(完整word)初三数学圆心角、圆周角复习试题

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部编数学九年级上册专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型(解析版)含答案

专题08垂径定理、圆心角、圆周角之六大题型利用垂径定理求值【答案】2【分析】根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可．【详解】解：设OC=△中，由勾股定理得，在Rt COE【变式训练】【答案】45cm/4【分析】连接BO，延长22=，即可求解．BC OB OC-【详解】解：如图，连接=，由折叠得：CD CEQ D是OC的中点，\=，CD OD\==，CE CD OD2\==，4OC OE【答案】310【分析】由题意易得【详解】解：连接OD∵AB 是O e 的直径，AB ∴152OD OB AB ===，∵CD AB ^，6CD =，∴13,2DE CD DEO ==Ð∴22OE OD DE =-=垂径定理的实际应用【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理，灵活运用所学知识，掌握垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的弧，是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023上·福建龙岩·九年级统考期末）筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧．如图1，点M 表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O （O 在水面上方）为圆心的圆，且圆O 被水面截得的弦AB 长为8米．若筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2米，则这个圆的半径为（）A ．2米B ．3米C ．4米D ．5米【答案】D 【分析】过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示，由垂径定理可知4AE BE ==，设圆的半径为r ，再利用勾股定理列方程求解即可得到答案．【详解】解：过圆O 作OD AB ^于E ，如图所示：Q 弦AB 长为8米，\4AE BE ==，Q 盛水桶在水面以下的最大深度为2米，设圆的半径为r ，在Rt AOE △中，90AEO Ð=°，OA r =，4AE =，2OE OD ED r =-=-，则由勾【答案】26【分析】连接AO ，依题意，得出222AO AC CO =+，解方程即可求解．【详解】解：如图所示，连接∵1CD =，10AB =，AB ∴5AC =，设半径为r ，则AO r =在Rt AOC V 中，2AO =利用弧、弦、圆心角的关系求解A．AB OC=C．12ABC BOC Ð+Ð=【答案】D 【变式训练】【答案】80°/80度【分析】利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出即可求出答案．Ð【详解】解：∵OBC半圆（直径）所对的圆周角是直角A．43【答案】B【分析】如图：连接AQ QB=，最后根据勾股定理即可解答．【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键．【变式训练】【答案】13【分析】连接BD ，先由三角形内角和定理求出求出30ABD Ð=°，即有【详解】解：连接BD∵在ABC V 中，55B Ð=∴60A Ð=°，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB CDB Ð=Ð=°Ð的度数；(1)求BAC(2)若点E为OB中点，CE 【答案】(1)45°(2)3590°的圆周角所对的弦是直径例题：（2023上·广东汕头DA DC =，2AB BC ==【答案】32【分析】连接AC ，过点角三角形，勾股定理求得∵90ADC Ð=°，∴AC 是直径，∴90ABC Ð=°【变式训练】1．（2023上·山东济南·九年级统考期末）如图，正方形ABCD 中，4AB =，E 点沿线段AD 由A 向D【答案】2p【分析】连接BD 交EF 于点1222OB OD BD ===，再由∵四边形ABCD 是正方形，∴4BC AB AD ===，EDO Ð∴242BD AB ==，【答案】90°Ð【分析】（1）由ABP （2）首先证明点P理求出OC即可得到则OP OA OB ==，\点P 在以AB 为直径的O e 在Rt BCO V 中，90OBC Ð=225OC BO BC \=+=，532PC OC OP =-=-=，已知圆内接四边形求角度【答案】102°【分析】根据圆内接四边形的性质得出【详解】解：∵四边形∴180A DCB Ð+Ð=°，又180DCE DCB Ð+Ð=°，∴102DCE A ÐÐ==°，故答案为102°．【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，熟知圆内接四边形的对角互补是解决此题的关键．【变式训练】【答案】40【分析】根据已知可得»»BCBD =56DAC BAC BAD Ð=Ð+Ð=°，再利用圆内接四边形对角互补以及平角的定义可得56DBE DAC Ð=Ð=°，继而利用角平分线定义及三角形内角和定理即可求解．(1)求证：A AEBÐ=Ð(2)若90Ð=°，点CEDC【答案】(1)见解析e的半径为25 (2)O一、单选题1．（2023上·河北张家口·九年级统考期末）O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80o ，则AOB Ð=（）A ．10oB ．80oC ．170oD ．180o【答案】B 【分析】根据圆心角、弧、弦之间的关系得出答案即可．【详解】解：Q O e 中的一段劣弧»AB 的度数为80°，80AOB \Ð=°，故选：B ．A ．32°B ．42【答案】A 【分析】先根据同弧所对的圆周角相等得到小即可．【详解】解：∵50A Ð=°，∴50D A Ð=Ð=°，A ．10【答案】D∴12AH BH AB===在Rt BOHV中，OH∴线段OP长的最小值为A．105°B．110【答案】D【分析】先根据圆内接四边形的性质和平角的定义求出求解．A ．1米B ．()35+米C ．3米【答案】D 【分析】连接OC 交AB 于D ，根据圆的性质和垂径定理可知理求得OD 的长，由CD OC OD =-即可求解．则OC AB ^，12AD BD AB ==在Rt OAD △中，3OA =，AD ∴225OD AO AD =-=，【点睛】本题考查圆的性质、垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解答的关键．【答案】120【分析】过O 点作OD AC ^AD CD =，根据三角形中位线定理可得由折叠可得：12OD OE ==∵AB 是直径，∴90ACB Ð=°，12OD BC =【答案】64°/64度【分析】根据在同圆中，Ð=Ð可推出AOC BOD【详解】解：Q»AE=【答案】3【分析】由圆的性质可得OA后根据中位线的性质即可解答．【答案】45【分析】连接AC ，如图所示，由直径所对的圆周角为直角可知及勾股定理求出AC 【详解】解：连接Q OC AB ^，AB =12AD BD AB \==在Rt AOD V 中，OA 420r \=，解得r【答案】4【分析】如图，连接CD直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得【点睛】本题考查直径所对的圆周角为直角，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理．掌握直径所对的圆周角为直角是解题的关键．三、解答题e的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，11．（2023上·安徽合肥·九年级统考期末）如图，O，．==28AE CD(1)求O e 的半径长；(2)连接 BC ，作OF BC ^【答案】(1)5(2)5在Rt OCE V 中，2OE ∴()22224R R -+=，解得5R =，∴O e 的半径长为5；(1)若这个输水管道有水部分的水面宽半径；OE AB ^Q ，11168cm 22BD AB \==´=(1)连接AD，求证：(2)若52,==CD AB 【答案】(1)详见解析；(2)6Ð相等吗？为什么？(1)BAFÐ和CAD^，垂足为(2)过圆心O作OH AB【答案】(1)相等，理由见解析(2)10【详解】（1）解：连接BF ，Q AF 是O e 的直径，90F BAF \Ð+Ð=°Q AC BD ^，\90CAD BDA Ð+Ð=°，Q F BDA Ð=Ð，\BAF CAD Ð=Ð．（2）解：OH AB ^Q ，AH BH \=，OA OF =Q ，210BF OH \==，BAF CAD Ð=ÐQ ，10CD BF \==．【点睛】本题考查的是圆周角定理，等角的余角相等，圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质，垂径定理，掌握圆心角、弦的关系，三角形的中位线性质以及垂径定理是解题的关键．15．（2023上·山东威海·九年级统考期末）【初识模型】如图1，在ABC V 中，,90AB AC BAC =Ð=°．点D 为BC 边上一点，以AD 为边作ADE V ，使=90DAE Ð°，AE AD =，连接CE ，则CE 与BD 的数量关系是__________；【构建模型】如图2，ABC V 内接于,O BC e 为O e 的直径，AB AC =，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若3,9CE BE ==，求AE 的长；【运用模型】如图3，等边ABC V 内接于O e ，点E 为弧AC 上一点，连接,,AE BE CE ．若6,10CE BE ==，求AE 的长．【答案】（1）BD CE =；（2）32；（3）4【分析】（1）只需要利用SAS 证明BAD CAE V V ≌，即可证明BD CE =（2）如图所示，过点A 作AD AE ^交BE 于D ，由BC 是直径，得到明BAD CAE Ð=Ð，再证明45ADE AED Ð=Ð=°，得到AD AE =，即可证明2（3）如图所示，在BE 上取一点∵ABC V 是等边三角形，∴60AB AC ACB ==°，∠，∴60AEB ACB Ð=Ð=°，∴ADE V 是等边三角形，∴60AE DE DAE ==°=，∠∠∴BAC CAD DAE Ð-Ð=Ð-Ð【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，圆周角定理，勾股定理等等，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．。

初三数学圆周角和圆心角的关系试题

初三数学圆周角和圆心角的关系试题1.已知,如图,∠BAC的对角∠BAD=100°,则∠BOC=_______度.【答案】160°【解析】由∠BAD=100°可得∠BAC的度数，再根据圆周角定理即可求得结果.∵∠BAD=100°∴∠BAC=80°∴∠BOC=160°.【考点】邻补角定理，圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.2.如图,AB是⊙O的直径, ,∠A=25°,则∠BOD的度数为________.【答案】50°【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵,∠A=25°∴∠BOD=50°.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.3.如图,AB是半圆O的直径,AC="AD,OC=2,∠CAB=30°," 则点O到CD的距离OE=____.【答案】【解析】由AC=AD，∠CAB=30°可得∠CDO的度数，即可得到∠EOD、∠COE的度数，判断出△COE的形状再结合勾股定理即可求得结果.∵AC=AD，∠CAB=30°，OA=OC∴∠CDO=75°，∠COD=60°∴∠EOD=15°∴∠COE=45°∴△COE为等腰直角三角形∵OC=2∴OE=.【考点】三角形内角和定理，勾股定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.4.如图,A、B、C、D四个点在同一个圆上,四边形ABCD的对角线把四个内角分成的八个角中,相等的角有( )A.2对B.3对C.4对D.5对【答案】C【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.相等的角有∠ADB=∠ACB，∠BAC=∠BDC，∠CAD=∠CBD，∠ACD=∠ABC4对，故选C.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.5.如图,D是弧AC的中点,则图中与∠ABD相等的角的个数是( )A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】B【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，均等于所对圆心角的一半.∵D是弧AC的中点∴∠ABD=∠ACD=∠CBD=∠CAD故选B.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.6.如图, ,则∠A+∠B等于( )A．100°B．80°C．50°D．40°【答案】C【解析】连接CO并延长交圆于点D，根据圆周角定理即可得到结果.连接CO并延长交圆于点D由图可得∠A+∠B=∠AOD+∠BOD=∠AOB=50°故选C.【考点】圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.7.在半径为R的圆中有一条长度为R的弦,则该弦所对的圆周角的度数是( )A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°【答案】B【解析】根据圆的性质可得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果.由题意得这条弦与半径围成的三角形为等边三角形则该弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选B.【考点】圆周角定理点评：特殊三角形的性质的应用是初中数学平面图形中极为重要的知识点，与各个知识点结合极为容易，是中考中的热点，在各种题型中均有出现，需多加关注.8.如图,⊙O的直径AB=8cm,∠CBD=30°,求弦DC的长.【答案】4cm【解析】连接OC、OD，根据圆周角定理可得∠COD=60°，即可得到△COD是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求得结果.连接OC、OD,则OC=OD=4cm,∠COD=60°,故△COD是等边三角形,从而CD=4cm.【考点】圆周角定理，等边三角形的判定和性质点评：辅助线问题是初中数学学习中的难点，能否根据具体情况正确作出恰当的辅助线往往能够体现一个学生对图形的理解能力，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.9.如图,AB为半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若CD=3,AB=4,求tan∠BPD的值【答案】【解析】连接BD, 根据圆周角定理可得∠ADB=90°，证得△PCD ∽△PAB,根据相似三角形的性质结合余弦的定义可得∠BPD的余弦值，再结合勾股定理即可求得结果.连接BD,∵AB是直径,∴∠ADB=90°.∵∠C=∠A,∠D=∠B,∴△PCD ∽△PAB,∴.在Rt△PBD中,cos∠BPD==,设PD=3x,PB=4x,则BD=,∴tan∠BPD=.【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数点评：本题综合性强，知识点较多，因而这类问题在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度较大，需多加关注.10.在足球比赛场上,甲、乙两名队员互相配合向对方球门MN进攻.当甲带球部到A点时,乙随后冲到B点,如图所示,此时甲是自己直接射门好,还是迅速将球回传给乙,让乙射门好呢?为什么?(不考虑其他因素)【答案】让乙射门较好【解析】根据圆周角定理结合三角形外角的性质分析即可得到结论.迅速回传乙,让乙射门较好,在不考虑其他因素的情况下, 如果两个点到球门的距离相差不大,要确定较好的射门位置,关键看这两个点各自对球门MN的张角的大小,当张角越大时,射中的机会就越大,如图所示,则∠A<MCN=∠B,即∠B>∠A, 从而B处对MN的张角较大,在B处射门射中的机会大些.【考点】圆周角定理，三角形外角的性质点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，属于基础题，难度不大.。

初中初三数学圆试题及答案

初中初三数学圆试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 圆的半径是10，那么圆的直径是（）A. 5B. 20C. 15D. 252. 已知圆心为O，点A在圆上，OA的长度是半径的2倍，那么点A（）A. 在圆内B. 在圆上C. 在圆外D. 不存在3. 圆的周长公式是（）A. C = πdB. C = 2πrC. C = πrD. C = 4r4. 圆的面积公式是（）A. S = πr²B. S = πd²C. S = 2πrD. S = πd5. 如果一个圆的半径增加1cm，那么它的面积将增加多少平方厘米？（π取3.14）A. 3.14B. 6.28C. 2πD. π二、填空题（每题2分，共10分）1. 半径为r的圆的周长是______。

2. 半径为r的圆的面积是______。

3. 如果一个扇形的圆心角为30°，半径为5cm，那么它的弧长是______。

4. 一个圆的直径是20cm，那么它的半径是______。

5. 圆周角定理指出，圆周上一点到圆心的两条半径所夹的角是圆心角的______。

三、解答题（每题5分，共30分）1. 已知圆O的半径为5cm，点P在圆O上，求OP的长度。

答案：OP的长度为5cm。

2. 一个圆的周长是44cm，求这个圆的半径。

答案：设半径为r，根据周长公式C = 2πr，44 = 2 × 3.14 × r，解得r = 7cm。

3. 一个圆的面积是78.5平方厘米，求这个圆的半径。

答案：设半径为r，根据面积公式S = πr²，78.5 = 3.14 × r²，解得r = √(78.5 / 3.14) ≈ 5cm。

4. 已知圆心角为60°，半径为10cm的扇形，求这个扇形的弧长。

答案：弧长= (60/360) × 2π × 10 = π × 10 = 31.4cm。

(word完整版)初三数学圆所有经典难题

圆所有经典难题一，选择题1.下列命题中正确的有( )个(1) 平分弦的直径垂直于弦（2）经过半径一端且与这条半径垂直的直线是圆的切线（3）在同圆或等圆中，圆周角等于圆心角的一半（4）平面内三点确定一个圆（5）三角形的外心到各个顶点的距离相等 (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 (D) 4个2.AC 平分∠BAD 且交BD 于F 点．若∠ADE ＝19°，则∠AFB 的度数为何？（）A ．97°B ．104°C ．116°D ．142°3.下列说法正确的是（） A 、三点确定一个圆。

