7 平行四边形

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数学八下平行四边形的性质和判定

3.如图，在三角形ABC中，BD平分角ABC，DE平行于BC 交AB于点E，EF平行于AC于点F。试说明BE和CF的数量关系，并说明理由。
4. 如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，点E,F分别在 CD,AB的延长线上，且AE=AD,CF=CB . (1)求证：四边形AFCE是平行四边： (2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°”，上述的结论还成立吗？若成立，请写出证明，若不成立，请说明理由。
初中数学八年级下册
平行四边形的性质和判定
习课
一、平行四边形知识结构及要点小结平行四边形定义：有两组对边分别平行的四边形是平行四边形。性质：
1.平行四边形的两组对边分别平行。(定义) 2.平行四边形的两组对边分别相等。 3.平行四边形的两组对角分别相等。 4.平行四边形的两条对角线互相平分。
5.把两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的
平行四边形的个数是
个。
6.平面上有不在同一直线上的三个点A、B、C，以这三个点为
顶点的平行四边形有
个。
7.如图，AD是△ABC的中线，求证：AB+AC＞2AD
A
B
C
D
8.如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D是BC上一点，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，解答下列问题： ①如图1，当点D在BC上时，有DE+DF=AB，请你说明理由。 ②如图2，当点D在BC的延长线上时，请你参考图1画出正确的图形，写出DE,DF,AB之间的关系，并写出证明过程。
二、习题讲解
1.如图,四边形ABCD是平行四边形过点A的直线分别交 CD,CB的延长线于E,F点,且∠EAD=∠BAF. (1)判断△CEF的形状，并说明理由； (2)△CEF的哪两条边之和恰好等于平行四边形ABCD的周长？为什么？

平行四边形

3.(2014·贺州中考)如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线BD上的点，∠1=∠2. (1)求证：BE=DF. (2)求证：AF∥CE.
【证明】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD， ∴∠5=∠3，∵∠1=∠2，∴∠AEB=∠4，在△ABE和△CDF中， ∠AEB=∠4， ∠3=∠5，
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.∵点F在 CB的延长线上，∴AD∥CF，∴∠ADE=∠BFE.∵点E是AB边的中点，∴AE=BE.在△ADE与△BFE中，∠ADE=∠BFE， ∠DEA=∠FEB，AE=BE，∴△ADE≌△BFE.
(2)CE⊥DF.理由如下：由(1)知，△ADE≌△BFE， ∴DE=FE，即点E是DF的中点，又∠1=∠2. DF平分∠ADC，∴∠1=∠3，∴∠3=∠2，∴CD=CF，∴CE⊥DF.
【解析】可根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，添加 AD=BC ；或根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，添加AB∥DC. 答案：答案不唯一；AD=BC(或者AB∥DC)
3.(2014·云南中考)如图，在平行四边形ABCD中，∠C=60°， M，N分别是AD，BC的中点，BC=2CD. (1)求证：四边形MNCD是平行四边形. (2)求证：BD= 3 MN.
【真题专练】 1.(2014·河南中考)如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC. 若AB=4，AC=6，则BD的长是 A.8 B.9 ( C.10 ) D.11
1 【解析】选C.根据平行四边形的性质，OA= 1 AC= ×6=3， 2 2
AB=4，由勾股定理，得 OB=5，∴BD=2OB=2×5=10.
AB=CD， ∴△ABE≌△CDF，∴BE=DF.

二年级数学上册苏教版第二单元第2课《认识平行四边形》教案

二年级数学上册苏教版第二单元第2课《认识平行四边形》教案一. 教材分析《认识平行四边形》是苏教版二年级数学上册第二单元的第2课。

本节课主要让学生初步理解平行四边形的特征，能够识别和命名平行四边形，并通过观察和操作活动，培养学生的空间观念和动手操作能力。

二. 学情分析二年级的学生已经学习了简单的图形知识，具备了一定的观察和操作能力。

但是对于平行四边形的认识还比较模糊，需要通过实物和图形来帮助他们理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生能够识别和命名平行四边形。

2.让学生通过观察和操作活动，理解平行四边形的特征。

3.培养学生的空间观念和动手操作能力。

四. 教学重难点1.重点：让学生能够识别和命名平行四边形，理解平行四边形的特征。

2.难点：理解平行四边形的特征，能够灵活运用。

五. 教学方法采用情境教学法、观察操作法、小组合作法等，让学生在实际操作和交流中，理解和掌握平行四边形的特征。

六. 教学准备1.教具：平行四边形的实物模型、图形卡片、剪刀、彩笔等。

2.学具：每个学生准备一份平行四边形的实物模型或图形卡片。

七. 教学过程导入（5分钟）教师通过展示平行四边形的实物模型，引导学生观察和描述，让学生初步感受平行四边形的特点。

呈现（10分钟）教师通过图形卡片，展示各种不同的平行四边形，让学生观察和比较，引导学生发现平行四边形的特征。

操练（10分钟）学生分组活动，每组用剪刀剪出一个平行四边形，然后用彩笔在平行四边形上标出对边和对角线，通过实际操作，加深对平行四边形的理解。

巩固（10分钟）教师出示一些平行四边形的图形，让学生判断和命名，巩固对平行四边形的认识。

拓展（10分钟）教师引导学生思考：平行四边形还有什么其他的特征？学生通过观察和操作，发现平行四边形的其他特征，如容易变形等。

小结（5分钟）教师引导学生总结本节课所学的内容，让学生明确平行四边形的特征。

家庭作业（5分钟）教师布置作业，让学生画出一个平行四边形，并标出对边和对角线。

平行四边形的判定定理

平行四边形的判定定理平行四边形是一种特殊的四边形，具有以下特点：对边平行且对角线相等。

在数学中，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法。

方法一：利用对边平行的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以先利用对边平行的性质进行判断。

步骤：1.检查边AB和边CD是否平行。

2.检查边BC和边AD是否平行。

如果边AB和边CD以及边BC和边AD都是平行的，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法二：利用对角线相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，可以利用对角线相等的性质进行判断。

