26.3.2实际问题与二次函数
26.3_实际问题与二次函数_第1课时
1 0.5( x 2 )2 2
例:某工厂大门是一抛物线形的水泥建筑物,大门底部宽 AB=4m,顶部C离地面的高度为4.4m,现有载满货物的汽车 欲通过大门,货物顶部距地面2.7m,装货宽度为2.4m.这辆汽 车能否顺利通过大门?若能,请你通过计算加以说明;若不能, 请简要说明理由.
(2).写出该专卖店当一次销售x(只)时，所获利润y(元)与x
之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围； （3）若店主一次卖的只数在10至50只之间，问一次卖多少 只获得的利润最大？其最大利润为多少？
【解析】(1)设一次购买x只，才能以最低价购买，则有: 0.1(x-10)=20-16,解这个方程得x=50. 答：一次至少买50只，才能以最低价购买 (2)
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
解三 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中 的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.
此时,抛物线的顶点为(2,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
y a( x 2 )2 2
a 0.5
a 0.5
2 a 2 2
∴这条抛物线所表示的二 次函数为: y 0.5 x 2 当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-3,这时有:
这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽 度增加了( 2 6 4 )m 返回
3 0.5 x 2 x 6
解二 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线 的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2) ∴可设这条抛物线所表示 的二次函数的解析式为:
一般地，因为抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低（高）
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿3
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿3一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》这一节，主要让学生了解二次函数在实际问题中的应用。
教材通过引入实际问题，让学生体会数学与生活的紧密联系，培养学生的数学应用能力。
教材内容由浅入深，循序渐进，让学生在解决实际问题的过程中，掌握二次函数的知识点。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，这就需要我们在教学过程中引导学生，培养他们的转化能力。
同时，学生对实际问题的解决方法还不够熟练，需要在教学过程中加以指导。
三. 说教学目标1.让学生掌握二次函数在实际问题中的应用。
2.培养学生将实际问题转化为二次函数问题的能力。
3.提高学生解决实际问题的能力，增强他们的数学应用意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用，以及如何将实际问题转化为二次函数问题。
2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为二次函数问题，以及解决实际问题的方法。
五. 说教学方法与手段1.采用案例教学法，让学生在分析实际问题的过程中，掌握二次函数的知识点。
2.采用问题驱动法，引导学生主动探索，自主学习。
3.利用多媒体辅助教学，直观展示二次函数的图像和性质，增强学生的理解。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2.新课讲解：分析实际问题，引导学生将问题转化为二次函数问题，讲解二次函数在实际问题中的应用。
3.案例分析：分析几个典型的实际问题，让学生在分析过程中，掌握二次函数的知识点。
4.练习与讨论：布置一些实际问题，让学生分组讨论，寻找解决方法，巩固所学知识。
5.总结与拓展：对本节课的内容进行总结，提出一些拓展问题，激发学生的思考。
七. 说板书设计板书设计要清晰、简洁，能够突出本节课的重点内容。
人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》说课稿
人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》说课稿一. 教材分析人教版数学九年级上册26.3《实际问题与二次函数》这一节的内容，是在学生学习了二次函数的图像和性质的基础上进行授课的。
教材通过引入一些实际问题，让学生运用所学的二次函数知识解决这些问题，从而培养学生的解决问题的能力。
教材内容主要包括实际问题与二次函数模型的建立，二次函数模型在实际问题中的应用，以及如何根据实际问题的特点选择合适的二次函数模型。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数模型，对于如何选择合适的二次函数模型也存在一定的困惑。
因此，在教学过程中，我需要引导学生将实际问题转化为二次函数模型，并教给学生选择合适模型的方法。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够将实际问题转化为二次函数模型，并能够运用二次函数模型解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过解决实际问题，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：培养学生对数学的兴趣，使学生认识到数学在实际生活中的重要作用。
四. 说教学重难点1.教学重点：将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数模型解决实际问题。
2.教学难点：如何根据实际问题的特点选择合适的二次函数模型。
五. 说教学方法与手段在教学过程中，我将采用讲授法、引导发现法、讨论法等多种教学方法。
同时，我会利用多媒体课件、实际问题案例等教学手段，帮助学生更好地理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
六. 说教学过程1.导入：通过引入一些实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生思考如何利用二次函数知识解决这些问题。
2.新课导入：讲解二次函数模型在实际问题中的应用，引导学生学习如何将实际问题转化为二次函数模型。
3.案例分析：分析一些具体的实际问题，引导学生运用二次函数模型解决这些问题。
实际问题与二次函数教案
分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的直角坐标系，再写出函数关系式，然后根据这个关系式进行计算，放样画图。