B 、一个三角形只有一个外接圆。

C 、和半径垂直的直线是圆的切线。

D 、三角形的内心到三角形三个顶点距离相等。

4.在半径等于5cm 的圆内有长为35cm 的弦，则此弦所对的圆周角为（）A 、60º或120º B. 30º或120º C. 60º D. 120º5.如图4，⊙O 的半径为５，弦ＡＢ的长为８，Ｍ是弦ＡＢ上的动点，则线段ＯＭ长的最小值为（）Ａ、２Ｂ、３Ｃ、４Ｄ、５6.与三角形三个顶点距离相等的点，是这个三角形的（） A 、三条中线的交点， B 、三条角平分线的交点， C 、三条高的交点， D 、三边的垂直平分线的交点。

7.圆的半径为5cm ，圆心到一条直线的距离是7cm ，则直线与圆（） A 、有两个交点， B 、有一个交点， C 、没有交点， D 、交点个数不定。

8.两圆的半径比为 2 cm 与3cm ，圆心距等于小圆半径的2倍，则两圆的关系为（） A 、相离， B 、外切， C 、相交， D 、内切或内含9.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a>b ），A BP O则此圆的半径为（）A ．2b a +B ．2b a -C ．22b a b a -+或D ．b a b a -+或10.如图24—A —6，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD=13，PC=4，则两圆组成的圆环的面积是（）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π二．填空题1.已知圆锥的高是cm 30，母线长是cm 50，则圆锥的侧面积是2.一个扇形的圆心角为90°，半径为2，则这个扇形的弧长为__________(结果保留π)3.将半径为5，圆心角为144°的扇形围成一个圈锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为 _____．4.如图AD 、AE 、CB 都是⊙O 的切线，AD=4，则ΔABC 的周长是 . E ACA F ·O PB ·O CBD5.已知一个圆锥的侧面展开图是半径为r 的半圆，则这个圆锥的全面积是__________．6.圆柱的底面半径是3 cm ，母线长为4 cm ，那么圆柱的侧面积为_______．7.在Rt △ABC 中，∠C=90゜，AC=5，BC=12，以C 为圆心，R 为半径作圆与斜边AB 相切，则R 的值为。

初三数学圆心角试题

初三数学圆心角试题1.在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是．【答案】圆周角度数等于圆心角度数的一半【解析】直接根据圆周角定理填空即可.在同一个圆中，同弧所对的圆周角和圆心角的关系是圆周角度数等于圆心角度数的一半.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.2.如图，直径垂直于弦，垂足为，，则的度数为，的度数为，的度数为，的度数为．【答案】，，，【解析】根据垂径定理及圆周角定理依次分析即可得到结果.∵直径垂直于弦，∴弧AD的度数等于弧AC的度数等于∴弧CBD的度数等于∴=，的=.【考点】垂径定理，圆周角定理点评：垂径定理是圆中极为重要的知识点，一般与勾股定理结合使用，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上一点，且，是延长线上一点，与半圆相交于点，如果，则，，．【答案】，，【解析】设∠A=x，由AB=OC，得到∠BOA=x，根据三角形外角性质得到∠EBO=2x，而OB=OE，得∠AEO=2x，则x+2x=93°，得到x=31°，再根据三角形的内角和定理即可求得∠EOB、∠ODE．设∠A=x，∵AB=OC，∴∠BOA=x，∴∠EBO=2x，而OB=OE，∴∠AEO=2x，∴∠EOD=∠A+∠AEO，而∠EOD=93°，∴x+2x=93°，∴x=31°，∴∠EOB=180°-4x=180°-124°=56°，∴∠ODE=（180°-93°）÷2=．【考点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质点评：本题知识点多，综合性强，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.4.如图，，则，，，．【答案】，，，【解析】在同一个圆中，同弧或等弧所对的圆周角度数等于圆心角度数的一半.∵弧ACB:弧ADB=5:4，弧ACB+弧ADB=360°∴弧ACB=200°，弧ADB=160°∴，，，.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.如图，△内接于，，点，分别在和上，若，则，．【答案】，【解析】由可得弧AC的度数，由可得弧AB的度数，即可得到弧BFC的度数，从而求得结果.∵，∴弧AC的度数等于弧AB的度数等于100°∴弧BFC的度数等于160°，弧BAC的度数等于200°∴，.【考点】圆周角定理点评：圆周角定理是圆中极为重要的知识点，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.6.在同圆中，同弦所对的两个圆周角（）A．相等B．互补C．相等或互补D．互余【答案】C【解析】根据圆周角定理及圆的基本性质即可判断.在同圆中，同弦所对的两个圆周角相等或互补，故选C.【考点】圆周角定理，圆的基本性质点评：圆周角定理是圆中极为重要的知识点，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.7.在中，弦所对的劣弧为圆的，有以下结论：①为，②，③，④△为等边三角形，⑤弦的长等于这个圆的半径．其中正确的是（）A．①②③④⑤B．①②④⑤C．①②D．②④⑤【答案】B【解析】根据圆周角定理及圆的基本性质依次分析各小题即可判断.∵弦所对的劣弧为圆的∴弧AB为60°，，△为等边三角形，弦的长等于这个圆的半径故选B.【考点】圆周角定理，圆的基本性质点评：圆周角定理是圆中极为重要的知识点，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需熟练掌握.8.，，，，依次是上的四个点，，弦，的延长线交于点，若，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半得到弧AD的度数，从而得到弧ABCD的度数，根据弧AB=弧CB=弧CD，即可求得弧BC的度数，从而求得结果．如图：∵∠ABD=60°，∴弧AD的度数=2×60°=120°，∴弧ABCD的度数=360°-120°=240°，又∵弧AB=弧CB=弧CD，∴弧BC的度数=×240°=80°，∴∠BDC=40°，而∠ABD=∠P+∠BDP，∴∠P=60°-40°=20°．故选C．【考点】圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质点评：本题知识点多，综合性强，在中考中比较常见，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.9.如图，△为锐角三角形，△内接于圆，，是△的垂心，是的直径．求证：．【答案】见解析【解析】易得△BCD为含30°的直角三角形，则CD=BD，利用H是垂心及直径所对的圆周角是直角可得四边形AHCD是平行四边形，则AH=CD，可得所证．连接AD，CD，CH∵BD是⊙O直径，∴∠BAD=∠BCD=90°，又∠BAC=60°，∴∠CAD=30°，∠DBC=∠CAD=30°，在Rt△BCD中，CD=BD，H是△ABC的垂心，AH⊥BC，CH⊥AB，又DC⊥BC，DA⊥AB，∴四边形AHCD为平行四边形，∵AH=CD，∴．【考点】与圆有关的证明点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.10.如图，已知是外任意一点，过点作直线，，分别交于点，，，．求证：（的度数的度数）．【答案】见解析【解析】先由三角形外角的性质得∠BCD=∠P+∠ABC，再由圆周角定理即可得出结论．∵的度数等于弧BD的度数，的度数等于弧AC的度数（弧BD的度数-弧AC的度数）．【考点】三角形外角的性质，圆周角定理点评：辅助线问题是初中数学的难点，能否根据题意准确作出适当的辅助线很能反映一个学生的对图形的理解能力，因而是中考的热点，尤其在压轴题中比较常见，需特别注意.。