步骤：1.计算对角线AC的长度。

2.计算对角线BD的长度。

如果对角线AC的长度等于对角线BD的长度，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

方法三：利用对边比例相等的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，还可以利用对边比例相等的性质进行判断。

步骤：1.计算边AB与边CD的长度比（AB/CD）。

2.计算边BC与边AD的长度比（BC/AD）。

如果边AB与边CD的长度比等于边BC与边AD的长度比，即AB/CD = BC/AD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。

方法四：利用四个角的性质判定一个四边形ABCD是否为平行四边形时，也可以利用四个角的性质进行判断。

步骤：1.检查角A与角C是否相等。

2.检查角B与角D是否相等。

如果角A与角C相等，并且角B与角D相等，则可以断定四边形ABCD是一个平行四边形。

总结通过以上四种方法，我们可以判定一个四边形是否为平行四边形。

可以根据实际情况选择其中一种或多种方法来进行判定，以便快速准确地得出结论。

请注意，以上的判定定理仅适用于四边形，其他多边形无法用这些方法判定是否为平行四边形。

在实际应用中，合理选择合适的方法，结合几何定理，可以更好地解决相关问题。

希望本文能对你理解和应用平行四边形的判定定理有所帮助。

苏教版四年级数学下册第7单元《三角形、平行四边形和梯形》单元复习知识点归纳总结

一、三角形1.认识三角形:(1)生活中的三角形:生活中的三角形无处不在,如大桥的桥柱、斜拉索与桥面可以组成三角形。

生活中一些物体的包装盒的面,一些积木的面等都是三角形。

(2)画三角形:(步骤)①先画一条线段。

②再以第一条线段的一个端点为端点画第二条线段。

③最后连接另两个端点,围成封闭图形。

(3)三角形的特点:①三角形有3条边、3个角和3个顶点。

②三角形的3条边都是线段。

③三角形的三条线段要首尾相接地围起来。

(4)三角形的定义:三条线段首尾相接围成的图形叫作三角形。

(5)三角形各部分的名称:①围成三角形的三条线段就是三角形的边,每两条边所组成的角就是三角形的角,每个角的顶点就是三角形的顶点。

②三角形有3个顶点、3条边和3个角。

要点提示:三角形具有稳定性。

三角形是由三条线段首尾相接围成的图形。

易错点:过同一条直线上的3个点不能画出三角形;围成三角形的3个顶点不能在同一条直线上。

要点提示:如果有三条线段,而没有说是首尾相接围成的图形,就不是三角形。

(6)认识三角形的底和高:①从三角形的一个顶点到对边的垂直线段是三角形的高,这条对边是三角形的底。

(7)三角形高的画法:通常用三角尺画三角形的高。

①把三角尺的一条直角边与指定的底边重合。

②沿底边平移三角尺,直到另一条直角边与该底边相对的顶点重合。

③再从该顶点沿三角尺的另一条直角边向底边画一条虚线段,这条虚线段就是三角形的高。

④最后标上直角符号。

(8)解决问题:①运用类推法解决数三角形的问题:从三角形的一个顶点向对边引若干条线段,将三角形分成了若干个小三角形,所分成的三角形的个数与对边上的线段的条数相等。

如果对边被分成n段,则三角形有【n+(n-1)+(n-2)+…+1】个。

②运用分析法解决求用时最短的路线问题:要想使每次走的路线最短,就应从每个顶点向与对面路垂直的方向走,即点到对边的垂直线段最短。

2.三角形的三边关系:(1)在拼成的三角形中,任意两根小棒的长度一定大于第三根小棒的长度。

苏教版四年级数学下册第七单元《三角形、平行四边形和梯形》教案

苏教版四年级数学下册第七单元《三角形、平行四边形和梯形》教案一. 教材分析苏教版四年级数学下册第七单元《三角形、平行四边形和梯形》主要让学生认识三角形、平行四边形和梯形，掌握它们的特征，学会分类和识别。

此单元的内容与学生的生活实际紧密相连，有利于培养学生的空间观念和几何思维。

二. 学情分析四年级的学生已经掌握了平面图形的初步知识，对图形有了初步的认识。

但在三角形、平行四边形和梯形的认识方面，部分学生可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的个体差异，针对不同层次的学生进行教学，提高他们的空间观念和几何思维能力。

三. 教学目标1.让学生认识三角形、平行四边形和梯形，理解它们的特征。

2.培养学生动手操作、观察、思考、表达和交流的能力。

3.培养学生的空间观念和几何思维，提高解决问题的能力。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握三角形、平行四边形和梯形的特征，学会分类和识别。

