2018版高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式一导学案新人教a版必修4_164

合集下载

1.3三角函数的诱导公式(一) 新课标高中数学人教A版必修四教案

1．3诱导公式（一）教学目标（一）知识与技能目标⑴理解正弦、余弦的诱导公式．⑵培养学生化归、转化的能力．（二）过程与能力目标（1）能运用公式一、二、三的推导公式四、五．（2）掌握诱导公式并运用之进行三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．（三）情感与态度目标通过公式四、五的探究，培养学生思维的严密性与科学性等思维品质以及孜孜以求的探索精神等良好的个性品质．教学重点掌握诱导公式四、五的推导，能观察分析公式的特点，明确公式用途，熟练驾驭公式．教学难点运用诱导公式对三角函数式的求值、化简以及简单三角恒等式的证明．教学过程一、复习：诱导公式（一）tan )360tan(cos )360(cos sin )360sin(αααααα=+︒=+︒=+︒k k k 诱导公式（二）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα=+︒-=+︒-=+︒ 诱导公式（三）tan )tan(cos )cos( sin )sin(αααααα-=-=--=-诱导公式（四）tan )180tan(cos )180cos( sin )180sin(αααααα-=-︒-=-︒=-︒ 对于五组诱导公式的理解：①可以是任意角；公式中的α②这四组诱导公式可以概括为：符号。

看成锐角时原函数值的前面加上一个把三角函数值，的同名的三角函数值，等于它ααπαπααπ ,, , ),Z (2-+-∈+k k总结为一句话：函数名不变，符号看象限练习1：P27面作业1、2、3、4。

2：P25面的例2：化简二、新课讲授： 1、诱导公式（五） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ=-=- 2、诱导公式（六） sin )2cos( cos )2sin(ααπααπ-=+=+ 总结为一句话：函数正变余，符号看象限例1．将下列三角函数转化为锐角三角函数：).317sin()4( ,519cos )3( ,3631sin )2( ,53tan )1(πππ-︒ 练习3：求下列函数值：).580tan )4( ,670sin )3( ),431sin()2( ,665cos)1(︒︒-ππ 例2．证明：（1）ααπcos )23sin(-=- （2）ααπsin )23cos(-=- 例3．化简：.)29sin()sin()3sin()cos()211cos()2cos()cos()2sin(αππααπαπαπαπαπαπ+-----++- 的值。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式教学案新人教A版必修4

＝ sin 45 ° cos 30 °－ cos 30 ° sin 30 °－ tan 45 °
2 3 31
6－ 3－4
＝ 2 × 2 － 2 × 2－1＝
4
.
讲一讲
3 / 22
cos（－α） tan （7π＋α）
2． (1) 化简：
sin （π－α）
＝ ________；
sin （1 440 °＋α）· cos（α－ 1 080 °） (2) 化简 cos（－ 180°－α）· sin （－α－ 180°）＝ ________．
[ 尝试解答]
cos（－α） tan （7π＋α） cos αtan （π＋α）
(1)
sin （π－α）
＝
sin α
＝
cos α· tan α sin α sin α ＝ sin α＝ 1.
sin （4×360°＋α）· cos（3×360°－α） (2) 原式＝ cos（180°＋α）· [ －sin （180°＋α） ]
切．
练一练
sin[ （k＋1）π＋θ ] ·cos[ （k＋1）π－θ］
2．化简：
sin （kπ－θ）· cos（kπ＋θ）
( k∈ Z) ．
解：当 k 为奇数时，不妨设 k＝ 2n＋1， n∈Z，
sin[ （2n＋2）π＋θ ] ·cos[ （2n＋ 2）π－θ］则原式＝ sin （2nπ＋π－θ）· cos（2nπ＋π＋θ）
＝ sin(360 °＋ 225° )cos (3 ×360°＋ 210° ) ＋ cos 30 ° sin 210 °＋ tan(180 °－ 45° )
＝ sin 225 ° cos 210 °＋ cos 30 °sin 210 °－ tan 45 °

高中数学1.3三角函数的诱导公式(1)导学案新人教A版必修4

-y)高中数学 1.3 三角函数的诱导公式（1）导学案新人教A 版必修4一、三维目标：知识与技能:（1）、借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式(απ±)；（2）、掌握公式二、三、四并灵活运用。

过程与方法:利用诱导公式并结合同角三角函数的关系进行三角函数式求值、化简和证明。

情感态度与价值观:培养学生应用数形结合的思想，推导出诱导公式，并能将它应用在解决问题中。

二、学习重、难点：能够恰当的运用四种诱导公式并结合同角三角函数的关系进行三角函数式求值、化简和证明。

三、学法指导：认真阅读教材，掌握四种诱导公式并能运用公式进行化简求值。

四、知识链接：1．三角函数：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x,y ）,那么sin α= ；cos α= ；tan α= 。

2. 诱导公式一：3. 同角三角函数基本关系：（1）22sin cos 1αα+=；（2）sin tan cos ααα=练习：若1sin cos 2θθ=，则cos tan sin θθθ+的值是( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D.12 五、学习过程：认真阅读教材23～25页，熟记下列四种诱导公式，完成学案内容。

