第6章 二次型及其标准形
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第六章 实二次型
例 求一正交变换 X PY，将二次型f ( x1 , x2 , x3 ) x1 x2 x1 x3 x2 x3化为标准形。 1 1 解 二次型的矩阵为
0 1 A 2 1 2
，得 由E A 0
1 2 1 2
1 2
1 2
2 2 1 0 2 1 0 2 把第2、3行加到第1行 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2
ห้องสมุดไป่ตู้
Y T Y
因此， 问题进一步演变为： 对于给定的n阶对称矩阵 A (aij ) nn ，如何找出 n阶可逆矩阵C， 使得 C T AC 为对角矩阵。
那么就把原二次型化为标准型， 标准型中平方项的系数就是对角矩阵 的n个对角元。
T 使得 B P AP 定义 如果对于n阶方阵A和B， 存在n阶可逆矩阵P，
属于三重根 2 1的特征向量满足：x1 x2 x3 x4 0 利用直观法求出三个两两正交解（然后再单位化）：
1 1 1 p2 0 2 0 0 1 0 p3 1 2 1
1 1 1 p4 2 1 1
( 1) 2 (2 2 3) ( 1) 3 ( 3) 0 A的4个特征值为1
3, 2 3 4 1
属于1 3的特征向量满足：
3 x1 x 2 x3 x 4 0 x 3 x x x 0 1 1 1 2 3 4 可取单位特征向量 p1 2 1 x1 x 2 3 x3 x 4 0 1 x1 x 2 x3 3 x 4 0 1
5-1线性代数
矩阵的合同： 设Ａ、Ｂ为两个n阶方阵，如果存在n阶可逆
矩阵Ｃ，使ＣＴＡＣ＝Ｂ，则称Ａ与Ｂ合同。 矩阵的合同关系也具有反身性，对称性，传递性。
矩阵的等价、相似、合同之间的关系
相似是一种特殊的等价，合同也是一种特殊的等价 思考：两个同阶的方阵，会不会即相似又合同？
如果存在，请举例说明 对称矩阵和它的对角阵即相似又合同
现将X=CY代入二次型，得
X CY
f ( X ) X T AX (CY )T A(CY ) Y T (CE5T 5A5CF )Y
B
二次型经过线性变换之后仍然是二次型。
二次型xT Ax经过线性变换x Cy后,关于y的二次型的 矩阵为CT AC
二次型经过可逆线性变换后，其秩不变，即R(A)=R(B)
n
aij xi x j i, j1
f ( x1 , x2 ,L , xn ) ax111(xa1211x1a12 ax12xx22L aa1n1nxx1nx)n ax221(xa22x1 x1 1aa222x2 x22 2L aa2n2xn x2 xn )n
L
axnn1(xannx1 x1 1aan2nx2 xn x2 2 Laannnxn xn )n2
2
3
2 2
2
6
令
P
1,2 ,3
1 3
0
2 2
3
2 3
2 2
2 6
则通过正交变换
2
x1 x2 x3
3 1 3 2
3
2 2 0
2 2
2
2
6 2 3 2 6
y1 y2 y3
将二次型 f (x1, x2 , x3 ) 化为标准形式
f 2 y12 7 y22 7 y32
第六章 二次型及其标准型
2 2 5 0 0 162 0 7
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5 x2 6 y2 4z 2 4 xy 4 xz
解
二次型f (x, y, z)的矩阵为
5 2 2 A 2 6 0 2 0 4
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 T x Ax a12 a22 an 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn
f ( x1,x2 , ,xn )
i 1
n
T a x x x ij i j Ax, j 1
n
其中 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , · · ·, xn)T
A为对称矩阵，称A为二次型的矩阵，A 的秩
为二次型的秩. 二次型和它的矩阵是互相唯一确定的.即有一 个二次型就有唯一的对称矩阵 A；而对称矩阵A 对应唯一的二次型.
