3次乘法的蝶形算法

FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要

第五章快速傅里叶变换
本章目录

直接计算DFT的问题及改进的途径按时间抽取的基2-FFT算法按频率抽取的基2-FFT算法快速傅里叶逆变换(IFFT)算法 Matlab实现
2
5.1 引言

DFT在实际应用中很重要: 可以计算信号的频
谱、功率谱和线性卷积等。

直接按DFT变换进行计算，当序列长度N很

9
5.3.1 算法原理
设N＝2L，将x(n)按 n 的奇偶分为两组：
x(2r ) x1 (r )
x(2r 1) x2 (r )
r
N =0，1，…， 1 2
则
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WNnk
n 0
N 1

n 0 n为偶数
x(n)W
N 1
x1 (r )W
r ( N 2 k ) N 2
rk x1 (r )WN 2 X 1 (k ) r 0
N 2 1
同理可得
N k ) X 2 (k ) 2
12
考虑到及前半部分X(k)
( N 2 k ) N 2 k k WN WN WN WN
k X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k )
运算前
A(k ) X 1 (k ) X (k )
运算后
A(k )
A(k
N ) X 2 (k ) 2
k WN
N A(k N ) X (k ) 2 2
30
观察原位运算规律
31
蝶形运算两节点间的距离

蝶形运算两节点间的距离
以N=8为例：第一级蝶形，距离为：第二级蝶形，距离为：第三级蝶形，距离为： 1 2 4

蝶形定理的公式

蝶形定理的公式蝶形定理是代数中的一个重要公式，它在代数计算和数学推导中起着重要的作用。

蝶形定理的公式可以用于求解多项式的乘积以及计算多项式的系数。

在本文中，我们将详细讨论蝶形定理的公式及其应用。

1. 引言蝶形定理，又称为维特别蝶形定理，是由英国数学家维特别于1755年提出的代数公式。

蝶形定理的公式形式如下所示：$(a + b)^n = \sum_{k = 0}^n \binom{n}{k} a^{n - k}b^k$其中，$\binom{n}{k}$表示组合数，表示从n个元素中选取k个元素的组合个数。

公式中的$n$、$a$、$b$都是实数。

2. 蝶形定理的解释蝶形定理实际上是将多项式的乘积表示为一系列组合数乘以各个项的幂次。

这个公式可以非常方便地用于计算多项式的展开式。

例如，当$n = 2$时，蝶形定理的公式可以简化为：$(a + b)^2 = \binom{2}{0} a^2 b^0 + \binom{2}{1} a^1 b^1 +\binom{2}{2}a^0 b^2$展开后得到：$a^2 + 2ab + b^2$这里，我们可以看到公式的每一项都是由$a$和$b$的幂次组成的。

3. 蝶形定理的应用蝶形定理在代数计算中有着广泛的应用。

通过蝶形定理，我们可以将复杂的乘法运算转化为简单的加法运算，从而简化计算过程。

例如，我们可以利用蝶形定理来计算$(a + b)^3$：$(a + b)^3 = \binom{3}{0} a^3 b^0 + \binom{3}{1} a^2 b^1 +\binom{3}{2}a^1 b^2 + \binom{3}{3} a^0 b^3$展开后得到：$a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$通过蝶形定理，我们可以直接得到展开式中每一项的系数。

这在代数计算中非常有用。

4. 蝶形定理的推广蝶形定理不仅适用于二项式的展开，还可以推广到更多项的情况下。

例如，当$n = 4$时，蝶形定理可以表示为：$(a + b)^4 = \binom{4}{0} a^4 b^0 + \binom{4}{1} a^3 b^1 +\binom{4}{2}a^2 b^2 + \binom{4}{3} a^1 b^3 + \binom{4}{4} a^0 b^4$展开后得到：$a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$我们可以看到，蝶形定理的公式中，每一项的系数都是由$n$和$k$的组合数确定的。

