2018届高三数学训练题(74 )：随机事件的频率与概率

训练目标
(1)了解事件间的关系，随机事件的频率与概率的区别与联系，并会计算；
(2)理解互斥事件与对立事件的区别与联系，并会利用公式进行计算．
训练题型(1)利用频率估计概率；(2)求互斥事件，对立事件的概率．
解题策略(1)根据频率与概率的关系，由频率直接估计概率；(2)根据互斥、对立事件的定义分析所给的两个事件的关系，再选择相应的公式求解.
一、选择题
1．容量为20的样本数据，分组后的频数如下表：
分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70) 频数23454 2
则根据样本数据估计落在区间[10,40)的概率为( )
A．0.35 B．0.45
C．0.55 D．0.65
2．(2016·山西四校联考)从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个，则取出的两个数之和为偶数的概率是( )
A.1
6
B.
1
3
C.1
2
D.
1
5
3．甲：A1、A2是互斥事件；乙：A1、A2是对立事件．那么( )
A．甲是乙的充分不必要条件
B．甲是乙的必要不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
4．掷一颗质地均匀的骰子，观察所得的点数为a，设事件A＝“a为3”，B＝“a为4”，C＝“a 为奇数”，则下列结论正确的是( )
A．A与B为互斥事件B．A与B为对立事件
C．A与C为对立事件D．A与C为互斥事件
5．从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是以下事件“①两球都不是白球；②两球恰有一个白球；③两球至少有一个白球”中的( )
A ．①②
B ．①③
C ．②③
D ．①②③
6．(2017·沈阳四校联考)任取一个三位正整数N ，则对数log 2N 是一个正整数的概率是( ) A.1225 B.3899 C.1300
D.1450
7．掷一枚均匀的硬币两次，事件M ：一次正面朝上，一次反面朝上；事件N ：至少一次正面朝上，则下列结果正确的是( ) A ．P (M )＝13，P (N )＝1
2
B ．P (M )＝12，P (N )＝1
2
C ．P (M )＝12，P (N )＝1
4
D ．P (M )＝12，P (N )＝3
4
8．在正六边形的6个顶点中随机选择4个顶点，则构成的四边形是梯形的概率为( ) A.1
5 B.25 C.1
6 D.18
二、填空题
9．在一场比赛中，某篮球队的11名队员共有9名队员上场比赛，其得分的茎叶图如图所示．从上述得分超过10分的队员中任取2名，则这2名队员的得分之和超过35分的概率为________．
10．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取一个数记为x ，则log 2x 为整数的概率为________． 11．将一枚骰子(一种六个面上分别标有1,2,3,4,5,6的正方体玩具)先后抛掷2次，向上的点数分别记为m ，n ，则点P (m ，n )落在区域|x －2|＋|y －2|≤2内的概率是________．
12．设m ，n 分别为连续两次投掷骰子得到的点数，且向量a ＝(m ，n )，b ＝(1，－1)，则向量a ，b 的夹角为锐角的概率是________.
答案精析
1．B [数据落在[10,40)的频率为2＋3＋420＝9
20
＝0.45.故选B.]
2．B [由题意知所有的基本事件有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共6个，和为偶数的基本事件有(1,3)，(2,4)，共2个，故所求概率为26＝1
3.]
3．B [互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件．]
4．A [事件A 与B 不可能同时发生，A ，B 互斥，但不是对立事件，显然A 与C 不是互斥事件，更不是对立事件．]
5．A [从口袋内一次取出2个球，则这个试验所有可能发生的基本事件为(白，白)，(红，红)，(黑，黑)，(红，白)，(红，黑)，(黑，白)，共6个基本事件，当事件A “两球都为白球”发生时，①②不可能发生，且A 不发生时，①不一定发生，②不一定发生，故非对立事件，而A 发生时，③可以发生，故不是互斥事件．]
6．C [三位正整数共有900个，使log 2N 为正整数，N 为29,28,27
共三个，概率为3900＝1300.]
7．D [掷一枚均匀的硬币两次，则所有可能发生的基本事件为{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，M ＝{(正，反)，(反，正)}，N ＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}， 故P (M )＝12，P (N )＝34
.]
8．B [如图为正六边形ABCDEF ，从6个顶点中随机选择4个顶点，共有15种选法，其中构成的四边形是梯形的有ABEF 、BCDE 、ABCF 、CDEF 、ABCD 、ADEF ，共6种选法，故构成的四边形是梯形的概率为P ＝615＝2
5
，故选B.]
9.310
解析 从得分超过10分的队员中任取2名，一共有以下10种不同的取法：(12,14)，(12,15)，(12,20)，(12,22)，(14,15)，(14,20)，(14,22)，(15,20)，(15,22)，(20,22)，其中这2名队员的得分之和超过35分的取法有以下3种：(14,22)，(15,22)，(20,22)，故所求概率P ＝3
10
.
10.49
解析 能使log 2x 为整数的x 有1,2,4,8，所以P ＝4
9.
11.1136
解析 由题意可得所有可能的基本事件共36个． 当m ＝1时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个； 当m ＝2时，1≤n ≤4，故符合条件的基本事件有4个； 当m ＝3时，1≤n ≤3，故符合条件的基本事件有3个；
当m ＝4时，n ＝2，故符合条件的基本事件有1个．故共有11个符合条件的基本事件，即所求概率为1136
. 12.512
解析 向量a ，b 的夹角为锐角，所以a ·b >0，所以m －n >0，即m >n . 所以P ＝5＋4＋3＋2＋16×6＝1536＝5
12.。