新课标卷山东省2016届高三高考冲刺阶段模拟考试(一)数学文

数学（文科）试题第I 卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1．已知A B 、均为集合{}1,3,5,7,9U =的子集，且{}3A B = ，}{()9U C B A =，则A =（ ）A ．{1，3}B ．{3，7，9}C ．{3，5，9}D ．{3，9} (原创、容易) 【答案】D【解析】试题分析：由{}3A B = ，知3A ∈．由()9U C B A = ，知9A ∈，所以{3,9}A =，故选D ．【考点】集合的交集与补集运算．2．已知复数11aii+-为纯虚数（i 是虚数单位）,则实数a = （ ） A ．1 B ．2 C ．1- D ．2-(原创、容易) 【答案】A【解析】试题分析：因为111+i 1(1)=1(1)(1)2ai ai a a ii i i ++⋅-++=--⋅+（）（）为纯虚数，所以10110a a a -=⎧⇒=⎨+≠⎩，故选A. 【考点】复数的概念与运算.3．设41:≤+x p ，32:<<x q ，则q ⌝是p ⌝的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既非充分条件也非必要条件 (改编、容易) 【答案】B【解析】试题分析：由14x +≤，得53x -≤≤，所以p ⌝为：5x <-或3x >．又q ⌝为2x ≤或3x ≥，所以q ⌝是p ⌝的必要不充分条件．【考点】1、充分条件与必要条件的判定；2、命题的否定．4．函数(2)1,1()log ,1a a x x f x x x --≤⎧=⎨>⎩在R 上是增函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（1，2）B ．（2，3）C ．（2，3]D ．（2，＋∞）(改编、容易) 【答案】C【解析】试题分析：由题意，得⎪⎩⎪⎨⎧≤->>-03102a a a ，解得32≤<a ，所以实数a 的取值范围为(]3,2，故选C ．【考点】函数的单调性． 5．若02πα<<，02πβ-<<，1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3sin 423πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则c o s 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．33 B ．33- C ．63 D ．69- (改编、中档) 【答案】C 【解析】试题分析：30,2444ππππαα<<∴<+<，且1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 2122sin()1cos ()14493ππαα∴+=-+=-=，又0,24422πππβπβ-<<∴<-<，且3sin 423πβ⎛⎫-=⎪⎝⎭216cos 1sin 1424233πβπβ⎛⎫⎛⎫∴-=--=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而cos()cos[()]2442βππβαα⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭cos()cos()sin()sin()442442ππβππβαα=+-++- 16223633333=⨯+⨯=故选C ．【考点】1．同角三角函数的关系；2．两角和与差的三角函数．6．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为（ ）A ．32，1 B ．23，1 C ．32，32 D ．23，32(容易) 【答案】C【解析】试题分析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴233422,3V R R R V R πππ=⨯==圆柱球，3323423V R V R ππ==圆柱球， 2222226,4S R R R R S R ππππ=⨯+==圆柱球，226342S R S R ππ==圆柱球． 【考点】球的组合体；几何体的表面积的计算．7．一个算法的程序框图如图所示，若输入的x 值为2016，则输出的i 值为（ ）.A ．1B ．2C ．3D ．4 (改编、中档) 【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：,201620151,20151,1,2016,2016≠--====b i a x ,201620162015,20162015,20151,2≠=-==b a i x b b a i ≠===,2016,20162015,3不成立，输出3i =【考点】程序框图8．已知抛物线()220y px p =>的焦点F 恰好是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点，两条曲线的交点的连线经过点F ，则双曲线的离心率为（ ） A ．3 B ．13+ C ．2 D ．12+ (改编、中档)【答案】D 【解析】试题分析：依题意，则两曲线的交点为,2p p ⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线()222210,0x y a b a b -=>>得222241p p a b -=，又2p c =，代入得422460c a c a -+=，同除以4a 得42610e e -+=，则2322e =+，得21e =+，故选D ．