【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第5单元《平面向量与复数》]

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学海导航高三数学人教理B第一轮总复习同步训练：第单元几何证明选讲

第十三单元几何证明选讲第71讲相似三角形的判定与性质1.如图，△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，那么下列比例式成立的是( )A.AD AC ＝AE AB ＝DE BCB. AB AB ＝AE AC ＝DE BCC.AD AE ＝AC AB ＝DE BCD.AD AB ＝AE EC ＝DE BC 2.在△ABC 中，DE ∥BC ，DE 将△ABC 分成面积相等的两部分，那么DE ∶BC ＝( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶ 2 D ．1∶13.在矩形ABCD 中，AB ＝a ，BC ＝b ，过C 作CE ⊥BD 于E ，则BE ＝( ) A.b a B.a bC.b 2a 2＋b2 D.a 2＋b 2b(第3题图) (第4题图)4.如图，在△ABC 中，AE ＝ED ＝DC ，FE ∥MD ∥BC ，FD 的延长线交BC 的延长线于点N ，且EF ＝2，则BN ＝( )A ．7B ．6C ．8D ．125.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，若BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，则AB 的长为 .(第5题图) (第6题图)6.如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，BD ，AC 相交于O ，过O 的直线分别交AB ，CD 于E ，F ，且EF ∥BC ，若AD ＝12，BC ＝20，则EF ＝______.7.如图，在直角梯形ABCD 中，上底AD ＝3，下底BC ＝33，与两底垂直的腰AB ＝6，在AB 上任取一点P ，使△P AD 和△PBC 两个三角形能构成一对相似三角形，这样的点P 有个． 8.把一个面积为4的三角形ABC 用以下方式生成一个新的三角形DEF ：点D 与点A 关于点B 对称，点E 与点B 关于点C 对称，点F 与点C 关于点A 对称，求三角形DEF 的面积．9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，DF⊥AC于F，DE⊥AB于E，求证：AD3＝BC·BE·CF.第72讲直线与圆的位置关系1.如图，已知⊙O的直径AB与弦AC的夹角为35°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，那么∠P等于()A．15°B．20°C．25°D．30° 2.已知AB与CD相交于圆内一点P，且∠APD＝30°，则弧AD与弧BC所成的圆心角的度数和为()A．30°B．45°C．60°D．180°3.点P为⊙O的弦AB上一点，且AP＝9，PB＝4，连接PO，作PC⊥OP交圆于C，则PC的长为()A．4 B．6C．8 D．94.如图，P A是圆O的切线，切点为A，PO交圆O于B，C两点，P A＝3，PB＝1，则∠ABC＝()A．70°B．60°C．45°D．30°5.如图，P A是圆O的切线，A为切点，PBC是圆O的割线．若P ABC＝32，则PBBC＝________.6.如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝4，AC＝3，以AC为直径作圆O交AB于D，则CD＝.7.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD＝5DB，设∠COD＝θ，则tan θ的值为________．8.如图，P A，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠OAB＝30°.(1)求∠APB的大小；(2)当OA＝3时，求AP的长．9.如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2AC.(1)求证：BE＝2AD；(2)当AC＝1，EC＝2时，求AD的长．第十三单元几何证明选讲第71讲相似三角形的判定与性质1．A 由△ADE ∽△ACB ，∠ADE ＝∠C ，可确定两个相似三角形的对应边，由此可知AD AC ＝AE AB ＝DEBC，故选A. 2．C3．C 由直角三角形射影定理可知BC 2＝BE ·BD ，所以BE ＝BC 2BD ＝b 2a 2＋b2.4．C 因为FE ∥MD ∥BC ，AE ＝ED ＝DC ，所以EF BC ＝AE AC ＝13，EF CN ＝ED DC ＝11＝1，所以EF ＝CN ，所以EF BN ＝EF BC ＋CN ＝14，所以BN ＝4EF ＝8.5.92 AD AB ＝DE BC ＝23，DF AD ＝CE AC ＝13. 因为BC ＝3，DE ＝2，DF ＝1，解得AB ＝92.6．15 由三角形相似可得EO BC ＝AO AC ，解得EO ＝152.由对称性知OF ＝OE ，所以EF ＝15. 7．2 设AP ＝x .(1)若△ADP ∽△BPC ，则AD BP ＝AP BC ，即36－x ＝x33，所以x 2－6x ＋9＝0，得x ＝3.(2)若△ADP ∽△BCP ，则AD BC ＝AP BP ，即333＝x 6－x，所以得x ＝32.所以符合条件的点P 有2个．8．解析：连接AF ，BD ，CE ，则S △DEF ＝S △ECF ＋S △F AD ＋S △DBE ＋S △ABC ＝2S △ABC ＋2S △ABC＋2S △ABC ＋S △ABC ＝28.9．证明：在Rt △ABC 中，因为AD ⊥BC ，所以AD 2＝BD ·DC ，且AD ·BC ＝AB ·AC .在Rt △ABD 和Rt △ADC 中，因为DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，由射影定理，BD 2＝BE ·BA ，DC 2＝CF ·AC ，所以BD 2·DC 2＝BE ·BA ·CF ·AC ＝BE ·CF ·AD ·BC ＝AD 4，所以AD 3＝BC ·BE ·CF . 第72讲直线与圆的位置关系1．B 由已知，CO ⊥CP ，即∠OCP ＝90°. 又∠COB ＝2∠CAB ＝70°，所以∠P ＝90°－∠COB ＝20°. 故选B.2．C 特殊位置法：点P 是圆心即可得正确答案为C.3．B 如右图．因为OP ⊥PC ，所以P 为弦CD 的中点，故PC 2＝P A ·PB ＝9×4，即PC ＝6(负值舍去)． 4.B 由切割线定理得P A 2＝PB ·PC . 因为P A ＝3，PB ＝1，所以解得PC ＝3，即BC ＝2，OA ＝1，OP ＝2，因为OA ⊥P A ，所以∠P ＝30°，∠AOB ＝60°，因为OA ＝OB ，所以∠ABC ＝60°，故选B. 5.12根据切割线定理有 P A 2＝PB ·PC ＝PB (PB ＋BC )，P A BC ＝32，PB 2＋PB ·BC －34BC 2＝0，(2PB ＋3BC )(2PB －BC )＝0，所以PB BC ＝－32(舍去)，PB BC ＝12.6.125∠ADC 为直径AC 所对的圆周角，则∠ADC ＝90°. 在Rt △ACB 中，CD ⊥AB .由等面积法有AB ·CD ＝CA ·CB ，故得CD ＝125.7.52设BD ＝k (k >0)．因为AD ＝5DB ，所以AD ＝5k ，AO ＝OB ＝5k ＋k2＝3k ，所以OC ＝OB ＝3k ，OD ＝2k . 由勾股定理得，CD ＝OC 2－OD 2＝(3k )2－(2k )2＝5k ，所以tan θ＝CD OD ＝5k 2k ＝52.8．解析：(1)因为在△ABO 中，OA ＝OB ，∠OAB ＝30°，所以∠AOB ＝180°－2×30°＝120°.因为P A ，PB 是⊙O 的切线，所以OA ⊥P A ，OB ⊥PB ，即∠OAP ＝∠OBP ＝90°，所以∠APB ＝60°. (2)如图，过点O 作OD ⊥AB 交AB 于点D .因为在△OAB 中，OA ＝OB ，所以AD ＝12AB .因为在Rt △AOD 中，OA ＝3，∠OAD ＝30°，所以AD ＝OA ·cos 30°＝332，AP ＝AB ＝3 3.9．解析：(1)证明：连接DE ，因为ACED 是圆的内接四边形，所以∠BDE ＝∠BCA ，又∠DBE ＝∠CBA ，所以△BDE ∽△BCA ，即有BE BA ＝DECA，而AB ＝2AC ，所以BE ＝2DE ，又CD 是∠ACB 的平分线，所以AD ＝DE ，从而BE ＝2AD . (2)由条件得AB ＝2AC ＝2，设AD ＝t ，根据割线定理得BD ·BA ＝BE ·BC ，即(AB －AD )·BA ＝2AD ·(2AD ＋CE )，所以(2－t )×2＝2t (2t ＋2)，即2t 2＋3t －2＝0，解得t ＝12或t ＝－2(舍去)，即AD ＝12.。

2015届高三(理)一轮同步训练：第1单元《集合与常用逻辑用语》(含答案)

学海导航·新课标高中总复习(第1轮)B·理科数学同步训练第一单元集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1.设集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P∪Q＝()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}2.(2013·韶关第一次调研)若集合M是函数y＝lg x的定义域，N是函数y＝1－x的定义域，则M∩N等于()A．(0,1] B．(0，＋∞)C．∅D．[1，＋∞)3.设集合A＝{1,2}，则满足A∪B＝{1,2,3}的集合B的个数是()A．1 B．3C．4 D．84.设全集U＝R，A＝{x|2x(x－2)<1}，B＝{x|y＝ln(1－x)}，则图中阴影部分表示的集合为()A．{x|x≥1} B．{x|1≤x<2}C．{x|0<x≤1} D．{x|x≤1}5.(2013·浙江宁波市期末)设集合A＝{(x，y)|x＋a2y＋6＝0}，B＝{(x，y)|(a－2)x＋3ay ＋2a＝0}，若A∩B＝∅，则实数a的值为()A．3或－1 B．0或3C．0或－1 D．0或3或－16.定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝{1,2}，B＝{3,6}，则集合A*B 的所有元素之和为.7.集合M＝{3,7，－4m}，N＝{－12,8}，若M∩N≠∅，则实数m的值为________．8.设全集U是实数集R，函数f(x)＝lg(2x－3)的定义域为集合A，B＝{x|y＝2－1}．求：x－1(1)集合A，B；(2)A∩B，A∪(∁U B)．9.已知集合A＝{x|1<ax<2}，集合B＝{x||x|<1}．当A⊆B时，求a的取值范围．第2讲命题及其关系、充要条件1.命题“若x 2>y 2，则x >y ”的逆否命题是( )A ．“若x <y ，则x 2<y 2”B ．“若x >y ，则x 2>y 2”C ．“若x ≤y ，则x 2≤y 2”D ．“若x ≥y ，则x 2≥y 2”2.“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.“a ＝2”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的( )A ．充分不必要条件B ．充分必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4.给出下列命题，其中真命题的个数是( )①命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1”；②“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件；③命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题．A ．0B ．1C ．2D ．35.命题“若x ＝5，则x 2－8x ＋15＝0”及其逆命题、否命题、逆否命题中正确的个数有______个．6.若“|x －1|＜a ”的充分条件是“|x －1|＜b ”(其中a ，b ＞0)，则a 、b 之间的关系是________．7.命题“ax 2－2ax ＋3＞0恒成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．8.设A ＝{x |x －1x ＋1<0}，B ＝{x ||x －b |<a }；若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，求实数b 的取值范围．9.已知条件p ：|5x －1|＞a (a ＞0)，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0.命题“若p ，则q ”为真，其逆命题为假，求实数a 的取值范围．第3讲逻辑联结词、全称量词与存在量词1.若命题綈(p ∨q )为假命题，则( )A ．p 、q 中至少有一个为真命题B ．p 、q 中至多有一个为真命题C ．p 、q 均为真命题D ．p 、q 均为假命题2.(2013·四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：∀x ∈A,2x ∈B ，则( )A ．綈p ：∀x ∈A,2x ∉B B ．綈p ：∀x ∉A,2x ∉BC ．綈p ：∀x ∉A,2x ∈BD ．綈p ：∃x ∈A,2x ∉B3.已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2，命题q ：集合{x |x 2－6x ＋9＝0，x ∈R }有且只有两个子集．下列结论：(1)命题“p ∧q ”是真命题；(2)命题“p ∧(綈q )”是假命题；(3)命题“(綈p )∧q ”是真命题；(4)命题“(綈p )∨(綈q )”是真命题．其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．44.下列结论错误的是( )A ．若“p ∧q ”与“(綈p )∨q ”均为假命题，则p 真q 假B ．命题“∃x ∈R ，x 2－x >0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．“x ＝1”是“x 2－3x ＋2＝0”的充分不必要条件D ．若“am 2<bm 2，则a sin x 0”的否定是________________________． 6.“若x >4，则x >m ”为真命题，则m 的取值范围是 .7.已知命题p ：∃x ∈R ，使sin x ＝103；命题q ：∀x ∈R ，都有x 2＋2ax ＋a 2＋1>0.给出下列结论：①命题“p ∧q ”是真命题；②命题“p ∧(綈q )”是假命题；③命题“(綈p )∨q ”是真命题；④命题“(綈p )∨(綈q )”是假命题．其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)8.已知命题p ：“∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0”与命题q ：“∃x ∈R ，x 2＋2ax －8－6a ＝0”都是真命题，求实数a 的取值范围．9.(2013·山东省莱州质检测)命题p ：关于x 的不等式x 2＋2ax ＋4>0对一切x ∈R 恒成立，命题q：函数f(x)＝(3－2a)x是增函数，若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围．学海导航·新课标高中总复习(第1轮)B·理科数学参考答案同步训练第一单元集合与常用逻辑用语第1讲集合的概念及运算1．B 因为P ∩Q ＝{0}，所以0∈P ，即log 2a ＝0，得a ＝1，而0∈Q ，所以b ＝0，所以P ∪Q ＝{3,0,1}．2．A 因为M ＝(0，＋∞)，N ＝(－∞，1]，所以M ∩N ＝(0,1]．3．C 由题意可得集合B 中一定有元素3,1和2不确定，故满足题意的集合B 的个数为集合{1,2}的子集个数，即为22＝4，故选C.4．B 由2x (x －2)<1，得x (x －2)<0，解得0<x <2，所以A ＝{x |0<x <2}．由1－x >0，得x <1，所以B ＝{x |x <1}，于是阴影部分表示的集合A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}，故选B.5．C 由集合A 、B 的意义可知，A ∩B ＝∅，则两直线平行，故a －21＝3a a 2≠2a 6，解得a ＝－1，又经检验a ＝0时也满足题意，故选C.6．21 由题得A *B ＝{3,6,12}，故集合A *B 的所有元素之和为21.7．3或－2 由M ∩N ≠∅，可知－4m ＝－12或－4m ＝8，解得m ＝3或m ＝－2.8．解析：(1)由2x －3>0，得x >32，所以A ＝{x |x >32}．由2x －1－1≥0，得3－x x －1≥0，解得1<x ≤3，所以B ＝{x |1<x ≤3}．(2)由(1)得，∁U B ＝{x |x ≤1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |32<x ≤3}， A ∪(∁U B )＝{x |x ≤1或x >32}． 9．解析：由已知，B ＝{x |－1<x <1}．(ⅰ)当a ＝0时，A ＝∅，显然A ⊆B .(ⅱ)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}，要使A ⊆B ，必须⎩⎨⎧ 2a ≤11a≥－1，所以a ≥2. (ⅲ)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}，要使A ⊆B ，必须⎩⎨⎧1a ≤12a ≥－1，即a ≤－2. 综上可知，a ≤－2或a ＝0或a ≥2.第2讲命题及其关系、充要条件1．C2．C 若m ＝1，则直线x －y ＝0和直线x ＋y ＝0互相垂直．又若x －y ＝0与直线x ＋my ＝0互相垂直，则1×1＋(－1)×m ＝0，所以m ＝1，故“m ＝1”是“直线x －y ＝0和直线x ＋my ＝0互相垂直”的充要条件，所以选C.3．A 若a ＝2，则f (x )＝lg(2x )在(0，＋∞)上单调递增，但f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增，则a >0，故不能推出a ＝2.所以“a ＝2”是“函数f (x )＝lg(ax )在(0，＋∞)上单调递增”的充分而不必要条件．4．B ①中，否命题应为“若x 2≠1，则x ≠1”，因此①错；②中，x ＝－1⇒x 2－5x －6＝0，应为充分条件，因此②错；③中，由于原命题是真命题，因此③说法正确．故选B.5．2 原命题和逆否命题正确，其他命题是错误的，所以填2.6．b ≤a 由条件知|x －1|＜b 的解集是|x －1|＜a 的解集的子集，则b ≤a .7．[0,3) 当a ＝0时，不等式3＞0，命题为真命题；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δ＝(－2a )2－4a ×3<0，解得0＜a ＜3. 综上所述，实数a 的取值范围是[0,3)．8．解析：因为A ＝{x |－1<x <1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1<x <b ＋1}，且A ∩B ≠∅，所以－1≤b －1<1或－1<b ＋1≤1，即0≤b <2或－2<b ≤0，所以－2<b <2，所以实数b 的取值范围是(－2,2)．9．解析：条件p ：|5x －1|＞a ，即x ＜1－a 5或x ＞1＋a 5，设对应的集合为A ，条件q ：12x 2－3x ＋1＞0，即2x 2－3x ＋1＞0，所以x ＜12或x ＞1，设对应的集合为B . 由“若p ，则q ”为真，其逆命题为假，则A B ，所以⎩⎨⎧1－a 5≤121＋a 5≥1(两不等式不同时取等号)，解得a ≥4，所以实数a 的取值范围是[4，＋∞)．第3讲逻辑联结词、全称量词与存在量词1．A 易知p ∨q 为真，故选A.2．D 本题考查全称命题的否定，∀改为∃，将2x ∈B 改为2x ∉B ，选D.3．C 因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)≤2，故p 为假命题．又{x |x 2－6x ＋9＝0，x ∈R }＝{3}，其子集为∅，{3}，故q 为真命题．因此命题“p ∧q ”为假，p ∧(綈q )为假，“(綈p )∧q ”为真，(綈p )∨(綈q )为真，故选C.4．D 对于A ，“p ∧q ”为假，则p ，q 至少有一个为假，“綈p ∨q ”为假，则綈p 与q 全假，因此p 真，q 假，故A 正确，易知B 、C 正确，故选D.5．∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x 解析：特称命题的否定是全称命题，所以否定是∀x ∈(0，π2)，tan x ≤sin x . 6．m ≤4 “若x >4，则x >m ”为真命题，即x >4⇒x >m ，则{x |x >4}⊆{x |x >m }，所以m ≤4.7．②③ 因为|sin x |≤1，所以命题p 为假命题，又因为x 2＋2ax ＋a 2＋1＝(x ＋a )2＋1>0，所以命题q 为真命题，綈p 为真命题，綈q 为假命题，因此②③正确．8．解析：因为∀x ∈[1,2]，12x 2－ln x －a ≥0，所以a ≤12x 2－ln x ，x ∈[1,2]．令f (x )＝12x 2－ln x ，x ∈[1,2]，则f ′(x )＝x －1x，因为f ′(x )＝x －1x>0(x ∈[1,2])，所以函数f (x )在[1,2]上是增函数，所以f (x )min ＝12，所以a ≤12. 又由命题q 是真命题得Δ＝4a 2＋32＋24a ≥0，解得a ≥－2或a ≤－4.因为命题p 与q 均为真命题，所以a 的取值范围为(－∞，－4]∪[－2，12]． 9．解析：当命题p 为真时，Δ＝4a 2－16<0，所以－2<a <2，当命题q 为真时，3－2a >1，所以a ＜1.因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以p ，q 为一真一假．当p 真q 假时，⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2a ≥1，所以1≤a <2，当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－2或a ≥2a <1，所以a ≤－2. 综上所述，实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1,2)．。

【学海导航】高考数学第1轮总复习全国统编教材 5

(2)解法1:在△ABC中,由正弦定理得 s i n B b s i n A .
a
因为b2=ac，A=60°，
所以 bsinBb2sin60sin60 3.
c
ca
2
解法2:在△ABC中，由面积公式得
1bcsinA1acsinB.
2
2
因为b2=ac,A=60°,所以bcsinA=b2sinB，
所以 b s i n B s i n A 3 .
c
2
点评：已知三个独立的条件(至少有
一个是边的条件)来解斜三角形，关键是
正确选用正弦定理(或余弦定理)及对定理
公式的应用.若涉及面积问题时，还需用
到面积公式：S 1absinC 1acsinB 1bcsinA.
2
2
2
如图，在△ABC中， AC=2，BC=1，cosC= 3 .
4
(1)求AB的值；
B= .
2
4
据正弦定理可得
a
s i n A=
b 解得sinA= .
sin B
1
，即2 2= ，
sin A sin 4
又由于a<b，2 据大角对大边原则，即
A<B=
，
故4A= .
6
题型2 利用余弦定理解三角形
2. (原创)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、 C的对边，且满足b2=a2+c2+ac.
在△ABC中，角A、B、C所对的边长别为a、 b、c.若C=120°，c=a，则( A )
A. a>b
B. a<b
C. a=b 定
D. a与b的大小关系不能确
解：因为c2=a2+b2-2ab•cosC，c=a，

【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练：第11单元《坐标系与参数方程》

第十一单元坐标系与参数方程第62讲极坐标系及简单的极坐标方程1.化极坐标方程ρ2cos θ－ρ＝0为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋y 2＝0或y ＝1 B ．x ＝1 C ．x 2＋y 2＝0或x ＝1 D ．y ＝12.极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋x ＋y 2＝0 B ．x 2－x ＋y 2＝0 C ．x 2＋x －y 2＝0 D ．x 2－x －y 2＝03.设曲线的极坐标方程为ρ＝2a sin θ(a >0)，则它表示的曲线是( ) A ．圆心在点(a,0)，直径为a 的圆 B ．圆心在点(0，a )，直径为a 的圆 C ．圆心在点(a,0)，直径为2a 的圆 D ．圆心在点(0，a )，直径为2a 的圆4.在极坐标系中，已知两点A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则△AOB (其中O为极点)的面积为______．5.在极坐标系中，曲线ρ＝cos θ＋1与ρcos θ＝1的公共点到极点的距离为__________．6.在极坐标系中，已知曲线C 的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，π6)作曲线C 的切线，则切线长等于________．7.已知直线的极坐标方程为ρsin(θ＋π4)＝22，则A (2，7π4)到这条直线的距离为__________．8.已知三角形的三个顶点的极坐标分别为A (2，π6)，B (4，5π6)，O (0,0)，设BD 为△AOB中OA 边上的高，求△AOB 的面积和D 点的极坐标．9.已知曲线C ：⎩⎨⎧x ＝33cos θy ＝3sin θ，直线l ：ρ(cos θ－3sin θ)＝12.(1)将直线l 的极坐标方程和曲线C 的参数方程都化为直角坐标方程； (2)设点P 在曲线C 上，求P 点到直线l 的距离的最小值．第63讲曲线的参数方程及应用1.把方程xy ＝1化为以t 为参数的参数方程是( )A.⎩⎨⎧x ＝t 12y ＝t －12(t 为参数) B.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin t y ＝1sin t (t 为参数) C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos t y ＝1cos t (t 为参数) D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tan t y ＝1tan t(t 为参数) 2.将参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θy ＝sin 2θ(θ为参数)化为普通方程为( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x ＋2C ．y ＝x －2(2≤x ≤3)D ．y ＝x ＋2(0≤y ≤1)3.直线⎩⎨⎧x ＝1＋12ty ＝－33＋32t(其中t 为参数)和圆x 2＋y 2＝16交于A ，B 两点，则AB 的中点坐标为( )A ．(3，－3)B ．(－3，3)C ．(3，－3)D ．(3，－3)4.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋5ty ＝1－2t (t 为参数)与坐标轴的交点是( )A ．(0，25)、(12，0)B ．(0，15)、(12，0)C ．(0，－4)、(8,0)D ．(0，59)、(8,0)5.在平面直角坐标系中，已知直线l 与曲线C 的参数方程分别为l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋sy ＝1－s (s 为参数)和C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ＋2y ＝t 2(t 为参数)，若l 与C 相交于A 、B 两点，则|AB |＝________. 6.在平面直角坐标系xOy 中，若直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2s ＋1y ＝s (s 为参数)和直线l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝at y ＝2t －1(t 为参数)平行，则常数a 的值为______．7.在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t y ＝1－t (t 为参数)截圆ρ2＋2ρcos θ－3＝0的弦长等于______． 8.在极坐标系中，直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝1＋cos 2α(α为参数)，求直线l 与曲线C 的交点P 的直角坐标．9.已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6.(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A ，B ，求点P 到A ，B 两点的距离之积．第十一单元坐标系与参数方程第62讲极坐标系及简单的极坐标方程1．C 由ρ2cos θ－ρ＝ρ(ρcos θ－1)＝0，得ρ＝x 2＋y 2＝0，或ρcos θ＝1，即x ＝1. 2．B 由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝x .3．D 曲线的直角坐标方程为x 2＋y 2－2ay ＝0，即x 2＋(y －a )2＝a 2.4．3 A ，B 的极坐标分别为(3，π3)，(4，π6)，则S △ABO ＝12·OA ·OB sin ∠AOB ＝12×3×4×sin π6＝3.5.1＋52 联立方程组得ρ(ρ－1)＝1⇒ρ＝1±52，又ρ≥0，故所求为1＋52.6．22 曲线C 方程可化为x 2＋y 2＝4y ，表示圆，圆心(0,2)，半径r ＝2，点(4，π6)的直角坐标为(23，2)，所以切线长为(23)2－22＝2 2. 7.22直线方程为x ＋y －1＝0，点A (2，－2)，所以d ＝|2－2－1|2＝22.8．解析：OA ＝2，OB ＝4，∠AOB ＝5π6－π6＝2π3，所以S △AOB ＝12×2×4×sin 2π3＝2 3.又∠AOB 为钝角，所以点D 在AO 的延长线上，且∠BOD ＝π3，|OD |＝12|OB |＝2，所以点D 的极坐标为(2，7π6)．9．解析：(1)x －3y －12＝0，x 227＋y 23＝1.(2)设P (33cos θ，3sin θ)，所以d ＝|33cos θ－3sin θ－12|2＝|6cos (θ＋π6)－12|2，所以当cos(θ＋π6)＝1时，d min ＝3.第63讲曲线的参数方程及应用1．D xy ＝1，x 可取一切非零实数，而A ，B ，C 中的x 都取不到一切非零实数． 2．C 将y ＝sin 2θ代入x ＝2＋sin 2θ即可，但是0≤sin 2θ≤1.3．D (1＋12t )2＋(－33＋32t )2＝16，得t 2－8t ＋12＝0，由韦达定理有t 1＋t 2＝8，t 1＋t 22＝4，故中点为⎩⎨⎧x ＝1＋12×4y ＝－33＋32×4⇒⎩⎨⎧x ＝3y ＝－3.4．B 令x ＝0，得t ＝25，此时y ＝1－2t ＝15，所以曲线与y 轴的交点为(0，15)；令y ＝0，得t ＝12，此时x ＝－2＋5t ＝12，曲线与x 轴的交点为(12，0)．5.2 化为普通方程联立得x 2－3x ＋2＝0，求得两交点坐标为(1,1)，(2,0)，所以|AB |＝ 2. 6．4 直线l 1：x ＝2y ＋1，直线l 2：ay ＝2x －a . 若直线l 1∥直线l 2，则k 1＝k 2⇒a ＝4.7．4 将直线的参数方程化成普通方程得x ＋y ＋1＝0，圆的方程为x 2＋y 2＋2x －3＝0，则圆心为(－1,0)，半径为2，因圆心在直线上，故弦长为4.8．解析：因为直线l 的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )，所以直线l 的普通方程为y ＝3x ，又因为曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝1＋cos 2α(α为参数)，所以曲线C 的直角坐标方程为y ＝12x 2(x ∈[－2,2])，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x y ＝12x 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0y ＝0或⎩⎨⎧x ＝23y ＝6，因为－2≤x ≤2，所以⎩⎨⎧x ＝23y ＝6应舍去，故P 点的直角坐标为(0,0)．9．解析：(1)直线l 的参数方程是⎩⎨⎧x ＝1＋32ty ＝1＋12t (t 是参数)．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)．以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4，整理得t 2＋(3＋1)t －2＝0，①因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.。

学海导航高三数学人教理B第一轮总复习同步训练：第单元坐标系与参数方程

第十四单元坐标系与参数方程第73讲极坐标系及简单的极坐标方程1.在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1，－3)．若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是( )A ．(1，－π3)B ．(2，4π3) C ．(2，－π3) D ．(2，－4π3) 2.在极坐标系中，圆ρ＝2sin θ的圆心的极坐标是( )A ．(1，π2)B ．(2，π2) C ．(1,0) D ．(1，π)3.经过点P (2，π4)，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( ) A ．ρsin θ＝ 2 B ．ρcos θ＝ 2C ．ρtan θ＝ 2D ．ρcos θ＝24.已知圆的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，在以原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为( )A ．ρ＝2cos θB ．ρ＝2sin θC ．ρ＝－2cos θD ．ρ＝－2sin θ5.极点到直线2ρ＝1sin (θ＋π4)(ρ∈R )的距离为 . 6.在极坐标系中，曲线ρcos 2θ＝2sin θ的焦点的极坐标为______________．7.设过原点O 的直线与圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的一个交点为P ，点M 为线段OP 的中点，则点M 轨迹的极坐标方程是________．8.极坐标系中，A 为曲线ρ2＋2ρcos θ－3＝0上的动点，B 为直线ρcos θ＋ρsin θ－7＝0上的动点，求|AB |的最小值．9.在极坐标系中，曲线L ：ρsin 2θ＝2cos θ，过点A (5，α)(α为锐角且tan α＝34)作平行于θ＝π4(ρ∈R )的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点． (1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(2)求|BC |的长．第74讲曲线的参数方程及其应用1.直线⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t y ＝1－t (t 为参数)的倾斜角的大小为( ) A ．－π4 B.π4C.π2D.3π42.圆⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2cos θy ＝2sin θ＋2(θ为参数)的圆心坐标是( ) A ．(0,2) B ．(2,0)C ．(0，－2)D ．(－2,0)3.参数方程⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3t 2＋2y ＝t 2－1(0≤t ≤5)表示的曲线是( ) A ．线段 B ．双曲线C ．圆弧D ．射线4.已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝－1＋4t y ＝3t (t 为参数)，则直线l 与曲线C 相交所截的弦长为( )A.45B.85C ．2D ．35.曲线⎩⎨⎧x ＝4cos θy ＝23sin θ(θ为参数)上一点P 到点A (－2,0)、B (2,0)的距离之和为 . 6.曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝sin θy ＝sin 2θ(θ为参数)与直线y ＝a 有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．7.以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴．已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点M 的极坐标为(4，π2)．若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C 以M 为圆心、4为半径．(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程；(2)试判定直线l 和圆C 的位置关系．8.极坐标系的极点为直角坐标系xOy 的原点，极轴为x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)．(1)求C 的直角坐标方程；(2)直线l ：⎩⎨⎧x ＝12t y ＝1＋32t (t 为参数)与曲线C 交于A 、B 两点，与y 轴交于E ，求|EA |＋|EB |.第十四单元坐标系与参数方程第73讲极坐标系及简单的极坐标方程1．C2．A 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，所以x 2＋y 2－2y ＝0，其圆心坐标为(0,1)，其极坐标为(1，π2)． 3．B 4．B x 2＋y 2－2y ＝0⇒x 2＋(y －1)2＝1，该方程表示圆心为(0,1)，半径为1的圆，如图，在圆上任取一点M (ρ，θ)，则|OM |＝2sin θ，所以ρ＝2sin θ，故选B.5.22 由2ρ＝1sin (θ＋π4)⇒ρsin θ＋ρcos θ＝1⇒x ＋y ＝1，故d ＝|0＋0－1|12＋12＝22. 6．(12，π2) ρcos 2θ＝2sin θ⇔(ρcos θ)2＝2ρsin θ⇔x 2＝2y ，其焦点的直角坐标为(0，12)，对应的极坐标为(12，π2)． 7．ρ＝cos θ 圆(x －1)2＋y 2＝1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，设点P 的极坐标为(ρ1，θ1)，点M 的极坐标为(ρ，θ)，因为点M 为线段OP 的中点，所以ρ1＝2ρ，θ1＝θ，将ρ1＝2ρ，θ1＝θ代入圆的极坐标方程，得ρ＝cos θ，所以点M 轨迹的极坐标方程为ρ＝cos θ.8．解析：圆方程为(x ＋1)2＋y 2＝4，圆心(－1,0)，直线方程为x ＋y －7＝0，圆心到直线的距离d ＝|－1－7|2＝42，所以|AB |min ＝42－2.9．解析：(1)由题意得，点A 的直角坐标为(4,3)，曲线L 的普通方程为y 2＝2x ，直线l 的普通方程为y ＝x －1.(2)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由{ y 2＝2x y ＝x －1联立得x 2－4x ＋1＝0，由韦达定理得x 1＋x 2＝4，x 1x 2＝1，由弦长公式得|BC |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2 6.第74讲曲线的参数方程及其应用1．D 将直线方程化为普通方程为y ＝－x ＋2，则k ＝－1＝tan θ，所以θ＝3π4，故选D. 2．A 消去参数θ，得圆的方程为x 2＋(y －2)2＝4，所以圆心坐标为(0,2)，故选A.3．A 由参数方程消去t 2有x －3y －5＝0，又0≤t ≤5，所以－1≤t 2－1≤24，即－1≤y ≤24，故曲线是线段x －3y －5＝0(－1≤y ≤24)．4．B 曲线C 的普通方程是x 2＋y 2＝1，直线l 的方程是3x －4y ＋3＝0，圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝35，所以弦长为21－925＝85，故选B. 5．8 曲线{ x ＝4cos θy ＝23sin θ表示椭圆，其标准方程为x 216＋y 212＝1.可知点A (－2,0)，B (2,0)为椭圆的焦点，故|P A |＋|PB |＝2a ＝8.6．(0,1] 曲线{ x ＝sin θy ＝sin 2θ(θ为参数)为抛物线段y ＝x 2(－1≤x ≤1)，借助图形直观易得0<a ≤1.7．解析：(1)直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋12t y ＝－5＋32t (t 为参数)；圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)因为点M (4，π2)对应的直角坐标为(0,4)，直线l 化为普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心到直线l 的距离d ＝|0－4－5－3|3＋1＝9＋32>4，所以直线l 与圆C 相离． 8．解析：(1)在ρ＝2(cos θ＋sin θ)中，两边同乘以ρ，得ρ2＝2(ρcos θ＋ρsin θ)，则C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝2x ＋2y ，即(x －1)2＋(y －1)2＝2.(2)将l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得t 2－t －1＝0，点E 对应的参数t ＝0，设点A 、B 对应的参数分别为t 1、t 2，则t 1＋t 2＝1，t 1t 2＝－1，所以|EA |＋|EB |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝ 5.。

【学海导航】高考数学第一轮总复习5

题型4 向量平移与解析几何交汇 2. 已知曲线x2+2y2+4x+4y+4=0，按向量a=(2， 1)平移后得到曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点D(0，2)的直线与曲线C相交于不同的两点M、N，且M在D、N之间，设 DMMN,求实数λ的取值范围.
解：(1)原曲线即为(x+2)2+2(y+1)2=2，则平移后的曲线C的方程为x2+2y2=2,即 x 2 y 2 1 .
2
2
得 k hxk 3 h(kZ).
4
4
即平移后的函数的递减区间是
k令所以44 ah=h(x2 k，，则03)h4.= 4 h(，kZ).
4
平移后的函数解析式是y=sin2(x-
4
)=-cos2x.
点石成金
1. 公式中的平移可以分解为两步完成：
①沿x轴方向的平移:当h为正时,向右平移h 个单位长度;当h为负时,向左平移|h|个单位长度.
即y′=x′2+(4-2h)x′+h2-4h+5+k.
因为(x′，y′)适合y=x2，所以y′=x′2，
所以
4- 2h 0, h2 - 4h 5
k
0.
所以
h k
2 , 所以a=(2,-1).
-1 .
1、纪律是集体的面貌，集体的声音，集体的动作，集体的表情，集体的信念。 2、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 4、在教师手里操着幼年人的命运，便操着民族和人类的命运。一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。 5、诚实比一切智谋更好，而且它是智谋的基本条件。 6、做老师的只要有一次向学生撒谎撒漏了底，就可能使他的全部教育成果从此为之失败。2021年12月 2021/12/132021/12/132021/12/1312/13/2021 7、凡为教者必期于达到不须教。对人以诚信，人不欺我;对事以诚信，事无不成。2021/12/132021/12/13December 13, 2021 8、教育者，非为已往，非为现在，而专为将来。2021/12/132021/12/132021/12/132021/12/13

【学海导航】高三数学第一轮总复习 1

所以 pr,qr,r s,sq ，从而 r
q，pq,p s,rs,所以①②④正确.
故选B.
题型1 充分条件、必要条件、充要条件的判定
1. 判断下列各组条件中，p是q的什么条件:
(1)p:|x|=x;q:x2+x≥0; (2)p:x1+x2=-5;q:x1,x2是方程x2+5x-6=0的两根; (3)p:x＞0且y＜0；q:x＞y且 1 1 ;
下列命题:
①r是q的充要条件;
②p是q的充分而不必要条件;
③r是q的必要而不充分条件;
④ p是 s的必要而不充分条件;
⑤r是s的充分而不必要条件.
则正确的命题序号是( )
A. ①④⑤
B. ①②④
C. ②③⑤
D. ②④⑤
解：因为p是r的充分而不必要条件,q是r的充分条件,s是r的必要条件,q 是s的必要条件，
既非充分也非必要条件.
三、充分条件与必要条件的关系
若p是q的充分条件，则q是p的⑨_必__要__ 条件；若p是q的必要条件，则q是p的⑩ _充__分__条件.
盘点指南：①pq;②qp;③p q且q
p;④p / q且q / p;⑤AB;⑥A B;⑦A B 且B A;⑧A B，且B A;⑨必要；⑩充
分
4. 确定条件为不充分或不必要条件时，常用构造反例的方法来说明.
5. 若判断或证明命题“pq”较为困
难，可转化为研究其逆否命题“q p”，
往往能使问题得以简化.
所故以所故因所求为以aaa≤ 的pxp是≤实是a1 q12+数的1q.a1的充的, 必分解取要而得值而不0范≤不必围a≤充要是分条［.12 条件0，件，12，］.
参考题
题型充要条件的证明设x，y∈R，求证：|x+y|=|x|+|y|的充要条件是xy≥0. 证明：充分性即证：xy≥0 |x+y|=|x|+|y|，必要性即证：|x+y|=|x|+|y| xy≥0. (1)充分性：若xy=0，则有x=0或y=0，或x=0且y=0. 此时显然|x+y|=|x|+|y|.

