高考数学一轮复习 第一章集合与逻辑用语 命题及其关系充分条件与必要条件教学案理

1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件考纲要求1．理解命题的概念．2．了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系．3．理解必要条件、充分条件与充要条件的意义．1．命题用语言、符号或式子表达的，可以__________________叫做命题，其中判断为真的语句叫做__________，判断为假的语句叫做__________．2．四种命题及其关系(1)四种命题的表示及相互之间的关系．(2)四种命题的真假关系①互为逆否的两个命题__________(__________或__________)． ②互逆或互否的两个命题__________． 3．充分条件与必要条件(1)如果p ⇒q ，那么p 是q 的__________，q 是p 的__________． (2)如果p ⇒q ，q ⇒p ，那么p 是q 的__________，记作__________．1．若命题p 的逆命题是q ，否命题是r ，则命题q 是命题r 的( )． A ．逆命题 B ．否命题 C ．逆否命题 D ．不等价命题2．命题“若a ＞－3，则a ＞－6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．43．(2012天津高考)设x ∈R ，则“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．(2012上海高考)对于常数m ，n ，“mn ＞0”是“方程mx 2＋ny 2＝1的曲线是椭圆”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．命题“如果x －2＋(y ＋1)2＝0，则x ＝2且y ＝－1”的逆否命题为__________．一、四种命题及其关系【例1－1】(2012重庆高考)命题“若p ，则q ”的逆命题是( )． A ．若q ，则p B ．若⌝p ，则⌝q C ．若⌝q ，则⌝p D ．若p ，则⌝q【例1－2】 (2012湖南高考)命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( )．A ．若α≠π4，则tan α≠1B ．若α＝π4，则tan α≠1C ．若tan α≠1，则α≠π4D ．若tan α≠1，则α＝π4方法提炼1．命题真假的判定：对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．2．掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断真假性不容易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假．3．“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念．如果原命题是“若p ，则q ”，那么这个原命题的否定是“若p ，则⌝q ”，即只否定结论；而原命题的否命题是“若⌝p ，则⌝q ”，即既否定命题的条件，又否定命题的结论．请做演练巩固提升1二、充分条件与必要条件的判定【例2－1】 (2012湖北高考)设a ，b ，c ∈R ，则“abc ＝1”是“1a ＋1b ＋1c≤a ＋b＋c ”的( )．A ．充分条件但不是必要条件B ．必要条件但不是充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要的条件【例2－2】 是否存在实数m ，使得2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件？ 方法提炼判断充分条件、必要条件的方法 1．命题判断法设“若p ，则q ”为原命题，那么：(1)原命题为真，逆命题为假时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)原命题为假，逆命题为真时，p 是q 的必要不充分条件； (3)原命题与逆命题都为真时，p 是q 的充要条件；(4)原命题与逆命题都为假时，p 是q 的既不充分也不必要条件． 2．集合判断法从集合的观点看，建立命题p ，q 相应的集合：p ：A ＝{x |p (x )成立}，q ：B ＝{x |q (x )成立}，那么：(1)若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，若A B 时，则p 是q 的充分不必要条件； (2)若B ⊆A ，则p 是q 的必要条件，若B A 时，则p 是q 的必要不充分条件； (3)若A ⊆B 且B ⊆A ，即A ＝B 时，则p 是q 的充要条件． 请做演练巩固提升2,3三、充分条件与必要条件的证明【例3】 求证：方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 方法提炼1．证明充要性首先要分清谁是条件，谁是结论．在这里要注意两种说法：“p 是q 的充要条件”与“p 的充要条件是q ”；前者p 是条件，后者q 是条件．2．证明分为两个环节，一是充分性，即由条件推结论；二是必要性，即由结论推条件．证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件的两次证明．请做演练巩固提升4等价思想在充要条件中的应用【典例】 (12分)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m ＞0)，且⌝p 是⌝q的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围．分析：(1)先求出p ，q 的解集；(2)再利用p ，q 间的关系列出关于m 的不等式或不等式组得出结论．规范解答：(方法一)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，(3分)∴⌝q ：A ＝{x |x ＞1＋m ，或x ＜1－m ，m ＞0}．(4分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴⌝p ：B ＝{x |x ＞10，或x ＜－2}．(7分)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件，∴A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)(方法二)∵⌝p 是⌝q 的必要而不充分条件， ∴p 是q 的充分而不必要条件．