2.教学难点：三角形、平行四边形和梯形的性质和分类。

五. 教学方法采用情境教学法、合作学习法、探究学习法、直观演示法等，引导学生通过观察、操作、思考、交流、总结，提高学生的学习兴趣和积极性。

六. 教学准备1.准备三角形、平行四边形和梯形的模型或图片。

2.准备黑板、投影仪等教学设备。

3.准备练习题和作业。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用图片或实物，引导学生观察三角形、平行四边形和梯形，激发学生的学习兴趣。

提问：你们在哪里见过这些图形？它们有什么特点？2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，展示三角形、平行四边形和梯形的定义和特征。

引导学生关注它们之间的关系，并用直观的图形进行展示。

3.操练（10分钟）学生分组进行操作，用量角器、直尺等工具测量三角形、平行四边形和梯形的各个角度和边长。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）学生独立完成练习题，教师及时批改，指出错误并给予讲解。

提问：你们能区分三角形、平行四边形和梯形吗？它们有什么相同点和不同点？5.拓展（10分钟）引导学生思考：在生活中，我们还见过哪些平面图形？它们有什么特点？学生举例说明，分享自己的发现。

第06讲平行四边形的性质(原卷版)-【寒假自学课】2023年八年级数学寒假精品课(人教版)

第06讲平行四边形的性质【学习目标】1．理解平行四边形及平行线间的距离的概念． 2．掌握平行四边形的性质，并能灵活运用解决问题．【基础知识】1．平行四边形的定义两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形．平行四边形用符号“”表示；如图，平行四边形ABCD 记作“ABCD ”，读作“平行四边形ABCD ”．注意：平行四边形的表示一定要按顺时针或逆时针依次注明各顶点． 2．平行四边形的基本元素：边、角、对角线基本元素主要内容图示边邻边 AD 和AB ，AD 和DC ，DC 和BC ，BC 和AB ，共有四对对边 AB 和DC ，AD 和BC ，共有两对角邻角BAD ∠和ADC ∠，ADC ∠和DCB ∠，DCBADCB ∠和ABC ∠，DAB ∠和ABC ∠，共有四对对角 BAD ∠和BCD ∠，ADC ∠和ABC ∠，共有两对对角线AC 和BD ，共有两条性质符号语言图示边平行四边形的两组对边分别平行且相等∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC =，AD BC ∥，AB CD =，AB CD ∥角平行四边形的对角相等，邻角互补 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BAD BCD ∠=∠，ABC ADC ∠=∠，∴180ABC BAD ∠+∠=︒，180ABC BCD ∠+∠=︒，180BCD ADC ∠+∠=︒， 180ADC BAD ∠+∠=︒对角线平行四边形的对角线互相平分∵四边形ABCD 是平行四边形，∴12OA OC AC ==，12OB OD BD ==OD CBAOD CBAODCBAOD CBA（2）平行四边形的两条对角线将平行四边形分成的四个三角形中，相对的两个三角形全等，且四个三角形的面积相等；相邻的两个三角形的周长差等于平行四边形相应的邻边之差；（3）平行四边形的对角线交点是平行四边形的中心，经过中心的任意一条直线可以将平行四边形分成完全重合的两个图形． 4．两条平行线之间的距离（1）定义：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离．（2）性质：①两条平行线之间的距离处处相等；②夹在两条平行线间的平行线段相等．（3）作图方法：如图，直线a b ∥，在直线a 上任取一点A ，过A 向直线b 作垂线，垂足为B ，则线段AB 的长即为a ，b 两条平行线之间的距离．注意：①距离是指垂线段的长度，它是正值； ②当两条平行线确定后，它们之间的距离是一个定值；③平行线间的距离处处相等，因此在作平行四边形的高时，可以根据需要灵活选择位置．【考点剖析】考点一：运用平行四边形的边角性质进行计算例1．（1）已知平行四边形ABCD 中，A ∠比B ∠小40︒，求C ∠的度数．BAba（2）已知平行四边形相邻两条边的长度之比为3:2，其中较短边的长度为4cm ，求平行四边形周长．考点二：运用平行四边形的边角性质进行证明例2．如图，BD 是平行四边形ABCD 的对角线，点E ，F 在BD 上，且BF DE =，连接AE ，CF ．求证：AE CF ∥．考点三：平行线之间的距离例3．如图：AB CD ∥，AD BC ∥，5AD =，8BE =，DCE 的面积为6，则四边形ABCD 的面积为．考点四：平行线对角线的性质例4．如图，平行四边形ABCD 的周长为20cm ，对角线AC 、BD 相交于点O ，若BOC 的周长比AOB 的周长大2cm ，则AB = cm ．