精选中考数学第六章圆第二节与圆有关的位置关系习题

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中考数学专项训练：与圆有关的位置关系(含解析)

一、选择题9．（2019·福建）如图，PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，点C 在⊙O 上，且∠ACB ＝55°，则∠APB 等于（）A ．55°B ．70°C ．110°D ．125°【答案】B【解析】连接OA 、OB ，∵PA 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，∴OA ⊥PA ，OB ⊥PB ，∴∠OAP ＝∠OBP ＝90°，∵∠ACB ＝55°，∴∠AOB ＝2∠ACB ＝110°，∴∠APB ＝360° －110°－90°－90°＝70°．【知识点】圆周角定理；切线的性质；四边形内角和；11. （2019·泸州）如图，等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，且AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则DE 的长是（）A ．3√1010B ．3√105C ．3√55D ．6√55【答案】D【解析】连接OA 、OE 、OB ，OB 交DE 于H ，如图，∵等腰△ABC 的内切圆⊙O 与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，E ，F ，∴OA 平分∠BAC ，OE ⊥BC ，OD ⊥AB ，BE ＝BD ，∵AB ＝AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 、O 、E 共线，即AE ⊥BC ，∴BE ＝CE ＝3，在Rt △ABE 中，AE =√52−32=4，∵BD ＝BE ＝3，∴AD ＝2，设⊙O 的半径为r ，则OD ＝OE ＝r ，AO ＝4﹣r ，在Rt △AOD 中，r 2+22＝（4﹣r ）2，解得r =32，PP (第9题)在Rt △BOE 中，OB =√32+(32)2=3√52， ∵BE ＝BD ，OE ＝OD ，∴OB 垂直平分DE ，∴DH ＝EH ，OB ⊥DE ，∵12HE •OB =12OE •BE ，∴HE =OE⋅BE OB =3×323√62=3√55，∴DE ＝2EH =6√55．故选：D ．5．（2019·苏州）如图，AB 为⊙O 的切线．切点为A ，连接AO ，BO ，BO 与⊙O 交于点C ，延长BO 与⊙O 交于点D ，连接AD 若∠ABO =36°，则∠ADC 的度数为（）A ．54 °B ．36°C ．32 °D ．27°（第5题）【答案】D 【解析】本题考查了切线的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及三角形的外角性质．∵AB 为⊙O 的切线，∴∠OAB =90°，∵∠ABO =36°，∴∠AOB =90°-∠ABO =54°，∵OA =OD ，∴∠ADC =∠OAD ，∵∠AOB =∠ADC +∠OAD ，∴∠ADC =∠AOB =27°，故选D ． 1. （2019·无锡）如图，P A 是⊙O 的切线，切点为A ，PO 的延长线交⊙O 于点B ，若∠P =40°，则∠B 的度数为（）A.20°B.25°C.40°D.50°【答案】B 【解析】∵P A 是⊙O 的切线，切点为A ，∴OA ⊥AP ，∴∠OAP =90°，∵∠APB =40°，∴∠AOP =50°，∵OA =OB ，∴∠B =∠OAB =∠AOP =25°．故选B ．x yO-6OO B CA A BE F2.（2019·自贡）如图，已知A 、B 两点的坐标分别为（8，0）、（0，8），点C 、F 分别是直线x=-5和x 轴上的动点，CF=10，点D 是线段CF 的中点，连接AD 交y 轴于点E ，当△ABE 的面积取得最小值时，tan ∠BAD 的值是（）A .817 B. 717 C.49 D.59【答案】B.【解析】∵A （8，0），B （0，8），∠AOB =900，∴△AOB 是等腰直角三角形，∴AB =8√2，∠OBA =450，取D （-5，0），当C 、F 分别在直线x =-5和x 轴上运动时，∵线段DH 是Rt △CFD 斜边上中线，∴DH =12CF =10，故D 在以H 为圆心,半径为5的圆上运动，当AD 与圆H 相切时，△ABE 的面积最小.在Rt △ADH 中，AH =OH +OA =13,∴AD =√AH 2−AD 2=12.∵∠AOE =∠ADH =900，∠EAO =∠HAD ，∴△AOE ∽△ADH ，∴OE AO =DH AD ，即OE 8=512，∴OE =103，∴BE =OB -OE =143.∵S △ABE =12BE ·OA =12AB ·EG ，∴EG =BE·OA AB =143×88√2=7√23.在Rt △BGE 中，∠EBG =450，∴BG =EG =7√23，∴AG =AB -BG =17√23. 在Rt △AEG 中， tan ∠BAD =EG AG =717.故选B.3. (2019·台州)如图,等边三角形ABC的边长为8,以BC上一点O为圆心的圆分别与边AB,AC相切,则 O的半径为( )A. B.3 C.4 D.4-【答案】A【解析】∵ O与AB,AC相切,∴OD⊥AB,OE⊥AC,又∵OD＝OE,∴∠DAO＝∠EAO,又∵AB＝AC,∴BO＝CO,∴∠DAO＝30°,BO＝4,∴OD＝OAtan∠DAO又∵在Rt△AOB中,AO=,∴OD＝故选A.4.（2019·重庆B卷）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，A为切点，若∠C＝40°则∠B的度数为（）A.60°B.50°C.40°D.30°【答案】Ｂ【解析】圆的切线垂直于经过切点的半径，因为AC是⊙O的切线，A为切点，所以∠BAC＝90°，根据三角形内5. （2019·重庆A 卷）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为（）A ．40°B ．50°C ．80°D ．100°【答案】C【解析】∵AC 是⊙O 的切线，∴AC ⊥AB ．∵∠C ＝50°，∴∠B ＝90°－∠C ＝40°．∵OB ＝OD ，∴∠B ＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD ＝∠B ＋∠ODB ＝80°．故选C ．二、填空题1.（2019·岳阳）如图，AB 为⊙O 的直径，点P 为AB 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线PE ，切点为M ，过A 、B 两点分别作PE 的垂线AC 、BD ，垂足分别为C 、D ，连接AM ，则下列结论正确的是_____．（写出所有正确结论的序号）①AM 平分∠CAB ；②AM 2=AC ·AB ；③若AB =4，∠APE =30°，则¼BM 的长为3； ④若AC =3，BD =1，则有CM =DM．【答案】①②④【解析】连接OM ，BMA∵PE 是⊙O 的切线，∴OM ⊥PE ．∵AC ⊥PE ，∴AC ∥OM ．∴∠CAM ＝∠AMO ．∵OA ＝OM ，∴∠AMO ＝∠MAO ．∴∠CAM =∠MAO ．∴AM 平分∠CAB ．选项①正确；∵AB 为直径，∴∠AMB =90º=∠ACM ．∵∠CAM =∠MAO ，∴△AMC ∽△ABM ．∴AC AM AM AB=． ∴AM 2=AC ·AB ．选项②正确；∵∠P =30°，∴∠MOP =60°．∵AB =4，∴半径r =2．∴¼60221803BM l ππ⨯==．选项③错误； ∵BD ∥OM ∥AC ，OA =OB ，∴CM =MD ．∵∠CAM ＋∠AMC =90°，∠AMC ＋∠BMD =90°，∴∠CAM ＝∠BMD ．∵∠ACM =∠BDM =90°，∴△ACM ∽△MDB ．∴AC CM DM BD=． ∴CM ·DM =3×1=3．∴CM =DM ．选项④正确；综上所述，结论正确的有①②④．2. （2019·无锡）如图，在△ABC 中，AC ∶BC ∶AB =5∶12∶13，e O 在△ABC 内自由移动，若e O 的半径为1，且圆心O 在△ABC 内所能到达的区域的面积为103，则△ABC 的周长为__________.【答案】25【解析】如图，圆心O 在△ABC 内所能到达的区域是△O 1O 2O 3，∵△O 1O 2O 3三边向外扩大1得到△ACB ，∴它的三边之比也是5∶12∶13， ∵△O 1O 2O 3的面积=103，∴O 1O 2=53，O 2O 3=4，O 1O 3=133，连接AO 1 与CO 2，并延长相交于I ，过I 作ID ⊥AC 于D ，交O 1O 2于E ，过I 作IG ⊥BC 于G 交O 3O 2于F ，则I 是Rt △ABC与Rt △O 1O 2O 3的公共内心，四边形IEO 2F 四边形IDCG 都是正方形，∴IE =IF = 1223122313O O O O O O O O O O ⨯++ =23，ED =1，∴ID =IE +ED =53，设△ACB 的三边分别为5m 、12m 、13m ，则有ID =AC BC AC BC AB ⨯++=2m =53，解得m =56，△ABC 的周长=30m =25.4. （2019·眉山）如图，在Rt △AOB 中，OA =OB =O 的半径为2，点P 是AB 边上的动点，过点P 作⊙O 的一条切线PQ （点Q 为切点），则线段PQ 长的最小值为．【答案】【解析】连接OQ ，如图所示，∵PQ 是⊙O 的切线，∴OQ ⊥PQ ，根据勾股定理知：PQ 2=OP 2-OQ 2，∴当PO ⊥AB 时，线段PQ 最短，∵在Rt △AOB 中，OA=OB=，∴S △AOB =12OA•OB=12AB •OP ，即OP=OA OB AB •=4，∴PQ= ．故答案为：5. (2019·宁波)如图,Rt △ABC 中,∠C ＝90°,AC ＝12 ,点D 在边BC 上,CD ＝5,BD ＝13.点P 是线段AD 上一动点,当半径为6的e P 与△ABC 的一边相切时,AP 的长为________.【答案】132或【解析】半径为6的e P 与△ABC 的一边相切,可能与AC,BC,AB 相切,故分类讨论:①当e P 与AC 相切时,点P 到AC 的距离为6,但点P 在线段AD 上运动,距离最大在点D 处取到,为5,故这种情况不存在;②当e P 与AC 相切时,点P 到BC 的距离为6,如图PE ＝6,PE ⊥AC,∴PE 为△ACD 的中位线,点P 为AD 中点,∴AP ＝113=22AD ;③当e P 与AB 相切时,点P 到AB 的距离为6,即PF ＝6,PF ⊥AB,过点D 作DG ⊥AB 于点G,∴△APF ∽△ADG ∽△ABC,∴PF AC AP AB=,其中,PF ＝6,AC ＝12,AB ∴AP ＝综上所述,AP 的长为132或6.7.8.9.10.三、解答题23．（2019·衡阳）如图，点A 、B 、C 在半径为8的⊙O 上，过点B 作BD ∥AC ，交OA 延长线于点D ，连接BC ，且∠BCA ＝∠OAC ＝30°．（1）求证：BD 是⊙O 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）证明：连接OB 交AC 于E ，由∠BCA ＝30°，∴∠AOB ＝60°．在∆AOE 中，∵∠OAC ＝30°，∴∠OEA ＝90°，所以OB ⊥AC ．∵BD ∥AC ，∴OB ⊥BD ．又B 在圆上，∴BD 为⊙O 的切线；（2）由半径为8，所以OA =OB =8．在∆AOC 中，∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∠COA ＝120°，∴AC ＝由∠BCA ＝∠OAC ＝30°，∴OA ∥BC ，而BD ∥AC ，∴四边形ABCD 是平行四边形.∴BD ＝∴∆OBD 的面积为12×8×OAB 的面积为16×π×82＝323π， ∴阴影部分的面积为323π． 24．（2019·淮安）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 与⊙O 交于点F ，弦AD 平分∠BAC ，DE ⊥AC ，垂足为E.(1)试判断直线DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；(2)若⊙O 的半径为2，∠BAC=60°，求线段EF 的长.第24题图【解题过程】（1）直线DE与⊙O相切.理由如下：第24题答图1如图所示，连接OD，则OA=OD，∴∠ODA=∠BAD.∵弦AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠BAD.∴∠FAD=∠ODA，∴OD∥AF.又∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴直线DE与⊙O相切.（2）连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°.第24题答图1∵AD平分∠BAC，∠BAC=60°，∴∠FAD=∠BAD=30°，∠B=60°， ∴∠DFE=∠B=60°. ∵⊙O 的半径为2， ∴AB=4，∴3223430cos =⨯=︒⋅=AB AD ， ∴3213230sin =⨯=︒⋅=AB DE ， ∴13360tan ==︒=DE EF .22．（2019·常德，22题，7分）如图6，⊙O 与△ABC 的AC 边相切于点C ，与AB 、BC 边分别交于点D 、E ，DE ∥OA ，CE 是⊙O 的直径．（1）求证：AB 是⊙O 的切线；（2）若BD ＝4，CE ＝6，求AC 的长．【解题过程】证明：（1）连接OD ，∵DE ∥OA ，∴∠AOC ＝∠OED ，∠AOD ＝∠ODE ，∵OD ＝OE ，∴∠OED ＝∠ODE ，∴∠AOC ＝∠AOD ，又∵OA ＝OA ，OD ＝OC ，∴△AOC ≌△AOD （SAS ），∴∠ADO ＝∠ACO ．∵CE 是⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，∴OC ⊥AC ，∴∠ OCA ＝90°，∴∠ADO ＝＝90°，∴OD ⊥AB ， ∵OD 为⊙O 的半径，∴AB 是⊙O 的切线．（2）∵CE ＝6，∴OD ＝OC ＝3，∵∠BDO ＝90°，∴222BO BD OD =+，∵BD ＝4，∴OB＝5， ∴BC ＝8，∵∠BDO ＝∠ OCA ＝90°，∠B ＝∠B ，∴△BDO ∽△BCA ，∴BD OD BC AC =，∴438AC=，∴AC ＝6． 21．（2019·武汉）已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点E ，分别交AM 、BN于D 、C 两点（1）如图1，求证：AB 2＝4AD ·BC（2）如图2，连接OE 并延长交AM 于点F ，连接CF ．若∠ADE ＝2∠OFC ，AD ＝1，求图中阴影部分的面积图6CBOEDCBA图1 图2 【解题过程】证明：（1）如图1，连接OD ，OC ，OE ． ∵AD ，BC ，CD 是⊙O 的切线，∴OA ⊥AD ，OB ⊥BC ，OE ⊥CD ，AD ＝ED ，BC ＝EC ，∠ODE ＝12∠ADC ，∠OCE ＝12∠BCD ∴AD //BC ，∴∠ODE ＋∠OCE ＝12（∠ADC ＋∠BCD ）＝90°， ∵∠ODE ＋∠DOE ＝90°，∴∠DOE ＝∠OCE ．又∵∠OED ＝∠CEO ＝90°， ∴△ODE ∽△COE ．∴OE ECED OE =，OE 2＝ED ·EC ∴4OE 2＝4AD ·BC ，∴AB 2＝4AD ·BC（2）解：如图2，由（1）知∠ADE ＝∠BOE ，∵∠ADE ＝2∠OFC ，∠BOE ＝∠2COF ， ∴∠COF ＝∠OFC ，∴△COF 等腰三角形。

中考数学考点系统复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系

( C)
A．35° B．45° C．55° D．65°
3．(2021·嘉兴)已知平面内有⊙O 和点 A，B，若⊙O 半径为 2 cm，线段
OA＝3 cm，OB＝2 cm，则直线 AB 与⊙O 的位置关系为
( D)
A．相离
B．相交
C．相切
D．相交或相切
4．(2021·临沂)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B，∠P＝70°，C
15．(2021·菏泽)如图，在⊙O 中，AB 是直径，弦 CD⊥AB，垂足为 H，E 为B︵C上一点，F 为弦 DC 延长线上一点，连接 FE 并延长交直径 AB 的延长线于点 G，连接 AE 交 CD 于点 P, 若 FE＝FP. (1)求证：FE 是⊙O 的切线； (2)若⊙O 的半径为 8，sin F＝35，求 BG 的长．
(2)解：∵AC＝2，由(1)得 OD＝12AC＝1，又∵PD＝6，∴PO＝7. ∵∠P＝∠P，∠BDP＝∠OBP＝90°，∴△BDP∽△OBP， ∴BOPP＝DBPP，即 BP2＝OP·DP＝7×6＝42，∴BP＝ 42. ∴OB＝ OP2－BP2＝ 7. ∴⊙O 的半径为 7.
12．(2020·通辽)如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A，B 两点，∠P＝72°，
B.23
Байду номын сангаас
C.
2 2
D．1
6．(2021·泰安)如图，在△ABC 中，AB＝6，以点 A 为圆心，3 为半径的
圆与边 BC 相切于点 D，与 AC，AB 分别交于点 E 和点 G，F 是优弧 GE 上一
点，∠CDE＝18°，则∠GFE 的度数是
( B)
A．50° B．48° C．45° D．36°

中考数学复习之与圆有关的位置关系,考点过关与基础练习题

34.与圆有关的位置关系➢知识过关1.点和圆的位置关系2.直线与圆的位置关系3.切线的判定与性质切线的定义：直线与圆有_____公共点时，这条直线是圆的切线.切线的性质：圆的切线垂直于过切点的______切线的判定：经过半径的外端并且______这条半径的直线是圆的切线.到圆心距离等于______的直线是圆的切线.➢考点分类考点1直线与圆的位置关系的判定例1如图所示，在Rt△ABC中，△C=90°，AC=3cm，BC=3cm，若OA=x cm,△O的半径为1cm，请问当x在什么范围内取值时，AC与△O相交、相切、相离？D考点2切线的判定例2 如图所示，AB是△O的直径，C是O上一点，直线MN经过点C，过点A作直线MN 的垂线，垂足为点D，且△BAC=△CAD.(1)求证：直线MN是△O的切线；(2)若CD=3，△CAD=30°，求△O的半径.考点3 切线的性质例3 如图所示，在△O 中，点C 是直径AB 延长线上一点，过点C 作△O 的切线，切点为D ，连接BD.(1)求证：△A=△BDC(2)若CM 平分△ACD ，且分别交AD 、BD 于点M 、N ，当DM=1时，求MN 的长.➢ 真题演练1.如图，A 、P 、B 、C 是⊙O 上的四点，∠APC ＝∠BPC ＝60°，P A ＝2，PC ＝4，则△ABC 的面积为（）A ．43√3B ．32√3C ．2√3D ．3√32．如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B ＝90°，∠BCD ＝120°，AB ＝4，BC ＝2，则AD 的长为（）A ．2√3B ．4−√3C ．√3+1D ．2+√33．如图，P A 、PB 、CE 分别与⊙O 相切于点A 、B 、D 点，若圆O 的半径为6，OP ＝10，则△PCE 的周长为（）A ．10B ．12C ．16D ．204．如图所示，点P 是⊙O 的半径OC 延长线上的一点，过点P 作⊙O 的切线，切点为A ，AB 是⊙O 的弦，连接AC ，BC ，若∠P AB ＝70°，则∠ACB 的大小为（）A ．70°B ．110°C ．120°D ．140°5．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BC ＝12，若⊙O 与△ABC 的三边分别相切于点D ，E ，F ，且△ABC 的周长为32，则DF 的长为（）A ．2B ．3C ．4D ．66．如图，已知DC 是⊙O 的直径，点B 为CD 延长线上一点，AB 是⊙O 的切线，点A 为切点，且∠BAD ＝35°，则∠ADC ＝（）A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°7．如图，PC 、PB 是⊙O 的切线，AB 是⊙O 的直径，延长PC ，与BA 的延长线交于点E ，过C 点作弦CD ，且CD ∥AB ，连接DO 并延长与圆交于点F ，连接CF ，若AE ＝2，CE ＝4，则CD 的长度为（）A ．3B ．4C ．185D ．2458．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AE ⊥CB ，交CB 的延长线于点E ．若BA 平分∠DBE ，AD ＝7，CE =√13，则AE 的长度为．9．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 为直径，AD ＝CD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连接AC 交DE 于点F ．若sin ∠CAB =35，DF ＝5，则AB 的长为．10．如图，P A、PB分别与⊙O相切于A、B两点，C为⊙O上一点连接AC、BC，若∠C＝55°，则∠P的度数是°．11.如图，AB为圆O直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，CD与圆O相切于点E，EF⊥AB于点F，EF交BD于点G，若AD＝2，BC＝6．（1）求CD的长度．（2）求EG的长度．（3）求FB的长度．12．如图，P A、PB、CD是⊙O的切线，点A、B、E为切点．（1）如果△PCD的周长为10，求P A的长；（2）如果∠P＝40°，①求∠COD；②连AE，BE，求∠AEB．13．如图，P A、PB分别与⊙O相切于点A、B，PO的延长线交⊙O于点C，连接BC，OA．（1）求证：∠POA＝2∠PCB；（2）若OA＝3，P A＝4，求tan∠PCB的值．➢ 课后练习1．如图，P A ，PB 是⊙O 的两条切线，A ，B 是切点，过半径OB 的中点C 作CD ⊥OB 交P A 于点D ，若PD ＝3，AD ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．2√7B ．4√2C ．3√3D ．2√52．如图，等边三角形ABC 的边长为4，⊙C 的半径为√3，P 为AB 边上一动点，过点P 作⊙C 的切线PQ ，切点为Q ，则PQ 的最小值为（）A ．12B ．√3C ．2√3D ．33．如图，点O 是矩形ABCD 对角线BD 上的一点，⊙O 经过点C ，且与AB 边相切于点E ，若AB ＝4，BC ＝5，则⊙O 的半径长为（）A ．165B ．258C ．5√419D ．44．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC =√2，点D 是AB 边上一个动点，以点D 为圆心r 为半径作⊙D ，直线BC 与⊙D 切于点E ，若点E 关于CD 的对称点F 恰好落在AB 边上，则r 的值是（）A ．√2−1B ．1C ．√2D ．√2+15．如图，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，DC切⊙O于点C，如果∠D＝30°，AB＝4，那么线段CD的长是．6．如图，△ABD内接于⊙O，AD为直径，CD为⊙O的切线，连接BC，若CD＝AD，AB ＝2，BC=2√13，则BD＝．7．已知菱形ABCD的边长为4，∠BAD＝60°，M是线段AD的中点，点P是对角线AC 上的动点，连接PM，以P为圆心，PM长为半径作⊙P，当⊙P与菱形ABCD的边相切时，AP的长为．8．如图，已知△ABC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，且BD＝CD，DF ⊥AC于点F．给出以下四个结论：̂=DÊ；④∠A＝2∠FDC．①DF是⊙O的切线；②CF＝EF；③AE其中正确结论的序号是．9．如图，在Rt△ABC中，AC＝BC＝6，点O为边BC上一动点，连接OA．以O为圆心，OB为半径作圆，交OA于D，过D作⊙O的切线，交AC于点E．当⊙O与边AC相切时，CE的长为．10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点Q为CA延长线上一点，延长QD交BC于点P，连接OD，∠ADQ=12∠DOQ．若AQ＝AC，AD＝4时，写出BP的长为．11．如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线和△ABC的外接圆交于点D．（1）如图1，连接DB，求证：DB＝DE；（2）如图2，若∠BAC＝60°，求证：AB+AC=√3AD．12．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F．（1）若∠ABC＝50°，∠ACB＝75°，求∠BOC的度数；（2）若AB＝13，BC＝11，AC＝10，求AF的长．➢冲击A+。