如图，任意角α的终边与单位圆的交点P （x ,y ），那么απ+的终边与单位圆的交点坐标是；απ-的终边与单位圆的交点坐标是；α-的终边与单位圆的交点坐标是。

1．诱导公式二：ααπ-sin sin(=+）ααπ-cos cos(=+）ααπtan tan(=+） 2．诱导公式三：αα-sin sin(=-）ααcos cos(=-） ααtan tan(-=-）认真研究教材24页诱导公式二的推导过程，写出诱导公式三的推导过程：3．诱导公式四：ααπsin sin(=-）ααπ-cos cos(=-） ααπtan tan(-=-）注：四组诱导公式可概括为： απ±k 2（k ∈Z ），α-，απ±的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。

高中数学第一章三角函数1.3三角函数的诱导公式第1课时三角函数的诱导公式(一)限时规范训练新人教A版

第1课时三角函数的诱导公式（一）【基础练习】1．化简1－sin 21 180°的结果是( ) A ．cos 100° B ．cos 80° C ．sin 80° D ．cos 10°【答案】B【解析】原式＝1－sin 21 180°＝1－sin 2100°＝cos 2100°＝cos 280°＝cos 80°.故选B ． 2．(2018年福建厦门校级月考)已知sin(π＋α)＝35，α是第四象限的角，则cos(α－2π)＝( )A ．45B ．－45C ．±45D ．35【答案】A【解析】由sin(π＋α)＝35，得sin α＝－35，而cos(α－2π)＝cos α且α是第四象限角，所以cos α＝1－sin 2α＝45.故选A ．3．下列等式恒成立的是( ) A ．cos(－α)＝－cos α B ．si n(360°－α)＝sin α C ．tan(2π－α)＝tan(π＋α) D ．cos(π＋α)＝cos(π－α) 【答案】D【解析】根据诱导公式可得cos(－α)＝cos α，sin(360°－α)＝－sin α，tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan(π＋α)，可得A ，B ，C 都不正确，再由cos(π＋α)＝－cos α＝cos(π－α)，可得D 正确．故选D ．4．sin 2(2π－α)＋cos(π＋α)·cos(π－α)＋1的值是( ) A ．1 B ．2 C ．0 D ．2sin 2α【答案】B【解析】原式＝sin 2α＋(－cos α)·(－cos α)＋1＝sin 2α＋cos 2α＋1＝1＋1＝2.故选B ． 5．化简sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?的结果是( ) A ．1 B ．－1 C ．cos αD ．1cos α【答案】A【解析】sin 2?α＋π?·cos?π＋α?cos 3?－α－π?·tan 2?α－2π?＝sin 2α·?－cos α??－cos 3α?·tan 2α＝sin 2αcos 2α·sin 2αcos 2α＝1.故选A ． 6．(2019年江西南昌模拟)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α的值为________．【答案】32【解析】因为3π4－α＝π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝32.7．(2019年江苏苏州期末)已知3sin(α－π)＝cos α，则tan(π－α)的值是________．【答案】13【解析】因为3sin(α－π)＝－3sin (π－α)＝－3sin α，所以－3sin α＝cos α，则tan α＝sin αcos α＝－13.所以tan(π－α)＝－tan α＝13.8．求值：(1)sin 1 650°；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3. 【解析】(1)sin 1 650°＝sin(4×360°＋210°)＝sin 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－28π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－10π＋2π3＝cos 2π3 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3＝－cos π3＝－12.9．已知cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝lg 1310，求cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?的值．【解析】∵cos?180°＋α?sin?α＋360°?sin?540°＋α?sin?－α－180°?cos?－180°－α?＝－cos α?sin αsin?180°＋α?－sin?180°＋α?cos?180°＋α?＝－cos α?sin α?－sin α?sin α?－cos α?＝－sin α＝lg 1310，∴sin α＝－lg1310＝lg 310＝13.∴cos ?π＋α?cos α[cos ?π－α?－1]＋cos?α－2π?cos αcos ?π－α?＋cos?α－2π?＝－cos αcos α?－cos α－1?＋cos αcos α?－cos α?＋cos α＝1cos α＋1＋11－cos α＝?1－cos α?＋?1＋cos α?1－cos 2α ＝2sin 2α＝18. 【能力提升】10．(2018年湖南株洲期中)已知tan(π－α)＝－23，则cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α的值为( )A ．－15B ．－37C ．15D ．37【答案】A【解析】tan(π－α)＝－tan α＝－23，可得tan α＝23，∴cos?－α?＋3sin?π＋α?cos?π－α?＋9sin α＝cos α－3sin α－cos α＋9sin α＝1－3tan α9tan α－1＝1－3×239×23－1＝－15.故选A ．11．已知角α与角β终边关于y 轴对称，有四个等式：①sin α＝sin(π＋β)；②sin α＝sin β；③cos α＝cos(π＋β)；④cos α＝cos(－β)，其中恒成立的是( )A ．②③B ．①④C ．①③D ．②④ 【答案】A【解析】设角α终边上一点P (x ，y )，则点P 关于y 轴对称的点为P ′(－x ，y )且点P 与点P ′到原点的距离相等，设为r ，则P ′(－x ，y )在β的终边上，由三角函数的定义得sin α＝y r ，sin β＝y r，cosα＝x r ，cos β＝－xr，∴sin α＝sin β，cos α＝－cos β.故①④错误，②③正确．故选A ．12．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β为非零常数．若f (2 018)＝－1，则f (2 019)＝________.【答案】1【解析】∵f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝a sin(π＋2 018π＋α)＋b cos(π＋2 018π＋β)＝－a sin(2 018π＋α)－b cos(2 018π＋β)＝－f (2 018)，又f (2 018)＝－1，∴f (2 019)＝1.13．化简：1＋2sin 280°·cos 440°sin 260°＋cos 800°.【解析】原式＝1＋2sin?360°－80°?·cos?360°＋80°? sin?180°＋80°?＋cos?720°＋80°?＝1－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin280°＋cos280°－2sin 80°·cos 80°－sin 80°＋cos 80°＝sin 80°－cos 80°2－sin 80°＋cos 80°＝|sin 80°－cos 80°|cos 80°－sin 80°＝sin 80°－cos 80°cos 80°－sin 80°＝－1.。

