利用解直角三角形解决实际问题

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专题14 巧用解直角三角形解决实际问题（含答案）

专题14 巧用解直角三角形解决实际问题知识解读在直角三角形中，由已知元素（至少有一条是边）求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。

角之间的关系：两锐角互余；边的关系：两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；边与角的关系：锐角三角函数。

解直角三角形的应用包括：①求三角形的边长及角度；②解决某些实际问题。

培优学案典例示范例1.如图3-14-1是某通道的侧面示意图，已知AB /CD //EF ，AM /BC /DE ，AB =CD =EF ，∠AMF =90°，∠BAM =30°，AB =6m .（1）求FM 的长；（2）连接AF ，若sin ∠F AM =13，求AM 的长.【提示】（1）延长BC ，DE 交FM 于点G ，H ，过B ，D 作BJ ⊥AM ，DK ⊥CG ，构造直角三角形可利用三角函数求解；（2）有sin ∠F AM =13可以求AF ，再求AM .图3-14-1AB CDEFM跟踪训练如图3-14-2，在同一平面内，两条平行的高速公路1l 和2l 间有一条“Z ”型道路连通，其中AB 段与高速路1l 成30°角，长为20km ；BC 与AB ，CD 段都垂直，长为10km ；CD 段长为30km .求两条高速公路间的距离（结果保留根号）.【提示】解决本题的关键是将题干中的条件转化到直角三角形中，根据直角三角形中的边角关系解决问题.【解答】DCB30°A图3-14-1l 1l 2例2.黔东南州某校九年级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，如图已知小明和小军相距（BD）6米，小明的身高（AB）1.5米，小军的身高（CD）1.75米，求旗杆的高EF 的长（结果精确到0.12 1.41≈3 1.73≈）【提示】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是读懂题意，看懂图形构建合适的方程模型.【解答】ACDBFE图3-14-3跟踪训练一数学兴趣小组为测量河对岸树AB的高，在河岸边选择一点C，从C处测得树梢A的仰角为45°，沿BC方向后退10米到点D，再次测得点A的仰角为30°（如图3-14-4），求树高（结果精确到0.1米，参考数据：2 1.41≈,3 1.73≈）【解答】图3-14-4A BCD30°45°例3.如图3-14-5，海中有两个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这时测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离.（计算结果用根号表示，不取【提示】本题考查了解直角三角形的应用一一方位角问题，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形。