如图所示，以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系。
这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为： y ＝ax 2(a ＜0) (1) 因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB ＝AB2 ＝2(cm)，又CO ＝0.8m ，所以点B 的坐标为(2，－0.8)。
因为点B 在抛物线上，将它的坐标代人(1)，得 －0.8＝a×22所以a ＝－0.2 因此，所求函数关系式是y ＝－0.2x 2。
请同学们根据这个函数关系式，画出模板的轮廓线。
三、引申拓展 问题1：能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系? 让学生了解建立直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立直角坐标系也是可行的。
问题2，若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂直为y 轴，建立直角坐标系，你能求出其函数关系式吗? 分析：按此方法建立直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0),OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC ＝CB ，AC ＝2m ，O 点坐标为(2；0．8)。
即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)；(2，0．8)三点，求这个二次函数的关系式。
二次函数的一般形式是y ＝ax 2＋bx ＋c ，求这个二次函数的关系式，跟以前学过求一次函数的关系式一样，关键是确定o 、6、c ，已知三点在抛物线上，所以它的坐标必须适合所求的函数关系式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数。
解：设所求的二次函数关系式为y ＝ax 2＋bx ＋c 。
九年级数学下册 26.3 实际问题与二次函数(第3课时)说课稿 新人教版
26.3 实际问题与二次函数尊敬的各位评委、各位老师：大家好！今天，我说课的题目是《实际问题与二次函数》，内容选自人教版九年级数学（下册）第二十六章第三节第3课时。
下面我从数学背景、教学目标、教法学法、教学过程、板书设计、教学评价六个方面来阐述本节课。
一、数学背景（一）教材分析二次函数的应用是在学习了二次函数的概念、图象和性质之后，检验学生应用所学知识解决实际问题能力的一个综合考查。
它既是初中学习一次函数、反比例函数及其应用后的延伸，又为高中乃至以后学习更多的函数打下坚实的理论和思想方法基础，因此，它是初中阶段数与代数的核心。
（二）学情分析学生在前面两节课已经接触到运用二次函数的知识解决函数的最值问题，对二次函数已经有了初步的应用意识。
而且本节课的问题均来自日常生活所见，学生会感到很有兴趣，愿意去探究。
但部分学生对函数的学习还是有一些畏难情绪，如何建立适当的直角坐标系对学生而言比较困难。
（三）教学重点、难点重点：探究建立平面直角坐标系，待定系数法求二次函数解析式，解决实际问题的方法。
难点：如何建立适当的平面直角坐标系。
二、教学目标·知识技能：通过对“抛物线形拱桥”的探究，让学生掌握如何建立适当的直角坐标系，待定系数法求出二次函数的解析式，解决实际问题。
·数学思考：通过对生活中实际问题的探究，体会数学建模的思想，并渗透转化及数形结合的数学思想方法。
·解决问题：通过生活中实际问题的探究，体会数学知识在实际生活中的广泛应用性，进一步认识如何利用二次函数的有关知识解决实际问题。
·情感态度：通过二次函数的有关知识灵活运用于实际生活，让学生亲自体会到学习数学知识的价值，从而提高学生学习数学的兴趣。
三、教法学法·教法：本节课利用多媒体教学平台，从学生感兴趣的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立函数模型。
以问题情境为主线，活动探究为载体，合作交流为形式，培养学生动脑、动手、合作、交流，为学生的终身学习奠定基础。
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿1
人教版数学九年级上册26.3.2《实际问题与二次函数》说课稿1一. 教材分析《人教版数学九年级上册》第26章第3节《实际问题与二次函数》是整个九年级上册数学知识的重点和难点。
这一节的内容是在学生已经掌握了二次函数的图像和性质的基础上进行讲解的，通过实际问题引导学生将所学的二次函数知识应用到实际问题中，培养学生的解决问题的能力。
教材通过丰富的例题和练习题，使学生能够更好地理解和掌握二次函数在实际问题中的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次函数的图像和性质有一定的了解。
但是，将二次函数应用于实际问题中，可能会遇到一些困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高学生解决问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生能够理解和掌握二次函数在实际问题中的应用，能够独立解决一些与二次函数相关的实际问题。
2.过程与方法目标：通过实际问题的引导，培养学生的解决问题的能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学思维能力。
四. 说教学重难点1.教学重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生自主探究和解决问题。
2.教学手段：利用多媒体课件和黑板进行教学，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考二次函数在实际问题中的应用。
2.讲解：讲解二次函数在实际问题中的应用，通过例题使学生理解并掌握解决实际问题的方法。
3.练习：让学生通过练习题，巩固所学的知识，提高解决问题的能力。
4.总结：对本节课的内容进行总结，使学生明确二次函数在实际问题中的应用。
5.布置作业：布置一些与实际问题相关的练习题，让学生独立解决。
七. 说板书设计板书设计要简洁明了，能够突出本节课的重点和难点。
26.3.2 实际问题与二次函数(2)
九年级数学课时教案课题：26.3.2 实际问题与二次函数（2）一、学习目标：通过实际问题与二次函数的关系的探究，掌握利用函数思想解决实际问题的方法。
二、学习过程：（一）、板书课题，揭示目标同学们，今天我们一起来学习26.3.2实际问题与二次函数（2）（板书），请看学习目标（利用小黑板）。
（二）、指导自学为达到目标，请同学们按老师的指导看书自学，请看自学指导：自学指导：认真看课本P24探究 2的内容，看时请注意：1、通过P24“探究2”掌握利用函数关系解决实际问题的方法。
自学过程中如有不懂的地方，可小声请教同桌或举手问老师6分钟后，会做与例题类似的习题。
（三）、学生自学：1、学生看书、思考，教师巡视，督促每个学生紧张自学。
2、检测：（1）P26习题26.3第4题请2名同学上黑板板演，其他同学在下面完成。
3、7分钟后调查学情。
