平面与平面垂直公开课
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数学平面与平面垂直的判定新人教A版必修省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
平面与平面垂直判定
第1页
教学目标
1.了解二面角及其平面角概念。 2.掌握二面角平面角普通作法，会求 简单二面角平面角。 3.掌握两个平面相互垂直概念，能用 定义和定理判定面面垂直。
第2页
自主学习：
1、二面角相关概念及其记法与表示
观察思索:展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，
然后引导学生将它与角进行类比，归纳出二面角概念及
提出问题:二面角大小反应了两个平面相交位置关系，如 我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们 应怎样度量二面角大小呢？
师生活动：在预先准备好二面角模型棱上取一点为顶点， 在两个半平面内各作一射线，经过试验操作，研探二面 角大小度量方法——二面角平面角。
在二面角α―l―β棱l上任取一点O， 以点O为垂足，在半平面α和β内分别 作垂直于棱l射线OA和OB，则射线OA和 OB组成∠AOB叫做二面角平面角。
P
证实：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
ห้องสมุดไป่ตู้
PA⊥α，BC在α内，
C
所以，PA⊥BC，
B
因为，点C是不一样于A，B任意 A
O
一点，AB为⊙O直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内，
探究：你还能发觉哪些面相
5.二面角指是（ B）
A、从一条直线出发两个半平面所夹角度。
B、从一条直线出发两个半平面所组成图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹锐角。
D、过棱上一点和棱垂直二射线所成角。
第11页
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O直径，PA垂直于⊙O所在平面，
第1页
教学目标
1.了解二面角及其平面角概念。 2.掌握二面角平面角普通作法，会求 简单二面角平面角。 3.掌握两个平面相互垂直概念，能用 定义和定理判定面面垂直。
第2页
自主学习：
1、二面角相关概念及其记法与表示
观察思索:展示一张纸面，并对折让学生观察其形状，
然后引导学生将它与角进行类比，归纳出二面角概念及
提出问题:二面角大小反应了两个平面相交位置关系，如 我们常说“把门开大一些”，是指二面角大一些，那我们 应怎样度量二面角大小呢？
师生活动：在预先准备好二面角模型棱上取一点为顶点， 在两个半平面内各作一射线，经过试验操作，研探二面 角大小度量方法——二面角平面角。
在二面角α―l―β棱l上任取一点O， 以点O为垂足，在半平面α和β内分别 作垂直于棱l射线OA和OB，则射线OA和 OB组成∠AOB叫做二面角平面角。
P
证实：设⊙O所在平面为α，
由已知条件，有
ห้องสมุดไป่ตู้
PA⊥α，BC在α内，
C
所以，PA⊥BC，
B
因为，点C是不一样于A，B任意 A
O
一点，AB为⊙O直径，
所以，∠BCA＝90°，即BC⊥CA
又因为PA与AC是△PAC所在平面内两条相交直线，
所以，BC⊥平面PAC， 又因为BC在平面PBC内，
探究：你还能发觉哪些面相
5.二面角指是（ B）
A、从一条直线出发两个半平面所夹角度。
B、从一条直线出发两个半平面所组成图形。
C、两个平面相交时，两个平面所夹锐角。
D、过棱上一点和棱垂直二射线所成角。
第11页
应用举例，强化所学
例1：如图，AB是⊙O直径，PA垂直于⊙O所在平面，
面面垂直性质公开课
13
课堂总结
平面与平面垂直的性质定理 定理 两个平面垂直, 如果一个平面内有一条直线垂直于这 两个平面的交线, 那么这条直线与另一个平面垂直.
αβ, αβ=a, bβ, babα
直线与平面垂直 平面与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理2
β
α
b a
作 者 ： 湛 江 市第五 中学钟 景荣
定理 两平面垂直, 过一个平面内一点, 垂直于第二个平面的 直线在第一个平面内.
(2) , //, 判 断与的 位 置 关 系.
F
A1
D1
α
C1 B1
b
D
E
A
β
C
B
思考2 α⊥β ，α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,垂足为B，那么直 线AB与平面β的位置关系如何？ 为什么？
Eβ D
α
B
A
C 垂直
证明:在平面 内作BE⊥CD,垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
β, P, Pa, aβa
14
线线垂直 判定 线面垂直相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线 与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直 线换成平面，你又能得到哪些结论?
怎样证明？
(1) ,a , a ， 判 断a与的 位 置 关 系.
