2012年高考第一轮复习数学：5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

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2012年广东省南民私立中学高三数学第一轮复习线段的定比分点与平移

线段的定比分点与平移高三备课组一、基础知识1、线段的定比分点（1）定义设P 1,P 2是直线L 上的两点，点P 是L 上不同于P 1,P 2的任意一点，则存在一个实数λ，使21pp p p λ=，λ叫做点P 分有向线段21P P 所成的比。

当点P 在线段21P P 上时，0>λ；当点P 在线段21P P 或21P P 的延长线上时，λ<0 （2）定比分点的坐标形式⎪⎩⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ,其中P 1(x 1,y 1), P 2(x 2,y 2), P (x,y) （3）中点坐标公式当λ=1时，分点P 为线段21P P 的中点，即有⎪⎩⎪⎨⎧+=+=222121y y y x x x 2、平移（1）图形平移的定义设F 是坐标平面内的一个图形，将图上的所有点按照同一方向移动同样长度，得到图形F ’，我们把这一过程叫做图形的平移。

（2）平移公式设P(x,y)是图形F 上任意一点，它在平移后图形上的对应点P ’(x ’,y ’’)，且'PP 的坐标为(h,k)，则有⎩⎨⎧+=+=ky y h x x ''，这个公式叫做点的平移公式，它反映了图形中的每一点在平移后的新坐标与原坐标间的关系。

二、题型剖析[定比分点坐标公式]例1.已知点)2,5(),4,1(B A --，线段AB 上的三等分点依次为1P 、2P ，求1P 、2P ，点的坐标以及A 、B 分21P P 所成的比λ。

解：设),(111y x P 、),(222y x P ，则B P AP 1121=P AP 222=∴135221152111=+-=+⨯+-=x232821122141-=+-=+⨯+-=y ，即)2,1(1-P339215212==+⨯+-=x ，0212242=+⨯+-=y ，即)0,3(2P由211AP P λ=，得：111311λλ+⨯+=-，∴211-=λ；由221BP P λ=，得：221315λλ+⨯+=，∴22-=λ；思维点拨:定比是根据PB AP λ=求得的,必须搞清起点、分点、终点。

高三数学一轮第五章第四节线段的定比分点和平移课件理

再向上平移
9 4
个单位所得图象与函数y＝
x2－x－2的图象的两个交点关于原点对
称．
∴所求解析式为y－94＝－x＋122，即y＝－x2－x＋2.
本题的解题关键是确定平移向量a＝(h， k)，题中巧用根与系数的关系，起到了简化运算的作用．交点问题要注意联立方程，是否要求交点坐标，应视具体“题情”而定．在处理平移问题时，待定系数法是常用的有效方法之一，与换元法、特殊值法一样都是求平移向量的基本方法．
【思路点拨】 (1)利用向量的夹角公式求解；
(2)先把c·d化简整理成Asin(ωx＋φ)＋B的形式，再利用角x的范围求最大值； (3)先化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)，再设m的坐标，按平移公式理顺关系求解．
【规范解答】 (1)∵x＝π4，
∴a＝( 26， 22)，b＝(0， 22)，1分则a·b＝( 26， 22)·(0， 22)＝21，
→ AB
的比为
1 3
，E在BC上且使△BDE的面积是△ABC
的面积的一半，求点E的坐标．
【解析】依题意A→D＝31D→B，∴|A→D|＝31
|D→B|，|A→B|＝43|D→B|，
∵S△BDE＝
1 2
|
→ DB
||
→ BE
|sin
B，S△ABC＝
1 2
|
→ AB
→ ||BC|
sin
B，
S△BDE＝12S△ABC，
设(x，y)为图象C上任一点，(x′，y′) 为图象C′上相应的点，则x′＝x＋1π2，
y′＝y－1，
∴x＝x′－1π2， y＝y′＋1.
将它们代入到y＝2sin 2x＋56π ＋3中，得到

高三数学一轮复习课件——线段的定比分点和平移

是_________
函数图象和曲线的平移
练习：把函数y 2 x 2的图像按向量a=(2, -2)平移，则平移后函数解析式是_________。
课堂例题讲解
例1、已知 P 1P 2 4cm, 根据条件写出点P分有向线段P 1P 2所成的比 1) P在P 1P 2上，且 P 1 P 1cm, 则 ______ 2) P在P P2 P 1cm, 则 ______ 1P 2的延长线上， 3) P在P2 P PP 1的延长线上， 1 1cm, 则 ______
x1 x2 x 2 中点 y y1 y2 2
x1 x2 x3 x 3 重心 y y1 y2 y3向量a (h, k )平移到点P '( x ', y ')
x ' x h y ' y k 如：将A(3, 4)按a (1, 2)平移得到的对应点为___
课堂例题讲解
练习：已知点A(1, 6)和B(3, 0)同在直线AB上求一 1 点P, 使 AP AB 3
课堂例题讲解
例3、函数y 2 x 4 x 5的图像按向量a平移得 2 到y 2 x 的图像，又a b, c (1, 1), b c 4，求 b坐标。
线段的定比分点
3 练习：若点P分 AB所成的比为 , 则A分 BP的比为__ 4
练习：已知ABC的顶点A(2,3)和重心G(2, 1), 则 BC边上的中点坐标为________
函数图象和曲线的平移
函数y f ( x)的图象按a (h, k )平移后的函数解析式是 _________ 曲线f ( x, y) 0按a (h, k )平移后的曲线方程

高考数学一轮复习 5.3 线段的定比分点和平移课件

考点2 平移公式及应用
利用平移公式可研究点的平移或者曲线的平移．
例2 点(2，－3)按向量a平移后为点(1，－2)，则(－7，2)
按向量a平移后点的坐标为( )
A．(－6,1)
B．(－8,3)
C．(－6,3)
D．(－8,1)
【思路分析】由(2，－3)平移(1，－2)得向量a，按向量a平
移再得到(－7,2)的平移点
(2)定比 λ 与分点之间的一一对应关系如下表：
λ P点位置 P点名称
λ<－1 在P1P2的延
长线上
外分点
λ＝－1 不存在
－1<λ<0 在P2P1的延长线上
外分点
λ＝0 与P1重合
始点
λ
0<λ<1
λ＝1
λ>1
P点位置在P1与中点之间 P为中点在中点与P2之间
P点名称
内分点
(3)定比分点坐标公式：
§5.3 线段的定比分点和平移
本节目录
教
考
考
知
材
点
向
能
回
探
瞭
演顾究ຫໍສະໝຸດ 望练夯讲
把
轻
实
练
脉
松
双
互
高
闯
基
动
考
关
教材回顾夯实双基
• 基础梳理
1．线段的定比分点
(于1)定P1、比分P2点的：任设意P一1、点P，2 是则直存线在一l 上个的实两数点λ，，点使_PP_→是1_P_＝_l_上λ_P_→不P__2同， λ 叫做 P 分有向线段P→1P2所成的比，点 P 叫做定比分点．
y1＝－41＋＋1212×2＝－83＋2＝－2，即 P1(1，－2)．

