数学：27.2.1相似三角形的判定(1)(人教新课标九年级下)
27.2.1相似三角形的判定(1)
27.2.1 相似三角形的判定（1）一、温故互查1.什么叫做相似多边形？2.相似多边形的性质和判定各是什么？3.成比例线段：对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比与另两条线段的比 ，即：ab= （或:a b = ），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．或者说四条线段a ，b ，c ，d 成比例.二、情境导入 问题：判定两个三角形全等时，除了可以验证它们三组对应角，三组对应边分别相等外，还可以使用简便的判定方法（_____，_____，_____，_____）．类似地，判定两个三角形相似时，是不是也存在简便的判定方法呢？为了证明相似三角形的判定定理，我们先来学习平行线分线段成比例的基本事实.三、自主探究1．在相似多边形中，最简单的就是相似三角形．在△ABC 与△A′B′C′中，如果∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 且k A C CA C B BC B A AB =''=''=''．我们就说△ABC 与△A′B′C′相似，记作△ABC ∽△A′B′C′，k 就是它们的相似比．反之如果△ABC ∽△A′B′C′，则有∠A=_____, ∠B=_____, ∠C=____, 且A C CA C B BC B A AB ''=''=''．☆ 问题：如果k =1，这两个三角形☆ 当△ABC 与△A′B′C′的相似比为k 时，△A′B′C′与△ABC 的相似比为 ．2. 探究1： 如图,任意画两条直线l 1 , l 2,,再画三条与l 1 , l 2 相交的平行线l 3 , l 4, l 5..分别量度l 3 , l 4, l 5.在l 1 上截得的两条线段AB, BC 和在l 2 上截得的两条线段DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?任意平移l 5 , 再量度AB, BC, DE, EF 的长度, AB ︰BC 与DE ︰EF 相等吗?AB ︰AC=DE ︰（ ），BC ︰AC=（ ）︰DF ．归纳总结：平行线分线段成比例基本事实 两条直线被___ ______所截，所得的________线段成比例.（平行线分线段成比例基本事实中相比线段同线）3.探究2：如果把所画的两条相交直线的交点A 刚好落到“横线”上，如图⑴，⑵所示，所得的对应线段成比例吗？依据是什么？把平行线分线段成比例的基本事实应用到三角形中，那么我们可以得到结论： _______于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的_____线段__ ____ .四、尝试解题如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，求CEBC的值.五、巩固训练1.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AC=4 ，AB=3，EC=1，求AD 和BD.2．如图，DE ∥BC ，（1）如果AD=2，DB=3，求AE :AC 的值；（2）如果AD=8，DB=12，AC=15，求AE 和EC 的长．六、归纳小结七、当堂检测1. 如图，1l ∥2l ∥3l 若AB=3cm ，BC=5cm ，EK=4cm ，则EK KF= _____ =_____，FK=__________.AB AC=____=____,2.如图，△ABC ∽△ADE ，其中∠ADE=∠B ，找出对应角并写出对应边的比例式．3.如图，△ABC 中，DE ∥BC ，分别交BA ，CA 的延长线于点E ，点D ，AB ＝5，AD ＝2，AE ＝3，求AC.4.已知：梯形ABCD 中，AD ∥BC ，EF ∥BC ，AE=FC ，364EB =，153DF =，求AE 的长.。