三类蝶形乘法计算公式

三类蝶形乘法计算公式在数学中，蝶形乘法是一种用于计算大型矩阵乘法的方法。

它可以分为三类，标准蝶形乘法、蝶形乘法的并行化和蝶形乘法的优化。

本文将分别介绍这三类蝶形乘法的计算公式和应用。

一、标准蝶形乘法。

标准蝶形乘法是最基本的蝶形乘法方法。

它的计算公式如下：设有两个矩阵A和B，它们的大小分别为m×n和n×p，那么它们的乘积C的大小为m×p。

蝶形乘法的计算公式如下：C(i,j) = Σ(A(i,k) B(k,j))，其中k的范围是1到n。

在这个公式中，C(i,j)表示C矩阵中第i行第j列的元素，A(i,k)表示A矩阵中第i行第k列的元素，B(k,j)表示B矩阵中第k行第j列的元素。

通过这个公式，可以逐个计算C矩阵中的每个元素，从而得到最终的乘积矩阵。

二、蝶形乘法的并行化。

蝶形乘法的并行化是指利用多个处理器或计算单元同时计算乘积矩阵的方法。

它的计算公式如下：假设有p个处理器，那么可以将A矩阵和B矩阵分别分成p份，每份的大小为m×(n/p)和(n/p)×p。

然后，每个处理器分别计算乘积矩阵的一部分，最后将所有部分合并得到最终的乘积矩阵。

蝶形乘法的并行化可以大大加快矩阵乘法的计算速度，特别是对于大型矩阵来说。

它在科学计算和大数据处理等领域有着重要的应用价值。

三、蝶形乘法的优化。

蝶形乘法的优化是指通过一些技巧和算法来提高蝶形乘法的计算效率。

其中最常用的优化方法包括布洛克算法和Strassen算法。

布洛克算法是一种将大型矩阵分解成小块并利用缓存优化的方法。

它的计算公式如下：设有一个大小为m×n的矩阵A和一个大小为n×p的矩阵B，可以将它们分别分解成大小为m×k和k×p的小块，然后利用缓存优化的方法来计算乘积矩阵的每个小块，最后将所有小块合并得到最终的乘积矩阵。

Strassen算法是一种通过分治和递归的方法来减少矩阵乘法的乘法次数的方法。

一次蝶形运算一次复数乘法两次复数加法

一次蝶形运算一次复数乘法两次复数加法
蝶形运算是指一种特殊的算法，常用于快速计算离散傅里叶变换（DFT）。

如果我们要进行一次蝶形运算，我们需要两个复数：A和B。

蝶形运算的结果是两个新的复数：C和D。

蝶形运算的计算公式如下：
C = A + B
D = A - B
这里，C和D分别是A和B的和与差。

如果我们要进行一次复数乘法，我们需要两个复数：P和Q。

复数乘法的结果是一个新的复数：R。

复数乘法的计算公式如下：
R = P * Q
如果我们要进行两次复数加法，我们需要四个复数：X、Y、Z和W。

两次复数加法的结果是两个新的复数：E和F。

第一次复数加法的计算公式如下：
E = X + Y
第二次复数加法的计算公式如下：
F = Z + W
综上所述，一次蝶形运算一次复数乘法两次复数加法的计算过程为：
1. 进行一次蝶形运算，得到新的复数C和D。

2. 进行一次复数乘法，得到新的复数R。

3. 进行两次复数加法，得到新的复数E和F。

希望以上解答对您有所帮助！如果还有其他问题，请随时提问。

小升初奥数几何(蝴蝶模型)

S Hale Waihona Puke a b 1 2 9 ．
2 2
成都学而思五年级教研组
提高篇：【五】在下图的正方形 ABCD 中， E 是 BC 边的中点， AE 与 BD 相交于 F 点，三角形 BEF 的面积为 1 平方厘米，那么正方形 ABCD 面积是平方厘米．
A
D
F B E C
2 【分析】连接 DE ,根据题意可知 BE : AD 1: 2 ，根据蝴蝶定理得 S梯形（ 1 2） 9 (平方厘
S
BOE
S
ABD
S
BOE
3 5 54 96 30 119 ． 8 8
【十】如下图，四边形 ABCD 中，对角线 AC 和 BD 交于 O 点，已知 AO 1 ，并且三角形ABD的面积 3 B ，那么 OC 的长是多少？三角形CBD的面积 5
6 7
图20-17 【分析】设另两块面积分别为 x，y，如图：
x
6 7 y
7 x 6 y x y 52 6 7 39
设 x=6k，y=7k，则 x+y=13k=39 k=3
x 18 ∴ y 21
四个三角形中最大的一个的面积是 21 【四】如图， S2 2 ， S3 4 ，求梯形的面积．
A 2 B C 1 G 3 D
【分析】 ⑴根据蝴蝶定理， S
BGC
1 2 3 ，那么 S
BGC
6；
⑵根据蝴蝶定理， AG : GC 1 2 : 3 6 1: 3 ．【三】图中的四边形土地的总面积是 52 公顷，两条对角线把它分成了四个小三角形，其中两个小三角形的面积分别是 6 公顷和 7 公顷，求四个三角形中最大的一个的面积。