高考数学总复习 5.3线段的定比分点与平移课件人教版

→ → λ PP P2 的任意一点，则存在一个实数 λ，使P1P＝ 2 ，λ 叫做
→ 点 P 分有向线段P1P2所成的比．
→ → P1P＝λPP2中，要注意字母的顺序，分别是起点—分点， → 分点—终点，这一顺序是不能颠倒的，P 分P1P2的比与 P 分 → P2P1的比是两个不同的比，要注意区别． → 点 P 在线段 P1P2 上且异于 P1、 P2 两点时，点 P 是P1P2的内分点，这时定比 λ＞0；当 P 在线段 P1P2 的延长线或反向 → → → 延长线上时，点 P 是P1P2的外分点，P1P与PP2方向相反，这时定比 λ＜0.
.
答案：(－3，－5)或(2，－7)
x2 2 5．设 F1，F2 分别为椭圆 3 ＋y ＝1 的左、右焦点，点 A， → → B 在椭圆上．若F1A＝5F2B，则点 A 的坐标是______． → → 解析：设 A(m，n)，由 F1 A ＝5F2B m＋6 2 n 得 B( 5 ，5)． 2 m 2 3 ＋n ＝1，又 A，B 均在椭圆上，所以有 m＋6 2 5 n 2 ＋ 5 ＝1， 3
(2)三角形重心坐标公式：在△ABC 中， A(x1， y1)， B(x2， y2)，C(x3，y3)，若重心为 G(x，y)，
则
二、平移 1．平移设F为坐标平面内的一个图形，将F上所有点按同一个方向移动同样的长度，得到图形 F′ ，这个过程叫图形的平移．将一个图形平移后，图形的形状大小不变，只是在坐标平面内的位置发生变化．
第三讲
线段的定比分点与平移
考点线段的定比分点分比、定比分点坐标公式、中点坐标公式平移公式，图形按向量平移
考纲要求掌握平面中线段的定比分点和中点坐标公式

