2012年理数高考试题答案及解析-北京

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2012年高考全国卷(大纲版)理数试题及答案(word)[1]

2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（必修+选修II）本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

第I卷注意事项：全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1.答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。

请认真核准该条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.没小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

在试题卷上作答无效．．．．．．．．．。

3.第I卷共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

一、选择题1、复数131ii-++=A 2+IB 2-IC 1+2iD 1- 2i2、已知集合A＝}，B＝{1，m} ,A B＝A, 则m=A 0或或3 C 1或33 椭圆的中心在原点，焦距为4 一条准线为x=-4 ，则该椭圆的方程为A216x+212y=1 B212x+28y=1C28x+24y=1 D212x+24y=14 已知正四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AB=2，CC1=为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（5）已知等差数列{an }的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列的前100项和为(A)100101(B)99101(C)99100(D)101100（6）△ABC中，AB边的高为CD，若a·b=0，|a|=1，|b|=2，则(A) （B ） (C)(D)（7）已知α为第二象限角，sin α＋sin β=3，则cos2α=(A) -3（B ）-9(C)9(D)3（8）已知F 1、F 2为双曲线C ：x ²-y ²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2= (A)14（B ）35(C)34(D)45（9）已知x=ln π，y=log 52，12z=e ，则(A)x ＜y ＜z （B ）z ＜x ＜y (C)z ＜y ＜x (D)y ＜z ＜x (10) 已知函数y ＝x ²-3x+c 的图像与x 恰有两个公共点，则c ＝（A ）-2或2 （B ）-9或3 （C ）-1或1 （D ）-3或1（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（A ）12种（B ）18种（C ）24种（D ）36种（12）正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上，AE ＝BF ＝73。

2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)

A B=1,0}1,0,1}xy e=关于y轴对称，则()f x=()B.1x e-D.1xe--( )B.y=D.y=l与C所围成的图形的面积等于( )C.83D.表示的平面区域内存在点00(,)P x y，满足( )B.1(,)3-∞D.5(,)3-∞-第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中的横线上.9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin2ρθ=的距离等于___________.10.若等比数列{}na满足2420a a+=，3540a a+=，则公比q=____；前n项和nS=____.11.如图，AB为圆O的直径，P A为圆O的切线，PB与圆O相交于D.若3PA=，:PD9:16DB=，则PD=___________；AB=___________.12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是___________.13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa+μb（λ，μ∈R），则λμ=________.14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D-中，E为BC的中点，点P在线段1D E上.点P到直线1CC的距离的最小值为___________.4的正方形，平面ABC ⊥平面，并求1BDBC 的值.. 19.（本小题满分14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点，O 是坐标原点.（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由.20.（本小题满分13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项1n a +，2n a +，…的最小值记为n B ，n n n d A B =-.（Ⅰ）若{}n a 为2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为4的数列（即对任意*n N ∈，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：()1,2,3,n d d n =-=的充分必要条件是{}n a 是公差为d 的等差数列；（Ⅲ）证明：若12a =，1(1,2,3,)n d n ==，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1.2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷一、选择题 1.【答案】D【解析】2|3A x x ⎧⎫=>-⎨⎬⎩⎭，利用二次不等式的解法可得{|3B x x =>或}1x <-，易得{}|3AB x x =>．【提示】求出集合B ，然后直接求解A B ．【考点】集合间的基本运算． 2.【答案】D【解析】题目中0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D ．【提示】本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【考点】不等式组，平面区域与几何概率． 3.【答案】B【解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B ．【提示】利用前后两者的因果关系,即可判断充要条件．【考点】复数的概念，充分、必要条件． 4.【答案】C【解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的s 为8，故选C ．【提示】列出循环过程中s 与k 的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【考点】循环结构的程序框图． 5.【答案】A【解析】由切割线定理可知2CE CB CD =，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB =，所以CE CB AD DB =．数学试卷第10页（共36页）【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲． 6.【答案】B【解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇．如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B ．【提示】选择数字进行排列，判断奇偶性即可．【考点】排列组合． 7.【答案】B【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和．利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,65S S S S ====后右底左，因此该几何体表面积3065S =+，故选B ．【提示】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【考点】由三视图求几何体的表面积． 8.【答案】C【解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C ．【提示】由已知中图像表示某棵果树前n 年的总产量S 与n 之间的关系，结合图像可得答案．【考点】函数图像的应用．第Ⅱ卷二、填空题 9.【答案】2【解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，圆心(0,0)到直线1x y +=的距离132d =<，所以有两个交点．【提示】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【考点】直线和圆的位置关系． 10.【答案】1 【解析】23S a =，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=．【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得12d =，由此能求出2a ．【考点】等差数列的通项． 11.【答案】4【解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4．【提示】根据27a b c =+=，，1cos 4B =-，利用余弦定理可得，即可求得b 的值【考点】余弦定理的运用． 12.【答案】3【解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan603k ==，利用点斜式，直线的方程为33y x =-，将直线和曲线方程联立233123(3,23),,334y x A B y x⎧⎛⎫=-⎪⇒- ⎪⎨ ⎪=⎪⎝⎭⎩，因此11123322OAF A S OF y =⨯⨯=⨯⨯=△．【提示】确定直线l 的方程，代入抛物线方程，确定A 的坐标，从而可求OAF △的面积．．【考点】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系． 13.【答案】1【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为1．【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．【考点】平面向量在平面几何中的运用． 14.【答案】(4,2)--【解析】对于①∵()22xg x =-，当1x <时，()0g x <，又∵①()0x R f x ∀∈<，或()0g x <∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x ≥时恒成立，则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x 轴交点都在(1,0)的左边，则03121m m m <⎧⎪--<⎨⎪<⎩，∴40m -<<，即①成立的范围为40m -<<，数学试卷第16页（共36页）又∵②(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <， ∴此时()220x g x =-<恒成立∴()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈-∞-有成立的可能，则只要4-比12x x ，中的较小的根大即可，（i ）当10m -<<时，较小的根为3m --，34m --<-不成立，（ii ）当1m =-时，两个根同为24->-，不成立，（iii ）当41m -<<-时，较小的根为224m m <，-即2m <-成立．综上可得①②成立时42m -<<-．【提示】①由于()220x g x =->时，1x ≥，根据题意有()(2)(3)0f x m x m x m =-++<在1x >时成立，根据二次函数的性质可求．②由于(,4)x ∈∞--，()()0f x g x <，而()220xg x =-<，则()(2)(3)0f x m x m x m =-++>在(,4)x ∈∞--时成立，结合二次函数的性质可求【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．三、解答题15.【答案】（Ⅰ）{|π,}x x k k ≠∈Z π（Ⅱ）ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z 和3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z 【解析】（Ⅰ）(sin cos )sin2()sin x x xf x x-=(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x =-sin 21cos 2x x =--π2sin 214x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，{|π}x x k k ≠∈Z ,原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（Ⅱ）由πππ2π22π+,242k x k k -≤-≤∈Z ．解得π3πππ,,88k x k k -≤≤+∈Z 又{|π,}x x k k ≠∈Z ，原函数的单调递增区间为ππ,π8k k k ⎡⎫-+∈⎪⎢⎭⎣Z ，3ππ,π8k k k ⎛⎤+∈ ⎥⎦⎝Z ．【提示】（Ⅰ）直接求出函数的定义域和最小正周期．（Ⅱ）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【考点】三角函数的定义域，周期，单调性． 16.【答案】（Ⅰ）证明CD DE ⊥，1A D DE ⊥，又1CDA D D =，∴DE ⊥平面1A CD ，又1AC ⊂平面1A CD ， ∴1AC ⊥DE ，又1AC CD ⊥，CD DE D =∴1AC ⊥平面BCDE ．（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则(2,0,0)D -，1(00,23)A ,，(0,3,0)B ，(2,2,0)E -，(0,0,0)C ， ∴1(0,3,23)A B =-，1(2,2,23)A E =--，设平面1A BE 法向量为(,,)n x y z =，则1100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴323022230y z x y z ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴322z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵(1,0,3)M -∴(1,0,3)CM =-∴1342cos 2||||14313222CM n CM n θ+====+++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45数学试卷第22页（共36页）（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈则1(0,,23)A P a =-，(2,,0)DP a =设平面1A DP 法向量为1111(,,)n x y z =，则111123020ay z x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴11113612z ay x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴1111(,,)(3,6,3)n x y z a a ==-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =， ∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a ≤≤，∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直．【提示】（Ⅰ）证明1A C ⊥平面BCDE ，因为1A C CD ⊥，只需证明1AC DE ⊥，即证明DE ⊥平面1A CD ．（Ⅱ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面1A BE 法向量(1,2,3)n =-，(1,0,3)CM =-，利用向量的夹角公式，即可求得CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为(0,,0)a ，则[0,3]a ∈，求出平面1A DP 法向量为1(3,6,3)n a a =-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直，则10n n =，可求得03a ≤≤，从而可得结论．．【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．17.【答案】（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨，故生活垃圾投放错误的概率为：40026003= （Ⅱ）由题意可知，生活垃圾投放错误有200602020300+++=, 故生活垃圾投放错误的概率：20060403100010++=（Ⅲ）由题意可知：600a b c ++=，,,a b c 的平均数为200，222222211[(200)(200)(200)](120000)33S a b c a b c =-+-+-=++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．【提示】（Ⅰ）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率．（Ⅱ）生活垃圾投放错误有2006040300++=，故可求生活垃圾投放错误的概率．（Ⅲ）计算方差可得22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000S =．【考点】概率，方差18.【答案】（Ⅰ）33a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【解析】（Ⅰ）由(1,)c 为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a -≤-，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126aa -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a -≥-时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(02]a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当(2,)a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．【提示】（Ⅰ）根据曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a b ，的值．（Ⅱ）根据24a b =，构建函数3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++，求导函数，利用导数的正负，可确数学试卷第28页（共36页）定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间(,1)-∞-上的最大值．【考点】利用导数求函数单调区间及最值．19.【答案】（Ⅰ）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--，由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（Ⅱ）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >．由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M Nx x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x 则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+ 将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证．【提示】（Ⅰ）原曲线方程，化为标准方程，利用C 是焦点在x 轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围．（Ⅱ）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得232k >设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(,1)G G x ，则MB 方程为：62M Mkx y x x +=-，则3,16M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，从而可得316M M x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,，(),2N N AN x x k =+，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN 共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．11 / 1220.【答案】（Ⅰ）0.7（Ⅱ）1（Ⅲ）212t t ++ 【解析】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-∴()0.7k A =（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤：若()1k A >，则1|()||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-，∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1．（Ⅲ）()k A 的最大值为212t t ++．首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1,...2t t t t t a a a a a a t +++-========-+，22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+．经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且1221|()||()|2t r A r A t +==+，2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++，1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++．下面证明212t t ++是最大值．若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+．由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中．由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -．设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则1g t h t ≤≥+，．另外，由对称数学试卷第34页（共36页）数学试卷第35页（共36页）数学试卷第36页（共36页）性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）．因此11|()|()1(1)(1)21(1)[21(2)]r A r A t t x t t x x t t x x =≤++-=+-+=++-+<，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾．因此()k A 的最大值为212t t ++ 【提示】（Ⅰ）由题意可知1() 1.2r A =，2() 1.2r A =-，1() 1.1c A =，2()0.7c A =，3() 1.8c A =-，其中的最小值，即可求出所求．（Ⅱ）先用反证法证明()1k A ≤，然后证明()1k A =存在即可．（Ⅲ）首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+，然后证明212t t ++是最大值即可．【考点】合情推理．。

