09 一元二次方程及其应用
一元二次方程的解法及其应用
一元二次方程的解法及其应用一元二次方程是指只含有一个未知数的二次方程，其一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数且a ≠ 0。
解法：一元二次方程的解法主要有两种：因式分解法和求根公式法。
1. 因式分解法：当一元二次方程的形式可以直接因式分解时，使用因式分解法可以快速求得其解。
例如，对于方程x^2 + 5x + 6 = 0，我们可以将其因式分解为(x + 2)(x + 3) = 0。
根据零乘法，当一个乘积等于零时，其中一个或多个因子必须为零。
因此，我们得到x + 2 = 0或x + 3 = 0，从而解得x = -2或x = -3。
这两个解是方程的根，即方程的解集为{-2, -3}。
2. 求根公式法：对于一般形式的一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，可以使用求根公式法求得其解。
根据求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)，我们可以直接计算出方程的解。
例如，对于方程2x^2 + 5x - 3 = 0，根据求根公式，我们有x = (-5 ±√(5^2 - 4*2*(-3))) / (2*2)。
计算得x = (-5 ± √(25 + 24)) / 4，进一步化简得x = (-5 ± √49) / 4，即x = (-5 ± 7) / 4。
因此，方程的解为x = (-5 + 7) / 4或x = (-5 - 7) / 4，简化得x = 1/2或x = -3/2。
解集为{1/2, -3/2}。
应用：一元二次方程的解法在数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 几何问题：一元二次方程的解法可以应用于几何问题中，例如求解二次函数的零点，即方程y = ax^2 + bx + c = 0的解，可以帮助我们确定函数的图像与x轴的交点，从而求得抛物线的顶点、焦点等信息。
2. 物理问题：在物理学中，一元二次方程的解法可以用于解决与运动和力有关的问题。
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一元二次方程是高中数学的重要内容之一，通过求解一元二次方程，我们可以得到方程的解，从而解决一些实际生活中的问题。
在本文中，我们将探讨一些实际应用中使用一元二次方程的案例。
一、物体自由下落物体自由下落是我们日常生活中经常遇到的情境之一。
在没有空气阻力的情况下，物体自由下落的运动可以用一元二次方程来描述。
设一个物体从某个高度h0自由下落，下落的时间为t秒，则根据物体自由下落的公式，我们可以得到：h = h0 - 0.5gt^2其中，h为物体下落的高度，g为重力加速度。
通过将h设为0，即可求解出物体自由下落的时间。
此时，我们可以将方程转化为一元二次方程进行求解：-0.5gt^2 + h0 = 0通过求解出这个一元二次方程，我们就可以知道物体自由下落所需的时间。
二、抛物线的轨迹抛物线是一种常见的曲线形态，其运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
在很多实际应用中，抛物线的轨迹被广泛应用。
例如，当我们抛出一个物体，以一定的初速度和角度进行抛射时，物体的轨迹就是一个抛物线。
抛物线的方程可以表示为：y = ax^2 + bx + c其中，a、b、c为常数，x和y分别代表抛物线上的点的坐标。
通过求解一元二次方程，我们可以确定抛物线的方程中的参数a、b、c的值，从而获得抛物线的具体形状和特征。
这对于工程设计、物体抛射等实际问题具有重要的意义。
三、最大值和最小值问题在许多实际应用中，我们常常需要确定一个函数的最大值或最小值。
而求解函数的最大值或最小值问题，可以转化为求解一元二次方程的实根问题。
考虑一个抛物线函数 y = ax^2 + bx + c，其中a不等于0。
当a大于0时，抛物线开口向上，此时函数的最小值为抛物线的顶点坐标。
当a小于0时，抛物线开口向下，此时函数的最大值为抛物线的顶点坐标。
通过将函数求导，我们可以求解出函数的极值点，进而确定函数的最大值或最小值。
而求解函数的极值点的过程，实际上就是求解一元二次方程的实根。
(完整版)一元二次方程知识点及其应用
一、相关知识点1．理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2，整式方程，可化为一般形式； 2．正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数（1）明确只有当二次项系数0≠a 时，整式方程02=++c bx ax 才是一元二次方程。
（2）各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). （3）熟练整理方程的过程3．一元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 4．列出实际问题的一元二次方程二．解法1．明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解；2．根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3．体会不同解法的相互的联系； 4．值得注意的几个问题：(1)开平方法：对于形如n x =2或)0()(2≠=+a n b ax 的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解. 形如n x =2的方程的解法： 当0>n 时，n x ±=; 当0=n 时，021==x x ; 当0<n 时，方程无实数根。
（2）配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为n m x =+2)(的方程，再运用开平方法求解。
