题组5圆锥曲线 2018届高三数学三轮冲刺解答题定心训练题组

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高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题(含答案解析)

高考数学复习----圆锥曲线压轴解答题常考套路归类专项练习题（含答案解析）1．（2023春·福建泉州·高三阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知点，直线：，为平面上的动点，过点作直线的垂线，垂足为点，分别以PQ ，PF 为直径作圆和圆，且圆和圆交于P ，R 两点，且.(1)求动点的轨迹E 的方程；(2)若直线：交轨迹E 于A ，B 两点，直线：与轨迹E 交于M ，D 两点，其中点M 在第一象限，点A ，B 在直线两侧，直线与交于点且，求面积的最大值.【解析】（1）设点,因为, 由正弦定理知,,解得, 所以曲线的方程为.（2）直线与曲线在第一象限交于点, 因为,所以, 由正弦定理得:,xOy ()1,0F l =1x −P P l Q 1C 2C 1C 2C PQR PFR ∠=∠P 1l x my a =+2l 1x =2l 1l 2l N MA BN AN MB ⋅=⋅MAB △(,)P x y PQR PFR ∠=∠||||PQ PF =|1|x =+24y x =E 24y x =1x =E (1,2)M ||||||||MA BN AN MB ⋅=⋅||||||||MA MB AN BN =sin sin sin sin ANM BNMAMN BMN∠∠=∠∠所以. 设，所以, 得,所以，所以直线方程为:,联立，得由韦达定理得,又因为点在直线的上方,所以,所以, 所以又因为点到直线的距离为所以方法一：令,则,所以当时,单调递增,当时,单调递减,所以，所以当时,面积最大,此时最大值为.方法二：最大值也可以用三元均值不等式,过程如下:，当且仅当,即时,等号成立.AMN BMN ∠=∠()()1122,,,A x y B x y 12122212121222224411221144AM BM y y y y k k y y x x y y−−−−+=+=+=+=−−++−−124y y +=−2121222121124144AB y y y y k y y x x y y −−====−−+−1l x y a =−+24y xx y a ⎧=⎨=−+⎩2440,16(1)0,1y y a a a +−=∆=+>>−12124,4y y y y a +=−=−M 1l 21a >−+13a −<<12||AB y =−=M 1l d =11||22ABMSAB d ==⨯=2()(1)(3),13f a a a a =+−−<<()(31)(3)f a a a '=−−113a −<<()0,()f a f a '>133a <<()0,()f a f a '<max 1256()327f a f ⎛⎫== ⎪⎝⎭13a =ABM S ∆=ABM S △ABMS==223a a +=−13a =2．（2023·北京·高三专题练习）已知椭圆中心在原点，焦点在坐标轴上，，一个焦点为． (1)求椭圆的标准方程；(2)过点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于两点，直线分别与直线相交于两点，若为锐角，求直线斜率的取值范围．【解析】（1）由题意知：椭圆的离心率因为一个焦点为，所以，则由可得：，所以椭圆的标准方程为. （2）设直线的方程为，，联立方程组，整理可得：，则有，由条件可知：直线所在直线方程为：，因为直线与直线相交于所以，同理可得：，则，若为锐角，则有，所以 C O ()0,1F C F l ,A B ,OA OB 2y =,M N MON ∠l k C c e a ==()0,1F 1c =a 222a b c =+1b =C 2212y x +=l 1y kx =+1122(,),(,)A x y B x y 22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩22(2)210k x kx ++−=12122221,22k x x x x k k −−+==++OA 11y y x x =OA 2y =M 112(,2)x M y 222(,2)xN y 112(,2)x OM y =222(,2)xON y =MON ∠0OM ON >121212212121212444444(1)(1)()1x x x x x x OM ON y y kx kx k x x k x x =+=+=++++++，则，解得：或，所以或或，故直线斜率的取值范围为. 3．（2023·青海海东·统考一模）已知函数.(1)求曲线在处的切线方程；(2)若在点处的切线为，函数的图象在点处的切线为，，求直线的方程.【解析】（1），，则，所以曲线在处的切线方程为，即.（2）设，令，则. 当时，；当时，.所以在上单调递增，在上单调递减，所以在时取得最大值2，即.，当且仅当时，等号成立，取得最小值2. 因为，所以，得.2222142=412122k k k k k k −⨯++−−⨯+⨯+++22=41k +−22421k k −=−224201k k −>−212k <21k>k −<<1k >1k <−l k 22(,1)(,)(1,)22−∞−−+∞()32ln 13x f x x x x =−+−()y f x =1x =()y f x =A 1l ()e e x xg x −=−B 2l 12l l ∥AB ()11101133f =−+−=−()222ln 212ln 3f x x x x x =+−+=−+'()12f '=()y f x =1x =()1213y x +=−723y x =−()()1122,,,A x y B x y ()22ln 3h x x x =−+()()()21122x x h x x x x+−=−='01x <<()0h x '>1x >()0h x '<()h x ()0,1()1,+∞()22ln 3h x x x =−+1x =()2f x '…()e e 2x x g x −=+'…0x =()g x '12l l ∥()()122f x g x ''==121,0x x ==即，所以直线的方程为，即. 4．（2023春·重庆·高三统考阶段练习）已知椭圆的左右焦点分别为，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，．(1)若的面积为的标准方程；(2)如图，过点作斜率的直线l 交椭圆于不同两点M ，N ，点M 关于x 轴对称的点为S ，直线交x 轴于点T ，点P 在椭圆的内部，在椭圆上存在点Q ，使，记四边形的面积为，求的最大值．【解析】（1），∴，，解得的标准方程为：. （2），∴，椭圆，令，直线l 的方程为：，联立方程组：，消去y 得，由韦达定理得，，()11,,0,03A B ⎛⎫− ⎪⎝⎭AB ()130010y x −−−=−−13y x =−22122:1(0)x y C a b a b+=>>12,F F ||2||OA OB =12BF F △1C (1,0)P (0)k k >1C SN OM ON OQ +=OMQN 1S 21OT OQ S k⋅−||2||OA OB =2a b =12122BF F S b c =⋅=△bc =222a b c =+4,2,a b c ===1C 221164x y +=||2||OA OB =2a b =22122:14x yC b b+=()()()()201012,,,,,,,0T M x y N x y Q x y T x (1)y k x =−222214(1)x y b b y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22222(14)8440k x k x k b +−+−=2122814k x x k +=+221224414k b x x k −=+有，因为：，所以，，将点Q 坐标代入椭圆方程化简得：，而此时： . 令，所以直线，令得，由韦达定理化简得，，而， O 点到直线l 的距离，所以：，，因为点P 在椭圆内部，所以，得，即令，求导得，当，单调递增；当，即，单调递减.所以：，即5．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C ：的右顶点为，过左焦点F 的直线交椭圆于M ，N 两点，交轴于P 点，，，记，，（为C 的右焦点）的面积分别为.121222(2)14kyy k x x k −+=+−=+OM ON OQ +=202814k x k =+02214k y k −=+222414k b k=+()22222284(14)(44)480k k k b k ∆=−+−=>()11,S x y −122221:()y y SN y y x x x x +−=−−0y =()1212211212212112122(1)(1)(2)2T x x x x x y x y k x x k x x x y y k x x x x −+−+−===+++−+−24T x b =12OMN S S =△12MN x =−=d =1122S MN d =⨯⋅=2222243212814(14)k b k OQ OT k k ⋅==++2312280(14)OT OQ S k k k ⋅−=+214b <2112k >k >322()(14)k f k k =+222222423(41)(43)(43)()(14)(14)k k k k k f k k k −+−−−'==++213124k <<k <<()0f k '>()f k 234k >k >()0f k '<()f k max()f k f ==⎝⎭21maxOT OQ S k ⎛⎫⋅−=⎪⎝⎭22221(0)x y a b a b+=>>A 1(0)x ty t =−≠y PM MF λ=PN NF μ=OMN 2OMF △2ONF △2F 123,,S S S(1)证明：为定值；(2)若，，求的取值范围.【解析】（1）由题意得F ，，所以椭圆C 的标准方程为：.设，显然，令，，则，则，，由得，解得，同理. 联立，得. ，从而（定值）（2）结合图象，不妨设，，，， λμ+123S mS S μ=+42λ−≤≤−m a (1,0)1c −⇒=2221b a c =−=2212x y +=1122(,),(,)M x y N x y 0t ≠0x =1y t =10,P t ⎛⎫⎪⎝⎭111,PM x y t ⎛⎫=− ⎪⎝⎭()111,MF x y =−−−PM MF λ=11111(,)(1,)x y x y t λ−=−−−111ty λ+=211ty μ+=22121x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩22(2)210t y ty +−−=12122221,11t y y y y t t −+==++121212*********y y tty ty t y y t λμ++++=+=⋅=⋅=−−4λμ+=−120y y >>1121211122S y y y y =⋅⋅−=−（）21111122S y y =⋅⋅=32211122S y y =⋅⋅=−由得代入，有，则，解得，，设，则，设，则，令，解得，解得，故在上单调递减，在上单调递增，则且，则，则. 6．（2023·四川成都·统考二模）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率，.(1)求椭圆的标准方程；(2)过点的直线与该椭圆交于两点，且的方程. 【解析】（1）由已知得，解得，，所求椭圆的方程为；（2）由（1）得.①若直线的斜率不存在，则直线的方程为，由得. 111ty λ+=21211111,,13y y y tt y λμμμλμ++++====+−−123S mS S μ=+()1212111222y y my y μ−=−1212y y my y μ−=−2222111811(1)17(3)133y y y m y y y μμμμμμ⎡⎤=−+=−−=−=−++−+⎢⎥+⎣⎦42λ−≤≤−31[1,3]μλ∴+=−−∈3u μ=+[]1,3u ∈()87h u u u ⎛⎫=−+ ⎪⎝⎭()228uh u u −'=()0h u '>1u <<()0h u '<3u <<()h u ()(()max 7h u =−()()412,33h h =−=()2,7h u ⎡∈−−⎣2,7m ⎡−−⎣∈22221(0)x y a b a b+=>>12,F F e =22a c =1F l M N 、2223F M F N +=l 22c a a c⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1a c ==1b ∴∴2212x y +=()()121,01,0F F −､l l =1x −22112x x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩2y =设，，这与已知相矛盾. ②若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设，联立，消元得，，，又，，化简得，解得或（舍去）所求直线的方程为或.7．（2023·全国·高三专题练习）设分别是椭圆的左､右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于两点，到直线的距离为3，连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4. (1)求椭圆的方程；(2)已知点，设是椭圆上的一点，过两点的直线交轴于点，若，1,M N ⎛⎛−− ⎝⎭⎝⎭､()222,4,04F M F N ⎛⎛⎫∴+=−+−=−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭l l k l ()1y k x =+()()1122,,M x y N x y ､()22112y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩()2222124220k x k x k +++−=22121222422,1212k k x x x x k k −−∴+==++()121222212ky y k x x k ∴+=++=+()()2112221,,1,F M x y F N x y =−=−()2212122,F M F N xx y y ∴+=+−+(22F M F N x ∴+=424023170k k −−=21k =21740k =−1k ∴=±∴l 1y x =+=1y x −−12,F F 2222:1(0)x y D a b a b+=>>2F π3D ,A B 1F AB D D ()1,0M −E D ,E M l y C CE EM λ=求的取值范围；(3)作直线与椭圆交于不同的两点，其中点的坐标为，若点是线段垂直平分线上一点，且满足，求实数的值.【解析】（1）设的坐标分别为，其中；由题意得的方程为. 因为到直线的距离为3，解得①因为连接椭圆的四个顶点得到的菱形面积为4，所以，即 ②联立①②解得: ,所求椭圆D 的方程为.（2）由（1）知椭圆的方程为，设，因为，所以所以，代入椭圆的方程，所以，解得或.（3）由，设根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为，则直线的方程为，把它代入椭圆的方程，消去整理得：由韦达定理得则，；所以线段的中点坐标为. （i ）当时，则，线段垂直平分线为轴，λ1l D ,P Q P ()2,0−()0,N t PQ 4NP NQ ⋅=t 12,F F ()(),0,,0c c −0c >AB )y x c −1F AB 3,=c =2223a b c −==D 12242a b ⨯⨯=2ab =2,1a b ==2214x y +=2214x y +=11(,),(0,)E x y C m CE EM λ=1111(,)(1,),x y m x y λ−=−−−11,11m x y λλλ=−=++22()1()141m λλλ−++=+2(32)(2)04m λλ++=≥23λ≥−2λ≤−()2,0P −11(,)Q x y 1l k 1l ()2y k x =+D y 2222(14)16(164)0k x k x k +++−=212162,14k x k −+=−+2122814k x k −=+112()4214k y k x k =+=+PQ 22282(,)1414k kk k −++0k =()2,0Q PQ y于是，由解得（ii ）当时，则线段垂直平分线的方程为. 由点是线段垂直平分线的一点，令，得；于是由，解得综上可得实数的值为8．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，为椭圆的左､右顶点，焦距长为在椭圆上，直线的斜率之积为.(1)求椭圆的方程；(2)已知为坐标原点，点，直线交椭圆于点不重合），直线交于点.求证：直线的斜率之积为定值，并求出该定值. 【解析】（1）由题意，，设，，由题意可得，即，可得 (2,),(2,)NP t NQ t =−−=−244,NP NQ t ⋅=−+=t =±0k ≠PQ 222218()1414k ky x k k k −=−+++()0,N t PQ 0x =2614kt k =−+11(2,),(,)NP t NQ x y t =−−=−24211222224166104(16151)2()4141414(14)k k k k k NP NQ x t y t k k k k −++−⎛⎫⋅=−−−=+== ⎪++++⎝⎭k =2614k t k =−=+t ±,A B 2222:1(0)x yE a b a b+=>>P E ,PA PB 14−E O ()2,2C −PC E (,M M P ,BM OC G ,AP AG ()(),0,,0A a B a −()00,P x y 0000,PA PB y y k k x a x a==+−000014y y x a x a ⋅=−+−222014y x a =−−2202222222201111444x b a b a c x a a a ⎛⎫− ⎪−⎝⎭=−⇒=⇒=−又所以，椭圆的方程为；（2）由题意知，直线的斜率存在，设直线，且联立，得由，得，所以，设，由三点共线可得所以，直线的斜率之积为定值.9．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是椭圆的上、下焦点，直线过点且垂直于椭圆长轴，动直线垂直于点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹为.2c =c =2a =E 2214x y +=MP :MP y kx m =+()()112222,,,,k m P x y M x y =−+2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222148440k x kmx m +++−=Δ0>22410k m +−>2121222844,1414km m x x x x k k −−+==++(),G t t −,,G M B 222222222y y tt t x x y −=⇒=−−−+−11,22AG AP y tk k t x ==−++()()()()112121221212222221222AG AP y y y y y tk k t x x y x k x m x ⋅=⋅=−=−−+++−+⎡⎤++−+⎣⎦()()()()()())()()22212122212112121221222124y k x x km x x m y m x x m x m x m x x x x +++=−=−=−−++⎡⎤⎡⎤−+−+−+++⎣⎦⎣⎦()()()2222222222222222244844841414448144164161241414m kmk km m k m k m m k m k k m km m m km k m k k −−+⋅+−−++++=−=−⎡⎤⎡⎤−−−−−++⎣⎦−+⋅+⎢⎥++⎣⎦()()()()()()()2222222422141(2)818144144m k m k m k m k m m m m k m m m m km k −+−++−=−=−=−=−=−−−−−−−+,AP AG 14−F F '221:171617C x y +=1l F '2l 1l G GF 2l H H 2C(1)求轨迹的方程；(2)若动点在直线上运动，且过点作轨迹的两条切线、，切点为A 、B ，试猜想与的大小关系，并证明你的结论的正确性.【解析】（1），，椭圆半焦距长为，，，，动点到定直线与定点的距离相等，动点的轨迹是以定直线为准线，定点为焦点的抛物线，轨迹的方程是；（2）猜想证明如下：由（1）可设，，，则，切线的方程为：同理，切线的方程为：联立方程组可解得的坐标为，在抛物线外，，，2C P :20l x y −−=P 2C PA PB PFA ∠PFB ∠22171617x y +=∴2211716y x +=∴1410,4F ⎛⎫'− ⎪⎝⎭10,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭HG HF =∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴H 11:4l y =−10,4F ⎛⎫⎪⎝⎭∴2C 2x y =PFA PFB ∠=∠()211,A x x ()()22212,B x x x x ≠2y x =2y x '∴=112AP x x k y x =='=∴AP ()1221111220y x x x x y x x x −⇒−=−−=BP 22220x x y x −−=P 122P x x x +=12P y x x =P ∴||0FP ≠2111,4FA x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭12121,24x x FP x x +⎛⎫=− ⎪⎝⎭2221,4FB x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭22121121112122221112211111244444cos ||||||11||||4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x x FP x +⋅−−+++⋅∴⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅∠====+− ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎝⎭⎝⋅+同理10．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知椭圆＋＝1（a ＞b ＞0），右焦点F （1,0），，过F作两条互相垂直的弦AB ，CD .(1)求椭圆的标准方程；(2)求以A ，B ，C ，D 为顶点的四边形的面积的取值范围.【解析】（1）由题意知，，又，所以，所以，所以椭圆的标准方程为；（2）①当直线与中有一条直线的斜率为0时，另一条直线的斜率不存在，不妨设直线的斜率为0，的斜率不存在，则直线方程为，直线的方程为，联立可得所以联立可得所以所以四边形ADBC 的面积． ②当两条直线的斜率均存在且不为0时，设直线的方程为，1214cos ||||||x x FP FB BFP FP FB FP +⋅∠==cos cos AFP BFP ∴∠=∠PFA PFB ∴∠=∠22x a 22y b2c e a ==a 1c =a =222abc =+21b =2212x y +=AB CD AB CD AB 0y =CD 1x =22120x y y ⎧+=⎪⎨⎪=⎩0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩AB =22121x y x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩CD =11||||222S AB CD =⋅=⨯AB (1)y k x =−则直线的方程为．将直线的方程代入椭圆方程，整理得，方程的判别式，设，所以， ∴，同理可得， ∴四边形ADBC 的面积， ∵，当且仅当时取等号，∴四边形ADBC 的面积，综上①②可知，四边形ADBC 的面积的取值范围为．11．（2023·全国·高三专题练习）如图，椭圆，经过点，且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点P ，Q (均异于点，证明:直线AP 与AQ 的斜率之和为2．CD 1(1)y x k=−−AB ()2222124220k xk x k +−+−=()2222124220k x k x k +−+−=()()42221642122880k k k k ∆=−+−=+>()()1122,,,A x y B x y 22121222422,1212k k x x x x k k −+=⋅=++12||AB x −)22112kAB k +==+)2222111||1212k k CD k k⎫+⎪+⎝⎭==++⨯))22221111||||22122k k S AB CD k k ++=⋅=⨯⨯++()2222242144122252112121k k k k k k k k k ⎛⎫+ ⎪+⎝⎭===−++⎛⎫⎛⎫++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22121219k k ⎛⎛⎫++≥+= ⎪⎝⎭⎝1k =±16,29S ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭S 16,29⎡⎤⎢⎥⎣⎦22:12+=x E y (1,1)M k E (0,1)A −【解析】设,直线的方程为,两交点异于点，则 ,联立直线与椭圆方程,消去变量并整理得,由已知，由韦达定理得,则所以可知直线与的斜率之和为2.12．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值．【解析】由题可知，设，，，由，得，满足，可得，()()1122,,,P x y Q x y PQ (1)1y k x =−+A 2k ≠y ()222221124(1)2402(1)1x y k x k k x k k y k x ⎧+=⎪⇒++−+−=⎨⎪=−+⎩0∆>21212224(1)24,1212k k k kx x x x k k −−+==++()()12121212121211AP AQ k x k x y y k k x x x x −+−++++=+=+()()12121212122(2)(2)2kx x k x x k x x k x x x x +−+−+==+222244122(2)1224k k k k k k k k−+=+−⋅⋅+−()2212k k =−−=AP AQ 22162x y +=1F 2F A B P 11PF F A λ=22PF F B μ=2λ=μ2226,2,4a b c ===()00,P x y 11(,)A x y 22(,)B x y 11PF F A λ=22PF F B μ=()1,0F c −0101101x x c y y λλλλ+⎧−=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩()010110x x c y y λλλ⎧+=−+⎨+=⎩满足，可得，由，可得，所以，∴，，又，∴，同理可得， ∴，所以，又，所以.13．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，且直线被椭圆． (1)求椭圆的方程；(2)以椭圆的长轴为直径作圆，过直线上的动点作圆的两条切线，设切点为，若直线与椭圆交于不同的两点，，求的取值范围．【解析】（1）直线，经过点，，被椭圆，可得．又，，解得：，，， ()2,0F c 0202101x x c y y μμμμ+⎧=⎪+⎪⎨+⎪=⎪+⎩()020210x x c y y μμμ⎧+=−+⎨+=⎩22002222112211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2200222222211221x y a b x y a b λλλ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩()()()()010*******21x x x x y y y y abλλλλλ−+−++=−()()()()0101211x x x x a λλλλ−+=−+()()2011a x x cλλ−=−−()()011x x c λλ+=−+222202a c a c x c cλ−+=−222202a c a c x c c μ−+=−+()22222a c a c c cλμ−++=⋅2222210a c a cλμ++=⋅=−2λ=8μ=22122:1(0)x y C a b a b+=>>121:1x yl a b+=1C 1C 1C 2C 2:4l y =M 2C ,A B AB 1C C D ||||CD AB ⋅1:1x yl a b+=(,0)a (0,)b 1C 227a b +=12c a =222a b c =+24a =23b =1c =椭圆的方程为．（2）由（1）可得：圆的方程为：．设，则以为直径的圆的方程为：，与相减可得：直线的方程为：，设，，，，联立，化为：，，则，，故又圆心到直线的距离，令，则，可得，可得：14．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的两个焦点，，动点在椭圆上，且使得的点恰有两个，动点到焦点的距离的最大值为∴1C22143x y+=2C224x y+=(2,4)M t OM222()(2)4x t y t−+−=+224x y+=AB2440tx y+−=1(C x1)y2(D x2)y222440143tx yx y+−=⎧⎪⎨+=⎪⎩22(3)480t x tx+−−=248(2)0t∆=+>12243tx xt+=+12283x xt=⋅−+||CDO AB d=||AB∴=||||AB CD∴⋅==23(3)t m m+=≥||||AB CD⋅==3m≥3233m≤−<||||AB CD⋅<22122:1(0)x yC a ba b+=>>1F2F P 1290F PF∠=︒P P1F2(1)求椭圆的方程；(2)如图，以椭圆的长轴为直径作圆，过直线作圆的两条切线，设切点分别为，，若直线与椭圆交于不同的两点，，求弦长的取值范围．【解析】（1）设半焦距为，由使得的点恰有两个可得，动点到焦点的距离的最大值为，可得所以椭圆的方程是. （2）圆的方程为，设直线的坐标为.设，连接OA ，因为直线为切线，故，否则直线垂直于轴，则与直线若，则，故，故直线的方程为：，整理得到：；当时，若，直线的方程为：；若，则直线的方程为：，满足.故直线的方程为，同理直线的方程为，又在直线和上，即，故直线的方程为.1C 1C 2C x =−T 2C A B AB 1C C D ||CD c 1290F PF ∠=︒P ,b c a =P 1F 22a c +=2,a c =1C 22142x y +=2C 224x y +=x =−T ()t −1122(,),(,)A x y B x y AT 10y ≠AT x AT x =−10x ≠11OA y k x =11AT x k y =−AT ()1111x y y x x y −=−−2211114x x y y x y +=+=10x =(0,2)A AT 2y =(0,2)A −AT =2y −114x x y y +=AT 114x x y y +=BT 224x x y y +=()t −AT BT 112244ty ty ⎧−+=⎪⎨−+=⎪⎩AB 4ty −+=联立，消去得，设，．则，从而，又，从而，所以. 15．（2023·全国·高三专题练习）已知、分别为椭圆的左、右焦点，且右焦点的坐标为，点在椭圆上，为坐标原点．(1)求椭圆的标准方程(2)若过点的直线与椭圆交于两点，且的方程； (3)过椭圆上异于其顶点的任一点，作圆的两条切线，切点分别为，（，224142ty x y ⎧−+=⎪⎨+=⎪⎩x 22(16)8160t y ty +−−=33(,)C x y 44(,)D x y 343422816,1616t y y y y t t −+==++||CD 224(8)16t t +=+232416t −=++21616t +≥2322016t −−≤<+||[2,4)CD ∈1F 2F 2222:1(0)x yC a b a b+=>>2F (1,0)(P C O C 2F l C ,A B ||AB =l C Q 22:1O x y +=M N M不在坐标轴上），若直线在轴、轴上的截距分别为、，那么是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由．【解析】（1）椭圆的右焦点的坐标为，椭圆的左焦点的坐标为，由椭圆的定义得，所以，由题意可得，即，即椭圆的方程为；（2）直线与椭圆的两个交点坐标为，， ①当直线垂直轴时，方程为：，代入椭圆可得，舍去；②当直线不垂直轴时，设直线联立，消得，，则，，恒成立.，又， N MN x y m n 2212m n+C 2F (1,0)∴C 1F (1,0)−12||||2PF PF a +=2a =a ∴=22a =1c =2221b ac =−=C 2212x y +=l C ()11,A x y ()22,B x y l x l 1x =y =||AB =l x :(1)l y k x =−2212(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=−⎩y ()2222124220k x k x k +−+−=2122421k x x k +=+21222221k x x k −=+()()()()22222442122810k k k k ∆=−+−=+>22AB =()()22121214k x x x x ⎡⎤=++−⎣⎦()()22228121k k +=+||AB =()()222228132921k k +==+⎝⎭化简得，，即，解得或（舍去），所以，直线方程的方程为或. （3）是定值，定值为2.设点，，，连接，，，，则有，. ，不在坐标轴上，则，，则，，直线的方程为，即，① 同理直线的方程为，②，将点代入①②，得，显然，满足方程，直线的方程为，分别令，，得到，，，，又满足，，即.16．（2023·全国·高三专题练习）某同学在探究直线与椭圆的位置关系时发现椭圆的一个重要性427250k k −−=()()227510k k +−=21k =257k =−1k =±∴l 10x y −−=10x y +−=()00,Q x y ()33,M x y ()44,N x y OM ON 0M MQ ⊥ON NQ ⊥22331x y +=22441x y +=M N 33MO y k x =44NO y k x =331MQ MOx k k y =−=−441NQ NO x k k y =−=−∴MQ ()3333x y y x x y −=−−2233331xx yy x y +=+=⋯NQ 441xx yy +=⋯Q 0303040411x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩()33,M x y ()44,N x y 001xx yy +=∴MN 001xx yy +=0x =0y =01n x =01=m y 01y m ∴=01x n =()00,Q x y 2212x y +=∴221112m n +=22122m n +=质：椭圆在任意一点，处的切线方程为．现给定椭圆，过的右焦点的直线交椭圆于，两点，过，分别作的两条切线，两切线相交于点． (1)求点的轨迹方程；(2)若过点且与直线垂直的直线（斜率存在且不为零）交椭圆于，两点，证明：为定值．【解析】（1）由题意F 为，设直线为，，，，，易得在点处切线为，在点处切线为，由得，又，，可得，故点的轨迹方程．（2）证明：联立的方程与的方程消去，得．由韦达定理，得，，所以，因为，直线MN 可设为，同理得，所以．2222:1(0)x y C a b a b+=>>0(M x 0)y 00221xx yy a b +=22:143x y C +=C F l C P Q P Q C G G F l C M N 11||||PQ MN +()1,0PQ 1x ty =+1(P x 1)y 2(Q x 2)y P 11143x x y y +=Q 22143x x y y+=11221,431,43x xy yx x y y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩1122124()y y x x y x y −=−111x ty =+221x ty =+4x =G 4x =l C 221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩x 22(34)690t y ty ++−=122634t y y t +=−+122934y y t =−+2212(1)||34t PQ t +=+PQ MN ⊥11x y t =−+2222112(1)12(1)||13434t t MN t t++==+⋅+22221134347||||12(1)12(1)12t t PQ MN t t +++=+=++。