中考数学第六章圆第2讲与圆有关的位置关系真题精选

径，ＯＣＢ，弦ＣＤ与ＯＢ交于点Ｆ，过点Ｄ，Ａ分别作 ⊥Ａ
３．（２０１３来宾２４题１０分）如图，Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是 ⊙Ｏ上的四１点，ＡＣ＝∠ＣＡＤ，Ｐ是线段ＣＤ延长线上一点．且 ∠ＢＡＤ＝ＢＤ． ∠Ｐ ∠Ａ（１）请判断△ＢＣＤ的形状（不要求证明）；２）求证：ＰＡ是Ｏ的切线；（ ⊙ ２２（３）求证：ＡＰ－ＤＰ＝ＤＰ ·ＢＣ．第１３题图１４．（２０１３桂林２５题１０分）如图，在 △ＡＢＣ中，９０ ʎ ， ∠Ｃ＝ＡＣ的平分线ＡＤ交ＢＣ于Ｄ，过点Ｄ作ＤＥＤ交 ∠Ｂ ⊥ＡＡＢ于Ｅ，以ＡＥ为直径作⊙Ｏ．（１）求证：点Ｄ在⊙Ｏ上；２）求证：ＢＣ是⊙Ｏ的切线；（３）若ＡＣ＝６，ＢＣ＝８，求△ＢＤＥ的面积．（第１４题图
第９题图
)
１０．（２０１４玉林、防城港２３题９分）如图的 ⊙Ｏ中，ＡＢ为直，并与ＡＢ延长线交于点Ｅ． ⊙Ｏ的切线交于点Ｇ
（１）求证：； ∠１＝ ∠２２）已知：ＯＦ ʒ ＯＢ＝１ ʒ ３，，求ＡＧ的长．（ ⊙Ｏ的半径为３第１０题图１１．（２０１４贺州２５题１０分）如图，ＡＢ，ＢＣ，ＣＤ分别与 ⊙Ｏ相，Ｆ，Ｇ，且ＡＢＤ，ＢＯ＝６ｃｍ，ＣＯ＝８ｃｍ．切于Ｅ ∥Ｃ（１）求证：ＢＯＯ； ⊥Ｃ（２）求ＢＥ和ＣＧ的长．第１１题图１２．（２０１４梧州２５题１０分）如图，已知 ⊙Ｏ是以ＢＣ为直径的△ＡＢＣ的外接圆，ＯＰＣ，且与ＢＣ的垂线交于点Ｐ， ∥ＡＯＰ交ＡＢ于点Ｄ，ＢＣ、ＰＡ的延长线交于点Ｅ．（１）求证：ＰＡ是⊙Ｏ的切线；３２）若ｓｉｎＥ＝，ＰＡ＝６，求ＡＣ的长．（５第１２题图

中考数学第一部分第六章圆课时26与圆有关的位置关系习题

第六章圆课时26 与圆有关的位置关系玩转江西9年中考真题(2008～2016年)命题点1 点与圆的位置关系(近9年仅2009年考查)1. (2009江西8题3分)在数轴上，点A 所表示的实数为3，点B 所表示的实数为A ，⊙A 的半径为2.下列说法中不正确．．．的是( ) A. 当A <5时，点B 在⊙A 内 B. 当1<A <5时，点B 在⊙A 内 C. 当A <1时，点B 在⊙A 外 D. 当A >5时，点B 在⊙A 外命题解读：题型以解答题为主，考查形式有：①切线与圆周角定理结合求角度；②切线的性质与特殊四边形的判定结合；③切线的判定；④与坐标系结合求点坐标和直线解析式．命题点2 切线的证明与相关计算(9年6考)第2题图2. (2012江西9题3分)如图，AC 经过⊙O 的圆心，AB 与⊙O 相切于点B ，若∠A ＝50°，则∠C ＝________度．3. (2016江西18题8分)如图，AB 是⊙O 的直径，点P 是弦AC 上一动点(不与点A ，C 重合)，过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，射线EP 交AC ︵于点F ，交过点C 的切线于点D .满分技法：1. 证明圆的切线时，常采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，简述为：有切点，连半径，证垂直．证明垂直时常会用到如下方法： (1)图中有90°角时：①利用等角代换：通过互余的两个角之间的等量代换得证； ②利用平行线性质：证明切线与已知直角的一条边平行即可；③利用三角形相似：通过证明切线所在三角形与含90°的三角形相似得证； ④利用三角形全等：通过证明切线所在三角形与含90°角的三角形全等得证．(2)图中无90°角时：利用等腰三角形性质：通过证明切线为所在等腰三角形的中线或角平分线，再根据等腰“三线合一”的性质得证．2. 解决与切线有关的线段问题的方法：当已知切线时，常连接切点与圆心或寻找直径所对的圆周角，构造直角三角形，然后利用勾股定理或解直角三角形计算线段长度，有时也会根据圆中相等的角，得到相似三角形，根据相似三角形相关性质解决问题；而在求角度时，利用圆周角定理及其推论，三角形内角和、内外角关系求解；3. 与坐标系结合的问题，要通过坐标系构造直角三角形，求得点的坐标；在求直线解析式时，要结合题干或是前面求解的条件，寻求直线上两点坐标，再利用待定系数法求解．(1)求证：DC ＝DP ；(2)若∠CAB ＝30°，当F 是AC ︵的中点时，判断以A ，O ，C ，F 为顶点的四边形是什么特殊四边形？并说明理由．第3题图4. (2013江西22题9分)如图，在平面直角坐标系中，以点O 为圆心，半径为2的圆与y 轴交于点A ，点P (4，2)是⊙O 外一点，连接AP ，直线PB 与⊙O 相切于点B ，交x 轴于点C .(1)证明：PA 是⊙O 的切线； (2)求点B 的坐标； (3)求直线AB 的解析式．第4题图5. (2014江西22题9分)如图①，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP.(1)求△OPC的最大面积；(2)求∠OCP的最大度数；(3)如图②，延长PO交⊙O于点D，连接DB，当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线．第5题图6. (2010江西22题8分)“6”字形图中，FM是大⊙O的直径，BC与大⊙O相切于B，OB与小⊙O相交于A，AD∥BC，CD∥BH∥FM，DH⊥BH于H，设∠FOB＝α，OB＝4，BC＝6.(1)求证：AD为小⊙O的切线；(2)在图中找出一个可用α表示的角，并说明你这样表示的理由；(根据所写结果的正确性及所需推理过程的难易程度得分略有差异)(3)当α＝30°时，求DH的长．(结果保留根号)第6题图【试题链接】2009年23题见P53.【拓展猜押】如图①，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF和⊙O相切于点C，AD⊥EF，垂足为D.(1)求证：∠CAD＝∠BAC；(2)如图②，若把直线EF向上平移，使得EF与⊙O相交于G，C两点(点C在G的右侧)，连接AC，AG，若题中其他条件不变，这时图中存在一个与∠CAD相等的角，找出这个角，并证明．拓展猜押题图【答案】1. A【解析】若用D、r分别表示点到圆心的距离和圆的半径，则当D>r时，点在圆外；当D＝r时，点在圆上；当D<r时，点在圆内．由于圆心A在数轴上的坐标为3，圆的半径为2，⊙A与数轴交于两点：1，5，∴当D＝r时，即当A＝1，5时，点B在⊙O上；当D<r，即当1<A<5时，点B在⊙O内；当D>r，即当A<1或A>5时，点B在⊙O外．由以上结论可知选项B、C、D正确，选项A错误．第2题解图2. 20 【解析】如解图，连接OB，∵AB与⊙O相切于点B，∴∠OBA＝90°，又∠A＝50°，∴∠BOA＝40°，∴∠C＝20°.3. 证明：(1)如解图，连接OC.∵DC是⊙O的切线，OC为半径，∴∠OCD＝90°，即∠OCA＋∠ACD＝90°.∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OC A.又∵ PE⊥AB，∴∠OAC＋∠APE＝90°，∴∠APE＝∠ACD.又∵∠DPC＝∠APE，∴∠DPC＝∠ACD，∴DC＝DP；(3分)第3题解图(2)四边形AOCF是菱形．(4分)理由：如解图所示，连接AF ，FC ，OF ，OC . ∵AO ＝CO ，∠CAB ＝30°， ∴∠ACO ＝∠CAB ＝30°， ∴∠AOC ＝120°. ∵F 是AC ︵的中点，∴∠AOF ＝∠FOC ＝12∠AOC ＝60°，(6分)∴△AOF ，△FOC 是等边三角形， ∴AO ＝AF ＝FC ＝OC ，∴四边形AOCF 是菱形．(8分) 4. (1)证明：∵A (0，2)，P (4，2)， ∴AP ∥OC ，∴∠PAO ＋∠COA ＝180°. ∵∠COA ＝90°， ∴∠PAO ＝90°，又∵PA 经过半径外端， ∴PA 是⊙O 的切线；(2分)(2)解：如解图，过点P 作P T⊥OC 交x 轴于点T ，过点B 作BE ⊥O T 于点E ，连接AB ，OB .第4题解图∵BP 是⊙O 的切线， ∴∠OBC ＝90°＝∠P T C ，又∵∠PC T ＝∠OCB ，OB ＝P T ＝2， ∴Rt △OCB ≌Rt △PC T(HL)， ∴BC ＝T C .设BC ＝T C ＝x ，则OC ＝4－x. 在Rt △OBC 中，由勾股定理得， (4－x)2＝x 2＋22，解得x ＝32，即BC ＝T C ＝32，∴OC ＝4－x ＝52.根据面积公式，可得，12OC ·EB ＝12OB ·BC ，即52·EB ＝2×32，解得EB ＝65，(4分) 在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE ＝OB 2－EB 2＝22－（65）2＝85，∵点B 在第四象限，∴点B 的坐标为(85，－65)；(6分)(3)解：设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋B ，把点A (0，2)，B (85，－65)代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧b ＝285k ＋b ＝－65，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2. ∴直线AB 的解析式是y ＝－2x ＋2.(9分) 5. 解：(1)∵△OPC 的边长OC 是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC 的面积最大， ∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4. ∴S △OPC ＝12OC ·OP ＝12×4×2＝4.即△OPC 的最大面积为4；(2分)(2)当PC 与⊙O 相切即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大．(3分) 在Rt △OPC 中，∠OPC ＝90°，OC ＝4，OP ＝2， ∴sin ∠OCP ＝OP OC ＝12.∴∠OCP ＝30°；(5分)(3)证明：如解图，连接AP ，BP ， ∵∠AOP ＝∠DOB ， ∴AP ＝DB .(6分)第5题解图∵CP＝DB，∴AP＝PC.∴∠A＝∠C.∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D.(7分)∵OC＝PD＝4，PC＝DB，∴△OPC≌△PBD.∴∠OPC＝∠PBD.(8分)∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°.∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(9分)6. (1)证明：∵BC是大⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，(1分)∵BC∥AD，∴∠DAO＝90°，即OA⊥AD，又∵点A在小⊙O上，∴AD为小⊙O的切线；(2分)(2)解：(答案不唯一)所有结果分层如下：A层次：①∠BOM＝180°－α；②∠GBO＝α；③∠BGA＝90°－α；④∠DGH＝90°－α；⑤∠CBG＝90°－α；⑥∠BGD＝90°＋α.(3分)B层次：⑦∠GDH＝α；⑧∠CDA＝90°－α；⑨∠C＝90°＋α.(4分)相应的说明过程如下：A层次：选③理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.(5分)B层次：选⑨理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.∵CD∥BG，∴∠CDG＝∠BGA＝90°－α.∵CB∥AD，∴∠C＝180°－∠CDG＝180°－(90°－α)＝90°＋α；(6分) (3)解：∵CD∥BG，CB∥DG，∴四边形BGDC是平行四边形，∴DG＝BC＝6，又∵∠DGH＝90°－α＝90°－30°＝60°，∠DHG＝90°，∴DH＝sin60°×6＝3 3.(8分)【拓展猜押】(1)证明：如解图①，连接OC，则OC⊥EF，且OC＝OA，解图①∴∠OCA＝∠OAC，∵AD⊥EF，∴OC∥AD.∴∠OCA＝∠CAD，∴∠CAD＝∠OAC.即∠CAD＝∠BAC. 解图②(2)解：与∠CAD相等的角是∠BAG.证明如下：如解图②，连接BG，∵四边形ACGB是⊙O的内接四边形，∴∠ABG＋∠ACG＝180°，∵D，C，G共线，∴∠ACD＋∠ACG＝180°，∴∠ACD ＝∠ABG . ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BAG ＋∠ABG ＝90°， ∵AD ⊥EF ，∴∠CAD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠CAD ＝∠BAG .第2题解图∵BP 是⊙O 的切线， ∴∠OBC ＝90°＝∠PTC ，又∵∠PCT ＝∠OCB ，OB ＝PT ＝2， ∴△OCB ≌△PCT ， ∴BC ＝TC .设BC ＝TC ＝x ，则OC ＝4－x . 在Rt △OBC 中，由勾股定理得， (4－x )2－x 2＝22解得x ＝32，即BC ＝TC ＝32，∴OC ＝4－x ＝52.根据面积公式，可得OC ·EB ＝OB ·BC 即52·EB ＝2×32，解得EB ＝65，(4分)在Rt △OEB 中，由勾股定理得，OE ＝OB 2－EB 2＝22－（65）2＝85，∵点B 在第四象限，∴点B 的坐标为(85，－65)；(6分)(3)解：设直线AB 的解析式是y ＝kx ＋B ，把点A (0，2)，B (85，－65)代入，得： ⎩⎪⎨⎪⎧b ＝285k ＋b ＝－65，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2b ＝2. ∴直线AB 的解析式是y ＝－2x ＋2.(9分)3. 解：(1)∵△OPC 的边长OC 是定值，∴当OP ⊥OC 时，OC 边上的高为最大值，此时△OPC 的面积最大，∵AB ＝4，BC ＝2，∴OP ＝OB ＝2，OC ＝OB ＋BC ＝4.∴S △OPC ＝12OC ·OP ＝12×4×2＝4. 即△OPC 的最大面积为4；(2分)(2)当PC 与⊙O 相切即OP ⊥PC 时，∠OCP 的度数最大．(3分)在Rt △OPC 中，∠OPC ＝90°，OC ＝4，OP ＝2，∴sin ∠OCP ＝OP OC ＝12. ∴∠OCP ＝30°；(5分)(3)证明：如解图，连接AP ，BP .∴∠AOP ＝∠DOB ，∴AP ＝DB .(6分)第3题解图∵CP ＝DB ，∴AP ＝PC .∴∠PAO ＝∠C .∵∠PAO ＝∠ODB ，∴∠C ＝∠ODB .(7分)∵OC ＝PD ＝4，PC ＝DB ，∴△OPC ≌△PBD .∴∠OPC ＝∠PBD .(8分)∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°.∴∠OPC＝90°.∴OP⊥PC.又∵OP是⊙O的半径，∴CP是⊙O的切线．(9分)4. (1)证明：∵BC是大⊙O的切线，∴∠CBO＝90°，(1分)∵BC∥AD，∴∠DAO＝90°，即OA⊥AD，又∵点A在小⊙O上，∴AD为小⊙O的切线；(2分)(2)解：(答案不唯一)所有结果分层如下：A层次：①∠BOM＝180°－α；②∠GBO＝α；③∠BGA＝90°－α；④∠DGH＝90°－α；⑤∠CBG＝90°－α；⑥∠BGD＝90°＋α.(3分)B层次：⑦∠GDH＝α；⑧∠CDA＝90°－α；⑨∠C＝90°＋α.(4分)相应的说明过程如下：A层次：选③理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.(5分)B层次：选⑨理由：∵BH∥FM，∴∠GBO＝∠FOB＝α.由(1)可知，∠BAG＝90°，∴∠BGA＝90°－α.∵CD∥BG，∴∠CDG＝∠BGA＝90°－α.∵CB∥AD，∴∠C＝180°－∠CDG＝180°－(90°－α)＝90°＋α；(6分)(3)解：∵CD∥BG，CB∥DG，∴四边形BGDC是平行四边形，∴DG＝BC＝6，又∵∠DGH ＝90°－α＝90°－30°＝60°，∠DHG＝90°，∴DH＝sin60°×6＝3 3.(8分)。

鲁教版中考数学一轮复习圆专题2 与圆有关的位置关系(含答案)