配方法的一般步骤：①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1”：根据等式的性质把二次项的系数化为1； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为n m x =+2)(的形式； ④求解：若0≥n 时，方程的解为n m x ±-=，若0<n 时，方程无实数解。
（3）公式法：一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根aac b b x 242-±-=当042>-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根不相等；当042=-ac b 时，方程有两个实数根,且这两个实数根相等，写为ab x x 221-==；当042<-ac b 时，方程无实数根.公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定c b a ,,的值；③代入ac b 42-中计算其值，判断方程是否有实数根；④若042≥-ac b 代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是中学数学中比较基础的内容之一。
在实际应用中，一元二次方程也有着广泛的适用性。
本文将介绍一元二次方程在实际中的应用，并分析其具体的数学方法和过程。
一、抛物线的应用一个抛物线可以用一元二次方程的形式表示。
其中，方程中的a、b、c分别代表抛物线关于x的二次项系数、一次项系数和常数项系数。
在实际应用中，我们经常需要利用一元二次方程来求解以下问题：（1）给定一个抛物线，求出其顶点坐标顶点坐标可以通过求解方程a(x-p)²+q得到，其中，p、q分别为顶点的横、纵坐标。
根据平面几何的知识，抛物线的顶点就是其对称轴的交点。
因此，我们可以通过求解关于x的一元二次方程来确定对称轴的位置，从而得到顶点坐标。
（2）给定一个抛物线，求出其与x轴的交点1）当抛物线在x轴下方时，交点个数为0。
2）当抛物线与x轴相切时，交点个数为1。
3）当抛物线在x轴上方时，交点个数为2。
根据以上规律，我们可以利用求根公式或配方法求解一元二次方程，从而确定交点坐标。
二、最值与最优解在实际问题中，有许多情形下需要求解一个函数的最值或最优解。
通过构建一元二次函数，我们可以通过求解其极值点来得到最值或最优解。
在解决此类问题时，我们需要用到以下定理：1）一元二次函数在x=a处取得最大值或最小值，当且仅当a为该函数的极值点。
2）一元二次函数的对称轴是该函数最大值或最小值的轴线。
通过对称轴和极值点的求解，我们可以得到一元二次函数的最优解或最值。
三、勾股定理勾股定理在平面几何中由比达赖创建。
在实际问题中，我们可以利用一元二次方程的求根公式验证勾股定理。
对于一个直角三角形，其斜边又可以表示为一元二次方程的形式。
利用求根公式，我们可以求出其两个直角边的长度。
如果其长短满足勾股定理，则该三角形是一个合法的直角三角形。
四、变速直线运动直线运动是物理学中比较基础的内容。
在实际问题中，我们可以将变速直线运动建模成一元二次函数。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是数学中常见且重要的概念，广泛应用于各个领域。
本文将探讨一元二次方程的应用，并分析其在实际问题中的具体应用场景。
一、物理学中的应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动是一种常见的物体运动形式。
通过解一元二次方程，可以求解物体的运动轨迹、落地时间和最大高度等相关参数。
例如，一个抛掷物体在抛出后的运动可以用一元二次方程表示，通过求解该方程，我们可以得到物体的落地时间和最大高度，从而更好地理解物体的运动规律。
2. 天体运动在天体物理学中，一元二次方程可以用来描述天体运动的轨迹。
例如，行星的运动可以用一元二次方程来表示。
通过解方程，可以计算行星的运行周期、离心率等重要参数。
这些参数对于研究宇宙的运行规律和天体力学有着重要的意义。
二、工程学中的应用1. 抛物线天桥设计在工程学中，抛物线天桥是一种被广泛使用的结构。
设计师可以利用一元二次方程来计算抛物线天桥的曲线形状和斜率。
通过合理的抛物线曲线设计，可以使天桥具有更好的稳定性和美观性。
2. 弹道学弹道学是研究飞行物体的轨迹和运动规律的学科。
一元二次方程广泛应用于弹道学中，用于计算弹道飞行的高度、速度和飞行时间等参数。
通过解一元二次方程，可以优化发射角度和发射速度，提高弹道导弹的命中率和射程。
三、经济学中的应用1. 供求关系在经济学中，供求关系是研究市场经济的基本规律之一。
供求关系可以用一元二次方程来描述。
通过分析供求方程的解，可以确定市场均衡点的价格和数量，了解市场供应和需求的关系，并为经济政策制定提供依据。
2. 成本和收益分析在经济决策中，成本和收益分析是一种常见的方法。
通过建立成本和收益方程，并求解一元二次方程，可以确定最大利润的产量和价格，从而指导企业的生产和经营决策。
综上所述，一元二次方程在物理学、工程学和经济学等领域有着广泛的应用。
通过解方程，我们可以得到丰富的信息和参数，从而更好地理解和分析实际问题。
在实际应用中，我们需要根据具体问题选择合适的一元二次方程，并利用解方程的方法得出准确的结果。
一元二次方程的解法及实际应用
一元二次方程的解法及实际应用一、引言在数学中，一元二次方程是一种常见的形式，它可以用来解决很多实际生活中的问题。
本文将介绍一元二次方程的解法，并探讨一些实际应用。
二、一元二次方程的解法1. 标准形式一元二次方程的标准形式为：ax² + bx + c = 0。
其中，a、b、c分别代表方程中的系数，且a ≠ 0。
2. 利用“求根公式”解方程一元二次方程可通过求根公式来解决。
求根公式为：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a。
- 若b² - 4ac > 0，方程有两个不同实数根；- 若b² - 4ac = 0，方程有一个实数根，且为重根；- 若b² - 4ac < 0，方程无实数根，但可以有复数根。
三、实际应用1. 抛体运动在物理学中，抛体运动问题可以通过一元二次方程来建模和求解。