平面PAB∩平面PBC=PB,
P∴BACE, 平面PBC.
A
∵BC平面PBC,
∴AEBC.
∵ PA平面ABC, BC平面ABC, ∴PABC.
E
作者：湛江市第五中学钟景荣
C
B 图8.6-33
又∵PA∩AE=A, ∴ BC平面PAB.
课堂总结
平面与平面垂直的性质定理 定理 两个平面垂直, 如果一个平面内有一条直线垂直于这 两个平面的交线, 那么这条直线与另一个平面垂直.
αβ, αβ=a, bβ, babα
直线与平面垂直 平面与平面垂直 平面与平面垂直的性质定理2
β
α
b a
作 者 ： 湛 江 市第五 中学钟 景荣
定理 两平面垂直, 过一个平面内一点, 垂直于第二个平面的 直线在第一个平面内.
(2) , //, 判 断与的 位 置 关 系.
F
A1
D1
α
C1 B1
b
D
E
A
β
C
B
思考2 α⊥β ，α∩β=CD,AB⊂α,AB⊥CD,垂足为B，那么直 线AB与平面β的位置关系如何？ 为什么？
Eβ D
α
B
A
C 垂直
证明:在平面 内作BE⊥CD,垂足为B.
则∠ABE就是二面角 CD 的平面角.
∵ , ∴AB⊥BE.
又由题意知AB⊥CD,且BE CD=B
β, P, Pa, aβa
14
线线垂直 判定 线面垂直相垂直的性质，我们探究了一个平面内的直线 与另一个平面的特殊位置关系.如果直线不在两个平面内，或者把直 线换成平面，你又能得到哪些结论?
怎样证明？
(1) ,a , a ， 判 断a与的 位 置 关 系.
平面PAB∩平面PBC=PB,
P∴BACE, 平面PBC.
A
∵BC平面PBC,
∴AEBC.
∵ PA平面ABC, BC平面ABC, ∴PABC.
E
作者：湛江市第五中学钟景荣
C
B 图8.6-33
又∵PA∩AE=A, ∴ BC平面PAB.
两个平面垂直的判定与性质公开课一等奖课件省赛课获奖课件
l l
α α
β β
F E
P γ
γ
l
β
αP
Q γ
本课小结:
定义:如果两个平面相交所成的二面角是直二面角，那么我
们称这两个平面互相垂直.
画法：
鉴定定理:如果一种平面通过另一种平面的一条垂线，那 么这两个平面互相垂直.
性质定理:如果两个平面互相垂直，那么在一种平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一种平面.
线线垂直
线面垂直
面面垂直
思考:
1. 如图, AC是圆O的直径, B是圆O上的点, PA垂直于圆O 所在平面, 在平面PAB、PBC、PCA和ABC中, 互相垂直的 平面有哪些?
P
A
O
C
B
∩
已知：平面α⊥平面β，α∩β=CD，AB α，
AB⊥CD. 求证：AB⊥β
A
证明：在平面β内过B点作BE⊥CD，
又∵AB⊥CD，
C
B
D
∴∠ABE就是二面角
α—CD—β的平面角，
E
∴∠ABE=90。 即AB⊥BE
又∵CD∩BE=B， ∴AB⊥ β.
性质定理：
如果两个平面互相垂直，那么在一种平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一种平面.
V
D E
B
O
A
C
练习 1 在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1) 求证：平面A1C⊥平面B1D
(2) 若E、F分别是AB、BC的中点，
D
求证： 平面A1C1FE⊥平面B1D
(3) 若G是BB1的中点
A
E
求证：平面A1C1G⊥平面B1D
D1
A1
C
F Ｂ G GG G
平面与平面垂直(第1课时)课件
证明：∵PA⊥面ABC， BC 面ABC，
∴ PA⊥BC， ∵ C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， 即BC⊥CA.
又PA∩AC=A，PA、AC 平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC 又BC 平面PBC， ∴ 平面PAC⊥平面PBC.
二、面面垂直的判定
证明面面垂直的步骤
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所构成的角叫做 二面角的平面角.
AOB 即为二面角 l 的平面角
.
平面角的大小就是二面角的大小.
β
B
OlLeabharlann αAβ B
O l
二面角的平面角
α A
二面角的平面角必须满足
①顶点在棱上； ②两边分别在两个面内； ③边都要垂直于二面角的棱.