第六单元圆专题2 与圆有关的位置关系考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.已知平面内有⊙O和点A,B,若⊙O半径为2cm,线段OA=3cm,OB=2cm,则直线AB与⊙O的位置关系为( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切2.点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9 cm，则⊙O 的半径是___________.3.如图,直线a⊥b,垂足为H,点P在直线b上,PH=4cm,O为直线b上一动点.若以1cm为半径的⊙O与直线a相切,则OP的长为___________.考点2 切线的性质与判定1.如图,AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )A.35°B.45°C.55°D.65°2.如图,PA,PB为圆O的切线,切点分别为A,B,PO交AB于点C,PO的延长线交圆O于点D.下列结论不一定成立的是( )A.△BPA为等腰三角形B.AB与PD相互垂直平分C.点A，B都在以PO为直径的圆上D.PC为△BPA的边AB上的中线3.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D.若⊙O的半径为1,则BD的长为( )A.1B.2C.√2C.√34.如图,在▱ABCD中,AD=12,以AD为直径的⊙O与BC相切于点E,连接OC.若OC=AB,则▱ABCD 的周长为____________.5.如图,⊙O的半径OA=2,B是⊙O上的动点(不与点A重合),过点B作⊙O的切线BC,BC=OA,连接OC，AC.当△OAC是直角三角形时，其斜边长为_____________.6.如图,AB是⊙O的直径,PA切⊙O于点A,线段PO交⊙O于点C.连接BC,若∠P=36°,则∠B=___________.7.如图，PA是以AC为直径的⊙O的切线,切点为A,过点A作AB⊥OP,交⊙O于点B. (1)求证:PB是⊙O的切线;,求PO的长.(2)若CC=6,cos∠CCC=358.如图,AB为⊙O的直径,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC,BD交于点E,⊙O的切线AF交BD的延长线于点F,切点为A,且∠CAD=∠ABD.(1)求证:AD=CD;(2)若AB=4,BF=5,求sin∠BDC的值.̂上一点，连接AE并延长至点C，使9.已知:如图,AB是⊙O的直径,E为⊙O上一点，D是AE∠CBE=∠BDE,BD与AE交于点F.(1)求证:BC是⊙O的切线;(2)若BD平分∠ABE,求证:AD²=DF· DB.考点3 三角形的外接圆与内切圆1.如图,已知点O是△ABC的外心,∠A=40°,连接BO,CO,则∠BOC的度数是( )A.60°B.70°C.80°D.90°2.如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD是⊙O的直径,若AD=3,则CC=( )C.2√3C.3√3 C.3D.43.设边长为a的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为h，r，R，则下列结论不正确的是( )A.h=R+rB.R=2rC.C=√34C C.C=√33C4.如图,△ABC内接于⊙O,∠A=50°,点D是BC的中点,连接OD,OB,OC,则∠BOD=_______.5.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为_____________.6.已知△ABC的三边a,b,c满足b+|c-3|+C2−8C=4√C−1−19,则△ABC的内切圆半径=____________.专题检测一、选择题(每小题4分，共40分)1.平面内有两点P,O,⊙O的半径为5,若PO=4,则点P与⊙O的位置关系是( )A.点P在⊙O外B.点P在⊙O上C.点P在⊙O内D.无法判断2.已知⊙O的半径为5，点O到直线l的距离为3，则⊙O上到直线l的距离为2的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个3.如图,AB是⊙O的弦,点C在过点B的切线上,OC⊥OA,OC交AB于点P.若∠BPC=70°,则∠ABC的度数等于( )A.75°B.70°C.65°D.60°̂上一点，则∠EPF的4.如图,⊙O是等边△ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是DF度数是( )A.65°B.60°C.58°D.50°5.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,若∠P=70°,则∠ABO=( )A.30°B.35°C.45°D.55°6.如图,长方形ABCD中,AB=4,AD=3,圆B 半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是( )A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外7.如图,在等腰△ABC中, AB=AC=2√5,BC=8,按下列步骤作图：①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧,分别交AB,AC于点E,F,再分EF的长为半径作弧相交于点H，作射线AH；别以点E，F为圆心，大于12AB的长为半径作弧相交于点M,N,作直线②分别以点A，B为圆心，大于12MN,交射线AH于点O;③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆.则⊙O的半径为( )A.2√5B.10C.4D.58.如图,直线AB,BC,CD分别与⊙O相切于点E,F,G,且AB∥CD,若OB=6 cm,OC=8cm,则BE+CG的长等于( )A.13 cmB.12 cmC.11 cmD. 10 cm9.如图,AB为⊙O的直径,点P在AB的延长线上,PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D.若AB=6,PC=4,则sin∠CAD等于( )A.35B.23C.34D.4510.如图，点A的坐标为(-3，2),⊙A的半径为1,P为坐标轴上一动点,PQ切⊙A于点Q,在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为( )A.( 0,2)B.( 0,3)C.( -2,0)D.( -3,0)二、填空题(每小题4分，共24分)11.点A(0,3),点B(4,0),则点O(0,0)在以AB为直径的圆 (填“内”“上”或“外”).12.如图,在△ABC中,D是边BC上的一点，以AD为直径的⊙O交AC于点E,连接DE.若⊙O与BC相切,∠ADE=55°,则∠C的度数为___________.13.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC为 .14.如图,四边形ABCD是⊙O的外切四边形,且AB=10,CD=12,则四边形ABCD的周长为 .15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点.若∠P=50°,则∠AOB= .16.如图，两个圆都是以点O为圆心，大圆的弦AB是小圆的切线，点P为切点，AB=10，则图中圆环的面积为 .三、解答题(共36分)17.(12分)阅读下列材料:平面上两点P₁(x₁,y₁),P₂(x₂,y₂)之间的距离表示为|P1P2|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2,称为平面内两点间的距离公式，根据该公式，如图，设P(x，y)是圆心坐标为C(a，b)、半径为r的圆上任意一点，则点P适合的条件可表示为√(x−a)2+(y−b)2=r,变形可得 (x-a)²+(y-b)²=r², 我们称其为圆心为C(a，b)，半径为r的圆的标准方程.例如：由圆的标准方程(x-1)²+(y-2)²=25 可得它的圆心为(1,2),半径为5.根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列各题.(1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为 ;(2)若已知⊙O的标准方程为(x-2)²+y²=2²,圆心为C，请判断点A(3,-1)与⊙O的位置关系.18.(12分)已知△ABC内接于⊙O,AB=AC,∠BAC=42°,点D是⊙O上一点.(1)如图①,若BD为⊙O的直径,连接CD,求∠DBC和∠ACD的大小;(2)如图②,若CD∥BA,连接AD,过点D作⊙O的切线,与OC的延长线交于点E，求∠E的大小.19.(12分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线，以点O为圆心，OC为半径作⊙O与线段AC交于点D.(1)求证:AB为⊙O的切线;,AD=2,求BO的长.(2)若tanA=34参考答案考点1 点和圆、直线和圆的位置关系1.D ⊙O的半径为2 cm,线段OA=3cm,OB=2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B 到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外,点B在⊙O上,∴直线AB 与⊙O的位置关系为相交或相切.2.6.5cm或2.5cm 分为两种情况:①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB=4cm,最大距离PA=9cm,∴直径AB=4+9=13(cm),∴半径r=6.5 cm;②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB=4 cm,最大距离PA=9 cm,∴直径AB=9-4=5(cm),∴半径r=2.5cm.3.3cm或5cm ∵直线a⊥b,O为直线b上一动点，∴⊙O与直线a相切时,切点为H,∴OH=1 cm. 当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH-OH=4-1=3(cm);当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，OP=PH+OH=4+1=5(cm);∴⊙O与直线a相切,OP的长为3cm或5cm.考点2 切线的性质与判定1.C ∵BC是⊙O的切线,AB是⊙O的直径,∴AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ACB=90°-∠BAC=90°-35°=55°.2.B 由切线长定理,得PA=PB,∴△BPA 是等腰三角形，故A正确；由圆的对称性可知AB⊥PD，但不一定平分，故B不一定正确；如图，连接OB，OA，由切线的性质，得∠OBP=∠OAP=90°,∴点A,B,P在以OP为直径的圆上，故C正确；∵△BPA是等腰三角形,PD⊥AB,∴PC为△BPA的边AB上的中线,故D正确.3.D 如图,连接OB.∵四边形OABC是菱形.∴OA=AB.∵OA=OB,∴OA=AB=OB,∴∠AOB=60°.∵BD是⊙O的切线,∴∠DBO=90°.∵OB=1,∴BD=√3OB=√3.4.24+6√5如图,连接OE,过点C作CF⊥AD交AD于点F,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,∴∠EOD+∠OEC =180°,∵⊙O与BC相切于点E,∴OE⊥BC,∴∠OEC=90°,∴∠EOD=90°,∵CF⊥AD,∴∠CFO=90°,∴四边形OECF为矩形,∴FC=OE,OD=3,∵AD为直径,AD=12,∴FC=OE=OD= 12在Rt△OFC中，由勾股定理得OC²=OF²+FC²=3²+6²=45.∴AB=OC=3√5,∴平行四边形ABCD的周长为12+12+3√5+3√5=24+6√5.5.2√3或2√2连接OB,∵BC是⊙O的切线,∴∠OBC=90°.∵BC=OA,∴OB=BC=2,∴△OBC是等腰直角三角形，∴∠BCO=45°,∴∠ACO≤45°.当△OAC是直角三角形时，①若∠AOC=90°,∴OC=√2OB=2√2,∴AC=√OA2+OC2=√22+(2√2)2=2√3;②若∠OAC=90°,∵BC是⊙O的切线,∴∠CBO=∠OAC=90°.∵BC=OA=OB,∴△OBC是等腰直角三角形，∴OC= 2√2.6.27°∵ PA切⊙O于点A,∴∠OAP=90°.∵∠P=36°, ∴∠AOP=54°. ∴∠B=12∠AOP=27 ∘.7.(1)证明连接OB,如图,∵PA是以AC为直径的⊙O的切线，切点为A,∴∠PAO=90°, ∵OA=OB,AB⊥OP,∴∠POA=∠POB,在△PAO和△PBO中, {AO=BO,∠POA=∠POB,OP=OP,∴△PAO≌△PBO(SAS),∴∠PBO=∠PAO=90°,即OB⊥PB,又∵OB为⊙O的半径,∴PB是⊙O的切线;(2)解设OP与AB交于点D.∵AB⊥OP,AB=6,∴DA=DB=3,∠PDA =∠PDB=90°,∵cos∠PAB=35=DAPA=3PA,∴PA=5,∴PD=√PA2−AD2=√52−32=4,在Rt△APD和Rt△APO中,cos∠APD= PDPA ,cos∠APO=PAPO,8.(1)证明∵∠CAD=∠ABD,∠ABD=∠ACD,∴∠ACD=∠CAD,∴AD=CD;(2)解∵AF是⊙O的切线,∴∠FAB=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ADF=90°,∴∠ABD+∠BAD=∠BAD+∠FAD=90°. ∴∠ABD=∠FAD.∵∠ABD=∠CAD,∠CAD=∠EAD,∴∠FAD=∠EAD.∵AD=AD,∴△ADF≌△ADE(ASA).∴AF=AE,DF=DE.∵AB=4,BF=5,∴AF =√BF 2−AB 2=3,∴AE=AF=3. ∵S △ABF =12AB ⋅AF =12BF ⋅AD, ∴AD =AB⋅AF BF=4×35=125,∴DE =√AE 2−AD 2=√32−(125)2=95, ∴BE =BF −2DE =75.∵∠AED=∠BEC,∠ADE=∠BCE=90°.∴△BEC ∽△AED. ∴BEAE =BCAD , ∴BC =BE⋅AD AE=2825, ∴sin ∠BAC =BC AB =725.∵∠BDC=∠BAC,∴sin ∠BDC =725.9.证明 (1)∵AB 是⊙O 的直径,∴∠AEB=90°,∴∠EAB+∠EBA=90°. ∵∠CBE=∠BDE,∠BDE=∠EAB,∴∠EAB=∠CBE,∴∠EBA+∠CBE=∠EBA+∠EAB=90°,即∠ABC=90°,∴CB ⊥AB. ∵AB 是⊙O 的直径,∴BC 是⊙O 的切线. (2)∵BD 平分∠ABE,∴∠ABD=∠DBE. ∵∠DAF=∠DBE,∴∠DAF=∠DBA.∵∠ADB=∠FDA,∴△ADF ∽△BDA, ∴ADBD =DFAD ,∴AD ²=DF ·DB. 考点3 三角形的外接圆与内切圆1.C ∵点O 为△ABC 的外心,∠A=40°, ∴∠A =12∠BOC,∴∠BOC =2∠A =80 ∘. 2.C 过点O 作OE ⊥BC 于点E,如图所示:∵∠BAC=120°,AB=AC,∴∠ABC=∠ACB=30°,又 ∵AB̂对应的圆周角为∠ACB 和∠ADB,∴∠ACB=∠ADB=30°, 而BD 为直径,∴∠BAD=90°,在Rt △BAD 中,∠ADB=30°,AD=3, ∴cos30 ∘=ADBD =3BD =√32,∴BD =2√3,∴OB =√3,又∵∠ABD=90°-∠ADB=90°-30°=60°,∠ABC=30°,∴∠OBE=30°. 又∵OE ⊥BC,∴△OBE 为直角三角形. ∴cos ∠OBE =cos30 ∘−BEOB =√3=√32, ∴BE =32.由垂径定理可得BC=2BE= 2×32=3.3.C 如图,∵△ABC是等边三角形.∴△ABC的内切圆和外接圆是同心圆，圆心为O. 设OE=r,AO=R,AD=h,∴h=R+r,故A正确;∵AD⊥BC,∴∠DAC=12∠BAC=12×60°=30°.在Rt△AOE中,∴R=2r,故B正确;∵OD=OE=r,AB=AC=BC=a,∴AE=12AC=12a,∴(12a)2+r2=(2r)2,(12a)2+(12R)2=R².∴r=√36a,R=√33a,故C错误，D正确.4.50°∵∠A=50° ,∴∠BOC=100°.∵OB=OC,∴△OBC为等腰三角形,又∵D为BC 中点，∴OD为BC上的中线，根据等腰三角形三线合一性质可得OD为∠BOC的平分线∴∠BOD=12∠BOC=50∘.5.(2,3) 根据A,B,C三点的坐标建立如图所示的坐标系.根据题意，得AB=√62+32=3√5,AC=√42+82=4√5,BC=√102+52=5√5.∵AB²+AC²=BC².∴∠BAC=90°.设BC的函数表达式为y=kx+b，代入B( -3,3),C(7,-2).得{3=−3k+b,−2=7k+b,解得{k=−12,b=32,∴BC的函数表达式为y=−12x+32.当y=0时,x=3,即G(3,0),∴点A与点G关于BD对称，射线BD是∠ABC的平分线.设点M为三角形的内心，内切圆的半径为r,在BD上找一点M,过点M作ME⊥AB,过点M作MF⊥AC,且ME=MF=r.∵∠BAC=90°,∴四边形MEAF为正方形, S ABC=12AB×AC=12AB×r+12AC×r+12BC×r,解得r=√5,即AE=EM=√5,∴BE=3√5−√5=2√5,∴BM=√BE2+EM2=5,∵B( -3,3),∴M(2,3).∴△ABC内心M的坐标为(2,3).6.1 ∵b+|c−3|+a2−8a=4√b−1−19，∴|c−3|+(a−4)2+(√b−1−2)2= 0,∴c=3,a=4,b=5.∵3²+4²=25=5²,∴c²+a²=b²,∴△ABC是直角三角形,∠ABC=90°.设内切圆的半径为r.根据题意，得S△ABC=12×3×4=12×3×r+12×4×r+12×r×5,∴r=1.(或者r=3+4−52=1)专题检测1.C2.C 如图,∵⊙O的半径为5,点O到直线l 的距离为3,∴CE=2,过点D作AB⊥ OC,垂足为D,交⊙O于A,B两点,且DE=2,∴⊙O上到直线l的距离为2的点为A，B，C，∴⊙O上到直线l的距离为2的点有3个.3.B4.B5.B 如图,连接OA.∵PA,PB是⊙O的切线,A,B是切点,∴∠PBO=∠PAO=90°,∵∠P=70°,∴∠BOA=360°—∠PBO—∠PAO-∠P=110°,∵OA=OB,∴∠ABO=∠BAO=12(180∘−∠BOA)=12(180 ∘−110 ∘)=35 ∘.6.C 两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值,设圆A的半径为R,则AB=R-1,∵AB =4,圆B半径为1,∴R=5,即圆A的半径等于5,∵AB=4,BC=AD=3,由勾股定理可知AC=5,∴AC=5=R,AD=3C在圆上，点D在圆内.7.D 如图,连接OC,设OA交BC于点T.∵AB=AC=2√5,AO平分∠BAC,∴AO⊥BC,BT=TC=4,∴AT=√AC2−CT2=√(2√5)2−42=2.在Rt△OCT中.有r²=(r-2)²+4²,解得r=5.8.D9.D 连接OC、OD、CD,CD交PA于点E,如图,∵PC,PD与⊙O相切,切点分别为C,D,∴OC⊥CP,PC=PD,OP平分∠CPD.∴OP⊥CD,∴CB̂=DB̂,∴∠COB=∠DOB,∵∠CAD=12∠COD,∴∠COB=∠CAD,在Rt△OCP中, OP=√OC2+PC2=√32+42=5,∴sin∠COP=PCOP =45,∴sin∠CAD=45.10.D 连接AQ、PA,如图,∵PQ切⊙A于点Q,∴AQ⊥PQ,∴∠AQP=90°,∴PQ=√AP2−AQ2=√AP2−1,当AP的长度最小时，PQ的长度最小，∵AP⊥x轴时,AP的长度最小,∴AP⊥x轴时,PQ的长度最小,∵A(-3,2),∴此时P点坐标为(-3,0).11.上 12.55°13.55°或125°分两种情况:(1)点A 与点O 在BC 边同侧时,如图1:∵∠BOC=110°,∴∠BAC =110 ∘×12=55 ∘. (2)点A 与点O 在BC 边两侧时,如图2:∵∠BOC=110°,即BĈ所对的圆心角为110°,∴BDC ̂所对的圆心角为：360°—110°=250°. ∴∠BAC =12×250 ∘=125 ∘. 14.4415.130° ∵PA,PB 是⊙O 的切线,A,B 是切点,∴OA ⊥PA,OB ⊥PB,∴∠OAP=∠OBP=90°,∵∠OAP+∠AOB+∠OBP +∠P=360°,∴∠AOB=360°—90°—90°-50°=130°. 16.25π 如图,连接OP 、OA,∵大圆的弦AB 是小圆的切线,∴OP ⊥AB, ∴AP=BP= 12AB =5, 由勾股定理得OA ²-OP ²=AP ²=25, ∴圆环的面积=π×OA ²-π×OP ²=π×(OA ²-OP ²)=25π.17.解 (1)圆心为C(3,4),半径为2的圆的标准方程为(x-3)²+( y-4)²=4.故答案为：(x-3)²+(y-4)²=4. (2)由题意得圆心为C(2.0),∵A (3,−1),∴AC =√(3−2)2+12= √2<2,∴点A 在⊙C 内部.18.解 (1)∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= 12(180 ∘−∠BAC)=12×(180 ∘−42 ∘)=69 ∘,∵BD 为直径,∴∠BCD=90°,∵∠D=∠BAC=42°,∴∠DBC=90°-∠D=90°-42°=48°; ∴∠ACD=∠ABD=∠ABC-∠DBC=69°-48°=21°; (2)如图,连接OD,∵CD ∥AB,∴∠ACD=∠BAC=42°,∵四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，∴∠B+∠ADC=180°, ∴∠ADC=180°-∠B=180°-69°=111°,∴∠CAD=180°-∠ACD-∠ADC=180°-42°-111°=27°,∴∠COD=2∠CAD=54°, ∵DE 为切线,∴OD ⊥DE,∴∠ODE=90°,∴∠E=90°-∠DOE=90°-54°=36°. 19.(1)证明如图,过点O 作OH ⊥AB 于点H.∵∠ACB=90°,∴OC ⊥BC.∵BO 为△ABC 的角平分线,OH ⊥AB,∴OH=OC,即OH 为⊙O 的半径. ∵OH ⊥AB,∴AB 为⊙O 的切线.(2)解设⊙O 的半径为3x,则OH=OD=OC=3x.在Rt △AOH 中,∵tanA =34, ∴OHAH =34,∴3xAH =34,∴AH=4x, ∴AO =√OH 2+AH 2=√(3x )2+(4x )2=5x,∵AD=2,∴AO=OD+AD=3x+2,∴3x+2=5x,∴x=1,∴OA=3x+2=5,OH=OD=OC=3x=3 . ∴AC=OA+OC=5+3=8.在Rt △ABC 中, ∵tanA =BCAC ,∴BC =AC ⋅tanA =8×34=6, ∴OB =√OC 2+BC 2=√32+62=3√5.。

人教版中考数学考点系统复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系

【分层分析】第一步，连接 OD，根据角平分线的定义得到∠BAD＝∠∠CACD，
进而得到B︵D＝BC︵DC；第二步：根据垂径定理得到
AD OD⊥BBCC；第三步：根据
平行线的性质得到 OD⊥DDFF，即可得到 DF 与⊙O 相切．
证明：连接 OD.∵∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D，∴∠BAD＝∠CAD，∴B︵D＝
求线段长的问题时，因题图中多含直角三角形，因此可以考虑从以下方面来找突破口：(1)勾股定理；(2)锐角三角函数；(3)相似三角形．若题中含有 30°，45°，60°或者三角函数值时，常考虑用三角函数求解，若不含，常考虑用相似三角形求解．
解：∵∠BAD＝∠CAD，∠ADB＝∠C，∴△ABD∽△AEC， ∴AABE＝BEDC，∴126 3＝4BD7，∴BD＝2 321.
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1．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 DE⊥AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F. 求证：EF 是⊙O 的切线．
∵OA＝OE，∴∠OAE＝∠AED，∴∠ADE＝∠PAE.
(2)若∠ADE＝30°，求证：AE＝PE；
证明：由(1)知∠ADE＝∠PAE＝30°， ∵∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°－∠ADE＝60°. ∵∠AED＝∠PAE＋∠APE， ∴∠APE＝∠PAE＝30°，∴AE＝PE.
(3)若 PE＝4，CD＝6，求 CE 的长．
以点 B 为圆心，BA 长为半径作⊙B，交 BD 于点 E. (1)试判断 CD 与⊙B 的位置关系，并说明理由；【分层分析】过点 B 作 BF⊥CD 于点 F，由 AD∥BC 可得∠ADB＝∠∠CCBBDD，由 CB＝CD 可得∠CDB＝∠∠CCBBDD，∴∠ADB＝∠∠C CDDB，B 因而利用角平分线性质可得证，也可证△BDA≌△BDF 得出结论．