例如，当我们抛出一个物体时，可以通过解一元二次方程来计算物体的落地时间、最高高度等。
2. 金融领域一元二次方程在金融领域中也有实际应用。
例如，在债券定价中，可以使用一元二次方程来计算债券的到期回报率；在利润预测模型中，可以通过一元二次方程来估计销售量与利润之间的关系。
3. 工程建模在工程领域中，一元二次方程经常用于建立工程模型和解决实际问题。
例如，用于预测水位变化情况、建筑物的稳定性分析等。
4. 生活中的应用一元二次方程还广泛应用于我们的日常生活中，例如：- 菜价预测：可以使用一元二次方程拟合历史数据，预测未来的价格变动趋势；- 汽车刹车距离计算：根据实验数据构建一元二次方程，通过计算得到刹车距离；- 光学仪器矫正：利用一元二次方程来计算镜片的度数以及矫正度数；- 音乐振动学：通过一元二次方程来计算乐器的音调和共振频率。
四、结论一元二次方程作为数学中常见的形式，具有广泛的实际应用领域。
掌握一元二次方程的解法有助于我们在解决实际问题时提供更准确的结果。
一元二次方程的运用
一元二次方程的运用
一元二次方程在数学中有着广泛的应用，以下是一些常见的应用场景：
1. 物理学：在物理学中，一元二次方程可以用来描述一些运动问题，如抛体运动、自由落体运动等。
通过解一元二次方程可以求解抛物线的最高点、最远点、碰撞时间等问题。
2. 金融学：在金融学中，一元二次方程可以用来解决一些与利润、成本、销售量等相关的问题。
例如，通过解一元二次方程可以找到最大利润的销售量，或者确定成本、利润等之间的关系。
3. 工程学：在工程学中，一元二次方程可以用来解决一些与曲线、定义域等相关的问题。
例如，在建筑设计中，可以通过解一元二次方程来找到合适的曲线形状。
4. 统计学：在统计学中，一元二次方程可以用来描述一些与模型拟合、回归分析等相关的问题。
通过解一元二次方程可以找到最佳拟合曲线、预测未来趋势等。
5. 生活中的实际问题：一元二次方程在生活中也有一些实际应用，如计算税收、计算折旧、计算物体的轨迹等。
通过解一元二次方程可以帮助人们解决一些实际问题。
一元二次方程的实际应用
一元二次方程的实际应用一、定义及公式1.一元二次方程：形如 ax^2 + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是常数，a ≠ 0，x 是未知数。
2.求根公式：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)二、一元二次方程的解法1.因式分解法：将一元二次方程转化为两个一次因式的乘积等于零的形式，然后求解。
2.配方法：将一元二次方程转化为完全平方的形式，然后求解。
3.求根公式法：直接应用求根公式求解。
三、实际应用场景1.面积问题：已知直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，求斜边长c。
根据勾股定理，有 a^2 + b^2 = c^2，将 c^2 移到等式左边，得到 a^2 + b^2 - c^2 = 0，这是一个一元二次方程。
2.投资问题：已知投资金额、利率和时间，求最终收益。
设投资金额为 P，利率为 r，时间为 t，则收益为 S = P(1 + r)^t。
如果已知 S、P 和 r，求 t；或者已知 S、P 和 t，求 r。
这些问题都可以转化为一元二次方程。
3.物体运动问题：已知物体运动的初速度、加速度和时间，求物体在某时刻的速度和位移。
根据运动学公式，有 v = v0 + at 和 s = v0t + 1/2at^2，其中 v 是某时刻的速度，s 是某时刻的位移。
如果已知 v0、a 和 t，求v 和 s；或者已知 v0、a 和 s，求 t。
这些问题也可以转化为一元二次方程。
四、解题步骤1.分析实际问题，找出未知数和已知数。
2.根据实际问题建立一元二次方程。
3.选择合适的解法求解一元二次方程。
4.将求得的解代入实际问题中，验证答案的正确性。
五、注意事项1.在解决实际问题时，要确保方程的建立是正确的，避免出现误解或错误。
2.在选择解法时，要根据方程的特点和实际问题的需求来决定，有时需要尝试多种解法。
3.在求解过程中，要注意计算的准确性，避免出现计算错误。
一元二次方程的实际应用非常广泛，涉及到多个领域。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用
一元二次方程是代数学中常见且重要的内容，具有广泛的应用领域。
本文将从数学、物理和经济等方面介绍一元二次方程的应用。
一、数学应用
1. 解析几何：一元二次方程可以用于描述平面上的曲线，如抛物线。
通过求解方程，可以确定曲线的顶点、焦点等重要特征，进而进行几
何分析和解题。
2. 最值问题：一元二次方程可以用于求解最值问题，如求解抛物线
的最大值或最小值。
这种问题在最优化、经济学和物理学等领域中具
有很高的实际意义。
二、物理应用
1. 自由落体运动：当物体做自由落体运动时，其运动轨迹符合一元
二次方程。
通过求解方程，可以确定物体的运动速度、位移等重要参数，进而进行物理分析和解题。
2. 抛体运动：抛体运动也是一种常见的物体运动形式，其轨迹也是
抛物线。
一元二次方程可以用来描述抛体运动的高度、时间、速度等
相关问题。
三、经济应用
1. 成本和收益分析：在经济学中，一元二次方程可以用来建立成本和收益之间的关系。
通过求解方程，可以确定最佳利润点或成本控制的策略，对经济决策提供参考依据。
2. 市场需求预测：一元二次方程还可以用来进行市场需求的预测和分析。
通过建立需求函数，求解方程可以推测出市场规模、价格敏感度等相关指标，为企业决策提供参考依据。
综上所述，一元二次方程在数学、物理和经济等多个领域中具有广泛的应用。
通过求解方程，可以解决和分析与抛物线相关的问题，为相关学科的研究和实际应用提供支持。
对于学习者而言，掌握一元二次方程的应用，将有助于提高问题分析和解决能力，培养综合思考和创新能力。
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是解决数学问题中常用的一种方程类型。
它的形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
