3ln24--12,2e⎛⎫-- ⎪⎝⎭【答案】C二、填空题（共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在答题纸上的相应位置．）【23题答案】【答案】（答案不唯一）【24题答案】【答案】##【25题答案】【答案】①②④三、解答题（本小题15分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）【26题答案】【答案】（1）或 （2） （3）()ln 21x +120.51237500。

2022-2023 学年第一学期高中期中考试高二数学答案

2022-2023 学年第一学期高中期中考试高二数学答案

18.【答案】(1) x 2 y 9 0 （6 分） (2) x y 4 0 （6 分）
（1）
∵直线
BC 的斜率 kBC
1 7 1 3
2
∴边
BC
上的高
AD
所在直线的斜率
k1
1 2
，则所求直线方程为
y
5
1 2
x
1
，即
x2y9 0
∴边 BC 上的高 AD 所在直线的方程为 x 2 y 9 0
（1） 如下图所示：
在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB A1B1 且 AB A1B1 ， A1B1 C1D1 且 A1B1 C1D1 ， ∴ AB C1D1 且 AB C1D1 ， 所以，四边形 ABC1D1 为平行四边形，则 BC1 AD1 ， ∵ BC1 平面 AD1E ， AD1 平面 AD1E ， ∴ BC1 平面 AD1E ； （2） 以点 A 为坐标原点，AD､AB､ AA1 所在直线分别为 x､y､ z 轴建立如下图所示的空间直角坐标 系 A-xyz，
由（1）可得： ED ∥平面 PBC
ED 平面 PAD，平面 PAD∩平面 PBC=l
∴
ED
l
，则直线
l
的方向向量可以是
DE
3
2 2
,
0,
2 2
设 PN =DE ，则 N
2+ 3 2 ,0, 2
2+
2 2
DN =
2+ 3 2 ,0, 2
2+
2 2
,DC
=
2,
2,0
设平面
2 2
= 5
10 10 .
∴异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为 10 . 10