考点五：平行线对角线的性质的应用例5．如图①，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，EF 过点O 与AB ，CD 分别相交于点E ，F ．（1）求证：BE DF =；（2）若图中的条件都不变，将EF 转动到图②的位置，那么上述结论是否成立？说明理由．【真题演练】1．在ABCD 中，60B ∠=︒，那么下列各式中成立的是（） A ．180A C ∠+∠=︒ B ．60D ∠=︒ C ．100A ∠=︒D ．180B D ∠+∠=︒2．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 交于点O ，若10AC =，6BD =，则边AB 的长度可能是（）A ．2B ．4C ．8D ．123．如图，在ABCD 中，BM 是ABC ∠的平分线，交CD 于点M ，2MC =，7AD DC +=，则DM 等于（）A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，在ABCD 中，BC 长为4，ABC ∠的平分线交AD 于点E ，若E 恰好是AD 的中点，AG BE ⊥，垂足为G ，若1AG =，则BE 的长为．5．如图，在平行四边形ABCD 中，3AB =，8BC =，60ABC ∠=︒，F 为BC 中点，E 为CD 延长线上一点，若AF 平分BAE ∠，则DE = ．6．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，25BC =5AC =D 在AB 上，1AD =，现将一个足够大的三角板的直角顶点与点D 重合，并绕着点D 转动，三角板的两直角边分别与AC 、BC 交于点E 、F ，连结EF ，以ED 、EF 为邻边作平行四边形DEFG ，在转动过程中，当线段EF 的长度最小时，平行四边形DEFG 的面积为．7．如图，在ABCD 中，点E 是BC 边上的一点，且DE BC =，过点A 作AF CD ⊥于点F ，交DE 于点G ，连接AE 、EF ．（1）若AE 平分BAF ∠，求证：BE EG =；（2）在（1）的条件下，若70B ∠=︒，求CDE ∠的度数．8．已知：在平行四边形ABCD 中，过点C 作CH AB ⊥，过点B 作AC 的垂线，分别交CH 、AC 、AD 于点E 、F 、G ，且ABC BEH ∠=∠，BG BC =，连接HF ，证明：2HA HF HE =-．【过关检测】1．如图，在平行四边形ABCD 中，60B ∠=︒，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，若80AED ∠=︒，则ACE ∠的度数是（）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．45︒2．如图，平行四边形ABCD 中，点O 为对角线AC 的中点，直线l 经过点O 分别与BC ，AD 交于点M ，N ，下列结论中，不一定成立的是（）A ．B D ∠=∠ B ．BM AN =C ．AN CM =D ．OM ON = 3．如图，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别是()0,1，()2,2--，()2,2-，则顶点D 的坐标是（）A ．()1,4B ．()4,2C ．()4,1D ．()4,1-4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，若10AC =，6BD =，4BC =，则平行四边形ABCD 的面积为．5．平行四边形的两条对角线分别为6和8，则该平行四边形的一条边x 的取值范围为．6．已知：a b c ∥∥，a 与b 之间的距离为4cm ，b 与c 之间的距离为3cm ，则a 与c 之间的距离为．7．如图，在ABCD 中，过对角线BD 上一点P 作EF BC ∥，GH AB ∥，若ABCD 的面积为16，且:1:3AH HD =．则图中阴影部分的面积为．8．如图，在ABCD 中，BD AD ⊥，45A ∠=︒，E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE DF =， EF 交BD 于点O ．（1）求证：BO DO =；（2）若EF AB ⊥，延长EF 交AD 的延长线于点G ，2FG =AD 的长．9．如图，在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，OE AC ⊥交CD 于E 点．（1）求证：OA 平分BAE ∠；（2）若平行四边形ABCD 的周长为20，求ADE 的周长．10．如图，在平行四边形ABCD 内有一点E ，且90CBE CDE ∠=∠=︒．（1）请在下面三个结论中，选出一个正确的结论并证明：①2BED ABE ∠=∠；②90BED ABE ∠-∠=︒；③90BED CBD ∠-∠=︒．（2）若BD 平分CDE ∠，求证：BC BE =．。