考点：1、抛物线的简单几何性质；2、双曲线的简单几何性质．9.设m ,n R ∈,若直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)(1)1x y -+-=相切,则+m n 的取值范围是 （ ） A ．[13,1+3]- B ．(,13][1+3,+)-∞-∞ C ．[222,2+22]- D ．(,222][2+22,+)-∞-∞ (原创、较难)【答案】D【解析】试题分析:因为直线(1)+(1)2=0m x n y ++-与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，所以2222|112|||1(1)(1)(1)(1)m n m n m n m n +++-+==++++++，所以21()2m n m n mn +++=≤，解之得：222m n +≤-或222m n +≥+所以选D 。

【考点】直线与圆的位置关系、基本不等式。

10．设函数()f x 在R 上存在导数'()f x ，对任意的x ∈R ，有2()()f x f x x -+=，且x ∈(0，+∞)时，'()f x x >．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为 ( ) A.[1，+∞) B.(-∞，1] C.(-∞，2] D.[2，+∞)(改编、难题) 【答案】B【解析】试题分析:解法一：设()221)(x x f x g -=,()()0>-'='x x f x g ,()()()()02=--+=-+x x f x f x g x g ,所以()x g 既是增函数又是奇函数，()()()()()()22221,2221222122a a f a g a a a f a a f a g -=-+--=---=-,由已知(2)()2f a f a a --≥-,得()()⇔≥-ag a g 21222≤⇒≥⇒≥-a a a a ,解法二：可直接令21()2f x x x =+满足已知，代入解关于a 的不等式，可得. 故选B.【考点】1.导数的性质；2.函数的奇偶性；3.复合函数的性质.第Ⅱ卷（共100分）二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分. 注意：填空题顺序调整了，对照修改11．四边形ABCD 为长方形，4,3AB BC ==，在长方形ABCD 内随机取一点P ，使得点P 到各边的距离都不小于1的概率为___________________． (原创、容易)【答案】16：长方形面积为12，“使得点P 到各边的距离都不小于1”的点P 所对应的区域是一个以2为长，以1为宽的长方形，其面积是2，故“使得点P 到各边的距离都不小于1”的概率为21126=. 【考点】几何概型12．如果实数x y 、满足关系400440x y x y x y +-≤⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩，则22(4)(3)x y -+-的最小值是 ．【答案】5 【解析】试题分析：满足不等式组的平面区域，因22(4)(3)x y -+-表示定点(4,3)P 到平面区域内的点的距离，由图易知其最小距离为点(4,3)P 到直线0x y -=与直线40x y +-=交点(2,2)的距离，即22(24)(23)5-+-=，所以22(4)(3)x y -+-的最小值为5．【考点】平面区域；线性规划13．给出下列命题：①r 为线性相关系数，则r 越大，两个变量的线性相关越强；反之，线性相关性越弱； ②在回归分析模型中，残差平方和越大，说明模型的拟合效果越好； ③函数()122log 23y x x =+-的单调减区间为(),3-∞-；④函数11221x y =+-是奇函数； ⑤tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭方程只有一个解0x =. 其中真命题的序号是 ． (改编、重组、较难) 【答案】①④⑤【解析】试题分析：①对；线性相关系数为r ，当r 越接近1时，两个变量的线性相关越强，当r 越接近0时，两个变量的线性相关越弱.②错；残差平方和越小，模型的拟合效果越好.③错；若函数()122log 23y x x =+-的单调递减，则22301x x x ⎧+->⎨≥-⎩得1x >.故函数()122log 23y x x =+-的单调减区间为()1,+∞. ④正确；因为11221x y =+-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞ ，且1121()2212(21)x x x y f x +==+=--，2121()2(21)2(21)x x x x f x --++-==---，所以11221x y =+-是奇函数⑤正确；函数y x =与tan y x =在,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时只有一个交点()0,0，则方程tan ,,22x x x ππ⎛⎫=∈-⎪⎝⎭只有一个解0x =.故填①④⑤．【考点】1．线性相关、残差．2．复合函数的单调性；3．