a22 a2 k ak 2 akk
k 1, 2, , n
称为A的k阶顺序主子式，即
a11 A1 a11 , A2 a21
a12 , A3 a21 a22 a31
a11
a12 a22 a32
a13 a23 , , a33
An A ,
1 2 3 例如， A 的顺序主子式为 2 0 1 0 0 2 1 2 A2 4 , A3 A 8 A1 1 , 2 0
故该二次型正定。
例6.3.5 判别二次型f (x, y, z)为负定
f x, y, z 5 x2 6 y2 4z 2 4 xy 4 xz
解
二次型f (x, y, z)的矩阵为
5 2 2 A 2 6 0 2 0 4
a11 x1 a12 x2 a1n xn a x a x a x 22 2 2n n ( x1 , x2 , , xn ) 21 1 an1 x1 an 2 x2 ann xn a11 a21 ( x1 , x2 , , xn ) a n1 T x Ax a12 a22 an 2 a1n x1 a2 n x2 ann xn
f ( x1,x2 , ,xn )
i 1
n
T a x x x ij i j Ax, j 1
n
其中 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , · · ·, xn)T
A为对称矩阵，称A为二次型的矩阵，A 的秩
为二次型的秩. 二次型和它的矩阵是互相唯一确定的.即有一 个二次型就有唯一的对称矩阵 A；而对称矩阵A 对应唯一的二次型.
a22 a2 k ak 2 akk
k 1, 2, , n
称为A的k阶顺序主子式，即
a11 A1 a11 , A2 a21
a12 , A3 a21 a22 a31
a11
a12 a22 a32
a13 a23 , , a33
An A ,
1 2 3 例如， A 的顺序主子式为 2 0 1 0 0 2 1 2 A2 4 , A3 A 8 A1 1 , 2 0
第六节 二次型的标准形和规范形
一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准 形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然， 其标准形一般来说是不唯一的。
但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数 等于二次型的秩．
f k1 y12 k2 y22 kr yr2 , (ki 0)
实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确 定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二 次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1
0 0 0
,
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
18
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
正交化，
1 1 1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
0
5 45
14
于是所求正交变换为 X PY , 标准形为 f 9 y12 18y22 18y32 .
2 1
3 1 1 1
1 3 ,
3E
A
1 1 1
3 1 1
1 3 1
1
13
17
3E
A
3 1 1
1 E3A 1
1 1 3
但是，标准形中所含有的项数是确定的，项数 等于二次型的秩．
f k1 y12 k2 y22 kr yr2 , (ki 0)
实际上，不仅标准形中的非零系数的个数是确 定的，其中正的系数个数和负的系数个数也被原二 次型所确定，这就是下面的“惯性定理”。
A
1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1
1 11
0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1
0 0 0
,
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
18
1
1
1
2
1 0 0
,
3
0 1 0
,
4
0 0 1
,
正交化，
1 1 1
正交化，
3
2 0 1
4 5
2 1 0
1 5
2 4 5
,
再单位化，合在一起，即得所求正交变换的矩阵
1 3 2 5 2 45
P 2 3 1 5 4 45
2 3
0
5 45
14
于是所求正交变换为 X PY , 标准形为 f 9 y12 18y22 18y32 .
2 1
3 1 1 1
1 3 ,
3E
A
1 1 1
3 1 1
1 3 1
1
13
17
3E
A
3 1 1
1 E3A 1
1 1 3
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
线性代数第六章第二节二次型化为标准型的三种方法
用正交变换化二次型为标准形，其特点是保 持几何形状不变．
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
问题：有没有其它方法，也可以把二次型化为标 准形？
问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法——拉格朗日配方法．
用正交变换能够化实二次型为标准型，这种方法是根据实 对称矩阵的性质，求出二次型 的特征值和规范正交的特征向量， 条件要求较强，当研究一般数域P上的二次型(包括实二次型) 的标准型时，可以用拉格朗日配方法，这种方法不用解矩阵特征 值问题，只需反复利用以下两个初等公式
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
二次型及其标准形资料
x~
x2 y2 1
4 20 见图所示.