2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考数学试题及答案

2024学年江苏省扬州中学高二上学期期中考数学试题及答案

江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1.经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π62. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 83. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 164. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10B. 16C. 20D. 266. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A 小于1B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关.7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB +的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A. 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =- B. 121=x x C. 254PQ =D. 1l 与2l 之间的距离为412. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 最小值为6.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.15. 阿基米德是古希腊著名数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.的的四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上的椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8xty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .21.已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB（O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.的的江苏省扬州中学2023-2024学年第一学期期中考试高二数学2023.11试卷满分：150分 考试时间：120分钟注意事项：1．作答前，请考生务必将自己的姓名、考试证号等写在答题卡上并贴上条形码.2．将选择题答案填写在答题卡的指定位置上（使用机读卡的用2B 铅笔在机读卡上填涂），非选择题一律在答题卡上作答，在试卷上答题无效.3．考试结束后，请将机读卡和答题卡交监考人员.一.单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中.）1. 经过(A 、()1,0B -两点的直线的倾斜角为（ ）A.π6 B.π3C.2π3D.5π6【答案】B 【解析】【分析】求出直线AB 的斜率，利用直线的斜率与倾斜角的关系可得出结果.【详解】设直线AB 的倾斜角为α，则0πα≤<，且tan α==，故π3α=.故选：B.2. 抛物线22x py =的准线方程是2y =，则实数p 的值为（ ）A. 8- B. 4- C. 4D. 8【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的准线求得p 的值【详解】由题意可得：22p-=，则4p =-故选：B3. 已知(),P x y 是椭圆22114425x y +=上的点，则x y +的值可能是（ ）A. 13B. 14C. 15D. 16【答案】A【解析】【分析】根据题意，可设12cos ,5sin x y θθ==，得到13sin()x y θϕ+=+，求得x y +的取值范围，即可求解.【详解】由椭圆22114425x y +=，可设12cos ,5sin x y θθ==，其中[]0,2πθ∈，则12cos 5sin 13sin()x y θθθϕ=+=++，其中12tan 5ϕ=，因为1sin()1θϕ-≤+≤，所以1313x y -≤+≤，即x y +的取值范围为[]13,13-，结合选项，可得A 符合题意.故选：A.4. 若点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部，则a 的取值范围是（ ）A 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C. 14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D. ()1,4,2⎛⎫-∞-⋃+∞⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.【详解】依题意，方程220x y x y a +-++=可以表示圆，则22(1)140a -+->，得12a <；由点()2,1在圆220x y x y a +-++=的外部可知：2221210a +-++>，得4a >-.故142a -<<.故选：C5. 已知12,F F 是椭圆 221259x y +=的两个焦点，过1F 的直线交椭圆于,M N 两点，则2MNF 的周长为（ ）A. 10 B. 16C. 20D. 26【答案】C 【解析】【分析】由椭圆的定义可得122MF MF a +=，122NF NF a +=，代入即可求出答案.【详解】由椭圆的定义可得：122MF MF a +=，122NF NF a +=，.则2MNF 的周长为：22112244520MN MF NF MF NF MF NF a ++=+++==⨯=.故选：C .6. 已知抛物线2:16C y x =，直线:4l x =与C 交于A ，B 两点，M 是射线BA 上异于A ，B 的动点，圆1C 与圆2C 分别是OMA 和OMB △的外接圆（O 为坐标原点），则圆1C 与圆2C 面积的比值为（ ）A. 小于1 B. 等于1C. 大于1D. 与M 点的位置有关【答案】B 【解析】【分析】求出,A B 的坐标，由对称性可得OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，由正弦定理得到12sin OM R OAB =∠，22sin OMR OBA=∠，故12R R =，故面积比值为1.【详解】由题意得，抛物线2:16C y x =的焦点坐标为()4,0F ，将4x =代入2:16C y x =中，8y =±，不妨令()()4,8,4,8A B -，由对称性可知,A B 两点关于y 轴对称，OB OA =，OBA OAB ∠=∠，设OAM △，OBM 的外接圆半径为12,R R ，当点M 在A 点上方时，()12sin sin πsin OM OM OM R OAM OAB OAB===∠-∠∠，当点M 在A 点上方时，12sin OMR OAB=∠，同理22sin OMR OBA=∠，因为OBA OAB ∠=∠，所以12R R =，所以圆1C 圆2C 面积的比值为1.故选：B7. 由伦敦著名建筑事务所Steyn Studio 设计的南非双曲线大教堂惊艳世界，该建筑是数学与建筑完美结合造就的艺术品. 若将如图所示的大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线22221y x a b-=(00)a b >>，下支的一部分，且此双曲线的下焦点到渐近线的距离为2，离心率为2，则该双曲线的方程为（ ）A. 221124y x -= B. 223144y x -=C. 22144x y -= D. 221164y x -=【答案】B 【解析】【分析】首先根据题意得到22222b c a c a b=⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩，再解方程组即可.【详解】设双曲线的一个焦点为()0,c ，一条渐近线方程为a y x b=，则焦点到渐近线的距离2d b ===，所以2222224234b a ca b c a b=⎧⎧⎪=⎪⎪=⇒⎨⎨⎪⎪=⎩=+⎪⎩，即双曲线方程为：223144y x -=.故选：B8. 已知点()2,4M ，若过点()4,0N 的直线l 与圆()22:69C x y -+=交于A 、B 两点，则MA MB + 的最大值为（ ）A. 12B. C. 10D. 6【答案】A 【解析】【分析】设AB 中点(),P x y ，根据垂径定理可得点P 的轨迹方程，进而可得MP的取值范围，又2MA MB MP +=，即可得解.【详解】设AB 中点(),P x y ，则()6,CP x y =- ，()4,NP x y =-，所以()()2640CP NP x x y ⋅=--+= ，即()2251x y -+=，所以点P 的轨迹为以()5,0E 为圆心，1为半径的圆，所以11ME MP ME -≤≤+，5ME ==，所以46MP ≤≤，又2MA MB MP +=，所以MA MB +的最大值为12，故选：A.二.多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.（请将所有选择题答案填到答题卡的指定位置中. ）9. 已知直线2:(1)10l a a x y ++-+=，其中R a ∈，则（ ）A. 直线l 过定点(0,1)B. 当1a =-时，直线l 与直线0x y +=垂直C. 当0a =时，直线l 在两坐标轴上的截距相等D. 若直线l 与直线0x y -=【答案】ABD 【解析】【分析】坐标代入方程检验判断A ，根据垂直的条件判断B ，求出两坐标轴上截距判断C ，求出平行线间距离判断D ．【详解】选项A ，把坐标(0,1)代入直线方程而立，A 正确；选项B ，1a =-时直线l 方程为10x y -+=，斜率是1，直线0x y +=斜率是1-，两直线垂直，B 正确；选项C ，0a =时直线方程为10x y -+=，在x 轴上截距为=1x -，在y 轴上截距为1y =，不相等，C 错；选项D ，211a a ++=即0a =或1-时，直线l 方程为10x y -+=与直线0x y -=平行，距离为d ==D 正确．故选：ABD ．10. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的两个焦点分别为12,F F ，与y 轴正半轴交于点B ，下列选项中给出的条件，能够求出椭圆E 标准方程的选项是（ ）A 2,1a c ==B. 