2012年新课标高考试题(理数,word解析版)

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）科数学理【整理】佛山市三水区华侨中学骆方祥（lbylfx @ ）注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年高考数学试卷及解析北京卷(文科)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合={x R|3x+2>0}A∈，B={x R|(x+1)(x-3)>0}∈，则A B=（）A．(,1)-∞-B．2(1,)3--C．2(,3)3-D．(3,)+∞二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

14．已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-，若x R ∀∈，()0f x <或()0g x <，则m 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

16. （本小题共14分）17.近年来，某市为了促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱。

为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：40020．（本小题共13分）设A是如下形式的2行3列的数表，满足性质P：a，b，c，d，e，f[1,1]∈-，且a+b+c+d+e+f=0记()i r A 为A 的第i 行各数之和（i=1,2）, ()j C A 为A 的第j 列各数之和（j=1,2,3）记()k A 为12123|()|,|()|,|()|,|()|,|()|r A r A c A c A c A 中的最小值。

试卷解析【试卷总评】2012年的北京数学高考试卷延续了近几年高考数学命题的风格，题干大气，内容丰富，难度客观讲适中，其中8,14,20三个题技巧性较高，侧重考查学生的数学思维和探究精神。

大部分试题均注重考查基础知识、基本技能和基本方法，考查数学传统的主干知识，较好的把握了传统知识的继承点和新增知识的起步点，但是有几个试题还是非常具有新意，难度不小，重点考查能力，给考生留下了较深的印象。

2012年理数高考试题答案及解析-新课标

绝密* 启用前2012 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷( 非选择题) 两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2. 问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动. 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上. 写在本试卷上无效·4. 考试结束后. 将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合 A {1,2,3,4,5} ,B{( x, y) x A, y A,x y A} ；,则B 中所含元素的个数为（）(A) 3 (B) 6 (C) (D)【解析】选 Dx 5, y 1,2,3,4 ，x 4, y 1,2,3 ，x 3,y 1,2 ，x 2, y 1共10 个（2）将2 名教师， 4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）(A) 12 种(B) 10 种(C) 种(D) 种【解析】选 A甲地由1名教师和 2 名学生： 1 2C2C4 12种（3）下面是关于复数z21 i的四个命题：其中的真命题为（）p1 : z 2 2p2 : z 2i p3 : z的共轭复数为 1 i p4 : z的虚部为1(A) p2, p3 (B) p1, p2 (C) p , p (D)p , p 【解析】选 C2 2( 1 i )z 1 i1 i ( 1 i)( 1 i)p1 : z 2 ， 2p2 : z 2i ，p3 : z的共轭复数为 1 i ，p4 : z的虚部为 1第1 页共12 页（4）设F F 是椭圆1 22 2x yE : 1(a b 0)2 2a b的左、右焦点，P 为直线3ax 上一点，2F PF 是底角为30 的等腰三角形，则 E 的离心率为（）2 1(A) 12(B)23(C) ( D)【解析】选 C3 c 3F PF 是底角为30 的等腰三角形PF2 F2F1 2( a c) 2c e2 12 a 4 （5）已知a为等比数列，a4 a7 2，a5a6 8 ，则a1 a10 （）n(A) 7 (B) 5(C) (D)【解析】选 Da4 a7 2，a a a a a a 或5 6 4 7 8 4 4, 7 2 a a4 2, 7 4a4 4, a7 2 a1 8, a10 1 a1 a10 7a4 2, a7 4 a10 8, a1 1 a1 a10 7（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数N(N2) 和实数a1,a2 ,..., a n ，输出A, B ，则（）( A) A B 为a1,a2 ,..., a n 的和(B) A B2 为a1,a2 ,..., a n 的算术平均数(C) A 和B 分别是a1,a2,..., a n 中最大的数和最小的数(D)A 和B 分别是a1,a2,..., a n 中最小的数和最大的数【解析】选 C第2 页共12 页（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）(A) 6 (B) 9 (C) (D)【解析】选 B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为 3此几何体的体积为V 1 13 26 3 3 92（8）等轴双曲线 C 的中心在原点，焦点在x轴上，C 与抛物线y 16x的准线交于A,B 两点，AB 4 3 ；则C的实轴长为（）(A) 2 (B) 2 2 (C) (D)【解析】选 C设 2 2 2 2C : x y a (a 0)交y 16x 的准线l : x 4 于A( 4,2 3) B( 4, 2 3)得： 2 ( 4)2 (2 3)2 4 2 2 4a a a（9）已知0 ，函数 f (x) sin( x )在( , )4 2上单调递减。

2012年北京高考数学真题及答案(理科)

绝密★使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）已知集合{A x=∈R|320}x+>，{B x=∈R|(1)(3)0}x x+->，则A B=I（A）(,1)-∞-（B）2(1,)3--（C）2(,3)3-（D）(3,)+∞（2）设不等式组2,2xy⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D．在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（A）π4（B）π22-（C）π6（D）4π4-（3）设,a b∈R．“0a=”是“复数ia b+是纯虚数”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件（4）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（A）2（B）4（C）8（D）16数学（理）（北京卷）第1 页（共11 页）（5）如图，90ACB∠=︒，CD AB⊥于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（A）CE CB AD DB⋅=⋅（B）CE CB AD AB⋅=⋅（C）2AD AB CD⋅=（D）2CE EB CD⋅=（6）从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（A）24（B）18（C）12（D）6（7）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（A）28+（B）30+（C）56+（D）60+（8）某棵果树前n年的总产量nS与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，m的值为（A）5（B）7（C）9（D）11BA DCE正（主）视图侧（左）视图俯视图42 3 4数学（理）（北京卷）第2 页（共11 页）数学（理）（北京卷）第 3 页（共 11 页）第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2012年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析