中考数学复习《圆周角定理的应用》专题训练题含答案

圆周角定理综合训练一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．163．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是度．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=度．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是C D的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．如图，已知⊙O的半径为1，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长 D．2CD的长【解答】解：连接AO并延长交圆于点E，连接BE．则∠C=∠E，由AE为直径，且BD⊥AC，得到∠BDC=∠ABE=90°，所以△ABE和△BCD都是直角三角形，所以∠CBD=∠EAB．又△OAM是直角三角形，∵AO=1，∴sin∠CBD=sin∠EAB==OM，即sin∠CBD的值等于OM的长．故选：A．2．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，连接AC，过点C作直线CD⊥AB交AB于点D．E是OB上的一点，直线CE与⊙O交于点F，连接AF交直线CD于点G，AC=2，则AG•AF是（）A．10 B．12 C．8 D．16【解答】解：连接BC，则∠B=∠F，∵CD⊥AB，∴∠ACD+∠CAD=90°，∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∠CAB+∠B=90°，∴∠ACG=∠F．又∵∠CAF=∠FAC，∴△ACG∽△AFC，∴AC：AF=AG：AC，即AG•AF=AC2=（2）2=8．故选：C．3．如图，半圆O的直径AB=7，两弦AC、BD相交于点E，弦CD=，且BD=5，则DE等于（）A．B．C．D．【解答】解法一：∵∠D=∠A，∠DCA=∠ABD，∴△AEB∽△DEC；∴=；设BE=2x，则DE=5﹣2x，EC=x，AE=2（5﹣2x）；连接BC，则∠ACB=90°；Rt△BCE中，BE=2x，EC=x，则BC=x；在Rt△ABC中，AC=AE+EC=10﹣3x，BC=x；由勾股定理，得：AB2=AC2+BC2，即：72=（10﹣3x）2+（x）2，整理，得4x2﹣20x+17=0，解得x1=+，x2=﹣；由于x＜，故x=﹣；则DE=5﹣2x=2．解法二：连接OD，OC，AD，∵OD=CD=OC则∠DOC=60°，∠DAC=30°又AB=7，BD=5，∴AD=2，在Rt△ADE中，∠DAC=30°，所以DE=2．故选：A．4．如图，△ABC为⊙O的内接三角形，AB=1，∠C=30°，则⊙O的内接正方形的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：如图，连接BO并延长交圆于点E，连接AE，则∠E=∠C=30°，∠EAB=90°；∴直径BE==2，∵直径是圆内接正方形的对角线长，∴圆内接正方形的边长等于∴⊙O的内接正方形的面积为2．故选：A．5．如图，四边形ABCD内接于⊙O，它的对角线把四个内角分成八个角，其中相等的角有（）A．2对 B．4对 C．6对 D．8对【解答】解：由圆周角定理知：∠ADB=∠ACB；∠CBD=∠CAD；∠BDC=∠BAC；∠ABD=∠ACD；由对顶角相等知：∠1=∠3；∠2=∠4；共有6对相等的角．故选：C．6．已知，如图弧BC与弧AD的度数之差为20°，弦AB与CD交于点E，∠CEB=60°，则∠CAB等于（）A．50°B．45°C．40°D．35°【解答】解：由题意，弧BC与弧AD的度数之差为20°，∴两弧所对圆心角相差20°，∴2∠A﹣2∠C=20°，∴∠A﹣∠C=10°…①；∵∠CEB是△AEC的外角，∴∠A+∠C=∠CEB=60°…②；①+②，得：2∠A=70°，即∠A=35°．故选：D．7．如图，B是线段AC的中点，过点C的直线l与AC成60°的角，在直线L上取一点P，使∠APB=30°，则满足条件的点P的个数是（）A．3个 B．2个 C．1个 D．不存在【解答】解：如图，分别以AC，BC为边，作等边△APC，等边△BP′C，连接BP，依题意，结合等边三角形的性质可知∠APB=∠AP′B=30°，所以满足条件的点P的个数为2个．故选：B．8．如图，已知∠DEC=80°，弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，则∠DAC的度数为（）A．35°B．45°C．25°D．50°【解答】解：∵弧CD的度数与弧AB的度数的差为20°，∴2（∠A﹣∠D）=20°即∠A﹣∠D=10°∵∠DEC=80°∴∠DEC=∠D+∠A=80°∴∠A=45°，∠D=35°．故选：B．9．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则正五边形的中心角∠AOB的度数是（）A．72°B．60°C．54°D．36°【解答】解：∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，∴∠AOB=360°÷5=72°．故选：A．10．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为（）A．1 B．2 C．1+D．2﹣【解答】解：连接AD，OD∵∠BAC=90°，AB=AC=2∴△ABC是等腰直角三角形∵AB是圆的直径∴∠ADB=90°∴AD⊥BC∴点D是BC的中点∴OD是△ABC的中位线∴∠DOA=90°∴△ODA，△ADC都是等腰直角三角形∴两个弓形的面积相等=AD2=1．∴阴影部分的面积=S△ADC故选：A．11．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，D为斜边BC的中点，经过点A、D 的⊙O与边AB、AC、BC分别相交于点E、F、M．对于如下五个结论：①∠FMC=45°；②AE+AF=AB；③；④2BM2=BE•BA；⑤四边形AEMF为矩形．其中正确结论的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【解答】解：连接AM，根据等腰三角形的三线合一，得AD⊥BC，再根据90°的圆周角所对的弦是直径，得EF、AM是直径，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形，得四边形AEMF是矩形，∴①根据等腰直角三角形ABC的底角是45°，易得∠FMC=45°，正确；②根据矩形和等腰直角三角形的性质，得AE+AF=AB，正确；③连接FD，可以证明△EDF是等腰直角三角形，则③中左右两边的比都是等腰直角三角形的直角边和斜边的比，正确；④根据BM=BE，得左边=4BE2，故需证明AB=4BE，根据已知条件它们之间不一定有这种关系，错误；⑤正确．所以①②③⑤共4个正确．故选C．12．已知：圆内接四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，AB＞CD．若CD=4，则AB 的弦心距为（）A．B．2 C．D．【解答】解：如图，设AC与BD的交点为O，过点O作GH⊥CD于G，交AB于H；作MN⊥AB于M，交CD于点N．在Rt△COD中，∠COD=90°，OG⊥CD；∴∠DOG=∠DCO；∵∠GOD=∠BOH，∠DCO=∠ABO，∴∠ABO=∠BOH，即BH=OH，同理可证，AH=OH；即H是Rt△AOB斜边AB上的中点．同理可证得，M是Rt△COD斜边CD上的中点．设圆心为O′，连接O′M，O′H；则O′M⊥CD，O′H⊥AB；∵MN⊥AB，GH⊥CD；∴O′H∥MN，OM∥GH；即四边形O′HOM是平行四边形；因此OM=O′H．由于OM是Rt△OCD斜边CD上的中线，所以OM=O′H=CD=2．故选：B．13．如图，⊙O中，弦AD∥BC，DA=DC，∠AOC=160°，则∠BCO等于（）A．20°B．30°C．40°D．50°【解答】解：连接OD，∵AO=OC=OD，DA=DC，∴△ADO≌△CDO．∴∠COD=∠AOD=∠AOC=80°．∴∠ODC=∠OCD=∠ODA=∠OAD=50°．∴∠CDA=100°．∵AD∥BC，∴∠DCB=180°﹣∠CDA=180°﹣100°=80°．∴∠BCO=∠BCD﹣∠OCD=80°﹣50°=30°．故选：B．14．如图，在△ABC中，AD是高，△ABC的外接圆直径AE交BC边于点G，有下列四个结论：①AD2=BD•CD；②BE2=EG•AE；③AE•AD=AB•AC；④AG•EG=BG•CG．其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①若△ABD∽△CAD，则一定有AD：BD=CD：AD，即AD2=BD•CD，而两三角形只有一对角对应相等，不会得到另外的对应角相等，故①不正确；②若△BEG∽△AEB，则一定有BE：EG=AE：BE，即BE2=EG•AE，而两三角形只有一对公共角相等，不会得到另外的对应角相等，故②不正确；③∵∠ABD=∠AEC，∠ADB=∠ACE=90°，∴△ABD∽△AEC，∴AE：AC=AB：AD，即AE•AD=AC•AB，故③正确；∵根据相交弦定理，可直接得出AG•EG=BG•CG，故④正确．故选：B．二．填空题（共5小题）15．如图，⊙O是正△ABC的外接圆，点D是弧AC上一点，则∠BDC的度数是60度．【解答】解：∵△ABC是正三角形，∴∠BAC=60°；由圆周角定理，得：∠BDC=∠A=60°．16．如图，点A、B、C是⊙O上的三点，若∠BOC=56°，则∠A=28度．【解答】解：∵∠BOC=56°∴∠A=∠BOC=28°．17．如图，圆内接四边形ABCD的两条对角线交于点P．已知AB=BC，CD=BD=1，设AD=x，用关于x的代数式表示PA与PC的积：PA•PC=﹣x2+x．【解答】解：根据相交弦定理，可知PA•PC=BP•PD，∵CD=1，BD=2而AB=BC∴∴∠ADB=∠BDC∵∠ABD=∠ACD∴△ADB∽△PDC∴CD：BD=PD：AD而BD=2CD∴PD=x∴BP=BD﹣PD=2﹣x∴PA•PC=BP•PD=（2﹣x）×x=﹣x2+x．18．如图所示，在圆O中，弧AB=弧AC=弧CD，AB=3，AE•ED=5，则EC的长为2．【解答】解：∵弧AB=弧AC=弧CD，∴∠1=∠2=∠3=∠4；∴△AEC∽△BAC；∴CE：AC=AC：BC；∵AC=AB=3，因此CE•BC=3×3=9；∵BC=BE+CE，∴CE（BE+CE）=9，整理得：CE•BE+CE2=9 ①；由根据相交弦定理得，BE•CE=A E•ED=5 ②；②代入①得：5+CE2=9，解得：CE=2（负值舍去）．19．如图，△ABC内接于⊙O，AE是⊙O的直径，AE与BC交于点D，且D是OE 的中点，则tan∠ABC•tan∠ACB=3．【解答】解：连接BE、CE，则∠ABE=∠ACE=90°．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴△ADC∽△BDE，∴．①同理可由△ADB∽△CDE，得．②①×②，得==3．Rt△AEC中，tan∠AEC=．同理得tan∠AEB=．故tan∠AEC•tan∠AEB==3．∵∠EAC=∠CBE，∠BED=∠ACB，∴tan∠ABC•tan∠ACB=3．三．解答题（共7小题）20．如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AD是⊙O的弦，OC⊥AD于F 交⊙O于E，连接DE，BE，BD．AE．（1）求证：∠C=∠BED；（2）如果AB=10，tan∠BAD=，求AC的长；（3）如果DE∥AB，AB=10，求四边形AEDB的面积．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，CA切⊙O于A，∴∠C+∠AOC=90°；又∵0C⊥AD，∴∠OFA=90°，∴∠AOC+∠BAD=90°，∴∠C=∠BAD．又∵∠BED=∠BAD，∴∠C=∠BED．（2）解：由（1）知∠C=∠BAD，tan∠BAD=，∴tan∠C=．在Rt△OAC中，tan∠C=，且OA=AB=5，∴，解得．（3）解：∵OC⊥AD，∴，∴AE=ED，又∵DE∥AB，∴∠BAD=∠EDA，∴，∴AE=BD，∴AE=BD=DE，∴，∴∠BAD=30°，又∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴BD=AB=5，DE=5，在Rt△ABD中，由勾股定理得：AD=，过点D作DH⊥AB于H，∵∠HAD=30°，∴DH=AD=，∴四边形AEDB的面积=．21．如图，Rt△ABC内接于⊙O，AC=BC，∠BAC的平分线AD与⊙O交于点D，与BC交于点E，延长BD，与AC的延长线交于点F，连接CD，G是CD的中点，连接OG．（1）判断OG与CD的位置关系，写出你的结论并证明；（2）求证：AE=BF；（3）若OG⋅DE=3（2﹣），求⊙O的面积．【解答】（1）解：猜想OG⊥CD．证明：如图，连接OC、OD，∵OC=OD，G是CD的中点，∴由等腰三角形的性质，有OG⊥CD．（2）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，而∠CAE=∠CBF（同弧所对的圆周角相等），在Rt△ACE和Rt△BCF中，∵∠ACE=∠BCF=90°，AC=BC，∠CAE=∠CBF，∴Rt△ACE≌Rt△BCF（ASA）．∴AE=BF．（3）解：如图，过点O作BD的垂线，垂足为H，则H为BD的中点．∴OH=AD，即AD=2OH，又∠CAD=∠BAD⇒CD=BD，∴OH=OG．在Rt△BDE和Rt△ADB中，∵∠DBE=∠DAC=∠BAD，∴Rt△BDE∽Rt△ADB，∴，即BD2=AD•DE．∴．又BD=FD，∴BF=2BD，∴①，设AC=x，则BC=x，AB=，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠FAD=∠BAD．在Rt△ABD和Rt△AFD中，∵∠ADB=∠ADF=90°，AD=AD，∠FAD=∠BAD，∴Rt△ABD≌Rt△AFD（ASA）．∴AF=AB=，BD=FD．∴CF=AF﹣AC=．在Rt△BCF中，由勾股定理，得②，由①、②，得，∴x2=12，解得或（舍去），∴，∴⊙O的半径长为．=π•（）2=6π．∴S⊙O22．如图，AB是⊙O的直径，C是弧BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE 于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为3，求BC的长．【解答】（1）证明：连接AC，如图∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC（1分）又∵∠BDC=∠BAC在△ABC中，∠ACB=90°，CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC（3分）∴CF=BF；（4分）（2）解：解法一：作CG⊥AD于点G，∵C是弧BD的中点∴∠CAG=∠BAC，即AC是∠BAD的角平分线．（5分）∴CE=CG，AE=AG（6分）在Rt△BCE与Rt△DCG中，CE=CG，CB=CD∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL）∴BE=DG（7分）∴AE=AB﹣BE=AG=AD+DG即6﹣BE=2+DG∴2BE=4，即BE=2（8分）又∵△BCE∽△BAC∴BC2=BE•AB=12（9分）BC=±2（舍去负值）∴BC=2．（10分）解法二：∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB ∴∠BEF=∠ADB=90°，（5分在Rt△ADB与Rt△FEB中，∵∠ABD=∠FBE∴△ADB∽△FEB，则，即，∴BF=3EF（6分）又∵BF=CF，∴CF=3EF利用勾股定理得：（7分）又∵△EBC∽△ECA则，则CE2=AE•BE（8分）∴（CF+EF）2=（6﹣BE）•BE即（3EF+EF）2=（6﹣2EF）•2EF ∴EF=（9分）∴BC=．（10分）23．如图，⊙O中，弦AB、CD相交于AB的中点E，连接AD并延长至点F，使DF=AD，连接BC、BF．（1）求证：△CBE∽△AFB；（2）当时，求的值．【解答】（1）证明：∵AE=EB，AD=DF，∴ED是△ABF的中位线，∴ED∥BF，∴∠CEB=∠ABF，又∵∠C=∠A，∴△CBE∽△AFB．（2）解：由（1）知，△CBE∽△AFB，∴，又AF=2AD，∴．24．如图，已知AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，连接BC，AC，过点C作直线CD⊥AB于点D，点E是AB上一点，直线CE交⊙O于点F，连接BF，与直线CD交于点G．求证：BC2=BG•BF．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，∠ACB=90°，又CD⊥AB于D，∴∠BCD=∠A，又∠A=∠F．∴∠F=∠BCD．在△BCG和△BFC中，，∴△BCG∽△BFC．∴．即BC2=BG•BF．25．如图，点I是△ABC的内心，线段AI的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC边于点E．（1）求证：ID=BD；（2）设△ABC的外接圆的半径为5，ID=6，AD=x，DE=y，当点A在优弧上运动时，求y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围．【解答】（1）证明：∵点I是△ABC的内心∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI（2分）∵∠CBD=∠CAD∴∠BAD=∠CBD（3分）∴∠BID=∠ABI+∠BAD，∴∠ABI=∠CBI，∠BAD=∠CAD=∠CBD，∵∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD∴ID=BD；（5分）（2）解：∵∠BAD=∠CBD=∠EBD，∠D=∠D∴△ABD∽△BED（7分）∴∴AD×DE=BD2=ID2（8分）∵ID=6，AD=x，DE=y∴xy=36（9分）又∵x=AD＞ID=6，AD不大于圆的直径10∴6＜x≤10∴y与x的函数关系式是（6＜x≤10）．（10分）说明：只要求对xy=36与6＜x≤10，不写最后一步，不扣分．26．已知：如图，等边△ABC内接于⊙O，点P是劣弧上的一点（端点除外），延长BP至D，使BD=AP，连接CD．（1）若AP过圆心O，如图①，请你判断△PDC是什么三角形？并说明理由；（2）若AP不过圆心O，如图②，△PDC又是什么三角形？为什么？【解答】解：（1）如图①，△PDC为等边三角形．（2分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵AP过圆心O，AB=AC，∠BAC=60°∴∠BAP=∠PAC=∠BAC=30°∴∠PBC=∠PAC=30°，∠BCP=∠BAP=30°∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=30°+30°=60°∴△PDC为等边三角形；（6分）（2）如图②，△PDC仍为等边三角形．（8分）理由如下：∵△ABC为等边三角形∴AC=BC∵在⊙O中，∠PAC=∠PBC又∵AP=BD∴△APC≌△BDC∴PC=DC∵∠BAP=∠BCP，∠PBC=∠PAC∴∠CPD=∠PBC+∠BCP=∠PAC+∠BAP=60°∴△PDC为等边三角形．（12分）31 / 31。

初三数学圆周角试题

初三数学圆周角试题1.下图中是圆周角的有 .【答案】②⑥【解析】顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.根据圆周角的定义可得②⑥是圆周角.【考点】圆周角的定义点评：本题是圆周角的定义的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.2.如图，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若，则º．【答案】135°【解析】由根据圆周角定理可得弧CD=弧CE=弧DE，即可得到结果.∵∴弧CD=弧CE=弧DE∴135°.【考点】圆周角定理点评：圆周角定理是圆中极为重要的知识点，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.3.某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面.(1)请你补全这个输水管道的圆形截面；(2)若这个输水管道有水部分的水面宽AB＝16cm，水面最深地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径.【答案】（1）如图所示：（2）10cm【解析】过点O作OC⊥AB于D，交弧AB于C，则可求得BD的长，设半径为xcm，则OD=(x-4)cm，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可列方程求解.【考点】垂径定理，勾股定理点评：作图能力是初中数学学习中非常基础的能力，因而在中考中比较常见，一般以作图题形式出现，难度不大，需特别注意.4.如图，已知是⊙O的圆周角，，则圆心角是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】圆周角定理：同弧或等弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半。

∵∴=故选D.【考点】圆周角定理点评：本题是圆周角定理的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.5.圆的弦长与它的半径相等，那么这条弦所对的圆周角的度数是（）A．30°B．150°C．30°或150°D．60°【答案】C【解析】由题意可得这条弦与半径组成的三角形的等边三角形，再根据圆周角定理即可求得结果. 由题意可得这条弦与半径组成的三角形的等边三角形则这条弦所对的圆周角的度数是30°或150°故选C.【考点】圆周角定理点评：等边三角形的判定和性质的应用是初中数学极为重要的知识，与各个知识点联系极为容易，因而是中考的热点，在各种题型中均有出现，一般难度不大，需特别注意.6.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（）A．第①块B．第②块C．第③块D．第④块【答案】B【解析】根据不共线的三点能确定一个圆即可判断.由图可得小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是第②块，故选B.【考点】确定圆的条件点评：本题是确定圆的条件的基础应用题，在中考中比较常见，一般以选择题、填空题形式出现，难度一般.7.如图，量角器外沿上有A、B两点，它们的读数分别是70°、40°，则∠1的度数为。

