广义线性模型_三_陈希孺

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（三）条件Logistic回归分析的基本原理
1.概述条件Logistic回归是经典Logistic回归的重要拓展方法之一，它主要用于分层数据（strata data）的影响因素分析，通过分层来控制可能的混杂因素对结局变量的影响。分层变量可以包括一个变量或者几个变量。
2.条件 Logistic模型令yk为第k层的因变量，yk=1或0；xk1，xk2…xki… xkm为第k层的m个自变量。第k层的模型为：
推荐书籍：
Hosmer, David W . (2000). Applied logistic regression . John Wiley, New York.
（一）Logistic回归分析的任务
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回归分析可以提供一个重要的指标：OR。
（2）令病例的生存时间比对照短（3）在设置生存状态变量（status）时，令病例组为完全数据，对照组为删失数据
以下实例摘自Hosme and Lemeshow（2000）. Applied Logistic Regression: Second Edition.
John Wiley & Sons Inc.
Logistic回归
因变量
协变量(自变量)
注：此处将X1、X3看作为连续变量。
OR的95%置信区间
对模型的检验
模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回归模型有显著性。
拟合分类表
符合率为 70.0%
回归系数标准误 Wald值
P值
OR
OR置信区间
g(x)是对P的变换，称为logit变换：

《广义线模型》课件

资等。
生物统计学
用于分析生物数据和遗传数据，如基因表达、
疾病风险等。
市场营销
用于预测消费者行为和市场趋势，如消费者购买决策、市场细分等。
社会科学
用于研究社会现象和人类行为，如人口统计、
犯罪率等。
广义线模型的优缺点
灵活性强
能够适应各种类型的数据和问题。
数学基础扎实
具有坚实的统计学和线性代数基础。
VS
详细描述
非线性广义线模型通过引入非线性项，如平方、立方等，来描述因变量和自变量之间的复杂关系。这种模型在许多领域都有应用，例如经济学、生物学和医学等。
广义岭回归模型
总结词
广义岭回归模型是广义线模型的另一种扩展形式，它通过引入岭回归方法来处理共线性问题。
详细描述
在统计学中，共线性是指自变量之间存在高度相关性的现象。广义岭回归模型通过引入岭回归方法，即对系数施加约束，来减少共线性的影响，提高模型的稳定性和预测精度
所应用。
THANKS
感谢观看
模型选择
模型选择是指在多个可能的模型中选择一个最优模型的过程。模型选择通常基于模型的复杂度、预测精度、解释性等因素进行评估。
03
广义线模型的基本形式
线性回归模型
线性回归模型是最基础的广义线模型，用于预测一个因变量与一个或多个自变量之间的关系。
线性回归模型假设因变量和自变量之间存在线性关系，即因变量的变化可以用自变量的线性组合来描述。
医学数据分析
总结词
广义线模型在医学数据分析中具有重要价值，能够帮助研究人员更好地理解和解释医学数据。
详细描述
广义线模型可以用于分析医学影像数据、疾病发病率数据等，从而揭示疾病的发生和发展规律。此外，该模型还可以用于药物疗效分析，为新药研发和临床试验提供支持。

浅谈线性、非线性和广义线性回归模型

浅谈线性、⾮线性和⼴义线性回归模型⼀、理论 1.1 多重共线性所谓多重共线性（Multicollinearity）是指线性回归模型中的解释变量之间由于存在精确相关关系或⾼度相关关系⽽使模型估计失真或难以估计准确。

⼀般来说，由于经济数据的限制使得模型设计不当，导致设计矩阵中解释变量间存在普遍的相关关系。

完全共线性的情况并不多见，⼀般出现的是在⼀定程度上的共线性，即近似共线性。

1.2 T检验 T检验，亦称student t检验（Student's t test），主要⽤于样本含量较⼩（例如n<30），总体标准差σ未知的正态分布资料。

t检验是⽤t分布理论来推论差异发⽣的概率，从⽽⽐较两个平均数的差异是否显著。

举⼀个例⼦，⽐如，你要检验两独⽴样本均数差异是否能推论⾄总体，⽽⾏的t检验。

两样本(如某班男⽣和⼥⽣)某变量(如⾝⾼)的均数并不相同，但这差别是否能推论⾄总体，代表总体的情况也是存在著差异呢？会不会总体中男⼥⽣根本没有差别，只不过是你那麼巧抽到这2样本的数值不同？⼆、回归模型 2.1 线性回归模型适⽤于⾃变量X和因变量Y为线性关系，具体来说，画出散点图可以⽤⼀条直线来近似拟合。