学海导航高三数学人教理B第一轮总复习同步训练：第单元函数

第二单元函数第4讲函数的解析式及定义域与值域1.下列图形中不能作为函数图象的是( )2.若函数y ＝f (x )的定义域是[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域是( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[2，4]D ．[1,4]3.若f (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则g (x )的表达式为( ) A ．g (x )＝2x ＋1 B ．g (x )＝2x －1 C ．g (x )＝2x －3 D ．g (x )＝2x ＋74.函数y ＝x －1＋1lg (3－x )的定义域是____________．5.若函数f (2x ＋1)＝x 2－2x ，则f (3)＝______.6.已知f (sin α)＝cos 2α，则f (x )＝__________.7.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx (x ≤1)f (x －2)＋3 (x >1)，则f (73)的值为 .8.已知函数φ(x )＝f (x )＋g (x )，其中f (x )是x 的正比例函数，g (x )是x 的反比例函数，且φ(13)＝16，φ(1)＝8. (1)求φ(x )的解析式，并指出定义域；(2)求φ(x )的值域．9.设f (x )＝xax ＋b(a ，b 为常数，且a ≠0)满足f (2)＝1，f (x )＝x 有唯一解．(1)求函数y ＝f (x )的解析式； (2)f [f (－3)]的值．第5讲函数的性质(一)——单调性1.(2013·吉林市期末质检)下列函数中，在区间(0,1)上为增函数的是( )A ．y ＝log 12xB ．y ＝1xC ．y ＝sin xD ．y ＝x 2－x2.(2013·安徽宿州模拟)若函数y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，则y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．先减后增3.已知f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，且满足f (3x －2)<f (1)，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(23，1)C ．(23，＋∞) D ．(1，＋∞)4.若函数f (x )＝|x －a |在区间[1，＋∞)上为增函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．a <1 B ．a >1 C ．a ≤1 D ．a ≥15.函数y ＝(12)2x 2－3x ＋1的递减区间为________________．6.(1)函数y ＝x 2＋bx ＋c 在[0，＋∞)上递增，则b 的取值范围是________； (2)函数y ＝x 2＋bx ＋c 的单调增区间是[0，＋∞)，则b 的值为______．7.若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x (x >1)(4－a2)x ＋2 (x ≤1)是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围为________．8.已知函数f (x )是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的实数a ∈R 有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1)试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2)解关于x 的不等式f (2－xx)＜2.9.判断函数f (x )＝axx ＋1(a ≠0)在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．第6讲函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性1.若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )与g (x )均为奇函数C ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数D ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数2.函数f (x )＝log 21＋x1－x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称3.函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (m )＝2，则f (－m )的值为( ) A ．3 B ．0 C ．－1 D ．－24.f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意x ∈R 总有f (x ＋32)＝－f (x )，则f (－92)的值为( )A ．0B ．3 C.32 D ．－925.设a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3，若f (x ＋a )为偶函数，则a 等于______．6.(2013·长沙月考)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，若函数y ＝f (x ＋1)为偶函数，且当x ≥1时，有f (x )＝1－2x ，则f (32)、f (23)、f (13)的大小关系是__________________________．7.已知f (x )是定义在(－3,3)上的奇函数，当0<x <3时，f (x )的图象如图所示，那么不等式xf (x )<0的解集为____________． 8.已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.9.已知函数f (x )＝x 2＋ax(x ≠0，常数a ∈R )．(1)讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2)若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)时为增函数，求a 的取值范围．第7讲二次函数与一元二次方程1.已知二次函数y＝x2－2ax＋1在区间(2,3)内是单调函数，则实数a的取值范围是()A．a≤2或a≥3 B．2≤a≤3C．a≤－3或a≥－2 D．－3≤a≤－22.二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点为(－1，－3)，则b与c的值是()A．b＝2，c＝4 B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4 D．b＝－2，c＝－43.已知函数f(x)＝x|x－4|－5，则当方程f(x)＝a有三个不同实根时，实数a的取值范围是()A．－5＜a＜－1 B．－5≤a≤－1C．a＜－5 D．a＞－14.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a<0)过A(－3,0)，B(1,0)，C(－4，y1)，D(4，y2)四点，则y1与y2的大小关系是()A．y1＞y2B．y1＝y2C．y1＜y2D．不能确定5.若函数y＝x2＋(a＋2)x＋3，x∈[a，b]的图象关于直线x＝1对称，则b＝______.6.设二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a的值为________．7.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，a>b>c，则ca的取值范围是__________．8.如图是一个二次函数y＝f(x)的图象．(1)写出这个二次函数的零点；(2)写出这个二次函数的解析式及x∈[－2,1]时函数的值域．9.(2013·山东省济南质检)二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f(x)的解析式；(2)在区间[－1,1]上，y＝f(x)的图象恒在直线y＝2x＋m上方，试确定实数m的取值范围．第8讲幂函数、指数与指数函数1.(2013·广东省韶关市高三模拟)设a ＝22.5，b ＝2.50，c ＝(12)2.5，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >c >bB ．c >a >bC ．a >b >cD ．b >a >c2.若f (x )是幂函数，且满足f (4)f (2)＝3，则f (12)＝( )A ．3B ．－3 C.13 D ．－133.若定义运算f (a *b )＝⎩⎪⎨⎪⎧b (a ≥b )a (a <b )，则函数f (3x *3－x )的值域是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)4.(2013·湖南省益阳第二次模拟)函数y ＝xa x|x |(0<a <1)的图象的大致形状是( )5.已知幂函数f (x )＝x α的图象经过点(2，2)，则函数y ＝α3x －2－4的定义域为________．6.函数y ＝1－ax 2－x －2(0<a <1)的定义域为 .7.(2013·广州一模)已知幂函数y ＝(m 2－5m ＋7)xm 2－6在区间(0，＋∞)上单调递增，则实数m 的值为______．8.已知幂函数y ＝(k 2－2k －2)·xm 2－2m －3(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数．(1)求m 和k 的值；(2)求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a )－13的a 的取值范围．9.已知函数f (x )＝b ·a x (其中a ，b 为常量，且a >0，a ≠1)的图象经过点A (1,6)，B (3,24)． (1)求f (x )的表达式；(2)若不等式(1a )x ＋(1b)x －m ≥0在x ∈(－∞，1]时恒成立，求实数m 的取值范围．第9讲对数与对数函数1.(log 227)·(log 38)＝( ) A.13B ．3C ．6D ．92.函数y ＝log 33－x3＋x的图象( )A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝－x 对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线y ＝x 对称 3.函数y ＝1－lg (x ＋2)的定义域为( ) A ．(0,8] B ．(－2,8] C ．(2,8] D ．[8，＋∞)4.若x ∈(1e，1)，a ＝ln x ，b ＝2ln x ，c ＝ln 3x ，则( )A ．a 0)log 2(－x ) (x <0)，若f (m )<f (－m )，则实数m 的取值范围是__________________．8.已知函数f (x )＝log 12(x 2－2ax ＋3)．(1)若函数f (x )的定义域为(－∞，1)∪(3，＋∞)，求实数a 的值； (2)若函数f (x )的定义域为R ，值域为(－∞，－1]，求实数a 的值； (3)若函数f (x )在(－∞，1]上为增函数，求实数a 的取值范围．9.(2013·山东省聊城)已知函数f (x )＝log 2(1－x )，g (x )＝log 2(1＋x )，令F (x )＝f (x )－g (x )． (1)求F (x )的定义域；(2)判断函数F (x )的奇偶性，并予以证明；(3)若a ，b ∈(－1,1)，猜想F (a )＋F (b )与F (a ＋b1＋ab)之间的关系并证明．第10讲函数的值域与最值1.若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0,1]，则a 的值等于( ) A.13 B. 2 C.22D ．2 2.函数f (x )＝xx 2＋x ＋1(x >0)的值域为( )A ．(0，＋∞)B ．(0，13)C ．(0，13]D ．[13，＋∞)3.函数y ＝4－2x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,2] C ．[0,2) D ．(0,2)4.已知函数f (x )＝(2a －1)x ＋log (2a －1)(x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为2a －1，则a 的值为( )A ．1 B.34C.12D.145.函数y ＝x ＋x －1的最小值为 .6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12 (1≤x ≤9)x 2＋x (－2≤x <1)，则函数f (x )的值域为 .7.若实数x 、y 满足x 2＋4y 2＝4x ，则S ＝x 2＋y 2的取值范围是__________．8.若函数f (x )＝12(x －1)2＋a 的定义域和值域都是[1，b ](b ＞1)，求a 、b 的值．9.已知函数y ＝mx 2－6mx ＋m ＋8的定义域为R .当m 变化时，若y 的最小值为f (m )，求函数f (m )的值域．第11讲函数的图象1.函数y ＝x 12－1的图象关于x 轴对称的图象大致是( )2.(2013·海淀二模)为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 的图象上所有点的( )A ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度3.当0＜x ≤13时，8x ＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，33)B ．(33，1)C ．(1，3)D ．(3，2)4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≤1)log 12x (x >1)，则函数y ＝f (1－x )的大致图象是( )5.将函数y ＝3x ＋a的图象C 向左平移一个单位后，得到y ＝f (x )的图象C 1，若曲线C 1关于原点对称，那么a 的值为________．6.如图是定义在[－4,6]上的函数f (x )的图象，若f (－2)＝1，则不等式f (－x 2＋1)<1的解集是________________________________________________________________________．7.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x (x ≥0)－2x (x <0)，则关于x 的方程f [f (x )]＋k ＝0给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有1个实根；②存在实数k ，使得方程恰有2个不相等的实根； ③存在实数k ，使得方程恰有3个不相等的实根； ④存在实数k ，使得方程恰有4个不相等的实根．其中正确命题的序号是________(把所有满足要求的命题序号都填上)．8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2 (x ∈[－1，2])x －3 (x ∈(2，5]).(1)画出f (x )的图象；(2)写出f (x )的单调递增区间．9.已知函数f (x )＝|x －3|＋|x ＋1|. (1)作出y ＝f (x )的图象； (2)解不等式f (x )≤6.第12讲函数与方程1.如图所示，函数图象与x 轴均有公共点，但不能用二分法求公共点横坐标的是( )2.函数f (x )＝3x－log 2(－x )的零点所在区间是( )A ．(－52，－2) B ．(－2，－1)C ．(1,2)D ．(2,5)3.函数f (x )＝(x 2－1)cos 2x 在区间[0,2π]上的零点个数为( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．34.a 是f (x )＝2x －log 12x 的零点，若0<x 0<a ，则f (x 0)的值满足( )A ．f (x 0)＝0B ．f (x 0)<0C ．f (x 0)>0D ．f (x 0)的符号不确定5.某同学在求方程lg x ＝2－x 的近似解(精确到0.1)时，设f (x )＝lg x ＋x －2，发现f (1)<0，f (2)>0，他用“二分法”又取了4个值，通过计算得到方程的近似解为x ≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为________．6.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(12)x －2 (x <0)x －1 (x ≥0)所有零点的和等于 .7.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 (x ≤0)log 2x (x >0)，则函数y ＝f [f (x )]＋1的所有零点所构成的集合为______________．8.已知函数f (x )＝2(m －1)x 2－4mx ＋2m －1.(1)m 为何值时，函数图象与x 轴只有一个公共点． (2)如果函数的一个零点在原点，求m 的值．9.证明：方程x2－x－3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．第13讲函数模型及其应用1.某物体一天中的温度T (单位：℃)是时间t (单位：h)的函数：T (t )＝t 3－3t ＋60(℃)，t ＝0表示中午12：00，其后t 取值为正，则该物体下午3点时的温度为( )A. 8 ℃B. 78 ℃C. 112 ℃D. 18 ℃2.某旅店有客床100张，各床每天收费10元时可全部额满．若每床每天收费每提高2元，则减少10张客床租出，这样，为了减少投入多获利，每床每天收费应提高( )A ．2元B ．4元C ．6元D ．8元3.已知某生产厂家的年利润y (单位：万元)与年产量x (单位：万件)的函数关系式为y ＝－13x 3＋81x －234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( )A ．13万件B ．11万件C ．9万件D ．7万件4.某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入客运，据市场分析，每辆客车营运的总利润y 万元与营运年数x (x ∈N *)的关系式为y ＝－x 2＋12x －25，则为使其营运年平均利润最大，每辆客车营运年数为( )A ．2B ．4C ．5D ．65.1海里约合1852 m ，根据这一关系，米数y 关于海里x 的函数解析式为 .6.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________吨．7.某种细胞在培养过程中正常情况下，时刻t (单位：分钟)与细胞数n (单位：个)的部分数据如下：________分钟．8.商场销售某一品牌的羊毛衫，购买人数n 是羊毛衫标价x 的一次函数，标价越高，购买人数越少．已知标价为每件300元时，购买人数为零．标价为每件225元时，购买人数为75人．若这种羊毛衫的成本价是100元/件，商场以高于成本价的相同价格(标价)出售，问：(1)商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件多少元？(2)通常情况下，获取最大利润只是一种“理想结果”，如果商场要获得最大利润的75%，那么羊毛衫的标价为每件多少元？9.经市场调查，某城市的一种小商品在过去的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间t(天)的函数，且销售量近似满足g(t)＝80－2t(件)，价格近似满足f(t)＝20－12|t－10|(元)．(1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20)的函数表达式；(2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值．第二单元函数第4讲函数的解析式及定义域与值域1．D 根据函数定义，定义域内任何一个x 取值，都有且只有唯一的y ＝f (x )与之对应，故选D.2．B 由－1≤log 2x ≤1，得log 212≤log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上递增，得12≤x ≤2，故选B.3．B 由g (x ＋2)＝f (x )，得g (x )＝f (x －2)＝2(x －2)＋3＝2x －1.4．[1,2)∪(2,3) 由⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥03－x >0lg (3－x )≠0，得1≤x <2或2<x <3.5．－1 令x ＝1，即得f (3)＝－1.6．1－2x 2(|x |≤1) 因为f (sin α)＝cos 2α＝1－2sin 2α，且|sin α|≤1，所以f (x )＝1－2x 2(|x |≤1)． 7.72 f (73)＝f (73－2)＋3＝f (13)＋3＝cos π3＋3＝72. 8．解析：(1)设f (x )＝ax ，g (x )＝bx，a 、b 为比例常数，则φ(x )＝f (x )＋g (x )＝ax ＋bx，由⎩⎪⎨⎪⎧ φ(13)＝16φ(1)＝8，得⎩⎪⎨⎪⎧13a ＋3b ＝16a ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3b ＝5.所以φ(x )＝3x ＋5x ，其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(2)由|φ(x )|＝|3x ＋5x |＝|3x |＋|5x |≥23|x |·|5x|＝215，得φ(x )≥215或φ(x )≤－215.所以φ(x )的值域为(－∞，－215]∪[215，＋∞)．9．解析：(1)因为f (2)＝1，所以22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2.①又因为f (x )＝x 有唯一解，即xax ＋b＝x 有唯一解，所以x ·ax ＋b －1ax ＋b＝0有唯一解，而x 1＝0，x 2＝1－b a ，所以1－ba ＝0，②由①②知a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝x 12x ＋1＝2xx ＋2.(2)f [f (－3)]＝f [2×(－3)－3＋2]＝f (6)＝2×66＋2＝32.第5讲函数的性质(一)——单调性 1．C2．B 因为y ＝ax 与y ＝－bx在(0，＋∞)上都是减函数，所以a <0且－b >0，即a <0，b <0，则函数y ＝ax 2＋bx 对称轴方程为x ＝－b2a<0，且图象开口向下，故函数y ＝ax 2＋bx 的减区间为[－b2a，＋∞)，所以y ＝ax 2＋bx 在(0，＋∞)上是减函数，故选B.3．B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3x －2>03x －2<1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >23x <1，所以x ∈(23，1)，故选B.4．C 因为f (x )＝|x |在区间[0，＋∞)上为增函数，而f (x )＝|x －a |的图象是由f (x )＝|x |的图象向左(右)平移|a |个单位得到的，所以f (x )＝|x －a |在区间[a ，＋∞)上为增函数，由题意可知a ≤1，故选C.5．[34，＋∞) 因为t ＝2x 2－3x ＋1＝2(x －34)2－18，所以t ＝2x 2－3x ＋1在[34，＋∞)上是增函数，(－∞，34]上是减函数，又y ＝(12)t 在R 上是减函数，所以y ＝(12)2x 2－3x ＋1在[34，＋∞)上是减函数．6．(1)b ≥0 (2)07．[4,8) 因为f (x )是R 上的增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >14－a 2>04－a 2＋2≤a，解得4≤a <8.8．解析：(1)由f (－a )＋f (a )＝0可得f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，由f (－3)＝2，得f (0)<f (－3)，又f (x )在R 上是单调函数，所以f (x )为R 上的减函数． (2)因为f (－3)＝2，所以f (2－x x )＜2等价于f (2－x x)＜f (－3)，又由(1)可得2－x x ＞－3，即x ＋1x＞0，解得x <－1或x >0，所以，不等式的解集为{x |x <－1或x >0}．9．解析：当a >0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a <0时，函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上单调递减．证明：设－1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 1＋1－ax 2x 2＋1＝ax 1(x 2＋1)－ax 2(x 1＋1)(x 1＋1)(x 2＋1)＝a (x 1－x 2)(x 1＋1)(x 2＋1). 因为－1<x 1<x 2，所以x 1－x 2<0，x 1＋1>0，x 2＋1>0，所以当a >0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是增函数，又当a <0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，所以函数y ＝f (x )在(－1，＋∞)上是减函数．或用导数法：因为f ′(x )＝a(x ＋1)2(x >－1)，当a >0时，f ′(x )>0，f (x )在(－1，＋∞)上递增；当a <0时，f ′(x )<0，f (x )在(－1，＋∞)上递减．第6讲函数的性质(二)——奇偶性、周期性、对称性1．C f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )，故选C.2．A 因为f (－x )＝log 21－x 1＋x ＝log 2(1＋x 1－x )－1＝－log 21＋x1－x＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，故函数f (x )的图象关于原点对称．3．B 因为f (m )＝m 3＋sin m ＋1＝2，所以m 3＋sin m ＝1，所以f (－m )＝－m 3－sin m ＋1＝－1＋1＝0，故选B.4．A 由f (x )＝－f (x ＋32)，知函数f (x )的周期为3，则f (－92)＝f (－92＋2×3)＝f (32)，又函数f (x )是奇函数，则f (－92)＝－f (92)＝－f (92－3)＝－f (32)，故f (32)＝－f (32)，所以f (－92)＝0，故选A.5．2 因为f (x )＝(x －2)2－1，对称轴方程为x ＝2，又f (x ＋a )为偶函数，其图象关于y 轴对称，所以需将f (x )图象向左平移2个单位长度，故a ＝2.6．f (23)>f (32)>f (13)解析：由已知得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，所以y ＝f (x )的对称轴方程是x ＝1，则f (32)＝f (12)．当x ≥1时，f (x )＝1－2x 是递减的，所以当x <1时，f (x )递增，故f (23)>f (12)>f (13)，即f (23)>f (32)>f (13)．7．(－1,0)∪(0,1) 因为f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以当x ∈(－3，－1)∪(0,1)时，f (x )<0；当x ∈(－1,0)∪(1,3)时，f (x )>0，故xf (x )<0的解集为(－1,0)∪(0,1)．8．解析：(1)因为f (x )是奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b 2＋a ＝0，解得b ＝1，则f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a. 又由f (1)＝－f (－1)，知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1.易知f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－1)＝f (－2t 2＋1)．因为f (x )是减函数，所以t 2－2t >－2t 2＋1，即3t 2－2t －1>0，解不等式可得t >1或t <－13.故不等式的解集为{t |t >1或t <－13}．9．解析：(1)当a ＝0时，f (x )＝x 2.对任意x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f (－x )＝(－x )2＝x 2＝f (x )，所以f (x )为偶函数．当a ≠0时，f (x )＝x 2＋ax(a ≠0，x ≠0)．取x ＝±1，得f (－1)＋f (1)＝2≠0， f (－1)－f (1)＝－2a ≠0.所以f (－1)≠－f (1)，f (－1)≠f (1)，所以函数f (x )既不是奇函数，也不是偶函数．(2)函数f (x )在x ∈[2，＋∞)时为增函数，等价于f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．故a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立，所以a ≤(2x 3)min ＝16. 所以a 的取值范围是(－∞，16]．第7讲二次函数与一元二次方程 1．A 由已知可得二次函数图象的对称轴方程为x ＝a ，又函数在(2,3)内单调，所以a ≤2或a ≥3，故选A.2．D 由已知⎩⎪⎨⎪⎧－b－2＝－14×(－1)·c －b24×(－1)＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－2c ＝－4，故选D. 3．A 因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x －5 (x ≥4)－x 2＋4x －5 (x <4)，在同一坐标系中作出函数f (x )与y ＝a 的图象，它们的交点个数就是方程f (x )＝a 的根的个数，因此由图易知当f (x )＝a 有三个不同实根时，实数a 的取值范围是－5＜a ＜－1.4．A 因为抛物线过A (－3,0)，B (1,0)两点，所以抛物线的对称轴为x ＝－3＋12＝－1，因为a ＜0，抛物线开口向下，离对称轴较远，函数值越小，比较可知D 点离对称轴越较C 点远，对应的纵坐标值较小，即y 1＞y 2，故选A.5．6 由已知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝1a ＋b ＝2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝6，故b 的值是6.6．－3或38因为f (x )的图象的对称轴为x ＝－1.若a <0，则f (x )max ＝f (－1)＝－a ＋1＝4，所以a ＝－3；若a >0，则f (x )max ＝f (2)＝8a ＋1＝4，所以a ＝38.综上得a ＝－3或38.7．(－2，－12) 由f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，a >b >c 知a ＞0，c ＜0，b ＝－a －c ，于是有⎩⎪⎨⎪⎧a >0a >－a －c －a －c >c，所以c a >－2，且c a <－12，即－2<c a <－12，故c a 的取值范围是(－2，－12)．8．解析：(1)由图可知这个二次函数的零点为x 1＝－3，x 2＝1. (2)可设两点式f (x )＝a (x ＋3)(x －1)，又f (x )的图象过点(－1,4)点，代入得a ＝－1，所以f (x )＝－x 2－2x ＋3.当x ∈[－2,1]时，f (x )在[－2，－1]上递增，在[－1,1]上递减，所以最大值为f (－1)＝4，又f (－2)＝3，f (1)＝0，所以f (x )的最小值为0，所以x ∈[－2,1]时函数的值域为[0,4]．9．解析：(1)由f (0)＝1，可设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，故f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2ax ＋a ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，故f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由题意得，x 2－x ＋1>2x ＋m 在x ∈[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1>m 对x ∈[－1,1]恒成立，设g (x )＝x 2－3x ＋1，则问题可转化为g (x )min ＞m ，又g (x )在[－1,1]上递减，故g (x )min ＝g (1)＝－1，故m <－1. 第8讲幂函数、指数与指数函数1．C 因为a ＝22.5>22＝4，b ＝2.50＝1，c ＝(12)2.5<(12)2<14，故选C.2．C 设幂函数为y ＝x α，则由f (4)f (2)＝3，得4α2α＝3，即2α＝3，所以α＝log 23，所以f (12)＝(12)log 23＝2－log 23＝2log 213＝13，故选C. 3．A 当x ＞0时，f (3x *3－x )＝3－x ∈(0,1)；当x ＝0时，f (30]a x (x >0) －a x (x <0)，根据0<a <1可知D 选项正确．5．(－∞，0] 由2＝2α，得α＝12，所以y ＝(12)3x －2－4.于是由(12)3x －2－4≥0，得x ≤0，即函数的定义域为(－∞，0]． 6．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：由1－ax 2－x －2≥0，得ax 2－x －2≤1＝a 0，又0<a <1，所以x 2－x －2≥0，即(x －2)(x ＋1)≥0，所以x ≤－1或x ≥2.故函数的定义域为(－∞，－1]∪[2，＋∞)．7．3 由m 2－5m ＋7＝1，即m 2－5m ＋6＝0，得m ＝2或m ＝3.当m ＝2时，y ＝x －2，函数在区间(0，＋∞)上单调递减，不满足条件；当m ＝3时，y ＝x 3，函数在区间(0，＋∞)上单调递增，满足条件． 8．解析：(1)因为函数y ＝(k 2－2k －2)xm 2－2m －3为幂函数，所以k 2－2k －2＝1，即(k －3)(k ＋1)＝0，所以k ＝3或k ＝－1，又函数在(0，＋∞)上递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－2m －3<0m ∈N ＋，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <3m ∈N ＋，所以m ＝1或2.而函数图象关于y 轴对称，即函数为偶函数，所以m ＝1，此时y ＝x －4. 综上，得k ＝－1或3，m ＝1.(2)由(1)，(a ＋1)－13<(3－2a )－13，即13a ＋1<133－2a，所以1a ＋1<13－2a ，3a －2(a ＋1)(2a －3)<0，所以a <－1或23<a <32.故满足条件的a 的取值范围是(－∞，－1)∪(23，32)．9．解析：(1)因为f (x )的图象过A (1,6)，B (3,24)，则⎩⎪⎨⎪⎧b ·a ＝6b ·a 3＝24，所以a 2＝4，又a >0，所以a ＝2，则b ＝3.所以f (x )＝3·2x . (2)由(1)知a ＝2，b ＝3，则x ∈(－∞，1]时， (12)x ＋(13)x －m ≥0恒成立，即m ≤(12)x ＋(13)x 在x ∈(－∞，1]时恒成立．又因为y ＝(12)x 与y ＝(13)x 均为减函数，所以y ＝(12)x ＋(13)x 也是减函数，所以当x ＝1时，y ＝(12)x ＋(13)x 有最小值56；所以m ≤56，即m 的取值范围是(－∞，56]．第9讲对数与对数函数1．D log 227×log 38＝lg 27lg 2×lg 8lg 3＝3lg 3lg 2×3lg 2lg 3＝9，故选D.2．A 由于定义域为(－3,3)关于原点对称，又f (－x )＝－f (x )，故函数为奇函数，图象关于原点对称，故选A.3．B 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>01－lg (x ＋2)≥0，得⎩⎪⎨⎪⎧x >－2x ≤8，所以－2<x ≤8，故选B.4．C 因为x ∈(1e，1)，所以－1<ln x <0，所以ln x >2ln x ，即b <a .又a －c ＝ln x －ln 3x ＝ln x (1－ln 2x )<0，所以a <c ，故b <a <c ，故选C.5．(－∞，－3] 因为t ＝x 2－6x ＋17＝(x －3)2＋8≥8，所以y ＝log 12t ≤log 128＝－3，所以函数的值域为(－∞，－3]．6．(－∞，0] f (x )＝lg(x 2－ax －1)在区间(1，＋∞)上单调递增⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2≤11－a ·1－1≥0⇒a ≤0.7．(－1,0)∪(1，＋∞) 当m >0时，log 12m <log 2m ，解得m >1；当m <0时，log 2(－m )<log12(－m )，解得－1<m <0.所以实数m 的取值范围是(－1,0)∪(1，＋∞)．8．解析：(1)由x 2－2ax ＋3>0的解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)，得2a ＝1＋3，所以a ＝2，即实数a 的值为2.(2)函数f (x )的值域为(－∞，－1]，则f (x )max ＝－1，所以y ＝x 2－2ax ＋3的最小值为y min ＝2，由y ＝x 2－2ax ＋3＝(x －a )2＋3－a 2，得3－a 2＝2，所以a 2＝1，所以a ＝±1.(3)f (x )在(－∞，1]上为增函数，则y ＝x 2－2ax ＋3在(－∞，1]上为减函数，且y >0，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥11－2a ＋3>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1a <2⇒1≤a <2.所以实数a 的取值范围是[1,2)．9．解析：(1)由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧1－x >01＋x >0，解得－1<x <1，所以F (x )的定义域为{x |－1<x <1}． (2)定义域关于原点对称，且F (－x )＝log 2(1＋x )－log 2(1－x )＝－F (x )，所以F (x )为奇函数．(3)当x ∈(－1,1)时，F (x )＝log 21－x1＋x.F (a )＋F (b )＝log 21－a 1＋a ＋log 21－b1＋b＝log 2(1－a )(1－b )(1＋a )(1＋b )＝log 21－(a ＋b )＋ab 1＋(a ＋b )＋ab，又F (a ＋b 1＋ab )＝log 21－a ＋b 1＋ab 1＋a ＋b 1＋ab ＝log 21－(a ＋b )＋ab1＋(a ＋b )＋ab，所以F (a )＋F (b )＝F (a ＋b1＋ab)．第10讲函数的值域与最值1．D 因为0≤x ≤1，所以1≤x ＋1≤2，又f (x )是单调函数，f (0)＝log a 1＝0，所以f (1)＝log a 2＝1，所以a ＝2.2．C 因为f (x )＝1x ＋1x ＋1>0，而当x >0时，x ＋1x ≥2，x ＋1x ＋1≥3，所以0<1x ＋1x＋1≤13，故函数的值域为(0，13]，选C.3．C 因为2x ＞0，所以4－2x ＜4，所以0≤4－2x <2，即值域为[0,2)．4．B 无论2a －1＞1还是0＜2a －1＜1，函数最大值与最小值均在0或1取得，故(2a－1)0＋log (2a －1)1＋(2a －1)1＋log (2a －1)2＝2a －1，即log (2a －1)2＝－1，所以2a －1＝12，即a ＝34.5．1 函数的定义域为[1，＋∞)，而它在定义域上递增，所以y 的最小值是1.6．[－14，3] 当1≤x ≤9时，函数f (x )＝x 12是增函数，所以1≤f (x )≤3；当－2≤x ＜1时，f (x )＝x 2＋x ＝(x ＋12)2－14，所以f (－12)≤f (x )≤f (－2)，即－14≤f (x )≤2，所以函数f (x )的值域为[－14，3]．7．[0,16] S ＝x 2＋y 2＝x 2＋－x 2＋4x4＝34x 2＋x ＝34(x ＋23)2－13. 又因为4y 2＝4x －x 2≥0，所以0≤x ≤4，所以0≤S ≤16. 8．解析：因为函数f (x )在[1，b ]上单调递增，所以y min ＝a ，y max ＝12(b －1)2＋a ，即函数的值域为[a ，12(b －1)2＋a ]．又已知函数的值域为[1，b ]，故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝112(b －1)2＋a ＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3. 所以，所求a 的值为1，b 的值为3.9．解析：由题意知mx 2－6mx ＋m ＋8≥0对x ∈R 恒成立，所以m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧m >0Δ≤0，所以m ∈[0,1]．(1)当m ＝0时，y ＝22，所以f (m )＝2 2.①(2)当0<m ≤1时，y ＝m (x －3)2＋8－8m . 所以y min ＝8－8m ，即f (m )＝8－8m . 所以0≤f (m )<2 2.②由①②可知，0≤f (m )≤2 2. 所以f (m )的值域为[0,22]．第11讲函数的图象1．B 将幂函数y ＝x 12的图象向下平移1个单位，再作关于x 的对称图象可得到选项B中的图象，故选B.2．A 因为函数y ＝12log 2(x －1)，因此由函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短到原来的12，横坐标不变得到y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位长度得到y ＝12log 2(x －1)的图象，故选A.3．B 在同一坐标系中作出函数y ＝8x 与y ＝log a x 的图象．当a >1时，显然不成立．若0<a <1时，要使0＜x ≤13时，8x ＜log a x ，则必有813<log a 13，则有33<a <1，故选B.4．C y ＝f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x(1－x ≤1)log 12(1－x ) (1－x >1)，即y ＝f (1－x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x(x ≥0)log 12(1－x ) (x <0)，故选C.5．－1 因为图象C 的对称中心为(－a,0)，而C 1的对称中心为(0,0)，所以－a ＝1，即a ＝－1.6．(－3，3)解析：由图象知函数f (x )在[－4,1]上为减函数，而－x 2＋1≤1，则不等式f (－x 2＋1)<1等价于f (－x 2＋1)<f (－2)，所以－x 2＋1>－2，解得－3<x < 3.7．①② 由f (x )的图象知f (x )>0，则f [f (x )]＝⎩⎪⎨⎪⎧ee x (x ≥0)e －2x (x <0).根据f [f (x )]的图象(如图)可知，①②正确． 8．解析：(1)函数f (x )的图象如图所示．(2)由图象可知，函数f (x )的单调递增区间为[－1,0]，[2,5]． 9．解析：(1)f (x )＝|x －3|＋|x ＋1| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋2 (x ≤－1)4 (－1<x ≤3)2x －2 (x >3).图象如图所示． (2)由f (x )≤6，得当x ≤－1时，－2x ＋2≤6，x ≥－2，所以－2≤x ≤－1.当－1<x ≤3时，4≤6成立；当x >3时，2x －2≤6，x ≤4，所以3<x ≤4. 所以不等式f (x )≤6的解集为{x |－2≤x ≤4}．第12讲函数与方程1．B 由二分法定义可知选B.2．B 因为f (－2)＝3－2－log 22＝－89<0，f (－1)＝3－1－log 21＝13>0，即f (－2)f (－1)<0，故选B.3．B 由f (x )＝(x 2－1)cos 2x ＝0，得x 2－1＝0或cos 2x ＝0. 由x 2－1＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去)．由cos 2x ＝0，得2x ＝k π＋π2(k ∈Z )，故x ＝k π2＋π4(k ∈Z )．又因为x ∈[0,2π]，所以x ＝π4，3π4，5π4，7π4.所以零点的个数为1＋4＝5个，故选B.4．B 函数f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上是单调递增的，这个函数有零点，则这个零点是唯一的，根据函数f (x )是单调递增的，所以在(0，a )上，函数f (x )的函数值小于零，即f (x 0)<0.5．1.75 按照“二分法”又取的第一个值是1.5，第二值是1.5与2的中间值1.75.6．0 当x ＜0时，(12)x －2＝0，解得x ＝－1；当x ≥0时，x －1＝0，得x ＝1，所以所有零点之和为0.7．{－3，14，2，－12}解析：由y ＝f [f (x )]＋1＝0，得f (x )＝－2或f (x )＝12，于是x ＝－3或14或2或－12，经验证它们都是函数f (x )的零点，所以所有零点所构成的集合为{－3，14，2，－12}．8．解析：(1)由条件知当m ＝1时，函数f (x )＝－4x ＋1与x 轴只有一个交点，满足条件；当m ≠1时，Δ＝(－4m )2－8(m －1)(2m －1)＝0，解得m ＝13.综上知，当m ＝1或13时，函数f (x )的图象与x 轴只有一个公共点．(2)函数的一个零点在原点，即x ＝0为f (x )＝0的一个根，所以有2(m －1)×02－4m ·0＋2m －1＝0，解得m ＝12.9．证明：设f (x )＝x 2－x －3＝(x －12)2－134，由于f (－2)＝f (3)＝3>0，f (12)＝－134<0，因此函数f (x )在[－2，12]，[12，3]内至少有一个零点．又因为函数f (x )在区间[－2，12]上单调递减，在区间[12，3]上单调递增，故函数f (x )在[－2，12]，[12，3]上都只有一个零点，从而函数f (x )在[－2,3]上恰有两个零点，即方程x 2－x －3＝0在[－2,3]上恰有两个实数解．第13讲函数模型及其应用1．B 据题意，下午3时对应的t ＝3，所以T (3)＝78 ℃，故选B.2．C 设每床每天收费提高2x (x ∈N *)，则收入y ＝(10＋2x )(100－10x )＝20(5＋x )(10－x )，所以当x ＝2或3时，y 取最大值．当x ＝2时，y ＝1120，当x ＝3时，y ＝1120.为满足减少投入要求应在收入相同的条件下多空出床位，故x ＝3，故选C. 3．C4．C 平均利润y x ＝－x 2＋12x －25x＝12－(x ＋25x)≤12－10＝2，当且仅当x ＝25x，即x ＝5时，等号成立，故选C.5．y ＝1852x (x ≥0)6．20 设总费用为y 万元，则有 y ＝400x ·4＋4x ≥2400x·4·4x ＝160，当且仅当400x·4＝4x ，即x ＝20时，y 取最小值．7．200 由表格中所给数据可以得出n 与t 的函数关系为n ＝2t 20，令n ＝1000，得2t20＝1000，又210＝1024，所以时刻t 最接近200分钟．8．解析：(1)设购买人数为n 人，羊毛衫的标价为每件x 元，利润为y 元，则n ＝kx ＋b (k <0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 0＝300k ＋b 75＝225k ＋b ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1b ＝300，所以n ＝－x ＋300. y ＝－(x －300)·(x －100)＝－(x －200)2＋10000，x ∈(100,300]，所以x ＝200时，y max ＝10000，即商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为每件200元． (2)由题意得，－(x －300)·(x －100)＝10000×75%，所以x 2－400x ＋30000＝－7500，所以x 2－400x ＋37500＝0，所以(x －250)(x －150)＝0，所以x 1＝250，x 2＝150.所以当商场以每件150元或250元出售时，可获得最大利润的75%. 9．解析：(1)y ＝g (t )·f (t )＝(80－2t )·(20－12|t －10|)＝(40－t )(40－|t －10|) ＝⎩⎪⎨⎪⎧(30＋t )(40－t ) (0≤t <10)(40－t )(50－t ) (10≤t ≤20). (2)当0≤t <10时，y 的取值范围是[1200,1225]．在t ＝5时，y 取得最大值为1225；当10≤t ≤20时，y 的取值范围是[600,1200]，在t ＝20时，y 取得最小值为600.答：第5天，日销售额y 取得最大值为1225元，第20天，y 取得最小值600元．。

