辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司2014届高三数学专题复习 函数的图像
2024届高考数学第一轮专项复习：函数的图象 教学PPT课件
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解：如图，作出函数 f （ x ）的图象.当函数 g （ x ）的图象过点 A （2，1）
时， k ＝ ，此时两个函数的图象只有一个交点；当函数 g （ x ）的图象
与直线 y ＝3－ x 平行时， k ＝－1，此时两个函数的图象没有交点.结合
f （ x ）＝ lg（3－ x ）
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考点一
作函数的图象
例1 作出下列函数的图象.
（1） y ＝2 x ＋1－1；
（2） y ＝ x 2－2｜ x ｜－1；
解：（1） 如图①所示. （2） 如图②所示.
①
②
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（3） y ＝｜log2（ x ＋1）｜.
解：（3） 如图③中实线部分所示.
①y＝f（x）
y＝
｜ f （ x ）｜ ；
②y＝f（x）
y＝
f （｜ x ｜） .
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常用结论
1. 函数图象自身的轴对称
（1） f （－ x ）＝ f （ x ）⇔函数 y ＝ f （ x ）的图象关于
y轴
对称；
（2） f （ a ＋ x ）＝ f （ a － x ）⇔函数 y ＝ f （ x ）的图象关于 直线 x
符合题意.
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考点三
函数图象的应用
考向1 利用函数的图象研究函数的性质
例3 （1） 已知函数 f （ x ）＝ x ｜ x ｜－2 x ，则下列结论正确的是
（
C ）
A. f （ x ）是偶函数，单调增区间是（0，＋∞）
B. f （ x ）是偶函数，单调减区间是（－∞，1）
高考数学方法技巧专题13 函数的图像(解析版)
方法技巧专题13函数的图像二、函数的图像备用知识扫描关于函数图像常用结论(1)f(－x)＝f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于y轴对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于x＝a对称⇔f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(x)＝f(2a－x)⇔f(－x)＝f(2a＋x)；(3)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．(1)f(－x)＝－f(x)⇔函数y＝f(x)的图象关于原点对称；(2)函数y＝f(x)的图象关于(a,0)对称⇔f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(x)＝－f(2a－x)⇔f(－x)＝－f(2a＋x)；(3)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)．(1)函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)的图象关于直线x＝b－a2对称(由a＋x＝b－x得对称轴方程)；(2)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称；(3)函数y＝f(x)与y＝2b－f(－x)的图象关于点(0，b)对称；(4)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称平移变换①y ＝f (x )的图象――――――――→a >0，右移a 个单位a <0，左移|a |个单位y ＝f (x －a )的图象；②y ＝f (x )的图象――――――――→b >0，上移b 个单位b <0，下移|b |个单位y ＝f (x )＋b 的图象．“左加右减，上加下减”，左加右减只针对x 本身，与x 的系数,无关，上加下减指的是在f (x )整体上加减.①y ＝f (x )的图象―――――→关于x 轴对称y ＝－f (x )的图象；②y ＝f (x )的图象―――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图象；③y ＝f (x )的图象――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图象；④y ＝a x (a >0且a ≠1)的图象―――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象．①y ＝f (x )的图象―――――――――――――――――――→a >1，横坐标缩短为原来的1a 纵坐标不变0<a <1，横坐标伸长为原来的1a 倍，纵坐标不变y ＝f (ax )的图象．②y ＝f (x )的图象――――――――――――――――――――→a >1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0<a <1，纵坐标缩短为原来的a 倍，横坐标不变y ＝af (x )的图象．①y ＝f (x )的图象――→x 轴下方部分翻折到上方x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图象；②y ＝f (x )的图象――→y 轴右侧部分翻折到左侧原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图象．函数图象的作法：(1)直接法：当函数表达式是基本函数或函数图象是解析几何中熟悉的曲线(如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分)时，就可根据这些函数或曲线的特征直接作出．(2)转化法：含有绝对值符号的函数，可去掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象．(3)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称变换得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序．对不能直接找到熟悉的基本函数的要先变形，并应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响．【例1】作出下列函数的图象．(1)|xy ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；(3)y ＝2x －1x －1；(4)y ＝x 2－2|x |－1.【解析】(1)作出x y ⎪⎭⎫ ⎝⎛=21(x ≥0)的图象，再将xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21(x ≥0)的图象以y 轴为对称轴翻折到y 轴的左侧，即得xy ⎪⎭⎫⎝⎛=21的图象，如图中实线部分．(2)将函数y ＝log2x 的图象向左平移1个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图象，如图中实线部分．(3)因为y ＝2x －1x －1＝2＋1x －1，故函数图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图．(4)因为y 2－2x －1，x ≥0，2＋2x －1，x <0，且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y ＝x 2－2|x |－1的图象，如图．【例2】为了得到函数y ＝log 2x －1的图象，可将函数y ＝log 2x 图象上所有点的()A ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向右平移1个单位B ．纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，再向左平移1个单位C ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位D ．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位【答案】A【解析】把函数y ＝log 2x 的图象上所有点的纵坐标缩短为原来的12，横坐标不变，得到函数y ＝12log 2x 的图象，再向右平移1个单位，得到函数y ＝12log 2(x －1)的图象，即函数y ＝log 2x －1的图象．【例3】设函数y ＝2x －1x －2，关于该函数图象的命题如下：①一定存在两点，这两点的连线平行于x 轴；②任意两点的连线都不平行于y 轴；③关于直线y ＝x 对称；④关于原点中心对称．其中正确的是()A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④【答案】B 【解析】y ＝2x －1x －2＝2(x －2)＋3x －2＝2＋3x －2，图象如图所示，可知②③正确．2.巩固提升综合练习【练习1】分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg(x －1)|；(2)y ＝2x ＋1－1；(3)y ＝x 2－|x |－2；(4)y ＝2x －1x －1.【解析】(1)首先作出y ＝lg x 的图象，然后将其向右平移1个单位，得到y ＝lg(x －1)的图象，再把所得图象在x 轴下方的部分翻折到x 轴上方，即得所求函数y ＝|lg(x －1)|的图象，如图①所示(实线部分)．(2)将y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得到y ＝2x ＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位，得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图②所示．(3)y ＝x 2－|x |－2x 2－x －2，x ≥0，x 2＋x －2，x <0，其图象如图③所示．(4)∵y ＝2＋1x －1，故函数的图象可由y ＝1x 的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图④所示．【二】函数图象的识别识别函数图象的两种方法：(1)直接根据函数解析式作出函数图象，或者是根据图象变换作出函数的图象．(2)间接法筛选错误与正确的选项可从如下几个方面入手：①从函数的定义域判断图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；②从函数的单调性判断图象的上升、下降趋势；③从函数的奇偶性判断图象的对称性；④从函数的周期性判断图象的循环往复；⑤从特殊点出发排除不符合要求的选项．【例1】已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，则正比例函数y ＝(b ＋c )x 与反比例函数y ＝a －b ＋cx()【答案】C【解析】由二次函数图象可知a >0，c >0，由对称轴x ＝－b2a >0，可知b <0，故a －b ＋c >0.当x ＝1时，a ＋b＋c <0，即b ＋c <0，所以正比例函数y ＝(b ＋c )x 的图象经过二、四象限，反比例函数y ＝a －b ＋cx的图象经过一、三象限．故选C ．【例2】函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为()【答案】D【解析】当x ＝0时，y ＝2，所以排除A ，B 项；当x ＝22时，y ＝－14＋12＋2＝94>2，所以排除C 项．故选D ．【练习1】在同一直角坐标系中，函数，(a>0，且a≠1)的图象可能是（）【答案】D【解析】当时，函数的图象过定点且单调递减，则函数的图象过定点且单调递增，函数的图象过定点且单调递减，D选项符合；当时，函数的图象过定点且单调递增，则函数的图象过定点且单调递减，函数的图象过定点且单调递增，各选项均不符合.综上，选D.【练习2】函数y=2|x|sin2x的图象可能是（）A B C D【答案】D【解析】令，因为，所以为奇函数，排除选项A,B;因为时，，所以排除选项C ，故选D ．【例3】若函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝－f (x ＋1)的图象大致为()【答案】C【解析】)1()1()(+-=−−−−−→−+=−−−−→−=x f y x f y x f y x 轴对称（翻转）关于左平移一个单位，故选C三】通过图象变换识别函数图象要掌握的两点(1)熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等函数的图象)；(2)了解一些常见的变换形式，如平移变换、翻折变换．【例1】如图所示的函数图象，对应的函数解析式可能是（）A ．221x y x =--B ．2sin y x x =C ．ln x y x=D ．()22xy x x e=-【答案】D 【解析】2sin y x x =为偶函数，其图象关于y 轴对称，∴排除B. 函数ln xy x=的定义域为{}110|><<x x x 或，∴排除C .对于221x y x =--，当2x =-时，()222210y -=---<，∴排除A【例2】已知图①中的图象是函数y ＝f (x )的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (－|x |)【答案】C【解析】图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y ＝f (x )的图象在y 轴右侧的部分，然后将y 轴左侧图象翻折到y 轴右侧，y 轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y ＝f (－|x |)．故选C ．2.巩固提升综合练习【练习1】函数()y f x =的图象如图所示,则()f x 的解析式可以为（）A ．1()x f x e x=-B ．31()f x x x=-C ．21()f x x x=-D ．1()ln f x x x=-【答案】A 【解析】利用排除法：对于B ,令()0f x =得3410,1x x x-=∴=,1x ∴=±,即()f x 有两个零点，不符合题意；对于C ,当0x <时，()22233111113322224x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---+≤--⨯-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，当且仅当2311,22x x x =-=时等号成立，即函数在区间(),0-∞上存在最大值，不符合题意；对于D ,()f x 的定义域为(0,)+∞，不符合题意；本题选择A 选项.