非线性系统的模糊自适应输出反馈控制 刘晓玉,方康玲

非线性系统的模糊自适应输出反馈控制*刘晓玉，方康玲（武汉科技大学信息学院 武汉 430081）摘 要 针对一类未知非线性系统，考虑系统状态不完全可测的情况，利用Lyapunov 综合方法设计了一种基于高增益观测器的模糊鲁棒自适应输出反馈控制器，并证明在一定条件下，所设计的输出反馈控制器能获得状态反馈控制器的性能。

关键词 非线性系统，模糊控制，鲁棒控制，高增益观测器Fuzzy Adaptive Output Feedback Control for a Class of Nonlinear SystemsLIU Xiao-yu, FANG Kang-ling(College of Information Science and Engineering, Wuhan University of Science and Technology, Wuhan 430081, China) Abstract: Based on the Lyapunov synthesis approach and a high-gain observer, a fuzzy robust adaptive output feedback control scheme for a class of unknown nonlinear systems, which states are not assumed to be measurable, is presented. It is proved that by a certain condition, the proposed output feedback controller can recover the property of the state feedback controller.Key words: Nonlinear systems; fuzzy control; robust control; high-gain observer.中图分类号: TP273 文献标识码: A1 引言对非线性系统的控制一般有两个基本思路：一是对非线性系统线性化，然后用线性系统理论来求解[1]；二是直接针对系统的非线性进行控制[2,3]。

文[2]采用一种带线性参数的模糊基函数模型逼近系统的未知非线性，进而设计跟踪器，并基于Lyapunov 方法得到相应的参数自适应律；文[3]考虑到模糊模型逼近误差和系统外扰的存在，将逼近误差视为系统扰动的一部分，同样采用Lyapunov 综合方法设计了一个鲁棒自适应控制项以克服扰动对系统性能的影响。

上述研究均需假设系统状态（系统的输出及其各阶导数）完全可测，但系统各阶导数的获取在实际应用中并非易事。

在上述研究的基础上，本文假设系统仅输出可测，通过引入一种高增益观测器来估计系统的状态，进而将文[3]的状态反馈的结果扩展到输出反馈的情况，设计了一种模糊自适应输出反馈控制器，该输出反馈控制器在一定条件下能获得状态反馈控制器的控制效果。

2问题描述考虑如下单输入单输出仿射非线性系统[2]⎩⎨⎧=++=−−−x y t x x x d u x x x g x x x f x n n n n (2.1)),,,,(),,,(),,,()1()1()1()(Λ&Λ&Λ& 式中f 和g 为未知的连续函数，d 为有界外扰，R u ∈和R y ∈分别为系统的输入和输出。

设n T n R x x x ∈=−),,,()1(Λ&x 为系统的状态。

本文的任务是要设计一个自适应模糊控制器)(y u 使得输出y 跟踪给定的有界参考信号)(t y m （假设)()1()1(),,(n mT n m m m y y y 及−=Λy 有界且已知），保证跟踪误差y y e m −=收敛到零的一个较小邻域内，并且闭环系统中涉及的所有信号一致有界。

3 模糊自适应输出反馈控制的设计和稳定性分析3.1 模糊自适应输出反馈控制器的设计定义跟踪误差向量T n e ee ),,,()1(−=Λ&e ，则式(2.1)的非线性系统可用如下的状态方程表示： ]})()([{)(d u g f y n m T c ++−++=x x e k b e Λe c & (3.1.1)*基金项目: 国家攻关指导性项目(2005BA102C)其中T c c k b A Λ−=，T n k k ),(1Λ=k 的选取能使多项式n n n k S k S s h +++=−Λ11)(的所有根位于左半开平面上，nn ×⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=000100000000100000010ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛA ，1100×⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n c Μb . 考虑到系统中仅有输出可测，本文引进高增益观测器eˆ[4]对e 进行估计： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧−=−≤≤−+=+)ˆ(ˆ11 )ˆ(ˆˆ11111e e e n i e e e e n n n ii i i εαεα&&(3.1.2) 式中ε是要设计的比较小的正参数，选择0>i α，使得多项式0111=++++−−n n n n s s s αααΛ的所有根都在左半开平面上。

由eˆ及x y e −=m ，有状态估计e y x ˆˆ−=m 。

由此，并根据文[2]的状态反馈控制器，本文提出基于观测器的输出反馈控制作用：u r T n m f u y f g +++−=]ˆ)|ˆ(ˆ[)|ˆ(ˆ1)(e k θx θx g ， ωλˆ))|ˆ(ˆ1()|ˆ(ˆ2f g r gg u θx θx += (3.1.3) 相应的参数自适应律为：f θ& )ˆ(ˆ1x ξP e n T γ−=，gθ& )ˆ(ˆ2u x ξP e n T γ−=，|||ˆ|ˆˆ3n P e ⋅+−=γωγωω& (3.1.4) 式中)ˆ()|ˆ(ˆx ξθθx T ff f =和)ˆ()|ˆ(ˆx ξθθx Tg =g g 为模糊逻辑系统[1,2]，分别用于逼近未知函数f 和g ， )(⋅ξ为模糊基函数向量，f θ和g θ均为线性可调参数向量（假设有最佳估计参数*f θ，*g θ）。