（四）、后教1、请同学们用1分钟的时间观察板演的题，能发现问题，并能更正的同学请举手。
2、学生更正，更正不了的启发其他同学更正。
3、引导学生讨论、归纳，弄懂为什么？教师引导归纳：用配方法求抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点与对称轴y=ax2+bx+c=a(x+b/2a)2+(4ac-b2)/4a，因此，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=- b/2a，顶点坐标是（-b/2a，(4ac-b2)/4a）二次函数的最值是当x=-b/2a时，y=(4ac-b2)/4a （五）、作业：1、必做题：P26页习题26.3 第7题2、选做题：P26页习题26.3 第8题（六）、课后反思：。
26.3实际问题与二次函数
第十三课时、实际问题与二次函数【教学内容】实际问题与二次函数【教学目标】知识与能力：能根据实际问题列出函数关系式，会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
过程与方法：经历体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型，感受数学的应用价值。
情感与态度：培养学生积极参与的态度、乐于探索增强数形结合的思想意识。
语言积累：实际问题、二次函数。
【教学重点】根据实际问题建立二次函数的数学模型，幵确定二次函数自变量的范围，二次函数在最优化问题中的应用。
【教学难点】从现实问题中建立二次函数模型，学生较难理解数形结合的思想与方法。
【教学用具】课件、学具。
【教学过程】一、创设情境，导入新课：1、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。
(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10方法：课件出示题目；学生独立计算，教师巡视；指名回答，教师小结。
y＝6(x＋1)2－6，抛物线开口向上，对称轴x＝－1，顶点坐标(－1，－6)；y＝－4(x－1)2－6，抛物线开口向下，对称轴x＝1，顶点坐标(1，－6)。
2、以上两个函数，哪个函数有最大值，哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?方法：课件出示题目；学生独立计算，教师巡视；指名回答，教师小结。
函数y＝6x2＋12x有最小值，最小值y＝－6，函数y＝－4x2＋8x－10有最大值，最大值y＝－6。
二、合作交流，解读探究：1、某商店现有的售价为每件60元，每星期售出300件。
市场调查反映:如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期要多卖出20件. 已知商品的每件进价为40元，如何定价才能使销售利润最大?方法：课件出示题目；学生分组讨论，教师巡视；指名回答，教师小结。
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况。
设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随乊变化。
先确定y与x的函数关系式。
涨价x元，每星期要少卖出10x件。
实际卖出(300-10x)，销售额为(60+x) (300-10x)元。
实际问题与二次函数教案
§26.3.1实际问题与二次函数（面积问题）教学任务分析教学流程安排教学过程设计例21．一块三角形废料如图所示，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝12。
用这块废料剪出一个长方形CDEF，其中，点D、E、F分别在AC，AB，BC上，要使剪出的长方形CDEF面积最大，点E应选在何处？2．计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道。
如图，现有一张半径为45mm的磁盘（1）磁盘最内的磁道半径为rmm，其上每0.015的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？1小题融入了运动的观点，培养学生用运动的观点看待事物与实际相联系增强学生解决实际问题的能力[活动3] 总结反思检测反馈1．抓住图形的特点进行建模2．注意实际问题的自变量的取值范围检测：用一段长30m的篱笆，围城一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m。
这个矩形的长、宽为多少时，菜园的面积最大，最大面积为多少？通过小结和检测回顾本节内容，反馈课堂学习效果[活动4] 布置作业拓展升华作业：目标P96 1、2、P97 4思考题：1．如图，正方形ABCD的边长为4，E是AB上一点，F是AD的延长线上一点，BE＝DF。
四边形ADGF是矩形，则矩形ADGF的面积随BE的长x的变化而变化，y与x之间的关系可以用怎样的函数关系来表示？2．已知矩形的周长为36cm，矩形绕它的一条边旋转成一个圆柱，矩形的长、宽各为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？3．如图，点E、F、G、H分别位于正方形ABCD的四边上。
四边形EFGH也是正方形。
当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？4．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12，BC＝24，动点P从A开始沿边AB向B以2的速度移动，动点Q从B开始沿边BC以4的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，那么△PBQ的面积随S出发时间如何变化？写出函数关系式及t的取值范围通过作业在一次内化知识，构建知识系统。
26.3(2)实际问题与二次函数
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发， 速度相等 ∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时 D
x C
S PCQ
A 1 1 2 S x(2 x) x x (0 x 2) 2 2
1 1 CQ PB AP PB 2 2
x P 2-x B
+ 4 -4）
C Q x
8-2x
= -（x-2）2 +4
B
所以，当P、Q同时运动2秒后Δ PBQ的面积y最大,
最大面积是 4cm2
例5:如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、Q分别从A、C两点
同时出发，以相等的速度作直线运动，已知点P沿射线AB运动，
点Q沿边BC的延长线运动，PQ与直线相交于点D。 (1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式； Q (2)当AP的长为何值时，S = S
（2） S五边形APQCD S矩形ABCD SPBQ
1 解：（ 1 ）S PBQ (6 t ) 2t 8 解得：t1 2, t2 4. 2 72 (0 t 6)
1 S 6 12 2t (6 t ) 2
b 30 当l 15时， 2a 2 (1)
S最大值 152 30 15 225.
