九年级数学点和圆的位置关系

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中考数学第19讲点、直线和圆的位置关系及其计算(一领三通)(解析版)

第19讲点、直线和圆的位置关系及其计算一、考点知识梳理【考点1 切线的性质与判定】1.点与圆的位置关系(设r为圆的半径，d为点到圆心的距离)位置关系,数量(d与r)点在圆内d＜r,点在圆上d＝r,点在圆外d＞r，数量(d与r)2.直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．3.判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．位置关系,相离,相切,相交公共点个数,0,1,2公共点的名称,无,切点,交点数量关系,d＞r,d＝r,d＜r4.切线的判定：判定切线的方法有三种：①利用切线的定义，即与圆有唯一公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③经过半径的外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．5.切线的五个性质：①切线与圆只有一个公共点；②切线到圆心的距离等于圆的半径；③切线垂直于经过切点的半径；④经过圆心垂直于切线的直线必过切点；⑤经过切点垂直于切线的直线必过圆心．6.切线长定理：经过圆外一点作圆的切线，这点与切点之间的线段的长度，叫做这点到圆的切线长．经圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【考点2 三角形内切圆】内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．二、考点分析【考点1 切线的性质与判定】【解题技巧】1．判断直线与圆相切时：(1)直线与圆的公共点已知时，连半径证垂直；(2)直线与圆的公共点未知时，过圆心作直线的垂线证垂线段等于半径．2．利用切线的性质解决问题，通常连过切点的半径，构造直角三角形来解决．3.由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．【例1】（2019 浙江杭州中考）如图，P为圆O外一点，PA，PB分别切圆O于A，B两点，若PA＝3，则PB ＝（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B．【分析】连接OA、OB、OP，根据切线的性质得出OA⊥PA，OB⊥PB，然后证得Rt△AOP≌Rt△BOP，即可求得PB＝PA＝3．【解答】解：连接OA、OB、OP，∵PA，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB＝PA＝3，故选：B．【一领三通1-1】（2019 重庆中考）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，BC与⊙O交于点D，连结OD．若∠C＝50°，则∠AOD的度数为（）A．40°B．50°C．80°D．100°【答案】C．【分析】由切线的性质得出∠BAC＝90°，求出∠ABC＝40°，由等腰三角形的性质得出∠ODB＝∠ABC＝40°，再由三角形的外角性质即可得出结果．【解答】解：∵AC是⊙O的切线，∴AB⊥AC，∴∠BAC＝90°，∵∠C＝50°，∴∠ABC＝40°，∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠ABC＝40°，∴∠AOD＝∠ODB+∠ABC＝80°；故选：C．【一领三通1-2】（2019上海中考）已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（）A．11 B．10 C．9 D．8【答案】C．【分析】如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．构建方程组即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙A，⊙B，⊙C的半径为x，y，z．由题意：，解得，故选：C．【一领三通1-3】（2019 南京中考）如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，点C、D在⊙O上．若∠P ＝102°，则∠A+∠C＝．【答案】219°．【分析】连接AB，根据切线的性质得到PA＝PB，根据等腰三角形的性质得到∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，由圆内接四边形的性质得到∠DAB+∠C＝180°，于是得到结论．【解答】解：连接AB，∵PA、PB是⊙O的切线，∴PA＝PB，∵∠P＝102°，∴∠PAB＝∠PBA＝（180°﹣102°）＝39°，∵∠DAB+∠C＝180°，∴∠PAD+∠C＝∠PAB+∠DAB+∠C＝180°+39°＝219°，故答案为：219°．【一领三通1-4】（2019浙江温州中考）如图，⊙O分别切∠BAC的两边AB，AC于点E，F，点P在优弧（）上，若∠BAC＝66°，则∠EPF等于度．【答案】57°【分析】连接OE ，OF ，由切线的性质可得OE ⊥AB ，OF ⊥AC ，由四边形内角和定理可求∠EOF ＝114°，即可求∠EPF 的度数．【解答】解：连接OE ，OF∵⊙O 分别切∠BAC 的两边AB ，AC 于点E ，F ∴OE ⊥AB ，OF ⊥AC 又∵∠BAC ＝66° ∴∠EOF ＝114° ∵∠EOF ＝2∠EPF ∴∠EPF ＝57° 故答案为：57°【考点2 三角形内切圆】【解题技巧】1.任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．2.三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．3.直角三角形的外接圆与内切圆半径的求法：若a ，b 是Rt △ABC 的两条直角边，c 为斜边，则(1)直角三角形的外接圆半径R ＝c 2；(2)直角三角形的内切圆半径r ＝a ＋b －c2.【例2】（2019 云南中考）如图，△ABC 的内切圆⊙O 与BC 、CA 、AB 分别相切于点D 、E 、F ，且AB ＝5，BC ＝13，CA ＝12，则阴影部分（即四边形AEOF ）的面积是（）A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A．【分析】利用勾股定理的逆定理得到△ABC为直角三角形，∠A＝90°，再利用切线的性质得到OF⊥AB，OE ⊥AC，所以四边形OFAE为正方形，设OE＝AE＝AF＝r，利用切线长定理得到BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，所以5﹣r+12﹣r＝13，然后求出r后可计算出阴影部分（即四边形AEOF）的面积．【解答】解：∵AB＝5，BC＝13，CA＝12，∴AB2+CA2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵AB、AC与⊙O分别相切于点E、F∴OF⊥AB，OE⊥AC，∴四边形OFAE为正方形，设OE＝r，则AE＝AF＝r，∵△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴BD＝BF＝5﹣r，CD＝CE＝12﹣r，∴5﹣r+12﹣r＝13，∴r＝＝2，∴阴影部分（即四边形AEOF）的面积是2×2＝4．故选：A．【一领三通2-1】（2019•台湾）如图，直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，根据图中标示的长度与角度，求AD的长度为何？（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】设AD＝x，利用切线长定理得到BD＝BE＝1，AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，然后根据勾股定理得到（x+1）2+52＝（x+4）2，最后解方程即可．【解答】解：设AD＝x，∵直角三角形ABC的内切圆分别与AB、BC相切于D点、E点，∴BD＝BE＝1，∴AB＝x+1，AC＝AD+CE＝x+4，在Rt△ABC中，（x+1）2+52＝（x+4）2，解得x＝，即AD的长度为．故选：D．【一领三通2-2】（2019•山东济南模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过点D作⊙O的切线BC于点M，切点为N，则DM的长为（）A．B．C．D．2【答案】A．【分析】连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，得到∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，由于AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点得到∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，推出四边形AFOE，FBGO是正方形，得到AF＝BF＝AE＝BG＝2，由勾股定理列方程即可求出结果．【解答】解：连接OE，OF，ON，OG，在矩形ABCD中，∵∠A＝∠B＝90°，CD＝AB＝4，∵AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，∴∠AEO＝∠AFO＝∠OFB＝∠BGO＝90°，∴四边形AFOE，FBGO是正方形，∴AF＝BF＝AE＝BG＝2，∴DE＝3，∵DM是⊙O的切线，∴DN＝DE＝3，MN＝MG，∴CM＝5﹣2﹣MN＝3﹣MN，在R t△DMC中，DM2＝CD2+CM2，∴（3+NM）2＝（3﹣NM）2+42，∴NM＝，∴DM＝3＝，故选：A．【一领三通2-3】（2019•青海）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”，三斜即指三角形的三条边长，可以用该方法求三角形面积．若改用现代数学语言表示，其形式为：设a，b，c为三角形三边，S为面积，则S＝①这是中国古代数学的瑰宝之一．而在文明古国古希腊，也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式，若设p＝（周长的一半），则S＝②（1）尝试验证．这两个公式在表面上形式很不一致，请你用以5，7，8为三边构成的三角形，分别验证它们的面积值；（2）问题探究．经过验证，你发现公式①和②等价吗？若等价，请给出一个一般性推导过程（可以从①⇒②或者②⇒①）；（3）问题引申．三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值，很多数学家给出了不同形式的计算公式．请你证明如下这个公式：如图，△ABC的内切圆半径为r，三角形三边长为a，b，c，仍记p＝，S为三角形面积，则S＝pr．【分析】（1）由公式①得：S＝＝10，由②得：p＝＝10，S＝＝10；（2）求出2p＝a+b+c，把①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），即可得出结论；（3）连接OA、OB、OC，S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC，由三角形面积公式即可得出结论．【解答】解：（1）由①得：S＝＝10，由②得：p＝＝10，S＝＝10；（2）公式①和②等价；推导过程如下：∵p＝，∴2p＝a+b+c，①中根号内的式子可化为：（ab+）（ab﹣）＝（2ab+a2+b2﹣c2）（2ab﹣a2﹣b2+c2）＝[（a+b）2﹣c2][c2﹣（a﹣b）2]＝（a+b+c）（a+b﹣c）（c+a﹣b）（c﹣a+b）＝×2p×（2p﹣2c）（2p﹣2b）（2p﹣2a）＝p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴＝；（3）连接OA、OB、OC，如图所示：S＝S△AOB+S△AOC+S△BOC＝rc+rb+ra＝（）r＝pr．【一领三通2-4】（2019 山西中考）阅读以下材料，并按要求完成相应的任务：莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）是瑞士数学家，在数学上经常见到以他的名字命名的重要常数，公式和定理，下面就是欧拉发现的一个定理：在△ABC中，R和r分别为外接圆和内切圆的半径，O和I分别为其中外心和内心，则OI2＝R2﹣2Rr．如图1，⊙O和⊙I分别是△ABC的外接圆和内切圆，⊙I与AB相切分于点F，设⊙O的半径为R，⊙I的半径为r，外心O（三角形三边垂直平分线的交点）与内心I（三角形三条角平分线的交点）之间的距离OI＝d，则有d2＝R2﹣2Rr．下面是该定理的证明过程（部分）：延长AI交⊙O于点D，过点I作⊙O的直径MN，连接DM，AN．∵∠D＝∠N，∠DMI＝∠NAI（同弧所对的圆周角相等）．∴△MDI∽△ANI．∴＝，∴IA•ID＝IM•IN，①如图2，在图1（隐去MD，AN）的基础上作⊙O的直径DE，连接BE，BD，BI，IF．∵DE是⊙O的直径，所以∠DBE＝90°．∵⊙I与AB相切于点F，所以∠AFI＝90°，∴∠DBE＝∠IFA．∵∠BAD＝∠E（同弧所对的圆周角相等），∴△AIF∽△EDB，∴＝．∴IA•BD＝DE•IF②任务：（1）观察发现：IM＝R+d，IN＝（用含R，d的代数式表示）；（2）请判断BD和ID的数量关系，并说明理由．（3）请观察式子①和式子②，并利用任务（1），（2）的结论，按照上面的证明思路，完成该定理证明的剩余部分；（4）应用：若△ABC的外接圆的半径为5cm，内切圆的半径为2cm，则△ABC的外心与内心之间的距离为cm．【分析】（1）直接观察可得；（2）BD＝ID，只要证明∠BID＝∠DBI，由三角形内心性质和圆周角性质即可得证；（3）应用（1）（2）结论即可；（4）直接代入计算．【解答】解：（1）∵O、I、N三点共线，∴OI+IN＝ON∴IN＝ON﹣OI＝R﹣d故答案为：R﹣d；（2）BD＝ID理由如下：如图3，过点I作⊙O直径MN，连接AI交⊙O于D，连接MD，BI，BD，∵点I是△ABC的内心∴∠BAD＝∠CAD，∠CBI＝∠ABI∵∠DBC＝∠CAD，∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠DBC+∠CBI∴∠BID＝∠DBI∴BD＝ID（3）由（2）知：BD＝ID∴IA•ID＝DE•IF∵DE•IF＝IM•IN∴2R•r＝（R+d）（R﹣d）∴R2﹣d2＝2Rr∴d2＝R2﹣2Rr（4）由（3）知：d2＝R2﹣2Rr；将R＝5，r＝2代入得：d2＝52﹣2×5×2＝5，∵d＞0∴d＝故答案为：．三、【达标测试】（一）选择题1.（2019•哈尔滨）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连接AC、BC，若∠P＝50°，则∠ACB的度数为（）A．