2012年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=），}}2．（5分）（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取B=44．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）5．（5分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）6．（5分）（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数=6=6中选两个数字排在个位与十位，共有=637．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）8+60+66+120+12=，=10=6．8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．（5分）（2012•北京）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为2．解：直线d=10．（5分）（2012•北京）已知﹛a n﹜是等差数列，s n为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2= 1．，，知，解得d==，d=11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b=4．，利用余弦定理可得﹣12．（5分）（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得，或的面积为故答案为：13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为1．解：因为==114．（5分）（2012•北京）已知f（x）=m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）=2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是（﹣4，﹣2）．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．sin）﹣）由，解得原函数的单调递增区间为16．（14分）（2012•北京）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE=2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．，，法向量为垂直，则，可求得2，法向量为∴∴，，∴，，法向量为∴垂直，则，17．（13分）（2012•北京）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c=600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2=[++…+]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数），因此有当正确的概率为率为，18．（13分）（2012•北京）已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．，求导函式可得：．，设，解得：，，∴））﹣在在；＜﹣时，即（﹣时，最大值为19．（14分）（2012•北京）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2=8（m∈R）（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m=4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y=kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y=1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．则，从而可得，三点共线，只需证，，解得：，解得：，方程为：，，三点共线，只需证，20．（13分）（2012•北京）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S （m，n），记r i（A）为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），C j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．）首先构造满足是最大值即可．）的最大值为．的下面证明）的最大值为。

2012年新课标高考试题(理数,word解析版)

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（新课标）科数学理注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（）1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)iz i ii i--===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b ab+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12()B23()C 34()D 45【解析】选C∆21F P F 是底角为30 的等腰三角形221332()224c P F F F a c c e a ⇒==-=⇔==（5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B +为12,,...,n a a a 的算术平均数()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，AB =C 的实轴长为（）()A ()B ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,A -(4,B --得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年普通高等学校招生全国统一考试理数北京卷pdf版含答案

( )
∴= A1B 0 ，3，− 2 3 , A1E =(−2 ，−1，0)
设平面 A1BE 法向量为 n = ( x ，y ，z)
则
A1B
⋅
n
=0
A1E ⋅ n =0
∴
3
y
−
2
3z
= 0 ∴
z
=
3y 2
−2x − y =0
x
=
−y 2
( )
∴ n = −1，2 ， 3
( ) 又∵ M −1，0 ， 3
( ) ( ) ( ) （求： s2=
1 n
2
x1 − x +
2
x2 − x + +
xn
−
x
2
，其中
x
为数据
x1
，
x2
，…，
xn
的平均数）
18．（本小题共 13 分）
已知函数 f ( x) = ax2 + 1(a > 0) ， g ( x=) x3 + bx ．（1）若曲线 y = f ( x) 与曲线 y = g ( x) 在它们的交点 (1，c) 处具有公共切线，求 a ，b 的值；
4
5
6
7
8
答案
D
D
B
C
A
B
B
C
二、填空题
题号答案
9
10
11
n2 + n
2
1；
4
4
12
13
14
3
1；1
(−4 ，− 2)
三、解答题 15．
解：
= f (x) (sin x − cos x)s= in 2x (sin x − cos x)2sin x= cos x 2(sin x − cos x) cos x

2012年高考试题及解析：理科数学(北京卷)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x ∈R|3x+2＞0} B={x ∈R|（x+1）(x-3)＞0} 则A∩B=A. （﹣∞，﹣1）B. （﹣1，﹣23）C.（﹣23,3） D. (3,+∞) 【考点】集合【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系。

在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

2.设不等式组0202x y ≤≤⎧⎨≤≤⎩，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A . 4πB . 22π- C. 6π D. 44π- 【考点】概率【难度】容易【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（理）强化提高班，第三章《概率》有详细讲解，在高考精品班数学（理）强化提高班中有对概率相关知识的总结讲解。

3.设a ，b ∈R .“a =O ”是“复数a +b i 是纯虚数”的A .充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D .既不充分也不必要条件【考点】复数的计算【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

4.执行如图所示的程序框图，输出S 值为A. 2B. 4C. 8D. 16【考点】算法初步【难度】中等【点评】本题考查几何概率的计算方法。

在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。

2012年北京市高考数学试卷(理科)(含解析版)

17．（13 分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了
该市三类垃圾箱总计 1000 吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；
“厨余垃圾”箱
“可回收物”箱
“其他垃圾”箱
厨余垃圾
400
CE•EB=CD2
6．（5 分）从 0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇
数的个数为（）
A．24
B．18
C．12
D．6
7．（5 分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）
第 1页（共 14页）
则 m 的取值范围是
．
三、解答题公 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15．（13 分）已知函数 f（x）=
．
（1）求 f（x）的定义域及最小正周期；（2）求 f（x）的单调递增区间．
A．28+6
B．30+6
C．56+12
D．60+12
8．（5 分）某棵果树前 n 年的总产量 Sn 与 n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前 m 年
的年平均产量最高，则 m 的值为（）
（1）求证：A1C⊥平面 BCDE；（2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE 所成角的大小；（3）线段 BC 上是否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE 垂直？说明理由．
第 2页（共 14页）
18．（13 分）已知函数 f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx （1）若曲线 y=f（x）与曲线 y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求 a、b 的值；（2）当 a2=4b 时，求函数 f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．

2012年高考全国2卷理数试题(解析版)-打印

绝密*启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注息事项:1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时。

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效·4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。

第一卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知集合{1,2,3,4,5}A =,{(,),,}B x y x A y A x y A =∈∈-∈；,则B 中所含元素的个数为（）()A 3 ()B 6 ()C 8 ()D 10【解析】选D5,1,2,3,4x y ==，4,1,2,3x y ==，3,1,2x y ==，2,1x y ==共10个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种 ()B 10种 ()C 9种 ()D 8种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C =种（3）下面是关于复数21z i=-+的四个命题：其中的真命题为（） 1:2p z = 22:2p z i = 3:p z 的共轭复数为1i + 4:p z 的虚部为1-()A 23,p p ()B 12,p p ()C ,p p 24 ()D ,p p 34【解析】选C 22(1)11(1)(1)i z i i i i --===---+-+--1:p z =22:2p z i =，3:p z 的共轭复数为1i -+，4:p z 的虚部为1-（4）设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32ax =上一点，∆21F PF 是底角为30的等腰三角形，则E 的离心率为（）()A 12 ()B 23 ()C 34()D 45【解析】选C∆21F PF 是底角为30的等腰三角形221332()224c PF F F a c c e a ⇒==-=⇔== （5）已知{}n a 为等比数列，472a a +=，568a a =-，则110a a +=（）()A 7 ()B 5 ()C -5 ()D -7【解析】选D472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-= 471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=- 471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-（6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N ≥和实数12,,...,n a a a ，输出,A B ，则（）()A A B +为12,,...,n a a a 的和 ()B 2A B+为12,,...,n a a a 的算术平均数 ()C A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最大的数和最小的数 ()D A 和B 分别是12,,...,n a a a 中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6 ()B 9 ()C 12 ()D 18【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3 此几何体的体积为11633932V =⨯⨯⨯⨯=（8）等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B两点，43AB =；则C 的实轴长为（）()A 2 ()B 22 ()C 4 ()D 8【解析】选C设222:(0)C x y a a -=>交x y 162=的准线:4l x =-于(4,23)A -(4,23)B -- 得：222(4)(23)4224a a a =--=⇔=⇔=（9）已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减。

2012年高考理科数学北京卷(含详细答案)