答：当l 15m时, 场地的面积最大（S最大值 225m ).
2
练习：已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直 角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大， 最大值是多少？
∴ 花圃宽为（24－4x）米
∴ S＝x（24－4x） ＝－4x2＋24 x （0<x<6）
A
D
x
x
人教版26.3实际问题与二次函数第1课时
问题：用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场地的面积S最大？ 分析：先写出S与l的函数关系式，再求出使S最大的l的值. 矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 m，场地的面积: S=l(30-l) 即S=-l2+30l 请同学们画出此函数的图象
你能回答了吧！ 由(1)(2)的讨论及现在的销售情况,你知道应该如何定价 能使利润最大了吗?
解决这类题目的一般步骤
（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的 实际意义，确定自变量的取值范围； （2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通 过配方求出二次函数的最大值或最小值.
1．（2010·包头中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两 段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则
10 20 x 13 x 7 x (0＜x≤50） 1 y [(20 13) 0.1( x 10)] x 2 8 x(10＜x＜50) 10 16 x 13 x =3 x ( x≥50)
y 1 2 x 8x 10
（说明：因三段图象首尾相连，所以端点10、50包括在哪个区间均可）
分析: 调整价格包括涨价和降价两种情况 先来看涨价的情况：⑴设每件涨价x元，则每星期售出商品 的利润y也随之变化，我们先来确定y与x的函数关系式.涨 价x元,则每星期少卖 10x 件，实际卖出 (300-10x) 件, 每件利润为 (60+x-40) 元，因此，所得利润
怎样确定x 的取值范 围
为 （60+x-40）(300-10x) 元.
y=(60+x-40)(300-10x) 即y=-10（x-5）2+6250 ∴当x=5时，y最大值=6250 (0≤x≤30)
二次函数实际问题(面积)
26.3.2实际问题——面积问题学习目标：1、能够从实际问题中抽象出二次函数，并运用二次函数的知识解决实际问题；2、结合实际问题研究二次函数，让学生重点：会根据不同的条件，利用二次函数解决生活中的实际问题难点：在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题学习过程：一、探究：计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，如图，现有一张半径为45mm的磁盘．（1）磁盘最内磁道的半径为r mm，其上每0.015mm的弧长为1个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？（2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？（3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同．最内磁道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？二、面积问题：例：小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？跟踪练习：1、用一段长为30m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长为18m，这个矩形的长，宽各为多少时？菜园的面积最大，面积是多少？2、给你一根长8m的铝合金条，试问： (1)你能用它制成一矩形窗框吗? (2)怎样设计，窗框的透光面积最大? (3)如何验证?说明：解此类问题，一般先应用几何图形的面积公式，写出图形的面积与边长之间的关系，再求这个函数关系式的顶点坐标，即得最大值．三、课堂巩固：1、某农场要盖一排三间长方形的羊圈，打算一面利用长为16m 的旧墙，其余各面用木材围成栅栏，计划用木材围成总长为24m 的栅栏，设每间羊圈与墙垂直的一边长x( m)，三间羊围的总面积为S(m2)，则S 与x 的函数关系式是________________，x 的取值范围是________________，当x=________________时，面积S 最大，最大面积为________________．2、如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD ，其中AB 和AD 分别在两直角边上．（1）设矩形的一边AB ＝x m 那么AD 边的程度如何表示？（2）设矩形的面积为y m2，当x 取何值时，y 的值最大？最大值是多少？四、检测1、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．（1）求y与x之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？2、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？。
实际问题与二次函数2
一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离 地面高 20米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球
9
出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮 球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。
• 问此球能否投中？
4米
3米
20
9
4米
8米
y
（4，4）
20 9
a 1 9
y 1 x 42 4 (0≤x≤8)
0 a ( 2 )2 2
a 0.5
∴这条抛物线所表示的二 次函数为:
y 0.5( x 2 )2 2
当水面下降1m时,水面的 纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5( x 2 )2 2
x1 2 6 , x2 2 6
∴这时水面的宽度为:
x2 x1 2 6m
∴当水面下降1m时,水面宽度 增加了 ( 2 6 4 )m
26.3 实际问题与二次函数(2)
探究3如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥
顶离水面2m,水面宽4m.若水面下降1m,水面宽度增
加多少? 问:(1)对于此题你能联想 到用我们学过的什么数学 知识来解决?
(2)从题目本身的哪些 条件,你能联想到用二 次函数解决这一问题?