2025年九年级中考数学复习专题六圆

2025年中考数学复习专题六圆A 诊断练考点1 圆的基本性质1.如图,在⊙O 中,弦AB的长为8,圆心 O 到AB 的距离OE=4,则⊙O的半径长为 ( )A.4B.4√2C.5D.5√22.如图,CD 是⊙O 的直径,点A,B 在⊙O 上. 若AC=BC,∠AOC=36°,则∠D= ( )A.9°B.18°C.36°D.45°3.如图，四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，AB 是⊙O 的直径，若∠BEC=20°,则∠ADC的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°4.如图,⊙O 的直径AB平分弦CD( 不是直径). 若∠D = 35°, 则∠C =°.5.如图，AB是半圆的直径,AC是一条弦,D 是AC的中点,DE⊥AB于点 E,交 AC 于点 F,DB 交 AC 于点 G,连接AD，给出下面四个结论：①∠ABD=∠DAC;②AF=FG;;③当DG=2,GB=3时,FG=√142̂=2AD̂,AB=6时，△DFG的面积√3上述结论中，正确结论的序号有 .④当BD考点2 与圆有关的位置关系6.如图,⊙O 中,弦AB 的长为√3,点 C在⊙O 上,OC⊥AB,∠ABC30°.⊙O所在的平面内有一点 P,若OP=5,则点 P与⊙O 的位置关系是 ( )A.点 P在⊙O上B.点 P在⊙O内C.点P在⊙O外D.无法确定7.如图,以AB 为直径的⊙O与AC相切于点 A，以AC 为边作平行四边形ACDE,点 D,E 均在⊙O 上,DE 与AB交于点F,连接CE,与⊙O交于点 G,连接 DG. 若 AB = 10,DE = 8,则 AF = ,DG=.8.如图,⊙O 是△ABC的外接圆，D 是直径AB 上一点，∠ACD 的平分线交AB 于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE.(1)求证:CD⊥AB;(2)设FM⊥AB,垂足为M.若OM=OE=1,求AC的长.9.如图,△ABC 内接于⊙O,AB=AC=10,过点A作AE∥BC,交⊙O 的直径 BD的延长线于点 E，连接CD.(1)求证:AE 是⊙O 的切线;,求 CD 和DE 的长.(2)若tan∠ABE=12考点3 与圆有关的计算10.两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆O'的一个直径端点与半圆O的圆心重合，若半圆的半径为2，则阴影部分的面积是 ( )A.43π−√3B.43πC.23π−√3D.43π−√3411.已知圆锥的底面圆半径为 4，母线长为 5，则圆锥的侧面积为 .12.铁艺花窗是园林设计中常见的装饰元素.如图是一个花瓣造型的花窗示意图，由六条等弧连接而成，六条弧所对应的弦构成一个正六边形，中心为点O，AB所在圆的圆心C恰好是△ABO 的内心，若.AB=2√3,则花窗的周长 ( 图中实线部分的长度 ) = .(结果保留π)B 考点突破练考点4 圆的基本性质基础考向1 弧、弦、圆心角的关系1.如图,AB是⊙O 的直径，BC=CD,∠COD=52°,,则∠AOD 的大小为 .2.如图,在⊙O中,AB̂=CD,有下列结论:①AB = CD;②AC = BD;③∠AOC=∠BOD;④AĈ=BD̂,其中正确的是 (填序号).考向2 垂径定理及其推论3.如图,OA,OB,OC都是⊙O的半径,AC,OB 交于点 D.若AD=CD=8,OD=6,则BD的长为 ( )A.5B.4C.3D.24.如图，⊙O 是一个盛有水的容器的横截面，⊙O的半径为10 cm，水的最深处到水面AB 的距离为4 cm，则水面AB的宽度为 cm.考向3 圆周角定理及其推论5.如图,在⊙O 中,弦AB,CD 相交于点 P,若∠A= 48°,∠APD=80°,则∠B的度数为( )A.32°B.42°C.48°D.52°6.如图,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC,BD 为对角线,BD 经过圆心 O. 若∠BAC=40°,则∠DBC的度数为( )A.40°B.50°C.60°D.70°7.如图，将一个量角器与一把无刻度直尺水平摆放，直尺的长边与量角器的外弧分别交于点A，B，C，D，连接AB，则∠BAD的度数为 .8.如图,AB 为⊙O 的直径,CD 为⊙O 的一条弦，∠BCD 的平分线交⊙O 于点E,AD,BE 的延长线交于点 F.(1)若∠BAD=70°,求∠ABE 的度数. (2)求证:AB=AF.考向4 圆内接四边形9.如图，圆内接四边形ABCD 中,∠BCD = 105°,连接 OB,OC,OD,BD,∠BOC=2∠COD.则∠CBD 的度数是( )A.25°B.30°C.35°D.40°10.如图,四边形ABCD 内接于⊙O,BC∥AD,AC⊥BD. 若∠AOD =120°,AD √3 则∠CAO 的度数与 BC 的长分别为 ( )A.10°,1B.10°， √2C.15°,1D.15°， √211.如图,四边形ABCD 内接于 ⊙O,点 E 在 CD 的延长线上. 若∠ADE=70°,则∠AOC= °.12.如图，四边形AB-CD 内接于 ⊙O,连接 AC,BD, ∠ABD =∠ADC,过点D 作DP∥AB,交⊙O 于点M,交BC 的延长线于点 P. (1)求证:BP=BD;诊断区检测区突破区,AB=10,求 CP 的长.(2)若cos∠ABD=2513.下列说法中正确的个数是 ( )①同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等；②在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等；③相等的圆心角所对的弧相等；④平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.A.1B.2C.3D.4提升1.如图，已知点A,B,C,D都在⊙O上,OB⊥AC,BC=CD,下列说法错误的是 ( )̂=BĈ B.∠AOD=3∠BOCA.ABC. AC=2CDD. OC⊥BD2.如图,在⊙O中,OA⊥BC,∠ADB=30°,BC=√3,则OC( )A.1B.2C.√3D.43.在半径为2的⊙O中,弦AB的长度为2,点C 为⊙O上异于A,B两点的一个动点,则∠BCA=°.,E,F 分别为AC,BC的中点，弦EF 分别4.如图,AB 为半圆O的直径，C为半圆上一点且sin∠CAB=35交AC,CB 于点 M,N. 若MN=3√2,则 AB =5.如图,OA,OB,OC都是⊙O 的半径,∠ACB=2∠BAC.(1)求证:∠AOB=2∠BOC;(2)若AB=4,BC=√5，求⊙O的半径.6.如图,以△ABC的边AC为直径作⊙O,交 BC 边于点 D,过点 C 作CE ∥AB 交⊙O 于点 E, 连接AD, DE,∠B=∠ADE.(1)求证:AC=BC;(2)若 tan B=2,CD=3,求AB 和DE 的长.7.如图，在扇形 AOB 中,OA=8,点 C 在半径 OA 上,将△BOC沿BC翻折,点 O 的对应点 D 恰好落在弧 AB 上,再将弧 AD 沿着 CD 翻折至弧A₁D(点A₁是点A的对应点),那么 OA₁的长为 .考点5 与圆有关的位置关系基础考向1 点、直线和圆的位置关系1.在同一平面内，已知⊙O的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P 到直线l的最大距离是 ( )A.2B.5C.6D.82.已知平面内有⊙O 和点A,B,若⊙O 的半径为3 cm,线段OA=4cm,OB=3cm,则直线AB与⊙O的位置关系为 ( )A.相离B.相交C.相切D.相交或相切3.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD 是AB 边上的高,AB=4，若圆C是以点 C 为圆心，2为半径的圆，那么下列说法正确的是 ( )A.点 D 在圆 C 上,点 A,B 均在圆C外B.点 D 在圆 C 内,点 A,B 均在圆C外C.点A,B,D 均在圆C外D.点A在圆C外，点D在圆C内，点B在圆C上考向2 切线的性质及判定4.如图,AC 是⊙O 的切线,B 为切点,连接OA,OC.若∠A=30°,AB=√3,BC=3则OC的长度是( )A,3 B.√3C√13 D.65.如图,AB 切⊙O 于点B,连接OA交⊙O 于点C,BD∥OA交⊙O 于点D.连接CD,若∠OCD=25°,则∠A的度数为( )A.25°B.35°C.40°D.45°̂上. 已知∠A = 50°, 6.如图,点 A 是⊙O 外一点,AB,AC分别与⊙O 相切于点 B,C,点 D 在BDC则∠D 的度数是 .7.如图,已知△ABC 内接于⊙O,CO 的延长线交AB 于点 D,交⊙O 于点E,交⊙O 的切线AF于点F,且AF∥BC.(1)求证:AO∥BE;(2)求证:AO 平分∠BAC.∠A,点O在BC上，以点O为圆心的8.如图,在△ABC 中,∠ACB=90°,点 D 是 AB 上一点,且∠BCD=12圆经过C,D两点.(1)试判断直线 AB 与⊙O 的位置关系，并说明理由；,⊙O的半径为3，求AC的长.(2)若sinB=35考向3 三角形的外接圆与内切圆9.如图,点O 是△ABC外接圆的圆心，点I 是△ABC 的内心，连接OB,IA.若∠CAI=35°,则∠OBC的度数为( )A.15°B.17.5°C.20°D.25°10.如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A，O两点皆在格线的交点上.今在此方格纸格线的交点上另外找两点 B，C,使得△ABC 的外心为 O,求 BC 的长度（）A.4B.5C.√10D.√2011.如图，⊙O是锐角三角形 ABC 的外接圆,OD⊥AB,OE⊥BC,OF⊥AC,垂足分别为 D,E,F,连接 DE,EF,FD.若DE+DF=6.5,△ABC 的周长为21,则EF 的长为 ( )A.8B.4C.3.5D.312.如图,△ABC的内切圆⊙I与BC,CA,AB 分别相切于点 D,E,F,若⊙I的半径为r,∠A=α,则(BF+CE-BC)的值和∠FDE 的大小分别为 ( )A.2r,90°-αB.0,90°-αC.2r,90∘−α2D.0,90∘−α213.如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成，点A，B，C在直角坐标系中的坐标分别为(3，6),(-3,3),(7,-2),则△ABC 内心的坐标为 .14.在同一平面内，点P不在⊙O上，若点P到⊙O上的点的最大距离是11，最小距离是5，则⊙O的半径是 .提升1.已知点A在半径为3的圆O 上，如果点 A 到直线a 的距离是6，那么圆O与直线a的位置关系是( )A.相交B.相离C.相切D.以上答案都不对2.已知一个三角形的内心与外心重合，若它的内切圆的半径为2，则它的外接圆的面积为 ( )A.4πB.8πC.12πD.16π3.如图,在四边形AB-CD中,AB∥CD,AD⊥AB,以 D 为圆心,AD 为半径的弧恰好与 BC 相切，切点为E.若ABCD =13,则 sin C的值 ( )A 23 c 344.如图是一个圆形餐盘的正面及其固定支架的截面图，凹槽ABCD 是矩形.当餐盘正立且紧靠支架于点A ，D 时，恰好与 BC 边相切，则此餐盘的半径等于 cm.5.如图，在平面直角坐标系中,已知点A(1,0),P(-1,0),⊙P 过原点O ，且与x 轴交于另一点D ，AB 为⊙P 的切线,B 为切点,BC 是⊙P 的直径,则∠BCD 的度数为 °.6.如图,在△ABC 中,AB=BC,以BC 为直径作⊙O 与AC 交于点D,过点 D 作DE⊥AB,交CB 延长线于点 F,垂足为点 E.(1)求证:DF 为⊙O 的切线;(2)若 BE =3,cosC =45,求 BF 的长.B.√53D.√747.如图，分别过矩形ABCD的四个顶点作其内部的⊙O 的切线，切点分别为E，F，G，H，若AE = a,BF = b, DH = c, 则 CG 的长为 .(用含a,b,c的代数式表示)考点6 与圆有关的计算基础考向1 圆内接正多边形的计算1.如图,正五边形ABCDE内接于⊙O,连接OC,OD,则∠BAE-∠COD= ( )A.60°B.54°C.48°D.36°2.如图,点 P₁~P₈是⊙O 的八等分点.若△P₁P₃P₇,四边形 P₃P₄P₆P₇的周长分别为a，b，则下列正确的是( )A. a<bB. a=bC. a>bD. a，b大小无法比较考向2 弧长与扇形面积的计算3.圆心角为90°，半径为3的扇形弧长为 ( )A.2πB.3π C32D.12π4.“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形.如图，分别以等边△ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”.若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于 ( )A.πB.3πC.2πD.2π−√35.马面裙(图(1))，又名“马面褶裙”，是我国古代女子穿着的主要裙式之一.将图(1)中的马面裙抽象成数学图形，如图(2)中的阴影部分所示，AD 和BC所在圆的圆心均为点O，且点A在 OB 上,点 D 在 OC 上,若OA=AB=6 dm,OA⊥OD，则该马面裙裙面(图(2)中阴影部分)的面积为 ( )A.36πdm²B.27πdm²C.18πdm²D.12πdm²6.如图，在矩形ABCD中,AB=3,BC=6,E为BC的中点,连接AE，DE.以E为圆心，EB 长为半径画弧，分别与AE，DE交于点M，N，则图中阴影部分的面积和是 (结果保留π).考向3 圆锥的有关计算7.如图,用圆心角为120°半径为6的扇形围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则这个圆锥的高是.8.如图，小珍同学用半径为8cm ，圆心角为 100°的扇形纸片，制作一个底面半径为2cm 的圆锥侧面，则圆锥上粘贴部分的面积是 cm².9.如图，圆锥形烟囱帽的底面半径为30cm ，母线长为50cm ，则烟囱帽的侧面积为 cm².(结果保留π)10.如图,在△ABC 中,AC=3,AB=4,BC 边上的高AD=2,将△ABC 绕着BC 所在的直线旋转一周得到的几何体的表面积为 .考向4 与圆有关的阴影部分面积11.如图,在△ABC 中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AB=4,点O 为BC 的中点，以O 为圆心，OB 长为半径作半圆，交AC 于点 D ，则图中阴影部分的面积是( )A.5√3−√33π B.5√3−4πC.5√3−2πD.10√3−2π12.如图,矩形ABCD 内接于⊙O,分别以AB,BC,CD,AD 为直径向外作半圆.若AB=4，BC=5，则阴影部分的面积是 ( )检测区突破区A.414π−20B.412π−20C.20πD.2013.如图,Rt△BCO中,∠BCO=90°,∠CBO=30°,BO=4cm,将△BCO绕点 O逆时针旋转至△B'C'O,点 C'恰好落在 BO 延长线上，则边 BC 扫过区域(图中阴影部分)的面积为 ( )A.πcm²B.(π+√3)cm2C.4πcm²D.(4π+√3)cm214.如图，点B在半圆O 上,直径AC=12,∠BAC=40°,则图中阴影部分的面积为(结果保留π).15.如图,△ABC的周长为20,⊙O 的半径为1,⊙O从与AB 相切的切点D的位置出发，在△ABC外部，按顺时针方向沿三角形的边无滑动滚动，当滚动一周又回到点 D 的位置时，⊙O的圆心O运动的长度 (填“>”“=”或“<”)三角形的周长，运动长度为 .提升1.如图，正六边形AB-CDEF内接于⊙O,点P在AB上,点Q是DÊ的中点，则∠CPQ的度数为 ( ) A.30° B.45° C.36° D.60°2.如图,正六边形AB-CDEF的外接圆⊙O 的半径为2，过圆心 O 的两条直线l₁，l₂的夹角为60°，则图中的阴影部分的面积为 ( )A.43π−√3B.43π−√32C.23π−√3D.23π−√323.如图，已知点 C 为圆锥母线 SB 的中点，AB 为底面圆的直径，SB=6，AB=4，一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从A 点爬到C 点，则蚂蚁爬行的最短路程为 ( )A.5B.√3C.3√2D.2√34.如图,在▱ABCD中,AB=√3+1,BC=2,AH⊥CD,垂足为H,AH=√3.以点 A 为圆心，AH 长为半径画弧，AB,AC,AD 分别交于点E,F,G.若用扇形AEF围成一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₁；用扇形AHG 围成另一个圆锥的侧面，记这个圆锥底面圆的半径为r₂，则r₁−r₂=.(结果保留根号) 5.如图,在△ABC 中,AB=4,∠C=64°,以AB 为直径的⊙O 与AC 相交于点 D,E 为ABD̂上一点,且∠ADE=40°.(1)求BÊ的长；(2)若∠EAD=76°, 求证:CB为⊙O 的切线.6.将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图(1)，正六边形边长为2且各有一个顶点在直线l上.两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图(2)，其中，中间正六边形的一边与直线l平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图(2)中(1)∠α= 度;(2)中间正六边形的中心到直线l的距离为 (结果保留根号).C 检测验收练一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图,AB是⊙O 的直径,∠E=35°,则∠BOD= ( )A.80°B.100°C.120°D.110°2.数学活动课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是在工件圆弧上任取两点A,B,连接AB,作AB 的垂直平分线 CD 交AB于点D,交AB 于点 C,测出AB=40 cm, CD=10cm，则圆形工件的半径为 ( )A.50cmB.35 cmC.25 cmD.20cm3.刘徽(今山东滨州人)是魏晋时期我国伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基者之一，被誉为“世界古代数学泰斗”.刘徽在注释《九章算术》时十分重视一题多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圆公式的推导，他给出了内切圆直径的多种表达形式. 如图,Rt△ABC 中,∠C =90°, AB,BC,CA 的长分别为c,a,b.则可以用含c，a，b的式子表示出△ABC 的内切圆直径d，下列表达式错误的是 ( )A. d=a+b-cB.d=2aba+b+cC.d=√2(c−a)(c−b)̅̅̅̅̅̅̅̅̅ D. d=|(a-b)(c-b)|4.如图，两个半径长均为 1 的直角扇形的圆心分别在对方的圆弧上,扇形 CFD 的圆心 C 是弧 AB的中点,且扇形 CFD 绕着点 C 旋转,半径 AE,CF交于点G，半径BE，CD交于点 H，则图中阴影部分的面积等于 ( )A.π2−1B.π2−12C.π-1D.π-2二、填空题(每小题5分，共30分)5.如图，AB 是圆的直径,∠1,∠2,∠3,∠4的顶点均在 AB上方的圆弧上，∠1，∠4的一边分别经过点A，B，则∠1+∠2+∠3+∠4=°.6.如图,四边形ABCD是⊙O 的内接四边形，点O 在四边形ABCD内部，过点C作⊙O 的切线交AB的延长线于点P,连接 OA,OB. 若∠AOB = 140°,∠BCP =35°,则∠ADC 的度数为 .7.[2024 浙江杭州校级二模]如图，正六边形AB-CDEF与正方形AGDH都内接于⊙O，则劣弧BG 所对圆周角的度数为 .8.如图,△ABC 内接于⊙O,点 O 在AB上,AD 平分∠BAC 交⊙O 于D,连接BD.若AB=10,BD=√5,则BC的长为 .9.如图，在边长为6的正六边形 ABCDEF中,以点 F为圆心,以 FB 的长为半径作BD，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这.个圆锥的底面半径为 .̂的圆心10.如图，四边形ABCD 是正方形，曲线DA₁B₁C₁D₁A₂B₂…叫做“正方形的渐开线”，其中DA1为点A,半径为AD;A₁B₁的圆心为点B，半径为BA₁;B₁C₁的圆心为点C，半径为(CB₁;C₁D₁的圆心为点 D，半径为DC₁;……,DA₁,A₁B₁,B₁C₁,C₁D₁,…I的圆心依次按A,B,C,D 的顺序循环,当AB=1时,的长是 .三、解答题(11 题 10 分,12 题 12 分, 13 题13分,14题15分,共50分)11.日晷仪也称日晷，是观测日影计时的仪器，主要根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻数，是我国古代较为普遍使用的计时仪器，如图(1)所示. 小东为了探究日晷的奥秘，在不同时刻对日晷进行了观察探究.(1)探究1：如图(2)，日晷的平面是以点O为圆心的圆，直线l是日晷的底座，OA⊥l于点A,与⊙O交于点B,点P在⊙O 上,OP 为某一时刻晷针的影长，PB的延长线与直线l交于点 C.连接A P,当AP=AC时,求证:AP与⊙O相切.(2)探究2：当小东观察到影长OP 落在图(3)所示位置时，连接AP，交⊙O 于点D,若∠POD=90∘,OA=√10,AD=√2,求⊙O的半径.12.已知△AOB 中,∠ABO =30°,AB为⊙O 的弦,直线MN与⊙O 相切于点 C.(1)如图(1),若AB∥MN,直径 CE 与 AB 相交于点 D,求∠AOB 和∠BCE的大小;(2)如图(2),若OB∥MN,CG⊥AB,垂足为G,CG与OB 相交于点 F,OA=3,求线段 OF的长.13.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交BC于点 D,交AC于点 E,过点 D 作DF⊥AC 于点 F,FD 的延长线交AB 的延长线于点 G.(1)若AB=10,BC=12,求△DFC的面积;(2)若 tan C=2,AE=6,求 BG的长.14.如图(1),O 是正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OC长为半径的⊙O 与AD 相切于点E，与AC 相交于点 F.(1)求证:AB 与⊙O 相切;(2)若正方形ABCD 的边长为√2+1,求⊙O的半径；̂于点 N.(3)如图(2),在(2)的条件下,若点 M是半径OC 上的一个动点,过点 M 作MN⊥OC 交CE当CM:FM=1:4时,求CN的长.。

中考数学第六章圆第二节与圆有关的位置关系

方法
考法切线的判定及性质
提分特训
෽
1.[2021武汉中考]如图, AB是☉O的直径,C,D是☉O上两点,点C是的
中点,过点C作AD的垂线,垂足是点E.连接AC交BD于点F.
(1)求证:CE是☉O的切线;

(2)若 =

6,求cos∠ABD的值.
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
2
+−
的半径r=
(其中a,b为直角边长,c为斜边长).
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
设正n边形的外接圆半径为R,边长为a,边心距为r.
180°
R·cos
或

边心距r
a 2
2
−( )
2
周长C
na
面积S
1
nar
2
前往
考点
方法
真题
作业
考点
考点4
正多边形和圆的相关计算基础点
在Rt△OBG中,由勾股定理得OG2+BG2=OB2.
∴(r-
3 2
2
2
2
2t) +(2t) =r ,解得r= t,
2
2 2 2
∴cos∠ABD= = 3 2 = .

3
2
前往
考点
方法
真题
作业
方法
考法切线的判定及性质
提分特训
2.如图,点O是菱形ABCD的对角线AC上的一点,以点O为圆心,OA为
作业
真题
命题点1 切线的判定(5年3考)

中考数学复习题点和圆、直线和圆的位置关系试题

点和圆、直线和圆的位置关系一、选择题1．如图，P为圆O外一点，OP交圆O于A点，且OA=2AP．甲、乙两人想作一条通过P点且与圆O相切的直线，其作法如下：〔甲〕以P为圆心，OP长为半径画弧，交圆O于B点，那么直线PB即为所求；〔乙〕作OP的中垂线，交圆O于B点，那么直线PB即为所求．对于甲、乙两人的作法，以下判断何者正确？〔〕A．两人皆正确B．两人皆错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确二、解答题2．如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，假如∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm〔1〕请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求图中阴影局部的面积〔结果用π表示〕．3．如图，四边形ABCD是平行四边形，以对角线BD为直径作⊙O，分别与BC，AD相交于点E，F．〔1〕求证：四边形BEDF为矩形；〔2〕BD2=BE•BC，试判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由．4．如图，点D是⊙O的直径CA延长线上的一点，点B在⊙O上，且AB=AD=AO．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕假设点E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，且∠ABE=105°，S△BEF=8〔﹣1〕，求△ACF的面积和CF的长．5．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆．〔1〕求证：AC是⊙O的切线．〔2〕过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．6．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，过点A作AD⊥CD于点D，交⊙O于点E，且=．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设tan∠CAB=，BC=3，求DE的长．7．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E 是BC的中点，连接DE，OE．〔1〕判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；〔2〕求证：BC2=2CD•OE；〔3〕假设cos∠BAD=，BE=，求OE的长．8．如图，BC是以AB为直径的⊙的切线，且BC=AB，连接OC交⊙O于点D，延长AD交BC 于点E，F为BE上一点，且DF=FB．〔1〕求证：DF是⊙O的切线；〔2〕假设BE=2，求⊙O的半径．9．如图，在△ABO中，OA=OB，C是边AB的中点，以O为圆心的圆过点C．〔1〕求证：AB与⊙O相切；〔2〕假设∠AOB=120°，AB=4，求⊙O的面积．10．如图，⊙O中，点C为的中点，∠ACB=120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B．〔1〕求证：AD与⊙O相切；〔2〕假设点C到弦AB的间隔为2，求弦AB的长．11．如图，⊙O的直径AB为10cm，弦BC为6cm，D、E分别是∠ACB的平分线与⊙O，AB的交点，P为AB延长线上一点，且PC=PE．〔1〕求AC、AD的长；〔2〕试判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由．12．如图，在⊙O中，直径AB平分弦CD，AB与CD相交于点E，连接AC、BC，点F是BA延长线上的一点，且∠FCA=∠B．〔1〕求证：CF是⊙O的切线．〔2〕假设AC=4，tan∠ACD=，求⊙O的半径．13．如图，在△ABC中，以BC为直径的⊙O与边AB交于点D，E为的中点，连接CE交AB 于点F，AF=AC．〔1〕求证：直线AC是⊙O的切线；〔2〕假设AB=10，BC=8，求CE的长．14．如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且ME=1，AM=2，AE=．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕求⊙O的半径．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径作⊙O交AB于点D点，连接CD．〔1〕求证：∠A=∠BCD；〔2〕假设M为线段BC上一点，试问当点M在什么位置时，直线DM与⊙O相切？并说明理由．16．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D是边AC上的一点，连接BD，使∠A=2∠1，E是BC 上的一点，以BE为直径的⊙O经过点D．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕假设∠A=60°，⊙O的半径为2，求阴影局部的面积．〔结果保存根号和π〕17．如图，⊙O中，FG、AC是直径，AB是弦，FG⊥AB，垂足为点P，过点C的直线交AB的延长线于点D，交GF的延长线于点E，AB=4，⊙O的半径为．〔1〕分别求出线段AP、CB的长；〔2〕假如OE=5，求证：DE是⊙O的切线；〔3〕假如tan∠E=，求DE的长．18．如图，点B、C、D都在半径为6的⊙O上，过点C作AC∥BD交OB的延长线于点A，连接CD，∠CDB=∠OBD=30°．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求弦BD的长；〔3〕求图中阴影局部的面积．19．如图，点B、C、D都在⊙O上，过C点作CA∥BD交OD的延长线于点A，连接BC，∠B=∠A=30°，BD=2．〔1〕求证：AC是⊙O的切线；〔2〕求由线段AC、AD与弧CD所围成的阴影局部的面积．〔结果保存π〕20．如图，在△ABC中，以AC为直径作⊙O交BC于点D，交AB于点G，且D是BC中点，DE ⊥AB，垂足为E，交AC的延长线于点F．〔1〕求证：直线EF是⊙O的切线；〔2〕假设CF=5，cos∠A=，求BE的长．21．如图，⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为E，F为DC延长线上一点，且∠CBF=∠CDB．〔1〕求证：FB为⊙O的切线；〔2〕假设AB=8，CE=2，求sin∠F．22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O与AC边交于点D，过点D的直线交BC边于点E，∠BDE=∠A．〔1〕判断直线DE与⊙O的位置关系，并说明理由．〔2〕假设⊙O的半径R=5，tanA=，求线段CD的长．23．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过D作MN ⊥AC于点M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN于G．〔1〕求证：△BGD∽△DMA；〔2〕求证：直线MN是⊙O的切线．24．如图，⊙O的直径AC与弦BD相交于点F，点E是DB延长线上的一点，∠EAB=∠ADB．〔1〕求证：EA是⊙O的切线；〔2〕点B是EF的中点，求证：以A、B、C为顶点的三角形与△AEF相似；〔3〕AF=4，CF=2．在〔2〕条件下，求AE的长．25．如图，点A是⊙O上一点，OA⊥AB，且OA=1，AB=，OB交⊙O于点D，作AC⊥OB，垂足为M，并交⊙O于点C，连接BC．〔1〕求证：BC是⊙O的切线；〔2〕过点B作BP⊥OB，交OA的延长线于点P，连接PD，求sin∠BPD的值．26．如下图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，D是AB延长线上一点，连接DC，且AC=DC，BC=BD．〔1〕求证：DC是⊙O的切线；〔2〕作CD的平行线AE交⊙O于点E，DC=10，求圆心O到AE的间隔．27．如图，BD为⊙O的直径，AB=AC，AD交BC于点E，AE=1，ED=2．〔1〕求证：∠ABC=∠D；〔2〕求AB的长；〔3〕延长DB到F，使得BF=BO，连接FA，试判断直线FA与⊙O的位置关系，并说明理由．28．如图，在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，延长CA到O，使AO=AC，以O为圆心，OA长为半径作⊙O交BA延长线于点D，连接CD．〔1〕求证：CD是⊙O的切线；〔2〕假设AB=4，求图中阴影局部的面积．29．如图，△ABC中，∠C=90°，点G是线段AC上的一动点〔点G不与A、C重合〕，以AG 为直径的⊙O交AB于点D，直线EF垂直平分BD，垂足为F，EF交BC于点E，连结DE．〔1〕求证：DE是⊙O的切线；〔2〕假设cosA=，AB=8，AG=2，求BE的长；〔3〕假设cosA=，AB=8，直接写出线段BE的取值范围．30．如图，⊙O是△ABC外接圆，AB是⊙O的直径，弦DE⊥AB于点H，DE与AC相交于点G，DE、BC的延长线交于点F，P是GF的中点，连接PC．〔1〕求证：PC是⊙O的切线；〔2〕假设⊙O的半径是1， =，∠ABC=45°，求OH的长．励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