三角形蝴蝶模型公式

三角形蝴蝶模型公式在我们的数学世界里，三角形可是个超级重要的角色。

而今天，咱们要来聊聊三角形中的一个有趣的东西——三角形蝴蝶模型公式。

先来说说什么是三角形蝴蝶模型。

想象一下，有一个三角形，然后在它内部有一些交叉的线段，看起来就像是一只蝴蝶的形状，所以就叫它三角形蝴蝶模型啦。

这个模型有个很重要的公式，那就是：S1×S2 = S3×S4 。

这里的 S1、S2、S3、S4 分别代表着三角形中不同部分的面积。

那这个公式到底有啥用呢？我给您讲个事儿。

有一次，我在辅导一个小朋友做作业，题目是这样的：在一个三角形 ABC 中，D、E 是 AB 和 AC 上的点，DE 平行于 BC，AD:DB = 2:3 ，三角形 ADE 的面积是8 平方厘米，让求三角形 BDE 的面积。

这小朋友一开始可懵啦，完全不知道从哪儿下手。

我就跟他说：“别着急，咱们来看看这个三角形，这不就是个三角形蝴蝶模型嘛。

” 然后我就给他画出了图形，标出了对应的部分。

因为AD:DB = 2:3 ，所以根据蝴蝶模型公式，三角形 ADE 和三角形 BDE 的面积比就是 2:3 。

既然三角形 ADE 的面积是 8 平方厘米，那设三角形 BDE 的面积是x 平方厘米，就可以列出一个方程 2:3 = 8:x ，一解，x 就等于 12 平方厘米。

这小朋友一下子就明白了，那高兴劲儿，就跟发现了新大陆似的。

其实在生活中，三角形蝴蝶模型公式也有它的影子呢。

比如说，咱们盖房子的时候，设计师要计算一些支撑结构的受力面积，如果能巧妙地运用这个公式，就能更准确地设计出安全又稳固的结构。

再比如，在农业灌溉中，要计算不同区域的灌溉面积，也能用到三角形蝴蝶模型公式。

回到学习中，要想熟练掌握这个公式，得多做练习题。

别觉得做题枯燥，每做一道题，就像是攻克一个小关卡，特别有成就感。

而且，做错了也别怕，从错误中吸取教训，下次就能做得更好。

总之，三角形蝴蝶模型公式虽然看起来有点复杂，但只要咱们用心去学，多思考，多练习，就能把它拿下，让它成为我们解决数学问题的有力武器。

FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要

nkmnknkmnnknk53按时间抽取的基2fft算法算法原理算法原理按时间抽取基按时间抽取基2fft2fft算法与直接计算算法与直接计算dftdft运算量的比较运算量的比较按时间抽取的按时间抽取的fftfft算法的特点算法的特点按时间抽取按时间抽取fftfft算法的其它形式流程图算法的其它形式流程图10531算法原理为奇数为偶数11为奇数为偶数另外式中k的取值范围是
所以整个N点DFT运算共需要：
实数乘法次数： 4 N2
实数加法次数： N×2(2N-1)= 2N(2N-1)
6
DFT运算量的结论
N点DFT的复数乘法次数举例 N 2 4 8 16 32 N2 4 16 64 256 1028 N 64 128 256 512 1024 N2 4049 16384 65 536 262 144 1 048 576
（2）周期性（3）可约性另外，
( n N ) k n( k N ) nk WN WN WN
mnk nk WmN WN
nk nk / m WN WN /m
( k N / 2) k WN WN
N /2 WN 1
8
5.3 按时间抽取的基2-FFT算法

算法原理按时间抽取基-2FFT算法与直接计算 DFT运算量的比较按时间抽取的FFT算法的特点按时间抽取FFT算法的其它形式流程图
23
FFT算法与直接DFT算法运算量的比较
N N2
N log 2 N 2
计算量之比M
N
N2
N log 2 N 2
计算量之比M
2
4 8 16 32 64
4
16 64 256 1028 4049
1
4 12 32 80 192

初看起来，执行一次复数乘法需要4个乘法器和2个加法/减法器。

然而，该表达式可以重新写成另外一种只需3个乘法器、3个加法器和2个减法器的表达式。

值得注意的是，加法器是在FPGA的内核逻辑中实现的，使用了丰富的逐位进位模式（ripple mode）的通用可编程逻辑单元（PLC）片。

如果D＝Dr＋jDi是复数数据，C＝Cr＋jCi是复数系数，那么复数乘法的标准表达式如下：E1:R＝D＊C＝（Dr＋jDi）＊（Cr＋jCi）＝Rr＋jRi （1）
其中Rr＝Dr＊Cr－Di＊Ci, Ri＝Dr＊Ci＋Di＊Cr
上述标准表达式要求使用4个乘法器。

