关于赋范线性空间中的三类泛函方程

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无穷维赋范空间的对偶空间

无穷维赋范空间的对偶空间
在数学中，对偶空间（dual space）是线性代数和泛函分析的一个重要概念。

对于一个向量空间V，其对偶空间V*是V的所有线性函数的集合，其元素称为V的线性泛函。

对于无穷维赋范空间，其定义与有限维赋范空间类似，但需要考虑更多的细节。

在无穷维赋范空间中，对偶空间是其所有连续线性泛函的集合，这些线性泛函可以定义在原始空间上并满足一定的范数性质。

具体来说，对于一个无穷维赋范空间X，其元素可以表示为序列x₁, x₂, x₃,...的极限点。

对偶空间X*的元素是定义在X上的连续线性泛函f，这些泛函满足：
|f(x)| ≤C||x||
其中C是一个常数，||x||表示x的范数。

对偶空间X*也是一个赋范空间，其范数定义为：
||f|| = sup{ |f(x)| : ||x|| ≤1 }
对偶空间在数学和物理中有广泛的应用，例如在量子力学、偏微分方程等领域中经常出现。

泛函3-6,3-7,3-8,3-9,4-4

GrT =
{( x, Tx ) : x ∈ X }
T 称为映射（算子）的图象。称为映射（算子）的图象。
是赋范空间， 4.9 定义设 X , Y 是赋范空间，D ⊂ X ，
T : D → Y 称为闭算子，如果 T 的图象称为闭算子，
GrT = {( x, Tx ) : x ∈ D}
是 X ×Y 中的闭集。中的闭集。
3.3 定理如果 A : X → Y 是紧线性算子，是紧线性算子，
B ∈ B (Y , Z ), C ∈ B ( Z , X ), 则 BA, AC
均是紧线性算子。均是紧线性算子。系如果X为无穷维赋范空间，紧线性算子如果为无穷维赋范空间，为无穷维赋范空间不可能有定义在Y上的有界 T : X → Y 不可能有定义在上的有界逆算子。逆算子。
T : X → Y 是线性算子，如果将X中每一是线性算子，如果T将中每一
有界集映成Y中的列紧集，则称为紧线性有界集映成中的列紧集，则称T为紧线性中的列紧集算子或全连续算子。算子或全连续算子。
在有限维赋范空间上，在有限维赋范空间上，任何线性算子都是有界的，把有界集映成有界集，都是有界的，把有界集映成有界集，而在有限维赋范空间中，有限维赋范空间中，任何有界集都是列紧集，因此定义在其上的线性算子都是紧线性算子。性算子。在无穷维赋范空间X中，由于列紧集在无穷维赋范空间中必是有界集，所以紧线性算子是有界的，必是有界集，所以紧线性算子是有界的，但有界线性算子不一定是紧算子。但有界线性算子不一定是紧算子。
f ∈ X * ，使得 f ( x j ) = α j , 的数，的数，则存在
1 ≤ j ≤ n.
8.5 系设X是赋范空间且 x0 ∈ X ，则是赋范空间且

泛函分析第四讲

T是X的线性子空间DT 到 Y中的线性算子. 如果存在M 0，使得对于任意的 x DT 都有
Tx M x ,
则称 T是 DT Y 中的有界线性算子.
当 DT X时，称 T 是 X Y 中的有界线性算子.
第二章泛函分析
第二节赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
泛函分析
2.2 赋范线性空间及Banach空间
第二章泛函分析
一、赋范线性空间
1. 赋范线性空间的定义
定义1 设 X 是复（或实）的线性空间，
如果对于 X 中的每个 x ，对应于一个实数 x ，
且满足 (1) x 0，x 0 x 0；
(2) x x ， R 或 C；
（非负性）（齐次性）
第二章泛函分析
第二节赋范线性空间及Banach空间
三、线性算子空间和共轭空间
定理5 ƁX Y 按通常的线性运算及算子范数
构成一个赋范线性空间. 证Ax sup Ax
x 1
x 1
x 1
A
（3）A B sup A Bx sup Ax Bx
x D, x 0
第二章泛函分析
第二节赋范线性空间及Banach空间
二、有界线性算子和连续线性泛函
定理3 设 X ,Y 是两个赋范线性空间， T : X Y 的线性算子，则T连续的充要条件是 T有界.
证明必要性若T连续但无界
xn X，xn 0n 1,2, 使 Txn n xn
令
yn
定理2 设 X ,Y 是两个赋范线性空间，T是定义在 X 的子空间D上而值域含在 Y 中的线性算子，则 T 是有界的充要条件是 T将D中任一有界集映成 Y 中有界集.
证明必要性

第十章 Banach空间中的基本定理.

