状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：5.4数列求和含答案精品

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状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：选修4-5.

4－5.2 几个重要不等式的证明及其应用一、选择题1．(2015·鸡西模拟)若实数x 、y 满足1x 2＋1y 2＝1，则x 2＋2y 2有( )A ．最大值3＋2 2B ．最小值3＋2 2C ．最大值6D ．最小值62．(2015·广东调研)已知a ，b 为实数，且a >0，b >0，则⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2的最小值为( )A ．7B ．8C ．9D ．103．设a >b >c ，n ∈N ，且1a －b ＋1b －c ≥na －c 恒成立，则n 的最大值是( )A ．2B ．3C ．4D ．64．设a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，若M ＝1a －1·1b －1·⎝⎛⎭⎫1c －1，则必有() A ．0≤M <18 B.18≤M <1C ．1≤M <8D ．M ≥85．若不等式t t 2＋9≤a ≤t＋2t 2在t ∈(0，2]上恒成立，则a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤16，1B.⎣⎡⎦⎤213，1C.⎣⎡⎦⎤16，413D.⎣⎡⎦⎤16，22答案：1．B 2.C 3.C 4.D 5.B二、填空题 6．若P ＝x1＋x ＋y1＋y ＋z1＋z (x >0，y >0，z >0)，则P 与3的大小关系为________.7．已知两正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则z ＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x ⎝⎛⎭⎫y ＋1y 的最小值为________．8．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则a ＋1＋b ＋1的最大值为________．答案:6．P <3 7.254 8. 6三、解答题9．(2015·茂名质检)若实数x 、y 、m 满足|x －m |＞|y －m |，则称x 比y 远离m .(1) 若x 2－1比1远离0，求x 的取值范围；(2)对任意两个不相等的正数a ，b ，证明：a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .解析：(1)由题意知|x 2－1－0|＞|1－0|，即|x 2－1|＞1，所以x 2－1＜－1或x 2－1＞1，解得x ＞2或x ＜－2，所以x 的取值范围是{x |x ＞2或x ＜－2}．(2)要证明a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab ，即证|a 3＋b 3－2ab ab |＞|a 2b ＋ab 2－2ab ab | ，因为a ≠b ，故a 2b ＋ab 2＞2a 2bab 2＝2ab ab ，而a 3＋b 3＞2a 3b 3＝2ab ab ，所以只需证a 3＋b 3－2ab ab ＞a 2b ＋ab 2－2ab ab ，即证明a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＞0,化简得(a －b )2(a ＋b )＞0显然成立，所以a 3＋b 3比a 2b ＋ab 2远离2ab ab .10. 已知a ，b 为实数，且a >0，b >0，c >0.(1)求证：⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2≥9； (2)证明：a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．证明：(1)因为a >0，b >0，所以a ＋b ＋1a ≥33a ×b ×1a＝33b >0，① 同理可证：a 2＋1b ＋1a 2≥331b>0. ② 由①②及不等式的性质得 ⎝⎛⎭⎫a ＋b ＋1a ⎝⎛⎭⎫a 2＋1b ＋1a 2≥33b ×331b＝9. (2)因为a ，b ，c 均为正数，由算术—几何平均不等式得 a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23， ①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )－13，所以⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )－23. ②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )－23. 又3(abc )23＋9(abc )－23≥227＝63，③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc )23＝9(abc )－23时，③式等号成立．即当且仅当a ＝b ＝c ＝314时，原式等号成立．11．(2015·南昌调研)已知x ＋y >0，且xy ≠0.(1)求证：x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x ；(2)如果x y 2＋y x 2≥m 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 恒成立，试求实数m 的取值范围或值．导学号74780131导学号74780000解析：(1)证明：∵x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )＝x 2(x －y )－y 2(x －y )＝(x ＋y )(x －y )2，且x ＋y >0，(x －y )2≥0，∴x 3＋y 3－(x 2y ＋y 2x )≥0.∴x 3＋y 3≥x 2y ＋y 2x .(2)①若xy <0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1y等价于m 2≥x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy，又∵x 2－xy ＋y 2xy ＝（x ＋y ）2－3xy xy <－3xy xy＝－3，即x 3＋y 3xy （x ＋y ）<－3，∴m >－6； ②若xy >0，则x y 2＋y x 2≥m 2⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 等价于m 2≤x 3＋y 3xy （x ＋y ）＝x 2－xy ＋y 2xy，又∵x 2－xy ＋y 2xy ≥2xy －xy xy ＝1，即x 3＋y 3xy （x ＋y ）≥1，∴m ≤2. 综上所述，实数m 的取值范围是(－6，2]．。

2017届高考数学大一轮复习第五章数列5.4数列求和课时规范训练理北师大版

【高考领航】2017届高考数学大一轮复习第五章数列5.4数列求和课时规范训练理北师大版[A 级基础演练]1. （2016 •河北承德模拟）等差数列｛a n ｝的前n 项和为S （n = 1,2,3，…），当首项a i 和公差d 变化时，若a 5 + a 8+ an 是一个定值，则下列各数中为定值的是（）A. S 17 B . S 8 C. $5D. S 6解析：由等差数列的性质得 a 5 + an = 2a 8，所以a 5+ a *+ an 为定值，即a *为定值.又因a1+ a15为 Sl 5=-答案：C22.已知数列｛ a n ｝的前 n 项和 S= n — 4n + 2，则 | 釦 + | a 2| +•••+ | a 1o | =()B . 65+ 15+ = 2 + 64= 66.答案：A1 1 1 1)2—! + 3—1+4—1+ …+ n+12— 1 的值为(解析：i 当 n = 1 时，a 1 = S 1 = — 1,当 n 》2 时，ch = S n — S — 1= n — 4n + 2 — [( n — 1) — 4(nC. 61D. 56—1) + 2] = 2n — 5. a 2 =— 1, a 3= 1, a 4= 3, a 1o = 15,「. I a* + | a 2| +…+ | a 1o | = 1 + 115X2 a *2=15a *，所以S 5为定值.故选C.A. 663. （2016 •云南曲靖模拟n+ 1B.4-2 n + 1n+2C3——+ 丄]4 2 n+1 n+ 2解析:1 1 12 7 = ~2 Z-=n+ —1 n + 2n n n+W1 1 12 n—n+ 2，1 122—1 +32—1 +1n+1 —11 11111 1 11—3+2—4+3—5+…+ n—1空丄—丄n+ 1 n+2_3 +丄) —4 — 2 n + 1 + n + 2 -答案：C4. 数列｛a n ｝满足a n +1+ ( —1)5= 2n —1,则｛a n ｝的前60项和为( )A. 3 690 B . 3 660 C. 1 845D. 1 830解析：当 n = 2k 时，a 2k +1+ a 2k = 4k — 1, 当 n = 2k — 1 时，a 2k — a 2k —1 = 4k — 3,a 2k +1 + a 2k — 1 = 2，二 a 2k + 1+ a 2k + 3= 2, a 2k —1 = a 2k + 3,.a 1 = a s = •••= a 61.a 1 + a 2 + a 3 + …+ a 60= (a 2+ a 3)+ (a 4 + a s ) +…+ (a 60 + a 61)= 3 + 7+ 11 +…+ (4 x 30— + 1191) =2= 30 x 61= 1 830.答案：D 5.已知数列｛a n ｝中，a 1= 1, a n +1 = ( — 1)n (a n + 1)，记 S 为｛a n ｝的前 n 项和，贝U $ 017 =解析：由a 1= 1, a n +1 = ( — 1) n (a n +1)可得该数列是周期为 4的数列，且a= 1,比=一 2,a 3 = — 1, a 4= 0, a 5= 1，所以 S 2。

2017年高考数学一轮复习-数列求和

10数列求和一、高考要求：1.数列求和是高考热点问题，综合性较强，考查综合分析能力和运算能力，要求较高，这类题目经常出现在选择题，填空题，解答题。

2．除了公式法、裂项相消法、错位相加法外，常见的求和方法还有分组求和法、并项求和法、例如摆动型数列或者是周期型数列求和时均可以采取分组求和法，并项求和法，也就是把有规律的放在一起求和，如果特征不太明显，可以根据题干中的信息写出数列中的前几项，找出规律再求和。

二、课本再现：1．转化思想，即把一般数列转化为等差数列或者等比数列，通常并项求和或者分组求和。

2．不能转化为等差数列或者等比数列的，往往通过裂项相消法，错位相减法，倒序相减法等来求和。

三、方法巧用：1.求数列前n项和的基本方法：(1)等差数列、等比数列常用公式法：(1)123n nn+++++=L，2222(1)(21)1236n n nn++++++=L(2)分组转化法,主要适用于求{}n na b+的前n项和(3)错位相减法,主要适用于求{}n na b的前n项和(其中{}n a为等差数列, {}n b为等比数列) 倒序相加法,主要用于数列求和.裂项相减法,主要适用于求11n na a+⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎩⎭(其中{}n a为等差数列)2, 常见的拆项公式有常见的拆项公式有：①111(1)1n n n n=-++②1111()(21)(21)22121n n n n=--+-+11 ③1(1)(2)n n n ++111[]2(1)(1)(2)n n n n =-+++1a b=- ⑤11m m m n n n C C C -+=- ⑥!(1)!!n n n n ⋅=+-⑦1(2)n n n a S S n -=-≥四、例题精讲：1．已知首项都是1的两个数列{}n a ，{}(0,)n n b b n N *≠∈，满足11120n n n n n n a b a b b b +++-+=．（1）令nn na cb =，求数列{}n c 的通项公式；（2）若13n n b -=，求数列{}n a 的前n 项和n s ．1．（1）11120n n n n n n a b a b b b +++-+=Q ，(0,)n b n N *≠∈同时除以1n n b b +，得到1120n n n n a a b b ++-+=，112n n n n a a b b ++∴-=，即1:2n n c c +-=，所以，{}n c 是首项为111ab =，公差为2的等差数列，所以，12(1)21nc n n =+-=-；（2）由上21nn na c nb ==-，1(21)3n n a n -∴=-⨯，得01221133353(23)3(21)3n n n s n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L 12313133353(23)3(21)3n n n s n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L ，两式相减得：0121232(333)(21)32(22)3n n n n s n n --=+⨯+++--⨯=---L ，(1)3n n s n ∴=-⨯．2．已知首项为23的等比数列}{n a 不是递减数列，其前n 项和为)(*∈N n S n ，且33a S +，55a S +，44a S +成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）设)(1*∈-=N n S S T nn n ，求数列}{n T 的最大项的值与最小项的值．2．解：（1）设等比数列}{n a 的公比为q ，因为33a S +，55a S +，44a S +成等差数列，所以55443355a S a S a S a S --+=--+，即354a a =，于是41352==a a q ，又}{n a 不是递减数列且231=a ，所以12q =-．故等比数列}{n a 的通项公式为n n n n a 23)1()21(2311⋅-=-⨯=--；（2）由（1）得⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=为偶数为奇数n n S n n n n ,211,211)1(1，当n 为奇数时，n S 随n 是增大而减小，所12以2311=≤<SS n，故6532231111=-=-≤-<SSSSnn．当n为偶数时，nS随n是增大而增大，所以1432<≤=n SS，故7431122-=-=-≥->SSnn．综上，对于*∈Nn，总有517≤-≤-nnS．所以数列}{n T的最大项的值为65，与最小项的值为127-．3．已知等差数列}{n a的公差为2，前n项和为n S，且124,,S S S成等比数列．（1）求数列}{n a的通项公式；（2）令114(1)nnn nnba a-+=-，求数列{}nb的前n项和nT．3．解：（1）2d=，112141,2,46S a S a d S a d==+=+，，，因为124,,S S S成等比数列，所以214S S S=，解得11a=，21na n∴=-；（2）111411(1)(1)()n nnn nnb--+=-=-+，当为n偶数时，1111111(1)()()()33523212121nTn n n n=++++++-+---+L1212121nnTn n∴=-=++当n为奇数时，1111111(1)()()()33523212121nTn n n n=+-++-+++---+L12212121nnTn n+∴=+=++2,22122,21()21nn n knTn n k k Zn⎧=⎪+∴=⎨+⎪=+∈+⎩或21(1)21nnnTn++-=+13五、同步巩固： A 组1，，n 项和为n S ，则n S 等于)(A )(B)(C1 )(D 11．答案：)(C提示：选取1n =代入运算可拓排除)(B )(D ，选取2n =时，21S =排除)(A 2．等比数列}{n a 中，42a =，55a =，则数列{}lg n a 的前8项和等于)(A 6 )(B 5 )(C 4 )(D 32．答案：)(C提示：{}lg n a 的前8项和44812812845lg lg lg lg()lg()lg(25)4S a a a a a a a a =+++===⨯=L L3．已知数列的前n 项和为115913(1)(43)n n S n -=-+-++-- ，则152231S S S +-的值是)(A 134- )(B 13 )(C 46 )(D 76-答案：)(D ：提示n 为奇数时，1(4)(43)2n n S n -=⨯-+-，提示n 为偶数时，(4)2n nS =⨯-，1522317(4)(4153)11(4)S S S ∴+-=⨯-+⨯-+⨯-[]15(4)(4313)76-⨯-+⨯-=-4．设各项为实数的等比数列}{n a ，其前n 项的和为n S ，公比为q ，若396,,S S S 成等差数列，则362q q +的值是：)(A 0 )(B32 )(C 12-)(D 0或324．答案：)(A提示：3123S a a a =++，336123123123()()(1)S a a a a a a q a a a q =+++++=+++，363691291233()(1)(1)S a a a a a a q q S q q =+++=++++=++L 代入9362S S S =+有3632(1)1(1)q q q ++=++即3620q q +=，3602q q += 5．数列1，12+，2122++，L ，211222n -++++L 的和为)(A 2n)(B 2nn - )(C 122n n +-- )(D 2n n -5．答案：)(C提示：211212222112nn n n a --=++++==--L ，则原数列的和为1231(21)(21)(21)(21)22n n n S n +=-+-+-++-=--L14 6．已知}{na是等差数列，11=a，公差0≠d，n S为其前n项和，若1a，2a，5a成等比数列，则=8S .6．答案: 648=S，5122aaa⋅=，所以)14(1)1(2+⨯=+dd，所以022=-dd，2=∴d，648=S．7．数列112，134，158，1716的前n项和为n S= .7．答案: 2112nn+-提示：1111111135(21)135(21)()2482422 n n nS n n=++++-⋅=+++-++++8．计算：111248(1)2n n---+-++-=.8．答案: 112(1)33nn-+-提示：本数列是公比为2-的等比数列，则11(2)12(1)21(2)nn n----+-⋅==--112(1)33nn-+-B组9．已知}{na的通项公式21na n=+，nS为其前n项和，则由nnSbn=所确定的数列{}nb的前n项和nT= .9．答案:1(5)2n n+提示：数列}{na是等差数列，12(321)22n nna a a S n nb nn n n+++++====+，则数列{}nb也是等差数列，得其前n项和n T=(32)(5)22n n n n+++=10．已知数列}{na中，11a=，1(1)(1)nn na a+=-+，记nS为}{n a的前n项和，则2016S= 10．答案: 1008-提示：11a=，1(1)(1)nn na a+=-+11a∴=，22a=-，31a=-，4a=，51a=，62a=- 可得该数列是周期为4的数列，所以15()20161234504504(2)1008S a a a a =+++=⨯-=11．已知数列}{n a 满足11a =，21n n n a a a +=+，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则122016111111a a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦11．答案: 0提示：利用裂项相消法求和，因为2111111(1)1n n n n n n n a a a a a a a +===-+++，所以11111n n n a a a +=-+，所以122016111111a a a ++++++ 1234201620171201711111111()()()a a a a a a a a =-+-++-=- 又11a =，21n n n a a a +=+递增，所以20171(0,1)a ∈，所以1201711(0,1)a a -∈即12017110a a ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦12．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*1(1),2nn n n S a n N =--∈，则（1）=3a ；（2）=+++10021S S S ； 12．答案: 10011(1)32-提示：由题知，1=n 时，4111-==S a ；n 是奇数时，n n n a S 21--=且11121+++-=+n n n n a a S ，从而121+-=n n S ，11212121++-=-=n n n n a ，1612143-=-=∴a ，所以n 是偶数时，0=n S ，n 是奇数时，}{n S 是首项为41-，公比为41的等比数列．所以10021S S S +++501001(1)1114(1)4132(1)4-=-=--． 13．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和．若31,a a 是方程0452=+-x x 的两个根，则=6S 13．答案: 636=S16提示：531=+a a ，431=a a ，由递增，11=a ，43=a ，所以4132==a a q ，2=q 代入等比求和公式得636=S ．。

状元桥2017年高考数学理一轮总复习达标训练：选修4-5.