定义1：含有n个变量 x1, x2 , , xn 的二次齐次多项式
f ( x1, x2 , , xn ) a11 x12 2a12 x1 x2 2a13 x1 x3
a22 x22 2a23 x2 x3
2a1n x1 xn 2a2n x2 xn
二. 化二次型为标准形 目标： 二次型 f X T AX
1. 正交变换法（重点） 2. 配方法
可逆线性变换X CY
标准形 f Y T (C T AC )Y
k1
y2 1
k2
y2 2
kn
y2 n
Y TY
问题转化为： 求可逆矩阵C，使得 CT AC 为对角矩阵
称为二次型的标准形(或法式)。
平方项系数只在 1,1,0 中取值的标准形
f
x12
x
2 p
x
2 p1
xr2
称为二次型的规范形。(注：这里规范形要求系数为1的项排
在前面，其次排系数为-1的项。)
目的：对给定的二次型
n
f x1, x2 ,, xn aij xi x j (1)
i, j1
找可逆的线性变换(坐标变换)：
a2n xn ) ann xn )
( x1, x2 ,
a11 x1 a12 x2
,
xn
)
a21 x1
a22
x2
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
二次型及其标准形
使
PT AP P 1AP diag(2, 1, 1)
取正交变换 x Py, 则 f ( x) 2 y12 y22 y32
二次曲面 2xy 2xz 2yz 1 通过正交变换
化为标准1 x
1 y 2 1 y
1 z 6 1 z
3
2
6
z
1 x 3
2 z 6
1
PT AP
n
其中 1, , n 是 A 的特征值. 令 x Py, 则
f ( x) (Py)T A(Py) yT(PT AP ) y 1 y12 n yn2
f (x) 的法式(标准形)
❖ 定理 设 A 为对称阵, 则存在正交阵 P, 使 P 1AP PT AP Λ
其中 L 为对角阵, 以 A 的特征值为对角元素.
f ( x) y12 3 y22
例4 化二次型 f ( x) 2 x1x2 2x1x3 2x2 x3 为标准形.
解
令
x1 x2
y1 y1
y2
得
x3 y3
f ( x) 2 y12 2 y1 y2 4 y1 y3 2 y2 y3
2( y1 0.5 y2 y3 )2 0.5 y22 2 y32
❖ 拉格朗日(Lagrange)配方法 • 如果有 xi 的平方项, 则把含 xi 的所有项归并配方; • 如果没有平方项, 则把 x1xi 化为 y12 y1 yi , 其中令
xi y1 yi xj yj, ( j i)
例3 求一个可逆线性变换 x Cy, 化二次型
f ( x) x12 x22 6 x32 4 x1 x2 6 x1 x3 6 x2 x3 为 y 的标准形.
• 当变元从 x 变换为 y 时, 二次型 f 的矩阵从 A 变为 B C T AC
第六章二次型答案详解
【解析】上课已经证明过，自己看 ppt.
习题 6.5 正交线性替换
1．用正交线性替换化下列二次型为标准形：
x12 2x22 +3x32 4x1x2 4x2 x3
2
【答案】正交线性替换为：
x1 x2 x3
3 2 3 1 3
2 3 1 3 2 3
A 11
2 3
53
0 0
1 2
2 4
0 0
1 0
2 0
，秩为
2
3． 已知二次型 f (x1, x2 , x3 ) 5x12 5x22+cx32 2x1x2 6x1x3 6x2x3 的秩为 2 ，求常数 c 及此二次型
院系
班级
姓名
学号
第六章 二次型
习题 6.1 二次型及其标准形
1． 把下列二次型写成矩阵形式：
(1) f (x1, x2 , x3 ) x12 2x1x2 4x1x3 3x22+x2 x3 +7x32 ； (2) f (x, y, z) x2 4xy 2 y 2+4yz+3z 2 ．
1 3 2 3
2 3
y1 y2 y3
，标准形为：
y12
2
y22
5
y32
.