解直角三角形的实际应用题的解题步骤

解直角三角形的实际应用题的解题步骤解直角三角形的实际应用题的解题步骤1. 引言直角三角形是高中数学中的重要概念之一，其解题方法和应用广泛存在于实际生活中。

本文将以解直角三角形的实际应用题为主题，通过深度和广度的分析，帮助读者更好地理解和应用直角三角形的知识。

2. 实际应用题的意义和背景实际应用题是数学知识在实际问题中的运用，对于培养学生的问题解决能力和应用能力至关重要。

解直角三角形的实际应用题有助于学生将抽象的数学概念和具体的实际问题进行联系，培养他们的分析和推理能力。

3. 解题步骤的概述解直角三角形的实际应用题可以分为以下几个步骤：求两个已知角度的第三个角度、确定已知角度的对边、确定未知角度的对边、求斜边、求面积等。

4. 具体步骤的详解（1）求两个已知角度的第三个角度：根据直角三角形的性质，在直角三角形中，三个角的和为180度。

通过已知的两个角度，我们可以求得第三个角度，从而建立起直角三角形的坐标系。

（2）确定已知角度的对边：根据已知角度可以确定相应的直角三角形边长比例关系。

通过题目中给出的已知角度和对边的长度比例，我们可以推导出未知角度的对边的长度。

（3）确定未知角度的对边：根据已知角度的对边和比例关系，可以推导出未知角度的对边与已知对边之间的比例关系。

通过这个比例关系，我们可以求得未知角度对应的对边长度。

（4）求斜边：已知两个直角三角形的边长，可以利用勾股定理来求解斜边的长度。

根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

（5）求面积：已知直角三角形的两个直角边，可以利用面积公式来求解三角形的面积。

直角三角形的面积等于两个直角边长度的乘积的一半。

5. 个人观点和理解直角三角形的实际应用题在我们的日常生活中具有广泛的应用，例如在建筑、导航、物理等领域。

解题过程中，我们需要根据已知条件进行分析，应用数学知识和技巧来推导出未知的数据，从而解决实际问题。

通过解题过程中的分析和推理，我们还可以培养自己的逻辑思维和问题解决能力。

23.2 第4课时用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题

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第4课时用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
当堂测评
1．[2018·虹口区一模]如图 23－2－28，传送带和地面成一斜坡，它把物体从地面送到离地面 5 m 高的地方，物体所经过的路程是 13 m，则斜坡的坡度为( C )
A．1∶2.6 C．1∶2.4
B．1∶153 D．1∶152
图 23－2－26
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第4课时用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
解：如答图，分别过点 B，C 作 BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分别为 E，F.由题意可知，
例 1 答图 BE＝CF＝20 m，BC＝EF＝6 m，∠D＝30°，在 Rt△ABE 中，i＝BAEE＝21.5，
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第4课时用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
图 23－2－36Fra bibliotek课件目录
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第4课时用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
解：过点 C 作 CM⊥AB 于点 M，如答图．则四边形 CMED 是矩形，且△AMC 是等腰直角三角形．设 AM＝x m，则 ED＝MC＝AM＝x m， AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝(x＋3)m，在 Rt△AEF 中，EF＝tan∠AEAFE＝x＋33(m)，
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第4课时用解直角三角形解决坡度及一次函数与x轴的夹角问题
即A20E＝21.5，∴AE＝20×2.5＝50(m)，在 Rt△CDF 中，tan 30°＝DCFF，即D20F＝ 33， ∴DF＝20 3≈34.6(m)， ∴AD＝AE＋EF＋DF≈50＋6＋34.6＝90.6(m)． ∴坝底 AD 的长度约为 90.6 m. 【点悟】解答本题的关键是构造直角三角形和矩形，以及注意理解坡度与坡角的定义．

解直角三角形的应用教案

解直角三角形的应用教案教案标题：解直角三角形的应用教学目标：1. 理解直角三角形的定义和性质。

2. 掌握解决直角三角形相关问题的方法和技巧。

3. 能够应用直角三角形的知识解决实际问题。

教学重点：1. 直角三角形的定义和性质。

2. 直角三角形的解题方法。

3. 直角三角形在实际问题中的应用。

教学难点：1. 将直角三角形的知识应用于实际问题的解决。

2. 理解并运用三角函数的概念和性质。

教学准备：1. 教材：包含直角三角形相关知识的教材。

2. 教具：直尺、量角器、计算器等。

3. 多媒体设备：投影仪、电脑等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 利用多媒体设备展示一张直角三角形的图像，引发学生对直角三角形的认知和兴趣。

2. 提出问题：你知道直角三角形的定义和性质吗？请简单介绍一下。

3. 学生回答问题，教师适时给予引导和补充。

二、知识讲解（15分钟）1. 通过多媒体设备展示直角三角形的定义和性质，并解释其含义。

2. 介绍三角函数的概念和性质，如正弦、余弦和正切等。

3. 通过示例演示如何利用三角函数求解直角三角形的边长和角度。

三、例题演练（20分钟）1. 提供一些直角三角形的例题，要求学生利用所学知识求解。

2. 学生独立完成例题，教师巡回指导和解答疑惑。

3. 学生互相交流解题思路和方法，加深对知识的理解。

四、应用拓展（15分钟）1. 提供一些实际问题，要求学生运用直角三角形的知识解决。

2. 学生独立或小组合作完成应用题，教师提供必要的指导和帮助。

3. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和总结。

五、归纳总结（10分钟）1. 教师引导学生总结直角三角形的相关知识和解题方法。

2. 学生回答问题并进行讨论，教师进行点评和补充。

3. 教师给出解题技巧和注意事项，并提供相关练习题进行巩固。

六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成。

2. 强调作业的重要性，并提供解题思路和方法。

3. 确定下节课的教学内容和要求。

九年级数学上册《利用解直角三角形解决有关问题》教案、教学设计

3.合作交流：组织学生进行小组讨论，分享解题思路和方法，培养学生团队协作能力和表达能力。
4.拓展延伸：针对不同层次的学生，设计不同难度的练习题，使学生在巩固基础知识的同时，提高解决问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣和热情，使学生充分认识到数学在现实生活中的重要性。
2.培养学生勇于探索、积极思考的学习态度，增强学生面对困难时的自信心。
2.讨论要求：每个小组需要明确问题，分析问题，提出解决方案，并计算出结果。
3.教师指导：在学生讨论过程中，教师巡回指导，解答学生的疑问，引导学生运用三角函数解决实际问题。
（四）课堂练习
1.教学内容：设计不同难度的练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
2.练习类型：包括基础题、提高题和应用题，满足不同层次学生的需求。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的解直角三角形的原理和方法，以及提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，特布置以下作业：
1.基础练习题：请学生完成课本上相关的习题，以巩固正弦、余弦、正切函数的定义及其在解直角三角形中的应用。
-选择题：针对解直角三角形的基本概念和性质，设计选择题，帮助学生巩固基础知识。
3.教学方法：让学生独立完成练习题，教师对学生的解答进行点评和指导，帮助学生发现问题并改正。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学的解直角三角形的原理、方法以及在实际生活中的应用进行总结。
2.教学方法：采用师生互动、学生自主总结等多种形式，帮助学生梳理所学知识。
3.教学要求：让学生明确解直角三角形的关键是掌握三角函数的定义和应用，以及将实际问题转化为数学模型的能力。
2.学会运用三角函数解决实际问题，特别是在直角三角形中的运用。

《解直角三角形应用举例》课件

一号的组合体在离地球表面 343 km 的圆形轨道上运行.
如图，当组合体运行到地球表面
P 点的正上方时，从中能直接看到的地球
表面最远的点在什么位置？最远点与 P 点
的距离是多少 (地球半径约为 6 400 km，π
取 3.142，结果取整数)？
F
P
FQ 是☉O 的切线，
∠FQO 为直角
Q
最远点
O
෢ 的长，要先
解：在 Rt△AOC 中,∵sin75°=