2012届高考数学知识要点复习9

单元知识总结一、不等式的性质1．两个实数a 与b 之间的大小关系(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)ab 1a b (5)ab =1a =b (6)ab 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+2．不等式的性质(1)a b b a()＞＜对称性⇔(2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒(4)(乘法单调性)a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ (7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ (8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒ (9)a b 00c d bd ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c(10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ (11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒1b3．绝对值不等式的性质(1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．⎧⎨⎩(2)如果a ＞0，那么|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔ |x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔(3)|a ²b|＝|a|²|b|．(4)|a b | (b 0)＝≠．||||a b(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．二、不等式的证明 1．不等式证明的依据(1)a b ab 0a b ab 0a b 0a b a b 0a b a b =0a =b实数的性质：、同号＞；、异号＜－＞＞；－＜＜；－⇔⇔⇔⇔⇔(2)不等式的性质(略)(3)重要不等式：①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R) ②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号)③≥、，当且仅当时取“”号a b+∈+2ab(a b R a =b =)2．不等式的证明方法(1)比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．(2)综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．(3)分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法等．三、解不等式1．解不等式问题的分类 (1)解一元一次不等式． (2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式． ①解一元高次不等式； ②解分式不等式； ③解无理不等式； ④解指数不等式； ⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式； ⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点： (1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性． (3)注意代数式中未知数的取值范围． 3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0 f(x)0 g(x)0 f(x)0g(x)0²＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0²＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪单元知识总结一、坐标法1．点和坐标建立了平面直角坐标系后，坐标平面上的点和一对有序实数(x ，y)建立了一一对应的关系．2．两点间的距离公式设两点的坐标为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则两点间的距离|P P |=12()()x x y y 212212-+-特殊位置的两点间的距离，可用坐标差的绝对值表示： (1)当x 1=x 2时(两点在y 轴上或两点连线平行于y 轴)，则 |P 1P 2|=|y 2－y 1|(2)当y 1=y 2时(两点在x 轴上或两点连线平行于x 轴)，则 |P 1P 2|=|x 2－x 1|3．线段的定比分点(1)P P P P P PP P P PP P P P =P P P P 12121212112定义：设点把有向线段分成和两部分，那么有向线段和的数量的比，就是点分所成的比，通常用λ表示，即λ，点叫做分线段为定比λ的定比分点．PPP 2当点内分时，λ＞；当点外分时，λ＜．P P P 0P P P 01212(2)公式：分P 1(x 1，y 2)和P 2(x 2，y 2)连线所成的比为λ的分点坐标是x x x y y y =++=++⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪-1212111λλλλλ≠()特殊情况，当是的中点时，λ，得线段的中点坐标P P P =1P P 1212公式x x x y y y =+=+⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪121222二、直线1．直线的倾斜角和斜率(1)当直线和x 轴相交时，把x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角，叫做这条直线的倾斜角．当直线和x 轴平行线重合时，规定直线的倾斜角为0．所以直线的倾斜角α∈[0，π)．(2)倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，直线的斜率常用表示，即αα≠π．k k =tan ()2∴当k ≥0时，α=arctank ．(锐角)当k ＜0时，α=π－arctank ．(钝角)(3)斜率公式：经过两点P 1(x 1，y 1)、P 2(x 2，y 2)的直线的斜率为k =y (x x )212--y x x 121≠2．直线的方程(1)点斜式已知直线过点(x 0，y 0)，斜率为k ，则其方程为：y －y 0=k(x －x 0) (2)斜截式已知直线在y 轴上的截距为b ，斜率为k ，则其方程为：y=kx ＋b (3)两点式已知直线过两点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)，则其方程为：y y y y x x x ----121121=x (x x )12≠(4)截距式已知直线在x ，y 轴上截距分别为a 、b ，则其方程为：x a y b +=1(5)参数式已知直线过点P(x 0，y 0)，它的一个方向向量是(a ，b)，则其参数式方程为为参数，特别地，当方向向量为x x at y y bt =+=+⎧⎨⎩00(t )v(cos α，sin α)(α为倾斜角)时，则其参数式方程为x x t y y t =+=+⎧⎨⎩00cos sin αα为参数(t )这时，的几何意义是，→→t tv =p p |t|=|p p|=|p p|000(6)一般式 Ax ＋By ＋C=0 (A 、B 不同时为0)． (7)特殊的直线方程①垂直于x 轴且截距为a 的直线方程是x=a ，y 轴的方程是x=0． ②垂直于y 轴且截距为b 的直线方程是y=b ，x 轴的方程是y=0． 3．两条直线的位置关系(1)平行：当直线l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1≠b 2．当和是一般式方程时，≠l l 12A A B B C C 121212=(2)重合：当l 1和l 2有斜截式方程时，k 1=k 2且b 1=b 2，当l 1和l 2是一般方程时，A A B B C C 121212==(3)相交：当l 1，l 2是斜截式方程时，k 1≠k2当，是一般式方程时，≠l l 12A A B B 2212①斜交交点：的解到角：到的角θ≠夹角公式：和夹角θ≠A x B y C A x B y C k k k k k k k k k k k k 11122222112121221121200110110++=++=⎧⎨⎩=-++=-++⎧⎨⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪l l l l 1tan ()tan ||()②垂直当和有叙截式方程时，－当和是一般式方程时，＋l l l l 1212121212k k =1A AB B =0⎧⎨⎩4．点P(x 0，y 0)与直线l ：Ax ＋By ＋C=0的位置关系：Ax By C =0P ()Ax By C 0P 0000＋＋在直线上点的坐标满足直线方程＋＋≠在直线外．⇔⇔l l点，到直线的距离为：P(x y )d =|Ax +By +C|0000l A B 22+5．两条平行直线l 1∶Ax ＋By ＋C 1=0，l 2∶Ax ＋By ＋C 2=0间的距离为：．d =|C C |12-+A B226．直线系方程具有某一共同属性的一类直线的集合称为直线系，它的方程的特点是除含坐标变量x ，y 以外，还含有特定的系数(也称参变量)．确定一条直线需要两个独立的条件，在求直线方程的过程中往往先根据一个条件写出所求直线所在的直线系方程，然后再根据另一个条件来确定其中的参变量．(1)共点直线系方程：经过两直线l 1∶A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，l 2∶A 2x ＋B 2y ＋C 2=0的交点的直线系方程为：A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)=0，其中λ是待定的系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都得不到A 2x ＋B 2y ＋C 2=0，因此它不表示l 2．当λ=0时，即得A 1x ＋B 1y ＋C 1=0，此时表示l 1．(2)平行直线系方程：直线y=kx ＋b 中当斜率k 一定而b 变动时，表示平行直线系方程．与直线Ax ＋By ＋C=0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋λ=0(λ≠C)，λ是参变量．(3)垂直直线系方程：与直线Ax ＋By ＋C=0(A ≠0，B ≠0)垂直的直线系方程是：Bx －Ay ＋λ=0．如果在求直线方程的问题中，有一个已知条件，另一个条件待定时，可选用直线系方程来求解．7．简单的线性规划(1)二元一次不等式Ax ＋By ＋C ＞0(或＜0)表示直线Ax ＋By ＋C=0某一侧所有点组成的平面区域．二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，即各个不等式所表示的平面区域的公共部分．(2)线性规划：求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，称为线性规划问题，例如，z=ax ＋by ，其中x ，y 满足下列条件：A xB yC 0(0)A x B y C 0(0)A x B x C 0(0)111222nn n ＋＋≥或≤＋＋≥或≤……＋＋≥或≤⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪(*)求z 的最大值和最小值，这就是线性规划问题，不等式组(*)是一组对变量x 、y 的线性约束条件，z=ax ＋by 叫做线性目标函数．满足线性约束条件的解(x ，y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域，使线性目标函数取得最大值和最小值的可行解叫做最优解．