学海导航高三数学人教B版理科第一轮总复习训练5.26平面向量的概念及线性运算(含答案详析)

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第12单元《概率与统计、统计案例》

第十二单元概率与统计、统计案例第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1.(2013·安徽合肥市质检)在正四面体的6条棱中随机抽取2条，则其2条棱互相垂直的概率为( )A.34B.23C.15D.132.容量为100的样本数据，依次分为8组，如下表：组号1 2 3 4 5 6 7 8 频数10 13 3x x 15 13 12 9 则第三组的频率是( )A ．0.12B ．0.21C ．0.15D ．0.283.从集合{1,2,3，…，10}中任取5个数组成集合A ，则A 中任意两个元素之和不等于11的概率为( )A.1945B.463C.863D.16634.在区间[0,9]上随机取一实数x ，则该实数x 满足不等式1≤log 2x ≤2的概率为______．5.已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{7,8}，现从A 、B 中各取一个数字，组成无重复数字的二位数，在这些二位数中，任取一个数，则恰为奇数的概率为________．6.某单位招聘员工，从400名报名者中选出200名参加笔试，再按笔试成绩择优取40名参加面试，随机抽查了20名笔试者，统计他们的成绩如下：分数段[60,65) [65,70) [70,75) [75,80) 人数1 3 6 6分数段[80,85) [85,90) [90,95) 人数2 1 1 由此预测参加面试所划的分数线是______．7.(2013·郑州市第一次质量预测)如图所示，在一个边长为1的正方形AOBC 内，曲线y ＝x 和曲线y ＝x 2围成一个叶形图(阴影部分)，向正方形AOBC 内随机投一点(该点落在正方形AOBC 内任何一点是等可能的)，则所投的点落在叶形图内部的概率是______．8.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n 个．已知从袋子中随机抽取1个小球，取到标号是2的小球的概率是12. (1)求n 的值；(2)从袋子中不放回地随机抽取2个小球，记第一次取出的小球标号为a ，第二次取出的小球标号为b .记事件A 表示“a ＋b ＝2”，求事件A 的概率．9.设函数f(x)＝log2[x2－2(a－1)x＋b2]的定义域为D.(1)若a是从1,2,3,4四个数中任取的一个数，b是从1,2,3三个数中任取一个数，求使D ＝R的概率；(2)若a是从区间[0,4]任取的一个数，b是从区间[0,3]任取的一个数，求使D＝R的概率．第67讲互斥事件、独立事件与条件概率1.某商场在春节举行抽奖促销活动，规则是：从装有编为0,1,2,3四个小球的抽奖箱中同时抽出两个小球，两个小球号码相加之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖，则中奖的概率是( )A.13B.23C.14D.342.(2013·太原市第一次模拟)甲乙两人各加工一个零件，若加工为一等品的概率分别是23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( )A.12B.14C.16D.5123.现有甲、乙、丙、丁四名义工到三个不同的社区参加公益活动．若每个社区至少一名义工，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为( )A.16B.56C.1027D.17274.在三次独立重复试验中，事件A 在每次试验中发生的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为6364，则事件A 恰好发生一次的概率为( ) A.14 B.34C.964D.27645.在一段时间内，甲去某地的概率为14，乙去此地的概率为15，假定两人的行动相互没有影响，那么在这段时间内至少有1人去此地的概率是________．6.甲乙两人向目标各射击一次(甲、乙相互没有影响)．甲的命中率为12，乙的命中率为710.已知目标被击中，则目标被甲击中的概率为________．7.如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则：(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.8.一个袋子里装有大小、形状相同的3个红球和2个白球，如果不放回地依次抽取2个球，求：(1)第1次抽到红球的概率；(2)第1次和第2次都抽到红球的概率；(3)在第1次抽到红球的条件下，第2次抽到红球的概率；(4)抽到颜色相同的球的概率．9.乒乓球单打比赛在甲、乙两名运动员间进行，比赛采用7局4胜制(即先胜4局者获胜，比赛结束)，假设两人在每一局比赛中获胜的可能性相同．(1)求甲以4比1获胜的概率；(2)求乙获胜且比赛局数多于5局的概率．第68讲离散型随机变量的分布列、期望与方差1.若P (ξ≤x 2)＝1－β，P (ξ≥x 1)＝1－α，其中x 1<x 2，则P (x 1≤ξ≤x 2)等于( )A ．(1－α)(1－β)B ．1－(α＋β)C ．1－α(1－β)D ．1－β(1－α)2.若ξ～B (n ，p )且Eξ＝6，Dξ＝3，则P (ξ＝1)的值为( )A ．3×2－2B ．3×2－10C ．2－4D ．2－83.从一批含有13只正品，2只次品的产品中，不放回地任取3件，则取得次品数为1件的概率是( )A.3235B.1235C.335D.2354.甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则Eξ为( )A ．1B ．1.5C ．2D ．2.55.某街头小摊，在不下雨的日子一天可赚到100元，在下雨的日子每天要损失10元，若该地区每年下雨的日子约为130天，则此小摊每天获利的期望值是(一年按365天计算)________元(结果保留2位小数)．6.已知随机变量ξ的分布列如表所示，则Dξ＝________.ξ 0 1 2P 12 a 14 7.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为23，得到乙、丙两公司面试的概率均为p ，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X 为该毕业生得到面试的公司个数，若P (X ＝0)＝112，则随机变量X 的数学期望EX ＝______.8.“低碳经济”是促进社会可持续发展的推进器．某企业现有100万元资金可用于投资，如果投资“传统型”经济项目，一年后可能获利20%，可能损失10%，也可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为35，15，15；如果投资“低碳型”经济项目，一年后可能获利30%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为a 和b (其中a ＋b ＝1)．(1)如果把100万元投资“传统型”经济项目，用ξ表示投资收益(投资收益＝回收资金－投资资金)，求ξ的概率分布及均值(数学期望)Eξ；(2)如果把100万元投资“低碳型”经济项目，预测其投资收益均值会不低于投资“传统型”经济项目的投资收益均值，求a 的取值范围．9.受轿车在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车，保修期均为2年，现从该厂已售出的两种品牌轿车中各随机抽取50辆，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2 障时间x(年)轿车数量(辆)2345545每辆利润(万元)123 1.8 2.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆，求其首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆甲品牌轿车的利润为X1，生产一辆乙品牌轿车的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的轿车．若从经济效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的轿车？说明理由．第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布1.将参加夏令营的500名学生编号为：001,002，…，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003，这500名学生分住在三个营区，从001到200在第一营区，从201到355在第二营区，从356到500在第三营区，三个营区被抽中的人数分别为( )A ．20,15,15B ．20,16,14C ．12,14,16D ．21,15,142.已知随机变量ξ服从正态分布N (2，σ2)，且P (ξ＜4)＝0.8，则P (0＜ξ＜2)等于( )A ．0.6B ．0.4C ．0.3D ．0.23.(2013·宁波市四中高三上期末)200辆汽车经过某一雷达地区，时速频率分布直方图如下图所示，则时速不低于60 km/h 的汽车数量为( )A ．65辆B ．76辆C ．88辆D ．95辆4.设10≤x 1<x 2<x 3<x 4≤104，x 5＝105，随机变量ξ1取值x 1、x 2、x 3、x 4、x 5的概率均为0.2，随机变量ξ2取值x 1＋x 22、x 2＋x 32、x 3＋x 42、x 4＋x 52、x 5＋x 12的概率也均为0.2.若记Dξ1、Dξ2分别为ξ1、ξ2的方差，则( )A ．Dξ1＞Dξ2B ．Dξ1＝Dξ2C ．Dξ1＜Dξ2D ．Dξ1与Dξ2的大小关系与x 1、x 2、x 3、x 4的取值有关5.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市______家．6.在一次运动员的选拔中，测得7名选手身高(单位：cm)分布的茎叶图如图所示．已知记录的平均身高为174 cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为______. 18 0 117 0 3 x16 8 97.给出如下10个数据：63,65,67,69,66,64,66,64,65,68.根据这些数据制作频率分布直方图，其中[64.5,66.5)这组所对应的矩形的高为 .8.在某篮球比赛中，根据甲和乙两人的得分情况得到如图所示的茎叶图．(1)从茎叶图的特征来说明他们谁发挥得更稳定；(2)用样本的数字特征验证他们谁发挥得更好．9.某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：分组频数频率[39.95,39.97)10[39.97,39.99)20[39.99,40.01)50[40.01,40.03]20合计100(1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在下图中画出频率分布直方图；(2)若以上述频率作为概率，已知标准乒乓球的直径为40.00 mm，试求这批乒乓球的直径误差不超过0.03 mm的概率；(3)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．第70讲变量的相关性、回归分析和独立性检验1.在回归分析中，残差图中纵坐标为( )A ．残差B ．样本编号C.x － D ．y i2.(2013·湛江测试)已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为( )A ．y ＝1.23x ＋4B ．y ＝1.23x ＋5C ．y ＝1.23x ＋0.08D ．y ＝0.08x ＋1.233.在下列各图中，两个变量具有相关关系的图是( )A ．(1)(2)B ．(1)(3)C ．(2)(4)D ．(2)(3)4.(2013·临沂市质量检测)为了调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了200位老年人，结构如下：性别是否需要志愿者男女需要70 40 不需要30 60 附：P (K 2>k ) 0.050 0.010 0.001k 3.841 6.635 10.828参照附表，得到的正确结论是( )A ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”B ．在犯错误的概率不超过的0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”C ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”D ．最多有99%的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无关”5.经调查某地若干户家庭的年收入x (万元)和年饮食支出y (万元)具有线性相关关系，并得到y 关于x 的线性回归直线方程：y ＝0.245x ＋0.321，由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加万元．6.下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程y ＝0.7x ＋0.35，那么表中m 的值为______.x 3 4 5 6y 2.5 m 4 4.57.某研究小组为了研究中学生的身体发育情况，在某学校随机抽出20名15至16周岁的男生，将他们的身高和体重制成2×2的列联表，根据列联表的数据，可以有 %的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系.超重不超重合计偏高4 15 不偏高3 12 15 合计7 13 20 独立性检验临界值表：P (K 2≥k 0)0.025 0.010 0.005 0.001 k 0 5.024 6.635 7.879 10.828独立性检验随机变量K 2值的计算公式：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，n ＝a ＋b ＋c ＋d . 8.下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表：气温/℃ 26 18 13 10 4 －1杯数20 24 34 38 50 64 (1)将上表中的数据制成散点图；(2)你能从散点图中发现温度与卖出热茶的杯数近似成什么关系吗？(3)如果近似成线性相关关系，请求出线性回归方程来近似地表示这种线性相关关系；(4)如果某天的气温是－5 ℃时，用(3)的回归方程预测这天小卖部卖出热茶的杯数．9.电视传媒公司为了了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？非体育迷体育迷合计男女10 55 合计附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )，P (K 2≥k )0.05 0.01 k 3.841 6.635第十二单元概率与统计、统计案例第66讲随机事件的概率、古典概型与几何概型1．C 总的取法有15种，由正四面体的性质可知，对棱垂直，故互相垂直的有3种，所以所求概率为15，故选C.2．B 因为10＋13＋3x ＋x ＋15＋13＋12＋9＝100，得x ＝7，所以，第三组的频数3x＝21，于是，第三组的频率是21100＝0.21，故选B.3．C 分组考虑，和为11的有：(1,10)，(2,9)，(3,8)，(4,7)，(5,6)，若A 中任意两个元素之和不等于11，则5个元素必须只有每组中的一个，故所求概率为P ＝25C 510＝863，故选C.4.29由1≤log 2x ≤2得2≤x ≤4，故所求概率为29.5.712由题意，所有无重复数字的两位数有3×2×2＝12个，其中奇数为17,71,27,81,83,37,73共7个，所以概率P ＝712.6．80 因为40200×20＝4，所以随机抽查了20名笔试者中的前4名进入面试，观察成绩统计表，预测参加面试所划的分数线是80分．7.13 阴影部分的面积S 1＝⎠⎛01(x －x 2)d x ＝(23x 32－13x 3)|10＝13，而正方形AOBC 的面积为1，故所求的概率为13.8．解析：(1)由题意可知：n 1＋1＋n ＝12，解得n ＝2.(2)不放回地随机抽取2个小球的所有等可能基本事件为：(0,1)，(0,21)，(0,22)，(1,0)，(1,21)，(1,22)，(21,0)，(21,1)，(21,22)，(22,0)，(22,1)，(22,21)，共12个，事件A 包含的基本事件为：(0,21)，(0,22)，(21,0)，(22,0)，共4个，所以P(A)＝412＝13.9．解析：(1)定义域D ＝{x|x 2－2(a －1)x ＋b 2>0}．将取的数组记作(a ，b)，共有4×3＝12种可能．要使D ＝R ，则Δ＝4(a －1)2－4b 2<0，即|a －1|<|b |.满足条件的有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(3,3)，共6个基本事件，所以P (D ＝R )＝612＝12. (2)全部试验结果Ω＝{(a ，b )|a ∈[0,4]，b ∈[0,3]}，事件A ＝{D ＝R }对应区域为A ＝{(a ，b )||a －1|<|b |}，则P (A )＝S 阴影S Ω＝3×4－12×1×1－12×3×33×4＝712，故D ＝R 的概率为712.第67讲互斥事件、独立事件与条件概率1．B 中一等奖的概率是1C 24＝16，中二等奖的概率是1C 24＝16，中三等奖的概率是2C 24＝13，所以中奖的概率为16＋16＋13＝23，故选B.2．D 设甲加工为一等品，乙加工为非一等品的事件为A ，乙加工为一等品，甲加工为非一等品的事件为B ，则两个零件中恰有一个一等品的概率为P (A )＋P (B )＝23×14＋13×34＝512，故选D. 3．B 甲、乙两人被分到同一社区的概率为A 33C 24A 33＝16，则甲、乙两人被分到不同社区的概率为1－16＝56，故选B.4．C 设事件A 发生的概率为P ，事件A 不发生的概率为P ′，则有：1－(P ′)3＝6364⇒P ′＝14，故P ＝34，则事件A 恰好发生一次的概率为C 13×34×(14)2＝964，故选C. 5.25 至少有1人去此地包含有3个互斥事件，(1)甲去乙未去，(2)甲未去乙去，(3)甲、乙都去．所以至少有1人去此地的概率为14×(1－15)＋15×(1－14)＋14×15＝25.6.1017设“甲命中”为事件A ，“乙命中”为事件B ，“目标被击中”为事件C ，则P (A )＝12，P (C )＝1－P (A －)P (B －)＝1－(1－12)(1－710)＝1720，则P (A |C )＝P (A ∩C )P (C )＝P (A )P (C )＝1017. 7．(1)2π (2)14(1)S 圆＝π，S 正方形＝(2)2＝2，根据几何概型的求法有：P (A )＝S 正方形S 圆＝2π；(2)由∠EOH ＝90°，S △EOH ＝14S 正方形＝12，故P (B |A )＝S △EOH S 正方形＝122＝14.8．解析：设A ＝{第1次抽到红球}，B ＝{第2次抽到红球}，则第1次和第2次都抽到红球为事件AB .从第5个球中不放回地依次抽取2个球的事件数为n (Ω)＝A 25＝20，(1)由分步计数原理，n (A )＝A 13·A 14＝12，于是P (A )＝n (A )n (Ω)＝1220＝35.(2)P (AB )＝n (AB )n (Ω)＝620＝310.(3)在第1次抽到红球的条件下，当第2次抽到红球的概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝31035＝12.(4)抽到颜色相同球的概率为P ＝P (两次均为红球)＋P (两次均为白球) ＝3×220＋2×120＝25.9．解析：(1)由已知，甲、乙两名运动员在每一局比赛中获胜的概率都是12，记“甲以4比1获胜”为事件A ，则P (A )＝C 34(12)3(12)4－312＝18.(2)记“乙获胜且比赛局数多于5局”为事件B ，因为，乙以4比2获胜的概率为P 1＝C 35(12)3(12)5－312＝532，乙以4比3获胜的概率为P 2＝C 36(12)3(12)6－312＝532，所以P (B )＝P 1＋P 2＝516.第68讲离散型随机变量的分布列、期望与方差 1．B 由分布列性质可有：P (x 1≤ξ≤x 2)＝P (ξ≤x 2)＋P (ξ≥x 1)－1＝(1－β)＋(1－α)－1＝1－(α＋β)，故选B.2．B Eξ＝np ＝6，Dξ＝np (1－p )＝3⇒p ＝12，n ＝12，所以P (ξ＝1)＝C 112(12)12＝3×2－10，故选B. 3．B 设随机变量X 表示取出次品的个数，则X 服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3，它的可能取值为0,1,2，所以所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 213C 315＝1235，故选B.4．B ξ的可能取值为0,1,2,3，则P (ξ＝0)＝C 36C 33C 36C 36＝120，P (ξ＝1)＝C 16C 25C 23C 36C 36＝920，P (ξ＝2)＝C 26C 14C 13C 36C 36＝920，P (ξ＝3)＝C 36C 36C 36＝120，则Eξ＝0×120＋1×920＋2×920＋3×120＝1.5，故选B.5．60.82 Eξ＝100×235365＋(－10)×130365≈60.82.6.1116 由题知a ＝1－12－14＝14，则Eξ＝0×12＋1×14＋2×14＝34，Dξ＝12×(0－Eξ)2＋14×(1－Eξ)2＋14×(2－Eξ)2＝1116.7.1116 因为P (X ＝0)＝112＝(1－p )2×13，所以p ＝12. 随机变量X 的可能值为0,1,2,3，因此P (X ＝0)＝112，P (X ＝1)＝23×(12)2＋23×(12)2＝13；P (X ＝2)＝23×(12)2×2＋13×(12)2＝512，P (X ＝3)＝23×(12)2＝16.因此EX ＝0×112＋1×13＋2×512＋3×16＝53.8．解析：(1)依题意，ξ的可能取值为20,0，－10， ξ的分布列为ξ 20 0 －10P 35 15 15Eξ＝20×35＋0×15＋(－10)×15＝10(万元)．(2)设η表示100万元投资“低碳型”经济项目的收益，则η的分布列为η 30 －20 P a bEη＝30a －20b ＝50a －20，依题意要求50a －20≥10，所以35≤a ≤1.9．解析：(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件A ，则P (A )＝2＋350＝110. (2)依题意得，X 1的分布列为X 11 2 3 P125 350 910X 2的分布列为X 2 1.8 2.9 P110910(3)由(2)得，EX 1＝1×125＋2×350＋3×910＝14350＝2.86(万元)，EX 2＝1.8×110＋2.9×910＝2.79(万元)，因为EX 1＞EX 2，所以应生产甲品牌轿车．第69讲随机抽样、用样本估计总体、正态分布1．B 根据系统抽样特点，被抽到号码l ＝10k ＋3，k ∈N ，第353号被抽到，因此第二营区应有16人，所以三个营区被抽中的人数分别为20,16,14，故选B.2．C 由P (ξ＜4)＝0.8知P (ξ＞4)＝P (ξ＜0)＝0.2，故P (0＜ξ＜2)＝0.3，故选C.3．B 设时速不低于60 km/h 的汽车数量为n ，则n200＝(0.028＋0.010)×10＝0.38，所以n ＝0.38×200＝76.4．A Dξ1＝15[(x －－x 1)2＋…＋(x －－x 5)2]＝15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x －2， Dξ2＝15[(x －－x 1＋x 22)2＋…＋(x －－x 5＋x 12)2]＝15[(x 1＋x 22)2＋…＋(x 5＋x 12)2]－x －2＜15(x 21＋x 22＋x 23＋x 24＋x 25)－x －2，所以Dξ1>Dξ2，故选A.5．20 n ＝100×400200＋400＋1400＝20.6．7 将所有数据都减去170，根据平均数的计算公式可得10＋11＋3＋x －2－17＝4，解得x ＝7.7.15 落在区间[64.5,66.5)的数据依次为65,66,66,65，共4个，则矩形的高等于频率组距＝41066.5－64.5＝15.8．解析：(1)茎叶图的直观形状像横放的频率分布直方图，且保留了所有原始数据的信息，所以从数与形的特征来看，甲和乙的得分都是对称的，叶的分布是“单峰”的，但甲全部的叶都集中在茎2上，而乙只有57的叶集中在茎2上，这说明甲发挥得更稳定．(2)x －甲＝20＋21＋25＋26＋27＋28＋287＝25，x －乙＝17＋23＋24＋25＋26＋29＋317＝25，s 2甲＝17[(20－25)2＋(21－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(27－25)2＋(28－25)2＋(28－25)2]≈9.14，s 2乙＝17[(17－25)2＋(23－25)2＋(24－25)2＋(25－25)2＋(26－25)2＋(29－25)2＋(31－25)2]≈17.43.因为x －甲＝x －乙，s 2甲<s 2乙，所以甲发挥得更好．9．解析：(1)频率分布表及频率分布直方图如下：分组频数频率频率组距[39.95,39.97) 10 0.10 5 [39.97,39.99) 20 0.20 10 [39.99,40.01) 50 0.50 25 [40.01,40.03] 20 0.20 10合计100 1(2)误差不超过0.03 mm ，即直径落在[39.97,40.03]范围内，其概率为0.2＋0.5＋0.2＝0.9. (3)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．第70讲变量的相关性、回归分析和独立性检验 1．A 联想残差图知纵坐标为残差，故选A.2．C 由题知斜率的估计值为1.23，排除D ；因为回归直线方程必过样本点的中心(x －，y －)，将点(4,5)代入A 、B 、C 检验可知，选C.3．D 图形应为散点图，且成带状分布．4．A 由公式可计算K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )＝200(70×60－30×40)2100×100×110×90≈18.18，即P (K 2>10.828)＝0.001，所以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关”，故选A.5．0.245 x 变为x ＋1，y ＝0.245(x ＋1)＋0.321＝0.245x ＋0.321＋0.245，因此家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加0.245万元．6．3 由题意可得x －＝3＋4＋5＋64＝92，所以y －＝0.7×92＋0.35＝3.5，所以2.5＋m ＋4＋4.54＝3.5，所以m ＝3.7．97.5 K 2＝20(4×12－3×1)25×7×13×15≈5.934＞5.024，所以可以有97.5%的把握认为该学校15至16周岁的男生的身高和体重之间有关系． 8．解析：(1)将表中的数据制成散点图，如图：(2)从散点图中发现气温与卖出热茶的杯数近似成线性相关关系．(3)线性回归方程是y ^＝－1.648x ＋57.557.(4)如果某天的气温是－5 ℃，用y ^＝－1.648x ＋57.557预测这天小卖部卖出热茶的杯数约为－1.648×(－5)＋57.557≈66.9．解析：由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“体育迷”有25人，从而2×2列联表如下：非体育迷体育迷合计男30 15 45 女45 10 55 合计75 25 100 由2×2列联表中数据代入公式计算，得：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋c )(b ＋d )(a ＋b )(c ＋d )＝100×(30×10－45×15)275×25×45×55＝10033≈3.030.因为3.030<3.841，所以，没有理由认为“体育迷”与性别有关．。