,
∴OC ≈ 38.8 cm.
在 Rt△BOC 中,∵tan30°=

,

∴BC ≈ 67.3 cm.
答：该台灯照亮水平面的宽度 BC 约为67.3 cm.
易错警示：注意结果必须根据题目要求精确到0.1cm.
技巧点拨：
借助公共边解双直角三角形
面的夹角是 30°,拉索 CD 与水平桥面的夹角是 60°,
两拉索顶端的距离 BC 为 2米.两拉索底端的距离 AD 为
20米,请求出立柱 BH 的长.(结果精确到0.1米, 3≈1.732)
解：设 DH =x 米. ∵ ∠CDH =60° ,∠H =90°,
∴ CH =DH·tan60°= 3x 米，
∴ 此时南楼的影子落在北楼上约 3.5 m 高.
解：(2)如图，若使每层楼在冬天都受阳光照射，则
DC =0 m，即点 C 与点 D 重合.
当点 C 与点 D 重合时，
tan∠ACB
∴ BD=

= ，即

tan32°
=
tan32°=
16
tan32°

，

≈ 25.6 (m)，

解直角三角形的典型例题

一、知识概述1、仰角、俯角仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图所示．说明：仰角、俯角一定是水平线与视线的夹角，即从观察点引出的水平线与视线所夹的锐角．2、坡角和坡度坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示．坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度，用字母i表示．则．如图所示说明：(1)坡角的正切等于坡度，坡角越大，坡度也越大，坡面越陡．(2)在解决实际问题时，遇到坡度、坡角的问题，常构造如图所示的直角三角形．3、象限角象限角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫象限角，如图中的目标方向线OA、OB、OC、OD的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，北偏西60°，南偏西80°，如：东南方向，指的是南偏东45°角的方向上．如图所示．二、重点难点疑点突破1、怎样运用解直角三角形的方法解决实际问题在解决实际问题时，解直角三角形有着广泛的应用．我们要学会将千变万化的实际问题转化为数学问题来解决，具体地说，要求我们善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素(边、角)之间的关系，这样就可运用解直角三角形的方法了．一般有以下三个步骤：(1)审题，通过图形(题目没画出图形的，可自己画出示意图)，弄清已知和未知；(2)找出有关的直角三角形，或通过作辅助线产生有关的直角三角形，把问题转化为解直角三角形的问题；(3)根据直角三角形元素(边、角)之间关系解有关的直角三角形．其中，找出有关的直角三角形是关键，具体方法是：(1)将实际问题转化为直角三角形中的数学问题；(2)作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中，使问题解决．2、在学习中应注意两个转化(1)把实际问题转化成数学问题这个转化分两个方面：一是将实际问题的图形转化为几何图形，画出正确的平面或截面示意图，并赋予字母；二是将已知条件转化成示意图中的边或角．(2)把数学问题转化成解直角三角形问题．如果示意图形不是直角三角形，可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，把实际问题转化为解直角三角形问题，把可解的直角三角形纳入基本类型，确定合适的边角关系，细心推理，按要求精确度作近似计算，最后写出答案并注明单位．三、典型例题讲解1、测量河宽例1、如图，河边有一条笔直的公路l，公路两侧是平坦的草地．在数学活动课上，老师要求测量河对岸B点到公路的距离，请你设计一个测量方案．要求：(1)列出你测量所使用的测量工具；(2)画出测量的示意图，写出测量的步骤；(3)用字母表示测得的数据，求出B点到公路的距离．分析：这是一个实际问题，要求B到CD的距离，可转化为直角三角形，然后在两个直角三角形中，可分别用含有AB的式子表示AC和AD，而AC＋AD=m，可运用解方程的方法求出AB即可．解：(1)测角器、尺子；(2)测量示意图如下图所示；测量步骤：①在公路上取两点C，D，使∠BCD，∠BDC为锐角；②用测角器测出∠BCD=α，∠BDC=β；③用尺子测得CD的长，记为m米；④计算求值．(3)解：设B到CD的距离为x米，作BA⊥CD于点A，在△CAB中，x=CAtanα，点评：运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题，要求我们要具备数学建模能力(即将实际问题转化为数学问题)．2、仰角、俯角问题例2、为申办2010年冬奥会，须改变哈尔滨市的交通状况.在大直街拓宽工程中，要伐掉一棵树AB.在地面上事先划定以B为圆心、半径与AB等长的圆形危险区.现在某工人站在离B点3米远的D处测得树的顶端A点的仰角为60°，树的底部B的俯角为30°（如图）.问距离B点8米远的保护物是否在危险区内？分析：解决测量问题要明确仰角、俯角、视角、坡度、坡角等名词术语.要考查距离B点8米远的保护物是否在危险区内，关键的一点是要测算树AB的高度.解：过点C作CE⊥AB，垂足为E.在Rt△CBE中，在Rt△CAE中，故AB=AE＋BE=≈4×1.73=6.92（米）＜8（米）.因此可判断该保护物不在危险区内.3、坡角、坡度(坡比)例3、如图，一水坝横断面为等腰梯形ABCD，斜坡AB的坡度为，坡面AB的水平宽度为上底宽AD为4m，求坡角B，坝高AE和坝底宽BC各是多少？分析：首先将实际问题转化为数学问题，如图所示，实际上已知求∠B、AE、BC．此题实质转化为解直角三角形的问题．点评：(1)解应用题时，解题过程中可以不写各数量的单位，但最后作答时务必写清单位名称．(2)应用问题尽管题型千变万化，但关键是设法化归为解直角三角形问题，必要时应添加辅助线，构造出直角三角形，梯形也是通过作底边的高线来构造直角三角形．(3)本题主要应用坡度是坡角的正切函数而求出坡角，运用坡度的概念求出梯形高，运用等腰梯形性质求出底边．4、象限角例4、如图，一轮船自西向东航行，在A处测得某岛C，在北偏东60°的方向上，船前进8海里后到达B，再测C岛，在北偏东30°的方向上，问船再前进多少海里与C岛最近？最近距离是多少？分析：将实际问题转化为数学问题，并构造出与实际问题有关的直角三角形，如图所示．船沿AB方向继续前进至D处与C岛最近，此问题实质就是已知∠CAB=90°－60°=30°，∠ABC=90°＋30°=120°，AB=8海里，求BD和CD的解直角三角形问题．解：根据题设可知△ABC中，∠CAB=30°，∠ABC=120°，∴∠ACB=180°-30°-120°=30°,AB=BC=8，作CD⊥AB于D．∴最近距离即为C到AB所在直线的垂线段CD的长度．在Rt△CBD中，BC=8，∠CBD=60°，点评：根据题意准确画出示意图是解这类题的前提和保障．5、开放探究题例5、(荆州市)某海滨浴场的沿岸可以看作直线，如图，1号救生员在岸边A点看到海中的B点有人求救，便立即向前跑300米到离B点最近的D点，再跳入海中游到B点救助；若每位救生员在岸上跑步的速度都是6米/秒，在水中游泳的速度都是2米/秒，∠BAD=45°．(1)请问1号救生员的做法是否合理？(2)若2号救生员从A跑到C，再跳入海中游到B点救助，且∠BCD=65°，请问谁先到达点B？(所有数据精确到0.1，sin65°≈0.9，cos65°≈0.4，)分析：(1)比较1号救生员从点A直接游到点B所用时间与从点A跑到点D再游到点B的时间即可作出判断．(2)分别计算出1号救生员、2号救生员所用时间，再作判断．点评：掌握探究题的探究方法非常重要，本题中救生员赶到点B的时间是我们探究的核心问题，如何准确求出救生员赶到点B所用时间是解决本题的关键．。