随机误差服从多元⾼斯分布。

模型有⼏个基本假设：⾃变量之间⽆多重共线性；随机误差随从0均值，同⽅差的正态分布；随机误差项之间⽆相关关系。

参数使⽤最⼩⼆乘法进⾏估计。

假设检验有两个，⼀个是参数的检验，使⽤t检验；另⼀个是整个模型的检验，使⽤F检验，在构造F统计量时，需要把模型的平⽅和进⾏分解，会使⽤到⽅差分析。

2.2 线性混合模型我的理解为在线性模型中加⼊随机效应项。

2.3 ⼴义线性模型⼴义线性模型，是为了克服线性回归模型的缺点出现的，是线性回归模型的推⼴。

⾸先⾃变量可以是离散的，也可以是连续的。

离散的可以是0-1变量，也可以是多种取值的变量。

与线性回归模型相⽐较，有以下推⼴：（1）随机误差项不⼀定服从正态分布，可以服从⼆项、泊松、负⼆项、正态、伽马、逆⾼斯等分布，这些分布被统称为指数分布族。

第3章-广义线性模型

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2. 正态线性回归模型
• 只要取联结函数为 m (i) i x iT (i 1 , ,n ),则正
态线性回归模型满足广义线性模型的定义.
• 类似的,容易验证,二项分布和泊松分布都属于指数分布族.
• 下面介绍实际中应用广泛的两种广义线性
模型:Logistic模型和对数线性模型.
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2. 模型的参数估计和检验
• 采用R软件中的广义线性模型过程glm( )可以完成回归系数的估计,以及模型回归系数的显著性检验. 程序如下：

广义线性模型

广义线性模型
1．概述
广义线性模型是传统的线性模型的延伸，它是总体均值通过一个非线性连接函数依赖于线性预测值，有许多广泛应用的统计模型都属于广义线性模型，其中包括正态误差的经典性模型，二元数据的对数和概率单位模型以及多项数据的对数线性模型，还有其它许多有用的统计模型，如果选择合适的连接函数和响应概率分布，也可以表示为广义线性模型。
2．线性模型
线性模型也称经典线性模型或一般线性模型，其模型的形式为：
其中，是因变量的第i次观测，是自变量，它是一个列向量，表示第i次观测数据。未知系数向量可机变量。
模型的几个基本假设：
因变量是连续随机变量
自变量相互独立
每一个数值型自变量与因变量呈线性关系
连接函数：
参数估计
一般线性模型：参数估计采用极大似然法和最小二乘法
广义线性模型：参数估计采用极大似然法和加权最小二乘
4.因变量常见分布及其常用的连接函数
广义线性模型建立
通过对数据选定因变量和自变量，以及选择合适的连接函数和响应概率分布，既可以建立一个广义线性模型。例如：
一般线性模型
因变量：连续变量
分布：正态分布
连接函数：
Logistic回归模型
因变量：（0，1）
分布：二项分布
连接函数：
Poisson回归模型
因变量：计数和个数
分布：Poisson分布
一般线性模型中，自变量的线性预测值就是因变量的估计值，而广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。
广义线性模型包括一下组成部分：
线性部分正好是一般线性模型所定义的：
连接函数( link function)：
连接函数为一单调可微（连续且充分光滑）的函数。连接函数起了关联“Y的估计值 ”与“自变量的线性预测值 ”的作用。在经典的线性模型中，“Y的估计值”与“自变量的线性预测”是一回事。