已知椭圆E 的离心率为12，短轴长为2C. 12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12D. 设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上【答案】ABD.【解析】【分析】逐项代入分析即可求解.【详解】根据222a b c =+之间的关系即可求解，故选项A 正确；根据2221,22,2c e b a b c a ====+即可求解，故选项B 正确；12BF F △是等边三角形，且椭圆E 的离心率为12，只能确定12,2c a c e a ===，不能求椭圆E 标准方程，故选项C 不正确；设椭圆E 的焦距为4，点B 在圆22()9x c y -+=上，所以()2222224,09c c b c b a =-+=+==，即可求出椭圆E 标准方程,故选项D 正确.故选：ABD.11. 抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线24y x =的焦点为F ，一束平行于x 轴的光线1l 从点()3,1M 射入，经过抛物线上的点()11,P x y 反射后，再经抛物线上另一点()22,Q x y 反射后，沿直线2l 射出，则下列结论中正确的是（ ）A. 34PQ k =-B. 121=x xC. 254PQ = D. 1l 与2l 之间的距离为4【答案】BC【解析】【分析】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =，由韦达定理得124y y =-，进而求得121=x x ，可判断B ；先求点P 的坐标，再结合124y y =-可得点Q 的坐标，然后利用斜率公式即可判断A ；根据抛物线的定义可知12Q x p P x ++=，可判断C ；由于1l 与2l 平行，所以1l 与2l 之间的距离12d y y =-，可判断D .【详解】由抛物线的光学性质可知，直线PQ 过焦点(1,0)F ，设直线:1PQ x my =+，代入24y x =得2440y my --=，则124y y =-，所以()212121616y y x x ==，所以121=x x ，故B 正确；点P 与M 均在直线1l 上，则点P 的坐标为(1,14)，由124y y =-得24y =-，则点Q 的坐标为(4,4)-，则4141344PQ k --==--，故A 错误；由抛物线的定义可知，121254244PQ x x p =++=++=，故C 正确；1l 与2l 平行，1l ∴与2l 之间的距离125d y y =-=，故D 错误.故选：BC.12. 已知双曲线22:13y C x -=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 是双曲线C 的右支上一点，过点P 的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于,M N ，则（ ）A. 2212PF PF -的最小值为8B. 212PF PF OP -为定值C. 若直线l 与双曲线C 相切，则点,M N 的纵坐标之积为2-；D. 若直线l 经过2F ，且与双曲线C 交于另一点Q ，则PQ 的最小值为6.【答案】AB【解析】【分析】设00(,)P x y ，由2221208PF PF x -=，可判定A 正确；化简2122PF PF OP -=，可判定B 正确；设直线l 的方程为x my n =+，联立方程组，结合Δ0=，得到2213n m =-，在化简123y y =-，可判定C 不正确；根据通经长和实轴长，可判定D 错误.【详解】由题意，双曲线2213y x -=，可得1,a b ==2c ==，所以焦点12(2,0),(2,0)F F -，且1222PF PF a -==，设00(,)P x y ，则01x ≥，且220013y x -=，即220033=-y x ，双曲线C的两条渐近线的方程为y =，对于A 中，由()][()22222212000002288PF PF x y x y x ⎡⎤-=++--+=≥⎣⎦，所以A 正确；对于B中，2221200()PF PF OP x y -=-+2200(33)x x =-+-2000(21)(21)(43)2x x x =+---=（定值），所以B 正确；对于C 中，不妨设1122(,),(,)M x y N x y ，直线l 的方程为x my n =+，联立方程组2213x my n y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(31)6330m y mny n -++-=，若直线l 与双曲线C 相切，则22223612(31)(1)0m n m n ∆=---=，整理得2213n m =-，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =M的纵坐标为1y =，联立方程组x my n y =+⎧⎪⎨=⎪⎩，解得y =N的纵坐标为2y =，则点,M N的纵坐标之积为21222233(13)33113y n m mm y ---===-=--所以C 不正确；对于D 中，若点Q 在双曲线的右支上，则通经最短，其中通经长为226b a=，若点Q 在双曲线的左支上，则实轴最短，实轴长为226a =<，所以D 错误.故选：AB.三.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中.）13. 若双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>____．【答案】y =【解析】【分析】由c e a ===b a =，即可求出双曲线的渐近线方程.【详解】因为双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>c e a ===222b a =，所以b a =，双曲线22221x y a b-=()0,0a b >>渐近线方程为：b y x a =±=.故答案为：y =14. 若在抛物线y 2＝－4x 上存在一点P ，使其到焦点F 的距离与到A (－2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为________.【答案】1,14⎛⎫-⎪⎝⎭##()0.25,1-【解析】【分析】作出图象，结合题意可知A ，P 及P 到准线的垂足三点共线时，所求距离之和最小，此时P 点的纵坐标为1，代入抛物线即可求得P 点的坐标.【详解】根据题意，由y 2＝－4x 得p ＝2，焦点坐标为(－1，0)，作出图象，如图，.因为PF 等于P 到准线的距离PQ ，所以PF PA PQ PA AQ +=+≥，可知当A ，P 及P 到准线垂足三点共线时，点P 与点F 、点P 与点A 的距离之和最小，此时点P 的纵坐标为1，将y ＝1代入抛物线方程求得14x =-，所以点P 的坐标为1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.故答案为：1,14⎛⎫- ⎪⎝⎭.15. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆22221x y a b+=（a >b >0）的右焦点为(3,0)F ，过F 作直线l 交椭圆于A 、B 两点，若弦AB 中点坐标为(2,1)-，则该椭圆的面积为_____________.【答案】【解析】【分析】利用作差法构建斜率、中点坐标相关方程2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，再结合222a c b -=即可求解出a 、b ，进而求出面积.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，记AB 的中点为M ，即(2,1)M -，因为AB 的中点为M ，所以由中点坐标公式得121242x x y y +=⎧⎨+=-⎩，因为直线AB 过椭圆焦点()3,0F ，所以直线AB 斜率为121201132y y k x x --===--，又因为A ，B 在椭圆22221x y a b+=上，的所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得22221212220x x y y a b --+=，整理得2121221212y y x x b x x y y a-+=-⋅-+，代值化简得222b a =，因为椭圆22221x y a b+=的焦点为()3,0F ，所以22a b 9-=，得a =，3b =，由题意可知，椭圆的面积为ab π=.故答案为：.16. 已知圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，两圆交于,P Q 两点，其中P 点坐标为(3,2)，已知两圆半径的乘积为132，则k 的值为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意可设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，由P 在两圆上，将坐标代入对应圆的方程整理，易知,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，进而求直线12C C 的斜率，再根据直线12C C 、(0)y kx k =>倾斜角的关系求k 值.【详解】由题设，圆1C 和圆2C 与x 轴和直线(0)y kx k =>相切，且一个交点P (3,2)，∴1C 和2C 在第一象限，若,a b 分别是圆1C 和圆2C 的半径，可令1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，(0)m >，∴222222(3)+(2){(3)+(2)ma a a mb b b --=--=，易知：,a b 是22(64)130m r m r -++=的两个根，又132ab =，∴213132m =，可得m =12C C k =，而直线12C C 的倾斜角是直线(0)y kx k =>的一半，∴1212221C C C C k k k ==-.故答案为：【点睛】关键点点睛：分析圆心的坐标并设1(,)C ma a ，2(,)C mb b ，结合已知确定,a b 为方程的两个根，应用韦达定理求参数m ，进而求12C C 斜率，由倾斜角的关系及二倍角正切公式求k 值.四.解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（请将所有解答题答案填到答题卡的指定位置中.）17. 已知方程2214x y m+=（R m ∈且0m ≠）（1）若方程表示焦点在y 上椭圆，且离心率为12，求m 的值；（2）若方程表示等轴双曲线，求m 的值及双曲线的焦点坐标.【答案】（1）163m = （2）4m =-，()±【解析】【分析】（1）根据题中条件及离心率公式直接计算即可；（2）根据题中条件得4m =-，进一步计算得到c 的值，即可求解.