解直角三角形在实际生活中应用

解直角三角形在实际生活中应用直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度，另外两个角则是锐角或钝角。

直角三角形的重要性在于它具有很多实际应用价值。

本文将介绍一些直角三角形在实际生活中的应用。

一、测量高度和距离直角三角形的一条腿可以用作测量高度或距离的工具。

通过测量一个物体的顶部和底部的距离，同时测量观察点到底座的距离，我们可以利用直角三角形的性质计算出物体的高度。

例如，在建筑工地上，工人可以使用测量工具和直角三角形的原理来测量建筑物的高度。

二、解决倾斜和斜率问题直角三角形可以帮助我们解决倾斜和斜率问题。

在地质学和土木工程中，我们经常需要测量地面的倾斜度和斜率。

直角三角形可以帮助我们测量坡度的比例。

通过测量斜坡上某一段的水平距离和相应的垂直距离，我们可以计算出斜坡的斜率。

三、计算不可测量的距离在某些情况下，两个点之间的距离无法直接测量，例如跨越湖泊或河流的距离。

然而，利用直角三角形的性质，我们可以使用三角函数计算出这种不可测量距离。

通过观察两个点之间的角度和某一点到这两个点之间的距离，我们可以使用正切函数计算出这个不可测量的距离。

四、导航和定位直角三角形在导航和定位中也有广泛的应用。

例如，航海员可以使用天文观测和直角三角形的性质来确定船只的位置。

通过测量星体和地平线之间的角度，同时知道船只和地平线之间的距离，我们可以利用正弦和余弦函数计算出船只的位置。

五、解决工程问题在工程领域中，直角三角形常常用于解决一些复杂问题。

例如，自然灾害生态学家可以使用直角三角形的概念来设计保护森林免受火灾侵蚀。

通过构建直角三角形网格，他们可以最大程度地减少火势蔓延的可能性，保护森林资源。

六、解决影子和光线问题在摄影和照明设计领域，直角三角形可以帮助我们解决影子和光线的问题。

通过观察物体和光源之间的角度，并结合直角三角形的性质，我们可以计算出物体产生的影子的长度。

这对于照明设计师来说非常重要，以确保正确照亮目标物体。

解直角三角形的应用题型

解直角三角形的应用题型直角三角形是初中数学中一个重要的概念，也是解决实际问题中常用的基本图形之一。

在应用题中，我们经常需要用到直角三角形的性质和定理，以解决各种实际问题。

下面列举一些常见的直角三角形应用题型。

1. 求斜边长已知直角三角形的一条直角边和另一条边的长度，求斜边长。

这类问题可以用勾股定理解决，即斜边的长度等于直角边长度的平方加上另一条边长度的平方的平方根。

例题：已知直角三角形的一个直角边为3，另一条边长为4，求斜边长。

解：斜边长等于3的平方加上4的平方的平方根，即√(3+4)=√25=5。

2. 求角度已知直角三角形两个角度，求第三个角度。

由于直角三角形的内角和为180度，因此第三个角度可以用90度减去已知的两个角度得到。

例题：已知直角三角形两个角度分别为30度和60度，求第三个角度。

解：第三个角度等于90度减去30度和60度的和，即90-30-60=0度。

3. 求高已知直角三角形的斜边和一条直角边，求高。

我们可以通过求出这个三角形的面积以及底边长度来求出高，也可以利用正弦定理或余弦定理求出高。

例题：已知直角三角形的斜边长为5，直角边长为3，求高。

解：利用勾股定理可求出这个三角形的面积为(3*4)/2=6。

利用面积公式S=1/2*底边长*高，可得高为(2*6)/3=4。

4. 求面积已知直角三角形的两条直角边长度，求面积。

我们可以利用面积公式S=1/2*底边长*高求出面积。

例题：已知直角三角形的两条直角边长分别为4和3，求面积。

解：利用面积公式S=1/2*4*3，可得面积为6。

以上是直角三角形应用题的一些常见类型，希望能对大家的学习有所帮助。

初中数学面试真题-《解直角三角形的应用(2)》教案、教学设计

《解直角三角形的应用（2）》教案、教学设计
一、教学目标
【知识与技能】
掌握应用解直角三角形解决实际问题的思路及步骤。

