【精品】2017年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷及参考答案(文科)

2017年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，B={x|2﹣x＜0}，则A∩（∁R B）=（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}2．（5分）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．﹣3 B．C．1 D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．2 B．3 C．4 D．55．（5分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前项和为S n，若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则a1=（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．6．（5分）已知函数f （x）=2ax﹣a+3，若∃x0∈（﹣1，1），f （x0）=0，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣3，1）D．（1，+∞）7．（5分）在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则=（）A．B．0 C．D．78．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.49．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁10．（5分）已知函数f （x）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式可以是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=11．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A．B．3 C．6 D．12．（5分）若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围为（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣4）D．（﹣∞，﹣4]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线l将圆C：x2+y2+x﹣2y+1=0平分，且与直线x+2y+3=0垂直，则l的方程为．14．（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为．15．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=9，a2为整数，且S n≤S5，则数列的前9项和为．16．（5分）在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=5，求△ABC的面积．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求四棱锥S﹣ABCD的高．19．（12分）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．20．（12分）已知直线y=k（x﹣2）与抛物线相交于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N．（Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＜0，若对∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设函数f（x）=|x﹣2|+2x﹣3，记f（x）≤﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M时，证明：x[f（x）]2﹣x2f（x）≤0．2017年湖北省武汉市武昌区高三元月调考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x∈N|0≤x≤5}，B={x|2﹣x＜0}，则A∩（∁R B）=（）A．{1}B．{0，1}C．{1，2}D．{0，1，2}【解答】解：集合A={x∈N|0≤x≤5}={0，1，2，3，4，5}，B={x|2﹣x＜0}={x|x＞2}，则∁R B={x|x≤2}，所以A∩（∁R B）={0，1，2}．故选：D．2．（5分）在复平面内，复数（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数==的共轭复数对应的点位于第三象限．故选：C．3．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．﹣3 B．C．1 D．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x+y为y=﹣x+z，由图可知，当直线y=﹣x+z过A时，z取得最大值，由，解得A（1，）时，目标函数有最大值，为z=1+=．故选：D．4．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x=2017，则输出的i=（）A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：根据题意，得a=2017，i=1，b=﹣，i=2，a=﹣，b=，i=3，a=，b=2017，不满足b≠x，退出循环，故选B．5．（5分）设公比为q（q＞0）的等比数列{a n}的前项和为S n，若S2=3a2+2，S4=3a4+2，则a1=（）A．﹣2 B．﹣1 C．D．【解答】解：∵S2=3a2+2，S4=3a4+2，∴=3，q＞0，解得q=，代入a1（1+q）=3a1q+2，解得a1=﹣1．故选：B．6．（5分）已知函数f （x）=2ax﹣a+3，若∃x0∈（﹣1，1），f （x0）=0，则实数a 的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）B．（﹣∞，﹣3）C．（﹣3，1）D．（1，+∞）【解答】解：函数f （x）=2ax﹣a+3，若∃x0∈（﹣1，1），f （x0）=0，可得（﹣3a+3）（a+3）＜0，解得a∈（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．故选：A．7．（5分）在平行四边形ABCD中，点M，N分别在边BC，CD上，且满足BC=3MC，DC=4NC，若AB=4，AD=3，则=（）A．B．0 C．D．7【解答】解：如图，∵BC=3MC，DC=4NC，且AB=4，AD=3，则===．故选：B．8．（5分）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的x为（）A．