高中数学 1.3三角函数的诱导公式(1)教案新人教A版必

课题 1.3.1三角函数的诱导公式（一）教学目标知识与技能了解三角函数的诱导公式的意义和作用．理解诱导公式的推导过程。

能运用有关诱导公式解决一些求值、化简和证明问题．过程与方法广泛应用于求任意角的三角函数值以及有关三角函数的化简、证明等问题．情感态度价值观在诱导公式的学习中，化归思想贯穿始末．重点首先确定角180°＋α、角－α的终边与角α的终边之间的位置关系，找出它们与单位圆交点的坐标，再由正弦函数、余弦函数的定义得出结论．难点利用诱导公式把求任意角的三角函数值转化为求锐角的三角函数值教学设计教学内容教学环节与活动设计探究点一诱导公式的作用和意义在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式一，并且利用公式一可以把绝对值较大的角的三角函数转化为0°～360°内的角的三角函数值，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？请你完成下面的问题，并注意观察三角函数的符号规律．(1)角π3的终边与单位圆的交点坐标为_______，所以sinπ3＝___，cosπ3＝___，tanπ3＝___；(2)角4π3的终边与单位圆的交点坐标为______，所以sin4π3＝___，cos4π3＝___，tan4π3＝____；(3)角－π3的终边与单位圆的交点坐标为___，所以sin⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝__，cos⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝__，tan⎝⎛⎭⎪⎫－π3＝___；(4)角2π3的终边与单位圆的交点坐标为____，所以sin2π3＝____，cos2π3＝____，tan2π3＝______.探究点二诱导公式二(1)公式内容 sinπ＋α＝－sin α，cosπ＋α＝－cos α， tanπ＋α＝tan α.教学内容教学环节与活动设计(2)公式推导：如图，设角α的终边与单位圆交于点P 1(x ，y )，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P 2(－x ，－y )，下面是根据三角函数定义推导公式的过程，请你补充完整：由三角函数的定义得sin α＝，cos α＝，tan α＝，又sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝＝， ∴sin(π＋α)＝，cos(π＋α)＝，tan(π＋α)＝ . (3)公式作用：第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数，例如sin 76π＝ ,cos 54π＝ ,tan 240°＝ . 探究点三诱导公式三 (1)公式内容： sin －α＝－sin α， cos －α＝cos α， tan －α＝－tan α. (2)公式推导：如图，设角α的终边与单位圆的交点为P 1(x ，y )，由于角－α的终边与角α的终边关于x 轴对称，因此角－α与单位圆的交点为P 2 ，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x；sin(－α)＝－y ＝－sin α；cos(－α)＝＝，tan(－α)＝＝ .(3)公式作用：将负角的三角函数转化为正角的三角函数．例如，sin(－390°)＝，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－54π＝ . 探究点四诱导公式四(1)公式内容：sin π－α＝sin α，cos π－α＝－cos α， tan π－α＝－tan α.(2)公式推导：请写出诱导公式四的推导过程．方法一：如图，设角α的终边与单位圆相交于P 1(x ，y )，由于角π－α与α的终边关于y 轴对称，因此角π－α的终边与单位圆相交于P 2(－x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x；sin(π－α)＝＝，cos(π－α)＝＝，tan(π－α)＝y －x ＝－y x＝ . 方法二：由诱导公式二和诱导公式三可得：sin(π－α)例1 求值（1）sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π； (2)cos 960°； (3)tan 476π. (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－194π＝－sin 34π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－sin π4＝－22. (2)cos 960°＝－cos 60°＝－12. (3)tan 476π＝tan 56π＝tan(π－π6)＝－tan π6＝－33.例2 化简：sin 2α＋3πcos α＋πtan α＋πcos 3－α－π.解原式＝sin 2α·－cos αtan α·cos 3α＋π＝－sin 2α·cos α－tan α·cos 3α＝sin 2α·cos αsin α·cos 3α＝sin 2αcos αsin αcos 2α＝sin αcos α＝tan α.。

高中数学新人教版A版精品教案《1.3 三角函数的诱导公式》3

1.2.3三角函数的诱导公式教学设计第1课时一、三维目标1．知识与技能（1）建构合理的问题情境，让学生体验公式的推导过程并能够理解借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式；（2）理解记忆的基本上，能够运用诱导公式，把任意角的三角函数的化简、求值问题转化为锐角三角函数的化简、求值问题。