该表达式可以通过代数方法重新整理为：
E2: Rr＝Dr＊Cr－Di＊Ci （2）
E3: Rr＝Dr＊Cr－Di＊Ci＋0 （3）
E4: Rr＝Dr＊Cr－Di＊Ci＋（Dr＊Ci－Di＊Cr）－（Dr＊Ci－Di＊Cr）（4）
E5: Rr＝（Dr＊Cr－Dr＊Ci＋Di＊Cr－Di＊Ci）＋（Dr＊Ci－Di＊Cr）（5）
复数结果的新表达式是：
E6: Rr＝[（Dr＋Di）＊（Cr－Ci）]＋（Dr＊Ci－Di＊Cr）（3次乘法）（6）
E7: Ri＝Dr＊Ci＋Di＊Cr （复用来自Rr的乘积）（7）
如图1所示，最优的复数乘法可以用3个乘法器、3个加法器和2个减法器实现。

值得注意的是，在FPGA中，加法/减法模块所用的相对裸片面积要小于18×18的乘法器模块。

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理(附答案)

小学奥数几何篇五大模型蝴蝶定理一、蝴蝶定理的定义与公式蝴蝶定理是小学奥数几何篇中的一个重要模型，它描述了在等腰三角形中，一条平行于底边的线段将底边平分，并且这条线段与等腰三角形的两腰相交于同一点时，该线段的中点与等腰三角形的顶点、底边的中点以及两腰上的交点形成一个等腰三角形。

蝴蝶定理的公式如下：设等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，则AG=BG=CG。

二、蝴蝶定理的应用1. 在等腰三角形中求边长：通过蝴蝶定理，可以快速求出等腰三角形中未知边的长度。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC 的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求AG的长度。

解答：根据蝴蝶定理，AG=BG=CG，又因为AB=AC，所以AG=AB/2=a。

2. 在等腰三角形中求角度：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知角的度数。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求∠AGB的度数。

解答：由于AG=BG=CG，所以△AGB是等边三角形，∠AGB=60°。

3. 在等腰三角形中求面积：通过蝴蝶定理，可以求出等腰三角形中未知部分的面积。

例如，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，底边BC的长度为2a，点D在BC上，且BD=DC=a，点E在AB上，点F在AC上，DE平行于BC，交AB于点E，交AC于点F，点G为DE的中点，连接AG、BG、CG，求△AGB的面积。

解答：由于△AGB是等边三角形，所以△AGB的面积=（a^2 √3）/ 4。

蝴蝶定理和风筝定理

第三讲蝴蝶定理和风筝定理一、引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。

则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

二、新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。

A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求：（1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。

蝴蝶算法速算技巧

蝴蝶算法速算技巧以下是 7 条关于蝴蝶算法速算技巧的内容：1. 嘿，你知道吗？蝴蝶算法的速算技巧就像是打开数学宝藏的神奇钥匙！比如说，计算53×47，把 53 拆分成 50+3，47 拆分成 50-3，这不就变成(50+3)×(50-3)=50²-3²=2500-9=2491！这多简单有趣呀，赶紧试试吧！2. 哇塞，蝴蝶算法速算技巧那可牛啦！就像给你一双飞速奔跑的翅膀。

想想看，计算28×32，那就是(30-2)×(30+2)=30²-2²=900-4=896 呀！是不是很神奇呀？3. 嘿呀，蝴蝶算法速算技巧真的太厉害啦！就好像是一场奇妙的数学冒险。

拿76×84 来说吧，(80-4)×(80+4)=80²-4²==6384，这不是很轻松就搞定了嘛，别愣着啦！4. 哎呀，蝴蝶算法速算技巧简直绝了呀！就如同为你点亮了一盏明灯。

比如说62×58，那可以是(60+2)×(60-2)=60²-2²=3600-4=3596 啊！还不赶紧用起来呀！5. 哇哦，蝴蝶算法速算技巧，那可是相当了不得！宛如拥有了魔法棒。

你看43×57，不就是(50-7)×(50+7)=50²-7²==2451 嘛，你还在等什么呢？6. 嘿，蝴蝶算法速算技巧不一般呐！就好像给你配备了一个超级军师。

像93×87 就可以这样算，(90+3)×(90-3)=90²-3²=8100-9=8091，咋样，厉害吧？7. 哇，蝴蝶算法速算技巧真是太好用啦！简直如同打开了智慧的大门。