DDD111 AA11
CCC1 11 BBB111
DDD AAA
CCC BBB
AA1 1
DD1 1
CC1 1 BB1 1
N
DDM
C
C
O
A
A
B
B
探究活动——判定定理
找到一个面面垂直的实例，指出实例中哪两个平面互相垂直，说明使得该组平面垂 直的原因，并尝试总结判定两平面垂直的一般方法
平面与平面垂直的判定定理
证明： 正方体ABCD ABCD中
AA 平面ABCD,且BD 平面ABCD,
AA BD,
又BD AC, AC AA A
BD 平面ACCA, 且BD 平面ABD,
平面ABD 平面ACCA.
练习
例8：如图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B
∴ PA⊥BC， ∵ C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O的直径， ∴∠BCA＝90°， 即BC⊥CA.
又PA∩AC=A，PA、AC 平面PAC，
∴ BC⊥平面PAC 又BC 平面PBC， ∴ 平面PAC⊥平面PBC.
二、面面垂直的判定
证明面面垂直的步骤
二面角的平面角
以二面角的棱上任意一点为端点， 在两个半平面内分别作垂直于棱的两 条射线，这两条射线所构成的角叫做 二面角的平面角.
AOB 即为二面角 l 的平面角
.
平面角的大小就是二面角的大小.
β
B
OlLeabharlann αAβ B
O l
二面角的平面角
α A
二面角的平面角必须满足
①顶点在棱上； ②两边分别在两个面内； ③边都要垂直于二面角的棱.
DDD111 AA11
CCC1 11 BBB111
DDD AAA
CCC BBB
AA1 1
DD1 1
CC1 1 BB1 1
N
DDM
C
C
O
A
A
B
B
探究活动——判定定理
找到一个面面垂直的实例，指出实例中哪两个平面互相垂直，说明使得该组平面垂 直的原因，并尝试总结判定两平面垂直的一般方法
平面与平面垂直的判定定理
证明： 正方体ABCD ABCD中
AA 平面ABCD,且BD 平面ABCD,
AA BD,
又BD AC, AC AA A
BD 平面ACCA, 且BD 平面ABD,
平面ABD 平面ACCA.
练习
例8：如图, AB是⊙O的直径, PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B
平面与平面垂直(优秀经典公开课课件)
题型二 平面与平面垂直的判定 [例 2] 如图所示，△ABC 为正三角形，EC⊥平面 ABC，BD∥CE，且 CE＝ CA＝2BD，M 是 EA 的中点，求证： (1)DE＝DA； (2)平面 BDM⊥平面 ECA；
(3)平面 DEA⊥平面 ECA．
[证明] (1)取 EC 的中点 F，连接 DF. ∵EC⊥BC，易知 DF∥BC，
答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×
2．已知 l⊥α，则过 l 与 α 垂直的平面( )
A．有 1 个
B．有 2 个
C．有无数个
D．不存在
解析 由面面垂直的判定定理知，凡过 l 的平面都垂直于平面 α，这样的平 面有无数个．
答案 C
3．对于直线 m，n 和平面 α，β，能得出 α⊥β 的一个条件是( )
[提示] 垂直． 若要判断两平面是否垂直，根据上述问题能否得出一个方法？
[提示] 可以，只需在一平面内找一直线垂直于另一平面即可．
◎结论形成 1．面面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直__二__面__角____， 就说这两个平面互相垂直． (2)画法：
记作：___α_⊥__β________.
(2)平面角是直角的二面角叫做直二面角． (3)二面角的平面角 α 的取值范围：0°≤α≤180°.
导学 2 平面与平面垂直的判定 建筑工地上，砌墙时，泥水匠为了保证墙面与地面垂直，常常在较高处固定 一条端点系有铅锤的线，再沿着该线砌墙，如图，这样就能保证墙面与地面垂直．
由上述可知当直线与平面垂直时，过此直线可作无数个平面，那么 这些平面与已知平面有何关系？
[触类旁通] 2.如图所示，在四棱锥 P-ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，底面 ABCD 是直角梯 形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面 PDC⊥平面 PAD.
平面与平面垂直的判定第一课时市公开课一等奖省赛课微课金奖PPT课件
A
为所求角。 ----“三垂线法”
OB
l
10/17
二面角平面角作法：
第三种画法:
点P在二面角两个面外时,经过P点分别作两个面 垂线,这两条垂线确定平面与二面角两个面两条交线 就组成了二面角平面角
P
A
lO
B
11/17
例题分析
例1.如图,已知P是二面角 AB 棱上一点，
过P 分别在、内引射线PM、PN，且∠MPN=600，
∵sin∠ADO=
.
