【复习必备】(新课标)天津市2020年高考数学二轮复习题型练5 大题专项(三)统计与概率问题理

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【2020】高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练含答案12

4n-1,
①
4Tn=41+2×42+3×43+…+(n-1)×4n-1+n×4n, ②
由①-②,得-3Tn=40+41+42+…+4n-1-n×4n=-n×4n=
∴Tn=[(3n-1)×4n+1].
11.解 (1)因为 2Sn=3n+3,
所以 2a1=3+3,故 a1=3.
当 n>1 时,2Sn-1=3n-1+3,
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【2020】高考数学（理科，天津课标版）二轮复习专题能力训练含答案12
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一、能力突破训练
1.已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,a4+a10=28,则 S9=( )
A.45
nan+1=Sn+n(n+1).
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 an+log2n=log2bn,求数列{bn}的前 n 项和 Tn.
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11.设数列{an}的前 n 项和为 Sn .已知 2Sn=3n+3.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足 anbn=log3an,求{bn}的前 n 项和 Tn.
所以 3Tn=1+(1×30+2×3-1+…+(n-1)×32-n),
两式相减,得 2Tn=+(30+3-1+3-2+…+32-n)-(n-1)×31-n=-(n-
1)×31-n=,

2020高考数学课标二轮(天津专用)训练题：题型练2 选择题、填空题综合练(二)

题型练2　选择题、填空题综合练(二)　题型练第52页　一、能力突破训练1.已知全集U={1,2,3,4,5},A={1,3},则∁U A=( )A .⌀B .{1,3}C .{2,4,5}D .{1,2,3,4,5}答案:C解析:∵A={1,3},U={1,2,3,4,5},∴∁U A={2,4,5},故选C .2.(2019甘肃、青海、宁夏3月联考)如图,某瓷器菜盘的外轮廓线是椭圆,根据图中数据可知该椭圆的离心率为( )A. B. C. D.2535235255答案:B 解析:由题意知2b=16.4,2a=20.5,则,则离心率e=.故选B.ba=451-(45)2=353.已知sin θ=,cos θ=,则tan 等于( )m -3m +54-2m m +5(π2<θ<π)θ2A .B .m -39-mm -3|9-m |C .D .513答案:D解析:利用同角正弦、余弦的平方和为1求m 的值,再根据半角公式求tan ,但运算较复θ2杂,试根据答案的数值特征分析.由于受条件sin 2θ+cos 2θ=1的制约,m 为一确定的值,进而推知tan 也为一确定的值,又<θ<π,所以,故tan >1.θ2π2π4<θ2<π2θ24.将函数f (x )=2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,然后向左平移个12π6单位长度,得到函数y=g (x )的图象.若关于x 的方程g (x )=a 在区间上有两个不相等[-π4,π4]的实根,则实数a 的取值范围是( )A.[-2,2] B.[-2,2) C.[1,2) D.[-1,2)答案:C解析:将函数f (x )=2sin x图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到y=2sin2x12的图象,然后将其向左平移个单位长度,得到g (x )=2sin=2sin 的图象.π6[2(x +π6)](2x +π3)因为-≤x ≤,所以-≤2x+,π4π4π6π3≤5π6所以当2x+时,g (x )=2sin =2×=1;π3=5π65π612当2x+时,g (x )max =2.π3=π2因为关于x 的方程g (x )=a 在区间上有两个不相等的实根,所以1≤a<2.[-π4,π4]故实数a 的取值范围是[1,2),故选C .5.已知等差数列{a n }的通项是a n =1-2n ,前n 项和为S n ,则数列的前11项和为( ){S n n}A .-45B .-50C .-55D .-66答案:D 解析:由a n =1-2n ,a 1=-1,S n ==-n 2,=-n ,所以数列的前11项和为=-n (-1+1-2n )2S n n {S n n}11×(-1-11)266.故选D .6.定义在(0,+∞)上的函数f (x )满足x 2f'(x )>1,f (2)=,则关于x 的不等式f (e x )<3-的解集为( )521e x A.(0,e 2)B.(e 2,+∞)C.(0,ln 2)D.(-∞,ln 2)答案:D 解析:构造函数F (x )=f (x )+,依题意可知F'(x )=f'(x )->0,即函数f (x )在(0,+∞)上1x 1x 2=x 2f '(x )-1x 2单调递增,所求不等式可化为F (e x )=f (e x )+<3,而F (2)=f (2)+=3,所以e x <2,解得x<ln2.1e x12故不等式的解集为(-∞,ln2).7.已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面α所成的角都相等,则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )A .B .C .D .33423332432答案:A解析:满足题设的平面α可以是与平面A 1BC 1平行的平面,如图①所示.图①再将平面A 1BC 1平移,得到如图②所示的六边形.图②图③设AE=a ,如图③所示,可得截面面积为S=×[(1-a )+a+a ]2×-3××(a )2×(-2a 2+2a+1),所以当a=时,S max =122223212232=3212.32×(-2×14+2×12+1)=3348.已知a>0,a ≠1,函数f (x )=+x cos x (-1≤x ≤1),设函数f (x )的最大值是M ,最小值是N ,4a x +2a x +1则( )A .M+N=8B .M+N=6C .M-N=8D .M-N=6答案:B解析:f (x )=+x cos x=3++x cos x.设g (x )=+x cos x ,则g (-x )=-g (x ),函数g (x )是奇4a x +2a x +1a x -1a x +1a x -1a x +1函数,则g (x )的值域为关于原点对称的区间,当-1≤x ≤1时,设-m ≤g (x )≤m (m ≥0),则3-m ≤f (x )≤3+m ,∴函数f (x )的最大值M=3+m ,最小值N=3-m ,得M+N=6,故选B .9.已知=1+i(i 为虚数单位),则复数z= .(1-i )2z答案:-1-i 解析:由已知得z==-1-i .(1-i )21+i=-2i1+i =-2i (1-i )(1+i )(1-i )=-2-2i210.若a ,b ∈R ,ab>0,则的最小值为 .a 4+4b 4+1ab 答案:4解析:∵a ,b ∈R ,且ab>0,∴=4ab+≥4.a 4+4b 4+1ab≥4a 2b 2+1ab 1ab (当且仅当{a 2=2b 2,4ab =1ab ,即{a 2=22,b 2=24时取等号)11.已知f (x )为偶函数,当x<0时,f (x )=ln(-x )+3x ,则曲线y=f (x )在点(1,-3)处的切线方程是答案:y=-2x-1解析:当x>0时,-x<0,则f (-x )=ln x-3x.因为f (x )为偶函数,所以f (x )=f (-x )=ln x-3x ,所以f'(x )=-3,f'(1)=-2.1x 故所求切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.12.已知点B (x 0,2)在曲线y=2sin ωx (ω>0)上,T 是y=2sin ωx 的最小正周期.若点A (1,0),=1,且0<x 0<T ,则T= . OA ·OB 答案:4解析:由=1,可得x 0=1.OA ·OB ∵点B (x 0,2)在曲线y=2sin ωx (ω>0)上,∴sin ω=1,即ω=+2k π,k ∈N .π2又T>1,即>1,∴2π>+2k π,即k<.2πωπ234∵k ∈N ,∴k=0,∴ω=,π2即T==4.2πω13.已知直线y=mx 与函数f (x )=的图象恰好有三个不同的公共点,则实数{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0m 的取值范围是 . 答案:(,+∞)2解析:作出函数f (x )=的图象,如图.{2-(13)x,x ≤0,12x 2+1,x >0直线y=mx 的图象是绕坐标原点旋转的动直线.当斜率m ≤0时,直线y=mx 与函数f (x )的图象只有一个公共点;当m>0时,直线y=mx 始终与函数y=2-(x ≤0)的图象有一个公(13)x共点,故要使直线y=mx 与函数f (x )的图象有三个公共点,必须使直线y=mx 与函数y=x 2+1(x>0)的图象有两个公共点,即关于x 的方程mx=x 2+1在x>0时有两个不相等1212的实数根,即关于x 的方程x 2-2mx+2=0的判别式Δ=4m 2-4×2>0,解得m>.故所求实数2m 的取值范围是(,+∞).2二、思维提升训练14.复数z=(i为虚数单位)的虚部为( )2+i i A .2B .-2C .1D .-1答案:B解析:∵z==1-2i,∴复数z 的虚部为-2,故选B .2+ii=(2+i )i i 215.已知a=,b=,c=2,则( )243425513A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b答案:A解析:因为a==b ,c=2=a ,243=423>425513=523>423所以b<a<c.16.若实数x ,y满足|x-1|-ln =0,则y 关于x 的函数图象的大致形状是( )1y 答案:B解析:已知等式可化为y=根据指数函数的图象可知选项B 正确,故(1e)|x -1|={(1e)x -1,x ≥1,(1e )-(x -1),x <1,选B .17.已知简谐运动f (x )=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则该简谐运动的(ω>0,|φ|<π2)最小正周期T 和初相φ分别为( )A .T=6π,φ=π6B .T=6π,φ=π3C .T=6,φ=π6D .T=6,φ=π3答案:C解析:由题图可知A=2,T=6,∴ω=.π3∵图象过点(1,2),∴sin =1,(π3×1+φ)∴φ+=2k π+,k ∈Z ,又|φ|<,∴φ=.π3π2π2π618.如图,在平面四边形ABCD 中,AB ⊥BC ,AD ⊥CD ,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点E 为边CD 上的动点,则的最小值为( )AE ·BEA .B .211632C .D .32516答案:A解析:如图,取AB 的中点F ,连接EF.AE ·BE=(AE +BE )2-(AE -BE )24==||2-.(2FE )2-AB 24FE 14当EF ⊥CD 时,||最小,即取最小值.EF AE ·BE 过点A 作AH ⊥EF 于点H.由AD ⊥CD ,EF ⊥CD ,可得EH=AD=1,∠DAH=90°.因为∠DAB=120°,所以∠HAF=30°.在Rt △AFH 中,易知AF=,HF=,1214所以EF=EH+HF=1+.14=54所以()min=.AE ·BE (54)2‒14=211619.在△ABC 中,AC=,BC=2,B=60°,则BC 边上的高等于( )7A .B .32332C .D .3+623+394答案:B解析:设AB=a ,则由AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC cos B 知7=a 2+4-2a ,即a 2-2a-3=0,∴a=3(负值舍去).∴BC 边上的高为AB ·sin B=3×.32=33220.已知圆(x-1)2+y 2=的一条切线y=kx 与双曲线C :=1(a>0,b>0)有两个交点,则双34x 2a 2‒y 2b 2曲线C 的离心率的取值范围是( )A.(1,) B.(1,2)3C.(,+∞) D.(2,+∞)3答案:D解析:由已知得,解得k 2=3.|k |k 2+1=3由消去y ,得(b 2-a 2k 2)x 2-a 2b 2=0,{y =kx ,x2a 2-y 2b 2=1,则4(b 2-a 2k 2)a 2b 2>0,即b 2>a 2k 2.因为c 2=a 2+b 2,所以c 2>(k 2+1)a 2.所以e 2>k 2+1=4,即e>2.故选D .21.已知函数f (x )=cos+1,则f (x )的最大值与最小值的和为( )(2x -π2)+x x 2+1A.0 B.1 C.2 D.4答案:C解析:因为f (x )=cos+1=sin2x++1,(2x -π2)+x x 2+1x x 2+1又因为y=sin2x ,y=都是奇函数,xx 2+1所以设g (x )=f (x )-1=sin2x+,则g (x )为奇函数,即g (x )的图象关于点(0,0)对称,xx2+1所以f (x )=g (x )+1的图象关于点(0,1)对称.故f (x )的最大值和最小值也关于点(0,1)对称,因此它们的和为2.故选C.22.设集合A={x|x+2>0},B=,则A ∩B= .{x |y =13-x}答案:{x|-2<x<3}解析:由已知,得A={x|x>-2},B={x|x<3},则A ∩B={x|-2<x<3}.23.已知将四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中,则恰有两个空盒的不同放法共有种. 答案:84解析:先选两个空盒子,再把4个小球分为(2,2),(3,1)两组,故有=84.C 24(C 34A 22+C 24C 22A22·A 22)24.已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和.若,则= .S 5S 10=13S 5S 20+S 10答案:118解析:由题意知等比数列{a n }的公比q ≠1.因为S n 是等比数列{a n }的前n 项和,所以S n =.a 1(1-q n )1-q因为,所以,整理得1+q 5=3,即得q 5=2,所以S 5S 10=131-q 51-q 10=13.S 5S 20+S 10=1-q 51-q 20+1-q10=1-21-24+1-22=11825.设F 是双曲线C :=1(a>0,b>0)的一个焦点.若C 上存在点P ,使线段PF 的中点恰x 2a 2‒y 2b 2为其虚轴的一个端点,则C 的离心率为 .答案:5解析:不妨设F (c ,0)为双曲线的右焦点,虚轴的一个端点为B (0,b ).依题意得点P 为(-c ,2b ).因为点P 在双曲线上,所以=1,得=5,即e 2=5.因为e>1,所以e=.(-c )2a 2‒(2b )2b 2c 2a 2526.(x+2)5的展开式中,x 2的系数等于 .(用数字作答). 答案:8027.若函数f (x )=kx-cos x 在区间内单调递增,则k 的取值范围是 .(π3,5π6)答案:[-12,+∞)解析:由函数f (x )=kx-cos x ,可得f'(x )=k+sin x.因为函数f (x )=kx-cos x 在区间内单调递增,(π3,5π6)则k+sin x ≥0在区间内恒成立.(π3,5π6)当x ∈时,(π3,5π6)sin x ∈,-sin x ∈.(12,1][-1,-12)由k ≥-sin x ,可得k ≥-.12。