人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例优秀教学案例
一、案例背景
本节内容为人教版九年级数学下册第27章第2节第1课时，主要学习相似三角形的判定——平行线分线段成比例定理。该定理是初中学段几何知识的重要组成部分，对于培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力具有重要意义。
在课程开始之前，学生已经掌握了相似三角形的概念、性质以及判定方法。在此基础上，通过引入平行线分线段成比例定理，使学生能够更深入地理解相似三角形的本质，提高解题技能。
2.问题提出：在此过程中，我会提出问题：“如果给你一个建筑设计图，你如何判断窗户的布局是否合理？”从而引出本节课的主题——相似三角形的判定。
3.情景创设：利用多媒体手段，展示两个相似的三角形，让学生直观地感受相似三角形的特征，为学习平行线分线段成比例定理做好铺垫。
（二）讲授新知
1.平行线分线段成比例定理：我会用生动的语言和形象的比喻，讲解平行线分线段成比例定理的含义，让学生理解并掌握定理。
本节课的内容与实际生活密切相关，便于学生感知数学与生活的紧密联系。同时，通过探讨平行线分线段成比例定理的证明过程，激发学生的探究欲望，培养其创新精神及合作意识。
在教学过程中，我将以生动形象的语言、贴近实际的生活实例，引导学生掌握平行线分线段成比例定理，并能够运用该定理解决实际问题。从而使学生在轻松愉快的氛围中，提高数学素养，感受数学之美。
2.讨论过程：在讨论过程中，我会引导学生关注相似三角形的性质和判定方法，鼓励学生提出自己的观点，培养其批判性思维。
3.成果分享：每个小组选派一名代表，向全班同学分享讨论成果，让大家在交流中共同进步。
（四）总比例定理在判断相似三角形中的重要性，使学生巩固所学知识。
5.教学策略的运用：运用情景创设、问题导向、小组合作等多种教学策略，使学生在轻松愉快的氛围中学习，提高其数学素养。
新人教版初中数学九年级下册精品教案27.2.1 第1课时 平行线分线段成比例
27.2.1 相似三角形的判定第1课时 平行线分线段成比例1．了解相似比的定义；(重点)2．掌握平行线分线段成比例定理的基本事实以及利用平行线法判定三角形相似；(重点)3．应用平行线分线段成比例定理及平行线法判定三角形相似来解决问题．(难点)一、情境导入如图，在△ABC 中，D 为边AB 上任一点，作DE ∥BC ，交边AC 于E ，用刻度尺和量角器量一量，判断△ADE 与△ABC 是否相似．二、合作探究探究点一：相似三角形的有关概念如图所示，已知△OAC ∽△OBD ，且OA ＝4，AC ＝2，OB ＝2，∠C ＝∠D ，求：(1)△OAC 和△OBD 的相似比；(2)BD 的长．解析：(1)由△OAC ∽△OBD 及∠C ＝∠D ，可找到两个三角形的对应边，即可求出相似比；(2)根据相似三角形对应边成比例，可求出BD 的长．解：(1)∵△OAC ∽△OBD ，∠C ＝∠D ，∴线段OA 与线段OB 是对应边，则△OAC 与△OBD 的相似比为OA OB ＝42＝21； (2)∵△OAC ∽△OBD ，∴AC BD ＝OA OB ，∴BD ＝AC ·OB OA ＝2×24＝1. 方法总结：相似三角形的定义既是相似三角形的性质，也是相似三角形的判定方法．探究点二：平行线分线段成比例定理【类型一】 平行线分线段成比例的基本事实如图，直线l 1、l 2、l 3分别交直线l 4于点A 、B 、C ，交直线l 5于点D 、E 、F ，直线l 4、l 5交于点O ，且l 1∥l 2∥l 3，已知EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24.(1)求CB AB的值； (2)求AB 的长．解析：(1)根据l 1∥l 2∥l 3推出CB AB ＝EF DE ；(2)根据l 1∥l 2∥l 3，推出EF DF ＝BC AC ＝58，代入AC ＝24求出BC 即可求出AB . 解：(1)∵l 1∥l 2∥l 3，∴CB AB ＝EF DE .