疲劳与断裂力学 第6章 弹塑性断裂力学基础

c
—COD准则
裂纹失稳扩展的临界值
COD准则需解决的3个问题：
的计算公式; c 的测定; COD准则的工程应用
二、小范围屈服条件下的CTOD准则
CTOD：裂纹尖端张开位移 1、平面应力的Irwin解
v
K k 2I 4G
r 3 [( 2k 1) sin sin ] 2 2 2
第六章 弹塑性断裂力学
线弹性断裂力学 脆性材料或高强度钢所发生的脆性断裂 小范围屈服：塑性区的尺寸远小于裂纹尺寸 弹塑性断裂力学 大范围屈服：端部的塑性区尺寸接近或超过裂纹尺寸。 如，中低强度钢制成的构件
全面屈服：材料处于全面屈服阶段。 如，压力容器的接管部位
弹塑性断裂力学的任务：在大范围屈服下，确定能定 量描述裂纹尖端区域弹塑性应力、应变场强度的参量。以
例题：直径d=500mm，壁厚t=2.5mm的圆筒，已知E=200GPa, =0.3, ys=1200MPa，c=0.05mm。壳体的最大设计内压为p=8 MPa, 试计算其可容许的最大缺陷尺寸。
解：受内压薄壁壳体中的最大应力是环向应力，且： =pd/2t=80.5/(22.510-3)=800MPa
well标准 e e 2 当 １时 ( ) es es e e 当 １时 es es
Burdek in 标准 当 当 e e 0.5时 ( ) 2 es es e e 0.5时 0.25 es es
JWES 2805 标准
0.5( )
e es
应变能密度 路程边界上 的位移矢量
作用于路程边界上的力

ui J (Wdx2 Ti dS ) 1,2) (i x1
与积分路径无关的常数。即具有守恒性。
u u i J Γ dy T ds Γ dy ij n j ds x x
a 引起的。
( U P)
定义：
Π Π J lim a 0 a a
是缺口长度不同造成的势能差别率。这就是 J 的形变功定义。
可以看到： 1）J的定义对材料的应力-应变关系没有任何要求，所以J积 分适用于弹性体（线弹性体和非线性弹性体）和塑性体的单
k
3 1
4KI KI
2 4 K22 4 12 kI 2v E s s
—小范围屈服时的CTOD计算公式
2、平面应力的Dugdale解
Dugdale模型假设： 裂纹尖端的塑性区沿裂纹尖 端两端延伸呈尖劈带状。塑 性区的材料为理想塑性状态， 整个裂纹和塑性区周围仍为 广大的弹性区所包围。塑性 区与弹性区交界面上作用有 均匀分布的屈服应力 。 s
如果/ys<<1，则可将上式中 sec 项展开后略去高次项， 得到：
2 2 1 ln[sec( )] ln[1 2 ] 2 s 8 s
注意到当x<<1时有： 得到：
1 1+x ≈ 1+x ; ln(1+x)≈x = 1-x 1-x 2
2 2 2 2 ln[sec( )] ln[1 ( 2 )] 2 2 s 8s 8 s
便利用理论建立起这些参量与裂纹几何特性、外加载荷之
间的关系，通过试验来测定它们，并最后建立便于工程应 用的断裂准则。 主要包括COD理论和J积分理论
第一节 COD准则
一、COD
COD (Crack Opening Displacement)：裂纹张开位移 裂纹体受载后，裂纹尖端附近的塑性区导致裂纹尖端表面 张开量——裂纹张开位移。表达材料抵抗延性断裂能力。
y
COD
o
CTOD
2a 2aeff=2a+2rp
s
x
假想：挖去塑性区 在弹性区与塑性区的界面上加上均 匀拉应力 s 线弹性问题
平面应力条件下，在全面屈服之前净/ys<1 ，Dugdale 给出裂尖张开位移与间的关系为：
8s a E ln[sec(2 s )]
对于全面屈服问题，载荷的微小变化都会引起应变和
COD的很大变形。在大应变情况下不宜用应力作为断裂分 析的依据。而需要寻求裂尖张开位移与应变，即裂纹的几何 和材料性能之间的关系。
用含中心穿透裂纹的宽板拉伸试验，得到无量纲的COD 2e a 与标称应变 e 的关系曲线。 e s
s

经验设计曲线
a2 M 1 Rt
取值如下：当圆筒的轴向裂纹时取1.61，当圆筒环向 裂纹时取0.32，球形容器裂纹时取1.93。
2、裂纹长度修正 压力容器的表面裂纹和深埋裂纹应换算为等效的穿透裂纹。 非贯穿裂纹
K I Байду номын сангаас a
K I a
无限大板中心穿透裂纹
令非贯穿裂纹 K I 与无限大板中心穿透裂纹的 K I 相等，则等效穿透裂纹的长度为
其中： 为从缺口下表面上任一点 Γ
沿逆时针方向绕过缺口的顶端，而
止于缺口上表面上任一点的曲线；
形变功密度，包括弹性应变能和塑 性形变功； ：回路 Γ 上对应的 T
“表面力”矢量； ：回路上各点 u 的位移矢量；ds：回路的线元。
σij dεij 为带缺口变形体的
0