【小问1详解】因为方程为焦点在y 轴上的椭圆，所以22,4a m b ==则离心率12c e a ===，解得163m =故163m =【小问2详解】由题意得 4m =-，c ===故焦点坐标为()±18. 已知直线l 经过直线12:34110, :2380l x y l x y +-=+-=的交点M ．（1）若直线l 经过点(3,1)P ，求直线l 的方程;（2）若直线l 与直线3250x y ++=垂直，求直线l 的方程．【答案】（1）250x y +-=（2）2340x y -+=【解析】的.【分析】（1）联立方程求得交点坐标，再由两点式求出直线方程.（2）根据直线垂直进行解设方程，再利用交点坐标即可得出结果.【小问1详解】由341102380x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得12x y =⎧⎨=⎩，即直线1l 和2l 的交点为(1,2)M ．直线l 还经过点()3,1P ，∴l 的方程为211231y x --=--，即250x y +-=．【小问2详解】由直线l 与直线3250x y ++=垂直，可设它的方程为230x y n -+=．再把点(1,2)M 的坐标代入，可得260n -+=，解得4n =，故直线l 的方程为2340x y -+=.19. 已知圆C 经过()()1,4,5,0A B 两点，且在x 轴上的截距之和为2．（1）求圆C 的标准方程；（2）圆M 与圆C 关于直线10x y -+=对称，求过点()3,0且与圆M 相切的直线方程.【答案】（1）()22116x y -+=（2）3x =或3490x y --=【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的一般式方程，代入计算，即可得到结果；（2）根据题意，分直线的斜率存在与不存在讨论，结合点到直线的距离公式列出方程，即可得到结果.【小问1详解】设圆C 的方程为()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->，令0y =，可得20x Dx F ++=，则122x x D +=-=，将()()1,4,5,0A B 代入可得，116402550D E F D F ++++=⎧⎨++=⎩，解得2015D E F =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，所以圆C 方程为222150x y x +--=，即()22116x y -+=.【小问2详解】圆C 的圆心()1,0C ，圆M 的圆心与()1,0C 关于10x y -+=对称，∴设圆M 的圆心为(),M a b 则11022111a b b a +⎧-+=⎪⎪⎨⎪⨯=-⎪-⎩，解得12a b =-⎧⎨=⎩，圆M 的标准方程为：()()221216x y ++-=，若过点()3,0的直线斜率不存在，则方程为3x =，此时圆心()1,2C -到直线3x =的距离为314r +==，满足题意；若过点()3,0且与圆C 相切的直线斜率存在，则设切线方程为()3y k x =-，即30kx y k --=，则圆心到直线30kx y k --=4，解得34k =，所以切线方程为39044x y --=，即3490x y --=，综上，过点()3,0且与圆C 相切的直线方程为3x =或3490x y --=.20. 已知双曲线：()2211551x y m m m -=<<--的一个焦点与抛物线C ：()220y px p =>的焦点重合.（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线l ：8x ty =+交抛物线C 于A 、B 两点，O 为原点，求证：以AB 为直径的圆经过原点O .【答案】（1）28y x =（2）见解析.【解析】【分析】（1）根据双曲线方程求出其焦点坐标，即也是抛物线焦点，得到抛物线方程.（2）直线l 与抛物线联立后，利用韦达定理求出0OA OB ⋅= 即可得证.【小问1详解】由双曲线方程()2211551x y m m m -=<<--知其焦点在x 轴上且焦点坐标为1(2,0)F -，2(2,0)F ，所以2(2,0)F 为抛物线C ：()220y px p =>的焦点，得242p p =⇒=，所以抛物线C 的方程为28y x =.【小问2详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y 联立22886408x ty y ty y x=+⎧⇒--=⎨=⎩，2644640t ∆=+⨯>由韦达定理得128y y t +=，1264y y =-所以12121212(8)(8)OA OB x x y y ty ty y y ⋅=+=+++ 21212(1)8()64t y y t y y =++++2(1)(64)8(8)640t t t =+-++=所以OA OB ⊥ ，所以以AB 为直径的圆经过原点O .得证21. 已知直线:R)l y kx k =+∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点.（1）求实数k 的取值范围；（2）若OAB （O 为坐标原点），求此时直线l 的斜率k 的值.【答案】（11k <<（2）k =【解析】【分析】（1）设点坐标，联立方程组，根据根与系数的关系求解；（2）通过OAB 面积求解出12x x -，从而求解出k 的值.【小问1详解】依题意，设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程组22330y kx x y ⎧=+⎪⎨--=⎪⎩，整理得：()221390,k x ---=因为直线:R)l y kx k =∈，与双曲线22:13x C y -=的左支交于A ，B 两点，所以()2212212130361090130k k x x k x x ⎧-≠⎪=->⎪⎪⎪-⎨=>⎪-⎪⎪+=<⎪⎩ ，解得210,13k k ><<1k <<，【小问2详解】设点O到直线:R)l y kx k =∈的距离为d，则d =，212OAB S AB d x ==-=- ，又因为S =，所以1212,5x x -=又因为12125x x -==，代入12212913x x k x x -⎧=⎪-⎪⎨⎪+=⎪⎩125，整理得4236210k k+-=1k <<，解得k =，此时直线l的斜率k.22. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2.（1）求椭圆C 方程；（2）点,A B 分别为椭圆C 的上下顶点，过点()04P ，且斜率为k 的直线与椭圆C 交于不同的两点,M N ，探究直线,BM AN 的交点是否在一条定直线0l 上，若存在，求出该直线0l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22:184x y C += （2）存在，1y =【解析】【分析】（1）由椭圆离心率可得222a b =，再将(2代入椭圆的方程可得228,4a b ==，即可求出椭圆的方程；（2）设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立直线MN 和椭圆的方程求出两根之积和两根之和，设直线AN 的方程和直线BM 的方程，两式联立求得交点的纵坐标的表达式，将两根之积和两根之和代入可证得交点在一条定直线上.【小问1详解】，即c e a ===，所以2212b a =，所以222a b =，又因为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>过点(2，所以224212b b +=，解得：228,4a b ==，所以椭圆C 方程为22184x y +=.【小问2详解】因为()()0,2,0,2A B -，设()()1122,,,M x y N x y ，直线MN 的方程为:4y kx =+，联立方程221844x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得()221216240k x kx +++=，()()222Δ164241264960,k k k =-⨯⋅+=->得232k >则1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++直线AN 的方程为：2222y y x x --= ，直线BM 的方程为：1122y y x x ++=，联立两直线方程消元：()()2112112122222226y x kx x x y y y x kx x x -+-==+++ 法1：由()221216240k x kx +++=解得：12x x ==，代入化简，2123y y -===-+，解得：1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法2：由韦达定理得1221612k x x k-=-+代入化简()()22222222224162824211212242324612612k k x k k x y k k k y k k x x k -⎛⎫+- ⎪--+-++⎝⎭===-+++++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法3：由1212221624,1212k x x x x k k -+=⋅=++，得()121232x x kx x -+=⋅代入化简()()1211223221232362x x x y y x x x -++-==-+-++，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.法4： 代()11,M x y 点进椭圆方程得2211184x y +=化简得()()221111221844y y x y +-=-=进而得到()()1111222y x y x -=+，代入化简()()121222222y y y y x x ----=+⋅转化为韦达定理代入()()()()1212121222222222y y kx kx y y x x x x ----++-==+⋅⋅()22221212122241622422412122412k k k k x x k x x k k x x k ⎛⎫-⋅-⋅+ ⎪⎡⎤-+++++⎣⎦⎝⎭==⋅+22222243248211224312k k k k k -++-⋅+=-+，得1y =，即直线,BM AN 的交点在定直线1y =上.【点睛】思路点睛：本题考查直线与椭圆综合应用中的定直线问题的求解，求解此类问题的基本思路如下：①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于x 或y 的一元二次方程的形式；②利用0∆>求得变量之间的关系，同时得到韦达定理的形式；③利用韦达定理表示出已知的等量关系，化简整理得到所求定直线.。