【过程与方法】
通过应用解直角三角形解决实际问题的过程，提升推理能力及运算能力。

【情感态度与价值观】
感受数学知识与实际生活的联系，激发学习数学的兴趣。

二、教学重难点
【重点】应用解直角三角形解决实际问题的思路及步骤。

【难点】运用同一方法多角度解决问题。

三、教学过程
(一)课堂导入
承接上节课《解直角三角形的应用(1)》，导入课题。

(二)回顾旧知
回顾解直角三角形的一般步骤：先找直角三角形，再解直角三角形。

还可复习锐角三角函数定义。

(四)小结作业
小结：教师提问，学生汇报本节课收获。

作业：完成教材上相应习题;了解解直角三角形在生活中的更多应用。

四、板书设计。

沪科版九年级数学上册课件：第23章解直角三角形 23.2专题五解直角三角形的运用

解：作 PE⊥OC 于点 E，PF⊥OB 于点 F，tan∠PAB＝12，即APFF＝12，设 PF 为 x，则 AF＝2x，OE＝x，∴CE＝100 3－x，PE＝OF＝100＋
2x，在 Rt△PEC 中，由∠CPE＝45°，∴CE＝EP，∴102x，解得 x＝
23．2 解直角三角形及其运用
专题五解直角三角形的运用
类型之一：构造直角三角形解决实际问题 1．如图，在一次测量活动中，小华站在离旗杆底部(B 处)6 米的 D 处，仰望旗杆顶端 A，测得仰角为 60°，眼睛离地面的距离 ED 为 1.5 米，试帮助小华求出旗杆 AB 的高度．(结果精确到 0.1 米， 3≈1.732)
4．(2014·仙桃)如图，在坡角为30°的山坡上有一铁塔AB，其正前方矗立着一大型广告牌，当阳光与水平线成45°角时，测得铁塔AB落在斜坡上的影子BD的长为6米，落在广告牌上的影子CD的长为4米，求铁塔AB 的高．(AB，CD均与水平面垂直，结果保留根号)
解：过点 C 作 CE⊥AB 于点 E，过点 D 作 DF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F，在 Rt△DBF 中，∠BDF＝30°，BF＝DB·sin30°＝12DB＝3，DDBF ＝cos30°＝ 23，∴DF＝6× 23＝3 3，∵CE＝DF，∴CE＝DF＝3 3，在 Rt△ACE 中，由题意可知∠ACE＝45°，ACEE＝tan45°＝1，∴AE＝ CE＝3 3，∴AB＝AF－BF＝AE＋EF－BF＝3 3＋4－3＝(3 3＋1)米，所以铁塔 AB 的高为(3 3＋1)米
• 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。2022年4月上午11时26分22.4.1111:26April 11, 2022 • 正确的略读可使人用很少的时间接触大量的文献，并挑选出有意义的部分。2022年4月11日星期一11时26分10秒11:26:1011 April 2022 • 书籍是屹立在时间的汪洋大海中的灯塔。

《解直角三角形》作业设计方案

《解直角三角形》作业设计方案一、作业设计目标解直角三角形是初中数学中的重要内容，通过本次作业设计，旨在达到以下几个目标：1、巩固学生对直角三角形中边与角的关系的理解，熟练掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义和应用。

2、提高学生运用解直角三角形的知识解决实际问题的能力，培养学生的数学建模思想和逻辑推理能力。

3、增强学生的空间想象力和图形感知能力，让学生能够将抽象的数学问题转化为具体的图形问题。

4、激发学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识和探索精神，让学生在解决问题的过程中体验到成功的喜悦。

二、作业设计原则1、层次性原则根据学生的学习能力和知识掌握程度，将作业分为基础题、提高题和拓展题三个层次。

基础题主要考查学生对基本概念和公式的理解和掌握；提高题注重考查学生对知识的综合运用能力；拓展题则侧重于培养学生的创新思维和解决复杂问题的能力，满足不同层次学生的需求。