三、曲线和方程 1．定义在选定的直角坐标系下，如果某曲线C 上的点与一个二元方程f(x ，y)=0的实数解建立了如下关系：(1)曲线C 上的点的坐标都是方程f(x ，y)=0的解(一点不杂)；(2)以方程f(x ，y)=0的解为坐标的点都是曲线C 上的点(一点不漏)．这时称方程f(x ，y)=0为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．设P={具有某种性质(或适合某种条件)的点}，Q={(x ，y)|f(x ，y)=0}，若设点M 的坐标为(x 0，y 0)，则用集合的观点，上述定义中的两条可以表述为：(1)M P (x y )Q P Q (2)(x y )Q M P Q P 0000∈，∈，即；，∈∈，即．⇒⊆⇒⊆以上两条还可以转化为它们的等价命题(逆否命题)：(1)(x y )Q M P (2)M P (x y )Q 0000，；，．∉⇒∉∉⇒∉显然，当且仅当且，即时，才能称方程，P Q Q P P =Q f(x y)=0⊆⊆为曲线C 的方程；曲线C 为方程f(x ，y)=0的曲线(图形)．2．曲线方程的两个基本问题 (1)由曲线(图形)求方程的步骤：①建系，设点：建立适当的坐标系，用变数对(x ，y)表示曲线上任意一点M的坐标；②立式：写出适合条件p 的点M 的集合p={M|p(M)}； ③代换：用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x ，y)=0； ④化简：化方程f(x ，y)=0为最简形式；⑤证明：以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．上述方法简称“五步法”，在步骤④中若化简过程是同解变形过程；或最简方程的解集与原始方程的解集相同，则步骤⑤可省略不写，因为此时所求得的最简方程就是所求曲线的方程．(2)由方程画曲线(图形)的步骤：①讨论曲线的对称性(关于x 轴、y 轴和原点)； ②求截距：方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y y ()==⎧⎨⎩00x 方程组，的解是曲线与轴交点的坐标；f x y x ()==⎧⎨⎩00y③讨论曲线的范围；④列表、描点、画线． 3．交点求两曲线的交点，就是解这两条曲线方程组成的方程组． 4．曲线系方程过两曲线f 1(x ，y)=0和f 2(x ，y)=0的交点的曲线系方程是f 1(x ，y)＋λf 2(x ，y)=0(λ∈R)．四、圆1．圆的定义平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆． 2．圆的方程(1)标准方程(x －a)2＋(y －b)2=r 2．(a ，b)为圆心，r 为半径．特别地：当圆心为(0，0)时，方程为x 2＋y 2=r 2(2)一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0配方()()x D y E D E F+++=+-22442222当＋－＞时，方程表示以－，－为圆心，以为半径的圆；D E 4F 0()22D ED E F 2212422+-当＋－时，方程表示点－，－D E 4F =0()22D E22当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程无实数解，无轨迹．(3)参数方程以(a ，b)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为x a r y b r =+=+⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()特别地，以(0，0)为圆心，以r 为半径的圆的参数方程为x r y r ==⎧⎨⎩cos sin θθθ为参数()3．点与圆的位置关系设点到圆心的距离为d ，圆的半径为r ．(1)d r (2)d =r (3)d r 点在圆外＞；点在圆上；点在圆内＜．⇔⇔⇔4．直线与圆的位置关系设直线l ：Ax ＋By ＋C=0和圆C ：(x －a)2＋(y －b)2=r 2，则d Aa Bb C A B=+++||22．(1)0d r (2)=0d =r (3)0d r 相交直线与圆的方程组成的方程组有两解，△＞或＜；相切直线与圆的方程组成的方程组有一组解，△或；相离直线与圆的方程组成的方程组无解，△＜或＞．⇔⇔⇔5．求圆的切线方法(1)已知圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F=0．①若已知切点(x 0，y 0)在圆上，则切线只有一条，其方程是x x y y D x x E y y F 0000220=+++++=()()．当，在圆外时，＋＋＋＋表示(x y )x x y y D(x )E(y )F =0000000++x y22过两个切点的切点弦方程．②若已知切线过圆外一点(x 0，y 0)，则设切线方程为y －y 0=k(x －x 0)，再利用相切条件求k ，这时必有两条切线，注意不要漏掉平行于y 轴的切线．③若已知切线斜率为k ，则设切线方程为y=kx ＋b ，再利用相切条件求b ，这时必有两条切线．(2)已知圆x 2＋y 2=r 2．①若已知切点P 0(x 0，y 0)在圆上，则该圆过P 0点的切线方程为x 0x ＋y 0y=r 2．②已知圆的切线的斜率为，圆的切线方程为±．k y =kx r k 2+16．圆与圆的位置关系已知两圆圆心分别为O 1、O 2，半径分别为r 1、r 2，则(1)|O O |=r r (2)|O O |=|r r |(3)|r r ||O O |r r 12121212121212两圆外切＋；两圆内切－；两圆相交－＜＜＋．⇔⇔⇔单元知识总结一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆．e (0e 1)ca(2)图形和标准方程图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0)821(a b 0)x a y b x b y a 22222222(3)几何性质单元知识总结一、圆锥曲线 1．椭圆 (1)定义定义1：平面内一个动点到两个定点F 1、F 2的距离之和等于常数(大于|F 1F 2|)，这个动点的轨迹叫椭圆(这两个定点叫焦点)．定义2：点M 与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数＝＜＜时，这个点的轨迹是椭圆．e (0e 1)ca(2)图形和标准方程图－的标准方程为：＋＝＞＞图－的标准方程为：＋＝＞＞811(a b 0)821(a b 0)x a y b x b y a 22222222(3)几何性质2．双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程图8－3的标准方程为：x ayb2222－＝＞，＞1(a0b0)图8－4的标准方程为：y axb2222－＝＞，＞1(a0b0)(3)几何性质3．抛物线(1)定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离．③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k|x x ||y y |2121－＝－112+k焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程 1．定义缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件．A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件． 2．对于缺xy 项的二元二次方程：Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．椭圆：＋＝或＋＝()()()()x h a y k b x h b y k a ----2222222211中心O ′(h ，k)双曲线：－＝或－＝()()()()x h a y k b y k a x h b ----2222222211中心O ′(h ，k)抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为 (y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)，顶点O ′(h ，k)．对称轴平行于y 轴的抛物线方程为： (x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－2p(y －k) 顶点O ′(h ，k)．以上方程对应的曲线按向量a ＝(－h ，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．2．双曲线(1)定义定义1：平面内与两个定点F 1、F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线(这两个定点叫双曲线的焦点)．定义2：动点到一定点的距离与它到一条定直线的距离之比是常数e(e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线(这定点叫做双曲线的焦点)．(2)图形和标准方程图8－3的标准方程为：x ayb2222－＝＞，＞1(a0b0)图8－4的标准方程为：y axb2222－＝＞，＞1(a0b0)(3)几何性质3．抛物线(1)定义平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．(2)抛物线的标准方程，类型及几何性质，见下表：①抛物线的标准方程有以下特点：都以原点为顶点，以一条坐标轴为对称轴；方程不同，开口方向不同；焦点在对称轴上，顶点到焦点的距离等于顶点到准线距离．②p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离．③弦长公式：设直线为＝＋抛物线为＝，＝y kx b y 2px |AB|212+k|x x ||y y |2121－＝－112+k焦点弦长公式：|AB|＝p ＋x 1＋x 24．圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线统称圆锥曲线)的统一定义与一定点的距离和一条定直线的距离的比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线，定点叫做焦点，定直线叫做准线、常数叫做离心率，用e 表示，当0＜e ＜1时，是椭圆，当e ＞1时，是双曲线，当e ＝1时，是抛物线．二、利用平移化简二元二次方程 1．定义缺xy 项的二元二次方程Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A 、C 不同时为0)※，通过配方和平移，化为圆型或椭圆型或双曲线型或抛物线型方程的标准形式的过程，称为利用平移化简二元二次方程．A ＝C 是方程※为圆的方程的必要条件．A 与C 同号是方程※为椭圆的方程的必要条件． A 与C 异号是方程※为双曲线的方程的必要条件．A 与C 中仅有一个为0是方程※为抛物线方程的必要条件． 2．对于缺xy 项的二元二次方程：Ax 2＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(A ，C 不同时为0)利用平移变换，可把圆锥曲线的一般方程化为标准方程，其方法有：①待定系数法；②配方法．椭圆：＋＝或＋＝()()()()x h a y k b x h b y k a ----2222222211中心O ′(h ，k)双曲线：－＝或－＝()()()()x h a y k b y k a x h b ----2222222211中心O ′(h ，k)抛物线：对称轴平行于x 轴的抛物线方程为 (y －k)2＝2p(x －h)或(y －k)2＝－2p(x －h)，顶点O ′(h ，k)．对称轴平行于y 轴的抛物线方程为： (x －h)2＝2p(y －k)或(x －h)2＝－2p(y －k) 顶点O ′(h ，k)．以上方程对应的曲线按向量a ＝(－h ，－k)平移，就可将其方程化为圆锥曲线的标准方程的形式．。