在实际生活中，一元二次方程可以用来解决各种与数量关系有关的问题。
以下将通过几个具体的应用案例，介绍一元二次方程在实际中的应用。
案例一：抛物线的形状在物理学、工程学和建筑学等领域中，抛物线的形状是一个常见的问题。
一元二次方程可以帮助我们确定抛物线的开口方向、顶点位置以及焦点位置等信息。
例如，考虑一座桥的拱形，我们可以根据桥拱的高度和宽度来建立一元二次方程。
通过求解这个方程，我们可以确定最佳的拱形形状，以确保桥的承载能力和结构稳定性。
案例二：运动轨迹的预测一元二次方程还可以用于预测物体的运动轨迹。
假设一个物体被抛出，并以初速度v0和发射角度θ抛出，忽略其他外部因素的影响。
我们可以通过一元二次方程来计算物体的飞行时间、到达最远距离的水平位置以及最高点的高度。
这些信息对于设计射击、投掷和抛掷物体的运动轨迹都非常有用。
案例三：经济优化问题一元二次方程在经济学和管理学中也有广泛的应用。
例如，在某个工厂的生产线上，单位时间内生产的产品数量与工人的数量呈现出一定的关系。
我们可以通过建立一元二次方程，将工人数量作为自变量，生产产品数量作为因变量，来找到最大的产量和最优的工人数量。
案例四：旅行时间和距离计算一元二次方程还可以用于计算旅行的时间和距离。
例如，某辆汽车以固定的速度行驶，我们可以通过一元二次方程来计算汽车行驶到特定距离所需的时间。
这在交通规划、旅行导航和物流管理等领域都有很实际的应用。
综上所述，一元二次方程在实际生活中具有广泛的应用。
通过了解和熟练运用一元二次方程，我们可以更好地解决与数量关系有关的问题，并做出准确的预测和决策。
因此，掌握一元二次方程的应用方法对于提高数学素养和解决实际问题非常重要。
一元二次方程在实际问题中的应用
一元二次方程在实际问题中的应用一元二次方程是一种常见的数学方程，其形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为已知数，x为未知数。
在实际问题中，利用一元二次方程可以解决许多与现实生活相关的数学计算和建模问题。
本文将探讨一元二次方程在实际问题中的应用。
一、物体自由落体问题在物理学中，物体自由落体问题是应用一元二次方程的经典案例之一。
当一个物体自由下落时，根据重力作用，其运动可以用一元二次方程来描述。
假设一个物体从高度h自由落下，并且忽略了空气阻力。
根据运动学公式，可得到物体在t秒时的下落距离s为s = -gt²/2 + vt + h，其中g 为重力加速度，约为9.8 m/s²，v为物体的初始速度。
根据题目中的条件，可以列出一元二次方程来求解。
例如，一个物体从高度20m自由落下，求它落地时所需的时间。
根据以上所述的公式，可得到方程-4.9t² + 20 = 0，将该方程转化为一元二次方程的标准形式，即4.9t² - 20 = 0。
通过求解该方程，可以确定物体落地所需的时间。
二、几何问题一元二次方程也常用于解决几何问题。
例如，在平面几何中，我们常常需要求解关于长度、面积和体积的问题。
假设一个矩形的长度比宽度多6厘米，并且其面积为56平方厘米。
我们可以设矩形的宽度为x厘米，那么矩形的长度就是(x + 6)厘米。
根据矩形的面积公式，面积等于长度乘以宽度，可得到方程x(x + 6) = 56。
将该方程转化为一元二次方程的标准形式，即x² + 6x - 56 = 0。
通过求解该方程，可以确定矩形的宽度和长度。
类似地，一元二次方程也可以用来解决其他几何问题，如圆的面积、三角形的面积等。
三、投射问题投射问题是应用一元二次方程的另一个实际问题。
当物体沿着一个曲线进行投射运动时，我们可以利用一元二次方程来描述其运动轨迹和求解问题。
例如，一个投射物体以初速度v沿着角度θ的轨迹进行抛射，求解其到达地面所需的时间。
九年级数学一元二次方程的应用
九年级数学一元二次方程的应用一、引言数学作为一门基础学科，一直以来都是人们学习的重点和难点。
其中，一元二次方程作为数学中的一种重要内容，更是被广泛应用于生活中的各个领域。
本文将结合数学知识和实际案例，探讨一元二次方程在各个领域中的应用。
二、一元二次方程的基本概念一元二次方程是指一个未知数的二次方程，它的一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知数且a≠0。
解一元二次方程可以通过配方法、公式法等多种方法进行求解。
而一元二次方程的根可以通过判别式Δ=b²-4ac的符号来判断方程有一个实根、两个实根或者无实根。
三、一元二次方程在日常生活中的应用1.物体自由落体运动物体自由落体运动的位移s与时间t之间的关系可以用一元二次方程来表示，即s=gt²/2，其中g为重力加速度。
通过一元二次方程的求解，可以计算出物体自由落体运动的最大高度、最大速度等重要参数。
2.抛物线的建筑在建筑学中，抛物线形状的拱形结构被广泛应用。
而抛物线就是一元二次方程的图像，因此在设计拱形结构时，需要利用一元二次方程来计算出拱形结构的高度、宽度等重要尺寸参数。
3.金融领域中的应用在金融领域中，一元二次方程也被广泛应用。
例如，通过一元二次方程可以计算出一笔投资的未来价值、资金的回报率等关键指标。
同时，一元二次方程也可以用于研究货币的通胀率、利率等关键宏观经济指标。
4.自然界中的应用在自然界中，一元二次方程也有着广泛的应用。
例如，植物的生长、动物的繁殖等现象都可以通过一元二次方程来描述和分析。
通过一元二次方程的求解，可以得到一些重要的生物学参数，如生长速率、繁殖率等。
四、案例分析1.汽车刹车距离的计算假设一辆汽车以初始速度v0匀速行驶，当刹车后的减速度为a时，汽车的刹车距离可以用一元二次方程来描述。
刹车距离s与刹车时间t 之间的关系可以表示为s=v0t+1/2at²。
通过求解一元二次方程，可以计算出汽车的刹车距离，并根据计算结果来制定行车安全规范。
一元二次方程及其解法应用
能使方程左右两边相等的未知数的值叫做方程的解．
5、一元二次方程分类
一般形式 缺一次项 缺常数项 缺一次项及常数项
ax2 bx c 0(a 0) ax2 c 0(a 0,b 0,c 0) ax2 bx 0(a 0,b 0,c 0) ax2 0(a 0,b c 0)
28x8x130.