2．已知实二次型 f (x1, x2 , x3 ) 2x12 3x22+3x32 2ax2x3 ，其中 a 0 ，经正交线性替换化成标准形 为 y12 2 y22 +5y32 ，求 a 及所用的正交线性替换．
二次型及其标准形
xn
a21
a22
an1
an 2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
a1n
x1
记
A
a21
a22
a2n
,x
x2
an1
an 2
ann
xn
得二次型的矩阵形式 其中，A 为对称阵。
f xT Ax
只含平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
线性代数
二次型及其标准形
1
二次型及其矩阵 的表示形式
本节内容
2
用正交变换化二 次型为标准形
在解析几何中，为了便于研究二次曲线 ax2 bxy cy2 1
的几何性质，可选择直角坐标系的一个适当的旋转变换
x xcos ysin
y
x
sin
y
cos
把二次曲线方程化为标准形
mx2 ny2 1
(3)在正交变换 x Py 下，化二次型为标准形。
f xT Ax yT P T AP y yT Λy 1 y12 2 y22 n yn2
标准形平方项的系数ii 1, 2, , n 即对称阵A 的特征值。
例2 设二次型 f x1, x2, x3 x12 2x1x3 2x22 x32 ，求一个正交交
解
二次型矩阵为
2 A 3 5
3 5
1 0 0 1
于是得
f x1, x2,
2
, xn 3
5
3 1 0
5
0 1
x1 x2 x3
1.2 用正交变换化二次型为标准形
化二次型(1.1)为标准形(1.3)，用矩阵表示就是以 x 代Cy入，得
6.1二次型及其标准形
1 2 0 A 2 2 3.
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
0 3 3
见书上例2、例3.
只含有平方项的二次型 f k1 y12 k2 y22 kn yn2
称为二次型的标准形（或法式）． 例如
f x1, x2 , x3 2x12 4x22 5x32 4x1x3 f x1, x2 , x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3
其中1,2 ,, n是 f 的矩阵A aij 的特征值.
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤
1. 将二次型表成矩阵形式f xT Ax,求出A;
2. 求出A的所有特征值1,2 ,,n;
3. 求出对应于特征值的特征向量1 ,2 ,,n;
4.
将
特征向量
1
,
2
,,
正
n
交化,
单位化,
得
1 ,2 ,,n ,记C 1 ,2 ,,n ;
xn cn1 y1 cn2 y2 cnn yn
记C (cij),则上述可逆线性变换可 记作
x Cy
将其代入 f xT Ax,有
f xT Ax CyT ACy yT CT AC y.
这样问题就演变为如何找出n阶可逆矩阵C使得CT AC 为对角矩阵。
定义：如果对于n阶方阵A和B，存在n阶可逆矩阵P，使
a1n
a2n
,
ann
x1
x
x2
,
xn
则二次型可记作 f xT Ax,其中A为对称矩阵.
对称矩阵A叫做二次型 f 的矩阵; f 叫做对称矩阵A的二次型;
例１ 写出二次型 f x12 2 x22 3 x32 4 x1 x2 6 x2 x3
的矩阵.
解 a11 1, a22 2, a33 3, a12 a21 2, a13 a31 0, a23 a32 3.