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第10单元《解析几何》

第十单元解析几何第53讲直线的方程1.已知过点P (－4，m ＋1)和Q (m －1,6)的直线斜率等于1，那么m 的值为( )A ．1B ．4C ．1或3D ．1或42.(2013·烟台调研)过两点(0,3)，(2,1)的直线方程为( )A ．x －y －3＝0B ．x ＋y －3＝0C ．x ＋y ＋3＝0D ．x －y ＋3＝03.直线l 与直线y ＝1，直线x ＝7分别交于P ，Q 两点，PQ 的中点为M (1，－1)，则直线l 的斜率是( )A.13B.23C ．－32D ．－134.已知直线x ＝2及x ＝4与函数y ＝log 2x 图象的交点分别为A ，B ，与函数y ＝lg x 图象的交点分别为C 、D 两点，则直线AB 与CD ( )A ．相交，且交点在第一象限B ．相交，且交点在第二象限C ．相交，且交点在第四象限D ．相交，且交点在坐标原点5.直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是 .6.过点(1,3)作直线l ，若经过点(a,0)和(0，b )，且a ∈N *，b ∈N *，则可作出的直线l 有______条．7.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A (－3,4)，且法向量为n ＝(1，－2)的直线(点法式)方程为1×(x ＋3)＋(－2)×(y －4)＝0，化简得x －2y ＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A (1,2,3)且法向量为n ＝(－1，－2,1)的平面(点法式)方程为__________(请写出化简后的结果)．8.等腰△ABC 的顶点为A (－1,2)，又直线AC 的斜率为3，点B 的坐标为(－3,2)，求直线AC 、BC 及∠A 的平分线所在的直线方程．9.已知两点A (－1,2)，B (m,3)．(1)求直线AB 的方程；(2)已知实数m ∈[－33－1，3－1]，求直线AB 的倾斜角α的取值范围．第54讲两条直线的位置关系与对称问题1.(2013·东城二模)“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.(2013·四川宜宾市高三调研)过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．2x ＋y －7＝0C ．x －2y ＋3＝0D ．x －2y ＋5＝03.直线l 1：kx ＋(1－k )y －3＝0和l 2：(k －1)x ＋(2k ＋3)y －2＝0互相垂直，则k ＝( )A ．－3或－1B ．3或1C ．－3或1D ．－1或34.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则直线x sin A ＋ay ＋c ＝0与直线bx －y sin B ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直5.(2013·石家庄质检)若函数y ＝ax ＋8与y ＝－12x ＋b 的图象关于直线y ＝x 对称，则a ＋b ＝______.6.点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且点P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则P 点坐标为__________．7.已知直线3x ＋4y －3＝0与直线6x ＋my ＋14＝0平行，则它们之间的距离是 .8.已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－4a，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)． (1)若l 1与l 2没有公共点，求实数a 的值；(2)若l 1与l 2所成角为直角，求实数a 的值．9.已知点P (2，－1)．(1)求过点P 且与原点距离为2的直线l 的方程；(2)求过点P 且与原点距离最大的直线l 的方程，最大距离是多少？第55讲圆的方程1.点P (2，－1)为圆(x －1)2＋y 2＝25内弦AB 的中点，则直线AB 的方程为( )A ．x ＋y －1＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x －y －3＝0D ．2x －y －5＝02.在平面直角坐标系内，若曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0上所有的点均在第二象限内，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，－2)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(2，＋∞)3.已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝1上不同的三个点，且OA →·OB →＝0，存在实数λ，μ满足OC →＝λOA →＋μOB →，则点(λ，μ)与圆的位置关系是( )A ．在单位圆外B ．在单位圆上C ．在单位圆内D ．无法确定4.圆心在原点且与直线x ＋2y ＝4相切的圆的方程是 .5.以抛物线y 2＝4x 上的点(x 0,4)为圆心，并过此抛物线焦点的圆的方程是________________________________________________________________________．6.点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是____________________．7.若x 2＋y 2－4x ＋2my ＋m ＋6＝0与y 轴的两交点位于原点的同侧，则实数m 的取值范围是____________．8.已知圆心为C 的圆经过点A (1,1)和B (2，－2)，且圆心C 在直线l ：x －y ＋1＝0上，求圆心为C 的圆的标准方程．9.在直角坐标系xOy 中，以O 为圆心的圆与直线x －3y ＋4＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)圆O 与x 轴相交于A 、B 两点，圆内的动点P 使|P A →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，求P A →·PB→的取值范围．第56讲直线与圆、圆与圆的位置关系1.直线ax －y ＋2a ＝0与圆x 2＋y 2＝9的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定2.直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，则OA →·OB →＝( )A ．2B ．－2C ．4D ．－43.两圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋4y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－14x －2y ＋14＝0的位置关系是( )A ．相交B ．内含C ．外切D ．内切4.已知点P (x ，y )是直线kx ＋y ＋4＝0(k >0)上一动点，P A ，PB 是圆C ：x 2＋y 2－2y ＝0的两条切线，A ，B 为切点，若四边形P ACB 的最小面积是2，则k 的值为( )A ．4B ．2 2C ．2 D. 25.经过点P (2，－3)作圆x 2＋2x ＋y 2＝24的弦AB ，使得点P 平分弦AB ，则弦AB 所在直线的方程为________________________________________________________________________．6.在圆x 2＋y 2＝4上，与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小值是________．7.已知直线y ＝x ＋b 交圆x 2＋y 2＝1于A 、B 两点，且∠AOB ＝60°(O 为原点)，则实数b 的值为________．8.已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，P 点的坐标为(2，－1)，过点P 作圆C 的切线，切点为A 、B .(1)求直线P A 、PB 的方程；(2)求过P 点的圆的切线长；(3)求直线AB 的方程．9.在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，以O 为圆心的圆与直线x －3y －4＝0相切．(1)求圆O 的方程；(2)直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，在圆O 上是否存在一点M ，使得四边形OAMB 为菱形？若存在，求出此时直线l 的斜率；若不存在，说明理由．第57讲椭圆1.(2013·衡水调研)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)上任一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦距为2c .若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.342.已知方程x 2k ＋1＋y 23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是( ) A ．k >1或k <3 B ．1<k <3C ．k >1D ．k <33.(2013·温州五校)椭圆x 225＋y 29＝1的左焦点为F 1，点P 在椭圆上，若线段PF 1的中点M 在y 轴上，则|PF 1|＝( )A.415B.95C ．6D ．74.已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是( )A ．0B ．1C ．2D ．2 25.椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的三倍，则m 的值为 .6.直线x －2y ＋2＝0经过椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________．7.短轴长为5，离心率e ＝23的椭圆的两焦点为F 1，F 2，过F 1作直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为______． 8.设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 2的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60°，F 1到直线l 的距离为2 3.(1)求椭圆C 的焦距；(2)如果AF 2→＝2F 2B →，求椭圆C 的方程．9.已知椭圆C 的中心在原点，长轴在x 轴上，经过点A (0, 1)，离心率e ＝22.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l n ：y ＝1n ＋1(n ∈N *)与椭圆C 在第一象限内相交于点A n (x n , y n )，记a n ＝12x 2n ，试证明：对∀n ∈N *，a 1·a 2·…·a n >12.第58讲双曲线1.双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．4 22.若双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，则实数k ＝( )A.116B.18C.14D.123.(2013·四川省成都4月模拟)已知定点A ，B ，且|AB |＝4，动点P 满足|P A |－|PB |＝3，则|P A |的最小值为( )A.12B.32C.72D ．5 4.已知双曲线的渐近线为y ＝±3x ，焦点坐标为(－4,0)，(4,0)，则双曲线方程为( ) A.x 28－y 224＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 224－y 28＝1 D.x 24－y 212＝1 5.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的渐近线方程为y ＝±3x ，则它的离心率为______． 6.已知F 1、F 2是双曲线x 216－y 29＝1的焦点，PQ 是过焦点F 1的弦，那么|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |的值是______．7.双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为 .8.求与圆(x ＋2)2＋y 2＝2外切，并且过定点B (2,0)的动圆圆心M 的轨迹方程．9.已知两定点F 1(－2，0)，F 2(2，0)，满足条件|PF 2→|－|PF 1→|＝2的点P 的轨迹是曲线E ，直线y ＝kx －1与曲线E 交于A 、B 两点．(1)求k 的取值范围；(2)如果|AB →|＝63，求k 的值．第59讲抛物线1.抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116D ．y ＝－1162.正三角形一个顶点是抛物线x 2＝2py (p >0)的焦点，另两个顶点在抛物线上，则满足此条件的正三角形共有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．4个3.如图，过抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 交抛物线于点A 、B ，交其准线于点C ，若|BC |＝2|BF |，且|AF |＝3，则此抛物线方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3x4.若抛物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则抛物线的方程为________．5.抛物线x 2＝ay 过点A (1，14)，则点A 到此抛物线的焦点的距离为________． 6.(2013·衡水调研卷)设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．7.已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝______.8.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C 的顶点在原点，经过点A (2,2)，其焦点F 在x轴上．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)求过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程．9.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px(p>0)上横坐标为4的点到该抛物线的焦点的距离为5.(1)求抛物线的标准方程；(2)设点C是抛物线上的动点，若以C为圆心的圆在y轴上截得的弦AB的长为4，求证：圆C过定点．第60讲直线与圆锥曲线的位置关系1.过点(0,2)与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条2.直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 29＋y 24＝1的位置关系为( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定3.(2013·湖北省武昌区元月调研)已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(2，＋∞)4.过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点O 是原点，若|AF |＝3，则△AOB 的面积为( )A.22 B. 2 C.322D ．2 2 5.若椭圆x 23＋y 2m＝1与直线x ＋2y －2＝0有两个不同的交点，则m 的取值范围是 .6.过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点的直线与抛物线交于A 、B 两点，|AB |＝3，且AB 中点的纵坐标为12，则p 的值为__________．7.已知两定点M (－2,0)，N (2,0)，若直线上存在点P ，使得|PM |－|PN |＝2，则称该直线为“A 型直线”，给出下列直线：①y ＝x ＋1；②y ＝3x ＋2；③y ＝－x ＋3；④y ＝－2x .其中是“A 型直线”的序号是________．8.椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A 、B 两点，C 是线段AB 的中点．若|AB |＝22，直线OC 的斜率为22，求椭圆的方程．9.(2013·西城二模)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．(1)若AF →＝2FB →，求直线AB 的斜率；(2)设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．第61讲轨迹问题1.若动点P 到定点F (1，－1)的距离与到直线l ：x －1＝0的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．直线2.实数变量m ，n 满足m 2＋n 2＝1，则坐标(m ＋n ，mn )表示的点的轨迹是( ) A ．抛物线 B ．椭圆C ．双曲线的一支D ．抛物线的一部分 3.(2013·昌平区期末)一圆形纸片的圆心为点O ，点Q 是圆内异于O 点的一定点，点A 是圆周上一点．把纸片折叠使点A 与Q 重合，然后展平纸片，折痕与OA 交于P 点．当点A 运动时点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线4.已知点A (－1,0)和圆x 2＋y 2＝2上一动点P ，动点M 满足2MA →＝AP →，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x －3)2＋y 2＝1B ．(x －32)2＋y 2＝1C ．(x －32)2＋y 2＝12D ．x 2＋(y －32)2＝125.平面直角坐标系中，已知两点A (3,1)，B (－1,3)，若点C 满足OC →＝λ1OA →＋λ2OB →(O 为原点)，其中λ1，λ2∈R ，且λ1＋λ2＝1，则点C 的轨迹方程为________．6.(2013·洛阳模拟)设过点P (x ，y )的直线分别与x 轴的正半轴和y 轴的正半轴交于A ，B 两点，点Q 与点P 关于y 轴对称，O 为坐标原点．若BP →＝2P A →，且OQ →·AB →＝1，则点P 的轨迹方程是__________________________．7.(2013·广东高州市模拟)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是________________．8.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C 的方程；(2)若P 为椭圆C 上的动点，M 为过点P 且垂直于x 轴的直线上的点，|OP ||OM |＝e (e 为椭圆C 的离心率)，求点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．9.已知圆C 与两圆x 2＋(y ＋4)2＝1，x 2＋(y －2)2＝1外切，圆C 的圆心轨迹方程为L ，设L 上的点与点M (x ，y )的距离的最小值为m ，点F (0,1)与点M (x ，y )的距离为n .(1)求圆C 的圆心轨迹L 的方程；(2)求满足条件m ＝n 的点M 的轨迹Q 的方程．第62讲圆锥曲线的综合问题1.已知λ∈R ，则不论λ取何值，曲线C ：λx 2－x －λy ＋1＝0恒过定点( ) A ．(0,1) B ．(－1,1) C ．(1,0) D ．(1,1)2.若点A 的坐标为(3,2)，F 为抛物线y 2＝2x 的焦点，点P 在抛物线上移动，为使|P A |＋|PF |取最小值，P 点的坐标为( )A ．(3,3)B ．(2,2)C ．(12，1) D ．(0,0)3.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于M 、N 两点，则PM →·NP →为定值( )A ．a 2b 2B ．2abC ．a 2D ．－a 24.若点O 和点F 分别为椭圆x 29＋y 25＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上任意一点，则OP →·FP →的最小值为( )A.114B ．3C ．8D ．155.双曲线x 2－y 2＝4上一点P (x 0，y 0)在双曲线的一条渐近线上的射影为Q ，已知O 为坐标原点，则△POQ 的面积为定值______．6.椭圆x 225＋y 216＝1和圆x 2＋y 2－4x ＋3＝0上最近两点之间的距离为______，最远两点间的距离为________．7.如图，正六边形ABCDEF 的两个顶点A 、D 为椭圆的两个焦点，其余4个顶点在椭圆上，则该椭圆的离心率是________．8.若椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)与直线x ＋y －1＝0相交于P 、Q 两点，且OP →·OQ →＝0(O 为坐标原点)．(1)求证：1a 2＋1b2等于定值；(2)若椭圆离心率e ∈[33，22]时，求椭圆长轴长的取值范围．9.已知点F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，点P 为椭圆上任意一点，P 到焦点F 2的距离的最大值为2＋1，且△PF 1F 2的最大面积为1.(1)求椭圆C 的方程；(2)点M 的坐标为(54，0)，过点F 2且斜率为k 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点．对于任意的k ∈R ，MA →·MB →是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，说明理由．第十单元解析几何第53讲直线的方程1．A 由斜率公式得k ＝(m ＋1)－6－4－(m －1)＝1，解得m ＝1，故选A.2．B 由两点式得：y －31－3＝x －02－0，即x ＋y －3＝0，故选B.3．D 因为PQ 的中点为M (1，－1)，所以由条件知P (－5,1)，Q (7，－3)，所以k ＝－3－17－(－5)＝－13，故选D.4．D 由图象可知直线AB 与CD 相交，两直线方程分别为AB ：y ＝12x ，CD ：y ＝lg 22x ，则其交点为坐标原点，故选D.5．k ＞12或k ＜－1 设直线l 的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)，直线在x 轴上的截距为1－2k ，令－3＜1－2k ＜3，解不等式可得k ＞12或k ＜－1.6．2 由题意1a ＋3b＝1，所以(a －1)(b －3)＝3，此方程有两组正整数解⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4b ＝4，有2条． 7．x ＋2y －z －2＝0 所求方程为(－1)×(x －1)＋(－2)×(y －2)＋1×(z －3)＝0，化简即得x ＋2y －z －2＝0.8．解析：由点斜式得直线AC 的方程为y ＝3x ＋2＋ 3.因为AB ∥x 轴，又△ABC 是以A 为顶点的等腰三角形且直线AC 的倾斜角为π3，所以直线BC 的倾斜角α为π6或2π3.①当α＝π6时，直线BC 的方程为y ＝33x ＋2＋ 3.又∠A 的平分线的倾斜角为2π3，所以∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝－3x ＋2－ 3.②当α＝2π3时，直线BC 的方程为y ＝－3x ＋2－3 3.又∠A 的平分线的倾斜角为π6，所以∠A 的平分线所在直线的方程为y ＝33x ＋2＋33.9．解析：(1)当m ＝－1时，直线AB 的方程为x ＝－1；当m ≠－1时，直线AB 的方程为y －2＝1m ＋1(x ＋1)．(2)①当m ＝－1时，α＝π2；②当m ≠－1时，m ＋1∈[－33，0)∪(0，3]，所以k ＝1m ＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，所以α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB 的倾斜角α∈[π6，2π3]．第54讲两条直线的位置关系与对称问题1．C 当两条直线平行时，由a ×2－3×2＝0，得a ＝3；当a ＝3时，两直线显然平行，故选C.2．A 根据已知直线方程知所求直线的斜率为12，所以所求直线方程为y －3＝12(x －2)，即x －2y ＋4＝0，故选A.3．C 若k ＝1，直线l 1：x ＝3，l 2：y ＝25满足两直线垂直；若k ≠1，直线l 1，l 2的斜率分别为k 1＝kk －1，k 2＝1－k 2k ＋3，由k 1·k 2＝－1，得k ＝－3，综上知k ＝1或k ＝－3，故选C.4．B 由正弦定理，得a sin A ＝bsin B，即－sin A a ·b sin B ＝－1，而－sin A a 与b sin B分别为两条直线的斜率，故两条直线垂直，故选B.5．2 直线y ＝ax ＋8关于y ＝x 对称的直线方程为x ＝ay ＋8，所以x ＝ay ＋8与y ＝－12x＋b 为同一直线，故得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2b ＝4，所以a ＋b ＝2.6．(1,2)或(2，－1) 设P 点坐标为(a,5－3a )，由题意知：|a －(5－3a )－1|2＝2，解之得a ＝1或a ＝2，所以P 点坐标为(1,2)或(2，－1)．7．2 由已知两条直线平行得－34＝－6m，解得m ＝8，所以直线6x ＋my ＋14＝0为3x ＋4y ＋7＝0，故两平行线间的距离为|－3－7|32＋42＝2.8．解析：l 1的斜率k AB ＝1－(－1)－4a－0＝－a2，l 2的斜率k MN ＝－2－10－1＝3.(1)由题意知，l 1∥l 2，所以k AB ＝k MN ，即－a2＝3，所以a ＝－6.(2)由题意知，l 1⊥l 2，所以k AB ·k MN ＝－1，即－a 2×3＝－1，所以a ＝23.9．解析：(1)①当l 的斜率k 不存在时显然成立，此时l 的方程为x ＝2. ②当l 的斜率k 存在时，设l ：y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0，由点到直线的距离公式得|－2k －1|1＋k 2＝2，解得k ＝34，所以l ：3x －4y －10＝0.故所求l 的方程为x ＝2或3x －4y －10＝0.(2)数形结合可得，过点P 且与原点O 距离最大的直线是过点P 且与PO 垂直的直线．由l ⊥OP ，得k l k OP ＝－1，所以k l ＝－1k OP＝2.由直线方程的点斜式得直线l 的方程为y ＋1＝2(x －2)，即2x －y －5＝0，即直线2x －y －5＝0是过点P 且与原点O 距离最大的直线，最大距离为|－5|5＝ 5.第55讲圆的方程1．C 由圆的方程知圆心坐标为(1,0)，圆心与P 点的连线的斜率为－1，所以直线AB 的斜率为1，又过点P (2，－1)，所以直线AB 的方程为x －y －3＝0，故选C.2．D 曲线C ：x 2＋y 2＋2ax －4ay ＋5a 2－4＝0，即(x ＋a )2＋(y －2a )2＝4表示以(－a,2a )为圆心，2为半径的圆，当－a <－2且2a ＞0，即a >2时，曲线C 上所有的点均在第二象限内，故选D.3．B 因为点A 、B 、C 在单位圆上，故|OC |＝1，于是有|OC |2＝1，即(λOA →＋μOB →)2＝1，展开得λ2＋μ2＝1，所以点(λ，μ)在圆x 2＋y 2＝1上，故选B.4．x 2＋y 2＝165 由题意，半径R ＝41＋22＝45，所以圆的方程为x 2＋y 2＝165，故填x 2＋y 2＝165.5．(x －4)2＋(y －4)2＝25 抛物线的焦点为(1,0)，准线为x ＝－1，根据点(x 0,4)在抛物线上知42＝4x 0，解得x 0＝4，所以圆心为(4,4)，半径为x 0＋1＝5，故所求圆的方程为(x －4)2＋(y －4)2＝25.6．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 设圆上任一点为Q (s ，t )，PQ 的中点为A (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝4＋s2y ＝－2＋t2，解得⎩⎪⎨⎪⎧s ＝2x －4t ＝2y ＋2，将其代入圆的方程，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，整理得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.7．m >3或－6<m <－2 圆方程配方，得(x －2)2＋(y ＋m )2＝m 2－m －2，则⎩⎨⎧m 2－m －2>0(0－2)2＋(0＋m )2>m 2－m －22<m 2－m －2，解得m >3或－6<m <－2.8．解析：由已知求得AB 的垂直平分线l′的方程为x －3y －3＝0.圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0x －y ＋1＝0的解，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3y ＝－2.半径r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5.故所求圆的方程为(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25.9．解析：(1)依题设，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＋4＝0的距离，即r ＝41＋3＝2.所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4. (2)不妨设A (x 1,0)，B (x 2,0)，x 1<x 2. 由x 2＝4即得A (－2,0)，B (2,0)．设P (x ，y )，由|P A →|，|PO →|，|PB →|成等比数列，得(x ＋2)2＋y 2·(x －2)2＋y 2＝x 2＋y 2，即x 2－y 2＝2. P A →·PB →＝(－2－x ，－y )·(2－x ，－y ) ＝x 2－4＋y 2＝2(y 2－1)．由于点P 在圆O 内，故⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2<4x 2－y 2＝2，由此得y 2<1.所以P A →·PB →的取值范围为[－2,0)．第56讲直线与圆、圆与圆的位置关系1．C 直线ax －y ＋2a ＝0⇒a (x ＋2)－y ＝0即直线恒过点(－2，0)，因为点(－2,0)在圆内，所以直线与圆相交，故选C.2．A 直线3x ＋y －23＝0与圆O ：x 2＋y 2＝4交于A (1，3)，B (2,0)，OA →·OB →＝2，故选A.3．D 由已知，圆C 1：(x －3)2＋(y ＋2)2＝1，圆C 2：(x －7)2＋(y －1)2＝36，则|C 1C 2|＝5＝6－1，故选D.4．C 因为四边形P ACB 的最小面积是2，此时切线长为2，所以圆心到直线的距离为5，即d ＝51＋k2＝5，解得k ＝2，故选C. 5．x －y ＋5＝0 点P 在圆内，则过点P 且被点P 平分的弦所在的直线和圆心与P 的连线垂直．又圆心与P 的连线的斜率是－1，则所求直线的斜率为1，且过点P (2，－3)，则所求直线方程是x －y －5＝0.6.25 圆的半径是2，圆心O (0,0)到l ：4x ＋3y －12＝0的距离是d ＝|12|42＋32＝125，所以在圆x 2＋y 2＝4上，与直线l ：4x ＋3y －12＝0的距离最小值是d －r ＝125－2＝25.7．±62 如图易得d ＝32＝|b 2|，所以b ＝±62.8．解析：(1)如图，设过P 点的圆的切线方程为y ＋1＝k (x －2)，即kx －y －2k －1＝0.因为圆心(1,2)到切线的距离为2，即|－k －3|1＋k2＝2，所以k 2－6k －7＝0，解得k ＝7或k ＝－1，所以所求的切线方程为7x －y －15＝0或x ＋y －1＝0. (2)连接PC ，CA .在Rt △PCA 中，|P A |2＝|PC |2－|CA |2＝8，所以过P 点的圆C 的切线长为2 2.(3)由⎩⎪⎨⎪⎧7x －y －15＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得A (125，95)．又由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0(x －1)2＋(y －2)2＝2，解得B (0,1)，所以直线AB 的方程为x －3y ＋3＝0.9．解析：(1)设圆O 的半径为r ，因为直线x －3y －4＝0与圆O 相切，所以r ＝|0－3×0－4|1＋3＝2，所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)因为直线l ：y ＝kx ＋3与圆O 交于A ，B 两点，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|3|1＋k 2<2，解得k >52或k <－52. 假设存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形，则OM 与AB 互相垂直且平分，所以原点O 到直线l ：y ＝kx ＋3的距离为 d ＝12|OM |＝1，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝|3|1＋k 2＝1，解得k 2＝8，即k ＝±22，经验证满足条件，所以存在点M ，使得四边形OAMB 为菱形．第57讲椭圆1．A 由d 1＋d 2＝2a ＝4c ，所以e ＝c a ＝12，故选A.2．B 因为方程x 2k ＋1＋y23－k＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k >0k ＋1>0k ＋1>3－k，解得1<k <3，故选B.3．A 由条件知PF 2⊥x 轴，则|PF 2|＝b 2a ＝95，于是|PF 1|＝2a －|PF 2|＝2×5－95＝415，故选A.4．C 由于O 为F 1、F 2的中点，则|PF 1→＋PF 2→|＝2|PO →|，而当P 为短轴端点时，|PO →|取得最小值1，所以|PF 1→＋PF 2→|的最小值为2，故选C.5.19 由题意得1m ＝3×1，所以m ＝19. 6.255由直线方程知椭圆的焦点为(－2,0)，顶点为(0,1)，则b ＝1，c ＝2，所以a ＝12＋22＝5，所以e ＝c a ＝255. 7．6 由题知⎩⎪⎨⎪⎧ 2b ＝5c a ＝23，即⎩⎨⎧ b ＝52a 2－b 2a 2＝49，解得⎩⎨⎧a ＝32b ＝52，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ＝4×32＝6. 8．解析：(1)设椭圆C 的焦距为2c .由已知可得F 1到直线l 的距离为3c ＝23，故c ＝2.所以椭圆C 的焦距为4.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题意知y 1<0，y 2>0.直线l 的方程为y ＝3(x －2)．联立，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3(x －2)x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去x ，得(3a 2＋b 2)y 2＋43b 2y －3b 4＝0，解得y 1＝－3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2，y 2＝－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2. 因为AF 2→＝2F 2B →，所以－y 1＝2y 2，即3b 2(2＋2a )3a 2＋b 2＝2×－3b 2(2－2a )3a 2＋b 2，得a ＝3. 而a 2－b 2＝4，所以b ＝ 5. 故椭圆C 的方程为x 29＋y 25＝1. 9．解析：(1)依题意，设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则⎩⎨⎧ 1b 2＝1e ＝c a ＝a 2－b 2a ＝22，解得⎩⎨⎧ b ＝1a ＝2，所以椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)由⎩⎨⎧x 22＋y 2＝1y ＝1n ＋1，得x 2n ＝2n (n ＋2)(n ＋1)2，a n ＝12x 2n ＝n (n ＋2)(n ＋1)2，所以a 1·a 2·…·a n ＝1×322×2×432×3×542×…×n (n ＋2)(n ＋1)2＝1×(n ＋2)2(n ＋1)>12. 第58讲双曲线1．C 双曲线的方程2x 2－y 2＝8可化为x 24－y 28＝1，则a ＝2，故实轴长2a ＝4，故选C. 2．B 因为双曲线x 2－ky 2＝1的一个焦点是(3,0)，故1＋1k ＝9，所以k ＝18，故选B. 3．C 由|P A |－|PB |＝3知P 点的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线一支(以B 为焦点的一支)，因为2a ＝3,2c ＝4，所以a ＝32，c ＝2，所以|P A |min ＝a ＋c ＝72，故选C. 4．D 根据题意设双曲线方程为x 2－y 23＝λ(λ>0)，即x 2λ－y 23λ＝1，则a 2＝λ，b 2＝3λ，所以c 2＝a 2＋b 2＝4λ＝16⇒λ＝4，所以双曲线方程为x 24－y 212＝1，故选D. 5．2 由题知b a ＝3，则(b a )2＝3，故e ＝1＋(b a)2＝2. 6．16 由双曲线方程得，2a ＝8.由双曲线的定义得|PF 2|－|PF 1|＝2a ＝8，①|QF 2|－|QF 1|＝2a ＝8，②①＋②，得|PF 2|＋|QF 2|－(|PF 1|＋|QF 1|)＝16，所以|PF 2|＋|QF 2|－|PQ |＝16.7.3215 双曲线右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，双曲线一条渐近线的斜率是43，直线FB 的方程是y ＝43(x －5)，与双曲线方程联立解得点B 的纵坐标为－3215，故△AFB 的面积为12×|AF ||y B |＝12×2×3215＝3215. 8．解析：圆(x ＋2)2＋y 2＝2的圆心为A (－2,0)，半径为 2.设动圆圆心为M ，半径为r .由已知条件，知⎩⎨⎧ |MA |＝r ＋2|MB |＝r⇒|MA |－|MB |＝2，所以点M 的轨迹为以A 、B 为焦点的双曲线的右支，且a ＝22，c ＝2，所以b 2＝72. 所以M 点的轨迹方程为x 212－y 272＝1(x >0)． 9．解析：(1)由双曲线的定义可知，曲线E 是以F 1(－2，0)，F 2(2，0)为焦点的双曲线的左支，且c ＝2，a ＝1，易知b ＝1，故双曲线E 的方程为x 2－y 2＝1(x ＜0)．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意建立方程组：⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx －1x 2－y 2＝1，消去y 得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0，又已知直线与双曲线的左支交于A 、B 两点，有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－k 2≠0Δ＝(2k )2＋8(1－k 2)＞0x 1＋x 2＝－2k 1－k2＜0x 1x 2＝－21－k 2＞0，解得－2＜k ＜－1.(2)因为|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝1＋k 2·(－2k 1－k 2)2－4·－21－k 2＝2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2. 依题意得2(1＋k 2)(2－k 2)(1－k 2)2＝63，整理后得28k 4－55k 2＋25＝0，所以k 2＝57或k 2＝54，但－2＜k ＜－1，所以k ＝－52. 第59讲抛物线1．D2．C 由抛物线的对称性可知，另两个顶点一组在焦点的下方，一组在焦点的上方，共有两组，故选C.3．C 分别过A ，B 作准线的垂线，垂足分别为E ，D ，如图．因为|BC |＝2|BF |，由抛物线的定义可知|BF |＝|BD |，∠BCD ＝30°.又|AE |＝|AF |＝3，所以|AC |＝6，即F 为AC 的中点，所以p ＝12|EA |＝32，故抛物线的方程为y 2＝3x ，故选C.4．y 2＝8x 由条件知－p 2＝－2，所以p ＝4，故抛物线的方程为y 2＝8x .5.54 由已知可得1＝14a ，所以a ＝4，所以x 2＝4y . 由抛物线的定义可知点A 到焦点的距离等于A 到准线的距离：y A ＋p 2＝14＋1＝54. 6．y 2＝±8x 由题可知抛物线的焦点坐标为(a 4，0)，于是过焦点且斜率为2的直线l 的方程为y ＝2(x －a 4)，令x ＝0，可得A 点坐标为(0，－a 2)，所以S △OAF ＝12·|a |4·|a |2＝4，所以a ＝±8，故抛物线的方程为y 2＝±8x .7.π6过N 作NQ ⊥准线于Q ，则|NQ |＝|NF |. 因为|NF |＝32|MN |，所以|NQ |＝32|MN |，所以cos ∠QNM ＝|QN ||MN |＝32，所以∠QNM ＝π6，所以∠NMF ＝∠QNM ＝π6. 8．解析：(1)由题意，可设抛物线C 的标准方程为y 2＝2px ，因为点A (2,2)在抛物线C 上，所以p ＝1，所以抛物线C 的标准方程为y 2＝2x .(2)由(1)可得焦点F 的坐标为(12，0)，又直线OA 的斜率为1，所以与直线OA 垂直的直线的斜率为－1.所以过点F ，且与直线OA 垂直的直线的方程为y －0＝－1(x －12)，即x ＋y －12＝0. 9．解析：(1)由抛物线的定义得p 2＋4＝5，则p ＝2，所以抛物线的标准方程为y 2＝4x .(2)证明：设圆心C 的坐标为(y 204，y 0)，半径为r . 因为圆C 在y 轴上截得的弦长为4，所以r 2＝4＋(y 204)2，故圆C 的方程为(x －y 204)2＋(y －y 0)2＝4＋(y 204)2，整理得(1－x 2)y 20－2yy 0＋(x 2＋y 2－4)＝0，① 对于任意的y 0∈R ，方程①均成立．故有⎩⎪⎨⎪⎧ 1－x 2＝0－2y ＝0x 2＋y 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0. 所以圆C 过定点(2,0)．第60讲直线与圆锥曲线的位置关系1．C 易知y 轴与抛物线切于原点满足条件；直线y ＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x 轴上方，故这样的直线有3条．选C. 2.A3．A 双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即b a<tan 60°＝3，所以双曲线的离心率e ＝c a ＝1＋(b a)2<2，即1＜e ＜2，故选A.4．C 设∠AFx ＝θ(0<θ<π)及|BF |＝m ，则点A 到准线l ：x ＝－1的距离为3，得3＝2＋3cos θ⇔cos θ＝13. 又m ＝2＋m cos(π－θ)⇔m ＝21＋cos θ＝32， △AOB 的面积为S ＝12·|OF |·|AB |sin θ＝12×1×(3＋32)×223＝322，故选C. 5．(14，3)∪(3，＋∞) 由⎩⎪⎨⎪⎧x 23＋y 2m ＝1x ＋2y －2＝0消去x 并整理得 (3＋4m )y 2－8my ＋m ＝0，根据条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m ≠3m >0Δ＝64m 2－4m (4m ＋3)>0，解得14<m <3或m >3. 6.3±54 设直线方程为x ＝my ＋p 2，代入抛物线方程得y 2－2mpy －p 2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧y A ＋y B ＝2mp ＝1y A y B ＝－p 2，又|AB |＝1＋m 2·(y A ＋y B )2－4y A ·y B ＝1＋m 2·1＋4p 2，即⎩⎨⎧2mp ＝11＋m 2·1＋4p 2＝3⇒p ＝3±54. 7．①③ 由条件知考虑给出直线与双曲线x 2－y 23＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.8．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆的方程并作差，得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入上式可得b ＝2a .又|AB |＝2|x 2－x 1|＝22，即|x 2－x 1|＝2，其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，则|x 2－x 1|2＝(2b a ＋b )2－4·b －1a ＋b＝4，将b ＝2a 代入，得a ＝13，b ＝23，所以所求椭圆的方程是x 23＋23y 2＝1. 9．解析：(1)依题意F (1,0)，设直线AB 方程为x ＝my ＋1，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得y 2－4my －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，①因为AF →＝2FB →，所以y 1＝－2y 2，②联立①和②，消去y 1，y 2，得m ＝±24，所以直线AB 的斜率是±2 2.(2)由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB 的面积等于2S △AOB ，因为2S △AOB ＝2×12·|OF |·|y 1－y 2| ＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝41＋m 2.所以m ＝0时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4.第61讲轨迹问题1．D 因为定点F (1，－1)在直线l ：x －1＝0上，所以轨迹为过F (1，－1)与直线l 垂直的一条直线，故选D.2．D 设x ＝m ＋n ，y ＝mn ，则x 2＝(m ＋n )2＝m 2＋n 2＋2mn ＝1＋2y ，且由于m ，n 的取值都有限制，因此变量x 的取值也有限制，所以点(m ＋n ，n )的轨迹为抛物线的一部分，故选D.3．B 由条件知|P A |＝|PQ |，则|PO |＋|PQ |＝|PO |＋|P A |＝R (R ＞|OQ |)，所以点P 的轨迹是椭圆，故选B.4．C 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由2MA →＝AP →，则2(－1－x,0－y )＝(x 0＋1，y 0－0)，即(－2－2x ，－2y )＝(x 0＋1，y 0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝－2x －3y 0＝－2y . 又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝2上，所以x 20＋y 20＝2，即(－2x －3)2＋(－2y )2＝2，化简得(x －32)2＋y 2＝12，故选C. 5．x ＋2y －5＝0 设C (x ，y )，则OC →＝(x ，y )，OA →＝(3,1)，OB →＝(－1,3)．因为OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ1－λ2y ＝λ1＋3λ2. 又λ1＋λ2＝1，所以x ＋2y －5＝0.6.32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0) 解析：设A (a,0)，B (0，b )，a >0，b >0，由BP →＝2P A →，得(x ，y －b )＝2(a －x ，－y )，即a ＝32x >0，b ＝3y >0. 因为点Q 与点P 关于y 轴对称，所以点Q (－x ，y )，故由OQ →·AB →＝1，得(－x ，y )·(－a ，b )＝1，即ax ＋by ＝1.将a ＝32x ，b ＝3y 代入上式得所求的轨迹方程为32x 2＋3y 2＝1(x >0，y >0)．7．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1解析：设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧ x ＝x 1＋42y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2x －4y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.8．解析：(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a ，c ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a －c ＝1a ＋c ＝7，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4c ＝3，所以b 2＝7，所以椭圆C 的方程为x 216＋y 27＝1. (2)设M (x ，y )，P (x ，y 1)，其中x ∈[－4,4]．由已知得x 2＋y 21x 2＋y 2＝e 2. 而e ＝34，故16(x 2＋y 21)＝9(x 2＋y 2)．① 由点P 在椭圆C 上得y 21＝112－7x 216，代入①式并化简得9y 2＝112，所以点M 的轨迹方程为y ＝±473(－4≤x ≤4)，轨迹是两条平行于x 轴的线段． 9．解析：(1)两圆半径都为1，两圆心分别为C 1(0，－4)、C 2(0，2)，由题意得CC 1＝CC 2，可知圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，C 1C 2的中点为(0，－1)，直线C 1C 2的斜率等于零，故圆心C 的轨迹是线段C 1C 2的垂直平分线，其方程为y ＝－1，即圆C 的圆心轨迹L 的方程为y ＝－1.(2)因为m ＝n ，所以M (x ，y )到直线y ＝－1的距离与到点F (0,1)的距离相等，故点M 的轨迹Q 是以y ＝－1为准线，点F (0,1)为焦点，顶点在原点的抛物线，而p 2＝1，即p ＝2，所以，轨迹Q 的方程是x 2＝4y . 第62讲圆锥曲线的综合问题1．D 由λx 2－x －λy ＋1＝0，得λ(x 2－y )－(x －1)＝0.依题设⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－y ＝0x －1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，可知不论λ取何值，曲线C 过定点(1,1)．2．B 如图，根据抛物线的定义可知|PF |等于点P 到准线l 的距离|PQ |.则当A 、P ′、Q ′三点共线时|P A |＋|PF |最小，此时，可求得P ′(2,2)．3．D 设P (x ，y )，则M (a b y ，y )，N (－a by ，y )，于是PM →·PN →＝(a b y －x,0)·(－a by －x,0) ＝(a b y －x )(－a b y －x )＝1b 2(b 2x 2－a 2y 2) ＝a 2b 2b 2＝a 2，所以PM →·NP →＝－PM →·PN →＝－a 2，故选D.4．A 设P (x ，y )，由题意得F (－2,0)，所以OP →·FP →＝(x ＋2，y )·(x ，y )＝x 2＋2x ＋y 2＝49x 2＋2x ＋5 ＝49(x ＋94)2＋114(－3≤x ≤3)，所以最小值为114，故选A.5．1 如图，双曲线x 2－y 2＝4的两条渐近线为y ＝±x ，即x ±y ＝0，设P 在另一条渐近线上的射影为R ，则|PQ |＝|x 0－y 0|2， |PR |＝|x 0＋y 0|2，所以S △POQ ＝12|PQ ||PR |＝|x 20－y 20|4＝1. 6．2 8 由题设知圆的圆心为(2,0)，半径为1，本题可转化为求椭圆上的点P (x 0，y 0)到定点A (2,0)的最近、最远距离；易求得|P A |min ＝3，|PA |max ＝7，从而知所求的最近距离为2，最远距离为8.7.3－1 设正六边形的边长为c ，则焦距为2c ，连接EA ，AD ，则在三角形EAD 中，|EA |＋|ED |＝2a ，DE ⊥AE ，所以DE 2＋AE 2＝AD 2，DE ＝12AD ，解得AE ＝3c ，所以3c ＋c ＝2a ，所以e ＝3－1.8．解析：(1)证明：由⎩⎪⎨⎪⎧b 2x 2＋a 2y 2＝a 2b 2x ＋y －1＝0 ⇒(a 2＋b 2)x 2－2a 2x ＋a 2(1－b 2)＝0.①由Δ＞0⇒a 2b 2(a 2＋b 2－1)＞0，因为a ＞b ＞0，所以a 2＋b 2＞1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1，x 2是①的两根，所以x 1＋x 2＝2a 2a 2＋b 2，x 1x 2＝a 2(1－b 2)a 2＋b 2.② 由OP →·OQ →＝0得，x 1x 2＋y 1y 2＝0，即 2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝0，③将②代入③得，a 2＋b 2＝2a 2b 2，所以1a 2＋1b2＝2，为定值． (2)由(1)a 2＋b 2＝2a 2b 2得2－e 2＝2a 2(1－e 2)，所以a 2＝2－e 22(1－e 2)＝12＋12(1－e 2)，又33≤e ≤22，所以52≤a ≤62，长轴2a ∈[5，6]． 9．解析：(1)由题意可知：a ＋c ＝2＋1，12×2c ×b ＝1，因为a 2＝b 2＋c 2，所以a 2＝2，b 2＝1，c 2＝1，所以所求椭圆的方程为x 22＋y 2＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (54，0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1y ＝k (x －1)，消去y ，得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0，则⎩⎨⎧ x 1＋x 2＝4k 21＋2k 2x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2Δ>0. 因为MA →＝(x 1－54，y 1)，MB →＝(x 2－54，y 2)， MA →·MB →＝(x 1－54)(x 2－54)＋y 1y 2 ＝－54(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2516＋y 1y 2 ＝－54(x 1＋x 2)＋x 1x 2＋2516＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝(－54－k 2)(x 1＋x 2)＋(1＋k 2)x 1x 2＋k 2＋2516＝－716. 对任意x ∈R ，有MA →·MB →＝－716为定值．。