1.2 B．1.6 C．1.8 D．2.4【解答】解：由三视图知，商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成．由题意得：（5.4﹣x）×3×1+π•（）2x=12.6，解得：x=1.6．故选：B．9．（5分）一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”：乙说：“我没有作案，是丙偷的”：丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”：丁说：“乙说的是事实”．经过调查核实，四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【解答】解：在甲、乙、丙、丁四人的供词不达意中，可以看出乙、丁两人的观点是一致的，因此乙、丁两人的供词应该是同真或同假（即都是真话或者都是假话，不会出现一真一假的情况）；假设乙、丁两人说的是真话，那么甲、丙两人说的是假话，由乙说真话推出丙是罪犯的结论；由甲说假话，推出乙、丙、丁三人不是罪犯的结论；显然这两个结论是相互矛盾的；所以乙、丁两人说的是假话，而甲、丙两人说的是真话；由甲、丙的供述内容可以断定乙是罪犯，乙、丙、丁中有一人是罪犯，由丁说假说，丙说真话，推出乙是罪犯．故选B．10．（5分）已知函数f （x）的部分图象如图所示，则f （x）的解析式可以是（）A．f（x）=B．f（x）=C．f（x）=D．f（x）=【解答】解：由函数的图象可知函数是奇函数，排除f（x）=，x=π时，f（x）==＜0，f（x）==，不满足题意；f（x）==＜0，因为y=cosx是周期函数，函数图象具有波动性，所以函数的解析式不可能是D．f（x）==﹣，函数是奇函数，零点为：x=，当x∈（0，），f（x）＞0，x时，f（x）＜0，所以A正确．故选：A．11．（5分）已知F1，F2是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且|PF1|＞|PF2|，线段PF1的垂直平分线过F2，若椭圆的离心率为e1，双曲线的离心率为e2，则的最小值为（）A．B．3 C．6 D．【解答】解：由题意可知：F1F2=F2P=2c，又∵F1P+F2P=2a1，F1P﹣F2P=2a2，∴F1P+2c=2a1，F1P﹣2c=2a2，两式相减，可得：a1﹣a2=2c，∵==，∴===4+2+，∵2+≥2=2，当且仅当时等号成立，∴的最小值为6，故选：C．12．（5分）若在区间上是增函数，则实数a 的取值范围为（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣2，+∞）C．（﹣∞，﹣4）D．（﹣∞，﹣4]【解答】解：∵=1﹣2sin2x﹣asinx=﹣2（sin2x+sinx+﹣）+1=﹣2+1+，令t=sinx，则f（x）=g（t）=﹣2+1+．由于t=sinx在区间上是增函数，故t∈（，1），结合f（x）在区间上是增函数，可得g（t）=﹣2+1+在（，1）上单调递增．由于二次函数g（t）的图象的对称轴为x=﹣，∴﹣≥1，∴a≤﹣4，故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线l将圆C：x2+y2+x﹣2y+1=0平分，且与直线x+2y+3=0垂直，则l的方程为2x﹣y+2=0．【解答】解：∵圆C：x2+y2+x﹣2y+1=0的圆心坐标为（﹣，1），直线x+2y+3=0的斜率k=﹣，则与直线x+2y+3=0垂直的直线斜率k=2，∴所求的直线方程为y﹣1=2（x+），即2x﹣y+2=0．故答案为2x﹣y+2=0．14．（5分）已知某射击运动员，每次击中目标的概率都是0.8．现采用随机模拟的方法估计该运动员射击4次，至少击中3次的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标；因为射击4次，故以每4个随机数为一组，代表射击4次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：5727 0293 7140 9857 0347 4373 8636 9647 1417 46980371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 6710 4281据此估计，该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为0.75．【解答】解：由题意知模拟射击4次的结果，经随机模拟产生了如下20组随机数，在20组随机数中表示射击4次至少击中3次的有：5727 0293 9857 0347 4373 8636 9647 46986233 2616 8045 3661 9597 7424 4281，共15组随机数，∴所求概率为=0.75．故答案为0.75．15．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=9，a2为整数，且S n≤S5，则数列的前9项和为﹣．【解答】解：在等差数列{a n}中，设公差为d，由S n≤S5得：可得a5≥0，a6≤0，又∵a1=9，∴，解得﹣≤d≤﹣，∵a2为整数，∴d=﹣2，∴{a n}的通项为：a n=11﹣2n；∴设b n===（﹣），∴数列的前9项和为T9=（﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（﹣+）=﹣．故答案为：﹣．16．（5分）在矩形ABCD中，AB＜BC，现将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折的过程中，给出下列结论：①存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直；②存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直；③存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直．其中正确结论的序号是②．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：如图，AE⊥BD，CF⊥BD，依题意不妨令，AB=1，BC=，AE=CF=，BE=EF=FD=，①，若存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直，则∵BD⊥AE，∴BD⊥平面AEC，从而BD⊥EC，这与已知矛盾，排除①；②，若存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直，则CD⊥平面ABC，平面ABC ⊥平面BCD取BC中点M，连接ME，则ME⊥BD，∴∠AEM就是二面角A﹣BD﹣C的平面角，此角显然存在，即当A在底面上的射影位于BC的中点时，直线AB与直线CD垂直，故②正确；③，若存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则BC⊥平面ACD，从而平面ACD⊥平面BCD，即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上，这是不可能的，排除③；故答案为：②三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3acosC=2ccosA，，（Ⅰ）求B；（Ⅱ）若b=5，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题设条件及正弦定理，得3sinAcosC=2sinCcosA，∴；∵，∴，∴，∵0＜B＜π，∴．