高二期中考试数学试卷(直线与圆、不等式)(含答案)

高二期中考试数学试卷(直线与圆、不等式)(含答案)

高二期中考试数学试卷一、单选题：(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1. 如果C A ∙＜0且C B ∙＜0，则直线0=++C By Ax 不通过 （ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2.下列结论正确的是 （ ） A ．44≥+x x B ．4cos 4cos ≥+x x C ．4343≥+x x D ．4lg 4lg ≥+xx 3.“18a =”是“对任意的正数x ，21ax x+≥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 不等式223502x x x --<-的解集为 （ ）A.{}|725x x x <-<<或-B.{}|527x x x <-<<或C.{}|725x x x <-<<或D.{}|527x x x -<<>或5. 如果经过点A （m ，2）、B （－m ，2m －1）的直线的倾斜角为4π，那么m ＝（ ） A.－34 B.34 C.－43 D.436. 已知x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x ＋y 的最小值为 （ ）A.3B.32C.－3D.－4 7. 已知22x y +＝1，则x ＋y 的最大值为 （ ）－1 D.8. 直线1l ：013=++y ax ，2l ：()0112=+++y a x ，如果1l ∥2l ，则a 的值为（ ） A. 3- B. 2 C. 3-或2 D 2-或39．如果直线:15=+ya x 与两坐标轴围成的三角形的面积为10，则a 的值为（ ）A ．8B ．8±C ． 4D ．4±10.与圆224240x y x y +-++=关于直线30x y -+=成轴对称的圆的方程（ ）A. 22810400x y x y +-++=B. 22810200x y x y +-++=C. 22810400x y x y ++-+=D. 22810200x y x y ++-+=11. 不等式|3x －4|≤19的解集是 . 12. 直线210x y -+=与直线2630x y +-=夹角的大小是 . 13.过点P(2,3)且在两轴上的截距相等的直线方程是__________________. 14.过点（2，3）且与圆22(1)(1)1x y -+-=相切的直线方程为________________ . 15. 已知圆C ： 22230x y x ay +++-=（a 为实数）上任意一点关于直线l ：x -y +2=0的对称点都在圆C 上，则a = . 三、解答题（本大题共6小题，共75分）16.（10分）已知实数x 、y 满足1)1()2(22=-+-y x ，求xy z 1+=的最大值与最小值。

(完整版)高二数学试题及答案

(完整版)高二数学试题及答案

高二数学期中测试卷(时间： 120分钟满分： 150分)一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 )1．设 a<b<0，则下列不等式一定成立的是 ( )A ．a2<ab<b2B． b2<ab<a2C． a2<b2<ab D． ab<b2<a2答案 B2．关于数列 3,9，⋯， 2187，⋯，以下结论正确的是 ( ) A．此数列不是等差数列，也不是等比数列B．此数列可能是等差数列，也可能是等比数列C．此数列可能是等差数列，但不是等比数列D．此数列不是等差数列，但可能是等比数列解析记 a1＝ 3，a2＝9，⋯， a n＝2187，⋯若该数列为等差数列，则公差 d＝ 9－ 3＝6， a n＝3＋(n－1)×6＝2187，∴ n＝365.∴{a n}可为等差数列．9若{a n} 为等比数列，则公比 q＝93＝3.a n＝ 3·3n 1＝2187＝37，∴ n＝7.∴{a n}也可能为等比数列．答案 B3．在△ ABC 中，若 sin2A＋sin2B＝2sin2C，则角 C 为()A ．钝角B ．直角C ．锐角D ． 60°解析 由 sin 2A ＋sin 2B ＝ 2sin 2C ，得 a 2＋b 2＝2c 2. 即 a 2＋b 2－c 2＝c 2>0， cosC>0. 答案 C4．设{a n } 是公比为正数的等比数列，若 a 1＝1，a 5＝16，则数列 {a n } 的前 7 项和为 ( )A ．63 D ．128解析 a 5＝a 1q 4＝q 4＝16，∴ q ＝2. 1－ 27∴S 7＝11－－22＝128－1＝127.答案 C5．一张报纸，其厚度为 a ，面积为 b ，现将此报纸对折 7 次，这时报纸的厚度和面积分别为 ()A ．8a ，b 8B ．64a ，6b 4bbC．128a，128D．256a，256答案 C6．不等式 y ≤ 3x ＋b 所表示的区域恰好使点 (3,4)不在此区域内， 而点(4,4)在此区域内，则 b 的范围是 ( )A ．－8≤b ≤－5B ．b ≤－8或 b>－5C ．－8≤b<－5D ．b ≤－8或 b ≥－5B ．64C ．127解析∵4>3×3＋b，且 4≤3×4＋ b，∴－ 8≤b<－ 5.答案 C2m ＋n≤4，m ≥0，程 x 2－(3m ＋2n)x ＋ 6mn ＝0 的两根之和的最大值和最小值分别是 ()A ．7，－4 D ．6，－6解析 两根之和 z ＝3m ＋ 2n ，画出可行域，当 m ＝1，n ＝2 时，z max ＝7；当 m ＝0， n ＝－ 2 时， z min ＝－ 4.答案 A8．已知 a ，b ， c 成等比数列， a ，x ，b 成等差数列， b ，y ，c 成 等差数列，则 xa＋cy的值等于 ( )11A.4B.2C ． 2D ． 1解析 用特殊值法，令 a ＝b ＝ c. 答案 C9．制作一个面积为 1m 2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四 种长度的铁管供选择，较经济的 (够用、又耗材最少 )是()A ．4.6mB ． 4.8mC ． 5mD ． 5.2m解析 设三角形两直角边长为 am ，bm ，则 ab ＝ 2，周长 C ＝a ＋b ＋ a 2＋ b 2≥2 ab ＋ 2ab ＝2 2＋2≈4.828(m)．7．已知实数 m ， n 满足不等式组m －n ≤2，m ＋n ≤3， 则关于 x 的方 B ．8，－8 C ．4，－ 72m＋n≤4，答案 C10．设｛ a n｝是正数等差数列，｛ b n｝是正数等比数列，且 a1＝b1，a2n。