(3)求水面宽度增加
多少,就是求解什么
解：如图，以AB所在的直线为x轴， 以AB的垂直平分线为y轴，建立平面 直角坐标系.
∵AB=4 ∴A(-2,0) B(2,0)
∵OC=4.4 ∴C(0,4.4) 设抛物线所表示的二次函数为
y ax2 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0 a 1.1
数学问题?
(4)要求线段CD的长,
2
Al
C
4
实际问题与二次函数教案
教学过程设计(2)研究自变量的取值范围;(3)研究所得的函数；(4)检验x的取值是否在自变量的取值范围内，并求相关的值;(5)解决提出的实际问题.以上这两道题与我们以前所学的一次函数、反比例函数为背景建立数学模型是一样的，而我们借助的是二次函数为背景建立数学模型来分析实际问题和解决问题的类型．三、课堂训练补充练习：1.如图(1)所示，要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50m长的篱笆围成中间有一道篱笆的养鸡场，没靠墙的篱笆长度为xm.(1)要使鸡场的面积最大，鸡场的应为多学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正.使学生巩固提高，了解学生掌握情况题的一般步骤.2.学完本节课你有什么疑惑?五、作业设计复习巩固作业和综合运用为全体学生必做；拓广探索为成绩中上等学生必做；学有余力的学生，要求模仿编拟课堂上出现的一些补充题目进行重复练习.补充作业： 1.已知平行四边形ABCD的周长为8cm，∠B＝30°，若边长AB＝x(cm).(1)写出□ABCD的面积y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围.(2)当x取什么值时,y的值最大?并求最大值.(3)求二次函数的函数关系式.2.某超市购进一批20元/千克的绿色食品，如果以30•元/千克销售，那么每天可售出400千克．由销售经验知，每天销售量y（千克）•与销售单价x（元）（x≥30）存在如图所示的一次函数关系式．教学过程设计y xCDABOB,落地点为C ,求四边形运用二次函数解决实际问题的一般步骤：审题；建立数学模型；求抛物线解析式；解决实际问题；数形结合思想的运用3、7、8、10题9，等腰梯形ABCD 的边轴上，点A 在y 轴的正方向上，D ( 4，6），且AB ＝210. 的坐标； 、D 三点的抛物线的解析式； ）中所求的抛物线上是否存在一点P ，板书设计有效处理学生的不当行为当学生在课堂上故意做出某些出格的行为时,他往往心里清楚教师将会对此做出什么反应。
实际问题与二次函数的公式
实际问题与二次函数的公式在咱们学习数学的这个大“乐园”里，有一个非常重要的“小伙伴”，那就是二次函数。
而二次函数在解决实际问题的时候，那可真是一把“利器”！先来说说啥是二次函数。
简单点讲，形如 y = ax² + bx + c （a ≠ 0）的函数就是二次函数。
这里的 a、b、c 都是常数，a 决定了函数图像的开口方向和大小。
比如说，咱在卖东西的时候。
有一次我去逛集市，看到一个卖水果的摊主。
他卖的是苹果，进价每个 2 块钱，他想定个价格，既要保证能赚钱，又不能太贵把客人吓跑。
这时候二次函数就派上用场啦。
假设他定的价格是 x 元每个，每天能卖出的数量是 y 个。
经过观察和分析，发现销量 y 和价格 x 之间有这样的关系：y = 100 - 10x。
那他每天的利润 z 就等于单个利润乘以销量，也就是 z = (x - 2)(100 - 10x)。
这就是一个二次函数！对这个函数进行整理，z = -10x² + 120x - 200。
接下来就是通过求这个二次函数的顶点，来找到利润最大时的价格。
再比如投篮问题。
咱打篮球投篮的时候，篮球在空中的轨迹其实就可以用二次函数来模拟。
假设篮球出手时的高度是 h 米，水平速度是 v 米/秒，垂直速度是 u 米/秒。
经过时间 t 秒后，篮球的高度 y 就可以用二次函数 y = h + ut - 5t²来表示。
通过这个公式，咱就能算出在啥时候篮球能达到最高点，或者判断能不能投进篮筐。
还有建桥的问题。
假如要在一条河上建一座拱桥，为了让船能顺利通过，拱桥得有一定的高度和跨度。
这时候就可以用二次函数来设计拱桥的形状。
比如说拱桥的形状可以用 y = ax² + bx + c 来表示，通过给定桥的跨度和最大高度等条件，就能确定 a、b、c 的值，从而设计出合适的拱桥。
在实际生活中，二次函数的应用真的是无处不在。
就像咱们找最优方案，比如怎样用有限的材料围出最大面积的场地；或者算喷泉能喷多高、多远；甚至是算火箭的飞行轨迹，都能用到二次函数。
数学下册第26章二次函数26.3实践与探索第1课时二次函数与实际问题教案(新版)华东师大版
26．3 实践与探索 第1课时 二次函数与实际问题【知识与技能】会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义． 【过程与方法】通过对实际问题的分析，使学生掌握如何利用二次函数解决实际问题． 【情感态度】在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值．【教学重点】会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． 【教学难点】在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求生活中的实际问题．一、情境导入，初步认识在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义．本节课，请同学们共同研究，尝试解决以下几个问题．【教学说明】 使学生明白二次函数的重要性． 二、思考探究，获取新知 问题1：(P 26，问题1)让学生讨论、交流，如何将文学语言转化为数学语言，得出问题(1)就是求函数y ＝－x 2＋2x ＋45最大值，问题(2)就是求图中B 点的横坐标；【教学说明】 学生解答，教师巡视指导；让一两位同学板书，教师讲评． 问题2：(P 27.问题2) 解：以AB 的垂直平分线为y 轴，以过点O 的y 轴的垂线为x 轴，建立直角坐标系．这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y 轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y ＝a x 2，(a ＜0)，(1)，因为AB 与y 轴相交于C 点，所以CB ＝AB 2mm 2，所以：a ＝－154，因此，函数关系式是y ＝－154x 2m ，设FD ＝x 1m (x 1＞0)，则点D 坐标为(x 1，－1.5)．