抛物线上的最值问题Microsoft Word 文档
抛物线上的点到直线的最大值
抛物线上的点到直线的最大值在二维平面几何中，我们经常会遇到抛物线与直线的关系。
本文将讨论一个有趣的问题：如何求解抛物线上的点到一条给定直线的距离的最大值。
问题描述设抛物线方程为y=ax2+bx+c，直线方程为y=mx+d，现在我们要找到在抛物线上的点(x,ax2+bx+c)到直线y=mx+d的距离的最大值。
求解方法为了求解这个问题，我们先要确定点到直线的距离公式。
点(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离公式为：$$ \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} $$接下来，我们假设我们要求解的最大距离对应的点为(x1,ax12+bx1+c)，那么点(x1,ax12+bx1+c)到直线y=mx+d的距离为：$$ \\frac{|m x_1 - ax_1^2 - bx_1 - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}} $$为了找到最大距离，我们需要最大化上式。
我们可以通过微分来解决这个问题。
令 $f(x) = \\frac{|m x - ax^2 - bx - d|}{\\sqrt{m^2 + 1}}$，我们需要求解f(x)的极值点。
通过对f(x)求导并令导数为零，我们可以得到最大距离对应的x1的值。
接着，我们将x1的值代回到点的坐标中，即可以得到最大距离对应的点(x1,ax12+bx1+c)。
结论通过以上的求解过程，我们可以找到抛物线上的点到直线的最大距离。
这个问题涉及到了距离的计算和微分，通过适当的数学推导和分析，我们能够有效地解决这类问题。
在实际应用中，这个问题可能会有不同的变体或扩展，但基本的思路和方法仍然适用。
通过深入研究和灵活运用数学原理，我们可以解决更为复杂的几何问题，为实际问题的求解提供有力的支持。
以上是关于抛物线上的点到直线的最大值问题的基本介绍和解法，希望对读者有所启发。
感谢阅读！。
关于抛物线的十个最值问题-模板
关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用, 现用定理形式叙述如下: 定理 1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短. 证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕. 定理 2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短. 证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为AB,且设A(ρ1,θ),B(ρ2,θ+π),则有│AB│=ρ1+ρ2 = +=≥ 2p =通径长, 其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2 (k∈Z) 即弦AB为通径时.证毕. 定理 3.设A(a,0)是抛物线 y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,M(x,y)是抛物线上的动点,则│MA│m in =证明:由│MA│2= (x-a)2+y2=(x-a)2+2px = x2-2(a-p)x+a2 = [x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕. 定理4.设A(a,b)是抛物线 y2=2px(p＞0)内一定点, F是焦点,M 是抛物线上的动点,则y (│MA│+│MF│)min=a+p/2.Q MA(a,b) 证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知O Fx (│MA│+│MF│)m in =│AQ│= a-(-p/2)=a+p/2.证毕.图1 定理5.设线段AB是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、B为切点的抛物线的两条切线相交于点M,则三角形ABM的面积的最小值为p2. 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由A、F、B三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2·(y2-y1)……………(1)于是利用(1)式由两切线方程yAM:y1y=p(x+x1),A BM:y2y=p(x+x2),M Fx 易得M的坐标(x,y)适合:B∵ kMF·kAF=-1, ∴MF⊥AB,即│MF│是△MAB的AB边上的高. 图2 ∵ │MF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p, 又由定理2知│AB│≥2p(通径长), ∴ S△MAB=1/2·│AB│·│MF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当AB⊥x 轴时成立,故三角形MAB的最小值为p2.证毕. 定理6.过抛物线y2=2px的顶点O引两条互相垂直的动弦OA和OB,则三角形OAB的面积的最小值为4p2.y 证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),则由OA⊥OB 得A x1x2+y1y2=0 ……………………………………(1) Ox 将y12=2px1, y22=2px2代入(1)立得: x1x2=4p2 (2)于是B (S△OAB) 2=1/4·│OA│2·│OB│2 图3 =1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2] ≥1/4·[(x1x2)2+2px 1x2 (2√x1x2)+4p2x1x2]………………………………………(3)将(2)式代入(3)则得(S△OAB)2≥16p4,从而S△OAB≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形OAB的面积的最小值为4p2。
抛物线求最大值和最小值的公式
抛物线求最大值和最小值的公式
抛物线是一种常见的二次函数，其一般表达式为f(x)=ax2+bx+c，其中a、b、c为常数且a eq0。
抛物线在数学和物理等各个领域都有着重要的应用，求解其最大值和最小值是常见的问题之一。
求最大值和最小值的方法
要求抛物线的最大值和最小值，可以通过求导数的方法实现。
抛物线的导数是
一条切线的斜率，当切线水平时，抛物线取得最大值或最小值。
首先考虑抛物线f(x)=ax2+bx+c，计算其导数f′(x)，再令f′(x)=0求得
切线水平的点，即为抛物线的最值点。
求解最值的公式
假设抛物线为f(x)=ax2+bx+c，其导数为：
f′(x)=2ax+b
当f′(x)=0时，有：
$$ 2ax + b = 0 \\Rightarrow x = -\\frac{b}{2a} $$
将 $x = -\\frac{b}{2a}$ 代入f(x)，可以求得最大值或最小值。
若a>0，则 $f(-\\frac{b}{2a})$ 为抛物线的最小值；若a<0，则 $f(-
\\frac{b}{2a})$ 为抛物线的最大值。
结论
通过导数的方法，我们可以求解抛物线的最大值和最小值。
对于f(x)=ax2+ bx+c形式的抛物线，最值点的横坐标为 $x = -\\frac{b}{2a}$，通过代入此横坐标
可以得到最大值或最小值。
因此，通过求导数的方法，我们可以轻松地求解抛物线的最值，这对于解决实
际问题具有重要的意义。
以上是关于抛物线求最大值和最小值的公式的介绍，希望对您有所帮助！。
抛物线最值问题求法
变式训练1：
动 点 M 在 抛 物 线 y2=4x上 运 动 ， 动 点 Q 在 圆
( x-3 ) 2+y2=1 上 运 动 ， 求 M Q 的 最 小 值
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
分 析 ： “ 动 中 求 静 ”
y M
只 需 求 出 动 点 M到 圆 心 A(3,0)
Q
距 离 最 小 值 再 减 去 圆 半 径 即 可 。 F A x
2
m ax
此 时 ， Q (3,-1),(- 3,-1)
2
2
四、课后作业：讲义
拓展题:
求 点 P ( 0 ,m ) 使 其 到 椭 圆 x 4 2 + y 2 = 1 上 点 的 最 大 距 离 是 7
抛物线中常见最值问题求法
一、复习引入
1.抛物线的定义:
2.抛物线的标准方程和性质:
二、典例分析
问 题 一 、 在 抛 物 线 y24x上 找 一 点 M,
使MAMF最 小 ， 其 中 ， A(3,2),F（ 1， 0）
求 M点 的 坐 标 及 此 时 的 最 小 值 。 y
解：如图，由抛物线定义
的距离表示成一个变量的函数然后
求最值。
解 ： 设 点 Q ( x ,y ) 是 椭 圆 上 任 一 点 ， 则x2 + y2 = 1 4
\P Q =(x -0 )2 + (y -3 )2 =-3 y 2 -3 y + 2 5
2
4
= - 3(y+ 1)2 + 7 2
Q -1＃ y 1 \当 y=-1时 ， P Q = 7
两 平 行 线 x -y + 4 = 0 和 x -y + 1 = 0 的 距 离 d = 3 2 2 即 为 所 求
抛物线的最值公式
抛物线的最值公式抛物线是数学中常见的曲线，其最值是解决优化问题和求最大最小值的重要工具。
抛物线的一般方程可以写为：y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数且a不等于0。
抛物线开口方向和最值取决于系数a的正负性。
下面将介绍抛物线的最值情况及对应的公式。
1. 抛物线的最值问题给定抛物线方程y=ax^2+bx+c，若a大于0，则抛物线开口朝上；若a小于0，则抛物线开口朝下。
在求解抛物线的最值时，需要确定最值点的横坐标。
2. 抛物线的最值公式1.当抛物线开口朝上（a>0）时，最值出现在抛物线的顶点处。
抛物线的顶点横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。
2.当抛物线开口朝下（a<0）时，最值出现在抛物线的底部。
抛物线的底部横坐标为-x=b/(2a)，纵坐标为y=f(-b/(2a))。
综上所述，抛物线的最值公式可以总结如下：•当a>0时，最大值为f(-b/(2a))，最小值为负无穷；•当a<0时，最小值为f(-b/(2a))，最大值为正无穷。
3. 案例分析以一个具体的抛物线方程为例：y=x^2-4x+3。
首先根据系数a=1>0，确定抛物线开口朝上。
然后利用最值公式，顶点横坐标为x=2，纵坐标为y=1。
因此，该抛物线在x=2处取得最小值1。
通过以上分析，可以看出抛物线最值的计算是通过抛物线的顶点或底部来确定的。
这是优化问题和最大最小值问题中常用的方法，也对解决实际问题具有重要意义。