高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题一、解答题1．【陕西省榆林市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标.【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。

设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。

解得。

∴椭圆的标准方程为.（Ⅱ）证明：由题意设直线的方程为，由消去y整理得，设，，要使其为定值，需满足，解得.故定点的坐标为.点睛：解析几何中定点问题的常见解法(1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意．2．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当12k =时，弦MN的长为. （1）求抛物线C 的标准方程；（2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）24y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案；（2）由（1）可设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12MN k t t =+，则()11:220MN x t t y tt -++=；同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11t t ⇒=（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2）将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．（2）设()()()2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则12211222=MN t t k t t t t -=-+，则()212:2MN y t x t t t -=-+即()11220x t t y tt -++=；同理： ()22:220MQ x t t y tt -++=；()1212:220NQ x t t y t t -++=.由()1,0-在直线MN 上11tt ⇒=，即11t t =（1）；由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ⇒+++=将（1）代入()121221t t t t ⇒=-+- （2）将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ⇒-+-+-=，易得直线NQ 过定点()1,4-3．【四川省成都市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知抛物线()2:0C y mx m =>过点()1,2-， P 是C 上一点，斜率为1-的直线l 交C 于不同两点,A B （l 不过P 点），且PAB ∆的重心的纵坐标为23-. （1）求抛物线C 的方程，并求其焦点坐标；（2）记直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ，求12k k +的值. 【答案】（1）方程为24y x =;其焦点坐标为()1,0（2）120k k +=【解析】试题分析;（1）将()1,2-代入2y mx =，得4m =，可得抛物线C 的方程及其焦点坐标；（2）设直线l 的方程为y x b =-+，将它代入24y x =得22220x b x b -++=（），利用韦达定理，结合斜率公式以及PAB ∆的重心的纵坐标23-，化简可12k k + 的值；因为PAB ∆的重心的纵坐标为23-，所以122p y y y ++=-，所以2p y =，所以1p x =，所以()()()()()()1221121212122121221111y x y x y y k k x x x x ------+=+=----，又()()()()12212121y x y x --+--()()()()12212121x b x x b x ⎡⎤⎡⎤=-+--+-+--⎣⎦⎣⎦()()()12122122x x b x x b =-+-+-- ()()()22212220b b b b =-+-+--=.所以120k k +=.4．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴端点到右焦点()10F ，的距离为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点F 的直线交椭圆C 于A B ，两点，交直线4l x =：于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证： 12λλ-为定值．【答案】(1) 22143x y +=;(2)详见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解；（Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明.（Ⅱ）由题意直线AB 过点()1,0F ，且斜率存在，设方程为()1y k x =-, 将4x =代人得P 点坐标为()4,3k ，由()221{ 143y k x x y =-+=，消元得()22223484120k xk x k +-+-=，设()11,A x y ， ()22,B x y ，则0∆>且21222122834{ 41234k x x kk x x k +=+-⋅=+，方法一：因为1PA AF λ=，所以11141PA x AF x λ-==-. 同理22241PB x BFx λ-==-，且1141x x --与2241x x --异号，所以12121212443321111x x x x x x λλ⎛⎫---=+=--+ ⎪----⎝⎭()()1212123221x x x x x x +-=-+-++()2222238682412834k k k k k --=-+--++0=. 所以， 12λλ-为定值0.当121x x <<时，同理可得120λλ-=. 所以， 12λλ-为定值0.同理2223PB my BFmy λ-==，且113my my -与223my my -异号，所以()12121212123332y y my my my my my y λλ+---=+=-()()36209m m ⨯-=-=⨯-.又当直线AB 与x 轴重合时， 120λλ-=，所以， 12λλ-为定值0.【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，其主要思路是联立直线和椭圆的方程，整理成关于x 或y 的一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解，因为直线AB 过点()1,0F ，在设方程时，往往设为1x my =+()0m ≠，可减少讨论该直线是否存在斜率.5．【四川省绵阳南山中学2017-2018学年高二上学期期中考】设抛物线C ： 24y x =， F 为C 的焦点，过F 的直线l 与C 相交于,A B 两点. （1）设l 的斜率为1，求AB ；（2）求证： OA OB ⋅是一个定值. 【答案】(1) 8AB =（2）见解析【解析】试题分析：（1）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦长公式即可得出；（2）把直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系、向量的数量积即可得出；（2）证明：设直线l 的方程为1x ky =+，由21{4x ky y x=+-得2440y ky --= ∴124y y k +=， 124y y =-()()1122,,,OA x y OB x y ==，∵()()1212121211OA OB x x y y kx ky y y ⋅=+=+++，()212121222144143k y y k y y y y k k =++++=-++-=-，∴OA OB ⋅是一个定值.点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公式、向量的数量积是解题的关键，考查计算能力,直线方程设成1x ky =+也给解题带来了方便.6．【内蒙古包头市第三十三中2016-2017学年高一下学期期末】已知椭圆C : 22221(0,0)x y a b a b+=>>的,右焦点为求椭圆C 的方程; (2)若过原点作两条互相垂直的射线,与椭圆交于A ,B 两点,求证:点O 到直线AB 的距离为定值.【答案】(1) 2213x y += ,(2) O 到直线AB 的距离为定值2. 【解析】试题分析：（1）根据焦点和离心率列方程解出a ，b ，c ；（2）对于AB 有无斜率进行讨论，设出A ，B 坐标和直线方程，利用根与系数的关系和距离公式计算；有OA⊥OB知x1x2+y1y2=x1x2+(k x1+m) (k x2+m)=(1+k2) x1x2+k m(x1+x2)=0 代入,得4 m2=3 k2+3原点到直线AB的距离d==，当AB的斜率不存在时, 11x y= ,可得,1x d==依然成立.所以点O 到直线点睛：本题考查了椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，分类讨论思想，对于这类题目要掌握解题方法．设而不求，套用公式解决．7．【四川省成都市石室中学2017-2018学年高二10月月考】已知双曲线()222210x yb aa b-=>>渐近线方程为y=，O为坐标原点，点(M在双曲线上．（Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）已知,P Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求2211OP OQ+的值．【答案】（Ⅰ）22126x y-=；（Ⅱ）221113OP OQ+=.【解析】试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，代入点M的坐标求得参数即可；（2）由条件可得OP OQ⊥，可设出直线,OP OQ的方程，代入双曲线方程求得点,P Q的坐标可求得221113OP OQ+=。

2018年高考数学三轮冲刺专题圆锥曲线中的综合问题练习题理

圆锥曲线中的综合问题1.已知F 是抛物线2:16C y x =的焦点， M 是C 上一点， O 是坐标原点， FM 的延长线交y 轴于点N ，若2FN OM =，则M 点的纵坐标为__________．2．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ， ()()1122,,,M x y N x y 是抛物线C 上的两个动点，若1222x x MN ++=，则MFN ∠的最大值为__________．3．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左右焦点分别为12,F F ，焦距2c ，以右顶点A 为圆心，半径为2a c +的圆过1F 的直线l 相切与点N ，设l 与C 交点为,P Q ，若2PQ PN =，则双曲线C 的离心率为__________．4.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的半焦距为c ，且满足220c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取值范围是__________．5．已知动点P 在椭圆2213627x y +=上，若点A 的坐标为()3,0，点M 满足1AM =， 0PM AM ⋅=，则PM 的最小值是（） 232 D. 36.已知双曲线2222:(0,0)x y C a b a b-=>>的右支与抛物线24x y =交于,A B 两点， F 是抛物线的焦点， O 是坐标原点，且4AF BF OF +=，则双曲线的离心率为（）6 B. 32237．已知A B 、分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右顶点，两个不同动点P Q 、在双曲线上且关于x 轴对称，设直线AP BQ 、的斜率分别为m n 、，则当42ln b a mn a b++取最小值时，双曲线的离心率为（） 3526 8.过椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点作x 轴的垂线，交C 于,A B 两点，直线l 过C 的左焦点和上顶点.若以AB 为直径的圆与l 存在公共点，则C 的离心率的取值范围是（）A. 5⎛ ⎝B. 5⎫⎪⎪⎭C. 2⎛ ⎝D. 2⎫⎪⎪⎭9.以0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0)p >为焦点的抛物线C 的准线与双曲线222x y -=相交于,M N 两点，若MNF ∆为正三角形，则抛物线C 的标准方程为（）A. 226y x =B. 246y =C. 246x =D. 226x =10.双曲线2221y x b -=的左右焦点分别为12,F F ，P 为右支上一点，且1||8PF =，120PF PF •=，则双曲线的渐近线方程是（）A ．22y x =±B ．26y x =±C ．5y x =±D ．34y x =±11.已知圆922=+y x 的弦过点P （1，2），当弦长最短时，该弦所在直线方程为（）A ．052=-+y xB ．02=-yC ．02=-y xD ．01=-x 12．已知圆()22:1C x a y -+=与抛物线24y x =-的准线相切，则a 的值是( )A. 0B. 2C. 0或1D. 0或213.如图，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足，若点C 在平面α内运动，且CAB ∠等于直线AB 与平面α所成的角，则动点C 的轨迹为（）A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线14.已知抛物线24y x =与圆22:20F x y x +-=，过点F 作直线l ，自上而下顺次与上述两曲线交于点,,,A B C D ，则下列关于AB CD ⋅的值的说法中，正确的是( )A. 等于1B. 等于16C. 最小值为4D. 最大值为415．设O 为坐标原点， P 是以F 为焦点的抛物线22y px =（0p >）上任意一点， M 是线段PF 上的点，且2PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（） 2 B. 23316.设O 为坐标原点，已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>3，抛物线22:C x ay =-的准线方程为12y =．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的方程；（2）设过定点()0,2M 的直线t 与椭圆1C 交于不同的两点,P Q ，若O 在以PQ 为直径的圆的外部，求直线t 的斜率k 的取值范围．17.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， C 上的动点P 到两焦点的距离之和为4，当点P 运动到椭圆C 的上顶点时，直线1PF 恰与以原点O 为圆心，以椭圆C 的离心率为半径的圆相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）设椭圆C 的左右顶点分别为A B 、，若PA PB 、交直线6x =于M N 、两点.问以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，请求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的一个焦点()21,0F ，且过点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，右顶点为A ，经过点2F 的动直线l 与椭圆交于,B C 两点.（1）求椭圆E 的方程；（2）31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭是椭圆E 上一点， 12F MF ∠的角平分线交x 轴于N ，求MN 的长；（3）在x 轴上是否存在一点T ，使得点B 关于x 轴的对称点B 落在CT 上？若存在，求出T 的坐标；若不存在，请说明理由.19．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的焦距为2，且经过点()2,1.过点()0,2D -的斜率为k 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，与x 轴交于P 点，点A 关于x 轴的对称点C ，直线BC 交x 轴于点Q .（1）求k 的取值范围；（2）试问： OP OQ ⋅是否为定值？若是，求出定值；否则，说明理由.20.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个焦点在直线:10l x -=上，且离心率12e =. （1）求该椭圆的方程；（2）若P 与Q 是该椭圆上不同的两点，且线段PQ 的中点T 在直线l 上，试证： x 轴上存在定点R ，对于所有满足条件的P 与Q ，恒有RP RQ =；（3）在（2）的条件下， PQR ∆能否为等腰直角三角形？并证明你的结论.21.已知点()1,0A ，点P 是圆C :()2218x y ++=上的任意一点，线段PA 的垂直平分线与直线C P 交于点E ．（Ⅰ）求点E 的轨迹方程；（Ⅱ）若直线y kx m =+与点E 的轨迹有两个不同的交点P 和Q ，且原点O 总在以Q P 为直径的圆的内部，求实数m 的取值范围．。

题组2数列 2018届高三数学三轮冲刺解答题定心训练题组

数列011、已知数列{}n a 的首项123a =，121n n n a a a +=+，1,2,3,n =…。

（1）证明：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是等比数列；（2）数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和n S 。

解：（1）121n n n a a a +=+，111111222n n n na a a a ++==+⋅，11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，11112a -=，数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是以为12首项，12为公比的等比数列。

（2）由（1）知1111111222n n n a -+-=⋅=，即1112n n a =+，∴2n n n nn a =+。

设23123222n T =+++…2n n +，①则23112222n T =++ (1122)n n n n+-++，② 由①—②得2111222n T =++ (11111)(1)1122112222212n n n n n n n n n +++-+-=-=---，11222n n n n T -=--。

又123+++ (1)2n n n ++=。

数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a n 的前n 项和22(1)4222222n n n n n n n n n S +++++=-+==。

2、已知数列{}n a 满足：1±≠n a ，211=a ，()()2211213n n a a -=-+，记数列21n n a b -=，221n n n c a a +=-，n N *∈。

（1）证明数列{}n b 是等比数列；（2）求数列{}n c 的通项公式；（3）是否存在数列{}n c 的不同项k j i c c c ,,，k j i <<，使之成为等差数列？若存在请求出这样的不同项k j i c c c ,,，k j i <<；若不存在，请说明理由。

解：（1）由已知，)(0,1*N n b a n n ∈≠±≠，431=b ，)1(2)1(3221n n a a -=-+，)(32*1N n b b n n ∈=+，所以{}n b 是43为首项，32为公比的等比数列。

2018届高三高考数学复习练习：高考专题突破五高考中的

高考专题突破五1．如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.【解析】 (1)由题设知c a ＝22，b ＝1，结合a 2＝b 2＋c 2，解得a ＝2，所以椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)证明由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 22＋y 2＝1，得(1＋2k 2)x 2－4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k （k －1）1＋2k 2，x 1x 2＝2k （k －2）1＋2k 2，从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2＝2k ＋(2－k )⎝⎛⎭⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k （k －1）2k （k －2）＝2k －2(k －1)＝2. 2．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的焦距为32，其中一条渐近线的方程为x －2y ＝0.以双曲线C 的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E ，过原点O 的动直线与椭圆E 交于A ，B 两点．(1)求椭圆E 的方程；(2)若点P 为椭圆E 的左顶点，PG →＝2GO →，求|GA →|2＋|GB →|2的取值范围．【解析】 (1)由双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的焦距为32，得c ＝322，∴a 2＋b 2＝92.① 由题意知b a ＝22，② 由①②解得a 2＝3，b 2＝32， ∴椭圆E 的方程为x 23＋23y 2＝1. (2)由(1)知P (－3，0)．设G (x 0，y 0)，由PG →＝2GO →，得(x 0＋3，y 0)＝2(－x 0，－y 0)．即⎩⎨⎧x 0＋3＝－2x 0，y 0＝－2y 0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－33，y 0＝0，∴G ⎝⎛⎭⎫－33，0. 设A (x 1，y 1)，则B (－x 1，－y 1)，|GA →|2＋|GB →|2＝⎝⎛⎭⎫x 1＋332＋y 21＋⎝⎛⎭⎫x 1－332＋y 21 ＝2x 21＋2y 21＋23＝2x 21＋3－x 21＋23＝x 21＋113. 又∵x 1∈[－3，3]，∴x 21∈[0，3]，∴113≤x 21＋113≤203， ∴|GA →|2＋|GB →|2的取值范围是⎣⎡⎦⎤113，203. 3．(2018·顺义尖子生素质展示)已知椭圆x 24＋y 23＝1的左顶点为A ，右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆于B ，C 两点．(1)求该椭圆的离心率；(2)设直线AB 和AC 分别与直线x ＝4交于点M ，N ，问：x 轴上是否存在定点P 使得MP ⊥NP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．【解析】 (1)由椭圆方程可得a ＝2，b ＝3，从而椭圆的半焦距c ＝a 2－b 2＝1. 所以椭圆的离心率为e ＝c a ＝12. (2)依题意，直线BC 的斜率不为0，设其方程为x ＝ty ＋1.将其代入x 24＋y 23＝1，整理得(4＋3t 2)y 2＋6ty －9＝0. 设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝－6t 4＋3t 2，y 1y 2＝－94＋3t 2. 易知直线AB 的方程是y ＝y 1x 1＋2(x ＋2)，从而可得M ⎝⎛⎭⎫4，6y 1x 1＋2，同理可得N ⎝⎛⎭⎫4，6y 2x 2＋2.假设x 轴上存在定点P (p ，0)使得MP ⊥NP ，则有PM →·PN →＝0.所以(p －4)2＋36y 1y 2（x 1＋2）（x 2＋2）＝0. 将x 1＝ty 1＋1，x 2＝ty 2＋1代入上式，整理得(p －4)2＋36y 1y 2t 2y 1y 2＋3t （y 1＋y 2）＋9＝0，所以(p －4)2＋36×（－9）t 2（－9）＋3t （－6t ）＋9（4＋3t 2）＝0，即(p －4)2－9＝0，解得p ＝1或p ＝7.所以x 轴上存在定点P (1，0)或P (7，0)，使得MP ⊥NP .4．如图，已知M (x 1，y 1)是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任意一点，F 为椭圆的右焦点．(1)若椭圆的离心率为e ，试用e ，a ，x 1表示|MF |，并求|MF |的最值；(2)已知直线m 与圆x 2＋y 2＝b 2相切，并与椭圆交于A ，B 两点，且直线m 与圆的切点Q 在y 轴右侧，若a ＝2，求△ABF 的周长．【解析】 (1)设F (c ，0)，则|MF |＝（x 1－c ）2＋y 21，又x 21a 2＋y 21b 2＝1，则y 21＝⎝⎛⎭⎫1－x 21a 2b 2，所以|MF |＝ ⎝⎛⎭⎫1－b 2a 2x 21－2cx 1＋a 2 ＝ c 2a2x 21－2cx 1＋a 2＝（ex 1－a ）2，又－a ≤x 1≤a 且0<e <1，所以|MF |＝a －ex 1，且|MF |max ＝a ＋ae ，|MF |min ＝a －ae .(2)设A (x 0，y 0)，B (x 2，y 2)(x 0，x 2>0)，连接OQ ，OA ，在Rt △OQA 中，|AQ |2＝x 20＋y 20－b 2，又y 20＝⎝⎛⎭⎫1－x 20a 2b 2，所以|AQ |2＝c 2x 20a 2，则|AQ |＝cx 0a ，同理|BQ |＝cx 2a ，所以|AB |＋|AF |＋|BF |＝2a －⎝⎛⎭⎫c a x 0＋c a x 2＋c a x 0＋c ax 2＝2a ，又a ＝2，所以所求周长为4.。

