第7章 随机事件与概率

经济数学
Economic mathematics
第7章 随机事件与概率
学习目标：
• • • • • • • • 了解随机试验与随机事件的概念，理解并掌握事件的关系与运算． 理解概率的定义和基本性质． 了解古典概型的定义，能够计算简单的古典概率． 理解条件概率的定义，掌握概率的乘法公式． 了解全概率公式并会简单计算． 理解事件独立性的概念，熟练掌握相互独立事件的性质及相关概率 的计算方法． 会计算产品的合格率，能预测某些简单经济现象及其组合发生的可 能性。 会用数值或字母表示经济现象变化的各种状况．
（２）古典概型和伯努利概型是两个比较基本而又重要的试验模型． （３）统计概率、古典概率和条件概率是３个不同意义下的概率． （４）加法公式就事件之间的关系而言，分为互不相容和一般情形两种 公式．
二、重点与难点
1. 重点 2. 难点

（２）各次试验结果之间互不影响，相互独立． 此时，称n次重复试验为伯努利概型．
7.4 事件的独立性与伯努利概型
定理１ 设在n重伯努利试验中，事件A的概率为P（０＜P＜１），则 在n次试验中事件A发生k次概率为
其中p＋q＝１，k＝０，１，２，…，n． 例7.13 某工厂生产某种元件的次品率为２％，现从该厂产品中重复 抽样检查１０个元件，问恰好有两个次品的概率是多少？ 解 由于“重复抽样检查10个元件”就是独立地重复进行10次试验，而 每次试验仅有正品或次品两种可能的结果，所以是伯努利概型． 令A＝ “任意抽取１０个元件中恰有两个次品”
图７.5
7.1 随机事件
事件的运算满足以下规律． （１）交换律： （２）结合律：
（３）分配律：
（４）德摩根律：
7.2 随机事件的概率
7.2.1 概率的统计定义
定义:在一个随机试验中，如果随着试验次数的增大，事件A出现的频 率m/n在某个常数P附近摆动，那么定义事件A的概率为P，记作P(A)＝ P． 概率的这种定义，称为概率的统计定义． 性质１ 对任一事件A，有 性质２ 性质３
则
7.3 条件概率和全概率公式
由于 故
7.3.2 乘法公式
将条件概率公式以另一种形式写出，就是乘法公式的一般形式． 乘法公式： 或 例7.8 设100件产品中有５件是不合格品，用下列两种方法抽取 两件，求两件都是合格品的概率． （１）不放回地依次抽取； （２）有放回地依次抽取．
7.3 条件概率和全概率公式
7.3 条件概率和全概率公式
对于３ 个事件A１，A２，A３，P（A１A２）≠０，则
7.3.3 全概率公式
全概率公式：设A１，A２， …，An是两两互斥事件， 且A１，A ２， …，An ＝ Ω，P（Ai）＞０（i＝１，２，…，n），则对任意事件 B，有
7.3 条件概率和全概率公式
例7.10 某厂有４条流水线生产同一产品，该４条流水线的产量分别占总 产量的15％，20％，30％，35％， 各流水线的次品率分别为0.05， 0.04， 0.03 ， 0.02 ． 从出厂产品中随机抽取一件，求此产品为次品 的概率是多少？ 解 设B＝ ｛任取一件产品是次品｝
7.3 条件概率和全概率公式
7.3.1 条件概率
定义 设A、B是随机试验的两个事件，且P（B）≠０，则称 为已知B发生时A发生的条件概率，或A关于B的条件概率，记作 P（A|B）． 同理可定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率
例7.6 设100件某产品中有５件不合格品，而５件不合格品中又有３件 次品，两件废品．现在100件产品中任意抽取１件，求： （１）抽到废品的概率； （２）已知抽到不合格品，求它是废品的概率． 解 记A＝ “抽到不合格品”，B＝ “抽到废品”， 则AB＝ “抽 到不合格品且是废品”．
Ai＝ ｛第i条流水线生产的产品｝（i＝１，２，３，４），则
P（A１）＝15％， P（A２）＝20％ P（A３）＝30％， P（A４）＝35％
P（B|A１）＝0.05， P（B|A２）＝0.04
P（B|A３）＝0.03， P（B|A４）＝0.02 于是：
7.4 事件的独立性与伯努利概型
7.4.1 事件的独立性
7.2 随机事件的概率
例7.4 袋中有 a 个黑球, b 个白球,从中依次无放回地取3次,第次取一 球,求下列事件的概率. (1) A=“只有第二次取得黑球”; (2)B=“三次中有一次取得黑球”; (3)C=“至少有一次取得黑球”.