~f x
f
px ,x
X
,
记这些延拓的全体为Γ .那么我们有
Γ

g|g是Dg

上的线性泛函,

g|Z f
gx
px ,x
Dg

Z
.
3 在Γ上赋序:
g1 g2 Dg1 Dg2 ,
则是一个半序集. 由佐恩引理知, Γ有最大元~f . ~f即为所求.
泛函f ,均有f x0 0,则必有x0 0.
Class Over!
若f是X的子空间Z上的实线性泛函,且被px控制,即满足 f x px,x Z,则存在X上的实|Z f
~f x
px , x
X
.
定理证明的基本思路
1 扩大f的定义域; 在扩大的定义域上作 f的线性延拓; 恰当选择被控制的那一个延拓.
~ f|Z

f ,并且
~f
X

f
?
Z
Hanhn-Banach泛函延拓定理
次线性泛函
设p : X R满足如下条件
1 px px, x X ,是数; 2 px y px py.
则称p是X上的一个次线性泛函.
定理1 设X是实线性空间,px是X上的次线性泛函.
且
f y f y f y y py y
py x1 y-x1 py x1 py-x1 .
由此可得 py-x1 f y py x1 f y.
这表明sup
yZ
第十章 Banach空间中的基本定理
第一节泛函延拓定理
1 问题
设X是赋范线性空间,Z是X的子空间,f是Z上的连续线性

线性赋范空间泛函有界性

目录1引言 (1)2线性赋范空间 (1)2.1预备知识 (2)2.2线性赋范空间的一些性质 (3)3线性有界泛函 (4)3.1线性有界泛函有关概念 (4)3.2线性有界泛函与线性连续泛函 (6)3.3共轭空间 (8)4线性有界算子 (11)4.1线性有界算子有关概念 (11)4.2线性有界算子与线性连续算子 (13)4.3线性有界算子空间 (14)参考文献 (15)致谢 (16)线性赋范空间泛函有界性研究数学系本1104班薛菊峰指导教师：何瑞强摘要：本文主要研究线性赋范空间泛函有界性。

从三个方面进行探讨：首先，阐述线性赋范空间泛函有界性、泛函连续性以及相关的概念；然后，研究线性赋范空间泛函有界性与连续性的关系，根据两者的等价性给出相关泛函理论的推导及应用；最后，将线性有界泛函理论推广到线性有界算子空间。

关键词：线性赋范空间，线性有界泛函，线性连续泛函，线性有界算子。

The Study of the Functional Boundedness in Linear Normed SpaceXue JuFengClass 1104, Mathematics DepartmentTutor: He RuiQiangAbstract: This paper mainly studies the functional boundedness in linear normed space. Carries on the discussion from three aspects: First of all, this paper expounds the linear normed space functional boundedness, functional continuity and related concepts; Then, researching the relationship of the linear normed space functional boundedness and continuity, giving derivation and application of the relevant functional theory according to the equivalence of them; Finally, the bounded linear functional theory are generalized to space of bounded linear operator .Keywords: linear normed space, bounded linear functional, linear continuous functionals , bounded linear operator.1引言有学者在这方面已经做了一定的研究如：李宗铎在《线性赋范空间中几个概念的探讨》证明了当给线性赋范空间装备以相应的拓扑，与线性拓扑空间体系下所定义的线性赋范空间，有界集、线性算子的有界性等概念是等效的，同时严格证明了有界线性算子范数两种规定的一致性；王艳博、张云峰在《关于泛函分析中定理的推广》对于赋范空间X 和Y ，从X 到Y 的全体线性有界算子()Y X B ,关于算子范数亦成为赋范空间，且知当Y 是完备空间时，()Y X B ,也是完备的。

泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间

泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间泛函分析是数学中的一个重要分支，研究函数空间上的函数和运算的性质。