函数的奇偶性与单调性． 14.已知整数对的序列如下：(1,1),(1,2),(2,1),(1,3),(2,2), (3,1),(1,4),(2,3),(3,2),(4,1)……则第2016个数对是 .(改编、中档) 【答案】()63,1【解析】把握数对的规律如下：①两个数之和为n 的整数对共有1n -个，②在两个数之和为n 的1n -个整数对中，排列顺序为，第1个数由1起越来越大，第2个数由1n -起越来越小．设两个数之和为2的数对为第1组，数对个数为1；两个数之和为3的数对为第二组，数对个数2；…，两个数之和为1n +的数对为第n 组，数对个数为n ．又∵123632016+++⋅⋅⋅+=,∴第2016个数对在第63组之中的最后一个数对，，应为()63,1,故答案为()63,1． 【考点】数列，推理证明,本题主要考查数列知识的拓展及应用．15．手表的表面在一平面上．整点1,2,3,,12⋅⋅⋅这12个数字等间隔地分布在半径为1的圆周上．从整点i 到整点1i +的向量记作1i i t t + ，则1223345667910t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅等于 ．(改编、难题) 【答案】213- 【解析】试题分析：因为整点把圆分成12份，所以每一份所对应的圆心角是30︒，连接相邻的两点与圆心组成等腰三角形，由余弦定理可得底边平方为23-，由数形结合可知，1223,30t t t t <>=︒ ，3456,60t t t t <>=︒ ，67910,90t t t t <>=︒，所以1223345667910t t t t t t t t t t t t ⋅+⋅+⋅(23)(cos30cos60cos90)=-⋅︒+︒+︒3131(23)22+-=-⋅=【考点】平面向量的数量积.三、解答题：本大题共6小题，共75分.16．国家环境标准制定的空气质量指数与空气质量等级对应关系如下表： 空气质量指数 0-50 51-100 101-150 151-200 201-300 300以上 空气质量等级1级 优2级 良3级轻度污染4级中度污染5级重度污染6级严重污染由全国重点城市环境监测网获得2月份某五天甲城市和乙城市的空气质量指数数据用茎叶图表示如图：（Ⅰ）试根据上面的统计数据，估计乙城市某一天空气质量等级为1级优的概率； （Ⅱ）分别从甲城市和乙城市的统计数据中任取一个，试求这两个城市空气质量等级相同的概率． （改编 容易）【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图． 【解析】（Ⅰ）根据上面的统计数据，可得在这五天中乙城市空气质量等级为1级优的频 率为25，.........................................................3分 则估计乙城市某一天的空气质量等级为1级优的概率为25...............4分（Ⅱ）设事件A ：从甲城市和乙城市的上述数据中分别任取一个，这两个城市的空气质量等级相同，由题意可知，从甲城市和乙城市的监测数据中分别任取一个，共有25个结果，分别记为： （29，43），（29，41），（29，55），（29，58）（29，78） （53，43），（53，41），（53，55），（53，58），（53，78）， （57，43），（57，41），（57，55），（57，58），（57，78）， （75，43），（75，41），（75，55），（75，58），（75，78）， （106，43），（106，41），（106，55），（106，58），（106，78）．........7分其数据表示两城市空气质量等级相同的包括同为1级优的为甲29 ，乙41，乙43，同为 2级良的为甲53 ，甲57，甲75 ，乙55 ，乙58 ，乙78． 则空气质量等级相同的为： （29，41），（29，43）， （53，55），（53，58），（53，78）， （57，55），（57，58），（57，78）， （75，55），（75，58），（75，78）．共11个结果．.....................10分 则P （A ）=．所以这两个城市空气质量等级相同的概率为．.......................12分17．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中,,A ωϕ为常数，且0,0,22A ππωϕ>>-<<）的部分图像如图所示．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；33217ABC ABC f (C ),c ,,a,b S D D ===()若在中，且求Ⅱ的值.（原创 容易） 【考点】：1.由三角函数图像求解析式；2.余弦定理和三角形面积公式．【解析】（1）由图可知，2=A ， π2=T ，故1=ω，...................2分 所以，)sin(2)(ϕ+=x x f 又2)32sin(2)32(=+=ϕππf ，且22πϕπ<<-，故6πϕ-=．...............4分于是，)6sin(2)(π-=x x f ． ........................................5分（2）由（1）得121662f (c )sin(C ),sin(C )p p =-=-=即 又因为(0,π)C Î，所以5()666C ,p p p -?