初三数学圆心角试题

初三数学圆心角试题1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，的度数是72°，∠BCD=68°，则∠AED的度数为．【答案】58°【解析】先根据AB是⊙O的直径，的度数是72°得出的度数，由圆心角、弧、弦的关系可求出∠ABC的度数，根据三角形内角和定理可求出∠CEB的度数，再根据对顶角相等即可得出结论．解：∵AB是⊙O的直径，的度数是72°，∴=180°﹣72°=108°，∴∠ABC==×108°=54°，∵∠BCD=68°，∴∠CEB=180°﹣∠BCD﹣∠ABC=180°﹣68°﹣54°=58°．故答案为：58°．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．2.如图，AB是⊙O的直径，BC，CD，DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD= ．【答案】120°【解析】由已知可得，弦BC、CD、DA三等分半圆，从而不难求得∠BCD的度数．解：连接OC、OD，∵BC=CD=DA，∴==，∴弦BC、CD、DA三等分半圆，∴弦BC和CD和DA对的圆心角均为60°，∴∠BCD=（180°+60°）=120°．故答案是：120°．点评：本题利用了弧、弦与圆心角的关系求解，注意半圆对的圆心角为180°．3.如图，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP，则MP+NP的最小值是 cm．【答案】5【解析】作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，再根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点可求出∠MON′的值，再由勾股定理即可求出MN′的长．解：作N关于AB的对称点N′，连接MN′交AB于点P，则点P即为所求的点，∵M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，∴∠MOB==60°，∠BON′==30°，∴∠MON′=90°，∵AB=10cm，∴OM=ON′=5cm，∴MN′===5cm，即MP+NP的最小值是cm．故答案为：5．点评：本题考查的是最短路线问题及圆心角、弧、弦的关系，根据M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，求出∠MON′=90°是解答此题的关键．4.（2006•昭阳区二模）如图，P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，若x、y都是整数，则这样的点共有个．【答案】12个【解析】因为P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，根据题意，x2+y2=25，若x、y都是整数，其实质就是求方程的整数解．解：∵P（x，y）是以坐标原点为圆心、5为半径的圆周上的点，即圆周上的任意一点到原点的距离为5，由题意得：=5，即x2+y2=25，又∵x、y都是整数，∴方程的整数解分别是：x=0，y=5；x=3，y=4；x=4，y=3；x=5，y=0；x=﹣3，y=4；x=﹣4，y=3；x=﹣5，y=0；x=﹣3，y=﹣4；x=﹣4，y=﹣3；x=0，y=﹣5；x=3，y=﹣4；x=4，y=﹣3．共12对，所以点的坐标有12个．分别是：（0，5）；（3，4）；（4，3）；（5，0）；（﹣3，4）；（﹣4，3）；（﹣5，0）；（﹣3，﹣4）；（﹣4，﹣3）；（0，﹣5）；（3，﹣4）；（4，﹣3）．点评：本题结合圆和直角三角形的知识，考查了二元二次方程的整数解和点的坐标问题．5.如下图，弦CD、FE的延长线交于圆外点P，割线PAB经过圆心，请你结合现有图形，添加一个适当的条件：，使结论∠1=∠2能成立．【答案】△COP≌△EOP【解析】本题答案有多种，根据三角形全等原理可填AC=AE或BD=BF，也可根据在“同圆或等圆中，同弧或等弧所对的弦相等”和三角形全等原理，填CD=FE或弧CD与弧EF相等．解：使∠1=∠2能成立，则应有△COP≌△EOP，或△PDB≌△PFB，故可添加AC=AE或BD=BF当AC=AE时，根据圆周角定理知，∠AOC=∠AOE，∵OC=OE，PO=PO，∴△COP≌△EOP，∴∠1=∠2．点评：本题答案不唯一，根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求解．6.下列结论正确的是（）A．长度相等的两条弧是等弧B．同一条弦所对的两条弧一定是等弧C．相等的圆心角所对的弧相等D．等弧所对的圆心角相等【答案】D【解析】A、只有长度相等的两条弧不一定能重合，所以不是等弧；B、直径、弦的定义进行分析；C、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析；D、根据圆心角、弧、弦的关系进行分析．解：A、在同圆或等圆中，能够完全重合的两段弧为等弧，不但长度相等，弯曲程度也要相同，故本选项错误；B、同一条弦所对的两条弧不一定是等弧，除非这条弦为直径，故本选项错误；C、同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故本选项错误；D、等弧所对的圆心角相等，故本选项正确．故选D．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系；解题时要注意圆心角、弧、弦的关系是在同圆或等圆中才能成立．7.下列命题中，正确的个数是（）①直径是圆中最长的弦；②平分弦的直径垂直于弦；③相等的圆周角所对的弧相等；④圆心角等于圆周角的2倍；⑤圆的内接平行四边形是矩形．A．2个B．3个C．4个D．5个【答案】A【解析】根据圆心角、弧、弦的关系对各选项进行逐一解答即可．解：①符合圆周角定理，故本小题正确；②当两条直径相交时互相平分但不一定互相平分但不一定垂直，应为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故本小题错误；③在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，故本小题错误；④在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，故本小题错误；⑤符合圆内接四边形的性质，故本小题正确．故选A．点评：本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，解答此类题目时一定要注意此定理使用的条件，即在同圆或等圆中，这是此类题目的易错点．8.下列说法正确的是（）A．平分弦的直径垂直于弦B．三点确定一个圆C．相等的圆心角所对弦相等D．直径为圆中最长的弦【答案】D【解析】画出反例图形即可判断A、C；根据当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，即可判断B，根据弦和直径的定义即可判断D．解：A、如图，AB为弦时，直径CD和AB不垂直，故本选项错误；B、不在同一条直线上三点确定一个圆，当三点在同一直线上时，过三点不能做一个圆，故本选项错误；C、如图，∠AOB=∠COD，但弦AB≠弦CD，故本选项错误；D、直径是圆中最长的弦，故本选项错误．故选D．点评：本题考查了确定圆的条件，圆的认识，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系等知识点的运用，主要考查学生的辨析能力．9.如图，在⊙O中，=，∠AOB=122°，则∠AOC的度数为（）A．122°B．120°C．61°D．58°【答案】A【解析】直接根据圆心角、弧、弦的关系求解．解：∵，=，∴∠∠AOB=∠AOC=122°．故选A．点评：本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．10.已知AB是半径为1的圆O的一条弦，且AB=a＜1，以AB为一边在圆O内作正△ABC，点D为圆O上不同于点A的一点，且DB=AB=a，DC的延长线交圆O于点E，则AE的长为（）A．B．1C．D．a【答案】B【解析】此题可通过证△EAC≌△OAB，得AE=OA，从而求出EA的长；△EAC和△OAB中，已知的条件只有AB=AC；由AB=BD，得=，可得∠AED=∠AOB；四边形ABDE内角于⊙O，则∠EAB+∠D=180°，即∠EAC=180°﹣60°﹣∠D=120°﹣∠D；而∠ECA=180°﹣∠ACB﹣∠BCD=120°﹣∠BCD，上述两个式子中，由BD=AB=BC，易证得∠D=∠BCD，则∠ECA=∠EAC，即△EAC、△OAB都是等腰三角形，而两个等腰三角形的顶角相等，且底边AC=AB，易证得两个三角形全等，由此得解．解：∵△ABC是等边三角形，∴AB=BC=AC=BD=a，∠CAB=∠ACB=60°；∵AB=BD，∴，∴∠AED=∠AOB；∵BC=AB=BD，∴∠D=∠BCD；∵四边形EABD内接于⊙O，∴∠EAB+∠D=180°，即∠EAC+60°+∠D=180°；又∵∠ECA+60°+∠BCD=180°，∴∠ECA=∠EAC，即△EAC是等腰三角形；在等腰△EAC和等腰△OAB中，∠AEC=∠AOB，∵AC=AB，∴△EAC≌△OAB；∴AE=OA=1．故选B．点评：此题考查了圆心角、弧、弦的关系，等边三角形的性质，圆内接四边形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，综合性强，难度较大；能够发现并证得△EAC≌△OAB是解答此题的关键．。

(完整版)初三数学圆练习题

初三数学圆练习题【课标要求】考点课标要求知识与技能目标了解理解掌握灵活应用圆圆及其有关概念∨弧、弦、圆心角的关系，点与圆以及圆与圆的位置关系∨圆周角与圆心角的关系，直径所对圆周角的特征∨三角形的内心和外心∨切线的概念,探索切线与过切点的半径之间的关系∨判定圆的切线，会过圆上一点画圆的切线∨计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和表面积∨【知识梳理】1．与圆有关的概念：正确理解弦、劣弧、优弧、圆心角等与圆有关的概念,•并能正确分析它们的区别与联系。

2．与圆有关的角：掌握圆周角和圆心角的区别与联系，将圆中的直径与90°的圆周角联系在一起，一般地，若题目无直径，往往需要作出直径。

3．圆心角、弧、弦之间的关系与垂径定理：定理和结论是在圆的旋转不变性上推出来的，需注意“在同圆或等圆中"中这个关系。

4．与圆有关的位置关系:了解点和圆、直径和圆、圆和圆共有几种位置关系,•并能恰当地运用数量关系来判断位置关系是学习的关键.5．切线长定理：切线长定理是圆的对称性的体现,它为说明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系提供了理论依据。

一、知识点1、与圆有关的角——圆心角、圆周角(1）图中的圆心角；圆周角；（2）如图,已知∠AOB=50度，则∠ACB= 度（3）在上图中,若AB 是圆O 的直径，则∠AOB= 度; 2、圆的对称性：(1）圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条的直线；圆是中心对称图形,对称中心为．(2如图,∵CD 是圆O 的直径，CD ⊥AB 于E∴ = ， =3、点和圆的位置关系有三种：点在圆，点在圆 ,点在圆；例1：已知圆的半径r 等于5厘米，点到圆心的距离为d ， (1）当d =2厘米时,有d r ，点在圆（2）当d =7厘米时,有d r ,点在圆（3）当d =5厘米时，有d r ，点在圆4、直线和圆的位置关系有三种：相、相、相．例2：已知圆的半径r 等于12厘米，圆心到直线l 的距离为d ，（1）当d =10厘米时，有d r ，直线l 与圆 (2）当d =12厘米时,有d r ，直线l 与圆（3）当d =15厘米时，有d r ,直线l 与圆 5、圆与圆的位置关系：例3：已知⊙O 1的半径为6厘米，⊙O 2的半径为8厘米,圆心距为 d ，则:R+r= ， R －r= ；（1)当d =14厘米时，因为d R+r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是: （2）当d =2厘米时，因为d R －r ，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是：（3)当d =15厘米时,因为 ,则⊙O 1和⊙O 2位置关系是: （4）当d =7厘米时, 因为，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是: (5）当d =1厘米时, 因为，则⊙O 1和⊙O 2位置关系是: 6、切线性质：例4:（1）如图，PA 是⊙O 的切线，点A 是切点，则∠PAO= 度(2)如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，点A 、B 是切点，则 = ,∠ =∠ ；7、圆中的有关计算（1）弧长的计算公式：例5：若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的弧长是多少? 解:因为扇形的弧长=()180所以l =()180= (答案保留π)（2)扇形的面积：例6：①若扇形的圆心角为60°，半径为3，则这个扇形的面积为多少?OBPAOBAC 解：因为扇形的面积S=()360所以S=()360= （答案保留π）②若扇形的弧长为12πcm ，半径为6㎝，则这个扇形的面积是多少？解：因为扇形的面积S=所以S= =（3)圆锥：例7：圆锥的母线长为5cm ，半径为4cm ，则圆锥的侧面积是多少？解：∵圆锥的侧面展开图是形，展开图的弧长等于 ∴圆锥的侧面积=8、三角形的外接圆的圆心-—三角形的外心-—三角形的交点；三角形的内切圆的圆心——三角形的内心—-三角形的交点；二、练习： (一）填空题1、如图，弦AB 分圆为1:3两段，则AB 的度数= 度，ACB 的度数等于度；∠AOB ＝度，∠ACB ＝度，2、如图，已知A 、B 、C 为⊙O 上三点，若AB 、CA 、BC 的度数之比为1∶2∶3，则∠AOB ＝，∠AOC ＝， ∠ACB ＝，3、如图1－3－2，在⊙O 中，弦AB=1.8cm ，圆周角∠ACB=30○ ，则 ⊙O 的半径等于=_________cm ．4、⊙O 的半径为5，圆心O 到弦AB 的距离OD=3，· O ABD第1小题第2小题则AD= ,AB 的长为； 5、如图，已知⊙O 的半径OA=13㎝,弦AB ＝24㎝，则OD= ㎝。