【练习2】已知函数()f x 的图象如图所示，则()f x 的解析式可能是（）A ．31()21f x x x =--B ．31()21f x x x =+-C ．31()21f x x x =-+D ．31()21f x x x =++【答案】A 【解析】因为CD 中12x ≠-，所以不选；因为,()x f x →+∞→-∞，所以选A.【四】函数图像的应用函数图像的应用：(1)利用函数图象研究函数性质，一定要注意其对应关系．(2)利用函数的图象研究方程根的个数：当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f (x )＝0的根就是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标，方程f (x )＝g (x )的根就是函数f (x )与g (x )图象交点的横坐标．(3)利用函数的图象研究不等式：当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．1.例题【例1】已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是()A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)【答案】C【解析】将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0，画出函数f (x )的图象，如图，观察图象可知，函数f (x )的图象关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．【例2】函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )＞0在(－1,3)上的解集为()A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】C【解析】作出函数f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1,0)；当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得x ∈∅；当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得x ∈(1,3)．所以x ∈(－1,0)∪(1,3)．【例3】对任意实数a ，b 定义运算“⊙”：a ⊙b b ，a －b ≥1，a ，a －b <1，设f (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )＋k ，若函数f (x )的图象与x 轴恰有三个交点，则k 的取值范围是()A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)【答案】D【解析】令g (x )＝(x 2－1)⊙(4＋x )4＋x ，x ≤－2或x ≥3，x 2－1，－2<x <3，其图象如图所示．f (x )＝g (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个交点，即y ＝g (x )与y ＝－k 的图象恰有三个交点，由图可知－1<－k ≤2，即－2≤k <1.故选D ．2.巩固提升综合练习【练习1】已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0<m <n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，则nm ＝________.【答案】9【解析】作出函数f (x )＝|log 3x |的图象，观察可知0<m <1<n 且mn ＝1.若f (x )在[m 2，n ]上的最大值为2，从图象分析应有f (m 2)＝2，∴log 3m 2＝－2，∴m 2＝19.从而m ＝13，n ＝3，故n m＝9.【练习2】已知f (x )x |，x >0，|x |，x ≤0，则函数y ＝2[f (x )]2－3f (x )＋1的零点个数是__________．【答案】5【解析】方程2[f (x )]2－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝12或f (x )＝1，作出y ＝f (x )的图象，由图象知零点的个数为5.四1．要得到g (x )＝log 2(2x )的图象，只需将函数f (x )＝log 2x 的图象()A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向上平移1个单位D ．向下平移1个单位【答案】C【解析】因为log 2(2x )＝1＋log 2x ＝g (x )，所以要得到g (x )的图象只需将y ＝f (x )＝log 2x 的图象向上平移1个单位．2．函数f (x )＝e 2x ＋1ex 的图象()A ．关于原点对称B ．关于直线y ＝x 对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【答案】D【解析】因为f (x )＝e 2x ＋1e x ＝e x ＋e －x (x ∈R )，所以f (－x )＝e －x ＋e x ＝f (x )，所以f (x )＝e 2x ＋1ex 为偶函数，所以f (x )＝e 2x ＋1ex 的图象关于y 轴对称．故选D ．3．已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，且满足f (x )－f (－x )＝0，当x ＞0时，f (x )＝ln x －x ＋1，则函数y ＝f (x )的大致图象为()【答案】D【解析】由f (x )－f (－x )＝0得函数f (x )为偶函数，排除A ，B 项；又当x >0时，f (x )＝ln x －x ＋1，所以f (1)＝0，f (e)＝2－e<0.故选D ．4．设奇函数f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝0，则不等式f (x )－f (－x )x<0的解集为()A ．(－1,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，－1)∪(0,1)C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D ．(－1,0)∪(0,1)【答案】D【解析】因为f (x )为奇函数，所以不等式f (x )－f (－x )x<0可化为f (x )x <0，f (x )的大致图象如图所示，所以不等式的解集为(－1,0)∪(0,1)．5．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A ．()ln f x x x =B ．()xf x xe =C ．ln ()x f x x=D ．()x e f x x=【答案】C【解析】分析：分别求出函数的导数，确定函数的单调性后可选择正确答案．详解：A ．'()ln 1f x x =+，显然在1(0,)e上()f x 递减，；B ．'()(1)x f x x e =+，在(1,)-+∞上()f x 递增；C ．21ln '()x f x x -=，在(0,)e 上递增，在(,)e +∞上递减且此时()0f x >；D ．2(1)'()x e x f x x -=，在(0,1)上()f x 递减．只有C 符合要求．故选C ．6．设函数()()f x x R ∈满足()()()()0,2f x f x f x f x --==-,则()y f x =的图象可能()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】由()()0f x f x --=得()()f x f x =-，即函数()f x 是偶函数，排除,A C由()()2f x f x =-,得()()()2f x f x f x =-=-，即函数关于1x =-对称，排除D本题正确选项：B7．函数f （x ）=3344x x -的大数图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题知，函数()f x 满足()333()3()4444x x x x f x f x ---==-=---，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除C 、D 项；又由当()0,1x ∈时，函数()f x 的值小于0，排除B ，故选A.8．若函数m y x +⎪⎭⎫ ⎝⎛=-121的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．【答案】[－1,0)【解析】首先作出y －x |的图象(如图所示)，欲使y －x |＋m 的图象与x 轴有交点，则－1≤m <0.9．已知函数f (x )2x ，x >0，x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )－a ＝0有两个实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】(0,1]【解析】当x ≤0时，0<2x ≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即f (x )＝a 有两个根，则0<a ≤1.10．定义在R 上的函数f (x )x |，x ≠0，，x ＝0，关于x 的方程f (x )＝c (c 为常数)恰有三个不同的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1＋x 2＋x 3＝________.【答案】0【解析】函数f (x )的图象如图，方程f (x )＝c 有三个根，即y ＝f (x )与y ＝c 的图象有三个交点，易知c ＝1，且一根为0，由lg|x |＝1知另两根为－10和10，所以x 1＋x 2＋x 3＝0.11．已知函数y ＝f (x )及y ＝g (x )的图象分别如图所示，方程f (g (x ))＝0和g (f (x ))＝0的实根个数分别为a 和b ，则a ＋b ＝________.【答案】10【解析】由图象知f (x )＝0有3个根，分别为0，±m (m ＞0)，其中1＜m ＜2，g (x )＝0有2个根，设为n ，p ，则－2＜n ＜－1，0＜p ＜1，由f (g (x ))＝0得g (x )＝0或±m ，由图象可知当g (x )所对应的值为0，±m 时，其都有2个根，因而a ＝6；由g (f (x ))＝0知f (x )＝n 或p ，由图象可以看出当f (x )＝n 时，有1个根，而当f (x )＝p 时，有3个根，即b ＝1＋3＝4.所以a ＋b ＝6＋4＝10.12．已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)若方程f (x )＝a 只有一个实数根，求a 的取值范围．【解析】(1)因为f (4)＝0，所以4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)由题意得f (x )＝x |x －4|(x －4)＝(x －2)2－4，x ≥4，x (x －4)＝－(x －2)2＋4，x <4，f (x )的图象如图所示．(3)由图象知f (x )的单调递减区间是[2,4]．(4)由f (x )的图象可知当a >4或a <0时，f (x )的图象与直线y ＝a 只有一个交点，方程f (x )＝a 只有一个实数根，即a 的取值范围是(－∞，0)∪(4，＋∞)．13．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．【解析】(1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于点(0,1)的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，所以y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)．(2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x2.因为g (x )在(0,2]上为减函数，所以1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，所以a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞)．14．已知函数f (x )＝2x ，x ∈R .(1)当m 取何值时方程|f (x )－2|＝m 有一个解？两个解？(2)若不等式[f (x )]2＋f (x )－m >0在R 上恒成立，求m 的取值范围．【解析】(1)令F (x )＝|f (x )－2|＝|2x －2|，G (x )＝m ，画出F (x )的图象如图所示：由图象看出，当m ＝0或m ≥2时，函数F (x )与G (x )的图象只有一个交点，原方程有一个解；当0<m <2时，函数F (x )与G (x )的图象有两个交点，原方程有两个解．(2)令2x ＝t (t >0)，H (t )＝t 2＋t ，因为H (t )－14在区间(0，＋∞)上是增函数，所以当t >0时，H (t )>H (0)＝0.因此要使t 2＋t >m 在区间(0，＋∞)上恒成立，应有m ≤0，即所求m 的取值范围为(－∞，0]．。
【金版教程】2014届高考数学总复习 第3章 第4讲 正弦型函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用课件 理 新人教A版
③ω的确定：结合图象，先求出周期T，然后由T＝
2π ω
(ω>0)来确定ω；
④φ的确定：ⅰ)代入法：把图象上一个已知点代入解析式(此 时，A，ω，k已知)，一般代最值点，代其它点时要注意所代 点处于上升区间还是下降区间上． ⅱ)五点法：往往寻找“五点法”中的点为突破，具体如下： 起始点(即图象上升时与x轴的交点)时，ωx＋φ＝0；
π 6
1 (3)cos2x
cos(12x－1π2)
核心要点研究
例1 [2013·无锡模拟]f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝ f(x)图象的一条对称轴是直线x＝8π.
(1)求φ； (2)画出函数y＝f(x)在区间上[0，π]的图象．
[审题视点] (1)根据题目给出的图象特征对称轴，确定参 数φ的值；(2)采用“五点法”作图，应注意定义域为[0，π]．同 时注意列表时要列端点值．
[变式探究] [2013·福建厦门模拟]已知向量a＝(sinx， 2 3sinx)，b＝(2cosx，sinx)，定义f(x)＝a·b－ 3.