又∵DF ∶DF ＝5∶8，∴EF ∶DE ＝5∶3，∴CB AB ＝53； (2)∵l 1∥l 2∥l 3，EF ∶DF ＝5∶8，AC ＝24，∴EF DF ＝BC AC ＝58，∴BC ＝15，∴AB ＝AC －BC ＝24－15＝9.方法总结：运用平行线分线段成比例定理时，一定要注意正确书写对应线段的位置．【类型二】 平行线分线段成比例的基本事实的推论如图所示，已知△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝2，BD ＝5，AC ＝5，求AE 的长．解析：根据DE ∥BC 得到AD AB ＝AE AC，然后根据比例的性质可计算出AE 的长． 解：∵DE ∥BC ，∴AD AB ＝AE AC ，即22＋5＝AE 5，∴AE ＝107. 方法总结：解题的关键是深入观察图形，准确找出图形中的对应线段，正确列出比例式．探究点三：相似三角形的引理【类型一】 利用相似三角形的引理判定三角形相似如图，在▱ABCD 中，E 为AB 延长线上的一点，AB ＝3BE ，DE 与BC 相交于点F ，请找出图中所有的相似三角形，并求出相应的相似比．解析：由平行四边形的性质可得：BC ∥AD ，AB ∥CD ，进而可得△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，再进一步求解即可．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD ，AB ∥CD ，∴△EFB ∽△EDA ，△EFB ∽△DFC ，∴△DFC ∽△EDA ，∵AB ＝3BE ，∴相似比分别为1∶4，1∶3，3∶4.方法总结：求相似比不仅要找准对应边，还需要注意两个三角形的先后顺序．【类型二】 利用相似三角形的引理求线段的长如图，已知AB ∥EF ∥CD ，AD 与BC 相交于点O .(1)如果CE ＝3，EB ＝9，DF ＝2，求AD 的长；(2)如果BO ∶OE ∶EC ＝2∶4∶3，AB ＝3，求CD 的长．解析：(1)根据平行线分线段成比例可求得AF ＝6，则AD ＝AF ＋FD ＝8；(2)根据平行线AB ∥CD 分线段成比例知BO ∶OE ＝AB ∶EF ，结合已知条件求得EF ＝6；同理由EF ∥CD推知EF 与CD 之间的数量关系，从而求得CD ＝10.5.解：(1)∵CE ＝3，EB ＝9，∴BC ＝CE ＋EB ＝12.∵AB ∥EF ，∴FO AF ＝EO EB ，则FO EO ＝AF EB.又∵EF ∥CD ，∴FO FD ＝EO EC ，则FO EO ＝FD EC ，∴AF EB ＝FD EC ，即AF 9＝23，∴AF ＝6，∴AD ＝AF ＋FD ＝6＋2＝8，即AD 的长是8；(2)∵AB ∥CD ，∴BO ∶OE ＝AB ∶EF .又∵BO ∶OE ＝2∶4，AB ＝3，∴EF ＝6.∵EF ∥CD ，∴OE OC ＝EF CD .又∵OE ∶EC ＝4∶3，∴OE OC ＝47，∴EF CD ＝47，∴CD ＝74EF ＝10.5，即CD 的长是10.5.方法总结：运用平行线分线段成比例的基本事实的推论一定要找准对应线段，以防解答错误．三、板书设计1．相似三角形的定义及有关概念；2．平行线分线段成比例定理及推论；3．相似三角形的引理．本节课宜采用探究式教学，教师在教学中是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同研究者．鼓励学生大胆探索，引导学生关注过程，及时肯定学生的表现，鼓励创新．上课时教师只在关键处点拨，在不足时补充．教师与学生平等地交流，创设民主、和谐的学习氛围.。
初中人教版数学九年级下册27.2.1核心素养【教学设计】《相似三角形的判定》
《27.2.1相似三角形的判定（1）》教学模式介绍：数学的核心素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。
这些数学学科素养既相对独立，又互相交融，是一个有机的整体。