2、趣味性原则作业内容要具有一定的趣味性，能够吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣。

例如，可以设计一些与生活实际相关的问题，或者以游戏、竞赛的形式呈现作业。

3、开放性原则作业设计要具有开放性，鼓励学生从不同的角度思考问题，培养学生的创新思维和发散性思维。

例如，给出一个问题情境，让学生自己提出问题并解决。

4、实践性原则注重作业的实践性，让学生在实践中运用所学知识，提高学生的动手能力和解决实际问题的能力。

例如，让学生通过测量、计算等方式解决实际生活中的几何问题。

三、作业内容（一）基础题1、在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，a ＝ 3，c ＝ 5，求∠A 的正弦值、余弦值和正切值。

2、已知直角三角形的一个锐角为 30°，斜边为 6，求这个直角三角形的两条直角边的长度。

3、在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA ＝ 1/2，BC ＝ 4，求 AB 的长度。

（二）提高题1、如图，在△ABC 中，∠C ＝ 90°，D 是 AC 边上一点，∠ABD＝ 45°，若 AC ＝ 4，CD ＝ 1，求 AB 的长度。

解直角三角形应用题

解直角三角形应用题直角三角形是日常生活中常见的一种三角形，因为其特定的角度关系，使得对其进行一系列数学运算以及技术应用都显得方便和便捷。

在学习和应用直角三角形的过程中，解决一些应用题也是非常有必要的。

本文将详细介绍一些解直角三角形应用题的重要方法与技巧。

一、三边比例与角度多少在某些情况下，通过已知直角三角形的三边比例，可以推算出其内部的角度关系。

如下所示，已知直角三角形的三边比例，求其内部所有角度的大小。

根据直角三角形的定义，可以知道斜边上对应的角度是直角，那么只需要求出其余两个角度就可以了。

设三边长度分别为a，b，c，设两个内角为A，B，那么根据三角函数的定义可以得到下列方程组：sin A = a / ccos A = b / ctan A = a / b通过这些公式，可以得到角A和角B的大小。

当然，如果只有两个角度是已知的，也可以借助三角函数式子求得第三个角度。

二、三角形上一点对角度的影响已知直角三角形ABC中，C为直角，AB=c，已知点D在斜边AC上，且满足AD=BC，求角度B和角度C的大小。

这就是典型的直角三角形应用题。

首先，因为AD和BC长度相等，那么可知三角形ACD和三角形BCD的面积相等，根据三角形面积公式得到：AD×CD/2 = BC×CD/2AD = BC×CD/AC将已知数据代入，化简得到：CD=2AC/(1+√5)接着，根据对应角的两点组合定理可得到如下关系式：tan B = BD/AB = AD/ABsin C = BD/BC = AD/AC代入已知的数据，得到：tan B = (2AC / (1+√5)) / csin C = (2AC / (1+√5)) / √(AC^2 + c^2)通过这些方程，可以计算出角B和角C的大小。

三、海伦公式海伦公式（Heron's formula）是解任意形状三角形面积的重要公式之一。

对于任意形状的三角形，海伦公式的表述如下所示：S = √(p(p-a)(p-b)(p-c))其中，S表示三角形的面积，a，b，c表示三角形的三边长度，p则表示三角形半周长，即：p = (a+b+c)/2在求解直角三角形的面积时，可以运用海伦公式。

用解直角三角形解决实际问题(中考复习)

若小岛P的周围8海里内有暗礁，渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？
P 北 600 北
300 B
L
A
1. （2012钦州）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为 30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高（结果精确到0.1m）
1.本题涉及到解直角三角形和圆的有关知识； 2.解决的方法是：先将实际问题转化成数学问题，画出符合题意的图形，然后构造直角三角形，再运用有关知识建立关系是求解；
解：(1) 过点B作BA⊥PQ于点A, 依题意得∠BPA=750-450=300 在Rt△BPA中，PB＝320米，∠BPA＝30° ∴ AB＝320•sin30°＝160 < 200， ∴本次台风会影响B市． (2)以B为圆心，200米为半径作圆B交PQ于点E.F，依题意得AE=2002－1602=120米， ∴EF=＝2AE＝240米 ∴台风影响B市的时间t＝240÷30＝8(小时)．
A
A
45°
C D B D C
60° 80米 E
在实际测量高度、宽度、距离等问题中，常结合视角知识构造直角三角形，利用三角函数或相似三角形来解决问题．常见的构造的基本图形有如下几种：
①不同地点看同一点
②同一ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ点看不同点
如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为30千米/时，受影响区域的半径为200千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点320千米． (1)说明本次台风是否会影响B市； (2)若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
中考复习 ---用解直角三角形解决实际问题
解直角三角形常用的一些关系：