2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集(一)

2018年高考数学圆锥曲线压轴专项练习集（一）1.设,A B 分别是直线255y x =和255y x =-上的两个动点，并且20=→AB ，动点P 满足→→→+=OB OA OP ，记动点P 的轨迹为C 。

（1）求曲线C 的方程；（2）若点D 的坐标为(0,16)，,M N 是曲线C 上的两个动点，并且→→=DN DM λ，求实数λ的取值范围；（3）,M N 是曲线C 上的任意两点，并且直线MN 不与y 轴垂直，线段MN 的中垂线l 交y 轴于点0(0,)E y ，求0y 的取值范围。

2.如图，已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为22，A 、B 为椭圆的左右顶点，焦点到短轴端点的距离为2，P 、Q 为椭圆E 上异于A 、B 的两点，且直线BQ 的斜率等于直线AP 斜率的2倍．（Ⅰ）求证：直线BP 与直线BQ 的斜率乘积为定值；（Ⅱ）求三角形APQ 的面积S 的最大值．3.已知椭圆E ：2221x a b2y ＋＝（a>b>0）的离心率e ＝22，左、右焦点分别为F 1、F 2，点P（3），点F 2在线段PF 1的中垂线上．（1）求椭圆E 的方程；（2）设l 1，l 2是过点G （32，0）且互相垂直的两条直线，l 1交E 于A ， B 两点，l 2交E 于C ，D 两点，求l 1的斜率k 的取值范围；（3）在（2）的条件下，设AB ，CD 的中点分别为M ，N ，试问直线MN 是否恒过定点?若经过，求出该定点坐标；若不经过，请说明理由。

4.已知圆E ：x 2+（y ﹣）2=经过椭圆C ：+=1（a ＞b ＞0）的左右焦点F 1，F 2，且与椭圆C 在第一象限的交点为A ，且F 1，E ，A 三点共线，直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，且=λ（λ≠0）（1）求椭圆C 的方程；（2）当三角形AMN 的面积取得最大值时，求直线l 的方程．5.已知：一动圆过(1,0)B 且与圆A:222430(01)x y x λλ+++-=<<相切。

2018年高考理数考前20天终极冲刺攻略+圆锥曲线+Word版含答案

线的定义考查与之有关的问题，重点突出考查运算的能力，体现了数形结合的思想
.
1.椭圆
(1) 椭圆的定义：平面上到两定点 F1, F2 的距离的和为常数（大于两定点之间的距离）
的点 P 的轨迹是椭圆 . 这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆
的焦距，记做 F1F2 2c .
定义式： PF1 PF2 2a (2a F1F2 ) .
对称性
对称轴： x 轴， y 轴；对称中心：原点
离心率
c e ，e 1
a
注意：求双曲线的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择双曲线的标准方程；也可以利用双曲线的定义及焦点位置或点的坐标确定双曲线的标准方程 .
c 求双曲线的离心率主要的方法有：根据条件分别求出 a 与 c ，然后利用 e 计算求
核心考点解读 —— 圆锥曲线
椭圆（ II ）双曲线（ I）抛物线（ II ）直线与圆锥曲线（ II ）
1.从考查题型来看，涉及本知识点的选择题、填空题常结合圆锥曲线的定义及其简单
几何性质，利用直线与圆锥曲线的位置关系，通过建立代数方程求解
.解答题中则常
综合考查椭圆的定义、标准方程、直线与椭圆的位置关系等
方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围
.
2.双曲线
(1) 定义：平面内，到两个定点 F1, F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于
F1F2 ）的
点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两个定点之间的距离叫做双
曲线的焦距，记做 F1F2 2c .
定义式： PF1 PF2 2a(0 2a F1F2 ) .
x2 b2
0.Biblioteka 对称中心：(0, c)

2018年高考数学三轮冲刺专题解析几何练习题理

解析几何1.圆心在直线4y x =-，且与直线10x y +-=相切于点()32P -，的圆的标准方程为__________. 2．若双曲线2212516x y -= 的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线上，且13PF =，则2PF 等于__________. 3．已知双曲线Ｓ与椭圆221934x y +=的焦点相同,如果34y x =是双曲线Ｓ的一条渐近线,那么双曲线Ｓ的方程为_______________.4．已知抛物线22,,y x A B =是抛物线上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点()00P x ，则0x 的取值范围是__________．（用区间表示）52的直线l 与椭圆22221x y a b +=（0a b >>）交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为（） 3 B. 122136．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB =（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是 73 B. 6 C. 132D. 437．已知圆22:20M x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得弦长是22a 的值为2 B. 26 D. 38．已知点M 是抛物线2:2(0)C y px p =>上一点， F 为C 的焦点， MF 的中点坐标是()2,2，则p 的值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 49．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线为2y =，则该双曲线的离心率等于 6236 10．“直线1y kx =+与圆()2221x y -+=相切”是“43k =-”的（） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件11．设m R ∈，则“0m = ”是“直线()()1:1110l m x m y ++--=与直线()()2:12140l m x m y -+++=垂直”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件12．已知双曲线C ： 2219x y a -= (a>0)与双曲线221412x y -=有相同的离心率，则实数a 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 413．已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为A. 2356 14．已知双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左右焦点分别为12,F F ，以2OF 为直径作圆C ，再以1CF 为直径作圆E ，两圆的交点恰好在已知的双曲线上，则该双曲线的离心率为（） 26+423-423-326+ 15．设双曲线22221(00)x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A 、B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则2e =（）A. 322+B. 522-122+422-16．已知1F ， 2F 是椭圆和双曲线的公共焦点， p 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，设椭圆和双曲线的离心率分别为1e ， 2e ，则1e ， 2e 的关系为（）A. 1213e e =B. 2212143e e +=C. 2211134e e += D. 221134e e += 17. 设直线l 的方程为()25x m y =++，该直线交抛物线2:4C y x =于,P Q 两个不同的点.（1）若点()5,2A -为线段PQ 的中点，求直线l 的方程；（2）证明：以线段PQ 为直径的圆M 恒过点()1,2B .18．已知O 为坐标原点， ()11,M x y ， ()22,N x y 是椭圆22193x y +=上的点，且121230x x y y +=，设动点P 满足3OP OM ON =+．（Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若直线():0l y x m m =+≠与曲线C 交于,A B 两点，求三角形OAB 面积的最大值．19．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ，上顶点为M ，若直线1MF 的斜率为1，且与椭圆的另一个交点为2,N F MN ∆的周长为42（1）求椭圆的标准方程；（2）过点1F 的直线l （直线l 的斜率不为1）与椭圆交于,P Q 两点，点P 在点Q 的上方，若1123F NQ F MP S S ∆∆= ，求直线l 的斜率. 20．设椭圆22122:1(0)x y C a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A 22，已知A 是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点.（1）求椭圆1C 的方程和抛物线2C 的方程;（2）若抛物线2C 的准线l 上两点,P Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D ，若APD ∆22AP 的方程.21．已知椭圆的中心为坐标原点O ，椭圆短轴长为2，动点()2M t ，（0t >）在椭圆的准线上. （1）求椭圆的标准方程；（2）求以OM 为直径且被直线3450x y --=截得的弦长为2的圆的方程；（3）设F 是椭圆的右焦点，过点F 作OM 的垂线与以OM 为直径的圆交于点N ，求证：线段ON 的长为定值，并求出这个定值.22．已知椭圆C ： 22221x y a b += (a>b>0)过点(1， 32)，且离心率e ＝12. (Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点(A ，B 不是左右顶点)，椭圆的右顶点为D ，且满足DA ·DB ＝0，试判断直线l 是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由．。

2018年高考数学三轮冲刺专题圆锥曲线几何性质的应用练习题理

圆锥曲线几何性质的应用1.已知双曲线22:145x y C -=的焦点为1F ， 2F ， P 为双曲线C 上的一点且12F PF 的内切圆半径为1，则12F PF 的面积为________.2.点P 为双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 右支上的一点，其右焦点为2F ，若直线2PF 的斜率为3，M 为线段2PF 的中点，且M F OF 22=，则该双曲线的离心率为______．3.双曲线C ： 22142x y -=的左、右焦点1F ， 2F ，过1F 的直线交双曲线左支于A ， B 两点，则22AF BF +的最小值为__________．4.已知椭圆221167x y +=的右焦点为F ， P 是椭圆上一点，点()0,33A ，当APF ∆的周长最大时， APF ∆的面积为__________．5.如图，已知抛物线282y x =的焦点为F ，直线l 过点F 且依次交抛物线及圆()22222x y -+=于,,,A B C D四点，则4AB CD +的最小值为（）A. 32521321826. 已知椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为,A B ， F 为椭圆C 的右焦点，圆224x y +=上有一动点P ， P不同于,A B 两点，直线PA 与椭圆C 交于点Q ，则PBQFk k 的取值范围是（） A. 33,0,44⎛⎫⎛⎫-∞-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. ()3,00,4⎛⎫-∞⋃ ⎪⎝⎭C. ()(),10,1-∞-⋃D. ()(),00,1-∞⋃7.双曲线221x y -=的左右顶点分别为12,A A ，右支上存在点P 满足5βα=（其中,αβ分别为直线12,A P A P 的倾斜角），则α=（） A.36πB.24πC.18πD.12π8.已知双曲线2221(0)x y a a -=>的左、右焦点分别为1F ， 2F 23 P 为双曲线右支上一点，且满足2212415PF PF -=，则12PF F ∆的周长为（）A. 25252 C. 254 D. 234+9.设F 为抛物线2:4C y x =的焦点，过点()1,0P -的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点Q 为线段AB 的中点，若23FQ =，则AB =（）32333 D. 4310.已知M 是抛物线()2:20C y px p =>上一点， F 是抛物线C 的焦点，若MF p =， k 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，则MKF ∠=（）A. 45°B. 30°C. 15°D. 60°11.过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 作斜率大于0的直线l 交抛物线于A ， B 两点（A 在B 的上方），且与准线交于点C ，若4CB BF =，则AF BF=（）A.53 B. 52C. 3D. 2 12.已知抛物线C ：)40(22<<=p px y 的焦点为F ，点P 为C 上一动点，)0,4(A ，)2,(p p B ，且||PA 的最小值为15，则||BF 等于（）A ．4B ．29 C ．5 D ．211 13.设点P 是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 上一点，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点，I 为21F PF ∆的内心，若21212F IF IPF IPF S S S ∆∆∆=+，则该椭圆的离心率是（）A ．41 B ．22 C ．21D ．2314. 在等腰梯形中，，其中，以为焦点且过点的双曲线的离心率为，以为焦点且过点的椭圆的离心率为，若对任意都有不等式()2128e e t +<恒成立，则t 的最大值为（） A.74 B. 38 C. 58 D. 5415.已知椭圆和双曲线有共同焦点12,F F , P 是它们的一个交点，且123F PF π∠=，记椭圆和双曲线的离心率分别为12,e e ，则121e e 的最大值为（）234316.已知双曲线2221y x b-=的左右焦点分别为12F F 、，过点2F 的直线交双曲线右支于A B 、两点，若1ABF ∆是等腰三角形， 120A ∠=︒.则1ABF ∆的周长为（） A. )221-434+834838+ 17.已知椭圆C ： 22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为32，短轴端点到焦点的距离为2.（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ， B 为椭圆C 上任意两点， O 为坐标原点，且OA OB ⊥.求证：原点O 到直线AB 的距离为定值，并求出该定值.18.如图，已知点(1,0)F ，点A ，B 分别在x 轴、y 轴上运动，且满足AB AF ⊥，2AD AB =，设点D 的轨迹为C ．（1）求轨迹C 的方程；（2）若斜率为12的直线l 与轨迹C 交于不同两点P ，Q (位于x 轴上方)，记直线OP ，OQ 的斜率分别为1k ，2k ，求12k k +的取值范围．19.已知椭圆C ： 22221(0)x y a b a b +=>>经过点21,2P ⎛⎫⎪ ⎪⎝，且离心率为22.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l ： y x m =+与椭圆C 交于两个不同的点A ，B ，求OAB ∆面积的最大值（O 为坐标原点）． 20.已知抛物线()2:20E x px p =>上一点P 的纵坐标为4，且点P 到焦点F 的距离为5.（1）求抛物线E 的方程；（2）设斜率为k 的两条平行直线12,l l 分别经过点F 和()0,1H -，如图. 1l 与抛物线E 交于,A B 两点， 2l 与抛物线E 交,C D 两点.问：是否存在实数k ，使得四边形ABCD 的面积为434？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.21.已知点C 的坐标为()1,0，,A B 是抛物线2y x =上不同于原点O 的相异的两个动点，且0OA OB =．（1）求证：点,,A C B 共线；（2）若()AQ QB R λλ=∈，当0OQ AB =时，求动点Q 的轨迹方程．22．在平面直角坐标系中，圆O 交x 轴于点12,F F ，交y 轴于点12,B B .以12,B B 为顶点， 12,F F 分别为左、右焦点的椭圆E ，恰好经过点2⎛ ⎝.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设经过点()2,0-的直线l 与椭圆E 交于,M N 两点，求2F MN ∆面积的最大值.。