AD 4 2
∴ ∠ADO=60° ∴二面角 － l－ 大小为60 °13/17
二面角相关计算:
1、找到或作出二面角平面角 2、证实 找到或作出中角就是所求角 3、计算出此角大小
步骤:
一“作”二“证”三“计算”
14/17
练习:如图，四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是边长为2 正方形,其它四个侧面都是侧棱长为 等5 腰三角形, 试画出二面角V-AB-C平面角,并求出它度数.
∠BPM =∠BPN =450，求此二面角度数。
解：在AB上取不一样于P 一点O，
在内过O作OC⊥AB交PM 于C，
C M
在 内作OD⊥AB交PN于D， 连结CD，可得：
A PO
B
∠COD是二面角 AB 平 面角
设PO = a ，∵∠BPM =∠BPN = 45º
D N
∴CO=a，DO=a， PC 2 a ， PD 2a
V
DO
C
A
E
B
15/17
小结
1.二面角定义 2.二面角作法
（1）定义法 （2）三垂线法 （3）垂面法 33..二面角求解步骤 一“作”二“证”三“计算”
《平面与平面垂直》课件
- 使用垂线和锐角判定法。 - 使用球、柱、锥等几何体来判断。 - 使用向量的内积。
平面垂直的应用
- 常规角度如直角、45度、30度等可以由平面垂直得出。 - 在建筑、雕塑等领域中的设计、测量、制作等面是指位于同一平面内的点的集合。 - 平面垂直是指两个平面在它们交线上的垂线相交。 - 平面垂直的判断方法有多种，应用广泛。
《平面与平面垂直》PPT 课件
探索平面与平面垂直的奇妙世界。了解什么是平面，什么是平面垂直，以及 它们在不同领域中的应用。
什么是平面？
平面是指位于同一平面内的、无限多的点的集合。它没有方向，只有长度和宽度。
什么是平面垂直？
平面垂直是指两个平面在它们交线上的垂线相交，它们互相垂直。
如何确定平面垂直？
平面与平面垂直ppt课件
如图所示，因为 ⊥ 平面 ， ⊂ 平面 ，所以 C⊥ ，
又 △ 为等边三角形，所以 C⊥ ，
又 , ⊂ 平面 ， ∩= ，所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中， , 分别为 , 的中点，所以 =1/2 ，
又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， ⊂ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图，已知三棱锥−的各棱长均为2，求二面角−−的余弦值.
【解析】如图，取 CD 的中点为 M ，连接 AM ， BM ，则 AM ⊥ CD ， BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心，
则 AH ⊥ 平面 BCD ，且点 H 在 BM 上.
足分别为 ， .若 ∠=80° ，则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示，在四棱锥 − 中，底面 是矩形，侧面 ⊥ 底面 ，
求证：平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形，所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ，所以 AD ⊥ BD ，
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中，因为 AC = AD ，所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
又 △ 为等边三角形，所以 C⊥ ，
又 , ⊂ 平面 ， ∩= ，所以 C⊥ 平面 .
又在 △ 中， , 分别为 , 的中点，所以 =1/2 ，
又平面 ⊥ 平面 ，
平面 ∩ 平面 = ， ⊂ 平面 ，
所以 ⊥ 平面 .
又因为 ⊂ 平面 ,
所以平面 ⊥ 平面 .
课堂小结
1.知识清单：
(1)二面角以及二面角的平面角.
(2)平面与平面垂直的判定定理.
(3)平面与平面垂直的性质定理.
例题1 如图，已知三棱锥−的各棱长均为2，求二面角−−的余弦值.
【解析】如图，取 CD 的中点为 M ，连接 AM ， BM ，则 AM ⊥ CD ， BM ⊥ CD .
由二面角的定义可知 ∠AMB 为二面角 A − CD − B 的平面角.
设 H 是 △ BCD 的重心，
则 AH ⊥ 平面 BCD ，且点 H 在 BM 上.
足分别为 ， .若 ∠=80° ，则二面角 −− 的大小为______.
100°
随堂检测
4.如图所示，在四棱锥 − 中，底面 是矩形，侧面 ⊥ 底面 ，
求证：平面 ⊥ 平面 .
【解析】因为底面 是矩形，所以 ⊥ .
所以 BD ⊥ 平面 ACD .