0.
1.化1:把二次项系数化为1;
x2 38 x 1.
2.移项:把常数项移到方程的右边;
x2
8
x
3
4
2
1
4
2
.
3 3 3
3.配方:方程两边都加上一次项 系数绝对值一半的平方;
x
4
2
5
2
.
3 3
4.变形:方程左分解因式,右边合并同类;
x 4 5 . 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;
（4）m为何值时，关于x的一元二次方程 mx2＋ m2x－1= x2＋x 没有一次项？ 答案：m=－1
活动1
问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm． 在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出 的部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的 无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去 多大的正方形？(课件：制作盒子)
解：原方程可变形为 解：原方程可变形为
(x－5)(x+2)=0
x2+2x－8=0
(x－2)(x+4)=0
x－5=0或x+2=0
x－2=0或x+4=0
∴ x1=5 ,x2=-2
∴ x1=2 ,x2=-4
快速回答：下列各方程的根分 别是多少？
一元二次方程的应用
一元二次方程的应用一元二次方程是高中数学中的重要内容，也是实际问题求解中常用的工具之一。
它的应用涉及到多个领域，如物理学、经济学和工程等。
本文将通过实际案例，介绍一元二次方程的应用。
1. 抛物线运动假设一个物体从离地面h高度抛出，初速度为v，抛物线运动的路径可以用一元二次方程表示。
设物体从时间t=0开始运动，那么物体在t时刻的高度可以用以下方程表示：h = -gt^2 + vt + h0其中g为重力加速度，h0为起始高度。
这就是一元二次方程的典型应用之一。
2. 经济学中的应用在经济学中，一元二次方程可以用来描述生产成本、销售收入等与产量之间的关系。
例如，假设某企业生产某种产品的成本函数为C(x)= ax^2 + bx + c，其中x为产量，a、b和c分别为常数。
通过求解这个二次方程，可以找到产量与成本之间的最优关系，帮助企业制定最佳的生产计划。
3. 工程中的应用在工程领域，一元二次方程也有广泛的应用。
例如，考虑一个抛物线形状的拱桥，为了确定拱桥的形状和尺寸，需要利用一元二次方程求解。
通过分析桥墩高度、跨度等因素，可以建立一元二次方程模型，求解该方程可以得到最优的桥墩高度和跨度，以保证拱桥的坚固和美观。
4. 声音传播的应用在声学中，一元二次方程可以用来描述声音在空气中的传播过程。
假设一个声源位于坐标原点，声音的传播距离为d，传播时间为t，声音的速度为v。
根据声音传播的基本原理，可以得到以下一元二次方程：d = vt - at^2通过求解这个方程，可以推导出声音传播的速度、时间和距离之间的关系。
综上所述，一元二次方程在物理学、经济学和工程等领域中有着广泛的应用。
通过求解一元二次方程，可以解决实际问题，帮助人们做出正确的决策和计划。
因此，掌握一元二次方程的应用是非常重要的。
希望本文的介绍能够对读者有所帮助，进一步加深对一元二次方程的理解和应用能力。
一元二次次方程实际应用
一元二次次方程实际应用
一元二次方程是数学中一个重要的概念，它在解决实际问题中有着广泛的应用。
下面我们将通过一个具体的例子来说明如何使用一元二次方程来解决实际问题。
问题：一个农场主想要种植某种作物，他计划在一块长为100米，宽为80米的土地上种植这种作物。
为了最大化产量，他想知道应该种植多少棵这种作物。
假设农场主在这块土地上种植了 x 棵这种作物。
每棵作物需要一定的空间来生长，假设每棵作物需要一个长为 a 米，宽为 b 米的空间。
根据题目，我们可以建立以下方程：
1. 土地的总面积是100 × 80 = 8000 平方米。
2. 每棵作物的占地面积是a × b 平方米。
3. 所有作物的占地面积是x × a × b 平方米。
用数学方程，我们可以表示为：
x × a × b = 8000
现在我们要来解这个方程，找出 x 的值。
计算结果为：x 的可能值为 [8000/a2]
所以，为了最大化产量，农场主应该在土地上种植 8000/a2 棵这种作物。
专题09 一元二次方程及其应用(33题)(原卷版)--2024年中考数学真题分类汇编
专题09一元二次方程及其应用（33题）一、单选题1．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=2．（2024·黑龙江绥化·中考真题）小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是2-和5-．则原来的方程是()A ．2650x x ++=B ．27100x x -+=C ．2520x x -+=D ．26100x x --=3．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 21-C 21+D ．1214．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠5．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%6．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．127．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=8．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．169．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=10．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <11．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=12．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-13．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．614．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=二、填空题15．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．16．（2024·广东深圳·中考真题）已知一元二次方程230x x m -+=的一个根为1，则m =．17．（2024·江苏连云港·中考真题）关于x 的一元二次方程20x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．19．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．20．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．21．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．22．（2024·四川南充·中考真题）已知m 是方程2410x x -=+的一个根，则(5)(1)m m +-的值为．23．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：()()200a b a a b a b a ⎧-≤⎪⊗=⎨-+>⎪⎩例如：224(2)40-⊗=--=，23231⊗=-+=．