(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习题型练1 选择题、填空题综合练(一)

题型练1 选择题、填空题综合练(一)题型练第50页一、能力突破训练1.(2019全国Ⅱ,理1)设集合A={x|x 2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A ∩B=( )A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)答案:A解析:由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A ∩B={x|x<1},故选A .2.若a>b>1,0<c<1,则( )A.a c √2,所以A 错;因为3√2=√18>2√3=√12,所以B 错;因为3log 212=-3<2log 312=-2log 32,所以C 正确;因为log 312=-log 32>-1=log 212,所以D 错.故选C .3.(2019北京,理4)已知椭圆x 2x 2+x 2x 2=1(a>b>0)的离心率为12,则( )A.a 2=2b 2B.3a 2=4b 2C.a=2bD.3a=4b答案:B解析:椭圆的离心率e=x x =12,c 2=a 2-b 2,化简得3a 2=4b 2,故选B .4.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b ≤4”是“ab ≤4”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当a>0,b>0时,a+b≥2√xx,若a+b≤4,则2√xx≤a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案:A解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A.6.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.5答案:A解析:令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+π,k∈Z.2∵x ∈[0,2],∴x 2∈[0,4],得k 的取值为0,即方程f (x )=0有两个解,则函数f (x )=x cos x 2在该区间上的零点的个数为2,故选A .7.如图,半圆的直径AB 的长为6,O 为圆心,C 为半圆上不同于A ,B 的任意一点.若P 为半径OC 上的动点,则(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为( )A .92B .9C .-92D .-9答案:C解析:∵xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴(xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |.又|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=3≥2√|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |·|xx ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⇒|PO ⃗⃗⃗⃗ |·|PC ⃗⃗⃗⃗ |≤94,∴(PA ⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗ )·PC ⃗⃗⃗⃗ ≥-92.故答案为-92.8.函数f (x )=(1-cos x )sin x 在区间[-π,π]上的图象大致为( )答案:C解析:由函数f (x )为奇函数,排除B;当0≤x ≤π时,f (x )≥0,排除A;又f'(x )=-2cos 2x+cos x+1,令f'(0)=0,得cos x=1或cos x=-12,结合x ∈[-π,π],求得f (x )在区间(0,π]上的极大值点为2π3,靠近π,排除D .9.若复数z 满足2z+。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷2

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷高考模拟题复习试卷习题资料高考数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.（5分）设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.（5分）设集合S={x|x≥2}，T={x|x≤5}，则S∩T=（）A.（﹣∞，5]B.[2，+∞）C.（2，5）D.[2，5]3.（5分）某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（）A.72cm3B.90cm3C.108cm3D.138cm34.（5分）为了得到函数y=sin3x+cos3x的图象，可以将函数y=cos3x的图象（）A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位5.（5分）已知圆x2+y2+2x﹣2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦的长度为4，则实数a的值是（）A.﹣2B.﹣4C.﹣6D.﹣86.（5分）设m、n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（）A.若m⊥n，n∥α，则m⊥αB.若m∥β，β⊥α，则m⊥αC.若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥αD.若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α7.（5分）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c.且0＜f（﹣1）=f（﹣2）=f（﹣3）≤3，则（）A.c≤3B.3＜c≤6C.6＜c≤9D.c＞98.（5分）在同一直角坐标系中，函数f（x）=x a（x＞0），g（x）=log a x的图象可能是（）A. B. C. D.9.（5分）设θ为两个非零向量，的夹角，已知对任意实数t，|+t|的最小值为1.（）A.若θ确定，则||唯一确定B.若θ确定，则||唯一确定C.若||确定，则θ唯一确定D.若||确定，则θ唯一确定10.（5分）如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练，已知点A到墙面的距离为AB，某目标点P沿墙面上的射线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP与平面ABC所成的角）.若AB=15m，AC=25m，∠BCM=30°，则tanθ的最大值是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，满分28分）11.（4分）已知i是虚数单位，计算=.12.（4分）若实数x，y满足，则x+y的取值范围是.13.（4分）在某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运算后输出的结果是.14.（4分）在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是.15.（4分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=.16.（4分）已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是.17.（4分）设直线x﹣3y+m=0（m≠0）与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于点A，B.若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.三、解答题（本大题共5小题，满分72分。

