2010-2011_a上_锦城-复习题解答

1 f ( x ) − f (0) 1 = 0 = f (0) ,且 f ′(0) = lim = lim sin 振荡不存在，选(B) x →0 x→0 x→0 x x−0 x 3 4、当 x → 0 时, sin x 是 1 − cos x 的
(A)高阶无穷小量；(B)低阶无穷小量；(C)同阶无穷小量；(D)等价无穷小量；
1.解:由复合函数求导有 ( x 3sin x )′ = ( e 3sin x ln x )′ = ( e u )′(3sin x ln x )′ = x 3sin x (3cos x ln x + 2、设 y = ln( x + 1) ，那么 dy=
3sin x ) x
2( x + x ) f ( x 0 ) − f ( x 0 − 5∆ x ) 3、设 f ′( x0 ) = 7 ，那么 lim = ∆x → 0 3 ∆x f ( x0 + ∆ x ) − f ( x0 ) 3.解:由条件 f ′( x0 ) = lim = 7 ,所以 ∆x → 0 ∆x f ( x 0 ) − f ( x 0 − 5 ∆x ) f ( x 0 − 5 ∆x ) − f ( x 0 ) f ( x 0 − 5 ∆x ) − f ( x 0 ) 5 35 lim = lim = lim = ×7 = ∆x → 0 ∆x → 0 ∆x → 0 3 3 ∆x 3 3 − 3 ∆x − 5∆ x ⋅ 5
ln(1 + x ) − x 0 ln(1 + x ) − x ( ) = lim 2 x → 0 x ln(1 + x ) 0 x→0 x3
1 −1 −1 = lim 1 + x 2 = lim = ∞ (无穷小的倒数) x→0 x → 0 3 x (1 + x ) 3x cos x − e x − x 2 （4） lim x→0 sin x 2
四、求下列函数的导数: (1) y=arcsin(sin x) 解(1) y′ =
2
2
2
2
1 1 − sin 2 x
⋅ (sin x )′ =
1 1 − sin 2 x
|
(2) y = ln tan
x − cos x ⋅ ln tan x ; 2
分析 ln tan
x →0+ x → 0+
2 ln x ∞ 2 x −1 ( ) = lim = −2 lim x = 0,当x → 0, tan x ~ x x → 0 + x −1 x → 0 + − x −2 x →0+ ∞
（3） lim(
x→0
1 1 − ) 2 x x ln(1 + x )
解:原式= lim
锦城学院大学数学(3)微积分(上)复习题 一、 选择题
(1)设 y =
x2 − 3 x ( x − 3)
，下面说法正确的是：
______
(A)点 x = −1 是无穷间断点，点 x = 0 是可去间断点；
3 是可去间断点，点 x = 0 是无穷间断点； (C)点 x = −1 是跳跃间断点，点 x = 0 是无穷间断点； (D)点 x = −1 是无穷间断点，点 x = 0 是跳跃间断点.
4、曲线 y =
2.解:由复合函数求导有微分 d ln( x + 1) =
dx
x3 + x 2 − x 上点(x,y)处的切线斜率是 2,则点(x,y)的坐标是:_________ 3 1 3
4.答,因 y′ = x 2 + 2 x − 1 = 2 , x 2 + 2 x − 3 = 0 ⇒ ( x + 3)( x − 1) = 0 ⇒ x = −3, x = 1 ,坐标(－3, 3); (1, )
sin x 3 x3 = lim 2 = lim 2 x = 0 ,选(A) 答:由等价无穷小知 lim x → 0 1 − cos x x →0 x x →0 2
5、下面说法正确的是： （A）若 f ′( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) 必定是偶函数； （B）若 f ′( x ) 是偶函数，那么 f ( x ) 必定是奇函数； （C）若 f ( x ) 是偶函数，那么 f ′( x ) 必定是偶函数； （D）若 f ( x ) 是偶函数，那么 f ′( x ) 必定是奇函数； 答: ,选(D)，注(B)错,如 f ( x ) = x 3 + 1 非奇非偶，但 f ′( x ) = 3 x 2 是偶函数. 二、 填空题 1、 设 y = x 3sin x ，那么 y ′ =
3 3x 3 x ) lim[(1 + ) 3 ]9 e9 x →∞ x x 法 2 原式＝ lim = = 15 = e −6 x x →∞ 5 e (1 + )3 x lim[(1 + 5 ) 5 ]15 x →∞ x x (1 +