以上是关于抛物线最值的公式及应用的介绍。
希望对理解抛物线性质和应用有所帮助。
完整word版抛物线典型例题word文档良心出品
题型1抛物线定义的应用21.已知F 是抛物线y二X 的焦点，A 、B 是该抛物线上的两点, 的中点到y轴的距离为22.设抛物线y=8x的焦点为F ，准线为1，点P 为该抛物线上一点，PA 丄1，点A 为垂方程是6.已知抛物线过点P （—3,2），则该抛物线的标准方程为7.已知抛物线的焦点F 在直线x-2y-4=0上，则该抛物线的标准方程为 其准线方程为抛物线AF| + BF =3，则线段 AB足，如果直线AF 的斜率为-屈，那么PF3.已知以F 为焦点的抛物线 2 ------------------------------------------ -------- 'y =4x 上的两点A 、B 满足AF =3FB ，则弦AB 的中点到准线的距离为题型2:求抛物线的方程4.设抛物线的顶点在坐标原点, 准线方程为X = -2，则该抛物线的方程是5.设抛物线的顶点在坐标原点, 焦点在坐标轴上，且焦点到准线的距离为2，则该抛物线的，其准线方程为8.已知动圆与圆A : 外切，且与y轴相切，则动圆圆心M的轨迹方程为2 9.若抛物线y 2 2=2Px（ p >0）的焦点恰好是双曲线x-y =2的右焦点，则P=10.若抛物线2 C C 2 2.y =2PX （P >0）的准线经过双曲线X —y =1的一个焦点，则p=2 211.已知抛物线的焦点是双曲线16x"9y =144的左顶点，则该抛物线的标准方程为12.已知抛物线的焦点F在X轴上，直线y = -3与该抛物线交于点A，并且AF =5，则该抛物线的标准方程为题型3:抛物线的性质213.已知抛物线C：y =2PX（P〉0）过点A（h-2），与抛物线C有公共点的直线1平行于OA（0为坐标原点），并且直线OA与1之间的距离等于5，则直线1的方程为14.过抛物线x—2Py（P >0）的焦点作斜率为1的直线1与该抛物线交于A、B两点，A、B在x轴上的正射影分别为D、C.若梯形ABCD的面积为1212，则P =215.过点M(0,6)且与抛物线y =-12x有一个公共点的直线方程为16.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点。
抛物线最值问题
抛物线最值问题最值训练一：例1．在抛物线y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到Q(4 ，1)的距离的和最小，并求最小值。
例2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
跟踪训练练习1:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
练习2: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。
练习3: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2，求AB中点纵坐标的最小值。
练习４：若直线ｙ＝ｋｘ＋ｂ与抛物线ｘ²＝４ｙ相较于Ａ、B两点，且|AB|=4(1)试用k来表示b(2)求弦ＡB中点Ｍ离ｘ轴的最短距离最值训练二：1、A、B是抛物线y²=2px (p>0)上的两点，满足OA⊥OB（O为坐标原点）。
求证：（1）A、B两点的横坐标之积，纵坐标之积分别为定值（2）直线ＡＢ经过一个定点跟踪训练：定长为５的线段ＡＢ的两端点在抛物线ｙ²＝４ｘ上移动，试求线段ＡＢ中点M 到y轴的最短距离。
2.已知定点M（3,2），F是抛物线y²=2x的焦点，在此抛物线上求一点P，使|ＰＭ|＋|ＰＦ|取得最小值，求点P的坐标。
跟踪训练１：设P是曲线y²=4(x-1)上一动点，则求点P到点（0,1）的距离和点P到y轴的距离之和的最小值。
跟踪训练２：设Ｐ为抛物线ｙ＝ｘ²上一动点，求Ｐ到直线ｌ：３ｘ－４ｙ－６＝０的距离的最小值最值训练三1、已知抛物线y²=x，动弦AB长为2、求AB中点纵坐标的最小值。
跟踪训练1：点P在抛物线y²=x上，定点A（3,0），求|PA|的最小值跟踪训练2：若P为抛物线y²=x上一动点，Ｑ为圆（ｘ－３²＋ｙ²＝１上一动点，求|ＰＱ|的最小值。
高中数学抛物线最值问题讲课稿
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1,P 到直线l 的距离为d2,则d1+d2的最小值为多少？分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d1+d2的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线x-y+4=0的垂线，此时d1+d2=|PF|+d2-1最小， ∵F （1，0），则|PF|+d2==，则d1+d2的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P 到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图PF+PQ=PM+PQ，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
专题：：抛物线上最值问题的探究
专题39：抛物线上最值问题的探究典例分析例1（2022天津中考）已知抛物线2y ax bx c =++（a ，b ，c 是常数，0a >）的顶点为P ，与x 轴相交于点(1,0)A -和点B ．（1）若2,3b c =-=-，①求点P 的坐标；②直线x m =（m 是常数，13m <<）与抛物线相交于点M ，与BP 相交于点G ，当MG 取得最大值时，求点M ，G 的坐标；（2）若32b c =，直线2x =与抛物线相交于点N ，E 是x 轴的正半轴上的动点，F 是y 轴的负半轴上的动点，当PF FE EN ++的最小值为5时，求点E ，F 的坐标．【答案】（1）①(1,4)-；②点M 的坐标为(2,3)-，点G 的坐标为(2,2)-；（2）点5,07E ⎛⎫ ⎪⎝⎭和点200,21F ⎛⎫-⎪⎝⎭；【解析】【分析】（1）①将b 、c 的值代入解析式，再将A 点坐标代入解析式即可求出a 的值，再用配方法求出顶点坐标即可；②先令y=0得到B 点坐标，再求出直线BP 的解析式，设点M 的坐标为()2,23m m m --，则点G 的坐标为(,26)m m -，再表示出MG 的长，配方求出最值得到M 、G 的坐标；（2）根据32b c =，解析式经过A 点，可得到解析式：223y ax ax a =--，再表示出P 点坐标，N 点坐标，接着作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，再把P '和N '的坐标表示出来，由题意可知，当PF FE EN ++取得最小值，此时5PF FE EN P N +=''+=，将字母代入可得：222294925P N P H HN a ''=+'+='=，求出a 的值，即可得到E 、F 的坐标；【小问1详解】①∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于点(1,0)A -，∴0a b c -+=．又2,3b c =-=-，得1a =．∴抛物线的解析式为223y x x =--．∵2223(1)4y x x x =--=--，∴点P 的坐标为(1,4)-．②当0y =时，由2230x x --=，解得1213x x =-=，．∴点B 的坐标为(30)，．设经过B ，P 两点的直线的解析式为y kx n =+，有30,4.k n k n +=⎧⎨+=-⎩解得2,6.k n =⎧⎨=-⎩∴直线BP 的解析式为26y x =-．∵直线x m =（m 是常数，13m <<）与抛物线223y x x =--相交于点M ，与BP 相交于点G ，如图所示：∴点M 的坐标为()2,23m m m --，点G 的坐标为(,26)m m -．∴()222(26)2343(2)1MG m m m m m m =----=-+-=--+．∴当2m =时，MG 有最大值1．此时，点M 的坐标为(2,3)-，点G 的坐标为(2,2)-．【小问2详解】由（Ⅰ）知0a b c -+=，又32b c =，∴2,3b a c a =-=-．(0)a >∴抛物线的解析式为223y ax ax a =--．∵2223(1)4y ax ax a a x a =--=--，∴顶点P 的坐标为(1,4)a -．∵直线2x =与抛物线223y ax ax a =--相交于点N ，∴点N 的坐标为(2,3)a -．作点P 关于y 轴的对称点P '，作点N 关于x 轴的对称点N '，如图所示：得点P '的坐标为(1,4)a --，点N '的坐标为(2,3)a ．当满足条件的点E ，F 落在直线P N ''上时，PFFE EN ++取得最小值，此时，5PF FE EN P N +=''+=．延长P P '与直线2x =相交于点H ，则P H N H '⊥'．在Rt P HN ''△中，3,3(4)7P H HN a a a '==--='．∴222294925P N P H HN a ''=+'+='=．解得1244,77a a ==-（舍）．∴点P '的坐标为161,7⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点N '的坐标为122,7⎛⎫ ⎪⎝⎭．则直线P N ''的解析式为420321y x =-．∴点5,07E ⎛⎫⎪⎝⎭和点200,21F ⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数的几何综合运用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、配方法求函数顶点坐标、勾股定理解直角三角形等是解决此类问题的关键．专题过关1.（2022宜宾中考）如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()3,0A 、()1,0B -两点，与y 轴交于点()0,3C ，其顶点为点D ，连结AC ．（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式及顶点D 的坐标；（2）在抛物线的对称轴上取一点E ，点F 为抛物线上一动点，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点、AC 为边的四边形为平行四边形，求点F 的坐标；（3）在（2）的条件下，将点D 向下平移5个单位得到点M ，点P 为抛物线的对称轴上一动点，求35PF PM +的最小值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++，顶点D 的坐标为()1,4（2）()2,5F --或()4,5F -（3）245【解析】【分析】（1）用待定系数法求解二次函数解析式，再化成顶点式即可得出顶点坐标；（2）先用待定系数法求直线AC 解析式为3y x =-+，再过点F 作FG DE ⊥于点G ，证OAC GFE ≌△△，得3OA GF ==，设F 点的坐标为()2,23m m m -++，则G 点的坐标为()21,23m m -++，所以13FG m =-=，即可求出2m =-或4m =，从而求得点F 坐标；（3），是平移得得点M 的坐标为()1,1-，则（2）知点()14,5F -与点()22,5F --关于对称轴1x =对称，连结12F F ，对称轴于点H ，连结1F M 、2F M ，过点2F 作21F N F M ⊥于点N ，交对称轴于点P ，则4MH =，13HF =，15MF =．