高考文科数学第一轮考点总复习课件 5.4 线段的定比分点与图形的平移

量：初坐标、平移坐标、终坐标，三
者之间的关系式：x终=x初+x平是我们解决平移问题的基础，图象平移中 5
▪ 拓展练习将函数y=x2+4x+5的图象按向量a经过一次平移后,得到 y=x2的图象,求a的坐标.
▪ (x,y)按解xya=：xy(hhk设,,.k)y平=x移xy2+一xy4次x--h+k,后.5上变任为意(x一′,y点′)，
对应的曲线C，按向量a=(h，k)进
行平移，平移后得到的曲线C′所对
应的方程是f(x-h，y-k)=0，即有x
的地方全换为x-h、有y的地方全换
为y-k，所得的方程即为曲线的方
程.
10
拓展练习
11
13
参考题
▪
将y=sin2x的图象向右按向量a
作最小的平移,使得(平k 移 ,后k 的) 图象在 (k∈Z)上是减函数，求2平移后的函数
)=-cos2x.
15
点石成金
▪
1. 公式中的平移可以分解为两步
完成：
▪
①沿x轴方向的平移:当h为正时,向
右平移h个单位长度;当h为负时,向左平移|h|
个单位长度.
▪ 上平移②k个沿单y位轴长方度向的;当平ky为移ac负xx:当时ddk为,向正下时平,向移|k| 个单位长度.
▪
2.
解：设a=(h，0),h＞0,则y=sin2x
的图象2k按 a平2(x移- h)后2k得 3到(k的Z图), 象的解析
▪
式是yk=由sin422 (hx x-kh).
3
4
2 h(k
Z ).
14
▪ 即平移后的函数的递减区间是
▪ ▪ ▪

两点间的距离公式

两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为=f （x +1）－2 =f （x －1）－2 =f （x －1）+2=f （x +1）+2解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2.答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a =（h ，k ），由平移公式得 ⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2，即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗提示：由y 2－4y =4x ，配方得（y －2）2=4（x +1），∴h =－1，k =2.（知道为什么吗）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分所得的比为A.83 B.38 C.－83D.－38解析：设A 点分BC 所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83. 答案：C4.若点P 分AB 所成的比是λ（λ≠0），则点A 分BP 所成的比是____________.解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =λλ+1AP .∴BA =－λλ+1AP .答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）. 答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x =231236++=515=3，y =2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.答案：4 ●典例剖析【例1】已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使||=31||.剖析：||=31||，则=31或=31.设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x +1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x +1，y －6）=－31（4，－6）得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41. A P B P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分所成的比即可.解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD |=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）. ②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解请读者思考.【例3】已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将□ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解：（1）由□ABCD 可得AB =DC ，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a =（－29，－2）. （2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）. ●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4π，3）平移后的函数解析式为=sin （x －4π）+3 =sin （x －4π）－3 =sin （x +4π）+3=sin （x +4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）. ∴y '=sin （x '+4π）+3，即y =sin （x +4π）+3.答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1） B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y =2sin （2x +3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）.答案：x 2=61（y +31）（0，－247） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b =（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的OD 的坐标.解：设OD =（x ，y ），则OC =（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1），BC =OC －OB =（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x 所以⎩⎨⎧==，，611y x OD =（11，6）. 6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足=31，=3，=－41，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π），由1+2sin （2x +6π）=1－3，得 sin （2x +6π）=－23.∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1.又|m |＜2π，∴m =－12π，n =1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-. ∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1. 又∵λ＞0，故解得λ≥21. 故λ的取值范围为［21，+∞）. 思考讨论本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里（2）求两船出发后多长时间相距最近最近距离为多少海里解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.东x设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 12，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105t sin θ=10t ， y 2=105t cos θ－40=20t －40.（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ |=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ |=212212）（）（y y x x -+- =221540201510）（）（t t t t --+-=1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202. ∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法.1.线段的定比分点公式P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A +cos 22B －3sin2A －cos2B +2.（1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A +B =2π且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C =3π2或C =2π.（2）∵A +B =2π，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A . ∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6π）+3. 从而p =（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.。