(3分)由q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0，m ＞0， 得1－m ≤x ≤1＋m ，∴q ：Q ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．(6分) 由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，解得－2≤x ≤10， ∴p ：P ＝{x |－2≤x ≤10}．(8分) ∵p 是q 的充分而不必要条件，∴P Q ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10，或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，(10分)即m ≥9或m ＞9.∴m ≥9.(12分)答题指导：本例涉及参数问题，直接解决较为困难，先用等价转化思想，将复杂、生疏的问题化归为简单、熟悉的问题来解决．一般地，在涉及字母参数的取值范围的充要关系问题中，常常要利用集合的包含、相等关系来考虑，这是破解此类问题的关键．1．关于命题“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c ＜0}≠∅”的逆命题、否命题、逆否命题的真假性，下列结论成立的是( )．A ．都真B ．都假C ．否命题真D ．逆否命题真2．(2012浙江高考)设a ∈R ，则“a ＝1”是“直线l 1：ax ＋2y －1＝0与直线l 2：x ＋2y ＋4＝0平行”的( )．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．直线l 1∥l 2的一个充分条件是( )． A ．l 1∥平面α，l 2∥平面αB ．直线l 1⊥直线l 3，直线l 2⊥直线l 3C．l1平行于l2所在的平面D．l1⊥平面α，l2⊥平面α4．已知p：－4＜x－a＜4，q：(x－2)(x－3)＜0，且q是p的充分条件，则实数a的取值范围为( )．A．－1＜a＜6 B．－1≤a≤6C．a＜－1或a＞6 D．a≤－1或a≥65．设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝__________.参考答案基础梳理自测知识梳理1．判断真假的陈述句 真命题 假命题 2．(2)①等价 同真 同假 ②不等价 3．(1)充分条件 必要条件 (2)充要条件 p ⇔q 基础自测1．C 解析：因为命题p 的逆命题是q ，即命题q 的逆命题是p ，又命题p 的否命题是r ，所以命题q 是命题r 的逆否命题，故选C.2．B 解析：原命题为真命题，从而其逆否命题也为真命题；逆命题：若a ＞－6，则a ＞－3为假命题，则否命题也为假命题．故选B.3．A 解析：由2x 2＋x －1＞0，可得x ＜－1或x ＞12，∴“x ＞12”是“2x 2＋x －1＞0”的充分而不必要条件．4．B 解析：由mx 2＋ny 2＝1表示椭圆，可知m ＞0，n ＞0，m ≠n ， 所以m ＞0，n ＞0且m ≠n ⇒mn ＞0. 而显然mn ＞0m ＞0，n ＞0且m ≠n .5．如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0 解析：“x ＝2且y ＝－1”的否定为“x ≠2或y ≠－1”，x －2＋(y ＋1)2＝0的否定为x －2＋(y ＋1)2≠0.故逆否命题为：“如果x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0”． 考点探究突破【例1－1】 A 解析：根据逆命题的定义，命题“若p ，则q ”的逆命题为“若q ，则p ”，故选A.【例1－2】 C 解析：命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”．【例2－1】 A 解析：1a＋1b＋1c＝bc ＋ac ＋ab abc＝bc ＋ac ＋ab ≤b ＋c2＋a ＋c 2＋a ＋b2＝a ＋b ＋c (当且仅当“a ＝b ＝c ”时，“＝”成立)，但反之，则不成立(譬如a＝1，b ＝2，c ＝3时，满足1a＋1b＋1c≤a ＋b ＋c ，但abc ≠1)．【例2－2】 解：欲使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件，只要⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－m 2⊆{x |x ＜－1，或x ＞3}，则只要－m2≤－1，即m ≥2.故存在实数m ，使2x ＋m ＜0是x 2－2x －3＞0的充分条件． 【例3】 证明：(1)充分性：∵0＜m ＜13，∴方程mx 2－2x ＋3＝0的判别式Δ＝4－12m ＞0，且3m ＞0，∴方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根．(2)必要性：若方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根，则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4－12m >0，3m>0，∴0＜m ＜13.综合(1)(2)可知，方程mx 2－2x ＋3＝0有两个同号且不相等的实根的充要条件是0＜m ＜13. 演练巩固提升1．D 解析：对于原命题：“若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，则{x |ax 2＋bx ＋c＜0}≠∅”，这是一个真命题，所以其逆否命题也为真命题，但其逆命题：“若{x |a x 2＋bx ＋c ＜0}≠∅，则抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下”是一个假命题，因为当不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集非空时，可以有a ＞0，即抛物线的开口可以向上，因此否命题也是假命题，故选D.2．C 解析：l 1与l 2平行的充要条件为a ×2＝2×1且a ×4≠－1×1，得a ＝1，故选C.3．D 解析：平行于同一平面的两直线有三种位置关系，故A 错误；同理判断B ，C 错误，故D 正确．4．B 解析：设q ，p 表示的范围分别为集合A ，B ， 则A ＝(2,3)，B ＝(a －4，a ＋4)． 因为q 是p 的充分条件，则有A ⊆B ，即⎩⎪⎨⎪⎧a －4≤2，a ＋4≥3，所以－1≤a ≤6.故选B.5．3或4 解析：∵方程有实数根， ∴Δ＝16－4n ≥0. ∴n ≤4.原方程的根x ＝4±16－4n2＝2±4－n 为整数，则4－n 为整数．又∵n ∈N *，∴n ＝3或4.反过来，当n ＝3时，方程x 2－4x ＋3＝0的两根分别为1,3，是整数；当n ＝4时，方程x 2－4x ＋4＝0的两根相等且为2，是整数．。