因为点D 的坐标在抛物线上，将它的坐标代人(2)，得－1.5＝－154x 12，x 12＝25，x 1＝±105，x 1＝－105不符合假设，舍去，所以x 1＝105.ED ＝2FD ＝2×x 1＝2×105＝2510≈25×3.162≈1.26(m )，所以涵洞ED 是2510m ，会超过1m .三、运用新知，深化理解1．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB 的宽为20米，如果水位上升3米，则水面CD 的宽是10米．(1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式； (2)当水位在正常水位时，有一艘宽为6米的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6米的长方体货物(货物与货船同宽)．问：此船能否顺利通过这座拱桥？解：(1)设抛物线解析式为y ＝a x 2设点B(10，n)，点D(5，n ＋3)，由题意：⎩⎪⎨⎪⎧n ＝100a n ＋3＝25a，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－4a ＝－125，∴y ＝－125x 2.(2)方法一：当x ＝3时，y ＝－125×9，∵－925－(－4)＞3.6，∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．方法二：当y ＝3.6－4＝－25时，－25＝－125x 2，∴x ＝±10，∵||±10＞3∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．2．某公司生产的某种产品，它的成本是2元，售价是3元，年销售量为100万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (十万元)时，产品的年销售量将是原销售量的倍，且是的二次函数，它们的关系如下表：x (十万元)0 1 2 … y1…(1)求y 与x (2)如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S(十万元)与广告费x (十万元)的函数关系式；(3)如果投入的年广告费为10～30万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？解：(1)设二次函数关系式为y ＝a x 2＋b x ＋c.由表中数据，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1a ＋b ＋c ＝1.54a ＋2b ＋c ＝1.8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－110b ＝35c ＝1，所以所求二次函数关系式为y ＝－110x 2＋35x ＋1(2)根据题意，得S ＝10y ×(3－2)－x ＝－x 2＋5x ＋10.(3)S ＝－x 2＋5x ＋10＝－(x －52)2＋654.由于1≤x ≤3，所以当1≤x ≤2.5时，S 随x 的增大而增大．【教学说明】 通过练习的过程，前后呼应，巩固已学知识，并让学生体会二次函数是解决实际问题的一类重要数学模型．四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获感想，再以小组为单位派代表进行总结．教师作以补充．1．布置作业：教材P 28“练习”2．完成同步练习册中本课时的练习．在本课教学中，应关注学生能否将实际问题表示为函数模型；是否能运用二次函数知识解决实际问题并对结果进行合理解释；课堂中学生是否在教师引导下进行了独立思考和积极讨论．并注意整个教学过程中给予学生适当的评价和鼓励．。
26.3.2二次函数应用举例
将第一段抛物线向下平移2个单位，
再向右平移h个单位得到第二段抛物线。
设第二段抛物线的解析式为：
1 2 y ( x 6) h 4 2 12
此图象过点C（4 3+6, 0），代入求出h, 从而 求出CD, 再求出BD
2
2.某商场购进一批单价为16元的日用品，销售 一段时间后，为了获得更多的利润，商店决定 提高销售价格，经试验发现，若按每件24元的 价格销售时，每月能卖240件，若按每件30元 的价格销售时，每月能卖60件。若每月销售件 数y（件）与价格x（元/件）满足y=kx+b，
O
D
B
C
3.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做 一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等 腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的 侧面AB应该是多长？
A D
B
C
4.如图３，规格为60 cm×60 cm的正方形地砖在运输过程中受
损，断去一角，量得AF=30cm，CE＝45 cm。现准备从五边形 地砖ABCEF上截出一个面积为S的矩形地砖PMBN。 （1）设BN=x，BM=y，请用含x的代数式表示y，并写出x的取 值范围； （2）请用含x的代数式表示S，并在给定的直角坐标系内画出该 函数的示意图； （3）利用函数图象回2答：当x取何值时，S有最大值？最大值 是多少？
1 简析：易求抛物线解析式为y ( x 6) 2 +4 12 令y 0，解方程得x 4 3 6 13 （负值舍去） 即OC 13米
1 简析：CD的长即EF的长，求出E、F的横坐标即可 已求第一次落地前抛物线解析式为y ( x 6) 2 +4 已求C 4 3+6），即BC 4 13 ( x 6) 2 +4，令y （ 对于第一段抛物线y 12
26.3.2实际问题与二次函数2
在上面的练习题中，若水池喷出抛物线形状不变， 水池的半径为3.5米，要使水流不落到池外，此时 水流最大高度应达多少米？（精确到0.1米） 解：依题意，A(0，1.25), C(3.5, 0) 设 y = - (x - h)2 + k，则有 y 2 - (0 - h) + k = 1.25 - (3.5 - h) 2+ K = 0 A 11 ，k ≈ 3.7. 解得 h = — 7 所以，此时水流最大高度 应达3.7米. 水 面 O
有信心的人,可以化渺小 为伟大,化平庸为神奇.