高三数学-2018学年高三数学圆锥曲线测试精品

2018-2018学年高三数学圆锥曲线测试一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-by a x 的离心率为（）A ．45B ．25C ．32D ．452．抛物线顶点在原点，焦点在y 轴上，其上一点P(m ，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为（） A ．y x 82= B ．y x 82-= C ．y x 162= D ．y x 162-=3．圆的方程是(x －cos θ)2+(y －sin θ)2= 12 ,当θ从0变化到2π时，动圆所扫过的面积是（）A ．π22B ．πC ．π)21(+D ．π2)221(+4．若过原点的直线与圆2x +2y +x 4+3=0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（）A ．x y 3= B ．x y 3-= C ．x y 33=D ．x y 33-= 5．椭圆131222=+y x 的焦点为F 1和F 2，点P 在椭圆上，如果线段PF 1中点在y 轴上，那么|PF 1|是|PF 2|的（） A ．7倍 B ．5倍 C ．4倍 D ．3倍 6．以原点为圆心，且截直线01543=++y x 所得弦长为8的圆的方程是（）A ．522=+y xB ．2522=+y xC ．422=+y xD ．1622=+y x 7．曲线⎩⎨⎧==θθsin cos 2y x （θ为参数）上的点到原点的最大距离为（）A ． 1B ．2C ．2D ．38．如果实数x 、y 满足等式3)2(22=+-y x ，则xy最大值（）A ．21B ．33C ．23 D ．39．过双曲线x 2－22y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点，若|AB |=4，则这样的直线l 有（） A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条10．如图，过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ．B ，交其准线于点C ，若BF BC 2=，且3=AF （）A ．x y 232=B ．x y 32=C ．x y 292=D ．x y 92=二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．椭圆的焦点是F 1（－3，0）F 2（3，0），P 为椭圆上一点，且|F 1F 2|是|PF 1|与|PF 2|的等差中项，则椭圆的方程为_____________________________． 12．若直线03=-+ny mx 与圆322=+y x 没有公共点，则n m ,满足的关系式为．以（),n m 为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆13722=+y x 的公共点有个.13．设点P 是双曲线1322=-y x 上一点，焦点F （2，0），点A （3，2），使|P A |+21|PF |有最小值时，则点P 的坐标是________________________________．14．AB 是抛物线y =x 2的一条弦，若AB 的中点到x 轴的距离为1，则弦AB 的长度的最大值为 . 三、解答题：（本大题共5小题，共54分）15、求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率． 16、．已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线pxy 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.17、．已知A 、B 为椭圆22a x +22925a y =1上两点，F 2为椭圆的右焦点，若|AF 2|+|BF 2|=58a ，AB 中点到椭圆左准线的距离为23，求该椭圆方程．18、已知抛物线y 2=4ax (0＜a ＜1＝的焦点为F ，以A(a +4,0)为圆心，｜AF ｜为半径在x 轴上方作半圆交抛物线于不同的两点M 和N ，设P 为线段MN 的中点．（1）求｜MF ｜+｜NF ｜的值；（2）是否存在这样的a 值，使｜MF ｜、｜PF ｜、｜NF ｜成等差数列?如存在，求出a 的值，若不存在，说明理由.19、设双曲线C 1的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ，A 、B 为其左、右两个顶点，P 是双曲线C 1上的任意一点，引QB ⊥PB ，QA ⊥PA ，AQ 与BQ 交于点Q. （1）求Q 点的轨迹方程;（2）设（1）中所求轨迹为C 2，C 1、C 2的离心率分别为e 1、e 2，当21≥e 时，e 2的取值范围参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）11．1273622=+y x 12．3022<+<n m , 2 13．)2,321(14． 25 三、解答题（本大题共5小题，共54分）15、[解析]：设双曲线方程为：λ=-22169y x ，∵双曲线有一个焦点为（4，0），0>∴λ双曲线方程化为：2548161691169222=⇒=+⇒=-λλλλλy x ，∴双曲线方程为：1251442525622=-y x ∴455164==e ．16、[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FMAF，设点M 的坐标为),(00y x ，则 02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ，所以ky y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x17、[解析]：设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，,54=e 由焦半径公式有a －ex 1+a －ex 2=a 58，∴x 1+x 2=a 21，即AB 中点横坐标为a 41，又左准线方程为a x 45-=，∴234541=+a a ，即a =1，∴椭圆方程为x 2+925y 2=1．18、[解析]：（1）F （a ,0）,设),(),,(),,(002211y x P y x N y x M ，由16)4(4222=+--=y a x axy0)8()4(222=++-+⇒a a x a x ，)4(2,021a x x -=+∴>∆ ，8)()(21=+++=+a x a x NF MF （2）假设存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列，即21022x x x NF MF PF +=⇒+= a x -=⇒40 ①，∵P 是圆A 上两点M 、N 所在弦的中点，∴MN AP ⊥1212004x x y y a x y --=--⇒由①得0448)(42222002212121212120<-=⇒-=+-=---=---=a y y a y y a x x y y a a x x y y a y ，这是不可能的． ∴假设不成立．即不存在a 值，使的NF PF MF ,,成等差数列．19、[解析]：（1）解法一：设P(x 0,y 0), Q(x ,y )⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⋅--=+⋅+∴⊥⊥-)2(1)1(1,),0,(),0,(0000 a x y a x y a x y a x y PA QA PB QB a B a A)3(1:)2()1(22222200 =-⋅-⨯ax y ax y 得由 2222222220000,1ab ax y by ax =-∴=-4222242222,)3(a y b x a a a x y b =--=即得代入经检验点)0,(),0,(a a -不合,因此Q 点的轨迹方程为:a 2x 2－b 2y 2=a 4（除点（－a ,0）,(a ,0)外）. 解法二：设P(x 0,y 0), Q(x ,y), ∵PA ⊥QA ∴100-=-⋅-ax ya x y ……（1）连接PQ ，取PQ 中点R,))0,(),0,((,:0,,.1)(,1)3)(2()3(,1:)1()2(),2(,02|,||||,|21|||,|21||,,4222242222222222222220220220022000外除去点点轨迹方程为整理得不合题意时得代入把得代入把即轴上点在a a a y b x a Q a y b x a a x a x b y a x a x b y a x y a x y x a y y x x x x y R RB RA PQ RB PQ RA PB QB QA PA -=-∴=-≠-∴±==--=--=∴-=--==+∴∴=∴==∴⊥⊥11111 ,1)1(:)2(22222222422242222-+=-+=+=+==-e a c a b a a b a a e b a y a x C 的方程为得由解 21 ,21)2(11 ,22221≤<∴=-+≤∴≥e e e。

2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》解答题试题汇编(含答案详解)