2019-2020【提分必做】九年级数学下册第二章 2.2 圆心角、圆周角练习 (新版)湘教版

2.2 圆心角、圆周角2．2.1 圆心角基础题知识点1 认识圆心角1．下面四个图中的角，是圆心角的是(D)A B C D2．将一个圆分成四个扇形，它们的圆心角的度数比为4∶4∶5∶7，则这四个扇形中，圆心角最大的是(D) A ．54° B ．72°C ．90°D ．126°知识点2 圆心角、弧、弦之间的关系 3．下列说法中，正确的是(B) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等所对的圆心角相等4．如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠AOB＝122°，则∠AOC 的度数为(A) A ．122°B ．120°C ．61°D ．58°5．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且AD ＝BC ，则AB 与CD 的大小关系为(B) A ．AB>CD B ．AB ＝CD C ．AB<CDD ．不能确定6．如图，已知在⊙O 中，BC 是直径，AB ︵＝DC ︵，∠AOD＝80°，则∠ABC 等于(B) A ．40°B ．65°C ．100°D ．105°7．如图所示，在⊙O 中，AC ，BC 是弦，根据条件填空： (1)若AC ＝BC ，则AC ︵＝BC ︵，∠AOC＝∠BOC； (2)若AC ︵＝BC ︵，则AC ＝BC ，∠AOC＝∠BOC； (3)若∠AOC＝∠BOC，则AC ︵＝BC ︵，AC ＝BC ．8．如图，在⊙O 中，点C 是AB ︵的中点，∠OAB＝50°，则∠BOC 等于40°．9．如图所示，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠B＝70°，则∠A ＝40°．10．(教材P49练习T2变式)如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠COD＝34°，求∠AEO 的度数．解：∵BC ︵＝CD ︵＝DE ︵， ∠COD＝34°， ∴∠BOE＝102°. ∵OA＝OE ，∴∠AEO＝∠EAO＝12∠BOE＝51°.中档题11．如图，AB 是⊙O 的直径，BC ，CD ，DA 是⊙O 的弦，且BC ＝CD ＝DA.则∠BCD 等于(C) A ．100°B ．110°C ．120°D ．135°12．如图，在⊙O 中，已知弦AB ＝DE ，OC⊥AB，OF⊥DE，垂足分别为C ，F ，则下列说法中，正确的个数为(D)①∠DOE＝∠AOB；②AB ︵＝DE ︵；③OF＝OC ；④AC＝EF. A ．1B ．2C ．3D ．413．已知AB ︵，CD ︵是同圆的两段弧，且AB ︵＝2CD ︵，则弦AB 与2CD 之间的关系为(B)A ．AB ＝2CD B ．AB ＜2CDC ．AB ＞2CD D ．不能确定提示：如图，在圆上截取DE ︵＝CD ︵，连接DE ，CE ，则有AB ︵＝CE ︵.∴AB＝CE.又CD ＋DE ＝2CD>CE ＝AB ，∴AB＜2CD ，故选B.14．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三点，且有AB ︵＝BC ︵＝CA ︵. (1)求∠AOB，∠BOC，∠AOC 的度数； (2)连接AB ，BC ，CA ，试确定△ABC 的形状．解：(1)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.又∵∠AOB＋∠BOC＋∠COA＝360°， ∴∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝120°. (2)∵AB ︵＝BC ︵＝CA ︵， ∴AB＝BC ＝CA.∴△ABC 是等边三角形．15．如图，AB ，CD 是⊙O 的两条直径，过点A 作AE∥CD 交⊙O 于点E ，连接BD ，DE ，求证：BD ＝DE.证明：连接OE ， ∵OA＝OE ， ∴∠A＝∠OEA. ∵AE∥CD，∴∠BOD＝∠A，∠DOE＝∠OEA. ∴∠BOD＝∠DOE. ∴BD＝DE.16．如图，已知AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点，CM⊥AB，DN⊥AB.求证：AC ︵＝BD ︵.证明：连接OC ，OD ，∵AB 是⊙O 的直径，M ，N 分别是AO ，BO 的中点， ∴OM＝ON.∵CM⊥AB，DN⊥AB， ∴∠OMC＝∠OND＝90°.在Rt△OMC 和Rt△OND 中，⎩⎪⎨⎪⎧OM ＝ON ，OC ＝OD ，∴Rt△OMC≌Rt△OND(HL)． ∴∠COM＝∠DON. ∴AC ︵＝BD ︵. 综合题17．如图，在⊙O 中，AB ，CD 是两条弦，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别为E ，F. (1)如果∠AOB＝∠COD，那么OE 与OF 的大小有什么关系？为什么？ (2)如果OE ＝OF ，那么AB ︵与CD ︵的大小有什么关系？为什么？解：(1)OE ＝OF.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，OA ＝OB ，OC ＝OD ，∴∠OEB＝∠OFD＝90°，∠EOB＝12∠AOB，∠FOD＝12∠COD.∵∠AOB＝∠COD，∴∠EOB＝∠FOD. 在△EOB 和△FOD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFD，∠EOB＝∠FOD，OB ＝OD ，∴△EOB≌△FOD(AAS)． ∴OE＝OF. (2)AB ︵＝CD ︵.理由：∵OE⊥AB，OF⊥CD，AO ＝BO ，CO ＝DO ， ∴∠OEB＝∠OFD＝90°.∴点E ，F 分别是AB ，CD 的中点．在Rt△BEO 和Rt△DFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OD ，OE ＝OF ，∴Rt△BEO≌Rt△DFO(HL)． ∴BE＝DF.∵AB＝2BE ，CD ＝2DF ， ∴AB＝CD. ∴AB ︵＝CD ︵.2.2.2 圆周角第1课时圆周角定理及其推论1基础题知识点1 认识圆周角1．下列四个图中，∠x是圆周角的是(C)知识点2 圆周角定理2．(2018·衢州)如图，点A，B，C在⊙O上，∠ACB＝35°，则∠AOB的度数是(B)A．75° B．70° C．65° D．35°3．如图，△ABC内接于⊙O.若∠A＝α，则∠OBC等于(D)A．180°－2αB．2αC．90°＋αD．90°－α4．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A，B两点，P是优弧AB上任意一点(与A，B不重合)，则∠APB＝30°．5．(2018·广东)在同圆中，已知弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角是50°．知识点3 圆周角定理推论16．如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，AC ，BD 相交于点E ，则∠ABD＝(A) A ．∠ACD B ．∠ADB C ．∠AEDD ．∠ACB7．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条直径，∠ABC＝28°，那么∠BAD＝(A) A ．28°B ．42°C ．56°D ．84°8．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，弦AB ，CD 相交于点P.若∠A＝30°，∠APD＝70°，则∠B 等于(C) A ．30°B ．35°C ．40°D ．50°9．如图，BD 是⊙O 的直径，点A ，C 在⊙O 上，AB ︵＝BC ︵，∠AOB＝60°，则∠BDC 的度数是(D) A ．60°B ．45°C ．35°D ．30°10．如图所示，弦AB ，CD 相交于点O ，连接AD ，BC ，在不添加辅助线的情况下，请在图中找出一对相等的角，它们是答案不唯一，如：∠A＝∠C，∠B＝∠D，∠AOD＝∠BOC，∠AOC＝∠BOD．11．如图，已知A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AB ＝BC ，BD 交AC 于点E ，连接CD ，AD.求证：DB 平分∠ADC.证明：∵AB＝BC ， ∴AB ︵＝BC ︵. ∴∠BDC＝∠ADB. ∴DB 平分∠ADC.易错点忽略弦所对的圆周角不唯一而致错12．已知某个圆的弦长等于它的半径，则这条弦所对的圆周角的度数为30°或150°．中档题13．如图，P 是⊙O 外一点，PA ，PB 分别交⊙O 于C ，D 两点，已知AB ︵和CD ︵所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P＝(D) A ．45°B ．40°C ．25°D ．20°14．(2018·菏泽)如图，在⊙O 中，OC⊥AB，∠ADC＝32°，则∠OBA 等于(D) A ．64°B ．58°C ．32°D ．26°15．如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正弦516．如图所示，在⊙O 中，已知∠BAC＝∠CDA＝20°，则∠ABO 的度数为50°．17．(教材P52练习T3变式)如图，在⊙O 中，A ，B 是圆上的两点，已知∠AOB＝40°，直径CD∥AB，连接AC ，则∠BAC＝35°．18．如图，点A ，B ，C 三点在⊙O 上，过C 作CD∥AB 与⊙O 相交于D 点，E 是CD ︵上一点，且满足AD ＝DE ，连接BD 与AE 相交于点F.求证：△AFD∽△ABC.证明：∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD. ∵AD＝DE ，∴AD ︵＝DE ︵. ∴∠DAE＝∠AED.∴∠DAE＝∠AED＝∠ACD＝∠BAC.∵∠ADF＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC， ∴△AFD∽△ABC. 综合题19．如图，⊙O 的半径为1，A ，P ，B ，C 是⊙O 上的四个点，∠APC＝∠CPB＝60°. (1)判断△ABC 的形状，并证明你的结论；(2)试探究线段PA ，PB ，PC 之间的数量关系，并证明你的结论．证明：(1)△A BC 是等边三角形．在⊙O 中，∵∠BAC 与∠CPB 是BC ︵所对的圆周角， ∠ABC 与∠APC 是AC ︵所对的圆周角， ∴∠BAC＝∠CPB，∠ABC＝∠APC. 又∵∠APC＝∠CPB＝60°， ∴∠ABC＝∠BAC＝60°. ∴△ABC 为等边三角形．(2)在PC 上截取PD ＝AP ，连接AD ， ∵∠APC＝60°， ∴△APD 是等边三角形． ∴AD＝AP ＝PD ，∠ADP＝60°，即∠ADC＝120°.又∵∠APB＝∠APC＋∠B PC ＝120°， ∴∠ADC＝∠APB. 在△APB 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠APB＝∠ADC，∠ABP＝∠ACD，AP ＝AD ，∴△APB≌△ADC(AAS)． ∴BP＝CD. 又∵PD＝AP.∴CP＝CD ＋PD ＝BP ＋AP.第2课时圆周角定理推论2及圆内接四边形的性质基础题知识点1 圆周角定理推论21．(2017·福建)如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．则下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是(D)A．∠A DC B．∠ABDC．∠BAC D．∠BAD2．如图，小华同学设计了一个量直径的测量器，标有刻度的尺子OA，OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，把O点靠在圆周上，读得刻度OE＝8个单位长度，OF＝6个单位长度，则圆的直径为(B)A．12个单位长度B．10个单位长度C．4个单位长度D．15个单位长度3．如图，已知AB是⊙O的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为(C)A．20° B．40° C．50° D．70°4．如图，CD是⊙O的直径，已知∠1＝30°，则∠2＝(C)A．30° B．45° C．60° D．70°5．如图，把直角三角形的直角顶点O放在破损玻璃镜的圆周上，两直角边与圆弧分别交于点M，N，量得OM＝8 cm，ON＝6 cm，则该圆玻璃镜的半径是(B)A.10 cmB．5 cmC．6 cmD．10 cm6．如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠AOD＝130°，BC∥OD交⊙O于C，求∠A的度数．解：∵∠AOD＝130°，∴∠BOD＝50°.∵BC∥OD，∴∠B＝∠BOD＝50°.∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠A＝90°－∠B＝40°.知识点2 圆内接四边形对角互补7．如图，四边形ABCD是圆内接四边形，E是BC延长线上一点．若∠BAD＝105°，则∠DCE的大小是(B)A．115° B．105° C．100° D．95°8．(教材P55例4变式)(2018·邵阳)如图所示，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD的大小是(B)A．80° B．120° C．100° D．90°9．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD＝110°，则∠BAD＝70°．10．如图，已知∠EAD是圆内接四边形ABCD的一个外角，并且BD＝DC.求证：AD平分∠EAC.证明：∵∠EAD＋∠BAD＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠EAD＝∠DCB.∵BD＝DC，∴∠DBC＝∠DCB.又∵∠DBC＝∠DAC，∴∠EAD＝∠DAC，即AD平分∠EAC.易错点对圆内接四边形的概念理解不清导致错误11．如图，在⊙O中，点A，B，C在⊙O上，且∠ACB＝110°，则∠α＝140°．中档题12．在圆内接四边形ABCD中，若∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶5，则∠D等于(B)A ．60°B ．120°C ．140°D ．150°13．如图，AB 为⊙O 的直径，关于角p ，q ，r ，s 之间的关系：①p＝2q ；②q＝r ；③p＋s ＝180°中，正确的是(A) A ．只有①和② B ．只有①和③ C ．只有②和③D ．①②③14．(2018·白银)如图，⊙A 过点O(0，0)，C(3，0)，D(0，1)，点B 是x 轴下方⊙A 上的一点，连接BO ，BD ，则∠OBD 的度数是(B) A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°15．(2018·北京)如图，点A ，B ，C ，D 在⊙O 上，CB ︵＝CD ︵，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB ＝70°．16．如图，已知点A ，B ，C ，D 均在⊙O 上，CD 为∠ACE 的平分线． (1)求证：△ABD 为等腰三角形；(2)若∠DCE ＝45°，BD ＝6，求⊙O 的半径．解：(1)证明： ∵CD 平分∠ECA，∴∠ECD＝∠DCA.∵∠ECD＋∠DCB＝180°，∠DCB＋∠BAD＝180°，∴∠ECD＝∠DAB.又∵∠DCA＝∠DBA，∴∠DBA＝∠DAB.∴DB＝DA.∴△ABD是等腰三角形．(2)∵∠DCE＝∠DCA＝45°，∴∠ECA＝∠ACB＝90°.∴∠BDA＝90°.∴AB是直径．∵BD＝AD＝6，∴AB＝BD2＋DA2＝62＋62＝6 2.∴⊙O的半径为3 2.17．(2018·宜昌)如图，在△ABC中，AB＝AC.以AB为直径的半圆交AC于点D，交BC于点E.延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC.(1)求证：四边形ABFC是菱形；(2)若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．解：(1)证明：∵AB为半圆的直径，∴∠AEB＝90°，∵AB＝AC，∴CE＝BE.又∵EF＝AE，∴四边形ABFC是平行四边形．又∵AB＝AC，(或∠AEB＝90°)∴平行四边形ABFC是菱形．(2)连接BD.∵AD＝7，BE ＝CE ＝2，设CD ＝x ，则AB ＝AC ＝7＋x. ∵AB 为半圆的直径， ∴∠ADB＝90°. ∴AB 2－AD 2＝CB 2－CD 2. ∴(7＋x)2－72＝42－x 2. ∴x 1＝1或x 2＝－8(舍去)． ∴S 半圆＝12×π×42＝8π.∴BD＝15. ∴S 菱形ABFC ＝815. 综合题18．如图，在⊙O 中，直径AB 的两侧有定点C 和动点P ，点P 在AB ︵上运动(不与A ，B 重合)，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q.(1)试猜想：△PCQ 与△ACB 具有何种关系？(不要求证明) (2)当点P 运动到什么位置时，△ABC≌△PCB？并给出证明．解：(1)△PCQ∽△ACB. (2)当CP ︵为半圆时， △ABC≌△PCB. 证明：∵AB 是直径， ∴∠ACB＝90°. ∵CP ︵为半圆，∴CP是直径．∴∠PBC＝90°，AB＝CP.∵CB是公共边，∴Rt△ABC≌Rt△PCB(HL)．。

(完整word版)圆周角定理经典训练卷(含答案)

圆周角定理经典训练卷一．选择题1．如图，AB、CD都是⊙O的弦,且AB⊥CD．若∠CDB=62°,则∠ACD的大小为（）(1）（2）(3)A．28° B．31°C．38° D．62°2．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知∠ABO=40°，则∠ACB的大小为（）A．40° B．30°C．45° D．50°3．如图,AB是⊙O的弦，点C在圆上，已知∠OBA=40°，则∠C=（）A．40° B．50°C．60° D．80°4．如图,已知AB、AD是⊙O的弦，∠B=30°，点C在弦AB上，连接CO并延长CO交于⊙O于点D，∠D=20°,则∠BAD的度数是( ）（4）（5）（6)（7）A．30° B．40°C．50° D．60°5．如图,已知圆心角∠BOC=100°,则圆周角∠BAC的大小是（）A．50° B．55°C．60° D．65°6．如图，A，B，P是半径为2的⊙O上的三点,∠APB=45°,则弦AB的长为( ）A．2 B．4 C．D．27．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点,∠ACB=20°,则∠OAB的度数为（）A．80° B．75°C．70° D．65°8．如图,在⊙O中，AB平分∠CAO，∠BAO=25°，则∠BOC的大小为( )A．25° B．50°C．65° D．80°（8）（9）（10）9.如图，⊙O中,劣弧AB所对的圆心角∠AOB=120°,点C在劣弧AB上，则圆周角∠ACB=（）A．60° B．120°C．135°D．150°10．如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦,点P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2,则弦AB所对的圆周角的度数是( )A．60° B．120°C．60°或120°D．30°或150°11．如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别交⊙O于C、D两点，已知和所对的圆心角分别为90°和50°，则∠P=（）A．45°B．40°C．25° D．20°12．已知△ABC中,AB=AC，∠A=50°,⊙O是△ABC的外接圆，D是优弧BC上任一点（不与A、B、C重合），则∠ADB的度数是( ）A．50° B．65°C．65°或50°D．115°或65°13．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦．若∠OBC=60°，则∠BAC的度数是（)（13）（14）（15）A．75° B．60°C．45° D．30°14．如图，BD是⊙O的直径，∠CBD=30°，则∠A的度数为（)A．30°B．45°C．60° D．75°15．如图,已知CD是⊙O的直径,过点D的弦DE平行于半径OA，若∠D的度数是50°，则∠C的度数是( ）A．25° B．30°C．40° D．50°16．如图,AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAC=23°，则∠ADC的大小为（)A．23° B．57°C．67° D．77°17．如图，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，∠ABD=53°，则∠BCD为（）（16）A．37° B．47°C．45° D．53°（17）（18）（19）18．如图，若AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=65°,则∠BCD的度数为（）A．25° B．45°C．55° D．75°19．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，分别连接AC、BC、CD、OD．若∠DOB=140°，则∠ACD=（)A．20° B．30°C．40° D．70°20。

初三数学圆试题讲解及答案

初三数学圆试题讲解及答案初三数学圆的知识点主要包括圆的性质、圆周角、切线的性质、弧长公式、扇形面积等。

本试题旨在帮助学生巩固这些知识点，并通过练习提高解题能力。

一、选择题1. 已知圆的半径为5，圆心角为30°，那么这个圆心角所对的弧长是多少？A. 2πB. 5πC. 10πD. 15π答案：B2. 在圆中，圆周角的度数是圆心角的多少倍？A. 1/2B. 1/3C. 2/3D. 1/4答案：A二、填空题1. 半径为r的圆的周长公式是 \( C = 2\pi r \) 。

2. 如果一个扇形的半径为3，圆心角为60°，那么它的面积是\( \frac{1}{6}\pi r^2 \) ，即 \( \frac{1}{6} \times 3^2\times \pi \) 。

三、解答题1. 如图所示，圆O的半径为10，点A、B、C是圆O上的三点，且∠AOB=60°，求AB的长度。

解：根据圆周角定理，我们知道圆周角的度数是圆心角的一半，所以∠AOB=30°。

由于AB是圆O的弦，根据弦长公式，我们有：\[ AB = 2 \times \text{半径} \times \sin(\frac{\text{圆心角}}{2}) \]\[ AB = 2 \times 10 \times \sin(15°) \]计算得AB的长度。

2. 已知扇形的半径为6，圆心角为45°，求这个扇形的弧长和面积。

解：弧长公式为：\[ L = r \times \theta \]其中r是半径，θ是圆心角（以弧度为单位）。

首先将角度转换为弧度：\[ 45° = \frac{\pi}{4} \text{ 弧度} \]然后计算弧长：\[ L = 6 \times \frac{\pi}{4} \]扇形面积公式为：\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]计算面积：\[ A = \frac{1}{2} \times 6^2 \times \frac{\pi}{4} \]结束语通过本试题的练习，希望同学们能够熟练掌握初三数学中圆的相关知识，提高解题技巧和应用能力。

(完整版)圆心角圆周角练习题

知识点三：弧、弦、圆心角与圆周角1、圆心角定义：顶点在的角叫做圆心角2. 在同圆或等圆中，弧、弦、圆心角之间的关系：两个圆心角相等圆心角所对的弧(都是优弧或都是劣弧)相等圆心角所对的弦相等3、一个角是圆周角必须满足两个条件：（1）角的顶点在________;(2)角的两边都是与圆有除顶点外的交点。

4. 同一条弧所对的圆周角有__________个5.圆周角定理：1=2圆周角圆心角6.圆周角定理推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等（2）半圆或直径所对的圆周角相等（3）90°的圆周角所对的弦是直径。

注意：“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”结论就不一定成立了，因为一条弦所对的圆周角有两类，它们是相等或互补关系。