线性代数第六章
1 2 1
1 2 1
对
A
2
2
0
进行行变换可以得到
0
2
5
，所以二次型的秩为
3．
1 0 6
0 0 17
6.1.1 二次型的基本概念
例题
5
1 2
0
例2
设
A
1 2 0
3
4
，写出矩阵
A
所对应的二次型．
4
2
解： f (x1 ，x2 ，x3 ) 5x12 3x22 2x32 x1x2 8x2 x3 ．
6.1.2 可逆变换
定义
设由变量 y1 ，y2 ，L ，yn 到 x1 ，x2 ，L ，xn 的线性变换为
x1 c 1 y1
1 c
y1 2 L2
c
n
yn
，
1
x2
c
2 y1
1 c y2 2 L2 L
c
n
yn
，
2
xn cn1 y 1 cn y2 2 L cnn yn ，
（6-3）
c11 c12 L
解：由于
f
中没有平方项，但有
x1
x2
项，由此令
x1 x2
y1 y1
y2 y2
， ，即
x3
y3 ，
x1 1 1 0 y1
x2
1
1
0
y2
，
x3 0 0 1 y3
得
f ( y1 y2 )( y1 y2 ) ( y1 y2 ) y3 y12 y22 y1 y3 y2 y3
n
nn
f aij xi xj
aij xi x j
i ，j 1
线性代数 第六章第二节 二次型化为标准型三种方法
C为所 求
思考
1、化二次型为标准形的正交变换是否 唯一？
2、二次型的标准形是否唯一？
3、二次型的平方和和标准形主要区别 是什么？
4、在实数域里考虑，正交变换法和配
平方法没有改变二次型的那些特征？
思考题解答
1、正交变换不唯一；
2、标准形不计顺序的话是唯一的；
3、标准形的系数为其特征值，而平方 和的系数则不是特征值，可以任意变 动.
即：
求逆 矩阵
记Y=DZ
所用变换矩阵为
定理4 对于任一n元二次型 都存在非退化的线性变换X=CY，使之成为标准型（平方和） 证明 对变量个数进行归纳。
平方项的系数不全为零，不妨设
是n-1元二次型或零多项式。由归纳假设，存在非退化线性变换
则非退化线性变换为
情形2
不含平方项，必有
是非退化的线性变换，使得
零多项式，故 可化为标准型.
含有平方项，这归结为情形1，
推论1 任意n阶对称矩阵A都与对角形矩阵合同. 证明 由定理4，存在非退化线性变换X=CY，使得
右端标准型的矩阵为
新旧变量二次型的矩阵A与B满足CTAC=B，即A与对角形矩阵 B合同.
3 初等变换法 根据实对称矩阵及合同变换的特征得到.
只作列 变换
时,解方程组
得基础解系
当
时,解方程组
得基础解系
将特征向量正交化、单位化
再对α1,β2, β3单位化,得
写出正交变换的矩阵
由
构成正交矩阵
则二次型经正交变换x=Ty化为标准形
显然,f =1表示的二次曲面为单叶双曲面. 注意：化f为标准形的正交变换不唯一.
例2 解
拉格朗日配方法的具体步骤
第6章二次型及其标准型
推论 任给 n 元二次型 f = xTAx (AT = A),
总有可逆变换 x = Pz，使 f(Pz) 为规范形.
黄凤英 二次型
用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 1. 写出二次型 f 2, , n. 3. 对每个 =i 求出对应方程(AE)x=0的基础
对 2 = 3= 5,
对 1= 4,
4 2 4 由A 5 E 2 1 2 4 2 4
黄凤英 二次型
1 r 0 0
1 1 2 0 0 , 0 0
1 0 得 : 2 2 , 3 2 , 0 1 1 2 2 2 , 正交化得： 0 4 1 3 2 5 5
2 2 2
如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形.
二次型的秩的意义： 一个二次型
的标准形中所含的项数即为该二次型的秩.
黄凤英 二次型
合同矩阵
定义 3 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆
矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同.
可逆矩阵C称为合同变化矩阵.