[变式探究]
已知函数f(x)＝sin(ωx＋
π 4
)(x∈R，ω>0)的
最小正周期为π，为了得到函数g(x)＝cosωx的图象，只要将
y＝f(x)的图象( )
A．向左平移8π个单位长度 B．向右平移8π个单位长度
C．向左平移π4个单位长度 D．向右平移4π个单位长度 答案：A
解析：由题意得2ωπ＝π，ω＝2，∴f(x)＝sin(2x＋π4)，g(x)
[审题视点] 利用函数图象的平移和伸缩的变换规律逐步 完成．
[解析] y＝cos2x＋1通过伸缩、平移变换后得到y＝cos(x＋ 1)，对应图象为A项．
2014届高考人教A版数学(理)一轮复习讲义2.7函数图象
第7讲函数图象【2014年高考会这样考】1．利用函数图象的变换(平移、对称、翻折、伸缩)作函数图象的草图．2．根据函数的解析式辨别函数图象．3．应用函数图象解决方程、不等式等问题．4．利用函数图象研究函数性质或求两函数图象的交点个数.对应学生28考点梳理1．函数图象的变换(1)平移变换①水平平移：y＝f(x±a)(a＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．②竖直平移：y＝f(x)±b(b＞0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．Z_xx_k(2)对称变换①y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．②y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．③y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(3)伸缩变换①y＝af(x)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)图象上每点的纵坐标伸(a＞1时)或缩(a ＜1时)到原来的a倍，横坐标不变．②y＝f(ax)(a＞0)的图象，可将y＝f(x)的图象上每点的横坐标伸(a＜1时)或缩(a＞1时)到原来的1a倍，纵标标不变．(4)翻折变换①作出y＝f(x)的图象，将图象位于x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，得到y＝|f(x)|的图象；②作出y＝f(x)在y轴上及y轴右边的图象部分，并作y轴右边的图象关于y轴对称的图象，即得y ＝f (|x |)的图象．2．等价变换例如：作出函数y ＝1－x 2的图象，可对解析式等价变形y ＝1－x 2⇔⎩⎨⎧ y ≥0，1－x 2≥0，y 2＝1－x 2⇔⎩⎨⎧y ≥0，y 2＝1－x 2⇔x 2＋y 2＝1(y ≥0)，可看出函数的图象为半圆．此过程可归纳为：(1)写出函数解析式的等价组；(2)化简等价组；(3)作图．3．描点法作图方法步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数的解析式；(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势)；(4)描点连线，画出函数的图象．【助学·微博】一条主线数形结合的思想方法是学习函数内容的一条主线，也是高考考查的热点．作函数图象首先要明确函数图象的形状和位置，而取值、列表、描点、连线只是作函数图象的辅助手段，不可本末倒置．两个区别(1)一个函数的图象关于原点对称与两个函数的图象关于原点对称不同，前者是自身对称，且为奇函数，后者是两个不同的函数对称．(2)一个函数的图象关于y 轴对称与两个函数的图象关于y 轴对称也不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者也是两个不同函数的对称关系． 三种途径明确函数图象形状和位置的方法大致有以下三种途径．(1)图象变换：平移变换、伸缩变换、对称变换．(2)函数解析式的等价变换．(3)研究函数的性质，描点作图．考点自测1．(人教A 版教材习题改编)为了得到函数y ＝lg x ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )．A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度解析 y ＝lg x ＋310＝lg(x ＋3)－1可由y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度，向下平移1个单位长度而得到．答案 C2．(2013·太原一模)已知函数f (x )＝2x －2，则函数y ＝|f (x )|的图象可能是( )．解析 函数y ＝|f (x )|＝⎩⎨⎧2x －2，x ≥1，2－2x ，x <1，故y ＝|f (x )|在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数，排除A ，C ，D.答案 B3．(2011·陕西)函数y ＝x 13的图象是( )．解析 该题考查幂函数的图象与性质，解决此类问题首先是考虑函数的性质，尤其是奇偶性和单调性，再与函数y ＝x 比较即可．由(－x )13＝－x 13知函数是奇函数．同时由当0＜x ＜1时，x 13＞x ，当x ＞1时，x 13＜x ，知只有B 选项符合．答案 B4．当a ≠0时，y ＝ax ＋b 与y ＝(b a )x 的图象大致是( )．解析 A 中，a >0，b ＝1，b a ＝1，很容易排除；B 中，a >0，b >1，故b a >1，函数y ＝(b a )x 单调递增，也可排除；C 、D 中，a <0，0<b <1，故b a >1，排除D.故选C.答案 C5．直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析 y ＝x 2－|x |＋a 是偶函数，图象如图所示，由图象可知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，需满足a －14<1<a ，∴1<a <54. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54对应学生29考向一 作函数图象【例1】►作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋1－1；(2)y ＝sin|x |；(3)y ＝|log 2(x ＋1)|.[审题视点] 根据函数性质通过平移，对称等变换作出函数图象．解 (1)y ＝2x ＋1－1的图象可由y ＝2x 的图象向左平移1个单位，得y ＝2x ＋1的图象，再向下平移一个单位得到y ＝2x ＋1－1的图象，如图①所示．(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图象完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，其图象关于y 轴对称，如图②所示．(3)首先作出y ＝log 2x 的图象c 1，然后将c 1向左平移1个单位，得到y ＝log 2(x＋1)的图象c 2，再把c 2在x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，即为所求图象c 3：y ＝|log 2(x ＋1)|.如图③所示(实线部分)．(1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再利用图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，以简化作图过程．【训练1】 分别画出下列函数的图象：(1)y ＝|lg x |； (2)y ＝2x ＋2；(3)y ＝x 2－2|x |－1； (4)y ＝x ＋2x －1. 解 (1)y ＝⎩⎨⎧ lg x ，x ≥1.－lg x ，0<x <1.图象如图①. (2)将y ＝2x 的图象向左平移2个单位．图象如图②.(3)y ＝⎩⎨⎧x 2－2x －1 (x ≥0)，x 2＋2x －1 (x <0).图象如图③. (4)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x 的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图④.考向二 函数图象的辨识【例2】►(2012·山东)函数y ＝cos 6x 2x －2－x的图象大致为( )．[审题视点] 利用函数的奇偶性及函数值的变化规律求解．解析 函数为奇函数，所以其图象关于原点对称，排除A ；令y ＝0得cos 6x＝0，所以6x ＝π2＋k π(k ∈Z )，x ＝π12＋k 6π(k ∈Z )，函数的零点有无穷多个，排除C ；函数在y 轴右侧的第一个零点为⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，又函数y ＝2x －2－x 为增函数，当0<x <π12时，y ＝2x －2－x >0，cos 6x >0，所以函数y ＝cos 6x 2x －2－x>0，排除B ；选D.答案D函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复．【训练2】 如图所示，动点P 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，过点P 作垂直于平面BB 1D 1D 的直线，与正方体表面相交于M ，N ，设BP ＝x ，MN ＝y ，则函数y ＝f (x )的图象大致是( )．解析 选B.在P 点由B 点向D 1点运动的过程中，考虑P 点的特殊位置，即考虑P 点为BD 1的中点时，此时，M ，N 分别为AA 1和CC 1的中点，MN 的值最大，故排除A ，C .取AA 1中点E 和CC 1中点F ，则BE ，BF 分别为点M ，N的运动轨迹，所以有tan ∠EBD 1＝12y x ，故y ＝2x ·tan ∠EBD 1，而∠EBD 1为定值，故f (x )的图象为线段．排除D.答案 B 考向三 函数图象的应用【例3】►已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．[审题视点] 利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解 f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2－1， x ∈(－∞，1]∪[3，＋∞)－(x －2)2＋1， x ∈(1，3)作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．(1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质．(2)利用函数图象可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题．【训练3】 (2012·天津)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析 y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≤－1或x >1，－x －1，－1<x <1，函数y＝kx－2恒过定点M(0，－2)，k MA＝0，k MB＝4.当k＝1时，直线y＝kx －2在x>1时与直线y＝x＋1平行，此时有一个公共点，∴k∈(0,1)∪(1,4)，两函数图象恰有两个交点．答案(0,1)∪(1,4)对应学生30热点突破7——函数图象的辨识【命题研究】从近三年的高考试题来看，图象的辨识与对称性以及利用图象研究函数的性质、方程、不等式的解是高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，属中低档题，主要考查基本初等函数的图象的应用以及数形结合思想．预测2014年高考仍将以识图、用图为主要考向，重点考查函数的图象性质以及方程、不等式与图象的综合问题．【真题探究】►(2012·新课标全国)已知函数f(x)＝1ln(x＋1)－x，则y＝f(x)的图象大致为()．[教你审题] 观察函数f (x )及四个选项的特点，从函数的定义域、值域、单调性入手或用特殊点验证．[解法] 函数f (x )的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，排除D ；又f (1)＝1ln 2－1<0，排除A ；g ′(x )＝1x ＋1－1＝－1x ＋1. 当－1<x <0时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，∴g (x )<g (0)＝0，∴f (x )在(－1,0)上单调递减且小于0，排除C.故选B.[答案] B[反思] (1)对基本函数的关系式、定义域、值域细心研究，抓住其关键点、单调性、奇偶性等特征，作为判断图象的依据．(2)要掌握判断函数图象的一些基本方法，如：特殊点法(利用特殊点筛选淘汰)，导数法(借助导数判断单调性、凹凸性)，辅助线法(借助辅助线判断点的位置、图象凹凸状况)，平移法，对称法等．【试一试】 (2011·山东)函数y ＝x 2－2sin x 的图象大致是( )．解析 y ′＝12－2cos x ．令y ′＝0，得cos x ＝14，则这个方程有无穷多解，即函数y ＝x 2－2sin x 有无穷多个极值点，又函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．排除A ，B ，D ，故选C.答案 C对应学生237 A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．函数y ＝e sin x (－π≤x ≤π)的大致图象为 ( )．解析 因－π≤x ≤π，由y ′＝e sin x cos x >0，得－π2<x <π2.则函数y ＝e sin x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上为增函数，排除A 、B 、C ，故选D. 答案 D2．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数对(a ，b )共有( )． A ．2对 B ．5对 C ．6对 D ．无数对解析 显然f (x )＝4|x |＋2－1为偶函数．其图象如图所示． f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2－1，x ≥0，－4x －2－1，x <0， 要使值域y ∈[0,1]，且a ，b ∈Z ，则a ＝－2，b ＝0,1,2；a ＝－1，b ＝2；a ＝0，b ＝2，∴共有5对． 答案 B 3．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x －tan x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2<x <π2，若实数x 0是函数y ＝f (x )的零点，且0<t <x 0，则f (t )的值( )． A ．大于1 B ．大于0 C ．小于0 D ．不大于0解析 分别作出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 与y ＝tan x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上的图象，得到0<x 0<π2，且在区间(0，x 0)内，函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x 的图象位于函数y ＝tan x 的图象上方，即0<x <x 0时，f (x )>0，则f (t )>0，故选B.答案 B4．如图，正方形ABCD 的顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，0，顶点C 、D 位于第一象限，直线l ：x ＝t (0≤t ≤2)将正方形ABCD 分成两部分，记位于直线l 左侧阴影部分的面积为f (t )，则函数S ＝f (t )的图象大致是 ( )．解析 当直线l 从原点平移到点B 时，面积增加得越来越快；当直线l 从点B 平移到点C 时，面积增加得越来越慢．故选C.答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设函数f (x )＝|x ＋2|＋|x －a |的图象关于直线x ＝2对称，则a 的值为________． 解析 因为函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，则有f (2＋x )＝f (2－x )对于任意实数x 恒成立，即|x ＋4|＋|x ＋2－a |＝|x －4|＋|x －2＋a |对于任意实数x 恒成立，从而有⎩⎨⎧2－a ＝－4，a －2＝4，解得a ＝6. 答案 66．(2011·新课标全国)函数y ＝11－x 的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于________．解析 函数y ＝11－x ＝－1x －1和y ＝2sin πx 的图象有公共的对称中心(1,0)，画出二者图象如图所示，易知y ＝11－x与y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象共有8个交点，不妨设其横坐标为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，x 6，x 7，x 8，且x 1<x 2<x 3<x 4<x 5<x 6<x 7<x 8，由对称性得x 1＋x 8＝x 2＋x 7＝x 3＋x 6＝x 4＋x 5＝2，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＋x 6＋x 7＋x 8＝8.答案 8三、解答题(共25分)7．(12分)讨论方程|1－x |＝kx 的实数根的个数．解 设y ＝|1－x |，y ＝kx ，则方程的实根的个数就是函数y ＝|1－x |的图象与y ＝kx 的图象交点的个数．由右边图象可知：当－1≤k <0时，方程没有实数根；当k ＝0或k <－1或k ≥1时，方程只有一个实数根；当0<k <1时，方程有两个不相等的实数根．8．