核心素养下的教学设计是利用设计好的核心问题在课堂中培养学生的数学核心素质，重视学生在学习活动中的主体地位，让学生在积极参与学习活动的过程中得到发展。
教师创设情境设计问题，或通过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。
课堂教学中，要注重让学生理解和掌握数学的基础知识和基本技能，让学生感悟数学思想，积累数学活动经验，在学习数学和应用数学的过程中，发展数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析等数学学科核心素养，让学生能与他人建立良好关系，有效地管理自己的学习、生活，能够发掘自身潜力，战胜学习数学中的困难，让学生能够适应未来社会、进行终身学习，实现全面发展。
设计思路说明：“相似三角形的判定”是在学习了相似图形之后，有了相似图形、相似多边形的基础，学生不难理解相似三角形的基本性质及相似比的有关规定。
教学中结合相似多边形也不难知道相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
在用符号“∽”表示两个三角形相似时，应注意把表示对应顶点的字母写在对应位置，以便相对容易找出对应角和对应边。
全等是相似的特殊情形（相似比为1），这一点有必要让学生明白。
判断两个三角形相似的三个定理之间有内在的关联。
于是我们用测量的方法来直接归纳出结论，为了达到比较好的效果，我们设计了几道题目进行巩固。
随后利用平行线分线段成比例定理引出其推论，进而得到三角形相似的预备定理。
我们把重点放在证明预备定理上，因为其方法是非常重要的。
最后，再总结结论，拓展练习，以巩固知识的掌握程度。
教材分析本节课内容属于《全日制义务教育数学课程标准2011版》中的“图形与几何”，相似图形是现实生活中广泛存在的现象，探索并证明相似三角形的判定定理。
人教版九年级数学下册第二十七章27
五、作业布置
为了巩固学生对相似三角形判定与性质的理解和应用，特布置以下作业：
1.请同学们完成课本第27.2.1节后的习题1、2、3，注意运用相似三角形的判定方法解决问题，并在解题过程中标注关键步骤和所用定理。
2.设计一道实际生活中的问题，要求运用相似三角形的性质进行解答。例如：测量建筑物的高度、求解三角形中未知线段的长度等。请同学们将问题及解答过程记录下来，下节课与同学们分享。
二、学情分析
九年级学生已经具备了一定的几何基础，掌握了三角形的基本概念和性质，能够运用这些知识解决一些简单问题。在此基础上，学生对相似三角形的认识处于初步阶段，对于相似三角形的判定方法和性质需要进一步引导和深化。在教学过程中，教师要关注以下几点：
1.学生对相似三角形概念的理解程度，部分学生可能对其含义理解不透，需要通过具体实例和直观演示来加深理解。
4.通过实际例题的讲解和练习，培养学生将理论知识应用于实际问题的能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学科的兴趣和热情，激发学生学习数学的积极性。
2.培养学生勇于探索、善于思考的精神，增强学生面对困难时的自信心。
3.培养学生养成良好的学习习惯，如预习、复习、总结等，提高学生的学习效率。
4.培养学生认识到数学在生活中的重要作用，增强学生的应用意识，使学生能够运用所学知识为社会服务。
4.小组合作，拓展延伸：将学生分成小组，讨论以下问题：相似三角形在生活中的应用、相似三角形与其他几何知识的联系等。通过合作交流，培养学生的团队协作能力和拓展思维。
5.课堂小结，总结提升：对本节课所学知识进行总结，让学生明确相似三角形的判定方法和性质，以及如何运用这些知识解决实际问题。
人教版九年级下册27.2.1相似三角形的判定(一)三边成比例的两个三角形相似课件
∠BAD=20°,求∠CAE的度数.
AD DE AE
解：∵ AB BC AC ,
AD DE AE
∴△ABC∽△ADE(三边成比例的两个三角形相似).
∴∠BAC=∠DAE.
∴∠BAC - ∠DAC =∠DAE-∠DAC.
即 ∠BAD=∠CAE.