数学试卷第1页（共21页）数学试卷第2页（共21页）数学试卷第3页（共21页）绝密★启用前2012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）本试卷共6页,150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{320}A x x =∈+>R |,{|(1)(3)0}B x x x =∈+->R ,则A B =（）A . (,1)-∞-B . 2(1,)3-- C . 2(,3)3-D . (3,)+∞2. 设不等式组02,02x y ⎧⎨⎩≤≤≤≤表示的平面区域为D ,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A .π4B .π22-C . π6D . 4π4-3. 设,a b ∈R .“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充分必要条件D . 既不充分也不必要条件4. 执行如图所示的程序框图,输出的S 值为（）A . 2B . 4C . 8D . 165. 如图,90ACB ∠=,CD AB ⊥于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ,则（）A . CE CB AD DB = B . CE CB AD AB =C . 2 AD AB CD =D . 2 CE EB CD =6. 从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为（）A . 24B . 18C . 12D . 67. 某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（）A .28+ B .30+C .56+D .60+8. 某棵果树前n 年的总产量n S 与n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m 年的年平均产量最高,m 值为（）A . 5B . 7C . 9D . 11第Ⅱ卷（选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在答题卡相应位置上.9. 直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos ,3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为________.10. 已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和.若112a =,23S a =,则2a =________； n S =________.11. 在ABC △中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =________.12. 在直角坐标系xOy 中,直线l 过抛物线24y x =的焦点F ,且与该抛物线相交于A ,B 两点,其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60,则OAF △的面积为________.13. 已知正方形ABCD 的边长为1,点E 是AB 边上的动点,则 DE CB 的值为________；DE DC 的最大值为________.14. 已知()(2)(3)f x m x m x m =-++,()22x g x =-.若同时满足条件：①x ∀∈R ,()0f x ＜或()0g x ＜；②(,4)x ∃∈-∞-,()()0f x g x ＜. 则m 的取值范围是________.三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题共13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（Ⅰ）求()f x 的定义域及最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调递增区间.E BDAC34正（主）视图侧（左）视图俯视图姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效--------数学试卷第4页（共21页）数学试卷第5页（共21页）数学试卷第6页（共21页）16.（本小题共14分）如图1,在Rt ABC △中,90C ∠=,3BC =,6AC =.D ,E 分别是AC ,AB 上的点,且DE BC ∥,2DE =,将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置,使1AC CD ⊥,如图2.（Ⅰ）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（Ⅱ）若M 是1A D 的中点,求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（Ⅲ）线段BC 上是否存在点P ,使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？请说明理由.17.（本小题共13分）近年来,某市为了促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,现随机（Ⅰ）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（Ⅱ）试估计生活垃圾投放错误的概率；（Ⅲ）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ,b ,c ,其中0a >,600a b c ++=.当数据a ,b ,c 的方差2s 最大时,写出a ,b ,c 的值（结论不要求证明）,并求此时2s 的值.（求：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-,其中x 为数据1x ,2x ,,n x 的平均数）18.（本小题共13分）已知函数2()1(0)f x ax a =+>,3()g x x bx =+.（Ⅰ）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,)c 处具有公共切线,求a ,b 的值；（Ⅱ）当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.19.（本小题共14分）已知曲线C ：22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R .（Ⅰ）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆,求m 的取值范围；（Ⅱ）设4m =,曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方）,直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G .求证：A ,G ,N 三点共线.20.（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表,满足：每个数的绝对值不大于1,且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈,记()i r A 为A 的第i 行各数之和(1)i m ≤≤,()j c A 为A 的第j 列各数之和(1)j n ≤≤；记()k A 为1|()|r A ,2|()|r A ,…,|()|m r A ,1|()|c A ,2|()|c A ,…,|()|n c A中的最小值.（Ⅰ）对如下数表A ,求()k A 的值；（Ⅱ）设数表(2,3)A S ∈形如求()k A 的最大值；（Ⅲ）给定正整数t ,对于所有的(2,21)A S t ∈+,求()k A 的最大值.ACDEBA 1MCBE D图1图22012年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（理科）答案解析第Ⅰ卷{|AB x x =A B ．2CE CB CD =90,CD ⊥AD DB ，所以CE CB AD DB =．【提示】由题中三角形和圆的位置关系，通过条件求解即可．【考点】几何证明选讲．第Ⅱ卷【解析】23S a =，所以【提示】由{}n a 是等差数列23S a =，解得60，所以直线的斜率为603=1⎛【解析】根据平面向量的点乘公式cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知cos DE DA θ=，所以21DE CB DA ==；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，又因为cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC ，所以长度为【提示】直接利用向量转化，求出数量积即可．【考点】平面向量在平面几何中的运用．)()0g x <，恒成立3)0+>在综上可得①②成立时42m -<<-．)()0g x <，而【考点】指数函数的性质，二次函数的性质．（Ⅰ）证明CD 1CDA D D =，，又A ⊥DE ，又CD DE D =⊥平面BCDE （Ⅱ）如图建立空间直角坐标系C xyz -，则,23)，(0B ∴1(0,3,2A B =-，(2,2,A E =-法向量为(,,)n x y z =100A B n A E n ⎧=⎪⎨=⎪⎩∴3223y ⎧⎪⎨---⎪⎩2⎪⎩∴(1,2,3)n =-又∵M ∴(1,0,CM =-cos 2||||1313222CM n CM n θ====++∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（Ⅲ）设线段上存在点P ，设则(0,A P a =，(2,DP a =设平面A DP 法向量为(,n x y =∴1(,,n x y =垂直，则10n n =， DE ，即证明DE ⊥平面1A CD 法向量(1,2,n =-，(1,0,CM =-A DP 法向量为(3n a =-垂直，则10n n =，可求得【考点】平面图形的折叠问题，立体几何．（Ⅰ）由题意可知，厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱（Ⅱ）a a∴3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线3(6Mxx k+成立，化简得：从而可得3AG⎛= ，(AN x=三点共线，只需证AG，AN共线，利用韦达定理，可以证明．【考点】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系．1(1)(1t t++数学试卷第19页（共21页）数学试卷第20页（共21页）数学试卷第21页（共21页）。

2012年高考数学试题及答案(全国卷理数2套)

2012 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1．（5 分）（2012•新课标）已知集合 A＝{1，2，3，4，5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则 B 中所含元素的个数为（）
A．
B．
C．
D．
12．（5 分）（2012•新课标）设点 P 在曲线
上，点 Q 在曲线 y＝ln（2x）上，则|PQ|
最小值为（）
A．1﹣ln2
B．
C．1+ln2
二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分．
13．（5 分）（2012•新课标）已知向量
夹角为 45°，且
＝
．
D．，则
14．（5 分）（2012•新课标）设 x，y 满足约束条件：
A．A+B 为 a1，a2，…，an 的和 B．为 a1，a2，…，an 的算术平均数
C．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最大的数和最小的数 D．A 和 B 分别是 a1，a2，…，an 中最小的数和最大的数 7．（5 分）（2012•新课标）如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）
21．（12 分）（2012•新课标）已知函数 f（x）满足 f（x）＝f′（1）ex﹣1﹣f（0）x+ x2；
（1）求 f（x）的解析式及单调区间；
（2）若
，求（a+1）b 的最大值．
四、请考生在第 22，23，24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号． 22．（10 分）（2012•新课标）如图，D，E 分别为△ABC 边 AB，AC 的中点，直线 DE 交△

2012年新课标高考数学试题(理数)

3 c 3 ∆ F2 PF1 是底角为 30� 的等腰三角形 ⇒ PF2 = F2 F1 = 2( a − c ) = 2c ⇔ e = = 2 a 4
（5）已知 {an 为等比数列， a4 + a7 = 2 ， a5 a6 = −8 ，则 a1 + a10 = （
}
）
( A) 7
【解析】选 D
( B) 5
� �
�
� �
�
�
� � � � �2 � � 2a − b = 10 ⇔ (2a − b)2 = 10 ⇔ 4 + b − 4 b cos 45° = 10 ⇔ b = 3 2 ⎧ x, y ≥ 0 ⎪ (14) 设 x, y 满足约束条件： ⎨ x − y ≥ −1 ；则 z = x − 2 y 的取值范围为 ⎪ x+ y ≤3 ⎩
（10）已知函数 f ( x ) =
1 ；则 y = f ( x ) 的图像大致为（ ln( x + 1) − x
）
【解析】选 B
x 1+ x ⇒ g ′( x ) > 0 ⇔ −1 < x < 0, g ′( x ) < 0 ⇔ x > 0 ⇒ g (x ) < g (0) = 0 g ( x ) = ln(1 + x) − x ⇒ g ′( x) = −
由图象关于 y = x 对称得： PQ 最小值为 2d min =
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量 a, b 夹角为 45° ，且 a = 1, 2a − b = 10 ；则 b = _____ 【解析】 b = _____ 3 2

2012年全国高考理科数学试题及答案-北京卷

2012年全国各地高考数学试题汇编汇总数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。

每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A ＝{x ∈R|3x+2＞0} B ＝{x ∈R|(x+1)(x －3)＞0} 则A ∩B ＝A (－∞,－1)B (－1,－23) C (－23,3)D (3,+∞) 【解析】和往年一样,依然的集合(交集)运算,本次考查的是一次和二次不等式的解法。

因为32}023|{->⇒>+∈=x x R x A ,利用二次不等式可得1|{-<=x x B 或}3>x 画出数轴易得:}3|{>=x x B A .故选D. 【答案】D 2.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ,表示平面区域为D,在区域D 内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(A)4π (B)22π- (C)6π (D)44π-【解析】题目中⎩⎨⎧≤≤≤≤2020y x 表示的区域如图正方形所示,而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一圆的面积部分,因此4422241222ππ-=⨯⋅-⨯=P ,故选D 。

【答案】D3.设a,b ∈R 。

“a ＝0”是“复数a+bi 是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【解析】当0=a 时,如果0=b 同时等于零,此时0=+bi a 是实数,不是纯虚数,因此不是充分条件;而如果bi a +已经为纯虚数,由定义实部为零,虚部不为零可以得到0=a ,因此想必要条件,故选B 。