60°B．75°C．70°D．65°【答案】D．【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【解答】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣50°＝130°，∴∠ACB＝∠AOB＝×130°＝65°．故选：D．2.（2019•广州）平面内，⊙O的半径为1，点P到O的距离为2，过点P可作⊙O的切线条数为（）A．0条B．1条C．2条D．无数条【答案】C．【分析】先确定点与圆的位置关系，再根据切线的定义即可直接得出答案．【解答】解：∵⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，∴d＞r，∴点P与⊙O的位置关系是：P在⊙O外，∵过圆外一点可以作圆的2条切线，故选：C．3.（2019 河北唐山中考模拟）如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF 面积的最小值为（）A．B．C．2D．【答案】A．【分析】连接DP，根据直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，求得AB的长，即可得出⊙P的半径，证△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF面积的最小，利用锐角三角函数求出DP的长，即可得出四边形PEDF面积的最小值．【解答】解：如图，连接DP，∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，1），∴AB＝，∵过点D（3，0）向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，∴DE＝DF，PE⊥DE，∵PE＝PF，PD＝PD，∴△PED≌△PFD（SSS），∵⊙P的半径为，∴DE＝，当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，∴四边形PEDF面积的最小值为．故选：A．4.（2019 天津北辰区中考模拟）如图，AB、AC为⊙O的切线，B、C是切点，延长OB到D，使BD＝OB，连接AD，如果∠DAC＝78°，那么∠ADO等于（）A．70°B．64°C．62°D．51°【答案】B．【分析】连接OC．证明∠CAO＝∠OAB＝∠BAD，从而进一步求解．【解答】解：连接OC．则OC＝OB，AC＝AB，OA＝OA，△AOC≌△AOB．∴∠CAO＝∠BAO．∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB．∵BD＝OB，∴AB是线段OD的垂直平分线，OA＝AD．∴∠OAB＝∠DAB＝∠OAC＝×78°＝26°．∠ADO＝180°﹣∠ABD﹣∠DAB＝180°﹣90°﹣26°＝64°．故选：B．5.（2019 山东威海中考模拟）如图，AB是半圆O的直径，点D在半圆O上，AB＝2，AD＝10，C是弧BD上的一个动点，连接AC，过D点作DH⊥AC于H，连接BH，在点C移动的过程中，BH的最小值是（）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D．【分析】如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．由题意点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，推出当M、H、B共线时，BH的值最小；【解答】解：如图，取AD的中点M，连接BD，HM，BM．∵DH⊥AC，∴∠AHD＝90°，∴点H在以M为圆心，MD为半径的⊙M上，∴当M、H、B共线时，BH的值最小，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∴BD＝＝12，BM＝＝＝13，∴BH的最小值为BM﹣MH＝13﹣5＝8．故选：D．6.（2019 辽宁葫芦岛中考模拟）设正三角形△1的面积为S1，作△1的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为△2，面积为S2，如此下去作一系列的正三角形△3，△4，……，其面积相应为S3，S4，……，设S1＝1，T n＝S1+S2+……+S n，则当n充分大时，T n的值最接近以下哪个值？（）A．B．C．D．2【答案】C．【分析】由题意T n＝1++…+（）n﹣1①，两边乘4得到：4T n＝4+1++…+（）n﹣2②，②﹣①得到：3T n ＝4﹣（）n﹣1，由此即可判断．【解答】解：由题意：S1＝1，S2＝，S3＝（）2，…S n＝（）n﹣1，∴T n＝1++…+（）n﹣1①两边乘4得到：4T n＝4+1++…+（）n﹣2②，②﹣①得到：3T n＝4﹣（）n﹣1，当n充分大时，（）n﹣1接近0，∴T n的值接近，故选：C．7.（2019 河南郑州中考模拟）如图，A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，连接AC、CE、EB、BD、DA，得到一个五角星图形和五边形MNFGH．有下列3个结论：①AO⊥BE，②∠CGD＝∠COD+∠CAD，③BM＝MN＝NE．其中正确的结论是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】A．【分析】根据圆的性质得到AO⊥BE，故①正确；由A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，得到的度数＝＝72°求得∠COD＝72°根据圆周角定理得到∠CAD＝36°；连接CD求得∠CGD＝108°，于是得到∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝，∴AO⊥BE，故①正确；∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴的度数＝＝72°∴∠COD＝72°∵∠COD＝2∠CAD∴∠CAD＝36°；连接CD∵A、B、C、D、E是⊙O上的5等分点，∴＝＝＝，∴∠BDC＝∠DCE＝∠CAD＝36°，∴∠CGD＝108°，∴∠CGD＝∠COD+∠CAD，故②正确；连接AB，AE，则∠BAM＝∠ABM＝∠EAN＝∠AEN＝36°，∵AB＝AE，∴△ABM≌△AEN（ASA），∴BM＝EN＝AM＝AN，∵∠MAN＝36°，∴AM≠MN，③错误．故选：A．8.（2019 河北沧州中考模拟）如图以正五边形ABCDE的顶点A为圆心，AE为半径作圆弧交BA的延长线于点A'，再以点B为圆心，BA'为半径作圆弧交CB的延长线于B'，依次进行．得到螺旋线，再顺次连结EA'，AB'，BC'，CD'，DE'，得到5块阴影区域，若记它们的面积分别为S1，S2，S3，S4，S5，且满足S5﹣S2＝1，则S4﹣S3的值为（）A．B．C．D．【答案】D．【分析】设五边形的边长为a．求出各个阴影部分的面积，根据S5﹣S2＝1，寻找关系式，即可解决问题．【解答】解：设五边形的边长为a．则S1＝﹣•a2•sin72°，S2＝﹣•a•2a•sin72°，S3＝﹣•a•3a•sin72°，S4＝﹣•a•4a•sin72°，S5＝﹣•a•5a•sin72°，∵S5﹣S2＝1，∴5πa2﹣πa2﹣a2•sin72°＝1，∴•π•a2﹣a2•sin72°＝1，∴S4﹣S3＝πa2﹣πa2﹣a2sin72°＝π•a2﹣a2sin72°＝，故选：D．（二）填空题1.（2019 山东淄博中考模拟）如图，已知A（6，0），B（4，3）为平面直角坐标系内两点，以点B圆心的⊙B经过原点O，BC⊥x轴于点C，点D为⊙B上一动点，E为AD的中点，则线段CE长度的最大值为．【答案】．【分析】如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．因为AC＝CA′，DE＝EA，所以EC＝DA′，求出DA′的最大值即可解决问题．【解答】解：如图，作点A关于点C的对称点A′，连接BA′，BD，DA′．由题意AC＝CA′＝2，BC＝3，BD＝OB＝＝5，∴BA′＝＝，∵AC＝CA′，DE＝EA，∴EC＝DA′，∵DA′≤BD+BA′，∴DA′≤5+，∴DA′的最大值为5+，∴EC的最大值为，故答案为．2.（2019 河北衡水中考模拟）点I为△ABC的内心，连AI交△ABC的外接圆于点D，若AI＝2CD，点E为弦AC的中点，连接EI，IC，若IC＝6，ID＝5，则IE的长为．【答案】4．【分析】延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．想办法求出CM，证明IE是△ACM的中位线即可解决问题；【解答】解：延长ID到M，使得DM＝ID，连接CM．∵I是△ABC的内心，∴∠IAC＝∠IAB，∠ICA＝∠ICB，∵∠DIC＝∠IAC+∠ICA，∠DCI＝∠BCD+∠ICB，∠BCD＝∠IAB，∴∠DIC＝∠DCI，∴DI＝DC＝DM，∴∠ICM＝90°，∴CM＝＝8，∵AI＝2CD＝10，∴AI＝IM，∵AE＝EC，∴IE＝CM＝4，故答案为4．3.（2019 湖北黄石中考模拟）如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点E，F分别在边AD，BC上，且点B，F关于过点E的直线对称，如果EF与以CD为直径的圆恰好相切，那么AE＝．【答案】6﹣．【分析】设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，由B、F关于EH对称，推出HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，在Rt△EFH中，根据EF2＝EH2+HF2，列出方程即可解决问题．【解答】解：如图，设⊙O与EF相切于M，连接EB，作EH⊥BC于H．由题意易知四边形AEHB是矩形，设AE＝BH＝x，由切线长定理可知，ED＝EM，FC＝FM，∵B、F关于EH对称，∴HF＝BH＝x，ED＝EM＝8﹣x，FC＝FM＝8﹣2x，EF＝16﹣3x，在Rt△EFH中，∵EF2＝EH2+HF2，∴42+x2＝（16﹣3x）2，解得x＝6﹣或6+（舍弃），∴AE＝6﹣，故答案为：6﹣．4.（2019 上海黄浦区中考模拟）如图，ABCDE是正五边形，已知AG＝1，则FG+JH+CD＝．【答案】+1．【分析】根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，推出四边形JHBG是平行四边形，推出JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，推出CD＝FB，推出FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，由△AFG∽△BFA，推出AF2＝FG•FB，由此构建方程求出x即可解决问题；【解答】解：根据对称性可知：GJ∥BH，GB∥JH，∴四边形JHBG是平行四边形，∴JH＝BG，同理可证：四边形CDFB是平行四边形，∴CD＝FB，∴FG+JH+CD＝FG+BG+FB＝2BF，设FG＝x，∵∠AFG＝∠AFB，∠FAG＝∠ABF＝36°，∴△AFG∽△BFA，∴AF2＝FG•FB，∵AF＝AG＝BG＝1，∴x（x+1）＝1，∴x＝（负根已经舍弃），∴BF＝+1＝，∴FG+JH+CD＝+1．故答案为+1．5.（2019天津南开区中考模拟）如图，已知AB为⊙O的直径，直线l与⊙O相切于点D，AC⊥l于C，AC交⊙O于点E，DF⊥AB于F．若AE＝3，CD＝2，则⊙O的直径为．【答案】5．【分析】利用切线的性质，易得OD∥AC，继而证明AD是∠BAC的角平分线，根据角平分线的性质定理可证得：CD＝DF，AF＝AC，进而证得△BDF≌△EDC，则BF＝CE；根据AC＝AF，BF＝CE即可求解．【解答】解：连接DE，BD．∵DC是圆的切线．∴∠EDC＝∠DAC，OD⊥直线l，∵AC⊥直线l．∴OD∥AC，∴∠ADO＝∠DAC，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADO，∴∠OAD＝∠DAC，∴DF＝CD＝2，∠ADF＝∠ADC，∴AF＝AC，∵∠DCE＝∠ACD，∴△CDE∽△CAD，∴CD：CA＝CE：CD，∴CD2＝CE•CA，即4＝CE（CE+3），解得：CE＝1，∵DF⊥AB，AC⊥l于C，∴∠BFD＝∠DCE＝90°，在△BDF和△EDC中，，∴△BDF≌△EDC（AAS），∴FB＝CE＝1，∴AB＝BF+AF＝BF+AC＝1+AE+CE＝1+3+1＝5．方法二：连接BE交OD于H，解直角三角形△OEH即可解决问题；故答案为：5．6.（2019 河北廊坊中考模拟）如图，半圆的圆心与坐标原点重合，半圆的半径1，直线l的解析式为y＝x+t．若直线l与半圆只有一个交点，则t的取值范围是．【答案】t＝或﹣1≤t＜1．【分析】若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．当直线和半圆相切于点C时，根据直线的解析式知直线与x轴所形成的锐角是45°，从而求得DOC＝45°，即可求出点C的坐标，进一步求得t的值；当直线过点B时，直接根据待定系数法求得t的值．【解答】解：若直线与半圆只有一个交点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或从直线过点A开始到直线过点B结束（不包括直线过点A）．直线y＝x+t与x轴所形成的锐角是45°．当直线和半圆相切于点C时，则OC垂直于直线，∠COD＝45°．又OC＝1，则CD＝OD＝，即点C（﹣，），把点C的坐标代入直线解析式，得t＝y﹣x＝，当直线过点A时，把点A（﹣1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝1．当直线过点B时，把点B（1，0）代入直线解析式，得t＝y﹣x＝﹣1．即当t＝或﹣1≤t＜1时，直线和圆只有一个公共点；故答案为t＝或﹣1≤t＜1．7.（2019四川成都中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，点P在AC上，AP＝2，若⊙O的圆心在线段BP上，且⊙O与AB、AC都相切，则⊙O的半径是．【答案】1．【分析】设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．根据切线长定理和勾股定理求解．【解答】解：设⊙O和AC，AB分别相切于点D、E，连接OD、OE．设圆的半径是x．在直角三角形ABC中，根据勾股定理得BC＝6．又PC＝8﹣2＝6，则BC＝PC，所以∠BPC＝45°，∴PD＝OD＝x，AD＝x+2，根据切线长定理得AE＝x+2，BE＝10﹣（2+x）＝8﹣x，OB＝BP﹣OP＝6﹣x；在直角三角形OBE中，根据勾股定理得：（6﹣x）2＝x2+（8﹣x）2，∴x＝1，即⊙O的半径是1．故答案为⊙O的半径是1．8.（2019山东济南中考模拟）图1为一锐角是30°的直角三角尺，其边框为透明塑料制成（内、外直角三角形对应边互相平行且三处所示宽度相等）．