2．过程与方法（1）经历由观察图形、直观感知探讨数量关系式的过程，培养学生的数学发现能力和概括能力；（2）通过对诱导公式的发现和探究、运用过程，培养学生的化归能力，提高分析问题和解决问题的能力。

3．情感、态度、价值观（1）通过对诱导公式的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度；（2）在诱导公式的探求过程中，运用合作学习的方式进行，培养学生团结协作的精神。

二、教学重点与难点教学过程中的重点是，探求－α的诱导公式推导过程。

π＋α，π－α与的诱导公式的推导，在小结－α的诱导公式发现过程的基础上，在教师的引导下由学生自己推出。

教学过程中的难点是，对角α的任意性的理解。

π＋α，π－α与角α终边位置的几何关系的发现以及表示。

以及发现由终边位置关系导致（与单位圆交点）的坐标关系，从而根据三角函数的定义发现三角函数的之间的关系即发现诱导公式的“路线图”。

三、教学方法与教学手段问题教学法、自主探究法，多媒体课，数学实验四、教学过程课堂脉络：温故知新——问题引导——特殊探路——动画感知自主探究——归纳方法——巩固反馈——开放小结（一）温故知新，问题提出师：如何求任意角三角函数的函数值？（定义法，三角函数线）师：如何将任意角三角函数求值问题转化为0°-360°角三角函数求值问题？问题1求390°的正弦、余弦值【设计意图】哈尔莫斯说：问题是数学的心脏。