因为 AD ⊂ 平面 ACD ，所以 AD ⊥ BD ，
所以 ∠ADC 为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
1
2
在 Rt △ ACD 中，因为 AC = AD ，所以 ∠ADC = 30∘ .
新知生成
知识点二 平面与平面垂直的判定定理
(1)文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
《平面与平面垂直(2)》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
解：
②③
3
解：如图，∠ABD=∠ABC=∠CBD=90°，∵，∴，又，∴，同理可得，.
假设，过D做，垂足为M，∴，又，∴DM∥BD，显然不成立，故假设不成立，平面ABC与平面ADC不垂直，同理，平面ADC与其他平面也不垂直，故一个三棱锥的四个面中最多有3对面面垂直.
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
证明：
（1）连接AC、OE，∵底面ABCD是正方形，∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点.又点E是PC的中点，∴OE∥AP.又，∴PA∥平面BDE.
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
是的.故长方体中相邻的两个面都是互相垂直的.
将正方形ABCD沿着对角线BD折起,如何使得平面ABD与平面CBD垂直？
要使面面垂直，只需平面ABD和平面CBD所成的二面角的平面角为直角即可．
如何构造二面角的平面角？
连接AC交BD于点O，可得AO、CO都与BD垂直，则当正方形折起时，∠AOC即平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角．
如果一条平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
若则.
符号语言
平面与平面垂直的判定定理
现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直.
为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？
②③
3
解：如图，∠ABD=∠ABC=∠CBD=90°，∵，∴，又，∴，同理可得，.
假设，过D做，垂足为M，∴，又，∴DM∥BD，显然不成立，故假设不成立，平面ABC与平面ADC不垂直，同理，平面ADC与其他平面也不垂直，故一个三棱锥的四个面中最多有3对面面垂直.
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
证明：
（1）连接AC、OE，∵底面ABCD是正方形，∴AC与BD交于中心O点，O为AC、BD中点.又点E是PC的中点，∴OE∥AP.又，∴PA∥平面BDE.
如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点.求证：（1）PA∥平面BDE；（2）平面PAC⊥平面PBD.
是的.故长方体中相邻的两个面都是互相垂直的.
将正方形ABCD沿着对角线BD折起,如何使得平面ABD与平面CBD垂直？
要使面面垂直，只需平面ABD和平面CBD所成的二面角的平面角为直角即可．
如何构造二面角的平面角？
连接AC交BD于点O，可得AO、CO都与BD垂直，则当正方形折起时，∠AOC即平面ABD与平面CBD所成二面角的平面角．
如果一条平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.
若则.
符号语言
平面与平面垂直的判定定理
现在你能解释为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直吗？
不管门如何旋转，门所在的平面始终经过地面的垂线(门轴所在的直线)，由面面垂直的判定定理可得，门所在的平面始终与底面垂直.
为什么教室的门转到任何位置时，门所在的平面都与地面垂直？
《平面与平面垂直》课件
平面与平面垂直的性质定理的推论
推论1
证明
如果一个直线与两个互相垂直的平面都垂 直，那么这条直线与这两个平面的交线也 垂直。
由于直线与两个平面都垂直，所以这条直 线与这两个平面的二面角都是直角。因此 ，这条直线与这两个平面的交线也垂直。
推论2
证明
如果一个直线与两个相交的平面都平行， 那么这条直线与这两个平面的交线也平行 。
解答题
结合平面与平面的平行和垂直 关系，解答有关空间几何的问
题。
THANKS.