7.2 随机事件的概率
7.2.3 概率的加法公式
互不相容事件的加法公式 若A〃B＝Φ，则P（A＋B）＝P（A）＋P（B） 推论１ 若事件A１，A２，…，An两两互不相容，则 即互斥事件之和的概率等于各事件的概率之和． 推论２ 设A为任一随机事件，则 推论３ 若事件A 定理 B，则 P（A－B）＝P（A）－P（B） 对任意两个事件A，B有 P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（A〃B） 推论４ 设A、B、犆为任意３个事件，则
图７.４
7.1 随机事件
６． 互不相容事件（互斥事件） 若事件A与B不能同时发生，即AB＝Φ，则称事件A与B互不相容 （或互斥），如图７.５所示．
图７.5
7.1 随机事件
７． 互逆事件（对立事件） 若事件A与B满足：A＋B＝Ω，AB＝Φ，则称事件A与B互逆（或 对立），如图７.６所示．．事件A的逆事件记作 ，即 由图7.6知，对任意事件A，有
推论 “在n次试验中事件A至少发生k次”的概率为
7.4 事件的独立性与伯努利概型
其中p＋q＝１ 例7.14 某射手每次击中目标的概率为0.6，如果射击5次，试求至少击中 两次的概率． 解 设A＝ ｛至少击中二次｝
本章小结
一、本章主要内容及学习要点
（１）理解随机事件的概率时，要深刻体会它的“随机性”
7.2 随机事件的概率
例7.5 某设备由甲、乙两个部件组成，当超载负荷时，各自出故障的概 率分别为0.90和0.85， 同时出故障的概率是0.80． 求超载负荷时至少 有一个部件出故障的概率． 解 设A＝ ｛甲部件出故障｝，B＝ ｛乙部件出故障｝， 则P（A）＝ 0.90 ，P（B）＝ 0.85 ，P（A〃B）＝ 0.80 于是P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（A〃B） ＝0.90＋ 0.85 －0.80＝0.95 即超载负荷时至少有一个部件出故障的概率为0.95．
7.1.2 事件间的关系及运算
１．包含关系 如果事件A发生必然导致事件B 发生，则称事件A包含于事件B或 称事件B包含事件A，记作A B 或B A，如图７.１所示．
7.1 随机事件
２． 相等关系 如果A B，B A同时成立，则称事件A与事件B相等，记作A＝B． ３． 事件的积（交） 由事件A与B同时发生构成的事件，称为事件A与B的积（交），记作 AB或A∩B，如图７.２阴影部分所示． 对任意事件A，有A〃A＝A，A〃Ω ＝A，A〃Φ ＝Φ．
7.2.2 古典概型
定义:如果古典概型中的所有基本事件的个数是n，事件A包含的基本 事件的个数是m，则事件A的概率为
概率的这种定义，称为概率的古典定义．
7.2 随机事件的概率
古典概型具有下列性质． （１）非负性：０≤P（A）≤１．
（２ห้องสมุดไป่ตู้规范性：P（Ω）＝１，P（Φ）＝０．
（３）可加性：若A∩B＝Φ，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B） 例7.2 掷一枚质地均匀的骰子，观察出现的点数． （１）出现偶数点的概率； （２）出现点数大于４的概率． 解 设A＝ ｛出现偶数点｝，B＝ ｛出现点数大于４｝ 本试验是古典概型，且基本事件的总数n＝６，“出现偶数点”的 事件含有“出现２点、４点、６点”３个基本事件；“出现点数大于 ４”的事件含有“出现５点、６点”两个基本事件，所以
解 设 A＝ “第一次抽到合格品”，B＝ “第二次抽到合格 品”，则AB＝ “抽到两件都是合格品”．
（１）不放回地依次抽取，两件都是合格品的概率：
（２）有放回地依次抽取，两件都是合格品的概率：
例7.9 一批产品中有３％ 的废品，而合格品中一等品占４５％．从这 批产品中任取一件，求该产品是一等品的概率． 解 设A＝ “取出一等品”，B＝ “取出合格品”，C＝ “取出废 品”，于是
7.4 事件的独立性与伯努利概型
（１）甲、乙两人考上大学的事件是相互独立的， 故甲、乙两人同时 考上大学的概率是 （２）甲、乙两人至少一人考上大学的概率是
7.4.2 伯努利概型
定义 将某一试验重复n次，这n次试验满足以下条件． （１）每次试验条件相同， 其基本事件只有两个， 设A和A， 并且
P（A）＝ P，P（A）＝１－P．
7.3 条件概率和全概率公式
（1） （2） 由于５件不合格品有２件废品．
于是 例7.7 某种元件用满6000ｈ未坏的概率是３/４，用满10000ｈ未坏 的概率是１/２．现有一个此种元件，已经用过6000ｈ未坏，问它能 用到10000ｈ的概率． 解 设A表示｛用满10000ｈ未坏｝ B表示｛用满6000ｈ未坏｝
定义 如果在两个事件A、B中， 任一事件的发生不影响另一事件的发生 的概率，即
则称事件A与事件B是相互独立的；否则，称为是不独立的．
性质１ 两个事件A，B相互独立的充分必要条件是： P（AB）＝P（A）〃P（B）． 性质２ 若事件A，B相互独立，则事件A与B，A 与 B，A与B也相互独立 例7.11 甲、乙两人考大学，甲考上的概率是0.7， 乙考上的概率是 0.8． 问（１）甲、乙两人都考上的概率是多少？（２）甲乙两人至少 一人考上大学的概率是多少？ 解 设A＝ ｛甲考上大学｝，B＝ ｛乙考上大学｝，则P（A）＝0.7， P（B）＝0.8
图7.2
7.1 随机事件
４． 事件的并（和） 由事件A与B至少有一个发生构成的事件，称为事件A与B的和（并）， 记作A＋B或A∪B，如图７.３阴影部分所示． 对任意事件A，A＋A＝A，A＋Ω ＝Ω，A＋Φ ＝A．
图7.3