4－5.1 含有绝对值的不等式一、选择题1．不等式x 2－|x |－2<0(x ∈R )的解集是( )A ．{x |－2<x <2}B ．{x |x <－2或x >2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |x <－1或x >1}2．在下列四个函数中，满足性质：“对于区间(1，2)上的任意x 1，x 2(x 1≠x 2)， ||f （x 1）－f （x 2）＜||x 2－x 1恒成立”的只有( )A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝|x |C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝x 23．(2015·淮安模拟)设集合A ＝{x ||x －a |<1，x ∈R }，B ＝{x ||x －b |>2，x ∈R }．若A ⊆B ，则实数a ，b 必满足( )A ．|a ＋b |≤3B ．|a ＋b |≥3C ．|a －b |≤3D ．|a －b |≥34．(2015·江门模拟)设函数f (x )＝|x －a |＋3x ，其中a >0.若不等式f (x )≤0的解集为{x |x ≤－1}，则a 的值为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．15．(2015·许昌模拟)对于任意实数a 、b ，若|a －b |≤1，|2a －1|≤1，则|4a －3b ＋2|的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6答案：1．A 2.A 3.D 4.B 5.D二、填空题6．已知a 和b 是任意非零实数，则|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为____________． 7．(2015·黄冈中学训练题)已知不等式|x －3|≤x ＋a 2(a ∈R )的解集为A ，若A ≠∅，则a 的取值范围是____________．8．(2015·天津模拟)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R |x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝____________．答案：6．4 7.[－3，＋∞) 8.{x |－2≤x ≤5}三、解答题9. 已知f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－1时，解关于x 的不等式f (x )>5；(2)已知关于x 的不等式f (x )＋a <2 014(a 是常数)的解集是非空集合，求实数a 的取值范围．解析：(1)构造函数g (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －2，（x ≤1），－4，（1<x <2），2x －8，（x ≥2）.令g (x )>0，则x <－1或x >4，∴原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．(2)∵f (x )＋a ＝|x ＋a |＋|x －2|＋a ≥|a ＋2|＋a ，又关于x 的不等式f (x )＋a <2 014的解集是非空集合， ∴|a ＋2|＋a <2 014，解得a <1 006.10．函数f (x )＝ax ＋b ，当|x |≤1时，都有|f (x )|≤1，求证：|b |≤1，|a |≤1.证明：由|f (x )|≤1，令x ＝0，得|f (0)|≤1，∴|b |≤1.由|f (1)|＝|a ＋b |≤1，|f (－1)|＝|－a ＋b |≤1.∴2|a |＝|a ＋b ＋a －b |≤|a ＋b |＋|a －b |≤2.∴|a |≤1.11．设f (x )＝2|x |－|x ＋3|.(1)画出函数y ＝f (x )的图象，并求不等式f (x )≤7的解集S ；(2)若关于x 不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解，求参数t 的取值范围．导学号74780130解析：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋3，x <－3，－3x －3，－3≤x ≤0，x －3，x >0.如图，函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝7相交于横坐标为x 1＝－4，x 2＝10的两点，由此得S ＝[－4，10]．(2)由(1)知f (x )的最小值为－3，则不等式f (x )＋|2t －3|≤0有解必须且只需－3＋|2t －3|≤0，解得0≤ t ≤3，所以t 的取值范围是[0，3]．。

2017年高考数学第一轮复习测试题含答案.doc

2017年高考数学第一轮复习测试题含答案现在高三学生已经着手开始2017年高考数学复习了，只有认真的进行数学复习才能在考试中轻松取得好成绩，为了帮助大家做好高考数学复习，下面为大家带来2017年高考数学第一轮复习测试题含答案这篇内容，希望高考生能够认真阅读。