比如算71×69，就是(70+1)×(60-1)=70²-1²=4900-1=4899 呀！大家都快来试试这些奇妙的技巧吧，会让你对数学有全新的认识哦！我的观点结论：蝴蝶算法速算技巧真的是非常实用且有趣，能让我们的计算变得轻松又高效，大家一定要多多练习和运用呀！。

傅里叶变换蝶形算法

傅里叶变换蝶形算法
傅里叶变换蝶形算法，也被称为快速傅里叶变换（FFT），是一种高效的计算离散傅里叶变换（DFT）和其逆变换的方法。

其主要思想是通过一系列的“蝶形”运算来减少所需的计算量。

具体来说，假设我们有一个长度为N的复序列x(n)，其DFT为X(k)，那么按照直接计算的方法，计算X(k)需要进行N2次乘法和N(N−1)次加法。

然而，通过使用蝶形算法，我们可以将这组运算分解为一系列的蝶形运算，从而显著减少所需的计算量。

在蝶形运算中，两个输入数据通过一个复数乘法和加法运算，可以产生两个输出数据。

具体来说，对于输入数据a和b，以及复数c（即蝶形运算中的权重因子），蝶形运算可以表示为：
d = a + bci
e = a - bci
其中，d和e是输出数据，a和b是输入数据，c是权重因子。

通过这种运算，我们可以将原来的N2次乘法和N(N−1)次加法减少到Nlog2N次乘法和Nlog2N次加法，从而大大提高了计算效率。

这种算法的基本步骤是：首先将长度为N的序列分为两个长度为N/2的子序列，然后对每个子序列进行蝶形运算，最后将结果合并。

这个过程可以递归地进行，直到所有的子序列长度都变为1。

通过这种方式，我们可以快速地计算出序列的DFT和逆DFT，从而在信号处理、图像处理、频谱分析等领域得到广泛应用。

蝶形运算

8点DFT为例4一个完整的按时间抽取的8点FFT2）蝶形运算对N = 2L 点FFT ，共需L 级蝶形运算，每级有N/2个蝶形运算组成，蝶形运算两节点的距离:2L-1（L 表示级数）每个蝶形运算有一次复乘和2次复加。

如1 1 11-1)()()(21k X W k X k X k N +=)()()2(21k X W k X k N X kN -=+)(1k X )(2k X kN W3）W N r 的确定(仅给出方法)⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧========⎪⎩⎪⎨⎧========-====----3J 3,L 2J 3,L 1J 3,L 0J 3,L :21J 2,L 0J 2L :2:23M 8N 2L 12.......2,1,0)...3,2,1(L 32102220210N 0,12222201L 12L -M L -M 111；；；；＝个为第三级；，；＝个为第二级个为第一级级，共有＝如个，类型数为级的蝶形运算系数因子即第，级的系数因子为第NN N N J N N N J N J L J J J L J W W W W W W W W W W WW J W M L M M M M L-1-1-1-1X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X(0)X(2)X(6)X(1)X(5)X(3)X(7)X(4)000，000001，100010，010011，110100，001101，101110，011111，111X 3(0)X 3(1)X 4(0)X 4(1)X 5(0)X 5(1)X 6(0)X 6(1)W N 0W N 2W N 0W N 2X 1(0)X 1(1)X 1(2)X 1(3)X 2(0)X 2(1)X 2(2)X 2(3)W N0W N 1W N 2WN 3-1-1-1-1W N 0W N 0W N 0W N 0-1-1-1-1N=16X(0) X(1) X(2) X(3) X(4) X(5) X(6) X(7) X(8) X(9) X(10) X(11) X(12) X(13) X(14) X(15)0000，0000 0001，1000 0010，0100 0011，1100 0100，0010 0101，1010 0110，0110 0111，1110 1000，0001 1001，1001 1010，0101 1011，1101 1100，0011 1101，1011 1110，0111 1111，1111x(0) x(8) x(4) x(12) x(2) x(10) x(6) x(14) x(1) x(9) x(5) x(13) x(3) x(11) x(7) x(15)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X1(4)X1(5)X1(6)X1(7)X2(0)X2(1)X2(2)X2(3)X2(4)X2(5)X2(6)X2(7)X3(0)X3(1)X3(2)X3(3)X4(0)X4(1)X4(2)X4(3)X5(0)X5(1)X5(2)X5(3)X6(0)X6(1)X6(2)X6(3)X7(0)X7(1)X8(0)X8(1)X9(0)X9(1)X10(0)X10(1)X11(0)X11(1)X12(0)X12(1)X13(0)X13(1)X14(0)X14(1)W N0W N1W N2W N3W N4W N5W N6W N7W N0W N2W N4W N6W N0W N2W N4W N6W N0W N4W N0W N4W N0W N4W N0W N4W N0W N0W N0W N0W N0W N0W N0W N0-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1-1按频域抽取FFT算法流图4尽管DIF 与DIT 的蝶形结构不同，但其运算量相同，即有M 级运算，每级运算需N /2个蝶形运算来完成，总共需要次复乘，次复加。