lim x + 3 3x 法 3 lim( ) = lim e 3 x [ln( x + 3− ln( x + 5)] = e x→∞ x →∞ x + 5 x →∞ 3[ln( x + 3) − ln( x + 5)] 0 ( 型) 0 x −1
f ′( x ) = e x − ln(1 + x ) − 1, f ′′( x ) = e x −
1 1 > 0,( x > 0) Q e x > 1 > ,( x > 0) 1+ x 1+ x
⇒ f ′( x ) > f ′(0) = 0 ⇒ f ( x ) > f (0) = 0
1 六、(1).求函数 y = ( x 4 − 6 x 2 + 8 x + 7) 的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。 5
−
−2 0 +
17 5
(−2, −1) + +
−1 + 0
− 6 5
(−1, 1) + −
1 0 0 2
拐点
(1, +∞) + +
极小值
拐点
(2)问函数 y =
x (x≥0)在何处取得最大值？(并问[0,1]的最小值) x +1
2
解 y′ =
1 − x2 (1 − x )(1 + x ) = . 函数在(0, +∞)内的驻点为 x=1. 2 2 ( x + 1) ( x 2 + 1)2
因为当 0<x<1 时, y′>0; 当 x>1 时 y′<0, 所以函数在 x=1 处取得极大值. 又因为函数在 (0, +∞)内只有一个驻点, 所以此极大值也是函数的最大值, 即函数在 x=1 处取得最大值 f (1)=
1 . 2
注：[0,1]的最小值为 m=f(0)=0,因 0≤x≤1 时, y′>0,所以函数 y 单减。 (3)求下列函数的最大值、最小值: ① y=x4−8x2+2, −1≤x≤3 ; 解 经比较得出 函数的 最 小 值 为 y(−1)=−5, 最 大 值 为 y(4)=80. y′=4x3−16x=4x(x2−4), 令 y′=0, 得 x1=0, x2=−2( 舍 去 ), x 3=2. 计算 函数 值得 y(−1)=−5, y(0)=2, y(2)=−14, y(3)=11, 经比较得出 函数的 最 小 值 为 y(2)=−14, 最大值为 y(3)=11.
=e
−6 lim
x2 x →∞ ( x + 3( x + 5)
= e −6
（2） lim x +
x →0
tan 2 x
解:原式＝ lim x +
x →0
tan 2 x
= lim e tan 2 x ln x = e x→0+ +
x →0
lim tan 2 x ln x
= e0 = 1 ,
Q lim tan 2 x ln x = lim 2 x ln x = lim
2 2
五、(1)证明不等式 e 3 x > 1 + 3 x + 3 x 2 ,( x > 0) 证明,令 f(x)= e
3x
− 1 − 3 x − 3 x 2 , f ′( x ) = 3e 3 x − 3 − 6 x , f ′′( x ) = 9e 3 x − 6 ≥ 6(e 3 x − 1) > 0
x x 由 ln u, u = tan v , v = 复合而成,由复合函数求导 6 字口诀有 2 2 1 tan x 2 ⋅ sec 2 x 1 ⋅ 2 2
x x 1 1 (ln tan )′ = (ln u)′ ⋅ (tan v )′ ⋅ ( )′ = ⋅ sec 2 v ⋅ = 2 2 2 u
解:原式
2
cos x − e x − x 2 0 − sin x − 2 xe x − 2 x 0 − cos x − 2e x − 4 x 2 e x − 2 −5 = lim ( ) = lim ( ) = lim = x→0 x →0 x →0 sin x 2 0 ( x 2 )′ 0 2 2
x 2 sin
5、 lim
x →0
sin x
1 x =___________________ x 2 sin 1 x = lim x sin 1 = 0 x →0 x x
答：原式＝ lim
x→0
三、
求下列极限 （1） lim(
x →∞
x + 3 3x ) x+5
解:原式＝ lim(
x →∞
x+5 2 x+5 6 x ⋅ ⋅3 x 2 2 x + 5 − 2 3x ) = lim[(1 − )] 2 x + 5 lim{[(1 − )] 2 } x + 5 = e −6 x →∞ x →∞ x+5 x+5 x+5