若314x ⊗=-，则x 的值为．24．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．25．（2024·山东烟台·中考真题）若一元二次方程22410x x --=的两根为m ，n ，则2234m m n -+的值为．26．（2024·四川眉山·中考真题）已知方程220x x +-=的两根分别为1x ，2x ，则1211+x x 的值为．27．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．三、解答题28．（2024·上海·中考真题）解方程组：2234026x xy y x y ⎧--=⎨+=⎩①②．29．（2024·四川凉山·中考真题）阅读下面材料，并解决相关问题：下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n 行有n 个点……容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10．(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为_____，前15行的点数之和为______，那么，前n 行的点数之和为______(2)体验：三角点阵中前n 行的点数之和______（填“能”或“不能”）为500．(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n 排2n 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？30．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．31．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．32．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．33．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．。
专题9_一元二次方程及其应用
专题9_一元二次方程及其应用一、一元二次方程的概念及解法一元二次方程是指形如$ax^2+bx+c=0$的方程，其中$a\neq 0$。
解一元二次方程的常用方法有因式分解法、配方法、根的判别式法等。
1.因式分解法如果一元二次方程能够因式分解为$(mx+p)(nx+q)=0$的形式，那么方程的解就是使得方程两边都为0的$x$值。
即，$mx+p=0$或$nx+q=0$。
例如，对于方程$x^2+5x+6=0$，可以因式分解为$(x+2)(x+3)=0$，因此$x=-2$或$x=-3$是方程的解。
2.配方法对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，如果能够通过适当的配方法，将方程化为$(mx+n)^2=0$的形式，那么方程的解就是方程$(mx+n)^2=0$的解。
即，$mx+n=0$。
例如，对于方程$2x^2-7x+3=0$，可以通过配方法将其化为$(2x-1)(x-3)=0$，因此$x=\frac{1}{2}$或$x=3$是方程的解。
3.根的判别式法一元二次方程$ax^2+bx+c=0$的根的判别式为$\Delta=b^2-4ac$。
如果$\Delta>0$，那么方程有两个不相等的实数根。
如果$\Delta=0$，那么方程有两个相等的实数根。
如果$\Delta<0$，那么方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
方程的根可以用公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$来表示。
二、一元二次方程的应用一元二次方程在数学以及实际生活中有广泛的应用，例如物理学、经济学等领域。
以下分别介绍几个常见的应用情景。
1.抛体运动抛体运动是物理学中的一个重要课题，涉及到物体在重力作用下的自由落体运动。
当考虑空气阻力时，物体的运动轨迹可以用一元二次方程来描述。
例如，一个物体从一定高度$h$处抛出，初始速度为$v_0$，抛出角度为$\theta$，重力加速度为$g$。
物体在$t$时间的位置可以用二次函数$h(t)=-\frac{1}{2}gt^2+v_0\sin\theta t+h$来描述。
初三数学一元二次方程的应用
初三数学一元二次方程的应用一元二次方程是初中数学中的重要内容之一，其应用广泛地涉及到许多实际问题，例如物体自由落体、弹性问题、图形的绘制以及经济学中的成本函数等等。
本文将会介绍一些关于初三数学一元二次方程应用的案例，以及如何解决这些问题。
1. 物体自由落体问题考虑这样一个问题：某物体从高度为h的地方自由落下，落地后的反弹高度为原高度的一半，求该物体在第n次落地后的总位移。
我们可以设物体在第n次落地后的总位移为S_n，在第n-1次落地后的反弹高度为h_n-1。
根据物体自由落体运动的规律，第n-1次落地后的总位移为S_n-1 = 2h_n-1。
第n次落地后的总位移为S_n = S_n-1 + h_n。
根据题目条件，h_n = h_n-1 / 2，代入上述公式可得到S_n = 2h_n-1 + h_n。
将h_1代入，得到h_1 = h，再将h_2代入可得到h_2 = h/2，以此类推，我们可以得到一个递归公式：h_n = h/2^n。
因此，S_n = 2h + h/2 + h/2^2 + ... + h/2^n。
这是一个等比数列，可以利用数列公式求和公式来求得。
2. 弹性问题某商店举办特惠促销活动，原价为P元的商品以每件打八折出售，朋友A购买了X件商品，朋友B购买了Y件商品，两人一共花费了264元，求X和Y的值。
设朋友A购买的商品原价为P元，则朋友A付出的金额为0.8PX元；朋友B购买的商品原价为P元，则朋友B付出的金额为0.8PY元。
根据题目条件，我们得到方程0.8PX + 0.8PY = 264。
进一步化简可得到0.8(PX + PY) = 264，即PX + PY = 330。
根据一元二次方程的定义，我们可以归纳出该问题可以用一元二次方程来解决。
3. 图形的绘制在平面直角坐标系内绘制抛物线y = ax^2 + bx + c，已知该抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，求抛物线的方程以及点A、B、C的坐标。
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一元二次方程及其应用一、选择题1. （2014•海南,第10题3分）某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元．已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（）2．（2014•宁夏，第3题3分）一元二次方程x2﹣2x﹣1=0的解是（）A．x1=x2=1 B．x1=1+，x2=﹣1﹣C．x1=1+，x2=1﹣D．x1=﹣1+，x2=﹣1﹣1=±，，．3．(2014•陕西,第8题3分)若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，则a 的值为（）x_k_b_1A．1或4 B．﹣1或﹣4 C．﹣1或4 D．1或﹣4考点：一元二次方程的解．分析：将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．