B
∵∠BAD=20°，
∴∠CAE=20°. D
A
C E
相似三角形的判定（一）
三边成比例的两个三角形相似
学习目标
1.复习已经学过的三角形相似的判定定理； 2.掌握利用三边来判定两个三角形相似的方法.（重点、难点）
导入新课
回顾与思考
A
问题 如图，DE∥BC，△ADE∽△ABC？
D
E
B
C
类似于判定三角形全等的SSS方法，我们能不能通过三边
来判定两个三角形相似呢？
讲授新课
三边成比例的两个三角形相似
合作探究 问题：在下面两个三角形中，若 A' B' B' C' A' C' ，
AB BC AC
△ABC∽△A′B′C′？. A
A′
B′
C′
B
C
通过画图不难发现∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'.
所以△ABC∽△A′B′C′.
试利用前面的定理证明该结论.
证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′,
又∵AD=A′B′,∴AD:AB=A′B′:AB.
∴∠BAC=∠DAE.
(2)AB=4， ∴ △PAC ∽ △PDB
所以△ABC∽△A′B′C′. 证明：设____________= k . DE＝20， EF＝16， DF＝8.
最新人教版九年级数学下册第二十七章27.2.1《相似三角形的判定》说课稿
《相似三角形的判定》说课稿各位评委老师：大家好！我今天说课的内容是《相似三角形的判定》，下面我将从说教材、说学生、说教学方法、说教学过程、板书设计五个大板块来给大家阐述我的教学思路和教学设计。
一、说教材首先进入我的第一个大板块“说教材”。
我把说教材这个板块分为三个小环节来进行，它们分别是教材分析、教学目标、教学重难点。
1、教材分析本节课《相似三角形的判定》是选自新人教版九年级下册第二十七章第二节第二课时的内容。
是在学习了第一节相似多边形的概念、第一课时平行线分线段成比例的定理及推论后，研究相似三角形的定义以及三角形一边的平行线的判定定理。
本节课是判定三角形相似的起始课，是本章的重点之一。
一方面，该定理是前面知识的延伸和全等三角形性质的拓展；另一方面，不仅可以直接用来证明有关三角形相似的问题，而且还是证明其他三种判定定理的主要根据，所以把它叫做相似三角形判定定理的“预备定理”。
因此，这节课在本章中有着举足轻重的地位。
2、教学目标根据教学大纲的要求和贯彻全面发展的教育方针，我制定了如下的教学目标：（1）知识与技能：理解相似三角形的定义，掌握相似三角形判定定理的“预备定理”。
（2）过程与方法：让学生经历观察---探索----猜想----验证----运用----巩固的过程，渗透类比的思想方法，培养学生探究新知识、提高分析问题和解决问题的能力。
（3）情感态度和价值观：通过实物演示和电化教学手段，把抽象问题直观化，激发学生学习的求知欲，通过主动探究、合作交流，在学习活动中体验获得成功的喜悦。
3、教学重难点为了达到以上的教学目标，我制定了以下的教学重难点：教学重点：相似三角形的定义，判定两个三角形相似的预备定理。
教学难点：探究两个三角形相似的预备定理的过程。
二、说学生说完了教材，我想跟大家分析一下我所授课的学生所具有的特点，也就是学情分析。
老师们，我们都知道九年级的学生接受能力相比七八年级强，想得到老师的鼓励。
27.2.1相似三角形的判定定理(教案)
本章节的核心素养目标旨在培养学生以下能力：
1.掌握相似三角形判定定理，提高空间想象和几何直观能力，使学生能够运用几何知识分析并解决实际问题。
2.培养学生逻辑推理和数学论证能力，通过相似三角形的判定过程，学会运用严密的逻辑思维进行推理和证明。
3.增强学生合作交流意识，通过小组讨论和问题探究，提高团队合作能力和解决问题的能力。
我还注意到，在小组讨论环节，学生们对于相似三角形在实际生活中的应用提出了很多有趣的想法。这让我意识到，将数学知识与学生们的日常生活联系起来，可以极大地提高他们的学习兴趣和积极性。在未来的教学中，我会继续寻找更多实际案例，让数学变得更加生动和有趣。
此外，实践活动中的实验操作部分，学生们表现出很高的热情。他们通过亲手操作，直观地感受到了相似三角形的原理。这也让我认识到，动手操作对于抽象几何概念的理解是非常有帮助的。因此，我计划在后续的教学中，增加更多这样的实践活动。
-对于实际问题的解决，引导学生从问题中发现相似三角形的特征，如角度关系、边长关系等，并运用判定定理进行解答。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《相似三角形的判定定理》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过形状相似但大小不同的物体？”（如照片的放大缩小、不同尺寸的三角形装饰等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索相似三角形的奥秘。
在学生小组讨论的过程中，我发现有些学生不太愿意主动参与讨论，可能是因为他们对自己的观点缺乏信心。为了鼓励这些学生，我会在接下来的课程中，更多地采用肯定和鼓励的语言，让他们感受到自己的观点是有价值的，从而增强他们的自信心。
人教版数学九年级下册27.2.1相似三角形的判定
AF = 4 cm，求菱形的边长.