【答案】B4.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A. 2 B .4 C.8 D. 16【解析】0=k ,11=⇒=k s ,21=⇒=k s ,22=⇒=k s ,8=s ,循环结束,输出的s 为8,故选C 。

2012年高考理数真题试卷(全国卷)及解析

2012年高考理数真题试卷（全国卷）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）一、选择题1.已知集合A={1,3,√m}，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）A.0或√3B.0或3C.1或√3D.1或32.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A.x216+y212=1B.x212+y28=1C.x28+y24=1D.x212+y24=13.已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2 √2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为（）A.2B.√3C.√2D.14.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5=5，S5=15，则数列{1a n a n+1}的前100项和为（）A.100101B.99101C.99100D.101100答案第2页，总16页5.△ABC 中，AB 边的高为CD ，若 CB →= a →， CA → = b →， a →• b →=0，| a →|=1，| b →|=2，则 AD →=（）A.13a →−13b →B.23a →−23b →C.35a →−35b →D.45a →−45b →6.已知α为第二象限角， sinα+cosα=√33，则cos2α=（）A.﹣ √53 B.﹣ √59 C.√59 D.√537.已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2﹣y 2=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=2|PF 2|，则cos∠F 1PF 2=（） A.14 B.35 C.34 D.458.已知函数y=x 3﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c=（） A.﹣2或2 B.﹣9或3 C.﹣1或1 D.﹣3或19.将字母a ，a ，b ，b ，c ，c 排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有（） A.12种 B.18种 C.24种 D.36种…外…………○…………装…………学校:___________姓名：________…内…………○…………装…………10.正方形ABCD 的边长为1，点E 在边AB 上，点F 在边BC 上， AE =BF =37，动点P从E 出发沿直线向F 运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第一次碰到E 时，P 与正方形的边碰撞的次数为（） A.16 B.14 C.12 D.10第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）11.若x ，y 满足约束条件 {x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0则z=3x ﹣y 的最小值为．12.当函数y=sinx ﹣ √3（0≤x＜2π）取得最大值时，x= ． 13.若 (x+1x )n的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中 1x 2 的系数为．14.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°，则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为三、解答题（题型注释）15.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知cos （A ﹣C ）+cosB=1，a=2c ，求C ． 16.如图，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，PA⊥底面ABCD ， AC =2√2 ，PA=2，E 是PC 上的一点，PE=2EC ．（1）证明：PC⊥平面BED ；（2）设二面角A ﹣PB ﹣C 为90°，求PD 与平面PBC 所成角的大小． 17.设函数f （x ）=ax+cosx ，x∈[0，π]．（1）讨论f （x ）的单调性；（2）设f （x ）≤1+sinx，求a 的取值范围．答案第4页，总16页18.已知抛物线C ：y=（x+1）2与圆 M:(x −1)2+(y −12)2=r 2 （r ＞0）有一个公共点A ，且在A 处两曲线的切线为同一直线l ．（1）求r ；（2）设m ，n 是异于l 且与C 及M 都相切的两条直线，m ，n 的交点为D ，求D 到l 的距离． 19.函数f （x ）=x 2﹣2x ﹣3，定义数列{ x n }如下：x 1=2，x n+1是过两点P （4，5），Q n （ x n ， f （x n ））的直线PQ n 与x 轴交点的横坐标．（1）证明：2≤x n ＜x n+1＜3；（2）求数列{ x n }的通项公式．○…………外…………○…………装………○…………订…………○学校:___________姓名：_______班级：___________考号：___________○…………内…………○…………装………○…………订…………○参数答案1.B【解析】1.解：由题意A∪B=A，即B ⊆A ，又 A ={1,3,√m} ，B={1，m}， ∴m=3或m= √m ，解得m=3或m=0及m=1，验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：B ． 2.C【解析】2.解：由题意，椭圆的焦点在x 轴上，且 2c =4,=4 ∴c=2，a 2=8 ∴b 2=a 2﹣c 2=4 ∴椭圆的方程为 x 28+y 24=1故选C ．【考点精析】利用椭圆的标准方程对题目进行判断即可得到答案，需要熟知椭圆标准方程焦点在x 轴：，焦点在y 轴：．3.D【解析】3.解：如图：连接AC ，交BD 于O ，在三角形CC 1A 中，易证OE∥C 1A ，从而C 1A∥平面BDE ，∴直线AC 1与平面BED 的距离即为点A 到平面BED 的距离，设为h ，在三棱锥E ﹣ABD 中，V E ﹣ABD = 13 S △ABD ×EC= 13 × 12 ×2×2× √2 =2√23在三棱锥A ﹣BDE 中，BD=2 √2 ，BE= √6 ，DE= √6 ，∴S △EBD = 12 ×2 √2 × √6−2 =2 √2 ∴V A ﹣BDE = 13 ×S △EBD ×h= 13 ×2 √2 ×h= 2√23∴h=1 故选 D【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已答案第6页，总16页…………○…………订线…………○要※※在※※装※※订※※线※※内…………○…………订线…………○知为两异面直线，A ，C 与B ，D 分别是上的任意两点，所成的角为，则．4.A【解析】4.解：设等差数列的公差为d 由题意可得， {a 1+4d =55a 1+10d =15解方程可得，d=1，a 1=1由等差数列的通项公式可得，a n =a 1+（n ﹣1）d=1+（n ﹣1）×1=n∴ 1an a n+1= 1n(n+1) = 1n −1n+1S 100=1−12+12−13+⋯+1100−1101=1﹣ 1101 = 100101故选A【考点精析】关于本题考查的等差数列的前n 项和公式和数列的前n 项和，需要了解前n 项和公式：；数列{a n }的前n 项和s n 与通项a n 的关系才能得出正确答案．5.D【解析】5.解：∵ a →• b →=0， ∴CA⊥CB ∵CD⊥AB∵| a →|=1，| b →|=2 ∴AB= √5由射影定理可得，AC 2=AD•AB ∴ AD →=√5=4√55 ∴ AD AB=4√55√5=45∴ AD →=45AB → = 45(CB →−CA →) = 45(a →−b →)…………○…………订…………○…………线…………○…：___________班级：___________考号：___________…………○…………订…………○…………线…………○…故选D6.A【解析】6.解：∵sinα+cosα= √33 ，两边平方得：1+sin2α= 13 ， ∴sin2α=﹣ 23 ，①∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α= 53 ， ∵α为第二象限角， ∴sinα＞0，cosα＜0， ∴sinα﹣cosα=√153，②∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα） =（﹣√153）× √33=﹣ √53 ．故选A ．【考点精析】利用二倍角的余弦公式对题目进行判断即可得到答案，需要熟知二倍角的余弦公式：．7.C【解析】7.解：将双曲线方程x 2﹣y 2=2化为标准方程 x 22 ﹣ y 22 =1，则a= √2，b= √2，c=2，设|PF 1|=2|PF 2|=2m ，则根据双曲线的定义，|PF 1|﹣|PF 2|=2a 可得m=2 √2 ， ∴|PF 1|=4 √2 ，|PF 2|=2 √2 ， ∵|F 1F 2|=2c=4，∴cos∠F 1PF 2=|PF 1|2+|PF 2|2−|F 1F 2|22|PF 1||PF 2|=2×4√2×2√2 = 2432 = 34 ．故选C ． 8.A【解析】8.解：求导函数可得y′=3（x+1）（x ﹣1），令y′＞0，可得x ＞1或x ＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x ＜1；∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，答案第8页，总16页………○…………线…………○※※题※※………○…………线…………○∵函数y=x 3﹣3x+c 的图象与x 轴恰有两个公共点， ∴极大值等于0或极小值等于0． ∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0， ∴c=﹣2或2．故选：A ．【考点精析】利用函数的极值与导数和函数的零点与方程根的关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值；二次函数的零点：（1）△＞0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点;（2）△＝0，方程有两相等实根（二重根），二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点;（3）△＜0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点． 9.A【解析】9.解：由题意，可按分步原理计数，首先，对第一列进行排列，第一列为a ，b ，c 的全排列，共有 A 33种，再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；所以排列方法共有： A 33×2×1×1=12种，故选A 10.B【解析】10.解：根据已知中的点E ，F 的位置，可知第一次碰撞点为F ，在反射的过程中，直线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G ，且CG= 1621 ，第二次碰撞点为H ，且DH= (1−1621)×34=528，作图，可以得到回到E 点时，需要碰撞14次即可．故选B ．………外…………○…………装…………○………订…………○…………线…………○…学校:___________姓名：___________班级：_______考号：___________………内…………○…………装…………○………订…………○…………线…………○…【考点精析】掌握一般式方程是解答本题的根本，需要知道直线的一般式方程：关于的二元一次方程（A ，B 不同时为0）．11.-1【解析】11.解：作出不等式组 {x −y +1≥0x +y −3≤0x +3y −3≥0表示的平面区域，如图所示由z=3x ﹣y 可得y=3x ﹣z ，则﹣z 表示直线3x ﹣y ﹣z=0在y 轴上的截距，截距越大z 越小结合图形可知，当直线z=3x ﹣y 过点C 时z 最小由 {x +3y −3=0x −y +1=0可得C （0，1），此时z=﹣1所以答案是：﹣112.5π6答案第10页，总16页……订…………○…………线…………○线※※内※※答※※题※※……订…………○…………线…………○【解析】12.