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第9单元《立体几何初步与空间向量》

第九单元立体几何初步与空间向量第44讲空间几何体的结构及三视图、直观图1.下列关于斜二测画法下的直观图的说法正确的是()A．互相垂直的两条直线的直观图一定是互相垂直的两条直线B．梯形的直观图可能是平行四边形C．矩形的直观图可能是梯形D．正方形的直观图可能是平行四边形2.在一个倒置的正三棱锥容器内放入一个钢球，钢球恰与棱锥的四个面都接触，过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的截面图形是()3.(2013·昌平二模)已知空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的各侧面图形中，是直角三角形的有()A．0个B．1个C．2个D．3个4.已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为________．5.一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为______．6.(2013·广东佛山市质检)一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆．其中满足条件的序号是________．7.如图，四边形ABCD在斜二测画法下的直观图是下底角为45°的等腰梯形，其下底长为5，一腰长为2，则原四边形的面积是__________．8.如图是一个几何体的正视图和俯视图．(1)试判断该几何体是什么几何体；(2)画出其侧视图，并求该平面图形的面积．9.某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，求a＋b的最大值．第45讲空间几何体的表面积和体积1.已知某球的体积大小等于其表面积大小，则此球的半径是( ) A. 3 B ．3 C ．4 D ．52.(2013·重庆卷)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A.3603B.5803C ．200D ．2403.一个正方体的八个顶点都在同一个球面上，已知这个球的表面积是12π，那么这个正方体的体积是( )A. 3 B ．4 3 C ．8 D ．244.如图，一个简单组合体的正(主)视图和侧(左)视图都是由一个正方形与一个正三角形构成的相同的图形，俯视图是一个半径为3的圆(包括圆心)．则该组合体的表面积等于( )A ．15πB ．18πC ．21πD ．24π5.某圆锥的侧面展开图是半径为1 m 的半圆，则该圆锥的体积是__________m 3.6.若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为__________．7.(2013·上海市高三下七校联考)已知S 、A 、B 、C 是球O 表面上的点，SA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，SA ＝1，AB ＝BC ＝2，则球O 的表面积为________．8.下图是一个几何体的三视图(单位：cm)，试画出它的直观图，并计算这个几何体的体积与表面积．9.正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与四个面都相切，求棱锥的表面积和球的半径．第46讲空间点、线、面的位置关系1.(2013·山东省青岛市上期期末检测)已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ∥c ；②若a ⊥b ，a ⊥c ，则b ⊥c ；③若a ∥b ，b ⊥c ，则a ⊥c .其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2.若直线l 与平面α不平行，则下列结论正确的是( ) A ．α内的所有直线都与直线l 异面 B ．α内不存在与l 平行的直线 C ．α内的直线与l 都相交 D ．直线l 与平面α有公共点3.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是线段C 1D ，BC 的中点，则直线A 1B 与直线EF 的位置关系是( )A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直 4.四棱锥P -ABCD 的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与P A 所成角的余弦值为( )A.55B.255C.45D.35 5.(2013·浙江瑞安期末质检)在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 、Q 分别是AB 、AA 1、C 1D 1、CC 1的中点，给出以下四个结论：①AC 1⊥MN ；②AC 1∥平面MNPQ ；③AC 1与PM 相交；④NC 1与PM 异面．其中正确结论的序号是__________．6.如图，ABCD -A 1B 1C 1D 1是长方体，其中AA 1＝a ，∠BAB 1＝∠B 1A 1C 1＝30°，则AB与A 1C 1所成的角为________，AA 1与B 1C 所成的角为__________．7.四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形，则在四棱锥P -ABCD 的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有对．8.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是AD 、AB 的中点．求证：直线D 1M 、A 1A 、B 1N 三线共点．9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P分别为A1B1，BB1，CC1的中点．(1)求异面直线D1P与AM所成的角；(2)求异面直线CN与AM所成角的余弦值．第47讲空间中的平行关系1.(2013·山东省高考冲刺预测)设m ，n 是平面α内的两条不同直线，l 1，l 2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是( )A ．m ∥β且l 1∥αB ．m ∥l 1且n ∥l 2C ．m ∥β且n ∥βD ．m ∥β且n ∥l 22.已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件： ①α内有无穷多条直线均与平面β平行； ②平面α，β均与平面γ平行；③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行； ④平面α，β与直线l 所成的角相等．其中能推出α∥β的是( ) A ．① B ．②C ．①和③D ．③和④3.已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，则下列四个命题中真命题的是( )A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥nB ．若m ∥α，m ∥n ，则n ∥αC ．若α∥β，α∩γ＝m ，β∩γ＝n ，则m ∥nD ．若m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ，则α∥β4.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱AB ，CC 1的中点，在平面ADD 1A 1内且与平面D 1EF 平行的直线( )A ．有无数条B ．有2条C ．有1条D ．不存在5.若三个平面把空间分成6个部分，那么这三个平面的位置关系是______________________________________．(写出一种可能的情形即可)6.已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题： ①若m ⊂α，n ∥α，则m ∥n ； ②m ∥α，m ∥β，则α∥β；③若α∩β＝n ，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β； ④若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β. 其中正确命题的序号有______．7.考察下列三个命题，请在“______”处添加一个条件，构成真命题(其中l ，m 为直线，α、β为平面)，则：①⎭⎪⎬⎪⎫m ⊂αl ∥m ⇒l ∥α；②⎭⎪⎬⎪⎫l ∥mm ∥α ⇒l ∥α；③⎭⎪⎬⎪⎫a ⊂α，b ⊂αa ∥β，b ∥β ⇒α∥β.8.如图所示，已知四边形ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH . 求证：AP ∥GH .9.如图，ABCD与ADEF为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．(1)求证：BE∥平面DMF；(2)求证：平面BDE∥平面MNG.第48讲空间中的垂直关系1.设l、m、n均为直线，其中m、n在平面α内，则“l⊥α”是“l⊥m且l⊥n”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；③l∥α，l⊥β⇒α⊥β.其中正确的命题有()A．0个B．1个C．2个D．3个3.(2013·辽宁鞍山五模)已知m是平面α的一条斜线，点A∉α，l为过点A的一条动直线，那么下列情形可能出现的是()A．l∥m，l⊥αB．l⊥m，l⊥αC．l⊥m，l∥αD．l∥m，l∥α4.已知直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α，m⊥γ，则有()A．α⊥γ且m∥βB．α⊥γ且l⊥mC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ5.如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则BC与AC的位置关系是.6.已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α.以其中三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：______________.7.已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有新命题中，真命题有个．8.如图，四边形ABCD为矩形，P A⊥平面ABCD，M、N分别为AB、PC的中点．(1)证明：AB⊥MN；(2)若平面PDC与平面ABCD成45°角，连接AC，取AC的中点O，证明平面MNO⊥平面PDC.9.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．(1)求证：AE⊥DA1；(2)求在线段AA1上找一点G，使AE⊥平面DFG.第49讲空间向量的概念及运算1.如图所示，已知四面体ABCD ，E 、F 、G 、H 分别为AB 、BC 、CD 、AC 的中点，则12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)化简的结果为( ) A.BF → B.EH → C.HG → D.FG →2.以下四个命题中正确的是( )A ．若OP →＝12OA →＋13OB →，则P 、A 、B 三点共线B ．若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底C ．|(a·b )·c |＝|a ||b ||c |D ．△ABC 为等腰直角三角形的充要条件是AB →·AC →＝0 3.若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝12，y ＝－12C ．x ＝16，y ＝－32D ．x ＝－16，y ＝324.(2013·舟山月考)平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，向量AB →、AD →、AA 1→两两的夹角均为60°，且|AB →|＝1，|AD →|＝2，|AA 1→|＝3，则|AC 1→|等于( )A ．5B ．6C ．4D ．85.已知A (－1，－2,6)，B (1,2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →夹角是__________． 6.已知向量F 1＝(1,2，－3)，F 2＝(－2,3，－1)，F 3＝(3，－4,5)，若F 1，F 2，F 3共同作用在一个物体上，使物体从点M 1(1，－2,1)移到点M 2(3,1,2)，则合力所做的功为______．7.已知向量a ＝(0，－1,1)，b ＝(4,1,0)，|λa ＋b |＝29且λ＞0，则λ＝______. 8.(2013·河北省保定模拟)已知a ＝(x,4,1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)(a ＋c )与(b ＋c )所成角的余弦值．9.已知向量a ＝(1，－3,2)，b ＝(－2,1,1)，点A (－3，－1,4)，B (－2，－2,2)． (1)求|2a ＋b|；(2)在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE →⊥b ？(O 为原点)．第50讲用向量方法证明空间中的平行与垂直1.已知直线a 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，下列结论成立的是( ) A ．若a ∥n ，则a ∥α B ．若a·n ＝0，则a ⊥α C ．若a ∥n ，则a ⊥α D ．若a·n ＝0，则a ∥α2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n 1，n 2，给出下列结论： ①若n 1∥n 2，则α∥β； ②若n 1∥n 2，则α⊥β； ③若n 1·n 2＝0，则α⊥β； ④若n 1·n 2＝0，则α∥β. 其中正确的是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3.已知A (3，－2,1)，B (4，－5,3)，则与向量AB →平行的一个向量的坐标是( )A ．(13，1,1) B ．(－1，－3,2)C ．(－12，32，－1) D ．(2，－3，－22)4.设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于______．5.设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k )，若α∥β，则k ＝______.6.已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )．若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＝________________________________________________________________________，y ＝________，z ＝__________. 7.若a ＝(2,1，－3)，b ＝(－1,5，3)，则以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为________． 8.如图，平面P AC ⊥平面ABC ，△ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，E ，F ，O 分别为P A ，PB ，AC 的中点，AC ＝16，P A ＝PC ＝10.设G 是OC 的中点，证明：FG ∥平面BOE .9.如图，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，且P A ＝AD ＝2，E ，F，H分别是线段P A，PD，AB的中点．(1)求证：PB∥平面EFH；(2)求证：PD⊥平面AHF.第51讲空间角及其计算1.已知二面角α-l -β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角是( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°2.已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，E 为AA 1的中点，则异面直线BE 与CD 1所成的角的余弦值为( )A.1010B.15C.31010D.353.如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a ＝(0,2,1)，b ＝(2，5，5)，那么这条斜线与平面的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 4.(2013·河北省普通高中质量检测)三棱锥P -ABC 的两侧面P AB 、PBC 都是边长为2a 的正三角形，AC ＝3a ，则二面角A -PB -C 的大小为( )A ．90°B ．30°C ．45°D ．60°5.已知正六棱锥的底面边长为1，体积为32，其侧棱与底面所成的角等于________．6.已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为( )A.32B.12C.33D.367.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，二面角A -BD 1-B 1的大小为________．8.如图所示，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC 1的中点．设GF 、C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，求α＋β.9.(2013·广东省高州市二模)已知△ABC 和△DBC 所在的平面互相垂直，且AB ＝BC ＝BD ，∠CBA ＝∠DBC ＝120°，求：(1)直线AD 与平面BCD 所成角的大小；(2)二面角A-BD-C的余弦值．第52讲空间距离及其计算、折叠问题1.在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AB ＝BC ＝a ，AA 1＝2a ，则点A 到直线A 1C 的距离为( )A.263aB.362aC.233aD.63a 2.若正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线A 1C 1到底面ABCD 的距离为( )A.33B ．1 C. 2 D. 33.已知l 1、l 2是两条异面直线，α、β、γ是三个互相平行的平面，l 1、l 2分别交α、β、γ于A 、B 、C 和D 、E 、F ，AB ＝4，BC ＝12，DF ＝10，则DE ＝( )A.12B.32C.52D.534.在空间直角坐标系O -xyz 中，平面OAB 的一个法向量n ＝(2，－2,1)，已知P (－1,3,2)，则点P 到平面OAB 的距离d 等于( )A ．4B ．2C ．3D ．1 5.设P 是60°的二面角α-l -β内一点，P A ⊥平面α，PB ⊥平面β，A 、B 分别为垂足，P A ＝4，PB ＝2.则AB 的长是 .6.在等边△ABC 中，M ，N 分别为AB ，AC 上的点，满足AM ＝AN ＝2，沿MN 将△AMN 折起，使得平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角为60°，则A 点到平面MNCB 的距离为________．7.在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0(A ，B ，C ，D ∈R ，且A ，B ，C 不同时为零)，点P (x 0，y 0，z 0)到平面α的距离为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则在底面边长与高都为2的正四棱锥中，底面中心O 到侧面的距离等于__________．8.如图，正方体的棱长为1，C 、D 、M 分别为三条棱的中点，A 、B 是顶点，求点M 到截面ABCD 的距离．9.矩形ABCD 中，2AB ＝AD ，E 是AD 的中点，沿BE 将△ABE 折起到△A ′BE 的位置，使A ′C ＝A ′D ，F 、G 分别是BE 、CD 的中点．(2)设AB＝2，求四棱锥A′-BCDE的体积．第九单元立体几何初步与空间向量第44讲空间几何体的结构及三视图、直观图 1．D 由斜二测画法的规则可知答案为D.2．B 由于球与侧棱不相交，因此截面图不可能存在截面圆与三角形都相切，排除A ，D ，又圆锥的高一定过球心，因此在截面图中三角形的高一定过截面圆的圆心，排除C ，故选B.3．C 由三视图知几何体是一个四棱锥，它的一个侧面与底面垂直，且此侧面的顶点在底面上的射影为对应底边的中点，易知其有两个侧面是直角三角形，故选C.4.616a 2 5．1 该三棱锥俯视图为直角三角形，两直角边分别为1,2，其面积为12×1×2＝1.6．②③ 由三视图的成图原则可知，正视图的长度、侧视图的宽度不一样，故俯视图不可能为正方形和圆．7．8 28．解析：(1)由该几何体的正视图和俯视图可知该几何体是一个正六棱锥．(2)该几何体的侧视图如右图．其中AB ＝AC ，AD ⊥BC ，且BC 的长是俯视图正六边形对边的距离，即BC ＝3a . AD 是正六棱锥的高，即AD ＝3a ，所以该平面图形的面积S ＝12·3a ·3a ＝32a 2.9．解析：如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，P A ＝7，PC ⊥平面ABCD ，则PD 为P A 的正视图，AC 为俯视图，PB 为侧视图，由PD ＝6知AD ＝1.设PC ＝h ，由⎩⎪⎨⎪⎧b 2＋h 2＝P A 2＝7a 2－h 2＝BC 2＝1，得a 2＋b 2＝8. 因为a 2＋b 22≥(a ＋b 2)2，所以a ＋b ≤2a 2＋b 22＝4.第45讲空间几何体的表面积和体积1．B 设球的半径为R ，则43πR 3＝4πR 2，所以R ＝3.2．C 由三视图可知该几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底边为2，下底边为8的等腰梯形，所以底面面积为12(2＋8)×4＝20，所以V ＝20×10＝200.故选C.3．C 设球的半径为R ，则4πR 2＝12π，从而R ＝3，所以正方体的体对角线为23，故正方体的棱长为2，体积为23＝8，故选C.4．C 由题意可知，该组合体的下面为圆柱体，上面为圆锥体，由相应几何体的面积计算公式得，该组合体的表面积为：S ＝πr 2＋2πrh ＋πrl ＝π(3)2＋2π×3×23＋π×3×23＝21π.5.3π24设圆锥的底面圆的半径为r ，高为h ，则由2πr ＝π得r ＝12，h ＝12－(12)2＝32，所以该圆锥的体积V ＝13π×(12)2×32＝3π24(m 3)．6.23 可知凸多面体可分为两个同底(底面为边长为1的正方形)等高(高为22)的正四棱锥，其体积为V ＝2×13×1×1×22＝23.7．9π 由题知：△SAC ，△SAB ，△SBC 均为直角三角形，O 是SC 的中点，从而OB ＝OA ＝12SC ＝OS ＝OC ＝32，所以球O 的表面积为9π.8．解析：这个几何体的直观图如图所示．因为V 长方体＝10×8×15＝1200(cm 3)，又V 半球＝12×43πR 3＝12×43π×(52)3 ＝12512π(cm 3)，所以所求几何体体积为V ＝V 长方体＋V 半球＝1200＋12512π(cm 3)．因为S 长方体全＝2×(10×8＋8×15＋10×15)＝700(cm 2)，故所求几何体的表面积S 表面积＝S 长方体全＋S 半球－S 半球底＝700＋254π(cm 2)．9．解析：过P A 与球心O 作截面P AE 与平面PCB 交于PE ，与平面ABC 交于AE ，因△ABC 是正三角形，易知AE 即是△ABC 中BC 边上的高，又是BC 边上的中线，作为正三棱锥的高PD 通过球心，且D 是三角形△ABC 的重心，据此根据底面边长为26，即可算出DE ＝13AE ＝13×32×26＝2，PE ＝1＋(2)2＝ 3.由△POF ∽△PED ，知r DE ＝1－rPE，所以r 2＝1－r 3，r ＝6－2，所以S 表＝S 侧＋S 底＝3×12×26×3＋34×(26)2＝92＋6 3.第46讲空间点、线、面的位置关系1．B ①b ，c 可能异面，也可能垂直；②b ，c 可能异面，也可能平行，故选B.2．D A 中过公共点的直线与直线l 相交，不异面，A 错误；B 、C 中l 在α内时，α内有无数多条直线与l 平行，B 、C 错误；直线l 与平面α不平行，则直线l 与α相交或在平面α内，即l 与α有一个或无穷多个公共点，D 正确，故选D.3．A 因为A 1B ∥D 1C ，D 1C ∩EF ＝E ，又EF ∥D 1B ，所以E ，F ，A 1，B 四点共面，所以EF 与A 1B 相交，选A.4．A 因为CD ∥AB ，则CD 与P A 所成的角就是∠P AB ，由余弦定理得cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝5＋4－52×5×2＝55.5．①③④ 由图形可以观察出AC 1与平面MNPQ 相交于正方体中心，易知①③④正确． 6．30° 45° 因为AB ∥A 1B 1，所以∠B 1A 1C 1是AB 与A 1C 1所成的角，所以AB 与A 1C 1所成的角为30°.因为AA 1∥BB 1，所以∠BB 1C 是AA 1与B 1C 所成的角．由已知条件可以得出BB 1＝a ，AB 1＝A 1C 1＝2a ，AB ＝3a ，所以B 1C 1＝a ，所以四边形BB 1C 1C 是正方形，所以∠BB 1C ＝45°. 7．6 因为四棱锥P -ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其正视图与侧视图都是腰长为a 的等腰直角三角形，所以P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，共6对．8．证明：连接MN 、B 1D 1、BD .因为M 、N 分别是AD 、AB 的中点，所以MN 綊12BD .又B 1D 1綊BD ，所以MN 綊12D 1B 1.所以四边形MNB 1D 1为梯形．延长D 1M 、B 1N 相交于P 点．因为点P 在直线D 1M 上，所以点P 在平面A 1ADD 1内．同样，点P 在平面A 1ABB 1内．所以点P 在平面A 1ADD 1和平面A 1ABB 1的交线A 1A 上，故D 1M 、A 1A 、B 1N 三线共点．9．解析：(1)连接A 1N 、NP .由NP 綊A 1D 1，知四边形A 1NPD 1为平行四边形，所以A 1N ∥D 1P ，所以AM 与A 1N 相交所成锐角(或直角)即为异面直线D 1P 与AM 所成之角．在正方形A 1ABB 1中M 为A 1B 1中点，N 为B 1B 中点，由平面几何知识知AM ⊥A 1N . 所以异面直线D 1P 与AM 所成之角为90°. (2)在平面ABB 1A 1内作NQ ∥AM 交AB 于Q ，则∠QNC (或补角)为异面直线AM 与CN 所成之角．连接CQ ，因为AB ＝1，则BQ ＝14，QC ＝174，NC ＝52，QN ＝12AM ＝54，cos ∠QNC ＝NQ 2＋NC 2－QC22·NQ ·NC ＝516＋54－17162×54×52＝25.第47讲空间中的平行关系1．B m ∥l 1且n ∥l 2，m ，n ⊂α，l 1，l 2为β内两条相交直线，则可得α∥β；若α∥β，l 1，l 2为β内两条相交直线，则不一定有m ∥l 1且n ∥l 2，故选B.2．B ①中也存在α，β相交的可能，故不正确；②符合平面平行的传递性，故正确；③中平面α，β，γ可能两两相交，故不正确；④中平面α，β也可能相交，故选B.3．C A 中m ，n 还可能相交、异面，假命题；B 中直线n 可能在α内，不正确；D 中，若m ，n 都与α，β的交线l 平行，满足条件，但α，β可相交，不正确，故选C.4．A 延长D 1F 交DC 的延长线于G ，连接EG 交BC 于H ，其反向延长线交DA 于R ，连接FH ，D 1R ，则平面D 1GR 即为D 1EF 平面，由平面ADD 1A 1与平面BCC 1B 1平行的性质知FH ∥D 1R ，因为在平面ADD 1A 1内无数条与D 1R 平行的直线，所以这无数条直线与平面D 1EF 都平行，故选A.5．三个平面共线，或两个平面平行且都与第三个平面相交解析：可将三个平面视为三条直线，考虑三条直线分平面为几部分来考虑． 6．④7．l ⊄α l ⊄α a ∩b ＝A解析：①②根据直线与平面平行的判定定理知均需要强调直线l 在平面外，均添加l ⊄α；③根据两个平面平行的判定定理知须强调两条直线相交，故添加a ∩b ＝A .8．证明：如图所示，连接AC . 设AC 交BD 于O ，连接MO .因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O 是AC 的中点．又因为M 是PC 的中点，所以MO ∥P A . 又因为MO ⊂平面BDM ，P A ⊄平面BDM ，所以P A ∥平面BDM ，平面BDM ∩平面APG ＝GH ，所以AP ∥GH .9．证明：(1)连接AE ，则AE 必过DF 与GN 的交点O ，连接MO ，则MO 为△ABE 的中位线，所以BE ∥MO ，又BE ⊄平面EMF ，MO ⊂平面DMF ，所以BE∥平面DMF.(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，所以DE∥平面MNG.又M为AB中点，所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，又MN⊄平面MNG，BD⊂平面MNG，所以BD∥平面MNG，又DE与BD为平面BDE内的两条相交直线，所以平面BDE∥平面MNG.第48讲空间中的垂直关系1．A2．C对于①，α与β可能平行、相交或垂直，故①错；②③正确，故选C.3．C对于A，由l∥m，l⊥α，则m⊥α，与已知矛盾；对于B，由l⊥m，l⊥α，可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾；对于D，由l∥m，l∥α可知m∥α或m⊂α，与已知矛盾．由此排除A，B，D，故选C.4．B m⊂α，m⊥γ⇒α⊥γ，又l⊂γ⇒m⊥l，故选B.5．垂直因为PB⊥α，所以PB⊥AC.又因为PC⊥AC，且PC∩PB＝P，所以AC⊥平面PBC，所以AC⊥BC.6．①③④⇒②或②③④⇒①7．2若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．8．证明：(1)因为N为PC的中点，所以ON∥P A.而P A⊥平面ABCD，所以ON⊥平面ABCD.所以ON⊥AB.又四边形ABCD为矩形，M为AB的中点，所以OM⊥AB，所以AB⊥平面OMN，所以AB⊥MN.(2)P A⊥平面ABCD，AD⊥DC，则PD⊥DC.故∠PDA为平面PDC与平面ABCD所成锐二面角的平面角，即∠PDA＝45°，所以P A ＝AD＝BC.连接MC，由Rt△BCM≌Rt APM知，MC＝MP，所以MN⊥PC.因为AB⊥MN，所以MN⊥CD，又PC∩CD＝C，所以MN⊥平面PCD，所以平面MNO⊥平面PCD.9．解析：(1)连接AD1，BC1，由正方体的性质可知，DA 1⊥AD 1，DA 1⊥AB ，又AB ∩AD 1＝A ，所以DA 1⊥平面ABC 1D 1，又AE ⊂平面ABC 1D 1，所以AE ⊥DA 1.(2)所求G 点即为A 1点，证明如下：由(1)知AE ⊥DA 1，取CD 的中点H ，连接AH ，EH ，由平面几何知识易得DF ⊥AH ，又DF ⊥EH ，AH ∩EH ＝H ，所以DF ⊥平面AHE ，所以DF ⊥AE ，又因为DF ∩A 1D ＝D ，所以AE ⊥平面DF A 1，即AE ⊥平面DFG . 第49讲空间向量的概念及运算1．C 12(AB →＋BC →＋CE →＋ED →)＝12(AC →＋CE →＋ED →)＝12(AE →＋ED →)＝12×2HG →＝HG →，故选C.2．B3．C 因为a ∥b ，所以2x 1＝1－2y ＝39，所以x ＝16，y ＝－32.4．A 设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则AC 1→＝a ＋b ＋c ，AC 1→2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25，因此|AC 1→|＝5，故选A.5．180° OB →＝－OA →，故夹角为180°. 6．8 合力F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(2,1,1)，位移M 2M 1→＝(2,3,1)，则合力所做的功为W ＝F ·M 2M 1→＝8. 7．3 由题意λa ＋b ＝(4,1－λ，λ)，所以16＋(λ－1)2＋λ2＝29(λ＞0)⇒λ＝3. 8．解析：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角为θ，因此cos θ＝5－12＋338×38＝－219.9．解析：(1)2a ＋b ＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a ＋b|＝02＋(－5)2＋52＝5 2. (2)OE →＝OA →＋AE →＝OA →＋tAB →＝(－3，－1,4)＋t (1，－1，－2)＝(－3＋t ，－1－t,4－2t )．若OE →⊥b ，则OE →·b ＝0，所以－2(－3＋t )＋(－1－t )＋(4－2t )＝0，解得t ＝95.因此存在点E ，使得OE →⊥b ，此时E 点的坐标为(－65，－145，25)．第50讲用向量方法证明空间中的平行与垂直1．C 由方向向量和平面法向量的定义可知应选C.对于选项D ，直线a ⊂平面α也满足a·n ＝0.2．A3．A AB →＝(1，－3,2)＝－2(－12，32，－1)，所以与向量AB →平行的一个向量的坐标是(－12，32，－1)，故选C.4．25．4 因为α∥β，所以(－2，－4，k )＝λ(1,2，－2)，所以－2＝λ，k ＝－2λ，所以k ＝4.6.407 －1574 由已知⎩⎪⎨⎪⎧AB →·BC →＝3＋5－2z ＝0BP →·AB →＝x －1＋5y ＋6＝0BP →·BC →＝3(x －1)＋y －3z ＝0，解得x ＝407，y ＝－157，z ＝4.7．258 因为a·b ＝(2,1，－3)·(－1,5，3)＝0，所以a ⊥b ，又|a|＝22，|b|＝29，所以以a ，b 为邻边的平行四边形的面积为 |a|·|b|＝22×29＝258.8．证明：如图，连接OP ，因为P A ＝PC ，AB ＝BC ，所以PO⊥AC ，BO ⊥AC ，又平面P AC ⊥平面ABC ，所以可以以点O 为坐标原点，分别以OB ，OC ，OP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O -xyz .则O (0,0,0)，A (0，－8,0)，B (8,0,0)，C (0,8,0)，P (0,0,6)，E (0，－4,3)， F (4,0,3)．由题意，得G (0,4,0)．因为OB →＝(8,0,0)，OE →＝(0，－4,3)，设平面BOE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·OB →＝0n ·OE →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0－4y ＋3z ＝0，取y ＝3，则z ＝4，所以n ＝(0,3,4)．由FG →＝(－4,4，－3)，得n ·FG →＝0. 又直线FG 不在平面BOE 内，所以FG ∥平面BOE .9．证明：建立如图所示的空间直角坐标系A -xyz ，所以A (0,0,0)，B (2,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)，E (0,0,1)，F (0,1,1)，H (1,0,0)．(1)因为PB →＝(2,0，－2)，EH →＝(1,0，－1)，所以PB →＝2EH →，因为PB ⊄平面EFH ，且EH ⊂平面EFH ，所以PB ∥平面EFH .(2)因为PD →＝(0,2，－2)，AH →＝(1,0,0)，AF →＝(0,1,1)，所以PD →·AF →＝0×0＋2×1＋(－2)×1＝0， PD →·AH →＝0×1＋2×0＋(－2)×0＝0，所以PD ⊥AF ，PD ⊥AH ，又因为AF ∩AH ＝A ，所以PD ⊥平面AHF . 第51讲空间角及其计算 1．B2．C 令AB ＝1，则AA 1＝2，连接A 1B .因为CD 1∥A 1B ，异面直线BE 与CD 1所成的角即A 1B 与BE 所成的角．在△A 1BE 中，由余弦定理易得cos ∠A 1BE ＝31010，故选C.3．D cos θ＝a·b|a||b|＝32，因此a 与b 的夹角为30°.4．D 取PB 的中点为M ，连接AM ，CM ，则AM ⊥PB ，CM ⊥PB ，所以∠AMC 为二面角A -PB -C 的平面角．在等边△P AB 与等边△PBC 中知AM ＝CM ＝3a ，即△AMC 为正三角形，所以∠AMC ＝60°，故选D.5.π3 设正六棱锥的高为h ，侧棱与底面所成的角为θ，则13×6×34×12×h ＝32，解得h ＝3，于是tan θ＝3，故θ＝π3.6．D 由题意知该三棱锥是正三棱锥，如图，故顶点S 在底面上的射影是底面正三角形的中心O ，则AO ＝23×32＝33，所以cos ∠SAO ＝AO SO ＝332＝36，故选D.7．120° 以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，如图．设A (1,0,0)，则D 1(0,0,1)，B (1,1,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，则AC →＝(－1,1,0)为平面BB 1D 1的一个法向量，设n ＝(x ，y ，z )为平面ABD 1的一个法向量，则n ·AD 1→＝0，n ·AB →＝0，又AD 1→＝(－1,0,1) ，AB →＝(0,1,0)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋z ＝0y ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z ＝x y ＝0，令x ＝1，则z ＝1，所以n ＝(1,0,1)，所以cos 〈AC →，n 〉＝AC →·n |AC →||n |＝－12×2＝－12，所以〈AC →，n 〉＝120°，故二面角A -BD 1-B 1的大小为120°.8．解析：建立空间直角坐标系如图．设正方体的棱长为2. 则B (2,0,0)，A (2,2,0)，G (0,0,1)，F (1,1,0)，C 1(0,0,2)，E (1,2,1)．则BA →＝(0,2,0)，GF →＝(1,1，－1)，C 1E →＝(1,2，－1)，所以cos 〈BA →，GF →〉＝13，cos 〈BA →，C 1E →〉＝23，所以cos α＝13，cos β＝23，sin β＝13，所以α＋β＝90°.9．解析：(1)如图，在平面ABC 内，过A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则AH ⊥平面DBC ，所以∠ADH 即为直线AD 与平面BCD 所成的角，由题设知△AHB ≌△AHD ，则DH ⊥BH ，AH ＝DH ，所以∠ADH ＝45°. 所以直线AD 与平面BCD 所成的角为45°. (2)过H 作HR ⊥BD ，垂足为R ，连接AR ，则由AH ⊥平面BCD ，所以AH ⊥BD ，AH ∩HR ＝H ，所以BD ⊥平面AHR ，所以BD ⊥AR . 故∠ARH 为二面角A -BD -C 的平面角的补角，设BC ＝a ，则由题设知，AH ＝DH ＝32a ，BH ＝a2.在△HDB 中，HR ＝34a ，所以tan ∠ARH ＝AHHR＝2，故二面角A -BD -C 的余弦值的大小为－55.第52讲空间距离及其计算、折叠问题1．C 如图，点A 到直线A 1C 的距离，即为Rt △A 1AC 斜边上的高AE . 由AB ＝BC ＝a ，得AC ＝2a . 又AA 1＝2a ，所以A 1C ＝6a ，所以AE ＝AC ·AA 1A 1C ＝233a . 2.D 直线A 1C 1∥平面ABCD ，A 1C 1到底面ABCD 的距离即为正棱柱的高h ，tan 60°＝h1，所以h ＝3，故选D.3．C 由面面平行的性质定理可得AB BC ＝DEEF，所以AB AB ＋BC ＝DEDE ＋EF ，即44＋12＝DE 10，所以DE ＝2.5，故选C. 4．B 因为OP →＝(－1,3,2)是平面OAB 的一条斜线上的向量，n ＝(2，－2,1)为平面OAB 的一个法向量，所以d ＝|OP →·n ||n |＝|－2－6＋2|9＝2，故选B.5．27 因为P A ⊥α，PB ⊥β，所以∠APB ＝120°. 又P A ＝4，PB ＝2，所以AB ＝42＋22－2×4×2cos 120°＝27. 6.23在△ABC 中，过A 点作AF ⊥BC 交BC 于F 点，交MN 于E 点，由题意知折叠后∠AEF 即为平面AMN 与平面MNCB 所成的二面角的平面角，故∠AEF ＝60°，过A 点作AH ⊥EF 于H 点，则AH 即为A 点到平面MNCB 的距离，因为AE ＝3，所以AH ＝AE ·sin 60°＝32.7.255如图，以底面中心O 为原点建立空间直角坐标系O -xyz ，则A (1,1,0)，B (－1，1,0)，P (0,0,2)，设平面P AB 的方程为Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0，将以上3个坐标代入计算得A ＝0，B ＝－D ，C ＝－12D ，所以－Dy －12Dz ＋D ＝0，即2y ＋z －2＝0，所以d ＝|2×0＋0－2|22＋12＝255.8．解析：设点M到截面ABCD的距离为h.连接AC、AM，作CF⊥AB，垂足为F，连接CM.V C-ABM＝13S△ABM·CM＝13×14×1＝112.又V M-ABC＝13·1 2·AB·CF·h＝13×12×2×322×h＝h 4，故由V C-ABM＝V M-ABC，得h4＝112，所以h＝13.9．解析：(1)证明：矩形ABCD中，因为F、G分别是BE、CD的中点，所以FG∥BC，所以FG⊥CD.因为A′C＝A′D，所以A′G⊥CD，又FG∩A′G＝G，所以CD⊥平面A′GF，所以CD⊥A′F.(2)因为AB＝2，所以BC＝4，ED＝2，在等腰直角三角形△A′BE中，A′F＝2且A′F⊥BE，因为CD⊥A′F且BE、CD不平行，所以A′F⊥平面BCDE.所以几何体A′-BCDE的体积V A′-BCDE＝13A′F·S四边形BCDE＝13×2×2＋42×2＝2 2.。