实际问题与二次函数(2)
1.已知二次函数y= ax2＋bx+c的图象如图 所示，且OA=OC，由抛物线的特征请尽量多 地写出一些含有a、b、c三个字母的等式或 y 不等式：
o -1 A
C -1
1B
x
2.在平面直角坐标系中，有一个二次函数的 图象交 x 轴于（-4，0），（2，0）两点，现 将此二次函数图象向右移动 h 个单位，再向 上移动 k 个单位，发现新的二次函数图象与x 轴相交于（-1，0），（3，0）两点，则h的 值为（ C ）
6
y
（4，4） （5，4）
4
20 0, 2 9
(７，３） （8，3）
●
0
1
2
3
4
5 5
6
7
8
9
10
X
-2
如图所示，公园要建造圆形喷水池，在水池中央 垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中， OA＝1.25米，由柱子顶端A处的喷头向外喷水， 水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下， 为使水流形状较为美观， y 要求设计成水流在离OA B 距离为1米处达到距水面 A 最大高度为2.25米, 如果 不计其他因素, 那么水池 的半径至少要多少米， C 才能使喷出的水流不致 水 面 O x 落到池外？
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为y轴，建立平面直角坐标系. ∴可设这条抛物线所表示的二次函数的解析式为: 当拱桥离水面2m时,水面宽4m 即抛物线过点(2,-2)
a 0.5
y = ax
2
2 a 2
2
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
y 0.5 x
∴可设二次函数的解析式为: y ax 2 2
当拱桥离水面2m时,水面宽4m
2 0 a 2 2 a 0.5
即:抛物线过点(2,0)
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
y 0.5 x
2
2
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5 x 2
26.3.2实际问题与二次函数
l
地调学校数学教研组
预习与反馈
新课精讲
探究2：计算机把数据存储在磁盘上，磁盘是带有磁性物 质的圆盘，磁盘上有一些同心圆轨道，叫做磁道，现有一张半 径为45mm的磁盘， （1）磁盘最内磁道的半径为rmm，其上每0.015mm的弧长为 一个存储单元，这条磁道有多少个存储单元？ （2）磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于0.3mm，磁盘的 外圆周不是磁道，这张磁盘最多有多少条磁道？ （3）如果各磁道的存储单元数目与最内磁道相同，最内磁 道的半径r是多少时，磁盘的存储量最大？
2
x 6
这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了
( 2 6 4 )m
解法三:如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以 其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(2,2)
∴可设二次函数的解析式为: y a( x 2 )2 2
y ax 4.4
∵抛物线过A(-2,0)
4a 4.4 0
a 1.1
∴抛物线所表示的二次函数为
y 1.1 x 4.4
2
当x 1.2时，y 1.1 1.2 4.4 2.816 2.7
2
∴汽车能顺利经过大门.
5.（南充·中考）某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消
分析（1）最内磁道的周长为2πr ㎜,它上面的存储单元的 个数不超过
2r 0.015 .