2018年全国各地高考数学模拟试题《圆锥曲线与方程》解答题试题汇编（含答案详解）1．（2018•江苏模拟）已知中心在坐标原点的椭圆C，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，长轴长为6，离心率为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点P在椭圆C 上，且PF1=4，求点P到右准线的距离．2．（2018•四川模拟）已知椭圆（a＞b＞0）的左焦点F（﹣2，0）左顶点A1（﹣4，0）．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P（2，3），Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．若∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值？请说明理由．3．（2018•济宁一模）已知椭圆C：，直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆C相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆..的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO=∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2018•红桥区一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，椭圆C与y轴交于A，B两点，且|AB|=2．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设点P是椭圆C上的一个动点，且点P在y轴的右侧．直线PA，PB与直线x=4分别交于M，N两点．若以MN为直径的圆与x轴交于两点E，F，求点P 横坐标的取值范围及|EF|的最大值．5．（2018•南通一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞b＞0）的离心率为，两条准线之间的距离为4．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2+y2=上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．6．（2018•香坊区校级三模）已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，P在椭圆上（异于椭圆C的左右顶点），过右焦点F2作∠F1PF2的外角平分线L的垂线F2Q，交L于点Q，且|OQ|=2（O为坐标原点），椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4．（1）求椭圆的方程；（2）若直线l：x=my+4（m∈R）与椭圆交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为A1，直线A1B交x轴于点D，求证：点D的横坐标为定值；并求当三角形ABD的面积最大时，直线l的方程．7．（2018•枣庄二模）已知抛物线C：y2=2px（0＜p＜1）上的点P（m，1）到其焦点F的距离为．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）已知直线l不过点P且与C相交于A，B两点，且直线PA与直线PB的斜率之积为1，证明：l过定点．8．（2018•沈阳三模）已知抛物线C1：x2=2py（p＞0）过点A（2，1），且它的焦点F也是椭圆C2：（a＞b＞0）的一个焦点，椭圆上的点到焦点F的最小值为2．（Ⅰ）求抛物线C1和椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）设M，N是抛物线C1上的两个动点，且=﹣4．①求证：直线MN必过定点，并求定点Q坐标；②直线MN交椭圆C2于R、S两点，当S最大时，求直线MN的方程．△FNS9．（2018•焦作四模）已知椭圆Γ：的离心率为，椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4．（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）直线l与椭圆Γ交于A，B两点，AB的中点M在圆x2+y2=1上，求△AOB （O为坐标原点）面积的最大值．10．（2018•宣城二模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，点在椭圆上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设AB是椭圆的一条弦，斜率为k（k≠0），N（t，0）是x轴上的一点，△ABN的重心为M，若直线MN的斜率存在，记为k'，问：t为何值时，k•k'为定值？11．（2018•洛阳一模）已知点M，N分别是椭圆的左右顶点，F为其右焦点，|MF|与|FN|的等比中项是，椭圆的离心率为．（1）求椭圆C的方程；（2）设不过原点O的直线l与该轨迹交于A，B两点，若直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，求△OAB面积的取值范围．12．（2018•江西二模）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）过点，且两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．（1）求E的方程；（2）若A，B，P为E上的三个不同的点，O为坐标原点，且，求证：四边形OAPB的面积为定值．13．（2018•聊城一模）已知圆x2+y2=4经过椭圆C：的两个焦点和两个顶点，点A（0，4），M，N是椭圆C上的两点，它们在y轴两侧，且∠MAN的平分线在y轴上，|AM|≠|AN|．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）证明：直线MN过定点．14．（2018•定远县模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，其左、右焦点分别为F1，F2，点P（x0，y0）是坐标平面内一点，且|OP|=5，•=16（O为坐标原点）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S（0，﹣1）且斜率为k的动直线l交椭圆于A，B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点？若存在，求出点M的坐标，若不存在，说明理由．15．（2018•南充模拟）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l平行于OM，且与椭圆C交于A，B两个不同的点，若∠AOB为钝角，求直线l在y轴上的截距m的取值范围．16．（2018•成都模拟）已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，左顶点为A，离心率为，点B是椭圆上的动点，△ABF1的面积的最大值为．（1）求椭圆C的方程；（2）设经过点F1的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，线段MN的中垂线为l'．若直线l'与直线l相交于点P，与直线x=2相交于点Q，求的最小值．17．（2018•齐齐哈尔一模）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2．且椭圆C过点（，﹣），离心率e=；点P在椭圆C上，延长PF1与椭圆C交于点Q，点R是PF2中点．（I）求椭圆C的方程；（II）若O是坐标原点，记△QF1O与△PF1R的面积之和为S，求S的最大值．18．（2018•广元模拟）已知椭圆C：的右焦点，点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线l过点F，且与椭圆C交于A，B两点，过原点O作直线l的垂线，垂足为P，如果△OAB的面积为（λ为实数），求λ的值．19．（2018•上城区校级模拟）如图，焦点在x轴上的椭圆C1与焦点在y轴上的椭圆C2都过点M（0，1），中心都在坐标原点，且椭圆C1与C2的离心率均为．（Ⅰ）求椭圆C1与椭圆C2的标准方程；（Ⅱ）过点M的互相垂直的两直线分别与C1，C2交于点A，B（点A、B不同于点M），当△MAB的面积取最大值时，求两直线MA，MB斜率的比值．20．（2018•唐山一模）已知椭圆Γ：（a＞b＞0）的左焦点为F，上顶点为A，长轴长为，B为直线l：x=﹣3上的动点，M（m，0）（m＜0），AM ⊥BM．当AB⊥l时，M与F重合．（1）若椭圆Γ的方程；（2）若C为椭圆Γ上一点，满足AC∥BM，∠AMC=60°，求m的值．21．（2018•南平二模）已知抛物线C：y2=2px的焦点为F，抛物线C上的点M（2，y0）到F的距离为3．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）斜率存在的直线l与抛物线相交于相异两点A（x1，y1），B（x2，y2），x1+x2=4．若AB的垂直平分线交x轴于点G，且=5，求直线l方程．22．（2018•洛阳三模）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E，试问直线AE是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．23．（2018•资阳模拟）已知椭圆C：的离心率，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过P作两条直线l1，l2与圆相切且分别交椭圆于M，N两点．①求证：直线MN的斜率为定值；②求△MON面积的最大值（其中O为坐标原点）．24．（2018•辽宁模拟）已知M（）是椭圆C：（a＞b＞0）上的一点，F1F2是该椭圆的左右焦点，且|F1F2|=2．（1）求椭圆C的方程；（2）设点A，B是椭圆C上与坐标原点O不共线的两点，直线OA，OB，AB的斜率分别为k1，k2，k3，且k1k2=k2．试探究|OA|2+|OB|2是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由．25．（2018•上海模拟）已知点F1、F2为双曲线C：的左、右焦点，过F2作垂直于x轴的直线，在x轴上方交双曲线C于点M，且∠MF1F2=30°．圆O的方程是x2+y2=b2．（1）求双曲线C的方程；（2）过双曲线C上任意一点P作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为P1、P2，求的值；（3）过圆O上任意一点Q（x0，y0）作圆O的切线l交双曲线C于A、B两点，AB中点为M，求证：．26．（2018•衡阳一模）已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，直线y=1与C的两个交点间的距离为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）分别过F1、F2作l1、l2满足l1∥l2，设l1、l2与C的上半部分分别交于A、B 两点，求四边形ABF2F1面积的最大值．27．（2018•江苏一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）经过点，，点A是椭圆的下顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点A且互相垂直的两直线l1，l2与直线y=x分别相交于E，F两点，已知OE=OF，求直线l1的斜率．28．（2018•太原一模）已知椭圆的左顶点为A，右焦点为F2（2，0），点在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y=kx（k≠0）与椭圆C交于E，F两点，直线AE，AF分别与y轴交于点M，N，在x轴上，是否存在点P，使得无论非零实数k怎样变化，总有∠MPN为直角？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2018•成都模拟）已知圆O的方程为x2+y2=4，若抛物线C过点A（﹣1，0），B（1，0），且以圆O的切线为准线，F为抛物线的焦点，点F的轨迹为曲线C′．（1）求曲线C′的方程；（2）过点B作直线L交曲线C′与P，Q两点，P，P′关于x轴对称，请问：直线P′Q 是否过x轴上的定点，如果不过请说明理由，如果过定点，请求出定点E的坐标30．（2018•陕西一模）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1和F2，由4个点M（﹣a，b）、N（a，b）、F2和F1组成了一个高为，面积为3的等腰梯形．（1）求椭圆的方程；（2）过点F1的直线和椭圆交于两点A、B，求△F2AB面积的最大值．31．（2018•海淀区一模）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且点T（2，1）在椭圆C上，设与OT平行的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，直线TP，TQ分别与x轴正半轴交于M，N两点．（I）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）判断|OM|+|ON|的值是否为定值，并证明你的结论．32．（2018•朝阳三模）如图，椭圆经过点，且点M到椭圆的两焦点的距离之和为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若R，S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为且直线l与RS 交于点P，O为坐标原点，求证：P，O，M三点共线．33．（2018•海南一模）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆的离心率为，A，F分别为椭圆的上顶点和右焦点，△AOF的面积为，直线AF与椭圆交于另一个点B，线段AB的中点为P．（1）求直线OP的斜率；（2）设平行于OP的直线l与椭圆交于不同的两点C，D，且与直线AF交于点Q，求证：存在常数λ，使得．34．（2018•徐州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆+=1（a ＞0，b＞0）的离心率为，且过点（1，）．F为椭圆的右焦点，A，B为椭圆上关于原点对称的两点，连接AF，BF分别交椭圆于C，D两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）若AF=FC，求的值；（3）设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，是否存在实数m，使得k2=mk1，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．35．（2018•全国一模）已知椭圆过抛物线M：x2=4y的焦点F，F1，F2分别是椭圆C的左、右焦点，且．（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l与抛物线M相切，且与椭圆C交于A，B两点，求△OAB面积的最大值．36．（2018•安庆模拟）已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且过点（﹣2，）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点（2，0）的直线与椭圆C交于M，N两点，若存在Q（x Q，0）使得∠MQO=∠NQO，求x Q的值（O为坐标原点）．37．（2018•凉山州模拟）若A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆E：+y2=1上位于x轴上方两点，且x1+x2=2．（1）若y1+y2=1，求线段AB的垂直平分线的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的最小值．38．（2018•江苏二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，B1，B2是椭圆的短轴端点，P是椭圆上异于点B1，B2的一动点．当直线PB1的方程为y=x+3时，线段PB1的长为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点Q满足：QB1⊥PB1，QB2⊥PB2，求证：△PB1B2与△QB1B2的面积之比为定值．39．（2018•河西区二模）已知椭圆C1的方程为（a＞b＞0），离心率e=，其一个焦点在抛物线C2：y2=2px（p＞0）的准线上，且抛物线C2与直线l：x﹣y+=0相切．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）若点M，N为椭圆C1上的两个不同的点，T为平面内任意一点，满足：=，直线OM与ON的斜率之积为，试说明：是否存在两个定点F1，F2，使得|TF1|+|TF2|为定值？若存在，求点F1，F2的坐标；若不存在，则说明理由．40．（2018•岳阳二模）如图，A，B是椭圆C：=1长轴的两个端点，P，Q 是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是k BQ，k AQ，k AP．（1）求证：k BQ•k AQ=﹣；（2）若k AP=4k BQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．参考答案与试题解析1．【分析】（1）由已知可得a，再由离心率求得c，结合隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）由题意定义结合已知求得PF2，再由椭圆的第二定义可得点P到右准线的距离．【解答】解：（1）根据题意：，解得，∴b2=a2﹣c2=4，∴椭圆C的标准方程为；（2）由椭圆的定义得：PF1+PF2=6，可得PF2=2，设点P到右准线的距离为d，根据第二定义，得，解得：．【点评】本题考查椭圆的简单性质，考查了椭圆定义的应用，是基础题．2．【分析】（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，问题得以解决．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则PB的斜率为﹣k，将PA、PB的直线方程分别代入椭圆方程，然后运用韦达定理，求出x1，x2，再由斜率公式化简即可得到定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，a=4，c=2由a2=b2+c2，得b2=42﹣22=12，所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）当∠APQ=∠BPQ时，AP，BP的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k，则直线PB的斜率为﹣k，设A（x1，y1）B（x2，y2），PA的方程为y﹣3=k（x﹣2）．联立消y得（3+4k2）x2+8（3k﹣k2）x+4（4k2+9﹣12k）﹣48=0所以，同理，所以，，所以k AB===，所以AB的斜率为定值．【点评】本题考查椭圆的方程及联立直线方程消去一个未知数，得到二次方程，运用韦达定理求解，考查基本的运算能力，属于中档题．3．【分析】（1）根据题意，联立直线与椭圆的方程，可得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），用k表示D的坐标，分析可得=．解可得a2的值，将其代入椭圆的方程即可得答案；（2）假设存在定点M，且设M（0，m），分析易得k AM+k BM=0，即，变形分析可得2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0，结合根与系数的关系分析可得，计算可得m的值，即可得答案．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2=0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴=．∴a2=8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO=∠BMO得k AM+k BM=0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）=0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）=0．由（1）知，，∴．∴m=4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO=∠BMO．【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，关键是求出椭圆的标准方程．4．