7.平行四边形的特性知识点微课

归纳总结
平行四边形具有不稳定性，生活中有很多地方都应用了平行四边形的不稳定性。如伸缩门、升降机等。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
平行四边形的特性
课前预习
以前我们认识了三角形，说一说什么样的图形叫三角形，三角形有什么特性？
三条线段围成的封闭图形叫做三角形，三角形具有稳定性。
知识点讲解
平行四边形的特性
用四根吸管串成一个长方形，然后用两手捏住长方形的两个对角，向相反方向拉。
两组对边有什么变化？拉成了什么图形？
拉成了不同的平行四边形

平行四边形的判定方法

平行四边形的判定方法
平行四边形是指具有两组对边分别平行的四边形，它是几何学中的基本图形之一。

在日常生活和工程实践中，我们经常需要判定一个四边形是否为平行四边形。

下面将介绍几种判定平行四边形的方法。

1. 对角线互相平分。

判定一个四边形是否为平行四边形的一个简单方法是检查其对角线。

如果一个四边形的对角线互相平分，即相交于中点，那么这个四边形就是平行四边形。

这是因为平行四边形的对角线互相平分是其特征之一。

2. 对边互相平行。

平行四边形的定义就是具有两组对边分别平行的四边形。

因此，判定一个四边形是否为平行四边形的方法之一就是检查其对边是否互相平行。

如果一个四边形的对边分别平行，则它就是平行四边形。

3. 对角线长度相等。

另一个判定平行四边形的方法是检查其对角线的长度。

如果一个四边形的对角线长度相等，那么它就是平行四边形。

这是因为平行四边形的对角线长度相等是其特征之一。

4. 内角相等。

最后一个判定平行四边形的方法是检查其内角是否相等。

如果一个四边形的内角相等，那么它就是平行四边形。

这是因为平行四边形的内角相等是其特征之一。

综上所述，判定一个四边形是否为平行四边形有多种方法，可以根据具体情况选择合适的方法进行判定。

在实际应用中，可以结合多种方法进行判定，以确保结果的准确性。

希望以上介绍能够帮助您更好地理解和判定平行四边形。

(学生版)第7讲平行四边形

第7讲平行四边形知识点1 一般的平行四边形1. 平行四边形的性质与判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.平行四边形的性质：如图，已知▱ABCD.则①AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，AD=BC;②∠DAB=∠DCB,∠ADC=∠ABC;③OA=OC,OB=OD.拓展：①平行四边形的邻角互补；②平行四边形具有中心对称性（自身旋转180°后与原图形重合）.平行四边形的判定方法：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.2. 两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离.如图：AB∥CD，EF⊥CD.EF是平行线AB，CD之间的距离.结论：两条平行线之间的距离处处相等.拓展：同底（等底）等高（同高）的平行四边形面积相等.3. 三角形的中位线图形：D，E分别为△ABC的边AB，AC的中点.定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.（DE）中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.（DE∥BC，且DE=BC）注：三角形的中位线定理可利用平行四边形的性质与判定进行证明.（见课本P48探究）拓展：梯形的中位线（两腰中点的连线）等于上底加下底和的一半. （连接梯形一条对角线，由中位线定理可证）【典例】1.如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E，F分别是AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD的延长线交于点M，N．求证：∠BME=∠CNE.（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）2.如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，AE=CF，连接AF，BF，DE，CE，分别交于H、G．求证：（1）四边形AECF是平行四边形．（2）EF与GH互相平分．【方法总结】经典模型：如图，E，F分别是四边形ABCD的边AD，BC的中点，连接FE并延长，分别与BA，CD 的延长线交于点M，N．若AB=CD，则∠BME=∠CNE.方法：要证明线段（或角）相等、两直线平行等，若这两条线段在一个四边形中，一般先判定这个四边形为平行四边形，然后再利用平行四边形的性质去解决.【随堂练习】1.如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD相交于点O，若S△ABD=10cm2，S△ACD为（）A. 5B. 10C. 20D. 无法确定2.如图所示，在四边形ABCD中，AD=BC，P是对角线BD的中点，M是DC的中点，N 是AB的中点．则△PMN的形状是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 等腰直角三角形D. 任意三角形3.如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC=7，则MN的长度为（）A. B. 2 C. D. 34.如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是（）A. 8B. 9C. 10D. 115.如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD+PE+PF=（）A. 8B. 6C. 4D. 36.如图，在平行四边形ABCD中，AB=6cm，AD=10cm，点P在AD 边上以每秒1cm的速度从点A向点D运动，点Q在BC边上，以每秒4cm的速度从点C出发，在CB间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止（同时点Q也停止），在运动以后，以P、D、Q、B四点组成平行四边形的次数有（）A. 1 次B. 2次C. 3次D. 4次知识点2 矩形矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.如图：矩形ABCD.1. 矩形的性质矩形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：①矩形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）②矩形的对角线相等；（AC=BD）③对称性：矩形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是对边中点的连线）推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.（在Rt△ADC中，DO为斜边AC的中线，则DO=AC）拓展：若三角形一边上的中线等于该边的一半，则该三角形为直角三角形.2. 矩形的判定矩形的判定方法：①有一个角时直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③三个角都是直角的四边形是矩形.3. 拓展矩形的两条对角线把矩形分成四个面积相等的等腰三角形.【典例】1.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P为BC边上一动点，PG⊥AC于点G，PH⊥AB于点H．（1）求证：四边形AGPH是矩形；（2）在点P的运动过程中，GH的长度是否存在最小值？若存在，请求出最小值，若不存在，请说明理由．【方法总结】方法：矩形的两条对角线相等，当求其中一条对角线的长（最小值或取值范围）时，可以转化为求另一条对角线的长（最小值或取值范围）.总结：证明一个四边形是不是矩形，有两条证明思路：①直接证明（证明该四边形有3个直角）；②先证该四边形为平行四边形，再证明它是矩形（有一个角相等或对角线相等）.【随堂练习】1.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC=10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF=1．若∠AFC=90°，则BC的长度为（）A. 10B. 12C. 14D. 162.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点E，点F分别是AC，BC的中点，D是斜边AB上一点，则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是（）A. ∠ACD=∠BCDB. AD=BDC. CD⊥ABD. CD=AC3.矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC=EF=2，CD=CE=1，则GH的值为（）A. 1B.C.D.4.如图：点P是Rt△ABC斜边AB上的一点，PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，BC=15，AC=20，则线段EF的最小值为（）A. 12B. 6C. 12.5D. 25知识点3 菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. 如图：菱形ABCD.1. 菱形的性质菱形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有自己特有的性质，如下：①菱形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；（AC⊥BD，AC是∠DAB 和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA的角平分线）③对称性：菱形是一个轴对称图形，它有两条对称轴.