数学的课堂教学活动教学应当从问题开始。

教师通过设计合理的问题，把数学教学的“锚”，抛在学生最近发展区内，为教学的展开提供知识和思维的生长点。

2018版高中数学第一章三角函数13三角函数的诱导公式学案新人教A版

1.3 三角函数的诱导公式1.能借助单位圆中的三角函数线推导诱导公式二，并由此探究相关的其他诱导公式.(难点)2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简与证明问题.(重点)3.各种诱导公式的特征.(易混点)[基础·初探]教材整理1 诱导公式二～公式四阅读教材P～P例1以上内容，完成下列问题. 24231.诱导公式二(1)对应角终边之间的对称关系在平面直角坐标系中，π＋α的终边与角α的终边关于原点对称.(2)诱导公式二sin(π＋α)＝－sin α；cos(π＋α)＝－cos α；tan(π＋α)＝tan α.2.诱导公式三(1)对应角终边之间的对称关系x轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，－α(2)诱导公式三sin(－α)＝－sin α；cos(－α)＝cos α；tan(－α)＝－tan α.3.诱导公式四(1)对应角终边之间的对称关系y轴对称. 的终边与角α的终边关于在平面直角坐标系中，π－α(2)诱导公式四sin(π－α)＝sin α；cos(π－α)＝－cos α；tan(π－α)＝－tan α.公式一～四可以概括为：(3)．kk的同名函数值，前面加上一的三角函数值，等于αα，－，πα＋±·2π(α∈Z) .α看成锐角时原函数值的符号个把(正确的打“√”，错误的打“×”)判断3) .( (1)tan 210°＝3)一定是锐角.( (2)对于诱导公式中的角α) β).( ＝－cos(α－(3)由公式三知cos[－(α－β)]BAABC sin ＝中，sin()(4)在△＋)C.(3. (1)tan 210°＝tan 30°＝【解析】 3(2)诱导公式中的角α是任意角，不一定是锐角. (3)由公式三知cos[－(α－β)]＝cos(α－β)，故cos[－(α－β)]＝－cos(α－β)是不正确的.ABCABC，－＝＝π，所以π(4)因为＋＋＋ABC)＝π－＋sin )＝sin(所以sin(C.【答案】 (1)√ (2)× (3)× (4)√教材整理2 诱导公式五、六阅读教材P第七行以下至“例3”以上内容，完成下列问题.????????α－－α＝cos公式五：sinsin α. ＝cos α，1.????2226ππππ????????α＋α＋＝－sin α＝cos α，2.公式六：sincos. ????223.公式五和公式六可以概括为：π±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看2成锐角时原函数值的符号.公式一～六都叫做诱导公式.ππ1????????α＋－α________.cos＝＝，则cos若????223π1????α－＝sin α＝cos 【解析】∵，??23．π????α＋∴cos??21.＝－＝－sin α31 【答案】－3][小组合作型给角求值问题.求下列各三角函数值π1029????－(1)sinπ；(2)cos . ??36360°内的角，进而利360°的角化为0°到【精彩点拨】先化负角为正角，再将大于.用诱导公式求得结果π10????－(1)sin 【自主解答】??3π4π410π????＋2π＝－sin ＝－sinsin ＝－??333π3π????＋π.＝sin ＝－sin＝??323π5π529????＋π4 ＝cos (2)cos π＝cos??666π3π????－π.＝cos＝－＝－cos ??626已知角求值的问题主要是利用诱导公式把任意角的三角函数值转化为锐角的三角函数值π????，0范围内的角的三.求解如果是负角，一般先将负角的三角函数化为正角后，再转化到??2角函数，同时，准确记忆特殊角的三角函数值.[再练一题].求下列各三角函数值1.17.π(1)tan(－855°)；(2)sin 6 －855°)＝－tan 855°＝－tan(2×360°＋135°)【解】(1)tan(1. ＝－tan 135°＝－tan(180°－45°)＝tan 45°＝5517????π2＋π (2)sin π＝sin＝sin π??666ππ????＋＝sin??321π.＝cos ＝23(式)求值问题给值πππ53??????2??????－α＋－αα【导学号：已知－sin 的值. ＝，求coscos??????6663 70512008】【精彩点拨】π5π????????????α－＋α cos－π＝【自主解答】因为cos??????66π3????α－ cos＝－，＝－??63πππππ52??????????2222??????????－－ααα＋α－α－sincos＝sin1－＝－＝sin，所以cos??????????6666633＋322. ＝－＝－－3331.解决条件求值问题的策略：(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系.(2)可以将已知式进行变形，向所求式转化，或将所求式进行变形，向已知式转化.ππππ2.常见的互余关系有：－α与＋α，＋α与－α等；3644π2ππ3π常见的互补关系有：＋θ与－θ，＋θ与－θ等.4433．[再练一题]π2π1????????α－－α________.＝2.已知cos，则＝sin????6332ππ????????????αα＋－sin ＝sin【解析】π－??????33πππ??????????－α??α－sinsin＝＝????63??2π1????α－＝.＝cos??631【答案】 3利用诱导公式证明三角恒等式απ－2－π－απ－α＝－求证：tan α. 【导学α－－ππα 00680012号：】【精彩点拨】观察被证式两端，左繁右简，可以从左端入手，利用诱导公式进行化简，逐步地推向右边.【自主解答】原式左边＝α－παα－－απ－αππ－α－αα－sin α－α－sin sin＝＝αcos αcos α－cos α＝－tan α＝右边.原式得证.关于三角恒等式的证明，常用方法：(1)从一边开始，证得它等于另一边，一般由繁到简.(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子.无论用哪种方法都要针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除其差异.[再练一题]，2＝)α＋πtan(7已知3.απ－＋α－π＝求证：2.α－－＋απ【证明】∵tan(7π＋α)＝2，∴tan α＝2，α－2cos α＋3sin ＋α－2＋3tan απ－πα－＝＝∴＝α－tan α4－αα4cos ＋α－sin π－－2＋3×2＝2.24－[探究共研型]诱导公式中的分类讨论思想k π＋α)的值？探究1 利用诱导公式能否直接写出sin(k 是奇数还是偶数不确定.不能 .因为【提示】kknnk π＋α)＝sin(π＋α)＋1(＝－∈Z )，sin(sin 当α是奇数时，即；＝2kknnk π＋α)＝，sin(是偶数时，即sin ＝2α(.∈Z )当k ????απ＋如何化简2 tan 呢？探究 ??2nknk )＋1(【提示】当，为奇数时，即∈＝2Z π????α＋sin ??k 2ππcos 1α????????α＋＋α＝＝；tan ＝tan ＝????22α－sin πtan α－????α＋cos ??2nkkn∈Z 2)(当，为偶数时，即＝k π????α＋.tan αtan ＝??21??k 为奇数，，k π?? α－tan ???α＋＝所以tan??2??k .，为偶数tan αk 为整数，化简：设kk －π－απ－α].kk α＋＋π＋απ【精彩点拨】本题主要考查分类讨论的思想以及诱导公式.常用的解决方法有两种：①kk π－必须把α分成偶数和奇数两种情况讨论；②观察式子结构，为了便于运用诱导公式，kkkkkπ，可使用配角法＝2.－1)π－＝2(π，(＋1)π＋α＋α＋π＋αkkmm∈Z)，则设＝2原(式＝时法解【自主答】一：当为偶数，mmα＋α－π]－π－πα－α＝＝mmα＋πα＋π＋＋πααα－sin cos α－＝－1；αcos －sin αkkmm∈Z)，同理可得原式＝－＝21.＋当1(为奇数时，设kkkkkkk cos[(故π，π－α＝＋1)π＋α＋(2法二：由于－π－α＋απ＋＝21)π，(kkkkπ＋＝－sin(1)π＋cos(απ＋α)，sin[(]－－1)πα]＝cos[(＋＋1)π＋α]＝－kkπ＋α).α)＝－α)，sin(sin(π－kkπ＋－απ＋α－＝－1.所以原式＝kkα＋απ－＋πkk值，可能导致不同的结果，因而要加以分类讨论，Z由于的任意性，对于不同的∈正确的思维就是分为奇数与偶数加以分析.[再练一题]nnαπ＋α－πn∈Z)(化简4.的结果为________.n]＋απ－nkk∈Z)时，(1)当＝2 (【解析】kkαsin ααcos π－απ＋＝原式＝kαπ－αcos ]＋－.α＝－sinknk (2)当＝21(＋时，∈Z)kk＋π－＋αα]＋π原式＝k]α＋π－α－sin cos α－＝sin α.＝αcosn＋1所以化简所得的结果为(－1)·sin α.n1＋sin 1)α－【答案】(1.下列各式不正确的是( )A.sin(α＋180°)＝－sin αB.cos(－α＋β)＝－cos(α－β)C.sin(－α－360°)＝－sin αD.cos(－α－β)＝cos(α＋β).项错误B，故)β－αcos(＝)]β－α(－cos[＝)β＋α－cos( 【解析】．B【答案】) 2.sin 600°的值为(11 A. －B.2233 －D.C. 22 sin 600°＝sin(720°－120°)＝－sin 120°【解析】3.故选＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－ D. 2D【答案】) 3.cos 1 030°＝(B. －cos 50°A.cos 50°C.sin 50°D. －sin 50°【解析】 cos 1 030°＝cos(3×360°－50°)＝cos(－50°)＝cos 50°.【答案】 Aππ????????θ＋θ－>0，则θ<0，且cos是4.若sin( ) ????22A.第一象限角 B.第二象限角D. 第四象限角 C.第三角限角π????θ＋，cos θ<0【解析】由于sin＝??2π????θ－＝sin θ>0，所以角θ的终边落在第二象限，故选cosB. ??2【答案】 B11π6????φ＋ 00680013】的值. 【导学号：，求cos＋sin(3π－φ)5.已知sin φ＝??2116 ，sin ∵φ＝【解】1111ππ????????φ6π－＋＋φ cos∴cos＝????22π????φ－＋＝cos??2π6????φ－＝sin ＝cosφ＝，??21111π6????φ＋)－φπ＝cos∴)－sin(3＋πφ＋sin(??211．612＝＋sin φ＝. 1111．。