将三角尺移向直径为4cm的⊙O，它的内Rt△ABC的斜边AB恰好等于⊙O的直径，它的外Rt△A′B′C′的直角边A′C′恰好与⊙O相切（如图2）．则边B′C′的长．【答案】（3+）cm．【分析】过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，由AC与A′C′，根据与平行线中的一条直线垂直，与另一条也垂直，得到OD与AC垂直，可得DE为三角尺的宽，由A′C′与圆O相切，根据切线的性质得到OD为圆的半径，根据直径AB的长，求出半径OA，OB及OD的长，在直角三角形AOE中，根据∠A＝30°，利用直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半可得出OE等于OA的一半，由OA的长求出OE的长，再由OD﹣OE求出DE的长，即三角尺的宽为1，设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH＝30°，AH＝1，得到AM＝2AH＝2，可计算出MN，在Rt△MB′N中利用含30°的直角三角形三边的关系得到B′N长，即可得出答案．【解答】解：过O作OD⊥A′C′于D，交AC于E，∵AC∥A′C′，∴AC⊥OD，∵A′C′与⊙O相切，AB为圆O的直径，且AB＝4cm，∴OD＝OA＝OB＝AB＝×4cm＝2cm，在Rt△AOE中，∠A＝30°，∴OE＝OA＝×2cm＝1cm，∴DE＝OD﹣OE＝2cm﹣1cm＝1cm，则三角尺的宽为1cm，∵在Rt△ACB中，AB＝4cm，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝2cm，AC＝BC＝2cm，设直线AC交A′B′于M，交B′C′于N，过A点作AH⊥A′B′于H，则有∠AMH＝30°，AH＝1cm，得到AM＝2AH＝2cm，∴MN＝AM+AC+CN＝（3+2）cm，在Rt△MB′N中，∵∠B′MN＝30°，∴B′N＝MN×tan30°＝（3+2）×＝（+2）cm，则B′C′＝B′N+NC′＝（3+）cm，故答案为：（3+）cm．（三）解答题1.（2019 甘肃中考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．（1）求证：∠A＝∠ADE；（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．【分析】（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．【解答】（1）证明：连接OD，∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，解得x＝，∴BC＝＝．2.（2019 广东中考）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作∠BCD＝∠ACB交⊙O 于点D，连接AD交BC于点E，延长DC至点F，使CF＝AC，连接AF．（1）求证：ED＝EC；（2）求证：AF是⊙O的切线；（3）如图2，若点G是△ACD的内心，BC•BE＝25，求BG的长．【分析】（1）由AB＝AC知∠ABC＝∠ACB，结合∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC得∠BCD＝∠ADC，从而得证；（2）连接OA，由∠CAF＝∠CFA知∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，结合∠ACB＝∠BCD得∠ACD＝2∠ACB，∠CAF＝∠ACB，据此可知AF∥BC，从而得OA⊥AF，从而得证；（3）证△ABE∽△CBA得AB2＝BC•BE，据此知AB＝5，连接AG，得∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，由点G为内心知∠DAG＝∠GAC，结合∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB得∠BAG＝∠BGA，从而得出BG＝AB ＝5．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，又∵∠ACB＝∠BCD，∠ABC＝∠ADC，∴∠BCD＝∠ADC，∴ED＝EC；（2）如图1，连接OA，∵AB＝AC，∴＝，∴OA⊥BC，∵CA＝CF，∴∠CAF＝∠CFA，∴∠ACD＝∠CAF+∠CFA＝2∠CAF，∵∠ACB＝∠BCD，∴∠ACD＝2∠ACB，∴∠CAF＝∠ACB，∴AF∥BC，∴OA⊥AF，∴AF为⊙O的切线；（3）∵∠ABE＝∠CBA，∠BAD＝∠BCD＝∠ACB，∴△ABE∽△CBA，∴＝，∴AB2＝BC•BE，∴BC•BE＝25，∴AB＝5，如图2，连接AG，∴∠BAG＝∠BAD+∠DAG，∠BGA＝∠GAC+∠ACB，∵点G为内心，∴∠DAG＝∠GAC，又∵∠BAD+∠DAG＝∠GDC+∠ACB，∴∠BAG＝∠BGA，∴BG＝AB＝5．3.（2019 江徐州苏中考）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为的中点．过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD．（1）求证：∠A＝∠DOB；（2）DE与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由．【分析】（1）连接OC，由D为的中点，得到＝，根据圆周角定理即可得到结论；（2）根据平行线的判定定理得到AE∥OD，根据平行线性质得到OD⊥DE，于是得到结论．【解答】（1）证明：连接OC，∵D为的中点，∴＝，∴∠BOD＝BOC，∵∠BAC＝BOC，∴∠A＝∠DOB；（2）解：DE与⊙O相切，理由：∵∠A＝∠DOB，∴AE∥OD，∵DE⊥AE，∴OD⊥DE，∴DE与⊙O相切．4.（2019 辽宁大连中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P．且∠APC＝∠BCP（1）求证：∠BAC＝2∠ACD；（2）过图1中的点D作DE⊥AC，垂足为E（如图2），当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．【分析】（1）作DF⊥BC于F，连接DB，根据切线的性质得到∠PAC＝90°，根据圆周角定理得到∠ADC＝90°，得到∠DBC＝∠DCB，得到DB＝DC，根据线段垂直平分线的性质、圆周角定理证明即可；（2）根据垂径定理求出FC，证明△DEC≌△CFD，根据全等三角形的性质得到DE＝FC＝3，根据射影定理计算即可．【解答】（1）证明：作DF⊥BC于F，连接DB，∵AP是⊙O的切线，∴∠PAC＝90°，即∠P+∠ACP＝90°，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即∠PCA+∠DAC＝90°，∴∠P＝∠DAC＝∠DBC，∵∠APC＝∠BCP，∴∠DBC＝∠DCB，∴DB＝DC，∵DF⊥BC，∴DF是BC的垂直平分线，∴DF经过点O，∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD，∵∠BDC＝2∠ODC，∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD；（2）解：∵DF经过点O，DF⊥BC，∴FC＝BC＝3，在△DEC和△CFD中，，∴△DEC≌△CFD（AAS）∴DE＝FC＝3，∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，∴DE2＝AE•EC，则EC＝＝，∴AC＝2+＝，∴⊙O的半径为．5.（2019 天津中考）已知PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠APB＝80°，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，求∠ACB的大小；（Ⅱ）如图②，AE为⊙O的直径，AE与BC相交于点D．若AB＝AD，求∠EAC的大小．【分析】（Ⅰ）连接OA、OB，根据切线的性质得到∠OAP＝∠OBP＝90°，根据四边形内角和等于360°计算；（Ⅱ）连接CE，根据圆周角定理得到∠ACE＝90°，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质计算即可．【解答】解：（Ⅰ）连接OA、OB，∵PA，PB是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，由圆周角定理得，∠ACB＝∠AOB＝50°；（Ⅱ）连接CE，∵AE为⊙O的直径，∴∠ACE＝90°，∵∠ACB＝50°，∴∠BCE＝90°﹣50°＝40°，∴BAE＝∠BCE＝40°，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB＝70°，∴∠EAC＝∠ADB﹣∠ACB＝20°．6.（2019 云南中考）如图，AB是⊙O的直径，M、D两点在AB的延长线上，E是⊙C上的点，且DE2＝DB•DA，延长AE至F，使得AE＝EF，设BF＝10，cos∠BED＝．（1）求证：△DEB∽△DAE；（2）求DA，DE的长；（3）若点F在B、E、M三点确定的圆上，求MD的长．【分析】（1）∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，即可求解；（2）由，即：，即可求解；（3）在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，36﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，即可求解．【解答】解：（1）∵∠D＝∠D，DE2＝DB•DA，∴△DEB∽△DAE；（2）∵△DEB∽△DAE，∴∠DEB＝∠DAE＝α，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，又AE＝EF，∴AB＝BF＝10，∴∠BFE＝∠BAE＝α，则BF⊥ED交于点H，∵cos∠BED＝，则BE＝6，AE＝8∴，即：，解得：BD＝，DE＝，则AD＝AB+BD＝，ED＝；（3）点F在B、E、M三点确定的圆上，则BF是该圆的直径，连接MF，∵BF⊥ED，∠BMF＝90°，∴∠MFB＝∠D＝β，在△BED中，过点B作HB⊥ED于点H，设HD＝x，则EH＝﹣x，则36﹣（﹣x）2＝（）2﹣x2，解得：x＝，则cosβ＝＝，则sinβ＝，MB＝BF sinβ＝10×＝，DM＝BD﹣MB＝．7.（2019 浙江杭州中考）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD＝OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED（m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【分析】（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，即可求解；②BC长度为定值，△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，即可求解；（2）∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，而∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，即可求解．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD＝BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD＝OB＝OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD＝，△ABC面积的最大值＝×BC×AD＝×2OB sin60°×＝；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx＝∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．8.（2019 山东济南中考）（2019•济南）如图，AB、CD是⊙O的两条直径，过点C的⊙O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD．（1）求证；∠ABD＝∠CAB；（2）若B是OE的中点，AC＝12，求⊙O的半径．【分析】（1）根据半径相等可知∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，再根据对顶角相等和三角形内角和定理证明∠ABD＝∠CAB；（2）连接BC．由CE为⊙O的切线，可得∠OCE＝90°，因为B是OE的中点，得BC＝OB，又OB＝OC，可知△OBC为等边三角形，∠ABC＝60°，所以BC＝AC＝4，即⊙O的半径为4．【解答】解：（1）证明：∵AB、CD是⊙O的两条直径，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴∠OAC＝∠OCA，∠ODB＝∠OBD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠OAC＝∠OCA＝∠ODB＝∠OBD，即∠ABD＝∠CAB；（2）连接BC．∵AB是⊙O的两条直径，∴∠ACB＝90°，∵CE为⊙O的切线，∴∠OCE＝90°，∵B是OE的中点，∴BC＝OB，∵OB＝OC，∴△OBC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∴BC＝AC＝4，∴OB＝4，即⊙O的半径为4．9.（2019•青海）如图，在⊙O中，点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，过点A作AE⊥CD于点E．（1）求证：AE是⊙O的切线；（2）若AE＝2，sin∠ADE＝，求⊙O的半径．【分析】（1）连接OA，如图，利用△AOB的中位线得到CD∥OA．则可判断AO⊥AE，即可证得结论；（2）连接OD，如图，利用垂径定理得到OD⊥AB，再在Rt△AED中利用正弦定义计算出AD＝3，接着证明∠OAD＝∠ADE．从而在Rt△OAD中有sin∠OAD＝，设OD＝2x，则OA＝3x，利用勾股定理可计算出AD＝x，从而得到x＝3，然后解方程求出x即可得到⊙O的半径长．【解答】（1）证明：连接OA，如图，∵点C、D分别是半径OB、弦AB的中点，∵DC∥OA，即EC∥OA，∵AE⊥CD，∴AE⊥AO，∴AE是⊙O的切线；（2）解：连接OD，如图，∵AD＝CD，∴OD⊥AB，∴∠ODA＝90°，在Rt△AED中，sin∠ADE＝＝，∴AD＝3，∵CD∥OA，∴∠OAD＝∠ADE．在Rt△OAD中，sin∠OAD＝，设OD＝2x，则OA＝3x，∴AD＝＝x，即x＝3，解得x＝，∴OA＝3x＝，。