(13分)已知函数f (x )＝x 1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x 1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x 的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )有两个单调递增区间：(－∞，－1)，(－1，＋∞)．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．函数＝ln 1|2x －3|的大致图象为(如图所示) ( )．解析 y ＝－ln|2x －3|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －ln (2x －3)，x >32，－ln (3－2x )，x <32，故当x >32时，函数为减函数，当x <32时，函数为增函数．答案 A2．(2012·江西)如右图，已知正四棱锥S －ABCD 所有棱长都为1，点E 是侧棱SC 上一动点，过点E 垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分．记SE ＝x (0<x <1)，截面下面部分的体积为V (x )，则函数y ＝V (x )的图象大致为 ( )．解析 (1)当0<x <12时，过E 点的截面为五边形EFGHI (如图1所示)，连接FI ，由SC 与该截面垂直知，SC ⊥EF ，SC ⊥EI ，∴EF ＝EI ＝SE tan 60°＝3x ，SI ＝2SE ＝2x ，IH ＝FG ＝BI ＝1－2x ，FI ＝GH ＝2AH ＝2 2x ，∴五边形EFGHI的面积S ＝FG ×GH ＋12FI × EF 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12FI 2＝22x －32x 2，∴V (x )＝V C －EFGHI ＋2V I －BHC ＝13(22x －32x 2)×CE ＋2×13×12×1×(1－2x )×22(1－2x )＝2x 3－2x 2＋26，其图象不可能是一条线段，故排除C ，D.(2)当12≤x <1时， 过E 点的截面为三角形，如图2，设此三角形为△EFG ，则EG ＝EF ＝EC tan 60°＝3(1－x )，CG ＝CF ＝2CE ＝2(1－x )，三棱锥E －FGC底面FGC 上的高h ＝EC sin 45°＝22(1－x )，∴V (x )＝13×12CG ·CF ·h ＝23(1－x )3，∴V ′(x )＝－2(1－x )2，又显然V ′(x )＝－2(1－x )2在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递增，V ′(x )<0⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1， ∴函数V (x )＝23(1－x )3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减，且递减的速率越来越慢，故排除B ，应选A.答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________． ] 解析 作出函数y ＝log 2(－x )及y ＝x ＋1的图象．其中y ＝log 2(－x )与y ＝log 2 x 的图象关于y 轴对称，观察图象(如图所示)知－1<x <0，即x ∈(－1,0)．也可把原不等式化为⎩⎨⎧－x >0，－x <2x ＋1后作图．答案 (－1,0)4．(2011·北京)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x <2.若关于x 的方程f (x )＝k 有两个不同的实根，则实数k 的取值范围是________．解析 作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x，x ≥2，(x －1)3，x <2的简图，方程f (x )＝k 有两个不同的实根，也就是函数f (x )的图象与直线y ＝k 有两个不同的交点，所以0<k <1.答案 (0,1)三、解答题(共25分)5．(12分)已知函数f (x )＝x |m －x |(x ∈R )，且f (4)＝0.(1)求实数m 的值；(2)作出函数f (x )的图象并判断其零点个数；(3)根据图象指出f (x )的单调递减区间；(4)根据图象写出不等式f (x )>0的解集；(5)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有三个不相等的实根}．解 (1)∵f (4)＝0，∴4|m －4|＝0，即m ＝4.(2)∵f (x )＝x |m －x |＝x |4－x |＝⎩⎨⎧x (x －4)，x ≥4，－x (x －4)，x <4.∴函数f (x )的图象如图：由图象知f (x )有两个零点．(3)从图象上观察可知：f (x )的单调递减区间为[2,4]． ](4)从图象上观察可知：不等式f (x )>0的解集为：{x |0<x <4或x >4}．(5)由图象可知若y ＝f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则0<m <4，∴集合M ＝{m |0<m <4}．6．(13分)设函数f (x )＝x ＋1x (x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞))的图象为C 1，C 1关于点A (2,1)的对称的图象为C 2，C 2对应的函数为g (x )．(1)求函数y ＝g (x )的解析式，并确定其定义域；(2)若直线y ＝b 与C 2只有一个交点，求b 的值，并求出交点的坐标．解 (1)设P (u ，v )是y ＝x ＋1x上任意一点， ∴v ＝u ＋1u ①.设P 关于A (2,1)对称的点为Q (x ，y )，∴⎩⎨⎧ u ＋x ＝4，v ＋y ＝2⇒⎩⎨⎧ u ＝4－x ，v ＝2－y ，代入①得2－y ＝4－x ＋14－x ⇒y ＝x －2＋1x －4， ∴g (x )＝x －2＋1x －4(x ∈(－∞，4)∪(4，＋∞))． (2)联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝b ，y ＝x －2＋1x －4⇒x 2－(b ＋6)x ＋4b ＋9＝0，∴Δ＝(b ＋6)2－4×(4b ＋9)＝b 2－4b ＝0⇒b ＝0或b ＝4.∴当b ＝0时得交点(3,0)；当b ＝4时得交点(5,4)．。
辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学第07章立体几何
辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学第07章立体几何新人s教A版"【知识图解】【方法点拨】立体几何研究的是现实空间，认识空间图形，可以培养学生的空间想象能力、推理论证能力、运用图形语言进行交流的能力以及几何直观能力。
空间的元素是点、线、面、体，对于线线、线面、面面的位置关系着重研究它们之间的平行与垂直关系，几何体着重研究棱柱、棱锥和球。
在复习时我们要以下几点：1．注意提高空间想象能力。
在复习过程中要注意：将文字语言转化为图形，并明确已知元素之间的位置关系及度量关系；借助图形来反映并思考未知的空间形状与位置关系；能从复杂图形中逻辑的分析出基本图形和位置关系，并借助直观感觉展开联想与猜想，进行推理与计算。
2．归纳总结，分门别类。
从知识上可以分为：平面的基本性质、线线、线面、面面的平行与垂直、空间中角与距离的计算。
3．抓主线，攻重点。
针对一些重点内容加以训练，平行和垂直是位置关系的核心，而线面垂直又是核心的核心，角与距离的计算已经降低要求。
4．复习中要加强数学思想方法的总结与提炼。
立体几何中蕴含着丰富的思想方法，如：将空间问题转化成平面图形来解决、线线、线面与面面关系的相互转化、空间位置关系的判断及角与距离的求解转化成空间向量的运算。
第1课空间几何体【考点导读】1．观察认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构；2．能画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合）的三视图，能识别上述的三视图所表示的立体模型，会用斜二侧法画出它们的直观图；3．通过观察用两种方法（平行投影与中心投影）画出的视图与直观图，了解空间图形的不同表示形式；4.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式。
【基础练习】1．一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有14 条棱，8 个面；②如果它是棱柱，那么它有12 条棱 6 个面。
2.（1）如图，在正四面体A－BCD中，E、F、G分别是三角形ADC、ABD、BCD的中心，则△EFG在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是③④ 。
辽宁省大连真金教育信息咨询有限公司高三数学 函数 函
辽宁省大连真金教育信息咨询有限公司高三数学复习专练 函数：函数性质---单调性一、 函数的单调性1、 定义：对于函数()f x 的定义域内某个区间上自变量的任意连个值1x ，2x 。
⑴若当12x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 在这个区间上是增函数。
⑵若当12x x <时，都有12()()f x f x >，则称()f x 在这个区间上是减函数。
2、 单调性的判断方法⑴常规函数判断单调性①定义法：12,x x ∈定义域，且12x x <，若12()()f x f x <，则函数为增函数；若12()()f x f x >，则函数为减函数。
②求导法：对函数进行求导，判断导数正负，若'()0f x >，则函数为增函数；若'()0f x <，则函数为减函数。
⑵符合函数判断单调性：同增异减。
3、 单调性常见题型⑴求单调区间⑵判断函数的单调性⑶利用单调性求过程系数和解不等式练习题：1、函数2()23f x x x =+-的递增区间为（ ）A. (,3]-∞-B. [3,1]-C. (,1]-∞-D. [1,)-+∞2、下列函数中，在区间(0,2)上递增的是（ ）A. 1y x =B. y x =-C. 1y x =-D. 221y x x =++3、在区间(,0)-∞上为增函数的是（ ）A. 2y x =-B. 2y x = C. y x = D. 2y x =-4、函数111y x =-- （ ）A.在(1,)-+∞内是单调递增B.在(1,)-+∞内是单调递减C.在(1,)+∞内是单调递减D.在(1,)+∞内是单调递增5、如果函数y kx b =+在R 上单调递减，则（ ）A. 0k >B. 0k <C. 0b >D. 0b <6、如果函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4]-∞上是减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A [3,)-+∞ B. (,3]-∞- C. (,5]-∞ D. [3,)+∞7、函数2()23f x x mx =-+，在(,1)-∞-上是减函数，在[1,)-+∞上是增函数，则m =________8、函数243()2x x f x -+-=的递增区间为_________9、函数212()log (43)f x x x =-+-的递减区间__________10、求20.5log (32)y x x =-+的单调区间及单调性。
2014届高考数学总复习课时讲义21函数的图象
函数的图象一、知识回顾：数形结合是中学数学的重要的数学思想方法，尤其是函数的图象更是历年高考的热点.函数图象是函数的一种表达形式，形象的显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题的结果的重要工具.1. 用描点法作函数的图象.2. 正比例函数、反比例函数、二次函数的图象及几种基本初等函数的图象.3. 图象变换与变量替换的关系 (1)平移变换（2）对称变换：()()y f x y f x =→=-， ()y f x =-，(2)y f a x =-，1()y f x -= ， ()y f x =-- ，()y f x = ，()y f x =（3）伸缩变换：()()(0)y f x y f ax a =→=> ， ()(0)y af x a =>4.作函数图像的一般步骤是：（1） 求出函数的定义域；（2）化简函数式；（3）讨论函数的性质（如奇偶性、周期性、单调性）以及图像上的特殊点、线（如极值点、渐近线、对称轴等）；（4）利用基本函数的图像画出所给函数的图像。
二、 基本训练1、 画出下列函数的图像（1）)(log 21x y -= （2）x y )21(-= （3）x y 2log = （4）12-=x y2、 要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到。
3、 当1>a 时，在同一坐标系中函数x a y -=与x y a log =的图像是 （ ）4、已知函数)(x f 的图像关于直线1-=x 对称，且当()+∞∈,0x 时，有xx f 1)(=，则当()2,-∞-∈x 时，)(x f 的解析式是（ ）（A ）x 1- （B ）21+x （C ）21+-x （D ）x-215、将函数x y 2sin =按向量⎪⎭⎫⎝⎛-=1,6πa 平移后的函数解析式是（A ）1)32sin(++=πx y （B ）1)32sin(+-=πx y(A)(C) (D)(B)（C ）1)62sin(++=πx y （D ）1)62sin(+-=πx y三、 例题分析例1(1)已知函数d cx bx ax x f +++=23)(的图象如右图所示,则)0,()-∞∈b A )1,0()∈b B )2,1()∈b C ),2()+∞∈b D(2)将函数a ax by ++=的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线y=x 对称,那么 ( )0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C R b a D ∈=,0)((3)如图,液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中,开始时漏斗盛满液体,经过3分钟漏完,若圆柱中液面上升速度是一常量,H 是圆锥形漏斗中液面下落的距离,则H 与下落时间分钟的函数关系表示的图象可能是 ( )(4)已知函数y=f(x)和函数y=g(x)的图象如下:则函数y=f(x)g(x)的图象可能是(5)设函数()y f x =的定义域为R ，则函数(1)y f x =-与(1)y f x =-的图象关于（ ）A 、直线0y =对称B 、直线0x =对称C 、直线1y =对称D 、直线1x =对称 例2.作出下列函数的图象(1))1(2+-=x x y (2)1lg +=x y (3)12--=x xy(A)例3(1)方程2)2(1--=x kx 有两个不相等的实根,求实数k 的取值范围 (2)若01a <<,则方程log x a a x =有几个实根例4 设曲线C 的方程是x x y -=3,将C 沿x 轴,y 轴正方向分别平行移动t,s 单位长度后得曲线1C 。
辽宁省大连真金教育信息咨询有限公司高三数学 函数 函数复习专练
函数：两个集合之间按照某种对应法则的一个映射。
函数三要素一、定义域（一）具体函数1、在中，2、在中，3、在中，4、在和中，且5、在中，（二）抽象函数已知的定义域，然后求的定义域。
方法：的值域=的值域二、对应法则（求函数解析式问题）方法： 1、常规带入，例如求的解析式；2、换元法；3、构造法；4、列方程组：奇偶性或根据关系列方程求5、待定系数法三、值域（一）常规函数求值域方法：画图像、定区间、截段。
（二）非常规函数求值域方法：（1）换元变成常规函数；（2）求变形后的常规函数的自变量取值范围；（3）画图像、定区间、截段。
（三）不可变形的杂函数求值域方法：一般情况下都用到单调性，必要时求导计算。
(一)概念1、对任意的两个实数对和，规定：，当且仅当，；运算“”为：；运算“”为：。
设，若，则（）A.(0，-4)B. (0，2)C. (4，0)D. (2，0)2、设偶函数满足，则( )A．B．C．D．3、已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数，则____________．4、已知函数(a>0).方程有两个实根.(1)如果,函数图象的对称轴是直线,求证;(2)如果,且的两实根之差为2,求实数b的取值范围.（二）定义域1、函数的定义域是（）A. B. C. D.2、已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，则（）A. B. C. D.3、设，则+的定义域为（）A. B.C. D.4、若函数的定义域为R，则实数的取值范围___________5、函数的定义域为R，则的取值范围是（）A. B. C. D.6、已知的定义域为，求的定义域。
7、已知的定义域为，求的定义域。
8、已知函数，，求的值域。
9、已知的定义域为，且，求函数的定义域。
10、已知函数f(x)=的定义域是一切实数，则m的取值范围是( )A．0<m≤4 B．0≤m≤1 C．m≥4 D．0≤m≤411、当时，不等式恒成立，则实数的取值范围为( )A．B．C．D．12、方程的解为，方程的解为，则( )A．2 B．3 C．4 D．513、如果若干个函数的图象经过平移后能够重合，则称这些函数为“互为生成函数”。
【数学】2014年高考数学复习课件：函数的图象
y
o
2
5 x
8.如图, fi(x)(i=1, 2, 3, 4)是定义在 [0, 1] 上的四个函数, 其中 满足性质: “对 [0, 1] 中任意的 x1 和 x2 及任意的 ∈[0, 1], f[x1+(1-)x2]≤f(x1)+(1-)f(x2) 恒成立” 的只有( A ) A. f1(x), f3(x) B. f2(x) C. f2(x), f3(x) D. f4(x) y y y f (x) y f (x) 3 f (x) 4
一、函数的图象
在平面直角坐标系中, 以函数 y=f(x) 中的 x 为横坐标, 函数 值 y 为纵坐标的点 (x, y) 的集合, 叫做函数 y=f(x) 的图象.