解：∵y=sinx﹣ √3 cosx=2（ 12 sinx ﹣ √32 cosx ）=2sin （x ﹣ π3 ）． ∵0≤x＜2π，∴﹣ π3 ≤x﹣ π3 ＜ 5π3 ， ∴y max =2，此时x ﹣ π3 = π2 ， ∴x= 5π6 ．所以答案是： 5π6 ．【考点精析】本题主要考查了两角和与差的正弦公式和三角函数的最值的相关知识点，需要掌握两角和与差的正弦公式：；函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，才能正确解答此题．13.56【解析】13.解：由题意可得， C n 2=C n 6∴n=8展开式的通项 T r+1=C 8r x 8−2r (1x )r = C 8r x8−2r 令8﹣2r=﹣2可得r=5 此时系数为 C 85=56 所以答案是：56 14.√66【解析】14.解：如图，设 AA 1→= c →， AB →=a →， AC →=b →，棱长均为1，则 a →⋅b →= 12 ， c →⋅b → = 12 ， a→⋅c →= 12∵ AB 1→=a →+c →， BC 1→=BC →+BB 1→=b →−a →+c →∴ AB 1→⋅BC 1→=（ a →+c →）•（ b →−a →+c →）= a →⋅b →﹣ a →2+ a →⋅c →+ c →⋅b →﹣ a →⋅c →+ c →2= a →⋅b →﹣ a →2+ c →⋅b →+ c →2= 12 ﹣1+ 12 +1=1| AB 1→|= √(a →+c →)2= √1+1+1 = √3外…………○……订…………○…………线…………○…学校:_____考号：___________内…………○……订…………○…………线…………○…| BC 1→ |= √(b →−a →+c →)2= √1+1+1−1−1+1 = √2 ∴cos＜ AB 1→， BC 1→＞=AB 1→⋅BC 1→|AB 1→|⋅|BC 1→|=√2×√3= √66∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 √66【考点精析】解答此题的关键在于理解异面直线及其所成的角的相关知识，掌握异面直线所成角的求法：1、平移法：在异面直线中的一条直线中选择一特殊点，作另一条的平行线；2、补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，如正方体、平行六面体、长方体等，其目的在于容易发现两条异面直线间的关系． 15.解：由B=π﹣（A+C ）可得cosB=﹣cos （A+C ）∴cos（A ﹣C ）+cosB=cos （A ﹣C ）﹣cos （A+C ）=2sinAsinC=1 ∴sinAsinC= 12 ①由a=2c 及正弦定理可得sinA=2sinC② ①②联立可得， sin 2C =14 ∵0＜C ＜π ∴sinC= 12 a=2c 即a ＞cC =π【解析】15.由cos （A ﹣C ）+cosB=cos （A ﹣C ）﹣cos （A+C ）=1，可得sinAsinC= 12 ，由a=2c 及正弦定理可得sinA=2sinC ，联立可求C【考点精析】解答此题的关键在于理解正弦定理的定义的相关知识，掌握正弦定理:．16. （1）证明：以A 为坐标原点，建立如图空间直角坐标系A ﹣xyz ，设D （ √2 ，b ，0），则C （2 √2 ，0，0），P （0，0，2），E （ 4√23 ，0， 23），B （ √2 ，﹣b ，答案第12页，总16页○…………外…………○…※※○…………内…………○…∴ PC → =（2 √2 ，0，﹣2）， BE →=（√23 ，b ， 23 ）， DE → =（ √23 ，﹣b ， 23） ∴ PC →• BE →= 43 ﹣ 43 =0， PC → • DE → =0∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E ∴PC⊥平面BED（2）解： AP →=（0，0，2）， AB →=（ √2 ，﹣b ，0）设平面PAB 的法向量为 m →=（x ，y ，z ），则 {m →⋅AP →=2z =0m →⋅BE →=√2x −by =0取 m →=（b ， √2 ，0）设平面PBC 的法向量为 n →=（p ，q ，r ），则 {n →⋅PC →=2√2p −2r =0n →⋅BE →=√23p +bp +23r =0取 n →=（1，﹣ √2b ， √2 ）∵平面PAB⊥平面PBC ，∴ m → • n →=b ﹣ 2b =0．故b= √2 ∴ n →=（1，﹣1， √2 ）， DP →=（﹣ √2 ，﹣ √2 ，2） ∴cos＜ DP →， n →＞= n →⋅DP→|n →|⋅|DP →|= 12设PD 与平面PBC 所成角为θ，θ∈[0， π2 ]，则sinθ= 12 ∴θ=30°∴PD 与平面PBC 所成角的大小为30°订…………○…………线…………考号：___________订…………○…………线…………【解析】16.（1）先由已知建立空间直角坐标系，设D （ √2 ，b ，0），从而写出相关点和相关向量的坐标，利用向量垂直的充要条件，证明PC⊥BE，PC⊥DE，从而利用线面垂直的判定定理证明结论即可；（2）先求平面PAB 的法向量，再求平面PBC 的法向量，利用两平面垂直的性质，即可求得b 的值，最后利用空间向量夹角公式即可求得线面角的正弦值，进而求得线面角【考点精析】利用直线与平面垂直的判定和向量语言表述线面的垂直、平行关系对题目进行判断即可得到答案，需要熟知一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想；要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可;设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为，若． 17. （1）解：求导函数，可得f'（x ）=a ﹣sinx ，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x ）≤0恒成立，f （x ）单调递减；当a≥1 时，f'（x ）≥0恒成立，f （x ）单调递增；当0＜a ＜1时，由f'（x ）=0得x 1=arcsina ，x 2=π﹣arcsina 当x∈[0，x 1]时，sinx ＜a ，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增当x∈[x 1，x 2]时，sinx ＞a ，f'（x ）＜0，f （x ）单调递减当x∈[x 2，π]时，sinx ＜a ，f'（x ）＞0，f （x ）单调递增；（2）解：由f （x ）≤1+sinx 得f （π）≤1，aπ﹣1≤1，∴a≤ 2π ．令g （x ）=sinx ﹣ 2π （0≤x ≤π2），则g′（x ）=cosx ﹣ 2π当x ∈(0,arcos 2π) 时，g′（x ）＞0，当 x ∈(arcos 2π,π2) 时，g′（x ）＜0∵ g(0)=g(π2)=0 ，∴g（x ）≥0，即 2πx ≤sinx （0≤x ≤π2），当a≤ 2π 时，有 f(x)≤2πx +cosx①当0≤x ≤π2时， 2πx ≤sinx ，cosx≤1，所以f （x ）≤1+sinx； ②当 π2≤x ≤π 时， f(x)≤2πx +cosx =1+ 2π(x −π2)−sin(x −π2) ≤1+sinx综上，a≤ 2π ．答案第14页，总16页…………○…………线…………○答※※题※※…………○…………线…………○【解析】17.（1）求导函数，可得f'（x ）=a ﹣sinx ，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a 进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（2）由f （x ）≤1+sinx 得f （π）≤1，aπ﹣1≤1，可得a≤ 2π ，构造函数g （x ）=sinx ﹣ 2π （0≤x ≤π2），可得g （x ）≥0（0≤x ≤π2），再考虑：①0≤x ≤π2；② π2≤x ≤π ，即可得到结论．【考点精析】根据题目的已知条件，利用利用导数研究函数的单调性和函数的最大(小)值与导数的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减；求函数在上的最大值与最小值的步骤：（1）求函数在内的极值；（2）将函数的各极值与端点处的函数值，比较，其中最大的是一个最大值，最小的是最小值． 18. （1）解：设A （x 0，（x 0+1）2）， ∵y=（x+1）2，y′=2（x+1） ∴l 的斜率为k=2（x 0+1）当x 0=1时，不合题意，所以x 0≠1 圆心M （1， 12 ），MA的斜率 k ′=(x 0+1)2−12x 0−1．∵l⊥MA，∴2（x 0+1）× (x 0+1)2−12x 0−1=﹣1∴x 0=0，∴A（0，1）， ∴r=|MA|= √52 ；（2）解：设（t ，（t+1）2）为C 上一点，则在该点处的切线方程为y ﹣（t+1）2=2（t+1）（x ﹣t ），即y=2（t+1）x ﹣t 2+1若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为 √52 ∴|2(t+1)×1−12−t 2+1|√[2(t+1)]+1=√52∴t 2（t 2﹣4t ﹣6）=0∴t 0=0，或t 1=2+ √10 ，t 2=2﹣ √10抛物线C 在点（t i ，（t i +1）2）（i=0，1，2）处的切线分别为l ，m ，n ，其方程分别为 y=2x+1①，y=2（t 1+1）x ﹣ t 12+1 ②，y=2（t 2+1）x ﹣ t 22+1 ③②﹣③：x=t 1+t 22=2订…………○…………线__考号：___________订…………○…………线代入②可得：y=﹣1 ∴D（2，﹣1）， ∴D 到l 的距离为√5=65√5【解析】18.（1）设A （x 0 ，（x 0+1）2），根据y=（x+1）2 ，求出l 的斜率，圆心M （1，12），求得MA 的斜率，利用l⊥MA 建立方程，求得A 的坐标，即可求得r 的值；（2）设（t ，（t+1）2）为C 上一点，则在该点处的切线方程为y ﹣（t+1）2=2（t+1）（x ﹣t ），即y=2（t+1）x ﹣t 2+1，若该直线与圆M 相切，则圆心M 到该切线的距离为 √52 ，建立方程，求得t 的值，求出相应的切线方程，可得D 的坐标，从而可求D 到l 的距离．【考点精析】掌握点到直线的距离公式是解答本题的根本，需要知道点到直线的距离为：．19. （1）证明：①n=1时，x 1=2，直线PQ 1的方程为 y −5=f(2)−52−4(x −4)当y=0时，∴ x 2=114，∴2≤x 1＜x 2＜3； ②假设n=k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为 y −5=f(x k+1)−5x k+1−4(x −4)当y=0时，∴ x k+2=3+4x k+12+x k+1∵2≤x k ＜x k+1＜3，∴ x k+2=4−52+x k+1＜4−52+3=3x k+2−x k+1=(3−x k+1)(1+x k+1)2+x k+1＞0∴x k+1＜x k+2∴2≤x k+1＜x k+2＜3 即n=k+1时，结论成立由①②可知：2≤x n ＜x n+1＜3；（2）解：由（1），可得 x n+1=3+4x n2+x n设b n =x n ﹣3，∴ 1b n+1=5b n+1∴ 1bn+1+14=5(1b n+14)∴ {1b n+14} 是以﹣ 34 为首项，5为公比的等比数列答案第16页，总16页∴ 1b n+14=(−34)×5n−1∴ b n =−43×5n−1+1∴ x n =b n +3=3−43×5n−1+1．【解析】19.（1）用数学归纳法证明：①n=1时，x 1=2，直线PQ 1的方程为 y −5=f(2)−52−4(x −4) ，当y=0时，可得 x 2=114；②假设n=k 时，结论成立，即2≤x k ＜x k+1＜3，直线PQ k+1的方程为 y −5=f(x k+1)−5x k+1−4(x −4) ，当y=0时，可得 x k+2=3+4x k+12+x k+1，根据归纳假设2≤x k＜x k+1＜3，可以证明2≤x k+1＜x k+2＜3，从而结论成立．（2）由（1），可得 x n+1=3+4x n2+x n，构造b n =x n ﹣3，可得 {1b n+14} 是以﹣ 34 为首项，5为公比的等比数列，由此可求数列{ x n }的通项公式．【考点精析】认真审题，首先需要了解数列的通项公式(如果数列a n 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式)．。