选择题
若平面与平面垂直，则它们的 法线之间的夹角是锐角、直角
还是钝角？
简答题
简述平面与平面垂直的判定定 理。
综合练习题
解答题
综合运用平面与平面垂直的性 质和判定定理，判断两个给定
平面是否垂直。
应用题
结合实际生活，举例说明平面 与平面垂直的应用场景。
证明题
证明一个给定平面与另一个已 知垂直的平面垂直。
《平面与平面垂直》 ppt课件
目 录
• 平面与平面垂直的定义 • 平面与平面垂直的性质 • 平面与平面垂直的判定定理 • 平面与平面垂直的应用 • 练习题
平面与平面垂直的
01
定义
平面与平面垂直的文字定义
平面与平面垂直
如果一个平面中的任意一条直线 都与另一个平面垂直，则这两个 平面互相垂直。
平面与直线垂直
平面与平面垂直的判定定理的符号表述
符号表示
设两个平面分别为α和β，交线为l。选取直线a、b在平面α内，且a、b相交于 点A。如果直线a、b都与平面β垂直，则表示为a⊥β，b⊥β。
符号表述的详细解释
在数学符号表示中，如果一个直线或平面与另一个平面垂直，则用符号⊥来表 示。因此，如果直线a和b都与平面β垂直，则表示为a⊥β和b⊥β。
相关主题
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练习：在四面体ABCD中，BD= 2a ， 练习：在四面体 中
AB=AD=BC=CD=AC=a， ，
你能作出二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角吗？ 你能作出二面角Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角吗？ Ａ－ＢＤ－Ｃ的平面角吗
A
平面ABD⊥平面BCD? ⊥平面 平面
B
E
D
C
思考： 思考：在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,
l
β
α
符号表示: 符号表示
l ⊥ β ,l ⊂ α ⇒ α ⊥ β
推到
作用: 作用 线面垂直
面面垂直
建筑工人砌墙时， 建筑工人砌墙时 ， 常用一端系有铅锤的 线来检查所砌的墙面是否和地面垂直． 线来检查所砌的墙面是否和地面垂直．
例１：正方体ABCD-A1B1C1D1中 正方体
求证: 求证 面ACC1A1 ⊥ 面BDD1B1
D1 A1 B1 C1
D A B
C
思考： 思考：在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,
AB⊥BC, 求证:平面PBC⊥平面PAB P 图上还有哪些平面互相垂直？ 图上还有哪些平面互相垂直？
A B
C
问题2: 问题
1、当平面α//平面 时，平面 里面的任意一条直 、当平面 平面 平面β时 平面α里面的任意一条直 线和平面β都 平行. 线和平面 都 平行 2、当平面α⊥平面 时，平面 里面的任意一条直 、当平面 ⊥平面β时 平面α里面的任意一条直 线和平面β都 垂直吗？ 线和平面 都 垂直吗？ α
①定义法 ②根据面面垂直的判定定理
作业： 作业 P44 习题 1.2(3)
5, 6, 7
复习回顾: 复习回顾:
二面角: 二面角 一直线和由这条直线出发的两个半 平面所组成的图形叫做二面角. 平面所组成的图形叫做二面角 α L 二面角的平面角 βpAFra bibliotekB直二面角
两个平面垂直的定义： 两个平面垂直的定义：
如果两个平面所成的二面角是直二面角, 如果两个平面所成的二面角是直二面角,
平面互相垂直. 那么就说这两个平面互相垂直.
α
A D β C B E
推到
作用: 作用 面面垂直
线面垂直
思考：在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面 思考：在三棱锥 中 ⊥平面ABC,
AB⊥BC, ⊥ (1)求证 平面 求证:平面 求证 平面PBC⊥平面 ⊥平面PAB (2)若PA=AB=a,求A到平面 若 到平面PBC的距离 求 到平面 的距离 P
m n β
3、当平面α⊥平面 时，平面 里哪些直线垂 、当平面 ⊥平面β时 平面α里哪些直线垂 直于平面β? 直于平面 的直线垂直于平面β. 猜想：平面α里垂直于交线 的直线垂直于平面 猜想：平面 里垂直于交线 n的直线垂直于平面
两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直的性质定理： 性质定理
如果两个平面垂直， 如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂 直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 直于它们交线的直线垂直于另一个平面
AB⊥BC, 求证:平面PBC⊥平面PAB P
D E
F
A B
C
两平面垂直的判定与性质
兴化市文正实验学校高一数学组
数学建构: 数学建构
问题1:感知教室的门所在平面与地面 问题 的位置关系如何？
两个平面垂直的判定定理： 两个平面垂直的判定定理：
如果一个平面经过另一个平面的一条 垂线，那么这两个平面互相垂直． 垂线，那么这两个平面互相垂直． 图形表示: 图形表示
D
A
C B
思考： 思考：设平面 α ⊥平面 β ，点P在平面 α
内，过点P作平面 β 的垂线a，直线a与平 面 α 具有什么位置关系?
α α
． P
β β
． P
归纳小结： 归纳小结：
1.两个平面垂直的判定定理和性质定理 两个平面垂直的判定定理和性质定理 2.面面垂直与线面垂直的相互转化 面面垂直与线面垂直的相互转化 面面垂直与线面垂直的相互 3.判定面面垂直的方法 判定面面垂直的方法