2020高考数学课标二轮(天津专用)综合能力训练+Word版含解析

综合能力训练综合能力训练第63页第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分) 1.设集合A={x|x 2-2x<0},B={x |1x -1>0},则A ∩B=( ) A.(-∞,1) B.(2,+∞) C.R D.(1,2)答案:D解析:∵A={x|x 2-2x<0}={x|0<x<2}=(0,2), B={x |1x -1>0}={x|x-1>0}=(1,+∞),∴A ∩B=(1,2).故选D .2.已知直线x+y=1与抛物线y 2=2px (p>0)交于A ,B 两点.若OA ⊥OB ,则△OAB 的面积为( ) A .1B .√52C .√5D .2答案:B解析:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),由x+y=1与抛物线y 2=2px ,得y 2+2py-2p=0,解得y 1=-p+√p 2+2p ,x 1=1+p-√p 2+2p ,y 2=-p-√p 2+2p ,x 2=1+p+√p 2+2p .由OA ⊥OB 得,x 1x 2+y 1y 2=0,即[(1+p )2-(p 2+2p )]+[p 2-(p 2+2p )]=0,化简得2p=1, 从而A (3-√52,-1+√52),B (3+√52,-1-√52),|OA|2=x 12+y 12=5-2√5,|OB|2=x 22+y 22=5+2√5,△OAB的面积S=12|OA||OB|=√52.故选B .3.已知奇函数f (x )在R 上是增函数,g (x )=xf (x ).若a=g (-log 25.1),b=g (20.8),c=g (3),则a ,b ,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.c<b<a C.b<a<c D.b<c<a 答案:C解析:∵f (x )是R 上的奇函数,∴g (x )=xf (x )是R 上的偶函数. ∴g (-log 25.1)=g (log 25.1).∵奇函数f (x )在R 上是增函数, ∴当x>0时,f (x )>0,f'(x )>0.∴当x>0时,g'(x )=f (x )+xf'(x )>0恒成立, ∴g (x )在区间(0,+∞)内单调递增.∵2<log 25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log 25.1<3. 结合函数g (x )的性质得b<a<c.故选C .4.若函数f (x )=sin (ωx -π6)(ω>0)在区间[0,π]上的值域为[-12,1],则ω的最小值为( ) A.23 B.34C.43D.32答案:A解析:∵0≤x ≤π,∴-π6≤ωx-π6≤ωπ-π6.∵f (x )在区间[0,π]上的值域为[-12,1], f (0)=sin (-π6)=-12,∴2k π+π2≤ωπ-π6≤2k π+5π6,k ∈Z , 整理得2k+23≤ω<2k+1,k ∈Z .∵ω>0,∴ω最小值为23,故选A .5.某地实行“3+2+1”模式,即“3”指语文、数学、外语三门必考科目,“1”指从物理、历史两门科目中必选一门,“2”指在化学、生物、政治、地理以及除了必选一门以外的历史或物理这五门学科中任意选择两门学科,则一名学生的不同选科组合有( ) A.8种 B.12种 C.16种 D.20种答案:C解析:若这名学生只选物理和历史中的一门,则有C 21C 42=12种组合;若这名学生物理和历史都选,则有C 41=4种组合; 因此共有12+4=16种组合.故选C .6.已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率是( ) A .√52 B .√62C .√103D .2答案:A解析:设直线l 与双曲线交于点A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2−(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即y 1-y2x 1-x 2=b 2(x 1+x 2)a 2(y 1+y 2).由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x 1+x 2=8,y 1+y 2=2,y 1-y 2x 1-x 2=1,∴b 2a 2=14,e 2=1+b 2a =54.∴e=√52.故选A .7.已知函数f(x)={sin(πx2),-1<x<0,e x-1,x≥0.若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-√22C.1,-√22D.1,√22答案:C解析:∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-√22.若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-√22.8.(2019山东济南一模)我国数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理:幂势既同,则积不容异.意思是:两个等高的几何体,若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等.已知曲线C:y=f(x)=x2,直线l为曲线C在点(1,1)处的切线.如图所示,阴影部分为曲线C、直线l以及x轴所围成的平面图形,记该平面图形绕y轴旋转一周所得的几何体为T.给出以下四个几何体:①是底面直径和高均为1的圆锥;②是将底面直径和高均为1的圆柱挖掉一个与圆柱同底等高的倒置圆锥得到的几何体;③是底面边长和高均为1的正四棱锥;④是将上底面直径为2,下底面直径为1,高为1的圆台挖掉一个底面直径为2,高为1的倒置圆锥得到的几何体.根据祖暅原理,以上四个几何体的体积与T的体积相等的是()A.①B.②C.③D.④答案:A解析:∵几何体T是由题图中的阴影部分旋转得到,所以横截面为环形,且等高的时候,抛物线对应的点的横坐标为x1,切线对应的横坐标为x2.f(x)=x2,f'(x)=2x,∴k=f'(1)=2.切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1.∴x12=y,x2=y+12,横截面面积S=πx22-πx12=π[(y+1)24-y]=π(y-12)2.①中圆锥的高为1,底面半径为12,可以看成由线段y=2x+1(-12≤x ≤0)、x 轴、y 轴围成的三角形绕y 轴旋转得到,横截面的面积为S=πx 2=π(y -12)2.所以几何体T 和①中的圆锥在所有等高处的水平截面的面积相等,所以两者体积相等,故选A .第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a ,b ∈R ,i 是虚数单位.若(1+i)(1-b i)=a ,则ab 的值为 . 答案:2解析:(1+i)(1-b i)=1+b+(1-b )i =a ,则{1+b =a ,1-b =0,所以{a =2,b =1,即ab=2.故答案为2. 10.过点M (-1,0)引曲线C :y=2x 3+ax+a 的两条切线,这两条切线与y 轴分别交于A ,B 两点.若|MA|=|MB|,则a= . 答案:-274解析:设切点坐标为(t ,2t 3+at+a ).∵y'=6x 2+a ,∴6t 2+a=2t 3+at+at+1,即4t 3+6t 2=0,解得t=0或t=-32.∵|MA|=|MB|,∴两切线的斜率互为相反数, 即2a+6×(-32)2=0,解得a=-274.11.已知两球O 1和O 2在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的内部,且互相外切.若球O 1与过点A 的正方体的三个面相切,球O 2与过点C 1的正方体的三个面相切,则球O 1和O 2的表面积之和的最小值为 . 答案:3(2-√3)π解析:设球O 1、球O 2的半径分别为R 1,R 2.∵AO 1=√3R 1,C 1O 2=√3R 2,O 1O 2=R 1+R 2, ∴(√3+1)(R 1+R 2)=√3,R 1+R 2=√3√3+1,球O 1和O 2的表面积之和为4π(R 12+R 22)≥4π·2(R 1+R 22)2=2π(R 1+R 2)2=3(2-√3)π.12.(2019山东济南3月模拟)在(1x -1)(√x +1)5的展开式中,x 的系数为 .(用数字作答) 答案:-5解析:要求x 的系数,则(√x +1)5展开式中x 2项与1x 相乘,x 项与-1相乘,所以展开式中x 2项为C 51(√x )4=5x 2,它与1x 相乘得5x ,展开式中x 项为C 53(√x )2=10x ,它与-1相乘得-10x ,所以x 的系数为-10+5=-5.13.已知双曲线C :x 2a 2−y 2b 2=1(a>0,b>0)的左焦点为F ,A ,B 分别是双曲线C 的左、右顶点,P 为C 上一点,且PF ⊥x 轴,过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ,与y 轴交于点E ,直线BM与y 轴交于点N.若OE ⃗⃗⃗⃗⃗ =2NO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (O 为坐标原点),则双曲线C 的离心率为 . 答案:3解析:因为PF ⊥x 轴,所以设M (-c ,t ).因为A (-a ,0),B (a ,0), 所以AE 的斜率k=ta -c , 则AE 的方程为y=t a -c (x+a ), 令x=0,得y=taa -c ,即E (0,ta a -c ).因为BN 的斜率为-ta+c ,所以BN 的方程为y=-ta+c (x-a ). 令x=0,则y=taa+c ,即N (0,taa+c ), 因为|OE|=2|ON|, 所以2·|taa+c |=|ta a -c |,即2(c-a )=c+a ,即c=3a ,则离心率e=ca =3.故答案为3.14.已知a ,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ,b 都垂直,斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填序号)答案:②③解析:由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=√2,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=√2.又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=√2,过点B作BF∥DE,交圆C 于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=√2,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2√3,且(2√3+b)(sin A-sinB)=(c-b)sin C.(1)求角A的大小;(2)求△ABC的面积的最大值.解:(1)∵a=2√3,且(2√3+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,∴(a+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,利用正弦定理,得a2-b2=c2-bc,即cos A=b2+c2-a22bc =12.∵0<A<π,∴A=π3.(2)由于a=2√3,A=π3,∴a2=b2+c2-2bc cos A,即12=b2+c2-bc≥2bc-bc=bc,当且仅当b=c时,等号成立.∴S△ABC =12bc sin A≤12×12×√32=3√3.当且仅当b=c时,△ABC的面积取最大值3√3.16.(13分)设{a n}是等差数列,前n项和为S n(n∈N*),{b n}是等比数列,a1=-3,S5=5,b1=a4,b1+b3=3(b2+1).(1)求数列{a n}和数列{b n}的通项公式;(2)设c n =an b n,记T n =c 1+c 2+c 3+…+c n ,求T n .解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,等比数列{b n }的公比为q. 由已知得S 5=5a 1+5×42d=5,即a 1+2d=1.又a 1=-3,所以d=2.所以a n =2n-5. 因为b 1=a 4=3,b 1+b 3=3(b 2+1), 所以3(1+q 2)=3(3q+1),即q=3(q=0不符合题意,舍去). 所以b n =3·3n-1=3n .所以{a n }和{b n }的通项公式分别为a n =2n-5,b n =3n . (2)由(1)知,c n =2n -53n,所以T n =-33+-132+133+…+2n -53n,13T n =-332+-133+…+2n -73n+2n -53n+1,上述两式相减,得23T n =-33+232+…+23n −2n -53n+1=-1+2·132-13n+11-13−2n -53n+1=-1+13−13n −2n -53n+1=-23−2n -23.故T n =-1-n -13.17.(13分)(2019天津和平区第二次质量调查)如图,正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD ⊥CD ,AB ∥CD ,AB=AD=12CD=1,点M 在线段EC 上.(1)若点M 为EC 的中点,求证:BM ∥平面ADEF ;(2)求证:平面BDE ⊥平面BEC ;(3)当平面BDM 与平面ABF 所成二面角的余弦值为√66时,求AM 的长. (1)证明∵正方形ADEF 与梯形ABCD 所在的平面互相垂直,AD 为交线,∴ED ⊥平面ABCD ,由已知得DA ,DE ,DC 两两垂直, 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz ,可得D (0,0,0),A (1,0,0),B (1,1,0),C (0,2,0),E (0,0,1),F (1,0,1).由M 为EC 的中点,知M (0,1,12),故BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0,12).易知平面ADEF 的法向量为DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2,0). ∵BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,∴BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ .∵BM ⊄平面ADEF ,∴BM ∥平面ADEF.(2)证明由(1)知BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,1),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,0),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0). 设平面BDE 的法向量为m =(x 1,y 1,z 1), 平面BEC 的法向量为n =(x 2,y 2,z 2), 由{m ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 1-y 1+z 1=0,m ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 1-y 1=0,得z 1=0.令x 1=1,得m =(1,-1,0). 由{n ·BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2-y 2+z 2=0,n ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 2+y 2=0,令x 2=1,得n =(1,1,2).∵m ·n =1-1+0=0,故平面BDE ⊥平面BEC.(3)解设EM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λEC⃗⃗⃗⃗⃗ ,λ∈[0,1],设M (x ,y ,z ),计算可得M (0,2λ,1-λ), 则BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,2λ-1,1-λ),BD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,-1,0), 设平面BDM 的法向量为p =(x 3,y 3,z 3).由{p ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 3-y 3=0,p ·BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-x 3+(2λ-1)y 3+(1-λ)z 3=0,令x 3=1,得p =(1,-1,2λ1-λ).易知平面ABF 的法向量为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0),由已知得|cos |=|p ·DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||p ||DA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2+(2λ1-λ)2×1=√66, 解得λ=12,此时M (0,1,12).∵AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1,12),∴|AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√1+1+14=32, 即AM 的长为32.18.(13分)(2019湖南师大附中模拟)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中,有6位参赛选手(1号至6号)登台演出,由现场的100位同学投票选出最受欢迎的歌手,各位同学须彼此独立地在投票器上选出3位候选人,其中甲同学是1号选手的同班同学,必选1号,另在2号至6号选手中随机选2名;乙同学不欣赏2号选手,必不选2号,在其他5位选手中随机选出3名;丙同学对6位选手的演唱没有偏爱,因此在1号至6号选手中随机选出3名.(1)求同学甲选中3号选手且同学乙未选中3号选手的概率;(2)设3号选手得到甲、乙、丙三位同学的票数之和为X ,求X 的分布列和数学期望. 解:设A 表示事件“甲同学选中3号选手”,B 表示事件“乙同学选中3号选手”,C 表示事件“丙同学选中3号选手”.(1)因为P (A )=C 41C 52=25,P (B )=C 42C 53=35,所以P (A B )=P (A )P (B )=25×(1-35)=425. (2)因为P (C )=C 52C 63=12,所以X 可能的取值为0,1,2,3,P (X=0)=P (ABC )=(1-25)×(1-35)×(1-12)=35×25×12=325,P (X=1)=P (A BC )+P (ABC )+P (AB C )=25×25×12+35×35×12+35×25×12=1950, P (X=2)=P (AB C )+P (A B C )+P (A BC )=25×35×12+25×25×12+35×35×12=1950, P (X=3)=P (ABC )=25×35×12=325. 所以X 的分布列为X 的数学期望E (X )=0×325+1×1950+2×1950+3×325=32.19.(14分)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a>b>0)的左、右焦点F 1,F 2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过椭圆C 上任意一点P 作椭圆C 的切线与直线F 1P 的垂线F 1M 相交于点M ,求点M 的轨迹方程;(3)若切线MP 与直线x=-2交于点N ,求证:|NF 1||MF 1|为定值.(1)解∵2c=a=4,∴c=2,b=2√3.∴椭圆C 的标准方程为x 216+y 212=1. (2)解由(1)知F 1(-2,0),设P (x 0,y 0),M (x ,y ),过椭圆C 上点P 的切线方程为x 0x16+y 0y 12=1,①直线F 1P 的斜率k F 1P =y 0x0+2, 则直线MF 1的斜率k MF 1=-x 0+2y 0,直线MF 1的方程为y=-x 0+2y 0(x+2),即yy 0=-(x 0+2)(x+2),② ①②联立,解得x=-8,故点M 的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M ,N 的坐标可表示为M (-8,y M ),N (-2,y N ), 点N 在切线MP 上,由①式得y N =3(x 0+8)2y 0, 点M 在直线MF 1上,由②式得y M =6(x 0+2)y 0, |NF 1|2=y N2=9(x 0+8)24y 02,|MF 1|2=[(-2)-(-8)]2+y M2=36[y 02+(x 0+2)2]y 02,故|NF 1|2|MF 1|2=9(x 0+8)24y 02·y 0236[y 02+(x0+2)2]=116·(x 0+8)2y 02+(x0+2)2,③注意到点P 在椭圆C 上,即x 0216+y 0212=1,于是y 02=48-3x 024,代入③式并整理得|NF 1|2|MF 1|2=14,故|NF 1||MF 1|的值为定值12.20.(14分)已知函数f (x )=ln(1+x )+a2x 2-x (a ≥0). (1)若f (x )>0对x ∈(0,+∞)都成立,求a 的取值范围;(2)已知e 为自然对数的底数,证明:∀n ∈N *,√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2)<e . (1)解∵f (x )=ln(1+x )+a2x 2-x ,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=11+x +ax-1=x(ax+a-1)1+x.①当a=0时,f'(x)=-x1+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=1-aa>0,当x∈(0,1-aa)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,1-aa)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=x21+x,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=1-aa<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln(1+1n2)+ln(1+2n2)+…+ln(1+nn2)<1n2+2n2+…+nn2,即ln[(1+1n2)(1+2 n2)·…·(1+nn2)]<1+2+…+nn2=n+12n.由于n∈N*,则n+12n =12+12n≤12+12×1=1.∴ln[(1+1n2)(1+2n2)…(1+nn2)]<1.∴(1+1n2)(1+2n2)…(1+nn2)<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立, 即x-12x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,∴(1n2+2n2+…+nn2)−12(12n4+22n4+…+n2n4)<ln(1+1n2)+ln(1+2n2)+…+ln(1+nn2),即n (n+1)2n 2−12[n (n+1)(2n+1)6n 4]<ln 1+1n 21+2n 2…1+nn 2,得6n 3+4n 2-3n -112n 3<ln 1+1n 21+2n 2·…·1+nn 2. 由于n ∈N *,则6n 3+4n 2-3n -112n 3=6n 3+(3n 2-3n )+(n 2-1)12n 3≥6n 312n 3=12.∴12<ln [(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n 2)]. ∴√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+nn 2).∴√e <(1+1n 2)(1+2n 2)…(1+n n 2)<e .。

【2020】高考数学(理科,天津课标版)二轮复习题型练含答案 4

题型练4 大题专项(二)
数列的通项、求和问题
1.(1)解当n=1时,由(1-q)S1+qa1=1,a1=1.
当n≥2时,由(1-q)Sn+qan=1,得(1-q)Sn-1+qan-1=1,两式相减,得an=qan-1.
又q(q-1)≠0,所以{an}是以1为首项,q为公比的等比数列,故an=qn-1.
【2020】高考数学（理科，天津课标版）二轮复习题型练含答案 4
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数列的通项、求和问题
1.设数列{an}的前n项和为Sn,满足(1-q)Sn+qan=1,且q(q-1)≠0.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若S3,S9,S6成等差数列,求证:a2,a8,a5成等差数列.
故an+1=qan对所有n≥1都成立.
所以,数列{an}是首项为1,公比为q的等比数列.
从而an=qn-1.
由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,
即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,
由已知,q>0,故q=2.
所以an=2n-1(n∈N*).
(2)证明由(1)可知,an=qn-1.
所以bn+1-bn=(4n-1)
故bn-bn-1=(4n-5),n≥2,
bn-b1=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)
=(4n-5)+(4n-9)+…+7+3.
设Tn=3+7+11+…+(4n-5),n≥2,

【2020】高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练含答案15

专题能力训练 15 立体几何中的向量方法一、能力突破训练
1.解依题意,OF⊥平面 ABCD,如图,以 O 为原点,分别以的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系,依题意可得 O(0,0,0),A(1,1,0),B(-1,-1,0),C(1,-1,0),D(1,1,0),E(-1,-1,2),F(0,0,2),G(1,0,0).
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∴n,n,得取 x=1,得平面 B1AE 的一个法向量 n= 要使 DP∥平面 B1AE,只要 n,有-az0=0, 解得 z0= 又 DP⊄平面 B1AE, ∴存在点 P,满足 DP∥平面 B1AE,此时 AP= 5.(1)证明设 AC,BD 交点为 E,连接 ME. 因为 PD∥平面 MAC,平面 MAC∩平面 PDB=ME,所以 PD∥ME. 因为 ABCD 是正方形,所以 E 为 BD 的中点. 所以 M 为 PB 的中点. (2)解取 AD 的中点 O,连接 OP,OE. 因为 PA=PD,所以 OP⊥AD. 又因为平面 PAD⊥平面 ABCD,且 OP⊂ 平面 PAD,所以 OP⊥平面 ABCD. 因为 OE⊂ 平面 ABCD,所以 OP⊥OE. 因为 ABCD 是正方形,所以 OE⊥AD. 如图建立空间直角坐标系 O-xyz,则 P(0,0,),D(2,0,0),B(2,4,0),=(4,-4,0),=(2,0,-). 设平面 BDP 的法向量为 n=(x,y,z), 则令 x=1,则 y=1,z= 于是 n=(1,1,),平面 PAD 的法向量为 p=(0,1,0). 所以 cos<n,p>= 由题知二面角 B-PD-A 为锐角,所以它的大小为 (3)解由题意知 M,C(2,4,0), 设直线 MC 与平面 BDP 所成角为 α , 则 sin α =|cos<n,>|= 所以直线 MC 与平面 BDP 所成角的正弦值为 6.(1)证明因为 AB 是直径,所以 BC⊥AC. 因为 CD⊥平面 ABC,所以 CD⊥BC. 因为 CD∩AC=C,所以 BC⊥平面 ACD. 因为 CD∥BE,CD=BE, 所以四边形 BCDE 是平行四边形, 所以 BC∥DE,所以 DE⊥平面 ACD.