中考数学复习《与圆有关的位置关系》专题训练含答案

中考复习专题训练与圆有关的位置关系一、选择题1.⊙O1的半径为1cm，⊙O2的半径为4cm，圆心距O1O2=3cm，这两圆的位置关系是( )A. 相交B. 内切C. 外切D. 内含2.⊙O的半径为4，线段OP=4，则点P与⊙O的位置关系是（）A. 点P在⊙O外B. 点P在⊙O内C. 点P在⊙O上D. 不能确定3.两圆外离，作它们的两条内公切线，四个切点构成的四边形是（）A. 矩形B. 等腰梯形C. 矩形或等腰梯形D. 菱形4. 已知线段AB=7cm，现以点A为圆心，2cm为半径画⊙A；再以点B为圆心，3cm为半径画⊙B，则⊙A 和⊙B的位置关系（）A. 内含B. 相交C. 外切D. 外离5.下列四个命题中，真命题是( )A. 相等的圆心角所对的两条弦相等；B. 圆既是中心对称图形也是轴对称图形；C. 平分弦的直径一定垂直于这条弦；D. 相切两圆的圆心距等于这两圆的半径之和.6.在△ABC中，cosB=，∠C=45°，AB=8，以点B为圆心4为半径的⊙B与以点C为圆心的⊙C相离，则⊙C的半径不可能为（）A. 15B. 5C. 6D. 77. 如图，已知⊙O的半径为4，点D是直径AB延长线上一点，DC切⊙O于点C，连接AC，若∠CAB=30°，则BD的长为（）A. 4B. 8C. 4D. 28.下列说法正确的是（）A. 任意三点可以确定一个圆B. 平分弦的直径垂直于弦，并且平分该弦所对的弧C. 同一平面内，点P到⊙O上一点的最小距离为2，最大距离为8，则该圆的半径为5D. 同一平面内，点P到圆心O的距离为5，且圆的半径为10，则过点P且长度为整数的弦共有5条9.如图，AB为⊙O的直径，P为AB延长线上一点，PT切⊙O于T，若PT=6，PB=2，则⊙O的直径为（）A. 8B. 10C. 16D. 1810.如图，在等腰三角形△ABC中，O为底边BC的中点，以O为圆心作半圆与AB，AC相切，切点分别为D，E．过半圆上一点F作半圆的切线，分别交AB，AC于M，N．那么的值等于（）A. B. C. D. 111.如图，⊙O的半径为2，点O到直线L的距离为3，点O是直线L上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为（）A. B. C. 3 D. 512.已知如图，PA、PB切⊙O于A、B，MN切⊙O于C，交PB于N；若PA=7.5cm，则△PMN的周长是（）A. 7.5cmB. 10cmC. 15cmD. 12.5cm二、填空题13.已知⊙P在直角坐标平面内，它的半径是5，圆心P（﹣3，4），则坐标原点O与⊙P的位置关系是________14.已知点P在半径为5的⊙O外，如果设OP=x，那么x的取值范围是________．15.如图，已知扇形AOB的半径为6，圆心角为90°，E是半径OA上一点，F是上一点．将扇形AOB沿EF对折，使得折叠后的圆弧恰好与半径OB相切于点G．若OE=4，则O到折痕EF的距离为________．16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC≠BC，点M是边AC上的动点．过点M作MN∥AB交BC于N，现将△MNC沿MN折叠，得到△MNP．若点P在AB上．则以MN为直径的圆与直线AB的位置关系是________．17.如图，在⊙O中，OB为半径，AB是⊙O的切线，OA与⊙O相交于点C，∠A=30°，OA=8，则阴影部分的面积是________．18. 如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，CE⊥AB于点E，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CE、CB于点P、Q，连接AC，关于下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是∠ACQ的外心，其中正确结论是________ （只需填写序号）．19.如图，AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F，若AD=20，则△ABC的周长为 ________20.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4 ．若动点D在线段AC上（不与点A、C重合），过点D作DE⊥AC交AB边于点E．点A关于点D的对称点为点F，以FC为半径作⊙C，当DE=________时，⊙C与直线AB相切．21.如图，在△ABC中，BC=4，以点A为圆心，2为半径的⊙A与BC相切于点D，交AB于点E，交AC于点F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF=45°，则图中阴影部分的面积为________．三、解答题22.如图，已知PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，∠OAB＝30°．（1）求∠APB的度数；（2）当OA＝3时，求AP的长．23.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB=8，边BC 比AD大6．（1）求边AD、BC的长；（2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．24.在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图①，过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=32°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图②，D为优弧ADC上一点，且DO的延长线经过AC的中点E，连接DC与AB相交于点P，若∠CAB=16°，求∠DPA的大小．25.解答题（1）如图1，已知⊙O的半径是4，△ABC内接于⊙O，AC=4 ．①求∠ABC的度数；②已知AP是⊙O的切线，且AP=4，连接PC．判断直线PC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，已知▱ABCD的顶点A、B、D在⊙O上，顶点C在⊙O内，延长BC交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=DC．参考答案一、选择题B C C D B D C D C B B C二、填空题13.点O在⊙P上14.x＞515.216.相交17.8 ﹣π18.②③19.4020.或21.4﹣π三、解答题22.解：（1）∵在△ABO中，OA=OB，∠OAB=30°，∴∠AOB=180°-2×30°=120°，∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠OAP=∠OBP=90°，∴在四边形OAPB中，∠APB=360°-120°-90°-90°=60°．（2）如图，连接OP；∵PA、PB是⊙O的切线，∴PO平分∠APB，即∠APO=∠APB=30°，又∵在Rt△OAP中，OA=3，∠APO=30°，∴AP=.23.解：（1）方法1：过D作DF⊥BC于F，在Rt△DFC中，DF=AB=8，FC=BC﹣AD=6，∴DC2=62+82=100，即DC=10．设AD=x，则DE=AD=x，EC=BC=x+6，∴x+（x+6）=10．∴x=2．∴AD=2，BC=2+6=8．方法2：连OD、OE、OC，由切线长定理可知∠DOC=90°，AD=DE，CB=CE，设AD=x，则BC=x+6，由射影定理可得：OE2=DE•EC．即：x（x+6）=16，解得x1=2，x2=﹣8，（舍去）∴AD=2，BC=2+6=8．（2）存在符合条件的P点．设AP=y，则BP=8﹣y，△ADP与△BCP相似，有两种情况：①△ADP∽△BCP时，有即∴y=；②△ADP∽△BPC时，有即∴y=4．故存在符合条件的点P，此时AP=或4．24.解：（Ⅰ）连接OC，如图①，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠CAB=32°，∴∠POC=∠OCA+∠CAB=64°，∴∠P=90°﹣∠POC=90°﹣64°=26°；（Ⅱ）如图②，∵点E为AC的中点，∴OD⊥AC，∴∠OEA=90°，∴∠AOD=∠CAB+∠OEA=16°+90°=106°，∴∠C= ∠AOD=53°，∴∠DPA=∠BAC+∠C=16°+53°=69°25.（1）解：①连结OA、OC，如图1，∵OA=OC=4，AC=4 ，∴OA2+OC2=AC2，∴△OCA为等腰直角三角形，∠AOC=90°，∴∠ABC= ∠AOC=45°；②直线PC与⊙O相切．理由如下：∵AP是⊙O的切线，∴∠OAP=90°，而∠AOC=90°，∴AP∥OC，而AP=OC=4，∴四边形APCO为平行四边形，∵∠AOC=90°，∴四边形AOCP为矩形，∴∠PCO=90°，∴PC⊥OC，∴PC为⊙O的切线（2）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∠DCE=∠B，∵∠E+∠A=180°，∴∠E=∠B，∴∠DCE=∠E，∴DC=DE．。

2024年中考数学总复习考点梳理第六章第二节与圆有关的位置关系

第二节与圆有关的位置关系
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考情及趋势分析
类型年份题号题型分值 2021 24(2) 解答题(三) 3
考情分析图形背景
/
解题方法利用平行线证相切
切线的 2020 22(1) 解答题(二) 4 判定 2019 24(2) 解答题(三) 3 2018 24(2) 解答题(三) 3
切线的 2023 22(2) 解答题(三) 9 性质 2020 22(2) 解答题(二) 4
示意图
第二节与圆有关的位置关系
考点 2 切线的性质及判定(6年7考)★重点
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直线和圆只有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相概念
切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点性质圆的切线_垂__直__于过切点的半径
1. 与圆只有一个交点的直线是圆的切线(定义)； 2. 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切判定线(定理)； 3. 圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线
(3)若BD＝2，CD＝4，则⊙O的半径为_3_；
(4)若tan
∠BAC＝
1 2
，CD＝4，则BD的长为_2_．
第2题图
第二节与圆有关的位置关系
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3. [人教九上P99探究改编]如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B 为切点，连接AB，OA，OB，PO，PO交⊙O于点C，交AB于点 D，∠OAB＝30°. (1)∠APB的度数为_6_0_°_； (2)若OA＝4，则OP的长为_8_．
1 教材改编题课前测 2 教材知识逐点过 3 教材原题到重难考法 4 广东近6年真题
第二节与圆有关的位置关系
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广东近6年考情及趋势分析
命题点与切线有关的证明与计算(6年7考) 课标要求 1.探索并了解点与圆的位置关系；(2022年版课标将“了解”调整为“掌握”) 2.了解直线和圆的位置关系，掌握切线的概念； 3.*探索并证明切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长相等； 4.*能用尺规作图：过圆外一点作圆的切线．(2022年版课标新增)