在1Rt MHF 中，1113sin 5F H HMF MF ∠==，则在Rt MPN 中，13sin 5PN HMF PM ∠==，所以35PN PM =，所以1235PF PM PF PN F N +=+=为最小值，根据1221164522MF F S F N =⨯⨯=⨯⋅△，所以2245F N =，即可求出35PF PM +．【小问1详解】解：∵抛物线2y ax bx c =++经过点()3,0A ，()1,0B -，()0,3C ，∴9330303a b a b c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得：123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++=-(x-1)2+4，∴顶点D 的坐标为()1,4；【小问2详解】解：设直线AC 的解析式为：y kx b =+，把点()3,0A ，()0,3C 代入得：1k =-，3b =，∴直线AC 解析式为：3y x =-+，过点F 作FG DE ⊥于点G ，∵以A 、C 、E 、F 四点为顶点的四边形是以AC 为边的平行四边形，∴AC EF ∥，AC=EF ，又∵OA FG ，∴OAC GFE∠=∠∴OAC GFE ≌△△，∴3OA GF ==，设F 点的坐标为()2,23m m m -++，则G 点的坐标为()21,23m m -++，∴13FG m =-=，∴2m =-或4m =，当2m =-时，2235m m -++=-，∴()12,5F --，当4m =时，2235m m -++=-∴()24,5F -，∴()2,5F --或()4,5F -；【小问3详解】解：由题意，得点M 的坐标为()1,1-，由题意知：点()14,5F -与点()22,5F --关于对称轴1x =对称，连结12F F ，对称轴于点H ，连结1F M 、2F M ，过点2F 作21F N F M ⊥于点N ，交对称轴于点P ，则4MH =，13HF =，15MF =．在1Rt MHF 中，1113sin 5F H HMF MF ∠==，则在Rt MPN 中，13sin 5PN HMF PM ∠==∴35PN PM =，又∵21PF PF =∴1235PF PM PF PN F N +=+=为最小值，又∵1221164522MF F S F N =⨯⨯=⨯⋅△，∴2245F N =，∴求得35PF PM +的最小值为245．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式，二次函数图象性质，平行四边形的性质，解直角三角形，利用轴对称求最小值，本题属二次函数综合题目，掌握二交次函数图象性质和灵活运用是解题的关键．2.（2022雅安中考）已知二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使△ACE 为Rt △，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P ，满足PA ⊥PD ，求线段PB 的最小值．【答案】（1）()223,1,4y x x D =---（2）E 的坐标为：21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,1-或()1,2.-（3）BP 的最小值为：13 5.-【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为()()13,y a x x =+-再代入C 的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标；（2）如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示210,AC =224,AE n =+22610,CE n n =++再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案．【小问1详解】解：二次函数y ＝ax 2+bx+c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=-解得：1,a =∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=--()1,4.D \-【小问2详解】如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），()()222100310,AC \=--++=()2222114,AE n n =++=+()()2222103610,CE n n n =-++=++当90EAC ∠=︒时，22610410n n n ++=++，解得2,3n =即21,,3E 骣琪琪桫当90ACE ∠=︒时，22410610,n n n +=+++解得：8,3n =-即81,,3E 骣琪-琪桫当90AEC ∠=︒时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,1-或()1,2.-【小问3详解】如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D --Q()0,2,H AD HP \-===()3,0,BBH \==BP \=即BP -【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB 最小时，P 的位置是解本题的关键．3.（2022凉山中考）在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A （－1，0）和点B （0，3），顶点为C ，点D 在其对称轴上，且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P 的坐标；（3）将抛物线平移，使其顶点落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，在y 轴上是否存在点M ，使得MP ＋ME 的值最小，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++（2）(2,3)P （3）存在，1(0,)3M 【解析】【分析】（1）根据点,A B 的坐标，利用待定系数法即可得；（2）先求出抛物线的对称轴，再设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <，则4CD a =-，根据旋转的性质可得90,4CDP PD CD a ∠=︒==-，从而可得(5,)P a a -，将点P 代入抛物线的解析式求出a 的值，由此即可得；（3）先根据点坐标的平移规律求出点(1,1)E -，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接PE '，从而可得PE '与y 轴的交点即为所求的点M ，再利用待定系数法求出直线PE '的解析式，由此即可得出答案．【小问1详解】解：将点(1,0),(0,3)A B -代入2y x bx c =-++得：103b c c --+=⎧⎨=⎩，解得23b c =⎧⎨=⎩，则抛物线的解析式为2y x 2x 3=-++．【小问2详解】解：抛物线2223(1)4y x x x =-++=--+的对称轴为直线1x =，其顶点C 的坐标为(1,4)C ，设点D 的坐标为(1,)(4)D a a <，则4CD a =-，由旋转的性质得：90,4CDP PD CD a ∠=︒==-，(14,)P a a ∴+-，即(5,)P a a -，将点(5,)P a a -代入2(1)4y x =--+得：2(51)4a a ---+=，解得3a =或4a =（舍去），当3a =时，5532a -=-=，所以点P 的坐标为(2,3)P．【小问3详解】解：抛物线2y x 2x 3=-++的顶点C 的坐标为(1,4)C ，则将其先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度恰好落在原点O ，这时点P 落在点E 的位置，且(2,3)P ，(21,34)E ∴--，即(1,1)E -，恰好在对称轴直线1x =上，如图，作点E 关于y 轴的对称点E '，连接PE '，则MP ME MP ME '+=+，由两点之间线段最短可知，PE '与y 轴的交点即为所求的点M ，此时MP ME '+的值最小，即MP ME +的值最小，由轴对称的性质得：(1,1)E '--，设直线PE '的解析式为y kx m =+，将点(2,3)1,(,1)E P '--代入得：231k m k m +=⎧⎨-+=-⎩，解得4313k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则直线PE '的解析式为4133y x =+，当0x =时，13y =，故在y 轴上存在点M ，使得MP ME +的值最小，此时点M 的坐标为1(0,)3M ．【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质、旋转的性质、点坐标的平移规律等知识点，熟练掌握待定系数法和二次函数的图象与性质是解题关键．4.（2022广元中考）在平面直角坐标系中，直线y ＝﹣x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a ＞0）经过A ，B 两点，并与x 轴的正半轴交于点C ．（1）求a ，b 满足的关系式及c 的值；（2）当a ＝14时，若点P △PAB 周长的最小值；（3）当a ＝1时，若点Q 是直线AB 下方抛物线上的一个动点，过点Q 作QD ⊥AB 于点D ，当QD 的值最大时，求此时点Q 的坐标及QD 的最大值．【答案】（1）2a=b+1，c=-2；（2）△PAB 的周长最小值是；（3）此时Q （-1，-2），DQ 最大值为22．