（对称轴是它的两条对角线所在的直线（AC，BD））2. 菱形的判定菱形的判定方法：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边相等的四边形是矩形.3. 拓展①菱形的两条对角线把菱形分成四个全等的直角三角形；②菱形的面积等于两对角线乘积的一半.【典例】1.如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AE∥BD，BE∥AC，OE=CD.（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）若OE=2，OA=1，求四边形ABCD的面积．【方法总结】方法：判定一个四边形是不是菱形，从2个角度出发：①四边形，直接证明四条边都相等或对角线互相垂直平分；②先证四边形为平行四边形，再证有一组邻边相等或对角线互相垂直. 【随堂练习】1.如图，已知四边形ABCD的四边相等，等边△AMN的顶点M、N分别在BC、CD上，且AM=AB，则∠C为（）A. 100°B. 105°C. 110°D. 120°2.如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于点E，∠ABC的平分线交AD于点F．若BF=12，AB=10，则AE的长为（）A. 10B. 12C. 16D. 183.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿射线BC向右平移到△DCE，连接AD、BD，下列结论错误的是（）A. AD=BCB. BD⊥DEC. 四边形ACED是菱形D. 四边形ABCD的面积为4知识点4 正方形正方形：有一组邻边相等，且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形. 如图：正方形ABCD.1. 正方形的性质正方形除了具有平行四边形的所有性质外，还具有矩形和菱形的所有性质，如下：①正方形的对边平行且相等；（AB∥CD，AB=CD；BC∥AD，BC=AD）②正方形的四条边都相等；（AB=BC=CD=AD）③正方形的四个角都是直角；（∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠CBA=90°）④正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；（AC=BD，AC⊥BD，OA=OB=OC=OD，AC是∠DAB和∠DCB的角平分线，BD是∠ADC和∠CBA 的角平分线）⑤对称性：正方形是一个轴对称图形，它有四条对称轴.（对称轴是它对边中点的连线和它的两条对角线所在的直线（AC，BD））2. 正方形的判定正方形的判定方法：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形.判定正方形的思路图：3. 拓展正形的两条对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形.【典例】1.如图，已知四边形ABCD为正方形，AB=，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE．交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）求证：矩形DEFG是正方形；（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．【方法总结】正方形的证明思路：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形是菱形；②先判定四边形是菱形，在判定这个菱形是矩形.【随堂练习】1.平行四边形ABCD的对角线交于点O，有五个条件：①AC=BD，②∠ABC=90°，③AB=AC，④AB=BC，⑤AC⊥BD，则下列哪个组合可判别这个四边形是正方形（）A. ①②B. ①③C. ①④D. ④⑤2.如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下面四个结论：①OA=OD；②AD⊥EF；③当∠BAC=90°时，四边形AEDF是正方形；④AE2+DF2=AF2+DE2．其中正确的是（）A. ②③B. ②④C. ②③④D. ①③④3.如图，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，正确结论的个数为（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4.如图，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形外一动点，∠AED=45°，P为AB的中点，当E运动时，线段PE的最大值为（）A. 4B.C. 2+2D. 2+2知识点4 中点四边形1. 中点四边形：顺次连接四边形各边中点所得的四边形，我们称之为中点四边形.如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD各边的中点，则四边形EFGH为中点四边形.2. 常见中点四边形①四边形的中点四边形为平行四边形；②矩形的中点四边形为菱形；③菱形的中点四边形为矩形；④正方形的中点四边形为正方形；⑤等腰梯形的中点四边形为菱形；⑥对角线相等的中点四边形为菱形；⑦对角线互相垂直的中点四边形为矩形.【典例】1.观察探究，解决问题．在四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA 的中点，顺次连接E、F、G、H得到的四边形EFGH叫做中点四边形．（1）如图，求证：中点四边形EFGH是平行四边形；（2）请你探究并填空：①当四边形ABCD变成平行四边形时，它的中点四边形是_______________；②当四边形ABCD变成矩形时，它的中点四边形是__________________；③当四边形ABCD变成正方形时，它的中点四边形是________________；【方法总结】总结：依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系有关.①若两对角线相等，新四边形为菱形；②若两对角线互相垂直，新四边形为矩形；③若两对角线相等且互相垂直，新四边形为正方形.【随堂练习】1.已知E、F、G、H四点分别是平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若四边形EFGH是菱形，则下列结论：①∠A=90°；②AB=BC；③AC=BD；④AC⊥BD.其中正确的是（）A. ①②B. ①③C. ②④D. ③④2.某花木场有一块如等腰梯形ABCD的空地（如图），各边的中点分别是E、F、G、H，用篱笆围成的四边形EFGH场地的周长为40cm，则对角线AC的长度为（）A. 20cmB. 15cmC. 10cmD. 5cm3. 如图，任意四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA上的点，对于四边形EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A. 当E，F，G，H是各边中点，且AC=BD时，四边形EFGH为菱形B. 当E，F，G，H是各边中点，且AC⊥BD时，四边形EFGH为矩形C. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH可以为平行四边形D. 当E，F，G，H不是各边中点时，四边形EFGH不可能为菱形综合运用1.在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF垂直于BD交AB，CD分别于点F，E，连接DF，BE．请根据上述条件，写出一个正确结论．”其中四位同学写出的结论如下：小青：OE=OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED=S四边形FBCE；小雨：∠ACE=∠CAF．这四位同学写出的结论中不正确的是__________.2.如图，在四边形ABCD中，AC=BD=9，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，EG2+FH2=____________.3.如图，在△ABC中，F是BC边的中点，D是AC边上一点，E是AD的中点，直线FE交BA的延长线于点G，若AB=DC=2，∠FEC=45°，求FE的长度．（提示：取BD的中点H，连接FH，HE作辅助线）4.如图，等边△ABC的边长是2，D、E分别为AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF=BC，连接CD和EF．（1）求证：四边形CDEF是平行四边形；（2）求四边形BDEF的周长．5.在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在CD上，CF=AE，连接BF，AF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若AF平分∠BAD，且AE=3，DE=4，求矩形BFDE的面积．6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D 作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE=1，DE=2，求菱形ABCD的面积．7.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点D，F分别是AC，AB的中点，CE∥DB，BE∥DC. （1）求证：四边形DBEC是菱形；（2）若AD=3，DF=1，求四边形DBEC面积．8.如图，在矩形ABCD中，AD=6，DC=8，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH=2，连接CF．（1）若DG=2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若DG=6，求△FCG的面积．21。