注: 图象上每一点的坐标 (x, y) 均满足函数关系 y=f(x), 反过 来, 满足 y=f(x) 的每一组对应值 x, y 为坐标的点 (x, y), 均在其图 象上.
纵坐标伸长(A>1)或 缩短(0<A<1)到原来的 A 倍(x 不变)
y=Af(x).
(3)对称变换: ① y=f(x) 与 y=f(-x) 关于 y 轴对称 ② y=f(x) 与 y= -f(x) 关于 x 轴对称 ③ y=f(x) 与 y= -f(-x) 关于原点对称 关于直线 y=x 对称 ④ y=f(x) 与 y=f -1(x) ⑤ y=f(x) 与 y= -f -1(-x) 关于直线 y=-x 对称 保留 y 轴右边图象, 去掉左边图象, ⑥ y=f(x) 与 y=f(|x|) 再作关于 y 轴的对称图象. ⑦ y=f(x) 与 y=|f(x)| 保留 x 轴上方图象, 将 x 轴下方图 象翻折上) x
o
1
2
x
o
高三数学总复习函数的图像ppt
1．列表描点法是作函数图象的最基本的方法，要作 函数图象一般首先要明确函数图象的位置和形状；
(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、 周期性、单调性、凸凹性等等；
(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸 缩变换等；
(3)可通过方程的同解变形，如作函数 y＝ 1－x2的图象．
2．利用函数的图象可研究函数的性质，可判断方程 解的个数，可通过解方程，根据函数的图象观察对应不等 式的解等．
x，x≥1， 故 y＝10|lgx|＝1x，0<x<1.
根据直线与反比例函数直接作出该分段函数的图象， 如下图(1)所示．
(2)根据绝对值的意义，可将函数式化为分段函数 y＝12， x－x≥ 1，1， x<1. 可见其图象是由两条射线组成，如上图(2)所示．
【例1】 分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lgx|； (2)y＝2x＋2； (3)y＝x2－2|x|－1.
解：(1)y＝l－gxlgx(x≥(01<)x<1) .图象如下图(1)． (2)将 y＝2x 的图象向左平移 2 个单位．图象如下图(2)．
(3)y＝xx22－ ＋22xx－ －11
(x≥0) (x<0)
.图象如下图(3)．
本题先将函数化简，转化为作基本函数的图象的问 题．作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同时 也可利用图象变换得出.
系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题 结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．
4．图象对称性的证明 证明函数图象的对称性，即证明其图象上的任意一
点关于对称中心(对称轴)的对称点仍在图象上．
①若 f(a＋x)＝f(b－x)，x∈R 恒成立，则 y＝f(x)的图象 关于 x＝a＋2 b成轴对称图形，若 f(a＋x)＝－f(b－x)，x∈R，则 y＝f(x)的图象关于点(a＋2 b，0)成中心对称图形．
大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第02章 对数函数及其性质精炼试题
"辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第02章 对数函数及其性质精炼试题 新人教A 版 "【考点导读】1.理解对数函数的概念和意义，能画出具体对数函数的图像，探索并理解对数函数的单调性；2.在解决实际问题的过程中，体会对数函数是一类重要的函数模型；3.熟练运用分类讨论思想解决指数函数，对数函数的单调性问题． 【基础练习】1. 函数)26(log 21.0x x y -+=的单调递增区间是1[,2)4．2. 函数2()log 21f x x =-的单调减区间是1(,)2-∞． 【范例解析】例1. （1）已知log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则实数a 的取值范围是_________． （2）设函数2()lg()f x x ax a =+-，给出下列命题：①)(x f 有最小值； ②当0=a 时，)(x f 的值域为R ； ③当40a -<<时，)(x f 的定义域为R ；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是4-≥a ． 则其中正确命题的序号是_____________． 分析：注意定义域，真数大于零．解：（1）0,1a a >≠，2ax ∴-在[0,1]上递减，要使log (2)a y ax =-在[0,1]是减函数，则1a >；又2ax-在[0,1]上要大于零，即20a ->，即2a <；综上，12a <<．（2）①)(x f 有无最小值与a 的取值有关；②当0=a 时，2()lg f x x R =∈，成立；③当40a -<<时，若)(x f 的定义域为R ，则20x ax a +->恒成立，即240a a +<，即40a -<<成立；④若)(x f 在区间),2[+∞上单调递增，则2,2420.aa a ⎧-≤⎪⎨⎪+->⎩解得a ∈∅，不成立．点评：解决对数函数有关问题首先要考虑定义域，并能结合对数函数图像分析解决．例3.已知函数xx x x f -+-=11log 1)(2，求函数)(x f 的定义域，并讨论它的奇偶性和单调性. 分析：利用定义证明复合函数的单调性．解：x 须满足,11011,0110<<->-+⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠x x x x x x 得由所以函数)(x f 的定义域为（－1，0）∪（0，1）.因为函数)(x f 的定义域关于原点对称，且对定义域内的任意x ，有)()11log 1(11log 1)(22x f xx x x x x x f -=-+--=+---=-，所以)(x f 是奇函数. 研究)(x f 在（0，1）内的单调性，任取x 1、x 2∈（0，1），且设x 1<x 2 ，则,0)112(log )112(log ,011)],112(log )112([log )11(11log 111log 1)()(1222211222212222112121>----->------+-=-++--+-=-x x x x x x x x x x x x x x x f x f 由得)()(21x f x f ->0，即)(x f 在（0，1）内单调递减， 由于)(x f 是奇函数，所以)(x f 在（－1，0）内单调递减.点评：本题重点考察复合函数单调性的判断及证明，运用函数性质解决问题的能力． 【反馈演练】1．给出下列四个数：①2(ln 2)；②ln(ln 2)；③ln 2；④ln 2.其中值最大的序号是___④___. 2．设函数()log ()(0,1)a f x x b a a =+>≠的图像过点(2,1)，(8,2)，则a b +等于___5_ _．3．函数log (3)1(0,1)a y x a a =+->≠的图象恒过定点A ，则定点A 的坐标是(2,1)--．4．函数]1,0[)1(log )(在++=x a x f a x上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为12． 5．函数()⎩⎨⎧>+-≤-=1,341,442x x x x x x f 的图象和函数()x x g 2log =的图象的交点个数有___3___个. 6．下列四个函数：①lg y x x =+； ②lg y x x =-；③lg y x x =-+；第6题④lg y x x =--.其中，函数图像只能是如图所示的序号为___②___.7．求函数22()log 2log 4x f x x =⋅,1[,4]2x ∈的最大值和最小值． 解：2222()log 2log (log 1)(log 2)4xf x x x x =⋅=+-222log log 2x x =-- 令2log t x =，1[,4]2x ∈，则[1,2]t ∈-，即求函数22y t t =--在[1,2]-上的最大值和最小值． 故函数()f x 的最大值为0，最小值为94-． 8．已知函数()log ax bf x x b+=-(0,1,0)a a b >≠>．12212121()()2()10()()()()x b x b b x x x b x b x b x b +---=>+-+-．当1a >时，12()()0f x f x ∴->，故)(x f 在(,)b +∞上为减函数；同理)(x f 在(,)b -∞-上也为减函数； 当01a <<时，12()()0f x f x ∴-<，故)(x f 在(,)b +∞，(,)b -∞-上为增函数．第10课 函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．3.体验并理解函数与方程的相互转化的数学思想方法． 【基础练习】1.函数2()44f x x x =++在区间[4,1]--有_____1 ___个零点．2.已知函数()f x 的图像是连续的，且x 与()f x 有如下的对应值表：x1 2 3 4 5 6 ()f x－2.33.4－1.3－3.43.4则()f x 在区间[1,6]上的零点至少有___3__个． 【范例解析】例1.()f x 是定义在区间[－c ，c ]上的奇函数，其图象如图所示：令()()g x af x b =+， 则下列关于函数()g x 的结论：①若a <0，则函数()g x 的图象关于原点对称；②若a =－1，－2<b <0，则方程()g x =0有大于2的实根； ③若a ≠0，2b =，则方程()g x =0有两个实根； ④若0a ≠，2b =，则方程()g x =0有三个实根． 其中，正确的结论有___________． 分析：利用图像将函数与方程进行互化．解：当0a <且0b ≠时，()()g x af x b =+是非奇非偶函数，①不正确；当2a =-，0b =时，()2()g x f x =-是奇函数，关于原点对称，③不正确；当0a ≠，2b =时，2()f x a=-，由图知，当222a -<-<时，2()f x a=-才有三个实数根，故④不正确；故选②． 点评：本题重点考察函数与方程思想，突出考察分析和观察能力；题中只给了图像特征，因此，应用其图，察其形，舍其次，抓其本．例2.设2()32f x ax bx c =++，若0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >． 求证：（1）0a >且12-<<-ab； （2）方程()0f x =在(0,1)内有两个实根．分析：利用0a b c ++=，(0)0f >，(1)0f >进行消元代换． 证明：（1）(0)0f c =>，(1)320f a b c =++>，由0a b c ++=，得b a c =--，代入(1)f 得：0a c ->，即0a c >>，且01c a <<，即1(2,1)b ca a=--∈--，即证． （2）11()024f a =-<，又(0)0f >，(1)0f >．则两根分别在区间1(0,)2，1(,1)2内，得证．点评：在证明第（2）问时，应充分运用二分法求方程解的方法，选取(0,1)的中点12来考察1()2f 的正负是首选目标，如不能实现1()02f <，则应在区间内选取其它的值．本题也可选3ba -，也可利用根的分布来做．【反馈演练】1．设123)(+-=a ax x f ，a 为常数．若存在)1,0(0∈x ，使得0)(0=x f ，则实数a 的取值范围是1(,1)(,)2-∞-⋃+∞．2．设函数2,0,()2,0.x bx c x f x x ⎧++≤=⎨>⎩若(4)(0)f f -=，(2)2f -=-，则关于x 的方程()f x x =解的个数为（ C ） A ．1B ．2C ．3D ．43．已知2()(0)f x ax bx c a =++≠，且方程()f x x =无实数根，下列命题：①方程[()]f f x x =也一定没有实数根；②若0a >，则不等式[()]f f x x >对一切实数x 都成立； ③若0a <，则必存在实数0x ，使00[()]f f x x >④若0a b c ++=，则不等式[()]f f x x <对一切实数x 都成立． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．4．设二次函数2()f x x ax a =++，方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<．求实数a 的取值范围．解：令2()()(1)g x f x x x a x a =-=+-+，则由题意可得01012(1)0(0)0a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，，，，011322322a a a a ⎧>⎪⇔-<<⎨⎪<->+⎩，，，或，0322a ⇔<<-． 故所求实数a 的取值范围是(0322)-，．5．已知函数2()log (41)()x f x kx k R =++∈是偶函数,求k 的值；解：()f x 是偶函数，()()f x f x ∴-=22log (41)log (41)x x kx kx -∴+-=++220x kx ∴+= 由于此式对于一切x R ∈恒成立，1k ∴=-6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(．若a>b >c ， 且f （1）=0，证明f （x ）的图象与x 轴有2个交点. 证明：2(1)0,00,40,f a b c a b c a c b ac =++=>>∴><∴∆=->且且()f x ∴的图象与x 轴有两个交点.第11课 函数模型及其应用【考点导读】1.能根据实际问题的情境建立函数模型，结合对函数性质的研究，给出问题的解答．2.理解数据拟合是用来对事物的发展规律进行估计的一种方法，会根据条件借助计算工具解决一些简单的实际问题．3.培养学生数学地分析问题，探索问题，解决问题的能力． 【基础练习】1今有一组实验数据如下：t 1.99 3.0 4.0 5.1 6.12 v1.54.047.51218.01现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，①2log v t = ②12log v t =③212t v -=④22v t =-其中最接近的一个的序号是______③_______．2.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本.若每辆车投入成本增加的比例为x (0 < x < 1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x .已知年利润 = (出厂价－投入成本)×年销售量.