ωˆ为模糊逻辑系统逼近误差u g g f f gf )]()|ˆ(ˆ[)]()|ˆ(ˆ[**x θx x θx −+−=ω的未知界ω的估计值。

0,,,,321>λγγγγω为设计参数，c n Pb P =，0>=T P P ，且满足Lyapunov 方程Q P ΛP Λ−=+c T c ，0>=T Q Q .3.2 模糊自适应输出反馈控制器的稳定性分析采用上节所提控制方案，闭环系统可表示为如下的奇异摄动模型：]})()([)|ˆ(ˆˆ)|ˆ(ˆ)|ˆ(ˆ{d u g f u g u g f rgT gfT ++−−−+++=x x θx e k θx θx e k b e Λecc& (3.2.1) ]})()([{()(d u g f y n mc ++−+−=x x b HC)ζA ζεε& (3.2.2)其中ζ为广义观测误差向量，T n ],[1ζζΛ=ζ,in i i i ee −−=εζˆ (3.2.3)T n ],,[1ααΛ=H ，]0,,0,1[Λ=C ，][HC A −是Hurwitz 矩阵。

定义模糊逻辑系统的最佳估计参数*f θ，*gθ， |])()|ˆ(ˆ|sup [min arg ˆˆ,*x θx θx x f ff f x x f f −=Ω∈Ω∈Ω∈θ，|])()|ˆ(ˆ|sup [min arg ˆˆ,*x θx θx x g g g g x x g g −=Ω∈Ω∈Ω∈θ (3.2.4) 其中x x g f ˆ,,,ΩΩΩΩ分别是x x ,θ,θg f ˆ,的可行域。

相应的参数估计误差定义为*f f f θθΦ−=，*θθΦg g g −=。

在此定义下，设基于高增益观测器的模糊逻辑系统的逼近误差ωu g g f f g f )]()|ˆ(ˆ[)]()|ˆ(ˆ[**x θx x θx −+−=ω (3.2.5)假设该逼近误差有界，又由系统外扰d 有界，于是有ωω≤−=−−+−|||)]()|ˆ(ˆ[)]()|ˆ(ˆ[|**d d u g g f f g f x θx x θx (3.2.6)其中ω为未知正常数。

设ωˆ为ω的估计值，并有估计误差ωωω−=ˆ~。

以下分析输出反馈控制作用下系统的跟踪性能。

而在此之前，先研究一下广义观测误差ζ的性质。

为此取Lyapunov 函数ζP ζT =W ，其中矩阵0>=T P P ，满足方程I P HC A HC A P T −=−+−)()( (3.2.7)在可控域x Ω内设 W K d u g f ≤++|)()(|x x ，K W 为正常数 (3.2.8)则 Wc K W ||||2||12b P ζζ+−≤ε& (3.2.9) 记min P λ，max λ分别为矩阵P 的最小和最大特征值，min2max22||16P Wc W K λλβb P =，则WW βε2>时，有0≤W &，于是有∞→t 时，W W βε2≤，进而εζK ≤||ζ（ζK 为一定常数），即ζ是关于ε的高阶无穷小。

以下证明当ε充分小时，输出反馈控制能达到状态反馈控制的效果。

为此选取Lyapunov 函数2321~21212121ωγγγ+++=g Tg f T f T V ΦΦΦΦPe e (3.2.10) 求V 关于时间t 的导数，并结合(3.2.6)和(3.2.7)式得ωωγγγγγω&&&&ˆ~1])ˆ([1])ˆ([1])ˆ(ˆ[2132211+++++−−+⋅+−=gT T g fT T f r g n T n T u u g d V θx ξP e Φθx ξP e Φθ|x P e D ζK P e Qe e n n T T (3.2.11)上式中部分项])ˆ([111fT T f f V θx ξP e Φn &+=γγ)]ˆ()ˆ[(x ξP e e Φn T T f −= ≤=)ˆ()(x ξP D ζΦn TT f |)ˆ(|||||||x ξP D ζΦn ⋅⋅⋅f (3.2.12) 由于采用投影算法，||f θ有界，从而||f Φ有界；由 )ˆ(xξ的定义知 1|)ˆ(|≤x ξ；||||||||ζD D ζ⋅≤=||1122ζεε−−n，而ε是一个很小的数，且εζK ≤||ζ，所以εζ'||K ≤D ζ。