广义线性模型ppt课件

模型拟合良好
经统计学检验，模型2=13.951，P=0.003，Logistic回
归模型有显著性。精品课件
拟合分类表
符合率为 70.0%
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回归系数标准误 Wald值 P值 OR OR置信区间
根据模型，病情严重程度与治疗方法对患者的治愈情况有影响；其
中病情严重组相对于不严重组，OR＝0.203，95%置信区间为(0.038，
Generalized Linear Models 广义线性模型
北大医学部流行病与卫生统计学系 Tel：
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广义线性模型的定义
该模型假定：
1. Y1,…Yn是n个服从指数分布族的独立样本 i=E（Yi | X1,X2,…,Xk），i＝1，…，n； 2. i是k个解释变量的线性组合 i=0+1Xi1+…+ kXik 3.存在一个连接函数（Link function）g，使得i 与i
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5.模型拟合的优良性指标（1）拟合分类表（Classification Table）根据Logistic回归模型，对样本重新判别分类，总符合率越接近100%，则模型拟合越好。Logistic回归用于判别分类很粗劣，尤其在很多情况下对于小样本的分类效果差。（2）Hosmer-Lemeshow 拟合优度统计量当检验的P值大于0.1时，则说明模型对样本的拟合是可以接受的。
影响因素分析 logistic回归常用于疾病的危险因素分析，logistic回
归分析可以提供一个重要的指标：OR。
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（二）经典Logistic回归分析的基本原理
1.变量特点
因变量：二分类变量，若令因变量为y，则常用y＝1表示 “发病”，y＝0表示“不发病”（在病例对照研究中，

广义线性模型_九_陈希孺

文章编号:1002—1566(2004)01—0077—04广义线性模型(九)陈希孺(中国科学院研究生院,北京100039)摘要:本讲座是广义线性模型这个题目的一个比较系统的介绍。

主要分3部分:建模、统计分析与模型选择和诊断。

写作时依据的主要参考资料是L .F ahrmeir 等人的《M ultivariate Statistical M od -eling Based o n Generalized Linear M odels 》。

关键词:广义线性模型;建模;统计分析;模型选择和诊断中图分类号:O212文献标识码:AGeneralized Linear ModelsCHEN Xi -ru(Graduate school of Chinese academia of science ,Beijing 100039,China )A bstract :This set of articles gives an introduction to generalized linear models .T hey can be divided into three parts ;M odel building ,statistical inference and M odel diagnostics .The presentation is mainly based on L .Fahrmeir et al .《M ultivariate Statistical M odeling Based on G eneralized Linear M odels 》.Key words :g eneralized linear models ;model building ;statistical inference ;model diagnostics3.2　模型选择(一)从若干个备选模型中选取一个模型选择包含以下一些方面·因变量Y 分布的选择;·联系函数的选择;·自变量的选择;·z (x )的选择。

广义线性模型(一)

广义线性模型(一)
陈希孺数理统计与管理 21 卷 5 期 2002
年9 月
简介
广义线性模型是常见的正态线性模型的直接推广
适用于连续数据和离散数据,特别是后者,如属性数据,计数数据
在实用上,尤其是生物,医学和经济、社会数据的统计分析上,有重要的意义
起源
Fisher 在1919 年曾用过它。 Logistic 模型,在20 世纪四五十年代曾由
(1 , x1 , x 2)′, (1 , x1 , x2 , x21, x22, x 1 x2) 等。
3. Y 的分布属于指数型,正态是其一特例。这里考虑的Y 为一维,故属于一维指数型。其形式为:
c ( y) exp (θy - b (θ) ) dμ( y) ,θ ∈Θ (参数空间)
θ为参数,称为自然参数。b (θ) 为θ的已知函数。μ为一测度(不一定是概率测度) ,常见的有两种可能:
起着重要的作用。它称为自然联系函数,这时有z′β= g (μ) = g ( b (θ) ) =θ
因此,指数型分布(1. 1) 中的自然参数,就是z′β。这一重要关系式是“自然联系函数”这一名称的由来。
其形式比在其他联系函数下来得简单,其最重要的优点是:它使广义线性模型下统计推断的大样本理论更易处理。当然,在一个实际问题中选择联系函数,主要应依据问题本
身的情况。
probit模型 log-log模型
这个差距中有一部分是由于“位置”与“刻度”
的差异而来, 并非真实的有实际意义的差距。
第一部分建模
§1. 1 一维广义线性回归 (一) 定义
设有因变量Y ,自变量x 。Y 为一维, x 一般为
多维
通常的线性回归
E( Y) =μ= z′( x)β(线性,线性指对β,非X) , z ( x)