人教版数学九年级上册24.2《点和圆、直线和圆的位置关系》知识点+例题+练习(精品)

点、直线、圆与圆的位置关系_知识点+例题+练习1.点和圆的位置关系2.（1）点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：3.①点P在圆外⇔d＞r4.②点P在圆上⇔d=r5.①点P在圆内⇔d＜r6.（2）点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．7.（3）符号“⇔”读作“等价于”，它表示从符号“⇔”的左端可以得到右端，从右端也可以得到左端．2.确定圆的条件不在同一直线上的三点确定一个圆．注意：这里的“三个点”不是任意的三点，而是不在同一条直线上的三个点，而在同一直线上的三个点不能画一个圆．“确定”一词应理解为“有且只有”，即过不在同一条直线上的三个点有且只有一个圆，过一点可画无数个圆，过两点也能画无数个圆，过不在同一条直线上的三点能画且只能画一个圆．3.三角形的外接圆与外心（1）外接圆：经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆．（2）（2）外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．（3）（3）概念说明：（4）①“接”是说明三角形的顶点在圆上，或者经过三角形的三个顶点．（5）②锐角三角形的外心在三角形的内部；直角三角形的外心为直角三角形斜边的中点；钝角三角形的外心在三角形的外部．（6）③找一个三角形的外心，就是找一个三角形的两条边的垂直平分线的交点，三角形的外接圆只有一个，而一个圆的内接三角形却有无数个．4.反证法(了解)（1）对于一个命题，当使用直接证法比较困难时，可以采用间接证法，反证法就是一个间接证法．反证法主要适合的证明类型有：①命题的结论是否定型的．②命题的结论是无限型的．③命题的结论是“至多”或“至少”型的．（2）（2）反证法的一般步骤是：（3）①假设命题的结论不成立；（4）②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；（5）③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．5.直线和圆的位置关系（1）直线和圆的三种位置关系：①相离：一条直线和圆没有公共点．②相切：一条直线和圆只有一个公共点，叫做这条直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点．③相交：一条直线和圆有两个公共点，此时叫做这条直线和圆相交，这条直线叫圆的割线．（2）判断直线和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d．①直线l和⊙O相交⇔d＜r②直线l和⊙O相切⇔d=r③直线l和⊙O相离⇔d＞r．6.切线的性质（1）切线的性质（2）①圆的切线垂直于经过切点的半径．（3）②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．（4）③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（5）（2）切线的性质可总结如下：（6）如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个，那么它一定满足第三个条件，这三个条件是：①直线过圆心；②直线过切点；③直线与圆的切线垂直．（7）（3）切线性质的运用（8）由定理可知，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．7.切线的判定8.（1）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．9.（2）在应用判定定理时注意：10.①切线必须满足两个条件：a、经过半径的外端；b、垂直于这条半径，否则就不是圆的切线．11.②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时，直线和圆相切“这个结论直接得出来的．12.③在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”．8.切线的判定与性质（1）切线的性质①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．（2）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．（3）常见的辅助线的：①判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”；②有切线时，常常“遇到切点连圆心得半径”．9.切线长定理（1）圆的切线定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．（3）（3）注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量．（4）（4）切线长定理包含着一些隐含结论：（5）①垂直关系三处；（6）②全等关系三对；（7）③弧相等关系两对，在一些证明求解问题中经常用到．10.三角形的内切圆与内心（1）内切圆的有关概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点．（2）任何一个三角形有且仅有一个内切圆，而任一个圆都有无数个外切三角形．（3）三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．11.圆与圆的五种位置关系（1）圆与圆的五种位置关系：①外离；②外切；③相交；④内切；⑤内含．如果两个圆没有公共点，叫两圆相离．当每个圆上的点在另一个圆的外部时，叫两个圆外离，当一个圆上的点都在另一圆的内部时，叫两个圆内含，两圆同心是内含的一个特例；如果两个圆有一个公共点，叫两个圆相切，相切分为内切、外切两种；如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交．（2）圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．12.相切两圆的性质相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点．这说明两圆的圆心和切点三点共线，为证明带来了很大方便．13.相交两圆的性质（1）相交两圆的性质：（2）相交两圆的连心线（经过两个圆心的直线），垂直平分两圆的公共弦．（3）注意：在习题中常常通过公共弦在两圆之间建立联系．（4）（2）两圆的公切线性质：（5）两圆的两条外公切线的长相等；两圆的两条内公切线的长也相等．（6）两个圆如果有两条（内）公切线，则它们的交点一定在连心线上．4. 判断圆的切线的方法及应用判断圆的切线的方法有三种：（1）与圆有惟一公共点的直线是圆的切线；（2）若圆心到一条直线的距离等于圆的半径，则该直线是圆的切线；（3）经过半径外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.【例4】如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC=34，D是线段BC的中点.（1）试判断点D与⊙O的位置关系，并说明理由.（2）过点D作DE⊥AC，垂足为点E，求证：直线DE是⊙O的切线.【例5】如图，已知O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA的长为半径的⊙O与BC相切于M，与AB、AD分别相交于E、F，求证CD与⊙O相切.【例6】如图，半圆O为△ABC的外接半圆，AC为直径，D为劣弧上一动点，P在CB 的延长线上，且有∠BAP=∠BDA.求证：AP 是半圆O 的切线.【知识梳理】1. 直线与圆的位置关系：2. 切线的定义和性质：3.三角形与圆的特殊位置关系：4. 圆与圆的位置关系：（两圆圆心距为d ，半径分别为21,r r ）相交⇔2121r r d r r +<<-；外切⇔21r r d +=；内切⇔21r r d -=；外离⇔21r r d +>；内含⇔210r r d -<<【注意点】与圆的切线长有关的计算．【例题精讲】例1.⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（）A ．相离B ．相切C ．相交D ．内含例 2. 如图1，⊙O 内切于ABC △，切点分别为D E F ，，．50B ∠=°，60C ∠=°，连结OE OF DE DF ，，，，则EDF ∠等于（）A ．40°B ．55°C ．65°D ．70°例3. 如图，已知直线L 和直线L 外两定点A 、B ，且A 、B 到直线L 的距离相等，则经过A 、B 两点且圆心在L 上的圆有（）A ．0个B ．1个C ．无数个D ．0个或1个或无数个例4．已知⊙O 1半径为3cm ，⊙O 2半径为4cm ，并且⊙O 1与⊙O 2相切，则这两个圆的圆心距为（） A.1cm B.7cm C.10cm D. 1cm 或7cm例5．两圆内切，圆心距为3，一个圆的半径为5，另一个圆的半径为例6．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d 满足___ ___•时，•两圆相交；•当d•满足___ ___时，两圆不外离．例7．⊙O 半径为6.5cm ，点P 为直线L 上一点，且OP=6.5cm ，则直线与⊙O•的位置关系是____例8．如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，⊙O 的切线EF 分别交PA 、PB 于点E 、F ，切点C 在弧AB 上，若PA 长为2，则△PEF 的周长是 _．例9. 如图，⊙M 与x 轴相交于点(20)A ，，(80)B ，，与y 轴切于点C ，则圆心M 的坐标是例10. 如图，四边形ABCD 内接于⊙A ，AC 为⊙O 的直径，弦DB ⊥AC ，垂足为M ，过点D 作⊙O 的切线交BA 的延长线于点E ，若AC=10，tan ∠DAE=43，求DB 的长．【当堂检测】1.如果两圆半径分别为3和4，圆心距为7，那么两圆位置关系是（）A ．相离B ．外切C ．内切D ．相交2.⊙A 和⊙B 相切，半径分别为8cm 和2cm ，则圆心距AB 为（）A ．10cmB ．6cmC ．10cm 或6cmD ．以上答案均不对3.如图，P 是⊙O 的直径CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于（）A. 15B. 30C. 45D. 60O O2O14. 如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于（） A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）2145.如图，在10×6的网格图中(每个小正方形的边长均为1个单位长)．⊙A 半径为2，⊙B 半径为1，需使⊙A 与静止的⊙B 相切，那么⊙A 由图示的位置向左平移个单位长.6. 如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于（）A. 45B. 54C. 43D. 657.⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 长63，以3为半径⊙O 的同心圆与直线AB 的位置关系是( )A.相离B.相交C.相切D.不能确定8.如图，在ABC △中，12023AB AC A BC =∠==，°，，A ⊙与BC 相切于点D ，且交AB AC 、于M N 、两点，则图中阴影部分的面积是（保留π）．9.如图，B 是线段AC 上的一点，且AB ：AC=2：5，分别以AB 、AC 为直径画圆，则小圆的面积与大圆的面积之比为_______．10. 如图，从一块直径为a+b 的圆形纸板上挖去直径分别为a 和b 的两个圆，则剩下的纸板面积是___．11. 如图，两等圆外切，并且都与一个大圆内切．若此三个圆的圆心围成的三角形的周长为18cm ．则大圆的半径是______cm ．12.如图，直线AB 切⊙O 于C 点，D 是⊙O 上一点，∠EDC=30º，弦EF ∥AB ，连结OC 交EF 于H 点，连结CF ，且CF=2，则HE 的长为_________．13. 如图，PA 、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别为A 、B ，若直径AC=12cm ，∠P=60°．求弦AB 的长．【中考连接】一、选择题 1. 正三角形的内切圆半径为1，那么三角形的边长为( )A.2B.32C.3D.3 2.⊙O 是等边ABC △的外接圆，⊙O 的半径为2，则ABC △的边长为（）A ．3B ．5C ．23D ．253. 已知⊙O 的直径AB 与弦AC 的夹角为 30，过C 点的切线PC 与AB 延长线交于P 点．PC ＝5，则⊙O 的半径为（）A. 335 B. 635 C. 10 D. 54. AB 是⊙O 的直径，点P 在BA 的延长线上，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PC ＝26，PA ＝4，则⊙O 的半径等于（）A. 1B. 2C. 23D. 265.某同学制做了三个半径分别为1、2、3的圆，在某一平面内，让它们两两外O D C B ABPA OC 第3题图第4题图第5题图第6题图第8题图第9题图第11题图第10题图第12题图切，该同学把此时三个圆的圆心用线连接成三角形.你认为该三角形的形状为( )A.钝角三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰三角形6.关于下列四种说法中，你认为正确的有（）①圆心距小于两圆半径之和的两圆必相交 ②两个同心圆的圆心距为零③没有公共点的两圆必外离 ④两圆连心线的长必大于两圆半径之差A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题 6. 如图，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝__________度．7. 如图，AB 是⊙O 的直径，四边形ABCD 内接于⊙O ，，，的度数比为3∶2∶4，MN 是⊙O 的切线，C 是切点，则∠BCM 的度数为________．8．如图，在△ABC 中，5cm AB AC ==，cos B 35=．如果⊙O 的半径为10cm ，且经过点B 、C ，那么线段AO = cm ．9．两个等圆⊙O 与⊙O ′外切，过点O 作⊙O ′的两条切线OA 、OB ，A 、B 是切点，则∠AOB = ．10．如图6，直线AB 与⊙O 相切于点B ，BC 是⊙O 的直径，AC 交⊙O 于点D ，连结BD ，则图中直角三角形有个．11.如图，60ACB ∠=°，半径为1cm 的O ⊙切BC 于点C ，若将O ⊙在CB 上向右滚动，则当滚动到O ⊙与CA 也相切时，圆心O 移动的水平距离是__________cm ．12.如图， AB 与⊙O 相切于点B ，线段OA 与弦BC 垂直于点D ，∠AOB =60°，B C=4cm ，则切线AB = cm.13.如图，⊙A 和⊙B 与x 轴和y 轴相切，圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x =图象上，则阴影部分面积等于．14. Rt △ABC 中，9068C AC BC ∠===°，，．则△ABC的内切圆半径r =______．15.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．16.已知：⊙A 、⊙B 、⊙C 的半径分别为2、3、5，且两两相切，则AB 、BC 、CA 分别为．17.⊙O 的圆心到直线l 的距离为d ，⊙O 的半径为r ，当d 、r 是关于x 的方程x 2－4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切时，则m 的值为_____．三、解答题18. 如图，AB 是⊙O 的弦，OA OC ⊥交AB 于点C ，过B 的直线交OC 的延长线于点E ，当BE CE =时，直线BE 与⊙O 有怎样的位置关系？请说明理由．第3题图第6题图第7题图第8题图第10题图第11题图第12题图第13题图19.如图1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，AC 是弦，4OC =，60OAC ∠=．（1）求∠AOC 的度数；（2）在图1中，P 为直径BA 延长线上的一点，当CP 与⊙O 相切时，求PO 的长；（3）如图2，一动点M 从A 点出发，在⊙O 上按A 照逆时针的方向运动，当MAO CAO S S =△△时，求动点M 所经过的弧长．第18题图。

人教版初中九年级上册数学课件《点和圆的位置关系》圆

(2)点 C 在⊙M 上．理由：∵C(1,7)．M(4,3)，∴CM＝ 4－12＋3－72＝5，∴ 点 C 在⊙M 上．
18
A．在⊙O内 B．在⊙O外 C．在⊙O上 D．不能确定
9
8．如图，在网格(每个小正方形的边长均为 1)中选取 9 个格点(格线的交点称为格点)，如果以点 A 为圆心，r 为半径画圆，选取的格点中除点 A 外恰好有 3 个在圆内，则 r 的取值范围为( B )
A．2 2<r< 17 B． 17<r≤3 2 C． 17<r<5 D．5<r< 29
A． 10 C．34
B．189 D．10
12
11．【易错题】已知⊙O是△ABC的外接圆，边BC＝4cm，且30°⊙或15O0°半径也为4cm，则∠A的度数是____________________.
1102或．8 【易错题】在Rt△ABC中，AB＝6， BC＝8，则这个三角形的外接圆直径是 ____________.
A．△ABE C．△ABD
B．△ACF D．△ADE
5
4．如图，点 A、B、C 在同一条直线上，点 D 在直线 AB 外，过这四个点中的任意 3 个，能画的圆有( C )
A．1 个 C．3 个
B．2 个 D．4 个
6
Hale Waihona Puke 5．【四川雅安中考】如图，△ABC 内接于⊙O，BD 是⊙O 的直径，∠CBD＝21°，则∠A 的度数为_____6_9_°___.
7
6．如图，已知矩形ABCD的边 AB＝3cm，BC＝4cm，以点A为圆心，4cm为半径作⊙A，则点B、C、 D与⊙A有怎样的位置关系．
解：连接AC．∵AB＝3cm，BC ＝AD＝4cm，∴AC＝5cm，∴点B 在⊙A内，点D在⊙A上，点C在 ⊙A外．

中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题

34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。

九年级数学上册教学课件《点和圆的位置关系》

【对应训练】
3
30°
解：在Rt△ACD中，∠A=30°，∴点B在⊙C上；
3
30°
知识点2
确定圆的条件
1. 作经过已知点A的圆，你能作出多少个圆？圆心在哪里？半径多大？
●A
无数个，圆心为点A以外任意一点，半径为这点与点A的距离.
已知圆心和半径，可以作一个圆.
2. 作经过已知点A、B的圆，你能作出多少个？圆心在哪里？
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
九年级上册
问题：你玩过掷飞镖吗？下图中A、B、C、D、E分别是落点，你认为哪个成绩最好？你是怎么判断出来的？
(1)知道点和圆的三种位置关系及其判定方法.(2)知道不在同一直线上的三点确定一个圆，能过不在同一直线上的三点作圆.(3)知道三角形外心的概念及其性质.(4)了解反证法的证明思想及一般步骤.
基础巩固
1.判断下列说法是否正确：(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆.( )(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形.( )(3) 经过三点一定可以确定一个圆.( )(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等.( )
√
√
×
×
2.⊙O的半径为10cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8cm、10cm、12cm，则点A、B、C与⊙O的位置关系是：点A在；点B在；点C在． 3.若一个三角形的外心在一边上，则此三角形的形状为( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
（2）以此为依据进行推理，产生矛盾（与公理、定理或条件矛盾）；
（3）得出假设不成立，从而原命题成立.
用反证法证明：等腰三角形的底角一定是锐角.
分析：由题目分析，“一定是锐角”的反面就是“不是锐角”，即是直角或钝角，因此应分两种情况讨论.