蝶形定理

蝶形定理年级：六学生姓名：日期：效果评价：知识链接：蝶形定理有三条性质如下图所示：三角形ABC位于两条平行线之间，三角形的底边BC位于其中的一条平行线，而顶点A 在另一条平行线上。

显然，经过运动后的新三角形PBC与原来的三角形ABC比较，形状发生了变化，但是，它们的面积是相等的。

因为这两个三角形等底等高。

性质1：三角形的一个顶点在平行线上运动不改变图形的面积。

（图1中：Ｓ△PBC=Ｓ△ABC）性质2：如上图2所示，Ｓ△ABO=Ｓ△ PCO的面积由于上图的构图像蝴蝶的翅膀，我们把性质1、性质2形象地叫做“蝶形定理”。

性质3：如上图3所示，图中阴影三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

知识应用奥数纵横例1、如图4，正方形ABCD的边长是4厘米，CG= 3厘米，长方形DEFG的长为5厘米，求它的宽DE 等于多少厘米？例2、如图5, ABCD是长方形，DEFG是平行四边形，E点在BC边上，FG过A点，已知，三角形AFK与三角形ADG面积之和等于5平方厘米，DC=CE=3厘米。

求△BEK的面积。

练习：1、如图6所示，长方形ABCD的长为25厘米，宽为15厘米，四对平行线截长方形各边所得的线段如图中标出，且横向的两组平行线都与BC平行，求阴影部分的面积。

2、如图7、正方形的边长为10厘米，四边形ABCD的面积是6平方厘米，求阴影部分的面积。

例3、如图8中，ABCD是直角梯形，（∠DAB=∠ABC=900），以AD为一边向外作长方形ADEF,其面积为6.36平方厘米。

连接BE交于P,连接PC,求图中阴影部分的面积。

例4、如图9中，过平行四边形ABCD的顶点D作直线DF,交直线BC于E,请比较△ABE与△CEF的大小。

练习：3、如图10所示、在长方形ABCD中，AD=15厘米，AB=8厘米，四边形OEFG的面积是9平方厘米，求阴影部分的面积。

4、如图11所示，若长方形AEOG、DEOH、BFOG的面积分别是4、6、8，求阴影部分的面积是多少？例5、如图12，长方形ABCD的长为12厘米，宽为8厘米，三角形CEF的面积是32平方厘米，求OG长。

蝴蝶算法[大全]

基二FFT 算法4.2.1直接计算DFT 的特点及减少运算量的基本途径长度为N 的有限长序列x （n ）的DFT 为（4.2.1）考虑x （n ）为复数序列的一般情况，对于一个K 值，直接按（4.2.1）、式计算X （k ）值需要N 次复数乘法、（N-1）次复数假加法。

因此，对于所有N 的k 值，共需次复数乘法及N(N-1)次复数加法运算。

当N>>1时，N(N-1)≈N 点DFT 的复乘次数等于。

显然，把N 点DFT 分解为几个较短的DFT ，可使乘法次数大大减少。

另外，旋转因子具有明显的周期性和对称性。

FFT 算法就是不断地把长序列的Dft 分解成几个短序列的DFT ，并利用的周期性和对称性来减少DFT 的运算次数。

最常见的是基2FFT （即N= 的FFT ）。

4.2.2时域抽取法基2FFT 基本原理FFT 算法基本上分两大类：时域抽取法FFT 和频域抽取法FFT 。

下面先介绍DIT-FFT 算法。

设序列x （n ）的长度为N,且满足这样，就将N 点DFT 分解为两个N/2点的DFT 和（4.2.7）式和（4.2.8）式的运算。

（4.2.7）式和（4.2.8）式的运算可用图4.2.1所示的流图符号表示，根据其形状称之为蝶形运算符号。

采用这种图示法，可将上述分解运算表示于图4.2.2中，图中，N= =8，X （0）~X(3)由（4.2.7）式给出，而X(4)~X(7)则由（4.2.8）式给出。