课标专用天津市2020高考数学二轮复习题型练4大题专项二数列的通项求和问题

) 数列的通项、求和问题4 大题专项(二题型练题型练第56页=n.b++ab+a=nSaS=bab.a项和为{,且…3,已知等差数列{}}的前满足16,1数列nnnnn224121b;的通项公式{}(1)求n.nT项和的前(2)求数列nSadna, 的等差数列{公差为}的前解:(1)设首项为项和为,nn1==Sa16, 3,且42d=a=2, 解得1,所以1.a=+n-=n-所以1)112(2n=nb+ab+ab+a,…因为nn2211①=n+n-bb+b+(2·…3·,1)所以1n21②b=n-+nb+b+n-(23·1,所以当·≥时,1…3)n-112=bn-①-②1,得,(21)n=b=n=b),首项符合通项当1(1所以时,,n1 - .=b故n -, =b-因为,所以(2)n - - ---.++-T==…所以1n -* n=.aa=a. }满足∈{,2,N22已知数列n+n11+a}为等比数列数列{1; log(1)证明:n2bnSb=.的前,求数列{项和设(2)}nnna=+a=a,得证明由2loglog21,两边取以2为底的对数,(1)nn+n+2211a+=a++a}为等比数列,首项为2,公比为则log12,2(log所以1),{1且log nn+n2212n-n1.×+a==+a 2(log12log1)n122．nb.Sb=,的前(2)解由(1)得为数列{项和因为}nnn+S=+,所以…n.++=S则…n+==-+S,…1两式相减得n.S=-所以2n.aq>a+a+a=a+aa.bb=1,的公比数列1,且,}的等差中项28,满足数列23是已知等比数列{{}nn15453432+n.n-bban )项和为}的前2{(nn+n1q;(1)求的值.b }的通项公式(2)求数列{n+aa+a=a+aa4, 2解:(1)由的等差中项2是,,得435435.==a+a+a+a=a 28,4解得3所以844345=20,=a+a由20,得853.q=q=q>q=解得所以2或,因为21,Snacc=b-b,,数列{)(2)设项和为}(前nnnn+nn1c=c=n-. 1由解得4nn - - n-1=a,可知2由(1)n - .=n-b-b所以(4·1)nn+1- n=n-b-b故·≥ ,(45)n-n1b-b=b-b+b-b++b-b+b-b) (())(…)(n-nn-nn-12211312 -- .n-+++=n-+ 9)··…(435)·7(4- n++=T++n- ,·11≥…·(4设·375)n- - n-+=T+n-++,·37(4·(4·…9)5)·n-- n-++-T=++,…·44·5)所以·3(44·n- n=-n+T 14,因此(43)·≥n- .=b=-n+b 1,所以(4又·153)n1bSqa.n且的等比数列{}项和为,公比为4{已知等差数列的首项是}的前,nnn.aa+q=+b=S= 40243,6,5221bbaa; ,{(1)求数列}的通项公式nnnn.nT项和的前求数列(2)n da,{ 解:(1)设由题意得}公差为n.=a=n-b 3故1,解得nn+n+122∵,-(2)-- n+n+3322++=∴+T+-=.--… (28)2-n -- nT -n.a.aS3,}的各项均不为零的前设数列{}的前且项和为项和为,数列5{已知数列{}nnnn*.nS+T=∈4N0,nn aa; ,(1)求的值21a;是等比数列}(2)证明:数列{n*.n-na-na< ,求实数)λ0对任意的的所有值∈N(3)若(λ恒成立)(λn+n1*= +n+T=n= -a- S0,0,4∈N4,令得1,解(1)33nn1aa=. 1≠0,所以因为112=+a =++an=-+a+ 0,0,令得2,3(1))4(1)即(12222.=-aa所以因为0,≠22①=+TS- 0,3证明因为(2)4nn-S+T=② 4所以30,n+n+11=.a-a+②-①S+S 0得,3()4n+n+nn+111aS+S-+a=③ 4≠0,所以3()0,因为n+n+nn+111S+S-+a=n④所以3(≥ )0(4nn-n1n③-④a+a+a-a=0, ),,得当3(≥时nn+n+n11.a=-a=-a.≠即0,因为所以nn+n1=-=-a=a,,1,又由(1)知,所以21.-a ,{为公比的等比数列}是以1为首项所以数列n- .a= (3)解由(2)知,-n.nn所以λ的值介于--和之间*<-na-nan, )λ恒成立0∈N,(λ因为对任意的)(n+n1 -- *nn<n,-N对任意的-·0恒成立因为∈.= 0所以λ适合 -.<<>nn<n恒成立,-从而有λ-λλ若恒成立0,当,为奇数时--<-pn+n=npn=p0,1)((()()记≥因为=ppn) ≤所以所以1,(即≤*(4),(nn,≥时λ≥,从而当有≥且 -.>λ0不符合题意所以 -.n<-<<n<n ,恒成立从而有λ,若λ0,当为奇数时恒成立-λ---*nn, (由)式知有,≥λ≥时,当≥且.<所以λ不符合题意0. 0的所有值为λ实数,综上a+aaa; {的通项*.n=qS+q>S.aanS∈1,}的首项为1,为数列{其中}的前N项和6,已知数列{0,nnn+nn1公式}2成等差数列(1)若2,,,求数列n223 - 2.-=ee=>+e++eex证明1的离心率为:,且…,(2)设双曲线nn221 -S=qS+S=qS+1, ,1,(1)解由已知n+nn+n+112a=qan.两式相减得到,≥n+n+12S=qS+a=qa, 得到又由11221a=qan.≥对所有都成立故nn+1aq.的等比数列}是首项为1,所以,数列{公比为nn-1.=qa从而n+a+a=aaa2, 2成等差数列,由2,可得,23232232=q+q-q=q+0, 1)(2)即22,则3(2n-*1.n.a=q>q=所以N(0,故22)由已知,∈nn-1.=qa可知,证明由(2)(1)n2 - e.x-== 1 所以双曲线的离心率n.e=q= 由解得, 2>qk.+q>q所以 ) ,(∈因为1N- n-1=++e+e>+q++qe,k-*k-k-1)2(1)12( -……1于是n21 - -.>+e++ee…故n21 -。

(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题

题型练4 大题专项(二) 数列的通项、求和问题题型练第56页1.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 2=3,S 4=16,数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =n. (1)求{b n }的通项公式; (2)求数列{b b +1b b}的前n 项和T n .解:(1)设首项为a 1,公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n , 且a 2=3,S 4=16, 所以{b 1+b =3,4b 1+4×32b =16,解得a 1=1,d=2,所以a n =1+2(n-1)=2n-1. 因为a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n =n ,所以1·b 1+3·b 2+…+(2n-1)b n =n ,①所以当n ≥2时,1·b 1+3·b 2+…+(2n-3)b n-1=n-1,②①-②得,(2n-1)b n =1,所以b n =12b -1,当n=1时,b 1=1(首项符合通项),故b n =12b -1.(2)因为b n =12b -1,所以b b +1bb=12b +12b -1=1(2b -1)(2b +1)=12(12b -1-12b +1),所以T n =121-13+13−15+…+12b -1−12b +1=12(1-12b +1)=b2b +1. 2.已知数列{a n }满足a 1=2,a n+1=2b b 2,n ∈N *. (1)证明:数列{1+log 2a n }为等比数列; (2)设b n =b1+log2b b,求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明由a n+1=2b b 2,两边取以2为底的对数,得log 2a n+1=1+2log 2a n , 则log 2a n+1+1=2(log 2a n +1),所以{1+log 2a n }为等比数列,首项为2,公比为2,且log 2a n +1=(log 2a 1+1)×2n-1=2n.(2)解由(1)得b n =b2b .因为S n 为数列{b n }的前n 项和,所以S n =12+222+…+b2b ,则12S n =122+223+…+b2b +1.两式相减得12S n =12+122+…+12b −b 2b +1=1-12b −b 2b +1,所以S n =2-b +22b .3.已知等比数列{a n }的公比q>1,且a 3+a 4+a 5=28,a 4+2是a 3,a 5的等差中项.数列{b n }满足b 1=1,数列{(b n+1-b n )a n }的前n 项和为2n 2+n. (1)求q 的值;(2)求数列{b n }的通项公式.解:(1)由a 4+2是a 3,a 5的等差中项,得a 3+a 5=2a 4+4, 所以a 3+a 4+a 5=3a 4+4=28,解得a 4=8. 由a 3+a 5=20,得8(b +1b )=20, 解得q=2或q=12,因为q>1,所以q=2.(2)设c n =(b n+1-b n )a n ,数列{c n }前n 项和为S n , 由c n ={b 1,b =1,b b -b b -1,b ≥2,解得c n =4n-1.由(1)可知a n =2n-1, 所以b n+1-b n =(4n-1)·(12)b -1.故b n -b n-1=(4n-5)·(12)b -2,n ≥2,b n -b 1=(b n -b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b 3-b 2)+(b 2-b 1) =(4n-5)·(12)b -2+(4n-9)·(12)b -3+…+7·12+3.设T n =3+7·12+11·(12)2+…+(4n-5)·(12)b -2,n ≥2,12T n =3·12+7·(12)2+…+(4n-9)·(12)b -2+(4n-5)·(12)b -1,所以12T n =3+4·12+4·(12)2+…+4·(12)b -2-(4n-5)·(12)b -1,因此T n =14-(4n+3)·(12)b -2,n ≥2,又b 1=1,所以b n =15-(4n+3)·(12)b -2.4.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ,公比为q 的等比数列{b n }的首项是12,且a 1+2q=3,a 2+4b 2=6,S 5=40.(1)求数列{a n },{b n }的通项公式a n ,b n ; (2)求数列{1bb b b +1+1bb b b +1}的前n 项和T n .解:(1)设{a n }公差为d ,由题意得{b 1+2b =8,b 1+2b =3,b 1+b +2b =6,解得{b 1=2,b =3,b =12,故a n =3n-1,b n =(12)b.(2)∵1b b b b +1+1b b b b +1=13(1b b-1bb +1)+1b b b b +1=13(1b b-1bb +1)+22n+1,∴T n =13[(12-15)+15−18+…+13b -1−13b +2)]+8(1-4b )1-4=1312−13b +2+13(22n+3-8)=1322n+3-13b +2-52.5.已知数列{a n }的各项均不为零.设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{b b 2}的前n 项和为T n ,且3b b 2-4S n +T n =0,n ∈N *. (1)求a 1,a 2的值;(2)证明:数列{a n }是等比数列;(3)若(λ-na n )(λ-na n+1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值.(1)解3b b 2-4S n +T n =0,n ∈N *,令n=1,得3b 12-4a 1+b 12=0,因为a 1≠0,所以a 1=1.令n=2,得3(1+a 2)2-4(1+a 2)+(1+b 22)=0,即2b 22+a 2=0,因为a 2≠0,所以a 2=-12. (2)证明因为3b b 2-4S n +T n =0,①所以3b b +12-4S n+1+T n+1=0,②②-①得,3(S n+1+S n )a n+1-4a n+1+b b +12=0.因为a n+1≠0,所以3(S n+1+S n )-4+a n+1=0,③ 所以3(S n +S n-1)-4+a n =0(n ≥2),④ 当n ≥2时,③-④,得3(a n+1+a n )+a n+1-a n =0, 即a n+1=-12a n .因为a n ≠0,所以b b +1b b=-12. 又由(1)知,a 1=1,a 2=-12,所以b 2b 1=-12, 所以数列{a n }是以1为首项,-12为公比的等比数列. (3)解由(2)知,a n =(-12)b -1.因为对任意的n ∈N *,(λ-na n )(λ-na n+1)<0恒成立, 所以λ的值介于n (-12)b -1和n (-12)b之间.因为n (-12)b -1·n (-12)b<0对任意的n ∈N *恒成立,所以λ=0适合.若λ>0,当n 为奇数时,n (-12)b<λ<n (-12)b -1恒成立,从而有λ<b2b 恒成立.记p (n )=b 22b(n ≥4),因为p (n+1)-p (n )=(b +1)22b −b 22b=-b 2+2b +12b <0,所以p (n )≤p (4)=1,即b 22b ≤1,所以b2b ≤1b ,(*) 从而当n ≥5,且n ≥2b时,有λ≥2b≥b 2b -1,所以λ>0不符合题意.若λ<0,当n 为奇数时,n (-12)b<λ<n (-12)b -1恒成立,从而有-λ<b2b 恒成立.由(*)式知,当n ≥5,且n ≥-1b 时,有-λ≥1b ≥b2b , 所以λ<0不符合题意. 综上,实数λ的所有值为0.6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-b2b b2=1的离心率为e n,且e2=53,证明:e1+e2+…+e n>4b-3b3b-1.(1)解由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)证明由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-b2b b2=1的离心率e n=√1+b b2=√1+b2(b-1).由e2=√1+b2=53,解得q=43.因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以√1+b2(b-1)>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=b b-1b-1,故e1+e2+…+e n>4b-3b3b-1.。

【2020】高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练含答案6

专题能力训练 6 函数与方程及函数的应用一、能力突破训练
1.B 解析由题意得 f(x)单调递增,f(1)=-1<0,f(2)=>0,所以 f(x)=+log2x 的零点落在区间(1,2)内. 2.C 解析依题意得 g-2<0,g=1>0,则 x2 若 f(x)=1-10x,
则有 x1=0,此时|x1-x2|>,因此选 C. 3.B 解析设 AD 长为 x cm,则 CD 长为(16-x)cm,
f(x)+f(2-x)= 所以函数 y=f(x)-g(x)=f(x)-3+f(2-x)= 其图象如图所示. 显然函数图象与 x 轴有 2 个交点,故函数有 2 个零点. 13.(1)-1 (2)[2,+∞) 解析 (1)当 a=1 时,f(x)= 当 x<1 时,2x-1∈(-1,1); 当 x≥1 时,4(x-1)(x-2)∈[-1,+∞). 故 f(x)的最小值为-1. (2)若函数 f(x)=2x-a 的图象在 x<1 时与 x 轴有一个交点,则 a>0,并且当 x=1 时,f(1)=2-a>0,所以 0<a<2. 同时函数 f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在 x≥1 时与 x 轴有一个交点,所以 a<1. 若函数 f(x)=2x-a 的图象在 x<1 时与 x 轴没有交点,则函数 f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在 x≥1 时与 x 轴有两个不同的交点,当 a≤0 时,函数 f(x)=2x-a 的图象与 x 轴无交点,函数 f(x)=4(x-a)(x-2a)的图象在 x≥1 上与 x 轴也无交点,不满足题意. 当 21-a≤0,即 a≥2 时,函数 f(x)=4(x-a)·(x-2a)的图象与 x 轴的两个交点 x1=a,x2=2a 都满足题意. 综上,a 的取值范围为[2,+∞). 14.解 (1)当 0<x≤10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=8.1x--10; 当 x>10 时,W=xR(x)-(10+2.7x)=98--2.7x. 故 W= (2)①当 0<x≤10 时,由 W'=8.1-=0,得 x=9.当 x∈(0,9)时,W'>0;当 x∈(9,10]时,W'<0. 所以当 x=9 时,W 取得最大值, 即 Wmax=8.1×9-93-10=38.6.