第Ⅰ卷(选择题共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。

)1.(2011合肥质检)集合A={1,2,3}，B={xR|x2-ax+1=0，aA}，则AB=B 时a的值是()A.2B.2或3C.1或3D.1或2[答案] D[解析]由AB=B知BA，a=1时，B={x|x2-x+1=0}=A;a=2时，B={x|x2-2x+1=0}={1}A;a=3时，B={x|x2-3x+1=0}={3+52，3-52}?A，故选D.2.(文)(2011合肥质检)在复平面内，复数i3-i(i是虚数单位)对应的点在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限[答案] B[解析]z=i3-i=i?3+i?3-?-1?=-14+34i的对应点-14，34在第二象限.(理)(2011蚌埠二中质检)如果复数2-bi1+2i(其中i为虚数单位，b为实数)的实部和虚部互为相反数，那么b等于()A.2B.23C.-23D.2[答案] C[解析]∵2-bi1+2i=?2-bi??1-2i?5=2-2b5+-b-45i的实部与虚部互为相反数，2-2b5+-b-45=0，b=-23，故选C.3.(文)(2011日照调研)若e1，e2是夹角为3的单位向量，且a=2e1+e2，b=-3e1+2e2，则ab等于()A.1B.-4C.-72D.72[答案] C[解析]e1e2=11cos3=12，ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2)=-6e21+2e22+e1e2=-6+2+12=-72，故选C. (理)(2011河南豫州九校联考)若A、B是平面内的两个定点，点P为该平面内动点，且满足向量AB与AP夹角为锐角，|PB||AB|+PAAB=0，则点P的轨迹是()A.直线(除去与直线AB的交点)B.圆(除去与直线AB的交点)C.椭圆(除去与直线AB的交点)D.抛物线(除去与直线AB的交点) [答案] D[解析]以AB所在直线为x轴，线段AB中点为原点，建立平面直角坐标系，设A(-1,0)，则B(1,0)，设P(x，y)，则PB=(1-x，-y)，PA=(-1-x，-y)，AB=(2,0)，∵|PB||AB|+PAAB=0，2?1-x?2+?-y?2+2(-1-x)=0，化简得y2=4x，故选D.4.(2011黑龙江哈六中期末)为了了解甲，乙，丙三所学校高三数学模拟考试的情况，现采取分层抽样的方法从甲校的1260份，乙校的720份，丙校的900份模拟试卷中抽取试卷进行调研，如果从丙校抽取了50份，那么这次调研一共抽查的试卷份数为()A.150B.160C.200D.230[答案] B[解析]依据分层抽样的定义，抽样比为50900=118，故这次调研一共抽查试卷(1260+720+900)118=160份.5.(文)(2011福州市期末)设函数y=f(x)的定义域为实数集R，对于给定的正数k，定义函数fk(x)=f?x??f?x?k?k ?f?x?k?，给出函数f(x)=-x2+2，若对于任意的x(-，+)，恒有fk(x)=f(x)，则()A.k的最大值为2B.k的最小值为2C.k的最大值为1D.k的最小值为1[答案] B[解析]∵x(-，+)时，f(x)=-x2+22，且fk(x)=f(x)恒成立，且当f(x)k 时，fk(x)=k，故k的最小值为2.(理)(2011丰台区期末)用max{a，b}表示a，b两个数中的最大数，设f(x)=max{x2，x}(x14)，那么由函数y=f(x)的图象、x轴、直线x=14和直线x=2所围成的封闭图形的面积是()A.3512B.5924C.578D.9112[答案] A[解析]如图，平面区域的面积为6.(2011北京丰台区期末)下面程序框图运行后，如果输出的函数值在区间[-2，12]内，则输入的实数x的取值范围是()A.(-，-1]B.[14，2]C.(-，0)[14，2]D.(-，-1][14，2][答案] D[解析]∵x0时，f(x)=2x(0,1)，由02x12得，x-1;由-2log2x12x0得，14x2，故选D.7.(文)(2011潍坊一中期末)下列有关命题的说法错误的是()A.命题若x2-3x+2=0，则x=1的逆否命题为：若x1，则x2-3x+20B.x=1是x2-3x+2=0的充分不必要条件C.若pq为假命题，则p、q均为假命题D.对于命题p：xR使得x2+x+10，则綈p：xR，均有x2+x+10 [答案] C[解析]若pq为假命题，则p、q至少有一个为假命题，故C错误. (理)(2011巢湖质检)给出下列命题①设a，b为非零实数，则a②命题p：垂直于同一条直线的两直线平行，命题q：垂直于同一条直线的两平面平行，则命题pq为真命题;③命题xR，sinx1的否定为x0R，sinx01;④命题若x2且y3，则x+y5的逆否命题为若x+y5，则x2且y3，其中真命题的个数是()A.4个B.3个C.2个D.1个[答案] D[解析]①取a=-1，b=2满足a8.(文)(2011陕西宝鸡质检)若将函数y=cosx-3sinx的图象向左平移m(m0)个单位后，所得图象关于y轴对称，则实数m的最小值为() A.6 B.3C.23D.56[答案] C[解析]y=cosx-3sinx=2cosx+3左移m个单位得y=2cosx+m+3为偶函数，m+3=k，kZ.∵m0，m的最小值为23.(理)(2011咸阳模拟)将函数y=sin2x+4的图像向左平移4个单位，再向上平移2个单位，则所得图像的函数解析式是()A.y=2+sin2x+34B.y=2+sin2x-4C.y=2+sin2xD.y=2+cos2x[答案] A[解析]y=sin2x+4――――――――图象再向上平移4个单位用x+4代替xy=sin2x+4+4―――――――图象再向上平移2个单位用y-2代替y y-2=sin2x+4+4，即得y=sin2x+34+2，故选A.9.(2011陕西咸阳模拟)如图所示的程序框图，其输出结果是()A.341B.1364C.1365D.1366[答案] C[解析]程序运行过程依次为：a=1，a=41+1=5，a500满足a=45+1=21，a500仍满足a=421+1=85，a500满足a=485+1=341，a500满足a=4341+1=1365，a500不满足输出a的值1365后结束，故选C.[点评]要注意循环结束的条件和输出结果是什么.10.(文)(2011山东淄博一中期末)如图为一个几何体的三视图，左视图和主视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的全面积为()A.2723B.123C.24D.24+23[答案] D[解析]由三视图知，该几何体是底面边长为332=2，高为4的正三棱柱，故其全面积为3(24)+23422=24+23.(理)(2011山东日照调研)下图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于()A.34+65B.6+65+43C.6+63+413D.17+65[答案] A[解析]由三视图知，该四棱锥底面是一个矩形，两边长分别为6和2，有一个侧面PAD与底面垂直，高为4，故其表面积S=62+1264+212242+32+12642+22=34+65.11.(2011陕西宝鸡质检)双曲线x2m-y2n=1(mn0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则mn的值为()A.83B.38C.316D.163[答案] C[解析]抛物线焦点F(1,0)为双曲线一个焦点，m+n=1，又双曲线离心率为2，1+nm=4，解得m=14n=34，mn=316.12.(文)(2011广东高州市长坡中学期末)方程|x-2|=log2x的解的个数为()A.0B.1C.2D.3[答案] C[解析]在同一坐标系中作出函数y=|x-2|与y=log2x的图象可知两图象有两个交点，故选C.(理)(2011山东实验中学期末)具有性质：f1x=-f(x)的函数，我们称为满足倒负变换的函数，下列函数：①y=x-1x，②y=x+1x，③y=x，?0 A.①② B.②③C.①③D.只有①[答案] C[解析]①对于函数f(x)=x-1x，∵f1x=1x-x=-x-1x=-f(x)，①是倒负变换的函数，排除B;②对于函数f(x)=x+1x有f1x=1x+x=f(x)不满足倒负变换，排除A;对于③，当0第Ⅱ卷(非选择题共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题4分，共16分，把正确答案填在题中横线上)13.(2011黑龙江哈六中期末)一个盒子里装有标号为1,2,3,4,5的5张标签，不放回地抽取2张标签，则2张标签上的数字为相邻整数的概率为________(用分数表示).[答案]25[解析](文)任取两张标签，所有可能取法有1,2;1,3;1,4;1,5;2,3;2,4;2,5;3,4;3,5;4,5;共10种，其中两数字相邻的有4种，所求概率p=410=25.(理)从5张标签中，任取2张，有C25=10种取法，两张标签上的数字为相邻整数的取法有4种，概率p=410=25.14.(2011浙江宁波八校联考)点(a，b)为第一象限内的点，且在圆(x+1)2+(y+1)2=8上，ab的最大值为________.[答案] 1[解析]由条件知a0，b0，(a+1)2+(b+1)2=8，a2+b2+2a+2b=6，2ab+4ab6，∵ab0，0[点评]作出图形可见，点(a，b)为⊙C在第一象限的一段弧，由对称性可知，当点(a，b)为直线y=x与⊙C的交点(1,1)时，ab取最大值1.15.(2011重庆南开中学期末)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2n-1，则当n2时，1a1+1a2++1an=________.[答案]2-12n-1[解析]a1=S1=1，n2时，an=Sn-Sn-1=2n-2n-1=2n-1，an=2n-1(nN*)，1an=12n-1，1a1+1a2++1an=1-12n1-12=2-12n-1.16.(文)(2011北京学普教育中心)设函数f(x)的定义域为D，若存在非零实数l，使得对于任意xM(MD)，有x+lD，且f(x+l)f(x)，则称f(x)为M上的l高调函数.如果定义域为[-1，+)的函数f(x)=x2为[-1，+)上的m高调函数，那么实数m的取值范围是________.[答案][2，+)[解析]f(x)=x2(x-1)的图象如图所示，要使得f(-1+m)f(-1)=1，应有m2;故x-1时，恒有f(x+m)f(x)，只须m2即可.(理)(2011四川资阳模拟)下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M，如图①;将线段AB围成一个圆，使两端点A、B恰好重合，如图②;再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为(0,1)，在图形变化过程中，图①中线段AM的长度对应于图③中的弧ADM的长度，如图③.图③中直线AM与x轴交于点N(n,0)，则m的象就是n，记作f(m)=n.给出下列命题：①f14=1;②f(x)是奇函数;③f(x)在定义域上单调递增，则所有真命题的序号是________.(填出所有真命题的序号)[答案]③[解析]由m的象是n的定义知，f140，故①假，随着m的增大，点N沿x轴向右平移，故n增大，③为真命题;由于m是线段AM的长度，故f(x)为非奇非偶函数，②假.三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)(文)(2011淄博一中期末)已知a=(cosx-sinx,2sinx)，b=(cosx+sinx，3cosx)，若ab=1013，且x-4，6，求sin2x的值.[解析]∵ab=cos2x-sin2x+23sinxcosx=cos2x+3sin2x=2sin2x+6=1013，sin2x+6=513，∵x-4，6，2x+6-3，2，cos2x+6=1213，sin2x=sin2x+6-6=sin2x+6cos6-cos2x+6sin6=51332-121312=53-1226. (理)(2011四川广元诊断)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C 的对边，向量m=(2a-c，b)，n=(cosC，cosB)，且m∥n.(1)求角B的大小;(2)若b=3，求a+c的最大值.[MVC:PAGE][解析](1)由题意知(2a-c)cosB=bcosC，(2a-c)a2+c2-b22ac=ba2+b2-c22ab，a2+c2-b2=ac，cosB=a2+c2-b22ac=12，B=3.(2)由(1)知a2+c2-b2=ac，b=3，a2+c2-ac=3，(a+c)2-3ac=3，(a+c)2-3a+c223，14(a+c)23，a+c23，即a+c的最大值为23.18.(本小题满分12分)(文)(2011重庆南开中学期末)设函数f(x)=-x2+2ax+m，g(x)=ax.(1)若函数f(x)，g(x)在[1,2]上都是减函数，求实数a的取值范围;(2)当a=1时，设函数h(x)=f(x)g(x)，若h(x)在(0，+)内的最大值为-4，求实数m的值.[解析](1)∵f(x)，g(x)在[1,2]上都是减函数，a1a0，0实数a的取值范围是(0,1].(2)当a=1时，h(x)=f(x)g(x)=-x2+2x+mx=-x+mx+2;当m0时，显然h(x)在(0，+)上单调递减，h(x)无最大值;当m0时，h(x)=-x+mx+2=-x+?-m?x+2-2-m+2.当且仅当x=-m时，等号成立.h(x)max=-2-m+2，-2-m+2=-4m=-9.(理)(2011黑龙江哈六中期末)已知函数f(x)=lnx+2x，g(x)=a(x2+x).(1)若a=12，求F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;(2)当a1时，求证：f(x)g(x).[解析](1)a=12，F(x)=lnx+2x-12(x2+x)(x0)F(x)=1x-x+32=2-2x2+3x2x=-?2x+1??x-2?2x，∵x0，当0F(x)的增区间为(0,2)，减区间为(2，+).(2)令h(x)=f(x)-g(x)(x0)则由h(x)=f(x)-g(x)=1x+2-2ax-a=-?2x+1??ax-1?x=0，解得x=1a，∵h(x)在0，1a上增，在1a，+上减，当x=1a时，h(x)有最大值h1a=ln1a+2a-a1a2+1a=ln1a+1a-1，∵a1，ln1a0，1a-10，h(x)h1a0，所以f(x)g(x).19.(本小题满分12分)(文)(2011厦门期末)已知数列{an}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a2，a4成等比数列.(1)求通项an;(2)令bn=an+2an，求数列{bn}的前n项和Sn.[解析](1)设数列{an}的公关差为d，则d0，∵a1，a2，a4成等比数列，a22=a1a4，(a1+d)2=a1(a1+3d)，整理得：a1=d，又a1=1，d=1，an=a1+(n-1)d=1+(n-1)1=n.即数列{an}的通项公式为an=n.(2)由(1)可得bn=an+2an=n+2n，Sn=b1+b2+b3++bn=(1+21)+(2+22)+(3+23)++(n+2n)=(1+2+3++n)+(21+22+23++2n)=n?n+1?2+2?1-2n?1-2=n?n+1?2+2(2n-1)=2n+1+12n2+12n-2.故数列{bn}的前n项和为Sn=2n+1+12n2+12n-2.(理)(2011河北冀州期末)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，已知2a2=a1+a3，数列{Sn}是公差为d的等差数列.(1)求数列{an}的通项公式(用n，d表示);(2)设c为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m，n，k，不等式Sm+SncSk都成立，求c的最大值.[解析](1)由题意知：d0，Sn=S1+(n-1)d=a1+(n-1)d2a2=a1+a33a2=S33(S2-S1)=S3,3[(a1+d)2-a1]2=(a1+2d)2，化简得：a1-2a1d+d2=0，a1=d，a1=d2Sn=d+(n-1)d=nd，Sn=n2d2，当n2时，an=Sn-Sn-1=n2d2-(n-1)2d2=(2n-1)d2，适合n=1的情形. 故an=(2n-1)d2.(2)Sm+SncSkm2d2+n2d2ck2d2m2+n2ck2，c又m+n=3k且mn,2(m2+n2)(m+n)2=9k2m2+n2k292，故c92，即c的最大值为92.20.(本小题满分12分)(2011山西太原调研)已知椭圆方程为x2a2+y2b2=1(ab0)，它的一个顶点为M(0,1)，离心率e=63.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆交于A，B两点，坐标原点O到直线l的距离为32，求△AOB的面积的最大值.[解析](1)依题意得b=1e=ca=a2-b2a=63解得a=3，b=1，椭圆的方程为x23+y2=1.(2)①当ABx轴时，|AB|=3，②当AB与x轴不垂直时，设直线AB的方程为y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知|m|1+k2=32得，m2=34(k2+1)，把y=kx+m代入椭圆方程整理得，(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0，x1+x2=-6km3k2+1，x1x2=3?m2-1?3k2+1.当k0时，|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)36k2m2?3k2+1?2-12?m2-1?3k2+1=12?1+k2??3k2+1-m2??3k2+1?2=3?k2+1??9k2+1??3k2+1?2=3+12k29k4+6k2+1=3+129k2+1k2+63+1223+6=4.当且仅当9k2=1k2，即k=33时等号成立，此时|AB|=2.当k=0时，|AB|=3.综上所述：|AB|max=2，此时△AOB面积取最大值S=12|AB|max32=32.21.(本小题满分12分)(文)一个多面体的三视图及直观图如图所示，M、N分别是A1B、B1C1的中点.(1)求证：MN∥平面ACC1A1;(2)求证：MN平面A1BC.[证明]由题意，这个几何体是直三棱柱，且ACBC，AC=BC=CC1.(1)由直三棱柱的性质知，四边形ABB1A1为矩形，对角线交点M又∵N为B1C1的中点，△AB1C1中，MN∥AC1.又∵AC1平面ACC1A1，MN平面ACC1A1.MN∥平面ACC1A1.(2)∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ACC1A1平面ABC，交线为AC，又ACBC，BC平面ACC1A1，又∵AC1平面ACC1A1，BCAC1.在正方形ACC1A1中，AC1A1C.又BCA1C=C，AC1平面A1BC，∵MN∥AC1，MN平面A1BC.[点评]将几何体的三视图与线面平行垂直的位置关系判断融合在一起是立体几何新的命题方向.解答这类问题首先要通过其三视图确定几何体的形状和主要几何量，然后利用几何体的性质进行推理或计算.请再练习下题：已知四棱锥P-ABCD的三视图如图，E是侧棱PC上的动点.(1)求四棱锥P-ABCD的体积;(2)若点F在线段BD上，且DF=3BF，则当PEEC等于多少时，有EF∥平面PAB?并证明你的结论;(3)试证明P、A、B、C、D五个点在同一球面上.[解析](1)由四棱锥的三视图可知，四棱锥P-ABCD的底面是边长侧棱PC底面ABCD，且PC=2.VP-ABCD=13S正方形ABCDPC=23.(2)当PEEC=13时，有EF∥平面PAB.连结CF延长交AB于G，连结PG，在正方形ABCD中，DF=3BF. 由△BFG∽△DFC得，GFFC=BFDF=13.在△PCG中，PEEC=13=GFFC，EF∥PG.又PG平面PAB，EF平面PAB，EF∥平面PAB.(3)证明：取PA的中点O.在四棱锥P-ABCD中，侧棱PC平面ABCD，底面ABCD为正方形，可知△PCA、△PBA、△PDA均是直角三角形，又O为PA中点，OA=OP=OB=OC=OD.点P、A、B、C、D在以点O为球心的球面上.(理)(2011湖南长沙一中期末)如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=3，沿对角线BD把△ABD折起，使A移到A1点，过点A1作A1O平面BCD，垂足O恰好落在CD上.(1)求证：BCA1D;(2)求直线A1B与平面BCD所成角的正弦值.[解析](1)因为A1O平面BCD，BC平面BCD，BCA1O，因为BCCD，A1OCD=O，BC平面A1CD.因为A1D平面A1CD，BCA1D.(2)连结BO，则A1BO是直线A1B与平面BCD所成的角.因为A1DBC，A1DA1B，A1BBC=B，A1D平面A1BC，∵A1C平面A1BC，A1DA1C.在Rt△DA1C中，A1D=3，CD=5，A1C=4.根据S△A1CD=12A1DA1C=12A1OCD，得到A1O=125，在Rt△A1OB中，sinA1BO=A1OA1B=1255=1225.所以直线A1B与平面BCD所成角的正弦值为1225.选做题(22至24题选做一题)22.(本小题满分12分)几何证明选讲(2011北京学普教育中心联考)如图，A、B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC=4，BE=10，且BC=AD，求DE的长.[解析]设CB=AD=x，则由割线定理得：CACD=CBCE，即4(4+x)=x(x+10)化简得x2+6x-16=0，解得x=2或x=-8(舍去)即CD=6，CE=12.因为CA为直径，所以CBA=90，即ABE=90，则由圆的内接四边形对角互补，得D=90，则CD2+DE2=CE2，62+DE2=122，DE=63.23.(本小题满分12分)极坐标与参数方程(2011辽宁省实验中学期末)已知直线l经过点P12，1，倾斜角=6，圆C的极坐标方程为=2cos-4.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)设l与圆C相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积. [解析](1)直线l的参数方程为x=12+tcos6y=1+tsin6即x=12+32ty=1+12t(t为参数)由=2cos-4得=cos+sin，所以2=cos+sin，∵2=x2+y2，cos=x，sin=y，x-122+y-122=12.(2)把x=12+32ty=1+12t代入x-122+y-122=12得t2+12t-14=0，|PA||PB|=|t1t2|=14.故点P到点A、B两点的距离之积为14.24.(本小题满分12分)不等式选讲(2011大连市联考)已知函数f(x)=|x-2|，g(x)=-|x+3|+m.(1)解关于x的不等式f(x)+a-10(aR);(2)若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，求m的取值范围. [解析](1)不等式f(x)+a-10，即|x-2|+a-10，当a=1时，解集为x2，即(-，2)(2，+);当a1时，解集为全体实数R;当a1时，∵|x-2|1-a，x-21-a或x-2故解集为(-，a+1)(3-a，+).(2)f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x-2|-|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x-2|+|x+3|m恒成立.又对任意实数x恒有|x-2|+|x+3||(x-2)-(x+3)|=5，于是得m5，即m的取值范围是(-，5).为大家带来了2017年高考数学第一轮复习测试题含答案，高考数学复习对大家来说很重要，希望大家能够下功夫复习好数学这一科目，从而在高考中取得好的数学成绩。