【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练：第8单元《推理与证明》

第八单元推理与证明第43讲合情推理与演绎推理1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，○○○●●○○○●●○○○…，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是()A．白色B．黑色C．白色可能性大D．黑色可能性大2.给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋b i＝c＋d i⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d ∈Q，则a＋b2＝c＋d2⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．其中类比得到的结论正确的个数是()A．0 B．1C．2 D．33.观察图中各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，第n个图案中圆点的个数是a n，按此规律推断出所有圆点总和S n与n的关系式为()A．S n＝2n2－2n B．S n＝2n2C．S n＝4n2－3n D．S n＝2n2＋2n4.△ABC中，若sin A·sin B<cos A·cos B，则该三角形是()A．直角三角形B．钝角三角形C．锐角三角形D．以上都不可能5.数学与文学之间存在着许多奇妙的联系．诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88,454,7337,43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11,22,33,44,55,66,77,88,99，共9个；三位的回文数有101,111,121,131，…，969,979,989,999，共90个；四位的回文数有1001,1111,1221，…，9669,9779,9889,9999，共90个；由此推测：10位的回文数总共有________个．6.观察下列等式：13＝1，13＋23＝9，13＋23＋33＝36，13＋23＋33＋43＝100，……猜想：13＋23＋33＋…＋n3＝____________________(n∈N*)．7.如图所示：有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上．(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面．将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为f(n)．则：①f(3)＝______；②f(n)＝________.8.在一容器内装有浓度为r %的溶液a 升，注入浓度为p %的溶液14a 升，搅匀后再倒出溶液14a 升，这叫一次操作．设第n 次操作后容器内溶液的浓度为b n (每次注入的溶液浓度都是p %)．计算b 1，b 2，b 3，并归纳出b n 的计算公式．9.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，下图(1)、(2)、(3)、(4)为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n 个图形包含f (n )个小正方形．(1)求f (5)的值；(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f (n ＋1)与f (n )之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f (n )的表达式；(3)求1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1的值．第44讲直接证明与间接证明1.用反证法证明“如果a >b ，那么3a >3b ”，假设内容应是( ) A.3a ＝3b B.3a <3b C.3a ＝3b 且3a <3b D.3a ＝3b 或3a <3b2.已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)在抛物线上，且2x 2＝x 1＋x 3，则有( )A ．|FP 1|＋|FP 2|＝|FP 3|B ．|FP 1|2＋|FP 2|2＝|FP 3|2C ．2|FP 2|＝|FP 1|＋|FP 3|D ．|FP 2|2＝|FP 1|·|FP 3|3.已知a ，b ，c 都是正数，则三数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( ) A ．都大于2 B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于24.已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝n ，y ＝na ＋b ，n ∈Z }，B ＝{(x ，y )|x ＝m ，y ＝3m 2＋12，m ∈Z }．若存在实数a ，b 使得A ∩B ≠∅成立，称点(a ，b )为“￡”点，则“￡”点在平面区域C ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤108}内的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．无数个5.在用反证法证明数学命题时，如果原命题的否定事项不止一个时，必须将结论的否定情况逐一驳倒，才能肯定原命题的正确．例如：在△ABC 中，若AB ＝AC ，P 是△ABC 内一点，∠APB ＞∠APC ，求证：∠BAP ＜∠CAP ，用反证法证明时应分：假设________________和__________两类．6.设S 是至少含有两个元素的集合．在S 上定义了一个运算“*”(即对任意的a ，b ∈S ，对于有序元素对(a ，b )，在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应)．若对任意的a ，b ∈S ，有a *(b *a )＝b ，则对任意的a ，b ∈S ，下列恒成立的等式的序号是________．①(a *b )*a ＝a②[a *(b *a )]*(a *b )＝a③b *(b *b )＝b④(a *b )*[b *(a *b )]＝b7.设a ，b 是两个实数，给出下列条件：①a ＋b >1；②a ＋b ＝2；③a ＋b >2；④a 2＋b 2>2；⑤ab >1.其中能推出：“a ，b 中至少有一个大于1”的条件是 .(填序号)8.叙述并证明余弦定理．9.若正整数N ＝a 1＋a 2＋…＋a n (a k ∈N *，k ＝1,2，…，n )，则称a 1×a 2×…×a n 为N 的一个“分解积”．(1)当N分别等于6,7,8时，写出N的一个分解积，使其值最大；(2)当正整数N(N≥2)的分解积最大时，证明：a k(k∈N*)中2的个数不超过2；(3)对任意给定的正整数N(N≥2)，求出a k(k＝1,2，…，n)，使得N的分解积最大．第八单元推理与证明第43讲合情推理与演绎推理1．A 由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5＝7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色．2．C 因为虚数不能比较大小，所以③错误，故选C.3．A 事实上由合情推理的本质：由特殊到一般，当n ＝2时有S 2＝4，分别代入即可淘汰B ，C ，D 三选项，从而选A.也可以观察各个正方形图案可知圆点个数可视为首项为4，公差为4的等差数列，因此所有圆点总和即为等差数列前n －1项和，即S n ＝(n －1)×4＋(n －1)(n －2)2×4＝2n 2－2n . 4．B 因为sin A ·sin B <cos A ·cos B ，所以cos(A ＋B )>0，所以cos(π－C )>0，所以cos C <0，所以C 为钝角，故△ABC 为钝角三角形．5．90000 一、二位回文数有9个，三、四位回文数有90个，五、六位回文数有900个，七、八位回文数有9000个，九、十位回文数有90000个．6．[n (n ＋1)2]2 由已知的四个等式可以得出右式等于左式各底数和的平方，故13＋23＋33＋…＋n 3＝(1＋2＋3＋…＋n )2＝[n (n ＋1)2]2. 7．7 2n －1 n ＝1时，直接由1号针移到3号针，f (1)＝1；n ＝2时，先把较小的移到2号针，把较大的移到3号针，再把较小的移到3号针，f (2)＝3；n ＝3时，按照1→3；1→2；3→2；1→3；2→1；2→3；1→3顺序处理，f (3)＝7. 归纳推理为f (n )＝2n －1.8．解析：b 1＝a ·r 100＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100(45r ＋15p )； b 2＝ab 1＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)2·r ＋15p ＋452p ]； b 3＝a ·b 2＋a 4·p 100a ＋a 4＝1100[(45)3·r ＋15p ＋452p ＋4253p ]．所以归纳得b n ＝1100[(45)n ·r ＋15p ＋452p ＋…＋4n －15n p ]． 9．解析：(1)f (5)＝41.(2)因为f (2)－f (1)＝4＝4×1，f (3)－f (2)＝8＝4×2，f (4)－f (3)＝12＝4×3，f (5)－f (4)＝16＝4×4，所以f (n ＋1)－f (n )＝4n .由f (n ＋1)－f (n )＝4n ⇒f (n ＋1)＝f (n )＋4n ⇒f (n )＝f (n －1)＋4(n －1)＝f (n －2)＋4(n －1)＋4(n －2)＝f (n －3)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＝……＝f (1)＋4(n －1)＋4(n －2)＋4(n －3)＋…＋4＝2n 2－2n ＋1.(3)当n ≥2时，1f (n )－1＝12n (n －1)＝12(1n －1－1n)，所以1f (1)＋1f (2)－1＋1f (3)－1＋…＋1f (n )－1＝1＋12(1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1－1n) ＝1＋12(1－1n) ＝32－12n. 第44讲直接证明与间接证明1．D 2.C3．D 假设a ＋1b <2，b ＋1c <2，c ＋1a<2，则a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a<6，而a ＋1b ＋b ＋1c ＋c ＋1a ＝a ＋1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c≥2＋2＋2＝6，矛盾，所以a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2，故选D. 4．A 要使A ∩B ≠∅成立，首先函数y ＝ax ＋b 的图象与函数y ＝3x 2＋12的图象必须有公共点．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x 2＋12y ＝ax ＋b ，可得3x 2－ax －b ＋12＝0，①，因为Δ＝a 2－12(－b ＋12)≥0，所以a 2＋12b ≥144.若点(a ，b )在区域C 内，则必有a 2＋b 2≤108，所以a 2≤108－b 2，所以144≤a 2＋12b ≤108－b 2＋12b ，所以b 2－12b ＋36≤0，所以(b －6)2≤0，所以b ＝6.所以a 2≤108－b 2＝72，a 2＋12b ≥144，所以a 2≥72，所以a 2＝72，所以a ＝±62，代入①可得方程无整数解，故满足条件的点不存在，选A.5．∠BAP ＝∠CAP ∠BAP >∠CAP6．②③7．③ 若a ＝12，b ＝23，则a ＋b >1，但a <1，b <1，故①推不出；若a ＝b ＝1，则a ＋b ＝2，故②推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则a 2＋b 2>2，故④推不出；若a ＝－2，b ＝－3，则ab >1，故⑤推不出；对于③，即a ＋b >2，则a ，b 中至少有一个大于1，反证法：假设a ≤1且b ≤1，则a ＋b ≤2，与a ＋b ＞2矛盾，因此假设不成立，故a ，b 中至少有一个大于1.8．解析：叙述：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .(证法一)如图，a 2＝BC →2＝(AC →－AB →)·(AC →－AB →)＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2＝AC →2－2|AC →|·|AB →|cos A ＋AB →2＝b 2－2bc cos A ＋c 2，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证 b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，(证法二)已知△ABC 中，A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AB 的垂线为y 轴建立直角坐标系，则C (b cos A ，b sin A )，B (c,0)，所以a 2＝|BC |2＝(b cos A －c )2＋(b sin A )2＝b 2cos 2A －2bc cos A ＋c 2＋b 2sin 2A＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A .同理可证b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C .9．解析：(1)6＝3＋3，分解积的最大值为3×3＝9；7＝3＋2＋2＝3＋4，分解积的最大值为3×2×2＝3×4＝12；8＝3＋3＋2，分解积的最大值为3×3×2＝18.(2)证明：由(1)可知，a k (k ＝1,2，…，n )中可以有2个2.当a k (k ＝1,2，…，n )有3个或3个以上的2时，因为2＋2＋2＝3＋3，且2×2×2<3×3，所以，此时分解积不是最大的．因此，a k (k ∈N *)中至多有2个2.(3)①当a k (k ＝1,2，…，n )中有1时，因为1＋a i ＝(a i ＋1)，且1×a i <a i ＋1，所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大． ②由(2)可知，a k (k ＝1,2，…，n )中至多有2个2.③当a k (k ＝1,2，…，n )中有4时，若将4分解为1＋3，由①可知分解积不会最大；若将4分解为2＋2，则分解积相同；若有两个4，因为4＋4＝3＋3＋2，且4×4<3×3×2，所以将4＋4改写为3＋3＋2，使得分解积更大．因此，a k (k ＝1,2，…，n )中至多有1个4，而且可以写成2＋2.④当a k (k ＝1,2，…，n )中有大于4的数时，不妨设a i >4，因为a i <2(a i －2)，所以将a i 分解为2＋(a i －2)会使得分解积更大．综上所述，a k (k ＝1,2，…，n )中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．于是，当N＝3m(m∈N*)时，N＝3＋3＋…＋3m个使得分解积最大；当N＝3m＋1(m∈N*)时，N＝3＋3＋…＋3(m－1)个＋4使得分解积最大；(m－1)个＋2＋2＝3＋3＋…＋3当N＝3m＋2(m∈N*)时，N＝3＋3＋…＋3m个＋2使得分解积最大．。

【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练：第4单元《三角函数与解三角形》

第四单元三角函数与解三角形第18讲任意角的三角函数1.终边与坐标轴重合的角α的集合为( )A ．{α|α＝k ·360°，k ∈Z }B ．{α|α＝k ·180°，k ∈Z }C ．{α|α＝k ·90°，k ∈Z }D ．{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }2.已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长为( )A ．2B ．sin 2C.2sin 1D ．2sin 1 3.若角α的终边落在直线x ＋y ＝0上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( ) A ．2 B ．－2C ．－2或2D ．04.已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π45.若角θ的终边过点P (－4a,3a )(a ≠0)，则sin θ＋cos θ的值为( ) A ．－15 B.15C ．±15D ．不能确定 6.已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限内，则在[0,2π)内，α的取值范围是__________________________．7.角α的终边上的点P 与A (a ，b )关于x 轴对称(a ≠0，b ≠0)，角β的终边上的点Q与A 关于直线y ＝x 对称，则sin αcos β＋tan αtan β＋1cos αsin β＝______. 8.求下列函数的定义域：(1)y ＝－1－2cos x ；(2)y ＝lg(3－4sin 2x )．9.已知△ABC 是锐角三角形，判断点P (cos B －sin A ，tan B －1tan C)在第几象限？第19讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1.cos(－20π3)的值等于( ) A.12 B.32C ．－12D ．－322.已知sin α＝－23，且α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－255 B.255 C ．－52 D.523.已知sin(π3－x )＝35，则cos(5π6－x )＝( ) A.35 B.45C ．－35D ．－454.“α＝π6”是“cos 2α＝12”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5.已知α∈(π2，π)，cos α＝－45，则tan(π－α)＝ . 6.已知tan α＝2，则sin (π＋α)－sin (π2＋α)cos (3π2＋α)＋cos (π－α)的值为 . 7.已知f (α)＝sin(π－α)tan(3π2－α)，则f (－49π4)的值为________．8.已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－35，求tan(3π＋α)和cos(α－7π2)的值．9.已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103. (1)求tan α的值；(2)求sin2(π＋α)＋2sin αsin(π2＋α)＋13sin αcos(π2－α)－2cos αcos(π－α)的值．第20讲两角和与差及二倍角的三角函数1.计算：cos 43°·cos 77°＋sin 43°·cos 167°的值为( ) A.32 B ．－32C.12 D ．－122.已知cos(α－β)＝35，sin β＝－513，且α∈(0，π2)，β∈(－π2，0)，则sin α＝( ) A.3365 B.6365C ．－3365D ．－63653.已知sin(π4＋θ)＝35，则sin 2θ的值为( ) A ．－1925 B ．－725C ．－1625 D.7254.若cos 2αsin (α＋7π4)＝－22，则sin α＋cos α的值为( ) A ．－22 B ．－12 C.12 D.225.若3cos(π2－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则tan 2θ的值为 . 6.已知过点(0,1)的直线l ：x tan α－y －3tan β＝0的斜率为2，则tan(α＋β)＝______.7.若sin α＝255，sin β＝31010，α，β都为锐角，则α＋β＝ . 8.已知tan α，tan β是方程x 2－5x ＋6＝0的两个实根，求2sin 2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)＋cos 2(α＋β)的值．9.已知函数f (x )＝tan (3x ＋π4)． (1)求f (π9)的值； (2)设α∈(π，3π2)，若f (α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值．第21讲简单的三角恒等变换1.已知cos α＋sin α＝－1725，α为第二象限角，则tan α等于( ) A.247 B.724C ．－247D ．－7242.3－sin 70°2－cos 210°＝( ) A.12 B.22C ．2 D.32 3.sin 13°＋cos 15°sin 2°cos 13°－sin 15°sin 2°的值为( ) A ．2＋ 3 B ．2－ 3C.2＋32D.2－324.已知实数u 、v ，定义运算u *v ＝(u －1)v .设u ＝cos θ＋sin θ，v ＝cos θ－sin θ－1，则当π4≤θ≤2π3时，u *v 的值域为( ) A ．[－12，32] B ．[－12，0] C ．[0,4] D ．[1－2，32] 5.若α∈(0，π2)，且cos 2α＋sin(π2＋2α)＝12，则tan α＝ . 6.若α为锐角，且sin(α－π6)＝13，则cos α＝______. 7.已知x ＋y ＝2sin(α＋π4)，x －y ＝2sin(α－π4)，则x 2＋y 2的值是______． 8.(1)已知θ≠k π(k ∈Z )，求证：tan θ2＝1－cos θsin θ；(2)已知sin θ＝45，求tan(θ2－π4)的值．9.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，0<β<α<π2. (1)求tan 2α的值．(2)求β.第22讲三角函数的图象1.把函数y ＝sin x (x ∈R )的图象上所有的点向左平移π6个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到的图象所表示的函数为( )A ．y ＝sin(2x －π3)，x ∈RB ．y ＝sin(2x ＋π3)，x ∈RC ．y ＝sin(12x ＋π6)，x ∈RD ．y ＝sin(12x －π6)，x ∈R2.函数y ＝sin(2x －π3)在区间[－π2，π]的简图是( )3.函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)的图象如图所示，－π<φ<π，则φ的值为( )A ．－π3B ．－π6C ．－π3或－2π3D ．－π6或－5π64.函数f (x )＝A sin(2x ＋φ)(A >0，φ∈R )的部分图象如图所示，那么f (0)＝() A ．－12 B ．－1 C ．－32 D ．－ 35.设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于______．6.将函数y ＝sin(2x －π3)的图象先向左平移π6，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，则所得到的图象对应的函数解析式为__________．7.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω＞0，|ω|＜π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝ .8.画出函数y ＝1－sin x ，x ∈[0,2π]的图象．9.已知a ＝(2cos x ，cos 2x )，b ＝(sin x ，－3)，f (x )＝a·b .(1)求它的振幅、周期，并画出它在一个周期内的图象；(2)说明它可以由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到．第23讲三角函数的性质1.下列函数中，周期是π，又是偶函数的是( ) A ．y ＝sin x B ．y ＝cos x C ．y ＝sin 2x D ．y ＝cos 2x2.设函数f (x )＝sin(2x ＋π3)，则下列结论正确的是( )①f (x )的图象关于直线x ＝π3对称②f (x )的图象关于点(π4，0)对称③f (x )的图象向左平移π12个单位，得到一个偶函数的图象A ．①③B ．②③C ．①②③D ．③3.若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A.23B.32 C ．2 D ．34.函数f (x )＝lg(sin 2x －cos 2x )的定义域是( )A ．{x |2k π－3π4<x <2k π＋π4，k ∈Z }B ．{x |2k π＋π4<x <2k π＋5π4，k ∈Z }C ．{x |k π－π4<x <k π＋π4，k ∈Z }D ．{x |k π＋π4<x <k π＋3π4，k ∈Z }5.函数f (x )＝sin(x ＋π3)－3cos(x ＋π3)，x ∈[0,2π]的单调递减区间是 .6.函数y ＝sin(x ＋52π)的图象的对称轴的方程是，对称中心为________________．7.设函数f (x )＝sin(2x －π3)，若任意x ∈R ，存在x 1，x 2使f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)恒成立，则|x 1－x 2|的最小值是 .8.已知函数f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1.(1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值；(3)求y ＝f (－x )的单调增区间．9.设函数f (x )＝a cos 2ωx －3a sin ωx cos ωx ＋b (ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值；(2)若f (x )的定义域为[－π3，π6]，值域为[－1,5]，求a ，b 的值．第24讲正弦定理与余弦定理1.在△ABC 中，A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c 等于( ) A ．1∶2∶3 B ．3∶2∶1 C ．1∶3∶2 D ．2∶3∶12.在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，AB ＝6，则C ＝( )A.π4或3π4B.3π4C.π4D.π63.已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于( )A ．3＋ 3B ．3 3C ．2＋ 3 D.3324.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b cos C ＋c cos B ＝a sin A ，则△ABC 的形状为( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不确定5.在△ABC 中，若b ＝5，∠B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝ .6.若△ABC 的面积为3，BC ＝2，C ＝60°，则边AB 的长度等于______．7.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2c 2＝2a 2＋2b 2＋ab ，则△ABC 是________三角形．8.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B ＋b cos 2A ＝2a .(1)求b a ；(2)若c 2＝b 2＋3a 2，求角B .9.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若B ＝60°，且cos(B ＋C )＝－1114.(1)求cos C 的值；(2)若a ＝5，求△ABC 的面积．第25讲解三角形的实际应用1.有一长为100米的斜坡，它的倾斜角为45°，现要把其倾斜角改为30°，而坡高不变，则坡长需伸长()A．1002米B．1003米C．100(2－1)米D．100(3－1)米2.为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20 m的楼顶测得塔顶A的仰角为30°，测得塔基B的俯角为45°，那么塔AB的高度是()A．20(1＋33) mB．20(1＋3 2) mC．20(1＋3) mD．20(1－3 3) m3.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧AP的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致为()4.已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10 km B. 3 kmC．10 5 km D．107 km5.如图，在台湾“莫拉克”台风灾区的搜救现场，一条搜救狗沿正北方向行进x m发现生命迹象，然后向右转105°，行进10 m发现另一生命迹象，这时它向右转135°回到出发点，那么x＝________m.6.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点C 与D，测得∠BCD＝15°，∠BDC＝30°，CD＝30 m，并在C测得塔顶A的仰角为60°，则塔的高度__________m.7.如图，两座相距60 m的建筑物AB、CD的高度分别为20 m、50 m，BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角∠CAD的大小是________．8.如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A，B，观察对岸的点C，测得∠CAB＝75°，∠CBA＝45°，且AB＝100 m.(1)求sin 75°；(2)求该河段的宽度．9.如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进4 km后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角．已知该岛周围3.5 km范围内有暗礁，现该船继续东行．(1)若α＝2β＝60°，问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少千米开始有触礁危险？(2)当α与β满足什么条件时，该船没有触礁危险？第四单元三角函数与解三角形第18讲任意角的三角函数1．C 2.C 3.D 4.B 5.C 6.(π4，π2)∪(π，5π4) 7.08．解析：(1)因为－1－2cos x ≥0，所以cos x ≤－12.由三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)．所以x ∈[2k π＋2π3，2k π＋4π3](k ∈Z )．(2)因为3－4sin 2x ＞0，所以sin 2x ＜34，所以－32＜sin x ＜32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影所示)，所以x ∈(k π－π3，k π＋π3)(k ∈Z )．9．解析：因为△ABC 为锐角三角形，所以0<A <π2，0π2，B ＋C >π2，所以π2>A >π2－B >0，π2>B >π2－C >0，因为根据三角函数线可以判断y ＝sin x 与y ＝tan x 在(0，π2)上都是增函数，所以sin A >sin(π2－B )，tan B >tan(π2－C )，所以sin A >cos B ，tan B >1tan C，所以点P 在第二象限．第19讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式1．C 2.A 3.C 4.A 5.34 6.－3 7.228．解析：因为cos(α－7π)＝cos(－6π＋α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－35，所以cos α＝35，所以3π2＜α＜2π，所以sin α＝－1－cos 2α＝－45，所以tan(3π＋α)＝tan α＝sin αcos α＝－43，cos(α－7π2)＝cos(－4π＋π2＋α)＝－sin α＝45.9．解析：(1)因为tan α＋1tan α＝－103，所以3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－13或tan α＝－3.因为3π4＜α＜π，所以－1＜tan α＜0，所以tan α＝－13.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos α＋13sin 2α＋2cos 2α＝2sin 2α＋2sin αcos α＋cos 2α3sin 2α＋2cos 2α＝2tan 2α＋2tan α＋13tan 2α＋2＝521. 第20讲两角和与差及二倍角的三角函数1．D 2.A 3.B 4.C 5.34 6.1 7.3π48．解析：由韦达定理得tan α＋tan β＝5，tan αtan β＝6，所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝51－6＝－1，得α＋β＝k π＋3π4(k ∈Z )．所以原式＝2sin 2(k π＋3π4)－32sin(2k π＋3π2)＋cos 2(k π＋3π4)＝1＋32＋12＝3.9．解析：(1)f (π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3tanπ4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f (α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tan α＝2，所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α，①因为sin 2α＋cos 2α＝1，②由①②解得cos 2α＝15，因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255，所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋(－255)×22＝－31010.第21讲简单的三角恒等变换1．D 2.C 3.B 4.A 5.1 6.26－167.18．解析：(1)证明：右边＝1－cos θsin θ＝1－(1－2sin 2θ2)2sin θ2cosθ2＝tan θ2＝左边．(2)由sin θ＝45⇒cos θ＝±35，所以当cos θ＝35时，tan(θ2－π4)＝tan θ－π22＝1－cos (θ－π2)sin (θ－π2)＝1－sin θ－cos θ＝1－45－35＝－13.当cos θ＝－35时，tan(θ2－π4)＝13.9．解析：(1)由cos α＝17，0<α<π2，得sin α＝1－(17)2＝437，所以tan α＝sin αcos α＝437×7＝43，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－(1314)2＝3314.由β＝α－(α－β)，得 cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.第22讲三角函数的图象1．C 2.A 3.A 4.B 5.6 6.y ＝sin x 7. 38．解析：将函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]的图象关于x 轴对称，得函数y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象，再将函数y ＝－sin x ，x ∈[0,2π]的图象向上平移一个单位即可．9．解析：(1)f (x )＝a·b ＝sin 2x －3cos 2x＝2sin(2x －π3)，周期T ＝π，振幅A ＝2. 列表略，图象如下：(2)f (x )可以由y ＝sin x 的图象上各点向右平移π3个单位后，再将纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标缩短为原来的12而得到．第23讲三角函数的性质1．D 2.D 3.B 4.D 5.[π2，3π2] 6.x ＝k π，k ∈Z (k π＋π2，0)(k ∈Z ) 7.π28．解析：(1)因为f (x )＝4cos x sin(x ＋π6)－1＝4cos x (32sin x ＋12cos x )－1＝3sin 2x ＋2cos 2x －1 ＝3sin 2x ＋cos 2x＝2sin(2x ＋π6)，所以f (x )的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值2；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－1.(3)因为f (－x )＝2sin(－2x ＋π6)＝－2sin(2x －π6)．令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .故f (－x )的单调增区间为[k π＋π3，k π＋5π6]，k ∈Z .9．解析：(1)f (x )＝a 2(1＋cos 2ωx )－32a sin 2ωx ＋b＝a cos(2ωx ＋π3)＋a2＋b .因为T ＝π，所以2π2ω＝π⇒ω＝1.(2)由(1)知，f (x )＝a cos(2x ＋π3)＋a2＋b ，因为x ∈[－π3，π6]，所以－π3≤2x ＋π3≤2π3，所以cos(2x ＋π3)∈[－12，1]，又－1≤f (x )≤5，所以⎩⎪⎨⎪⎧a >0b ＝－13a 2＋b ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧a <03a2＋b ＝－1b ＝5，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4b ＝5. 第24讲正弦定理与余弦定理1．C 2.C 3.A 4.A 5.5236.27.钝角8．解析：(1)由正弦定理得sin 2A sin B ＋sin B cos 2A ＝2sin A ，即sin B (sin 2A ＋cos 2A )＝2sin A .故sin B ＝2sin A ，所以b a ＝ 2. (2)由余弦定理和c 2＝b 2＋3a 2，得cos B ＝(1＋3)a 2c. 由(1)知b 2＝2a 2，故c 2＝(2＋3)a 2，可得cos 2B ＝12，又cos B >0，故cos B ＝22，所以B ＝45°. 9．解析：(1)因为cos(B ＋C )＝－1114，所以sin(B ＋C )＝1－cos 2(B ＋C )＝5314. 所以cos C ＝cos[(B ＋C )－B ]＝cos(B ＋C )cos B ＋sin(B ＋C )sin B＝－1114×12＋5314×32＝17. (2)由(1)可得sin C ＝1－cos 2C ＝437. 在△ABC 中，由正弦定理c sin C ＝b sin B ＝a sin A ，所以c ＝a sin C sin A＝8，所以S ＝12ac sin B ＝12×5×8×32＝10 3. 第25讲解三角形的实际应用1．C 2.A 3.C 4.D 5.10636.1567.45° 8．解析：(1)sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋cos 30°sin 45°＝12×22＋32×22＝6＋24. (2)因为∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，所以∠ACB ＝180°－∠CAB －∠CBA ＝60°，由正弦定理得：AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠CAB，所以BC ＝AB sin 75°sin 60°，如图过点B 作BD 垂直于对岸，垂足为D ，则BD 的长就是该河段的宽度．在Rt △BDC ，因为∠BCD ＝∠CBA ＝45°，sin ∠BCD ＝BD BC， BD ＝BC sin 45°＝AB sin 75°sin 60°·sin 45° ＝100×6＋2432×22＝25(6＋23)3＝503(1＋3)3(m)．所以该河段的宽度503(1＋3)3 m. 9．解析： (1)作MC ⊥AB ，垂足为C .由已知α＝60°，β＝30°，所以∠ABM ＝120°，∠AMB ＝30°.所以BM ＝AB ＝4，∠MBC ＝60°.设该船自B 向东航行至D 点有触礁危险，则MD ＝3.5 km.在△MBC 中，BM ＝4 km ，BC ＝2 km ，MC ＝MB ·sin ∠MBC ＝4×32＝23(km)，所以CD ＝ 3.52－(23)2＝0.5(km)，所以BD ＝1.5(km)．所以该船自B 向东航行1.5 km 开始有触礁危险． (2)设CM ＝x . 在△MAB 中，由正弦定理得AB sin ∠AMB ＝BM sin ∠MAB，即4sin (α－β)＝BM cos α，则BM ＝4cos αsin (α－β). 而x ＝BM ·sin ∠MBC ＝BM ·cos β＝4cos αcos βsin (α－β)，所以，当x >3.5，即4cos αcos βsin (α－β)>72，即cos αcos βsin (α－β)>78时，该船没有触礁危险．。