所以66C p p-=，即........7分又因为1333sin 242S ab C ab ===，所以6ab =，......................8分 又7c =由余弦定理得2272cos3a b ab π=+-，得2213a b +=，........10分所以,6,5,25)(2==+=+ab b a b a 又即所以.2,33,2====b a b a 或........................................12分18. 如图，ABC ∆是边长为2的等边三角形，ABD ∆是等腰直角三角形，AD BD ⊥， 平面ABC ^平面ABD ，且EC ^平面ABC ，1EC =. （Ⅰ）证明：//DE 平面ABC ； （Ⅱ）证明：平面B A D ⊥平面D B E .（改编 中档）【考点】1.考查空间点、线、面的位置关系：线面平行与面面垂直；2.考查空间想象能力、运算能力和逻辑推理能力．【解析】（1）取AB 的中点O ，连结DO,CO …………1分ABD D 是等腰直角三角形，112DO AB,DO AB ,\^==.......................2分 又 平面ABD ^平面ABC ，平面ABD 平面ABC AB =，DO \^平面ABC ，………………………………3分由已知得EC ^平面//EC,ABC,DO \............................................4分又1EC DO ==，∴四边形DOCE 为平行四边形，//OC DE \，.........5分而//DE ABC,OC ABC,DE ABC 颂\平面平面平面...............6分DCABE（2）O 为AB 的中点，ABC D 为等边三角形，OC AB \^，…………7分 由（1）知DO ^平面ABC ，而OC Ì平面ABC ，可得DO OC ^，……8分DO AB O,OC =\^ 平面ABD而AD Ì平面ABD ，OC AD \^，………………..................................9分又//DE OC,DE AD \^ …………………….....................10分而BD AD,DE BD D,AD ^=\^ 平面BDE ，………………….......11分 又AD ⊂平面ABD ，∴平面B A D ⊥平面D B E ……………...............12分 19.已知，数列}{n a 的前n 项和为n s ，且22nn s a +=.数列}{n d 满足3(-1)2nn d +=，数列}{n b 满足1232n n b d d d ...d =++++，（Ⅰ）求数列}{na 和数列}{nb 的通项公式；（Ⅱ）将数列}{na 中的第1b 项，第2b 项，第3b 项，...,第n b 项，...删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列}{nc ，求数列}{n c 的前2016项的和.（改编 中档） 【考点】：（1）求数列通项；（2）分组（奇数项和偶数项）求和 【解析】 （1）因为112222(n 2),nn n n s a ,s a --+=\+=?可得12n n a a -=(2)n ³，即数列}{n a 为等比数列，又1122222n n n q ,a ,a -==\=?.....................3分又因为3(-1)2nn d +=，所以12323232n n b d d d ...d n n =++++=?. (6)（2）由题知将数列}{n a 中的第3项，第6项，第9项，...，删去后构成的数列}{n c 中的奇数项与偶数项仍为等比数列，首项分别是1224c ,c ==，公比均为8.......................9分 201613520152462016100810081008()()2(18)4(18)6(18)=18187T c c c ...c c c c ...c .\=+++++++++???+=---..........................12分20.设函数m f (x )ln x ,m R.x=+? （Ⅰ）当m e =（e 为自然对数的底数）时，求()f x 的极小值； （Ⅱ）讨论函数()()3'x g x f x =-零点的个数； （Ⅲ）令m h(x )f (x )x =-，设0b a >>，求证：()()2h b h a b a a b->-+. （改编 难）【考点】：1.导数与函数的单调性、极值；2．构建新函数利用导数证不等式．【解析】（1）.由题设，当m e =时，()e f x lnx ,x =+则2()='x e f x x-，.................1分 000''x (,e ),f (x ),f (x )e x (e,),f (x ),f (x )e,\???+?当在（0，)上单调递减，在（）上单调递增，................................2分2x e f (x )f (e ).\==当时，取得极小值..................................................3分（2）由题设知2133'x m x g(x )f (x )x x =-=--　(x>0) 31003g(x ),m x x(x ),==-+>令得设3103(x )x x(x )j =-+?...................4分 则2111'(x )x (x )(x )j =-+=--+当(0,1)x Î时，()0'x ,j >()x j 在(0,1)上单调递增，当(1)x ,??