2012年高考总复习一轮《名师一号-数学》第22讲

答案：A
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高考总复习（文、理）
→ → 4． (2009· 名校模拟)若平面四边形 ABCD 满足AB＋CD ＝0，→ (AB → AC → －AD)· ＝0，则该四边形一定是( A．直角梯形 C．菱形 ) B．矩形 D．正方形
→ → 解析：四边形 ABCD 满足AB＋CD ＝0 知其为平行四边形， → (AB → AC → → AC → －AD)· ＝0 即DB· ＝0，该平行四边形的对角线互相垂直，从而知四边形 ABCD 一定是菱形．
所求向量与已知向量建立直接联系．(3)要注意方程思想的应用，有时可正难则反，用所求向量来表示已知向量，建立方程后，解方程即可求出
未知向量．
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高考总复习（文、理）
类型三
共线问题
解题准备：用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧是：①
观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③高考总复习（文、理）
2012高考调研
考纲要求
1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念． 2．掌握向量的加法和减法． 3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．
4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握
平面向量的坐标运算． 5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．
[分析]
本题考查向量知识的综合应用．
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高考总复习（文、理）
[解析]
→ (1)设OM＝ma＋nb，
→ → → 则AM＝OM－OA＝ma＋nb－a＝(m－1)a＋nb. → ＝OD－OA＝1b－a＝－a＋1b. AD → → 2 2 → → ∵A，M，D 三点共线，∴AM与AD共线． m－1 n ∴ ＝，∴m＋2n＝1.① －1 1 2 → ＝OM－OC＝ma＋nb－1a＝m－ 1a＋nb，而CM → → 4 4

高考数学一轮复习必备线段的定比分点及平移

第42课时：第五章平面向量——线段的定比分点及平移课题：线段的定比分点及平移一．复习目标：1．掌握线段的定比分点坐标公式和中点坐标公式，会用定比分点坐标公式求分点坐标和λ，会用中点坐标公式解决对称问题；2．掌握平移公式，会用平移公式化简函数式或求平移后的函数解析式．二．知识要点：1．线段的定比分点：内分点、外分点、λ的确定； 2．定比分点坐标公式是；线段的中点坐标公式是；3．平移公式是．三．课前预习：1．若点P 分AB 的比为34，则点A 分BP 的比是． 2．把函数1124y x =-的图象，按向量(2,4)a =-平移后，图象的解析式是（） ()A 12124y x =- ()B 11324y x =- ()C 11924y x =+ ()D 12124y x =-- 3．将函数241y x x =--顶点P 按向量a 平移后得到点(1,3)P '-，则a = ．4．ABC ∆中三边中点分别是(2,1),(3,4),(2,1)D E F --，则ABC ∆的重心是．四．例题分析：例1．已知两点(,5)A x ，(2,)B y -，点(1,1)P 在直线AB 上，且||2||AP BP =，求点A 和点B 的坐标．例2．已知(1,2),(1,3),(2,2)A B C --，点M 分BA 的比λ为3:1，点N 在线段BC 上，且ABC AMNC S S ∆=32，求点N 的坐标．例3．已知函数 22(2)1y x =---的图象经过按a 平移后使得抛物线顶点在y 轴上，且在x 轴上截得的弦长为4，求平移后函数解析式和a ．例4．已知,,D E F 分比是ABC ∆的三边,,BC CA AB 上的点，且使BD CE AF DC EA FB==，证明：ABC ∆与DEF ∆的重心相同．五．课后作业：1．已知点(1,3)按向量a 平移后得到点(4,1)，则点(2,1)按向量a 平移后的坐标是（）()A (5,1) ()B (5,1)-- ()C (5,1)- ()D (5,1)-2．平面上有(2,1)A -，(1,4)B ，(4,3)D -三点，点C 在直线AB 上，且12AC BC =，连DC 并延长到E ，使1||||4CE ED =，则E 点的坐标为（） ()A (0,1) ()B (0,1)或811(,)33 ()C 811(,)33- ()D 5(8,)3-- 3．平移曲线()y f x =使曲线上的点(1,1)变为(2,3)，这时曲线方程为（）()A (1)2y f x =-+ ()B (1)2y f x =++()C (1)2y f x =-- ()D (2)1y f x =-+4．把一个函数的图象向量(,2)4a π=平移后图象的解析式为sin()24y x π=++，则原来函数图象的解析式为．5．已知函数11x y x-=+，按向量a 平移该函数图形，使其化简为反比例函数的解析式，则向量a = ，化简后的函数式为．6．已知(1,0)A ，(0,1)B -，(,)P x y ，O 为坐标原点，若1OA OB OP λλ+=+，则P 点的轨迹方程为．7．已知三角形ABC 的三个顶点为(1,2),(4,1),(3,4)A B C ，（1）求三边的长；（2）求AB 边上的中线CM 的长；（3）求重心G 的坐标；（4）求A ∠的平分线AD 的长；（5）在AB 上取一点P ，使过P 且平行于BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5的两部分，求点P 的坐标．8．如图已知三点(0,8),(4,0),(5,3)A B C --，D 点内分AB 的比是1:3，E 在BC 上，且BDE ∆的面积是ABC ∆面积的一半，求E 点的坐标．9．将函数2y x =-的图象进行怎样的平移，才能使平移后得到的图象与函数22y x x =--的两交点关于原点对称？并求平移后的图象的解析式。

2012年高考第一轮复习数学：5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y =f （x +1）－2B.y =f （x －1）－2C.y =f （x －1）+2D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a =（h ，k ），由平移公式得⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2，即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2－4y =4x ，配方得（y －2）2=4（x +1），∴h =－1，k =2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为A.83 B.38 C.－83D.－38解析：设A 点分所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83. 答案：C4.若点P 分所成的比是λ（λ≠0），则点A 分所成的比是____________. 解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =λλ+1AP .∴BA =－λλ+1AP .答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）. 答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x =231236++=515=3，y =2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.答案：4 ●典例剖析【例1】已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使|AP |=31|AB |.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x +1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x +1，y －6）=－31（4，－6）得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41. A P B P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD |=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）. ②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD 可得=，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x 由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a =（－29，－2）. （2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）. ●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y =sin （x －4π）+3 B.y =sin （x －4π）－3 C.y =sin （x +4π）+3D.y =sin （x +4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3，即y =sin （x +4π）+3. 答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1） B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y =2sin （2x +3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）. 答案：x 2=61（y +31）（0，－247） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b =（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA .试求满足OD +OA =OC 的OD 的坐标.解：设=（x ，y ），则=（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1）， =－=（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x 所以⎩⎨⎧==，，611y x OD =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足=31，=3，=－41，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π），由1+2sin （2x +6π）=1－3，得 sin （2x +6π）=－23.∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1.又|m |＜2π，∴m =－12π，n =1. 8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-. ∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1. 又∵λ＞0，故解得λ≥21. 故λ的取值范围为［21，+∞）. 思考讨论本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B❑ 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑ 东北x y设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105t sin θ=10t ， y 2=105t cos θ－40=20t －40.（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ |=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ |=212212）（）（y y x x -+-=221540201510）（）（t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心教学点睛1.线段的定比分点公式P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A +cos 22B －3sin2A －cos2B +2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A +B =2π且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C =3π2或C =2π. （2）∵A +B =2π，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A . ∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6π）+3. 从而p =（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）. 【例2】设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.（1）写出曲线C 1的方程；（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称. （1）解：C 1：y －s =（s －t ）3－（x －t ）. ①（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （2t ，2s）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2s）的对称点为 P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s =（x 1－t ）3－（x 1－t ）. ∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.。