解答：解：∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣ax+a2=0的一个根，∴4+5a+a2=0，∴（a+1）（a+4）=0，解得a1=﹣1，a2=﹣4，故选B．点评：本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a 的方程即可．4．（2014•湖北黄冈,第6题3分）若α、β是一元二次方程x2+2x﹣6=0的两根，则α2+β2=（）﹣5. （2014•湖北荆门,第5题3分）已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（）A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3考点：解一元二次方程-公式法；估算无理数的大小．分析：先求出方程的解，再求出的范围，最后即可得出答案．解答：解：解方程x2﹣x﹣1=0得：x=，∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根，∴a=，∵2＜＜3，∴3＜1+＜4，∴＜＜2，故选C．点评：本题考查了解一元二次方程，估算无理数的大小的应用，题目是一道比较典型的题目，难度适中．6．（2014•攀枝花，第8题3分）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是（）+=﹣1，利用通分变形+得到，然后利用整体代入的方法分别计+==1，二、填空题1. （2014•湖南永州,第10题3分）方程x2﹣2x=0的解为x1=0，x2=2．2. （2014•随州，第14题3分）某小区2010年屋顶绿化面积为2000平方米，计划2012年屋顶绿化面积要达到2880平方米．如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是 20% ．3、（2014•江西，第10题3分）若是方程的两个实数根，则22a b +=_______。
【答案】 x ＞12。
【考点】 根的判别式，根与系数的关系，完全平方公式，代数式求值．a 2＋b 2=（a ＋b ）2--2ab ＝22-2×(-3)=10.【点评】 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与系数的关系：如果方程的两根为x 1，x 2，则x 1+x 2=－b a ,x 1•x 2=c a.也考查了代数式的变形能力、整体思想的运用． 4．（2014•黑龙江哈尔滨,第15题3分）若x =﹣1是关于x 的一元二次方程x 2+3x +m +1=0的一个解，则m 的值为 1 ．考点： 一元二次方程的解．专题： 计算题．分析： 根据x =﹣1是已知方程的解，将x =﹣1代入方程即可求出m 的值．解答： 解：将x =﹣1代入方程得：1﹣3+m +1=0，解得：m =1．故答案为：1点评： 此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．5. (2014•黑龙江牡丹江, 第18题3分)现有一块长80cm 、宽60cm 的矩形钢片，将它的四个角各剪去一个边长为xcm 的小正方形，做成一个底面积为1500cm 2的无盖的长方体盒子，根据题意列方程，化简可得 x 2﹣70x +825=0 ．考点： 由实际问题抽象出一元二次方程．专题： 几何图形问题．分析： 本题设小正方形边长为xcm ，则长方体盒子底面的长宽均可用含x 的代数式表示，从而这个长方体盒子的底面的长是（80﹣2x ）cm ，宽是（60﹣2x ）cm ，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，方程可列出．解答： 解：由题意得：（80﹣2x ）（60﹣2x ）=1500整理得：x 2﹣70x +825=0，故答案为：x 2﹣70x +825=0．点评： 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．另外，要学会通过图形求出面积．6．（2014•莱芜，第15题4分）若关于x 的方程x 2+（k ﹣2）x +k 2=0的两根互为倒数，则k = ﹣1 ．=﹣进行求解．7. （2014•丽水，第15题4分）如图，某小区规划在一个长30m、宽20m的长方形ABCD 上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草．要使每一块花草的面积都为78m2，那么通道的宽应设计成多少m？设通道的宽为xm，由题意列得方程（30﹣2x）（20﹣x）=6×78．8．（2014•广西来宾，第10题3分）已知一元二次方程的两根分别是2和﹣3，则这个一元二次方程是（）9．(2014年广西钦州，第7题3分)若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣16 D． 16考点：根与系数的关系．分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和即可．解答：解：∵x1，x2一元二次方程x2+10x+16=0两个根，∴x1+x2=﹣10．故选：A．点评：此题考查根与系数的关系，解答此题的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：x1+x2=﹣，x1x2=．三、解答题1. （2014•湖北宜昌,第22题10分）在“文化宜昌•全民阅读”活动中，某中学社团“精一读书社”对全校学生的人数及纸质图书阅读量（单位：本）进行了调查，2012年全校有1000名学生，2013年全校学生人数比2012年增加10%，2014年全校学生人数比2013年增加100人．（1）求2014年全校学生人数；（2）2013年全校学生人均阅读量比2012年多1本，阅读总量比2012年增加1700本（注：阅读总量=人均阅读量×人数）①求2012年全校学生人均阅读量；②2012年读书社人均阅读量是全校学生人均阅读量的2.5倍，如果2012年、2014年这两年读书社人均阅读量都比前一年增长一个相同的百分数a，2014年全校学生人均阅读量比2012年增加的百分数也是a，那么2014年读书社全部80名成员的阅读总量将达到全校学生阅读总量的25%，求a的值．考点：一元二次方程的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）根据题意，先求出2013年全校的学生人数就可以求出2014年的学生人数；（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，根据阅读总量之间的数量关系建立方程就可以得出结论；②由①的结论就可以求出2012年读书社的人均读书量，2014年读书社的人均读书量，全校的人均读书量，由2014年读书社的读书量与全校读书量之间的关系建立方程求出其解即可．解答：解：（1）由题意，得2013年全校学生人数为：1000×（1+10%）=1100人，∴2014年全校学生人数为：1100+100=1200人；（2）①设2012人均阅读量为x本，则2013年的人均阅读量为（x+1）本，由题意，得1100（x+1）=1000x+1700，解得：x=6．答：2012年全校学生人均阅读量为6本；②由题意，得2012年读书社的人均读书量为：2.5×6=15本，2014年读书社人均读书量为15（1+a）2本，2014年全校学生的读书量为6（1+a）本，80×15（1+a）2=1200×6（1+a）×25%2（1+a）2=3（1+a），∴a1=﹣1（舍去），a2=0.5．答：a的值为0.5．点评：本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元二次方程的解法的运用，增长率问题的数量关系的运用，解答时根据阅读总量之间的关系建立方程是关键．