7. 圆内接四边形：定义：如果一个多边形的所有顶点都在圆上，这个多边形叫做，这个圆叫做。

性质：圆内接四边形的对角夯实基础1．如果两个圆心角相等，那么（）A ．这两个圆心角所对的弦相等;B ．这两个圆心角所对的弧相等C ．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;D ．以上说法都不对2.下列语句中不正确的有（）①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧A.3个B.2个C.1个D.以上都不对3. 在同圆或等圆中，下列说法错误的是（）A ．相等弦所对的弧相等B ．相等弦所对的圆心角相等C ．相等圆心角所对的弧相等D ．相等圆心角所对的弦相等4、如图，在⊙O 中，AB AC ，∠B =70°，则∠A 等于．5、如图，在⊙O 中，若C 是BD 的中点，则图中与∠BAC 相等的角有（）A.1个B.2 个C.3个D.4个6、如图，若AB 是⊙O 的直径，AB=10cm ，∠CAB=30°，则BC= cm ．7、如图，已知OA ，OB 均为⊙O 上一点，若∠AOB=80°，则∠ACB=（）A ．80°B ．70°C ．60°D ．40°8、圆内接四边形ABCD ，∠A ，∠B ，∠C 的度数之比为3：4：6，则∠D 的度数为（）A ．60B ．80C ．100D ．1209、已知如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠A ＝60°，则∠DCE ＝ .题型一：利用圆心角圆周角定理求角度1、如图，AB 是 ⊙O 的直径，C ，D 是BE 上的三等分点，∠AOE=60°，则∠COE 是（）A ． 40° B. 60° C. 80° D. 120 °2、如图，AB 是 ⊙O 的直径，BC⌒ =BD ⌒ ,∠A=25°，则∠BOD= .3、已知圆O 的半径为5,弦AB 的长为5,则弦AB 所对的圆心角∠AOB = .4、在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆周的41，圆的半径等于12，则圆心角∠AOB ＝；弦AB 的长为 .5、如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，若∠A=40 º，则∠B 的度数为（）A ．80 ºB ．60 ºC ．50 ºD ．40 º6、如图，在△ABC 中，AB 为⊙O 的直径，∠B=60°，∠BOD=100°，则∠C 的度数为（） OED C B A OD CBAA．50°B．60°C．70°D．80°7、如图，AB、CD是⊙O的两条弦，连接AD、BC，若∠BAD=60°，则∠BCD的度数为（）A.40°B.50°C.60°D.70°8、如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC=60°，则∠ABC的度数是．9、如图，点A、B、C、D在⊙O上，OB⊥AC，若∠BOC=56°，则∠ADB=度．10、如图，⊙O的弦CD与直径AB相交，若∠BAD＝50°，则∠ACD＝..11、如图，AB是⊙O的直径，点C是圆上一点，∠BAC=70°，则∠OCB=．12、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=26°，以点C 为圆心，BC 为半径的圆分别交AB 、AC 于点D 、点E ，则弧BD 的度数为（）A ．26°B ．64°C ．52°D ．128°题型二：利用圆心角圆周角的性质定理求线段1、在⊙O 中，圆心角∠AOB =90°,点O 到弦AB 的距离为4,则⊙O 的直径的长为( )A.4B.82C.24D.162、如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，OP ⊥AC 于点P ，，则⊙O 的半径为（）A ．B ．C ．8D ．123、如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC=120°，AB=AC ，BD 为⊙O 的直径，AD=6，则DC= ．题型三：利用弧、弦、圆心角、圆周角之间的关系证明弧相等，线段相等，角度相等1、如图，在⊙O 中 ,AB =AC ,∠ACB=60°，求证∠AOB ＝∠BOC ＝∠AOC .333B2．如图，在⊙O 中，C 、D 是直径AB 上两点，且AC=BD ，MC ⊥AB ，ND ⊥AB ，M 、N•在⊙O 上．（1）求证：AM =BN ；（2）若C 、D 分别为OA 、OB 中点，则AM MN NB ==成立吗？3、如图，以⊙O 的直径BC 为一边作等边△ABC,AB 、AC 交⊙O 于D 、E,求证：BD=DE=EC4、如图，⊙O 的直径AB 为10cm ，弦AC 为6cm ，∠ACB 的平分线交⊙O 于D ，求BC ，AD ，BD 的长.5、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是BD 的中点，CE ⊥AB 于 E ，BD 交CE 于点F ．（1）求证：CF ﹦BF ；（2）若CD ﹦6， AC ﹦8，则⊙O 的半径为，CE 的长是．BA作业1、如图，AB 是⊙O 的直径，==，∠COD=34°，则∠AEO 的度数是（）A ．51°B ．56°C ．68°D ．78°2、圆中有两条等弦AB=AE ，夹角∠A=88°，延长AE 到C ，使EC=BE ，连接BC ，如图．则∠ABC 的度数是（）A ．90°B ．80°C ．69°D ．65°3. 如图所示⊙O 中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO 的度数为．B4. 如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．5、如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB=30°时，求证：BC=OD．。

北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系中考试题精选(含答案)

北师大版九年级下册 3.4 圆周角与圆心角的关系中考试题精选（含答案）一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8 5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D 7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2 9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12 12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2 17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD 18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝°．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝度．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝°．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB ＝°．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝．39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝．40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．3.4 圆周角与圆心角的关系参考答案与试题解析一．选择题（共20小题）1．（2019•营口）如图，BC是⊙O的直径，A，D是⊙O上的两点，连接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，则∠ABC的度数是（）A．20°B．70°C．30°D．90°解：连接AC，如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝∠ADB＝70°，∴∠ABC＝90°﹣70°＝20°．故答案为20°．故选A．2．（2019•陕西）如图，AB是⊙O的直径，EF，EB是⊙O的弦，且EF＝EB，EF与AB交于点C，连接OF，若∠AOF＝40°，则∠F的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．55°解：连接FB．∵∠AOF＝40°，∴∠FOB＝180°﹣40°＝140°，∴∠FEB＝∠FOB＝70°∵EF＝EB∴∠EFB＝∠EBF＝55°，∵FO＝BO，∴∠OFB＝∠OBF＝20°，∴∠EFO＝∠EBO，∠EFO＝∠EFB﹣∠OFB＝35°，故选B．3．（2019•沈阳）如图，AB是⊙O的直径，点C和点D是⊙O上位于直径AB两侧的点，连接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半径是13，BD＝24，则sin∠ACD的值是（）A．B．C．D．解：∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半径是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得AD＝10，∴sin∠B＝＝＝，∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故选D．4．（2019•广元）如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D，连接BD，BC，且AB＝10，AC＝8，则BD的长为（）A．2B．4 C．2D．4.8解：∵AB为直径，∴∠ACB＝90°，∴BC＝＝＝6，∵OD⊥AC，∴CD＝AD＝AC＝4，在Rt△CBD中，BD＝＝2．故选C．5．（2019•吉林）如图，在⊙O中，所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为（）A．30°B．45°C．55°D．60°解：∵∠ACB＝50°，∴∠AOB＝2∠ACB＝100°，∵∠AOP＝55°，∴∠POB＝45°，故选B．6．（2019•柳州）如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是（）A．∠B B．∠C C．∠DEB D．∠D解：∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠D＝∠A．故选D．7．（2019•镇江）如图，四边形ABCD是半圆的内接四边形，AB是直径，＝．若∠C ＝110°，则∠ABC的度数等于（）A．55°B．60°C．65°D．70°解：连接AC，∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，∴∠DAB＝180°﹣∠C＝70°，∵＝，∴∠CAB＝∠DAB＝35°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝55°，故选A．8．（2019•十堰）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E，若BA 平分∠DBE，AD＝5，CE＝，则AE＝（）A．3 B．3C．4D．2解：连接AC，如图，∵BA平分∠DBE，∴∠1＝∠2，∵∠1＝∠CDA，∠2＝∠3，∴∠3＝∠CDA，∴AC＝AD＝5，∵AE⊥CB，∴∠AEC＝90°，∴AE＝＝＝2．故选D．9．（2019•贵港）如图，AD是⊙O的直径，＝，若∠AOB＝40°，则圆周角∠BPC的度数是（）A．40°B．50°C．60°D．70°解：∵＝，∠AOB＝40°，∴∠COD＝∠AOB＝40°，∵∠AOB+∠BOC+∠COD＝180°，∴∠BOC＝100°，∴∠BPC＝∠BOC＝50°，故选B．10．（2019•宜昌）如图，点A，B，C均在⊙O上，当∠OBC＝40°时，∠A的度数是（）A．50°B．55°C．60°D．65°解：∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝40°，∴∠BOC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠A＝∠BOC＝50°．故选A．11．（2019•眉山）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，∠CAO＝22.5°，OC ＝6，则CD的长为（）A．6B．3C．6 D．12解：∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵∠BOC＝2∠A＝2×22.5°＝45°，∴△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝×6＝3，∴CD＝2CE＝6．故选A．12．（2019•安顺）如图，半径为3的⊙A经过原点O和点C（0，2），B是y轴左侧⊙A优弧上一点，则tan∠OBC为（）A．B．2C．D．解：作直径CD，在Rt△OCD中，CD＝6，OC＝2，则OD＝＝4，tan∠CDO＝＝，由圆周角定理得，∠OBC＝∠CDO，则tan∠OBC＝，故选D．13．（2019•襄阳）如图，AD是⊙O的直径，BC是弦，四边形OBCD是平行四边形，AC与OB相交于点P，下列结论错误的是（）A．AP＝2OP B．CD＝2OP C．OB⊥AC D．AC平分OB 解：∵AD为直径，∴∠ACD＝90°，∵四边形OBCD为平行四边形，∴CD∥OB，CD＝OB，在Rt△ACD中，sin A＝＝，∴∠A＝30°，在Rt△AOP中，AP＝OP，所以A选项的结论错误；∵OP∥CD，CD⊥AC，∴OP⊥AC，所以C选项的结论正确；∴AP＝CP，∴OP为△ACD的中位线，∴CD＝2OP，所以B选项的结论正确；∴OB＝2OP，∴AC平分OB，所以D选项的结论正确．故选A．14．（2019•兰州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠A＝40°，则∠C＝（）A．110°B．120°C．135°D．140°解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠C+∠A＝180°，∴∠C＝180°﹣40°＝140°．故选D．15．（2019•天水）如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A、C、D，与BC相交于点E，连接AC、AE．若∠D＝80°，则∠EAC的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．35°解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝80°，∴∠ACB＝∠DCB＝（180°﹣∠D）＝50°，∵四边形AECD是圆内接四边形，∴∠AEB＝∠D＝80°，∴∠EAC＝∠AEB﹣∠ACE＝30°，故选C．16．（2019•威海）如图，⊙P与x轴交于点A（﹣5，0），B（1，0），与y轴的正半轴交于点C．若∠ACB＝60°，则点C的纵坐标为（）A．+B．2+C．4D．2+2解：连接P A，PB，PC，过P作PD⊥AB于D，PE⊥OC于E，∵∠ACB＝60°，∴∠APB＝120°，∵P A＝PB，∴∠P AB＝∠PBA＝30°，∵A（﹣5，0），B（1，0），∴AB＝6，∴AD＝BD＝3，∴PD＝，P A＝PB＝PC＝2，∵PD⊥AB，PE⊥OC，∠AOC＝90°，∴四边形PEOD是矩形，∴OE＝PD＝，PE＝OD＝2，∴CE＝＝＝2，∴OC＝CE+OE＝2+，∴点C的纵坐标为2+，故选B．17．（2019•菏泽）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC平分∠ABD，AD 分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论不一定成立的是（）A．OC∥BD B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD解：∵AB是⊙O的直径，BC平分∠ABD，∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，∴AD⊥BD，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，选项A成立；∴AD⊥OC，选项B成立；∴AF＝FD，选项D成立；∵△CEF和△BED中，没有相等的边，∴△CEF与△BED不全等，选项C不成立；故选C．18．（2019•聊城）如图，BC是半圆O的直径，D，E是上两点，连接BD，CE并延长交于点A，连接OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE的度数为（）A．35°B．38°C．40°D．42°解：连接CD，如图所示：∵BC是半圆O的直径，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝20°，∴∠DOE＝2∠ACD＝40°，故选C．19．（2019•白银）如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的倍，则∠ASB 的度数是（）A．22.5°B．30°C．45°D．