【解析】【分析】（1）先求得点A 、点B 的坐标，再利用待定系数法求解即可；（2）先利用对称性找出△PAB 周长最小时点P 的位置，此时AP=CP ，△PAB 的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB ，根据勾股定理求出AB 、BC 的长即可求出△PAB 最小值；（3）过点Q 作QF ⊥x 轴交于F 点，交直线AB 于点E ，得到∠QED=∠EQD=45°，推出QD=ED=2EQ ，设Q （t ，t 2+t-2），E （t ，-t-2），求得QE=-t 2-2t ，再利用二次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：∵直线y ＝﹣x ﹣2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴点A 的坐标为(-2，0)，点B 的坐标为(0，-2)，∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A，B两点，∴4202a b cc-+=⎧⎨=-⎩，∴2a=b+1，c=-2；【小问2详解】解：当a=14时，则b=-12，∴抛物线的解析式为y=14x2-12x-2，抛物线的对称轴为直线x=1，∵点A的坐标为(-2，0)，∴点C的坐标为(4，0)，△PAB的周长为：PB+PA+AB，且AB是定值，∴当PB+PA最小时，△PAB的周长最小，∵点A、C关于直线x=1对称，∴连接BC交直线x=1于点P值最小，∵AP=CP，∴△PAB的周长最小值为：PB+PA+AB=BC+AB，∵A（-2，0），B（0，-2），C（4，0），∴OA=2，OB=2，OC=4，由勾股定理得，，∴△PAB的周长最小值是：【小问3详解】解：当a=1时，b=1，∴抛物线的解析式为y=x2+x-2，过点Q作QF⊥x轴交于F点，交直线AB于点E，∵A（-2，0），B（0，-2），∴OA=OB，∴∠OAB=45°，∵QD⊥AB，∴∠AEF=∠QED=∠EQD=45°，∴QD=ED=22EQ，设Q（t，t2+t-2），E（t，-t-2），∴QE=-t-2-(t2+t-2)=-t2-2t，∴DQ=22QE=-22(t2+2t)=-22(t+1)2+22，当t=-1时，DQ有最大值22，此时Q（-1，-2）．【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．5．（2022遂宁中考）（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．【分析】（1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长；（3）求出直线AM的解析式，利用方程组求出点M的坐标，过点M作x轴的平行线l，过点N作y轴的平行线交x轴于点P，交直线l于点Q．分三种情形：当AM＝AN时，当AM＝MN时，当AN＝MN时，分别构建方程求解．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣1，0），点C（0，﹣3）．∴，∴，∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）如图，设D1为D关于直线AB的对称点，D2为D关于ZX直线BC的对称点，连接D1E，D2F，D1D2．由对称性可知DE＝D1E，DF＝D2F，△DEF的周长＝D1E+EF+D2F，∴当D1，E．F．D2共线时，△DEF的周长最小，最小值为D1D2的长，令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x ＝﹣1或3，∴B （3，0），∴OB ＝OC ＝3，∴△BOC 是等腰直角三角形，∵BC 垂直平分DD 2，且D （﹣2，0），∴D 2（1，﹣3），∵D ，D 1关于x 轴的长，∴D 1（0，2），∴D 1D 2＝＝＝，∴△DEF 的周长的最小值为．（3）∵M 到x 轴距离为d ，AB ＝4，连接BM ．∴S △ABM ＝2d ，又∵S △AMN ＝2d ，∴S △ABM ＝S △AMN ，∴B ，N 到AM 的距离相等，∵B ，N 在AM 的同侧，∴AM ∥BN ，设直线BN 的解析式为y ＝kx+m ，则有，∴，∴直线BC 的解析式为y ＝x ﹣3，∴设直线AM 的解析式为y ＝x+n ，∵A （﹣1，0），∴直线AM 的解析式为y ＝x+1，由，解得或，∴M （4，5），∵点N 在射线BC 上，∴设N （t ，t ﹣3），过点M 作x 轴的平行线l ，过点N 作y 轴的平行线交x 轴于点P ，交直线l 于点Q ．∵A（﹣1，0），M（4，5），N（t，t﹣3），∴AM＝5，AN＝，MN＝，∵△AMN是等腰三角形，当AM＝AN时，5＝，解得t＝1±，当AM＝MN时，5＝，解得t＝6±，当AN＝MN时，＝，解得t＝，∵N在第一象限，∴t＞3，∴t的值为，1+，6+，∴点N的坐标为（，）或（1+，﹣2+）或（6+，3+）．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．6.（2022邵阳中考）如图，已知直线y=2x+2与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C(3，0)在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC 全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．【答案】（1）该抛物线的表达式为y=23-x2+43x+2；（2）点P的坐标为(1，0)或(2，0)；（3）线段CD'长度的最小值为1．【解析】【分析】（1）先求得点A(-1，0)，点B(0，2)，利用待定系数法即可求解；（2）分两种情况讨论：△AOB≌△DPC和△AOB≌△CPD，利用全等三角形的性质求解即可；（3）按照（2）的结论，分两种情况讨论，当P、D'、C三点共线时，线段CD'长度取得最小值，据此求解即可．【小问1详解】解：令x=0，则y=2x+2=2，令y=0，则0=2x+2，解得x=-1，点A(-1，0)，点B(0，2)，把A(-1，0)，B(0，2)，C(3，0)代入y=ax2+bx+c，得9302a b ca b cc-+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得23432abc⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴该抛物线的表达式为y=23-x2+43x+2；【小问2详解】解：若△AOB和△DPC全等，且∠AOB=∠DPC=90°，分两种情况：①△AOB≌△DPC，则AO=PD=1，OB=PC=2，∵OC=3，∴OP=3-2=1，∴点P 的坐标为(1，0)；②△AOB ≌△CPD ，则OB=PD=2，∴正方形OPDE 的边长为2，∴点P 的坐标为(2，0)；综上，点P 的坐标为(1，0)或(2，0)；【小问3详解】解：①点P 的坐标为(1，0)时，∵△PQD'与△PQD 关于PQ 对称，∴PD'=PD ，∴点D'在以点P 为圆心，1为半径的圆上运动，当P 、D'、C 三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；②点P 的坐标为(2，0)时，∵△PQD'与△PQD 关于PQ 对称，∴PD'=PD ，∴点D'在以点P 为圆心，2为半径的圆上运动，当P 、C 、D'三点共线时，线段CD'长度取得最小值，最小值为2-1=1；综上，线段CD'长度的最小值为1．【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，点和圆的位置关系，解题的关键是正确进行分类讨论．7.（2022常德中考）如图，已经抛物线经过点(0,0)O ，(5,5)A ，且它的对称轴为2x ．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，当OAB 的面积为15时，求B 的坐标；（3）在（2）的条件下，P 是抛物线上的动点，当PA PB -的值最大时，求P 的坐标以及PA PB -的最大值【答案】（1）24.y x x =-（2）()2,8B （3）()2,12,P -PA PB -的最大值为32.【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为2,y ax bx =+再利用待定系数法求解抛物线的解析式即可；（2）设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =解得：1,k =可得直线OA 为：,y x =则()2,2,Q 利用()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x =+=创-V V V 列方程，再解方程即可；（3）如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系数法求解AB 的解析式，联立一次函数与二次函数的解析式，解方程组可得P 的坐标．【小问1详解】解：抛物线经过点(0,0)O ，∴设抛物线为：2,y ax bx =+抛物线过(5,5)A ，且它的对称轴为2x =．2555,22a b b a+=⎧⎪∴⎨-=⎪⎩解得：1,4a b =⎧⎨=-⎩∴抛物线为：24.y x x =-【小问2详解】解：如图，点B 是抛物线对称轴上的一点，且点B 在第一象限，设()2,,B y 且0,y >记OA 与对称轴的交点为Q ，设直线OA 为：,y kx =55,k \=解得：1,k =∴直线OA 为：,y x =()2,2,Q \()12OAB BOQ ABQ A O S S S BQ x x \=+=创-V V V 12515,2y =-´=解得：8y =或4,y =-∵0,y >则8,y =()2,8.B \【小问3详解】如图，连接AB ，延长AB 交抛物线于P ，则此时PA PB AB -=最大，()()5,5,2,8,A B QAB \==设AB 为：,y kx b =+代入A 、B 两点坐标，55,28k b k b +=⎧∴⎨+=⎩解得：1,10k b =-⎧⎨=⎩∴AB 为：10,y x =-+210,4y x y x x=-+⎧∴⎨=-⎩解得：52,,512x x y y ==-⎧⎧⎨⎨==⎩⎩()2,12.P ∴-【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，坐标与图形面积，三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，确定PA PB -最大时P 的位置是解本题的关键．8.（2022齐齐哈尔中考）综合与探究如图，某一次函数与二次函数2y x mx n =++的图象交点为A （-1，0），B （4，5）．（1）求抛物线的解析式；（2）点C 为抛物线对称轴上一动点，当AC 与BC 的和最小时，点C 的坐标为；（3）点D 为抛物线位于线段AB 下方图象上一动点，过点D 作DE ⊥x 轴，交线段AB 于点E ，求线段DE 长度的最大值；（4）在（2）条件下，点M 为y 轴上一点，点F 为直线AB 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，请直接写出点N 的坐标．