高考第一轮复习数学：53两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移-教案(含习题及答案).

5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y=f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y=f （x+1）－2B.y=f （x －1）－2C.y=f （x －1）+2D.y=f （x+1）+2 解析：由平移公式得a=（1，2），则平移后的图象的解析式为y=f （x －1）+2. 答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y=4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a=（h ，k ），由平移公式得 ⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x 代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2，即y 2－2ky=4x －4h －k 2， ∴k=2，h=－1. ∴a=（－1，2）. 答案：A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗?提示：由y 2－4y=4x ，配方得（y －2）2=4（x+1），∴h=－1，k=2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为 A.83 B.38 C.－83 D.－38解析：设A 点分BC 所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83.答案：C4.若点P 分AB 所成的比是λ（λ≠0），则点A 分BP 所成的比是____________. 解析：∵=λ，∴=λ（－+）.∴（1+λ）=λ.∴=λλ+1.∴BA =－λλ+1. 答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）.答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y=mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x=231236++=515=3，y=2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y=mx －7得5=3m －7，∴m=4.答案：4 ●典例剖析【例1】已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使||=31||.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x+1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x+1，y －6）=－31（4，－6）得⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41.A PB P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法.【例2】已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC|=25，|AB|=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得 ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD|=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线，∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BA ⋅=，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x+（2－32）y+92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x+1，y －2），∴（x －4）（y －2）=（x+1）（y －1）.②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD|=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O.（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标. 解：（1）由□ABCD 可得=，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a=（－29，－2）.（2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）.●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y=sinx 按向量a=（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y=sin （x －4π）+3B.y=sin （x －4π）－3C.y=sin （x+4π）+3 D.y=sin （x+4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3，即y=sin （x+4π）+3.答案：C 2.（2003年河南调研题）将函数y=2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y=2sin （2x+3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1）B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y=2sin （2x+3π）+1得y=2sin2（x+6π）+1，∴a=（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y=2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y+2=18x 2+1，即18x 2=3y+1，x 2=61y+181=61（y+31），∴p=121，焦点坐标为（0，－247）.答案：x 2=61（y+31）（0，－247）4.把函数y=2x 2－4x+5的图象按向量a 平移后，得到y=2x 2的图象，且a ⊥b ，c=（1，－1），b ·c=4，则b=____________.解析：a=（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b=（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b=（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量=（3，1），=（－1，2），⊥，∥.试求满足+=的的坐标.解：设OD =（x ，y ），则OC =（x ，y ）+（3，1）=（x+3，y+1）， =－=（x+3，y+1）－（－1，2）=（x+4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x所以⎩⎨⎧==，，611y x =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足AC =31AB ，AD =3AB ，AE =－41AB ，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a=（2cosx ，1），b=（cosx ，3sin2x ），x ∈R.（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y=2sin2x 的图象按向量c=（m ，n ）（|m|＜2π）平移后得到函数y=f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x+3sin2x=1+2sin （2x+6π），由1+2sin （2x+6π）=1－3，得sin （2x+6π）=－23.∵|x|≤3π，∴－2π≤2x+6π≤6π5.∴2x+6π=－3π，即x=－4π.（2）函数y=2sin2x 的图象按向量c=（m ，n ）平移后得到函数y=2sin2（x －m ）+n 的图象，即y=f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x+12π）+1.又|m|＜2π，∴m=－12π，n=1.8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x+4y+4=0按向量a=（2，1）平移后得到曲线C.（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x+2）2+2（y+1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-.∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1.又∵λ＞0，故解得λ≥21.故λ的取值范围为［21，+∞）.思考讨论本题若设出直线l 的方程y=kx+2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新 9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B❑ 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑东北x y 设在t 时刻甲、乙两船分别在P （1122），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan 21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105tsin θ=10t ，y 2=105tcos θ－40=20t －40.（1）令t=3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ|=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ|=212212）（）（y y x x -+-=221540201510）（）（t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t=4时，|PQ|的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离. ●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心教学点睛 1.线段的定比分点公式P P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A+cos 22B －3sin2A －cos2B+2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A+B=2π且A 、B ∈R 时，y=f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y=2cos2A的图象，求满足上述条件的一个向量p.解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C=3π2或C=2π.（2）∵A+B=2π，∴2B=π－2A ，cos2B=－cos2A.∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A+3=2cos （2A+3π）+3=2cos2（A+6π）+3.从而p=（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）.【例2】设曲线C 的方程是y=x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.（1）写出曲线C 1的方程；（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.（1）解：C 1：y －s=（s －t ）3－（x －t ）. ①（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （2t ，2s）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2s）的对称点为 P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s=（x 1－t ）3－（x 1－t ）.∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.。