2017年普通高考理科数学达标测试一

2017年普通高考理科数学达标测试一第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求． 1．已知集合{}{})2(log |,1|2x y x N x y y M -==-==，则=)(N M C R ( )A ． )2,1[B ． ),2[)1,(+∞-∞C ． ]1,0[D ． ),2[)0,(+∞-∞2．已知等比数列{}n a 的公比为正数，且4629a a a =⋅，12=a ，则1a 的值为( )A ． 3B ． 3-C ． 31-D ．31 3．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为( ) A ． 8 B ． 9 C ． 10 D ．11 4．数列{}n a 满足：R N n a a n n ∈∈-=+λλ,(1*1且0=/λ)，若数列}1{-n a 是等比数列，则λ的值等于( ) A ． 1B ． 1-C ．21D ． 25. 能够把圆16:22=+y x O 的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数不是．．圆O 的“和谐函数”的是( ) A ． xxe e xf -+=)( B ． xxx f +-=55ln)( C ． 2tan)(x x f =D ． x x x f +=34)(6．已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f 的部分图象如图所示，则)(x f 的递增区间为( )A ． Z k k k ∈⎪⎭⎫⎝⎛++-,2125,212ππππB ． Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,125,12ππππC ． Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,265,26ππππD ． Z k k k ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛++-,65,6ππππ7．给出定义：设)(x f '是函数)(x f y =的导函数，)(x f ''是函数)(x f '的导函数，若方程0)(=''x f 有实数解0x ，则称点))(,(00x f x 为函数)(x f y =的“拐点”．已知函数x x x x f cos sin 43)(-+=的拐点是))(,(00x f x M ，则点M ( )A ．在直线x y 3-=上B ．在直线x y 3=上C ．在直线x y 4-=上D ．在直线x y 4=上8．已知向量AD AC AB 、、满足F E 、,1||,2||,==+=分别是线段CD BC 、的中点．若45-=⋅，则向量与向量的夹角为( )A ． 3πB ． 32πC ． 6π D ． 65π9．如果点),(y x P 在平面区域⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-02012022y x y x y x 上，则22)1(++y x 的最大值和最小值分别是( ) A ． 53,3B ． 59,9C ． 2,9D ． 2,310．设函数m mx x f x g x x f x x x f --=⎪⎩⎪⎨⎧<<--+<≤=4)()(,01,1)1(110,)(，其中0=/m ．若函数)(x g 在区间)1,1(-上有且仅有一个零点，则实数m 的取值范围是( )A ． 41≥m 或1-=m B ． 41≥m C ． 51≥m 或1-=mD ． 51≥m11．已知函数34)(,1)(2-+-=-=x x x g e x f x ，若有)()(b g a f =，则b 的取值范围为( )A ． ]22,22[+-B ． )22,22(+-C ． ]3,1[D ． )3,1(12．已知定义在),0(+∞上的连续函数)(x f y =满足：x xe x f x f x =-')()(且0)2(,3)1(=-=f f ．则函数)(x f y =( )A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值C ．既有极小值又有极大值D ．既无极小值又无极大值第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题．第13-21题为必考题，每个试题都必须作答，第22-23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．在ABC ∆中，内角C B A 、、的对边长分别为c b a 、、，已知b c a 322=-，且C A C A sin cos 2cos sin =，则=b .14. 3=2=，与的夹角为︒120，当=k 时，k -15．已知na n n1)1(2)1(+-+<⋅-对任意*N n ∈恒成立，则实数a 的取值范围是 .16. 已知正数c b a ,,满足：,ln ln ,435c c a b c a c b a c +≥-≤≤-则ab的取值范围是 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．（本小题满分12分）设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且.21cos b c C a =- (1) 求角A 的大小；(2) 若1=a ，求ABC ∆的周长的取值范围． 18．（本小题满分12分）等差数列}{n a 各项均为正数，其前n 项和为75,32=S a S n 且1341,,a a a 成等比数列． (1) 求数列}{n a 的通项公式n a ； (2) 若数列}{n a 为递增数列，求证：.431113121<+++≤n S S S19．（本小题满分12分）在数列}{n a 中，.2)1(,1211nn n nn a n na a +++==+ (Ⅰ) 设n ab nn =，求数列}{n b 的通项公式；(Ⅱ) 求数列}{n a 的前n 项和.n S 20．（本小题满分12分）已知b x e x f x +-=2)(，曲线)(x f y =与直线1+=ax y 相切于点)).1(,1(f (1) 求b a ,的值；(2) 求证：当0>x 时，.1)2(2x x e e x ≥--+ 21．（本小题满分12分）已知函数).()1ln()(2R a x ax x x f ∈-++= (1) 若21=a ，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； (2) 讨论函数)(x f y =的单调性；(3) 若存在),0[0+∞∈x ，使0)(<x f 成立，求实数a 的取值范围．请在第(22)，(23)题中任选一题做答，在答题栏内作答。

高考数学一轮复习数列求和练习含答案

第4讲数列求和一、选择题1.等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A.120B.70C.75D.100解析因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75. 答案 C2.数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S n ＝1－2＋3－4＋…＋(－1)n －1·n ，则S 17＝( )A.9B.8C.17D.16解析 S 17＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋15－16＋17＝1＋(－2＋3)＋(－4＋5)＋(－6＋7)＋…＋(－14＋15)＋(－16＋17)＝1＋1＋1＋…＋1＝9.答案 A3.数列{a n }的通项公式为a n ＝(－1)n －1·(4n －3)，则它的前100项之和S 100等于( )A.200B.－200C.400D.－400 解析 S 100＝(4×1－3)－(4×2－3)＋(4×3－3)－…－(4×100－3)＝4×[(1－2)＋(3－4)＋…＋(99－100)]＝4×(－50)＝－200.答案 B4.(2017·高安中学模拟)已知数列5，6，1，－5，…，该数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前16项之和S 16等于( )A.5B.6C.7D.16解析根据题意这个数列的前7项分别为5，6，1，－5，－6，－1，5，6，发现从第7项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为6，前6项和为5＋6＋1＋(－5)＋(－6)＋(－1)＝0.又因为16＝2×6＋4，所以这个数列的前16项之和S 16＝2×0＋7＝7.故选C.答案 C5.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1·a n ＝2n (n ∈N *)，则S 2 016＝( )A.22 016－1B.3·21 008－3C.3·21 008－1D.3·21 007－2 解析 a 1＝1，a 2＝2a 1＝2，又a n ＋2·a n ＋1a n ＋1·a n＝2n ＋12n ＝2.∴a n ＋2a n ＝2.∴a 1，a 3，a 5，…成等比数列；a 2，a 4，a 6，…成等比数列，∴S 2 016＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋…＋a 2 015＋a 2 016＝(a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 015)＋(a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 016)＝1－21 0081－2＋2（1－21 008）1－2＝3·21 008－3.故选B. 答案 B二、填空题6.(2017·上饶模拟)有穷数列1，1＋2，1＋2＋4，…，1＋2＋4＋…＋2n －1所有项的和为________.解析由题意知所求数列的通项为1－2n1－2＝2n －1，故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－2－n . 答案 2n ＋1－2－n7.(2016·宝鸡模拟)数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21＝________.解析由a n ＋a n ＋1＝12＝a n ＋1＋a n ＋2，∴a n ＋2＝a n ，则a 1＝a 3＝a 5＝…＝a 21，a 2＝a 4＝a 6＝…＝a 20，∴S 21＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 20＋a 21)＝1＋10×12＝6.答案 68.(2017·安阳二模)已知数列{a n }中，a n ＝－4n ＋5，等比数列{b n }的公比q 满足q ＝a n －a n －1(n ≥2)且b 1＝a 2，则|b 1|＋|b 2|＋|b 3|＋…＋|b n |＝________.解析由已知得b 1＝a 2＝－3，q ＝－4，∴b n ＝(－3)×(－4)n －1，∴|b n |＝3×4n －1，即{|b n |}是以3为首项，4为公比的等比数列，∴|b 1|＋|b 2|＋…＋|b n |＝3（1－4n ）1－4＝4n －1.答案 4n －1三、解答题9.(2016·北京卷)已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和.解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3. ∴b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ＝1，2，3，…).(2)由(1)知a n ＝2n －1，b n ＝3n －1，因此c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1.从而数列{c n }的前n 项和S n ＝1＋3＋…＋(2n －1)＋1＋3＋…＋3n －1＝n （1＋2n －1）2＋1－3n1－3＝n 2＋3n －12. 10.(2017·铜川一模)已知数列{a n }的前n 项和是S n ，且S n ＋12a n ＝1(n ∈N *).(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 13(1－S n ＋1)(n ∈N *)，令T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n . 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1，由S 1＋12a 1＝1，得a 1＝23，当n ≥2时，S n ＝1－12a n ，S n －1＝1－12a n －1，则S n －S n －1＝12(a n －1－a n )，即a n ＝12(a n －1－a n )，所以a n ＝13a n －1(n ≥2).故数列{a n }是以23为首项，13为公比的等比数列.故a n ＝23·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝2·⎝ ⎛⎭⎪⎫13n (n ∈N *). (2)因为1－S n ＝12a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13n . 所以b n ＝log 13(1－S n ＋1)＝log 13⎝ ⎛⎭⎪⎫13n ＋1＝n ＋1，因为1b n b n ＋1＝1（n ＋1）（n ＋2）＝1n ＋1－1n ＋2，所以T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n 2（2n ＋2）. 11.(2016·郑州模拟)已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1（n ＋1）n ＋n n ＋1(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，则在数列S 1，S 2，…，S 2 016中，有理数项的项数为( )A.42B.43C.44D.45 解析 a n ＝1（n ＋1）n ＋nn ＋1＝（n＋1）n－n n＋1[（n＋1）n＋n n＋1][（n＋1）n－n n＋1]＝nn －n＋1n＋1.所以S n＝1－22＋⎝⎛⎭⎪⎫22－33＋⎝⎛⎭⎪⎫33－44＋…＋⎝⎛⎭⎪⎪⎫nn－n＋1n＋1＝1－n＋1n＋1，因此S3，S8，S15…为有理项，又下标3，8，15，…的通项公式为n2－1(n≥2)，所以n2－1≤2 016，且n≥2，所以2≤n≤44，所以有理项的项数为43.答案 B12.(2017·济南模拟)在数列{a n}中，a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则数列{a n}的前12项和等于()A.76B.78C.80D.82解析因为a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，所以a2－a1＝1，a3＋a2＝3，a4－a3＝5，a5＋a4＝7，a6－a5＝9，a7＋a6＝11，…，a11＋a10＝19，a12－a11＝21，所以a1＋a3＝2，a4＋a2＝8，…，a12＋a10＝40，所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取两个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列，以上式相加可得，S12＝a1＋a2＋a3＋…＋a12＝(a1＋a3)＋(a5＋a7)＋(a9＋a11)＋(a2＋a4)＋(a6＋a8)＋(a10＋a12)＝3×2＋8＋24＋40＝78.答案 B13.设f(x)＝4x4x＋2，若S＝f⎝⎛⎭⎪⎫12 015＋f⎝⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f⎝⎛⎭⎪⎫2 0142 015，则S＝________.解析∵f(x)＝4x4x＋2，∴f (1－x )＝41－x41－x ＋2＝22＋4x ， ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015，② ① ＋②得，2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0132 015＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0142 015＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 015＝ 2 014，∴S ＝2 0142＝1 007.答案 1 00714.(2015·山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n ·a n ＋1的前n项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3.①令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.②解①②得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1×41＋2×42＋…＋n ×4n ，所以4T n ＝1×42＋2×43＋…＋n ×4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4（1－4n ）1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43. 所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋（3n －1）4n ＋19.。

高三数学一轮专题复习------- 数列的求和(有详细答案)