【答案】（1）223y x x =--（2）（1，2）（3）254（4）123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫-⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）将A （-1，0），B （4，5）代入2y x mx n =++得到关于m ，n 的二元一次方程组求解即可；（2）抛物线的对称轴为1x =，求出直线AB 与对称轴的交点即可求解；（3）设()2,23D d d d --，则(,1)E d d +，则()22(1)2334(14)DE d d d d d d =+---=-++-<<，根据二次函数的性质求解即可；（4）根据题意画出图形，分情况求解即可．【小问1详解】解：将A （-1，0），B （4，5）代入2y x mx n =++得，101645m n m n -+=⎧⎨++=⎩，解这个方程组得23m n =-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =--；【小问2详解】解：如图，设直线AB 的解析式为：y kx b =+，把点A （-1，0），B （4，5）代入y kx b =+，得045k b k b -+=⎧⎨+=⎩，解得11k b =⎧⎨=⎩，∴直线AB 的解析式为：1y x =+，由（1）知抛物线223y x x =--的对称轴为2121x -=-=⨯，点C 为抛物线对称轴上一动点，AC BC AB +≥，∴当点C 在AB 上时，AC BC +最小，把x =1代入1y x =+，得y =2，∴点C 的坐标为（1，2）；【小问3详解】解：如图，由（2）知直线AB 的解析式为y=x+1设()2,23D d d d --，则(,1)E d d +，则()22(1)2334(14)DE d d d d d d =+---=-++-<<，当32d =时，DE 有最大值为254，【小问4详解】解：如图，直线AB 的解析式为：y=x+1，∴直线与y 轴的交点为D （0，1），1OD =(1,0)A -，1OA =∴,45OA OD DAO ADO =∠=∠=︒，若以点C ，M ，F ，N 为顶点的四边形是正方形，分情况讨论：①过点C 作1CM y ⊥轴于点1M ，则1DM C ∆为等腰直角三角形，过点C 作11CN DN ⊥，则四边形11CM DN 为正方形，依题意，知D 与F 重合，点1N 的坐标为（1，1）；②以1M 为中心分别作点F ，点C 点的对称点22,M N ，连接2222,,CM M N N F ，则四边形22M N FC 是正方形，则点2N 的坐标为（-1，2）；③延长22N M 到3N 使322N M M C =，作31N F AB ⊥于点1F ，则四边形231M N F C 是正方形，则3N 的坐标为（1，4）；④取2M C 的中点4N ，FC 的中点2F ，则124M F CN 为正方形，则4N 的坐标为15,22⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，点N 的坐标为：123415(1,1),(1,2),(1,4),,22N N N N ⎛⎫- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查了用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式，二次函数的性质，正方形的判定，根据题意正确画图是解本题的关键．9.（2022牡丹江中考）如图，已知抛物线()()12y x x a a=-+（a ＞0）与x 轴交于点B 、C ，与y 轴交于点E ，且点B 在点C 的左侧．（1）若抛物线过点M （﹣2，﹣2），求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，解答下列问题；①求出△BCE 的面积；②在抛物线的对称轴上找一点H ，使CH+EH 的值最小，直接写出点H 的坐标．【答案】（1）a=4；（2）①6；②（﹣1，32-）【解析】【详解】解：（1）将M （﹣2，﹣2）代入抛物线解析式得：()()12222a a ---+=-，解得：a=4．（2）①由（1）抛物线解析式()()1244y x x =-+，当y=0时，得：()()12404x x -+=，解得：122,4x x ==-．∵点B 在点C 的左侧，∴B （﹣4，0），C （2，0）．当x=0时，得：y=﹣2，∴E （0，﹣2）．∴S △BCE =12×6×2=6．②∵()()()2211119242144244y x x x x x =-+=+-=+-，∴抛物线对称轴为直线x=﹣1．连接BE ，与对称轴交于点H，即为所求．设直线BE 解析式为y=kx+b ，将B （﹣4，0）与E （0，﹣2）代入得：402k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：122k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．∴直线BE 解析式为122y x =--．将x=﹣1代入得：13222y =-=-，∴H （﹣1，32-）．10.（2022梧州中考）如图，在平面直角坐标系中，直线443y x =--分别与x ，y 轴交于点A ，B ，抛物线2518y x bx c =++恰好经过这两点．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点C 的坐标是()0,6，将ACO △绕着点C 逆时针旋转90°得到ECF △，点A 的对应点是点E ．①写出点E 的坐标，并判断点E 是否在此抛物线上；②若点P 是y 轴上的任一点，求35BP EP +取最小值时，点P 的坐标．【答案】（1）2141825y x x --=（2）①点E 在抛物线上；②（0，92-）【解析】【分析】（1）先求出A 、B 坐标，然后根据待定系数法求解即可；（2）①根据旋转的性质求出EF=AO=3，CF=CO=6，从而可求E 的坐标，然后把E 的坐标代入（1）的函数解析式中，从而判断出点E 是否在抛物线上；②过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，证明△ABO ∽△PBQ ，从而求出35PQ BP =，则可判断当P ，E ，Q 三点共线，且EP ⊥AB 时，35BP EP +取最小值，然后根据待定系数法求直线EP 解析式，即可求出点P 的坐标．【小问1详解】解：当x=0时，y=-4，当y=0时，4403--=x ，∴x=-3，∴A （-3，0），B （0，-4），把A 、B 代入抛物线2518y x bx c =++，得25(3)30184b c c ⎧⨯--+=⎪⎨⎪=-⎩，∴124b c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴抛物线解析式为2141825y x x --=；【小问2详解】①∵A （-3，0），C （0，6），∴AO=3，CO=6，由旋转知：EF=AO=3，CF=CO=6，∠FCO=90°∴E 到x 轴的距离为6-3=3，∴点E 的坐标为（6，3），当x=3时，2516643182y =⨯-⨯-=，∴点E 在抛物线上；②过点P 作PQ ⊥AB 于Q ，又∠AOB=90°，∴∠AOB=∠PQB ，在Rt △ABO 中，AO=3，BO=4，∴由勾股定理得：AB=5，∵∠AOB=∠PQB ，∠ABO=∠PBQ ，∴△ABO ∽△PBQ ，∴AO PQ AB BP=，∴35PQ BP=，∴35PQ BP =，∴35BP EP PQ EP +=+，∴当P ，E ，Q 三点共线，且EP ⊥AB 时，35BP EP +取最小值，∵EP ⊥AB ，∴设直线EP 解析式为34y x m =+，又E （6，0），∴3604m ⨯+=，∴92m =-，∴直线EP 解析式为3942y x =-，当x=0时，y=92-，∴点P 坐标为（0，92-）．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数函数解析式，相似三角形的判定与性质等，解第（2）题第②问的关键是正确作出点P的位置．11．（2022桂林中考）（12分）如图，抛物线y＝﹣x2+3x+4与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于C点，抛物线的对称轴l与x轴交于点N，长为1的线段PQ（点P位于点Q的上方）在x轴上方的抛物线对称轴上运动．（1）直接写出A，B，C三点的坐标；（2）求CP+PQ+QB的最小值；（3）过点P作PM⊥y轴于点M，当△CPM和△QBN相似时，求点Q的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）由y＝﹣x2+3x+4可得A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，可知四边形CC'QP 是平行四边形，及得CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，而B，Q，C'共线，故此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，由勾股定理可得BC'＝5，即得CP+PQ+BQ最小值为6；（3）由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），知BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，①当＝时，＝，可解得Q（，）或（，）；②当＝时，＝，得Q（，）．【解答】解：（1）在y＝﹣x2+3x+4中，令x＝0得y＝4，令y＝0得x＝﹣1或x＝4，∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；（2）将C（0，4）向下平移至C'，使CC'＝PQ，连接BC'交抛物线的对称轴l于Q，如图：∵CC'＝PQ，CC'∥PQ，∴四边形CC'QP是平行四边形，∴CP＝C'Q，∴CP+PQ+BQ＝C'Q+PQ+BQ＝BC'+PQ，∵B，Q，C'共线，∴此时CP+PQ+BQ最小，最小值为BC'+PQ的值，∵C（0，4），CC'＝PQ＝1，∴C'（0，3），∵B（4，0），∴BC'＝＝5，∴BC'+PQ＝5+1＝6，∴CP+PQ+BQ最小值为6；（3）如图：由在y＝﹣x2+3x+4得抛物线对称轴为直线x＝﹣＝，设Q（，t），则Q（，t+1），M（0，t+1），N（，0），∵B（4，0），C（0，4）；∴BN＝，QN＝t，PM＝，CM＝|t﹣3|，∵∠CMP＝∠QNB＝90°，∴△CPM和△QBN相似，只需＝或＝，①当＝时，＝，解得t＝或t＝，∴Q（，）或（，）；②当＝时，＝，解得t＝或t＝（舍去），∴Q（，），综上所述，Q的坐标是（，）或（，）或（，）．【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及二次函数图象上点坐标的特征，线段和的最小值，相似三角形的性质及应用等，解题的关键是分类讨论思想的应用．