解：∵ 四边形 ABCD 为菱形，
∴CD∥AB， ∴ CD DF .
AE AF 设菱形的边长为 x cm，则CD
A
B
D
E
CF
= AD = x cm，DF = (4－x ）cm，
∴ x 4 x ， 解得 x 20
54
9
∴菱形的边长为 20 9
cm.
其成平 推比行 论例线
的平行线DE，交AC于点E.
问题1 △ADE与△ABC的三个角分别相等吗？
问题2 分别度量△ADE与△ABC的边长，它们的边
长是否对应成比例？
A
D
E
B
C
探究新知
问题3 你认为△ADE与△ABC之间有什么关系？平行移动DE 的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
A
且只要DE∥BC，这个结论恒成立.
B C D平.行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所得的对应线段成比例.
问一题般1地△，A我DE们与有△平AB行C线的分三线个段角成分比别例相的等基吗本？事实： 如图何， 理已解知“对菱应形线A段B”C？D 内接于△AEF，AE=5cm， AF
=
4
cml3，求菱形的边长.
B
C l3
如图,l1∥l2∥l3，
3
3
A F C
如图所示，如果D，E，F分别在OA，OB，OC上，且
DF∥AC，EF∥BC．
求证：OD∶OA＝OE∶OB
证明： ∵ DF∥AC，
OD OA
OF . OC
∵ EF∥BC，
OF OE ， OC OB
OD OE . OA OB
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角形的判定(第1课时)
27.2 相似三角形
27.2.1相似三角形的判定 （第1课时）
最新人教版九年级数学下 册27.2.1相似三角形的判定 (第1课时)
教学目标
• 理解相似三角形的判定方法．
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角 形的判定(第1课时)
教学重难点
• 会应用相似三角形的两个判定方法。 • 怎样选择合格的判定方法来判定两个 三角形相似。 • 抓住判定方法的条件，通过已知条件 的分析，把握图形的结构特点。
C/ C
A
B
A/
B/
注意
在写两个三角形相似时应把 表示对应顶点的字母写在对应 的位置上。
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角 形的判定(第1课时)
用符号语言表示：
C
A
B
C'
∵ ∠A= ∠A' 、∠B= ∠B' 、 ∠C=C'
AB BC CA A'B' B'C' C'A'
∴ △ABC∽△A'B'C'
A
l3
D
E l3
D
E l4
A
l4
B
（图1） C l5
B
（图2）
C l5
结论：平行于三角形一边的直线截其他两
边（或两边的延长线），所得对应线段成
比例.
最新人教版九年级数学下册27.2.1相似三角 形的判定(第1课时)
三条平行线截两条直线,所得的对应线段的比相等.