2. （2014•湖南衡阳,第24题6分）学校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率．考点：一元二次方程的应用．专题：增长率问题．分析：设这两年的年平均增长率为x，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．解答：解：设这两年的年平均增长率为x，根据题意得：5000（1+x）2=7200，即（1+x）2=1.44，开方得：1+x=1.2或x+1=﹣1.2，解得：x=0.2=20%，或x=﹣2.2（舍去）．答：这两年的年平均增长率为20%．点评：考查了一元二次方程的应用，本题为增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．3. （2014•河北，第21题10分）嘉淇同学用配方法推导一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式时，对于b2﹣4ac＞0的情况，她是这样做的：由于a≠0，方程ax2++bx+c=0变形为：x2+x=﹣，…第一步x2+x+（）2=﹣+（）2，…第二步（x+）2=，…第三步x+=（b2﹣4ac＞0），…第四步x=，…第五步嘉淇的解法从第四步开始出现错误；事实上，当b2﹣4ac＞0时，方程ax2+bx+c=0（a≠O）的求根公式是x=．用配方法解方程：x2﹣2x﹣24=0．=±．=4、（2014•随州，第23题8分）楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆（x≤30，且x为正整数），实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润25万元，那么月需售出多少辆汽车？（注：销售利润=销售价﹣进价）已知某校去年年底的绿化面积为5000平方米，预计到明年年底的绿化面积将会增加到7200平方米，求这两年的年平均增长率。
【考点】一元二次方程、直接开方法解方程【点评】本题考查一元二次方程增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量，同类型的问题还有降低的问题，根据题意去列方程即可.6、（2014•无锡第20题8分）（1）解方程：x2﹣5x﹣6=0；（2）解不等式组：．7．（2014•四川成都,第26题8分）在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB=xm．（1）若花园的面积为192m2，求x的值；（2）若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），求花园面积S的最大值．8．（2014•重庆A,第23题10分）为丰富居民业余生活，某居民区组建筹委会，该筹委会动员居民自愿集资建立一个书刊阅览室．经预算，一共需要筹资30000元，其中一部分用于购买书桌、书架等设施，另一部分用于购买书刊．（1）筹委会计划，购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍，问最多用多少资金购买书桌、书架等设施？（2）经初步统计，有200户居民自愿参与集资，那么平均每户需集资150元．镇政府了解情况后，赠送了一批阅览室设施和书籍，这样，只需参与户共集资20000元．经筹委会进一步宣传，自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，求a的值．考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用分析：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，利用“购买书刊的资金不少于购买书桌、书架等设施资金的3倍”，列出不等式求解即可；（2）根据“自愿参与的户数在200户的基础上增加了a%（其中a＞0）．则每户平均集资的资金在150元的基础上减少了a%，且总集资额为20000元”列出方程求解即可．解答：解：（1）设用于购买书桌、书架等设施的为x元，则购买书籍的有（30000﹣x）元，根据题意得：30000﹣x≥3x，解得：x≤7500．答：最多用7500元购买书桌、书架等设施；（2）根据题意得：200（1+a%）×150（1﹣a%）=20000整理得：a2+10a﹣3000=0，解得：a=50或a=﹣60（舍去），所以a的值是50．点评：本题考查了一元二次方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是从题目中整理出等量关系和不等关系，难度不大．9．（2014•莱芜，第22题10分）某市为打造“绿色城市”，积极投入资金进行河道治污与园林绿化两项工程、已知2013年投资1000万元，预计2015年投资1210万元．若这两年内平均每年投资增长的百分率相同．（1）求平均每年投资增长的百分率；（2）已知河道治污每平方需投入400元，园林绿化每平方米需投入200元，若要求2015年河道治污及园林绿化总面积不少于35000平方米，且河道治污费用不少于园林绿化费用的4倍，那么园林绿化的费用应在什么范围内？园林绿化面积为园林绿化面积为由题意，得10. （2014•山西，第22题9分）某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？考点：一元二次方程的应用；分式方程的应用．分析：（1）利用原工作时间﹣现工作时间=4这一等量关系列出分式方程求解即可；（2）根据矩形的面积和为56平方米列出一元二次方程求解即可．解答：解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：﹣=4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解，答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．点评：本题考查了分式方程及一元二次方程的应用，解分式方程时一定要检验．11．(2014年贵州安顺，第21题10分)天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准（如图所示）：某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？考点：一元二次方程的应用．.分析：首先根据共支付给旅行社旅游费用27000元，确定旅游的人数的范围，然后根据每人的旅游费用×人数=总费用，设该单位这次共有x名员工去黄果树风景区旅游．即可由对话框，超过25人的人数为（x﹣25）人，每人降低20元，共降低了20（x﹣25）元．实际每人收了[1000﹣20（x﹣25）]元，列出方程求解．解答：解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树旅游人数为x人，则人均费用为1000﹣20（x﹣25）元由题意得x[1000﹣20（x﹣25）]=27000xkb1整理得x2﹣75x+1350=0，解得x1=45，x2=30．当x=45时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=600＜700，不符合题意，应舍去．当x=30时，人均旅游费用为1000﹣20（x﹣25）=900＞700，符合题意．答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游．点评：考查了一元二次方程的应用．此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．12．。