数列的求和1. 在数列{a n }中，若a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2(n ≥1)，则该数列的通项a n ＝________．答案：a n ＝2n －1解析：由已知{a n }为等差数列，d ＝a n ＋1－a n ＝2， ∴ a n ＝2n －1.2. 已知数列{a n }中，a 1＝1，(n ＋1)a n ＋1＝na n (n ∈N *)，则该数列的通项公式a n ＝________．答案：a n ＝1n解析：a n a 1＝a n a n －1×a n －1a n －2×…×a 2a 1＝1n .3. (必修5P 44习题2(2)改编) 20n =å（1+2 n ）=________．答案：441 解析：20n =å(1＋2n)＝1＋(1＋2×1)＋(1＋2×2)＋…＋(1＋2×20)＝21＋2×20（1＋20）2＝441.4. (必修5P 60复习题8(1)改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n （n ＋1），则S 4＝________．答案：45解析：a n ＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1，∴ S 4＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＝45.5. (必修5P 51例3改编) 数列112，214，318，4116，…的前n 项和是 __________．答案：S n ＝n （n ＋1）2＋1－12n解析：S n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n （n ＋1）2＋12⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n （n ＋1）2＋1－12n.1. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f(n)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n)可求，则可用累加法求数列的通项a n .2. 当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f(n)，且f(1)·f(2)·…·f(n)可求，则可用迭乘法求数列的通项a n .3. (1) a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2) 等差数列前n 项和S n ＝n （a 1＋a n ）2，推导方法：倒序相加法． (3) 等比数列前n 项和S n ＝⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q ＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.推导方法：错位相减法．4. 常见数列的前n 项和： (1) 1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(2) 2＋4＋6＋…＋2n ＝n(n ＋1)； (3) 1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝n 2；(4) 12＋22＋32＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6．5. (1) 分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2) 拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3) 错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (4) 倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导方法． 6. 常见的拆项公式有：(1) 1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1；(2) 1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；(3)1n （n ＋1）（n ＋2）＝12⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；(4)1a ＋b ＝1a －b(a －b).题型1 求简单数列的通项公式例1 求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋2n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2n a n . 解：(1) a n ＝n 2(2) a n ＝2n （n －1）2变式训练求下列数列{a n }的通项公式： (1) a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋1； (2) a 1＝1，a n ＋1＝2a n2＋a n ；(3) a 1＝2，a n ＋1＝a 2n . 解：(1) a n ＝2n －1 (2) a n ＝2n ＋1(3) a n ＝22n －1 题型2 分组转化求和例2 求下面数列的前n 项和： 112，314，518，7116， … 解：S n ＝112＋314＋518＋7116＋…＋⎣⎡⎦⎤（2n －1）＋12n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n[1＋（2n －1）]2＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝n 2－12n ＋1.备选变式（教师专享）已知a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧5n ＋1，n 为奇数，2n 2，n 为偶数.(1) 求数列{a n }的前10项和S 10；(2) 求数列{a n }的前2k 项和S 2k .解：(1) S 10＝(6＋16＋26＋36＋46)＋(2＋22＋23＋24＋25) ＝5（6＋46）2＋2（1－25）1－2＝192.(2) 由题意知数列{a n }的前2k 项中，k 个奇数项组成首项为6，公差为10的等差数列，k 个偶数项组成首项为2，公比为2的等比数列．∴ S 2k ＝[6＋16＋...＋(10k －4)]＋(2＋22＋ (2))＝k[6＋（10k －4）]2＋2（1－2k ）1－2＝5k 2＋k ＋2k ＋1－2.题型3 裂项相消求和例3 求下面各数列的前n 项和： (1)11×5，13×7，15×9，17×11，… (2) 2222－1，4242－1，6262－1，8282－1，…解：(1) ∵ a n ＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14(12n －1－12n ＋3)，∴ S n ＝14(1－15＋13－17＋15－19＋…＋12n －3－12n ＋1＋12n －1－12n ＋3)＝14(1＋13－12n ＋1－12n ＋3)＝n （4n ＋5）3（2n ＋1）（2n ＋3）. (2) ∵ a n ＝（2n ）2（2n －1）（2n ＋1）＝1＋1（2n －1）（2n ＋1）＝1＋12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1，∴ S n ＝n ＋12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝2n （n ＋1）2n ＋1. 备选变式（教师专享）求1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋3＋…＋n .解：∵a k ＝2⎝⎛⎭⎫1k －1k ＋1，∴S n ＝2n n ＋1.题型4 倒序相加求和例4 设f(x)＝13x ＋3，求f(－12)＋f(－11)＋f(－10)＋…＋f(0)＋…＋f(11)＋f(12)＋f(13)的值．解：∵ f(x)＋f(1－x)＝33，∴ 原式＝1333. 备选变式（教师专享）一个等差数列前4项之和为26，最末4项之和为110，所有项之和为187，则它的项数为________．答案：11解析：∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝26，a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝110，∴a 1＋a n ＝26＋1104＝34.又S n ＝n （a 1＋a n ）2＝187，∴n ＝11. 题型5 错位相减求和例5 在各项均为正数的等比数列{a n }中，已知a 2＝2a 1＋3，且3a 2，a 4，5a 3成等差数列．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设b n ＝log 3a n ，求数列{a n b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设{a n }公比为q ，由题意得q>0，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2a 1＋3，3a 2＋5a 3＝2a 4，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1（q －2）＝3，2q 2－5q －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝3或⎩⎨⎧a 1＝－65，q ＝－12(舍)，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3·3n －1＝3n ，n ∈N (2) 由(1)可得b n ＝log 3a n ＝n ，所以a n b n ＝n·3n . 所以S n ＝1·3＋2·32＋3·33＋…＋n·3n ，所以3S n ＝1·32＋2·33＋3·34＋…＋n·3n ＋1，两式相减得，2S n ＝－3－(32＋33＋…＋3n )＋n·3n ＋1＝－(3＋32＋33＋…＋3n )＋n·3n ＋1＝－3（1－3n ）1－3＋n ·3n ＋1＝3＋（2n －1）·3n ＋12，所以数列{a n b n }的前n 项和S n ＝3＋（2n －1）·3n ＋14.备选变式（教师专享）已知数列{a n }的前n 项和为S n ＝3n －1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝log 13(S n ＋1)，求数列{b n a n }的前n 项和T n .解：(1) 当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n －1)－(3n －1－1)＝2×3n －1，综上所述，a n ＝2×3n －1.(2) b n ＝log 1(S n ＋1)＝log 13n ＝－n ，所以b n a n ＝－2n ×3n －1，T n ＝－2×1－4×31－6×32－…－2n ×3n －1，3T n ＝－2×31－4×32－…－2(n －1)×3n －1－2n ×3n ，相减，得－2T n ＝－2×1－2×31－2×32－…－2×3n －1＋2n ×3n＝－2×(1＋31＋32＋…＋3n －1)＋2n ×3n ，所以T n ＝(1＋31＋32＋…＋3n －1)－n ×3n＝1－3n1－3－n ×3n＝－（2n －1）×3n ＋12，n ∈N *.1. 数列{a n }的首项为3，{b n }为等差数列且b n ＝a n ＋1－a n (n ∈N )．若b 3＝－2，b 10＝12，则a 8＝________．答案：3解析：已知b n ＝2n －8，a n ＋1－a n ＝2n －8，由叠加法(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 8－a 7)＝－6－4－2＋0＋2＋4＋6＝0a 8＝a 1＝3.2. (2013·大纲)等差数列{a n }中，a 7＝4，a 19＝2a 9. (1) 求{a n }的通项公式； (2) 设b n ＝1na n，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1) 设等差数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ，因为⎩⎪⎨⎪⎧a 7＝4，a 19＝2a 9，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋6d ＝4，a 1＋18d ＝2（a 1＋8d ）.解得a 1＝1，d ＝12.所以{a n }的通项公式为a n ＝n ＋12. (2) b n ＝1na n ＝2n （n ＋1）＝2n －2n ＋1，所以S n ＝⎝⎛⎭⎫21－22＋⎝⎛⎭⎫22－23＋…＋⎝⎛⎭⎫2n －2n ＋1 ＝2n n ＋1. 3. (2013·湖南)设S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a 1≠0，2a n －a 1＝S 1·S n ，n ∈N(1) 求a 1，a 2，并求数列{a n }的通项公式； (2) 求数列{na n }的前n 项和．解：(1) ∵ S 1＝a 1.∴ 当n ＝1时，2a 1－a 1＝S 1·S 1a 1≠0，a 1＝1. 当n>1时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －a 1S 1－2a n －1－a 1S 1＝2a n －2a n －1a n ＝2a n －1{a n }是首项为a 1＝1公比为q ＝2的等比数列，a n ＝2n －1，n ∈N *.(2) 设T n ＝1·a 1＋2·a 2＋3·a 3＋…＋n·a n qT n ＝1·qa 1＋2·qa 2＋3·qa 3＋…＋n·qa n qT n ＝1·a 2＋2·a 3＋3·a 4＋…＋n·a n ＋1，上式左右错位相减：(1－q)T n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －na n ＋1＝a 11－q n1－q －na n ＋1＝2n －1－n·2nT n ＝(n －1)·2n ＋1，n ∈N *.4. 已知等差数列{a n }前三项之和为－3，前三项积为8. (1) 求等差数列{a n }的通项公式；(2) 若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解：(1) 设公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1（a 1＋d ）（a 1＋2d ）＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3.∴ a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2) 当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4，2不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1，2，－4成等比数列，满足条件．当|a n |＝|3n －7|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n ＋7，n ＝1，2，3n －7，n ≥3.n ＝1，S 1＝4；n ＝2时，S 2＝5；当n ≥3时，S n ＝|a 1|＋…＋|a n |＝32n 2－112n ＋10.又n ＝2满足此式，∴ S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4（n ＝1），32n 2－112n ＋10（n ＞1）.1. 已知数列a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n －1，n 为奇数，n ，n 为偶数，求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100的值．解：由题意得a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 99＋a 100＝0＋2＋2＋4＋4＋…＋98＋98＋100＝2(2＋4＋6＋…＋98)＋100＝2×49×（2＋98）2＋100＝5 000.2. 已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项的乘积T n ＝⎝⎛⎭⎫14n 2－6n (n ∈N *)，b n ＝log 2 a n ，则数列{b n }的前n 项和S n 取最大时，n ＝________．答案：3解析：当n ＝1时，a 1＝T 1＝45＝210，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝⎝⎛⎭⎫14n 2－6n －（n －1）2＋6（n －1）＝⎝⎛⎭⎫142n －7＝214－4n，此式对n ＝1也成立，所以a n ＝214－4n，从而b n ＝log 2a n ＝14－4n ，可以判断数列{b n }是首项为10，公差为－4的等差数列，因此S n ＝－2n 2＋12n ，故当n ＝3时，S n 有最大值．3. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切正整数n ，点P n (n ，S n )都在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，且在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n .(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若b n ＝2k n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解： (1) ∵ 点P n (n ，S n )在函数f(x)＝x 2＋2x 的图象上，∴ S n ＝n 2＋2n(n ∈N *)，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3满足上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1.(2) 由f(x)＝x 2＋2x ，求导得f′(x)＝2x ＋2. ∵ 在点P n (n ，S n )处的切线的斜率为k n ， ∴ k n ＝2n ＋2，∴ b n ＝2k n a n ＝4·(2n ＋1)·4n ，∴ T n ＝4×3×4＋4×5×42＋4×7×43＋…＋4×(2n ＋1)×4n ，用错位相减法可求得T n ＝6n ＋19·4n ＋2－169.4. 已知等差数列{a n }是递增数列，且满足a 4·a 7＝15，a 3＋a 8＝8. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 令b n ＝19a n －1a n(n ≥2)，b 1＝13，求数列{b n }的前n 项和S n .解：(1) 根据题意：a 3＋a 8＝8＝a 4＋a 7，a 4·a 7＝15，知：a 4，a 7是方程x 2－8x ＋15＝0的两根，且a 4<a 7，解得a 4＝3，a 7＝5，设数列{a n }的公差为d ，由a 7＝a 4＋(7－4)·d ，得d ＝23.故等差数列{a n }的通项公式为a n ＝a 4＋(n －4)·d ＝3＋23(n －4)＝2n ＋13.(2) 当n ≥2时，b n ＝19a n －1a n ＝19⎝⎛⎭⎫23n －13⎝⎛⎭⎫23n ＋13＝1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1.又b 1＝13＝12⎝⎛⎭⎫1－13， ∴ S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1.1. a n 的两种常见变形a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)(累加法) a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…a na n －1(累乘法)2. 数列求和的方法技能① 倒序相加 ② 错位相减 ③ 分组求和 ④ 拆项相消3. 方程思想、函数思想、化归思想、整体思想、分类讨论等数学思想在数列中均得到广泛应用，尤其是运用化归的思想将问题转化为等差、等比数列问题来研究是解决数列综合问题的最基本思维方法．。

2017版高考数学(山东专用理科)一轮复习习题：第六章第4讲数列求和含答案

基础巩固题组(建议用时：40分钟）一、选择题1。

（2016·绵阳一诊)已知数列{a n｝的通项公式是a n＝2n－3（⎭⎪⎫15n,则其前20项和为()A.380－错误!错误!B.400－错误!错误!C。

420－错误!错误!D。

440－错误!错误!解析令数列｛a n}的前n项和为S n，则S20＝a1＋a2＋…＋a20＝2(1＋2＋…＋20)－3错误!＝2×错误!－3×错误!＝420－错误!错误!。

答案 C2.数列a n＝错误!，其前n项之和为错误!,则在平面直角坐标系中，直线(n＋1)x＋y ＋n＝0在y轴上的截距为（)A。

－10 B.－9 C.10 D.9解析数列的前n项和为错误!＋错误!＋…＋错误!＝1－错误!＝错误!＝错误!，∵n＝9，∴直线方程为10x＋y＋9＝0.令x＝0,得y＝－9,∴在y轴上的截距为－9.答案 B3.数列{a n}的通项公式为a n＝(－1)n－1·（4n－3），则它的前100项之和S100等于（）A。

200 B.－200C。

400 D.－400解析S100＝（4×1－3）－（4×2－3）＋(4×3－3)－…－（4×100－3）＝4×[(1－2）＋（3－4）＋…＋(99－100）］＋[－3－（－3)－3＋…－(－3）］＝4×(－50)＝－200.答案 B4。

（2016·合肥一模)已知数列｛a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n ｜}的前n 项和T n 等于( ）A.6n －n 2B 。

n 2－6n ＋18C 。

错误!D 。

错误! 解析 ∵由S n ＝n 2－6n 得｛a n }是等差数列,且首项为－5，公差为2。

∴a n ＝－5＋（n －1）×2＝2n －7,∴n ≤3时,a n ＜0，n ＞3时，a n ＞0，∴T n ＝错误!答案 C5. (2016·平度模拟）已知函数f （n )＝错误!且a n ＝f (n )＋f （n ＋1），则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于（ )A 。