线性回归系数最小二乘估计弱相合性的一个结果

线性回归系数最小二乘估计弱相合性的一个结果
陈希孺
【期刊名称】《应用概率统计》
【年(卷),期】2001(017)003
【摘要】假定线性回归模型的误差列为i.i.d.,有r阶矩,1≤r＜2.[1]中证明:若则β的最小乘估计为r阶矩相合,因而也为弱相合.本文证明了:这个阶不能有任何改进:对任何常数列{cn}.若则条件为弱相合不再是充分的.
【总页数】3页(P300-302)
【作者】陈希孺
【作者单位】中国科学院研究生院,北京,100039
【正文语种】中文
【中图分类】O212.1
【相关文献】
1.线性模型中相依误差下回归系数最小二乘估计的相合性 [J], 朱永勤
2.线性模型中φ混合误差下回归系数最小二乘估计的相合性 [J], 杨善朝
3.较弱条件下线性回归系统回归系数协方差改进估计的弱相合性 [J], 杨智应
4.线程回归系数L<sub>1</sub>估计弱相合性的一个必要条件 [J], 陈希
孺;Y.H.Wu
5.误差相关线性模型回归系数估计的弱相合性 [J], 吴贤毅
因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

SPSS数据分析—广义线性模型

我们前面介绍的一般线性模型、Logistic回归模型、对数线性模型、Poisson 回归模型等，实际上均属于广义线性模型的范畴，广义线性模型包含的范围非常广泛，原因在于其对于因变量、因变量的概率分布等条件的限制放宽，使其应用范围加大。

广义线性模型由以下几个部分组成1.因变量广义线性模型的因变量还是要去独立性，但是分布不再局限于正态分布一种，而是可以是指数族概率分布的任意一种，其方差也可以不稳定，但必须要能表达为依赖均值的函数2.线性部分广义线性模型因变量与自变量必须为线性关系，即因变量与自变量之间是一次方函数关系，这点和传统线性模型也一样3.连接函数用于描述因变量的期望值是如何和预测值相关联的由上可知，和传统线性模型相比，广义线性模型主要从以下两个方面进行了扩展1.因变量的分布范围扩大2.连接函数的引入通过选定不同的因变量概率分布、连接函数等，就可以拟合各种不同的广义线性模型，例如当因变量分布为正态分布、连接函数为恒等函数时，就是拟合一般线性模型；当因变量分布为二项分布，连接函数为Logit函数时，就是拟合Logistic回归，当因变量分布为Poisson分布，连接函数为对数时，就是拟合Poisson回归，下面我们通过一个例子来进行说明广义线性模型在SPSS中的使用情况。

例，希望研究不同温度不同催化剂不同批次条件下，某化合物的转化率情况，数据如下根据本例的实验目的，可以采用方差分析，但是本例为嵌套实验设计，共有三个因素，温度、催化剂、批次，其中温度是嵌套在催化剂因素下面的，因此SPSS无法直接使用方差分析的对话框来进行分析，需要在程序中进行修改，比较麻烦，但是如果使用广义线性模型，就可以直接使用对话框进行分析了分析—广义线性模型—广义线性模型。

广义线性模型_三_陈希孺

大多数有序模型是按下述机制产生 : 有一个( 或几个 , 此处只考虑一个的情形) 明显或潜在 ( 1. 70)
此处 Y 记样品的序值( 勿与前面的 Y = ( Y( ) ′ 混淆) 。而 U 则是从该样品测 1), …, Y ( q) 得的值。例如 , 学生的考试成绩分不及格( 1) , 中( 2) , 良( 3) , 优( 4) 4 个等级 , U 为其考试分数。
+x′ β r P( Y > r | x )= 1 -F ( θ β)= exp( - eθ ) r + x′