12.（2022武威中考）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线()()134y x x a =+-与x 轴交于A ，()4,0B 两点，点C 在y 轴上，且OC OB =，D ，E 分别是线段AC ，AB 上的动点（点D ，E 不与点A ，B ，C 重合）．（1）求此抛物线的表达式；（2）连接DE 并延长交抛物线于点P ，当DE x ⊥轴，且1AE =时，求DP 的长；（3）连接BD ．①如图2，将BCD △沿x 轴翻折得到BFG ，当点G 在抛物线上时，求点G 的坐标；②如图3，连接CE ，当CD AE =时，求BD CE +的最小值．【答案】（1）211344y x x =--（2）176（3）①420,39G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；【解析】【分析】（1）把点B 代入抛物线关系式，求出a 的值，即可得出抛物线的关系式；（2）根据抛物线()()1344y x x =+-可求出点A 的坐标，点C 的坐标，根据1AE =，利用三角函数，求出DE 的长，再求出点E 的坐标，根据点P 与点E 的横坐标相同，得出点P 的横坐标，代入抛物线的关系式，求出点P 的纵坐标，即可得出EP 的值，最后求出DP 的值即可；（3）①连接DG 交AB 于点M ，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，求出()4tan 33MG MD AM CAO a ==⋅∠=-，得出点()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，将其代入抛物线关系式，列出关于a 的方程，解方程，求出a 的值，即可得出G 的坐标；②在AB 下方作EAQ DCB ∠=∠且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，证明AEQ CDB ≅△△，得出EQ BD =，说明当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ⊥，垂足为H ，先证明∠CAH=45°，算出AC 长度，即可求出CH 、AH ，得出HQ ，最后根据勾股定理求出CQ 的长度即可得出结果．【小问1详解】解：∵()4,0B 在抛物线()()134y x x a =+-上，∴()()143404a +-=，解得4a =，∴()()1344y x x =+-，即211344y x x =--；【小问2详解】在()()1344y x x =+-中，令0y =，得13x =-，24x =，∴()30A -,，3OA =，∵4OC OB ==，∴()0,4C ，∵1AE =，∴44tan 133OC DE AE CAO AE OA =⋅∠=⋅=⨯=，312OE OA AE =-=-=，∴()2,0E -，∵DE x ⊥轴，∴2P D E x x x ===-，∴()()13232442P y =-+--=-，∴32PE =，∴4317326DP DE PE =+=+=．【小问3详解】①连接DG 交AB 于点M ，如图1所示：∵BCD △与BFG 关于x 轴对称，∴DG AB ⊥，DM GM =，设()0OM a a =>，则3AM OA OM a =-=-，()4tan 33MG MD AM CAO a ==⋅∠=-，∴()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，∵点()4,33G a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦在抛物线()()1344y x x =+-上，∴()()()1434343a a a -+--=-，解得13a =（舍去），243a =，∴420,39G ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；②在AB 下方作EAQ DCB ∠=∠且AQ BC =，连接EQ ，CQ ，如图2所示：∵AE CD =，∴()SAS AEQ CDB ≅△△，∴EQ BD =，∴当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，最小为CQ ，过C 作CH AQ ⊥，垂足为H ，∵OC OB ^，4OC OB ==，∴45CBA ∠=︒，BC =∵18018045CAH CAB EAQ CAB DCB CBA ∠=︒-∠-∠=︒-∠-∠=∠=︒，5AC ===，22AH CH AC ===，22HQ AH AQ AH BC =+=+=+=，∴CQ ===，即BD CE +．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，待定系数法求抛物线的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，三角函数的定义，作出辅助线，证明EQ BD =，得出当C ，E ，Q 三点共线时，BD CE EQ CE +=+最小，是解题的关键．。
抛物线的最值汇总
积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
解：⑵∵y12=2px1,y22=2px2
y1 y2 2p ∴ x1 x2 y1 y2
点差法
∴（y1-y2）(y1+y2)=2p(x1-x2)
∴ k AB
2p 2p ∴直线 AB： y y1 ( x x1 ) y1 y2 y1 y2
设l AB : y kx b
4b y1 y2 k
1 16 16b 由弦长 | AB | 1 2 5 2 k k k
25k 4 16(1 k 2 ) kb 16(1 k 2 )k 2
y1 y2 2b 4 2bk x1 x2 k k2 2 bk 16(1 k 2 ) 25k 4 2 1 25 1 1 25 k x0 2 1 2 1 2 2 2 k 2 1 16(1 k )k k 16 1 k 16(1 k ) 2 5 3 k 2 1
4
2
3 线段AB中点M 到y轴的最短距离为 . 2
1 25 1 ，即k 2时，取等号 2 k 16 1 1 k2
当且仅当1
题型二：抛物线的最值问题
1:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点P( x0 . y0 )
y
则y0 2 64x0 4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
( | PF | | PQ | )min dQl 4 (2) 6 . 此时 P ( 1 ， 1) 8
例2、在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线 Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
抛物线中的最值问题的解法.doc
抛物线中的最值问题的解法授课人：彭春齐第1课时一．考情分析：最值问题是高中数学教学中的常见问题，而圆锥曲线中的最值问题是一类综合性强、变量多、涉及知识面广的题目，是解析几何中难点问题，也是高考中热点问题。
学习圆锥曲线的过程中，在适当的时机引导学生去探求与之相关的最值问题，可以“培养学生的思维能力，使学生在掌握基础知识的过程中，学会感知、观察、归纳、类比、想象、抽象、概括、转化、推理、证明和反思等逻辑思考的基本方法。
二．教学目标：掌握抛物线中最值问题的基本方法：定义法、函数思想法、数形结合法（第2课时） 三．教学重点：化归转化思想、分类讨论思想在求解抛物线最值问题中应用。
四、教学过程：1.利用抛物线的定义求最值例1已知点()2,4-A ，F 为抛物线x y 82=的焦点，点M 在抛物线上移动，当MF MA +取最小值时，点M 坐标为（ D ）()00.，A ()22,1.-B ()2,2.-C ⎪⎭⎫⎝⎛-2,21.D 解析：如图，易知点A 在抛物线内，抛物线准线方程为2-=x 由抛物线定义可将点MF转化为点M 到准线的距离，由点M 作准线的垂线，垂足为N ，即MN MF =,MNMA MF MA +=+∴.这样就转化成求MNMA +的最小值，又 在AMN ∆中，ANMN MA >+，只有当A 、M 、N 三点共线时，MNMA +有最小值AN，即此时MF MA +取得最小值AN。
易求得此时点M 坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-2,21，故选D 。
规律总结：在圆锥曲线中已知一定点A 和焦点F ，点M 为圆锥曲线上一动点，求MF e MA 1+的最小值时，要利用圆锥曲线统一定义将MF e 1转化为到相应准线的距离，再求相应折线段和的最小值，当折线变成一条直线时取最小值。
变式训练：.已知点P 是抛物线x y 22=上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛4,27，则PMPA +的最小值是 29。
抛物线方程的平移问题及最值恒过选定点问题
抛物线方程的平移问题及最值恒过选定点问题简介抛物线是一种常见的二次曲线，其方程可以表示为`y = ax^2 + bx + c`。
在这篇文档中，我们将讨论抛物线方程的平移问题以及最值恒过选定点问题。
抛物线方程的平移问题当我们对抛物线的方程进行平移时，我们希望能够改变抛物线的位置，使其在平面上移动到新的位置。
平移可以在横轴和纵轴方向上进行。
在进行平移时，我们需要考虑平移的距离和方向。
横向平移横向平移是通过改变`x`的值来实现。
对于一般的抛物线方程`y = ax^2 + bx + c`，横向平移的公式是`y = a(x - h)^2 + k`。
其中`(h, k)`表示新位置的坐标，`h`为横向平移的距离。
纵向平移纵向平移是通过改变`y`的值来实现。
对于一般的抛物线方程`y = ax^2 + bx + c`，纵向平移的公式是`y = a(x^2 + bx) + (c + k)`。
其中`k`为纵向平移的距离。
最值恒过选定点问题在抛物线上，我们知道最值点（最大值或最小值）是对称的，即位于抛物线的顶点。
然而，有些情况下，我们希望最值点恒过一个特定的选定点。
要实现这一点，我们需要根据选定点的横坐标和纵坐标来调整抛物线方程的参数。
具体来说，如果我们希望抛物线的最值点恒过坐标为`(p, q)`的选定点，那么我们可以通过以下方式调整抛物线方程的参数：- 将方程中的`x`替换为`(x - p)`以进行横向平移- 将方程中的`y`替换为`(y - q)`以进行纵向平移这样，我们可以得到一个新的抛物线方程，满足最值点恒过选定点的要求。
总结在本文档中，我们讨论了抛物线方程的平移问题以及最值恒过选定点问题。
通过横向平移和纵向平移，我们可以改变抛物线的位置。
而通过调整抛物线方程的参数，我们可以使其最值点恒过选定点。
这些技巧可以在解决与抛物线相关的问题时非常有用。
抛物线的最值问题
O
.