（2）由于磁盘上磁道之间的宽度必须不小于0.3㎜，磁盘的 外圆周不是磁道，各磁道分布在磁盘上内径为rmm外径为45mm 的圆环区域，所以这张磁盘最多有
45 r 0.3 1 149 10 3 r
∴这时水面的宽度为: x 2 x1 2 6 m ∴当水面下降1m时,水面宽度增加了( 2
6 4 )m
“二次函数应用”的思路
回顾上一节“最大利润”和本节“桥梁建筑”解决问题的过 程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流. 1.理解问题; 2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系 3.用数学的方式表示出它们之间的关系; 4.求解; 5.检验结果的合理性
2
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-3,这时有:
3 0.5 x
2
x 6
这时水面宽度为 6 m 2
∴当水面下降1m时,水面宽度增加了 ( 2
6 4 )m
解法二: 如图所示,以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以 抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系. 此时,抛物线的顶点为(0,2)
l
l
y
（2，2）
我们来比较一下
y o
（0，0）
x
o
（0，0）
y
（4，0） x
（-2，-2） （2，-2） （-2，2） y
（0，2）
谁最 合适
（-2，0） （2，0） o x
o （-4，0） x （0，0）
y 设抛物线的解析式为 （2、2）
Y=a（x-2）²+2
或y=a（x-0）（x-4） ∴y=-0.5x²+2x o （0、0） 设抛物线的解析式为 Y=a（x-0）²+2 或y=a（x+2）（x-2） y （0、2） x （4、0）
当电价x=600元/千度时，该工厂消耗每千度电产生利润y= （元/千度） （2）设工厂每天消耗电产生利润为w元，由题意得：
600+300=180
W=my=m(-
1 5
x+300)=m [-
1
(10m+500)+300]
5 化简配方，得：w=-2(m-50)2+5000
由题意，m≤60,
∴当m=50时，w最大=5000
300 200 y(元/千度)
x(元/千度) O 500
【解析】（1）工厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数解 析式为：y=kx+b.该函数图象过点（0，300），（500，200） ∴ 500k+b=200 解得
k=- 1 b=300
1 5
5
b=300
∴y=1 5
x+300(x≥0)
为止．设CD的长为x，△ABC与正方形DEFG重合部分（图中阴影部 分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（ A ）
2.如图所示,阳光中学教学楼前喷水池 喷出的抛物线形水柱，其解析式 为 y = -x + 4x + 2 ，则水柱的最大高度 是（ C ）
2
Ａ.２
Ｂ.４
Ｃ.６
2
Ｄ.２+
6
3.已知二次函数 y ax bx c(a 0) 的
实际问题
抽象
转化
数学问题
运
数学知识 用
问题的解决
反馈练习
《课堂内外》第24页
小结测试
《课堂内外》第25页
作业布置
1．（江津·中考）如图，等腰Rt△ABC（∠ACB＝90º）的直 角边与正方形DEFG的边长均为2，且AC与DE在同一直线上，开始时
点C与点D重合，让△ABC沿这条直线向右平移，直到点A与点E重合
耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系，经过测算，工 厂每千度电产生利润y(元/千度)与电价x(元/千度)的函数图
象如图：
（1）当电价为600元千度时，工厂消耗每千度电产生利润是 多少？ （2）为了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(元 /千度)与每天用电量m(千度)的函数关系为x=10m+500，且该 工厂每天用电量不超过60千度， 为了获得最大利润，工厂每天应 安排使用多少度电？工厂每天 消耗电产生利润最大是多少元？
2
根据上面这个函数式，你能得出当r为何值时磁盘的存储量 最大吗？
y 2 0 .0 0 4 5 r
2
9 0 r 0 .0 0 4 5
9 0
当
r
b 2a
0 .0 0 4 5 2 2 .5 4 0 .0 0 4 5
mm
探究3：图中是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2m，水 面宽4m，水面下降1m时，水面宽度增加了多少？
顶部距地面2.7m,装货宽度为
2.4m.这辆汽车能否顺利通过大 门?若能,请你通过计算加以说明; 若不能,请简要说明理由.
解析：如图，以AB所在的直线为x轴，以AB
的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系. ∵AB=4 ∴A(-2,0) ∵OC=4.4
2
B(2,0) ∴C(0,4.4)
设抛物线所表示的二次函数为
∵抛物线过点(0,0)
0 a ( 2 ) 2 a 0.5
2
∴这条抛物线所表示的二次函数为:
y 0.5( x 2 ) 2
2
当水面下降1m时,水面的纵坐标为y=-1,这时有:
1 0.5( x 2 ) 2
2
x1 2 6 , x 2 2 6
条磁道.
(3)当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面 存储量=每条磁道的存储单元数×磁道数. 设磁盘每面存储量为y,则
y 2 r 0.015 ( 45 r 0.3 1) 2 0.0045 (44.7r r )
2
(0<r<45)
y
2 0 . 0045
45 r r 0 r 45
即当工厂每天消耗50千度电时，工厂每天消耗电产生利润最大为5000元.
实际问题 解题步骤：
抽象
转化
数学问题
运用
数学知识
问题的解决
1.分析题意，把实际问题转化为数学问题，画出图形. 2.根据已知条件建立适当的平面直角坐标系. 3.选用适当的解析式求解.
4.根据二次函数的解析式解决具体的实际问题.
一个人的品格不应由他的特殊行动来衡量， 而应由他的日常行为来衡量. ——佚名
图象如图所示，有下列５个结论：①
abc>0; ②b<a+c;③4a+2b+c>0;④2c<3b; ⑤ a+b>m(am+b)(m为不等于1的实数).
其中正确的结论有（ B ） A.2个 B.3个 C.4个
D.5个
4.某工厂大门是一抛物线形的水 泥建筑物,大门底部宽AB=4m,顶 部C离地面的高度为4.4m,现有载 满货物的汽车欲通过大门,货物
∴y=-0.5x²+2
x （-2、0）
o
（2、0）
还是都来做一做 设抛物线的解析式为
Y （0、0）
o
X
Y=ax²
∴y=-0.5x² （2、-2） （-2、-2） Y （-2、2）
好像是选它 最好！ 设抛物线的解析式为 Y=a（x+2）²+2 或y=a（x+4）（x-0）
∴y=-0.5x²-2x
（-4、0）