二次型及其标准形
主要内容
二次型的概念
合同矩阵
化二次型为标准型
黄凤英 二次型
二、二次型的概念
定义 1 称 n 个变量的二次齐次多项式
f(x1 , x2 , · · · , xn ) = a11x12 + a22x22 + · · · + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + · · · + 2an-1,nxn-1xn 为二次型. 取 aij = aji , 则 2aijxixj = aijxixj + ajixjxi , 于是 (2) 式可写成
线性代数第6章二次型及其标准形
f ( x1, x2 , x3 ) [ x1, x2 , x3 ]4
5
6
x2
xT
Bx
7 8 9 x3
解 f x12 5 x22 9 x33 6 x1 x2 10x1 x3 14x2 x3
1 3 5 x1
[ x1, x2 , x3 ]3
x2 x3
注：二次型
对称矩阵
定义2： 二次型 f X T AX 把对称矩阵 A称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1 写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 2 3 x1
an1 x1 an2 x2
a1n xn
a2n xn
ann xn
a11 a12
( x1, x2 ,
,
xn
)
a21
a22
an1
an2
a1n x1
a2
n
x2
ann
xn
a11 a12
1 E A 2 4 2 2 4 2 52 4
4 2 1 4 2 1
所以A的特征值为: 1 2 5, 3 4
1 2 1
2对1
2
5, 解5E
AX
0, 得基础解系为:1
1
解（1）写出二次型 f 的矩阵 (2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
6-1-2二次型及其标准型
( x1, x2 ,
,
xn)
a21
x1
a22
x2
a2n xn
an1 x1 an2 x2 ann xn
nn
aij xi x j f ( x1 , x2 , , xn )
j1 i1
称式（6.2）为二次型（6.1）的矩阵形式，
矩阵A称为二次型 f X 所对应的矩阵，矩阵A 的秩称为二次型 f X 的秩。
f x1, x2 ,L , xn a11 x12 2a12 x1 x2 L 2a1n x1 xn
a22 x22 L 2a2n x2 xn L L L L ann xn2
f 也可写成如下的矩阵和向量的乘积形式：
x1
记
X
x2
M
xn
a11 a12 L
A
a21
a22
L
定理6.1 二次型经非退化线性替换后仍为二次型， 且新二次型矩阵与原二次型矩阵合同。
证明：设二次型 f X X T AX ，经过可逆线性
替换 X = CY ,得：
f X CY T ACY Y T CT AC Y
设 B = CT AC ，则可得：
f X Y T BY
又因为 BT = CT AC T CT ATC = CT AC = B
L L L
an1
an2
L
a1n
a2n
L
ann
f X f ( x1, x2,L , xn )
f X X T AX
(6.2)
证明如下:
a11 a12 a1n x1
XT
AX
x1 ,
x2 ,
,
xn
a21
an1
a22 an2
线性代数知识点总结(第6章)
线性代数知识点总结（第6章）（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：如果二次型只含平方项，即f（x1，x2，…，x n）=d1x12+d2x22+…+d n x n2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换x=Cy（C可逆），将二次型化为标准形。
其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。
★（2）正交变换法：通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λn y n2其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵注:正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。
（二）惯性定理及规范形4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；规范形：f=z12+…z p2-z p+12-…-z p+q2称为二次型的规范形。
5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。
注：（1）由于正负惯性指数不变，所以规范形唯一。
（2）p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r（A）（三）合同矩阵6、定义：A、B均为n阶实对称矩阵，若存在可逆矩阵C，使得B=C T AC，称A与B合同△7、总结：n阶实对称矩阵A、B的关系（1）A、B相似（B=P-1AP）←→相同的特征值（2）A、B合同（B=C T AC）←→相同的正负惯性指数←→相同的正负特征值的个数（3）A、B等价（B=PAQ）←→r（A）=r（B）注：实对称矩阵相似必合同，合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义二次型x T Ax，如果任意x≠0，恒有x T Ax＞0，则称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。
9、n元二次型x T Ax正定充要条件：（1）A的正惯性指数为n（2）A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=C T C或C T AC=E（3）A的特征值均大于0（4）A的顺序主子式均大于0（k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式）10、n元二次型x T Ax正定必要条件：（1）a ii＞0（2）|A|＞011、总结：二次型x T Ax正定判定（大题）（1）A为数字：顺序主子式均大于0（2）A为抽象：①证A为实对称矩阵：A T=A；②再由定义或特征值判定12、重要结论：（1）若A是正定矩阵，则kA（k＞0），A k，A T，A-1，A*正定（2）若A、B均为正定矩阵，则A+B正定。
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，从而
8 4b 2 a 0 1 b 4
解得
a 1, b 2
A与D有相同的特征值，分别为
1 1, 2 2 , 3 4
求得它们对应的特征向量(正交)为
1 ( 2 , 1,2 )
T
2 (1 ,2 ,2 )
T
by
2 2
4 y3
2
(2) 正交变换矩阵 Q .