( 1. 76) ( 1. 77)
因此 log ( -log P ( Y > r |x ) )= θ β r + x′ 3 . 极大值分布模型 F 为极大值分布 : F( t) = exp( -e -t ) ,有 P( Y ≤ r |x )= exp( -e ) -log ( -log P ( Y ≤ r | x) )= θ β r + x′ 78) 知
年龄吸烟史从不吸以前吸现在吸结果( 人数) 正常边缘不正常 577 192 682 27 20 46 4 15 47 7 3 11 0 7 27
〈40
调查某大学心理系即将毕业的学生对照工作前景的预从不吸 164 期反应分 3 种 : 1. 不预期能找到合适工作。 2 . 不清楚。 3 . 40 -59 以前吸 145 预期毕业后可立即找到工作。数据 : 现在吸 245 的变量 U 及门限 -∞=θ 0 <θ 1 <… <θ k -1 <θ k =∞, 而定 Y = r , 当且仅当 θ r1 <U ≤θ r , r =1, …, k
( 四) 状态有序的情况在旅行交通工具的例中 , 火车、汽车、轮船、飞机等状态 , 可以认为是 “ 无序” 的。一则因为对其优劣次序的看法因人而异 , 二则即使同一个人 , 在不同情况下的排序也不同。在有些问题中 , 目标状态有公认的优劣次序 , 如病情分 1 、 2、 3 期 , 产品品质分 1 、 2、 3 和等外等等级 , 都是公认的由好到不好的次序。注意 : 即使在这种场合 , 其序号( 1 , 2 , …) 也无数量意义。例 1. 7 呼吸测验 : 目标 Y 分 3 状态 : 正常、边缘、不正常。自变量 2 个 : 年龄 , 分〈40 和 40 -59 两级 , 吸烟史 : 分 “ 从不吸烟” 、 “以前级” 、 “ 现在吸” 3 级 , 数据 : 例 1. 8 找工作前景的调查

广义线性模型在医学领域的应用实例

广义线性模型在医学领域的应用实例作者：王哲郑亚杰曹俊秋来源：《科技视界》2016年第01期【摘要】广义线性模型是一种应用极为广泛数据分析方法，它用于分析事物之间的统计关系，可适用于连续数据和离散数据。

本文仅从客观角度出发，根据Neter等1990年的54位做过某种肝手术后患者生存时间的数据，构建了研究手术后病患生存期限的LOGISTIC模型，通过SAS软件进行了统计分析，拟合了自变量与因变量的LOGISTIC并进行了分析。

【关键词】广义线性模型；LOGISTIC模型；SAS；医学1 广义线性模型广义线性模型是非线性模型的一些特例，它们具有一些共性，是其它非线性模型所不具备的。

它与典型线性模型的区别是其随机误差的分布不是正态分布，与非线性模型的最大区别在于非线性模型没有明确的随机误差分布假定而广义线性模型的随机误差的分布是可以确定的。

广义线性模型的三项构成要素：（1）随机成分即因变量Y或误差项的概率分布。

（2）系统成分：用以确定用作预测变量的解释变量的线性函数。

（3）连接函数：用以描述系统成分与随即成分的期望值之间的函数关系。

2 实证分析2.1 数据选取通过SAS软件对54位进行过肝手术的患者（数据来源：Neter，1990）进行分析。

我们选取手术前的四个指标即凝血值（X1）、预后指数（X2）、酶化验值（X3）以及肝功化验值（X4）建立LOGISTIC模型进行统计分析。

通过随访得到各患者的生存时间，并以“Y=0”表示生存时间在半年以内，以“Y=1”表示生存时间在半年及半年以上。

2.2 LOGISTIC模型的建立从各参数的Wald检验值及其p值可知，凝血值（X1）、预后指数（X2）、酶化验值（X3）是影响手术后病患生存时间的三个重要指标。

其三个系数均为正值，表明这三个指标与生存时间成正相关关系，即凝血值越大，生存时间在半年及半年以上的概率就越大；预后指数越高，生存时间在半年及半年以上的概率就越大；酶化验值越大，生存时间在半年及半年以上的概率就越大。

广义线性模型(三)

广义线性模型(三)
陈希孺
【期刊名称】《数理统计与管理》
【年(卷),期】2003(22)1
【摘要】本讲座是广义线性模型这个题目的一个比较系统的介绍。

主要分 3部分 :建模、统计分析与模型选择和诊断。

写作时依据的主要参考资料是L .Fahrmeir等人的《MultivariateStatisticalModelingBasedonGeneralizedLinearModels》。

【总页数】7页(P51-57)
【关键词】广义线性模型;有序模型;Logistic分布模型;分组Con模型;极大值分布
模型;联系函数
【作者】陈希孺
【作者单位】中国科学院研究生院
【正文语种】中文
【中图分类】O212
【相关文献】
1.基于广义线性模型的针刺足三里脊髓背根神经活动解码 [J], 薛明; 王江; 邓斌; 魏熙乐; 陈颖源
2.基于广义线性模型的针刺足三里脊髓背根神经活动解码* [J], 薛明; 王江; 邓斌;
魏熙乐; 陈颖源
3.基于广义线性模型的混合属性数据聚类方法 [J], 潘继财
4.基于多重填补的广义线性模型在肾脏疾病研究中的应用 [J], 王威
5.函数型数据广义线性模型和分类问题综述 [J], 白德发;徐欣;王国长
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广义线性模型