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第3单元《导数及其应用》

第三导数及其应用第14讲导数的概念及运算1.下列求导运算正确的是( )A ．(x ＋1x )′＝1＋1x 2B ．(log 2x )′＝1x ln 2C ．(3x )′＝3x log 3eD ．(x 2cos x )′＝－2x sin x2.若f ′(x 0)＝3，则lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．123.设函数f (x )＝x 2－6x ，则f (x )在x ＝0处的切线斜率为( ) A ．0 B ．－1 C ．3 D ．－64.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )5.曲线f (x )＝sin x 的切线的倾斜角α的取值范围是 .6.如图，直线l 是曲线y ＝f (x )在x ＝4处的切线，则f ′(4)＝________.7.设曲线y ＝ax 2在点(1，a )处的切线与直线2x －y －6＝0平行，则a ＝______.8.设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，试求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．9.已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程．第15讲导数在函数中的应用1.函数y ＝x e x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－eC ．－1eD ．不存在2.已知定义在R 上的函数f (x )，其导函数f ′(x )的图象如图所示，则下列叙述正确的是( )A ．f (b )>f (c )>f (d )B ．f (b )>f (a )>f (e )C ．f (c )>f (b )>f (a )D ．f (c )>f (e )>f (d )3.函数f (x )＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x )在x ＝－3时取得极值，则a ＝( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．54.函数f (x )＝(x 2＋x ＋1)e x (x ∈R )的单调减区间为 .5.函数y ＝f (x )在定义域(－32，3)内的图象如图所示．记y ＝f (x )的导函数为y ＝f ′(x )，则不等式f ′(x )≤0的解集为______________．6.已知定义在R 上的函数f (x )，g (x )满足f (x )g (x )＝a x ，且f ′(x )g (x )<f (x )·g ′(x )，f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，则a 的值是________． 7.下列图象中，有且只有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导数f ′(x )的图象，则f (－1)的值为________．8.设f (x )＝ex1＋ax 2，其中a 为正实数．(1)当a ＝43时，求f (x )的极值点；(2)若f (x )为[12，32]上的单调函数，求a 的取值范围．9.已知函数f(x)＝x2－ax－a ln(x－1)(a∈R)．(1)当a＝1时，求函数f(x)的最值；(2)求函数f(x)的单调区间．第16讲导数的综合应用1.在半径为R 的半球内有一内接圆柱，则这个圆柱的体积的最大值是( ) A.239πR 3 B.439πR 3C.233πR 3D.49πR 3 2.(2013·山东济南模拟)已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时，都有不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立．若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝(log π3)·f (log π3)，c ＝log 319·f (log 319)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．c >b >aC ．c >a >bD ．a >c >b3.已知函数f (x )＝13x 3＋x ，则不等式f (2－x 2)＋f (2x ＋1)>0的解集是( )A ．(－∞，－2－1)∪(2－1，＋∞)B ．(－2－1，2－1)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3) 4.(2013·江西省考前适应性训练)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积最大(柱体体积＝底面积×高)时，其高的值为( )A ．3 3B ．2 3 C.233D. 3 5.若关于x 的方程kx ＋1＝ln x 有解，则实数k 的取值范围是______．6.某企业现有甲、乙两个项目的投资计划，若投资甲项目资金p 万元，则获得利润110p 万元；若投资乙项目资金q 万元，则获得利润25ln q 万元．已知该企业投资甲、乙两项目资金共10万元，且甲、乙两项目投入资金都不低于1万元，则甲项目投入______万元，乙项目投入______万元，能使企业获得的最大利润为________万元(精确到0.1，参考数据ln 2＝0.7)．7.(2013·浙江台州市模拟)已知f (x )＝x 3－3x ＋m 在区间[0,2]上任取三个数a ，b ，c ，均存在以f (a )，f (b )，f (c )为边长的三角形，则m 的取值范围是________．8.已知函数f (x )＝a2x 2－ln x .(1)若a ＝1，证明f (x )没有零点；(2)若f (x )≥12恒成立，求a 的取值范围．9.某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝10000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x (0<x <120)20400 (x ≥120)，已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值．第17讲定积分及简单应用1.(2013·宁德质检)⎠⎛01(x 2＋2)d x ＝( ) A.72 B.73 C ．2 D ．12.一物体受到与它的运动方向相反的力F (x )＝110e x ＋x 的作用，则它从x ＝0运动到x＝1时，F (x )所做的功等于( )A.e 10＋25B.e 10－25C ．－e 10＋25D ．－e 10－253.设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若f (x )d x ＝3f (m )，则m ＝( ) A ．±1 B. 2 C ．±3 D ．24.如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是 .5.计算－21－14x 2d x ＝________. 6.函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2 (0≤x ≤1)2－x (1<x ≤2)的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．7.(2013·广州一模)已知2≤⎠⎛12(kx ＋1)d x ≤4，则实数k 的取值范围为__________．8.如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围成图形为面积相等的两部分，求k 的值．9.设f (a )＝|x 2－a 2|d x .(1)当0≤a ≤1与a ＞1时，分别求f (a )； (2)当a ≥0时，求f (a )的最小值．第三导数及其应用第14讲导数的概念及运算1．B (x ＋1x )′＝1－1x2；(3x )′＝3x ·ln 3；(x 2cos x )′＝(x 2)′·cos x ＋x 2·(cos x )′＝2x cos x －x 2sin x ，所以A 、C 、D 错．故选B.2．B lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0－h )h＝lim h →0f (x 0＋h )－f (x 0)－[f (x 0－h )－f (x 0)]h＝lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h ＋lim h →0 f (x 0－h )－f (x 0)－h＝f ′(x 0)＋f ′(x 0)＝6，选B.3．D f (x )在x ＝0处的切线斜率为 f ′(0)＝(2x －6)|x ＝0＝－6.4．B 设二次函数y ＝ax 2＋b(a<0，b>0)，则y ′＝2ax ，又因为a<0，故选B .5．[0，π4]∪[3π4，π)解析：f ′(x)＝cos x ，而cos x ∈[－1,1]，即－1≤tan α≤1，又α∈[0，π)，由正切函数图象得α∈[0，π4]∪[3π4，π)．6.12 由图象知l 过点(0,3)、(4,5)，因此可以求出切线l 在点(4,5)处的斜率，f ′(4)＝5－34－0＝12. 7．1 由y ′＝2ax ，又点(1，a)在曲线y ＝ax 2上，依题意得k ＝y ′|x ＝1＝2a ＝2，解得a ＝1.8．解析：因为y ′＝(n ＋1)x n ，故y ′|x ＝1＝n ＋1，所以切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)．令y ＝0，则x n ＝n n ＋1，所以a n ＝lg nn ＋1.所以a 1＋a 2＋…＋a 99＝lg 12＋lg 23＋…＋lg 99100＝lg 1100＝－2.9．解析：(1)由f(x)＝x 3－3x ，得f ′(x)＝3x 2－3，过点P 且以P(1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0，所以所求直线方程为y ＝－2.(2)设过P(1，－2)的直线l 与y ＝f(x)切于另一点(x 0，y 0)，则f ′(x 0)＝3x 20－3，又直线l 过(x 0，y 0)，P(1，－2)，故其斜率可表示为y 0－(－2)x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1，所以x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)·(x 0－1)，解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×(14－1)＝－94，所以直线方程为y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.第15讲导数在函数中的应用1．C y ′＝e x ＋x e x ，令y ′＝0，则x ＝－1. 当x ＜－1时，y ′<0；当x ＞－1时，y ′>0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e，故选C .2．C 观察函数f(x)的特征图象可知函数f(x)在区间(－∞，c]上单调递增，由于a ＜b ＜c ，所以f(c)>f(b)>f(a)，故选C .3．D 因为f ′(x)＝3x 2＋2ax ＋3，且f(x)在x ＝－3时取得极值，所以f ′(－3)＝3×9＋2a ×(－3)＋3＝0，解得a ＝5，故选D .4．(－2，－1) f ′(x)＝(2x ＋1)e x ＋(x 2＋x ＋1)e x ＝(x 2＋3x ＋2)e x (x ∈R )，令f ′(x )<0，则x 2＋3x ＋2<0，解得－2<x <－1，即所求的单调减区间为(－2，－1)．5．[－13，1]∪[2,3) 因为导函数f ′(x )≤0为函数f (x )的减区间，所以根据函数图象易知f ′(x )≤0的解集为[－13，1]∪[2,3)．6.12 令F (x )＝f (x )g (x )，则F (x )＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2＜0，所以函数F (x )在R 上是减函数，于是0<a <1.则由f (1)g (1)＋f (－1)g (－1)＝52，得a ＋1a ＝52，解得a ＝12.7．－13由f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1＝(x ＋a －1)(x ＋a ＋1)，且a ≠0，所以导函数f ′(x )的图象开口向上，且对称轴不是y 轴，因此其图象就为第三个，所以由f ′(x )的图象与x 轴的交点为原点与y 轴右侧的点可得a ＝－1，所以f (－1)＝－13－1＋1＝－13.8．解析：因为f ′(x )＝(ax 2－2ax ＋1)ex (1＋ax 2)2.(1)当a ＝43时，若f ′(x )＝0，则4x 2－8x ＋3＝0，解得x 1＝12，x 2＝32.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－∞，12) 12 (12，32) 32 (32，＋∞)f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋f (x ) 递增极大值递减极小值递增由表可知，x 1＝12是极大值点，x 2＝32是极小值点．(2)记g (x )＝ax 2－2ax ＋1，则g (x )＝a (x －1)2＋1－a .因为f (x )为[12，32]上的单调函数，则f ′(x )在[12，32]上不变号．因为ex (1＋ax 2)2>0，所以g (x )≥0或g (x )≤0在x ∈[12，32]上恒成立，由g (1)≥0或g (12)≤0，得0<a ≤1或a ≥43，所以a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.9．解析：(1)函数f (x )＝x 2－ax －a ln(x －1)(a ∈R )的定义域是(1，＋∞)．当a ＝1时，f ′(x )＝2x －1－1x －1＝2x (x －32)x －1，所以f (x )在(1，32)上为减函数，在(32，＋∞)上为增函数，所以函数f (x )的最小值为f (32)＝34＋ln 2. (2)f ′(x )＝2x －a －ax －1＝2x (x －a ＋22)x －1，若a ≤0时，则a ＋22≤1，f (x )＝2x (x －a ＋22)x －1>0在(1，＋∞)恒成立，所以f (x )的增区间为(1，＋∞)．若a >0，则a ＋22>1，故当x ∈(1，a ＋22]，f ′(x )＝2x (x －a ＋22)x －1≤0，当x ∈[a ＋22，＋∞)时，f (x )＝2x (x －a ＋22)x －1≥0，所以a ＞0时，f (x )的减区间为(1，a ＋22)，f (x )的增区间为[a ＋22，＋∞)．第16讲导数的综合应用 1．A 设圆柱的高为h ，则圆柱的底面半径为R 2－h 2，圆柱的体积为V ＝π(R 2－h 2)h ＝－πh 3＋πR 2h (0<h <R )，V ′＝－3πh 2＋πR 2＝0，当h ＝R 3时，V 有最大值为V ＝239πR 3，故选A.2．C 令F (x )＝x ·f (x )，则F ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )，又由x <0时，F ′(x )＝f (x )＋x ·f ′(x )<0，可知F (x )在(－∞，0)上为减函数．因为f (x )为R 上的奇函数，所以F (x )＝x ·f (x )为R 上的偶函数，则F (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数，图象关于y 轴对称．因为1<30.3<3<2,0<log π3<1，log 319＝－2，因为F (x )＝x ·f (x )为R 上的偶函数，所以F (－2)＝F (2)，因为log π3<30.3<2，而F (x )在(0，＋∞)上为增函数，所以c >a >b ，故选C.3．D 因为f (－x )＝－13x 3－x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数．又f ′(x )＝x 2＋1>0，所以函数f (x )为增函数，于是由f (2－x 2)＋f (2x ＋1)>0得f (2x ＋1)>－f (2－x 2)＝f (x 2－2)，所以2x ＋1>x 2－2，解得－1<x <3.4．B 以正六棱柱的最大对角面作截面，如图．设球心为O ，正六棱柱的上下底面中心分别为O 1，O 2，则O 是O 1O 2的中点．设正六棱柱的底面边长为a ，高为2h ，则a 2＋h 2＝9.正六棱柱的体积为V ＝6×34a 2×2h ，即V ＝332(9－h 2)h ，则V ′＝332(9－3h 2)，令V ′＝0得极值点h ＝3，不难知道这个极值点是极大值点，也是最大值点．故当正六棱柱的体积最大时，其高为2 3. 5.(－∞，1e ] 因为x ＞0，所以分离参数可得k ＝ln x －1x，故方程kx ＋1＝ln x 有解，即k 的取值为函数f (x )＝ln x －1x的值域．又f ′(x )＝1x ×x －(ln x －1)x 2＝2－ln x x 2. 令f ′(x )＝0，则x ＝e 2，当x ∈(0，e 2)时，f ′(x )>0，当x ∈(e 2，＋∞)时，f ′(x )<0，所以f (x )max ＝f (e 2)＝1e2，故实数k 的取值范围是(－∞，1e]． 6．6 4 1.6 设投入乙项目x 万元，则甲项目投入(10－x )万元，且1≤x ≤9，所获总利润y ＝110(10－x )＋25ln x (1≤x ≤9)，所以y ′＝－110＋25x，由y ′＝0，得x ＝4. 而当x ∈(1,4)时，y ′>0；当x ∈(4,9)时，y ′<0，所以当x ＝4时，y max ＝610＋25×2×0.7＝1.56≈1.6. 故甲项目投入资金6万元，乙项目投入资金4万元，企业获得最大总利润1.6万元．7．(6，＋∞) 由f ′(x )＝3x 2－3＝0得x 1＝1，x 2＝－1(舍去)，所以函数f (x )在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,2)上单调递增，则f (x )min ＝f (1)＝m －2，f (x )max ＝f (2)＝m ＋2，由题意知，f (1)＝m －2>0，①f (1)＋f (1)>f (2)，得到－4＋2m >2＋m ，②由①②得到m ＞6为所求．8．解析：(1)当a ＝1时，f (x )＝12x 2－ln x ， f ′(x )＝x －1x. 由f ′(x )＝0，得x ＝1，可得f (x )在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，故f (x )的最小值f (x )min ＝f (1)＝12>0，所以f (x )没有零点．(2)f ′(x )＝ax －1x ＝ax 2－1x， (ⅰ)若a >0时，令f ′(x )≥0，则x ≥1a，故f (x )在(0，1a )上单调递减，在(1a ，＋∞)上单调递增，故f (x )在(0，＋∞)上的最小值为f (1a )＝12＋12ln a ，要使f (x )≥12恒成立，只需12＋12ln a ≥12，得a ≥1. (ⅱ)若a ≤0，f ′(x )<0恒成立，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (1)＝a 2≤0，故不可能f (x )≥12恒成立，综上所述，实数a 的取值范围是a ≥1.9．解析：(1)由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋270x －10000 (0<x <120)10400－20x (x ≥120). 因为x ＝30时，y ＝－100，所以－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10000，所以a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10000， y ′＝－110x 2＋6x ＋270. 由y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得x 1＝90，x 2＝－30(舍去)．所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数，所以当x ＝90时，y 取得最大值14300.当x ≥120时，y ＝10400－20x ≤8000，所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元．第17讲定积分及简单应用1．B 10＝73. 2．D W ＝－10＝－e 10－25，故选D. 3．C f (x )d x ＝⎠⎛03(ax 2＋b )d x ＝( ⎪⎪13ax 3＋bx )30＝9a ＋3b ，由f (x )d x ＝3f (m )，得9a ＋3b ＝3am 2＋3b ，所以m 2＝3，所以m ＝±3.4.43因为函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1的两个交点为(0,1)和(2,1)，所以闭合图形的面积 S ＝(－x 2＋2x ＋1－1)d x＝ ⎪⎪(－13x 3＋x 2)20＝43.5．π y ＝1－14x 2(－2≤x ≤2)表示椭圆x 24＋y 2＝1的x 轴上方部分，所以S ＝12πab ＝π. 6.56f (x )d x ＝x 2d x ＋(2－x )d x ＝ ⎪⎪13x 310＋ ⎪⎪(2x －12x 2)21 ＝56. 7．[23，2] 因为(kx ＋1)d x ＝ ⎪⎪(12kx 2＋x )21＝32k ＋1，于是由2≤32k ＋1≤4，解得23≤k ≤2. 8．解析：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点为(0,0)，(1,0)，则它与x 轴围成的图形面积为S ＝10＝16. 则直线y ＝kx 与y ＝x －x 2所围成的面积为112. 又y ＝kx 与y ＝x －x 2的交点坐标分别为(0,0)，(1－k ，k －k 2)，所以直线y ＝kx 与y ＝x －x 2所围成图形面积为⎪⎪∫1－k 0(x －x 2－kx )d x ＝(12x 2－13x 3－12kx 2)1－k 0＝16(1－k )3＝112，所以k ＝1－342. 9．解析：(1)0≤a ≤1时，f (a )＝|x 2－a 2|d x＝(a 2－x 2)d x ＋(x 2－a 2)d x＝ ⎪⎪(a 2x －13x 3)a 0＋ ⎪⎪(13x 3－a 2x )1a ＝(a 3－13a 3)＋(13－a 2－a 33＋a 3) ＝43a 3－a 2＋13. 当a ＞1时，f (a )＝ ⎪⎪⎪⎠⎛01(a 2－x 2)d x ＝(a 2x －13x 3)10＝a 2－13，所以f (a )＝⎩⎨⎧ 43a 3－a 2＋13 (0≤a ≤1)a 2－13 (a >1).(2)当a ＞1时，由于f (a )＝a 2－13在[1，＋∞)上是增函数，故f (a )在[1，＋∞)上的最小值是f (1)＝1－13＝23，当a ∈[0,1]时，f ′(a )＝4a 2－2a ＝2a (2a －1)，由f ′(a )＞0知，a ＞12或a ＜0，故f (a )在[0，12]上递减，在[12，1]上递增，因此在[0,1]上，f (a )的最小值为f (12)＝14. 综上可知，f (a )在[0，＋∞)上的最小值为14.。

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第7单元《不等式》

第七单元不等式第37讲不等关系与不等式的性质、基本不等式1.(2013·福建省莆田市3月质检)p ：x ＞0，y ＞0，q ：xy ＞0，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2.若a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( ) A ．ab ≤1 B ．ab ≥1C ．a 2＋b 2≥4D ．a 2＋b 2≤43.若1a <1b<0，有下面四个不等式：①|a |>|b |；②a b 3，不正确的不等式的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．34.已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( )A ．2B ．2 2C ．4D ．55.设x ＞0，y ＞0，xy ＝4，则S ＝x 2y ＋y 2x 的最小值为 .6.已知a >0，b >0，若不等式2a ＋1b ≥m2a ＋b恒成立，则m 的最大值等于______．7.设f (x )＝ax 2＋bx 且1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是__________．8.(1)求函数y ＝x (a －2x )(x ∈(0，a2)，a 为大于0的常数)的最大值；(2)设x ＞－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最值．9.某单位建造一间地面面积为12 m 2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过a m ，房屋正面的造价为400元/m 2，房屋侧面的造价为150元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？第38讲不等式的解法1.不等式2>1x －1的解集为( )A ．(－32，1)B ．(－∞，1)∪(32，＋∞)C ．(1，32)D ．(－∞，－32)∪(1，＋∞)2.(2013·山东聊城模拟)已知不等式x 2－2x －3<0的解集为A ，不等式x 2＋x －6<0的解集是B ，不等式x 2＋ax ＋b <0的解集是A ∩B ，那么a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．33.不等式|2x －1|<|x －2|的解集为( ) A ．(－1,0)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,1)D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞)4.不等式(x －4)(x 2＋4)≥0的解集是________．5.已知关于x 的不等式ax －1x ＋1>0的解集是(－∞，－1)∪(12，＋∞)，则a ＝ .6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x(x >1)x 2－6x ＋9 (x ≤1)，则不等式f (x )＞f (1)的解集是 .7.定义在[－2,2]上的奇函数f (x )在(0,2]上的图象如图所示，则不等式f (x )>x 的解集为________________．8.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a <0)对一切x ∈R 都有f (2＋x )＝f (2－x )，解不等式f [log12(x 2＋x ＋12)]<f [log 12(2x 2－x ＋58)]．9.已知关于x 的不等式x ＋2x 2－(1＋a )x ＋a>0.(1)当a＝2时，求此不等式的解集；(2)当a>－2时，求此不等式的解集．第39讲简单的线性规划问题1.若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x ＋y ＋m ＝0的两侧，则m 的取值范围是( ) A ．m <－5或m >10 B ．m ＝－5或m ＝10 C ．－5<m <10 D ．－5≤m ≤102.不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋6≥0x －y ＋2<0表示的平面区域是( )3.(2013·安徽省合肥市质检)已知z ＝2x ＋y ，x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋y ≤2x ≥m ，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是( )A.17B.16C.15D.144.若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋y ≥0x ≤0，则z ＝3x＋2y的最小值是( )A ．0B ．1C. 3 D ．95.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0x ＋y ≥0x 2＋y 2≤4，则z ＝2x ＋y 的最大值是( )A ．5B ．－1C ．2D ．2 56.(2013·衡水调研)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2－1≤0x －ky ＋k ≥0x ≥0，y ≥0表示的是一个轴对称四边形围成的区域，则k ＝______.7.在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0x －y ＋4≥0x ≤a 所表示的平面区域的面积是9，则实数a 的值为______．8.已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥2xkx －y ＋1≥0表示的平面区域是一个直角三角形，求该三角形的面积．9.某公司承担了每天至少搬运280吨水泥的任务，已知该公司有6辆A 型卡车和8辆B 型卡车．又已知A 型卡车每天每辆的运载量为30吨，成本费为0.9千元；B 型卡车每天每辆的运载量为40吨，成本费为1千元．如果你是公司的经理，为使公司所花的成本费最小，每天应派出A 型卡车、B 型卡车各多少辆？第40讲不等式的综合应用1.(2013·南宁市第三次适应性测试)若关于x 的一元二次方程x 2－ax ＋1＝0有两个不同的正数根，则实数a 的取值范围是( )A ．a >2B ．a <－2C ．－2<a <2D ．a <－2或a >22.若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．12 B ．2 3 C ．3 2 D ．63.直线y ＝kx ＋3与圆(x －3)2＋(y －2)2＝4相交于M ，N 两点，MN ≥23，则k 的取值范围是( )A ．[－34，0]B ．(－∞，－34]∪[0，＋∞)C ．[－33，33]D ．[－23，0]4.(2013·天津市第三次模拟)已知函数f (x )＝a |x |，a ＞1，则满足f (2x －1)<f (13)的x 范围是( )A ．(13，23)B ．[13，23)C ．(12，23)D ．[12，23)5.A 杯中有浓度为a %的盐水x 克，B 杯中有浓度为b %的盐水y 克，其中A 杯中的盐水更咸一些．若将A 、B 两杯盐水混合在一起，其咸淡的程度可用不等式表示为 .6.对于函数f (x )＝x 2＋2x ，在使f (x )≥M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最大值M max ＝－1叫做f (x )＝x 2＋2x 的下确界，对于a 、b ∈R ，且a 、b 不全为0，a 2＋b 2(a ＋b )2的下确界是________．7.已知f (x )＝log 2(x －2)，若实数m ，n 满足f (m )＋f (2n )＝3，则m ＋n 的最小值是______． 8.购买某种汽车，购车的总费用(包括缴税)为5万元，每年应交保险费及汽油费合计6000元，汽车的维修费平均为：第一年1000元，第二年2000元，……依等差数列逐年递增．问这种汽车使用多少年报废合算？(商品的最佳更换年限应该是使每年平均消耗费用最低的年限；年平均消耗费用＝年平均成本费的分摊＋年均维修费的分摊)9.(2013·株洲市质量统一检测)已知函数f (x )＝ln(x －1)－k (x －1)＋1.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若f(x)≤0恒成立，试确定实数k的取值范围．第七单元不等式第37讲不等关系与不等式的性质、基本不等式1．A 因为xy ＞0等价于x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，所以p 是q 的充分不必要条件，故选A.2．A 由a ＋b ＝2≥2ab ，得ab ≤1，故选A.3．C 由1a <1b <0，知b <a <0，由不等式的性质知①②不正确，故选C.4．C 因为1a ＋1b ＋2ab ≥21ab＋2ab ≥4，当且仅当a ＝b ，ab ＝1时，等号成立，即a ＝b ＝1时，不等式取最小值4，故选C.5．4 因为x ＞0，y ＞0，xy ＝4，所以S ＝x 2y ＋y 2x ≥2x 2y ·y 2x＝2xy ＝4.6．9 原不等式恒成立等价于m ≤(2a ＋1b )(2a ＋b )的最小值，而(2a ＋1b )(2a ＋b )＝5＋2b a ＋2ab≥5＋22b a · 2ab＝9，所以m ≤9，故m 的最大值为9.7．[5,10] (待定系数法) f (1)＝a ＋b ，f (－1)＝a －b .设f (－2)＝4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋n ＝4－m ＋n ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3n ＝1，所以f (－2)＝3(a －b )＋(a ＋b )，又因为1≤a －b ≤2，所以3≤3(a －b )≤6，因为2≤a ＋b ≤4，所以5≤3(a －b )＋(a ＋b )≤10，即5≤f (－2)≤10.8．解析：(1)y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×[2x ＋(a －2x )2]2＝a 28，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 28.(2)因为x >－1，所以x ＋1>0，设x ＋1＝z ＞0，则x ＝z －1，所以y ＝(z ＋4)(z ＋1)z ＝z 2＋5z ＋4z ＝z ＋4z ＋5≥2z ·4z＋5＝9，当且仅当z ＝2，即x ＝1时上式取等号，所以当x ＝1时，函数y 有最小值9，无最大值．9．解析：由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12x ×400)＋5800＝900(x ＋16x)＋5800(0<x ≤a )．则y ＝900(x ＋16x )＋5800≥900×2x ·16x＋5800＝13000(当且仅当x ＝16x，即x ＝4时取等号)．若a ≥4，x ＝4时，有最小值13000. 若a <4，任取x 1、x 2∈(0，a ]且x 1<x 2，y 1－y 2＝900(x 1＋16x 1)＋5800－900(x 2＋16x 2)－5800＝900[(x 1－x 2)＋16(1x 1－1x 2)]＝900(x 1－x 2)(x 1x 2－16)x 1x 2.因为0<x 1<x 2≤a ，所以x 1－x 2<0，x 1x 2<a 2<16，所以y 1－y 2>0，所以y ＝900(x ＋16x)＋5800在(0，a ]上是减函数，所以当x ＝a 时，y 有最小值900(a ＋16a)＋5800.综上，若a ≥4，当x ＝4时，有最小值13000元；若a <4，当x ＝a 时，有最小值为900(a ＋16a)＋5800元．第38讲不等式的解法1．B 不等式2>1x －1⇔2x －3x －1>0⇔(x －1)(2x －3)>0，解得x <1或x >32，故选B.2．A 由题意，A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－3<x <2}，A ∩B ＝{x |－1<x <2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3，故选A.3．C 不等式|2x －1|<|x －2|⇔(2x －1)2<(x －2)2⇔(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1，故选C.4．{x |x ≥4} (x －4)(x 2＋4)≥0⇔x －4≥0，所以x ≥4.5．2 由不等式判断可得a ≠0且不等式等价于a (x ＋1)·(x －1a)>0，由解集特点可得a >0且1a ＝12，故a ＝2. 6．{x |x <1或x >2} f (1)＝4，若x >1，则2x >4⇒x >2；若x ≤1，则x 2－6x ＋9>4⇒x >5或x <1⇒x <1，所以不等式f (x )＞f (1)的解集是{x |x <1或x >2}．7．[－2，－23)∪(0，23) 画出y ＝f (x )与y ＝x 的图象如图，解出坐标为(23，23)和(－23，－23)，由图知，解集为[－2，－23)∪(0，23)． 8.解析：因为log 12(x 2＋x ＋12)＝log 12[(x ＋12)2＋14]≤2， log 12(2x 2－x ＋58)＝log 12[2(x －14)2＋12]≤1. 又由题意f (x )的图象关于x ＝2对称，且a <0，所以f (x )在(－∞，2]上递增．由原不等式得log 12(x 2＋x ＋12)<log 12(2x 2－x ＋58)⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋12>02x 2－x ＋58>0x 2＋x ＋12>2x 2－x ＋58⇔1－144<x <1＋144.9．解析：(1)当a ＝2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －2)>0，所以不等式的解集为{x |－2<x <1或x >2}．(2)当a >－2时，不等式可化为x ＋2(x －1)(x －a )>0. 当－2<a <1时，不等式的解集为{x |－2<x <a 或x >1}；当a ＝1时，不等式的解集为{x |x >－2且x ≠1}；当a >1时，不等式的解集为{x |－2<x <1或x >a }．第39讲简单的线性规划问题1．C 由已知两点在直线的两侧，则(2＋3＋m )(－8－2＋m )<0，即(m ＋5)(m －10)<0，所以－5<m <10，选C.2．B3．D 画出可行域可知，如图，最大值在点(1,1)取得z max ＝3，最小值在点(m ，m )取得z min ＝3m ，由3＝4×3m ，解得m ＝14，故选D.4．B 可行域如图，可知B (0,1)，O (0,0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0x ＋y ＝0，A (－12，12)，显然当目标函数z ′＝x ＋2y 过点O 时取得最小值为0，故z ＝3x ＋2y 的最小值为1，故选B.5．D 画出满足不等式组表示的平面区域，如图所示，当直线z ＝2x ＋y 与圆弧相切时z 取得最大值．所以2＝|2×0＋0－z |5，z max ＝25，故选D. 6．±1 作出不等式组表示的平面区域，由图易知要使不等式组表示的是一个轴对称四边形区域，则直线x －ky ＋k ＝0与直线x ＋y －2－1＝0平行或垂直，所以k ＝±1.7．1 画出平面区域可知图形为三角形，面积为12·(2＋a )·(2a ＋4)＝9，解得a ＝1或a ＝－5(舍去)．8．解析：有两种情形： (1)直角由y ＝2x 与kx －y ＋1＝0形成，则k ＝－12，三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，(25，45)，面积为15； (2)直角由x ＝0与kx －y ＋1＝0形成，则k ＝0，三角形的三个顶点为(0,0)，(0,1)，(12，1)，面积为14. 经上所知，所求三角形的面积为15或14. 9．解析：设公司每天派出A 型卡车x 辆，B 型卡车y 辆，公司所花的成本费为z 千元，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 30x ＋40y ≥2800≤x ≤60≤y ≤8x ∈N ，y ∈N ，目标函数z ＝0.9x ＋y ，作出该不等式组表示的可行域，如下图．考虑z ＝0.9x ＋y ，变形为y ＝－0.9x ＋z ，这是以－0.9为斜率，z 为y 轴上的截距的平行直线族．经过可行域，平行移动直线，当直线经过点(0,7)时，直线在y 轴上的截距最小，即z 取最小值，为7.答：公司每天派出A 型卡车0辆，B 型卡车7辆时，所花的成本费最低，为7千元．第40讲不等式的综合应用1．A ⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4>0a >0，解得a ＞2，故选A. 2．D 依题意得知4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2，9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6，故选D. 3．A 由条件知点到直线的距离d ≤22－(3)2＝1，则d ≤|3k －2＋3|k 2＋1≤1，解得－34≤k ≤0，故选A. 4．A 因为f (x )＝a |x |为偶函数，且易知在a ＞1时，f (x )＝a |x |在[0，＋∞)上单调递增，所以不等式f (2x －1)<f (13)⇔f (|2x －1|)<f (13)⇔|2x －1|<13，解得13＜x ＜23，故选A. 5．b <ax ＋by x ＋y <a 混合后的浓度为ax ＋by x ＋y %，显然有b %<ax ＋by x ＋y %<a %⇒b <ax ＋by x ＋y<a . 6.12因为f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1≥－1，所以f (x )的下确界M 即为f (x )的最小值．又因为a 2＋b 2≥2ab ，所以(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，所以a 2＋b 2(a ＋b )2≥a 2＋b 22(a 2＋b 2)＝12. 7．7 因为log 2(m －2)＋log 2(2n －2)＝log 2(m －2)(2n －2)＝3，所以(m －2)(2n －2)＝23＝8，且m －2>0,2n －2>0，因为4＝(m －2)(n －1)≤(m －2＋n －12)2，所以m ＋n ≥7，故填7. 8．解析：设这种汽车使用n 年报废合算，则每年的维修费用平均为1000n . 由题意可知，每年的平均消耗费用f (n )＝50000＋6000n ＋(1000＋2000＋…＋1000n )n＝50000n＋500n ＋6500 ≥250000n·500n ＋6500 ＝16500，当且仅当50000n＝500n ，即n ＝10时，等号成立．故这种汽车使用10年报废合算．9．解析：(1)函数f (x )的定义域为(1，＋∞)，f ′(x )＝1x －1－k .因为x >1，所以1x －1>0，因此①当k ≤0时，f ′(x )>0，则f (x )在(1，＋∞)上是增函数；②当k >0时，令f ′(x )＝0，即1x －1－k ＝0，得x ＝1＋1k . 当x ∈(1,1＋1k)时，f ′(x )>0；当x ∈(1＋1k，＋∞)，f ′(x )<0. 则f (x )在(1,1＋1k )上是增函数，在(1＋1k，＋∞)上是减函数． (2)当k ≤0时，f (2)＝1－k >0，故f (x )≤0不能恒成立，所以只需考虑k >0.当k >0时，由(1)知[f (x )]max ＝f (1＋1k)＝－ln k . 要使f (x )≤0恒成立，则－ln k ≤0，得k ≥1.故实数k 的取值范围为[1，＋∞)．。