(浙江通用)高考数学一轮复习第五章数列 5.4 数列求和-人教版高三全册数学试题

【步步高】（某某通用）2017版高考数学一轮复习第五章数列 5.4数列求和求数列的前n 项和的方法 (1)公式法①等差数列的前n 项和公式S n ＝n a 1＋a n 2＝na 1＋n n －12d .②等比数列的前n 项和公式 (ⅰ)当q ＝1时，S n ＝na 1；(ⅱ)当q ≠1时，S n ＝a 11－q n 1－q ＝a 1－a n q 1－q.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． (3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．常见的裂项公式 ①1n n ＋1＝1n －1n ＋1；②12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1；③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广． (5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广． (6)并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)nf (n )类型，可采用两项合并求解．例如，S n ＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋11－q.( √ ) (2)当n ≥2时，1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1)．( √ ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( × )(4)数列{12n ＋2n －1}的前n 项和为n 2＋12n .( × )(5)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 288°＋sin 289°＝44.5.( √ )1．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1nn ＋1，则S 5等于( ) A ．1 B.56C.16D.130 答案 B 解析 ∵a n ＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝56.2．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项的和为( )A ．120B ．70C ．75D ．100 答案 C解析因为S n n ＝n ＋2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前10项和为10×3＋10×92＝75.3．设f (x )＝4x4x ＋2，利用倒序相加法，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011等于( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．10答案 B解析当x 1＋x 2＝1时，f (x 1)＋f (x 2)12121212121244242(44) 1.42424(44)24x x x x x x x x x x x x ++⨯+⨯+=+==++++⨯+ 设S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011，倒数相加有2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫211＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫911＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1011＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝10，即S ＝5.4．若数列{a n }的通项公式为a n ＝2n＋2n －1，则数列{a n }的前n 项S n ＝________. 答案 2n ＋1－2＋n 2解析 S n ＝21－2n1－2＋n 1＋2n －12＝2n ＋1－2＋n 2.5．数列{a n }的通项公式为a n ＝n cos n π2，其前n 项和为S n ，则S 2 017＝________.答案 1 008解析因为数列a n ＝n cosn π2呈周期性变化，观察此数列规律如下：a 1＝0，a 2＝－2，a 3＝0，a 4＝4.故S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2. ∴S 2 017＝S 2 016＋a 2 017 ＝2 0164×2＋2 017·cos 2 0172π ＝1 008.题型一分组转化法求和例1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n2－n －12＋n －12＝n .a 1也满足a n ＝n ，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n .(2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn .记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.引申探究例1(2)中，求数列{b n }的前n 项和T n . 解由(1)知b n ＝2n＋(－1)n·n . 当n 为偶数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －1)＋n ]＝2－2n ＋11－2＋n 2＝2n ＋1＋n2－2当n 为奇数时，T n ＝(21＋22＋…＋2n )＋[－1＋2－3＋4－…－(n －2)＋(n －1)－n ]＝2n ＋1－2＋n －12－n ＝2n ＋1－n 2－52. ∴T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋1＋n2－2， n 为偶数，2n ＋1－n 2－52， n 为奇数思维升华某些数列的求和是将数列分解转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，这就要通过对数列通项结构特点进行分析研究，将数列的通项合理分解转化．特别注意在含有字母的数列中对字母的讨论．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n ·(ln 2－ln 3)＋(－1)nn ln 3，求其前n 项和S n . 解 S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋(n －12－n )ln 3＝3n－n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.题型二错位相减法求和例2 (2015·某某)设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，已知b 1＝a 1，b 2＝2，q ＝d ，S 10＝100. (1) 求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2) 当d >1时，记＝a nb n，求数列{}的前n 项和T n .解 (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋45d ＝100，a 1d ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋9d ＝20，a 1d ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9，d ＝29.故⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，或⎩⎪⎨⎪⎧a n＝192n ＋79，b n＝9·⎝ ⎛⎭⎪⎫29n －1.(2)由d >1，知a n ＝2n －1，b n ＝2n －1，故＝2n －12n －1，于是T n ＝1＋32＋522＋723＋924＋…＋2n －12n －1，① 12T n ＝12＋322＋523＋724＋925＋…＋2n －12n .② ①－②可得12T n ＝2＋12＋122＋…＋12n －2－2n －12n ＝3－2n ＋32n ，故T n ＝6－2n ＋32n －1.思维升华用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．已知数列{a n}的各项均为正数，S n是数列{a n}的前n项和，且4S n＝a2n＋2a n－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)已知b n＝2n，求T n＝a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的值．解(1)当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34.解得a1＝3.又∵4S n＝a2n＋2a n－3，①当n≥2时，4S n－1＝a2n－1＋2a n－1－3.②①－②，得4a n＝a2n－a2n－1＋2(a n－a n－1)，即a2n－a2n－1－2(a n＋a n－1)＝0.∴(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0.∵a n＋a n－1>0，∴a n－a n－1＝2 (n≥2)，∴数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．∴a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.(2)T n＝3×21＋5×22＋…＋(2n＋1)·2n，③2T n＝3×22＋5×23＋…＋(2n－1)·2n＋(2n＋1)2n＋1，④④－③，得T n＝－3×21－2(22＋23＋…＋2n)＋(2n＋1)2n＋1＝－6＋8－2·2n＋1＋(2n＋1)·2n＋1＝(2n－1)2n＋1＋2.题型三裂项相消法求和命题点1 形如a n＝1n n＋k型例3 设各项均为正数的数列{a n}的前n项和为S n，且S n满足S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*.(1)求a1的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a1＋1＋1a2a2＋1＋…＋1a n a n＋1＜13.(1)解由题意知，S2n－(n2＋n－3)S n－3(n2＋n)＝0，n∈N*. 令n＝1，有S21－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，可得S21＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又a n 为正数，所以a 1＝2.(2)解由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得， (S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3，又数列{a n }的各项均为正数，所以S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)．所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n .又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n . (3)证明当n ＝1时，1a 1a 1＋1＝12×3＝16＜13成立；当n ≥2时，1a na n ＋1＝12n2n ＋1＜12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，所以1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1＜16＋12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－12n ＋1＜16＋16＝13. 所以对一切正整数n ，有1a 1a 1＋1＋1a 2a 2＋1＋…＋1a na n ＋1＜13.命题点2 形如a n ＝1n ＋n ＋k型例4 已知函数f (x )＝x a的图象过点(4,2)，令a n ＝1f n ＋1＋f n，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 017＝________. 答案2 018－1解析由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝12x . ∴a n ＝1f n ＋1＋f n＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 017＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 017＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 017－ 2 016)＋( 2 018－ 2 017)＝ 2 018－1.思维升华 (1)用裂项相消法求和时，要对通项进行变换，如：1n ＋n ＋k ＝1k(n ＋k －n )，1n n ＋k ＝1k (1n －1n ＋k )裂项后可以产生连续可以相互抵消的项．(2)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，其前n 项和S n 满足S 2n ＝a n ⎝⎛⎭⎪⎫S n －12.(1)求S n 的表达式；(2)设b n ＝S n2n ＋1，求{b n }的前n 项和T n .解 (1)∵S 2n ＝a n ⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，a n ＝S n －S n －1 (n ≥2)，∴S 2n ＝(S n －S n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫S n －12，即2S n －1S n ＝S n －1－S n ，① 由题意得S n －1·S n ≠0，①式两边同除以S n －1·S n ，得1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是首项为1S 1＝1a 1＝1，公差为2的等差数列．∴1S n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，∴S n ＝12n －1. (2)∵b n ＝S n 2n ＋1＝12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－13)＋(13－15)＋…＋(12n －1－12n ＋1)]＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n2n ＋1.四审结构定方案典例 (14分)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn (其中k ∈N *)，且S n 的最大值为8.(1)确定常数k ，并求a n ；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫9－2a n 2n 的前n 项和T n .(1)S n ＝－12n 2＋nk ――→S n 是关于n的二次函数n ＝k 时，S n 最大――→根据S n 结构特征确定k 的值k ＝4；S n ＝－12n 2＋4n ――→根据S n求a n a n ＝92－n (2)9－2a n 2n＝n 2n －1――→根据数列结构特征确定求和方法 T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n 2n －1――→错位相减法求和计算可得T n 规X 解答解 (1)当n ＝k ∈N *时，S n ＝－12n 2＋kn 取得最大值，即8＝S k ＝－12k 2＋k 2＝12k 2，故k 2＝16，k ＝4.当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72，[4分]当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝92－n .当n ＝1时，上式也成立，综上，a n ＝92－n .[7分](2)因为9－2a n 2n ＝n2n －1，所以T n ＝1＋22＋322＋…＋n －12n －2＋n2n －1，①2T n ＝2＋2＋32＋…＋n －12n －3＋n2n －2.②[10分] ②－①得：2T n －T n ＝2＋1＋12＋…＋12n －2－n2n －1＝4－12n －2－n 2n －1＝4－n ＋22n －1.[13分]故T n ＝4－n ＋22n －1.[14分]温馨提醒 (1)根据数列前n 项和的结构特征和最值确定k 和S n ，求出a n 后再根据{9－2a n2n }的结构特征确定利用错位相减法求T n .在审题时，要通过题目中数式的结构特征判定解题方案．(2)利用S n 求a n 时不要忽视n ＝1的情况；错位相减时不要漏项或算错项数． (3)可以通过n ＝1,2时的特殊情况对结论进行验证．[方法与技巧]非等差、等比数列的一般数列求和，主要有两种思想：(1)转化的思想，即将一般数列设法转化为等差或等比数列，这一思想方法往往通过通项分解或错位相消来完成；(2)不能转化为等差或等比的特殊数列，往往通过裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、并项法、数列的周期性等来求和． [失误与防X]1．直接应用公式求和时，要注意公式的应用X 围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．2．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号；结论中形如a n，a n ＋1的式子应进行合并．3．在应用裂项相消法时，要注意消项的规律具有对称性，即前剩多少项则后剩多少项．A 组专项基础训练 (时间：35分钟)1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n答案 A解析该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋(12＋122＋…＋12n )＝n 2＋1－12n .2．已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n 为{a n }的前n 项和，n ∈N *，则S 10的值为( ) A ．－110 B ．－90 C ．90 D ．110 答案 D解析通过a 7是a 3与a 9的等比中项，公差为－2，所以a 27＝a 3·a 9，所以a 27＝(a 7＋8)(a 7－4)，所以a 7＝8，所以a 1＝20，所以S 10＝10×20＋10×92×(－2)＝110，故选D.3．已知函数f (n )＝n 2cos(n π)，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．－100 B ．0 C ．100 D ．10 200 答案 A解析若n 为偶数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝n 2－(n ＋1)2＝－(2n ＋1)，所以a n 是首项为a 2＝－5，公差为－4的等差数列；若n 为奇数，则a n ＝f (n )＋f (n ＋1)＝－n 2＋(n ＋1)2＝2n ＋1，所以a n 是首项为a 1＝3，公差为4的等差数列．所以a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝50×3＋50×492×4＋50×(－5)－50×492×4＝－100.4．数列{a n }中，a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，则数列{a n }前12项和等于( ) A ．76 B ．78 C ．80 D ．82 答案 B解析由已知a n ＋1＋(－1)na n ＝2n －1，得a n ＋2＋(－1)n ＋1·a n ＋1＝2n ＋1，得a n ＋2＋a n ＝(－1)n(2n－1)＋(2n ＋1)，取n ＝1,5,9及n ＝2,6,10，结果相加可得S 12＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 11＋a 12＝78.故选B.5．已知函数f (n )＝⎩⎪⎨⎪⎧n 2当n 为奇数时，－n 2当n 为偶数时，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( ) A ．0 B ．100 C ．－100 D ．10 200 答案 B解析由题意，得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－(4＋3)＋…－(99＋100)＋(101＋100) ＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101) ＝－50×101＋50×103＝100.故选B.6．在等差数列{a n }中，a 1＞0，a 10·a 11＜0，若此数列的前10项和S 10＝36，前18项和S 18＝12，则数列{|a n |}的前18项和T 18的值是________．答案 60解析由a 1＞0，a 10·a 11＜0可知d ＜0，a 10＞0，a 11＜0， ∴T 18＝a 1＋…＋a 10－a 11－…－a 18 ＝S 10－(S 18－S 10)＝60.7．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 015项的和为________．答案－13解析由a n ＋2＝a n ＋1－a n ，得a n ＋2＝a n －a n －1－a n ＝－a n －1，易得该数列是周期为6的数列，且a n ＋2＋a n －1＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 2－a 1＝－13，a 2＋a 1＝2 013，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1 013，a 2＝1 000，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝－13，a 4＝－1 013，依次可得a 5＝－1 000，a 6＝13，由此可知a n ＋1＋a n ＋2＋a n ＋3＋a n ＋4＋a n ＋5＋a n ＋6＝0， ∴S 2 015＝S 5＝－13.8．已知数列{a n }满足：a 1＝12，a n ＋1＝a 2n ＋a n ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 015＋1 的值等于________．答案 1解析由a n ＋1＝a 2n ＋a n ，得1a n ＋1＝1a na n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a n ＋1＝1a n －1a n ＋1，所以1a 1＋1＋1a 2＋1＋…＋1a 2 015＋1＝1a 1－1a 2＋1a 2－1a 3＋…＋1a 2 015－1a 2 016＝2－1a 2 016.又a n ＋1＝a 2n ＋a n ，所以a n ＋1－a n ＝a 2n >0，所以{a n }是正项递增的数列．又因为a 3＝2116>1，所以a 2 016>1，即0<1a 2 016<1，所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1a 2 016＝1.9．已知数列{a n }中，a 1＝3，a 2＝5，且{a n －1}是等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)∵{a n －1}是等比数列且a 1－1＝2，a 2－1＝4，a 2－1a 1－1＝2，∴a n －1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n＋1.(2)b n ＝na n ＝n ·2n＋n ，故T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n )．令T ＝2＋2×22＋3×23＋…＋n ·2n，则2T ＝22＋2×23＋3×24＋…＋n ·2n ＋1.两式相减，得－T ＝2＋22＋23＋ (2)－n ·2n ＋1＝21－2n1－2－n ·2n ＋1，∴T ＝2(1－2n)＋n ·2n ＋1＝2＋(n －1)·2n ＋1.∵1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， ∴T n ＝(n －1)·2n ＋1＋n 2＋n ＋42.10．正项数列{a n }的前n 项和S n 满足：S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0. (1)求数列{a n }的通项公式a n ； (2)令b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，证明：对于任意的n ∈N *，都有T n <564. (1)解由S 2n －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0，由于{a n }是正项数列，所以S n ＋1>0. 所以S n ＝n 2＋n (n ∈N *)．n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ， n ＝1时，a 1＝S 1＝2适合上式．所以a n ＝2n (n ∈N *)． (2)证明由a n ＝2n (n ∈N *)，得b n ＝n ＋1n ＋22a 2n ＝n ＋14n 2n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n2－1n ＋22， T n ＝116⎣⎢⎡⎝⎛⎭⎪⎫1－132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－142＋⎝⎛⎭⎪⎫132－152＋…⎦⎥⎤＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －12－1n ＋12＋⎝⎛⎭⎪⎫1n 2－1n ＋22＝116⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋122－1n ＋12－1n ＋22<116⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋122 ＝564(n ∈N *)．即对于任意的n ∈N *，都有T n <564.B 组专项能力提升 (时间：20分钟)11．已知数列{a n }：12，13＋23，14＋24＋34，…，110＋210＋310＋…＋910，…，若b n ＝1a n a n ＋1，那么数列{b n }的前n 项和S n 为( ) A.nn ＋1B.4nn ＋1 C.3n n ＋1D.5n n ＋1答案 B解析 ∵a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＋1＝n2，∴b n ＝1a n a n ＋1＝4nn ＋1＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， ∴S n ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1n ＋1＝4nn ＋1. 12．已知数列2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2 014项之和S 2 014等于( ) A ．2 008 B ．2 010 C ．1 D ．0 答案 B解析由已知得a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)， ∴a n ＋1＝a n －a n －1.故数列的前8项依次为2 008,2 009,1，－2 008，－2 009，－1,2 008,2 009.由此可知数列为周期数列，周期为6，且S 6＝0. ∵2 014＝6×335＋4，∴S 2 014＝S 4＝2 008＋2 009＋1＋(－2 008)＝2 010.13．数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．答案 16解析设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0，得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －815d ，从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0；当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.14．在数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝12，如果a n ＋1是1与2a n a n ＋1＋14－a 2n 的等比中项，那么a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002的值是________．答案100101解析由题意可得，a 2n ＋1＝2a n a n ＋1＋14－a 2n⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0，又a n ＞0，∴2a n ＋1－a n a n ＋1－1＝0，又2－a n ≠0，∴a n ＋1＝12－a n ⇒a n ＋1－1＝a n －12－a n ，又可知a n ≠1，∴1a n ＋1－1＝1a n －1－1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以－2为首项，－1为公差的等差数列， ∴1a n －1＝－2－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝n n ＋1⇒a nn 2＝1n n ＋1＝1n －1n ＋1，∴a 1＋a 222＋a 332＋a 442＋…＋a 1001002＝1－12＋12－13＋13－14＋14－15＋…＋1100－1101＝100101. 15．(2015·某某)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n2n ＋1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设数列{a n }的公差为d ，令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3. 令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15.解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1. 经检验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n，所以T n ＝1·41＋2·42＋…＋n ·4n，所以4T n ＝1·42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋ (4)－n ·4n ＋1＝41－4n1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3×4n ＋1－43.所以T n ＝3n －19×4n ＋1＋49＝4＋3n －14n ＋19.。

新高考数学理一轮总复习知能演练5.4数列求和(含答案详析)