图4.2.1 蝶形运算符号由图 4.2.1可见，要完成一个蝶形运算，需要一次复数乘和两次复数加法运算。

由图4.2.2容易看出，经过一次分解后，计算一个N 点DFT 需计算两个N/2点DFT 和N/2个蝶形运算。

而计算一个N/2点DFT 需要(N / 2)2次复数乘和N/2（N/2-1）次复数加法。

所以，按图4.2.2ABBC+BC-1,1,0,][][1-==∑-=N k W n x m X knN N k 2N 2N 2N m NW knN W m 232计算N 点DFT 总共需要2(N / 2)2+N/2=N(N+1)/2≈N 2/2(N>>1时)次复数乘法和N （N/2-1）+2N/2=N 2/2次复数加法运算。

蝶形运算文档

蝶形运算概述蝶形运算（Butterfly Operation）是一种在信号处理和傅里叶变换算法中广泛使用的计算方法。

它主要用于将信号分解成多个频谱组分，并进行相应的运算和合成。

在数字信号处理领域中，蝶形运算是实现快速傅里叶变换（FFT）和逆快速傅里叶变换（IFFT）的核心操作之一。

原理蝶形运算是一种迭代的运算过程，通过将输入信号划分为两个子信号，并对其进行加权和运算，然后将结果再次划分为两个子信号，重复这个过程直到运算结束。

基本的蝶形运算包括两个输入和两个输出，其中输入信号经过加权和运算后分别输出到两个不同的位置。

蝶形运算可以用以下公式来表示：{\\begin{align*}X_0 &= W_N \\cdot (X_0' + X_1') \\\\X_1 &= X_0' - X_1'\\end{align*}}其中，X是输入信号，X’是初始输入信号的一半，W是旋转因子。

快速傅里叶变换中的应用蝶形运算在快速傅里叶变换算法中起到了至关重要的作用。

快速傅里叶变换是一种高效的算法，用于将时间域信号转换到频域。

它通过将信号分解成不同的频率组分，并在频域进行运算和合成，以实现信号的变换和处理。

在快速傅里叶变换算法中，输入信号首先被划分为两个子信号，然后每个子信号都进行蝶形运算。

通过递归调用蝶形运算，最终得到完整的频谱信息。

快速傅里叶变换算法的关键在于利用了信号的对称性和周期性，大大降低了计算的复杂度。

蝶形运算在快速傅里叶变换中的具体应用可以表示为以下步骤：1.将输入信号分解为两个子信号。

2.对每个子信号进行蝶形运算，得到两个输出信号。

3.递归调用蝶形运算，分别对每个输出信号进行进一步的分解和运算。

4.重复上述步骤，直到完成所有的运算，得到完整的频谱信息。

IFFT中的应用逆快速傅里叶变换（IFFT）是快速傅里叶变换的逆运算，用于将频域信号转换回时间域。

在IFFT中，蝶形运算同样扮演了重要的角色。

奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理

1蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1、S 2、S 3、S 4。

则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。

ABCDOA BCDO S 1S 2S 3S 4ABCDOABC DOABCDO【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，厘米的正方形，已知已知CE 的长是ED 的2倍。

求：（1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

蝶形、同址和变址计算

蝶形、同址和变址计算1. 蝶形计算任何一个N为2的整数幂(即N=2M)的DFT，都可以通过M次分解，最后成为2点的DFT 来计算。

M次分解构成了从x(n)到X(k)的M级迭代计算，每级由N/2个蝶形组成。

图3.20表示了蝶形的一般形式表示。

其输入和输出之间满足下列关系：大多数情况下复数乘法所花的时间最多，因此下面仅以复数乘法的计算次数为例来与直接计算进行比较。

直接计算DFT需要的乘法次数为αD=N2，于是有例如，当N=1024时，则：205，即直接计算DFT所需复数乘法次数约为FFT的205倍。

显然，N越大，FFT的速度优势越大。

同址(原位)计算图3. 19包含log2N级迭代运算，每级由N/2个蝶形计算构成。

蝶形计算的优点是可以进行所谓同址或原位计算。

现在来考察第一级的计算规律。

设将输入x(0)，x(4)，x(2)，x(6)，x(1)，x(5)，x(3)，x(7)分别存入计算机的存储单元M(1), M(2), M(3),…，M(7)和M(8)中。

首先，存储单元M(1)和M(2)中的数据x(0)和x(4)进入运算器并进行蝶形运算，流图中各蝶形的输入量或输出量是互不相重的，任何一个蝶形的二个输入量经蝶形运算后，便失去了利用价值，不再需要保存。

这样，蝶形运算后的结果便可以送到M(1)和M(2)存储起来。

类似地，M(3)和M(4)中的x(2)和x(6)进入运算器进行蝶形运算后的结果也被送回到M(3)和M(4)保存，等等。

第二级运算与第一级类似，不过，M(1)和M(3)存储单元中的数据进行蝶形运算后的结果被送回M(1)和M(3)保存，M(2)和M(4)中的数据进行蝶形运算后送回M(2)和M(4)保存，等等。

