(通用版)2019版高考数学二轮复习课件+训练：特训“2+1+2”压轴满分练(四)理(重点生,含解析)

“2＋1＋2”压轴满分练(四)1．已知函数f (x )＝mx－1－n ln x (m >0,0≤n ≤e)在区间[1，e]内有唯一零点，则n ＋2m ＋1的取值范围为( )A. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤e ＋2e 2＋e ＋1，e 2＋1B. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e ＋1，e 2＋1C. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2e ＋1，1D ． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，e 2＋1 解析：选A f ′(x )＝－m x2－n x＝－m ＋nx x 2，当n ＝0时，f ′(x )＝－mx2＜0，当0＜n ≤e 时，令f ′(x )＝0，则x ＝－mn＜0，所以函数f (x )在[1，e]上单调递减，由函数f (x )在区间[1，e]内有唯一零点，得⎩⎪⎨⎪⎧ f 1≥0，f e ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥0，me－1－n ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥0，m －e －e n ＜0，或⎩⎪⎨⎪⎧f 1＞0，fe ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0，m －e －e n ≤0，又m ＞0,0≤n ≤e，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －1≥0，m －e －e n ＜0，m ＞0，0≤n ≤e，(1)或⎩⎪⎨⎪⎧m －1＞0，m －e －e n ≤0，m ＞0，0≤n ≤e，(2)所以m ，n 满足的可行域如图(1)或图(2)中的阴影部分所示，则n ＋2m ＋1＝n －－2m －－1表示点(m ，n )与点(－1，－2)所在直线的斜率，当m ，n 满足不等式组(1)时，n ＋2m ＋1的最大值在点(1，e)处取得，为e ＋21＋1＝e2＋1， 当m ，n 满足不等式组(2)时，n ＋2m ＋1的最小值在A 点处取得，根据⎩⎪⎨⎪⎧m －e －e n ＝0，n ＝e ，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝e 2＋e ，n ＝e ，所以最小值为e ＋2e 2＋e ＋1，故选A.2．已知P 为双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)右支上的任意一点，经过点P 的直线与双曲线C 的两条渐近线分别相交于A ，B 两点．若点A ，B 分别位于第一、四象限，O 为坐标原点，当AP ―→＝12PB ―→时，△AOB 的面积为2b ，则双曲线C 的实轴长为( )A.329B.169C.89D.49解析：选A 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x ，y )， 由AP ―→＝12PB ―→，得(x －x 1，y －y 1)＝12(x 2－x ，y 2－y )，则x ＝23x 1＋13x 2，y ＝23y 1＋13y 2，所以⎝⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫23y 1＋13y 22b 2＝1.易知点A 在直线y ＝bax 上，点B 在直线y ＝－b ax 上， 则y 1＝b a x 1，y 2＝－b ax 2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3a x 1－b 3a x 22b 2＝1，即b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 1＋13x 22－a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 3a x 1－b 3a x 22＝a 2b 2， 化简可得a 2＝89x 1x 2.由渐近线的对称性可得sin ∠AOB ＝sin 2∠AOx ＝2sin ∠AOx cos ∠AOx sin 2∠AOx ＋cos 2∠AOx ＝2tan ∠AOxtan 2∠AOx ＋1＝2b a⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝2ab b 2＋a 2，所以△AOB 的面积为12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12x 21＋y 21×x 22＋y 22×sin∠AOB＝12 x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a x 12×x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a x 22×2ab b 2＋a 2＝x 1x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2×1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a2×ab b 2＋a 2＝98a 2×ab b 2＋a 2×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2 ＝98a 2×ab b 2＋a 2×b 2＋a 2a 2＝98ab ＝2b ， 得a ＝169，所以双曲线C 的实轴长为329.3．已知数列{a n }共16项，且a 1＝1，a 8＝4.记关于x 的函数f n (x )＝13x 3－a n x 2＋(a 2n －1)x ，n ∈N *.若x ＝a n ＋1(1≤n ≤15)是函数f n (x )的极值点，且曲线y ＝f 8(x )在点(a 16，f 8(a 16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{a n }的个数为________．