【分析】（Ⅰ）由题意可得，2b=2，再由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，解得a=2，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB的方程，与直线x=4的交点M，N，可得MN的中点，圆的方程，令y=0，求得与x轴的交点坐标，运用弦长公式，结合．即可得到所求最大值；方法二、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），求出直线PA，PB 的方程，与直线x=4的交点M，N，以MN为直径的圆与x轴相交，可得y M y N＜0，求得，再由弦长公式，可得最大值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得，2b=2，即b=1，，得，解得a2=4，椭圆C的标准方程为；（Ⅱ）方法一、设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，线段MN的中点，所以圆的方程为，令y=0，则，因为，所以，所以，设交点坐标（x1，0），（x2，0），可得x1=4+，x2=4﹣，因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，所以，解得．则（）所以当x0=2时，该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．方法二：设P（x0，y0）（0＜x0≤2），A（0，﹣1），B（0，1），所以，直线PA的方程为，同理：直线PB的方程为，直线PA与直线x=4的交点为，直线PB与直线x=4的交点为，若以MN为直径的圆与x轴相交，则，即，即．因为，所以，代入得到，解得．该圆的直径为，圆心到x轴的距离为，该圆在x轴上截得的弦长为；所以该圆被x轴截得的弦长为最大值为2．【点评】本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和基本量的关系，考查直线和圆相交的弦长问题，注意运用圆的方程，以及直线和圆相交的条件，考查化简整理的运算能力，属于中档题．5．【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解出即可得出．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，可得AB=2AM，即点M为AB的中点．A（﹣2，0）．设M（x0，y0），利用中点坐标公式可得：B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，联立解出，即可得出直线AB的方程．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得，=，=4，解得a=2，c=b=．∴椭圆的方程为：+=1．（2）△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，∴AB=2AM，∴点M为AB的中点．∵椭圆的方程为：+=1．∴A（﹣2，0）．设M（x0，y0），则B（2x0+2，2y0）．由+=，+=1，化为：﹣18x0﹣16=0，≤x0≤．解得：x0=﹣．代入解得：y0=，∴k AB=，因此，直线AB的方程为：y=（x+2）．【点评】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．6．【分析】（1）由题意可得ab=2，延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质，以及椭圆的定义、三角形的中位线定理可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；（2）联立直线l和椭圆方程，运用韦达定理和直线方程，令y=0，化简可得定值；=•3|y1﹣y2|，结合韦达定理和换元法、基本不等式可得最大值和直再由S△ABD线l的方程．【解答】解：（1）椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4，可得•2a•2b=4，即ab=2，延长F2Q交直线F1P于点R，由垂直平分线性质可得F2P=PR，由Q为F2R的中点，O为F1F2的中点，可得OQ=F1R=（PF1+PF2）=a=2，解得b=1，则椭圆方程为+y2=1；（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），A1（x1，﹣y1），直线l：x=my+4，联立椭圆方程x2+4y2=4，可得（m2+4）y2+8my+12=0，即有y1+y2=﹣，y1y2=，直线A1B的方程为y+y1=（x﹣x1），令y=0，x D===4+=4﹣3=1；S△ABD=•3|y1﹣y2|===6，设=t（t≥0），则m2=12+t2，S△ABD==≤=，=的最大值为，当t=4，m=±2时，S△ABD直线l的方程x±2y﹣4=0．【点评】本题考查椭圆方程的求法，注意运用椭圆的定义和垂直平分线性质、三角形的中位线定理，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，考查三角形的面积的最值，注意运用基本不等式，属于中档题．7．【分析】（Ⅰ）通过点在抛物线上，以及抛物线的定义，列出方程求解可得C的方程；（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），联立直线与抛物线方程，设A（x1，y1），由韦达定理，求出A的坐标，直线PB的斜率为．得到B的坐标，通过直线的向量是否垂直，求出直线l的方程，然后求解定点坐标．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．推出l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k ≠0，设l：y=kx+t，利用直线方程与抛物线方程联立，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，转化求解直线l：y=kx﹣1．即可说明l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②，转化求解l：x=n（y+1）．说明l过定点（0，﹣1）．【解答】解：（Ⅰ）由题意，得2pm=1，即．由抛物线的定义，得．由题意，．解得，或p=2（舍去）．所以C的方程为y2=x．（Ⅱ）证法一：设直线PA的斜率为k（显然k≠0），则直线PA的方程为y﹣1=k （x﹣1），则y=kx+1﹣k．由消去y并整理得k2x2+[2k（1﹣k）﹣1]x+（1﹣k）2=0．设A（x1，y1），由韦达定理，得，即.=．所以．由题意，直线PB的斜率为．同理可得，即B（（k2﹣1）2，k﹣1）．若直线l的斜率不存在，则．解得k=1，或k=﹣1．当k=1时，直线PA与直线PB的斜率均为1，A，B两点重合，与题意不符；当k=﹣1时，直线PA与直线PB的斜率均为﹣1，A，B两点重合，与题意不符．所以，直线l的斜率必存在．直线l的方程为[x﹣（k﹣1）2]，即．所以直线l过定点（0，﹣1）．证法二：由（1），得P（1，1）．若l的斜率不存在，则l与x轴垂直．设A（x1，y1），则B（x1，﹣y1），．则==．（x1﹣1≠0，否则，x1=1，则A（1，1），或B（1，1），直线l过点P，与题设条件矛盾）由题意，，所以x1=0．这时A，B两点重合，与题意不符．所以l的斜率必存在．设l的斜率为k，显然k≠0，设l：y=kx+t，由直线l不过点P（1，1），所以k+t≠1．由消去y并整理得k2x2+（2kt﹣1）x+t2=0．由判别式△=1﹣4kt＞0，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则①，②，则==．由题意，．故（k2﹣1）x1x2+（kt﹣k+1）③将①②代入③式并化简整理得，即1﹣t2﹣kt﹣k=0．即（1+t）（1﹣t）﹣k（t+1）=0，即（1+t）（1﹣t﹣k）=0．又k+t≠1，即1﹣t﹣k≠0，所以1+t=0，即t=﹣1．所以l：y=kx﹣1．显然l过定点（0，﹣1）．证法三：由（1），得P（1，1）．设l：x=ny+t，由直线l不过点P（1，1），所以n+t≠1．由消去x并整理得y2﹣ny﹣t=0．由题意，判别式△=n2+4t＞0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=n①，y1y2=﹣t②则==．由题意，y1y2+（y1+y2）+1=1，即y1y2+（y1+y2）=0③将①②代入③式得﹣t+n=0，即t=n．所以l：x=n（y+1）．显然l过定点（0，﹣1）．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查直线过定点问题，考查分类讨论思想的应用．8．【分析】（I）把A代入抛物线方程求出p，根据椭圆的性质列方程组求出a，b；（II）①设MN方程为y=kx+b，根据根与系数的关系和向量的数量积公式求出b 即可得出结论；②根据弦长公式计算|SR|，求出F到直线MN的距离d，得出三角形的面积关于k的函数，根据单调性得出k的值．【解答】解：（I）把A（2，1）代入抛物线C1可得：4=2p，p=2．∴抛物线C1的方程为x2=4y．故F（0，1），又F（0，1）是椭圆C2：的焦点，且椭圆上的点到焦点F的最小值为2，∴，解得a=3，b=2，∴椭圆C2的标准方程为：=1．（II）①∵直线MN与抛物线交于M，N两点，∴直线MN斜率必存在．设直线MN的方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2），联立方程组，消去y可得：x2﹣4kx﹣4b=0，∴x1x2=﹣4b，∴y1y2==b2，∴=x1x2+y1y2=b2﹣4b=﹣4，即b=2．∴直线MN的方程为y=kx+2．∴直线MN过定点Q（0，2）．②联立方程组，消去y可得：（9+8k2）x2+32kx﹣40=0，设R（x3，y3），S（x4，y4），则x3+x4=﹣，x3x4=﹣，∴|RS|==，又F（0，1）代直线MN的距离d=，∴S=|RS|×d=，△FSR令=t，则t≥，==，∴S△FSR由对勾函数的性质可知当t=时，S取得最大值，此时k=0．△FSQ∴直线MN的方程为y=2．【点评】本题考查了抛物线、椭圆的性质，直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．9．【分析】（Ⅰ）根据题意，由椭圆的离心率公式可得，进而可得，则椭圆的方程可以为以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，据此解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（Ⅱ）根据题意，按直线l的斜率是否存在分2种情况讨论，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，易得△AOB的面积，当直线l的斜率存在时，设ly=kx+m，联立直线与椭圆的方程，用k表示△AOB的面积，由基本不等式的性质分析可得△AOB的面积，综合2种情况即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，椭圆Γ：的离心率为，则，得，，所以，由椭圆Γ的四个顶点围成的四边形的面积为4，得2ab=4，所以a=2，b=1，椭圆Γ的标准方程为．（Ⅱ）根据题意，直线l与椭圆Γ交于A，B两点，当直线l的斜率不存在时，令x=±1，得，，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），由，得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，则，，所以，，将代入x2+y2=1，得，又因为=，原点到直线l的距离，所以==×==．当且仅当12k2=1+4k2，即时取等号．综上所述，△AOB面积的最大值为1．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，注意分析直线的斜率是否存在．10．【分析】（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，即可．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．则，结合．可得当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【解答】解：（Ⅰ）由已知可得：，结合a2=b2+c2，解得，∴椭圆方程为：．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），则重心，，．由于AB斜率为k存在且k≠0，故，则∵则要使为定值，则当且仅当t=0，即N（0，0）时，k•k'为定值为．【点评】本题考查了椭圆的方程，性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．11．【分析】（1）利用|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．得到（a+c）（a﹣c）=3，结合椭圆的离心率求解即可．（2）直线l的斜率存在且不为0．设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，利用判别式以及韦达定理，通过OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，推出m2（4k2﹣3）=0，求出，0＜m2＜6，且m2≠3，然后求解三角形的面积的表达式，求解范围即可．【解答】解：（1）解：|MF|=a+c，|BN|=a﹣c，是|MF|与|FN|的等比中项．∴（a+c）（a﹣c）=3，∴b2=a2﹣c2=3．又，解得a=2，c=1，∴椭圆C的方程为．（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0．故可设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线和椭圆，消去y可得，（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由题意可知，△=64km﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=48（4k2﹣m2+3）＞0，即4k2+3＞m2，且，又直线OA，AB，OB的斜率依次成等比数列，所以，将y1，y2代入并整理得m2（4k2﹣3）=0，因为m≠0，，0＜m2＜6，且m2≠3，设d为点O到直线l的距离，则有，，所以，所以三角形面积的取值范围为．【点评】本题考查椭圆方程的求法直线与椭圆的位置关系的综合应用，三角形的面积的范围的求法，考查转化思想以及计算能力．12．【分析】（1）根据题意，由椭圆的焦点坐标可得c的值，结合椭圆的定义可得2a=+=2，即可得a的值，由椭圆的定义计算可得b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2）根据题意，按直线AB的斜率是否存在分2种情况讨论：①，直线AB的斜率不为零，②当AB的斜率为零时，分别求出四边形的面积，综合即可得结论．【解答】解：（1）根据题意，椭圆E：+=1的两个焦点的坐标分别为（﹣1，0），（1，0）．则c=1，又由椭圆经过点，则2a=+=2，即a=，b==1，则E的方程为；（2）证明：根据题意，分2种情况讨论：①，当直线AB的斜率不为零时，可设AB：x=my+t代入得：（m2+2）y2+2mty+t2﹣2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，△=8（m2+2﹣t2），设P（x，y），由，得，∵点P在椭圆E上，∴，即，∴4t2=m2+2，，原点到直线x=my+t的距离为．∴四边形OAPB的面积：．②当AB的斜率为零时，四边形OAPB的面积，∴四边形OAPB的面积为定值．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．13．【分析】（Ⅰ）根据题意，由圆的方程分析可得椭圆的焦点和顶点坐标，即可得c、b的值，由椭圆的几何性质计算可得a的值，即可得椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线MN的方程为y=kx+m，与椭圆的方程联立，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析直线AM、AN的斜率，进而分析可得k1+k2==0，解可得m的值，由直线的斜截式方程即可得答案．【解答】解：（Ⅰ）圆x2+y2=4与x轴交点（±2，0）即为椭圆的焦点，圆x2+y2=4与y轴交点（0，±2）即为椭圆的上下两顶点，所以c=2，b=2．从而，因此椭圆C的方程为：．（Ⅱ）证明：设直线MN的方程为y=kx+m．由，消去y得（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．直线AM的斜率=；直线AN的斜率=．k1+k2===．由∠MAN的平分线在y轴上，得k1+k2=0．即=0，又因为|AM|≠|AN|，所以k≠0，所以m=1．因此，直线MN过定点（0，1）．【点评】本题考查椭圆的几何性质，涉及直线与椭圆的位置关系，关键是求出椭圆的标准方程．14．【分析】（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），由|OP|=5，=16，得（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=16，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆方程．（2）设动直线l的方程为y=kx﹣1，由，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣16=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、椭圆，结合已知条件能求出在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点，点M的坐标为（0，3）．【解答】解：（1）设P（x0，y0），F1（﹣c，0），F2（c，0），则由|OP|=5，得=25，由=16，得（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=16，∴﹣c2=16，∴c2=9，c=3，∵，∴a2=18，b2=9，∴椭圆方程为=1．（2）设动直线l的方程为y=kx﹣1，由，得（2k2+1）x2﹣4kx﹣16=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=﹣，假设在y轴上存在M（0，m），满足题设，则=（x1，y1﹣m），=（x2，y2﹣m），=x1x2+（y1﹣m）（y2﹣m）==x1x2+（kx1﹣1）﹣m（kx1﹣1+kx2﹣1）+m2===，由假设得对于任意的k∈R，=0恒成立，即，解得m=3．∴在y轴上存在定点M，使以AB为直径的圆恒过该点，点M的坐标为（0，3）．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查在y轴上是否存在满足条件的定点的判断与求法，考查椭圆、直线方程、韦达定理、向量的数量积等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．15．【分析】（1）由椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设l的方程为y=x+m，再与椭圆方程联立，将∠AOB为钝角，转化为＜0，且m≠0，利用韦达定理，即可求出直线l在y轴上的截距m的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，点M（2，1）在椭圆C上．∴，解得a=2，b=，c=，∴椭圆C的方程为=1．（2）由直线l平行于OM，得直线l的斜率k=k OM=，又l在y轴上的截距为m，∴l的方程为y=．由，得x2+2mx+2m2﹣4=0．又直线l与椭圆交于A、B两个不同点，△=（2m）2﹣4（2m2﹣4）＞0，于是﹣2＜m＜2．∠AOB为钝角等价于＜0，且m≠0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则=x1x2+y1y2==，由韦达定理x1+x2=﹣2m，x1x2=2m2﹣4，代入上式，化简整理得m2＜2，即，故所求范围是（﹣）∪（0，）．【点评】本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是联立方程组，利用韦达定理解决直线与椭圆的位置关系问题．16．【分析】（1），根据题意，由椭圆的离心率公式可得e=，即a2=2c2，设B 点的纵坐标为y0（y0≠0），分析△ABF1的面积可得，解可得a、b的值，将a、b的值代入椭圆的方程即可得答案；（2），根据题意，设直线的方程为x=my﹣1，联立直线与椭圆的方程，结合根与系数的关系以及弦长公式分析可得|MN|的值，同理可得|PQ|的值，进而可得的表达式，由基本不等式的性质分析可得答案．（1）由已知，椭圆C：的离心率为，则e=，【解答】解：即a2=2c2．∵a2=b2+c2，∴b=c．设B点的纵坐标为y0（y0≠0）．则=，即．∴b=1，．∴椭圆C的方程为．（2）由题意知直线l的斜率不为0，故设直线的方程为x=my﹣1，设M（x1，y1），N（x2，y2），P（x P，y P），Q（2，y Q）．联立，消去x，得（m2+2）y2﹣2my﹣1=0．此时△=8（m2+1）＞0．∴，．。