Generalized Linear Models
报告人：宋捷指导教师:谢邦昌日期：2007年11月6日
统计分析、数据挖掘与商业智能应用研究小组
• 广义线性模型介绍
广义线性模型的一般形式指数分布族下的广义线性模型广义线性模型的参数估计方法相关检验
• Climentine 中广义线性模型的实现
● 象回归分析一样，广义线性模型的建立也是为了找出自变量与因变量这两种变量之间的关系。只是不象经典的线性回归模型那样需要一些正态性等的假设。
统计分析、数据挖掘与商业智能应用研究小组
广义线性模型的一般形式
关于自变量X与因变量y的广义线性模型一般有如下的形式：
g(E( y)) X , y ~ F
统计分析、数据挖掘与商业智能应用研究小组
结点的fields设置
对于两分类变量的因变量来说，要选择一个参照类（基本类）。
• 如果参照类是最后的值，那么第一类表示成功，我们就是对第一类成功的概率进行建模。 • 比如：如果参照类是在二元形式 “male/female”,”1/2”,”a/b”中的最后的值，“female”,”2”,”b”，他们就会被转变成“0”，而“male”， “1”,”a”将会相应地被转变成1。如果想对 “female”,”2”,”b”这些类成功的概率进行建模，那么我们可以将参照类的值指定为最前面的值。
3. 对binomial分布而言，y必须取值两类的变量，如果多于两类算法也会终止报错。
4. 对binomial分布而言，如果选择的因变量是成功的次数/试验次数（r/m），那么r必须是非负整数，m必须是正整数，并且r<=m。否则选定的分布也不可用。
统计分析、数据挖掘与商业智能应用研究小组

广义线性模型

广义线性模型广义线性模型（Generalized Linear Model，GLM）是一种在统计学中常用的模型，它是对普通线性模型的扩展和推广。

在广义线性模型中，因变量不需要满足正态分布的假设，而是通过连接函数（link function）与线性组合的结果进行建模。

广义线性模型的应用领域十分广泛，涵盖了回归分析、分类分析以及其他众多领域。

1. 普通线性模型普通线性模型是一种经典的建模方法，其基本形式为：$$ Y = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k + \\epsilon $$ 其中，Y表示因变量，X1,X2,...,X k表示自变量，$\\beta_0, \\beta_1,\\beta_2, ..., \\beta_k$为模型参数，$\\epsilon$为误差项。

普通线性模型的关键假设是因变量Y服从正态分布。

2. 广义线性模型的基本原理广义线性模型是对普通线性模型的推广，其基本形式为：$$ g(\\mu) = \\beta_0 + \\beta_1 X_1 + \\beta_2 X_2 + ... + \\beta_k X_k $$其中，g()为连接函数（link function），$\\mu$表示期望的因变量Y，其他符号的含义同普通线性模型。