专题7 平行四边形培优方案

1 / 13平行四边形【知识详解】1.多边形（1）多边形：在平面内，由不在同一条直线上的若干条相等（线段的条数不小于3）首尾顺次相接形成的图形叫做多边形。

（2）多边形的内角：多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角。

（3）多边形的外角：多边形一边的延长线与相邻的另一边所组成的角叫做多边形的外角。

（4）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。

从n 边形的一个顶点出发可以画3-n 条对角线，把n 分成了2-n 个三角形； n 边形共有2)3(-n n 条对角线．（5）正多边形：各边相等，各内角也相等的多边形叫做正多边形。

（6）多边形的内角和：n 边形的内角和为：(n-2)·180º （7）多边形的外角和：任意多边形的外角和360º（8）镶嵌平面：用一些形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地把平面的一部分完全覆盖，这就是平面图形的镶嵌。

注意：各种图形拼接后要既无缝隙，又不重叠。

要用正多边形镶嵌成一个平面的关键是看：这种正多边形的一个内角的倍数是否是360°。

2.平行四边形及其性质性质:1.（边）两组对边分别平行且相等.2. (角) 两组对角分别相等.邻角互补3.（线）对角线互相平分.4.（对称性）中心对称－－对称中心为对角线交点. 推论1：夹在两条平行线间的平行线段相等。

推论2：夹在两条平行线间的垂线段相等。

夹在两条平行线间的垂线段的长度叫做平行线之间的距离。

由推论2可知两条平行线间的距离处处相等。

3.平行四边形的判断从边看： ①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形； ③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．从对角线看：对角线互相平分的四边形是平行四边形．（从角看：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．）考点一:多边形的内角、外角【典型例题1】有一张长方形的桌面，它的四个内角和为360°,现在锯掉它的一个角，剩下残余桌面所有的内角和是多少？有几种情况？【相似题】1.下列命题：①多边形的外角和小于内角和；②三角形的内角和等于外角和；③多边形的外角和是指这个多边形所有外角之和；④四边形的内角和等于它的外角和.其中正确的有（）A. 0个B. 1个C.2个D.3个2如图所示，小华从A点出发，沿直线前进10米后左转24，再沿直线前进10米，又向左转24°，…，照这样走下去，他第一次回到出发地A点时，一共走的路程是（）A．140米B．150米C．160米D．240米3.一个多边形的边数增加2条，则它的内角和增加（）A．180°B．90°C．360°D．540°4. 一个多边形除1个内角外，其余各内角和为2570，则这个内角的度数为（）50B．105C．120D．130A．5. 在各个内角都相等的多边形中，一个内角是与它相邻的一个外角的3倍，那么这个多边形的边数是（）A．4 B．6 C．8 D．106.将一矩形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（）A．360°B．540°C．720°D．900°7.若一个多边形的内角和与外角和的比为7：2，求这个多边形的边数。

中考数学微专题7 四边形存在性问题

(3)存在．如图 2，分两种情况：点 Q 在 x 轴上方或点 Q 在 x 轴下方． ①当点 Q 在 x 轴上方时，P 与 Q 纵坐标相等， ∴－x2－2x＋3＝145，
解得：x1＝－12，x2＝－32(舍去)，
∴Q1－12，145， ②当点 Q 在 x 轴下方时，P 与 Q 纵坐标互为相反数，
∴－x2－2x＋3＝－145，
问题3：如图直角坐标系中有一点B，C为x轴上一点，坐标平面内是否存在点D，使以A，B，C，D为顶点的四边形为矩形？
①画出所有可能存在的点C的位置，使用的方法为以O， B，C三点做直角三角形的方法，即两线一圆．
②代数法以其中一个情况为例，如图，当我们确定 O，B，C 的位置后，可以以 OC、OB 为邻边做出矩形 OCDB，该四边形可以看作是以 OC 为对角线的平行四边形，则可以用平行四边形存在性的方法列出两个方程，而由于矩形对角线相等，再用两点间距离公式加入一个 OC＝BD 的方程即可求解 xO＋xC＝xB＋xD，yO＋yC＝yB＋yD，（xO－xC）2＋（yO－yC）2＝（xD－xB）2＋（yD－yB）2.
∴12(－4m－8)(－2－m)＝12×6×6，整理得：m2＋4m－5＝0，解得：m1＝－5，m2＝1(舍去)， ∴点 D 的坐标为(－5，－1)，∴点 M 的坐标为(－2，8)， ∴DM＝（－2＋5）2＋（8＋1）2＝3 10，答：dm 的长为 3 10.
解法总结
1．平行四边形的存在性问题类型一：“三定一动”型问题：如图，已知三点A，B，C，找一点D，使以A，B，C， D为顶点的四边形为平行四边形．作法：连接AB，AC，BC，分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为所求点D.我们通常用直尺来代替线段进行平移，很容易就能判断出是否存在这样的D点．类型二：“两定两动”型

四年级下册数学教案-7.7 认识平行四边形丨苏教版

平行四边形的认识教学目标：1、使学生在联系生活和动手操作的过程中认识平行四边形，知道它们的基本特征，能正确判断一个平面图形是不是平行四边形，认识平行四边形的底、高。