F
x
y0 2 3 y0 46 y0 48y0 16 46 , ( y0 R ) d 16 80 5 此时P(9,24) 当y0 24时, d min 2
探究五：距离和的最小值。
例 在抛物线 y2=8x 上求一点P，使P到焦点F 的距离与到 Q(4 ，1)的距离的和 最小，并求最小值。 解：
解：直线与抛物线无交点，设抛物线上一点P( x0 . y0 )
例:在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求此距 离。 y
则y0 2 64x0 4 x0 3 y0 46 4 x0 3 y0 46 d | | 5 16 9
y0 2 将x0 代入得： 64 2
p4 2p 8， 由 y2 8x 知：
y
此抛物线的焦点坐标是:F (2 ， 0)
准线l方程是:x 2 .
由定义知： PF dPl 即 | PF || PK | .
| PF | | PQ | | PK | | PQ |
K
P Q O 2 F 4
x
显然，当Q， P， K 三点共线时，
• 例：在抛物线y2 =64x上求一点，使它到 直线Ｌ：4x+3y+46=0的距离最短，并求 此距离。
例在抛物线y2=64x上求一点，使它到直线Ｌ： 4x+3y+46=0的距离最短，并求此距离。
y 解：设抛物线平行于L的切线方程为
4x 3 y m 0 x 联立 4 x 3 y m 0 2 P y 64x 2 消 x 得 y 48y 16m 0 L 48 48 4 16 m 0 m 36 y 24, x 9 46 36 2 P9,24 d min 有最小值.
高中数学抛物线最值问题
抛物线求最值问题（第一类）1.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线与（y 轴、准线、焦点）距离之和的最小值问题。
此类题常用方法转化为求焦点到直线的距离。
例题已知抛物线方程为x y 42=,直线l 的方程为04=+-y x ,在抛物线上有一动点P 到y 轴的距离为d1到直线l 的距离为d2,则d12的最小值为多少？ 分析：如图点P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1，过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d12最小，根据抛物线方程求得F ，进而利用点到直线的距离公式求得d12的最小值．解：如图点P 到准线的距离等于点P 到焦点F 的距离，从而P 到y 轴的距离等于点P 到焦点F 的距离减1．过焦点F 作直线4=0的垂线，此时d122-1最小，∵F （1，0），则2，则d12的最小值为．抛物线求最值问题（第二类）2.已知抛物线和一个定点，①：定点在抛物线“内”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之和的最值问题；②定点在抛物线“外”，求抛物线上的一点到定点与（焦点、准线）距离之差绝对值的最值问题。
此类题常用方法转化为三点共线或者顶点到直线问题。
例题已知点P在抛物线y2=4x上，则点P到点Q（2，-1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（）A.⎪⎭⎫⎝⎛-1,41B．⎪⎭⎫⎝⎛1,41C．（1，2）D．（1，-2）分析：先判断点Q与抛物线的位置，即点Q在抛物线内，再由点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，根据图象知最小值在M，P，Q三点共线时取得，可得到答案．解：点P到抛物线焦点距离等于点P到抛物线准线距离，如图，故最小值在M，P，Q三点共线时取得，此时P，Q的纵坐标都是-1，抛物线求最值问题（第三类）3.已知抛物线和一条直线，求抛物线上的一点到直线距离最小值问题。
此类题常用方法：①设点转化成二次函数问题；②求导数，让抛物线上点的切线斜率等于直线斜率。
与抛物线有关的最值问题
与抛物线有关的最值问题一、定义法求最值例1：设P 是抛物线24y x =上的一个动点，F 是焦点．（1）求点P 到点(11)A -，的距离与点P 到直线1x =-的距离之和的最小值；（2）若B 点的坐标为（3，2），求|PB|+|PF|的最小值．分析：第（1）个问题可以转化为在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．第（2）个问题可以联想到平面上到两定点距离之和最短的点在两定点连线线段上的这一几何性质来解决．解：（1）如图1，易知抛物线的焦点为(10)F ，，准线是1x =-．由抛物线的定义知：点P 到直线1x =-的距离等于点P 到焦点F 的距离．于是，问题转化为：在曲线上求一点P ，使点P 到点(11)A -，的距离与点P 到(10)F ，的距离之和最小．显然，连结AF 交抛物线于P 点．故最小值为221+，即为5；（2）如图2，自B 作BQ 垂直准线于Q 交抛物线于1P ，此时，11PQ PF =，那么114PB PF PB PQ BQ ++==≥，即最小值为4． 点评：此题利用抛物线的定义，使抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距离相互转化．练习：若点A 的坐标为()2,3，F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 在该抛物线上移动，为使得PF PA +取得最小值，求P 点坐标．解：由抛物线的定义，PF 等于P 到抛物线到准线的距离P P '，当且仅当在同一直线上时，有PF PA +=P P 'PA +最小，此时点P 的纵坐标等于A 点纵坐标，即2=y ，此时P 点坐标为()2,2． 二、函数法求最值例2：在抛物线24x y =上求一点，使它到直线y=4x-5的距离最短．分析：本题可以结合求一元二次函数的最值问题来解决，其最值总是在顶点或边界点达到，但要特别注意有的问题的顶点并不一定在给定的区间内。
如最值不在顶点，就要考虑边界点的函数值．解：设抛物线上的点)4,(2t t P ，点Ｐ到直线4x-y-5=0的距离174)21(41754422+-=+-=t t t d 当21=t 时，174min =d ，故所求点为)1,21(．点评：求最值问题也往往涉及到一元二次函数问题，这种问题在圆锥曲线的最值问题中也常常见到)1,21(．练习：已知一曲线x y 22=，（１）设点A 的坐标为)0,32(，求曲线上距点A 最近的点P 的坐标及相应的距离 |PA|；（２）设点A 的坐标为（a,0）a ∈R ，求曲线上点到点A 距离最小值d ，并写出d=f （a ）的函数表达式．解：（1）设M （x,y ）是曲线上任意一点，则x y 22= )0(≥x ，31)31(2)32()32(22222++=+-=+-=x x x y x MA ∵ x ≥0，94min 2=MA ∴ 所求P点的坐标是（0，0），相应的距离是32=AP ．（2）设M （x,y ）是曲线上任意一点，同理有x a x y a x MA 2)()(2222+-=+-=)12()]1([2-+--=a a x 0≥x ，综上所述，有⎪⎩⎪⎨⎧-=aa d 12)1a ()1a (时当时当<≥．三、判别式法求最值问题例3：抛物线y 2=2x 上点到直线x-y+3=0的最短距离是__________． 分析：将直线平移到与抛物线相切，联立直线与抛物线方程，消去y或x 得一个一元二次方程，利用△=0求出直线方程和切点，再求切点到已知直线的距离即可．解：设2l ：x-y+c=0，又点 A 满足 ⎩⎨⎧==+-xy c y x 202消去x 得：y 2=2（y-c ） 即：y 2－2y+2c=0 ，由△=4－8c=0,得c=21，∴A （21，1），∴A 到直线 1l 的距离d= 113121++-= 245 即为所求．点评：结合判别式，求出抛物线y 2=2x 上点到直线x-y+3=0的最短距离，其实质是确定直线和抛物线的位置关系问题抛物线y 2=2x 上点到直线x-y+3=0的最短距离．练习：若点P 在y 2=x 上，点Q 在圆()23-x +y 2=1上，求PQ 的最小值．解：如图，要求PQ min ，只需以A 为圆心，r 为半径的圆与抛物线相切，再由r-1得．()⎪⎩⎪⎨⎧=+-=22223ry x xy ， 消去y 得，x 2-5x+9-b 2=0 ，△=)9(4252r --= 0 ， 解得 211411==r ∴ PQ1211-． 当然，如何求解与抛物线有关的最值,是一个综合性较强的问题，关键要灵活应用．。