人教版初中数学九年级上册第24章圆知识复习第二部分点和圆、直线和圆的位置关系

••
*有兴趣的同学可以尝试证明： (1)如图，正五角星中AC=a，求该五角星外接圆的直径.(用三角函数表示) (2)圆内接四边形两组对边乘积之和等于两条对角线的乘积。（提示：构造相似形）
(3)若圆内接四边形的对角线互相垂直，则过对角线的交点所作任一边的垂线将对边平分. A
B
E
•
O
C
D
中考试题精选
O• 5 A 4P B
【及时巩固】
7、如图,AB是ʘO的直径,AC是弦,∠CAB=30º, 过C点作ʘO的切线交AB的延长线于D，如果 OD=12cm，那么ʘO的半径为 6 .
C
30º • 60º 30º
AO
BD
【及时巩固】
8、如图，PB、PC分别切ʘO于B、C两点，A 是ʘO上一点，∠CAB=50º，则∠P等于 80º .
6、如图，△ABC内接于⊙O，AB的延长线与过C点的切线GC相交于点D，BE与AC相交于点F，且CB=CE.求证：(1)BE∥DG； (2)CB2-CF2=BF·FE.
A
O•
E
FB
G CD
中考试题精选
7、如图，PC为⊙O的切线，C为切点, PAB是过O点的割线，CD⊥AB于点D，
若 tan B 1，PC=10cm,求△BCD的面积. 2
A
对应的一个基本图
E O• C D
P
形，其中有很多关
系，你能找出多少？
B
弦切角：圆的切线和过切点的弦所夹的角。 P
O•
O•
B
A
M
(5)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
推论：如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切角也相等.
(6)和三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆。内切圆的圆心是三角形的内心(即三角形三内角平分线的交点)。各边都和圆相切的三角形叫圆的外切三角形。

九年级数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系

九年级数学点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r ，点P 到圆心的距离为d 。

则：点P 在圆内⇔ ；点P 在圆上⇔ ；点P 在圆外⇔ 。

2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作圆，过三点，有且只有一个圆；⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的，外接圆的圆心叫做三角形的，这个三角形叫做这个圆的。

⑶三角形外心的形成：三角形的交点，相等。

1、直线与圆的位置关系有种：○1当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆，这时直线叫圆的线,； ○2当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆，这时直线叫圆的线； ○3当直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆，这时直线叫圆的线。

2、设⊙O 的半径为r ，圆心O 到直线l 的距离为d ，则：直线l 与⊙O 相交r d _____⇔直线l 与⊙O 相切r d _____⇔直线l 与⊙O 相离r d _____⇔3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的。

【谈重点】根据这一定理，在圆中遇到切线时，常常连接圆心和切点，即可得垂直关系。

⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线是圆的切线。

【谈重点】在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r 来判定相切。

4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的；⑵三角形内心的形成：是三角形的交点；（3）内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分。

【谈重点】三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r=考点一：切线的性质例题1已知直线PD垂直平分⊙O的半径OA于点B，PD交⊙O于点C、D，PE是⊙O的切线，E为切点，连结AE，交CD于点F．（1）若⊙O的半径为8，求CD的长；（2）证明：PE=PF；（3）若PF=13，sinA=513，求EF的长．对应训练1．如图，△ABC内接于⊙O，弦AD⊥AB交BC于点E，过点B作⊙O的切线交DA的延长线于点F，且∠ABF=∠ABC．（1）求证：AB=AC；（2）若AD=4，cos∠ABF=45，求DE的长．考点二：切线的判定例题2如图，点B、C、D都在⊙O上，过点C作AC∥BD交OB延长线于点A，连接CD，且∠CDB=∠OBD=30°，DB=63cm．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求由弦CD、BD与弧BC所围成的阴影部分的面积．（结果保留π）对应训练2．如图，以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆，经过A，B两点，且与BC边交于点E，D为BE的下半圆弧的中点，连接AD交BC于F，若AC=FC．（1）求证：AC是⊙O的切线：（2）若BF=8，DF=40，求⊙O的半径r．知识点三、圆和圆的位置关系圆和圆的位置关系有种，若⊙O1半径为R，⊙O 2半径为r，圆心距为d；○1当⊙O 1 与⊙O 2 外离⇔；○2当⊙O 1 与⊙O 2 外切⇔；○3当⊙O 1 与⊙O2相交⇔；○4当⊙O 1 与⊙O2内切⇔；○5当⊙O 1 与⊙O 2内含⇔。

人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》

人教版数学九年级上册说课稿24.2.1《点和圆的位置关系》一. 教材分析《点和圆的位置关系》是人教版数学九年级上册第24章《圆》的第二节内容。

本节主要介绍点和圆之间的位置关系，包括点在圆内、点在圆上、点在圆外三种情况。

通过学习，使学生能够理解并掌握点和圆的位置关系，为后续学习圆的性质和应用打下基础。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了平面几何的基本知识，对图形的性质和概念有一定的理解。

但对于点和圆的位置关系，可能还存在一定的模糊认识。

因此，在教学过程中，要注重引导学生通过观察、思考、交流等方式，自主探索点和圆的位置关系，提高他们的空间想象能力和思维能力。

三. 说教学目标1.知识与技能：使学生掌握点和圆的位置关系，能够判断一个点在圆内、圆上还是圆外。

2.过程与方法：通过观察、思考、交流等，培养学生自主探索和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于尝试、积极思考的良好学习习惯。

四. 说教学重难点1.重点：点和圆的位置关系的判断。

2.难点：理解和掌握点和圆位置关系的内在联系。

五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、引导发现法等。

2.教学手段：多媒体课件、黑板、粉笔、几何模型等。

六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些生活中的圆形象，如硬币、篮球等，引导学生关注圆的特点，激发学生学习兴趣。

2.自主探索：让学生观察和思考，通过动手画图、讨论等方式，探索点和圆的位置关系。

3.引导发现：教师引导学生发现点和圆位置关系的规律，总结出点和圆的判断方法。

4.巩固练习：设计一些具有针对性的练习题，让学生运用所学知识解决问题。

5.课堂小结：教师和学生一起总结本节课的主要内容和收获。

6.布置作业：设计一些拓展性的作业，让学生课后继续思考和探索。

七. 说板书设计板书设计要简洁明了，突出重点。

可以采用流程图、图示、列表等形式，展示点和圆的位置关系。

八. 说教学评价教学评价可以从学生的学习态度、课堂表现、练习成绩等方面进行。

九年级.数学第二十四章圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1 点和圆的位置关系

100°
B
CE
F
(2)三角形的最小覆盖圆有何规律？请写出你所得到的结论(不要求
证明)．
【解】锐角三角形(和直角三角形)的最小覆盖圆是其外接圆；钝角(dùnjiǎo)三角形
的最小覆盖圆是以其最长边为直径的圆．
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内容(nèiróng)总结
24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。24．2 点和圆、直线和圆的位置关系。(1)平面内的点和圆有三种位置关系：①点在__________。(2)设⊙O半径为r，点P到O的距离OP＝d，
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知识点二：三角形的外接圆
例2 小明家的房前有一块矩形(jǔxíng)的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)．
在△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，则△ABC的外接圆的半径(bànjìng)
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．
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知识点三：反证法
例3 在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于H，求证(qiúzhèng)：AD与 BE不能被点H互相平分．
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第六页，共十四页。
求证：在一个三角形中，如果(rúguǒ)两个角不等，(
A．点M在⊙O上
)
A B．点M在⊙O内
C．点M在⊙O外 D．点M在⊙O右上方
*4.用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设(
)
A．∠A＝60° B．∠A＜60°
C．∠A≠6D0°
D．∠A≤60°

人教版数学九年级上册24.2《点和圆的位置关系》教学设计

人教版数学九年级上册24.2《点和圆的位置关系》教学设计一. 教材分析人教版数学九年级上册第24.2节《点和圆的位置关系》是中学数学中重要的一部分，主要介绍了点与圆的位置关系，包括点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况。

本节内容是学生学习圆的性质和应用的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。

二. 学情分析九年级的学生已经掌握了基本的代数和几何知识，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。

但是，对于点和圆的位置关系的理解还需要通过具体的实例和操作来进一步引导和培养。

三. 教学目标1.让学生理解点和圆的位置关系，并能运用所学知识解决实际问题。

2.培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。

3.培养学生合作学习的意识和能力。

四. 教学重难点1.重点：点和圆的位置关系的理解和运用。

2.难点：对于点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况的深入理解和区分。

五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提出问题和解决问题的方式引导学生思考和学习。

2.利用多媒体辅助教学，通过动画和图形展示点与圆的位置关系，增强学生的空间想象能力。

3.采用小组合作学习的方式，让学生在讨论和交流中深入理解和掌握知识。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.点和圆的位置关系的教学课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引出点和圆的位置关系，例如：“在平面上有三个点，其中一个点在圆内，另外两个点在圆外，请问这三个点的位置关系有什么特点？”2.呈现（15分钟）利用多媒体展示点和圆的位置关系，包括点在圆内、点在圆上和点在圆外三种情况。

通过动画和图形的展示，让学生直观地感受和理解点与圆的位置关系。

3.操练（10分钟）让学生通过实际操作来进一步理解和掌握点和圆的位置关系。

可以让学生在纸上画出不同位置的点，并标明它们与圆的位置关系。

4.巩固（10分钟）通过一些练习题来巩固学生对点和圆的位置关系的理解和掌握。

人教版九年级数学上册：24.2.1 点和圆的位置关系

24．2．1点和圆的位置关系知识点1．点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：点P在⊙O内⇔d＜r；点P在⊙O上⇔d＝r；点P在⊙O外⇔d＞r．2．圆的确定（1）平面上，经过一点的圆有________个．（2）平面上，经过两点的圆有________个．（3）不在同一直线上的三个点确定__________圆．3．三角形的外接圆经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．外接圆的圆心是三角形__________________________的交点，叫做这个三角形的外心，它到三角形_______________________.4．反证法假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立．这种证明方法叫做反证法．一、选择题1．下列说法正确的是（）A．过一点A的圆的圆心可以是平面上任意点B．过两点A、B的圆的圆心在一条直线上C．过三点A、B、C的圆的圆心有且只有一点D．过四点A、B、C、D的圆不存在2．若△ABC的外接圆的圆心在△ABC的内部，则△ABC是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定3．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm，BC=8 cm，则它的外心与顶点C的距离为( ) A．5 cm B．6 cm C．7 cm D．8 cm 4．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，试在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（－2，4），则该圆弧所在圆的圆心坐标是（）A ．（－1，2）B ．（1，－1）C ．（－1，1）D ．（2，1）5．Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=4，如果以点A 为圆心，AC 为半径作⊙A ，那么斜边中点D 与⊙O 的位置关系是（）A ．点D 在⊙A 外B ．点D 在⊙A 上C ．点D 在⊙A 内 D ．无法确定6．若⊙A 的半径为5，点A 的坐标为(3，4)，点P 的坐标为(5，8)，则点P 的位置为( )A ．在⊙A 内B ．在⊙A 上C ．在⊙A 外D ．不确定7．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，若∠B=30°，O 的直径为( )A ．1 BD ．8．用反证法证明“三角形中至少有一个内角小于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )A ．有一个内角小于60°B ．每一个内角都小于60°C ．有一个内角大于60°D ．每一个内角都大于60°二、填空题9．点A 在以O 为圆心，3 cm 为半径的⊙O 内，则点A 到圆心O 的距离d 的范围是________．10．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=2 cm ，BC=4 cm ，CM 为中线，以C 为半径作圆，则A 、B 、C 、M 四点在圆外的有_________，在圆上的有_________，在圆内的有_________．11．若AB=4cm ，则过点A 、B 且半径为3cm 的圆有______个．12．在△ABC 中，BC=24cm ，外心O 到BC 的距离为6cm ，则△ABC 的外接圆半径是____________．13．一个点与定圆上最近点的距离为4cm ，最远点的距离为9cm ，则此圆的半径是________．14．阅读下面材料：对于平面图形A ，如果存在一个圆，使图形A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称图形A 被这个圆所覆盖．回答下列问题：（1）边长为1 cm 的正方形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ；（2）边长为1 cm 的等边三角形被一个半径为r 的圆所覆盖，r 的最小值是________ cm ．15．已知Rt △ABC 的两直角边为a 和b ，且a 、b 是方程2310x x -+=的两根，则Rt △ABC 的外接圆面积是__________________．三、解答题16．已知圆的半径等于5 cm ，根据下列点P 到圆心的距离：(1)4 cm ；(2)5 cm ；(3)6 cm ，判定点P 与圆的位置关系，并说明理由．17．在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3m ，AC=4m ，以B 为圆心，以BC 为半径作⊙B ，D 、E 是AB 、AC 中点，A 、C 、D 、E 分别与⊙O 有怎样的位置关系?（画出图形，写过程）18．如图，△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求△ABC 的外接圆⊙O 的半径．19．如图，AD 为△ABC 外接圆的直径，AD ⊥BC ，垂足为点F ，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，连接BD ，CD ．（1）求证：BD=CD ；（2）请判断B ，E ，C 三点是否在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上?并说明理由．20．某公园有一个边长为4米的正三角形花坛，三角形的顶点A、B、C上各有一棵古树．现决定把原来的花坛扩建成一个圆形或平行四边形花坛，要求三棵古树不能移动，且三棵古树位于圆周上或平行四边形的顶点上．以下设计过程中画图工具不限．（1）按圆形设计，利用图（1）画出你所设计的圆形花坛示意图；（2）按平行四边形设计，利用图（2）画出你所设计的平行四边形花坛示意图；（3）若想新建的花坛面积较大，选择以上哪一种方案合适?请说明理由．24．2．1点和圆的位置关系知识点2.无数无数一个3.三条边垂直平分线三个顶点的距离相等．一、选择题1．B2．B3．A4．C5．A6．A7．D8．D二、填空题9．0≤d ＜310．点B ；点M ；点A 、C11．两个12．13．2．5cm 或6．5cm14．(1)22(2)3315．47三、解答题16．解：（1）当d=4 cm 时，∵d ＜r ，∴点P 在圆内；（2）当d=5 cm 时，∵d=r ，∴点P 在圆上；（3）当d=6 cm 时，∵d ＞r ，∴点P 在圆外．17．解：∵BC=3=R∴点C 在⊙B 上∵AB=5>3∴点A 在⊙B 外∵D 为BA 中点 ∴12.532BD AB ==<∴点D 在⊙B 内∵E 为AC 中点 ∴114222CE AC ==⨯=连结BE ∴BE BC CE m =+=+=>222232133∴E 在⊙B 外18．解：如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D ，则O 在AD 上，∵AB=AC∴BD=6∴8AD =设OA=r ，连接OB则Rt △ABC 中，222OB OD BD =+即222(8)6r r =-+ 解得254r =．19．解：（1）证明：∵AD 为直径，AD ⊥BC∴BD=CD（2）B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上理由：由（1）知：BD=CD∴∠BAD=∠CBD∴∠DBE=∠CBD+∠CBE ，∠DEB=∠BAD+∠ABE∵∠CBE=∠ABE∴∠DBE=∠DEB∴BD=DE由（1）知：BD=CD∴DB=DE=DC∴B ，E ，C 三点在以D 为圆心，以DB 为半径的圆上．20．解：（1）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一圆上，图（1）．（2）作图工具不限，只要点A 、B 、C 在同一平行四边形顶点上，例如图（2）．（3）如图（3），∵r OB ==∴21616.753O S r ππ==≈e212413.862ABCS S ∆==⨯⨯⨯=≈平行四边形又∵O S S e 平行四边形＞∴选择建圆形花坛面积较大．。