定理的符号语言 L1 L2
L3//L4//L5
应边成比例。
A'
B'
人教版初中数学九年级下册《27.2.1相似三角形的判定：平行线分线段成比例》
5. 如图，已知菱形 ABCD 内接于△AEF，AE=5cm， AF = 4 cm，求菱形的边长. 解：∵ 四边形 ABCD 为菱形， ∴CD∥AB， ∴ △CDF ∽ △EAF CD DF . ∴ AE AF 设菱形的边长为 x cm，则CD E = AD = x cm，DF = (4－x) cm， A B C
A1 B1 B2 a b
A2 A3
m
B3 c n
图①
A1
B1
a
A2
A3 m
B2
b
B3 c n
A1 A2 B1B2 ， (1) 计算 ，你有什么发现？ A2 A3 B2 B3
归纳： 一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实： 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 几何语言： 若a∥b∥ c ，
A1 A2 B1B2 A2 A3 B2 B3 则 ， ， A2 A3 B2 B3 A1 A2 B1B2 A2 A3 B2 B3 A1 A2 B1B2 ， … A1 A3 B1B3 A1 A3 B1B3
A1 A2 A3
B1 B2
a b B3 c
练一练 如图，已知l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 (D)
3. 若 △ABC 的三条边长的比为3：5：6， 与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为12 cm， 24 cm 那么 A′B′C′ 的最大边长是______.
当堂检测
当堂练习
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为1:2，若 BC=1， 则 EF 的长为 ( B)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 D A B C E
第二十七章 相似
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
九年级数学人教版下册27.2.1相似三角形的判定
由平行线得“A”型或“X”型相似
1、过平行四边形ABCD的一个顶点A作一 直线分别交对角线BD、边BC、边DC的延
长线于点E、F、G。求证：EA2=EF•EG
A
D
E
B
FC
G
2、如图，AC ∥EF ∥ BD （1）求证： AE BE 1
AD BC
（2）求证： 1 1 1
AC BD EF
（3）若AC=3，EF=2，求BD的值.
B1
C1
如果 ∠A =∠A1， ∠B =∠B1， ∠C =∠C1，
AB BC AC k A1B1 B1C1 A1C1
∽ 则△ABC 与△A1B1C1 相似，记作△ABC △A1B1C1。
探究：如图，l3∥ l4 ∥ l5 ，那么 有怎样的关系？
AB与 BC
DE EF
l1
A
l2请同学们自己A作B图•测D量E并计算
巩固应用
1.如图，AB∥CD∥EF,则下列结论不正确的是（C） 求证：EA2=EF•EG
（3）若AC=3，EF=2，求BD的值.
请同学们自己作图•测量并计算 ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C
A. 有怎样的关系？
AC BD 探究：如图，l3∥ l4 ∥ l5 ，那么 与 CE DF （3）若AC=3，EF=2，求BD的值.
D
l3
BC EF
B
E
l4
CHale Waihona Puke F l5归纳：一组平行线截两条直线，所得对应线段 成比例
平行线分线段成比例定理：
事实上，当 l3 // l4 // l5 时，都可以得到
AB BC
DE , EF
上 下
=
上 下
BC AB
人教版数学九年级下册27.2.1《相似三角形的判定》教案
c.三角形两边对应成比例且夹角相等的情况，要求学生掌握这一判定方法的运用。
-举例：给出具体三角形，指导学生如何通过已知条件，运用两边对应成比例且夹角相等的方法判断三角形相似。
2.教学难点
本节课的难点内容主要包括以下方面，教师应采取有效的教学方法帮助学生突破难点：
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“相似三角形在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解相似三角形的判定基本概念。相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。判定相似三角形的方法有对应角相等、对应边成比例等，它们在几何学中具有重要地位，并在实际应用中广泛使用。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过案例分析，展示相似三角形的判定在实际中的应用，以及如何帮助我们解决问题。
-难点突破：通过分析复杂图形中的三角形，引导学生发现并应用两边对应成比例且夹角相等的方法，培养学生逻辑推理和数学抽象能力。
d.解决实际问题时的数学建模和数据分析。