2012年北京高考数学理科试卷(带详解)

2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.已知集合{}320A x x =∈+>R {}(1)(3)0B x x x =∈+->R 则A B = ( ) A ．(,1)-∞- B ．2(1,)3-- C ．2(,3)3- D ．(3,)+∞【测量目标】集合间的基本运算,（交集）.【考查方式】给出两个集合，解出不等式表示的集合，求出交集. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】2{|}3A x x =>-，利用二次不等式的解法可得{}|31B x x x =><-或，画出数轴易得{}|3A B x x => .2. 设不等式组0202x y⎧⎨⎩剟剟表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) A ．π4 B ．π22- C ．π6 D ．4π4-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域与几何概率的综合运用. 【考查方式】运用线性规划知识求几何概率. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】题目中0202xy⎧⎪⎨⎪⎩剟剟表示的区域表示正方形区域，而动点D 可以存在的位置为正方形面积减去四分之一的圆的面积部分，因此2122π24π4224P ⨯-⨯-==⨯，故选D. 3.设,a b ∈R , “0a =”是“复数a b +i 是纯虚数”的 ( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件【测量目标】复数的概念，充分、必要条件. 【考查方式】将虚数与充分必要条件结合考查.【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】当0a =时，如果0b =，此时i 0a b +=是实数，不是纯虚数，因此不是充分条件；而如果i a b +已经是纯虚数，由定义实部为零，虚部不为零可以得到0a =，因此是必要条件，故选B.4. 执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 ( ) A.2 B.4 C.8D.16第4题图【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】给出程序框图直接考查. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】0,11,12,23,8k s k s k s k s ==⇒==⇒==⇒==，循环结束，输出的S 为8，故选C.5.如图，∠ACB =90，CD ⊥AB 于点D ,以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（）第5题图A .CE CB =AD DB B.CE CB =AD ABC .AD AB =2CD D .CE EB =2CD 【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】给出三角形和圆的位置关系，通过条件求解. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由切割线定理可知2CE CB CD = ，在直角ABC △中90,ACB CD AB ∠=⊥，则由射影定理可知2CD AD DB = ，所以CE CB AD DB =. 6.从0,2 中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（） A ．24 B ．18 C ．12 D ．6 【测量目标】排列组合及其应用.【考查方式】选择数字进行排列，判断奇偶性. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由于题目要求是奇数，那么对于此三位数可以分成两种情况：奇偶奇，偶奇奇.如果是第一种奇偶奇的情况，可以从个位开始分析3种选择，之后二位，有2种选择，最后百位2种选择，共12种；如果是第二种情况偶奇奇，分析同理，个位有3种选择，十位有2种选择，百位有一种选择，共6种，因此总共12618+=种，选B. 7. 某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）第7题图A ．28+B ．30+C ．56+D ．60+【测量目标】由三视图求几何体的表面积. 【考查方式】给出三视图，直接求表面积. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和.利用垂直关系和三角形面积公式，可得：10,10,10,S S S S ====后右左底因此该几何体表面积30S =+，故选B.8. 某棵果树前n 年得总产量n S 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 的值为（）第8题图A ．5B ．7C ．9D ．11 【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出函数图象，判断变化规律. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由图可知6，7，8，9这几年增长最快，超过平均值，所以应该加入，因此选C.第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.直线2,1x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为 .【测量目标】直线和圆的位置关系.【考查方式】给出直线和曲线的参数方程，通过转化为普通方程求解. 【难易程度】中等【参考答案】2【试题解析】直线转化为1x y +=，曲线转化为圆229x y +=，将题目所给的直线和圆图形作出，易知有两个交点.10.已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和.若112a =，23S a =，则2a = . 【测量目标】等差数列的通项.【考查方式】给出前2项和与数列第三项的关系及首项求数列第二项. 【难易程度】容易【参考答案】1【试题解析】23S a = ，所以111211212a a d a d d a a d ++=+⇒=⇒=+=. 11.在ABC △中，若2a =，7bc +=，1cos 4B =-，则b = . 【测量目标】余弦定理的运用.【考查方式】给出三角形部分边角值，求另一边. 【难易程度】中等【参考答案】4【试题解析】在△ABC 中，得用余弦定理22214()()47()cos 2444a c b c b c b c b B ac c c+-++-+-=⇒-==，化简得8740c b -+=，与题目条件7b c +=联立，可解得4,3b c ==，答案为4.12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F,且与该抛物线相交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60，则OAF △的面积为 . 【测量目标】抛物线的简单性质，直线与抛物线的位置关系.【考查方式】通过直线与抛物线的位置关系，求三角形面积. 【难易程度】中等【试题解析】由24y x =，可求得焦点坐标为(1,0)F ，因为倾斜角为60，所以直线的斜率为tan60k ==y =21(,334y A B y x⎧=⎪⇒-⎨⎪=⎩，因此11122OAF AS OF y =⨯⨯=⨯⨯△13.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB的值为； DE DC的最大值为 .【测量目标】平面向量在平面几何中的运用.【考查方式】将最值问题，向量的数量积与平面几何结合起来考查. 【难易程度】中等【参考答案】1,1【试题解析】根据平面向量的点乘公式||||cos DE CB DE DA DE DA θ==，可知||cos ||DE DA θ= ，因此2||1DE CB DA == ；||||cos ||cos DE DC DE DC DE αα==，而||cos DE α就是向量DE 在DC 边上的射影，要想让DE DC 最大，即让射影最大，此时E 点与B 点重合，射影为||DC，所以长度为1.14.已知()(2)(3)f x m x m x m =-++，()22x g x =-.若同时满足条件：①,()0x f x ∀∈<R 或()0g x <；②(,4)x ∃∈-∞- ，()()0f x g x <. 则m 的取值范围是 .【测量目标】指数函数的性质，二次函数的性质. 【考查方式】将指数函数与二次函数综合考查. 【难易程度】较难【参考答案】（4,2)--【试题解析】根据()2201xg x x =-<⇒<，由于题目中第一个条件的限制，导致()f x 在1x …时必须是()0f x <，当0m =时，()0f x =，不能做到()f x 在1x …时，()0f x <，所以舍去，因此()f x 作为二次函数开口只能向下，故0m <，且此时2个根为122,3x m x m ==--，为保证条件成立，只需121212314x m m x m m ⎧=<<⎧⎪⎪⇒⎨⎨=--<⎪⎪⎩>-⎩，和大前提0m <取交集结果为40m -<<，又由于条件2的限制，可分析得出(,4),()x g x ∃∈-∞-恒负，因此就需要在这个范围内()f x 有取得正数的可能，即4-应该比12,x x 两个根中较小的根大，当(1,0)m ∈-时，34m --<-，解得交集为空，舍去.当1m =-时，两个根同为24->-，也舍去，当(4,1)m ∈--时，242m m <-⇒<-，综上所述(4,2)m ∈--.三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15.（本小题13分）已知函数(sin cos )sin 2()sin x x xf x x-=.（1）求()f x 的定义域及最小正周期；（2）求()f x 的单调递增区间.【测量目标】三角函数的定义域、周期、单调性. 【考查方式】给出三角函数关系式，通过化简求解. 【难易程度】容易【试题解析】(sin cos )sin 2()sin x x x f x x -==(sin cos )2sin cos sin x x x xx-=2(sin cos )cos x x x-sin 21cos 2x x =--π)14x --，{|π}x x k k ≠∈Z ,(步骤1)(1) 原函数的定义域为{|π,}x x k k ≠∈Z ，最小正周期为π；（步骤2） (2) 由πππ2π22π+,242k x k k --∈Z 剟.解得π3πππ,,88k x k k -+∈Z 剟又{|π,}x x k k ≠∈Z ,原函数的单调递增区间为π[π,π)8k k k -+∈Z ，3π(π,π]8k k k +∈Z .（步骤3） 16. （本小题14分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90，BC =3，AC =6，D,E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE =2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2.