九年级上册数学《圆》点、线和圆的位置关系_知识点整理

点、线和圆的位置关系一、本节学习指导和圆相关的概念比较多，一下全都记住是比较困难的，我们可以采取一些方法，我们可以归类似、联想记忆，当然最好是能先理解再记忆。

本节有配套学习视频。

二、知识要点1、点和圆的位置关系设⊙O的半径是r，点P到圆心O的距离为d，则有：d＜r ＜====＞点P在⊙O内；d＝r ＜====＞点P在⊙O上；d＞r ＜====＞点P在⊙O外。

注：点和圆的位置关系只有：在圆上如图点P2，在圆内如图点P1，在圆外P3三种。

2、直线与圆的位置关系直线和圆有三种位置关系，具体如下：（1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点；（2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d,那么：直线l与⊙O相交＜====＞ d<r；直线l与⊙O相切＜====＞ d=r；直线l与⊙O相离＜====＞ d>r；3、切线的判定和性质（1）、切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

（2）、切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点的半径。

如右图中，OD垂直于切线。

4、切线长定理（1）、切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。

（2）、切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。

如右图中：圆外一点P与圆O相切与D，E两点，所以有PD=PE，可以通过连接OP来证明。

5、过三点的圆（1）、过三点的圆不在同一直线上的三个点确定一个圆。

（2）、三角形的外接圆经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。

如图圆O是△ABC的外接圆（3）、三角形的外心三角形的外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，它叫做这个三角形的外心。

（4）、圆内接四边形性质（四点共圆的判定条件）圆内接四边形对角互补。

最新中考数学-一轮复习：与圆有关的位置关系

与圆有关的位置关系基础知识知识点一、点与圆的位置关系1. 点和直线有三种位置关系：①点在圆外，即这个点到圆心的距离大于半径；②点在圆上，即这个点到圆心的距离等于半径；③点在圆内，即这个点到圆心的距离小于半径．2. 用数量关系表示位置关系：⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有①点P在⊙O外d＞r；②点P在⊙O上d＝r；③点P在⊙O内d＜r．知识点二、直线和圆的位置关系1．直线和圆的三种位置关系：（1）相离：直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．（2）相切：直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．（3）相交：直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交．2、直线和圆的位置关系的性质与判断：设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则：①直线和圆相离 d < r②直线和圆相切 d = r③直线和圆相交 d > r．知识点三、切线的判定定理1.切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在应用定理时，必须先弄清两个条件：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径，两者缺一不可．2. 切线的判定方法有以下几种：①可以直接应用定义：直线与圆有一个公共点时，直线是圆的切线．②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线.③切线的判定定理．当已知条件中没有指出圆与直线的公共点时，常运用方法②进行判定；当已知条件中明确指出圆与直线有公共点时，常运用判定定理进行判定.证题方法“有点连半径，无点作垂线”.知识点四、切线的性质定理与切线长定理1. 切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．当已知圆的切线时，常常连接过切点的半径，得两线垂直关系. 2.切线长定理（1）切线长的定义：过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．（2）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等．知识点五、三角形的外接圆与外心1. 三角形的外接圆：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆．2. 三角形的外心：三角形外接圆的圆心，是三角形三条边垂直平分线的交点.这个点叫做三角形的外心．3. 三角形外心的性质：①三角形的外心是外接圆的圆心，它到三角形各顶点的距离相等；②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的；但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合．知识点六、三角形的内切圆与内心1.三角形的内切圆是指与三角形各边都相切的圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形．任意一个三角形都有且只有一个内切圆．但一个圆的外切三角形有无数个．2. 三角形的内心：三角形内切圆的圆心，是三角形三条角平分线的交点，到三角形三边的距离相等. 常见结论：（1）Rt △ABC 的三条边分别为：a 、b 、c （c 为斜边），则它的内切圆的半径2ab cr ；（2）△ABC 的周长为l ，面积为S ，其内切圆的半径为r ，则12S lr ．知识点七、正多边形与圆的关系1. 正多边形的概念：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形与圆的关系可以这样表述：把圆分成n （n≥3）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的内接正n 边形.利用这一关系可以判定一个多边形是否是正多边形或作出一个正多边形．这个圆是这个正多边形的外接圆.正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做这个正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．3. 对称性：①正多边形的轴对称性：正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．②正多边形的中心对称性：边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心． ③正多边形的旋转对称性：正多边形都是旋转对称图形，最小的旋转角等于中心角．典型例题解析例1. 已知点P到⊙O上的点的最短距离为3cm，最长距离为5cm，则⊙O的半径为cm．例2. 已知⊙O的半径长为2cm，如果直线l上有一点P满足PO=2cm，那么直线l与⊙O的位置关系是（）A．相切B．相交C．相离或相切D．相切或相交例3. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，如果以点C为圆心，r为半径，且⊙C与斜边AB仅有一个公共点，那么半径r的取值范围是.例4. （朝阳）如图，△MBC中，∠B=90°，∠C=60°，MB=23，点A在MB上，以AB为直径作⊙O与MC相切于点D，则CD的长为（）A．2B．3C．2 D．3例5. （葫芦岛）如图，边长为a的正六边形内有一边长为a的正三角形，则SS阴影空白（）A．3 B．4 C．5 D．6例6. 如图：⊙I是Rt△ABC的内切圆，∠C=90°，AC=6，BC=8，则⊙I的半径是.例7. （锦州）已知，⊙O为∆ABC的外接圆，BC为直径，点E在AB上，过点E作EF⊥BC，点G在FE 的延长线上，且GA=GE．（1）求证：AG与⊙O相切．（2）若AC=6，AB=8，BE=3，求线段OE的长．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为H，例8. （来宾）如图，AB为⊙O的直径，BF切⊙O于点B，AF交⊙O于点D，点C在DF上，BC交⊙O 于点E,且∠BAF=2∠CBF,CG⊥BF于点G.连接AE.(1) 直接写出AE与BC的位置关系；(2) 求证：△BCG∽△ACE ；(3) 若∠F=60°，GF=1，求⊙O得半径.巩固训练1. （青岛）直线l与半径为r的⊙O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是（）A．r＜6 B．r=6 C．r＞6 D．r≥62. 在⊙O中，圆心O在坐标原点上，半径为210，点P的坐标为（4，5），那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外B．点P在⊙O上C．点P在⊙O内D．不能确定3. 已知正三角形外接圆半径为3，这个正三角形的边长是（）A．2 B．3 C．4 D．54. （天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B=25°，则∠C的大小等于（）A．20°B．25°C．40°D．50°△放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，用一个圆面5. 如下图，将ABC△，能够完全覆盖这个三角形的最小圆面的半径是________．去覆盖ABC6. （曲靖）如图,正六边形ABCDEF的边长为2，则对角线AE的长是.7. （莱芜）如图，正五边形ABCDE中，连接AC、AD、CE,CE交AD于点F，连接BF,下列说法不正确的是（）A. △CDF的周长等于AD＋CDB. FC平分∠BFDC. AC2＋BF2＝4CD2D. DE2＝EF·CE8. （广安）如图，矩形ABCD的长为6，宽为3，点O1为矩形的中心，⊙O2的半径为1，O1O2⊥AB于点P，O1O2＝6，若⊙O2绕点P按顺时针方向旋转360°，在旋转过程中，⊙O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现（）A．3次B．4次C．5次D．6次9. （日照）如图，在Rt△OAB中，OA=4，AB=5，点C在OA上，AC=1，⊙P的圆心P在线段BC上，且⊙P与边AB，AO都相切.若反比例函数kyx（k≠0）的图象经过圆心P，则k= ．10. （德州）如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC＝PE.（1）求AC，AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由.11. （河南）如图，CD是⊙O的直径，且CD=2cm，点P为CD的延长线上一点，过点P作⊙O的切线P A、PB，切点分别为点A、B.（1）连接AC，若∠APO=30°，试证明△ACP是等腰三角形；（2）填空：①当DP= cm时，四边形AOBD是菱形；②当DP=cm时，四边形AOBP是正方形.12. （抚州）如图，在平面直角坐标系中，⊙P经过x轴上一点C，与y轴分别相交于A，B两点，连接AP 并延长分别交⊙P、x轴于点D、点E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为(0，1)，点D的坐标为(6，－1).(1)求证：DC＝FC.(2)判断⊙P与x轴的位置关系，并说明理由.(3)求直线AD的解析式.中考预测1. 在直角坐标平面内，点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（a，0），圆A的半径为2．下列说法中不正确的是（）A．当a=-1时，点B在圆A上B．当a＜1时，点B在圆A内C．当a＜-1时，点B在圆A外D．当-1＜a＜3时，点B在圆A内2. 如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C，D两点，且经过圆心O，边AB与⊙O相切，切点为B．已知∠A ＝30°，则∠C的大小是( )A．30°B．45°C．60°D．40°3. 如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为2的⊙P的圆心P的坐标为(－3, 0)，将⊙P沿x轴正方向平移，使⊙P与y轴相切，则平移的距离为（）A．1 B．1或5 C．3 D．54. 如图，P为⊙O的直径BA延长线上一点，PC与⊙O相切，切点为C，点D是⊙O上一点，连接PD. 已知PC=PD=BC. 下列结论：（1）PD与⊙O相切；（2）四边形PCBD是菱形；（3）PO=AB；（4）∠PDB=120°. 其中正确的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个5. ⊙O的半径为R，点O到直线l的距离为d，R，d是方程x2－4x+m=0的两根，当直线l与⊙O相切时，m的值为．6. 直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是．7. 已知∠BAC=45°，一动点O在射线AB上运动（点O与点A不重合），设OA=x，如果半径为1的⊙O与射线AC只有一个公共点，那么x的取值范围是．8. 如图，两圆圆心相同，大圆的弦AB与小圆相切，AB＝8，则图中阴影部分的面积是__________．(结果保留π)9. 如图，正方形ABCD的边长为2，⊙O的直径为AD，将正方形沿EC折叠，点B落在圆上的F点，则BE的长为．10. 如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°.以AB的中点O为圆心、OA长为半径作半圆，交AC于点D.点E为BC的中点，连接DE.（1）求证：DE是该半圆的切线；（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长.11．如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE AC，垂足为E.（1）证明：DE为⊙O的切线；（2）连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.12. 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，与⊙O 相切， BD ∥AC ． (1)图中∠OCD ＝_______°，理由是_____________________； (2)⊙O 的半径为3，AC ＝4，求OD 的长．13. 阅读材料：已知，如图(1)，在面积为S 的△ABC 中， BC ＝a ，AC ＝b ， AB ＝c ，内切圆O 的半径为r.连接OA 、OB 、OC ，△ABC 被划分为三个小三角形． ∵r c b a r AB r AC r BC S S S S OAB OAC OBC )(21212121++=⋅+⋅+⋅=++=△△△.. ∴cb a Sr ++=2．(1)类比推理：若面积为S 的四边形ABCD 存在内切圆(与各边都相切的圆)，如图(2)，各边长分别为AB ＝a ，BC ＝b ，CD ＝c ，AD ＝d ，求四边形的内切圆半径r ；(2)理解应用：如图(3)，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝21，CD ＝11，AD ＝13，⊙O 1与⊙O 2分别为△ABD 与△BCD 的内切圆，设它们的半径分别为r 1和r 2，求21r r 的值.参考答案：巩固训练∵∠ODE=∠DEA=90°，∴OD∥AC,∴11313222 OCES CE DE∆=⨯⨯=⨯=.13. 【解析】 (1)连接OA 、OB 、OC 、OD. ∵AOD COD BOC AOB S S S S S △△△△+++=dr cr br ar 21212121+++=r d c b a )(21+++=。