这样一直到最后一级的最后一个蝶形运算完成。

蝶形运算的特点是，首先每一个蝶形运算都需要两个输入数据，计算结果也是两个数据，与其它结点的数据无关，其它蝶形运算也与这两结点的数据无关、因此，一个蝶形运算一旦计算完毕，原输入数据便失效了。

奥数专题：蝴蝶定理和风筝定理

蝴蝶定理和风筝定理引入1、蝴蝶定理在梯形ABCD 中，由对角线AC 与BD 分成的左右两个三角形（△ADO 和△BCO ）形状有点像一对蝴蝶翅膀，把这两个三角形称为蝴蝶三角形（如图），蝴蝶三角形的面积相等。

即S △ADO =S △BCO2、风筝定理在任意四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 分成了四个三角形（如图），这四个三角形的面积分别记为：S 1 、S 2 、S 3 、S 4。

则它们的关系是：S 1×S 4 =S 2×S 3即相对的两个三角形的面积乘积是相等的。

新授课【例1】如图，梯形的两条对角线分梯形为四个小三角形，已知△AOD 的面积是3平方厘米，△DOC 的面积是9平方厘米，梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？练习1、如图，2BO=DO ，且阴影部分的面积是4cm 2，那么梯形ABCD 的面积是多少平方厘米？2、如图，阴影部分面积是4cm 2，OC=2AO ，求梯形的面积。

A BCD O S 1 S 2S 3 S 4【例2】如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成四块，红色三角形的面积是4平方厘米，黄色三角形的面积是8平方厘米，那么绿色四边形的面积是多少平方厘米？练习1、如图，BD ，CF 将长方形ABCD 分成4块，红色三角形面积是4平方厘米，黄色三角形面积是6平方厘米，则绿色四边形的面积是多少平方厘米？2、如图，平行四边形ABCD 的面积是36平方厘米，对角线AC 、BD 交于O 点，E 为CD 上一点，已知四边形EFOG 的面积是3平方厘米，则阴影部分的面积为多少平方厘米？【例3】如图，四边形ABCD 是边长为18厘米的正方形，已知CE 的长是ED 的2倍。

求：（1）三角形CEF 的面积，（2）DF 的长度练习正方形ABCD 的边长是12厘米，已知DE 是EC 长度的2倍。

三角形DEF 的面积是多少平方厘米？CF 长多少厘米？CC【例4】正方形ABCD 和正方形CEFG ，且正方形ABCD 边长为10厘米，则图中三角形BDF 面积为多少平方厘米？练习1、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。

进行蝶形运算

/
2)
W W n 2 NN
nr
,
0 r N / 21
n0
Monday, January 06, 2020
17
按频率抽取基-2 FFT （DIF）
上述过程可由下图表示
Monday, January 06, 2020
18
按频率抽取基-2 FFT （DIF）
与DIT类似，采用上述方法，一直进行r-1次分解，直到最后化成
6
（9）
蝶运算
以N=8 时的DFT为例,可以分解为两个4点的DFT
(1) n为偶数时
xe (0) x(0) xe (1) x(2) xe (2) x(4) xe (3) x(6)
(2) n为奇数时
xo (0) x(1) xo (1) x(3) xo (2) x(5) xo (3) x(7)
输出序号 0 1 2 3 4 5 6 7
Monday, January 06, 2020
DIT算法结构
N=8时，共r=3级，每级8/2=4个蝶形单元； m=0级，共g=4组，每组含b=1个蝶形单元； m=1级，共g=2组，每组含b=2个蝶形单元； m=2级，共g=1组，每组含b=4个蝶形单元；
13
进行4点的DFT，得X e (k)
3
Xe(k) x(2r)W4rk , k 0,1,2,3 r0
进行4点DFT，得Xo (k)
X (0) X (1) X (2) X (3)
3
Xo (k) x(2r 1)W4rk , k 0,1, 2,3 r0
蝶运算
(3)对 X e(k) 和 Xo(k) 进行蝶形运算前半部为X(0)-X(3),后半部分为X(4)-X(7)，整个过程如下图所示:

3次乘法的蝶形算法

FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要

蝶形定理的公式

三类蝶形乘法计算公式

一次蝶形运算一次复数乘法两次复数加法

小升初奥数 几何(蝴蝶模型)

三角形蝴蝶模型公式

FFT快速傅里叶变换(蝶形算法)详解概要