在泛函分析中，度量空间和赋范线性空间是两个基本的概念。

本文将介绍这两个概念以及它们的性质。

度量空间是一个集合X，其中定义了一个度量函数d：X×X→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)≥0，且当且仅当x=y时，d(x,y)=0；2.对称性：对于任意的x，y∈X，有d(x,y)=d(y,x)；3.三角不等式：对于任意的x，y，z∈X，有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y)。

度量函数d可以看作是度量空间X中点之间的距离，由其性质可以推导出许多重要结论。

例如，由三角不等式的性质可以得出X中点列的收敛性质，即对于度量空间X中的点列{x_n}，如果存在x∈X，使得对于任意的ε>0，存在正整数N，当n≥N时，有d(x_n,x)<ε，那么称{x_n}收敛于x。

赋范线性空间是一个向量空间V，其中定义了一个范数函数∥·∥：V→R，满足以下条件：1.非负性：对于任意的x∈V，有∥x∥≥0，且当且仅当x=0时，∥x∥=0；2. 齐次性：对于任意的x∈V和实数a，有∥ax∥=，a，∥x∥；3.三角不等式：对于任意的x，y∈V，有∥x+y∥≤∥x∥+∥y∥。

范数函数∥·∥可以看作是赋范线性空间V中向量的长度或大小，具有度量空间的部分性质，如非负性和齐次性。

范数函数还满足一条重要的性质，即∥x+y∥≥，∥x∥-∥y∥，这被称为三角不等式强化定理。

度量空间和赋范线性空间都具有一些不同的性质和概念。

例如，度量空间中存在序列的收敛性质，而赋范线性空间中存在序列的收敛性质以及序列的Cauchy性质。

同时，度量空间和赋范线性空间都可以构建拓扑结构，使其成为一个拓扑空间。

在拓扑空间中，点列的收敛性质和序列的Cauchy性质是等价的。

此外，度量空间和赋范线性空间都是完备的，即满足序列的Cauchy 性质的序列都收敛于空间中的一些点。

泛函分析知识总结

泛函分析知识总结与举例、应用学习泛函分析主要学习了五大主要内容：一、度量空间和赋范线性空间；二、有界线性算子和连续线性泛函；三、内积空间和希尔伯特空间；四、巴拿赫空间中的基本定理；五、线性算子的谱。

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

一、度量空间和赋范线性空间（一）度量空间度量空间在泛函分析中是最基本的概念，它是n 维欧氏空间n R （有限维空间）的推广，所以学好它有助于后面知识的学习和理解。

1．度量定义：设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素x ，y,都有唯一确定的实数d(x,y)与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：1°d(x,y)≥0 ，d(x,y)=0 ⇔ x=y （非负性）2°d(x,y)= d(y,x) （对称性）3°对∀z ，都有d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) （三点不等式）则称d(x,y)是x 、y 之间的度量或距离（matric 或distance ），称为(X,d)度量空间或距离空间(metric space )。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

这里“度量”这个名称已由现实生活中的意义引申到一般情况，它用来描述X 中两个事物接近的程度，而条件1°、2°、3°被认为是作为一个度量所必须满足的最本质的性质。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

泛函分析线性赋范空间论文

泛函分析线性赋范空间论文摘要：本论文主要围绕泛函分析线性赋范空间的基本理论进行研究，介绍了线性赋范空间的定义、性质、范畴和代数结构等方面。

对于赋范空间中的基本概念如范数、内积、对偶空间、共轭性等，进行详细阐述，并以此为基础，引入了Banach空间、Hilbert空间、算子空间等重要概念和定理。

论文最后还介绍了一些经典的应用和发展趋势。

通过本论文的研究，可以更好地理解和应用泛函分析线性赋范空间的基本理论。

关键词：泛函分析；线性赋范空间；范数；内积；对偶空间；共轭性；Banach空间；Hilbert空间；算子空间一、引言泛函分析是数学中的一个重要分支，它主要研究无限维向量空间及其上的函数或算子。

线性赋范空间是泛函分析中一个重要的概念，它是带有范数（norm）的线性空间，具有加法、数乘和范数这三个运算，是泛函分析的基础。

本论文旨在对于泛函分析线性赋范空间的基本理论进行系统的阐述和探讨。

二、线性赋范空间的定义与性质线性赋范空间是一个带有范数的线性空间，它的定义包括线性空间的定义和范数的定义。

线性赋范空间具有很多性质，如唯一的零元素、范数的非负性、齐次性、三角不等式等，这些性质为后续的研究提供了基础。

三、范数、内积、对偶空间和共轭性范数、内积、对偶空间和共轭性是赋范空间中的基本概念，范数是一种测量距离的方式，内积是一种度量夹角的方法，对偶空间是指所有从X到标量域的线性连续映射组成的空间，而共轭性则是指内积或对偶空间的一些特殊性质。