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷5

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷全国统一高考数学试卷创作人：百里公地创作日期：202X.04.01审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校一．选择题1．（5分）函数的反函数是（）A．y=x2﹣1（x≥0）B．y=x2﹣1（x≥1）C．y=x2+1（x≥0）D．y=x2+1（x≥1）2．（5分）已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D3．（5分）若函数是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．4．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则当n＞1时，S n=（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．19．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．10．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．11．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．8B．6C．4D．3二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）13．（5分）的展开式中x2的系数为．14．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为．15．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．21．（12分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f （x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．参考答案与试题解析一．选择题1．（5分）函数的反函数是（）A．y=x2﹣1（x≥0）B．y=x2﹣1（x≥1）C．y=x2+1（x≥0）D．y=x2+1（x≥1）【考点】4R：反函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用反函数的求法求解即可．【解答】解：因为函数，解得x=y2﹣1，所以函数的反函数是y=x2﹣1（x≥0）．故选：A．【点评】本题考查函数的反函数的求法，考查计算能力．2．（5分）已知集合A={x|x是平行四边形}，B={x|x是矩形}，C={x|x是正方形}，D={x|x是菱形}，则（）A．A⊆BB．C⊆BC．D⊆CD．A⊆D【考点】1E：交集及其运算．【专题】11：计算题．【分析】直接利用四边形的关系，判断选项即可．【解答】解：因为菱形是平行四边形的特殊情形，所以D⊂A，矩形与正方形是平行四边形的特殊情形，所以B⊂A，C⊂A，正方形是矩形，所以C⊆B．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，几何图形之间的关系，基础题．3．（5分）若函数是偶函数，则φ=（）A．B．C．D．【考点】H6：正弦函数的奇偶性和对称性；HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】11：计算题．【分析】直接利用函数是偶函数求出ϕ的表达式，然后求出ϕ的值．【解答】解：因为函数是偶函数，所以，k∈z，所以k=0时，ϕ=∈[0，2π]．故选：C．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性，三角函数的解析式的应用，考查计算能力．4．（5分）已知α为第二象限角，，则sin2α=（）A．B．C．D．【考点】GG：同角三角函数间的基本关系；GS：二倍角的三角函数．【专题】11：计算题．【分析】直接利用同角三角函数的基本关系式，求出cosα，然后利用二倍角公式求解即可．【解答】解：因为α为第二象限角，，所以cosα=﹣=﹣．所以sin2α=2sinαcosα==．故选：A．【点评】本题考查二倍角的正弦，同角三角函数间的基本关系的应用，考查计算能力．5．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A．B．C．D．【考点】K3：椭圆的标准方程；K4：椭圆的性质．【专题】11：计算题．【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．【解答】解：由题意，椭圆的焦点在x轴上，且∴c=2，a2=8∴b2=a2﹣c2=4∴椭圆的方程为故选：C．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．6．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，S n=2a n+1，则当n＞1时，S n=（）A．（）n﹣1B．2n﹣1C．（）n﹣1D．（﹣1）【考点】8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．【解答】解：∵S n=2a n+1，得S n=2（S n+1﹣S n），即3S n=2S n+1，由a1=1，所以S n≠0．则=．∴数列{S n}为以1为首项，公比为的等比数列∴S n=．故选：A．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，则不同的演讲次序有（）A．240种B．360种C．480种D．720种【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】11：计算题．【分析】直接从中间的4个演讲的位置，选1个给甲，其余全排列即可．【解答】解：因为6位选手依次演讲，其中选手甲不在第一个也不在最后一个演讲，甲先安排在除开始与结尾的位置还有个选择，剩余的元素与位置进行全排列有，所以甲只能在中间的4个位置，所以不同的演讲次序有=480种．故选：C．【点评】本题考查排列、组合以及简单的计数原理的应用，考查计算能力．8．（5分）已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A．2B．C．D．1【考点】MI：直线与平面所成的角．【专题】11：计算题．【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面距离，最后利用等体积法求点面距离即可【解答】解：如图：连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥平面BDE，∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，=S△ABD×EC=××2×2×=在三棱锥E﹣ABD中，V E﹣ABD=×2×=2在三棱锥A﹣BDE中，BD=2，BE=，DE=，∴S△EBD=×S△EBD×h=×2×h=∴V A﹣BDE∴h=1故选：D．【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题9．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=，=，•=0，||=1，||=2，则=（）A．B．C．D．【考点】9Y：平面向量的综合题．【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2=AD•AB可求AD，进而可求，从而可求与的关系，进而可求【解答】解：∵•=0，∴CA⊥CB∵CD⊥AB∵||=1，||=2∴AB=由射影定理可得，AC2=AD•AB∴∴∴==故选：D．【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数量积的性质的应用．10．（5分）已知F1、F2为双曲线C：x2﹣y2=2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=2|PF2|，则cos∠F1PF2=（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题．【分析】根据双曲线的定义，结合|PF1|=2|PF2|，利用余弦定理，即可求cos∠F1PF2的值．【解答】解：将双曲线方程x2﹣y2=2化为标准方程﹣=1，则a=，b=，c=2，设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2，∴|PF1|=4，|PF2|=2，∵|F1F2|=2c=4，∴cos∠F1PF2====．故选：C．【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．11．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x【考点】72：不等式比较大小．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．【解答】解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故选：D．【点评】本题考查不等式比较大小，掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，．定点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）A．8B．6C．4D．3【考点】IQ：与直线关于点、直线对称的直线方程．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数．【解答】解：根据已知中的点E，F的位置，可知入射角的正切值为，第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，在DA，且DG=，第三次碰撞点为H，在DC 上，且DH=，第四次碰撞点为M，在CB上，且CM=，第五次碰撞点为N，在DA上，且AN=，第六次回到E点，AE=．故需要碰撞6次即可．故选：B．【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射后的点的位置，从而可得反射的次数，属于难题二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分，在试卷上作答无效）13．（5分）的展开式中x2的系数为 7 ．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题．【分析】直接利用二项式定理的通项公式，求出x2的系数即可．【解答】解：因为的展开式的通项公式为：=，当8﹣2r=2，即r=3时，的展开式中x2的系数为：=7．故答案为：7．【点评】本题考查二项式定理的应用，特定项的求法，考查计算能力．14．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1 ．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题．【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，如图所示由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小由可得C（0，1），此时z=﹣1故答案为：﹣1【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题15．（5分）当函数y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，x=．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】利用辅助角公式将y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣）（0≤x＜2π），即可求得y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．【解答】解：∵y=sinx﹣cosx=2（sinx﹣cosx）=2sin（x﹣）．∵0≤x＜2π，∴﹣≤x﹣＜，∴y max=2，此时x﹣=，∴x=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，着重考查辅助角公式的应用与正弦函数的性质，将y=sinx﹣cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin （x﹣）（0≤x＜2π）是关键，属于中档题．16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为．【考点】L2：棱柱的结构特征；LM：异面直线及其所成的角．【专题】11：计算题；16：压轴题．【分析】设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则，=（0，2，﹣1），由此利用向量法能够求出异面直线AE与D1F所成角的余弦值．【解答】解：设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，以DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），E（2，2，1）D1（0，0，2），F（0，2，1）∴，=（0，2，﹣1），设异面直线AE与D1F所成角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意向量法的合理运用．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．在试卷上作答无效！17．（10分）△ABC中，内角A，B，C成等差数列，其对边a，b，c满足2b2=3ac，求A．【考点】8N：数列与三角函数的综合．【专题】15：综合题；2A：探究型．【分析】由题设条件，可先由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得到B=，及A+C=，再由正弦定理将条件2b2=3ac转化为角的正弦的关系，结合cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC求得cosAcosC=0，从而解出A【解答】解：由A，B，C成等差数列，及A+B+C=π得B=，故有A+C=由2b2=3ac得2sin2B=3sinAsinC=，所以sinAsinC=所以cos（A+C）=cosAcosC﹣sinAsinC=cosAcosC﹣即cosAcosC﹣=﹣，可得cosAcosC=0所以cosA=0或cosC=0，即A是直角或C是直角所以A是直角，或A=【点评】本题考查数列与三角函数的综合，涉及了三角形的内角和，两角和的余弦公式，正弦定理的作用边角互化，解题的关键是熟练掌握等差数列的性质及三角函数的相关公式，本题考查了转化的思想，有一定的探究性及综合性18．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，前n项和（1）求a2，a3；（2）求{a n}的通项公式．【考点】8H：数列递推式．【专题】11：计算题．【分析】（1）直接利用已知，求出a2，a3；（2）利用已知关系式，推出数列相邻两项的关系式，利用累积法，求出数列的通项公式即可．【解答】解：（1）数列{a n}中，a1=1，前n项和，可知，得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3，由，得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3==6．（2）由题意知a1=1，当n＞1时，有a n=s n﹣s n﹣1=，整理得，于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，a n﹣1=a n﹣2，，将以上n个式子两端分别相乘，整理得：．综上{a n}的通项公式为【点评】本题考查数列的项的求法，累积法的应用，考查计算能力．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．【考点】LW：直线与平面垂直；MI：直线与平面所成的角；MM：向量语言表述线面的垂直、平行关系．【专题】11：计算题．【分析】（I）先由已知建立空间直角坐标系，设D（，b，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（II）先求平面PAB的法向量，再求平面PBC的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【解答】解：（I）以A为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A﹣xyz，设D（，b，0），则C（2，0，0），P（0，0，2），E（，0，），B（，﹣b，0）∴=（2，0，﹣2），=（，b，），=（，﹣b，）∴•=﹣=0，•=0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E∴PC⊥平面BED（II）=（0，0，2），=（，﹣b，0）设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则取=（b，，0）设平面PBC的法向量为=（p，q，r），则取=（1，﹣，）∵平面PAB⊥平面PBC，∴•=b﹣=0．故b=∴=（1，﹣1，），=（﹣，﹣，2）∴cos＜，＞==设PD与平面PBC所成角为θ，θ∈[0，]，则sinθ=∴θ=30°∴PD与平面PBC所成角的大小为30°【点评】本题主要考查了利用空间直角坐标系和空间向量解决立体几何问题的一般方法，线面垂直的判定定理，空间线面角的求法，有一定的运算量，属中档题20．（12分）乒乓球比赛规则规定：一局比赛，对方比分在10平前，一方连续发球2次后，对方再连续发球两次，依次轮换．每次发球，胜方得1分，负方得0分．设在甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立．甲、乙的一局比赛中，甲先发球．（1）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率；（2）求开始第5次发球时，甲领先得分的概率．【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；CA：n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，B i表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．B=，由此能求出开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率．（Ⅱ），P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，，，由C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，能求出开始第5次发球时，甲领先得分的概率．【解答】解：（Ⅰ）记A i表示事件：第1次和第2次这两次发球，甲共得i 分，i=0，1，2，B i表示事件：第3次和第4次这两次发球，甲共得i分，i=0，1，2，A表示事件：第3次发球，甲得1分，B表示事件：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2，C表示事件：开始第5次发球时，甲得分领先．∴B=，P（A）=0.4，P（A0）=0.42=0.16，P（A1）=2×0.6×0.4=0.48，P（B）==P（A 0•A）+P（）==0.16×0.4+0.48×（1﹣0.4）=0.352．答：开始第4次发球时，甲、乙的比分为1：2的概率是0.352．（Ⅱ），P（B1）=2×0.4×0.6=0.48，，，∵C=A1•B2+A2•B1+A2•B2，∴P（C）=P（A1•B2+A2B1+A2•B2）=P（A1•B2）+P（A2•B1）+P（A2•B2）=P（A1）P（B）+P（A2）P（B1）+P（A2）P（B2）=0.48×0.16+0.36×0.48+0.36×0.16=0.3072．答：开始第5次发球时，甲领先得分的概率是0.3072．【点评】本题考查事件的概率的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意n 次独立重复试验的性质和公式的灵活运用．21．（12分）已知函数．（1）讨论f（x）的单调性；（2）设f（x）有两个极值点x1，x2，若过两点（x1，f（x1）），（x2，f （x2））的直线l与x轴的交点在曲线y=f（x）上，求a的值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6C：函数在某点取得极值的条件．【专题】11：计算题；16：压轴题；3：解题思想；32：分类讨论．【分析】（1）先对函数进行求导，通过a的取值，求出函数的根，然后通过导函数的值的符号，推出函数的单调性．（2）根据导函数的根，判断a的范围，进而解出直线l的方程，利用l与x轴的交点为（x0，0），可解出a的值．【解答】解：（1）f′（x）=x2+2x+a=（x+1）2+a﹣1．①当a≥1时，f′（x）≥0，且仅当a=1，x=﹣1时，f′（x）=0，所以f（x）是R上的增函数；②当a＜1时，f′（x）=0，有两个根，x1=﹣1﹣，x2=﹣1+，当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．当x∈时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．当x∈时，f′（x）＞0，f（x）是增函数．（2）由题意x1，x2，是方程f′（x）=0的两个根，故有a＜1，，，因此====，同理．因此直线l的方程为：y=．设l与x轴的交点为（x0，0）得x0=，=，由题设知，点（x0，0）在曲线y=f（x）上，故f（x0）=0，解得a=0，或a=或a=【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件，考查分类讨论，函数与方程的思想，考查计算能力．22．（12分）已知抛物线C：y=（x+1）2与圆（r＞0）有一个公共点A，且在A处两曲线的切线为同一直线l．（Ⅰ）求r；（Ⅱ）设m，n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m，n的交点为D，求D到l的距离．【考点】IM：两条直线的交点坐标；IT：点到直线的距离公式；KJ：圆与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题；16：压轴题．【分析】（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），根据y=（x+1）2，求出l的斜率，圆心M（1，），求得MA的斜率，利用l⊥MA建立方程，求得A的坐标，即可求得r的值；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1，若该直线与圆M相切，则圆心M 到该切线的距离为，建立方程，求得t的值，求出相应的切线方程，可得D的坐标，从而可求D到l的距离．【解答】解：（Ⅰ）设A（x0，（x0+1）2），∵y=（x+1）2，y′=2（x+1）∴l的斜率为k=2（x0+1）当x0=1时，不合题意，所以x0≠1圆心M（1，），MA的斜率．∵l⊥MA，∴2（x0+1）×=﹣1∴x0=0，∴A（0，1），∴r=|MA|=；（Ⅱ）设（t，（t+1）2）为C上一点，则在该点处的切线方程为y﹣（t+1）2=2（t+1）（x﹣t），即y=2（t+1）x﹣t2+1若该直线与圆M相切，则圆心M到该切线的距离为∴∴t2（t2﹣4t﹣6）=0∴t0=0，或t1=2+，t2=2﹣抛物线C在点（t i，（t i+1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l，m，n，其方程分别为y=2x+1①，y=2（t1+1）x﹣②，y=2（t2+1）x﹣③②﹣③：x=代入②可得：y=﹣1∴D（2，﹣1），∴D到l的距离为【点评】本题考查圆与抛物线的综合，考查抛物线的切线方程，考查导数知识的运用，考查点到直线的距离公式的运用，关键是确定切线方程，求得交点坐标．。

