【智博教育原创专题】排列组合的常见题型及其解法大全(包含高中所有的题型)

★绝密 备战2014专题

主编：冷世平

排列组合的常见题型及其解法排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口,实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。

◆处理排列组合应用题的一般步骤为：

①明确要完成的是一件什么事（审题）；②有序还是无序；③分步还是分类。

◆处理排列组合应用题的规律

⑴两种思路：直接法，间接法；⑵两种途径：元素分析法，位置分析法。

排列组合知识，广泛应用于实际，掌握好排列组合知识，能帮助我们在生产生活中，解决许多实际应用问题。同时排列组合问题历来就是一个老大难的问题。因此有必要对排列组合问题的解题规律和解题方法作一点归纳和总结，以期充分掌握排列组合知识。首先，谈谈排列组合综合问题的一般解题规律:

⑴使用“分类计数原理”还是“分步计数原理”要根据我们完成某件事时采取的方式而定，可以分类来完成这件事时用“分类计数原理”，需要分步来完成这件事时就用“分步计数原理”；那么，怎样确定是分类，还是分步骤？“分类”表现为其中任何一类均可独立完成所给的事件，而“分步”必须把各步骤均完成才能完成所给事件，所以准确理解两个原理强调完成一件事情的几类办法互不干扰，相互独立，彼此间交集为空集，并集为全集，不论哪类办法都能将事情单独完成，分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成这件事，步与步之间互不影响，即前步用什么方法不影响后面的步骤采用的方法。

⑵排列与组合定义相近，它们的区别在于是否与顺序有关。

⑶复杂的排列问题常常通过试验、画“树图”、“框图”等手段使问题直观化，从而寻求解题途径，由于结果的正确性难于检验，因此常常需要用不同的方法求解来获得检验。

⑷按元素的性质进行分类，按事件发生的连续性进行分步是处理排列组合问题的基本思想方法，要注意“至少、至多”等限制词的意义。

⑸处理排列、组合综合问题，一般思想是先选元素（组合），后排列，按元素的性质进行“分类”和按事件的过程“分步”，始终是处理排列、组合问题的基本原理和方法，通过解题训练要注意积累和掌握分类和分步的基本技能，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。

⑹在解决排列组合综合问题时，必须深刻理解排列组合的概念，能熟练地对问题进行分类，牢记排列数与组合数公式与组合数性质，容易产生的错误是重复和遗漏计数。

总之，解决排列组合问题的基本规律，即：分类相加，分步相乘，排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；正难则反，间接排除等；其次，我们在抓住问题的本质特征和规律，灵活运用基本原理和公式进行分析解答的同时，还要注意讲究一些解题策略和方法技巧，使一些看似复杂的问题迎刃而解。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

【策略1】特殊元素（位置）用优先考虑

把有限制条件的元素（位置）称为特殊元素（位置），对于这类问题一般采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

【例1】6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有种不同站法。

【分析】解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。

【法一】（优先考虑特殊元素）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有4种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有120种站法，故站法共有480种；

A种方法；剩下四【法二】（优先考虑特殊位置）先从除甲外的五个元素中任取两个站在两端，有2

5

A种方法，共计有480种。

个人作全排列有4

4

用0,2,3,4,5五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有个。30

【策略2】相邻问题用捆绑法

将相邻的元素内部进行全排列，绑成一捆，看作一个整体，视为一个元素，与其他元素进行排列。

【例2】5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有 种不同排法。4320

【解析】把3个女生视为一个元素，与5个男生进行排列，共有65432⨯⨯⨯⨯种，然后女生内部再

进行排列，有6种，所以排法共有4320种。

↓7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有 种不同的排法。

【解析】可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与

其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。由分步计数原理可得共有522522480A A A =种不同

不相邻问题，可以先将其他元素排好，然后再将不相邻的元素插入已排好的元素位置之间和两

端的空中。

【例3】7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有

种排法。

【解析】先将其余4人排成一排，有4321⨯⨯⨯种，再往4人之间及两端的5个空位中让甲、乙、丙

插入，有543⨯⨯种，所以排法共有1440种。

1.★7人排成一排，甲、乙、丙3人不相邻有 种排法。

【解析】不相邻包括两类情况：一是三个人互不相邻；二是三个人中有两个人相邻，故从正面做，

有43242453454320A A A A A +=种方法；从反面考虑，共有7357354320A A A -=种方法。

2.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有

种。

【解析】分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种，

第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A 种。 3.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个新节

目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30【提示】26A

4.某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目

插入原节目单中，那么不同插法的种数为 42

5.1

【策略4】定序问题用消序法

对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方法是：先将n 个元素进行全排列有!

n 种，由于要求m 个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到消序的作用，

即若n 个元素排成一列，其中m 个元素次序一定，则有n n m m

A A 种排列方法。 【例4】由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的六位数有

个。 300

【解析】不考虑限制条件，组成的六位数有1555

C A ⋅种，其中个位与十位上的数字一定，所以所求的六位数有15552

C A ⋅个。 ↓10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有 种排法。

510C 或10105555

A A A ⋅ 【策略5】分组问题与分配问题

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以n

n A (n 为均分的组

数)避免重复计数；非均匀分组，组合处理。

【例5】有9个不同的文具盒：⑴将其平均分成三组；⑵将其分成三组，每组个数2,3,4。上述问题

各有多少种不同的分法？