2 A 2 0 2 a 2 0 2 0
D 4
解 二次型的矩阵为 由题意
Q
T
1 1 AQ Q AQ
b
由相似矩阵的性质得
A D , tr( A ) tr( D )
为可逆线性变换。
对于二次型，我们讨论的主要问题是： 寻求可逆的线性变换，使二次型只含平方项。
n
即二次型
f X
T
AX
i , j1
a ij x i x
j
经过可逆线性变换 X CY 使得
f k1 y1 k2 y2 kn yn
2 2 2
即经过可逆线性变换 X CY 可化为 f X T AX ( CY ) T A ( CY ) Y T ( C T AC ) Y
问： 在二次型
f x
T
Ax
中,如不限制 A对称, A唯一吗?
定义 只含平方项的二次型
f k1 x1 k 2 x 2 k n x n
2 2 2
k1 [ x 1 , , x n ]
x1 kn xn
称为二次型的标准形(或法式)。
a ij x i x
j
(1 )
i, j1
找可逆的线性变换(坐标变换)：
x 1 c 11 y 1 c 12 y 2 c 1 n y n x 2 c 21 y 1 c 22 y 2 c 2 n y n ( 其中 C ( c ij ) 可逆 x n c n 1 y 1 c n 2 y 2 c nn y n
6
代入(1)左边，化为：
~2 ~2 5 ~2 1 ~2 x y x y 10 1 2 2 4 20
见下图
y
~ y
x
~ x
定义 含有n个变量
f x 1 , x 2 , , x n
x 1 , x 2 , , x n
的二次齐次函数
j
n
a ij x i x
经上述正交变换
在几何中，可以保持曲线 注：正交变换化为标准形的优点： （曲面）的几何形状不变。
设二次型 例2
f ( x1 , x 2 , x 3 ) 2 x1
x Q y
2
ax
2 2
4 x1 x 2 4 x 2 x 3
2
经正交变换 求 (1) a ,12 a 22
an2
a1n a2n a nn
X
x1 x2 xn
则 f X T AX 其中 A 为对称矩阵。
二次型的矩阵表示（重点）
注 1、对称矩阵A的写法：A一定是方阵。
2、其对角线上的元素 aii 恰好是 x 2 i 1,2,, n i 的系数。 3、 xi x j 的系数的一半分给 a ji . 可保证 a ij a ji .
令B C AC , B diag (k1 , k2 ,, kn )
T
矩阵的合同： 两个
n 阶方阵 A 、 B , 若存在可逆矩阵
T
C,
使得 B C AC , 则称 A 合同于
B.
记作 A B 定理 设A为对称矩阵，且A与B合同，则
(1 ) (2) B C
T
AC 仍是对称矩阵
r(B ) r( A)
例如：二次型 f ( x 1 , x 2 , x 3 ) x 1 3 x 3 4 x 1 x 2 x 2 x 3
2 2
1 ( x 1 , x 2 , x 3 ) -2 0
-2 0 1 /2
0 x1 1 /2 x2 -3 x 3
x Py , 使 f 化为标准形
f 1 y1 2 y 2 n y n ,
2
2
2
其中 1 , 2 , , n 是 f 的矩阵 A ( a ij ) 的特征值
.