河南省中考数学总复习第六章圆作业帮-人教版初中九年级全册数学试题

第一节圆的基本性质考点1 圆周角定理及其推论1.[2018某某聊城]如图,☉O中,弦BC与半径OA相交于点D,连接AB,OC.若∠A=60°,∠ADC=85°,则∠C的度数是( )A.25°B.27.5°C.30°D.35°(第1题) (第2题)2.[2018某某]如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=AC,∠BCA=65°,作CD∥AB,并与☉O相交于点D,连接BD,则∠DBC的大小为( )A.15°B.35°C.25°D.45°3.[2017某某某某]如图,在☉O中,AB是直径,CD是弦,AB⊥CD,垂足为点E,连接CO,AD,∠BAD=20°,则下列说法中正确的是( )A.AD=2OBB.CE=EOC.∠OCE=40°D.∠BOC=2∠BAD4.(9分)[2018某某某某中考改编]如图,在△ABC中,AB=AC. 以AB为直径的半圆交AC于点D,交BC于点E.延长AE至点F,使EF=AE,连接FB,FC.(1)求证:四边形ABFC是菱形;(2)若AD=7,BE=2,求cos∠BAD的值.考点2 圆内接四边形的性质5.[2018某某某某]如图,AB是半圆的直径,O为圆心,C是半圆上的点,D是上的点,若∠BOC=40°,则∠D的度数为( )A.100°B.110°C.120°D.130°(第5题) (第6题)6.[2017某某某某]如图,已知☉O为四边形ABCD的外接圆,O为圆心,若∠BCD=120°,AB=AD=2,则☉O的半径长为( )A. B.C. D.7.[2018某某某某]如图,已知☉O的半径为2,△ABC内接于☉O,∠ACB=135°,则AB=.(第7题) (第8题)8.[2017某某永州]如图,四边形ABCD是☉O的内接四边形,点D是的中点,点E是上的一点,若∠CED=40°,则∠ADC=°.9.(9分)[2018某某某某]如图,四边形ABCD内接于☉O,AB=17,CD=10,∠A=90°,cos B=,求AD的长.1.[2018某某一模]如图,已知AB是☉O的直径,BC是弦,∠ABC=40°,过圆心O作OD⊥BC交弧BC于点D,连接DC,则∠DCB为( )A.20°B.25°C.30°D.35°2.[2018某某地区模拟]如图,在☉O中,∠AOB的度数为160°,C是优弧AB上一点,D,E是上不同的两点(不与点A,B重合),则∠D+∠E的度数为( )A.160°B.140°C.100°D.80°(第2题) (第3题)3.[2017某某地区模拟]如图,四边形ABCD内接于☉O,F是上一点,且=,连接CF并延长交AD的延长线于点E,连接AC,若∠ABC=105°,∠BAC=25°,则∠E的度数为( )A.45°B.50°C.55°D.60°4.[2018某某某某一模]如图,AB是半圆O的直径,点C在半圆O上,把半圆沿弦AC折叠,恰好经过点O,则与的关系是( )A.=B.=C.=(第4题) (第5题)5.[2018某某三模]如图,以△ABC的边BC为直径的☉O交AB,AC于点D,E,连接OD,OE,若∠DOE=40°,则∠A的度数为.6.(9分)[2018某某瑶海区一模]如图,在半径为4的☉O中,AB,CD是两条直径,M为OB的中点,CM的延长线交☉O于点E,且EM>MC.连接DE,DE=.(1)求证:AM·MB=EM·MC;(2)求EM的长.7.(9分)[2017某某一模]如图,在△ABC中,以AB为直径的☉O交AC,BC于点D,E.连接ED,若ED=EC.(1)求证:AB=AC;(2)填空:①若AB=6,CD=4,则BC=;②连接OD,当∠A=°时,四边形ODEB是菱形.8.(9分)[2018某某二模改编]如图,在△ABC中,AB=10,∠BAC=60°,∠B=45°,点D是BC 边上一动点,连接AD,以AD为直径作☉O,☉O交边AB,AC于点E,F,连接OE,OF,DE,DF,EF.(1)求的值;(2)当∠BAD=°时,四边形OEDF正好是菱形,请说明理由;(3)点D运动过程中,线段EF的最小值为(直接写出结果).第二节与圆有关的位置关系考点1 点与圆的位置关系1.[2017某某枣庄]如图,在网格(每个小正方形的边长均为1)中选取9个格点(格线的交点称为格点),若以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内,则r的取值X围为( )<r< B.<r<3C.<r<5D.5<r<2.[2018某某某某]如图,☉M的半径为2,圆心M的坐标为(3,4),点P是☉M上的任意一点,PA⊥PB,且PA,PB与x轴分别交于A,B两点,若点A,B关于原点O对称,则AB的最小值为( )A.3B.4(第2题) (第3题)3.[2016某某中考改编]如图,Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值为.考点2 直线与圆的位置关系4.[2018某某湘西州中考改编]已知☉O的半径为5 cm,圆心O到直线l的距离为6 cm,则直线l与☉O的位置关系为( )5.[2018某某某某]已知直线y=kx(k≠0)经过点(12,-5),将直线向上平移m(m>0)个单位,若平移后得到的直线与半径为6的☉O相交(点O为坐标原点),则m的取值X围为.6.(9分)[2018某某仙桃]如图,在☉O中,AB为直径,AC为弦.过BC延长线上一点G,作GD⊥AO 于点D,交AC于点E,交☉O于点F,M是GE的中点,连接CF,CM.(1)判断CM与☉O的位置关系,并说明理由;(2)若∠ECF=2∠A,CM=6,CF=4,求MF的长.考点3 切线的性质7.[2018某某某某]如图,点P为☉O外一点,PA为☉O的切线,A为切点,PO交☉O于点B,∠P=30°,OB=3,则线段BP的长为( )A.3B.3(第7题) (第8题)8.[2017某某某某]如图,圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,过点C的切线与边AD所在直线垂直于点M,若∠ABC=55°,则∠ACD等于( )A.20°B.35°C.40°D.55°9.[2018某某某某]如图,AB是☉O的弦,点C在过点B的切线上,且OC⊥OA,OC交AB于点P,已知∠OAB=22°,则∠OCB=.(第9题) (第10题)10.[2018某某某某]如图,正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连接PM,以点P为圆心、PM的长为半径作☉P.当☉P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为. 11.(9分)[2018]如图,AB是☉O的直径,过☉O外一点P作☉O的两条切线PC,PD,切点分别为C,D,连接OP,CD.(1)求证:OP⊥CD;(2)连接AD,BC.若∠DAB=50°,∠CBA=70°,OA=2,求OP的长.12.(9分)[2018某某随州]如图,AB是☉O的直径,点C为☉O上一点,为☉O的切线,连接AC,BC,过点O作OM⊥AB,分别交AC,于D,M两点.(1)求证:MD=MC;(2)若☉O的半径为5,AC=4,求MC的长.考点4 切线的判定13.(9分)[2018某某某某]如图,已知A,B,C,D,E是☉O上五点,☉O的直径BE=2,∠BCD=120°,A为的中点,延长BA到点P,使BA=AP,连接PE.(1)求线段BD的长;(2)求证:直线PE是☉O的切线.14.(9分)[2018某某]如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心、OC的长为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO,交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.(1)求证:AB为☉O的切线;(2)若BC=6,tan∠ABC=,求AD的长.考点5 三角形的内切圆和外接圆15.[2017某某某某]如图,☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )16.[2017某某某某]已知一个三角形的三边长分别为5,7,8,则其内切圆的半径为( )A.B. C.17.[2018某某]如图,点I为△ABC的内心,AB=4,AC=3,BC=2.将∠ACB平移,使其顶点与点I 重合,则图中阴影部分的周长为( )A.4.518.[2018某某某某]如图,在△ABC中,∠A=60°,BC=5 cm.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm.(第18题) (第19题)19.[2017某某某某]如图,在平面直角坐标系xOy中,点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2).若点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,则点C的坐标为.20.(9分)[2018某某某某]如图,D是△ABC的BC边上一点,连接AD,作△ABD的外接圆,将△ADC沿直线AD折叠,点C的对应点E落在上.(1)求证:AE=AB;(2)若∠CAB=90°,cos∠ADB=,BE=2,求BC的长.21.(9分)[2018某某某某]结果如此巧合!下框中是小颖对一道题目的解答.题目:如图,Rt△ABC的内切圆与斜边AB相切于点D,AD=3,BD=4,求△ABC的面积.解:设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,根据切线长定理,得AE=AD=3,BF=BD=4,CF=CE=x,根据勾股定理,得(x+3)2+(x+4)2=(3+4)2,整理,得x2+7x=12,所以S△ABC=AC·BC=(x+3)(x+4)=(x2+7x+12)=×(12+12)=12.小颖发现12恰好就是3×4,即△ABC的面积等于AD与BD的积.这仅仅是巧合吗? 请你帮她完成下面的探索.已知:△ABC的内切圆与AB相切于点D,AD=m,BD=n.可以一般化吗?(1)若∠C=90°,求证:△ABC的面积等于mn.倒过来思考呢?(2)若AC·BC=2mn,求证:∠C=90°.改变一下条件……(3)若∠C=60°,用m,n表示△ABC的面积.考点6 正多边形和圆22.[2017某某达州]以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形,则该三角形的面积是( )A.B.C.D.23.[2018某某株洲]如图,正五边形ABCDE和正三角形AMN都是☉O的内接多边形,则∠BOM=.24.[2018某某某某]X徽是中国古代卓越的数学家之一,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积,设☉O的半径为1,若用☉O 的外切正六边形的面积S来近似估计☉O的面积,则S=.(结果保留根号)1.[2018某某外国语模拟改编]如图,☉O是△ABC的外接圆,弦AC的长为2,sin B=,则☉O 的直径为( )A.4B.3(第1题) (第2题)2.[2018某某地区模拟]如图,☉O的半径为2,△ABC是☉O的内接三角形,连接OB,OC.若∠BAC与∠BOC互补,则弦BC的长为( )B.3 D.3.[2018某某某某姜堰区二模改编]如图,☉C经过正六边形ABCDEF的顶点A,E,点P是优弧AE上一点,则∠APE=°.4.(9分)[2018某某二模]如图,AB为☉O的直径,CD切☉O于点D,AC⊥CD于点C,交☉O于点E,连接AD,BD,ED.(1)求证:BD=ED;(2)若CE=3,CD=4,求AB的长.5.(9分)[2018某某二模]如图,AB是☉O的直径,且AB=6,点M为☉O外一点,且MA,MC分别切☉O于点A,C.点D是直线BC与AM延长线的交点.(1)求证:DM=AM;(2)填空:①当CM=时,四边形AOCM是正方形;②当CM=时,△CDM为等边三角形.6.(9分)[2018某某二模]如图,AB是半圆O的直径,点P是半圆上不与点A,B重合的动点,PC∥AB,点M是OP的中点,连接AM并延长,交PC于点C,连接OC,BC,AP.(1)求证:四边形OBCP是平行四边形;(2)填空:①当∠BOP=°时,四边形AOCP是菱形;②连接BP,当∠ABP=°时,PC是☉O的切线.第三节与圆有关的计算考点1 弧长的计算1.[2017某某某某]如图,☉O的半径为3,四边形ABCD内接于☉O,连接OB,OD,若∠BOD=∠BCD,则的长为( )A.πB.(第1题) (第2题)2.[2017某某某某]如图,▱ABCD中,∠B=70°,BC=6,以AD为直径的☉O交CD于点E,则的长为( )A.πB.πC.πD.π3.[2018某某某某A]如图,△ABC的外接圆O的半径为3,∠C=55°,则劣弧AB的长是.(结果保留π)(第3题) (第4题)4.[2018某某潍坊]如图,点A1的坐标为(2,0),过点A1作x轴的垂线,交直线l:y=x于点B1,以原点O为圆心、OB1的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A2;再过点A2作x轴的垂线,交直线l于点B2,以原点O为圆心、OB2的长为半径画弧,交x轴的正半轴于点A3……按此作法进行下去,则的长是.5.(9分)[2018某某荆州]问题:已知α,β均为锐角,tan α=,tan β=,求α+β的度数. 探究:(1)用6个小正方形构造如图所示的网格图(每个小正方形的边长均为1),请借助这个网格图求出α+β的度数.延伸:(2)设经过图中M,P,H三点的圆弧与AH交于R,求的长度.考点2 扇形面积的计算6.[2018某某某某]一个扇形的圆心角为135°,弧长为3π cm,则此扇形的面积是cm2.7.[2017某某日照]如图,四边形ABCD中,AB=CD,AD∥BC,以点B为圆心、BA为半径的圆弧与BC交于点E,四边形AECD是平行四边形,AB=6,则图中扇形的面积是.考点3 阴影部分面积的计算8.[2018某某]如图,正方形ABCD内接于☉O,☉O的半径为2,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB的延长线于点E,交AD的延长线于点F,则图中阴影部分的面积是( )9.[2017某某莱芜]如图,在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,将Rt△ABC绕点A顺时针旋转90°得到Rt△ADE,则BC扫过部分的面积为( )A. B.(2-)πC.10.[2017某某某某]如图,将矩形ABCD绕点C沿顺时针方向旋转90°到矩形A'B'CD'的位置,AB=2,AD=4,则阴影部分的面积为.(第10题) (第11题)11.[2017某某某某]已知:如图,△ABC内接于☉O,且半径OC⊥AB,点D在半径OB的延长线上,且∠A=∠BCD=30°,AC=2,则阴影部分的面积为.12.[2018某某某某]如图,△OAC的顶点O在坐标原点,OA边在x轴上,OA=2,AC=1,把△OAC 绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',使得点O'的坐标是(1,),则在旋转过程中线段OC扫过部分(阴影部分)的面积为.1.[2018某某一模]如图,在扇形AOB中,∠AOB=90°,正方形OCED的顶点C,D分别在半径OA,OB上,顶点E在上,以点O为圆心、OC的长为半径作.若OA=2,则阴影部分的面积为( )A.πB.C.(第1题) (第2题)2.[2018某某二模]如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,将矩形ABCD绕顶点B旋转得到矩形A'BC'D',点A'恰好落在矩形ABCD的边CD上,则AD扫过的部分(即阴影部分)的面积为( ) A.-C.-D.3.[2017某某二模改编]如图,半径为5的半圆的初始状态是直径平行于桌面上的直线b,然后半圆沿直线b进行无滑动滚动,使半圆的直径与直线b重合,则圆心O运动路径的长度等于.4.[2017某某二模]如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,以点C为圆心,CB的长为半径画弧,与AB边交于点D,将绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合,则图中阴影部分的面积为.(第4题) (第5题)5.[2017某某一模]如图,在圆心角为90°的扇形AOB中,半径OA=3,OC=AC,OD=BD,F是弧AB 的中点.将△OCD沿CD折叠,点O落在点E处,则图中阴影部分的面积为.6.[2017潍坊二模改编]如图所示的图形是由若干条圆心相同的圆弧组成,其圆心角为90°,最小的扇形半径为1.若每两个相邻圆弧的半径之差为1,由里往外的阴影部分的面积依次记为S1,S2,S3,…,S20,则S1+S2+S3+…+S20=.(第6题) (第7题)7.[2018某某一模]如图,在圆心角为90°的扇形OAB中,半径OA=2 cm,C为弧AB的中点,D 是OA的中点,则图中阴影部分的面积为cm2.8.[2018某某宛城区二模]如图,AC是半圆O的一条弦,将弧AC沿AC折叠后恰好过圆心O,☉O 的半径为2,则图中阴影部分的面积为.(第8题) (第9题)9.[2018某某三模]如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,点D为边AB的中点.以点B为圆心、BD的长为半径作弧,交BC于点E;以点C为圆心、CD的长为半径作弧,交AC于点F,则图中阴影部分的面积为.10.[2018某某二模]运用图形变化的方法研究下列问题:如图,EF是☉O的直径,CD,AB是☉O 的弦,且AB∥CD∥EF,EF=20,CD=16,AB=12.则图中阴影部分的面积是.(第10题) (第11题)11.[2017某某地区模拟]如图,在Rt△AOB中,∠AOB=90°,OA=3,OB=2,将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE,将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED,连接AD,则图中阴影部分面积是.参考答案第一节圆的基本性质AC,∴∠ABC=∠BCA=65°,∴∠A=180°-∠ABC-∠ACB=50°,∴∠BDC=∠BAC=50°.∵CD∥AB,∴∠ABD=∠BDC=50°,∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=65°-50°=15°.故选A.3.D ∵2OB=AB≠AD,故选项A错误;由垂径定理可知,点E是CD的中点,由圆周角定理及其推论可知,∠COB=2∠BAD=40°,∴∠OCE=50°,∴CE≠EO,故选项B,C错误,选项D正确.∴∠AEB=90°.∵AB=AC,∴CE=BE.又∵EF=AE,∴四边形ABFC是菱形.(3分)(2)设CD=x,则AB=AC=7+x.连接BD,∵AB为半圆的直径,∴∠ADB=90°,∴AB2-AD2=CB2-CD2,即(7+x)2-72=42-x2,解得x1=1,x2=-8(舍去),(6分)∴AB=7+x=7+1=8,∴cos∠BAD==.(9分)5.B∵∠BOC=40°,OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=(180°-40°)=70°,∴∠D=180°-∠OBC=110°.故选B.6.D 如图,作直径BM,连接DM,BD,则∠BDM=90°.∵∠BCD=120°,∴∠A=60°,∴∠M=60°.又AB=AD=2,∴BD=2 .在Rt△BDM中,sin M===,∴BM=,∴OB=BM=,故☉O的半径长为.故选D.如图,连接OA,OB,在优弧AB上任取一点D,连接AD,BD.∵∠ACB=135°,∴∠ADB=45°,∴∠AOB=2∠ADB=90°.∵OA=OB=2,∴AB=2.8.100 连接AE.∵点D是的中点,∴∠AED=∠CED=40°,∴∠AEC=80°.∵四边形ADCE是☉O的内接四边形,∴∠ADC+∠AEC=180°,∴∠ADC=180°-∠AEC=100°.9.如图,连接BD,分别延长AD,BC交于点E.(1分)∵∠A=90°,∴BD是☉O的直径,∴∠ECD=∠BCD=90°.∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠ABC+∠ADC=180°.∵∠ADC+∠EDC=180°,∴∠EDC=∠ABC,(3分)∴cos∠EDC=cos∠ABC=,∴=,即=,解得ED=.(4分)在Rt△EDC中,由勾股定理,得EC==.(6分)易得△ECD∽△EAB,∴=,即=,解得EA=,∴AD=EA-ED=-=6.(9分)模拟提升练设OD交BC于点E.∵OD⊥BC,∴∠OEB=90°,∵∠ABC=40°,∴∠BOD=50°,∴∠DCB=∠BOD=25°.故选B. 如图,连接OC.∵∠AOB=160°,∴∠AOC+∠BOC=360°-∠AOB=200°.∵∠D=∠AOC,∠E=∠BOC,∴∠D+∠E=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)=100°.故选C.3.B ∵四边形ABCD内接于☉O,∠ABC=105°,∴∠ADC=180°-∠ABC=180°-105°=75°.∵=,∠BAC=25°,∴∠DCE=∠BAC=25°,∴∠E=∠ADC-∠DCE=75°-25°=50°.故选B.4.A 如图,连接OC,BC,过O作OE⊥AC于点D,交半圆O于点E.由折叠可知OD=OE.∵AB是半圆O的直径,∴∠ACB=90°,∴OD∥BC.∵OA=OB,∴OD=BC,∴BC=OE=OB=OC,∴∠COB=60°,∴∠AOC=12 0°,∴=.故选A.5.70°连接BE.∵∠DOE=40°,∴∠ABE=∠DOE=20°.∵BC为☉O的直径,∴∠BEA=∠BEC=90°,∴∠A=90°-∠ABE=90°-20°=70°.6.(1)证明:连接AC,EB,则∠CAM=∠BEM.又∵∠AMC=∠EMB,∴△AMC∽△EMB,∴=,即AM·MB=EM·MC.(4分)(2)∵DC为☉O的直径,且DC=4×2=8,∴∠DEC=90°,EC===7.∵OA=OB=4,M为OB的中点,∴AM=6,BM=2.设EM=x,则CM=7-x.由(1)知AM·MB=EM·MC,得6×2=x(7-x). 解得x1=3,x2=4.∵EM>MC,∴EM=4.(9分)7.(1)证明:∵ED=EC,∴∠EDC=∠C.∵四边形ABED是☉O的内接四边形,∴∠EDC=∠B,∴∠B=∠C,∴AB=AC.(3分)(2)①4(7分)②60(9分)解法提示:①连接AE,∵AB为☉O的直径, ∴AE⊥BC,又∵AB=AC,∴BE=EC.∵∠C=∠C,∠CDE=∠B,∴△CDE∽△CBA,∴=,即=,∴BC=4.②∵四边形ODEB是菱形,∴OB=BE=OD=ED=OE,∴∠BOE=∠EOD=60°,∴∠BOD=120°,∴∠A=60°.8.(1)∵∠BAC=60°,∴∠EOF=120°.过点O作OH⊥EF于点H,则EH=FH.设OE=x,则OF=x,FH=EH=x,∴EF=x,∴=.(3分)(2)30(4分)理由:∵四边形OEDF是菱形,∴OE=ED=DF=FO.又∵OE=OD=OF,∴OE=ED=DF=FO=OD,∴∠OED=∠EOD=∠DOF=∠DFO=60°.∵AD是☉O的直径,∴∠DEA=∠DFA=90°,∴∠AEO=∠OFA=30°,又∵OE=OA=OF,∴∠EAO=∠OAF=30°.(7分)(3)5(9分)解法提示:由(1)可知EF=OE=AD,故当AD最短,即AD⊥BC时,EF有最小值.∵AB=10,∠B=45°,AD⊥BC,∴AD=10÷=10,∴EF的最小值为10×=5.第二节与圆有关的位置关系真题分点练1.B 给各点标上字母,如图所示,则AB==2,AC=AD==,AE==3,AF==,AG=AM=AN==5,∴当<r<3时,以A为圆心,r为半径画圆,选取的格点中除点A外恰好有3个在圆内.故选B.2.C 连接OP.∵PA⊥PB,∴∠APB=90°.∵点A,B关于原点O对称,∴AO=BO,∴AB=2PO.若要使AB取得最小值,则OP需取得最小值.连接OM,交☉M于点P',当点P与P'重合时,OP取得最小值,过点M作MQ⊥x轴于点Q,则OQ=3,MQ=4,∴OM=5,又∵MP'=2,∴OP'=3,∴AB的最小值为2OP'=6,故选C.3.2∵AB⊥BC,∴∠ABC=90°,∴∠ABP+∠PBC=90°.∵∠PAB=∠PBC,∴∠BAP+∠ABP=90°,∴∠A PB=90°,∴点P在以AB为直径的圆上.设AB的中点为O,连接OC,交☉O于点P,此时PC最小.在Rt△BCO中,∵∠OBC=90°,BC=4,OB=3,∴OC=5,∴PC=OC-OP=5-3=2,即PC的最小值为2.4.C ∵6>5,∴直线和圆相离.故选C.5.0<m<把点(12,-5)代入直线y=kx,得-5=12k,∴k=-.直线y=-x向上平移m(m>0)个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=-x+m(m>0),设直线l与x轴,y轴分别交于点A,B,则A(m,0),B(0,m),即OA=m,OB=m.在Rt△OAB中,AB===m,过点O作OD⊥AB于点D,∵S△ABO=OD·AB=OA·OB,∴OD·m=×m2,解得OD=m.由直线l与☉O相交可知m<6,解得m<,即m的取值X围为0<m<.6.(1)CM与☉O相切.(1分)理由如下:如图,连接OC.∵OC=OA,∴∠A=∠1.∵GD⊥OA,∴∠A+∠2=∠A+∠3=∠1+∠3=90°. (2分) ∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠GCE=90°.∵M是GE的中点,∴MG=ME=MC,(3分)∴∠3=∠MCE,∴∠1+∠MCE=90°,∴OC⊥MC,∴CM与☉O相切.(4分)(2)如图,∵∠GCE=90°,∴∠G+∠3=90°.又∵∠A+∠3=90°,∴∠A=∠G.(5分)∵MG=MC,∴∠4=∠G+∠MCG=2∠G.∵∠5=2∠A,∴∠4=∠5,∴∠3=∠MCE=∠EFC,△ECF∽△EMC,∴CE=CF,=.(6分)∵EM=CM=6,EC=CF=4,∴EF===,∴MF=EM-EF=6-=.(9分)7.A 连接OA,根据切线的性质可得,OA⊥AP,∵∠P=30°,∴OP=2OA.又∵OA=OB=3,∴OP=6,∴BP=OP-OB=3.故选A.8.A ∵圆内接四边形ABCD的边AB过圆心O,∴∠ADC+∠ABC=180°,∠ACB=90°,∴∠ADC=180°-∠ABC=125°,∠BAC=90°-∠ABC=35°.由题易得∠MCA=∠ABC=55°,∠AMC=90°.∵∠ADC=∠AMC+∠DCM,∴∠DCM=∠ADC-∠AMC=35°,∴∠AC D=∠MCA-∠DCM=55°-35°=20°.故选A.9.44°连接OB.∵BC是☉O的切线,∴OB⊥BC,∴∠OBA+∠CBP=90°.∵OC⊥OA,∴∠A+∠APO=90°.∵OA=OB,∠OAB=22°,∴∠OBA=∠OAB=22°,∴∠APO=∠CBP=68°.∵∠APO=∠CPB,∴∠CPB=∠CBP=68°,∴∠OCB=18 0°-68°-68°=44°.∵AB=8,点M是AB的中点,∴BM=4.当☉P与CD相切于点C时,如图(1),设PM=PC=r,则BP=8-r.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BM2+BP2=PM2,即42+(8-r)2=r2,解得r=5,∴BP=8-5=3;当☉P与AD相切于点E时,如图(2),连接PE,则PE⊥AD,∴PE=CD=8,∴PM=8.在Rt△BPM中,根据勾股定理,得BP===4 .综上可知,BP=3或4.图(1) 图(2)11.(1)证明:如图,连接OC,OD.∵PC,PD为☉O的两条切线,∴PC=PD.又∵OC=OD,∴OP垂直平分CD,即OP⊥CD.(4分)(2)如图,∵OD=OA,∠DAB=50°,∴∠ADO=∠DAB=50°.∵四边形ABCD为☉O的内接四边形,∠CBA=70°,∴∠ADC=180°-∠CBA=110°,∴∠ODC=∠ADC-∠ADO=60°.∵OP⊥CD,∴∠ODC+∠DOP=90°,∴∠POD=30°.∵PD为☉O的切线,OD为半径,∴∠ODP=90°.∵OA=2,∴OD=OA=2.在Rt△ODP中,OP===.(9分)12.(1)证明:连接OC.∵为☉O的切线,∴OC⊥CM,∴∠OCA+∠ACM=90°.∵OM⊥AB,∴∠OAC+∠ODA=90°.∵OA=OC,∴∠OAC=∠OCA,∴∠ACM=∠ODA=∠CDM,∴MD=MC.(3分)(2)依题意可知AB=5×2=10.∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴BC==2.∵∠AOD=∠ACB,∠A=∠A,∴△AOD∽△ACB,∴=,即=,得OD=.(6分)设MC=MD=x,则OM=x+,在Rt△OCM中,由勾股定理得(x+)2=x2+52,解得x=,即MC=.(9分)13.(1)如图,连接DE.∵BE为☉O的直径,∴∠BDE=90°.∵B,C,D,E四点共圆,∴∠BCD+∠BED=180°,∴∠BED=60°,∴BD=BE·sin 60°=2×=3.(4分)(2)证明:如图,连接AE.∵BE为☉O的直径,∴BA⊥AE.∵点A为的中点,∴BA=AE.(6分)又∵AB=AP,∴AB=AE=AP,∴△BEP为直角三角形,∴PE⊥EB,∴直线PE是☉O的切线.(9分)14.(1)证明:过点O作OE⊥AB于点E,则∠OEB=90°.∵BC切☉O于点C,∴∠OCB=90°.∵AD⊥BD,∴∠ADB=90°.∵∠AOD=∠BOC,∴∠CBD=∠OAD.∵∠AOD=∠BAD,∴∠OAD=∠ABD,∴∠ABD=∠CBO.在△OEB和△OCB中,∴△OEB≌△OCB,∴OE=OC,∴AB为☉O的切线.(4分)(2)∵BC=6,tan∠ABC=,∠ACB=90°,∴AC=BC·tan∠ABC=8,∴AB===10.∵AB与BC均为☉O的切线,∴BE=BC=6,∴AE=AB-BE=10-6=4.设OC=OE=x,在Rt△AEO中,AO2=AE2+OE2,即(8-x)2=42+x2,解得x=3,∴OB===3.∵S△BOA=AB·OE=BO·AD,∴AB·OE=BO·AD,∴AD===2.(9分)15.B ∵☉O是△ABC的内切圆,∴点O到△ABC三边的距离相等,∴点O是△ABC三条角平分线的交点.故选B.16.C 如图,BC=5,AB=7,AC=8,设内切圆的半径为R.过点A作AD⊥BC于点D.设BD=x,则CD=5-x.由勾股定理得:AB2-BD2=AC2-CD2,即72-x2=82-(5-x)2,解得x=1,所以AD==4.由面积公式可知,S△ABC=BC·AD=(AB+BC+AC)·R,即×5×4=×(7+5+8)R,解得R=.故选C.17.B 如图,连接AI,BI.∵点I是△ABC的内心,∴∠CAI=∠IAD.根据平移的性质,可知DI∥AC,∴∠AID=∠CAI,∴∠AID=∠IAD,∴ID=AD.同理可得IE=BE,故阴影部分的周长为ID+IE+DE=AD+BE+DE=AB=4.故选B.18.能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片是如图所示的△ABC的外接圆☉O.连接OB,OC,则∠BOC=2∠BAC=120°.过点O作OD⊥BC于点D,则∠BOD=∠BOC=60°.由垂径定理得BD=BC=cm,∴OB==(cm),故能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 cm.19.(7,4),(6,5)或(1,4) ∵点A,B,P的坐标分别为(1,0),(2,5),(4,2),∴PA=PB==.∵点C在第一象限内,且横坐标、纵坐标均为整数,P是△ABC的外心,∴PC=PA=PB==,则点C的坐标为 (7,4),(6,5)或(1,4).20.(1)证明:由折叠可得△ADE≌△ADC,∴∠AED=∠ACD,AE=AC.∵∠ABD=∠AED,∴∠ABD=∠ACD,∴AB=AC,∴AE=AB.(3分)(2)如图,过点A作AH⊥BE于点H.∵AB=AE,BE=2,∴BH=EH=1,∠ABE=∠AEB=∠ADB.又cos∠ADB=,∴cos∠ABE=,∴=,∴AC=AB=3.∵∠BAC=90°,AC=AB,∴BC=3.(9分)21.设△ABC的内切圆分别与AC,BC相切于点E,F,CE的长为x,由题易得AE=AD=m,BF=BD=n,CF=CE=x.(1)在Rt△ABC中,根据勾股定理,得(x+m)2+(x+n)2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以S△ABC=AC·BC=(x+m)(x+n)=[x2+(m+n)x+mn]=(mn+mn)=mn.(3分)(2)证明:由AC·BC=2mn,得(x+m)(x+n)=2mn,整理,得x2+(m+n)x=mn,所以AC2+BC2=(x+m)2+(x+n)2=2[x2+(m+n)x]+m2+n2=m2+n2+2mn=(m+n)2=AB2,根据勾股定理的逆定理,可得∠C=90°.(6分)(3)如图,过点A作AG⊥BC,垂足为点G.在Rt△ACG中,AG=AC·sin 60°=(x+m),CG=AC·cos 60°=(x+m), 所以BG=BC-CG=x+n-(x+m).在Rt△ABG中,根据勾股定理,得AG2+BG2=AB2,即[(x+m)]2+[x+n-(x+m)]2=(m+n)2,整理,得x2+(m+n)x=3mn,所以S△ABC=BC·AG=(x+n)·(x+m)=[x2+(m+n)x+mn]=(3mn+mn)=mn.(9分)22.A 如图(1),∵☉O的半径OC=2,∴边心距OD=2×sin 30°=1;如图(2),∵☉O的半径OB=2,∴边心距OE=2×sin 45°=;如图(3),∵☉O的半径OA=2,∴边心距OD=2×cos 30°=,则该三角形的三边长分别为1,,.∵12+()2=()2,∴该三角形是直角三角形,其面积为×1×=.故选A.图(1) 图(2) 图(3)23.48°连接OA.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠AOB==72°.∵△AMN是正三角形,∴∠AOM==120°,∴∠BOM=∠AOM-∠AOB=48°.如图,∵六边形ABCDEF为正六边形,∴△ABO为等边三角形.∵☉O的半径为1,∴OM=1,∴BM=AM=,∴AB=,∴S=6S△ABO=6×××1=2.模拟提升练1.B 如图,作直径AD,连接CD,则∠ACD=90°,∠D=∠B,∴sin D=sin B=,在Rt△ADC中,AC=2,∴AD==3,∴☉O的直径为3.故选B.2.C ∵∠BAC与∠BOC互补,∴∠BAC+∠BOC=180°.∵∠BAC=∠BOC,∴∠BOC=120°.如图,过点O作OD⊥BC,垂足为点D,则BD=CD,∠DOC=∠BOC=60°,∴DC=OC·sin60°=2×=,∴BC=2DC=2,故选C.3.30 如图,连接AC,EC.∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠BAF=∠F=∠DEF=∠B=∠D==120°,AB=BC=CD=DE,∴∠BAC=∠BCA=(1 80°-∠B)=30°,同理∠CED=30°,∴∠CAF=∠BAF-∠BAC=120°-30°=90°,同理∠CEF=90°.在四边形ACEF中,∠ACE=360°-90°-90°-120°=60°,∴∠APE=∠ACE=30°.4.(1)证明:如图,连接OD,OE.∵CD切☉O于点D,∴OD⊥CD.又∵AC⊥CD,∴OD∥AC.∴∠EAO=∠DOB,∠AEO=∠EOD.又∵∠EAO=∠AEO,∴∠DOB=∠EOD,∴BD=ED.(4分)(2)∵AC⊥CD,∴∠ACD=90°.又∵CE=3,CD=4,∴ED=5.∵BD=ED,∴BD=5.∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,∴∠ACD=∠ADB.∵四边形ABDE内接于☉O,∴∠CED=∠B,∴△CDE∽△DAB,∴=,即=,解得AB=.(9分)5.(1)证明:如图,连接OM.(1分)∵MA,MC分别切☉O于点A,C,∴MA⊥OA,MC⊥OC.在Rt△MAO和Rt△MCO中,∴Rt△MAO≌Rt△MCO,∴MC=MA.(3分)∵OC=OB,∴∠2=∠B,又∵∠1+∠2=90°,∠D+∠B=90°,∴∠1=∠D,∴DM=MC,∴DM=AM. (5分)(2)①3(7分)②(9分)解法提示:①由四边形AOCM是正方形,可知CM=OA=AB=×6=3.②由△CDM为等边三角形,可知∠CMD=60°.由(1)得,Rt△MAO≌Rt△MCO,∴∠CMO=∠AMO=(180°-∠CMD)=60°,∴CM==.6.(1)证明:∵点M是OP的中点,∴OM=PM.∵PC∥AB,∴∠AOM=∠CPM.在△AOM和△CPM中,∴△AOM≌△CPM,(3分)∴PC=OA.∵OA=OB,∴PC=OB.又∵PC∥OB,∴四边形OBCP是平行四边形.(5分)(2)①120(7分)②45(9分)解法提示:①∵四边形AOCP是菱形,∴AO=AP,又∵AO=OP,∴△AOP是等边三角形,∴∠AOP=60°,∴∠BOP=120°.②∵PC∥OB,∴∠CPB=∠OBP,又∵OP=OB,∴∠OPB=∠OBP,∴∠OPB=∠BPC.∵PC是☉O的切线,∴∠OPC=90°,∴∠ABP=∠OPB=∠OPC=×90°=45°.第三节与圆有关的计算真题分点练1.C ∵四边形ABCD内接于☉O,∴∠BCD+∠A=180°.∵∠BOD=2∠A,∠BOD=∠BCD,∴2∠A+∠A=180°,∴∠A=60°,∴∠BOD=120°,∴的长为=2π.故选C.2.B 连接OE,如图所示.∵四边形ABCD是平行四边形,∴∠D=∠B=70°,AD=BC=6,∴OA=OD=3.∵OD=OE,∴∠OED=∠D=70°,∴∠DOE=180°-2×7 0°=40°,∴的长为=π.故选B.3.π∵∠C=55°,∴∠AOB=2∠C=110°, ∴劣弧AB的长为=π.4.根据题意可得OA1=2,A1B1=2,∴tan∠A1OB1=,∴∠A1OB1=60°,OB1=4,∴OA2=OB1=4=22,∴OB2=8,∴OA3=OB2=8=23.依此规律,可得OA2 019=22 019,∴的长是=.5.(1)连接MH,MA,则tan∠PHM==tan α,∴∠PHM=α.易得AM=MH=,AH=,∵AM2+MH2=AH2,∴△AMH是等腰直角三角形,∴∠AHM=45°,∴α+β=∠PHM+∠PHA=∠AHM=45°. (4分)(2)设MH交QN于点O,连接MR,RO,则点O是M,P,H三点所在圆的圆心,MH为☉O的直径,∴∠MRH=90°.∵∠AHM=45°,∴△MRH是等腰直角三角形,∴∠RMO=45°,RO⊥MH,∴的长度=×π=.(9分)6.6π设扇形的半径为r cm,则=3π,解得r=4,所以扇形的面积为×3π×4=6π(cm2).7.6π∵四边形AECD是平行四边形,∴AE=CD.∵BE=AB=CD=6,∴AB=BE=AE,∴△ABE是等边三角形,∴∠B=60°,∴S扇形ABE==6π.8.A 由圆及正方形的对称性可知,阴影部分的面积为扇形EAF的面积减去△ABD的面积,即S2-×2×4=4π-4.故选A.阴影=S扇形EAF-S△ABD=×π×49.D 在Rt△ABC中,∠BCA=90°,∠BAC=30°,BC=2,∴AC=2,AB=4.由旋转可知,S△ABC=S△ADE,∠DAE=∠CAB=30°,AE=AC=2,AD=AB=4,∠CAE=∠DAB=90°,∴S阴影部分=S扇形BAD+S△ABC-S扇形CAE-S△ADE=S扇形BAD-S扇形CAE=-=π.故选D.10.π-2如图,连接CE.∵四边形ABCD是矩形,∴BC=AD=4,CD=AB=2,∠BCD=∠ADC=90°,由旋转可知CE=BC=4,∴CE=2CD,∴∠DEC=30°,∴∠DCE=60°,由勾股定理得DE=2,∴S阴影部分=S扇形ECB'-S△CDE=-×2×2=π-2.-π∵OC⊥AB,∠A=∠BCD=30°,∴∠O=60°,=,∴BC=AC=2,△OBC是等边三角形,∴∠OCB=60°,∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60°+30°=90°,∴CD=OC=2,∴S阴影=S△OCD-S扇形BOC=×2×2-=2-π.12.如图,过点O'作O'M⊥OA于点M,则∠O'MA=90°,∵点O'的坐标是(1,),∴O'M=,OM=1,∵AO=2,∴AM=2-1=1,∴tan∠O'AM==,∴∠O'AM=60°,∴∠CAC'=∠OAO'=60°.∵把△OAC绕点A按顺时针方向旋转到△O'AC',∴S△OAC=S△O'AC',∴S阴影部分=S扇形OAO'+S△O'AC'-S△OAC-S扇形CAC'=S扇形OAO'-S扇形CAC'=-=.模拟提升练1.D 连接OE,由题分析可知,S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD.∵四边形OCED是正方形,∴∠BOE =45°,S扇形BOE===.在Rt△OCE中,CE=OC==,∴S△OCE=OC·CE=1.又∵S扇形COD==,∴S阴影部分=S扇形BOE+S△COE-S扇形COD=+1-=1,故选D.2.A 如图,连接BD,BD',在Rt△A'BC中,A'B=AB=,BC=1,由勾股定理得A'C=1,∴BC=A'C,∴∠A'BC=45°,∴∠ABA'=45°, ∠DBD'=45°.在Rt△ABD中,由勾股定理得BD=,∴S阴影=S梯形ABA'D-S扇形ABA'+S扇形DBD'-S△A'BD-S△A'BD'=(-1+)×1-+-(-1)×1-××1=--+-+=.故选A.3.5π如图,由题意可知,圆心O的运动路径为线段OO1和,即圆心O运动路径的长度为×2π×5+×2π×5=5π.由旋转可知AD=BD,∵∠ACB=90°,∴CD=BD,∵CB=CD,∴△BCD是等边三角形,∴∠BCD=∠CBD=60°,∴BC=AC=4,∴S阴影部分=××4×4=4.5.如图,连接OF,过点C作CH⊥OF于点H.∵OA=OB=OF=3,OC=AC,OD=BD,∴OC=,OD=1.∵F是弧AB的中点,∠COH=45°,∴CH=OH=,∴S阴影=S扇形FOB+S△COF-2S△COD=+×3×-2×××1=.6.195π由题可知,S1=π·12=π;S2=π·(32-22)=π+π;S3=π·(52-42)=π+2π;…;S20=π+19π;∴S1 +S2+S3+…+S20=5π+(1+2+3+…+19)π=195π.7.如图,连接OC,过点C作CE⊥OA于点E.∵∠AOB=90°,C为弧AB的中点,∴∠COE=45°,∴CE=OC×sin∠COE=,∴S阴影部分=S扇形AOB-S△BOD-(S扇形AOC-S△COD)=-×1×2-+×1×=.8.如图,过点O作OE⊥AC,分别交AC,半圆于点D,E,连接OC,BC,∵OD=DE=OE=OA,∴∠A=30°.∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠B=60°.∵OB=OC=2,∴△OBC是等边三角形,∴OC=BC,∴弓形OC的面积=弓形BC的面积,∴S阴影=S△OBC=×2×=.9.16 ∵在△ABC中,∠C=90°,AC=BC=8,∴∠B=∠A=45°,AB=8,又∵点D是AB的中点,∴BD=AD=CD=4,S△BCD=S△ABC,∴S阴影部分=S△BCD-S扇形DBE+S扇形DCF=-+=16.10.50π如图,连接AO,BO,CO,DO.∵AB∥CD∥EF,∴S△ABE=S△AOB,S△CDF=S△COD,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形COD.连接AO并延长,交☉O于点G,连接BG,则∠ABG=90°,∴BG===16,∴BG=CD,即∠COD=∠BOG,∴S扇形COD=S扇形BOG,∴S阴影=S扇形AOB+S扇形BOG=S半圆=×π×()2=50π.11.8-π如图,过点D作DH⊥AE于点H,∵∠AOB=90°,OA=3,OB=2,∴AB==.由旋转的性质可知,OE=OB=2,DE=EF=AB=,△DHE≌△BOA,∴DH=OB=2,S阴影部分=S△ADE+S△EOF+S扇形AOF-S扇形DEF=×5×2+×2×3+-=8-π.。