（Ⅱ）在△ABC中，由，，得，，由正弦定理，得，解得：，可得：．18．（12分）如图，四棱锥S﹣ABCD中，AB∥CD，BC⊥CD，侧面SAB为等边三角形，AB=BC=2，CD=SD=1．（Ⅰ）证明：SD⊥平面SAB；（Ⅱ）求四棱锥S﹣ABCD的高．【解答】证明：（Ⅰ）如图，取AB的中点E，连结DE，SE，则四边形BCDE为矩形，∴DE=CB=2，∴，∵侧面SAB为等边三角形，AB=2，∴SA=SB=AB=2，且，又∵SD=1，∴SA2+SD2=AD2，SB2+SD2=BD2，∴SD⊥SA，SD⊥SB，∵SA∩SB=S，∴SD⊥平面SAB．解：（Ⅱ）设四棱锥S﹣ABCD的高为h，则h也是三棱锥S﹣ABD的高，由（Ⅰ）知，SD⊥平面SAB，由V S=V D﹣SAB，得，﹣ABD∴，又，，SD=1，∴，故四棱锥S﹣ABCD的高为．19．（12分）我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超过x的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求直方图中a的值；（Ⅱ）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（Ⅲ）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨），估计x 的值，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5=1，解得a=0.30．（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800000×0.12=96000．（Ⅲ）∵前6组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52+0.30）×0.5=0.88＞0.85，而前5组的频率之和为（0.08+0.16+0.30+0.40+0.52）×0.5=0.73＜0.85，∴2.5≤x ＜3由0.3×（x﹣2.5）=0.85﹣0.73，解得x=2.9，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准．20．（12分）已知直线y=k（x﹣2）与抛物线相交于A，B两点，M 是线段AB的中点，过M作y轴的垂线交Γ于点N．（Ⅰ）证明：抛物线Γ在点N处的切线与AB平行；（Ⅱ）是否存在实数k使？若存在，求k的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由消去x并整理，得2k2x2﹣（8k2+1）x+8k2=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴，，由题设条件可知，，，∴，设抛物线Γ在点N处的切线l的方程为，将x=2y2代入上式，得，∵直线l与抛物线Γ相切，∴，∴m=k，即l∥AB．（Ⅱ）假设存在实数k，使，则NA⊥NB，∵M是AB的中点，∴，由（Ⅰ）得=，∵MN⊥y轴，∴，∴，解得，故存在，使．21．（12分）已知函数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＜0，若对∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），求导数，得，若a≤0，则f'（x）＞0，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增，若a＞0，则由f'（x）=0得x=a，当0＜x＜a时，f'（x）＜0，当x＞a时，f'（x）＞0，此时f（x）在（0，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增．（Ⅱ）不妨设x1≤x2，而a＜0，由（Ⅰ）知，f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴f（x1）≤f（x2）从而∀x1，x2∈（0，+∞），|f（x1）﹣f（x2）|≥4|x1﹣x2|等价于∀x1，x2∈（0，+∞），4x1﹣f（x1）≥4x2﹣f（x2）①令g（x）=4x﹣f（x），则，因此，①等价于g（x）在（0，+∞）上单调递减，∴对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴对∀x∈（0，+∞）恒成立，∴，又，当且仅当，即x=1时，等号成立．∴a≤﹣1，故a的取值范围为（﹣∞，﹣1]．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xoy中，曲线C的参数方程为（t为参数，a ＞0）以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为．（Ⅰ）设P是曲线C上的一个动点，当a=2时，求点P到直线l的距离的最小值；（Ⅱ）若曲线C上的所有点均在直线l的右下方，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由，得，化成直角坐标方程，得，即直线l的方程为x﹣y+4=0．依题意，设P（2cost，2sint），则P到直线l的距离，当，即时，．故点P到直线l的距离的最小值为．（Ⅱ）∵曲线C上的所有点均在直线l的右下方，∴对∀t∈R，有acost﹣2sint+4＞0恒成立，即（其中）恒成立，∴，又a＞0，解得，故a 的取值范围为．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．设函数f （x ）=|x ﹣2|+2x ﹣3，记f （x ）≤﹣1的解集为M ． （Ⅰ）求M ；（Ⅱ）当x ∈M 时，证明：x [f （x ）]2﹣x 2f （x ）≤0． 【解答】解：（Ⅰ）由已知，得，当x ≤2时，由f （x ）=x ﹣1≤﹣1，解得，x ≤0，此时x ≤0． 当x ＞2时，由f （x ）=3x ﹣5≤﹣1，解得，显然不成立，故f （x ）≤﹣1的解集为M={x |x ≤0}． （Ⅱ）证明：当x ∈M 时，f （x ）=x ﹣1， 于是，∵函数在（﹣∞，0]上是增函数，∴g （x ）≤g （0）=0，故x [f （x ）]2﹣x 2f （x ）≤0．赠送：初中数学几何模型举例【模型四】 几何最值模型： 图形特征：P ABl运用举例：1. △ABC 中，AB =6，AC =8，BC =10，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为AP 的中点，则MF 的最小值为B2.如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，E为AB的中点，F为AC上一动点，则EF+BF的最小值为_________。