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5.3 两点间距离公式、线段的定比分点与图形的平移●知识梳理 1.设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则AB =（x 2－x 1，y 2－y 1）.∴|AB |=212212）（）（y y x x -+-. 2.线段的定比分点是研究共线的三点P 1，P ，P 2坐标间的关系.应注意：（1）点P 是不同于P 1，P 2的直线P 1P 2上的点；（2）实数λ是P 分有向线段21P P 所成的比，即P 1→P ，P →P 2的顺序，不能搞错；（3）定比分点的坐标公式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x ，（λ≠－1）.3.点的平移公式描述的是平移前、后点的坐标与平移向量坐标三者之间的关系，⎩⎨⎧+='+='.k y y h x x ，特别提示1.定比分点的定义：点P 为21P P 所成的比为λ，用数学符号表达即为P P 1=λ2PP .当λ＞0时，P 为内分点；λ＜0时，P 为外分点.2.定比分点的向量表达式：P 点分21P P 成的比为λ，则OP =λ+111OP +λλ+12OP （O 为平面内任一点）. 3.定比分点的应用：利用定比分点可证共线问题. ●点击双基1.（2004年东北三校联考题）若将函数y =f （x ）的图象按向量a 平移，使图象上点的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后的图象的解析式为A.y =f （x +1）－2B.y =f （x －1）－2C.y =f （x －1）+2D.y =f （x +1）+2 解析：由平移公式得a =（1，2），则平移后的图象的解析式为y =f （x －1）+2. 答案：C2.（2004年湖北八校第二次联考）将抛物线y 2=4x 沿向量a 平移得到抛物线y 2－4y =4x ，则向量a 为A.（－1，2）B.（1，－2）C.（－4，2）D.（4，－2）解析：设a =（h ，k ），由平移公式得⎩⎨⎧-'=-'=⇒⎩⎨⎧=-'=-'，，k y y h x x k y y h x x代入y 2=4x 得（y '－k ）2=4（x '－h ），y '2－2k y '=4x '－4h －k 2，即y 2－2ky =4x －4h －k 2， ∴k =2，h =－1. ∴a =（－1，2）. 答案：A 思考讨论本题不用平移公式代入配方可以吗? 提示：由y 2－4y =4x ，配方得（y －2）2=4（x +1），∴h =－1，k =2.（知道为什么吗?）3.设A 、B 、C 三点共线，且它们的纵坐标分别为2、5、10，则A 点分BC 所得的比为A.83 B.38 C.－83D.－38解析：设A 点分所得的比为λ，则由2=λλ+1+105，得λ=－83. 答案：C4.若点P 分所成的比是λ（λ≠0），则点A 分所成的比是____________. 解析：∵AP =λPB ，∴AP =λ（－AP +AB ）.∴（1+λ）AP =λAB . ∴AB =λλ+1AP .∴BA =－λλ+1AP .答案：－λλ+15.（理）若△ABC 的三边的中点坐标为（2，1）、（－3，4）、（－1，－1），则△ABC 的重心坐标为____________.解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），则⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=+-=+=+-=+=+=+.121242321222323231312121yy xx y y x x y y x x ，，，，， ∴⎩⎨⎧=++-=++42321321y y y x x x∴重心坐标为（－32，34）. 答案：（－32，34）（文）已知点M 1（6，2）和M 2（1，7），直线y =mx －7与线段M 1M 2的交点M 分有向线段21M M 的比为3∶2，则m 的值为____________.解析：设M （x ，y ），则x =231236++=515=3，y =2312372+⨯+=5214+=5，即M （3，5），代入y =mx －7得5=3m －7，∴m =4.答案：4 ●典例剖析【例1】已知点A （－1，6）和B （3，0），在直线AB 上求一点P ，使|AP |=31|AB |.剖析：|AP |=31|AB |，则AP =31AB 或AP =31BA .设出P （x ，y ），向量转化为坐标运算即可.解：设P 的坐标为（x ，y ），若AP =31AB ，则由（x +1，y －6）=31（4，－6），得 ⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==.431y x ，此时P 点坐标为（31，4）.若AP =－31AB ，则由（x +1，y －6）=－31（4，－6）得 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=+.26341y x ，解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.837y x ，∴P （－37，8）.综上所述，P （31，4）或（－37，8）.深化拓展本题亦可转化为定比分点处理.由AP =31AB ，得AP =21PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=21，代入公式即可；若AP =－31AB ，则AP =－41PB ，则P 为AB 的定比分点，λ=－41. A P B P A B由两种方法比较不难得出向量的运算转化为坐标运算，是解决向量问题的一般方法. 【例2】已知△ABC 的三个顶点坐标分别是A （4，1），B （3，4），C （－1，2），BD 是∠ABC 的平分线，求点D 的坐标及BD 的长.剖析：∵A 、C 两点坐标为已知，∴要求点D 的坐标，只要能求出D 分AC 所成的比即可.解：∵|BC |=25，|AB |=10，∴D 分AC 所成的比λ=22==BC AB DC AD . 由定比分点坐标公式，得⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=++=-=+-⨯+=.2221212592211224D D y x ，）（ ∴D 点坐标为（9－52，2）.∴|BD |=22423259）（）（-+--=268104-. 评述：本题给出了三点坐标，因此三边长度易知，由角平分线的性质通过定比分点可解出D 点坐标，适当利用平面几何知识，可以使有些问题得以简化.深化拓展本题也可用如下解法：设D （x ，y ），∵BD 是∠ABC 的平分线， ∴〈BA ，BD 〉=〈BC ，BD 〉. ∴||||||||BD BC BD BC BD BA BD BA ⋅⋅=⋅，即||BA BD BA ⋅=||BC BD BC ⋅.又BA =（1，－3），BD =（x －3，y －4），BC =（－4，－2）， ∴101233+--y x =2082124+-+-y x .∴（4+2）x +（2－32）y +92－20=0.①又A 、D 、C 三点共线，∴AD ，AC 共线. 又AD =（x －4，y －1），AC =（x +1，y －2）， ∴（x －4）（y －2）=（x +1）（y －1）.②由①②可解得⎪⎩⎪⎨⎧=-=.2259y x ，∴D 点坐标为（9－52，2），|BD |=268104-.思考讨论若BD 是AC 边上的高，或BD 把△ABC 分成面积相等的两部分，本题又如何求解?请读者思考.【例3】已知在□ABCD 中，点A （1，1），B （2，3），CD 的中点为E （4，1），将 □ABCD 按向量a 平移，使C 点移到原点O .（1）求向量a ；（2）求平移后的平行四边形的四个顶点的坐标.解：（1）由□ABCD 可得=，设C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），则⎩⎨⎧=-=-②①，.214343y y x x又CD 的中点为E （4，1），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+④③，.12424343y y x x 由①－④得⎪⎩⎪⎨⎧==，，22933y x ⎪⎩⎪⎨⎧==，，02744y x即C （29，2），D （27，0）.∴a =（－29，－2）. （2）由平移公式得A ′（－27，－1），B ′（－25，1），C ′（0，0），D ′（－1，－2）. ●闯关训练夯实基础1.（2004年福州质量检查题）将函数y =sin x 按向量a =（－4π，3）平移后的函数解析式为A.y =sin （x －4π）+3 B.y =sin （x －4π）－3 C.y =sin （x +4π）+3D.y =sin （x +4π）－3 解析：由⎩⎨⎧-'=-'=，，k y y h x x 得⎪⎩⎪⎨⎧-'=+'=.34πy y x x ，∴y '－3=sin （x '+4π）.∴y '=sin （x '+4π）+3，即y =sin （x +4π）+3. 答案：C2.（2003年河南调研题）将函数y =2sin2x 的图象按向量a 平移，得到函数y =2sin （2x +3π）+1的图象，则a 等于A.（－3π，1） B.（－6π，1） C.（3π，－1）D.（6π，1）解析：由y =2sin （2x +3π）+1得y =2sin2（x +6π）+1，∴a =（－6π，1）. 答案：B3.（2004年东城区模拟题）已知点P 是抛物线y =2x 2+1上的动点，定点A （0，－1），若点M 分所成的比为2，则点M 的轨迹方程是____________，它的焦点坐标是____________.解析：设P （x 0，y 0），M （x ，y ）.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==32300y y x x ⇒⎩⎨⎧+==，，23300y y x x 代入y 0=2x 02+1得3y +2=18x 2+1，即18x 2=3y +1，x 2=61y +181=61（y +31），∴p =121，焦点坐标为（0，－247）. 答案：x 2=61（y +31）（0，－247） 4.把函数y =2x 2－4x +5的图象按向量a 平移后，得到y =2x 2的图象，且a ⊥b ，c =（1，－1），b ·c =4，则b =____________.解析：a =（0，0）－（1，3）=（－1，－3）.设b =（x ，y ），由题意得⎩⎨⎧=-=--，，403y x y x ⎩⎨⎧-==，，13y x 则b =（3，－1）.答案：（3，－1）5.已知向量OA =（3，1），OB =（－1，2），OC ⊥OB ，BC ∥OA .试求满足OD +OA =OC 的OD 的坐标.解：设=（x ，y ），则=（x ，y ）+（3，1）=（x +3，y +1）， =－=（x +3，y +1）－（－1，2）=（x +4，y －1），则⎩⎨⎧=--+=+++-.01340123）（）（，）（）（y x y x 所以⎩⎨⎧==，，611y x OD =（11，6）.6.已知A （2，3），B （－1，5），且满足=31，=3，=－41，求C 、D 、E 的坐标.解：用向量相等或定比分点坐标公式均可，读者可自行求解.C （1，311），D （－7，9），E （411，25）. 培养能力7.（2004年福建，17）设函数f （x ）=a ·b ，其中a =（2cos x ，1），b =（cos x ，3sin2x ），x ∈R .（1）若f （x ）=1－3，且x ∈［－3π，3π］，求x ；（2）若y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）（|m |＜2π）平移后得到函数y =f （x ）的图象，求实数m 、n 的值.解：（1）依题设f （x ）=2cos 2x +3sin2x =1+2sin （2x +6π），由1+2sin （2x +6π）=1－3，得 sin （2x +6π）=－23.∵|x |≤3π，∴－2π≤2x +6π≤6π5.∴2x +6π=－3π，即x =－4π. （2）函数y =2sin2x 的图象按向量c =（m ，n ）平移后得到函数y =2sin2（x －m ）+n 的图象，即y =f （x ）的图象.由（1）得f （x ）=2sin2（x +12π）+1.又|m |＜2π，∴m =－12π，n =1. 8.有点难度哟！（2004年广州综合测试）已知曲线x 2+2y 2+4x +4y +4=0按向量a =（2，1）平移后得到曲线C .（1）求曲线C 的方程；（2）过点D （0，2）的直线与曲线C 相交于不同的两点M 、N ，且M 在D 、N 之间，设DM =λMN ，求实数λ的取值范围.解：（1）原曲线即为（x +2）2+2（y +1）2=2，则平移后的曲线C 为x 2+2y 2=2，即22x +y 2=1.（2）设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=+=.1212121λλλλy y x x ，由于点M 、N 在椭圆x 2+2y 2=2上，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=+，，222222222121y x y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++.222122122222222y x y x ，）（）（λλλλ消去x 22得，2λ2+8λy 2+8=2λ2+4λ+2，即y 2=λλ432-. ∵－1≤y 2≤1，∴－1≤λλ432-≤1. 又∵λ＞0，故解得λ≥21. 故λ的取值范围为［21，+∞）. 思考讨论本题若设出直线l 的方程y =kx +2，然后与x 2+2y 2=2联立，利用韦达定理能求解吗?（不要忘记讨论斜率不存在的情况）读者可尝试一下.探究创新9.甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向做匀速直线航行，速度为152 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ（θ=arctan 21）的方向作匀速直线航行，速度为105 n mile/h.（如下图所示）B❑ 东北（1）求出发后3 h 两船相距多少海里?（2）求两船出发后多长时间相距最近?最近距离为多少海里? 解：以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如下图所示的坐标系.APQB❑ 东北x y设在t 时刻甲、乙两船分别在P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则⎪⎩⎪⎨⎧===︒=.151545cos 215111t x y t t x ，由θ=arctan21，可得cos θ=552，sin θ=55，x 2=105t sin θ=10t ， y 2=105t cos θ－40=20t －40.（1）令t =3，P 、Q 两点的坐标分别为（45，45），（30，20）.|PQ |=2220453045）－（）（+-=850=534，即两船出发后3 h 时，两船相距534 n mile. （2）由（1）的解法过程易知|PQ |=212212）（）（y y x x -+-=221540201510）（）（t t t t --+- =1600400502+-t t=8004502+-）（t ≥202.∴当且仅当t =4时，|PQ |的最小值为202，即两船出发4 h 时，相距202 n mile 为两船最近距离.●思悟小结1.理解线段的定比分点公式时应注意以下问题：（1）弄清起点、分点、终点，并由此决定定比λ；（2）在计算点分有向线段所成比时，首先要确定是内分点，还是外分点，然后相应地把数量之比转化为长度之比.也可直接由定义P 1=λ2PP 获解.2.线段的定比分点的坐标表示，强化了坐标运算的应用，确定λ的值是公式应用的关键.3.关于平面图形的平移，主要确定的是平移向量.注意公式正、逆使用，并特别注意分清新旧函数解析式.4.配凑法、待定系数法、对应点代入法是确定平移向量的重要方法. ●教师下载中心教学点睛1.线段的定比分点公式P 1=λ2PP ，该式中已知P 1、P 2及λ可求分点P 的坐标，并且还要注意公式的变式在P 1、P 2、P 、λ中知三可求第四个量.2.定比分点坐标公式要用活不要死记.可设出坐标利用向量相等列方程组.该解法充分体现了向量（形）与数之间的转化具有一般性.3.平移前后坐标之间的关系极易出错，要引导学生弄清知识的形成过程不要死记硬背. 拓展题例【例1】（2004年豫南三市联考）已知f （A ，B ）=sin 22A +cos 22B －3sin2A －cos2B +2. （1）设△ABC 的三内角为A 、B 、C ，求f （A ，B ）取得最小值时，C 的值；（2）当A +B =2π且A 、B ∈R 时，y =f （A ，B ）的图象按向量p 平移后得到函数y =2cos2A 的图象，求满足上述条件的一个向量p .解：（1）f （A ，B ）=（sin2A －23）2+（cos2B －21）2+1，由题意⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==，，212cos 232sin B A 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===.6π3π6πB A A ，或 ∴C =3π2或C =2π. （2）∵A +B =2π，∴2B =π－2A ，cos2B =－cos2A . ∴f （A ，B ）=cos2A －3sin2A +3=2cos （2A +3π）+3=2cos2（A +6π）+3. 从而p =（6π，－3）（只要写出一个符合条件的向量p 即可）. 【例2】设曲线C 的方程是y =x 3－x ，将C 沿x 轴、y 轴正向分别平移t 、s 单位长度后，得到曲线C 1.（1）写出曲线C 1的方程；（2）证明：曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称. （1）解：C 1：y －s =（s －t ）3－（x －t ）. ①（2）分析：要证明曲线C 1与C 关于点A （2t ，2s）对称，只需证明曲线C 1上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 上，反过来，曲线C 上任意一个点关于A 点的对称点都在曲线C 1上即可.证明：设P 1（x 1，y 1）为曲线C 1上任意一点，它关于点A （2t ，2s）的对称点为 P （t －x 1，s －y 1），把P 点坐标代入曲线C 的方程，左=s －y 1，右=（t －x 1）3－（t －x 1）.由于P 1在曲线C 1上，∴y 1－s =（x 1－t ）3－（x 1－t ）. ∴s －y 1=（t －x 1）3－（t －x 1），即点P （t －x 1，s －y 1）在曲线C 上. 同理可证曲线C 上任意一点关于点A 的对称点都在曲线C 1上.从而证得曲线C 与C 1关于点A （2t ，2s）对称.。

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