（1）求证：A 1C ⊥平面BCDE;（2）若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ,使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？说明理由.图1 图2第16题图【测量目标】平面图形的折叠问题、立体几何中的探索问题. 【考查方式】通过图形折叠考查线面之间的综合问题. 【难易程度】中等【试题解析】（1）证明 CD DE ⊥，1A D DE ⊥又1CD A D D =∴DE ⊥平面1ACD ，又 1AC ⊂平面1ACD ， ∴1AC ⊥DE 又1AC CD ⊥，CD DE D = ∴1AC ⊥平面BCDE .（步骤1）（2）如图建空间直角坐标系C xyz -，则()200D -，，，(100A ，，，()030B ，，，()220E -，，，(0,0,0)C .∴(103A B =-，，,(122A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()x y z =，，n ，则 1100A B A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n∴30220y x y ⎧-=⎪⎨---=⎪⎩∴(22z y y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩步骤）∴(12=-，n又∵(10M -，∴(10CM =-，∴cos 2||||CM CM θ==== n n ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45（步骤3）第16题图（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =- ，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111x y z =，，n ，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩∴111112z x ay⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()1(436a =-步骤），n 假设平面1A DP 与平面1ABE 垂直，则10= n n ，∴31230a a ++=，612a =-，2a =-∵03a剟 ∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直（步骤5）. 17.（本小题13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为,,a b c ，其中0a >，600a b c ++=.当数据,,a b c 的方差2S 最大时，写出,,a b c 的值（结论不要求证明），并求此时2S 的值. （注：方差2222121[()()()]n S x x x x x x n=-+-++- ，其中x 为12,,n x x x 的平均数）【测量目标】概率与方差【考查方式】通过实际生活背景考查简单的概率与方差的运用【难易程度】中等【试题解析】（1）由题意可知：40026003=(步骤1)（2）由题意可知：20060403100010++=（步骤2）（3）由题意可知：22221(120000)3S a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时有280000S =．（步骤3）18.（本小题13分）已知函数2()1f x ax =+（0a >），3()g x x bx =+.（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点（1，c ）处具有公共切线，求,a b 的值；（2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(,1)-∞-上的最大值. 【测量目标】利用导数求函数单调区间及最值.【考查方式】给出两个函数式，通过导数求最值及区间. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由1c （，）为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x a x '=，12k a =，3()g x x bx =+，则2()=3g x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①（步骤1）又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩．（步骤2）（2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++ 则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26ax =-；0a >，∴26a a-<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增（步骤3）①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（步骤4） 19.（本小题14分）已知曲线C : 22(5)(2)8()m x m y m -+-=∈R (1)若曲线C 是焦点在x 轴的椭圆，求m 的范围；(2)设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A ,B （点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ,N ,直线1y =与直线BM 交于点G 求证：A ,G ,N 三点共线. 【测量目标】椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出曲线方程，通过条件判断运用几何性质求解. 【难易程度】中等【试题解析】（1）原曲线方程可化简得：2218852x ym m +=--，由题意可得：8852805802m m m m ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：75.2m <<（步骤1）（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)0k ∆->，解得：232k >. 由韦达定理得：21621M N k x x k +=-+①，22421M N x x k =+，②（步骤2）设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫ ⎪+⎝⎭，，（步骤3）∴316MM x AG x k ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，，()2N N AN x x k =+ ，，欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证.（步骤4） 20.（本小题13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记(,)S m n 为所有这样的数表构成的集合.对于(,)A S m n ∈，记()i r A 为A 的第i 行各数之和1i m 剟，()j c A 为A 的第j 列各数之和1jn 剟；记()k A 为1|()|r A ，2|()|r A ，…，|()|m r A ，1|()|c A ，2|()|c A ，…，|()|n c A 中的最小值. （1）对如下数表A ,求()k A 的值；（2）设数表A ∈(2,3)S 形如求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的A ∈S (2，21t +),求()k A 的最大值.【测量目标】合情推理.【考查方式】通过设定的条件分析判断. 【难易程度】较难【试题解析】（1）由题意可知()1 1.2r A =，()2 1.2r A =-，()1 1.1c A =，()20.7c A =，()3 1.8c A =-∴()0.7k A =（步骤1）（2）先用反证法证明()1k A …：若()1k A > 则()1|||1|11c A a a =+=+>，∴0a >同理可知0b >，∴0a b +>，由题目所有数和为0，即1a b c ++=-∴11c a b =---<-与题目条件矛盾∴()1k A ≤．易知当0a b ==时，()1k A =存在∴()k A 的最大值为1.（步骤2）（3）()k A 的最大值为212t t ++. 首先构造满足21()2t k A t +=+的,{}(1,2,1,2,...,21)i j A a i j t ===+： 1,11,21,1,11,21,211...1, (2)t t t t t a a a a a a t +++-========-+， 22,12,22,2,12,22,211...,...1(2)t t t t t t a a a a a a t t +++++========-+. 经计算知，A 中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且 1221|()||()|2t r A r A t +==+， 2121121|()||()|...|()|11(2)22t t t t t c A c A c A t t t t ++++====+>+>+++， 1221121|()||()|...|()|122t t t t t c A c A c A t t +++-+====+=++.（步骤3）下面证明212t t ++是最大值. 若不然，则存在一个数表(2,21)A S t ∈+，使得21()2t k A x t +=>+. 由()k A 的定义知A 的每一列两个数之和的绝对值都不小于x ，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A 的每一列两个数之和的绝对值都在区间[,2]x 中. 由于1x >，故A 的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于1x -.（步骤4）设A 中有g 列的列和为正，有h 列的列和为负，由对称性不妨设g h <，则,1g t h t +剠. 另外，由对称性不妨设A 的第一行行和为正，第二行行和为负.考虑A 的第一行，由前面结论知A 的第一行有不超过t 个正数和不少于1t +个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于1x -（即每个负数均不超过1x -）. 因此()11|()|()1(1)(1)21(1)21(2)r A r A t t x t t x x t t x x =++-=+-+=++-+< …，故A 的第一行行和的绝对值小于x ，与假设矛盾. 因此()k A 的最大值为212t t ++ （步骤5）。