60°解：设圆心为O，连接OA、OB，如图，∵弦AB的长度等于圆半径的倍，即AB＝OA，∴OA2+OB2＝AB2，∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB＝90°，∴∠ASB＝∠AOB＝45°．故选C．20．（2019•潍坊）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，AD＝CD，过点D作DE⊥AB于点E，连接AC交DE于点F．若sin∠CAB＝，DF＝5，则BC的长为（）A．8 B．10 C．12 D．16解：连接BD，如图，∵AB为直径，∴∠ADB＝∠ACB＝90°，∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA，而∠DCA＝∠ABD，∴∠DAC＝∠ABD，∵DE⊥AB，∴∠ABD+∠BDE＝90°，而∠ADE+∠BDE＝90°，∴∠ABD＝∠ADE，∴∠ADE＝∠DAC，∴FD＝F A＝5，在Rt△AEF中，∵sin∠CAB＝＝，∴EF＝3，∴AE＝＝4，DE＝5+3＝8，∵∠ADE＝∠DBE，∠AED＝∠BED，∴△ADE∽△DBE，∴DE：BE＝AE：DE，即8：BE＝4：8，∴BE＝16，∴AB＝4+16＝20，在Rt△ABC中，∵sin∠CAB＝＝，∴BC＝20×＝12．故选C．二．填空题（共20小题）21．（2019•辽阳）如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且点B是的中点，BD交OC于点E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝60°．解：连接OB．∵＝，∴∠AOB＝∠BOC＝50°，∴∠BDC＝∠BOC＝25°，∵∠OED＝∠ECD+∠CDB，∠ECD＝35°，∴∠OED＝60°，故答案为60°．22．（2019•娄底）如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，AB＝2，∠ACD＝30°，则AD ＝1．解：∵AB为直径，∴∠ADB＝90°，∵∠B＝∠ACD＝30°，∴AD＝AB＝×2＝1．故答案为1．23．（2019•常州）如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，∠AOC＝120°，则∠CDB＝30°．解：∵∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣120°＝60°，∴∠CDB＝∠BOC＝30°．故答案为30．24．（2019•东营）如图，AC是⊙O的弦，AC＝5，点B是⊙O上的一个动点，且∠ABC＝45°，若点M、N分别是AC、BC的中点，则MN的最大值是．解：∵点M，N分别是BC，AC的中点，∴MN＝AB，∴当AB取得最大值时，MN就取得最大值，当AB是直径时，AB最大，连接AO并延长交⊙O于点B′，连接CB′，∵AB′是⊙O的直径，∴∠ACB′＝90°．∵∠ABC＝45°，AC＝5，∴∠AB′C＝45°，∴AB′＝＝＝5，∴MN最大＝．故答案为．25．（2019•宜宾）如图，⊙O的两条相交弦AC、BD，∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝2，则⊙O的面积是4π．解：∵∠A＝∠BDC，而∠ACB＝∠CDB＝60°，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴△ACB为等边三角形，∵AC＝2，∴圆的半径为2，∴⊙O的面积是4π，故答案为4π．26．（2019•连云港）如图，点A、B、C在⊙O上，BC＝6，∠BAC＝30°，则⊙O的半径为6．解：∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，又OB＝OC，∴△BOC是等边三角形∴OB＝BC＝6，故答案为6．27．（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE．若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为52°．解：∵圆内接四边形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵点D关于AC的对称点E在边BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案为52°．28．（2019•株洲）如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD＝20度．解：连接OD，如图：∵OC⊥AB，∴∠COE＝90°，∵∠AEC＝65°，∴∠OCE＝90°﹣65°＝25°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCE＝25°，∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，∴∠BOD＝∠DOC﹣∠COE＝40°，∴∠BAD＝∠BOD＝20°，故答案为20．29．（2019•盐城）如图，点A、B、C、D、E在⊙O上，且为50°，则∠E+∠C＝155°．解：连接EA，∵为50°，∴∠BEA＝25°，∵四边形DCAE为⊙O的内接四边形，∴∠DEA+∠C＝180°，∴∠DEB+∠C＝180°﹣25°＝155°，故答案为155．30．（2019•凉山州）如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A＝30°，CD＝2，则⊙O的半径是2．解：连接BC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∴∠ACB＝90°，CH＝DH＝CD＝，∵∠A＝30°，∴AC＝2CH＝2，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∴AC＝BC＝2，AB＝2BC，∴BC＝2，AB＝4，∴OA＝2，即⊙O的半径是2；故答案为2．31．（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15°，则它所对的圆心角的度数是30°．解：∵一条弧所对的圆周角的度数是15°，∴它所对的圆心角的度数为2×15°＝30°．故答案为30°．32．（2018•朝阳）如图，点A，B，C在⊙O上，AC∥OB，∠BAO＝20°，则∠BOC的度数为40°．解：∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠B＝20°，∵AC∥OB，∴∠CAB＝∠B＝20°，∴∠OAC＝40°，∵OA＝OC，∴∠C＝∠OAC＝40°，∴∠BOC＝∠C＝40°，故答案为40°．33．（2018•辽阳）如图，AB是半圆O的直径，E是半圆上一点，且OE⊥AB，点C为的中点，则∠A＝22.5°．解：连接OC，∵OE⊥AB，∴∠EOB＝90°，∵点C为的中点，∴∠BOC＝45°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO＝×45°＝22.5°，故答案为22.5°．34．（2018•黑龙江）如图，AC为⊙O的直径，点B在圆上，OD⊥AC交⊙O于点D，连接BD，∠BDO＝15°，则∠ACB＝60°．解：连接DC，∵AC为⊙O的直径，OD⊥AC，∴∠DOC＝90°，∠ABC＝90°，∵OD＝OC，∴∠ODC＝45°，∵∠BDO＝15°，∴∠BDC＝30°，∴∠A＝30°，∴∠ACB＝60°，故答案为60°．35．（2018•镇江）如图，AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，若∠BAD＝50°，则∠ACB＝40°．解：连接BD，如图，∵AD为△ABC的外接圆⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∴∠D＝90°﹣∠BAD＝90°﹣50°＝40°，∴∠ACB＝∠D＝40°．故答案为40．36．（2018•北京）如图，点A，B，C，D在⊙O上，＝，∠CAD＝30°，∠ACD＝50°，则∠ADB＝70°．解：∵＝，∠CAD＝30°，∴∠CAD＝∠CAB＝30°，∴∠DBC＝∠DAC＝30°，∵∠ACD＝50°，∴∠ABD＝50°，∴∠ACB＝∠ADB＝180°﹣∠CAB﹣∠ABC＝180°﹣50°﹣30°﹣30°＝70°．故答案为70°．37．（2018•东莞市）同圆中，已知所对的圆心角是100°，则所对的圆周角是50°．解：弧AB所对的圆心角是100°，则弧AB所对的圆周角为50°．故答案为50°．38．（2018•杭州）如图，AB是⊙O的直径，点C是半径OA的中点，过点C作DE⊥AB，交⊙O于D，E两点，过点D作直径DF，连结AF，则∠DF A＝30°．解：∵点C是半径OA的中点，∴OC＝OD，∵DE⊥AB，∴∠CDO＝30°，∴∠DOA＝60°，∴∠DF A＝30°，故答案为30°39．（2018•无锡）如图，点A、B、C都在⊙O上，OC⊥OB，点A在劣弧上，且OA＝AB，则∠ABC＝15°．解：∵OA＝OB，OA＝AB，∴OA＝OB＝AB，即△OAB是等边三角形，∴∠AOB＝60°，∵OC⊥OB，∴∠COB＝90°，∴∠COA＝90°﹣60°＝30°，∴∠ABC＝15°，故答案为15°40．（2018•青海）如图，A、B、C是⊙O上的三个点，若∠AOC＝110°，则∠ABC＝125°．解：如图，在优弧AC上取点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝100°，∴∠ADC＝∠AOC＝55°，∴∠ABC＝180°﹣∠ADC＝125°．故答案为125°．三．解答题（共10小题）41．（2019•南通）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，以边AC上一点O为圆心，OA为半径的⊙O经过点B．（1）求⊙O的半径；（2）点P为劣弧AB中点，作PQ⊥AC，垂足为Q，求OQ的长；（3）在（2）的条件下，连接PC，求tan∠PCA的值．解：（1）作OH⊥AB于H．在Rt△ACB中，∵∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，∴AB＝2BC＝2，∵OH⊥AB，∴AH＝HB＝1，∴OA＝AH÷cos30°＝．（2）如图2中，连接OP，P A．设OP交AB于H．∵＝，∴OP⊥AB，∴∠AHO＝90°，∵∠OAH＝30°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP是等边三角形，∵PQ⊥OA，∴OQ＝QA＝OA＝．（3）连接PC．在Rt△ABC中，AC＝BC＝，∵AQ＝QO＝AO＝．∴QC＝AC﹣AQ＝﹣＝，∵△AOP是等边三角形，PQ⊥OA，∴PQ＝1，∴tan∠ACP＝＝＝．42．如图，在⊙O中，B是⊙O上的一点，∠ABC＝120°，弦AC＝2，弦BM平分∠ABC 交AC于点D，连接MA，MC．（1）求⊙O半径的长；（2）求证：AB+BC＝BM．解：（1）连接OA、OC，过O作OH⊥AC于点H，如图1，∵∠ABC＝120°，∴∠AMC＝180°﹣∠ABC＝60°，∴∠AOC＝2∠AMC＝120°，∴∠AOH＝∠AOC＝60°，∵AH＝AC＝，∴OA＝，故⊙O的半径为2．（2）证明：在BM上截取BE＝BC，连接CE，如图2，∵∠MBC＝60°，BE＝BC，∴△EBC是等边三角形，∴CE＝CB＝BE，∠BCE＝60°，∴∠BCD+∠DCE＝60°，∵∠ACM＝60°，∴∠ECM+∠DCE＝60°，∴∠ECM＝∠BCD，∵∠ABC＝120°，BM平分∠ABC，∴∠ABM＝∠CBM＝60°，∴∠CAM＝∠CBM＝60°，∠ACM＝∠ABM＝60°，∴△ACM是等边三角形，∴AC＝CM，∴△ACB≌△MCE，∴AB＝ME，∵ME+EB＝BM，∴AB+BC＝BM．43．（2019•南京）如图，⊙O的弦AB、CD的延长线相交于点P，且AB＝CD．求证：P A ＝PC．证明：连接AC，∵AB＝CD，∴＝，∴+＝+，即＝，∴∠C＝∠A，∴P A＝PC．44．（2018•鞍山）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC与BD为对角线，∠BCA＝∠BAD，过点A作AE∥BC交CD的延长线于点E．（1）求证：EC＝AC．（2）若cos∠ADB＝，BC＝10，求DE的长．（1）证明：∵BC∥AE，∴∠ACB＝∠EAC，∵∠ACB＝∠BAD，∴∠EAC＝∠BAD，∴∠EAD＝∠CAB，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∠ADC+∠ABC＝180°，∴∠ADE＝∠ABC，∵∠EAD+∠ADE+∠E＝180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠E＝∠ACB＝∠EAC，∴CE＝CA．（2）解：设AE交⊙O于M，连接DM，作MH⊥DE于H．∵∠EAD＝∠CAB，∴＝，∴DM＝BC＝10，∵∠MDE+∠MDC＝180°，∠MDC+∠MAC＝180°，∴∠MDE＝∠CAM，∵∠E＝∠CAE，∴∠E＝∠MDE，∴MD＝ME＝10，∵MH⊥DE，∴EH＝DH，∵∠ADB＝∠ACB＝∠BAD＝∠E，∴cos∠E＝＝，∴EH＝4，∴DE＝2EH＝8．45．（2018•宜昌）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．46．（2018•无锡）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝17，CD＝10，∠A＝90°，cos B ＝，求AD的长．解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A＝90°，∴∠C＝180°﹣∠A＝90°，∠ABC+∠ADC＝180°．作AE⊥BC于E，DF⊥AE于F，则CDFE是矩形，EF＝CD＝10．在Rt△AEB中，∵∠AEB＝90°，AB＝17，cos∠ABC＝，∴BE＝AB•cos∠ABE＝，∴AE＝＝，∴AF＝AE﹣EF＝﹣10＝．∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠CDF＝90°，∴∠ABC+∠ADF＝90°，∵cos∠ABC＝，∴sin∠ADF＝cos∠ABC＝．在Rt△ADF中，∵∠AFD＝90°，sin∠ADF＝，∴AD＝＝＝6．47．（2017•济南）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝25°，求∠BAD的度数．解：∵AB为⊙O直径∴∠ADB＝90°∵相同的弧所对应的圆周角相等，且∠ACD＝25°∴∠B＝25°∴∠BAD＝90°﹣∠B＝65°．48．（2016•温州）如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O 经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：∠1＝∠F．（2）若sin B＝，EF＝2，求CD的长．解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F；（2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2，∴AB＝2AE＝4，在Rt△ABC中，AC＝AB•sin B＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．49．（2016•宁夏）已知△ABC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED，若ED＝EC．（1）求证：AB＝AC；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．（1）证明：∵ED＝EC，∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠B，（∵∠EDC+∠ADE＝180°，∠B+∠ADE＝180°，∴∠EDC＝∠B）∴∠B＝∠C，（2）方法一：解：连接AE，∵AB为直径，∴AE⊥BC，由（1）知AB＝AC，∴BE＝CE＝BC＝，∵△CDE∽△CBA，∴，∴CE•CB＝CD•CA，AC＝AB＝4，∴•2＝4CD，∴CD＝．方法二：解：连接BD，∵AB为直径，∴BD⊥AC，设CD＝a，由（1）知AC＝AB＝4，则AD＝4﹣a，在Rt△ABD中，由勾股定理可得BD2＝AB2﹣AD2＝42﹣（4﹣a）2在Rt△CBD中，由勾股定理可得BD2＝BC2﹣CD2＝（2）2﹣a2∴42﹣（4﹣a）2＝（2）2﹣a2整理得a＝，即：CD＝．50．（2016•株洲）已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过点D的直线交AC于E点，且△AEF为等边三角形（1）求证：△DFB是等腰三角形；（2）若DA＝AF，求证：CF⊥AB．解：（1）∵AB是⊙O直径，∴∠ACB＝90°，∵△AEF为等边三角形，∴∠CAB＝∠EF A＝60°∴∠B＝30°，∵∠EF A＝∠B+∠FDB，∴∠B＝∠FDB＝30°，∴△DFB是等腰三角形；（2）过点A作AM⊥DF于点M，设AF＝2a，∵△AEF是等边三角形，∴FM＝EM＝a，AM＝a，在Rt△DAM中，AD＝AF＝2a，AM＝，∴DM＝5a，∴DF＝BF＝6a，∴AB＝AF+BF＝8a，在Rt△ABC中，∠B＝30°，∠ACB＝90°，∴AC＝4a，∵AE＝EF＝AF＝2a，∴CE＝AC﹣AE＝2a，∴∠ECF＝∠EFC，∵∠AEF＝∠ECF+∠EFC＝60°，∴∠CFE＝30°，∴∠AFC＝∠AFE+∠EFC＝60°+30°＝90°，∴CF⊥AB．。

鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角的关系课后练习题4(附答案)

鲁教版2020九年级数学圆周角与圆心角课后练习题4（附答案）一．选择题（共10小题）1．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法，其中正确说法的个数是（）（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）＝；（4）DE＞DG，A．0B．1C．2D．32．如图，圆心角∠AOB＝25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（）A．25°B．25°+n°C．50°D．50°+n°3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°4．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（）个①AB＝2BC②＝2③∠ACB＝2∠CAB④∠ACB＝∠BOC．A．1B．2C．3D．45．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，点A、B、C都是圆O上的点，在四边形ABCO中，∠AOC＝140°，则∠B的度数为（）A．110°B．70°C．140°D．100°7．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°，则∠CAB的度数为（）A．26°B．74°C．64°D．54°8．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（）A．15°B．25°C．35°D．65°9．四边形ABCD是圆的内接四边形，若∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．90°C．110°D．120°10．在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E．已知BC＝3，CD＝2，则线段CE的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，已知AB＝2，C，D是⊙O的上的两点，且+＝，M是AB上一点，则MC+MD的最小值是．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则的度数是．13．AB是⊙O的直径，C，D是上两点，且，，的比为3：2：5（，，弧长之和为），则∠AOC＝．14．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是．15．如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上一点，且∠BOC＝40°，则∠ACO＝．16．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE ⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为．17．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC ＝°．19．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠A＝°．三．解答题（共8小题）21．如图，AB是⊙O的直径．OC，OD是半径，且OD∥AC，求证：＝．22．如图，在⊙O中，，∠B＝70°（Ⅰ）若⊙O的半径为3，求⊙O的周长（精确到0.1）；（Ⅱ）求∠A的度数．23．已知：在⊙O中，弦AB＝AC，AD是⊙O的直径．求证：BD＝CD．24．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．27．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．28．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°（1）如图①，若∠ACB＝60°，AB＝4，求⊙O的直径；（2）如图②，若AD≠AB，点C为弧DB的中点且AD＝m，AB＝n，求AC的长．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，矩形ABCD中，G是BC的中点，过A、D、G三点的圆O与边AB、CD分别交于点E、点F，给出下列说法，其中正确说法的个数是（）（1）AC与BD的交点是圆O的圆心；（2）AF与DE的交点是圆O的圆心；（3）＝；（4）DE＞DG，A．0B．1C．2D．3【解答】解：连接DG、AG，作GH⊥AD于H，连接OD，如图，∵G是BC的中点，∴AG＝DG，∴＝；∴HG⊥AD，∵OG＝OD，∴点O不是HG的中点，∴圆心O不是AC与BD的交点；而四边形AEFD为⊙O的内接矩形，∴AF与DE的交点是圆O的圆心；∵∠DAB＝90°，∴DE是⊙的直径，∴DE＞DG，∴（1）错误，（2）（3）（4）正确．故选：D．2．如图，圆心角∠AOB＝25°，将AB旋转n°得到CD，则∠COD等于（）A．25°B．25°+n°C．50°D．50°+n°【解答】解：∵将AB旋转n°得到CD，∴＝，∴∠COD＝∠AOB＝25°，故选：A．3．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝110°，将扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，则的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【解答】解：连结OD，如图，∵扇形OAB沿过点B的直线折叠，点O恰好落在上的点D处，折痕交OA于点C，∴BC垂直平分OD，∴BD＝BO，∵OB＝OD，∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB＝60°，∴∠AOD＝∠AOB﹣∠DOB＝110°﹣60°＝50°，∴的度数为为50°，故选：B．4．如图，OA、OB、OC都是⊙O的半径，若∠AOB是锐角，且∠AOB＝2∠BOC，则下列结论正确的是（）个①AB＝2BC②＝2③∠ACB＝2∠CAB④∠ACB＝∠BOC．A．1B．2C．3D．4【解答】解：取的中点D，连接AD，BD，∵∠AOB＝2∠BOC，∴＝2，故②正确，∴＝＝，∴AD＝BD＝BC，∵AB＜AD+BD，∴AB＜2BC．故①错误，∵∠AOB＝2∠BOC，∠BOC＝2∠CAB，∴∠AOB＝4∠CAB，∵∠AOB＝2∠ACB，∴∠ACB＝∠BOC＝2∠CAB，故③④正确．故选：C．5．如图，等腰直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点D是量角器上60°刻度线的外端点，连接CD交AB于点E，则∠CEB的度数为（）A．60°B．65°C．70°D．75°【解答】解：如图，∵一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，∴点A、B、C、D都在以AB为直径的圆上，∵点D是量角器上60°刻度线的外端点，即∠BOD＝120°，∴∠BCD＝∠BOD＝60°，∴∠CEB＝180°﹣∠BCD﹣∠ABC＝75°．故选：D．6．如图，点A、B、C都是圆O上的点，在四边形ABCO中，∠AOC＝140°，则∠B的度数为（）A．110°B．70°C．140°D．100°【解答】解：如图所示，在优弧AOC上取一点D，连接AD，CD，∵∠AOC＝140°，∴∠ADC＝70°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＝180°﹣70°＝110°．故选：A．7．如图，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ADC＝26°，则∠CAB的度数为（）A．26°B．74°C．64°D．54°【解答】解：由圆周角定理得，∠ABC＝∠ADC＝26°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠ABC＝64°，故选：C．8．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，BD为直径，若∠A＝65°，则∠DBC的值是（）A．15°B．25°C．35°D．65°【解答】解：∵BD为直径，∴∠BCD＝90°，由圆周角定理得，∠D＝∠A＝65°，∴∠DBC＝90°﹣65°＝25°，故选：B．9．四边形ABCD是圆的内接四边形，若∠ABC＝70°，则∠ADC的度数是（）A．70°B．90°C．110°D．120°【解答】解：∵四边ABCD是圆的内接四边形，∠ABC＝70°，∴∠ADC＝180°﹣70°＝110°．故选：C．10．在圆内接四边形ABCD中，∠ACB＝∠ACD＝60°，对角线AC、BD交于点E．已知BC＝3，CD＝2，则线段CE的长为（）A．B．C．D．【解答】解：作BM⊥AC于M，DN⊥AC于N，如图所示：则BM∥DN，∴△BME∽△DNE，∴＝，∵∠ACB＝∠ACD＝60°，∴∠CBM＝∠CDN＝30°，∴CM＝BC＝，CN＝CD＝，∴BM＝CM＝，DN＝＝，∴MN＝CM﹣CN＝，∴＝，∴EN＝MN＝，∴CE＝CN+EN＝+＝；故选：C．二．填空题（共10小题）11．如图，AB是⊙O的直径，已知AB＝2，C，D是⊙O的上的两点，且+＝，M是AB上一点，则MC+MD的最小值是．【解答】解：过D作DD′⊥AB于H交⊙O于D′，∴＝，∵+＝，∴+＝，∴∠COD′＝120°，连接CD′交AB于M，则CD′＝MC+MD的最小值，过O作ON⊥CD′于N，∵OC＝OD′，∴CD′＝2NC，∠C＝30°，∵OC＝AB＝1，∴CN＝，∴CD′＝，∴MC+MD的最小值是，故答案为：．12．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝22°，以C为圆心，CA长为半径的圆交AB于点D，交BC于点E，则的度数是46°．【解答】解：连接CD，∵∠C＝90°，∠B＝22°，∴∠A＝90°﹣22°＝68°，∵CD＝CA，∴∠CDA＝∠A＝68°，∴∠ACD＝44°，∴∠BCD＝90°﹣44°＝46°，∴的度数是46°，故答案为：46°．13．AB是⊙O的直径，C，D是上两点，且，，的比为3：2：5（，，弧长之和为），则∠AOC＝54°．【解答】解：∵，，的比为3：2：5（，，弧长之和为），∴∠AOC：∠COD：∠BOD＝3：2：5，∴∠AOC＝×180°＝54°．故答案为54°．14．如图所示，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点P是直径MN上一动点，若⊙O的直径为2，则AP+BP的最小值是．【解答】解：作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交MN于点P，连接BP，此时AP+BP＝AB′最小，连接OB′，如图所示．∵点B和点B′关于MN对称，∴PB＝PB′．∵点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，∴∠AON＝180°÷3＝60°，∠B′ON＝∠AON÷2＝30°，∴∠AOB′＝∠AON+∠B′ON＝90°．∵OA＝OB′＝1，∴AB′＝．故答案为：．15．如图，在⊙O中，AB是直径，C是圆上一点，且∠BOC＝40°，则∠ACO＝20°．【解答】解：∵∠BOC＝40°，∴∠A＝∠BOC＝20°，∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝20°．故答案为：20°．16．如图，已知点C是以AB为直径的半圆的中点，D为弧AC上任意一点，过点C作CE ⊥BD于点E，连接AE，若AB＝4，则AE的最小值为﹣．【解答】解：连接OC、BC，P点为BC的中点，作PH⊥AB于H，如图，∵点C是以AB为直径的半圆的中点，∴OC⊥OB，∴△BOC、△BPH为等腰直角三角形，∴BC＝OB＝2，BP＝，PH＝1，∵CE⊥BD，∴∠BEC＝90°，∴点E在⊙P上，连接AP交⊙P于E′，此时AE′的长为AE的最小值，在Rt△APH中，AH＝3，PH＝1，∴AP＝＝，∴AE′＝﹣，∴AE的最小值为﹣．故答案为﹣．17．如图，已知⊙O的半径为2，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD，若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为2．【解答】解：把∠COD饶点O顺时针旋转，使点C与D重合，∵∠AOB与∠COD互补，∴∠AOD＝180°∵⊙O的半径为2，∴AD＝4，∵弦CD＝6，∠ABD＝90°，∴AB＝＝2．故答案是：2．18．如图，四边形ABCD内接于⊙O，连结AC，若∠BAC＝35°，∠ACB＝40°，则∠ADC ＝75°．【解答】解：∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝105°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝75°，故答案为：75．19．如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝45°，∠E＝30°，则∠F＝60°．【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠BCD＝180°﹣∠A＝135°，有三角形的外角性质可知，∠EDC＝∠BCD﹣∠E＝105°，∴∠F＝∠EDC﹣∠A＝60°，故答案为：60°．20．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，若∠BOD＝150°，则∠A＝105°．【解答】解：∵∠BOD＝150°，∠BOD＝2∠C∴∠C＝75°∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠A+∠C＝180°∴∠A＝105°故答案为：105三．解答题（共8小题）21．如图，AB是⊙O的直径．OC，OD是半径，且OD∥AC，求证：＝．【解答】证明：∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠A，∵OD∥AC，∴∠BOD＝∠A，∠COD＝∠OCA，∴∠COD＝∠BOD，∴＝．22．如图，在⊙O中，，∠B＝70°（Ⅰ）若⊙O的半径为3，求⊙O的周长（精确到0.1）；（Ⅱ）求∠A的度数．【解答】解：（Ⅰ）∵⊙O的半径为3，∴⊙O的周长＝2×π×3≈18.8；（Ⅱ）∵，∴∠C＝∠B＝70°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠B＝40°．23．已知：在⊙O中，弦AB＝AC，AD是⊙O的直径．求证：BD＝CD．【解答】证明：∵AB＝AC，∴＝，∴∠ADB＝∠ADC，∵AD是⊙O的直径，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAD＝∠DAC，∴＝，∴BD＝CD．24．如图，⊙O中，OA⊥BC，∠AOB＝50°，求∠ADC的度数．【解答】解：∵⊙O中，OA⊥BC，∴＝，∴∠ADC＝∠AOB＝×50°＝25°．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若AB＝10，CD＝6，求BE的长．【解答】（1）证明：∵直径AB⊥弦CD，∴弧BC＝弧BD．∴∠A＝∠BCD；（2）连接OC∵直径AB⊥弦CD，CD＝6，∴CE＝ED＝3．∵直径AB＝10，∴CO＝OB＝5．在Rt△COE中，∵OC＝5，CE＝3，∴OE＝＝4，∴BE＝OB﹣OE＝5﹣4＝1．26．如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，连接BC并延长至点D，使DC＝CB．连接DA并延长，交⊙O于另一点E，连接AC，CE．（1）求证：∠E＝∠D（2）若AB＝4，BC﹣AC＝2，求CE的长．【解答】（1）证明：∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，即AC⊥BC，∵DC＝CB，∴AD＝AB．∴∠B＝∠D，∵∠E＝∠B，∴∠E＝∠D；（2）解：∵∠E＝∠D，∴DC＝CE，∵DC＝CB，∴CB＝CE，在Rt△ABC中，AC2+BC2＝AB2，即（BC﹣2）2+BC2＝42解得，BC1＝1+，BC1＝1﹣（舍去），∴CE＝1+，即CE的长为1+．27．已知四边形ABCD是圆内接四边形，∠1＝112°，求∠CDE．【解答】解：由圆周角定理得，∠A＝∠1＝56°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠CDE＝∠A＝56°．28．已知四边形ABCD内接于⊙O，∠DAB＝90°（1）如图①，若∠ACB＝60°，AB＝4，求⊙O的直径；（2）如图②，若AD≠AB，点C为弧DB的中点且AD＝m，AB＝n，求AC的长．【解答】解：（1）如图，连接BD，∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∵∠DAB＝90°，∠ACB＝∠ADB＝60°，AB＝4，∴sin∠ADB＝∴DB＝＝8∴⊙O的直径为8（2）如图，连接BD，过点D作DE⊥AC于点E，∵∠DAB＝90°∴BD是直径，∴∠BCD＝90°∵点C为弧DB的中点∴∠DAC＝∠CAB＝45°∴CD＝BC，∴DB＝CD∵∠DCA＝∠ABD，∠DEC＝∠DAB＝90°∴△DEC∽△DAB∴∴＝∴DE＝m，EC＝n，∵∠DAC＝45°，DE⊥AC∴AE＝DE＝m∴AC＝AE+EC＝m+n。

初三上册圆的圆周角练习题

初三上册圆的圆周角练习题在初三数学的课程中，圆的相关概念和性质是学生们需要掌握的重要内容之一。

其中，圆周角作为圆的一个重要性质，在解题过程中起着至关重要的作用。

本文将为大家提供一些圆周角练习题，帮助大家巩固和提升对圆周角的理解和运用。

1.已知半径为r的圆上有两条弧AB和CD，弧AB对应的圆心角为α，弧CD对应的圆心角为β。

如果α+β=90°，求证：弧AB和弧CD的长度相等。

解答：由于α+β=90°，根据圆周角和的性质可知，弧AB和弧CD所对应的弧度和为π/2，即AB+CD=π/2。

又由于AB和CD是同一圆上的两条弧，因此它们的弧长相等，即AB=CD。

2.已知圆心角θ对应的圆弧长度为s，圆的半径为r。

求证：θ的度数等于s/r的弧度数。

解答：根据圆周等分的原理，360°对应于2π的弧度数。

假设θ对应的弧度数为x，那么x/2π=θ/360°。

根据题目已知条件，s/r=x/2π，两边乘以360°得到s/r=θ。

3.已知直径为d的圆上的两条弧AB和CD，弧AB对应圆心角为α，弧CD对应圆心角为β。

如果α和β的度数之和等于180°，求证：弧AB和弧CD的长度之和等于圆周长的一半。

解答：由题意可知，α+β=180°，根据圆周角和的性质可得，AB+CD=π，即弧AB和弧CD的长度之和等于圆周长的一半。

通过以上的练习题，我们可以更深入地了解和应用圆的圆周角的性质。

在解题过程中，需要灵活运用和转化弧度和度数的关系、圆周角和的性质等概念。

只有真正理解并掌握这些概念，才能在数学问题中正确地运用它们。

圆周角作为圆的一个重要性质，不仅存在于初三数学中，也在实际生活中有着广泛的应用。

比如，在建筑中，为了保证圆形构件的连接稳定，需要正确地计算和设计圆周角。

因此，对圆周角的学习不仅仅是应试的需要，更是培养学生逻辑思维和数学运算能力的重要一环。

通过不断练习和巩固，相信大家在初三数学中的圆的圆周角问题上将能够得心应手，取得良好的成绩。

精品九年级数学上册期末复习题圆垂径定理与圆心角圆周角复习题

0
0 0 15.如图,已知 O 的半径为 R,C,D 是直径 AB 同侧圆周上的两点, 的度数为 36 ，动 AC 的度数为 96 , BD
点 P 在 AB 上，求 PC+PD 的最小.
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九年级数学上册期末复习题
数学期末复习题测试题 01 满分：100 分
1.下列命题中，正确的是（
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13.如图,A、B、C、D 四点都在⊙O 上,AD 是⊙O 的直径,且 AD=8cm,若∠ABC=∠CAD,求弦 AC 的长.
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九年级数学上册期末复习题
14.如图,在 Rt△ABC 中,∠ACB=90 ,AC=5,CB=12,AD 是△ABC 的角平分线,过 A、C、D 三点的圆与斜边 AB 交于点 E，连接 DE. （1）求证：AC=AE；（2）求△ACD 外接圆的半径.
①弦是直径；②半圆是弧，但弧不一定是半圆；③半径相等的两个半圆是等弧；④直径是圆中最长的弦． 6.如图,已知⊙O 的半径是 6cm，弦 CB= 6 3 cm，OD⊥BC，垂足为 D，则∠COB=
第 6 题图
第 7 题图
第 8 题图 cm．
7.如图,直线 l 与⊙O 有两个公共点 A， B， O 到直线 l 的距离为 5cm， AB=24cm，则⊙O 的半径是 8.如图,⊙O 的半径是 5cm,P 是⊙O 外一点,PO=8cm,∠P=30º,则 AB= 9.如图,AB 是⊙O 的直径,且 AD∥OC,若弧 AD 的度数为 80 .求 CD 的度数.
时间：25 分钟
）
姓名：
得分：
①顶点在圆周上的角是圆周角； ②圆周角的度数等于圆心角度数的一半;③90 的圆周角所对的弦是直径； ④不在同一条直线上的三个点确定一个圆；⑤同弧所对的圆周角相等 A.①②③ B.③④⑤

垂径定理---圆心角---圆周角练习(专题经典).

垂径定理圆心角圆周角练习1.如图．⊙O中OA⊥BC，∠CDA=25o，则∠AOB的度数为_______．2.如图．AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=50o．则∠ADC=_______．第1题第2题第3题3.如图，点A、B、C都在⊙O上，连结AB、BC、AC、OA、OB，且∠BAO=25°，则∠ACB的大小为___________.第4题第5题4.已知：如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠BOD=140°，则∠DCE=.5、如图，AB是⊙O的直径，C,D,E都是⊙O上的点，则∠1＋∠2=.6、⊙O中，若弦AB长22cm，弦心距为2cm，则此弦所对的圆周角等于．7、已知AB是⊙O的直径，AC,AD是弦，且AB=2,AC=2，AD=1，则圆周角∠CAD的度数是()A.45°或60°B.60°C.105°D.15°或105°8、如图，AB是⊙的直径，弦CD垂直平分OB，则∠BDC=（）A.20°B.30°C.40°D.50°9、如图，点A、B、C为圆O上的三个点，∠AOB=的度数．13∠BOC,∠BAC=45°，求∠ACB 10、如图，AD是∆ABC的高，AE是∆ABC的外接圆的直径．试说明狐B E CF。

DF11、如图，AB,AC是⊙O的两条弦，且AB=AC．延长CA到点D．使AD=AC，连结DB并延长,交⊙O于点E．求证：CE是⊙O的直径．12、已知：如图，AB为⊙O的直径，AB=AC，B C交⊙O于点D，AC交⊙O于点E，∠BAC=45°．（1）求∠EBC的度数；（2）求证：BD=CD．△13．如图所示，ABC为圆内接三角形，A B＞AC，∠A的平分线AD交圆于D，作D E⊥AB于E，D F⊥AC于F，求证：BE=CFAEB CFD△14．如图所示，在ABC中，∠BAC与∠ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交△ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且∠BDA=60°（1）求证△BDE是等边三角形；（2）若∠BDC=120°，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。

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