与圆有关的位置关系-中考数学知识点分类汇编真题

知识点34 与圆有关的位置关系一、选择题1. （2018四川泸州，10题，3分）在平面直角坐标系内，以原点O 为原心，1为半径作圆，点P 在直线y =+上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为（）【答案】D【解析】由题可知，B （-2,0），C （0，32），P 为直线上一点，过P 作圆O 的切线PA ，连接AO ，则在Rt △PAO 中，AO=1，由勾股定理可得22AO PO PA -=，要想使PA 最小，要求PO 最小，所以过点O 作OP ⊥BC 于点P ，此时PO=3，PA=2【知识点】一次函数，圆的切线，勾股定理2. （2018四川内江，7，3）已知⊙O 1的半径为3cm ，⊙O 2的半径为2cm ，圆心距O 1O 2＝4cm ，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（）A ．外离B ．外切C ．相交D ．内切【答案】C【解析】解：∵3－2＜O 1O 2＜3＋2，∴⊙O 1与⊙O 2的位置关系是相交．故选择C ．【知识点】圆与圆的位置关系3. （2018江苏无锡，8，3分）如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A 、D 、G 三点的O 与边AB 、CD 分别交于点E 、F.给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是O 的圆心；(3)BC 与O相切.其中正确说法的个数是（） A.0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】C【思路分析】利用圆周角定理的推理确定O的圆心，进而判定(1)、(2)的正确性；连接OG，通过证明OG⊥BC 说明BC与O相切.【解题过程】∵矩形ABCD中，∴∠A=∠D=90°，∴AF与DE都是O的直径，AC与BD不是O的直径，∴AF与DE的交点是O的圆心，AC与BD的交点不是O的圆心，∴(1)错误、(2)正确.连接AF、OG，则点O为AF的中点，∵G是BC的中点，∴OG是梯形FABC的中位线，∴OG∥AB，∵AB⊥BC，∴OG⊥BC，∴BC与O相切.∴(3)正确.综上所述，正确结论有两个.【知识点】矩形的性质、圆周角定理的推论、梯形中位线的判定与性质、圆的切线的判定4.（2018·重庆B卷，10，4）如图，△ABC中，∠A＝30°，点O是边AB上一点，以点O为圆心，以OB为半径作圆，⊙O恰好与AC相切于点D，连接BD．若BD平分∠ABC，AD＝2，则线段CD的长是（）A．2 B．32D【答案】B．【解析】如下图，连接OD，则由AD切⊙O于点D，得OD⊥AC．∵在Rt△AOD中，∠A＝30°，AD＝，tan A＝ODAD，∴OD＝AD•，tanA＝tan30°＝3＝2．∴AO＝2OD＝4，AB＝OA＋OB＝6．∵∠AOD＝90°－∠A＝60°，∴∠ABD＝12∠AOD＝30°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD＝60°．∴∠C＝90°＝∠ADO．∴OD∥BC．∴AD AODC OB=42=．∴DC．【知识点】圆圆的切线相似三角形5. （2018山东烟台，10，3分）如图四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=124°，点E在AD 的延长线上，则∠CDE的度数是（）A．56° B．62° C．68° D．78°【答案】Ｃ【解析】∵点I是△ABC的内心，∴AI、CI是△ABC的角平分线，∴∠AIC=90°+12∠B=124°，∴∠B=68°．∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠CDE=∠B＝68°，故选C．【知识点】三角形内心；圆内接四边形的性质；6.（2018四川省德阳市，题号9，分值：3）已知圆内接正三角形的面积为，则该圆的内接正六边形的边心距是（）A.2B.1C.D.第9题答图【答案】B.【解析】如图，设△ABC的边长为a，由正三角形的面积公式得S△ABC=，∴==，解得a=2或-2（舍），∴BC=2.∵∠BAC=60°，BO=CO，∴∠BOC=120°，则∠BCO=30°.∵OH⊥BC，∴BH=BC=1，在Rt△BOH中，BO=BH÷cos30°=，所以圆的半径r=.则OF=.如图，正六边形内接于圆，且半径为，可知∠EOF=60°，在△EOF中，OE=OF，OD⊥EF，∴∠EOD=30°.在Rt△DOE中，OD=OF·cos30°=×=1.所以边心距为1.【知识点】正多边形和圆1. （2018湖北鄂州，8，3分）如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点为A 、B ，AC 是⊙O的直径，OP 与AB 相交于点D ，连接BC ．下列结论：①∠APB ＝2∠BAC ；②OP ∥BC ；③若tanC ＝3，则OP ＝5BC ；④AC 2＝4OD ·OP ．其中正确的个数为（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】A ．【思路分析】利用切线长定理证明Rt △APO ≌Rt △BPO ，再利用同角的余角相等，可证得∠AOP ＝∠C ，得到OP ∥BC ，∠APB ＝2∠BAC ，故①②正确；利用勾股定理和∠AOP ＝∠C ，可证得OP ＝11522AC BC ====，故③正确；利用两角对应相等的两个三角形相似的判定定理证明△ABC ∽△PAO ，再通过等量代换可证得AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．【解析】解：A 选项，设OP 与⊙O 交于点E ，∵ PA 、PB 是⊙O 的切线，∴PA ＝PB ，∠PAO ＝∠PBO ＝90°，则在Rt △APO和Rt △BPO 中，∵OA OBAP BP==⎧⎨⎩，∴Rt △APO ≌Rt △BPO （HL ），∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BPO ，∠AOE ＝∠BOE ，∴∠AOP ＝∠C ，∴OP ∥BC ，故②正确；∵AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC ＝90°，∴∠BAC ＋∠C ＝90°，∵∠PAO ＝90°，∴∠APO ＋∠AOP ＝90°，即∠C ＋∠APO ＝90°，∴∠APO ＝∠BAC ， ∴∠APB ＝2∠APO ＝2∠BAC ，故①正确；∵tanC ＝3，∴tan ∠AOP ＝3，则在Rt △ABC 中，3AB BC=，则AB ＝3BC ，故AC ＝=，在Rt △BPO 中，3AP AO=，则AP ＝3OA ，故OP＝11522AC BC ====，故③正确；∵OA ＝OC ，OP ∥BC ，∴OD 是△ABC 的中位线，∴OD ＝12BC ，BC ＝2OD ，在△ABC 和△P AO 中，∵∠OAP ＝∠ABC ＝90°，∠AOP ＝∠C ，∴△ABC ∽△PAO ，∴AC BC OP OA =，∴212AC OD OP AC =，∴4AC OD OP AC =，∴AC 2＝4OD ·OP ，故④正确．故选A ．【知识点】切线长定理；相似三角形的性质和判定；中位线定理；勾股定理；平形线的判定定理；全等三角形的判定定理2.（2018·重庆A卷，9，4）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C．若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为（）A．4 B．．3 D．2.5【答案】A．【解析】如下图，连接OD．∵PC切⊙O于点D，∴OD⊥PC．∵⊙O的半径为4，∴PO＝PA＋4，PB＝PA＋8．∵OD⊥PC，BC⊥PD，∴OD∥BC．∴△POD∽△PBC．∴OD POBC PB=，即4468PAPA+=+，解得PA＝4．故选A．【知识点】圆；直线与圆的位置关系；切线的性质；相似三角形的判定与3. （2018河北省，15，2）如图，点I为△ABC的内心，AB＝4，AC＝3，BC＝2，将∠ACB平移使其顶点与I重合，则图中阴影部分的周长为（）A．4.5 B．4 C．3 D．2【答案】B【解析】设△ABC的AB边上的高为h，△MNI的MN边上的高为r，周长为a，则△ABC的内切圆半径为r．∴△ABC的面积＝AB·h＝（AB＋BC＋AC）·r．∴4h＝9r．∴．∵△MNI∽△ABC，∴【知识点】三角形的内心，三角形相似4. （2018湖北宜昌，12，3分）如图，直线AB是O的切线，C为切点，//OD AB交O于点D，点E在O 上，连接OC EC ED,,，则CED∠的度数为( )(第12题图)A．30° B．35° C.40° D．45°【答案】D【解析】∵直线AB 是O 的切线，C 为切点，∴∠OCB =90°，∵//OD AB ，∴∠COD =90°，∴∠CED =45°，故选择D.【知识点】圆的切线，圆心角，圆周角，平行线的性质.5. （2018广东省深圳市，10，3分）如图，一把直尺，80°的直角三角板和光盘如图摆放，A 为60︒角与直尺交点，3AB =,则光盘的直径是( )A ．3B ．． 6 D ．【答案】D ．【思路分析】由切线长定理定理可得，∠CAO ＝∠OAB ，从而求出∠BAO 的度数，再在Rt △OAB 中，用60°角的正切即可求出半径的长．【解析】解：如图，设圆心为点O ，设另一个切点为点C ，连接OA 、OB 、OC ，则由切线长定理可得，∠CAO ＝∠OAB ＝12（180°－60°）＝60°，则在Rt △OAB 中，tan ∠BAO ＝OB AB，即t a n603OB =︒=解得OB ＝故直径为．故选D ．【知识点】切线的性质；切线长定理；锐角三角函数6.（2018湖北荆门，9，3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ，I 是ABC ∆的内心，将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I '的坐标为（）A ．()2,3-B ．()3,2- C.()3,2- D ．()2,3- 【答案】A.【解析】∵I 是△ABC 的内心，()4,0A ，()0,3B ，()4,3C ， ∴I 的坐标为（3，2），∴将ABC ∆绕原点逆时针旋转90后，I 的对应点I ′的坐标为（-2，3）. 故选A.【知识点】三角形的内心，作图-旋转变换7. （2018山东省泰安市，9，3）如图，BM 与O 相切于点B ，若140MBA ∠=，则ACB ∠的度数为（）A ．40B ．50C ．60D ．70【答案】A【解析】（1）根据圆的切线性质可知：∠OBM=90°从而求得∠ABO=50°；（2）连接OA 、OB ，可求得∠AOB 的度数；（3）根据圆周角性质定理可得结论. 解：连接OA 、OB ， ∵BM 与O 相切 ∴∠OBM=90°∵140MBA ∠= ∴∠ABO=50° ∵OA=OB ∴∠ABO=∠BAO =50° ∴∠AO B=80° ∴ACB ∠=40【知识点】圆的切线的性质，圆周角性质定理，等腰三角形性质二、填空题1. （2018四川内江，24，6）已知△ABC 的三边a ，b ，c 满足a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b ，则△ABC的外接圆半径＝．【答案】258【思路分析】将已知a ＋2b ＋｜c －6｜＋28＝10b 进行分组，配成完全平方式，利用平方数，绝对值的非负性求出a ，b ，c 的值，从而确定三角形的形状，然后求出外接圆半径．【解题过程】解：原式整理得：2b －10b ＋25＋a －1－4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋2－＋4＋｜c －6｜＝0，()25b -＋)22＋｜c －6｜＝0，∵()25b -≥0，)22≥0，｜c －6｜≥0，∴b ＝5，c ＝6，a ＝5，∴△ABC 为等腰三角形．如图所示，作CD ⊥AB ，设O 为外接圆的圆心，则OA ＝OC ＝R ，∵AC ＝BC ＝5，AB ＝6，∴AD ＝BD ＝3，∴CD 4，∴OD ＝CD －OC ＝4－R ，在Rt △AOD 中，2R ＝23＋()24R -，解得R ＝258．BCOA【知识点】完全平方公式；绝对值；勾股定理；等腰三角形外接圆；2. （2018安徽省，12，5分）如图,菱形ABOC 的AB ，AC 分别与⊙O 相切于点D,E 若点D 是AB 的中点,则∠DOE【答案】60°【解析】连接OA ，根据菱形的性质得到△AOB 是等边三角形，根据切线的性质求出∠AOD ，同理计算即可．解：连接OA ，∵四边形ABOC 是菱形， ∴BA=BO ， ∵OA=OB ，∴△AOB 是等边三角形， ∵AB 与⊙O 相切于点D ， ∴OD ⊥AB ，∴∠AOD=12∠AOB=30°，同理，∠AOE=30°，∴∠DOE=∠AOD+∠AOE=60°，故答案为：60．【知识点】切线的性质；菱形的性质．3. （2018湖南岳阳，16，4分）.如图，以AB 为直径的O 与CE 相切于点C ，CE 交AB 的延长线于点E ，直径18AB =，30A ∠=，弦C D A B ⊥，垂足为点F ，连接AC ，OC ，则下列结论正确的是．（写出所有正确结论的序号）①BC BD =；②扇形OBC 的面积为274π；③OC F O E C ∆∆；④若点P 为线段OA 上一动点，则AP OP ⋅有最大值20.25.【答案】①③④.【解析】解：∵AB 是⊙O 的直径，且CD ⊥AB ， ∴BC BD =，故①正确； ∵∠A=30°， ∴∠COB=60°， ∴扇形OBC=ππ227)2(360602=AB ··，故②错误； ∵CE 是⊙O 的切线， ∴∠OCE=90°，∴∠OCD=∠OFC ，∠EOC=∠COF ，∴OCF OEC ∆∆，故③正确；设AP=x ，则OP=9-x ，∴AP ·OP=x (9-x )=-x 2+9x =481)29(2+-x -， ∴当x =29时，AP ·OP 的最大值为481=20.25，故④正确. 故答案为①③④.【知识点】垂径定理，扇形面积计算公式，相似三角形的判定，二次函数的性质4. （2018江苏连云港，第14题，3分）如图，AB 是⊙O 的弦，点C 在过点B 的切线上，且OC ⊥OA ，OC 交AB于点P ，已知∠OAB =22°，则∠OCB =__________°. 【答案】44【解析】解：连接OB .∵OA =OB ，∴∠OBA =∠OAB =22°，∴∠AOB =136°，∵OC ⊥OA ，∴∠AOC =90°，∴∠COB =46°，∵CB 是⊙O 的切线，∴∠OBC =90°，∴∠OCB =90°－46°=44°，故答案为：44°.【知识点】切线的性质；直角三角形的性质5. （2018江苏泰州，16，3分）如图，△ABC 中，∠ACB =90°，sin A =513，AC =12，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A′B′C ，P 为线段A′B′上的动点，以点P 为圆心、PA '长为半径作⊙P ，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为 .【答案】15625或10213【解析】设⊙P 的半径为r ，∴BCAB=sin A=513，222BC AC AB+=，∵AC=12，∴BC=5，AB=13，由旋转得∠A′CB′=∠ACB=90°，∠A′=∠A，A′C= AC=12，B′C= BC=5，A′B′=AB=13，∴∠A′CB=180°，∴A′、C、B′三点共线，∵点P到直线BC的距离小于半径P′A，∴⊙P与直线BC始终相交，过点P作PD⊥AC于点D，则∠B′DP=∠B′CA′=90°，∵∠DB′P=∠CB′A′，∴△B′DP∽△B′CA′，∴PD PBA C A B'='''，∴13 1213 PD r-=，∴12(13)12121313rPD r-==-，当⊙P与AC边相切时，PD=PA′，∴121213r r-=，∴15625r=，延长A′B′交AB于点E，∵∠A＋∠B=90°，∠A′=∠A，∴∠A′＋∠B=90°，同上得122041313A E A B''==，当⊙P与AB边相切时，A′E=2PA′，∴10213r=，综上所述，⊙P的半径为15625或10213.【知识点】锐角三角函数，直线与圆的位置关系6.（2018山东威海，16，3分）在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，则∠AEB的度数为______．【答案】135°【解析】连接CE，∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°；∵⊙E内切于△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°；∵△AE≌△EB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°．【知识点】三角形的内切圆、全等三角形的判定与性质7. （2018四川省宜宾市，13，3分）刘徽是中国古代卓越的数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积，设圆O的半径为1,若用圆O的外切正六边形的面积来近似估计圆O的面积，S= .(结果保留根号）【答案】【解析】如图：根据题意可知OH=1,∠BOC=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BHOHtan∠BOH，∴,∴S=121×1 2【知识点】正多边形的计算；解直角三角形8. （2018浙江湖州，14，4）如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连结OB，OD．若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是．【答案】70°【解析】∵⊙O内切于△ABC，∴OB平分∠ABC．∵∠ABC＝40°，∴∠OBD＝20°．∴∠BOD＝70°．故填70°. 【知识点】三角形的内切圆，切线长定理9.（2018宁波市，17题，4分）如图，正方形ABCD的边长为8,M是AB的中点,P是BC边上的动点,连结PM,以点P为圆心,PM长为半径作⊙P.当⊙P与正方形ABCD的边相切时,BP的长为___________【答案】3或【解析】解：(1)当⊙P 与DC 相切时，如图（1）所示，设BP=x ，则PC=8-x;∵DC 于圆相切，∴PC=PM 又∵M 是AB 中点 ∴BM=4在Rt △BMP 中，根据勾股定理可得 ∵BM 2+BP 2=MP 2∴x 2+42=(8-x)2∴解得：x=3 ∴BP=3 (2)如图（2）所有当⊙P 与DA 相切时过点P 作PE ⊥AD,交AD 与点E∵⊙P 与DA 相切与点E ∴EP=MP=8在Rt △BMP 中，根据勾股定理可得 ∵BM 2+BP 2=MP 2∴BP=综上所述：BP 的值为3或【知识点】切线的判定、勾股定理10. （2018浙江温州，16，5）.小明发现相机快门打开过程中，光圈大小变化如图1所示，于是他绘制了如图2（第17题图）图2图1所示的图形.图2中留个形状大小都相同的四边形围成一个圆的内接六边形和一个小正六边形，若PQ 所在的直线经过点M ，PB=5cm ，小正六边形的面积为2cm 2，则该圆的半径为 cm.【答案】8【思路分析】设小正六边形的中心为O 连接OP,OA,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积得小正六边形的边长为337所以得OP=7，在△OPB 中解三角形得到OB=8所以圆的半径为8 【解题过程】设小正六边形的中心为O,连接OP,OB,OC,OD ，连接CP 得两个等边三角形，利用小正六边形的面积为6个小等边三角形得设小正六边形的边长为x,所以每个小等边三角形的面积为243x ，得32494362=⨯x ，得x=337所以再利用四边形OCPD 为菱形得OP=73337=⨯，在△OPB 中解三角形，过点P 作PH ⊥OB 因为∠OBP=60°∠HPB=30°得到BH=2521=BP ,PH=235,所以在△OPH 中利用勾股定理得OH=211,所以OB=8所以圆的半径为8【知识点】圆的内接正六边形的性质，正六边形的面积，解三角形，菱形的性质和判定，等边三角形的判定和性质。