2、使学生在观察、操作、分析、概括和判断中，经历探索平行四边形的基本特征的过程，掌握长方形、正方形和平行四边形的关系。

进一步积累认识图形的经验，发展空间观念和数学思考的能力。

3、使学生进一步感受图形和生活的密切联系，培养数学应用意识，增强对空间与图形的学习兴趣。

教学重点：认识平行四边形的基本特征，认识平行四边形的底、高，学会画平行四边形的高。

教学难点：学会作平行四边形的的高，明确底和高的关系，理解长方形、正方形与平行四边形之间的关系。

教学关键：就学生的思维发展状况来看，他们对平行四边形的知识应属于“知道而不清楚，偏重图形的直观认识，缺乏逻辑分析的支撑”，所以这一课主要需解决的问题是“梳理与提升”，是“换一种角度来看同一个问题”，而不是“探究一个新问题”。

那么这一课的引入可以学生的回忆、总结为主，充分调动学生发言，互相补充，教师适当总结、规范学生的语言，从而得出平行四边形的定义、特征性质，以及与长方形、正方形之间的关系。

教具准备：正方形、长方形、平行四边形框架，配套教学课件。

学具准备：三角板、直尺、方格纸、小棒、钉子板，七巧板，剪刀、三角形纸、长方形纸、平行四边形纸。

设计理念：1、注重运用现代信息技术辅助教学。

从新课的开始到探究操作的过程中以及运用中，都通过多媒体直观呈现，帮助学生感知、比较、分析，促进学生认知结构的完善。

2、尊重学生的已有认知水平。

从熟悉的生活场景出发，让学生在“找”的过程中回顾已有知识经验，为学习新知做好准备。

3、注重新旧知识的联系，形成知识系统。

学习新知前，复习长方形与正方形的特征以及它们之间关系，总结概括出平行四边形的概念后，及时将平行四边与长方形和正方形进行比较，并用集合图表示它们三者之间的关系，逐步将四边形的知识系统化。

七年级下册数学平行四边形的性质

a
A
B
b
C
D
【解析】 ∵ AC⊥CD，BD⊥CD ∴AC∥BD ∵AB∥CD， ∴ACDB是平行四边形 ∴AC=DB
a b
A
B
C
D
如图,线段AC的长是点A到直线b的距离;同样,线段BD的长
a b
A C
B D
是点B到直线b的距离,且AC=BD.
到另一条直线的距离相等 .
因此,如果两条直线平行,则其中一条直线上任意一点
例题
例1 如图,四边形ABCD是平行四边形,DBAD,求BC,CD及OB 的长. 分析：
A
8
D O B C
AD 的对边；10 (1)在□ABCD中,BC是____
CD是 AB 的对边；
因为AD、AB已知，所以,利用平行四边形的性质 “ 对边相等 ”可求出它们 BC，CD ；
A
10
8
D
O B C
(2)小明拼出了如图所示的一个四边形,这个四边形的对边
有怎样的位置关系?说说你的理由.
A
1
2
B
【解析】∵∠1=∠2 ∴AD∥BC
D
C
同理：AB∥DC ∴四边形ABCD是平行四边形
定义： 1、两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 如图四边形ABCD是平行四边形，记作：□ABCD 2、平行四边形不相邻的两个顶点连成的线段叫它的对角线线段AC就是它的一条对角线 3、平行四边形相对的边称为对边，相对的角称为对角.
C
如图,□ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O.
（1）图中有哪些三角形是全等的？
有哪些线段是相等的？（2）能设法验证你的结论吗？你可以用测量的方法,也可以用复制纸片并借助旋转的方法.

二年级上册数学课件-2.2 认识平行四边形(7)

这节课你学到了哪些知识？
为了照亮夜空，星星才站在天空的高处。当我对你越来越礼貌时，我们或许就越来越陌生了。敢于质疑自己认为不相信的事情，并追究其中的道理。知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。——《论语·子罕》跌倒，撞墙，一败涂地，都不用害怕，年轻叫你勇敢。人只要不失去方向，就不会失去自己。你一定不要做丑恶的人，但是世态炎凉，你也别太善良！马善被人骑，人善被人欺，过于善良就是一种懦弱和无能！用最少的悔恨面对过去。君子食无求饱，居无求安，敏于事而慎于言，就有道而正焉，可谓好学也已。——《论语·学而》世界上20%的人是吃小亏而占大便宜，而80%的人是占小一便宜吃大亏，大多数成功人士都源于那20%。
与任何人接触时，要常常问自己，我有什么对他有用？使他得益。如果我不能以个人的道德学问和修持的力量，来使人受益，就等于欠了一份债。只要更好，不求最好！奋斗是成功之父。多一点思考，少一份遗憾。——杨建学问是异常珍贵的东西，从任何源泉吸收都不可耻。——阿卜·日·法拉兹学会下一次进步，是做大自己的有效法则。因此千万不要让自己睡在已有的成功出一幅三角尺，
一起探究一副三角尺还能否拼出这样的四边形，像刚才那样，先拼，然后沿着四条边也把所拼的图形画出来。
把平行四边形涂上颜色。
你能在下面的图形中找到平行四边形吗？
你能用6根同样长的小棒摆出平行四边形吗？
用8根同样的小棒能摆出平行四边形吗？
照样子用4根木条钉一个长方形框，再拉一拉，你有什么发现？
认识平行四边形
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分类
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三角形
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这些图形叫四边形。
————长方形
四边形
————正方形