四、Banach空间、Hilbert空间、算子空间等Banach空间是指完备的赋范空间，Hilbert空间是一种特殊的Banach空间，具有良好的几何性质和完备性质，是应用广泛的空间之一。

在算子理论中，算子空间则是指线性映射所组成的空间，它也具有重要的应用和意义。

五、经典应用和发展趋势泛函分析线性赋范空间在数学和物理等领域都有着广泛的应用，如偏微分方程、量子力学、信号处理、数据挖掘等。

泛函分析知识总结

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

泛函分析知识点

泛函分析知识点泛函分析知识点知识体系概述(一)、度量空间与赋范线性空间第一节度量空间的进一步例子1.距离空间的定义:设X 就是非空集合,若存在一个映射d:X ×X →R,使得?x,y,z ∈X,下列距离公理成立:（1）非负性:d(x,y)≥0,d(x,y)=0?x=y;（2）对称性:d(x,y)=d(y,x);（3）三角不等式:d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y);则称d(x,y)为x 与y 的距离,X 为以d 为距离的距离空间,记作(X,d)2、几类空间例1 离散的度量空间例2 序列空间S例3 有界函数空间B(A)例4 可测函数空M(X)例5 C[a,b]空间即连续函数空间例6 l 2第二节度量空间中的极限,稠密集,可分空间1. 开球定义设(X,d)为度量空间,d 就是距离,定义U(x 0, ε)＝{x ∈X | d(x, x 0) <ε}为x 0的以ε为半径的开球,亦称为x 0的ε一领域、2. 极限定义若{x n }?X, ?x ∈X, s 、t 、()lim ,0n n d x x →∞= 则称x 就是点列{x n }的极限、 3. 有界集定义若()(),sup ,x y Ad A d x y ?∈=<∞,则称A 有界4. 稠密集定义设X 就是度量空间,E 与M 就是X 中两个子集,令M 表示M 的闭包,如果E M ?,那么称集M 在集E 中稠密,当E=X 时称M 为X 的一个稠密集。

5. 可分空间定义如果X 有一个可数的稠密子集,则称X 就是可分空间。

第三节连续映射1、定义设X=(X,d),Y=(Y , ~d )就是两个度量空间,T 就是X 到Y 中映射,x0X ∈,如果对于任意给定的正数ε,存在正数0δ>,使对X 中一切满足()0,d x x δ< 的x,有()~0,d Tx Tx ε<,则称T 在0x 连续、2、定理1 设T 就是度量空间(X,d)到度量空间~Y,d ?? 中的映射,那么T 在0x X ∈连续的充要条件为当()0n x x n →→∞时,必有()0n Tx Tx n →→∞3、定理2 度量空间X 到Y 中的映射T 就是X 上连续映射的充要条件为Y 中任意开集M 的原像1T M -就是X 中的开集、第四节柯西(cauchy)点列与完备度量空间1、定义设X=(X,d)就是度量空间,{}n x 就是X 中点列,如果对任意给定的正数0ε>,存在正整数()N N ε=,使当n,m>N 时,必有(),n m d x x ε<,则称{}n x 就是X 中的柯西点列或基本点列。