2018版高中数学三角函数1.3三角函数的诱导公式一导学案新人教A版

1.3 三角函数的诱导公式（一）学习目标 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.设角α的终边与单位圆的交点为P，由三角函数定义知P点坐标为(cos α，sin α).知识点一诱导公式二思考角π＋α的终边与角α的终边有什么关系？角π＋α的终边与单位圆的交点P1(cos(π＋α)，sin(π＋α))与点P(cos α，sin α)呢？它们的三角函数之间有什么关系？答案角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，P1与P也关于原点对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式二知识点二诱导公式三思考角－α的终边与角α的终边有什么关系？角－α的终边与单位圆的交点P2(cos(－α)，sin(－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函数之间有什么关系？答案角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，P2与P也关于x轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式三思考角π－α的终边与角α的终边有什么关系？角π－α的终边与单位圆的交点P3(cos(π－α)，sin(π－α))与点P(cos α，sin α)有怎样的关系？它们的三角函之间有什么关系？答案角π－α的终边与角α的终边关于y 轴对称，P 3与P 也关于y 轴对称，它们的三角函数关系如下：诱导公式四梳理公式一～四都叫做诱导公式，它们分别反映了2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数与α的三角函数之间的关系，这四组公式的共同特点是：2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α的三角函数值等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号.简记为“函数名不变，符号看象限”.类型一利用诱导公式求值命题角度1 给角求值问题例1 求下列各三角函数式的值.(1)cos 210°； (2)sin 11π4；(3)sin(－43π6)； (4)cos(－1 920°).解 (1)cos 210°＝cos(180°＋30°) ＝－cos 30°＝－32. (2)sin 11π4＝sin(2π＋3π4)＝sin 3π4＝sin(π－π4)＝sin π4＝22.(3)sin(－43π6)＝－sin(6π＋7π6)＝－sin 7π6＝－sin(π＋π6)＝sin π6＝12.(4)cos(－1 920°)＝cos 1 920° ＝cos(5×360°＋120°)＝cos 120°＝cos(180°－60°)＝－cos 60°＝－12.反思与感悟利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤： (1)“负化正”：用公式一或三来转化.(2)“大化小”：用公式一将角化为0°到360°间的角. (3)“角化锐”：用公式二或四将大于90°的角转化为锐角. (4)“锐求值”：得到锐角的三角函数后求值. 跟踪训练1 求下列各三角函数式的值.(1)sin 1 320°； (2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6； (3)tan(－945°).解 (1)方法一 sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°) ＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－32. 方法二 sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°) ＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－32. (2)方法一 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos 31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋7π6＝cos(π＋π6)＝－cos π6＝－32.方法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6π＋5π6＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π6＝－cos π6＝－32.(3)tan(－945°)＝－tan 945°＝－tan(225°＋2×360°) ＝－tan 225°＝－tan(180°＋45°)＝－tan 45°＝－1. 命题角度2 给值求角问题例2 已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A.－π6B.－π3C.π6D.π3答案 D解析由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，可得－sin θ＝－3cos θ，|θ|<π2，即tan θ＝3，|θ|<π2，∴θ＝π3.反思与感悟对于给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角.跟踪训练 2 已知sin(π－α)＝－2sin(π＋β)，3cos(－α)＝－2cos(π＋β)，0<α<π，0<β<π，求α，β.解由题意，得⎩⎨⎧sin α＝2sin β， ①3cos α＝2cos β. ②①2＋②2，得sin 2α＋3cos 2α＝2，即sin 2α＋3(1－sin 2α)＝2， ∴sin 2α＝12，∴sin α＝±22.∵0<α<π，∴sin α＝22， ∴α＝π4或α＝34π.把α＝π4，α＝34π分别代入②，得cos β＝32或cos β＝－32.又∵0<β<π，∴β＝π6或β＝56π.∴α＝π4，β＝π6或α＝34π，β＝56π.类型二利用诱导公式化简例3 化简下列各式.(1)tan (2π－α)sin (－2π－α)cos (6π－α)cos (α－π)sin (5π－α)；(2)1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°.解 (1)原式＝sin (2π－α)cos (2π－α)·sin (－α)cos (－α)cos (π－α)sin (π－α)＝－sin α(－sin α)cos αcos α(－cos α)sin α＝－sin αcos α＝－tan α.(2)原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°)＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1.引申探究若本例(1)改为：tan (n π－α)sin (n π－α)cos (n π－α)cos[α－(n ＋1)π]·sin[(n ＋1)π－α](n ∈Z )，请化简.解当n ＝2k 时，原式＝－tan α·(－sin α)·cos α－cos α·sin α＝－tan α；当n ＝2k ＋1时，原式＝－tan α·sin α·(－cos α)cos α·(－sin α)＝－tan α.反思与感悟三角函数式的化简方法(1)利用诱导公式，将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数. (2)常用“切化弦”法，即表达式中的切函数通常化为弦函数. (3)注意“1”的变式应用：如1＝sin 2α＋cos 2α＝tan π4.跟踪训练3 化简下列各式. (1)cos (π＋α)·sin (2π＋α)sin (－α－π)·cos (－π－α)； (2)cos 190°·sin (－210°)cos (－350°)·tan (－585°). 解 (1)原式＝－cos α·sin α－sin (π＋α)·cos (π＋α)＝cos α·sin αsin α·cos α＝1.(2)原式＝cos (180°＋10°)·[－sin (180°＋30°)]cos (－360°＋10°)·[－tan (360°＋225°)]＝－cos 10°·sin 30°cos 10°·[－tan (180°＋45°)]＝－sin 30°－tan 45°＝12.1.sin 585°的值为( ) A.－22 B.22 C.－32 D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2.cos(－16π3)＋sin(－16π3)的值为( )A.－1＋32B.1－32 C.3－12D.3＋12答案 C解析原式＝cos 16π3－sin 16π3＝cos 4π3－sin 4π3＝－cos π3＋sin π3＝3－12.3.