一、选择题)已知数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ an 2＋ bn(a 、 b ∈R )，且 S 25＝ 100，则1． (2013 ·阳质检辽 a 12＋ a 14 等于 ( )A ． 16B ． 8C ． 4D ．不确立分析：选 B.由数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ an 2＋ bn(a 、 b ∈R )，可得数列 { a n } 是等差数列， S 25 a 1＋ a 25 ·25＝＝ 100，解得 a 1＋ a 25＝ 8，因此 a 12＋ a 14＝ a 1＋ a 25＝ 8.2115 1 ， 7 1，，12．数列 1 ， 3 ， 8 (2n － 1) ＋ n ，的前 n 项和 S n 的值为 ()2 4 16221B ． 2n 21A ． n ＋ 1－n－ n ＋ 1－n222121C ． n ＋ 1－ n －1D ．n － n ＋ 1－ n 22分析：选 A. 该数列的通项公式为1a n ＝ (2n － 1)＋n ，21 11则 S n ＝ [1＋3＋ 5＋＋ (2n － 1)]＋ (2＋ 22＋＋ 2n )21＝ n ＋ 1－ n .应选 A.2n ＋ 13．已知数列 { a n } 的通项公式 a n ＝ log 2(n ∈ N ＋ )，设 { a n } 的前 n 项和为 S n ，则使 S n ＜n ＋ 2－ 5 建立的自然数 n()A ．有最大值 63B ．有最小值 63C ．有最大值 31D ．有最小值 31分析：选 B. S n ＝ a 1＋a 2＋＋ a n ＝ log 2 n ＋ 1 ＝ log 2 2×3× × n ＋ 12＋ log 23＋＋log 2 ＝3 4 n ＋ 2 3 4 n ＋ 2log 2 2＜－5，n ＋2∴ 2＜ 2－5，∴n ＋ 2＞ 26，∴n ＞62. n ＋2又 n ∈N ＋，∴n 有最小值 63.4．设函数 f(x)＝ x m＋ ax 的导函数 f ′ (x)＝ 2x ＋ 1，则数列 1(n ∈N ＋)的前 n 项和是 ()f nA. n n ＋ 2B.n ＋ 1 n ＋ 1 n n ＋ 1C.n － 1D. n分析：选 A. 易知 f(x) ＝x 2＋ x ，则 1＝1 ＝1 ＝1－1，f nn 2＋ n n n ＋ 1nn ＋ 11的前 n 项和因此数列 f nS n ＝ 1－1＋ 1－1＋＋1－1＝ 1－ 1＝ n.1223n n ＋ 1 n ＋ 1 n ＋ 15．(2013 辽·阳质检 )对正整数 n ，设曲线 y ＝x n (1 －x)在 x ＝ 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐a n 的前 n 项和的公式是 ( )标为 a n ，则数列n ＋1 A ． 2nB ． 2n－2C ． 2n ＋ 1n ＋ 1D ．2－2分析：选 D. ∵y ′ |x ＝ 2＝－ 2n －1(n ＋ 2)，∴切线方程为： y ＋ 2n ＝－ 2n －1( n ＋ 2)( x － 2)，令 x ＝0，求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y 0＝ (n ＋ 1)2n ，因此a n＝ 2n，则数列a n2 1－ 2n的前 n 项和 S n ＝＝ 2n ＋ 1－2.n ＋ 1 n ＋ 1 1－ 2二、填空题6．在等差数列 { a n } 中， S n 表示前 n 项和， a 2＋ a 8＝ 18－a 5，则 S 9＝ ________.分析：由等差数列的性质， a 2＋ a 8＝ 18－a 5，即 2a 5 ＝18－ a 5，∴a 5＝ 6，∴S 9＝a 1＋ a 9 × 9＝ 9a 5＝54.2答案： 54)等比数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ 2n － 1，则 a 12＋ a 22＋＋ a n 2＝ ________.7．(2013 ·汉质检武分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝ 1，当 n ≥2 时，a n ＝ S n － S n －1 ＝2n － 1－ (2n － 1－ 1)＝ 2n －1 ，又∵a 1＝1 合适上式，∴ a n ＝ 2n －1，∴a 2n ＝ 4n －1.∴数列{ a 2n } 是以 a 21＝ 1 为首项，以 4 为公比的等比数列．2221·1－ 4n1n∴a 1＋ a 2＋＋ a n ＝ 1－ 4＝ 3(4 － 1)．答案：1(4n － 1)31 8．已知等比数列 { a n } 中，a 1＝ 3，a 4＝ 81，若数列 { b n } 知足 b n ＝log 3a n ，则数列的b n b n ＋1前 n 项和 S n ＝ ________.分析：设等比数列 { a n } 的公比为 q ，则 a 4＝ q 3＝ 27，解得 q ＝ 3.因此 a n ＝ a 1q n －1＝3× 3n－1a 1＝ 3n ，故 b n ＝ log 3a n ＝ n ，因此1 ＝1 ＝ 1－ 1.b n b n ＋1 n n ＋ 1 nn ＋1则数列 1的前 n 项和为 1－ 1＋ 1－ 1＋＋1－1＝1－1 ＝ n.b n b n ＋ 1 2 2 3nn ＋ 1n ＋1 n ＋ 1答案：nn ＋ 1三、解答题9．已知 { a n } 为等差数列，且 a 3＝－ 6， a 6＝ 0. (1)求 { a n } 的通项公式；(2)若等比数列 { b n } 知足 b 1＝－ 8， b 2＝ a 1＋ a 2＋ a 3，求 { b n } 的前 n 项和公式．解： (1)设等差数列 { a n } 的公差为 d. 由于 a 3＝－ 6， a 6＝ 0，a 1＋ 2d ＝－ 6，因此解得 a 1＝－ 10， d ＝ 2.a 1＋ 5d ＝ 0，因此 a n ＝－ 10＋ (n －1) ·2＝2n － 12.(2)设等比数列 { b n } 的公比为 q.由于 b 2＝ a 1＋ a 2＋ a 3＝－ 24， b 1＝－ 8，因此－ 8q ＝－ 24，即 q ＝3.b 1 1－ q n因此 { b n } 的前 n 项和公式为 S n ＝1－q＝ 4(1－ 3n )．10．在数列 { a } 中， a ＝1，当 n ≥2 时，其前 n 项和 S 知足 S 2＝ a n －1n 1 nnn S (1)求 S n 的表达式； (2)设 b n ＝ S n ，求 { b n } 的前 n 项和 T n .2n ＋1 解： (1)∵S2n －1－1(n ≥2) ，n ＝ a nS2， a n ＝ S n － S n2－ 1S n －1－ 1 n ＝S n － 1－ S n ，①)2S由题意 S n － 1n ≠ 0，·S①式两边同除以 S n － 1·S n ，得 1－ 1 ＝ 2，S n S n －1 1 1 1∴数列 S n 是首项为 S 1＝ a 1＝ 1，公差为 2 的等差数列．1 2n －1，∴S n ＝ 1 .∴ ＝ 1＋2(n － 1)＝S n2n －1 (2)又 b n ＝ S n ＝ 12n ＋1 2n － 1 2n ＋ 1 11 －12n ＋ 1＝2 2n － 1，∴T n ＝ b 1＋ b 2＋＋ b n ＝n.2n ＋ 1一、选择题n 2当n 为正奇数时，1．已知函数 f(n)＝当n 为正偶数时且 a n ＝ f(n)＋ f(n ＋ 1)，则 a 1＋ a 2＋ a 3＋－ n2，＋ a 100 等于 ()A ． 0B ．100C ．－ 100D ．10200分析：选 B. 由题意， a 1＋ a 2＋＋ a 100 ＝ 12－ 22－ 22＋ 32＋32－42－ 42＋ 52＋＋992－ 1002－ 1002＋ 1012＝－ (1＋ 2)＋ (3＋ 2)－－(99＋ 100) ＋ (101＋100)＝ 100.应选 B.2．已知 { a n } 是首项为 1 的等比数列， S n 是 { a n } 的前 n 项和，且 9S 3＝ S 6，则数列1 的前 5项和为()a n15或 5B.31或 5A. 816 3115C.16D. 89 1－ q 3 1－q6分析：选 C.设数列 { a n } 的公比为 q.由题意可知 q ≠ 1，且＝，解得 q ＝2，1－ q1－ q因此数列1 是以 1 为首项， 1为公比的等比数列，由乞降公式可得 S 5＝31.a n2 16二、填空题3．关于数列 { a n } ，定义数列 { a n ＋ 1－ a n } 为数列 { a n } 的“差数列”，若 a 1＝ 2，{ a n } 的“差数列”的通项为2n ，则数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ ________.分析： ∵a n ＋1－ a n ＝ 2n ，∴a n ＝ (a n － a n －1)＋ (a n － 1－ a n －2)＋＋ (a 2－ a 1)＋ a 12－2nn －1 n － 2 2 n n ＝2 ＋2 ＋＋ 2 ＋2＋2＝＋2＝ 2 －2＋2＝2 .2－2n ＋1∴S n ＝＝ 2n ＋1－ 2.1－ 2 答案： 2n ＋1－ 24．数列 { a n } 的前 n 项和 S n ＝ n 2－ 4n ＋2，则 |a 1|＋ |a 2|＋＋ |a 10|＝ ________. 分析：当 n ＝ 1 时， a 1＝ S 1＝－ 1. 当 n ≥2 时， a n ＝S n －S n －1＝ 2n － 5.－ 1n ＝ 1∴a n ＝.2n － 5n ≥ 2， n ∈N ＋5令 2n － 5≤ 0 得 n ≤ 2， ∴当n ≤ 2 时， a n ＜ 0；当 n ≥ 3 时， a n ＞ 0，∴|a 12101＋ a 23＋a 4＋＋ a 10|＋ |a |＋＋ |a |＝－ (a )＋ (a)＝ 66.答案： 66 三、解答题5． (2012 ·考天津卷高 ) 已知 { a n } 是等差数列，其前n 项和为 S n ， { b n } 是等比数列，且 a 1＝ b 1＝ 2， a 4＋ b 4＝ 27， S 4－ b 4＝ 10.(1)求数列 { a n } 与 { b n } 的通项公式；(2)记 T n ＝ a n b 1＋ a n －1 b 2＋＋ a 1b n ， n ∈N * ，证明 T n ＋ 12＝－ 2a n ＋ 10b n (n ∈ N * ).解： (1)设等差数列 { a n } 的公差为 d ，等比数列 { b n } 的公比为 q.由 a 1＝ b 1＝ 2，得 a 4＝2＋3d ， b 4＝ 2q 3， S 4＝ 8＋ 6d.由条件，得方程组2＋3d ＋ 2q 3＝ 27，d ＝3，解得8＋6d － 2q 3＝ 10，q ＝ 2.因此 a n ＝ 3n － 1，b n ＝2n ， n ∈N * . (2)证明：由(1) 得T n ＝ 2a n ＋22a n －1＋ 23a n －2＋＋ 2n a 1，①2T n 22n 23n－12n 2 2n＋11a a a a .n2(3n 1) 3× 22 3× 233×2n 2n＋212 1 2n－12n＋2 6n 2 10× 2nT1 26n 10.2a n 10b n 12 2(3n 1) 10× 2n 12 10× 2n 6n 10 T n 12 2a n 10b n n N* .。

高三数学一轮同步测试数列综合1数列的通项与求和 Word版含答案

因为数列、的每一项都是正数，所以 …②.
于是当时， …③.
将②、③代入①式，可得，因此数列是首项为Байду номын сангаас公差为的等差数列，
所以，于是 .
由③式，可得当时， .
当时，，满足该式子，所以对一切正整数，都有 .
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知，所证明的不等式为 .
.
当时,
.
当时，；当时，；
当时， .
()求数列的前项和．
．数列综合：数列的通项与求和
【基础训练】
．() () ()
．
．（）；（）．
．＝．
【典型例题】
．提示：可以用进行叠加．
＝
．（）（要注意到验证时的情况）
（）（同上）
．(Ⅰ)由，可得 .
由，可得 .
（Ⅱ）因为、、成等差数列，所以 …①.
因为、、成等比数列，所以，
．数列综合：数列的通项与求和
【基础训练】
．求和：（）；（）；
（）．
、求数列＋，＋，＋，…，＋，…，的前项和．
、（）．求数列, 的前项和为；
（）求数列{(－)}的前项和．
、求和：＝×＋×＋×＋…＋(－).
【典型例题】
、试求数列{}的前项和．
、已知数列{}的首项为．
（）若＝－＋（≥且∈*），求．
（）若(＋)＝(＋)－（≥且∈*），求．
．求和．
．已知数列是首项为且公比不等于的等比数列，是其前项和, 成等差数列，求的值．
．已知点是函数的图象上一点，等比数列的前项和为 ,数列的首项为，且前项和满足．
（）求数列和的通项公式；
（）若数列前项和为，问的最小正整数是多少?