高三数学第三轮总复习圆锥曲线的基本问题押题针对训练人教版

高三数学第三轮总复习圆锥曲线的基本问题押题针对训练人教版一、圆锥曲线的方程，参数之间的关系的问题.1．椭圆12222=+b y a x (a>b>0)的左焦点F 到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于7b，则椭圆的离心率为（）.A 、21 B 、54C 、677-D 、677+分析:本题条件不易用平面几何知识转化，因而过A 、B 的方程为1=+-bya x ，左焦点F(-c,0)，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-=⇒+==+-+--22222222711|10|c a b c b a bb a b ac ，化简，得5a 2-14ac+8c 2=0 得21=a c 或45（舍）， ∴ 选A.小结:应熟悉各方程的标准形式及各参数之间的关系和几何意义.若题面改为“双曲线12222=-by a x (a>b>0)”，则由“a>b>0”这个隐含条件可知离心率e 的范围限制，即a>b>0, ∴ a 2>b 2, ∴a 2>c 2-a 2从而21<<e .2．若双曲线的渐近线方程为x y 23±=，则其离心率为（）.A 、213B 、313C 、133132或 D 、313213或分析:当双曲线方程为12222=-b y a x 时，其渐近线为x a by ±=,当双曲线方程为12222=-bx a y 时，其渐近线为x b a y ±=，从而本题对应⎪⎩⎪⎨⎧+==22223b a c a b 或⎪⎩⎪⎨⎧+==22223b a c b a ，选D.3．若112||22-=-+-ky k x 表示焦点在y 轴上的双曲线，则它的半焦距的取值范围是（）. A 、（1，+∞） B 、（0，1） C 、（1，2） D 、与k 有关分析:首先应把方程标准化，方程可化为:12||111||22222=---⇒=-+-k x k y k y k x ∴ ⎪⎩⎪⎨⎧>-=>-=02||0122k b k a ， ∴ k>2 c 2=a 2+b 2=k-1+k-2=2k-3>2×2-3=1∴ c>1，选A.4．抛物线y 2-2by+b 2+4m-mx=0的准线与双曲线141222=-y x 的右准线重合，则m 的值为______. 分析:首先将方程化为标准方程(y-b)2=m(x-4)而双曲线141222=-y x 的右准线为x=3, 抛物线顶点（4，b ）在x=3的右侧， ∴ 抛物线开口向右，m>0, 2p=m,∴ 焦准距（焦参数）2)34(2mp =-=,∴m=4.5．以3x-4y-2=0, 3x+4y-10=0为渐近线，以5y+4=0为一条准线的双曲线方程为_____. 分析:注意两条渐近线的交点，或一条渐近线和一条对称轴的交点都是双曲线的中心. ⎩⎨⎧=-+=--010430243y x y x ，中心为（2，1），从而准线54-=y 为下准线，焦点在平行于y 轴的直线上，从而，中心与准线相矩59)54(12=--=c a ……①,渐近线斜率为43=b a ……② 联立①②，得a=3, b=4, c=5.方程为116)2(9)1(22=---x y . 6．若椭圆12222=+by a x (a>b>0)与圆22222)2(b a b y x -+=+相交，则椭圆的离心率的取值范围为_______.分析:圆锥曲线间的位置关系不能用联立方程，用判别式判定，一般来说应结合图形分析. 由图可知圆半径r 满足 b<r<a,∴ ⎪⎩⎪⎨⎧+=<-+<222222c b a a b a b b , 解得5355<<e . 7．若双曲线1492222=-ky k x 与圆x 2+y 2=1无公共点则k ∈______. 分析:同上题用数形结合的方法知31>k 或31-<k .二、利用曲线定义求解的问题 1．双曲线的虚轴长为4，离心率26=e ，F 1、F 2分别是它的左，右焦点，若过F 1的直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，且|AB|是|AF 2|与|BF 2|的等差中项，则|AB|为（）. A 、28 B 、24 C 、22 D 、8分析:利用双曲线定义， ∵ AB 在左支上，∴|AF 2|-|AF 1|=2a, |BF 2|-|BF 1|=2a ∴ |AF 2|+|BF 2|-(|AF 1|+|BF 1|)=4a, 又∵ 2|AB|=|AF 2|+|BF 2|, |AF 1|+|BF 1|=|AB|∴ 2|AB|-|AB|=4a. |AB|=4a,而⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===2222642b a c acb 得22=a ， ∴ 28||=AB ，选A.2．设F 1、F 2为椭圆两焦点，点P 是以F 1，F 2为直径的圆与椭圆的一个交点，若∠PF 1F 2=5∠PF 2F 1，则椭圆离心率为（）. A 、32 B 、36 C 、22D 、23分析:P 在以F 1F 2为直径的圆上，则∠F 1PF 2=90︒，而∠PF 1F 2=5PF 2F 1，∴ ∠PF 1F 2=75︒， ∠PF 2F 1=15︒，∴21020190sin ||75sin ||15sin ||F F PF PF ==，1275sin 15sin ||||0021cPF PF =++，而|PF 2|+|PF 2|=2a,∴ 3675sin 15sin 100=+=a c . 3．F 1、F 2为椭圆两个焦点，Q 为椭圆上任一点，以任一焦点作∠F 1QF 2的外角平分线的垂线，垂足为P ，则P 点轨迹为（）.A 、圆B 、椭圆C 、双曲线D 、抛物线分析:延长F 2P 交F 1Q 的延长线为M ，由椭圆定义及角平分线，∵ ⎩⎨⎧==+||||2||||221MQ Q F h Q F Q F ∴ |F 1Q|+|MQ|=|F 1M|=2a,则点M(x 0,y 0)的轨迹方程为220204)(a y c x =++......① 设P 点坐标(x, y), ∵ P 为F 2M 中点，∴ ⎩⎨⎧=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y y c x x y y x c x 222020000，代入①，得 (2x-c+c)2+(2y)2=4a 2, ∴ x 2+y 2=a 2, 选A. 4．双曲线12222=-by a x 的左支上一点P ，⊙O'为ΔPF 1F 2的内切圆，则圆心O'的横坐标为（）.A 、aB 、-aC 、2a c -D 、2ca -分析:设PF 1，PF 2，F 1F 2与内切圆⊙O'的切点分别为M ，N ，Q ，由双曲线定义，∵ |PF 2|-|PF 1|=2a, ∴ |PN|+|NF 2|-(|PM|+|MF 1|)=2a, 而 |DN|=|PM| ，|MF 1|=|QF 1|, |NF 2|=|QF 2|∴ |QF 2|-|QF 1|=2a 又 |QF 2|+|QF 1|=2c,∴ |QF 2|=a+c=c-x Q , ∴ x Q =-a, ∵O'Q ⊥F 1F 2, ∴x Q'=x Q =-a ，选B. 三、求曲线方程 1．待定系数法例:已知椭圆D:1255022=+y x 与圆:x 2+(y-m)2=9(m ∈R)，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M 相切.1）当m=5时，求双曲线G 的方程.2）当m 取何值时，双曲线的两条准线间的距离为1.解:1）椭圆D 的两个焦点F 1(-5,0),F 2(5,0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x 轴上，且c=5.设双曲线G 的方程为)0,0(12222>>=-b a by a x ∴ 渐近线为bx ±ay=0且a 2+b 2=25,m=5时，圆心M(0,5), r=3.∴3|5|22=+a b a , 得 a=3, b=4， ∴G 方程为116922=-y x . 2）双曲线两准线间距离为1522=a ， ∴ 26=a ，∵ G 的渐近线与M 相切， ∴3||22=+±ab ma ，∴ 103±=m . 2．相关点求轨迹法（代入法）例:设抛物线过定点A （0，2），且以x 轴为准线求抛物线顶点M 的轨迹C 的方程. 分析:A （0，2）在抛物线上，体现为 ①A （0，2）的坐标满足曲线方程 ②A （0，2）满足曲线定义在本题中以方式②为佳，设M(x, y)，焦点F(x 0, y 0),∵ |AF|=轴x A d -，∴ 2)2(2020=-+y x ， ∴ 4)2(2020=-+y x ......①而⎪⎩⎪⎨⎧+==2000y y x x ， ∴ ⎩⎨⎧==y y x x 200 代入① ∴ x 2+(2y-2)2=4, 1)1(422=-+y x 且 y ≠0. 3．直接法（直接到方程化简）例:设点O 为原点，点M 在直线l : x=-p(p>0)上移动，动点N 在线段MO 的延长线上，且满足|MN|=|MO|·|NO|. 求动点N 的轨迹方程. 解:设N 坐标为(x, y)，过N 作NN'⊥x 轴于N', ∵ M ，O ，N 共线， ∴p px p p x O M N M MO MN +=--==)(|'||''|||||，由已知 |MN|=|MO|·|NO|∴)0(||22>+==+x y x NO ppx ∴ 所求方程为(p 2-1)x 2+p 2y 2-2px-p 2=0(x>0) 4．直接法（直接利用曲线定义）例:如图，直线l 1, l 2相交于M ，l 1⊥l 2，点N ∈l 1, 以A 、B 为端点的曲线段C 上的任一点到l 2的距离与到点N 的距离相等，若ΔAMN 为锐角Δ，17||=AM ， |AN|=3，|BN|=6，建立适当坐标系，求曲线段C 的方程.分析:以l 1为x 轴，以MN 的中垂线为y 轴建立直角坐标系，如图.由题意，曲线段C 是以N 为焦点，以l 2为准线的抛物线的一部分，其中A 、B 分别为C 的端点.由已知条件，可求方程为y 2=8x(1≤x ≤4, y>0)（过程略） 5．交轨法例:抛物线y 2=2px(p>0)，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.解:设OA=y=kx, 则x ky OB 1:-=， ⎪⎩⎪⎨⎧==pxy kx y 22 得)2,2(2k p k p A 同理 B(2pk 2, -2pk)22222111112222k kk k k kkk pk k p pk k p k AB -=-=-+=-+= AB:23222121)2(12k pk x k k pk x k k pk y ---=--=+ )2(11211221222232p x k kk pk x k k k pk pk x k k y --=---=----=....① 而op: x kk y 21-=.....② ∵ P 为AB 与OP 的交点，联立①②⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=)2......(..........1)1).......(2(122x k k y p x k k y (1)×(2)消去k,y 2=-(x-2p)x, ∴ x 2+y 2-2px=0(x ≠0) 即为所求.四、直线与圆锥曲线的位置关系1．过点（2，4）作直线与抛物线y 2=8x 只有一个公共点，这样的直线有（）. A 、一条 B 、两条 C 、三条 D 、四条分析:首先注意点（2，4）在抛物线上，其次只有一个公共点，包括直线平行于抛物线的对称轴，与抛物线交于一点，因而选B.2．直线y:kx+1与椭圆1522=+my x 恒有公共点，则m 的取值范围是（）. A 、m ≥1且m ≠5 B 、m ≥1C 、m ≠5D 、m ≤5分析:直线与椭圆恒有公共点⇔联立方程Δ恒大于等于0，由Δ≥0恒成立可得 m ≥1-5k 2恒成立，∴ m ≥(1-5k 2)max , ∴m ≥1且m ≠5，选A. 3．直线l : )2(-=x k y 与曲线x 2-y 2=1(x>0)相交于A ，B 两点，则直线l 的倾角为（）.A 、[0，π）B 、)43,2()2,4(ππππ Ｃ、),2(]2,0[πππ Ｄ、)43,4(ππ 分析:直线与双曲线右支交于两点，不能仅仅用Δ判定， x 2-k 2(x 2-22x+2)=1 (1-k 2)x 2+22k 2x-2k 2-1=0∴ ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧>-+-=+>--=+>≠-0121012200122212212k k x x k x x k ∆ ∴ k>1 或 k<-1. ∴ 倾角)43,2()2,4(ππππ∈θ ，选B.4．在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于y=kx+3对称，求k 范围.解:设B 、C 关于直线y=kx+3对称，则BC 方程为x=-ky+m,代入 y 2=4x 得 y 2+4ky-4m=0 设B(x, y), C(x 2, y 2), BC 中点M(x 0, y 0), ∴ k y y y 22210-=+=, x 0=2k 2+m, ∵ M(x 0, y 0)在l 上，∴ -2k=k(2k 2+m)+3∴ kk k m 3223++-=, 又BC 与抛物线交于两点，∴Δ=16k 2+16m>0, 即0323<++k k k ，0)3)(1(2<+-+kk k k 解得-1<k<0.。