通过连接函数g()，广义线性模型在一般性上不再要求因变量Y服从正态分布。

3. 连接函数（Link Function）连接函数g()的选择是广义线性模型的关键之一，不同的连接函数对应不同的模型形式。

常见的连接函数包括：•恒等连接函数（Identity link function）: $g(\\mu) = \\mu$，对应普通线性模型。

•对数连接函数（Log link function）: $g(\\mu) = log(\\mu)$，常用于泊松回归等模型。

•逆连接函数（Inverse link function）: $g(\\mu) = \\frac{1}{\\mu}$，用于逻辑回归等模型。

第3章-广义线性模型

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运行以上程序可得如下结果：
Call:
glm(formula = y ~ x, family = binomial, data = data3.1)
Deviance Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-1.21054 -0.05498 0.00000 0.00433 1.87356
• 普通线性回归模型(2.3)假定因变量y服从正态分布, 其均值满足关系式:μ=Xβ,这表明因变量的条件均值是自变量的线性组合.
• 本章介绍两种常见的广义线性模型:Logistic模型与对数线性模型.
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3.1 广义线性模型概述
1.广义线性模型的定义：
(1)随机成分:设y1,y2,…,yn是来自于指数分布族
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2. 模型的参数估计和检验
• 于是得回归模型:
l n y ˆ 1 . 9 4 8 8 0 . 0 2 2 7 x 1 0 . 0 2 2 7 x 2 0 . 1 5 2 7 x 3
• 从检验结果可以看出: x1和x2的系数都显著, 说明基础发病次数(x1),年龄(x2)和治疗条件 (x3)对八周内癫痫发病数(y)重要影响. 年龄 (x2)的回归系数为0.0227,表明保持其他预测变量不变, 年龄增加1岁, 癫痫发病数的对数均值将相应的增加0.0227.
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表3.2 Breslow癫痫数据
No
x1
x2
x3
y
No
x1
x2
x3
y
1 11 31 0 14 31 19 20 1

广义线性模型logistic

最小二乘法最大似然法
目录
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通常的线性模型最小二乘法最大似然法广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
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吴喜之
短标题
通常的线性模型广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
即
ηi = g(µi ) = h−1 (µi ) = z′ i β.
这里 g 称为连接函数(link function). 分布假定 (指数族): { } yi θi − b(θi ) f(yi |θi , ϕi , ωi ) = exp ωi + c(yi , ϕ, ωi ) ϕ 权重为 (这里的 g 是组的数目, 不是连接函数): ωi = 1 或者 ωi = ni or 1/ni (i = 1, ..., g).
通常的线性模型广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
广义线性模型
以 logistic 回归为例
吴喜之
March 30, 2015
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吴喜之
短标题
通常的线性模型广义线性模型 GLM 的局限性和交叉验证
P(λ) G(µ, ν ) IG(µ, σ 2 )
log λ −1/µ 1/µ2
Expectation and variance E(y) = b′ (θ) b′′ (θ) var(y) = b′′ (θ)ϕ/ω µ=θ 1 σ 2 /ω exp(θ ) π = 1+exp(θ) π (1 − π ) π (1 − π )/ω λ = exp(θ) λ λ/ω 2 2 π = −1/θ µ µ ν −1 /ω − 1/2 3 µ = (−2θ) µ µ3 σ 2 /ω

线性模型(5)——广义线性模型

线性模型(5)——广义线性模型广义线性模型是一种扩展了一般线性模型的模型，它在混合线性模型的基础上进一步扩展，使得线性模型的使用范围更加广泛。

每次扩展都是为了适用更多的情况。

一般线性模型要求观测值之间相互独立，残差（因变量）服从正态分布，残差（因变量）方差齐性。

而混合线性模型取消了观测值之间相互独立和残差（因变量）方差齐性的要求。

广义线性模型又取消了对残差（因变量）服从正态分布的要求。

残差不一定要服从正态分布，可以服从二项、泊松、负二项、正态、伽马、逆高斯等分布，这些分布被统称为指数分布族，并且引入了连接函数。

根据不同的因变量分布、连接函数等组合，可以得到各种不同的广义线性模型。

需要注意的是，虽然广义线性模型不要求因变量服从正态分布，但是仍要求相互独立。

如果不符合相互独立的要求，需要使用广义估计方程。

广义线性模型的一般形式包括线性部分、随机部分εi和连接函数。

连接函数为单调可微的函数，起到连接因变量的估计值μ和自变量的线性预测值η的作用。

在广义线性模型中，自变量的线性预测值是因变量的函数估计值。

广义线性模型设定因变量服从指数族概率分布，这样因变量就可以不局限于正态分布，并且方差可以不稳定。

指数分布族的概率密度函数包括θ和φ两个参数，其中θ为自然参数，φ为离散参数，a、b、c为函数广义线性模型的参数估计。

广义线性模型的参数估计一般不能使用最小二乘法，常用加权最小二乘法或极大似然法。

回归参数需要用迭代法求解。

广义线性模型的检验和拟合优度一般使用似然比检验和Wald检验。

似然比检验是通过比较两个相嵌套模型的对数似然函数来进行的，统计量为G。

模型P中的自变量是模型K 中自变量的一部分，另一部分是要检验的变量。

G服从自由度为K-P的卡方分布。

回归系数使用Wald检验进行模型比较。

广义线性模型的拟合优度通常使用以下统计量来度量：离差统计量、Pearson卡方统计量、AIC、AICC、BIC、CAIC准则，准则的值越小越好。