解析：f n ′(x )＝x 2－2a n x ＋a 2n －1＝[x －(a n ＋1)][x －(a n －1)]，令f n ′(x )＝0，得x ＝a n ＋1或x ＝a n －1，所以a n ＋1＝a n ＋1或a n －1＝a n ＋1(1≤n ≤15)，所以|a n ＋1－a n |＝1(1≤n ≤15)，又f 8′(x )＝x 2－8x ＋15，所以a 216－8a 16＋15＝15，解得a 16＝0或a 16＝8，当a 16＝0时，a 8－a 1＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝3， 得a i ＋1－a i (1≤i ≤7，i ∈N *)的值有2个为－1,5个为1； 由a 16－a 8＝(a 9－a 8)＋(a 10－a 9)＋…＋(a 16－a 15)＝－4， 得a i ＋1－a i (8≤i ≤15，i ∈N *)的值有6个为－1,2个为1. 所以此时数列{a n }的个数为C 27C 28＝588，同理可得当a 16＝8时，数列{a n }的个数为C 27C 28＝588. 综上，数列{a n }的个数为2C 27C 28＝1 176. 答案： 1 1764．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1面积的最大值为2－12. (1)求椭圆C 的方程；(2)设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l ′.若直线l ′与直线l 相交于点P ，与直线x ＝2相交于点Q ，求|PQ ||MN |的最小值．解：(1)由已知得e ＝ca ＝22，即a 2＝2c 2. ∵a 2＝b 2＋c 2，∴b ＝c . 设B 点的纵坐标为y 0(y 0≠0)，则S △ABF 1＝12(a －c )·|y 0|≤12(a －c )b ＝2－12，即(2b －b )b ＝2－1，∴b ＝1，a ＝ 2. ∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)由(1)可知F 1(－1,0)，由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线l ：x ＝my －1， 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，P (x P ，y P )，Q (2，y Q )．联立，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2y 2＝2，x ＝my －1，消去x ，得(m 2＋2)y 2－2my －1＝0， 此时Δ＝8(m 2＋1)＞0， ∴y 1＋y 2＝2m m 2＋2，y 1y 2＝－1m 2＋2. 由弦长公式，得|MN |＝1＋m 2|y 1－y 2| ＝1＋m 24m 2＋4m 2＋8m 2＋2＝22·m 2＋1m 2＋2. 又y P ＝y 1＋y 22＝mm 2＋2，∴x P ＝my P －1＝－2m 2＋2， ∴|PQ |＝1＋m 2|x P －2|＝1＋m 2·2m 2＋6m 2＋2，∴|PQ ||MN |＝2m 2＋622m 2＋1＝22·m 2＋3m 2＋1＝22（m 2＋1＋2m 2＋1）≥2， 当且仅当m 2＋1＝2m 2＋1，即m ＝±1时等号成立，∴当m ＝±1，即直线l 的斜率为±1时，|PQ ||MN |取得最小值2.5．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax ＋1，a ∈R.(1)当x ＞0时，若关于x 的不等式f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围；(2)当n ∈N *时，证明：n 2n ＋4＜(ln 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜n n ＋1. 解：(1)由f (x )≥0，得x ln x ＋ax ＋1≥0(x ＞0)， 即－a ≤ln x ＋1x恒成立，即－a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋1x min .令F (x )＝ln x ＋1x (x ＞0)，则F ′(x )＝1x －1x 2＝x －1x2，∴函数F (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴函数F (x )＝ln x ＋1x的最小值为F (1)＝1，∴－a ≤1，即a ≥－1， ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)．(2)证明：∵n 2n ＋4为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1n ＋2的前n 项和，n n ＋1为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n n ＋1的前n 项和，∴只需证明1n ＋1n ＋2＜⎝⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2＜1n n ＋1即可． 由(1)知，当a ＝－1时，x ln x －x ＋1≥0，即ln x ≥1－1x， 令x ＝n ＋1n ＞1，得ln n ＋1n >1－n n ＋1＝1n ＋1， ∴⎝⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋12＞1n ＋1n ＋2. 现证明⎝⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2＜1n n ＋1， 即2lnn ＋1n ＜1n n ＋1＝n ＋1－nn n ＋1＝ n ＋1n－ n n ＋1.(*)现证明2ln x ＜x －1x(x ＞1)， 构造函数G (x )＝x －1x－2ln x (x ＞1)，则G ′(x )＝1＋1x 2－2x ＝x 2－2x ＋1x2＞0， ∴函数G (x )在(1，＋∞)上是增函数，即G (x )＞G (1)＝0， 即2ln x ＜x －1x成立．令x ＝ n ＋1n，则(*)式成立． 综上，得1n ＋1n ＋2＜⎝⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜1n n ＋1. 对数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n ＋1n ＋2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎪⎫ln n ＋1n 2，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1n n ＋1分别求前n 项和，得n2n ＋4＜(ln 2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 322＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫lnn ＋1n 2＜n n ＋1.。