中考数学专题特训第二十四讲：与圆有关的位置关系(含详细参考答案)

中考数学专题复习第二十四讲与圆有关的位置关系【基础知识回顾】一、点与圆的位置关系：1、点与圆的位置关系有种，若圆的半径为r点P到圆心的距离为d则：点P在圆内<＝> 点P在圆上<＝>点P在圆外<＝>2、过三点的圆：⑴过同一直线上三点作用，过三点，有且只有一个圆⑵三角形的外接圆：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆的圆心叫做三角形的这个三角形叫做这个圆的⑶三角形外心的形成：三角形的交点，外心的性质：到相等【赵老师提醒：1、锐角三角形外心在三角形直角三角形的外心是锐角三角形的外心在三角形】一、直线与圆的位置关系：1、直线与圆的位置关系有种：当直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆直线叫圆的线，这的直线叫做圆的直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆2、设Qo的半径为r，圆心o到直线l的距离为d，则：直线l与Qo相交<＝>d r,直线l与Qo相切<＝>d r直线l与Qo相离<＝>d r3、切线的性质和判定：⑴性质定理：圆的切线垂直于经过切点的【赵老师提醒：根据这一定理，在圆中遇到切线时，常用连接圆心和切点，即可的垂直关系】⑵判定定理：经过半径的且这条半径的直线式圆的切线【赵老师提醒：在切线的判定中，当直线和圆的公共点标出时，用判定定理证明。

当公共点未标出时，一般可证圆心到直线的距离d=r来判定相切】4、切线长定理：⑴切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的长叫做这点到圆的切线长。

⑵切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线，它们的相等，并且圆心和这一点的连线平分的夹角5、三角形的内切圆：⑴与三角形各边都的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的⑵三角形内心的形成：是三角形的交点内心的性质：到三角形各的距离相等，内心与每一个顶点的连接线平分【赵老师提醒：三类三角形内心都在三角形若△ABC三边为a、b、c面积为s，内切圆半径为r，则s= ，若△ABC为直角三角形，则r= 】二、圆和圆的位置关系：圆和圆的位置关系有种，若Qo1半径为R，Qo2半径为r，圆心距外，则Qo1 与Qo2 外距<＝> Qo1 与Qo2 外切<＝>两圆相交<＝> 两圆内切<＝>两圆内含<＝>【赵老师提醒：两圆相离无公共点包含和两种情况，两圆相切有唯一公共点包含和两种情况，注意题目中两种情况的考虑圆心同是两圆此时d= 】三、反证法：假设命题的结论，由此经过推理得出由矛盾判定所作的假设从而得到原命题成立，这种证明命题的方法叫反证法【赵老师提醒：反证法正题的关键是提出即假设所证结论的反面成立，择推理论证得出的矛盾可以与相矛盾，也可以与相矛盾，从而肯定原命题成立】【典型例题解析】考点一：切线的性质线，证明：AB=4PD．考点：切线的性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．专题：几何综合题．分析：（1）PO与BC的位置关系是平行；（2）（1）中的结论成立，理由为：由折叠可知三角形APO与三角形CPO全等，根据全等三角形的对应角相等可得出∠APO=∠CPO，再由OA=OP，利用等边对等角得到∠A=∠APO，等量代换可得出∠A=∠CPO，又根据同弧所对的圆周角相等得到∠A=∠PCB，再等量代换可得出∠COP=∠ACB，利用内错角相等两直线平行，可得出PO与BC平行；（3）由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OC垂直于CD，又AD垂直于CD，利用平面内垂直于同一条直线的两直线平行得到OC与AD平行，根据两直线平行内错角相等得到∠APO=∠COP，再利用折叠的性质得到∠AOP=∠COP，等量代换可得出∠APO=∠AOP，再由OA=OP，利用等边对等角可得出一对角相等，等量代换可得出三角形AOP三内角相等，确定出三角形AOP为等边三角形，根据等边三角形的内角为60°得到∠AOP为60°，由OP 平行于BC，利用两直线平行同位角相等可得出∠OBC=∠AOP=60°，再由OB=OC，得到三角形OBC为等边三角形，可得出∠COB为60°，利用平角的定义得到∠POC也为60°，再加上OP=OC，可得出三角形POC为等边三角形，得到内角∠OCP为60°，可求出∠PCD为30°，在直角三角形PCD中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半可得出PD为PC的一半，而PC等于圆的半径OP等于直径AB的一半，可得出PD为AB的四分之一，即AB=4PD，得证．解答：解：（1）PO与BC的位置关系是PO∥BC；（2）（1）中的结论PO∥BC成立，理由为：由折叠可知：△APO≌△CPO，∴∠APO=∠CPO，又∵OA=OP，∴∠A=∠APO，∴∠A=∠CPO，又∵∠A与∠PCB都为PB所对的圆周角，∴∠A=∠PCB，∴∠CPO=∠PCB，对应训练1．（2012•玉林）如图，已知点O为Rt△ABC斜边AC上一点，以点O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点E，与AC相交于点D，连接AE．（1）求证：AE平分∠CAB；（2）探求图中∠1与∠C的数量关系，并求当AE=EC时，tanC的值．考点：切线的性质；特殊角的三角函数值．专题：探究型．分析：（1）连接OE，则OE⊥BC，由于AB⊥BC，故可得出AB∥OE，进而可得出∠2=∠AEO，由于OA=OE，故∠1=∠AEO，进而可得出∠1=∠2；（2）由三角形外角的性质可知∠1+∠AEO=∠EOC，，因为∠1=∠AEO，∠OEC=90°，所以2∠1+∠C=90°；当AE=CE时，∠1=∠C，再根据2∠1+∠C=90°即可得出∠C的度数，由特殊角的三角函数值得出tanC即可．解答：（1）证明：连接OE，∵⊙O与BC相切于点E，∴OE⊥BC，∴∠OBP+∠ABP=90°，∠ACP+∠APC=90°，∵OP=OB，∴∠OBP=∠OPB，∵∠OPB=∠APC，∴∠ACP=∠ABC，∴AB=AC；（2）延长AP交⊙O于D，连接BD，∵设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5-r，∴AB2=OA2-OB2=52-r2，AC2=PC2-PA2=(25)2-（5-r）2，∴52-r2=(25)2-（5-r）2，解得：r=3，∴AB=AC=4，∵PD是直径，∴∠PBD=90°=∠PAC，∵∠DPB=∠CPA，∴△DPB∽△CPA，∴CP AP PD BP=，∴2553 33BP-=+，解得：PB=655．考点二：切线的判定（2）解：作BG⊥CD，垂足是G，在Rt△ABD中∵AB=10，sin∠DAB=35，又∵sin∠DAB=BD AB，∴BD=6∵C是弧AB的中点，∴∠ADC=∠CDB=45°，∴BG=DG=BDsin45°=6×22=32，∵∠DAB=∠DCB∴tan∠DCB=BGCG=34，∴CG=42，∴CD=CG+DG=42+32=72，∴S△CBD=12CD•BG=7232212⨯=．点评：本题考查的是切线的判定定理，涉及到圆周角定理、解直角三角形及三角形的面积公式，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．对应训练考点三：三角形的外接圆和内切圆例4 （2012•阜新）如图，在△ABC中，BC=3cm，∠BAC=60°，那么△ABC能被半径至少为cm的圆形纸片所覆盖．考点：三角形的外接圆与外心；圆周角定理；锐角三角函数的定义．专题：计算题．分析：作圆O的直径CD，连接BD，根据圆周角定理求出∠D=60°，根据锐角三角函数的定义得出sin∠D= BCCD，代入求出CD即可．解答：解：作圆O的直径CD，连接BD，∵弧BC对的圆周角有∠A、∠D，∴∠D=∠A=60°，∵直径CD，A．r B．2r C．2r D．2r考点：三角形的内切圆与内心；矩形的判定；正方形的判定；切线长定理．专题：计算题．分析：连接OD、OE，求出∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD=BE=OD=OE=r，根据切线长定理得出MP=DM，NP=NE，代入MB+NB+MN得出BD+BE，求出即可．解答：解：连接OD、OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC，∵∠ABC=90°，∴∠ODB=∠DBE=∠OEB=90°，∴四边形ODBE是矩形，∵OD=OE，∴矩形ODBE是正方形，∴BD=BE=OD=OE=r，∵⊙O切AB于D，切BC于E，切MN于P，∴MP=DM，NP=NE，∴Rt△MBN的周长为：MB+NB+MN=MB+BN+NE+DM=BD+BE=r+r=2r，故选C．点评：本题考查的知识点是矩形的判定、正方形的判定、三角形的内切圆和内心、切线长定理等，主要考查运用这些性质进行推理和计算的能力，题目比较好，难度也适中．对应训练4．（2012•台州）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；∴sin∠D=BCCD=45，∴CD=25 4，答：三角形ABC外接圆的直径是254．（2）解：连接IC、BI，且延长BI交AC于F，过I作IE⊥AB于E，∵AB=BC=5，I为△ABC内心，∴BF⊥AC，AF=CF，∵sin∠A=45=BFAB，∴BF=4，在Rt△ABF中，由勾股定理得：AF=CF=3，AC=2AF=6，∵I是△ABC内心，IE⊥AB，IF⊥AC，IG⊥BC，∴IE=IF=IG，设IE=IF=IG=R，∵△ABI、△ACI、△BCI的面积之和等于△ABC的面积，∴12AB×R+12BC×R+12AC×R=12AC×BF，即5×R+5×R+6×R=6×4，∴R=32，在△AIF中，AF=3，IF=32，由勾股定理得：AI=352．答：AI的长是352．点评：本题考查了三角形的面积公式，三角形的内切圆和内心，勾股定理，等腰三角形的性质，圆周角定理等知识点的应用，主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度．考点三：圆与圆的位置关系例6（2012•毕节地区）第三十奥运会将于2012年7月27日在英国伦敦开幕，奥运会旗图案有五个圆环组成，如图也是一幅五环图案，在这个五个圆中，不存在的位置关系是（）A．外离B．内切C．外切D．相交考点：圆与圆的位置关系．分析：根据两圆的位置关系易得到它们的位置关系有外切、外离、相交．解答：解：观察图形，五个等圆不可能内切，也不可能内含，并且有的两个圆只有一个公共点，即外切；有的两个圆没有公共点，即外离；有的两个圆有两个公共点，即相交．故选B．点评：本题考查了圆与圆的位置关系：若两圆的半径分别为R，r，圆心距为d，若d＞R+r，两圆外离；若d=R+r，两圆外切；若R-r＜d＜R+r（R≥r），两圆相交；若d=R-r（R＞r），两圆内切；若0≤d＜R-r（R＞r），两圆内含．对应训练6．（2012•德阳）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，2），⊙A的半径是2，⊙P的半径是1，满足与⊙A及x轴都相切的⊙P有个．6．4考点：圆与圆的位置关系；坐标与图形性质；直线与圆的位置关系．分析：分两圆内切和两圆外切两种情况讨论即可得到⊙P的个数．解答：解：如图，满足条件的⊙P有4个，故答案为4．点评：本题考查了圆与圆的位置关系、坐标与图形的性质及直线与圆的知识，能充分考虑到分内切和外切是解决本题的关键．【聚焦山东中考】1．（2012•济南）已知⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，若圆心距O1O2=5，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（）A．外离B．外切C．相交D．内切考点：圆与圆的位置关系．分析：先根据一元二次方程根与系数的关系，可知圆心距=两圆半径之和，再根据圆与圆的位置关系即可判断．解答：解：∵⊙O1和⊙O2的半径是一元二次方程x2-5x+6=0的两根，∴两根之和=5=两圆半径之和，又∵圆心距O1O2=5，∴两圆外切．故选B．点评：此题综合考查一元二次方程根与系数的关系及两圆的位置关系的判断．圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系：①两圆外离⇔d＞R+r；②两圆外切⇔d=R+r；③两圆相交⇔R-r＜d＜R+r（R≥r）；④两圆内切⇔d=R-r（R＞r）；⑤两圆内含⇔d＜R-r（R＞r）．2．（2012•青岛）已知，⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A．内切B．相交C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系．分析：由⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵⊙O1与⊙O2的半径分别是4和6，O1O2=2，∴O1O2=6-4=2，∴⊙O1与⊙O2的位置关系是内切．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．3．（2012•泰安）如图，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C，连接BC，若∠ABC=120°，OC=3，则BC的长为（）A．π B．2πC．3π D．5π考点：切线的性质；弧长的计算．分析：连接OB，由于AB是切线，那么∠ABO=90°，而∠ABC=120°，易求∠OBC，而OB=OC，那么∠OBC=∠OCB，进而求出∠BOC的度数，在利用弧长公式即可求出BC的长．解答：解：连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠ABO=90°，∵∠ABC=120°，∴∠OBC=30°，∵OB=OC，∴∠OCB=30°，∴∠BOC=120°，∴ BC 的长为nπr 180 =120×π×3 180 =2π，故选B．点评：本题考查了切线的性质、弧长公式，解题的关键是连接OB，构造直角三角形．4．（2012•潍坊）已知两圆半径r1、r2分别是方程x2-7x+10=0的两根，两圆的圆心距为7，则两圆的位置关系是（）A．相交B．内切C．外切D．外离考点：圆与圆的位置关系；解一元二次方程-因式分解法．分析：首先解方程x2-7x+10=0，求得两圆半径r1、r2的值，又由两圆的圆心距为7，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．解答：解：∵x2-7x+10=0，∴（x-2）（x-5）=0，∴x1=2，x2=5，即两圆半径r1、r2分别是2，5，∵2+5=7，两圆的圆心距为7，∴两圆的位置关系是外切．故选C．点评：此题考查了圆与圆的位置关系与一元二次方程的解法．此题比较简单，注意掌握两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系是解此题的关键．5．（2012•济南）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，以其三边为直径向三角形外作三个半圆，矩形EFGH的各边分别与半圆相切且平行于AB或BC，则矩形EFGH的周长是．5．4848考点：切线的性质；勾股定理；矩形的性质．分析：首先取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，由题意可得PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，PL，KN，OM，OQ分别是各半圆的半径，OL，OK是△ABC的中位线，又由在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，即可求得个线段长，继而求得答案．解答：解：取AC的中点O，过点O作MN∥EF，PQ∥EH，∵四边形EFGH是矩形，∴EH∥PQ∥FG，EF∥MN∥GH，∠E=∠H=90°，∴PQ⊥EF，PQ⊥GH，MN⊥EH，MN⊥FG，∵AB∥EF，BC∥FG，∴AB∥MN∥GH，BC∥PQ∥FG，∴AL=BL，BK=CK，∴OL=12BC=12×8=4，OK=12AB=12×6=3，∵矩形EFGH的各边分别与半圆相切，∴PL=12AB=12×6=3，KN=12BC=12×8=4，在Rt△ABC中，AC= ，∴OM=OQ=12AC=5，∴EH=FG=PQ=PL+OL+OQ=3+4+5=12，EF=GH=MN=OM+OK+NK=5+3+4=12，∴矩形EFGH的周长是：EF+FG+GH+EH=12+12+12+12=48．故答案为：48．点评：此题考查了切线的性质、矩形的性质，三角形中位线的性质以及勾股定理等知识．此题难度较大，解题的关键是掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．6．（2012•菏泽）如图，PA，PB是⊙O是切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P=46°，则∠BAC= 度．6．23考点：切线的性质．专题：计算题．分析：由PA、PB是圆O的切线，根据切线长定理得到PA=PB，即三角形APB为等腰三角形，由顶角的度数，利用三角形的内角和定理求出底角的度数，再由AP为圆O的切线，得到OA与AP垂直，根据垂直的定义得到∠OAP为直角，再由∠OAP-∠PAB即可求出∠BAC 的度数．解答：解：∵PA，PB是⊙O是切线，∴PA=PB，又∠P=46°，∴∠PAB=∠PBA=180-462=67°，又PA是⊙O是切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP=90°，∴∠BAC=∠OAP-∠PAB=90°-67°=23°．故答案为：23。