(课标专用)天津市高考数学二轮复习题型练4大题专项(二)数列的通项、求和问题

（课标专用）天津市高考数学二轮复习题型练4大题专项（二）数列的通项、求和问题题型练第56页1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=3,S4=16,数列{b n}满足a1b1+a2b2+…+a n b n=n.(1)求{b n}的通项公式;(2)求数列的前n项和T n.解:(1)设首项为a1,公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=3,S4=16,所以解得a1=1,d=2,所以a n=1+2(n-1)=2n-1.因为a1b1+a2b2+…+a n b n=n,所以1·b1+3·b2+…+(2n-1)b n=n,①所以当n≥2时,1·b1+3·b2+…+(2n-3)b n-1=n-1,②①-②得,(2n-1)b n=1,所以b n=,当n=1时,b1=1(首项符合通项),故b n=.(2)因为b n=,所以,所以T n=1-+…+=.2.已知数列{a n}满足a1=2,a n+1=2,n∈N*.(1)证明:数列{1+log2a n}为等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.(1)证明由a n+1=2,两边取以2为底的对数,得log2a n+1=1+2log2a n,则log2a n+1+1=2(log2a n+1),所以{1+log2a n}为等比数列,首项为2,公比为2,且log2a n+1=(log2a1+1)×2n-1=2n.(2)解由(1)得b n=.因为S n为数列{b n}的前n项和,所以S n=+…+,则S n=+…+.两式相减得S n=+…+=1-,所以S n=2-.3.已知等比数列{a n}的公比q>1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{b n}满足b1=1,数列{(b n+1-b n)a n}的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列{b n}的通项公式.解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.由a3+a5=20,得8=20,解得q=2或q=,因为q>1,所以q=2.(2)设c n=(b n+1-b n)a n,数列{c n}前n项和为S n,由c n=解得c n=4n-1.由(1)可知a n=2n-1,所以b n+1-b n=(4n-1)·.故b n-b n-1=(4n-5)·,n≥2,b n-b1=(b n-b n-1)+(b n-1-b n-2)+…+(b3-b2)+(b2-b1)=(4n-5)·+(4n-9)·+…+7·+3.设T n=3+7·+11·+…+(4n-5)·,n≥2,T n=3·+7·+…+(4n-9)·+(4n-5)·,所以T n=3+4·+4·+…+4·-(4n-5)·,因此T n=14-(4n+3)·,n≥2,又b1=1,所以b n=15-(4n+3)·.4.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,公比为q的等比数列{b n}的首项是,且a1+2q=3,a2+4b2=6,S5=40.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式a n,b n;(2)求数列的前n项和T n.解:(1)设{a n}公差为d,由题意得解得故a n=3n-1,b n=.(2)∵+22n+1,∴T n=++…++(22n+3-8)=22n+3--.5.已知数列{a n}的各项均不为零.设数列{a n}的前n项和为S n,数列{}的前n项和为T n,且3-4S n+T n=0,n∈N*.(1)求a1,a2的值;(2)证明:数列{a n}是等比数列;(3)若(λ-na n)(λ-na n+1)<0对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的所有值.(1)解3-4S n+T n=0,n∈N*,令n=1,得3-4a1+=0,因为a1≠0,所以a1=1.令n=2,得3(1+a2)2-4(1+a2)+(1+)=0,即2+a2=0,因为a2≠0,所以a2=-.(2)证明因为3-4S n+T n=0,①所以3-4S n+1+T n+1=0,②②-①得,3(S n+1+S n)a n+1-4a n+1+=0.因为a n+1≠0,所以3(S n+1+S n)-4+a n+1=0,③所以3(S n+S n-1)-4+a n=0(n≥2),④当n≥2时,③-④,得3(a n+1+a n)+a n+1-a n=0,即a n+1=-a n.因为a n≠0,所以=-.又由(1)知,a1=1,a2=-,所以=-,所以数列{a n}是以1为首项,-为公比的等比数列.(3)解由(2)知,a n=.因为对任意的n∈N*,(λ-na n)(λ-na n+1)<0恒成立,所以λ的值介于n和n之间.因为n·n<0对任意的n∈N*恒成立,所以λ=0适合.若λ>0,当n为奇数时,n<λ<n恒成立,从而有λ<恒成立.记p(n)=(n≥4),因为p(n+1)-p(n)=<0,所以p(n)≤p(4)=1,即≤1,所以,(*)从而当n≥5,且n≥时,有λ≥,所以λ>0不符合题意.若λ<0,当n为奇数时,n<λ<n恒成立,从而有-λ<恒成立.由(*)式知,当n≥5,且n≥-时,有-λ≥,所以λ<0不符合题意.综上,实数λ的所有值为0.6.已知数列{a n}的首项为1,S n为数列{a n}的前n项和,S n+1=qS n+1,其中q>0,n∈N*.(1)若2a2,a3,a2+2成等差数列,求数列{a n}的通项公式;(2)设双曲线x2-=1的离心率为e n,且e2=,证明:e1+e2+…+e n>.(1)解由已知,S n+1=qS n+1,S n+2=qS n+1+1,两式相减得到a n+2=qa n+1,n≥1.又由S2=qS1+1得到a2=qa1,故a n+1=qa n对所有n≥1都成立.所以,数列{a n}是首项为1,公比为q的等比数列.从而a n=q n-1.由2a2,a3,a2+2成等差数列,可得2a3=3a2+2,即2q2=3q+2,则(2q+1)(q-2)=0,由已知,q>0,故q=2.所以a n=2n-1(n∈N*).(2)证明由(1)可知,a n=q n-1.所以双曲线x2-=1的离心率e n=.由e2=,解得q=.因为1+q2(k-1)>q2(k-1),所以>q k-1(k∈N*).于是e1+e2+…+e n>1+q+…+q n-1=,故e1+e2+…+e n>.。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期教学检测

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二学期教学检测选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．设全集U={1，2，3，4，5，6} ，设集合P={1，2，3，4} ，Q{3，4，5}，则P ∩（C U Q ）=A.{1，2，3，4，6}B.{1，2，3，4，5}C.{1，2，5}D.{1,2}2. 在某次测量中得到的A 样本数据如下：52，54，54，56，56，56，55，55，55，55.若B 样本数据恰好是A 样本数据都加6后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是A. 众数B..平均数 C .中位数 D .标准差 3.已知i 是虚数单位，若i 1zi3-=+,则z 的共轭复数为 A 1-2i B 2-4i C i 222- D 1+2i 4．设l 是直线，a ，β是两个不同的平面,A. 若l ∥a ，l ∥β，则a ∥βB. 若l ∥a ，l ⊥β，则a ⊥βC. 若a ⊥β，l ⊥a ，则l ⊥βD. 若a ⊥β,l ∥a ，则l ⊥β5．函数2sin (09)63x y x ππ⎛⎫=-≤≤⎪⎝⎭的最大值与最小值之差为 A 32+ B .4 C . 3 D .32-6．"0"a ≤“是函数|)ax 2(x |)x (f -=在区间(0,+)∞内单调递增”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件7．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为A.2x y =B.2x y = C .28x y = D .216x y = 8．已知c b a abc x x x x f <<-+-=,96)(23，且0)()()(===c f b f a f ，现给出如下结论：①0)1()0(>f f ；②0)1()0(<f f ；③0)3()0(>f f ；④0)3()0(<f f . 其中正确结论的序号是（）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④非选择题部分（共110分）二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. 已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是______.10. 经过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是．11. 曲线21x y xe x =++在点（0,1）处的切线方程为 . 12. 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则_____;a 5= 13. 已知平面向量(2,4)a=，．2),1(b -=若()c a a b b =-⋅，则||c=_____________．14. 定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离，已知曲线C 1：y=x 2+a 到直线l:y=x 的距离等于曲线C 2：x 2+(y+4)2=2到直线l:y=x 的距离，则实数a=_______. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本题满分12分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且。

(新课标)天津市新2020年高考数学二轮复习题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题理【下载】

题型练3 大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.(2018浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P.(1)求sin(α+π)的值;(2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值.2.(2018北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-.(1)求A;(2)求AC边上的高.3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.4.已知函数f(x)=4tan x sin cos.(1)求f(x)的定义域与最小正周期;(2)讨论f(x)在区间上的单调性.5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形.(1)求ω与a的值;(2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值.6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈.(1)若m⊥n,求tan x的值;(2)若m与n的夹角为,求x的值.题型练3大题专项(一)三角函数、解三角形综合问题1.解 (1)由角α的终边过点P,得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α=(2)由角α的终边过点P,得cos α=-,由sin(α+β)=,得cos(α+β)=±由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β=2.解 (1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B,∴sin B=由正弦定理,得,∴sin A=∵B,∴A,∴A=(2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A=如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D.∵sin C=,∴h=BC·sin C=7,∴AC边上的高为3.解 (1)由题设得ac sin B=,即c sin B=由正弦定理得sin C sin B=故sin B sin C=(2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-,即cos(B+C)=-所以B+C=,故A=由题设得bc sin A=,即bc=8.由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c=故△ABC的周长为3+4.解 (1)f(x)的定义域为f(x)=4tan x cos x cos=4sin x cos=4sin x=2sin x cos x+2sin2x-=sin 2x+(1-cos 2x)-=sin 2x-cos 2x=2sin,所以,f(x)的最小正周期T==π.(2)令z=2x-,函数y=2sin z的单调递增区间是,k∈Z.由-+2kπ≤2x-+2kπ,得-+kπ≤x+kπ,k∈Z.设A=,B=,易知A∩B=所以,当x时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.5.解 (1)由已知可得f(x)=a=a sin∵BC==4,∴T=8,∴ω=由题图可知,正三角形ABC的高即为函数f(x)的最大值a,得a=BC=2(2)由(1)知f(x0)=2sin,即sin∵x0,x0+,∴cos,∴f(x0+1)=2sin=2sin=2=26.解 (1)∵m=,n=(sin x,cos x),且m⊥n,∴m·n=(sin x,cos x)=sin x-cos x=sin=0.又x,∴x-∴x-=0,即x=tan x=tan=1.(2)由(1)和已知,得cos==sin又x-,∴x-,即x=。