(Ⅰ)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(Ⅱ)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x 应在什么范围内？ 解：（Ⅰ）由题意得y = [ 1.2×(1+0.75x )－1×(1 + x ) ] ×1000×( 1+0.6x )（0 < x < 1）整理得 y = －60x 2+ 20x + 200（0 < x < 1）.（Ⅱ）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当⎩⎨⎧<<>⨯--.10,01000)12.1(x y即⎩⎨⎧<<>+-.10,020602x x x 解不等式得310<<x .答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x 应满足0 < x < 0.33.【范例解析】例. 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图二的抛物线段表示． (Ⅰ)写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p =f (t )；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q =g (t )；(Ⅱ)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102kg ，时间单位：天)解：(Ⅰ)由图一可得市场售价与时间的函数关系为()⎩⎨⎧≤<-≤≤-=.3002003002,2000300t t t t t f ，， 由图二可得种植成本与时间的函数关系为g (t )=2001(t －150)2+100，0≤t ≤300． (Ⅱ)设t 时刻的纯收益为h (t )，则由题意得h (t )=f (t )－g (t )，即()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++-=.30020021025272001,20002175********t t t t t t t h ，，当0≤t ≤200时，配方整理得h (t )=－2001(t －50)2+100， 所以，当t =50时，h (t )取得区间[0，200]上的最大值100； 当200<t ≤300时，配方整理得：h (t )=－2001(t －350)2+100， 所以，当t =300时，h (t )取得区间（200，300]上的最大值87.5．综上:由100>87.5可知，h (t )在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t =50，即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大【反馈演练】1．把长为12cm 的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，则这两个正三角形面积之和的最小值是___________2cm ． 2．某地高山上温度从山脚起每升高100m 降低0.7℃，已知山顶的温度是14.1℃，山脚的温度是26℃，则此山的高度为_____17_____m ．3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L 1=5.06x －0.15 x 2和L 2=2 x ，其中x 为销售量（单位：辆）.若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为____45.6___万元．4．某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x ，y (单位：m)的矩形.上部是等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积8cm 2. 问x 、y 分别为多少时用料最省?解：由题意得 xy +41x 2=8，∴y =x x 482-=48x x -(0<x <42). 则框架用料长度为l =2x +2y +2(x 22)=(23+2)x +x 16≥4246+.43。
2014届高考一轮复习数学4.4函数的图像及三角函数模型的简单应用
=2sin
������ ������ + 2 3
.
������ π + 0 2 3
y 0
π 4π 7π 10π 3 3 3 3 π 3 π π 2π 2 2
2 0 -2 0
描点画图,如图所示.
(2)函数的振幅为 2,周期为 4π,初相是 ,最大值为 2,最小值为-2.
������ 3
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T 题型二图 象变换
的振幅、频率和初相分别为(
1 π 2π 4 1 π D.2, ,2π 8
)
A.2, ,-
B.2, ,-
【答案】A 2.函数 y=cos x(x∈R)的图象向左平移 个单位长度后,得到函数 y=g(x)的图 象,则 g(x)的解析式应为( ) A.-sin x B.sin x 【答案】A 【解析】由图象的平移得 g(x)=cos ������ +
������ 8
.
由题意得 2kπ- ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z. 所以函数 y=sin 2x3������ 4
的单调递增区间为 k������ + ,k������ +
������ 8
5������ 8
,k∈Z.
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(3)由 y=sin 2x-
3������ 4
,知
y
0
2 2
π 8
-1
3π 8
目录 退出
T 4 ������ 2 3������ 2 ������ 8
例 1 设函数 f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)图象的一条对称轴是
【解】(1)∵ 是函数 y=f(x)图象的对称轴, x= ∴ 2 × + φ =± sin 1.∴ +φ=kπ+ ,k∈Z. ∵ -π<φ<0,∴ φ=- . (2)由(1)知 φ=- ,因此 y=sin 2x������ 2 3������ 4 ������ 2 3������ 4 3������ 4 3������ 4 ������ 8 ������ 4 ������ 2
辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第03章 三角函数C精炼试题 新人教A版
"某某省某某市真金教育信息咨询某某高三数学 第03章 三角函数C 精炼试题新人教A 版 "【考点导读】1.能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦函数在[0,2]π，正切函数在(,)22ππ-上的性质； 2.了解函数sin()y A x ωϕ=+的实际意义，能画出sin()y A x ωϕ=+的图像； 3.了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【基础练习】1.已知简谐运动()2sin()()32f x x ππϕϕ=+<的图象经过点(0，1)，则该简谐运动的最小正周期T =_____6____；初相ϕ=__________． 2. 三角方程2sin(2π－x )=1的解集为_______________________． 3.函数),2,0)(sin(R x x A y ∈π<ϕ>ωϕ+ω=的部分图象如图所示，则函数表达式为______________________．数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图4. 要得到函数sin y x =的图象，只需将函象向右平移__________个单位． 【X 例解析】例1.已知函数()2sin (sin cos )f x x x x =+．（Ⅰ）用五点法画出函数在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的图象，长度为一个周期；（Ⅱ）说明()2sin (sin cos )f x x x x =+的图像可由sin y x =的图像经过怎样变换而得到． 分析：化为sin()A x ωϕ+形式．解：（I ）由x x x x x x f 2sin 2cos 1cos sin 2sin 2)(2+-=+=)42sin(21)4sin 2cos 4cos2(sin 21πππ-+=-⋅+=x x x ．列表，取点，描图：6π{2,}3x x k k Z ππ=±∈ )48sin(4π+π-=x y第3题π6x83π-8π-8π 83π 85π y121-121+1故函数)(x f y =在区间]2,2[ππ-上的图象是：（Ⅱ）解法一：把sin y x =图像上所有点向右平移4π个单位，得到sin()4y x π=-的图像，再把sin()4y x π=-的图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4y x π=-的图像，再将2sin(2)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4y x π=+-的图像．解法二：把sin y x =图像上所有点的横坐标缩短为原来的12（纵坐标不变），得到sin 2y x =的图像，再把sin 2y x =图像上所有点向右平移8π个单位，得到sin(2)4y x π=-的图像，然后把sin(2)4y x π=-的图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到2sin(2)4y x π=-的图像，再将2sin(2)4y x π=-的图像上所有点向上平移1个单位，即得到12sin(2)4y x π=+-的图像．例2.已知正弦函数sin()y A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图像如右图所示． （1）求此函数的解析式1()f x ；（2）求与1()f x 图像关于直线8x =对称的曲线的解析式2()f x ；解：（1）由图知，2A =22(62)16πω=⨯+=，8πω∴=，即2sin()8y x πϕ=+．将2x =，2y =2sin()24πϕ+=4πϕ=，即1()2sin()84f x x ππ=+．（2）设函数2()f x 图像上任一点为(,)M x y ，与它关于直线8x =对称的对称点为(,)M x y '''， 得8,2.x xy y '+⎧=⎪⎨⎪'=⎩解得16,.x x y y '=-⎧⎨'=⎩代入1()2sin()84f x x ππ''=+中，得2()2sin()84f x x ππ=--．（3）12()()2sin()2sin()2cos 84848y f x f x x x x πππππ=+=+-=，简图如图所示．点评：由图像求解析式，A 比较容易求解，困难的是待定系数求ω和ϕ，通常利用周期确定ω，代入最高点或最低点求ϕ．【反馈演练】1．为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数2sin y x =，x R ∈的图像上所有的点①向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；②向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变）；③向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）； 24xyO－412④向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）． 其中，正确的序号有_____③______． 2．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象向右平移__3π__个单位长度．3．若函数()2sin()f x x ωϕ=+，x ∈R （其中0ω>，2ϕπ<）的最小正周期是π，且(0)3f =，则ω=__2____；ϕ=__________． 4．在()π2,0内，使x x cos sin >成立的x 取值X 围为____________________． 5．下列函数： ①sin 6y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭； ②sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ③cos 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭； ④cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭． 其中函数图象的一部分如右图所示的序号有_____④_____．6．如图，某地一天从6时至14时的温度变化曲线近似满足函数b x A y ++=)sin(ϕω （1）求这段时间的最大温差； （2）写出这段时间的函数解析式．解：（1）由图示，这段时间的最大温差是201030=-℃（2）图中从6时到14时的图象是函数b x A y ++=)sin(ϕω的半个周期∴614221-=⋅ωπ，解得8πω= 由图示，10)1030(21=-=A 20)3010(21=+=b这时，20)8sin(10++=ϕπx y将10,6==y x 代入上式，可取43πϕ=综上，所求的解析式为20)438sin(10++=ππx y （]14,6[∈x ）7．如图，函数π2cos()(00)2y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(03)，，且该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值；（2）已知点π02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点， 当032y =，0ππ2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，求0x 的值．第6题 3π5,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 第5题yx 3O PA第7题解：（1）将0x =，3y =代入函数2cos()y x ωθ=+得3cos 2θ=， 因为02θπ≤≤，所以6θπ=． 又因为该函数的最小正周期为π，所以2ω=， 因此2cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭． （2）因为点02A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，，00()Q x y ，是PA 的中点，032y =， 所以点P 的坐标为0232x π⎛⎫-⎪⎝⎭，．