解直角三角形的应用优课教案

A
D C
BE
2、探究新知：
（1）认识仰角与俯角：想要解决刚才的
问题，我们先来了解仰角、俯角的概念，利用
多媒体演示仰角、俯角。
（2）引导学生小组探究解决导入中提出
的问题。为了测量东方明珠塔的高度，同学们
在距离东方明珠塔 200 米处的地面上，用高
1.20 米的测角仪测得东方明珠塔顶的仰角为
60°48 ′。根据测量的结果，小亮画了一张
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第三课时
教学目标教学重点
1．明确方位角、坡角、坡度的概念，并能将之灵活应用于实际生活。 2．能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。 3．会解决底部不能到达的物件高度的测量问题。
能熟练运用解直角三角形的有关知识来解决实际应用问题。
教学难点
底部不能到达的物件高度的测量问题。
纳小结
___________________________我将_______ 帮助
___________________________________ ________________解决我的困惑。
2．解直角三角形的应用的常见类型有
_____________________________________
找生板书解答过程
三、练
1．一名滑雪运动员从坡度为 1：5 的山坡
习自测
上滑下，如果这名运动员滑行的距离为 150 米，
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那么他下降的高度是多少（精确到 0.1 米）？
i=1:2.5
Aα
B C
5.6 米 E
10 米
β
D
2．如上图，拦水坝的横断面为梯形 ABCD，根据图中数据，求：
（1）角α 和β 的大小（精确到1 ）（2）坝底宽 AD 和斜坡 AB 的长（精确到 0.1 米） 3．入夏以来，松花江哈尔滨段水位不断下降，达到历史最低水位，一条船在松花江某水段自西向东沿直线航行，在 A 处测得航标 C 在北偏东 60°方向上，前进 100 米到达 B 处，又测得航标 C 在北偏东 45°方向上，如图 9，在以航标 C 为圆心，120 米长为半径的圆形区域内有浅滩，如果这条船继续前进，是否有被浅滩阻碍的危险？

剑桥少儿英语二级40讲：解直角三角形在实际中的一般应用 (1)

2020-2021学年解直角三角形在实际中的一般应用【知识与技能】本节主要探索的是运用解直角三角形的知识去解决某些简单的基本问题.【过程与方法】1.用解三角形的有关知识去解决简单的基本问题的过程.2.选择合适的边角关系式，使运算简便.努力培养学生数形结合，把基本问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决问题的能力.【情感态度】通过解决问题，激发学生学数学的兴趣，使全体学生积极参与，并体验成功的喜悦.【教学重点】引导学生根据题意找出正确的直角三角形，并找到恰当的求解关系式，把基本问题转化为解直角三角形的问题来解决.【教学难点】使学生学会将有关简单的问题中的数量关系，归结为直角三角形中元素之间的关系.一、知识回顾1.解直角三角形的意义：在直角三角形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做直角三角形2.直角三角形中诸元素之间的关系：（1）三边之间的关系：a 2+62=c 2 (勾股定理）（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°；（3）边角之间的关系：ba A cb Ac a A ===tan cos sin ，，. 把∠A 换成∠B 同样适用.二、思考探究，获取新知我们已经掌握了运用直角三角形的边角关系解直角三角形，那么请思考：对于简单的基本问题，我们能否用解直角三角形的方法去解决呢？如图，河宽AB(假设河的两岸平行），在C点测得∠ACB = 30°，D点测得∠ADB=60°，又CD=60m，则河宽AB为多少米？（结果保留根号）【分析】先根据三角形外角的性质求出∠CAD的度数，判断出△ACD的形状，再由锐角三角函数的定义即可求出AB的值.【教学说明】本题考查的是解直角三角形的应用，涉及到三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值.三、典例精析，掌握新知例1 如图，为了测量河两岸A、两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC =m，∠ACB = α那么AB等于（）A. m sinαB. n cosαC. m tanαD. m /tanα【分析】本题易因记错∠α的正切或运算关系掌握不好而选错.答案 C例2 如图，小明在公园里放风筝，拿风筝线的手B 离地面高度AB 为1.5米，风筝飞到C 处时的线长BC 为30米，这时测得∠CBD=60°，求此时风筝离地面的高度.（结果精确到0.1米，73.13 )【分析】在Rt △BCD 中，由BC =30米，∠CBD=60°，利用正弦可求得CD ，又DE=AB ，从而风筝离地面的高度CE=CD+DE.【教学说明】解答本题的关键是利用解直角三角形来求CD 的长，利用矩形的性质求DE 的长.四、运用新知、深化理解1.课外活动小组测量学校旗杆的高度，如图，当太阳光线与地面成30°角时，测得旗杆AB 在地面上影长BC 长为24米，则旗杆AB 的高约是多少？。

4.4解直角三角形的应用课件九年级数学上册

感悟新知
水平方向飞行 200m 到达点 Q，测得奇楼底端 B 的俯角为 45° ，求奇楼 AB 的高度．(结果精确到 1m，参考数据： sin 1 5 ° ≈ 0 . 26，cos 15 ° ≈ 0 . 97， tan15° ≈ 0.27) 解：如图，延长BA交PQ的延长线于点C，则∠ACQ＝90°. 由题意得，BC＝225 m，PQ＝200 m，
课堂新授
2. 解决实Βιβλιοθήκη 问题时，常见的基本图形及相应的关系式如下表所示：
图形
关系式
图形
关系式
AC＝BC·tanα， AG＝AC＋BE
BC＝DC－BD＝ AD·(tanα －tanβ )
课堂新授
续表
图形
关系式
AB＝DE＝ AE·tanβ， CD＝CE＋DE ＝AE·(tanα＋
tanβ)
图形
关系式
感悟新知
(1) 求登山缆车上升的高度 DE； (2)若步行速度为 30m/min，登山缆车的速度为60m/min，
求从山底 A 处到达山顶 D 处大约需要多少分钟 .(结果精确到 0.1min，参考数据： sin53° ≈ 0.80， cos53° ≈ 0.60，tan53° ≈ 1.33)
感悟新知
课堂新授
例2
课堂新授
解题秘方：在建立的非直角三角形模型中，用 “化斜为直法”解含公共直角边的直角三角形.
课堂新授
课堂新授
计算结果必须根据题目要求进行保留.
课堂新授
方法点拨解直角三角形的实际应用问题的求解方法： 1. 根据题目中的已知条件，将实际问题抽象为解直角三角
形的数学问题，画出平面几何图形，弄清已知条件中各量之间的关系； 2. 若条件中有直角三角形，则直接选择合适的三角函数关系求解即可；若条件中没有直角三角形，一般需添加辅助线构造直角三角形，再选用合适的三角函数关系求解.