天津市2020〖人教版〗高三数学复习试卷第二次联考数学理科

天津市2020年〖人教版〗高三数学复习试卷第二次联考数学理科创作人：百里公地创作日期：202X.04.01 审核人：北堂址重创作单位：博恒中英学校第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)函数2lg(2)()x x f x x-++=的定义域为（） A(-1,0)(0,2) B ．（-1,0)(0,+∞) C ．（一∞，-1)(2,+∞) D ．（-1,2)(2)已知集合{}|2,*M x x a b a N ==+∈，对任意,x y M ∈，则下列说法错误的是（）A ．x y M +∈B ．2x M ∈C ．x y M ⋅∈D ．x M y∈ (3)已知225535232(),(),log ,,,555a b c a b c ===则的大小关系是（） A. a<c0)的增大，增长速度最快的是（）A. y =1，x ∈ZB. y=xC. y= 2xD. y=x e(5)11(2)ex dx x +⎰等于（） A. e 2 -2 B. e 一1 C. e 2 D.e+1(6)原命题为“三角形ABC 中，若cosA <0，则三角形ABC 为钝角三角形”，关于其遵命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（）A ．真，真，真 B. 假，假，真C ．真，真，假D ．真，假，假(7)已知函数()ln f x x b x =+在区间(0，2)上不是单调函数，则b 的取值范围是（）A ．（一∞，0)B ．（一∞，-2)C ．（-2,0)D ．（-2,+∞）(8)函数()sin ln ||f x x x =⋅的图象大致是（）(9)下列函数中，与函数()3x x e e f x --=的奇偶性、单调性均相同的是（） (10)已知函数()|1|x f x e =-满足()()()f a f b a b =≠，在区间[a ，2b]上的最大值为e-1，则b 为（）A.ln3B. 13C. 12D.l (11)已知定义在R 上的函数()f x 满足：()2f x +∈①=2f(x);②当x [-1,1]时，()cos .2f x x π=记函数g (x)= f (x) -log 4(x+l)，则函数g(x)在区间[0，10]内零点个数是（）A ．12B ．11C ．10D ．9(12)函数()f x 在R 上可导，下列说法正确的是（）A ．若()'()0f x f x +>对任意x ∈R 恒成立，则有(2)(1)ef f 对任意x ∈R 恒成立，则有(0)(1)1f e ef +>+D ．若()'()1f x f x -<对任意x ∈R 恒成立，则有(1)(0)1ef e f -+>+第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置．(13)命题“任意x ∈(0，+∞)，都有x 2-2x >0”的否定是____。

(课标专用)天津市2020高考数学二轮复习题型练1选择题、填空题综合练(一)

题型练1 选择题、填空题综合练(一)题型练第50页一、能力突破训练1.(2019全国Ⅱ,理1)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B=()A.(-∞,1)B.(-2,1)C.(-3,-1)D.(3,+∞)答案:A解析:由题意,得A={x|x<2,或x>3},B={x|x<1},所以A∩B={x|x<1},故选A.2.若a>b>1,0<c<1,则()A.a c2,所以B错;因为3log2=-3<2log3=-2log32,所以C正确;因为log3=-log32>-1=log2,所以D错.故选C.3.(2019北京,理4)已知椭圆=1(a>b>0)的离心率为,则()A.a2=2b2B.3a2=4b2C.a=2bD.3a=4b答案:B解析:椭圆的离心率e=,c2=a2-b2,化简得3a2=4b2,故选B.4.(2019浙江,5)设a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件答案:A解析:当a>0,b>0时,a+b≥ ,若a+b≤4,则2≤a+b≤4,所以ab≤4,充分性成立;当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立.综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件.5.某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图:建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案:A解析:设建设前经济收入为1,则建设后经济收入为2,建设前种植收入为0.6,建设后种植收入为2×0.37=0.74,故A不正确;建设前的其他收入为0.04,养殖收入为0.3,建设后其他收入为0.1,养殖收入为0.6,故B,C正确;建设后养殖收入与第三产业收入的总和所占比例为58%,故D 正确,故选A.6.函数f(x)=x cos x2在区间[0,2]上的零点的个数为()A.2B.3C.4D.5答案:A解析:令f(x)=0,即x cos x2=0,得x=0或cos x2=0,则x=0或x2=kπ+,k∈Z.∵x∈[0,2],∴x2∈[0,4],得k的取值为0,即方程f(x)=0有两个解,则函数f(x)=x cos x2在该区间上的零点的个数为2,故选A.7.如图,半圆的直径AB的长为6,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点.若P为半径OC 上的动点,则()·的最小值为()A.B.9 C.-D.-9答案:C,∴解析:∵ =2,∴()·=2=-2||·||.又||+||=||= ≥ · ⇒||·||≤4()· ≥-.故答案为-.8.函数f(x)=(1-cos x)sin x在区间[-π,π]上的图象大致为()答案:C解析:由函数f(x)为奇函数,排除B;当0≤x≤π时,f(x)≥0,排除A;又f'(x)=-2cos2x+cos x+1,令f'(0)=0,得cos x=1或cos x=-,结合x∈[-π,π],求得f(x)在区间(0,π]上的极大值点为,靠近π,排除D.9.若复数z满足2z+。

【2020】高考数学(理科,天津课标版)二轮复习专题能力训练含答案11

请说明理由.
专题能力训练 11 等差数列与等比数列
一、能力突破训练
1.D 解析因为 a4+a10+a16=30,所以 3a10=30,即 a10=10,所以 a18-
2a14=-a10=-10.故选 D.
2.A 解析由题意得 log2(a2·a3·a5·a7·a8)=log2=5log2a5=5,所以
(1)求{an}的通项公式;
(2)求 Sn,并求 Sn 的最小值.
11.已知数列{an}是等比数列.设 a2=2,a5=16.
(1)若 a1+a2+…+a2n=t(+…+),n∈N*,求实数 t 的值;
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(2)若在之间插入 k 个数 b1,b2,…,bk,使得,b1,b2,…,bk,成等差数列,求
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所以当 n=4 时,Sn 取得最小值,最小值为-16. 11.解设等比数列{an}的公比为 q,由 a2=2,a5=16,得 q=2,a1=1.
(1)∵a1+a2+…+a2n=t(+…+), =t,即=t 对 n∈N*都成立,∴t=3. (2)=1,, 且,b1,b2,…,bk,成等差数列, ∴公差 d==-,且=(k+1)d, 即-1=(k+1),解得 k=13.
∵a3,a4,a8 成等比数列,∴(a1+3d)2=(a1+2d)(a1+7d),即 3a1d+5d2=0. ∵d≠0, ∴a1d=-d2<0,且 a1=-d. ∵dS4==2d(2a1+3d)=-d2<0,故选 B. 5.D 解析由已知得=2,则{an+1}是公比为 2 的等比数列,所以 a4+1=(a2+1)·22=12.所以 a4=11.故选 D. 6.16 解析因为 S10==40⇒ a1+a10=a3+a8=8,a3>0,a8>0,所以 a3·a8=16, 当且仅当 a3=a8=4 时取等号. 7.64 解析由已知 a1+a3=10,a2+a4=a1q+a3q=5, 两式相除得, 解得 q=,a1=8, 所以 a1a2…an=8n,抛物线 f(n)=-n2+n 的对称轴为 n=-=3.5, 又 n∈N*,所以当 n=3 或 4 时,a1a2…an 取最大值为=26=64. 8 解析由题意知解得 xz=y2=y2,x+z=y, 从而-2=-2= 9.(1)证明由 an+1=3an-2n 可得 an+1-2n+1=3an-2n-2n+1=3an-3·2n=3(an-2n). 又 a2=3a1-2,则 S2=a1+a2=4a1-2, 得 a2+S2=7a1-4=31,得 a1=5,则 a1-21=3≠0. 故{an-2n}为等比数列. (2)解由(1)可知 an-2n=3n-1(a1-2)=3n,∴an=2n+3n, ∴Sn==2n+1+ 10.解 (1)设{an}的公差为 d,由题意得 3a1+3d=-15. 由 a1=-7 得 d=2. 所以{an}的通项公式为 an=2n-9. (2)由(1)得 Sn=n2-8n=(n-4)2-16.

(新课标)天津市2020年高考数学二轮复习题型练5 大题专项(三)统计与概率问题理

题型练5 大题专项(三)统计与概率问题1.为推动乒乓球运动的发展,某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名,其中种子选手2名;乙协会的运动员5名,其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A 发生的概率;(2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.2.(2018北京,理17)电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;(3)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等.用“ξk=1”表示第k类电影得到人们喜欢,用“ξk=0”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差D(ξ1),D(ξ2),D(ξ3),D(ξ4),D(ξ5),D(ξ6)的大小关系.3.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出60%的概率;(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值.4.(2018天津,理16)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.5.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X,求X的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.6.某工厂为了检查一条流水线的生产情况,从该流水线上随机抽取40件产品,测量这些产品的质量(单位:g),整理后得到如下的频率分布直方图(其中质量的分组区间分别为(490,495],(495,500],(500,505],(505,510],(510,515]).(1)若从这40件产品中任取两件,设X为质量超过505 g的产品数量,求随机变量X的分布列;(2)若将该样本分布近似看作总体分布,现从该流水线上任取5件产品,求恰有两件产品的质量超过505 g的概率.题型练5大题专项(三)统计与概率问题1.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=k)=(k=1,2,3,4).所以,随机变量X的分布列为X 1 2 3 4P随机变量X的数学期望E(X)=1+2+3+42.解 (1)设“从电影公司收集的电影中随机选取1部,这部电影是获得好评的第四类电影”为事件A,第四类电影中获得好评的电影为200×0.25=50(部).P(A)==0.025.(2)设“从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,恰有1部获得好评”为事件B,P(B)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.(3)由题意可知,定义随机变量如下:ξk=则ξk显然服从两点分布,则六类电影的分布列及方差计算如下:第一类电影:ξ1 1 0P0.4 0.6D(ξ1)=0.4×0.6=0.24;第二类电影:ξ2 1 0P0.2 0.8D(ξ2)=0.2×0.8=0.16;第三类电影:ξ3 1 0P0.15 0.85D(ξ3)=0.15×0.85=0.127 5;第四类电影:ξ4 1 0P0.25 0.75D(ξ4)=0.25×0.75=0.187 5;第五类电影:ξ5 1 0P0.2 0.8D(ξ5)=0.2×0.8=0.16;第六类电影:ξ6 1 0P0.1 0.9D(ξ6)=0.1×0.9=0.09.综上所述,D(ξ1)>D(ξ4)>D(ξ2)=D(ξ5)>D(ξ3)>D(ξ6).3.解 (1)设A表示事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费”,则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1,故P(A)=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.(2)设B表示事件:“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”,则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3,故P(B)=0.1+0.05=0.15.又P(AB)=P(B),故P(B|A)=因此所求概率为(3)记续保人本年度的保费为X,则X的分布列为X0.85a a1.25a1.5a1.75a2aP0.30 0.15 0.20 0.20 0.10 0.05E(X)=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a.因此续保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.4.解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.(2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.P(X=k)=(k=0,1,2,3).所以,随机变量X的分布列为X0 1 2 3P随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2+3②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”,则A=B∪C,且B与C互斥.由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1),故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=所以,事件A发生的概率为5.解 (1)X可能的取值为10,20,100,-200.根据题意,P(X=10)=;P(X=20)=;P(X=100)=;P(X=-200)=所以X的分布列为X10 20 100 -200P(2)设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件A i(i=1,2,3),则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=所以,“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P(A1A2A3)=1-=1-因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是(3)X的数学期望为E(X)=10+20+100-200=-这表明,获得分数X的均值为负,因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.6.解 (1)根据频率分布直方图可知,质量超过505 g的产品数量为[(0.01+0.05)×5]×40=12.由题意得随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=;P(X=1)=;P(X=2)=则随机变量X的分布列为X0 1 2P(2)由题意得该流水线上产品的质量超过505 g的概率为=0.3.设Y为该流水线上任取5件产品质量超过505 g的产品数量,则Y~B(5,0.3).故所求概率为P(Y=2)=0.32×0.73=0.308 7.。