第6课 三角函数的图像和性质（二）【考点导读】1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】1.写出下列函数的定义域： （1）y =的定义域是______________________________； （2）sin 2cos x y x=的定义域是____________________． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．3．函数22sin sin 44f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______． 4. 函数y =sin(2x +3π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω=在（－2π，2π）内是减函数，则ω的取值X 围是______________． 【X 例解析】例1.求下列函数的定义域： （1）sin tan xy x =+（2）y = 解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.66x k x k k x k πππππππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩，故函数的定义域为7{2266x k x k ππππ-≤≤+且,x k π≠,}2x k k Z ππ≠+∈ （2）122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪⎨⎪≥⎩即04,.2x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩{663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z ππ≠+∈ π π （3π，0） 10ω-≤<故函数的定义域为(0,)[,4]2ππ⋃．点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集．例2．求下列函数的单调减区间： （1）sin(2)3y x π=-； （2）2cos sin()42xy x π=-；解：（1）因为222232k x k πππππ-≤-≤+，故原函数的单调减区间为5[,]()1212k k k Z ππππ-+∈． （2）由sin()042xπ-≠，得{2,}2x x k k Z ππ≠+∈，又2cos 4sin()24sin()42x x y x ππ==+-，所以该函数递减区间为3222242x k k πππππ+<+<+，即5(4,4)()22k k k Z ππππ++∈．点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2，得5tan(21)y x =+的周期2T π=． （2）sin()sin()(sin cos cos sin )cos 3233y x x x x x ππππ=++=+2111cos 2sin cos cos sin 222422x x x x x +=+=+⋅1sin(2)423x π=++T π∴=． 点评：求三角函数的周期一般有两种：（1）化为sin()A x ωϕ+的形式特征，利用公式求解；（2）利用函数图像特征求解．【反馈演练】1．函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为 _____________． 2．设函数()sin ()3f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，则()f x 在[0,2]π上的单调递减区间为___________________．3．函数()sin ([,0])f x x x x π=∈-的单调递增区间是________________． 4．设函数()sin3|sin3|f x x x =+，则()f x 的最小正周期为_______________． 5．函数22()cos 2cos 2x f x x =-在[0,]π上的单调递增区间是_______________． 6．已知函数π124()πsin 2x f x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求()f x 的定义域； （Ⅱ）若角α在第一象限且3cos 5α=，求()f α． 解：（Ⅰ） 由πsin 02x ⎛⎫+≠ ⎪⎝⎭得ππ2x k ≠-+，即ππ2x k ≠-()k ∈Z ． 故()f x 的定义域为π|π2x x k k ⎧⎫∈≠-∈⎨⎬⎩⎭R Z ，．（Ⅱ）由已知条件得4sin 5α===．从而π124()πsin 2f ααα⎛⎫+- ⎪⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ππ1cos 2cos sin 2sin 44cos ααα⎫++⎪⎝⎭= 2π [,0]6π-32π[,]3ππ 2[,]63ππ，75[,]63ππ21cos 2sin 22cos 2sin cos cos cos ααααααα+++==142(cos sin )5αα=+=． 7． 设函数)(),0( )2sin()(x f y x x f =<<-+=ϕπϕ图像的一条对称轴是直线8π=x ．（Ⅰ）求ϕ；（Ⅱ）求函数)(x f y =的单调增区间； （Ⅲ）画出函数)(x f y =在区间],0[π上的图像解：（Ⅰ）)(8x f y x ==是函数π的图像的对称轴，,1)82sin(±=+⨯∴ϕπ,.42k k Z ππϕπ∴+=+∈.43,0πϕϕπ-=<<-（Ⅱ）由（Ⅰ）知).432sin(,43ππϕ-=-=x y 因此-1-3232112-12π7π83π45π8π23π8π4π8oyx。
辽宁省大连真金教育信息咨询有限公司高三数学 函数 分式函数求值域复习专练
辽宁省大连真金教育信息咨询有限公司高三数学复习专练函数：分
式函数求值域
1、形如（一次式比一次式）在定义域内求值域。
例1：求的值域。
一般性结论：如果定义域为，则值域为
，定义域为，求函数的值域。
例2：
2、形如的函数求值域。
（一次式比二次式）
此类函数中，<0时，函数为单调函数，根据函数单调性可以求出其值域。
当时，
对函数进行求导，时，，时，
，根据单调性我们可以得到函数的大致图像。
例3：求，上的值域。
拓展：用对号函数还可以解决形如，
在定义域内求值域的问题。
例：已知，则函数的最小值为______________
3、形如在定义域内求值域。
（二次式比二次式）
例4：求的值域。
练习题：
1、求下列函数值域。
①②
③④
⑤⑥
⑦⑧
2、已知函数，
⑴当时，求函数的最小值；
⑵若对任意，恒成立，试求实数的取值范围。
3、求的值域。
高三数学函数图像试题答案及解析
高三数学函数图像试题答案及解析1.函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】C.【解析】当时，，故函数图象过原点，可排除A，又∵，故函数的单调区间呈周期性变化，可排除B，且当，，可排除D，故选C.【考点】函数的图象.2.函数的图像大致是（）【答案】A【解析】因为分子分母分别为奇函数，所以原函数为偶函数，排除C、D，而当x取很小的正数时，sin6x＞0，2x－2－x＞0，故y＞0，排除B，选A【考点】函数的图象及其性质3.设表示不超过实数的最大整数，则在直角坐标平面上满足的点所形成的图形的面积为（）A．10B．12C．10D．12【答案】B【解析】首先对任意的，满足的点组成的图形是单位正方形（，），面积为1，而椭圆上整点有，，，共12个，因此所求图形面积为12．选B．【考点】函数图象，图形面积．4.函数的大致图象为 ( )【答案】D【解析】∵，∴，∴，又∵，∴，∴，∴选D.【考点】函数图象.5.若直角坐标平面内的两不同点、满足条件：①、都在函数的图像上；②、关于原点对称，则称点对是函数的一对“友好点对”（注：点对与看作同一对“友好点对”）．已知函数=，则此函数的“友好点对”有（）对．A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】根据题意可知只须作出函数的图象关于原点对称的图象，确定它与函数交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．选B【考点】新定义题、函数图象.6.某公司的一品牌电子产品,2013年年初,由于市场疲软,产品销售量逐渐下降,五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升,九月份,公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增,十一月份之后,销售量有所回落.下面大致能反映出公司2013年该产品销售量的变化情况的图象是( )【答案】C【解析】由于销售量逐渐下降,所以图象呈下降趋势；公司借大学生开学之际,采取了促销等手段,产品的销售量猛增，所以图象以更陡的向上走向；五月份公司加大了宣传力度,销售量出现明显的回升，即图象有向上的趋势；十一月份之后,销售量有所回落，所以图象向下的趋势.故选C.【考点】1.函数的图象.2.实际问题的应用.7.已知函数对任意的满足，且当时，．若有4个零点，则实数的取值范围是．【答案】【解析】由题意得函数为偶函数，因此当有4个零点时，在上有且仅有两个零点，所以即【考点】二次函数的图象与性质，零点问题8.已知函数的最小正周期为，为了得到函数的图象，只要将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】B【解析】由于函数的最小正周期为，所以.所以函数.所以将函数向右平移即可得到.故选B.【考点】1.函数的平移.2.函数的诱导公式.9.如图：正方体的棱长为，分别是棱的中点，点是的动点，，过点、直线的平面将正方体分成上下两部分，记下面那部分的体积为，则函数的大致图像是（）【答案】C【解析】由题意可得下面那部分的是一个高为AB的三棱柱或四棱柱，当时.所以函数在大致图像是C、D选项.当时，令.所以上面的体积为.所以下面体积.所以函数的图象大致为C所示.故选C.【考点】1.空间几何.2.函数及图象.3.函数与立几交汇.10.函数的所有零点之和为．【答案】8【解析】设，则，原函数可化为，其中，因，故是奇函数，观察函数与在的图象可知，共有4个不同的交点，故在时有8个不同的交点，其横坐标之和为0，即，从而.【考点】1.函数零点；2.正弦函数、反比例函数.11.已知，点在曲线上，若线段与曲线相交且交点恰为线段的中点，则称为曲线关于曲线的一个关联点.记曲线关于曲线的关联点的个数为，则( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】设则的中点为所以有，因此关联点的个数就为方程解得个数，由于函数在区间上分别单调增及单调减，所以只有一个交点，即.【考点】函数图像12.函数的图象大致是（）【答案】A【解析】函数为奇函数，令，解得，即函数有唯一零点，排除C、D选项；当时，，排除B选项，故选A.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数的图象13.已知函数f(x)＝，则y＝f(x)的图象大致为()．【答案】A【解析】令g(x)＝x－ln (x＋1)，则g′(x)＝1－，由g′(x)>0，得x>0，即函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增，由g′(x)<0，得－1<x<0，即函数g(x)在(－1,0)上单调递减，所以当x＝0时，＝g(0)＝0，于是对任意的x∈(－1,0)∪(0，＋∞)，有g(x)≥0，故排除函数g(x)有最小值，g(x)minB，D；因函数g(x)在(－1,0)上单调递减，则函数f(x)在(－1,0)上递增，故排除C，故选A.14.已知函数f(x)＝x－，则函数y＝f(x)的大致图象为()．【答案】A【解析】因为函数f(x)为非奇非偶函数，所以排除B、C.又f(－1)＝－1<0，排除D15.如图，半径为1的圆切直线于点，射线从出发绕着点顺时针方向旋转到，旋转过程中交⊙于点，记为，弓形的面积，那么的大致图象是 ( )【答案】A【解析】由题意得，则，当和时，，取得极值，则函数在上为增函数，当和时，取得极值．结合选项，A正确．故选A．【考点】函数的图象与图象变化．16.已知函数，若，且，则的取值范围是 .【答案】【解析】如图,在,上均单调递增, 由及知的取值范围是【考点】函数的图象和性质.17.设函数对任意的满足,当时,有．若函数在区间上有零点,则k的值为A．-3或7B．-4或7C．-4或6D．-3或6【答案】D【解析】因为，所以令，则有，即，所以函数的图象关于直线对称.由时,其为单调减函数，且，所以其零点在区间；根据函数图像的对称性知，其在区间也有一个零点.故若函数在区间上有零点,则的值为或，选D.【考点】函数的零点，函数图象的对称性.18.形如的函数因其函数图象类似于汉字中的囧字，故生动地称为“囧函数”。
2014届高三数学(理)一轮专题复习课件 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用
1 答案： □ A φ 7 － □ ω 12 □0
2 □
2π ω
3 □
1 T
4 □
ω 2π
5 6 □ ωx＋φ □ φ 2π－φ 11 □ ω
φ π 8 － ＋ □ ω 2ω 3π 15 □2
π－φ 9 □ ω 16 □2π
3π φ 10 □ 2ω － ω
π 13 14 □2 □π
名 师 微 博 ●一种方法 在由图像求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值 M－m M＋m 2π 为m，则A＝ 2 ，k＝ 2 ，ω由周期T确定，即由 ω ＝T 求出，φ由特殊点确定．
0
A
0
－A
0
3.函数y＝sinx的图像经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图像 的步骤如下
4．三角函数模型的应用 (1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型． (3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函 数拟合，从而得到函数模型．
π 2x－3 x f(x)
π －3 0 1 2
0 π 6 1
π 2 5 12π 0
π 2 3π －1
3 2π 11 12π 0
5 3π π 1 2
图像如图：
方法点睛
①“五点法”作图的关键是正确确定五个
点，而后列表、描点、连线即可．②变换法作图像的关键看 x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用
2π 解析：(1)由最低点为M 3 ，－2，得A＝2.