例1 用正交变换化二次型为标准型，并求出所用的正交变换。
解（1）写出二次型 f 的矩阵
2
a n1 x n x1 a n 2 x n x 2 a nn x n
x 1 ( a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n ) x 2 ( a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n )
2
二次型用和号表示
(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量
而它们所对应的标准正交的特征向量为
2 1 P 1 1 3 2
2 1 P2 2 3 1
1 1 P 2 3 3 2
2 1 1 3 2 2 2 1 1 2 2
注：二次型
对称矩阵
f X
T
定义2： 二次型
AX
把对称矩阵 A 称为二次型 f 的矩阵 也把二次型 f 称为对称矩阵 A 的二次型 对称矩阵 A 的秩称为二次型 f 的秩
例1
写出下面二次型 f 的矩阵表示，并求 f 的秩r(f)。
1 f ( x1 , x 2 , x 3 ) [ x1 , x 2 , x 3 ] 4 7 2 5 8 3 x1 T 6 x 2 x Bx 9 x3
解
f x 1 5 x 2 9 x 3 6 x 1 x 2 10 x 1 x 3 14 x 2 x 3
2
2
3
1 [ x1 , x 2 , x 3 ] 3 5
r( f ) r( A ) 2
3 5 7
5 x1 T 7 x 2 x Ax 9 x3
即
⑵ 只含交叉项
的情形。
例3 用配方法化二次型
为标准形,并求出所作的可逆线性变换.
解 令
令
则二次型的标准形为
即
所用的可逆线性变换为
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型
§6.3 正定二次型与正定矩阵
定理 证
二次型必可化为规范形。
设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:
f k1 y1 k
2 p
y
2 p
都是二次型。
f (x, y) x y 5
2 2
f (x, y) 2 x y 2 x
2 2
不是二次型。
2 2 2
只含有平方项的二次型 f k 1 y 1 k 2 y 2 k n y n
称为二次型的标准形。
f x1 , x 2 , x 3 x1 4 x 2 4 x 3
n
i , j1
a ij x i x
j
x n ( a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n )
a 11 x 1 a 12 x 2 a 1 n x n a 21 x 1 a 22 x 2 a 2 n x n ( x 1 , x 2 , , x n ) a n1 x1 a n 2 x 2 a nn x n
)
代入(1)式，使之成为标准形
f
2 k1 y1
2 k2 y2
2 kn yn
称上面过程为化二次型为标准形。
第六章 二次型及其标准型
§6.1 二次型及其矩阵表示 §6.2 化二次型为标准型
§6.3 正定二次型与正定矩阵
一、 非退化线性变换（可逆线性变换） 设
若
简记
当C 是可逆矩阵时, 称
2 2 2
为二次型的标准形。
取 a ij a ji
则 2 a ij x i x j a ij x i x j a ji x i x j
则（1）式可以表示为
f a 11 x 1 a 12 x 1 x 2 a 1 n x 1 x n
2
a 21 x 2 x 1 a 22 x 2 a 2 n x 2 x n
(3) 写出正交变换 取正交矩阵
P P P P 1 2 3
则得所欲求的正交变换 即
x1 2 1 x2 1 3 x 2 3
2 2 1
1 y 1 2 y 2 2 y
3
（4）
写出
的标准型。 后所得二次型的标准型
(a
ji
a ij )
i, j1
称为n维(或n元)的二次型. 关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行！
例如： f ( x , y ) x 2 4 x y 5 y 2
f ( x , y , z ) 2 x y xz yz
2 2
f ( x1 , x 2 , x 3 , x4 ) x1 x 2 x 2 x 3 x 2 x4
T,
AT T T E，
T
又 T 为正交矩阵，即
所以
T