【学海导航】2015届高三数学(人教版理B)第一轮总复习同步训练：第6单元《数列与算法》

第六单元数列与算法第30讲数列的概念与通项公式1.(2013·延庆县第一次模拟)S n 是数列{a n }的前n 项和，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n (n 是偶数)2n (n 是奇数)，则S 5等于( )A ．30B ．32C ．36D ．382.(2013·新课标提分专家预测)若数列{a n }满足关系a n ＋1＝1＋1a n ，且a 8＝3421，则a 3＝( )A.32B.53C.85D.1383.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则其通项公式a n ＝( )A ．3·2n －1B ．2·3n －1 C ．2n D ．3n4.已知数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝( ) A ．－55 B ．－5 C ．5 D ．555.若数列{a n }满足a 1＝4，a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n 2(n ∈N *)，则其{a n }的前10项和为( )A ．40B ．80C ．120D ．1606.若{a n }是递增数列，对于任意自然数n ，a n ＝n 2＋λn 恒成立，则实数λ的取值范围是________．7.(2013·山东青岛市期末)对于正项数列{a n }，定义H n ＝na 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n为{a n }的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为H n ＝2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.8.若对于正整数k ，g (k )表示k 的最大奇数因数，例如g (3)＝3，g (10)＝5.设S n ＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＋…＋g (2n )．(1)求g (6)，g (20)的值； (2)求S 1，S 2，S 3的值．9.设数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝a 1(3n －1)2(n ∈N *)，且a 4＝54，求：(1)a 1的值； (2)通项a n .第31讲等差数列的概念及基本运算1.设{a n }是等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝15，则这个数列的前5项和S 5＝( ) A ．10 B ．15 C ．20 D ．252.(2013·太原市第二次模拟)已知数列{a n }为等差数列，S n 是它的前n 项和．若a 1＝2，S 3＝12，则S 4＝( )A ．10B ．16C ．20D ．243.若等差数列{a n }满足a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2，则公差为( ) A ．1 B ．2C ．1或－1D ．2或－2 4.(2013·山东省莱芜市上期末)等差数列{a n }中，已知a 1＝－6，a n ＝0，公差d ∈N *，则n (n ≥3)的最大值为( )A ．7B ．6C ．5D ．85.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＋a 9＋a 11＝30，那么S 13的值是________．6.已知等差数列{a n }，若a 1＝3，前三项和为21，则a 4＋a 5＋a 6＝________.7.在等差数列{a n }中，a 1＝－2014，其前n 项和为S n ，若S 1212－S 1010＝2，则S 2014＝________.8.在等差数列{a n }中，a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和S n 的最大值．9.设a 1，d 为实数，首项为a 1，公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S 5S 6＋15＝0.(1)若S 5＝5，求S 6及a 1； (2)求d 的取值范围．第32讲等比数列的概念及基本运算1.设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝( )A ．31B ．15C ．16D ．32 2.(2013·黄冈市上期期末考试)已知等比数列{a n }的公比q ＝2，其前4项和S 4＝60，则a 2等于( )A ．8B ．6C ．－8D ．－63.如果数列a 1，a 2a 1，a 3a 2，…，a na n －1，…是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 5等于( )A ．32B ．64C ．－32D ．－644.已知数列{a n }是正项等比数列，若a 2＝2,2a 3＋a 4＝16，则数列{a n }的通项公式为( )A ．2n －2B ．22－nC ．2n －1 D ．2n5.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2013＝3S 2012＋2014，a 2012＝3S 2011＋2014，则公比q ＝( )A ．4B ．1或4C ．2D ．1或26.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝a ·2n －1＋16，则a 的值为( )A ．－13 B.13C ．－12 D.127.(2013·山东日照一次诊断)已知数列{a n }为等比数列，且a 5＝4，a 9＝64，则a 7＝________.8.已知数列{b n }(n ∈N *)是递增的等比数列，且b 1＋b 3＝5，b 1b 3＝4. (1)求数列{b n }的通项公式；(2)若a n ＝log 2b n ＋3，求证：{a n }是等差数列．9.已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋2.(1)求证：数列{a n ＋2}是等比数列(要求指出首项与公比)； (2)求数列{a n }的前n 项和S n .第33讲等差、等比数列的综合应用1.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，S 5＝( ) A.52B ．5C ．－52 D ．－52.(2013·石家庄市质检)已知各项均为正数的等比数列{a n }，a 1·a 9＝16，则a 2·a 5·a 8的值( )A ．16B ．32C ．48D ．643.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝( ) A ．9 B ．16 C ．36 D ．454.(2013·长春市调研测试)等差数列{a n }的公差为3，若a 2，a 4，a 8成等比数列，则a 4＝( )A ．8B ．10C ．12D ．16 5.(2013·湖南省长沙市第二次模拟)在等比数列{a n }中，a 1＋a 2＝30，a 3＋a 4＝60，则a 7＋a 8＝________.6.已知1，a 1，a 2,9成等差数列，1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，且a 1，a 2，b 1，b 2，b 3都是实数，则(a 2－a 1)b 2＝______.7.已知数列{a n }中，a 3＝2，a 7＝1，若{1a n ＋1}为等差数列，则a 11＝________.8.已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和为14，且a 1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前三项．(1)分别求数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n ；(2)记数列{a n b n }的前n 项和为K n ，设c n ＝S n T nK n，求证：c n ＋1＞c n (n ∈N *)．9.等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝n 2＋n ＋1a n ·a n ＋1，求数列{b n }的前99项的和．第34讲数列求和1.设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2＝( )A ．11B ．5C ．－8D ．－112.数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n (n ＋2)，则S 10等于( )A.175264B.7255C.1012D.11123.已知数列{a n }是首项为2，公差为1的等差数列，数列{b n }是首项为1，公比为2的等比数列，则数列{ab n }前10项的和等于( )A ．511B ．512C ．1023D ．10334.数列{(3n －1)·4n －1}的前n 项和S n ＝( )A ．(n －23)·4n ＋23B ．(n －23)·4n ＋1＋23C ．(n －23)·4n －1＋23D ．(n －23)·4n ＋435.已知等差数列{a n }中，a 5＝1，a 3＝a 2＋2，则S 11＝ .6.(2013·山东诸城月考)已知数列{a n }对于任意p ，q ∈N *，有a p a q ＝a p ＋q ，若a 1＝12，则S 9＝________.7.如果有穷数列a 1，a 2，…，a m (m 为正整数)满足条件：a 1＝a m ，a 2＝a m －1，…，a m ＝a 1，即a i ＝a m ＋1－i (i ＝1,2，…，m )，则称其为“对称”数列．例如：1,2,5,2,1，与数列8,4,2,4,8都是“对称”数列．已知在2011项的“对称”数列{c n }中，c 1006，c 1007，…，c 2011是以1为首项，2为公差的等差数列，则数列{c n }的所有项的和为__________．8.已知数列{a n }为等差数列，且a 1＝1，{b n }为等比数列，数列{a n ＋b n }的前三项依次为3,7,13，求(1)数列{a n }、{b n }的通项公式； (2)数列{a n ＋b n }的前n 项和S n .9.(2013·山东济宁模拟)已知等差数列{a n }，a 3＝3，a 2＋a 7＝12. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝n 2a n ，求数列{b n }的前n 项和．第35讲数列模型及应用1.(2013·浙江省富阳市质检){a n }是等比数列，其中a 3，a 7是关于x 的方程x 2－2x sin α－3sin α＝0的两根，且(a 3＋a 7)2＝2a 3a 7＋6，则锐角α的值为( )A.π6B.π4C.π3D.5π122.在△ABC 中，∠B ＝π3，三边长a ，b ，c 成等差数列，且a ，6，c 成等比数列，则b 的值是( )A. 2B. 3C. 5D. 63.已知各项均不为零的数列{a n }，定义向量c n ＝(a n ，a n ＋1)，b n ＝(n ，n ＋1)，n ∈N *.下列命题中真命题是( )A ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等差数列B ．若∀n ∈N *总有c n ∥b n 成立，则数列{a n }是等比数列C ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等差数列D ．若∀n ∈N *总有c n ⊥b n 成立，则数列{a n }是等比数列4.已知f (x )＝sin 2x ，若等差数列{a n }的第5项的值为f ′(π6)，则a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝( )A ．2B ．4C ．8D ．165.五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字，则第2014次被报出的数为______．6.(2013·江苏泰兴市上期中模拟)王老师从2013年1月1日开始每年的1月1日到银行新存入a 元(一年定期)，若年利率r 保持不变，且每年到期存款及利息均自动转为新的一年定期，到2020年1月1日将所有存款及利息全部取回，他可以取回________元．7.(2013·杭州第一次模拟)设曲线y ＝x n ＋1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，则a 1＋a 2＋…＋a 99的值为______．8.对正整数n ，设抛物线y 2＝2(2n ＋1)x ，过P (2n,0)任作直线l 交抛物线于A n ，B n 两点，设a n ＝OA →n ·OB →n .(1)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA →n ·OB →n 2(n ＋1)的通项公式； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA →n ·OB →n 2(n ＋1)的前n 项和．9.某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不做广告宣传且每件获利a元的前提下，可卖出b件；若做广告宣传，广告费为n千元比广告费为n－1千元时多卖出b2n(n∈N*)件．(1)试写出销售量S n与n的函数关系式；(2)当a＝10，b＝4000时，厂家应生产多少件这种产品，做几千元的广告，才能获利最大？第36讲算法、程序框图与算法案例1.计算机执行下面的程序段后，输出的结果是( ) X ＝2013Y ＝1X ＝X ＋Y Y ＝X －YPRINT X ，YA ．2014,2012B ．2012,2014C ．2014,2014D ．2014,20132.执行如图的程序框图，若输出的n ＝5，则输入整数p 的最小值是( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．15(第2题图) (第3题图)3.(2013·石家庄市模拟)已知流程图如图所示，该程序运行后，为使输出的b 值为16，则循环体的判断框内①处应填( )A ．2B ．3C ．5D ．74.把五进制数123(5)化为二进制数为 (2)．5.执行如图所示的程序框图，若输入x ＝4，则输出y 的值为________．(第5题图) (第6题图)6.上图给出了一个算法流程图．若给出实数a ，b ，c 为a ＝4，b ＝x 2，c ＝2x 2－3x ＋2，输出的结果为b ，则实数x 的取值范围是________________________．7.到银行办理个人异地汇款(不超过100万元)时，银行收取一定的手续费．规定汇款不超过100元时收取1元手续费；超过100元但不超过5000元时按汇款额的1%收取；超过5000元，一律收取50元手续费，设计算法求汇款额为x 元时，银行收取手续费y 元，只画出流程图．8.用分期付款的方式购买价格为1150元的冰箱，如果购买时先付150元，以后每月付50元，加上欠款利息．若一个月后付第一个月的分期付款，月利率为1%，那么购冰箱的钱全部付清后，实际付了多少元？请画出程序框图，并写出程序．第六单元数列与算法第30讲数列的概念与通项公式1．D S 5＝2＋22＋6＋24＋10＝38，故选D.2．A 由a 8＝3421＝1＋1a 7，得a 7＝2113＝1＋1a 6，类似有a 6＝138＝1＋1a 5，a 5＝85＝1＋1a 4，a 4＝53＝1＋1a 3，从而a 3＝32，故选A.3．B 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2·3n －1，又a 1＝S 1＝31－1＝2满足a n ＝2·3n －1，故选B.4．C 由a n ＝(－1)n (n ＋1)，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 10＝－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9－10＋11＝5，故选C.5．A 由a n ＋1＝a 2n ＋12a n ＋a n2，得a 2n ＋1－2a n ＋1a n ＋a 2n ＝0，所以a n ＋1＝a n ，即{a n }为常数列，所以S 10＝10a 1＝40，故选A. 6．(－3，＋∞) 因为{a n }为递增数列，所以n 2＋λn ＞(n －1)2＋λ(n －1)(n ≥2)，即2n －1>－λ(n ≥2)⇒λ＞1－2n (n ≥2)，要使n ∈N *恒成立，则λ＞－3. 7.2n ＋12n 由H n ＝n a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n，可得 a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n H n ＝n (n ＋2)2，①a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －1)(n ＋1)2，②由①－②，得na n ＝n (n ＋2)2－(n －1)(n ＋1)2＝2n ＋12，所以a n ＝2n ＋12n.8．解析：(1)g (6)＝3，g (20)＝5. (2)S 1＝g (1)＋g (2)＝1＋1＝2；S 2＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＝1＋1＋3＋1＝6；S 3＝g (1)＋g (2)＋g (3)＋g (4)＋g (5)＋g (6)＋g (7)＋g (8)＝1＋1＋3＋1＋5＋3＋7＋1＝22.9．解析：(1)因为S 4＝a 1(34－1)2，S 3＝a 1(33－1)2，所以a 4＝S 4－S 3＝27a 1＝54，即a 1＝2.(2)因为S n ＝2(3n －1)2，所以S n －1＝2(3n －1－1)2(n ≥2)，所以a n ＝3n －3n －1＝2·3n －1(n ≥2)．显然a 1＝2满足a n ＝2·3n －1，所以数列{a n }的通项a n ＝2·3n －1(n ∈N *)．第31讲等差数列的概念及基本运算1．D 由a 2＋a 3＋a 4＝15知3a 3＝15，所以a 3＝5，所以S 5＝5a 3＝25，故选D.2．C 设公差为d ，则S 3＝3×2＋3d ＝12，则d ＝2，所以S 4＝4×2＋6×2＝20，故选C.3．C a n a n ＋1＝n 2＋3n ＋2＝(n ＋1)(n ＋2)，则a n ＝n ＋1或a n ＝－n －1，公差为1或－1，故选C.4．A a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0，所以d ＝6n －1.又d ∈N *，所以n (n ≥3)的最大值为7，故选A. 5．130 设公差为d ，则a 1＋(a 1＋8d )＋(a 1＋10d )＝30，整理得a 1＋6d ＝10，所以S 13＝13a 1＋13×122d ＝13(a 1＋6d )＝130.6．57 由条件知3×3＋3d ＝21，d ＝4，所以a 4＋a 5＋a 6＝3a 1＋12d ＝3×3＋4×12＝57. 7．－2014 设公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)d 2，S n n ＝a 1＋(n －1)d2，由S 1212－S 1010＝(12－1)d 2－(10－1)d 2＝d ，所以d ＝2，所以S 2014＝2014×(－2014)＋2014(2014－1)2×2＝－2014.8．解析：(1)设等差数列的公差为d ，则由a 5＋a 7＝4，a 6＋a 8＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a 1＋4d )＋(a 1＋6d )＝4(a 1＋5d )＋(a 1＋7d )＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝17d ＝－3，所以所求数列{a n }的通项公式a n ＝20－3n .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧20－3n ≥020－3(n ＋1)≤0，解得173≤n ≤203，因为n ∈N *，所以n ＝6，故前n 项和S n 的最大值为S 6＝6×17＋6×52×(－3)＝57.9．解析：(1)由题意知S 6＝－15S 5＝－3，所以a 6＝S 6－S 5＝－8.所以⎩⎪⎨⎪⎧5a 1＋10d ＝5a 1＋5d ＝－8，解得a 1＝7，所以S 6＝－3，a 1＝7. (2)因为S 5S 6＋15＝0,所以(5a 1＋10d )(6a 1＋15d )＋15＝0，即2a 21＋9da 1＋10d 2＋1＝0.故(4a 1＋9d )2＝d 2－8. 所以d 2≥8.故d 的取值范围为d ≤－22或d ≥2 2. 第32讲等比数列的概念及基本运算1．B S 4a 4＝a 1(1－q 4)1－q a 1q 3＝[1－(12)4]·24＝24－1＝15，故选B. 2．A S 4＝60，q ＝2⇒a 1(1－24)1－2＝60⇒a 1＝4，故a 2＝8，故选A.3．A a 5＝a 1×a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×a 5a 4＝a 51q 1＋2＋3＋4＝(－2)10＝32. 4．C 设等比数列的首项及公比分别为a 1，q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q ＝22a 1q 2＋a 1q 3＝16，由此可解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1q ＝2，故数列的通项公式为a n ＝2n －1，故选C.5．A 由a 2013＝3S 2012＋2014与a 2012＝3S 2011＋2014相减得，a 2013－a 2012＝3a 2012，即q ＝4，故选A.6．A 因为等比数列前n 项和可写为形如S n ＝kq n －k ，所以－a 2＝16，解得a ＝－13，故选A.7．16 因为a 5，a 7，a 9成等比数列，所以a 27＝a 5·a 9＝256.又a 5，a 7，a 9符号相同，所以a 7＝16.8．解析：(1)由b 1b 3＝4，b 1＋b 3＝5知，b 1、b 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根．又b n ＋1>b n ，所以b 1＝1，b 3＝4，所以b 22＝b 1b 3＝4，得b 2＝2，所以q ＝2，故b n ＝b 1·q n －1＝2n －1.(2)证明：由(1)知，a n ＝log 2b n ＋3＝log 22n －1＋3＝n ＋2. 因为a n ＋1－a n ＝n ＋1＋2－(n ＋2)＝1，所以数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列． 9．解析：(1)由a n ＋1＝2a n ＋2，得a n ＋1＋2＝2a n ＋4，即a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2a n ＋2＝2(n ∈N *)．又由a 1＝2，得a 1＋2＝4，所以数列{a n ＋2}是以4为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n ＋2＝4·2n －1＝2n ＋1，所以a n ＝2n ＋1－2.所以S n ＝22＋23＋…＋2n ＋1－2n ＝22(1－2n )1－2－2n ＝2n ＋2－2n －4.第33讲等差、等比数列的综合应用1．A a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个根，a 2＋a 4＝1，S 5＝(a 1＋a 5)×52＝52，故选A.2．D 等比数列{a n }，a 1·a 9＝a 2·a 8＝a 25＝16，各项均为正数，所以a 5＝4，所以a 2·a 3·a 8＝a 35＝43＝64，即a 2·a 5·a 8的值为64，故选D. 3．D 由等差数列的性质可知a 7＋a 8＋a 9＝2(S 6－S 3)－S 3＝2×27－9＝45，故选D. 4．C 令首项为a ，根据条件有(a ＋9)2＝(a ＋3)(a ＋21)⇒a ＝3， a 4＝3＋3×3＝12，故选C.5．240 由等比数列性质知a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6，a 7＋a 8成等比数列，由已知条件知公比为2，所以a 7＋a 8＝(a 1＋a 2)·q 3＝30×23＝240.6．8 由1，a 1，a 2,9成等差数列，可得a 2－a 1＝83，由1，b 1，b 2，b 3,9成等比数列，可得b 2＞0，且b 2＝3，所以(a 2－a 1)b 2＝8. 7.12 由等差数列的性质知1a 3＋1，1a 7＋1，1a 11＋1成等差数列，则2a 7＋1＝1a 3＋1＋1a 11＋1，即21＋1＝12＋1＋1a 11＋1，解得a 11＝12.8．解析：(1)设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝14(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋6d )，解得d ＝1或d ＝0(舍去)，a 1＝2，所以a n ＝n ＋1，S n ＝n (n ＋3)2，b n ＝2n ，T n ＝2n ＋1－2.(2)因为K n ＝2·21＋3·22＋…＋(n ＋1)·2n ，①故2K n ＝2·22＋3·23＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，② ①－②，得－K n ＝2·21＋22＋23＋…＋2n －(n ＋1)·2n ＋1，所以K n ＝n ·2n ＋1，则c n ＝S n T n K n ＝(n ＋3)(2n－1)2n ＋1， c n ＋1－c n ＝(n ＋4)(2n ＋1－1)2n ＋2－(n ＋3)(2n －1)2n ＋1＝2n ＋1＋n ＋22n ＋2＞0，所以c n ＋1＞c n (n ∈N *)．9．解析：(1)设数列{a n }的公差为d (d >0)．因为a 1，a 3，a 9成等比数列，所以a 23＝a 1a 9，所以(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，所以d 2＝a 1d . 因为d >0，所以a 1＝d .①因为S 5＝a 25，所以5a 1＋5×42·d ＝(a 1＋4d )2.② 由①②解得a 1＝d ＝35.所以a n ＝35＋(n －1)×35＝35n (n ∈N *)．(2)b n ＝n 2＋n ＋135n ·35(n ＋1)＝259·n 2＋n ＋1n (n ＋1) ＝259(1＋1n －1n ＋1)．所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 99 ＝259(1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋199－1100) ＝259(99＋1－1100) ＝275＋2.75＝277.75. 第34讲数列求和1．D 通过8a 2＋a 5＝0，设公比为q ，将该式转化为8a 2＋a 2q 3＝0，解得q ＝－2，代入所求式可知答案选D.2．A S 10＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋19×11＋110×12＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(19－111)＋(110－112)] ＝12(1＋12－111－112) ＝175264. 故选A.3．D a n ＝2＋(n －1)×1＝n ＋1，b n ＝1×2n －1＝2n －1，依题意得M n ＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 2n －1＝(1＋1)＋(2＋1)＋…＋(2n －1＋1) ＝2n －1＋n ，M 10＝210＋10－1＝1033，故选D.4．A S n ＝2×1＋5×4＋8×42＋…＋(3n －1)·4n －1，① 4S n ＝4×2＋5×42＋…＋(3n －1)·4n ，② ②－①得：3S n ＝－2－3(4＋42＋…＋4n －1)＋(3n －1)·4n ＝2＋(3n －2)4n ，所以S n ＝(n －23)·4n ＋23，故选A.5．33 d ＝2，a 6＝3，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝33. 6.511512 由题意得a n ＋1＝a n a 1，a n ＋1a n ＝a 1＝12， a n ＝a 1(12)n －1＝(12)n ，因此S 9＝1－(12)9＝511512.7．2×10062－1 由题意得S 2011－S 1005＝1006c 1006＋1006×10052×2＝1006＋1006×1005 ＝10062.由对称数列得知，S 1005＝(S 2011－S 1005)－c 1006＝10062－1，所以S 2011＝2×10062－1.8．解析：(1)设公差为d ，公比为q . 因为⎭⎪⎬⎪⎫a 1＝1a 1＋b 1＝3a 2＋b 2＝7a 3＋b 3＝13⇒b 1＝2，d ＝2，q ＝2，所以a n ＝2n －1，b n ＝2n .(2)S n ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )＋(b 1＋b 2＋…＋b n ) ＝1＋2n －12n ＋2(1－2n )1－2＝n 2＋2n ＋1－2.9．解析：(1)由已知a 2＋a 7＝12可得a 4＋a 5＝12，又因为a 3＝3，所以a 3＋a 4＋a 5＝15，所以a 4＝5，所以d ＝a 4－a 3＝2，所以a n ＝2n －3.(2)由(1)可知b n ＝n 22n －3，设数列{}b n 的前n 项和为T n ，所以T n ＝1·2－1＋2·21＋3·23＋…＋n ·22n －3，①4T n ＝1·21＋2·23＋…＋(n －1)22n －3＋n ·22n －1，② ①－②，可得－3T n ＝2－1＋21＋23＋…＋22n －3－n ·22n －1 ＝2－1(1－4n )1－4－n ·22n －1，所以T n ＝1－22n 18＋n ·22n －13.第35讲数列模型及应用1．C 由条件知(2sin α)2＝2(－3sin α)＋6，即2sin 2α＋3sin α－3＝0，解得sin α＝32，所以α＝π3，故选C.2．D 由条件知a ＋c ＝2b ，ac ＝6，则由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－3ac ，代入化简得b 2＝6，即b ＝6，故选D.3．A 当c n ∥b n 时，(n ＋1)a n －na n ＋1＝0，则a n n ＝a n ＋1n ＋1，所以数列{a nn}为常数列，设此常数为k ，则a nn＝k ，即a n ＝kn ，易知数列{a n }是等差数列，故选A.4．B 因为f ′(x )＝2cos 2x ，所以a 5＝f ′(π6)＝2cos π3＝1，所以a 1a 2＋a 2a 9＋a 9a 8＋a 8a 1＝(a 1＋a 9)(a 8＋a 2)＝2a 5·2a 5＝4，故选B.5．8 设五位同学依次报出的数字构成的数列为{a n }，则a 1＝2，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝8，a 5＝8，a 6＝4，a 7＝2，a 8＝8，……易知此{a n }是周期为6的数列，所以a 2014＝a 6×335＋4＝a 4＝8.6.a (1＋r )8－a (1＋r )r复利问题，本题为等比数列模型．a (1＋r )7＋a (1＋r )6＋…＋a (1＋r )＝a (1＋r )[1－(1＋r )7]－r＝a (1＋r )8－a (1＋r )r .7．－2 切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝(n ＋1)x n |x ＝1＝n ＋1，则切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)，令y ＝0，则x n ＝n n ＋1，所以a n ＝lg nn ＋1＝lg n －lg(n ＋1)，于是a 1＋a 2＋…＋a 99＝(lg 1－lg 2)＋(lg 2－lg 3)＋…(lg 99－lg 100)＝－lg 100＝－2. 8．解析：(1)设直线方程为x ＝ty ＋2n ，代入抛物线方程得 y 2－2(2n ＋1)ty －4n (2n ＋1)＝0，设A n (x n 1，y n 1)，B (x n 2，y n 2)，则OA →n ·OB →n ＝x n 1x n 2＋y n 1y n 2＝(t 2＋1)y n 1y n 2＋2nt (y n 1＋y n 2)＋4n 2，用韦达定理代入得 OA n →·OB n →＝－4n (2n ＋1)(t 2＋1)＋4n (2n ＋1)t 2＋4n 2 ＝－4n 2－4n ，故OA →n ·OB →n 2(n ＋1)＝－2n . (2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫OA →n ·OB →n 2(n ＋1)的前n 项和 S n ＝－2n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n (n ＋1)．9．解析：(1)设S 0表示广告费为0元时的销售量．由题意知S n －S n －1＝b 2n ，S n －1－S n －2＝b 2n －1，…，S 2－S 1＝b 22，S 1－S 0＝b2，将上述各式相加得，S n ＝b ＋b 2＋b 22＋…＋b 2n ＝b [1－(12)n ＋1]1－12＝b ·(2－12n )．(2)当a ＝10，b ＝4000时，设获利为T n 元．由题意知T n ＝10S n －1000n ＝40000·(2－12n )－1000n .欲使T n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧ T n ≥T n －1T n ≥T n ＋1，代入解得⎩⎪⎨⎪⎧n ≤5n ≥5. 所以n ＝5，此时S 5＝7875.即厂家应生产7875件这种产品，做5千元的广告，才能获利最大．第36讲算法、程序框图与算法案例1．D X ＝1＋2013＝2014；Y ＝2014－1＝2013，故选D.2．C 执行如图的程序框图n ＝1，S ＝1；n ＝2，S ＝3；n ＝3，S ＝7；n ＝4，S ＝15；n ＝5输出，则p ＝8，故选C.3．B 当a ＝1时，进入循环，此时b ＝21＝2；当a ＝2时，再进入循环，此时b ＝22＝4；当a ＝3时，再进入循环，此时b ＝24＝16，所以当a ＝4时，应跳出循环，得循环满足的条件为a ≤3，故选B. 4．100110 123(5)＝1×52＋2×51＋3×50＝25＋10＋3＝38.所以123(5)＝100110(2)．5．－54第1次循环后，y ＝1，x ＝1；第2次循环后，y ＝－12，x ＝－12；第3次循环时，y ＝－54，|x －y |＝34<1，跳出循环．6．{x |x ＝2或－2≤x ≤1}解析：流程图的算法功能是求实数a ，b ，c 的最小者，则b ≤a ，b ≤c ，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2≤4x 2≤2x 2－3x ＋2，解得x ＝2或－2≤x ≤1.7．解析：要计算手续费，首先要建立汇款额与手续费之间的函数关系式，依题意知y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1 (0<x ≤100)x ×0.01 (100<x ≤5000)50 (5000<x ≤1000000).流程图如图所示：8．解析：购买时付款150元，余款20次付清，每次的付款数组成一个数列{a n }， a 1＝50＋(1150－150)×1%＝60，a 2＝50＋(1150－150－50)×1%＝59.5， ……a n ＝50＋[1150－150－50(n －1)]×1%＝60－12(n －1)(n ＝1,2，…，20)．所以a 20＝50.5，S 总＝150＋60＋59.5＋…＋50.5＝1255.购冰箱的钱全部付清后，实际付了1255元．程序框图如下：程序如下：m＝60a＝150S＝0S＝S＋ai＝1WHILE i<＝20S＝S＋mm＝m－0.5i＝i＋1 WENDPRINT SEND。

【学海导航】2015届高三数学(文)(人教版B)第一轮总复习同步训练：第3单元《导数及其应用》

第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及其运算1.已知函数f (x )＝－x 2＋2x ，函数f (x )从2到2＋Δx 的平均变化率为( ) A ．2－Δx B ．－2－Δx C ．2＋Δx D ．(Δx )2－2·Δx2.下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e; ②(log 2x )′＝1x ·ln 2；③(e x )′＝e x; ④(x ·e x )′＝e x ＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．43.一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s 后的位移为s ＝13t 3－32t 2＋2t ，那么速度为零的时刻是( )A ．0 s 末B ．1 s 末C ．2 s 末D ．1 s 末和2 s 末4.曲线y ＝13x 3＋12x 2在点T (1，56)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为( )A.4918B.4936C.4972D.491445.已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( )6.曲线C ：f (x )＝sin x ＋e x＋2在x ＝0处的切线方程为________．7.与直线2x －6y ＋1＝0垂直，且与曲线f (x )＝x 3＋3x 2－1相切的直线方程是__________．8.求下列函数的导数：(1)y ＝3－4x 2＋3x；(2)y ＝(x 2－1)sin x ＋x cos x ；(3)y ＝1＋sin x 1－cos x；(4)y ＝x ＋15x2.9.设函数f (x )＝ax －bx，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0.(1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．第16讲导数在函数中的应用1.下列命题中的真命题是( )A ．“f ′(x )≥0在[a ，b ]上恒成立”是“连续可导函数f (x )在[a ，b ]上为增函数”的充要条件B ．若f ′(x 0)＝0，则x 0一定是y ＝f (x )的极值点C ．函数的极大值可能会小于这个函数的极小值D ．函数在开区间内不存在最大值和最小值2.设函数f (x )在定义域内可导，y ＝f (x )的图象如图所示，则导函数y ＝f ′(x )的图象可能是( )3.函数f (x )＝x 3＋3x 2＋4x －a 的极值点的个数是( ) A ．2 B ．1C ．0D ．由a 确定4.函数y ＝x e x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－eC ．－1eD ．不存在5.设函数f (x )＝x (e x ＋1)＋12x 2，则函数f (x )的单调增区间为________．6.直线y ＝a 与函数f (x )＝x 3－3x 的图象有三个相异的公共点，则a 的取值范围是__________．7.已知函数f (x )＝x 3＋mx 2＋(m ＋6)x ＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m 的取值范围是__________．8.设f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1的导数为f ′(x )，若函数y ＝f ′(x )的图象关于直线x ＝－12对称，且f ′(1)＝0.(1)求实数a ，b 的值； (2)求函数f (x )的极值．9.已知函数f (x )＝x 3－3x 2＋ax ＋b 在x ＝－1处的切线与x 轴平行． (1)求a 的值和函数f (x )的单调区间；(2)若函数y ＝f (x )的图象与抛物线y ＝32x 2－15x ＋3恰有三个不同的交点，求b 的取值范围．第17讲导数的综合应用(主要含优化问题)1.某箱子的容积与底面边长x 的关系为V (x )＝x 2·60－x2(0<x <60)，则当箱子的容积最大时，箱子底面边长是( )A ．30B ．40C ．50D ．其他2.f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对任意正数a 、b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．bf (b )≤af (a )D ．bf (a )≤af (b )3.欲制作一个容积为2π立方米的圆柱形储油罐(有盖)，为能使所用的材料最省，它的底面半径和高分别为( )A ．底面半径为0.5米，高为1米B ．底面半径为1米，高为1米C ．底面半径为1米，高为2米D ．底面半径为2米，高为0.5米 4.某企业生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一件产品，成本增加100元．已知总收益R (元)与年产量x (件)的关系式是R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2(0≤x ≤400)80000 (x >400)，则总利润最大时，年产量是( )A ．100件B ．150件C ．200件D ．300件5.如图，水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中，请按顺序写出与容器(1)、(2)、(3)、(4)对应的水的高度h 与时间t 的函数关系图象______________．6.已知函数f (x )＝x 3＋3ax －1，g (x )＝f ′(x )－ax －5.若对任意a ∈[－1,1]都有g (x )＜0成立，则实数x 的取值范围是____________．7.设函数f (x )＝x －x 2＋3ln x ，证明：当x >0时，f (x )≤2x －2.8.某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：元)与日产量x (单位：吨)满足函数关系式C ＝10000＋20x ，每日的销售额R (单位：元)与日产量x 的函数关系式R ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋290x (0<x <120)20400 (x ≥120)，已知每日的利润y ＝R －C ，且当x ＝30时，y ＝－100. (1)求a 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大？并求出最大值．9.某水渠的横截面如图所示，它的曲边是抛物线形，口宽AB＝2 m，渠深OC＝1.5 m，水面EF距AB为0.5 m.(1)求截面图中水面的宽度；(2)如果把水渠改造为横截面是等腰梯形，并要求渠深不变，不准往回填土，只能挖土，试求当截面梯形的下底边长为多少时，才能使挖出的土最少？第三单元导数及其应用第15讲导数的概念及其运算1．B 2.B 3.D 4.D 5.B 6.y ＝2x ＋3 7.3x ＋y ＋2＝08．解析：(1)y ′＝(3－4x )′(2＋3x )－(3－4x )(2＋3x )′(2＋3x )2＝－4(2＋3x )－3(3－4x )(2＋3x )2＝－17(2＋3x )2.(2)y ′＝[(x 2－1)sin x ]′＋(x cos x )′＝(x 2－1)′sin x ＋(x 2－1)cos x ＋cos x －x sin x ＝2x sin x ＋(x 2－1)cos x －x sin x ＋cos x ＝x sin x ＋x 2cos x .(3)y ′＝cos x (1－cos x )－(1＋sin x )sin x(1－cos x )2＝cos x －sin x －1(1－cos x )2.(4)因为y ＝x ＋1x 25＝x 35＋x －25，所以y ′＝(x 35)′＋(x －25)′＝35x －25－25x －75.9．解析：(1)方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3.当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx 2，于是⎩⎨⎧2a －b 2＝12a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明：设P (x 0，y 0)为曲线上任意一点．由y ′＝1＋3x 2知曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝(1＋3x 20)(x －x 0)，即y －(x 0－3x 0)＝(1＋3x 20)(x －x 0)．令x ＝0，得y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0的交点坐标为(0，－6x 0)．令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以曲线在点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形的面积为12|－6x 0||2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形的面积为定值，此定值为6.第16讲导数在函数中的应用1．C 2.D 3.C 4.C 5.(－1，＋∞) 6.－2<a <2 7．(－∞，－3)∪(6，＋∞)8．解析：(1)由f (x )＝2x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝6x 2＋2ax ＋b .从而f ′(x )＝6(x ＋a 6)2＋b －a 26，即y ＝f ′(x )关于直线x ＝－a6对称，从而由题设条件知－a 6＝－12，解得a ＝3.又由于f ′(1)＝0，即6＋2a ＋b ＝0，解得b ＝－12. (2)由(1)知f (x )＝2x 3＋3x 2－12x ＋1， f ′(x )＝6x 2＋6x －12＝6(x －1)(x ＋2)．令f ′(x )＝0，即6(x －1)(x ＋2)＝0，解得x 1＝－2，x 2＝1.当x ∈(－∞，－2)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(－∞，－2)上为增函数；当x ∈(－2,1)时，f ′(x )＜0，故f (x )在(－2,1)上为减函数；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＞0，故f (x )在(1，＋∞)上为增函数；从而函数f (x )在x 1＝－2处取得极大值f (－2)＝21，在x 2＝1处取得极小值f (1)＝－6. 9．解析：(1)f ′(x )＝3x 2－6x ＋a . 由f ′(－1)＝0，解得a ＝－9.则f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x －3)(x ＋1)，故f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)，单调递减区间为(－1,3)．(2)令g (x )＝f (x )－(32x 2－15x ＋3)＝x 3－92x 2＋6x ＋b －3.则原题等价于g (x )＝0有三个不同的根．因为g ′(x )＝3x 2－9x ＋6＝3(x －2)(x －1)，所以g (x )在(－∞，1)，(2，＋∞)上单调递增，在(1,2)上单调递减．则g (x )的极小值为g (2)＝b －1<0，且g (x )的极大值为g (1)＝b －12>0，解得120；当x >1时，g ′(x )<0.所以g (x )在(0,1)上单调增加，在(1，＋∞)上单调减少．而g (1)＝0，故当x >0时，g (x )≤0，即f (x )≤2x －2. 8．解析：(1)由题意可得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－130x 3＋ax 2＋270x －10000 (0<x <120)10400－20x (x ≥120).因为x ＝30时，y ＝－100，所以－100＝－130×303＋a ×302＋270×30－10000，所以a ＝3.(2)当0<x <120时，y ＝－130x 3＋3x 2＋270x －10000，y ′＝－110x 2＋6x ＋270.由y ′＝－110x 2＋6x ＋270＝0，可得x 1＝90，x 2＝－30(舍去)．所以当x ∈(0,90)时，原函数是增函数，当x ∈(90,120)时，原函数是减函数，所以当x ＝90时，y 取得最大值14300.当x ＝120时，y ＝10400－20×120＝8000，所以当日产量为90吨时，每日的利润可以达到最大值14300元．9．解析：建立坐标系，设抛物线方程为x 2＝2p (y ＋32)，以B 点坐标(1,0)代入抛物线方程得p ＝13，所以抛物线的方程为x 2＝23(y ＋32)．(1)把F 点的坐标(a ，－12)代入抛物线的方程得a ＝63，所以水面宽EF ＝263m.(2)设抛物线上的一点M (t ，32t 2－32)(t ＞0)，因改造水渠不能填土只能挖土，还要求挖的土最少，所以只能沿过M 点与抛物线相切的切线挖土，由y ＝32x 2－32.得y ′＝3x ，所以过点M 的切线的斜率为3t ，所以切线的方程为y ＝3t (x －t )＋(32t 2－32)，当y ＝0时，x 1＝12(t ＋1t )；当y ＝－32时，x 2＝t2.所以截面的面积S ＝34(2t ＋1t )≥322.当且仅当2t ＝1t ，且t ＞0，即t ＝22时，截面的面积最小，此时下底的边长为22m.。

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2.三角形中的恒等式或三角形的形状判断等问题，要注意根据条件的特点灵活运用正弦定理或余弦定理.一般考虑两个方向进行变形，一个方向是边，走代数变形之路，通常是正弦定理、余弦定理结合使用；另一个方向是角，走三角变形之路，主要是利用正弦定理.
第五章
平面向量
5.5 解斜三角形及其应用举例
第二课时
题型4 判定三角形的形状 1. 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、 b、c，若 A B A C B A B C k (k R ) . (1)判断△ABC的形状； (2)若c= 2 ,求k的值.
解：(1)因为A B A C c b c o s A ,B A B C c a c o s B , 又AB AC BABC, 所以bccosA=accosB, 所以sinBcosA=sinAcosB, 即sinAcosB-sinBcosA=0, 所以sin(A-B)=0. 因为-π<A-B<π, 所以A=B，所以△ABC为等腰三角形.
由正弦定理知
BC sin A
AC sin B
，即
30 sin15
AC ， sin30
所以 AC30sin3060cos1560cos(45-30)
sin15
60(cos45cos30sin45sin30)15( 6 2).
于是，A到BC边所在直线的距离为：
A C sin4 5 1 5 (62 )2 1 5 (3 1 ) 4 0 .9 8(海里)，
拓展练习在△ABC中，若B=60°，且
b2=ac，判断△ABC的形状. 解：因为b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，又b2=ac，所以a2+c2-2ac=0，即(a-c)2=0，即a=c，又B=60°，所以△ABC是等边三角形.