赋范线性空间优质课件

但当距离空间满足下列三个条件时 ① 是线性空间；
② (x, y) (x y,0)；
③ ( x,0) (x,0) 可用距离定义范数 x (x,0)，验证知三条范数公理成立，则距离空间 (E, ) 也是(E, )。
3）常见赋范线性空间
例 1 在线性空间 Rn 中，
x (x1, x2, , xn ), y ( y1, y2, , yn) Rn
第3章赋范线性空间
§3.1 定义和举例 §3.2 按范数收敛 §3.3 有限维赋范线性空间
在第 2 章，我们通过距离的概念引入了点列的极限。点列的极限是微积分中数列极限在抽象空间中的推广，然而它是只有距离结构、没有代数结构（代数运算）的空间，在应用时受到许多限制。本章和下章介绍的赋范线性空间及内积空间就是距离结构和代数结构相结合的产物，它比距离空间有明显的优势。
（5） ( x) ()x
（6）1 x x, 0 x 0
（7） ( )x x x
（8） (x y) x y
则称 E 是（数域 K 上的）线性空间（或向量空间）。满足八条运算规律的两种运算称为线性运算。
例1 Rn —— n 维向量全体，在通常意义下的“加法” 和“数乘”运算下是线性空间。
n
xn
x
(强)。
2）性质设 E 是赋范线性空间,{xn},{yn} E, {n} K（数域）
（1）有界性：若 xn x (强)，则数列 xn 有界
（2）范数的连续性：即Tx x , T 是连续泛函 x 是 x 的连续泛函 xn x时, xn x
（3）线性运算按范数收敛是连续的
即若 xn x, yn y , n xn yn x y, n xn x
2）赋范线性空间（1）定义设 E 是实数(或复数)域 K 上的线性空间。若xE 按规一则定实数 x 0，且满足下列三条(范数公理)

泛函分析知识总结

本文主要对前面两大内容进行总结、举例、应用。

（这个定义是证明度量空间常用的方法）注意:⑴ 定义在X 中任意两个元素x ，y 确定的实数d(x,y)，只要满足1°、2°、3°都称为度量。

⑵ 度量空间中由集合X 和度量函数d 所组成，在同一个集合X 上若有两个不同的度量函数1d 和2d ，则我们认为(X, 1d )和(X, 2d )是两个不同的度量空间。

⑶ 集合X 不一定是数集，也不一定是代数结构。

为直观起见，今后称度量空间(X,d)中的元素为“点” ，例如若x X ∈，则称为“X 中的点” 。

⑷ 在称呼度量空间(X,d)时可以省略度量函数d ，而称“度量空间X ” 。

泛函

必有级数 (1.2) 收敛，则空间 X 是 Banach 空间。
证明欲证此定理的前半部分，只需证明级数 (1.2) 的部分和 s = x1 + · · · + xn 收敛，因为 X 是 Banach 空间, 所以，如果可以证明 {sn} 是 Cauchy 列，即可。对任意的自然数 p, 我们有
例 9. 空间 C[a, b]
C[a, b] = {x : [a, b] → K; x 在[a, b] 上连续}
16
对任意的 x = x(t) ∈ C[a, b] 定义
x = max |x(t)|
a≤t≤b
证明 C[a, b] 是可分的 Banach 空间。
例 10. 空间 V [a, b] V [a, b] = {x : [a, b] → K; x 是[a, b] 上的有界变差函数} 对任意的 x = x(t) ∈ V [a, b] 定义
赋范空间的例子例 1. 空间 Rn
Rn = {(ξ1, ξ2, · · · , ξn); ξi ∈ R}
用坐标的线性运算给空间 Rn 定义代数结构
使之成为线性空间。定义
n
x = (ξ1, ξ2, · · · , ξn) = (
|ξk
|2)
1 2
k=1
用 Minkowski 不等式可以证三角不等式，从而可得如上定义
令 K = C orR
例 2. 空间 (c00)
(c00) = {(ξn); ξn ∈ K, 仅有有限项ξn = 0} 对任意的 x = (ξn) ∈ (c00) 定义
x = sup |ξn|
n
易证 (c00) 是赋范空间。但不是完备的赋范空间。
例 3. 空间 (c0)

泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函

泛函分析第3章--连续线性算子与连续线性泛函第3章连续线性算子与连续线性泛函本章将介绍赋范线性空间上，特别是Banach 空间上的有界线性算子与有界线性泛函的基本理论，涉及到泛函分析的三大基本定理，即共鸣定理，逆算子定理及Hahn-Banach 定理。

他们是泛函分析早期最光辉的成果，有广泛的实际背景，尤其在各种物理系统研究中应用十分广泛。

3.1 连续线性算子与有界线性算子在线性代数中，我们曾遇到过把一个n 维向量空间n E 映射到另一个m 维向量空间m E 的运算，就是借助于m 行n 列的矩阵111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎛⎫⎪ ⎪=⎪⎪⎝⎭L L M M M L 对n E 中的向量起作用来达到的。