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试卷含答案(共5套)

高二上学期期中考试数学试题本卷分Ⅰ（选择题）、Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中Ⅰ卷1至2页，第二卷2至4页，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、单选题：本题共12个小题，每小题5分1．“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件2．有下列四个命题：（1）“若，则，互为倒数”的逆命题；（2）“面积相等的三角形全等”的否命题；（3）“若，则有实数解”的逆否命题；（4）“若，则”的逆否命题.其中真命题为（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（4）D．（1）（2）（3）3．若则为（）A．等边三角形 B．等腰直角三角形C．有一个内角为30°的直角三角形 D．有一个内角为30°的等腰三角形4．已知.若“”是真命题，则实数a的取值范围是A．(1，+∞)B．(－∞，3)C．(1，3)D．5．的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为A．B．C．D．6．已知中，，则等于（）A．B．或C．D．或7．等差数列的前项和为，若，则等于（）A．58B．54C．56D．528．已知等比数列中，，，则（）A．2B．C．D．49．已知，则z=22x+y的最小值是A．1 B．16 C．8 D．410．若关于的不等式的解集为，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．当ａ＞０，关于代数式，下列说法正确的是（）A．有最小值无最大值B．有最大值无最小值C．有最小值也有最大值D．无最小值也无最大值12．在△ABC中，AB＝2，C＝，则AC＋BC的最大值为A．B．3C．4D．2第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：共4个小题，每小题5分，共20分13．命题的否定是______________．14．已知的三边长构成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长为________.15．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝1，当n≥2时，a n＋2S n－1＝n，则S2 017的值____ ___ 16．已知变量满足约束条件若目标函数的最小值为2，则的最小值为__________．三、解答题：共6题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。

黑龙江省哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

黑龙江省哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(含简单答案)

哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题分数：150分时间120分钟一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）1. 的展开式中的系数为（ ）A. 80 B. 40 C. 10 D.2. 在等比数列中，，则（ ）A. B. 3 C. D. 23. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A. 在 上单调递增B. 在 上单调递减C. 在 处取得最大值D. 在 处取得极大值4. 已知函数，曲线在点处的切线方程为（ ）A. B. C. D.5. 在等差数列中，若，则（ ）A. 45B. 6C. 7D. 86. 有5个人到南京、镇江、扬州的三所学校去应聘，若每人至多被一个学校录用，每个学校至少录用其中一人，则不同的录用情况种数是（ ）A. 300B. 360C. 390D. 420522x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭4x 40-{}n a 35727a a a =-5a =3-2-()y f x =()f x '()y f x =(),1∞--()1,∞+1x =2x =()33f x x x =-()y f x =()()22f ,9160x y --=9160x y +-=6120x y --=6120x y +-={}n a 25192228a a a a +++=12a =7. 若函数有两个不同极值点，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 已知数列前n 项和为且，若对任意恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）9. 下列四个关系式中，一定成立的是（ ）A. B. C. D. 10. 关于等差数列和等比数列，下列说法正确的是（ ）A. 若数列的前项和，则数列为等比数列B. 若的前项和，则数列为等差数列C. 若数列为等比数列，为前项和，则成等比数列D. 若数列为等差数列，为前项和，则成等差数列11. 已知函数在区间上单调递减，则的值可能为（ ）A B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）12. 已知函数，则的最大值为_______．13. 展开式中的系数为，则的值为______．14. 大连市普通高中创新实践学校始建于2010年1月，以丰富多彩的活动广受学生们的喜爱．现有A ，B ，的的.21()42ln 2f x x x a x =-+-(,1)-∞(0,1)(0,2)(,2)-∞{}n a n S 2n n n a =(1)n n n S a a +>-*N n ∈(,1)(2,)-∞-⋃+∞(1,2)-3(1,)2-3(,1)(,)2-∞-+∞ 32853C 2C 148-=()()111!A !m n n m n ---=-(2,,N)n m m n ³³Î11A A m m n n n --=(2,,N)n m m n ³³Î333345610C C C C 328++++= {}n a n 122n n S +=-{}n a {}n b n 22=++n S n n {}n b {}n a n S n 232,,,n n n n n S S S S S -- {}n b n S n 232,,,n n n n n S S S S S -- ()e ln x f x a x =-()1,2a 2e 2e -3e -e-()[],0,πf x x x x =∈()f x ()2024(1)a x x +-2024x 2023-aC ，D ，E 五名同学参加现代农业技术模块，影视艺术创作模块和生物创新实验模块三个模块，每个人只能参加一个模块，每个模块至少有一个人参加，其中A 不参加现代农业技术模块，生物创新实验模块因实验材料条件限制只能有最多两个人参加，则不同的分配方式共有__________种．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 第24届哈尔滨冰雪大世界开园后，为了了解进园游客对本届冰雪大世界的满意度，从进园游客中随机抽取50人进行调查并统计其满意度评分，制成频率分布直方图如图所示，其中满意度评分在的游客人数为18．（1）求频率分布直方图中值；（2）从抽取的50名游客中满意度评分在及的游客中用分层抽样的方法抽取5人，再从抽取的5人中随机抽取2人，求2人中恰有1人的满意度评分在的概率．16. 已知数列满足，且，，成等比数列.（1）求的通项公式；（2）设数列的前项和为，求的最小值及此时的值.17. 已知函数，当时，取得极值．（1）求的解析式；（2）求函数的单调区间；（3）求在区间上的最值．18. 已知数列的前项和为，满足．（1）求的通项公式；（2）删去数列的第项（其中），将剩余的项按从小到大的顺序排成新数列，设的[)76,84,a b [)60,68[]92,100[)60,68{}n a 12(N )n n a a n *+-=∈5a 8a 9a {}n a {}n a n n S n S n 32()1(R)f x ax bx a =++∈2x =()f x 3-()f x ()f x ()f x []23-，{}n a n n S 22n n S a =-{}n a {}n a 3i 1,2,3,i =⋅⋅⋅{}n b的前项和为，请写出的前6项，并求出和．19. 已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）当时，证明：当时，.哈尔滨市第十一中学校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题 简要答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项符合题目要求）【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】A【3题答案】【答案】D【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】C【7题答案】【答案】C【8题答案】【答案】C二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的不得分）【9题答案】{}n b n n T {}n b 6T 2n T ()()ln R m f x x m x=+∈()f x 1m =1x ≥()e e 0xxf x x --+≤【10题答案】【答案】AD【11题答案】【答案】CD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上）【12题答案】【答案】【13题答案】【答案】1【14题答案】【答案】84四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1），（2）．【16题答案】【答案】（1）（2），【17题答案】【答案】（1）（2）单调递增区间为，单调递减区间为（3）最大值1，最小值为【18题答案】【答案】（1）（2）前6项为2，，，，，；；【19题答案】【答案】（1）答案略 为π0.01a =0.045b =35219n a n =-()min 81n S =-9n =32()31f x x x =-+(,0),(2,)-∞+∞(0,2)19-2n n a =22425272826438T =()26817n n T =-。

湖北省部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期中试题含解析

湖北省部分重点中学2024_2025学年高二数学上学期期中试题含解析

湖北省部分重点中学2024-2025学年高二数学上学期期中试题（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分,考试时间120分钟. 留意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号精确地写在答题卡上。

2．全部试题的答案均写在答题卡上。

对于选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。

3．答第Ⅱ卷时，必需用0.5毫米墨水签字笔在答题卡上书写。

在试题卷上作答无效。

第I 卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的1．已知点(-3,2)A ，(0,1)B -，则直线AB 的倾斜角为（ ） A ．030B ．045C ．0135D ．01202.某工厂为了对40个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5个，利用下面的随机数表，从第一行第3列起先，由左至右依次读取，则选出来的第5个零件编号是（ ） 0347 4373 8636 9647 3661 4698 6371 6233 2616 8045 6011 1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607 5124 5179 A ．36B ．16C ．11D ．143．ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且3A π=,4c =，26a =，则角C =( )A ．34π B ．4π C ．4π或34π D ．3π或23π4．已知αβ、是平面,l m 、是直线,αβ⊥且=l αβ，m α⊂，则“m β⊥”是“m l ⊥”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．若圆O 1：x 2＋y 2＝5与圆O 2：(x －m )2＋y 2＝20()m R ∈相交于A ，B 两点，且两圆在点A 处的切线相互垂直，则线段AB 的长度是( )A ．2B ．4C ．5D ．106．已知直线l ：2(0,0)x ya b a b+=>>经过定点(1,1)M ，则32a b +的最小值是（ ） A ．3222+ B ．526+C ．562+ D ．37．某学校随机抽查了本校20个学生，调查他们平均每天进行体育熬炼的时间（单位：min ），依据所得数据的茎叶图，以5为组距将数据分为8组，分别是[0，5），[5，10），…，[35，40]，作出频率分布直方图如图所示，则原始的茎叶图可能是( )第7题图A ．B ．C ．D ．8．棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点P 在线段AD 上(点P 异于A 、D 两点)，线段DD 1的中点为点Q ，若平面BPQ 截该正方体所得的截面为四边形，则线段AP 长度的取值范围为（ ） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．112⎛⎤ ⎥⎝⎦，C ．1[,1)3D ．102⎛⎤ ⎥⎝⎦，二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分,在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分 9．下列说法正确的是（ ） A ．命题“x R∀∈，21x >-”的否定是“0x ∃∈R ，201x <-”B ．命题“0(3,)x ∃∈-+∞，209x ≤”的否定是“(3,)x ∀∈-+∞，29x >”C ．“0m <”是“关于x 的方程220x x m -+=有一正一负根”的充分不必要条件D ．“5a >”是命题“2,0x R x ax a ∀∈++≥”为假命题的充分不必要条件10．抛掷一枚骰子1次,记“向上的点数是4,5,6”为事务A ,“向上的点数是1,2”为事务B ,“向上的点数是1,2,3”为事务C ,“向上的点数是1,2,3,4”为事务D ,则下列关于事务A ，B ，C ，D 推断正确的是（ ） A ．A 与B 是互斥事务但不是对立事务 B ．A 与C 是互斥事务也是对立事务 C ．A 与D 是互斥事务 D ．C 与D 不是对立事务也不是互斥事务 11．以下四个命题为真命题的是（ ）A ．过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+ B ．直线3y ＋2＝0的倾斜角的范围是50,[,)66πππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．曲线22120C :x y x ++=与曲线222480C :x y x y m +--+=恰有一条公切线，则4m =D ．设P 是直线20x y --=上的动点，过P 点作圆O :221x y +=的切线PA ，PB ，切点为A ，B ，则经过A ，P ，O 三点的圆必过两个定点。