-难点突破：设计实际应用题，让学生学会将相似三角形的判定方法应用于解决实际问题，提高数学建模和数据分析能力。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
三、教学难点与重点
1.教学重点
本节课的核心内容是相似三角形的判定方法，教师应针对性地进行讲解和强调以下方面：
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“A”型
A
D B
（图1）
“X”型
D O E
E C
B （图2） C
请写出它们的对应边的比例式
已知：如图，AB∥EF ∥CD， 3 对相似三角形。 图中共有____ AB∥EF AB∥CD EF∥CD △AOB∽ △FOE
A O E F
B
△AOB ∽△DOC
△EOF∽△COD
C
D
如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB， DE、ＧＦ交于点Ｏ，则图中与△ABC相 似的三角形共有多少个?请你写出来. 解： 与△ABC相似的三角形有3个:
D
E F
C
１、两个全等三角形一定相似吗？为什么？
相似比是多少？ ２、两个直角三角形一定相似吗？为什么？ 两个等腰直角三角形呢？
３、两个等腰三角形一定相似吗？为什么？ 两个等边三角形呢？
300
450
它们是相似三角形吗？为什么？
A
5
B 47°
A′
3
C 10 82° 6
82° 66
51° B′
12 C′
如果△ ABC∽ △ADE,那么你能找出哪些ADE,∠C = ∠AED.
AB AD
=
AC AE
=
BC DE
B
A E C
D
DE ∥ BC
如图,DE//BC,且D是边AB的中点,DE交AC于E, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A
∴DE=BF
AD AE AB AC
A E
C
D B
AE DE AC BC
AD AE DE AB AC BC
F ∴△ADE∽△ABC
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交, 所构成的三角形与原三角形相似
平行于三角形一边的直线与其它两边(或延长线)相交, 相似 所得的三角形与原三角形________.
0
A
在△ADE中, ∠ADE=1800-400-450=950. △ADE∽△ABC （2）
D
B
AE DE ,即
50 DE . AC BC 50 30 70 50 70 所以, DE 43.75( cm ). 50 30
如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC， （1）请找出图中所有的相似三角形； △ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
成比例 的两个 相等 对应边—————— 1. 对应角_______, 三角形, 叫做相似三角形 对应角相等 成比例 。 2. 相似三角形的——————— , 各对应边—————— 如果△ ABC∽ △DEF, 那么 ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
B A
AB AC BC DE DF EF
A
D
F
E
C
结论:三角形的中位线截得的三角形与原三角形相似
2. 如图,DE//BC, △ADE与△ABC有什么关系?说明理由. 相似
证明:在△ADE与△ABC中 ∠A= ∠A ∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C 过E作EF//AB交BC于F
∵DBFE是平行四边形
AE BF 则 AC BC
A G D O B E C
△AＤＥ
△ＧＦＣ △ＧＯＥ
F
如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm, ∠BAC=450,∠ACB=400. (1)求∠AED和∠ADE的大小;(2)求DE的长. E
C
解: (1) DE ∥ BC
△ADE∽△ABC ∠AED=∠C=40 .
（1）相似我们用符号“∽”来表示， 读作“相似于”，对应边的比叫做相似 比。
(2)记两个三角形相似时，表示对应顶点的字 母写在对应的位置上。 （3）相似比带有顺序性，如： AB BC CA △ABC∽△A’B’C’，则 A =k, 反过 ' B' B' C ' C ' A' 来， △A’B’C’ ∽△ABC的相似比为 1 k
∵ DE//BC ∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C AD AE 1 过E作EF//AB交BC于F AB AC 2 可证DBFE是平行四边形 △ADE≌△EFC B DE 1 ∴DE=BF,DE=FC BC 2 AD AE DE 1 ∴△ADE∽△ABC AB AC BC 2
1： 4 。 （2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____
A E F D
G H I C
B
相似三角形的定义 相似比的性质 相似三角形判定的预备定理
不经历风雨，怎么见彩虹
没有人能随随便便成功!