同样，在数学分析中，我们也遇到过一个函数变成另一个函数或者一个数的运算，即微分和积分的运算等。

把上述的所有运算抽象化后，我们就得到一般赋范线性空间中的算子概念。

撇开各类算子的具体属性，我们可以将它们分成两类：一类是线性算子；一类是非线性算子。

本章介绍有界线性算子的基本知识，非线性算子的有关知识留在第5章介绍。

[定义3.1] 由赋范线性空间X 中的某子集D 到赋范线性空间Y 中的映射T 称为算子，D 称为算子T 的定义域，记为()D T ，为称像集(){},y y Tx x D T =∈为算子的值域，记作()T D 或TD 。

若算子T 满足：（1）()()(),T x y Tx Ty x y D T +=+∀∈ （2）()()(),T x TxF x D T ααα=∀∈∈称T 为线性算子。

对线性算子，我们自然要求()T D 是X 的子空间。

特别地，如果T 是由X 到实数（复数）域F 的映射时，那么称算子T 为泛函。

例 3.1 设X 是赋范线性空间，α是一给定的数，映射:T x x α→是X 上的线性算子，称为相似算子；当1α=时，称T 为单位算子或者恒等算子，记作I 。

泛函中三大定理的认识

泛函中三大定理及其应用泛函分析科学体系的建立得益于20世纪初关于巴拿赫空间的三大基本定理，即Hahn-Banach 定理，共鸣定理和开映射、逆算子及闭图像定理。

其中：一致有界定理，该定理描述一族有界算子的性质；谱定理包括一系列结果，其中最常用的结果给出了希尔伯特空间上正规算子的一个积分表达，该结果在量子力学数学描述中起核心作用；罕-巴拿赫定理（Hahn-Banach Theorem ）研究了如何保范地将某算子从某子空间延拓到整个空间。

另一个相关结果则是描述对偶空间非平凡性的；开映射定理和闭图像定理。

1、Hahn-Banach 延拓定理定理：设G 为线性赋范空间X 的线性子空间，f 是G 上的任一线性有界泛函，则存在X 上的线性有界泛函F ，满足：(1) 当x G ∈时，()()F x f x =； (2) XGF f=；其中XF表示F 作为X 上的线性泛函时的范数；Gf 表示G 上的线性泛函的范数．延拓定理被应用于Riesz 定理、Liouville 定理的证明及二次共轭空间等的研究中．2、逆算子定理在微积分课程中介绍过反函数的概念，并且知道“单调函数必存在反函数”，将此概念和结论推广到更一般的空间．定义1逆算子(广义上)：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，G X ⊂，算子T ：G Y →，T 的定义域为()D T G =；值域为()R T ．用1T -表示从()()R T D T →的逆映射(蕴含T 是单射)，则称1T -为T 的逆算子(invertiable operator)．定义2正则算子：设X 和Y 是同一数域K 上的线性赋范空间，若算子T ：()G X Y ⊂→满足(1)T 是可逆算子； (2) T 是满射，即()R T Y =； (3) 1T -是线性有界算子，则称T 为正则算子(normal operator)．注： ①若T 是线性算子，1T -是线性算子吗？②若T 是线性有界算子，1T -是线性有界算子吗？性质1 若T ：()G X Y ⊂→是线性算子，则1T -是线性算子．证明：12,y y Y ∈，,αβ∈K ，由T 线性性知：1111212(())T T y y T y T y αβαβ---+--1111212()TT y y TT y TT y αβαβ---=+--1212()y y y y αβαβ=+--0=由于T 可逆，即T 不是零算子，于是1111212()T y y T y T y αβαβ---+=+，故1T -是线性算子．□定理2逆算子定理：设T 是Banach 空间X 到Banach 空间Y 上的双射(既单又满)、线性有界算子，则1T -是线性有界算子．例 1 设线性赋范空间X 上有两个范数1⋅和2⋅，如果1(,)X ⋅和2(,)X ⋅均是Banach 空间，而且2⋅比1⋅强，那么范数1⋅和2⋅等价．(等价范数定理)证明：设I 是从由2(,)X ⋅到1(,)X ⋅上的恒等映射，由于范数2⋅比1⋅强，所以存在0M >，使得x X ∀∈有112Ix x M x=≤于是I 是线性有界算子，加之I 既是单射又满射，因此根据逆算子定理知1I -是线性有界算子，即存在0M'>，使得x X ∀∈有1212I x x M'x -=≤．故范数1⋅和2⋅等价。