高三数学人教版A版数学(理)高考一轮复习试题：5.4数列求和Word版含答案

数列求和掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法．知识点数列求和的常用方法 (1)倒序相加法：如果一个数列{a n }的前n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的．(2)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． (4)分组求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．(5)并项求和法：一个数列的前n 项和，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．易误提醒1．使用裂项相消法求和时，要注意正负项相消时，消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．2．在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解．必记结论常见数列的求和公式： (1)12＋22＋32＋…＋n 2＝n (n ＋1)(2n ＋1)6.(2)13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n (n ＋1)22.[自测练习]1．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和S n 的值等于( )A ．n 2＋1－12nB ．2n 2－n ＋1－12nC ．n 2＋1－12n －1D ．n 2－n ＋1－12n解析：该数列的通项公式为a n ＝(2n －1)＋12n ，则S n ＝[1＋3＋5＋…＋(2n －1)]＋⎝⎛⎭⎫12＋122＋…＋12n ＝n 2＋1－12n .答案：A2．已知等比数列{a n }中，a 1＝3，a 4＝81，若数列{b n }满足b n ＝log 3a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n项和S n ＝________.解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4a 1＝q 3＝27，解得q ＝3.所以a n ＝a 1q n －1＝3×3n －1＝3n ，故b n ＝log 3a n ＝n ，所以1b n b n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.则数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1b n b n ＋1的前n 项和为1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.答案：nn ＋13．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝________. 解析：∵a n ＝(－1)n (3n －2)． ∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－13＋16－19＋22－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋(－13＋16)＋(－19＋22)＋(－25＋28)＝3×5＝15. 答案：154．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝n ·2n ，则S n ＝________. 解析：∵a n ＝n ·2n ，∴S n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n ·2n .① ∴2S n ＝1·22＋2·23＋…＋(n －1)·2n ＋n ·2n ＋1② ①－②，得－S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ·2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ·2n ＋1＝2n ＋1－2－n ·2n ＋1＝(1－n )2n ＋1－2. ∴S n ＝(n －1)2n ＋1＋2. 答案：(n －1)2n ＋1＋2考点一分组转化求和|(2015·高考福建卷)等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值． [解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，(a 1＋3d )＋(a 1＋6d )＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2.(2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10) ＝2×(1－210)1－2＋(1＋10)×102＝211＋53＝2 101.分组转化法求和的两种常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数，的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和．1．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3，求其前n 项和S n .解：S n ＝2(1＋3＋…＋3n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n ]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)n n ]ln 3，所以当n 为偶数时，S n ＝2×1－3n 1－3＋n 2ln 3＝3n ＋n 2ln 3－1；当n 为奇数时，S n ＝2×1－3n 1－3－(ln 2－ln 3)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n －12－n ln 3＝3n －n －12ln 3－ln 2－1.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n＋n2ln 3－1，n 为偶数，3n－n －12ln 3－ln 2－1，n 为奇数.考点二裂项求和|(2015·高考安徽卷)已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n ＝a n ＋1S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .[解] (1)由题设知a 1a 4＝a 2a 3＝8，又a 1＋a 4＝9，可解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8a 4＝1(舍去)．设等比数列{a n }的公比为q ，由a 4＝a 1q 3得q ＝2，故a n ＝a 1q n －1＝2n －1.(2)S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝2n －1，又b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝S n ＋1－S n S n S n ＋1＝1S n －1S n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1S 1－1S 2＋⎝⎛⎭⎫1S 2－1S 3＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1S n －1S n ＋1＝1S 1－1S n ＋1＝1－12n ＋1－1.裂项求和常用的四种变形①1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. ②1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1. ③1n ＋n ＋1＝n ＋1－n .④2n(2n －1)(2n ＋1－1)＝12n －1－12n ＋1－1.2．已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2 014＝( )A. 2 013－1B. 2 014－1C. 2 015－1D. 2 015＋1解析：由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12.则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋( 2 014－ 2 013)＋( 2 015－ 2 014)＝ 2 015－1.答案：C3．(2016·曲靖一模)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( )A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2) C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2解析：∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 答案：C考点三错位相减求和|(2015·高考山东卷)已知数列{a n }是首项为正数的等差数列，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ·a n ＋1的前n 项和为n 2n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(a n ＋1)·2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . [解] (1)设数列{a n }的公差为d . 令n ＝1，得1a 1a 2＝13，所以a 1a 2＝3，①令n ＝2，得1a 1a 2＋1a 2a 3＝25，所以a 2a 3＝15，②由①②解得a 1＝1，d ＝2，所以a n ＝2n －1.经验验，符合题意． (2)由(1)知b n ＝2n ·22n －1＝n ·4n ，所以T n ＝1· 41＋2·42＋…＋n ·4n ，所以4T n ＝1· 42＋2·43＋…＋n ·4n ＋1，两式相减，得－3T n ＝41＋42＋…＋4n －n ·4n ＋1 ＝4(1－4n )1－4－n ·4n ＋1＝1－3n 3·4n ＋1－43，所以T n ＝3n －19·4n ＋1＋49＝4＋(3n －1)4n ＋19.错位相减法求和时两个注意点(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n－qS n ”的表达式．4．(2016·九江一模)已知各项不为零的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n ＝a 1(a n －1)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n b n ＝log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝a 1(a 1－1)＝a 21－a 1， ∵a 1≠0，∴a 1＝2；当n ≥2时，S n ＝a 1(a n －1)，① S n －1＝a 1(a n －1－1)，②①－②得a n ＝a 1(a n －a n －1)＝2a n －2a n －1， ∴a n ＝2a n －1.∴数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， ∴a n ＝2n . (2)∵b n ＝n 2n ，∴T n ＝121＋222＋323＋…＋n －12n －1＋n 2n ，12T n ＝122＋223＋324＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1，两式相减得12T n ＝12＋122＋123＋124＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－n ＋22n ＋1，∴T n ＝2－n ＋22n.9.通项遗漏——导致错位相减求和错误【典例】已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n 2＋n －3，n ∈N *，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n＋3，n ∈N *.(1)求a n ，b n ；(2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n . [解] (1)由S n ＝2n 2＋n －3，得 n ≥2时，S n －1＝2(n －1)2＋(n －1)－3， ∴a n ＝2n 2－2(n －1)2＋1＝4n －1，由4n －1＝a n ＝4log 2b n ＋3，得b n ＝2n －1，n ∈N *.当n ＝1时，a 1＝S 1＝0，不适合a n ＝4n －1(n ≥2)，因此a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0 (n ＝1)，4n －1 (n ≥2)，∴a 1＝4log 2b 1＋3，∴b 1＝2－34，于是b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2－34 (n ＝1)，2n －1 (n ≥2).(2)T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＋…＋a n b n ，当n ＝1时，T 1＝a 1b 1＝0×2－34＝0，当n ≥2时，T n ＝7×2＋11×22＋15×23＋…＋(4n －1)·2n －1，∴2T n ＝7×22＋11×23＋…＋(4n －5)·2n －1＋(4n －1)·2n ，则T n ＝2T n －T n ＝(4n －1)·2n －14－4(22＋23＋…＋2n －1)＝(4n －1)·2n－14－4×22(1－2n －2)1－2＝(4n－5)·2n ＋2，又n ＝1时，T 1＝0适合上式，故T n ＝(4n －5)·2n ＋2，n ∈N *.[易误点评] (1)求a n ，忽视n ＝1的情形，错求a n ，导致后续问题不能正确求解． (2)错位相减求和时，弄错等比数列的项数，盲目认为除首、末项外成等比数列．[防范措施] (1)由S n 求a n ，当n ＝1时，a 1＝S 1检验是否满足a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，若不满足，应分段表示a n ，从而求T n 时，应分类讨论．(2)由于{a n b n }的通项分段表示，求T n 时，不仅要注意对n 进行讨论，而且在写出“T n ”与“qT n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”．即公比q 的同次幂项相减，转化为等比数列求和．[跟踪练习] 已知等差数列{a n }的前n 项和S n 满足S 3＝6，S 5＝252，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为( )A ．1－n ＋22n ＋1B ．2－n ＋42n ＋1C ．2－n ＋42nD ．2－n ＋22n ＋1解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，因为S 3＝6，S 5＝252，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝6，5a 1＋10d ＝252，解得⎩⎨⎧a 1＝32，d ＝12，所以a n ＝12n ＋1，a n 2n ＝n ＋22n ＋1，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为T n ，则T n ＝322＋423＋524＋…＋n ＋12n ＋n ＋22n ＋1，12T n ＝323＋424＋525＋…＋n ＋12n ＋1＋n ＋22n ＋2，两式相减得12T n ＝34＋⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋22n ＋2＝34＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1－n ＋22n ＋2，所以T n ＝2－n ＋42n ＋1. 答案：BA 组考点能力演练1．已知S n 为数列{a n }的前n 项和，且满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ，则S 2 014＝( ) A ．2×31 007－2 B ．2×31 007 C.32 014－12D.32 014＋12解析：由a n ＋2＝3a n 可得数列{a n }的奇数项与偶数项分别构成等比数列，所以S 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝1－31 0071－3＋3(1－31 007)1－3＝(－2)×(1－31 007)＝2×31 007－2，故选择A.答案：A2．(2016·长沙质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，当n ≥2时，a n ＋2S n －1＝n ，则S 2 015的值为( )A ．2 015B ．2 013C ．1 008D ．1 007解析：因为a n ＋2S n －1＝n ，n ≥2，所以a n ＋1＋2S n ＝n ＋1，n ≥1，两式相减得a n ＋1＋a n ＝1，n ≥2.又a 1＝1，所以S 2 015＝a 1＋(a 2＋a 3)＋…＋(a 2 014＋a 2 015)＝1 008，故选择C.答案：C3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前18项的和为( )A ．2 101B ．2 012C ．1 012D ．1 067解析：当n 为奇数时，a n ＋2＝a n ＋1，即奇数项构成首项为1、公差为1的等差数列；当n 为偶数时，a n ＋2＝2a n ，即偶数项构成首项为2、公比为2的等比数列，所以该数列的前18项和为9＋9×82＋2(1－29)1－2＝45＋1 022＝1 067，故选择D.答案：D4．(2016·贵阳一模)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 4＝4，S 4＝10，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前2015项和为( )A.2 0142 015B.2 0152 016C.2 0162 015D.2 0172 016解析：设等差数列{a n }的公差为d ，则a 4＝a 1＋3d ＝4，S 4＝4a 1＋6d ＝10，联立解得a 1＝d ＝1，所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，所以数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n a n ＋1的前2 015项和为⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫12 015－12 016＝1－12 016＝2 0152 016，故选择B.答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n m ，S m ＝m n(m ，n ∈N *且m ≠n )，则下列各值中可以为S n ＋m 的值的是( )A ．2B ．3C ．4D.92解析：由已知，设S n ＝An 2＋Bn ，则⎩⎨⎧ S n ＝An 2＋Bn ＝n m ，S m ＝Am 2＋Bm ＝m n ⇒⎩⎪⎨⎪⎧(An ＋B )m ＝1，(Am ＋B )n ＝1. 两式相减得B (m －n )＝0，故B ＝0，A ＝1mn .S m ＋n ＝A (m ＋n )2＝(m ＋n )2mn ＝m 2＋n 2＋2mn mn >4mn mn＝4，故只有D 符合，故选D.答案：D6．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－3n ，n 为偶数，2n －1，n 为奇数，则其前10项和为________．解析：依题意，注意到a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝1－28·221－22＝341，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝5×(－5－29)2＝－85，因此题中的数列的前10项和等于341－85＝256.答案：2567．数列{a n }满足a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2(n ∈N *)，设b n ＝1a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T n ＝________.解析：本题考查数列的前n 项和与通项间的关系、裂项相消法．依题意，当n ≥2时，a n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1；又a 1＝12＝2×1－1，因此a n ＝2n －1，b n ＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1，因此T n ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝n 2n ＋1. 答案：n 2n ＋18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________. 解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：4809．(2016·南昌模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n,4S n ＝a 2n ＋2a n －3，且a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，当n ≥5时，a n >0.(1)求证：当n ≥5时，{a n }成等差数列；(2)求{a n }的前n 项和S n .解：(1)证明：由4S n ＝a 2n ＋2a n －3,4S n ＋1＝a 2n ＋1＋2a n ＋1－3，得4a n ＋1＝a 2n ＋1－a 2n ＋2a n ＋1－2a n ，(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －2)＝0.当n ≥5时，a n >0，所以a n ＋1－a n ＝2，所以当n ≥5时，{a n }成等差数列．(2)由4a 1＝a 21＋2a 1－3，得a 1＝3或a 1＝－1，又a 1，a 2，a 3，a 4，a 5成等比数列，所以a n ＋1＋a n ＝0(n ≤5)，q ＝－1，而a 5>0，所以a 1>0，从而a 1＝3，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3(－1)n －1(1≤n ≤4)2n －7(n ≥5)，所以S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧32[1－(－1)n ](1≤n ≤4)，n 2－6n ＋8(n ≥5).10．(2016·石家庄一模)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *，λ≠－1)，且a 1,2a 2，a 3＋3为等差数列{b n }的前三项．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)求数列{a n b n }的前n 项和．解：(1)法一：∵a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝λS n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝λa n ，即a n ＋1＝(λ＋1)a n (n ≥2)，λ＋1≠0，又a 1＝1，a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，∴数列{a n }是以1为首项，公比为λ＋1的等比数列，∴a 3＝(λ＋1)2，∴4(λ＋1)＝1＋(λ＋1)2＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.法二：∵a 1＝1，a n ＋1＝λS n ＋1(n ∈N *)，∴a 2＝λS 1＋1＝λ＋1，a 3＝λS 2＋1＝λ(1＋λ＋1)＋1＝λ2＋2λ＋1， ∴4(λ＋1)＝1＋λ2＋2λ＋1＋3，整理得λ2－2λ＋1＝0，解得λ＝1， ∴a n ＋1＝S n ＋1(n ∈N *)，∴a n ＝S n －1＋1(n ≥2)，∴a n ＋1－a n ＝a n (n ≥2)，即a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又a 1＝1，a 2＝2，∴数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列，∴a n ＝2n －1，b n ＝1＋3(n －1)＝3n －2.(2)由(1)知，a n b n ＝(3n －2)×2n －1，设T n 为数列{a n b n }的前n 项和， ∴T n ＝1×1＋4×21＋7×22＋…＋(3n －2)×2n －1，①∴2T n ＝1×21＋4×22＋7×23＋…＋(3n －5)×2n －1＋(3n －2)×2n .②①－②得，－T n ＝1×1＋3×21＋3×22＋…＋3×2n －1－(3n －2)×2n ＝1＋3×2×(1－2n －1)1－2－(3n －2)×2n ，整理得：T n ＝(3n －5)×2n ＋5.B 组高考题型专练1．(2015·高考天津卷)已知{a n }是各项均为正数的等比数列，{b n }是等差数列，且a 1＝b 1＝1，b 2＋b 3＝2a 3，a 5－3b 2＝7.(1)求{a n }和{b n }的通项公式；(2)设c n ＝a n b n ，n ∈N *，求数列{c n }的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，数列{b n }的公差为d ，由题意知q >0.由已知，有⎩⎪⎨⎪⎧ 2q 2－3d ＝2，q 4－3d ＝10，消去d ，整理得q 4－2q 2－8＝0.又因为q >0，解得q ＝2，所以d ＝2.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1，n ∈N *；数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1，n ∈N *.(2)由(1)有c n ＝(2n －1)×2n －1，设{c n }的前n 项和为S n ，则S n ＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋(2n －3)×2n －2＋(2n －1)×2n －1， 2S n ＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)×2n －1＋(2n －1)×2n ，上述两式相减，得－S n ＝1＋22＋23＋…＋2n －(2n －1)×2n ＝2n ＋1－3－(2n －1)×2n ＝－(2n －3)×2n －3，所以，S n ＝(2n －3)×2n ＋3，n ∈N *.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解：(1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3①，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3②.由②－①可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1－12n ＋3＝n3(2n ＋3). 3．(2014·高考浙江卷)已知数列{a n }和{b n }满足a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n (n ∈N *)．若{a n }为等比数列，且a 1＝2，b 3＝6＋b 2.(1)求a n 与b n ；(2)设c n ＝1a n －1b n(n ∈N *)．记数列{c n }的前n 项和为S n . ①求S n ；②求正整数k ，使得对任意n ∈N *，均有S k ≥S n . 解：(1)由题意得a 1a 2a 3…a n ＝(2)b n ，b 3－b 2＝6，知a 3＝(2)b 3－b 2＝8.又由a 1＝2，得公比q ＝2(q ＝－2舍去)，所以数列{a n }的通项为a n ＝2n (n ∈N *)．所以a 1a 2a 3…a n ＝2n (n ＋1)2＝(2)n (n ＋1)．故数列{b n }的通项为b n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(2)①由(1)知c n ＝1a n －1b n ＝12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1(n ∈N *)，所以S n ＝12＋122＋…＋12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝1n ＋1－12n (n ∈N *)． ②因为c 1＝0，c 2>0，c 3>0，c 4>0；当n ≥5时，c n ＝1n (n ＋1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤n (n ＋1)2n －1，而n (n ＋1)2n －(n ＋1)(n ＋2)2n ＋1＝(n ＋1)(n －2)2n ＋1>0，得n (n ＋1)2n ≤5·(5＋1)25<1，所以，当n ≥5时，c n <0.综上，对任意n ∈N *恒有S 4≥S n ，故k ＝4.。

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（Ⅱ） bn

an2
2an an
1

an

1 an

2

2n1

1 2n1
2
所以 Tn (1 2 22
2n1) (1 1 2

2n

1 2n1

2n+1
．
解答题（20*5=100 分）
1．【2016 高考新课标Ⅲ文数】

1 2n1
)

2n
【解析】（Ⅰ）由题意得 a2
解析
1．典型例题例 1【2016 高考浙江理数】
【解析】 a1 a2 4,a2 2a1 1 a1 1,a2 3 ，
再由 an1 2Sn 1, an 2Sn1 1(n 2) an1 an 2an an1 3an (n 2) ，又 a2 3a1 ，
5．
【解析】（1）当
n
1时，由
2Sn
1
an
，得：
a1 =
1. 3
由 2Sn 1 an
①
2Sn-1 1 an-1 n 2
②
上面两式相减，得：
an
=
1 3
an
1

n

2

所以数列
an
是以首项为
1 3
，公比为
1 3
的等比数列，得：
an
=
1 3n
n N
（2） bn
bn1 an1 2
an1 2
所以数列bn 是等比数列，
（2） Tn =1 a1+2 a2 +3a3+ +n an

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