π T π 由x轴上相邻的两个交点之间的距离为 2 ，得 2 ＝ 2 ，即T
2π 2π 2π ＝π，所以ω＝ T ＝ π ＝2.由点M 3 ，－2 在图像上，得 4π 2π 2sin2× 3 ＋φ＝－2，即sin 3 ＋φ＝－1.
辽宁省大连真金教育信息咨询有限公司高三数学 函数 值域求法复习专练
一、绝对值函数求值域 例：13y x x =-++ 方法：分段讨论，画图像，定区间，截段。
二、二次函数求值域1、定义域中有∞：(,)(,][,)(,)(,)d d d d -∞+∞-∞+∞-∞+∞、、、、方法：①找出对称轴2b x a =-； ②看对称轴与定义域的关系：若2b a -∈定义域， 则()2b f a -一定是函数的最大值或是最小值，当0a >时，()2b f a-是 函数的最小值；当0a <时，()2b f a-是函数的最大值。
若2b a-∉定义域，则()f d 一定是函数的最大值或是最小值，当0a >时，()f d 是函数的最小值；当0a <时，()f d 是函数的最大值。
2、定义域中不含有∞：(,)[,](,][,)d e d e d e d e 、、、方法：①找出对称轴2b x a =-；②看对称轴与定义域的关系： 若2b a -∈定义域，则求出()2b f a-、()f d 、()f e 三个函数值，函数值最大的为最大值，函数值最小的为最小值。
若2b a -∉定义域，则求出()f d 、()f e 这两个函数值，函数值最大的为最大值，函数值最小的为最小值。
3、定义域为离散的点方法：求出相应的函数值即可，函数值最大的为最大值，函数值最小的为最小值。
练习题：1、 求下列函数的值域：14y x x =-++21y x x =--+12y x x =++-2、 求下列函数的值域⑴ 223,y x x x R =-+-∈ ⑵ 223,[2,)y x x x =-+-∈+∞⑶ 221,(,2]y x x x =++∈-∞3、 求下列函数的值域⑴ 223,[3,0)y x x x =++∈- ⑵223,(2,4)y x x x =-++∈⑶2223,(2,3]y x x x =+-∈-4、 求函数2()23f x x x =-+，{}3,2,1,0,1,2x ∈---的值域。
辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第03
"辽宁省大连市真金教育信息咨询有限公司高三数学 第03章 三角函数A 精炼试题 新人教A 版 "【知识导读】【方法点拨】三角函数是一种重要的初等函数，它与数学的其它部分如解析几何、立体几何及向量等有着广泛的联系，同时它也提供了一种解决数学问题的重要方法——“三角法”．这一部分的内容，具有以下几个特点：1．公式繁杂.公式虽多，但公式间的联系非常密切，规律性强.弄清公式间的相互联系和推导体系，是记住这些公式的关键.2．思想丰富.化归、数形结合、分类讨论和函数与方程的思想贯穿于本单元的始终，类比的思维方法在本单元中也得到充分的应用.如将任意角的三角函数值的问题化归为锐角的三角函数的问题，将不同名的三角函数问题化成同名的三角函数的问题，将不同角的三角函数问题化成同角的三角函数问题等.3．变换灵活.有角的变换、公式的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换、三角函数表达形式的变换及一些常量的变换等，并且有的变换技巧性较强.4．应用广泛.三角函数与数学中的其它知识的结合点非常多，它是解决立体几何、解析几何及向量问题的重要工具，并且这部分知识在今后的学习和研究中起着十分重要的作用，比如在物理学、天文学、测量学及其它各门科学技术都有广泛的应用.任意角 的概念角度制与 弧度制任意角的 三角函数弧长与扇形面积公式 三角函数的 图象和性质 和 角 公 式 差 角 公 式几个三角 恒等式倍 角 公 式 同角三角函数关系 诱 导公 式 正弦定理与余弦定理解斜三角形及其应用化简、计算、求值 与证明第1课 三角函数的概念【考点导读】1． 理解任意角和弧度的概念，能正确进行弧度与角度的换算．角的概念推广后，有正角、负角和零角；与α终边相同的角连同角α本身，可构成一个集合{}Z k k S ∈⋅+==,360οαββ；把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为1弧度的角，熟练掌握角度与弧度的互换，能运用弧长公式r l α=及扇形的面积公式S ＝lr 21（l 为弧长）解决问题.2． 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义.角的概念推广以后，以角的顶点为坐标原点，角的始边为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，在角的终边上任取一点(,)P x y （不同于坐标原点），设OP r =（220r x y =+>），则α的三个三角函数值定义为：sin ,cos ,tan y x yr r xααα===． 从定义中不难得出六个三角函数的定义域：正弦函数、余弦函数的定义域为R ；正切函数的定义域为{|,,}2R k k Z παααπ∈≠+∈．3． 掌握判断三角函数值的符号的规律，熟记特殊角的三角函数值．由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号，可以简记为：一正（第一象限内全为正值），二正弦（第二象限内只有正弦值为正），三切（第三象限只有正切值为正），四余弦（第四象限内只有余弦值为正）．另外，熟记0、6π、4π、3π、2π的三角函数值，对快速、准确地运算很有好处. 4． 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念．在平面直角坐标系中，正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线，并能运用正弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题． 【基础练习】1． 885-o 化成2(02,)k k Z πααπ+≤≤∈的形式是． 2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是． 3．已知角α的终边过点(5,12)P -，则cos α= ， tan α= ． 4．tan(3)sin 5cos8-的符号为． 5．已知角θ的终边上一点(,1)P a -（0≠a ），且a -=θtan ，求θsin ，θcos 的值．解：由三角函数定义知，1a =±，当1a =时，2sin 2θ=-，2cos 2θ=； 当1a =-时，2sin 2θ=-，2cos 2θ=-．13612ππ-+第二或第四象限 513-125- 正【范例解析】例1.（1）已知角α的终边经过一点(4,3)(0)P a a a -≠，求2sin cos αα+的值； （2）已知角α的终边在一条直线3y x =上，求sin α，tan α的值． 分析：利用三角函数定义求解．解：（1）由已知4x a =，5r a =．当0a >时，5r a =，3sin 5α=-，4cos 5α=，则22sin cos 5αα+=-； 当0a <时，5r a =-，3sin 5α=，4cos 5α=-，则22sin cos 5αα+=．（2）设点(,3)(0)P a a a ≠是角α的终边3y x =上一点，则tan 3α=；当0a >时，角α是第一象限角，则3sin 2α=； 当0a <时，角α是第三象限角，则3sin α=-． 点评：要注意对参数进行分类讨论．例2.（1）若sin cos 0θθ⋅>，则θ在第_____________象限． （2）若角α是第二象限角，则sin 2α，cos2α，sin2α，cos2α，tan2α中能确定是正值的有____个．解：（1）由sin cos 0θθ⋅>，得sin θ，cos θ同号，故θ在第一，三象限． （2）由角α是第二象限角，即222k k ππαππ+<<+，得422k k παπππ+<<+，4224k k ππαππ+<<+，故仅有tan2α为正值．点评：准确表示角的范围，由此确定三角函数的符号．例3. 一扇形的周长为20cm ，当扇形的圆心角α等于多少时，这个扇形的面积最大？最大面积是多少？【反馈演练】1．若sin cos θθ>且sin cos 0θθ⋅<则θ在第_______象限． 2．已知6α=，则点(sin ,tan )A αα在第________象限． 3．已知角θ是第二象限，且(,5)P m 为其终边上一点，若2cos 4m θ=，则m 的值为_______． 4．将时钟的分针拨快30min ，则时针转过的弧度为 ．5．若46παπ<<，且α与23π-终边相同，则α= ． 6．已知1弧度的圆心角所对的弦长2，则这个圆心角所对的弧长是_______，这个圆心角所在的扇形的面积是___________．7．（1）已知扇形AOB 的周长是6cm ，该扇形中心角是1弧度，求该扇形面积．（2）若扇形的面积为82cm ，当扇形的中心角α(0)α>为多少弧度时，该扇形周长最小． 简解：（1）该扇形面积22cm ；（2）2182r l yrl +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得16282y r r =+≥，当且仅当22r =时取等号．此时，42l =，2l r α==．二 三 3-12π-163π11sin2 11cos1-第2课 同角三角函数关系及诱导公式【考点导读】1.理解同角三角函数的基本关系式；同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函数间的联系．2.掌握正弦，余弦的诱导公式；诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律，起着变名，变号，变角等作用． 【基础练习】 1. tan600°=______．2. 已知α是第四象限角，5tan 12α=-，则sin α=______．3.已知3cos 2πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，且2πϕ<，则tan ϕ＝______． 4.sin15°cos75°+cos15°sin105°=___1___． 【范例解析】 例1.已知8cos()17πα-=，求sin(5)απ-，tan(3)πα+的值． 分析：利用诱导公式结合同角关系，求值．解：由8cos()17πα-=，得8cos 017α=-<，α∴是第二，三象限角． 若α是第二象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=-，15tan(3)tan 8παα+==-；若α是第三象限角，则15sin(5)sin 17απα-=-=，15tan(3)tan 8παα+==．点评：若已知正弦，余弦，正切的某一三角函数值，但没有确定角所在的象限，可按角的象限进行分类，做到不漏不重复．例2.已知α是三角形的内角，若1sin cos 5αα+=，求tan α的值． 分析：先求出sin cos αα-的值，联立方程组求解． 解：由1sin cos 5αα+=两边平方，得112sin cos 25αα+⋅=，即242sin cos 025αα∴⋅=-<． 又α是三角形的内角，cos 0α∴<，2παπ∴<<．由249(sin cos )25αα-=，又sin cos 0αα->，得7sin cos 5αα-=． 联立方程组1sin cos 57sin cos 5αααα⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得4sin 53cos 5αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得4tan 3α=-．点评：由于2(sin cos )12sin cos αααα±=±⋅，因此式子sin cos αα-，sin cos αα+，sin cos αα⋅三者之间有密切的联系，知其一，必能求其二． 【反馈演练】3 513-31．已知5sin 5α=,则44sin cos αα-的值为_____．2．“21sin =A ”是“A =30º”的必要而不充分条件． 3．设02x π≤≤,且1sin 2sin cos x x x -=-，则x 的取值范围是544x ππ≤≤4．已知1sin cos 5θθ+=，且324θππ≤≤，则cos2θ的值是 ．5．（1）已知1cos 3α=-，且02πα-<<，求2cos()3sin()4cos()sin(2)παπααπα--+-+-的值．（2）已知1sin()64x π+=，求25sin()sin ()63x x ππ-+-的值． 解：（1）由1cos 3α=-，得tan 22α=-． 原式=2cos 3sin 23tan 4cos sin 4tan αααααα-+-+=--5222=-．（2）1sin()64x π+=Q ，225sin()sin ()sin[()]sin [()]63626x x x x ππππππ∴-+-=-++-+219sin()cos ()6616x x ππ=+++=．（II ）由4tan 3α=-， 于是212sin cos cos ααα+2222sin cos tan 152sin cos cos 2tan 13ααααααα++===-++．53- 725-。