河北省2021年中考数学一轮复习训练：第六章第二节与圆有关的位置关系附答案

第二节与圆有关的位置关系基础分点练（建议用时：40分钟）考点1与切线有关的证明与计算1.[2020广东广州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是()A.相离B.相切C.相交D.无法确定2.[2020浙江金华]如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是()A.65°B.60°C.58°D.50°3.[2020浙江温州]如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为()A.1B.2C.D.4.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为2 cm的☉P的圆心P在直线OA上,且与点O的距离为6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时☉P运动的时间是 ()A.3 s或10 sB.3 s或8 sC.2 s或8 sD.2 s或10 s5.[2020陕西]如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:AD∥EC.(2)若AB=12,求线段EC的长.6.[2020四川成都中考改编]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以点O为圆心,OC的长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B=,求☉O的半径.考点2三角形的内心与外心7.如图为5×5的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是()A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心8.[2020河北九地市模拟二]如图,已知E是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为()A.18B.24C.30D.369.[2020江苏泰州]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为.考点3正多边形与圆10.[2019湖北孝感]刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计☉O的面积S,设☉O的半径为1,则S-S1≈.(π取3.14)11.[2020石家庄藁城区二模](1)如图(1),正方形的边长为a,☉O的半径为r,☉O在正方形的内部,沿正方形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为.(用含a,r 的代数式表示)(2)如图(2),正六边形的边长为b,☉O的半径为r,☉O在正六边形的内部,沿正六边形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为.(用含b,r的代数式表示)图(1)图(2)综合提升练（建议用时：35分钟）1.在平面直角坐标系内,已知点M(4,3),以M为圆心、r为半径的圆与x轴相交,与y轴相离,那么r的取值范围为()A.0<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<42.[2020石家庄一模]如图,以点O为圆心、4为半径作扇形AOB,AO⊥BO,点E在OA上,且OE=2,CD垂直平分OB,动点P在线段CD上运动(不与点D重合).设△ODP的外心为点I,连接EI,则EI的最小值为()A.1B.2C.2-1D.+13.[2020山东滨州]如图,☉O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与☉O相交于点M,则sin∠MFG的值为.4.[2019浙江宁波]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P 是线段AD上一动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为.5.[2020安徽]如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.6.[2019广东]如图(1),在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB,CD交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是☉O的切线;(3)如图(2),若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.图(1)图(2)答案第二节与圆有关的位置关系基础分点练（建议用时：40分钟）考点1与切线有关的证明与计算1.[2020广东广州]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,cos A=,以点B为圆心,r为半径作☉B,当r=3时,☉B与AC的位置关系是( B )A.相离B.相切C.相交D.无法确定2.[2020浙江金华]如图,☉O是等边三角形ABC的内切圆,分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是上一点,则∠EPF的度数是( B )A.65°B.60°C.58°D.50°3.[2020浙江温州]如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为( D )A.1B.2C.D.4.如图,直线AB,CD相交于点O,∠AOC=30°,半径为2 cm的☉P的圆心P在直线OA上,且与点O的距离为6 cm,如果☉P以1 cm/s的速度沿由A向B的方向移动,那么☉P与直线CD相切时☉P运动的时间是 ( D )A.3 s或10 sB.3 s或8 sC.2 s或8 sD.2 s或10 s5.[2020陕西]如图,△ABC是☉O的内接三角形,∠BAC=75°,∠ABC=45°.连接AO并延长,交☉O于点D,连接BD.过点C作☉O的切线,与BA的延长线相交于点E.(1)求证:AD∥EC.(2)若AB=12,求线段EC的长.(1)证明:如图,连接OC.∵CE与☉O相切于点C,∴OC⊥EC.∵∠ABC=45°,∴∠AOC=2∠ABC=90°,即OC⊥AD,∴AD∥EC.(2)如图,过点A作AF⊥EC,垂足为F,则四边形AOCF为矩形.∵OA=OC,∴四边形AOCF为正方形,∴AF=CF=OA.∵∠ABC=45°,∠BAC=75°,∴∠ACB=180°-45°-75°=60°,∴∠D=60°.∵AD是☉O的直径,∴∠ABD=90°,∴∠BAD=30°,∴在Rt△ABD中,AD==8,∴AF=CF=OA=4.∵AD∥EC,∴∠E=∠BAD=30°,∴在Rt△AEF中,EF==12,∴EC=EF+FC=12+4.6.[2020四川成都中考改编]如图,在△ABC的边BC上取一点O,以点O为圆心,OC的长为半径画☉O,☉O与边AB相切于点D,AC=AD,连接OA.(1)求证:AC是☉O的切线;(2)若AB=10,tan B=,求☉O的半径.(1)证明:连接OD.∵AB是☉O的切线,∴OD⊥AB.在△AOC和△AOD中,∴△AOC≌△AOD,∴∠ACO=∠ADO=90°.又∵OC是☉O的半径,∴AC是☉O的切线.(2)设☉O的半径为r,即OC=OD=r.在Rt△BOD中,tan B==,∴BD=r,OB=r,∴AC=AD=10-r,BC=OC+OB=r+r=r.在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,即102=(10-r)2+(r)2,解得r1=,r1=0(舍去).故☉O的半径为.考点2三角形的内心与外心7.如图为5×5的网格图,点A,B,C,D,O均在格点上,则点O是( B )A.△ACD的外心B.△ABC的外心C.△ACD的内心D.△ABC的内心8.[2020河北九地市模拟二]如图,已知E是△ABC的外心,P,Q分别是AB,AC的中点,连接EP,EQ分别交BC于点F,D.若BF=5,DF=3,CD=4,则△ABC的面积为( B )A.18B.24C.30D.369.[2020江苏泰州]如图所示的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为(2,3).考点3正多边形与圆10.[2019湖北孝感]刘徽是我国魏晋时期卓越的数学家,他在《九章算术》中提出了“割圆术”,利用圆的内接正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积.如图,若用圆的内接正十二边形的面积S1来近似估计☉O的面积S,设☉O的半径为1,则S-S1≈0.14.(π取3.14)11.[2020石家庄藁城区二模](1)如图(1),正方形的边长为a,☉O的半径为r,☉O在正方形的内部,沿正方形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为4a-8r.(用含a,r的代数式表示)(2)如图(2),正六边形的边长为b,☉O的半径为r,☉O在正六边形的内部,沿正六边形的边滚动,当滚动一周回到出发的位置时,圆心O经过的路径长为6b-4r.(用含b,r的代数式表示)图(1)图(2)综合提升练（建议用时：35分钟）1.在平面直角坐标系内,已知点M(4,3),以M为圆心、r为半径的圆与x轴相交,与y轴相离,那么r的取值范围为( D )A.0<r<5B.3<r<5C.4<r<5D.3<r<42.[2020石家庄一模]如图,以点O为圆心、4为半径作扇形AOB,AO⊥BO,点E在OA上,且OE=2,CD垂直平分OB,动点P在线段CD上运动(不与点D重合).设△ODP的外心为点I,连接EI,则EI的最小值为( B )A.1B.2C.2-1D.+13.[2020山东滨州]如图,☉O是正方形ABCD的内切圆,切点分别为E,F,G,H,ED与☉O相交于点M,则sin∠MFG的值为.4.[2019浙江宁波]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,点D在边BC上,CD=5,BD=13.点P 是线段AD上一动点,当半径为6的☉P与△ABC的一边相切时,AP的长为或3.5.[2020安徽]如图,AB是半圆O的直径,C,D是半圆O上不同于A,B的两点,AD=BC,AC与BD相交于点F.BE是半圆O所在圆的切线,与AC的延长线相交于点E.(1)求证:△CBA≌△DAB;(2)若BE=BF,求证:AC平分∠DAB.(1)证明:因为AB为半圆O的直径,所以∠ACB=∠BDA=90°.在Rt△CBA与Rt△DAB中,因为BC=AD,BA=AB,所以Rt△CBA≌Rt△DAB.(2)证明:方法一:因为BE=BF,BC⊥EF,所以BC平分∠EBF.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BE⊥AB.于是,∠DAC=∠DBC=∠CBE=90°-∠E=∠CAB,故AC平分∠DAB.方法二:因为BE=BF,所以∠E=∠BFE.因为AB为半圆O的直径,BE为切线,所以BE⊥AB.于是,∠CAB=90°-∠E=90°-∠BFE=90°-∠AFD=∠CAD,故AC平分∠DAB.6.[2019广东]如图(1),在△ABC中,AB=AC,☉O是△ABC的外接圆,过点C作∠BCD=∠ACB,CD交☉O于点D,连接AD交BC于点E,延长DC至点F,使CF=AC,连接AF.(1)求证:ED=EC;(2)求证:AF是☉O的切线;(3)如图(2),若点G是△ACD的内心,BC·BE=25,求BG的长.图(1)图(2)(1)证明:如图(1),图(1)∵AB=AC,∴∠1=∠3.又∵∠1=∠2,∴∠2=∠3.又∵∠3=∠4,∴∠2=∠4,∴ED=EC.图(2) (2)证明:如图(2),连接OA,OB,OC,∵OB=OC,AB=AC,∴直线AO是线段BC的垂直平分线,∴AO⊥BC.由(1)知∠2=∠3,∴AB∥DF.又∵AB=AC=CF,∴四边形ABCF是平行四边形,∴AF∥BC,∴AO⊥AF,∴AF是☉O的切线.(3)如图(3),连接AG,∵∠1=∠2,∠2=∠5,∴∠1=∠5.∵点G是△ADC的内心,图(3)∴∠7=∠8.∵∠BAG=∠5+∠7,∠6=∠1+∠8,∴∠BAG=∠6,∴AB=BG.∵∠3=∠3,∠1=∠5,∴△ABE∽△CBA,∴=,∴AB2=BE·BC=25,∴AB=5,∴BG=5.。

中考数学复习第六章圆第二节与圆有关的位置关系练习

第二节与圆有关的位置关系姓名：________ 班级：________ 用时：______分钟1．(2018·湘西州中考)已知⊙O的半径为5 cm，圆心O到直线l的距离为5 cm，则直线l与⊙O的位置关系为( )A．相交B．相切C．相离D．无法确定2．(2019·改编题)设⊙O的半径为3，点O到直线l的距离为d，若直线l与⊙O至少有一个公共点，则d 应满足的条件是( )A．d＝3 B．d≤3 C．d＜3 D．d＞33．(2019·改编题)如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在( )A．△ABC的三条中线的交点B．△ABC三边的中垂线的交点C．△ABC三条角平分线的交点D．△ABC三条高所在直线的交点4．(2018·深圳中考)如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，AB ＝3，则光盘的直径是( )A．3 B．3 3 C．6 D．6 35．(2018·重庆中考A卷)如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD与⊙O相切于点D，过点B作PD的垂线交PD的延长线于点C，若⊙O的半径为4，BC＝6，则PA的长为( )A．4 B．2 3 C．3 D．2.56．(2018·台州中考)如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D＝________度．7．(2018·连云港中考)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠O AB＝22°，则∠OCB＝__________．8．(2018·湖州中考)如图，已知△ABC的内切圆⊙O与BC边相切于点D，连接OB，OD.若∠ABC＝40°，则∠BOD的度数是__________．9．(2018·娄底中考)如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD，AB，BC都相切，切点分别为D，E，C，半径OC＝1，则AE·BE＝________．10．(2019·改编题)已知：如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线EF是过点C的⊙O的切线，∠BAC＝∠CAD.(1)求证：AD⊥EF；(2)若∠B＝30°，AB＝12，求AD的长．11．(2018·常德中考)如图，已知⊙O是等边三角形ABC的外接圆，点D在圆上，在CD的延长线上有一点F，使DF＝DA，AE∥BC交CF于点E.(1)求证：EA是⊙O的切线；(2)求证：BD＝CF.12．(2018·重庆中考B 卷)如图，△ABC 中，∠A＝30°，点O 是边AB 上一点，以点O 为圆心，以OB 为半径作圆，⊙O 恰好与AC 相切于点D ，连接BD.若BD 平分∠ABC，AD ＝23，则线段CD 的长是( )A ．2B. 3C.32D.323 13．(2018·无锡中考)如图，矩形ABCD 中，G 是BC 的中点，过A ，D ，G 三点的⊙O 与边AB ，CD 分别交于点E ，点F ，给出下列说法：(1)AC 与BD 的交点是⊙O 的圆心；(2)AF 与DE 的交点是⊙O 的圆心；(3)BC 与⊙O 相切．其中正确说法的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．314．(2018·泸州中考)在平面直角坐标系内，以原点O 为圆心，1为半径作圆，点P 在直线y ＝3x ＋23上运动，过点P 作该圆的一条切线，切点为A ，则PA 的最小值为( ) A ．3B ．2C. 3D. 215．(2018·南京中考)如图，在矩形ABCD 中，AB ＝5，BC ＝4，以CD 为直径作⊙O.将矩形ABCD 绕点C 旋转，使所得矩形A′B′CD′的边A′B′与⊙O 相切，切点为E ，边CD′与⊙O 相交于点F ，则CF 的长为________．16．(2019·原创题)如图所示，在Rt △ABC 中，以斜边AB 为直径作⊙O，延长BC 至点D ，恰好使得AD ＝AB ，过点C 作CE⊥AD，延长DA 交⊙O 于点F. (1)求证：CE 是⊙O 的切线；(2)若AB ＝10，CE ＋EA ＝4，求AF 的长度．17．(2018·宜宾中考)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BC延长线上一点，且BC＝CD，CE⊥AD于点E.(1)求证：EC为⊙O的切线；(2)设BE与⊙O交于点F，AF的延长线与CE交于点P，已知∠PCF＝∠CBF，PC＝5，PF＝4，求sin∠PEF 的值．18．(2019·创新题)阅读材料：在平面直角坐标系xOy 中，点P(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋C|A 2＋B2. 例如：求点P 0(0，0)到直线4x ＋3y －3＝0的距离．解：由直线4x ＋3y －3＝0知，A ＝4，B ＝3，C ＝－3，∴点P 0(0，0)到直线4x ＋3y －3＝0的距离为d ＝|4×0＋3×0－3|42＋32＝35. 根据以上材料，解决下列问题：问题1：点P 1(3，4)到直线y ＝－34x ＋54的距离为__________；问题2：已知⊙C 是以点C(2，1)为圆心，1为半径的圆，⊙C 与直线y ＝－34x ＋b 相切，求实数b 的值；问题3：如图，设点P 为问题2中⊙C 上的任意一点，点A ，B 为直线3x ＋4y ＋5＝0上的两点，且AB ＝2，请求出S △ABP 的最大值和最小值．参考答案【基础训练】1．B 2.B 3.C 4.D 5.A 6．26 7.44° 8.70° 9.1 10.(1)证明：如图，连接OC. ∵EF 是过点C 的⊙O 的切线， ∴OC⊥EF，∴∠OCA＋∠ACD＝90°. ∵OC＝OA ，∴∠OCA＝∠BAC＝∠CAD， ∴∠CAD＋∠ACD＝90°， ∴AD⊥EF.(2)解：∵OB＝OC ，∴∠B＝∠OCB＝30°. 又∵∠AOC 是△BOC 的外角， ∴∠AOC＝∠B＋∠OCB＝60°. 又∵OA＝OC ，∴△AOC 为等边三角形，∴AC＝12AB ＝6.又∵∠ACD＝30°，∴AD＝12AC ，∴AD＝3.11．证明：(1)如图，连接OA.∵⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆， ∴∠OAC＝30°， ∠BCA＝60°. ∵AE∥BC，∴∠EAC＝∠BCA＝60°，∴∠OAE＝∠OAC＋∠EAC＝30°＋60°＝90°， ∴EA 是⊙O 的切线． (2)∵△ABC 是等边三角形， ∴AB＝AC ，∠BAC＝∠ABC＝60°.∵A，B ，C ，D 四点共圆，∴∠ADF＝∠ABC＝60°. ∵AD＝DF ，∴△ADF 是等边三角形， ∴AD＝AF ，∠DAF＝60°， ∴∠BAC＋∠CAD ＝∠DAF＋∠CAD，即∠BAD＝∠CAF. 在△BAD 和△CAF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAF，AD ＝AF ， ∴△BAD≌△CAF，∴BD＝CF. 【拔高训练】 12．B 13.C 14.D 15．416．(1)证明：∵OB＝OC ，∴∠ABC＝∠OCB. ∵AB＝AD ，∴∠ABC＝∠ADB， ∴∠OCB＝∠ADB，∴OC∥AD. ∵CE⊥AD，∴∠AEC＝∠OCE＝90°， ∴CE 是⊙O 的切线．(2)解：如图，过点O 作OH⊥AF 于点H ，则∠OCE＝∠CEH＝∠OHE＝90°， ∴四边形OCEH 是矩形， ∴OC＝EH ，OH ＝CE. 设AH ＝x.∵CE＋AE ＝4，OC ＝5，∴AE＝5－x ，OH ＝4－(5－x)＝x －1.在Rt△AOH 中，由勾股定理得AH 2＋OH 2＝OA 2，即x 2＋(x －1)2＝52，解得x 1＝4，x 2＝－3(不合题意，舍去)， ∴AH＝4.∵OH⊥AF，∴AH＝FH ＝12AF ，∴AF＝2AH ＝2×4＝8.17．(1)证明：∵CE⊥AD，∴∠DEC＝90°. ∵BC＝CD ，∴点C 是BD 的中点．又∵点O 是AB 的中点，∴OC 是△BDA 的中位线，∴OC∥AD， ∴∠OCE＝∠CED＝90°，∴OC⊥CE. 又∵点C 在圆上，∴EC 为⊙O 的切线． (2)解：如图，连接AC.∵AB 是直径，点F 在⊙O 上， ∴∠AFB＝∠PFE＝∠CEA＝90°. ∵∠EPF＝∠EPA，∴△PEF∽△PAE， ∴PE 2＝PF·P A.∵∠FBC＝∠PCF＝∠CAF，又∵∠CPF＝∠CPA，∴△PCF∽△PAC， ∴PC 2＝PF·PA，∴PE＝PC. 在Rt△PEF 中，sin∠PEF＝PF PE ＝45.【培优训练】 18．解：问题1：4提示：直线方程整理得3x ＋4y －5＝0，故A ＝3，B ＝4，C ＝－5，∴点P 1(3，4)到直线y ＝－34x ＋54的距离为d ＝|3×3＋4×4－5|32＋42＝4. 问题2：直线y ＝－34x ＋b 整理得3x ＋4y －4b ＝0，故A ＝3，B ＝4，C ＝－4b.∵⊙C 与直线相切，∴点C 到直线的距离等于半径，即|3×2＋4×1－4b|32＋42＝1，整理得|10－4b|＝5，解得b ＝54或b ＝154.问题3：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D.∵在3x ＋4y ＋5＝0中，A ＝3，B ＝4，C ＝5， ∴圆心C(2，1)到直线AB 的距离 CD ＝|3×2＋4×1＋5|32＋42＝3， ∴⊙C 上的点到直线AB 的最大距离为3＋1＝4，最小距离为3－1＝2， ∴S △ABP 的最大值为12×2×4＝4，最小值为12×2×2＝2.。

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