利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题

利用相似三角形和解直角三角形解决影子问题备课人：审阅：初三数学组班级：姓名：________教师寄语：成功属于每天都努力学习的人！【学习目标】利用相似三角形、直角三角形的知识解决生活实际问题。

【重难点】将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可通过作辅助线构造直角三角形，再利用相似三角形和解直角三角形的知识使问题解决。

类型1、影子照在墙上数学兴趣小组想测量一棵树的高度，在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米．同时另一名同学测量一棵树的高度时，发现树的不全落在地面，有一部分落在教学楼的墙壁（如图），其影长为2米，落在地面的影长为11.2米，则树高为多少米？导练：小青同学想利用影长测量学校旗杆AB的高度．某一时刻他测得长1米的标杆的影长为1.4米，与此同时他发现旗杆AB的一部分BD落在地面，另一部分CD落在楼房的墙壁，分别测得其长度为11.2米和2米，如图所示．请你帮他求出旗杆AB的高度．类型2、影子照在台阶上数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的是0.9米，但当他们马测量树高时，发现树的不落在地面，有一部分落在教学楼的台阶，且的末端刚好落在最后一级台阶的端C处．同学们认为继续量也可以求出树高，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米（每级台阶的宽度相同）．请你和他们一起算一下，树高为多少．（假设两次测量时太阳光线是平行的）导练：某校初三年级数学兴趣小组的同学准备在课余时间测量校园内一棵树的高度．一天，在阳光下，一名同学测得一根长为l米的竹竿的影长为0.6米，同一时刻另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在实验楼的第一级台阶上，此时测得落在地面上的影长为4.6米，落在台阶上的影长为0.2米，若一级台阶高为0.3米（如图），求树的高度？类型3、影子照在斜坡上1、如图，小鹏准备测量学校旗杆的高度．他发现当正对着太阳时，旗杆AB的恰好落在水平地面BC和坡面CD，测得旗杆在水平地面的影长BC=20米，在坡面的影长CD=8米，太阳光线AD与水平地面成30°角，且太阳光线AD与坡面CD互相垂直．请你帮小鹏求出旗杆AB的高度（精确到1米）2、如图，一的倾斜角为30°，坡有一棵树AB，当太阳光线与水平线成70°沿下时，在的树影BC长为4米，求树高AB．（精确到0.1米）（参考数据：sin70°≈0.9397，cos70°≈0.3420，tan70°≈2.7475）【思路归纳】。

解直角三角形的应用问题

解直角三角形的应用问题直角三角形是一种特殊的三角形，其中包含一个内角为90度的角。

解决直角三角形的应用问题可以帮助我们在实际生活中应用三角函数和勾股定理等相关知识。

本文将通过几个具体的例子来介绍解决直角三角形应用问题的方法。

1、测量高楼的高度假设我们站在一个距离高楼较远的地方，无法直接测量其高度。

但我们可以利用直角三角形的特性来解决这个问题。

首先，我们选择一个距离高楼较近的地点，通过测量自己与高楼之间的距离得到一个已知边长。

然后，我们选择一个合适的角度，利用三角函数中的正切函数，通过测量自己与地面的夹角，就可以求得高楼的高度。

2、测量不可达目标的距离有时候，我们无法直接到达一个目标位置去测量其距离，比如一个悬崖底部的湖泊。

但是我们可以选择一个相对安全的位置并测量我们到目标点之间的水平距离。

然后，我们选择一个合适的角度，通过三角函数中的正弦函数或余弦函数，测量自己与目标点的夹角，就可以计算出目标点的距离。

3、计算物体的高度在实际生活中，有时候我们需要计算无法直接测量的物体的高度。

比如，我们可以利用直角三角形的原理来计算一座建筑物或树木的高度。

我们首先测量自己与物体之间的距离，然后选择一个合适的角度，利用正切函数来计算物体的高度。

4、测量斜面的高度直角三角形的应用还可以帮助我们测量斜面的高度。

假设我们需要测量一条无法直接到达的斜面的高度。

我们可以选择一个安全的位置，测量自己与斜面的水平距离。

然后选择一个合适的角度，通过正弦函数或余弦函数来计算出斜面的高度。

总结：通过解决直角三角形的应用问题，我们可以更好地理解和应用三角函数和勾股定理等相关知识。

在实际生活中，直角三角形的原理可以帮助我们解决很多测量距离、计算高度等问题。

希望本文提供的例子和方法能够帮助读者更好地理解和应用直角三角形的知识。