J 的一个重要性质，就是 J 积分与积分路径 Γ 无关 （Path-independent）。这称为J 积分的守恒性。
K2 1 s E
=1，平面应力； =(1-2)/2，平面应变。
Dugdale模型不适用于全面屈服（ s ）。有限元计算表 明：对小范围屈服或大范围屈服。当 0.6时，上式的预 s 测是令人满意的。
Dugdale模型是一个无限大板含中心穿透裂纹的平面应力 问题。它消除了裂纹尖端的奇异性，实质上是一个线弹性 化的模型。当塑性区较小时，COD参量与线弹性参量Ｋ之 间有着一致性。 ) 按级数展开 将 ln sec( 2 s
8s a 2 2 由 )] ln[sec( )] 和 ln[sec( 2 E 2 s 2 s 8s
故在小范围屈服时，平面应力的CTOD成为：
2 K1 2 a s E s E
在发生断裂的临界状态下，K1=K1c，=c。故上式给出 了平面应力情况下，小范围屈服时c与材料断裂韧性K1c的换 算关系。 写为一般式：
1 1 2 r 2 r r r 2
2 2 r
r
1 ( ) r r
2）几何方程：
u r r r

8 s a 1 2 1 4 ( ( ) ( ) ......) ' E 2 2 s 12 2 s
s
8 s a 1 2 2a ( ) ' E 2 2 s E s
K I2 K I a , GI ' E 4 K I2 4 GI 欧文小范围屈服时的结果 E s s Dugdale模型的适用条件
在临界状态下有： 得到： ac0.05/0.0106=4.71mm
800 )] 1200

=0.0106acc
故可以容许的缺陷总长度为 2a=9.42mm。
讨论：假设按小范围屈服计算，由(7-11)式有：

s E
2 K1
2 a 或写为 s E
2 ac 对于本题则断裂判据写为： c s E
调加载（无卸载）情况。
非线性弹性体和塑性体的曲线在加载时没有区别，但卸 载时塑性体不沿加载曲线回零（塑性变形不可逆），差的能 量成热能放出。因此J 只可用于塑性体单调加载的情况。
2）由于不允许卸载，J 不再具有裂纹扩展能量释放率的物
理意义，而是功的吸收率。 3）从 J 的定义可见，在线弹性范围
U J G a a
2a K I2 GI E s E s s
平面应力情况下的无限大平板含中心穿透裂纹 引入弹性化假设后，分析比较简单，适用于 0.6 s 塑性区内假定材料为理想塑性（没有考虑材料强化）
三、全面屈服条件下的COD
高应力集中区及残余应力集中区，使裂纹处于塑性区的 包围中全面屈服。
我国CVAD（压力容器缺陷评定规范）设计曲线规定：
well标准 当 当 e e １时 ( ) 2 es es e 1 e １时 ( 1) es 2 es
四、COD准则的工程应用
实验测定结果：平板穿透裂纹 实际工程构件：压力容器、管道等必须加以修正
1、鼓胀效应修正 压力容器表面穿透裂纹，由于内压作用，使裂纹向外 鼓胀，而在裂纹端部产生附加的弯矩。附加弯矩产生附加 应力，使有效作用应力增加，按平板公式进行计算时，应 在工作应力中引入膨胀效应系数Ｍ。 Folias分析得到：
性，而且适用于弹塑性。
根据塑性力学的全量理论，这两种定义是等效的。
1、形变功率定义 有两个几何形状和受力完全相同的单位厚度板，各含有一 个缺口，板1中缺口长为 a ，此板的总势能为 ΠI ；板II中缺口
长为 a Δ ，此板的总势能为ΠII 。 a
二板总势能之差为： Π ΠII ΠI。这个差值是由
容器断裂分析问题
缺点： 不是一个直接而严密的裂纹尖端弹、塑性应变场的表征 参量。 Rice于1968年提出J积分概念，J积分主要应用于发电 工业，特别是核动力装置中材料的断裂准则。
J积分的两种定义： 形变功率定义：外加载荷通过施力点位移对试样所做的 形变功率给出。 回路积分：即围绕裂纹尖端周围区域的应力应变和位移所 组成的围线积分。 J积分具有场强度的性质。不仅适用于线弹
即:
c ys E 0.05 1200 200 103 ac 2 =5.97mm 800 800 3.14
可容许的缺陷总长度为 2a=11.94mm。 故当/ys较大时，小范围屈服假设将引入较大的 误差，且结果偏危险。