相关主题
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

精心整理
高二数学期中考试试题及答案
注意事项：1.本试卷全卷150分，考试时间120分钟。

2.本试卷分为、II 卷，共4页，答题纸4页。

3.I 卷答案必须使用2B 铅笔填涂在答题卡相应题号的位置。

4.II 第I 1.
或002.等于
3.，则2
2
3
4.在等差数列&#61563;an&#61565;中，已知a5&#61501;21,则a4&#61483;a5&#61483;a6等于
A．15B．33C．51D.63
5.已知等比数列{an}的公比为2，前4项的和是1，则前8项的和为A．15B．17C．19D．21
6.若a&#61502;1,则a&#61483;1的最小值是a&#61485;1
A.2
B.a
7.
是
或8.等于9.
10.
&#61676;x&#61603;2&#61679;11.若&#61677;y&#61603;2则目标函数z&#61501;x&#61483;2y的取值范围是
&#61679;x&#61483;y&#61619;2&#61678;
A.[2，6]
B.[2，5]
C.[3，6]
D.[3，5]
12.设&#61508;ABC的三内角A、B、C成等差数列，sinA、sinB、sinC 成等比数列，则这
个三角形的形状是
A.直角三角形
B.钝角三角形
C.等边三角形
D.等腰直角三角形第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：(共4小题，每小题4分，共16分)
13.设等比数列{an}的公比为q&#61501;1S，前n项和为Sn，则
14.则
15.2米放4米时，
16.
围为
17.
，求a5.
(2)在等比数列&#61563;an&#61565;中，若a4&#61485;a2&#61501;24,a2&#61483;a3&#61501;6,求首项a1和公比q.
18.（本小题满分12分）
在&#61508;ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别为a、b、
c，且2na&#61485;b&#61501;2&#61485;1,sinA&#61501;
（1）求a,b的值；5,sinB&#61501;.105
（2）求角C和边c的值。

数学试题第3页，共4页
第3/7页
19.项和
(1)
20.
若
21.
0.4万（1f(n)
（2
用最少）.
22.（本小题满分12分）已知数列{an}满足a1&#61501;1,an&#61483;1&#61501;2an&#61483;1(n&#61646;N) （1）求证：数列{an&#61483;1}是等比数列；
（2）求通项公式an;(3)设bn&#61501;n，求&#61563;anbn&#61565;的前n项和Tn.&#61482;
数学试题第4页，共4页
第4/7页
高二数学试题答案
一、选择题：
BABDBCDBBDAC
17.
由得
分
1
解，
(2)设等比数列{an}的公比为q，
&#61676;a1q(q2&#61485;1)&#61501;24,由题意，得&#61677;………………………………9分&#61678;a1q(1&#61483;q)&#61501;6,
1.解得，q&#61501;5,a1&#61501;………………………………………12分5
&#61676;&#61676;a&#61501;2ab&#61679;a&#61501;2b&#61501;18.解：（1）由得a&#61501;2b,联立&#61677;解得&#61677;sinAsinB&#61679;&#61678;b&#61501;1&#61678;a&#61485; b&#61501;2&#61485;1
（2）&#61521;A,B为锐角，cosA&#61501;23,cosB&#61501;510
当
第
∴当
20.解：原不等式即为(x－a)[x－(1－a)]>0，
因为a-(1-a)=2a-1，所以，
当0≤a&#61500;
当11&#61676;a&#61501;2n&#61485;49&#61603;0由&#61677;n,得23&#61500;n&#61603;24,又n&#61646;N&#61483;,22&#61678;an&#61483;1&#61501;2(n&#61483;
1)&#61485;49&#61502;0∴n=24,即Sn最小,24&#61620;23S24&#61501;24&#61620;(&#61485;47)&#61483;&#6 1620;2&#61501;&#61485;576,2或:由Sn=n2-48n=(n-24)2-576,1时，a&#61500;1&#61485;a,所以原不等式的解集为{x|x&#61502;1&#61485;a或x&#61500;a}；……3分21&#61500;a≤1
时，或
1121
1集为
1或
11集为
21.意
分
&#61501;14.4&#61483;0.2n(n&#61483;1)&#61483;0.9n2
&#61501;0.1n2&#61483;n&#61483;14.4……………………6分
（Ⅱ）设该车的年平均费用为S万元，则有
S&#61501;11f(n)&#61501;(0.1n2&#61483;n&#61483;14.4)…………………8分
nn
n14.4&#61501;&#61483;&#61483;1&#61619;1……………………………………9分10n
&#61501;2&#61620;1.2&#61483;1&#61501;3.4……………………………………………10分
仅当n14.4&#61501;，即n=12时，等号成立.………………12分10n
第
22.
得
(2)2为
n&#61501;2n&#61485;1
（3）&#61521;bn&#61501;n&#61532;an&#61655;bn&#61501;n(2n&#61485;
1)
&#61532;Tn&#61501;a1b1&#61483;a2b2&#61483;a3b3&#61483;&#615 16;anbn
&#61501;1(21&#61485;1)&#61483;2(22&#61485;1)&#61483;3(23&#6 1485;1)&#61483;&#61516;n(2n&#61485;1)=
（1&#61655;21&#61483;2&#61655;22&#61483;3&#61655;23&#61483; &#61516;n&#61655;2n)&#61485;(1&#61483;2&#61483;3&#61483;&#6 1516;&#61483;n)令
两减。

相关文档
最新文档