已知cos(π－α)＝32(π2<α<π)，则tan(π＋α)等于( ) A.12 B.33 C.－ 3 D.－33 答案 D解析方法一 cos(π－α)＝－cos α＝32， ∴cos α＝－32. ∵π2<α<π，∴sin α>0. ∴sin α＝1－cos 2α＝1－34＝12， ∴tan(π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－33.方法二由cos α＝－32，π2<α<π，得α＝56π， ∴tan α＝－33，∴tan(π＋α)＝tan α＝－33. 4.sin 750°＝ . 答案 12解析 ∵sin θ＝sin(k ·360°＋θ)，k ∈Z ， ∴sin 750°＝sin(2×360°＋30°)＝sin 30°＝12.5.化简：cos (α－π)sin (5π＋α)·sin(α－2π)·cos(2π－α).解原式＝cos (π－α)sin (π＋α)·[－sin(2π－α)]·cos(2π－α)＝－cos α－sin α·sin α·cos α＝cos 2α.1.明确各诱导公式的作用2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”.其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号，α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角.3.已知角求值问题，一般要利用诱导公式三和公式一，将负角化为正角，将大角化为0～2π之间的角，然后利用特殊角的三角函数求解.必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”课时作业一、选择题1.cos 600°的值为( ) A.32 B.12 C.－32D.－12答案 D解析 cos 600°＝cos(360°＋240°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12.2.若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(α－2π)等于( )A.12B.±32 C.32D.－32答案 D解析由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，故sin(α－2π)＝sin α＝－1－cos 2α ＝－ 1－(12)2＝－32(α为第四象限角). 3.记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( ) A.1－k2k B.－1－k2k C.k1－k2D.－k1－k2答案 B解析 ∵cos(－80°)＝k ，∴cos 80°＝k ， ∴sin 80°＝1－k 2，则tan 80°＝1－k2k.∴tan 100°＝－tan 80°＝－1－k2k.4.已知n 为整数，化简sin (n π＋α)cos (n π＋α)所得的结果是( )A.tan n αB.－tan n αC.tan αD.－tan α答案 C解析当n ＝2k ，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋α)cos (2k π＋α)＝sin αcos α＝tan α；当n ＝2k ＋1，k ∈Z 时，sin (n π＋α)cos (n π＋α)＝sin (2k π＋π＋α)cos (2k π＋π＋α)＝sin (π＋α)cos (π＋α)＝－sin α－cos α＝tan α.故选C.5.tan(5π＋α)＝m ，则sin (α－3π)＋cos (π－α)sin (－α)－cos (π＋α)的值为( )A.m ＋1m －1B.m －1m ＋1C.－1D.1答案 A解析 ∵tan(5π＋α)＝tan α＝m ，∴原式＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝m ＋1m －1.6.若sin(π－α)＝log 8 14，且α∈(－π2，0)，则cos(π＋α)的值为( )A.53 B.－53C.±53D.以上都不对答案 B解析 ∵sin(π－α)＝sin α＝log 32 2－2＝－23，∴cos(π＋α)＝－cos α＝－1－sin 2α ＝－1－49＝－53. 二、填空题 7.cos (－585°)sin 495°＋sin (－570°)的值是 .答案2－2解析原式＝cos (360°＋225°)sin (360°＋135°)－sin (210°＋360°)＝cos 225°sin 135°－sin 210°＝cos (180°＋45°)sin (180°－45°)－sin (180°＋30°)＝－cos 45°sin 45°＋sin 30°＝－2222＋12＝2－2.8.已知a ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π6，b ＝cos 23π4，c ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－33π4，则a ，b ，c 的大小关系是 .并比较值的大小答案 b ＞a ＞c解析 ∵a ＝－tan 7π6＝－tan π6＝－33，b ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π－π4＝cos π4＝22， c ＝－sin33π4＝－sin π4＝－22， ∴b ＞a ＞c .9.已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，则sin(α－3π)＋cos(α－π)＝ .答案 15解析 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35，又∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45.∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α) ＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋35＝15.10.已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则f (2 017)的值为 . 答案－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－3.11.已知sin(π－α)＝log 814，且α∈(－π2，0)，则tan(2π－α)的值为 . 答案 25512.已知cos(508°－α)＝1213，则cos(212°＋α)＝ . 答案 1213三、解答题13.化简下列各式.(1)sin(－193π)cos 76π； (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos(－240°)sin(－210°).解 (1)sin(－193π)cos 76π ＝－sin(6π＋π3)cos(π＋π6)＝sin π3cos π6＝34. (2)sin(－960°)cos 1 470°－cos 240°sin(－210°) ＝－sin(180°＋60°＋2×360°)cos(30°＋4×360°) ＋cos(180°＋60°)sin(180°＋30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝1.四、探究与拓展14.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ sin πx ，x <0，f (x －1)－1，x >0，则f (－116)＋f (116)的值为 . 答案－2解析因为f (－116)＝sin(－11π6) ＝sin(－2π＋π6)＝sin π6＝12； f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－12－2＝－52，所以f (－116)＋f (116)＝－2. 15.已知f (α)＝sin (π＋α)cos (2π－α)tan (－α)tan (－π－α)sin (－π－α). (1)化简f (α)；(2)若α是第三象限角，且sin(α－π)＝15，求f (α)的值； (3)若α＝－31π3，求f (α)的值. 解 (1)f (α)＝－sin αcos α(－tan α)(－tan α)sin α＝－cos α. (2)∵sin(α－π)＝－sin α＝15， ∴sin α＝－15.又α是第三象限角， ∴cos α＝－265.∴f (α)＝265. (3)∵－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3 ＝－cos 5π3＝－cos π3＝－12.。