浙教版九年级上数学期末复习资料四《圆的有关性质1》

东实九年级数学期末复习资料四《圆的有关性质1》姓名【备考基础知识】1.点与圆的位置关系：如果圆的半径为r ，点到圆心的距离为d ，那么：点在圆外⇔ ；点在圆上⇔ ；点在圆内⇔ 。

2.确定圆的条件：不同一直线上的三点三角形的外接圆：。

三角形外接圆的圆心叫做三角形的，它是三角形的交点，它到三角形。

外心所在的位置：钝角三角形；直角三角形；锐角三角形。

3.圆的对称性：圆是一个轴对称图形，又是，还具有旋转不变性。

垂径定理及其推论：推论1：推论2：特别要注意：推论1往往作为判定题的选项。

4.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：圆心角定理：推论： 5．圆周角定理：推论1：推论2：推论3： 6.圆内接四边形的性质：四点共圆的证明方法：○1 ○2 ○3 7.正多边形定义： n 边形的内角和：外角和：对角线总数：特别要注意正六边形的有关计算方法。

8．弧长和扇形的面积（1）弧长公式：（2）扇形的面积公式：○1 ；○2 【考点管理】考点一：点与圆的位置关系1．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ,则点A 与⊙O 的位置关系是（） A ．点A 在圆上 B ．点A 在圆内 C ．点A 在圆外 D ．不能确定 2. 若⊙O 半径为13，圆心在坐标原点上，点P 的坐标为（5 , 12），则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C ．点P 在⊙O 外D ．不能确定 3. 已知一定点P 与圆周上点的最大距离为6cm ，最小距离为2cm ，则此圆的半径为（） A ．4cm B ．2cm C ．4cm 或2cm D ．8cm 或4cm 4. 在Rt △ABC 中，90C ∠=，5AC =，12BC =，若以C 为圆心，以5为半径作c ，则点A 在c，点B 在c ；若以AB 为直径作O ，则点C 在O _ _．考点2：圆心角、弧、弦之间的关系1.在半径为2cm 的⊙O 中，长为2cm 的弦所对的的圆心角为（） A ．30° B ．60° C ．90° D ．120°2. 如图，ABC △内接于⊙O ，若28OAB ∠=，则C ∠的大小为（） A ．28 B ．56 C ．60 D ．623. 如图，在Rt ABC △中，90C ∠=，10AB =，若以点C 为圆心，CB 长为半径的圆恰好经过AB 的中点D ，则AC 的长等于（） A ．53B ．5C ．52D ．64. 如图，在条件：①∠COA ＝∠AOD=600；②AC=AD=OA ；③点E 分别是AO, CD 的中点； ④OA ⊥CD 且∠ACO=600中，能推出四边形OCAD 是菱形的条件有个．5. 如图，在半径为2cm 的⊙O 中有长为23cm 的弦AB ，则弦AB 所对的圆心角的度数为 ( ) A. 600 B. 900 C. 1200 D. 1500 考点3:垂径定理及其推论的应用1.如图，在半径为5的⊙O 中，AB 、CD 是互相垂直的两条弦，垂足为P ，且4AB CD ==，则OP 的长为（）A ．1B ．2C ．2D ．22 2.下列语句中正确的是（）A ．相等的圆心角所对的弧相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．长度相等的两条弧是等弧D ．经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 3.半径等于12的圆中，垂直平分半径的弦长为（）A ．36B ．123C 、．63D ．1834.在半径为10的⊙O 中，弦AB =12,弦CD =16，且AB ∥CD ，则弦AB 、CD 的距离为（） A ．14 B ．2 C ．8或6 D ．14或25. 如图，在⊙O 中，弦AB =6，点C 是劣弧AB 的中点，连接OC ，交AB 于点D ，且CD =1，则⊙O 的半径为________． 6.如图，已知⊙O 的半径为2cm ，弦AB ＝2cm ，P 点为弦AB 上一动点，则线段OP 的范围是． 7. 如图，O 是ABC △的外接圆，60BAC ∠=，若O 得半径为2，则弦BC 的长为（） A ．1B ．3C ．2D ．23A P OBC DAB D OABO P8. 如图，AB ，AC 都是O 的弦，OM AB ⊥，ON AC ⊥，垂足分别为M 、N ，如果3MN =，那么BC = 。

24.2.1 点和圆的位置关系初中数学人教版九年级上册课件

这与三角形的内角和为180°矛盾，假设不成立．
∴ △ABC中至少有一个内角小于或等于60° ．
当堂练习
1.⊙O的半径r为5cm，O为原点，点P的坐标为(3，4)，则点P与⊙O的位置关系为（ B ）
A.点P在⊙O内
B.点P在⊙O上
C.点P在⊙O外
D.点P在⊙O上或⊙O外
P
d
d
Pd
r
r
P
r
点P在⊙O内点P在⊙O上点P在⊙O外
d ＜r d= r d＞r
要点归纳点和圆的位置关系
P
d
d Pd
P d r
r
r
P
r
R
点P在⊙O内 d<r 点P在⊙O上 d=r 点P在⊙O外 d>r 点P在圆环内 r≤d≤R
数形结合：位置关系
数量关系
练一练：
1.⊙O的半径为10 cm，A、B、C三点到圆心的距离分别为8 cm、10 cm、12 cm，则点A、B、C与⊙O的位
确定这个位置呢？
解：学校应该建在AB和AC垂直平分线的交点上
B●
●A
C
●
●
例2 如图，在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm， O到BC的距离是5 cm，求△ABC的外接圆的半径．
解：连接OB，过点O作OD⊥BC于点D，
则OD＝5cm，BD 1 BC 12cm.
2
在Rt△OBD中，
OB OD2 BD2 13cm.
经过A，B两点的圆的圆心在线
段AB的垂直平分线上.
F
经过B，C两点的圆的圆心在线
段BC的垂直平分线上.
B
A
●o
经过A，B，C三点的圆的圆心应该

与圆有关的位置关系-2022年中考数学一轮复习满分突破精讲精练(全国通用) (解析版)

2.19 与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系1、设圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则（1）点在圆内⇔d r<；（2）点在圆上⇔d r=；（3）点在圆外⇔d r>；2、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.3、经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆. 外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心.二、直线与圆的位置关系1、设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则（1）直线与圆相交（图1）⇔d r<⇔有两个交点；（2）直线与圆相切（图2）⇔d r=⇔有一个交点；（3）直线与圆相离（图3）⇔d r>⇔无交点；2、相关概念：（1）直线和圆有两个公共点，这时我们说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线.（2）直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.（3）直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离，（4）切线长：经过圆外一点的圆切线上，这点和圆的切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.（5）与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.3、相关定理：知识回顾（1）切线的判定定理：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径；推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点；推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心.以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个.（3）切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.三、圆和圆的位置关系1、设两圆的半径分别为R 、r （R >r ），圆心距为d ，则（1）两圆外离（图1）⇔d R r >+⇒无交点；（2）两圆外切（图2）⇔d R r =+⇒有一个交点；（3）两圆相交（图3）⇔d R r R r -<<+⇔有两个交点；（4）两圆内切（图4）⇔d R r =-⇒ 有一个交点；（5）两圆内含（图5）⇔d R r <-⇒无交点；2、相关概念：（1）如果两个圆没有公共点，那么这两个圆相离，分为外离（图1）和内含（图5）两种情况；（2）如果两个圆只有一个公共点，那么这两个圆相切，分为外切（图2）和内切（图4）两种情况；（3）如果两个圆有两个公共点，那么这两个圆相交.考点一：点与圆的位置关系考点精讲O的半径为5cm，点P到圆心O的距离OP=6cm，则点P（）A.在⊙O外B.在⊙O上C.在⊙O内D.不能确定【答案】A【解析】解：∵OP=6cm＞5cm，∴点P在⊙O外．故选A．【点评】利用点与圆的位置关系的判断方法求解．变式跟进1如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（）A.点BB.点DC.点ED.点A【答案】D【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=4，∴BC=3，∵且点D，E分别是AC，AB的中点，∴CD=2，CE= 52，∴点B在⊙C上，∴点E在⊙C内，∵BC=3，∴点D在⊙C内，∴点A在⊙C外，故选：D．【点评】分别求出AC、CE、BC、CD的长，根据点与圆的位置关系的判断方法进行判断即可．考点二：确定圆的条件AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D．已知：A B=24cm，CD=8cm．例1例2（1）求作此残片所在的圆（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求（1）中所作圆的半径．【答案】答案见解析【解析】（1）解：作弦AC的垂直平分线与弦AB的垂直平分线交于O点，以O为圆心OA 长为半径作圆O就是此残片所在的圆，如图．（2）解：连接OA，设OA=x，AD=12cm，OD=（x﹣8）cm，则根据勾股定理列方程：x2=122+（x﹣8）2，解得：x=13．答：圆的半径为13cm．【点评】（1）根据垂径定理作图即可。