数学物理学中的泛函分析

数学物理学中的泛函分析泛函分析作为数学和物理学领域中的重要分支，已经成为许多现代应用领域的核心研究方向。

它将算子理论、拓扑空间与函数分析和概率论相结合，以研究无限维空间的函数或算子的理论为主要研究内容。

在物理学中，泛函分析被用来研究量子力学、相对论等现代物理学的基础理论，而在数学学科中，泛函分析也被广泛应用于非线性分析、偏微分方程等领域中。

泛函分析的基本概念是范数空间和赋范线性空间。

在泛函分析中，我们常常需要定义一种函数的长度，这种长度被称为范数。

在赋范线性空间中，范数满足线性运算和三角不等式。

常见的赋范线性空间包括连续函数空间、Lp空间和分布空间等。

泛函分析中的一个重要工具是对偶空间。

对偶空间是指一个赋范线性空间的对偶空间是所有线性函数构成的空间。

对偶空间的概念在研究广义函数和测度论中具有重要应用。

在许多实际问题中，我们需要研究不同范数空间之间的映射关系，这时我们就需要用到对偶空间的概念。

泛函分析中的另一个核心概念是算子理论。

算子理论是指在空间的范围内定义线性变换的理论。

在泛函分析中，我们常常需要研究算子的性质和作用，包括线性算子、紧算子、自伴算子、正算子等。

在实际应用中，算子理论在微积分学、偏微分方程等领域中具有重要作用。

泛函分析的一个重要分支是概率论的应用。

在概率论中，我们需要研究的是在随机过程中的一些随机变量的性质。

这时，我们需要用到概率空间和随机过程的概念。

概率空间是指一个集合空间，其中每个元素与一个概率相关联。

在随机过程中，变量是关于时间的函数或者是在相同空间中的一组随机变量。

在这种情况下，我们可以使用概率测度的方法来研究变量的性质，如均值、方差等。

总的来说，泛函分析作为数学和物理学中的重要研究领域，具有广泛的应用价值。

在现代科学和工程领域中，泛函分析的成果被广泛应用于各种理论和实际问题的解决中。

无论是数学还是物理学的研究，泛函分析都具有重要的研究意义，它将继续为学术界和现实生活带来更多的贡献。

第二章赋范线性空间2

( A + B) x = Ax + Bx , (λ A) x = λ Ax
9
则 A + B 及 λ A ∈ B( X , Y ) 。可以验证 B ( X , Y ) 成为一个线性空间，并且按算子范数成为一个 Banach 空间。注：单位算子 I : X → X , Ix = x , 对 x ∈ X ；零算子 0 : X → Y , 0 x = θ ∈ Y , 对 x ∈ X 。零算子是 B ( X , Y ) 中的零向量。还可以定义乘积 BA : ( BA) x = B( Ax) ，x ∈ X 。对 A ∈ B( X ) 对 A ∈ B( X , Y ) 和 B ∈ B (Y , Z ) ，
*
α
1) M f 为 X 的一个闭子空间; 2) 取 x0 ∈ X 使 f ( x0 ) ≠ 0 , 则
α
0
X = M0 f + {λ x0 | λ ∈ R} ;
0
3) 若 f ( x0 ) = α , 则 M f = x0 + M f .
Mα f 称为 X 一个超平面.
凸集分离定理(Eidelhei): 设 G 0 , G1 为实的赋范空间 E 的两个非空凸集, 且 G 0 ∩ G1 = ∅ , 那么存在一个超平面 H 分离 G 0 与 G1 , 即存在
a ≤t ≤b a a ≤t ≤b a ≤t ≤b a
b
b
例2.3
设用 l 作为离散信号空间，取 h = ( hi ) ∈ l 为一个线性时不变滤波器的单位脉冲响应，
1
∞
9
y = Hx ， yn =
i =−∞
∑hx
∞
i n −i
H : l ∞ → l ∞ 为一个有界（稳定）线性算子。事实上，

关于赋范线性空间中的三类泛函方程

无穷维赋范空间的对偶空间

泛函3-6,3-7,3-8,3-9,4-4

泛函分析第四讲

第十章 Banach空间中的基本定理.

线性赋范空间泛函有界性

泛函分析第2章度量空间与赋范线性空间

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