时，()0'x j <，(x )j 在1+¥（，）上单调递减，1x \=是()x j 唯一的极大值点，21003max (x )()()j j j \===又...........6分 213m >）当时，函数无零点, 22)3m g(x )=当时，函数有且只有一个零点, 23)03m g(x )<<当时，函数有两个零点， 4)0m g(x )£当时，函数有且只有一个零点，综上所述，23m >时，函数g()x 无零点，当23m =或0m £时函数有且只有一个零点，当203m <<时函数有两个零点..................................8分（3）由题知h(x )ln x,=要证2h(b )h(a ),b a a b->-+ 即证2(b a )lnb ln a ,b a -->+即证211b ()b a ln b a a ->+，....................................10分 令2111b (t )t (t ),F(t)lnt a t -=>=-+且令， 易证22101(t )F'(t ),t(t )-=>+所以F(t )在1(,)+?上单调递增，....................12分 10F(t )F(),\>=从而原命题得证......................................................13分21.已知椭圆22221(0)y x C :a b a b+=>>的一个焦点为F ,离心率为63,过原点和x 轴不重合的直线与椭圆C 相交于A,B 两点,且43AF BF +=.（Ⅰ）求椭圆C 的方程;（Ⅱ）过点(1,0)P 任作一条直线与椭圆C 相交于两点M ,N ，（1）求PM PN × 的取值范围；（2）试问在x 轴上是否存在定点Q 使得MQPNQP ??若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由.（原创 难）【考点】：1.求椭圆方程；2.圆锥曲线最值范围问题与定值定点问题【解析】(Ⅰ)由||||43AF BF +=知, 32=a ,..............................1分 又因为椭圆离心率为63,63c a \=，22c ,\=2221284b a c \=-=-=.......3分 所以椭圆方程为[112422=+y x ........................................4分(Ⅱ)（1）当直线MN 与x 轴重合时，(-2,0)(2,0)M ,N ，(-3,0)?(1,0)3PM PN ?=-...................................5分 当直线MN 与x 轴不重合时，设MN 方程为1x ny ,=+1122(,),(,),M x y N x y 联立()2222131690312x ny n y ny y x =+⎧⇒++-=⎨+=⎩，显然，0∆>，1122226=-31931n y y n y y n ⎧+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，................................................6分 ...........7分[)2991,1=-9,32323t t n t PM PN t t =+≥⋅=-∈----令则，则.................8分 综上，PM PN ⋅的范围是[]9,3--..........................................9分（2）存在.证明如下:假设存在点0(0)Q x ,满足题设条件.当直线MN 与x 轴重合时，显然恒有MQP NQP ??,即0x R,Î ............10分()()()2112212122911,y 1,y 31n PM PN x x ny ny y y n +⋅=-⋅-=⋅+=-+当直线MN 与x 轴不重合时，设MN 方程为1x ny ,=+1122(,),(,),M x y N x y 由（1）知联立可得1122226=-31931n y y n y y n ⎧+⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩, 1202101210201020()()=()()MQ NQ y x -x y x -x y y k k x -x x -x x -x x -x +\+=+ 12021012012102010201121==y (ny -x )y (ny -x )ny y (-x )(y y )(x -x )(x -x )(x -x )(x -x )+++++............................12分 若MQP NQP ??，则0MQ NQ k k +=，即1201221=0ny y (-x )y y +， 将韦达定理带入可得0229621=03131--n n (-x )n n ??++， 即018610,-n-n(-x )=从而得04x =，40Q(,)\.................13分 综上，在x 轴上存在定点(4,0)Q ，使得MQP NQP ??............................14分。