【复习必备】(新课标)天津市2020年高考数学二轮复习综合能力训练理

综合能力训练第Ⅰ卷(选择题,共40分)一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.已知集合A=,B={x|y=lg(4x-x2)},则A∩B等于()A.(0,2]B.[-1,0)C.[2,4)D.[1,4)2.设直线x+y=1与抛物线y2=2px(p>0)交于A,B两点,若OA⊥OB,则△OAB的面积为()A.1B.C.D.23.已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()A.a<b<cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a4.(2018浙江,3)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是()A.2B.4C.6D.85.执行如图所示的程序框图.若输入n=3,则输出的S=()A.B.C.D.6.已知双曲线=1(a>0,b>0)被斜率为1的直线截得的弦的中点为(4,1),则该双曲线离心率的值是()A.B.C.D.27.已知函数f(x)=若f(1)+f(a)=2,则a的所有可能值为()A.1B.-C.1,-D.1,8.已知实数a,b,c.()A.若|a2+b+c|+|a+b2+c|≤1,则a2+b2+c2<100B.若|a2+b+c|+|a2+b-c|≤1,则a2+b2+c2<100C.若|a+b+c2|+|a+b-c2|≤1,则a2+b2+c2<100D.若|a2+b+c|+|a+b2-c|≤1,则a2+b2+c2<100第Ⅱ卷(非选择题,共110分)二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知a,b∈R,i是虚数单位,若(1+i)(1-b i)=a,则的值为.10.在(2x-1)5的展开式中,含x2的项的系数是.(用数字填写答案)11.已知两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内部,且互相外切,若球O1与过点A 的正方体的三个面相切,球O2与过点C1的正方体的三个面相切,则球O1和O2的表面积之和的最小值为.12.在极坐标系中,直线4ρcos+1=0与圆ρ=2sin θ的公共点的个数为.13.设变量x,y满足约束条件的最小值是.14.a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论:①当直线AB与a成60°角时,AB与b成30°角;②当直线AB与a成60°角时,AB与b成60°角;③直线AB与a所成角的最小值为45°;④直线AB与a所成角的最大值为60°.其中正确的是.(填写所有正确结论的编号)三、解答题(本大题共6小题,共80分)15.(13分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知sin(A+C)=8sin2.(1)求cos B;(2)若a+c=6,△ABC的面积为2,求b.16.(13分)已知数列{a n}中,a1=2,且a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,并证明{a n-n}是等比数列;(2)设b n=,求数列{b n}的前n项和S n.17.(13分)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q 分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ.(2)是否存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.18.(13分)某小组共10人,利用假期参加义工活动,已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4,现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会.(1)设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”,求事件A发生的概率;(2)设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望.19.(14分)已知椭圆C:=1(a>b>0)的左、右焦点F1,F2与椭圆短轴的一个端点构成边长为4的正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)过椭圆C上任意一点P作椭圆C的切线与直线F1P的垂线F1M相交于点M,求点M的轨迹方程;(3)若切线MP与直线x=-2交于点N,求证:为定值.20.(14分)已知函数f(x)=ln(1+x)+x2-x(a≥0).(1)若f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,求a的取值范围;(2)已知e为自然对数的底数,证明:∀n∈N*,<e.##综合能力训练1.A解析∵A=[-1,2],B=(0,4),∴A∩B=(0,2].故选A.2.B解析设A(x1,y1),B(x2,y2),由x+y=1与抛物线y2=2px,得y2+2py-2p=0,解得y1=-p+,x1=1+p-,y2=-p-,x2=1+p+,由OA⊥OB得,x1x2+y1y2=0,即[(1+p)2-(p2+2p)]+[p2-(p2+2p)]=0,化简得2p=1,从而A,B,OA2==5-2,OB2==5+2,△OAB的面积S=|OA||OB|=故选B.3.C解析∵f(x)是R上的奇函数,∴g(x)=xf(x)是R上的偶函数.∴g(-log25.1)=g(log25.1).∵奇函数f(x)在R上是增函数,∴当x>0时,f(x)>0,f'(x)>0.∴当x>0时,g'(x)=f(x)+xf'(x)>0恒成立,∴g(x)在区间(0,+∞)上是增函数.∵2<log25.1<3,1<20.8<2,∴20.8<log25.1<3.结合函数g(x)的性质得b<a<c.故选C.4.C解析由三视图可知该几何体为直四棱柱.∵S底=(1+2)×2=3,h=2,∴V=Sh=3×2=6.5.B解析由题意得,输出的S为数列的前3项和,而,即S n=故当输入n=3时,S3=,故选B.6.A解析设直线l与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2),则=0,即由弦的中点为(4,1),直线的斜率为1可知,x1+x2=8,y1+y2=2,=1,,e2=1+e=故选A.7.C解析∵f(1)=e1-1=1,∴f(a)=1.若a∈(-1,0),则sin(πa2)=1,∴a=-若a∈[0,+∞),则e a-1=1,∴a=1.因此a=1或a=-8.D解析 (举反例排除)选项A中,令a=b=10,c=-110,则|a2+b+c|+|a+b2+c|=|100+10-110|+|10+100-110|=0<1.而a2+b2+c2=100+100+1102=200+1102>100,故选项A不成立;选项B中,令a=10,b=-100,c=0,则|a2+b+c|+|a2+b-c|=0<1.而a2+b2+c2=100+1002+0>100,故选项B不成立;选项C中,令a=100,b=-100,c=0,则|a+b+c2|+|a+b-c2|=0<1.而a2+b2+c2=1002+1002+0>100,故选项C不成立;故选D.9.2解析 (1+i)(1-b i)=1+b+(1-b)i=a,则所以=2.故答案为2.10.-40解析 (2x-1)5的展开式的通项为T r+1=(2x)5-r(-1)r=(-1)r25-r x5-r.根据题意,得5-r=2,解得r=3.所以含x2项的系数为(-1)325-3=-22=-40.11.3(2-)π解析∵AO1=R1,C1O2=R2,O1O2=R1+R2,∴(+1)(R1+R2)=,R1+R2=,球O1和O2的表面积之和为4π()≥4π·2=2π(R1+R2)2=3(2-)π.12.2解析∵4ρcos+1=0,展开得2cos θ+2ρsin θ+1=0,∴直线的直角坐标方程为2x+2y+1=0.∵ρ=2sin θ两边同乘ρ得ρ2=2ρsin θ,∴圆的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,圆心为(0,1),半径r=1.∴圆心到直线的距离d=<r=1.∴直线与圆相交.∴直线与圆公共点的个数为2.13.1解析由约束条件作出可行域如图,联立解得A(3,2),的几何意义为可行域内的动点与定点P(1,0)连线的斜率,则其最小值为k PA==1.14.②③解析由题意,AB是以AC为轴,BC为底面半径的圆锥的母线,由AC⊥a,AC⊥b,得AC⊥圆锥底面,在底面内可以过点B,作BD∥a,交底面圆C于点D,如图所示,连接DE,则DE⊥BD,∴DE∥b.连接AD,在等腰三角形ABD中,设AB=AD=,当直线AB与a成60°角时,∠ABD=60°,故BD=又在Rt△BDE中,BE=2,∴DE=,过点B作BF∥DE,交圆C于点F,连接AF,由圆的对称性可知BF=DE=,∴△ABF为等边三角形,∴∠ABF=60°,即AB与b成60°角,②正确,①错误.由最小角定理可知③正确;很明显,可以满足直线a⊥平面ABC,直线AB与a所成的最大角为90°,④错误.故正确的说法为②③.15.解 (1)由题设及A+B+C=π,得sin B=8sin2,故sin B=4(1-cos B).上式两边平方,整理得17cos2B-32cos B+15=0,解得cos B=1(舍去),cos B=(2)由cos B=得sin B=,故S△ABC=ac sin B=ac.又S△ABC=2,则ac=由余弦定理及a+c=6得b2=a2+c2-2ac cos B=(a+c)2-2ac(1+cos B)=36-2=4.所以b=2.16.解 (1)由已知a n=2a n-1-n+2(n≥2,n∈N*)得a2=4,a3=7.a n-n=2a n-1-2n+2,即a n-n=2[a n-1-(n-1)].=2(n≥2,n∈N*),且a1-1=1,∴{a n-n}是以1为首项,2为公比的等比数列.(2)由(1)得a n-n=(a1-1)·2n-1,即a n=2n-1+n,∴b n==1+设c n=,且前n项和为T n,则T n=+…+, ①T n=+…+, ②①-②,得T n=1++…+=2-故T n=4-,S n=n+4-17.解法一 (1)证明:如图①,连接AD1,由ABCD-A1B1C1D1是正方体,知BC1∥AD1.当λ=1时,P是DD1的中点,又F是AD的中点,所以FP∥AD1,所以BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)如图②,连接BD.因为E,F分别是AB,AD的中点,所以EF∥BD,且EF=BD.又DP=BQ,DP∥BQ,所以四边形PQBD是平行四边形,故PQ∥BD,且PQ=BD,从而EF∥PQ,且EF=PQ.在Rt△EBQ和Rt△FDP中,因为BQ=DP=λ,BE=DF=1,所以EQ=FP=,所以四边形EFPQ也是等腰梯形.同理可证四边形PQMN也是等腰梯形.分别取EF,PQ,MN的中点为H,O,G,连接OH,OG,则GO⊥PQ,HO⊥PQ,而GO∩HO=O,故∠GOH是平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角的平面角.若存在λ使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则∠GOH=90°.连接EM,FN,则由EF∥MN,且EF=MN知四边形EFNM是平行四边形.连接GH,因为H,G是EF,MN的中点,所以GH=ME=2.在△GOH中,GH2=4,OH2=1+λ2-=λ2+,OG2=1+(2-λ)2-=(2-λ)2+,由OG2+OH2=GH2,得(2-λ)2++λ2+=4,解得λ=1±,故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.解法二以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图③所示的空间直角坐标系.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1).因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角,则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±故存在λ=1±,使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角.18.解 (1)由已知,有P(A)=所以,事件A发生的概率为(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=所以,随机变量X的分布列为随机变量X的数学期望E(X)=0+1+2=1.19.(1)解依题意,2c=a=4,∴c=2,b=2∴椭圆C的标准方程为=1.(2)解由(1)知F1(-2,0),设P(x0,y0),M(x,y),过椭圆C上点P的切线方程为=1, ①直线F1P的斜率,则直线MF1的斜率=-, 直线MF1的方程为y=-(x+2),即yy0=-(x0+2)(x+2), ②①②联立,解得x=-8,故点M的轨迹方程为x=-8.(3)证明依题意及(2),知点M,N的坐标可表示为M(-8,y M),N(-2,y N),点N在切线MP上,由①式得y N=,点M在直线MF1上,由②式得y M=,|NF1|2=,|MF1|2=[(-2)-(-8)]2+,故=, ③注意到点P在椭圆C上,即=1,于是,代入③式并整理得,故的值为定值20.(1)解∵f(x)=ln(1+x)+x2-x,其定义域为(-1,+∞),∴f'(x)=+ax-1=①当a=0时,f'(x)=-,当x∈(0,+∞)时,f'(x)<0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.②当0<a<1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=>0,当x时,f'(x)<0,则f(x)在区间内单调递减,此时,f(x)<f(0)=0,不符合题意.③当a=1时,f'(x)=,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.④当a>1时,令f'(x)=0,得x1=0,x2=<0,当x∈(0,+∞)时,f'(x)>0,则f(x)在区间(0,+∞)内单调递增,此时,f(x)>f(0)=0,符合题意.综上所述,a的取值范围为[1,+∞).(2)证明由(1)可知,当a=0时,f(x)<0对x∈(0,+∞)都成立,即ln(1+x)<x对x∈(0,+∞)都成立,∴ln+ln+…+ln+…+,即ln…由于n∈N*,则=1.∴ln<1.<e.由(1)可知,当a=1时,f(x)>0对x∈(0,+∞)都成立,即x-x2<ln(1+x)对x∈(0,+∞)都成立,+…+<ln+ln+…+ln ,即<ln,得<ln由于n∈N*,则<ln<e.。

2020高考数学课标二轮(天津专用)训练题：题型练8 大题专项(六) 函数与导数综合问题

-
��0
- ��0 - ��0
的斜率 k=
1 ��0
-
��0 + 1 ��0 - 1
1
= . -
��0 + 1 ��0 - 1
-
��0
��0
1
1
曲线 y=ex 在点 B -lnx0,��0 处切线的斜率是��0,曲线 y=lnx 在点 A(x0,lnx0)处切线的斜率也
+
1 2
<
1 2
+
1
2=1=f(x)min.
所以当
a=-1
��( -
时,f(x)+ ��
��)
>
1
2.
1
(2)解假设存在实数 a,使 f(x)=ax-ln(-x)的最小值为 3,f'(x)=a-��,x∈[-e,0).
1
1
①若 a≥-��,由于 x∈[-e,0),则 f'(x)=a-��≥0,
x∈(ln(3a),+∞)时,f(x)单调递增; 当 a<0 时,x∈(-∞,ln(-a))时,f(x)单调递减,x∈(ln(-a),+∞)时,f(x)单调递增. (2)由 ex(x-a)+3a2e-x-x2-a2+10>f(x), 可得,ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10>0, 令 g(x)=ex(x-a-1)-x2+2ax-a2+10, 只需在 x∈(0,+∞)时使 g(x)min>0 即可. g'(x)=ex(x-a-1)+ex-2x+2a=(ex-2)(x-a), ①当 a≤0 时,x-a>0.当 0<x<ln2 时,g'(x)<0, 当 x>ln2 时,g'(x)>0,

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