高三数学2018届高三数学专项训练(2018)《圆锥曲线》

高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?圆锥曲线?1 / 612021届高三数学专项训练〔07〕 ?圆锥曲线?一、选择题〔此题每题5分，共60分〕1．双曲线x2 y 2 1的渐近线方程是〔〕4 9 A ．y 3 B ．y 2x C ．y 9D ．y 4x x x 2 3 4 92．F 是抛物线y ＝ 1 x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，那么线段 PF 中点的轨迹方程是〔〕4A ．x 2＝2y －1B ．x 2＝2y －1C ．x 2＝y －1D ．x 2＝2y －216 23．A( 1,0),B(1,0) ,点C(x,y)满足：(x1)2 y 2 1，那么AC BC 〔〕x4 4A ．6B ．4C ．2D ．不能确定4．抛物线y 2 2px 与直线ax y 40交于A 、B 两点，其中点A 的坐标为 (1,2)，设抛物线的焦点为F ，那么|FA| |FB|等于〔〕A ．7B ．35C ．6D ．5 5．双曲线x2 y 21(a,b 0)的左、右焦点分别为 F 1、F 2 ，过焦点F 2且垂直于x 轴的弦为AB ，假设a 2b 2AF 1B 90，那么双曲线的离心率为〔〕A ．12(2 2) B ．21C ．21D ．12(22)6．假设椭圆x2y 2 1(a b 0)和双曲线x 2 y 21(m,n 0)有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的a 2b 2 m n交点，那么PF 1PF 2 的值是〔〕A ．bnB ．amC ．bnD ．am7．直线l 是双曲线x2y 21(a 0,b0) 的右准线，以原点为圆心且过双曲线的顶点的圆，被直线la 2b 2分成弧长为2:1 的两段圆弧，那么该双曲线的离心率是〔〕A ．2B ．2C ． 6D ．51与椭圆x2y 228．直线xy 1相交于A 、B 两点，该椭圆上点 P ，使得△APB 的面于4 316 9这样的点P 共有〔A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．(理科做)曲线y 2ax 与其关于点(1,1) 对称的曲线有两个不同的交点A 和B ，如个交点的直线的倾斜角是45 ，那么实数a 的值是〔A ．1B ．23C ．2D ．3(文科做)曲线y 4 x 2(x 1)的长度是〔A ．43B ．23C ．83D ．3高三数学2021届高三数学专项训练(2021)?圆锥曲线?2 / 6210．方程x y(x1)2(y 1)2所表示的曲线是〔〕A ．双曲线B ．抛物线C ．椭圆D ．不能确定11．从－3，－2，－1，1，2，3中任取三个不同的数作为椭圆方程ax 2by 2c 0中的系数，那么确定不同椭圆的个数为〔〕 A ．20 B ．18 C ．9 D ．1612．给出以下结论,其中正确的选项是〔〕A ．渐近线方程为 y b 0,b 0 x 2 y 21xa 的双曲线的标准方程一定是b 2a a 2B ．抛物线y 1 x 2的准线方程是x 12 2C ．等轴双曲线的离心率是 2D ．椭圆x 2y 2 1m0,n 0的焦点坐标是F 1 m 2 n 2,0,F 2m 2 n 2,0 m 2 n 2 4分，共 16分〕二、填空题〔此题每题13．如果正△ABC 中,D AB ，E AC,向量DE1BC,那么以B,C 为焦点且过点 D,E 的双曲线 2的离心率是 .14．椭圆x2y 21与双曲线x2y 2m,n,p,q R 有共同的焦点F 1、F 2 ，P 是椭圆和双曲线的mnpq一个交点，那么PF 1 PF 2=.15．(理科做)有一系列椭圆，满足条件：①中心在原点；②以直线 x 2 为准线；③离心率1 ne n (n N *)，那么所有这些椭圆的长轴长之和为 .2x 2 y 2 1(文科做)假设椭圆k 8 9 =1的离心率为2，那么k 的值为.16．沿向量a(m,n)平移椭圆x2 y 21,使它的左准线为平移后的右准线,且新椭圆中心在直线 52xy60上,那么m 、n .三、解答题〔本大题共 6小题，共 74分。

广东省广州市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题(7)

高考数学三轮复习冲刺模拟试题07圆锥曲线与方程一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

1曲线与曲线 (0 <k<9) 具有（） A 、相等的长、短轴 B 、相等的焦距 C 、相等的离心率 D 、相同的准线2、若k 可以取任意实数，则方程x 2+ky 2=1所表示的曲线不可能是( )A.直线B.圆C.椭圆或双曲线D.抛物线3、如果抛物线y 2= ax 的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0） 4、平面内过点A （-2，0），且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x5、双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2=120°，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．26 C ．36D ．336、若椭圆的中心及两个焦点将两条准线之间的距离四等分，则椭圆的离心率为（）A 、B 、C 、D 、 7、过点P （2，-2）且与22x -y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是（）A ．14222=-x yB ．12422=-y xC ．12422=-x yD ．14222=-y x 8、抛物线214y x =关于直线0x y -=对称的抛物线的焦点坐标是（） A 、(1,0) B 、1(,0)16 C 、(0,0) D 、1(0,)169、中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率e =30x -=的双曲线方程是（）（A ）22134x y -= （B ）22153y x -= （C ）22124x y -= （D ）22142y x -=192522=+y x 192522=-+-ky k x 2122233310、椭圆上一点P 到一个焦点的距离恰好等于短半轴的长b，且它的离心率e =P 到另一焦点的对应准线的距离为（）（A）6 （B）3 （C）2（D）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上。

广东省中山市普通高中2018届高考数学三轮复习冲刺模拟试题： (11) Word版含答案

高考数学三轮复习冲刺模拟试题11立体几何02三、解答题1．如图,四棱柱1111D C B A A B C D -的底面A B C D是平行四边形,且1=AB ,2=BC ,060=∠ABC ,E 为BC 的中点, ⊥1AA 平面ABCD .(Ⅰ)证明:平面⊥AE A 1平面DE A 1;(Ⅱ)若E A DE 1=,试求异面直线AE 与D A 1所成角的余弦值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,试求二面角1--C A D E 的余弦值.2．如图,直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中∠ACB=90°,M,N 分别为A 1B,B 1C 1的中点,BC=AA 1=2AC=2,求证:(1)求三棱柱C 1-A 1CB 的体积;(2)求直线A 1C 与直线MB 1所成角的余弦值;(3)求平面B 1MN 与平面A 1CB 所成锐二面角的余弦值.3．已知四棱锥P-ABCD 的底面为直角梯形,AB∥DC,⊥=∠PA DAB ,90底面ABCD,且PA=AD=DC=21AB=1,M 是PB 的中点. (Ⅰ)证明:面PAD⊥面PCD; (Ⅱ)求AC 与PB 所成角的余弦值;ABCDE1A 1B 1C 1D(Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的余弦值.4．如图,已知四棱锥E-ABCD 的底面为菱形,且∠ABC=60°,AB=EC=2,AE=BE=2(1)求证:平面EAB⊥平面ABCD (2)求二面角A-EC-D 的余弦值5.在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，12AA =，E 为1BB 中点.（Ⅰ）证明：1AC D E ⊥；（Ⅱ）求DE 与平面1AD E 所成角的正弦值；（Ⅲ）在棱AD 上是否存在一点P ，使得BP ∥平面1AD E ？若存在，求DP 的长；若不存在，说明理由.D 1C 1B 1A 1ED CBA6． (本小题满分13分)在如图所示的多面体中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD//EF，EF//BC．BC=2AD=4，EF=3，AE=BE=2，G为BC的中点。

高考数学三轮冲刺大题提分圆锥曲线：存在性问题理

大题精做11 圆锥曲线：存在性问题已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点，点()01,P y 在椭圆上，且2PF x ⊥轴，12PF F △的周长为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点()0,1T 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，设O 为坐标原点，是否存在常数λ，使得7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-恒成立？请说明理由．【答案】（1）22143x y +=；（2）当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．【解析】（1）由题意，()11,0F -，()21,0F ，1c =， ∵12PF F △的周长为6，∴122226PF PF c a c ++=+=，∴2a =，b 22143x y +=．（2）假设存在常数λ满足条件．①当过点T 的直线AB的斜率不存在时，(A，(0,B ，∴)()311327OA OB TA TB λλλ⎡⎤⋅+⋅=-+=--=-⎣⎦，∴当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-；②当过点T 的直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为1y kx =+，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立221 431x y y kx +==⎧⎪⎨⎪⎩+，化简得()2234880k x kx ++-=， ∴122843k x x k +=-+，122843x x k =-+． ∴()()1212121211OA OB TA TB x x y y x x y y λλ⋅+⋅=+++--⎡⎤⎣⎦()()()21212111k x x k x x λ=+++++()()()()2222228118218117434343k k k k k k λλλ⎡⎤++-+++⎣⎦=--+=+=-+++， ∴21143λλ++==，解得2λ=，即2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-；综上所述，当2λ=时，7OA OB TA TB λ⋅+⋅=-．1．已知椭圆()2222:10y x C a b a b +=>>的离心率为12，短轴长为23．（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()0,4A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，F 是椭圆C 的上焦点．问：是否存在直线l ，使得MAF MNF S S =△△？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．2．已知点F 为抛物线()2:20C y px p =>的焦点，抛物线C 上的点A 满足AF AO =(O 为坐标原点)，且32AF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）若直线:l x my t =+与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，是否存在实数t 及定点P ，对任意实数m ，都有PM PN ⊥？若存在，求出t 的值及点P 的坐标；若不存在，请说明理由．3．在圆22:4O x y +=上取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足，当点P 在圆O 上运动时，设线段PD 中点M 的轨迹为E ．（1）求E 的方程；（2）试问在E 上是否存在两点M ，N 关于直线:l y kx =MN 为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．1．【答案】（1）22143y x+=；（2）存在直线:65450l x y-+=或65450x y+-=．【解析】（1）∵12ca=，b=222a b c=+，解得24a=，23b=，∴椭圆C的方程为22143y x+=．（2）由题可知l的斜率一定存在，设l为4y kx=+，设()11,M x y，()22,N x y，联立()222243424360143y kxk x kxy x⎧⎪⎨⎪=+⇒+++=+=⎩，∴()()221221222414434024343634Δk kkx xkx xk=-+>+=-+=⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩+①②③，∵MAF MNFS S=△△，∴M为线段AN的中点，∴212x x=……④，将④代入②解得12834kxk=-+……⑤将④代入③得2121834xk=+……⑥将⑤代入⑥解得2365k=……⑦将⑦式代入①式检验成立，∴k=，即存在直线:60l x+=或60x+-=合题意．2．【答案】（1）24y x=；（2）存在4t=及点()0,0P，对任意实数m，都有PM PN⊥．【解析】（1）由AF AO=得点A横坐标为4p，由抛物线定义及32AF=得，3422p p+=，所以2p=，所以抛物线C的方程为24y x=．（2）假设存在实数t及定点P，对任意实数m，都有PM PN⊥，设()00,P x y，211,4yM y⎛⎫⎪⎝⎭，222,4yN y⎛⎫⎪⎝⎭，联立24y xx my t=+⎧⎨⎩=，得2440y my t--=，则124y y m +=，124y y t =-，()2221212212+24244y y y y y y m t -+==+，由PM PN ⊥，得()()221200102044y y PM PN x x y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=--+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭()()22212221200120120164y y y y x x y y y y y y +=-⋅++-++22220000044240x m y m x y tx t t =--++-+-=，所以00x =，00y =，240t t -=，当0t =时不满足题意，所以4t =，即存在4t =及点()0,0P ，对任意实数m ，都有PM PN ⊥．3．【答案】（1）2214x y +=；（2）存在，y =．【解析】（1）设(),M x y ，则点(),2P x y ，将(),2M x y 代入圆22:4O x y +=，可得2244x y +=，E ∴的方程为2214x y +=．（2）显然，直线MN 存在斜率，设直线MN 的方程为1y x m k=-+，联立221 44y x m kx y =-+=⎧⎪⎨⎪⎩+，消去y 并整理得()()222248410k x mkx k m +-+-=， ()()()2222816410Δmk k k m =--+->，化为2224k k m +>，设()11,M x y ，()22,N x y ，则12284mkx x k +=+，()22122414k m x x k -=+，依题意OM ON ⊥，可得0OM ON ⋅=，12120x x y y ∴+=，又()2121212122111m y y x m x m x x x x m k k k k ⎛⎫⎛⎫=-+-+=-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()2121212122110m x x y y x x x x m k k ⎛⎫∴+=+-++= ⎪⎝⎭，()22222241181044k m m mk m k k k k -⎛⎫+-⋅+= ⎪++⎝⎭，解得22454k m =-，由MN 的中点1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭在直线y kx =+上，121222y y x x k ++∴=⋅+，12121122x m x mx x k k k -+-++=⋅，化为22304mk k +=+，把22454k m =-代入化为21060m -=，解得m =（舍去）或，224254k ∴==⎛⨯- ⎝⎭，解得k =2224k k m +>，即满足0Δ>，∴在E 上存在两点M ，N关于直线:l y kx =MN 为直径的圆恰好经过坐标原点，直线l的方程为y =．。