高中数学 1.3三角函数的诱导公式(一) 学案新人教A版必修4

广东省佛山市顺德区罗定邦中学高一数学必修四1.3三角函数的诱导公式(一) 学案【学习目标】1. 认识诱导公式。

2. 初步运用诱导公式求三角函数值，并进行三角函数式的化简和证明。

【重点、难点】应用诱导公式进行化简、求值自主学习案【问题导学】P(x,y)关于原点对称的点为_________P(x,y)关于x 轴对称的点为_________P(x,y)关于y 轴对称的点为_________与a 角终边相同的角的集合________与a 角终边关于原点对称的角的集合________与a 角终边关于x 轴对称的角的集合________与a 角终边关于y 轴对称的角的集合________诱导公式（一）终边相同的角的同一三角函数相等sin(2k π+α)=_______ cos(2k π+α)=__________ tan(2k π+α)=_______ 诱导公式（二）终边关于原点对称的三角函数公式sin(π+α)=___________ cos(π+α)=____________ tan(π+α)=_______ 诱导公式（三）关于x 轴对称的三角函数公式sin(－α)=____________ cos(－α)=____________ tan(－α)=______ 诱导公式（四）关于y 轴对称的三角函数公式sin(π－α)=____________ cos(π－α)=____________tan(π－α)=______【预习自测】1.把任意角的三角函数问题转化成0°到360°的三角函数值。

(1) sin 1110°=__________ (2) tan 94π = ____________ (3) cos(－ 116π)= ____________ 2.把任意角三角函数转化成0到π的三角函数值(1) cos(－ 3π5)=___________(2) tan 138π= _____________ (3) sin 197π=_________________ 3.求下列三角函数值(1)sin(- π4)=___________ (2) cos(-60°)=____________ (3)tan(-236π) =__________ (4) sin(- 103π)=____________【我的疑问】合作探究案【课内探究】例1 在0°到360°写出下列角终边相同的角（1）1289° （2）-2040°例2 利用公式求下列三角函数值（1）cos 225° (2) sin311π (3) sin(-623π) (4) cos(-2040°)例3（1）化简)180cos()180sin())sin(360180cos(αααα-︒--︒--︒-︒(2)sin(α+180°)cos(-α)sin(-α-180°)【当堂检测】1. 转化为锐角三角函数(1) cos210°=_____________ (2) sin 263°42′=_____________(3)cos(－7π)=____________ (4) tan 617π=_________________ 2. 化简 )sin()an(360)(cos 2αα-+︒--t a = __________3. 化成关于a 的三角函数(1) sin(360°－α)=___________ (2) cos(360°－α)=_______________(3) tan(360°－α)=___________【小结】课后练习案1. 利用公式求下列三角函数值cos(－420°)=_________ sin(－76π)= _____________ sin(－1300°)=_________ cos(679π-)=__________________ 2. 若sin20°=a ，则tan 200°=________________3. sin 34πtan(45π-)=____________ sin 210°=_____________ 4. 已知cos α=31，02<<-a π，求a a a a )tan cos(-))sin(2cos(+--ππ5. 化简(1) sin 3(－a)cos(2π+a)tan(－a －π)(2) ))tan(k -sin(k ))cos((sin 2a a a a k --+πππ。