关于抛物线的十个最值问题
竭诚为您提供优质的服务，优质的文档，谢谢阅读/双击去除关于抛物线的十个最值问题本文用初等方法讨论了与抛物线有关的若干几何最值问题,得到了十个有趣的结论.为方便读者摘用,现用定理形式叙述如下:定理1.抛物线的所有焦半径中,以过顶点的焦半径为最短.证明:不妨设抛物线的极坐标方程为ρ= ,则显然有ρ≥ ,其中等号成立当且仅当θ=2kπ+π(k∈Z)即焦半径通过抛物线的顶点时.证毕.定理2.抛物线的过焦点的所有弦中,以抛物线的通径为最短.证明:设抛物线极坐标方程为ρ= ,焦点弦为Ab,且设A(ρ1,θ),b(ρ2,θ+π),则有│Ab│=ρ1+ρ2= + = ≥2p=通径长,其中等号成立当且仅当θ=kπ+π/2(k∈Z)即弦Ab为通径时.证毕.定理3.设A(a,0)是抛物线y2=2px(p＞0)的对称轴上的定点,m(x,y)是抛物线上的动点,则│mA│min=证明:由│mA│2=(x-a)2+y2=(x-a)2+2px=x2-2(a-p)x+a2 =[x-(a-p)]2+p(2a-p),并且注意到x∈[0,+∞),立知结论成立.证毕.定理4.设A(a,b)是抛物线y2=2px(p＞0)内一定点,F是焦点,m是抛物线上的动点,则(│mA│+│mF│)min=a+p/2.Q m A(a,b)证明:如图1所示,作AQ⊥准线L:x=-p/2于Q,则知o F x(│mA│+│mF│)min=│AQ│=a-(-p/2)=a+p/2.证毕. 图1定理5.设线段Ab是抛物线y2=2px(p＞0)的过焦点的弦,分别以A、b 为切点的抛物线的两条切线相交于点m,则三角形Abm的面积的最小值为p2.证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由A、F、b三点共线可得:x1y2-x2y1=p/2.(y2-y1) (1)于是利用(1)式由两切线方程yAm:y1y=p(x+x1),Abm:y2y=p(x+x2),m F x易得m的坐标(x,y)适合: b∵kmF·kAF=-1,∴mF⊥Ab,即│mF│是△mAb的Ab边上的高. 图2∵│mF│≥│FK│(焦点F到准线x=-p/2的距离)=p,又由定理2知│Ab│≥2p(通径长),∴s△mAb=1/2·│Ab│·│mF│≥1/2·2p·p=p2,因其中等号当且仅当Ab⊥x轴时成立,故三角形mAb的最小值为p2.证毕.定理6.过抛物线y2=2px的顶点o引两条互相垂直的动弦oA和ob,则三角形oAb的面积的最小值为4p2. y证明:设A(x1,y1),b(x2,y2),则由oA⊥ob得Ax1x2+y1y2=0 (1)o x将y12=2px1,y22=2px2代入(1)立得:x1x2=4p2 (2)于是b(s△oAb)2=1/4·│oA│2·│ob│2图3=1/4·(x12+y12)·(x22+y22)=1/4·(x12+2px1)·(x22+2px2)=1/4·[(x1x2)2+2px1x2(x1+x2)+4p2x1x2]≥1/4.[(x1x2)2+2px1x2(2√x1x2)+4p2x1x2] (3)将(2)式代入(3)则得(s△oAb)2≥16p4,从而s△oAb≥4p2,因其中等号当x1=x2=2p时取到,故三角形oAb的面积的最小值为4p2。
高考数学解题方法微专题(28)抛物线中的最值问题(含解析)
微专题(二十八) 抛物线中的最值问题求解与抛物线有关的最值问题方法较多，一般需要通过数形结合或利用函数思想来求最值，下面就抛物线最值问题的求法作一归纳．1．定义转换法[例1] 已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的动点，B (－1,1)，点P 到直线l ：x ＝－12的距离为d ，求d ＋|PB |的最小值．解析：由题意得抛物线y 2＝2x 的焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，直线l 是抛物线的准线，如图，连接BF ，PF ，所以d ＝|PF |，则d ＋|PB |＝|PF |＋|PB |≥|BF |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1－122＋(1－0)2＝132，当且仅当B ，P ，F 三点共线时取等号，所以d ＋|PB |的最小值为132. 名师点评 与抛物线上的点到准线距离有关的最值问题，一般都是利用抛物线的定义，将到准线的距离转化为到焦点的距离，然后通过数形结合直接判断出取得最值时所要满足的条件，这样就能避免烦琐的代数运算.[例2] 抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________．解析：解法一 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线为4x＋3y ＋b ＝0，切线方程与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋b ＝0，消去y 整理得3x 2－4x －b ＝0，则Δ＝16＋12b ＝0，解得b ＝－43，所以切线方程为4x ＋3y －43＝0，抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是这两条平行线间的距离d ＝|8－43|5＝43.解法二 由y ＝－x 2，得y ′＝－2x .如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行且与抛物线y ＝－x 2相切的直线与抛物线的切点是T (m ，－m 2)，则切线斜率k ＝y ′|x ＝m ＝－2m ＝－43，所以m ＝23，即切点T ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，－49，点T 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪83－43－816＋9＝43，由图知抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.答案：43名师点评 若抛物线上的点P 到直线l 的距离最小，则过点P 与l 平行的直线与抛物线相切，且最小距离为两平行直线间的距离，所以可将问题转化为求与抛物线相切的直线，然后求两平行直线间的距离．3．函数法针对上面的例2，我们给出第三种解决方法：解法三 设P (x ，－x 2)，则点P 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4x －3x 2－8|16＋9＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫x －232＋43，在抛物线y ＝－x 2中，x ∈R ，所以当x ＝23时，d 取得最小值43，即抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是43.[例3] 若点P 在抛物线y 2＝x 上，点Q 在圆(x －3)2＋y 2＝1上，则|PQ |的最小值为________．解析：由题意得抛物线与圆不相交，且圆的圆心为A (3,0)，则|PQ |≥|PA |－|AQ |＝|PA |－1，当且仅当P ，Q ，A 三点共线时取等号，所以当|PA |取得最小值时，|PQ |最小．设P (x 0，y 0)，则y 20＝x 0，|PA |＝(x 0－3)2＋y 20＝x 20－6x 0＋9＋x 0＝⎝⎛⎭⎪⎫x 0－522＋114，当且仅当x 0＝52时，|PA |取得最小值112，此时|PQ |取得最小值112－1. 答案：112－1 名师点评 解与抛物线有关的最值问题可通过两点间距离公式或者点到直线的距离公式建立目标函数，再用求函数最值的方法求解．解题的关键是根据所给抛物线方程设出动点坐标．。
抛物线中的若干最值问题
抛物线中的若干最值问题
1.抛物线的最高点在哪里？
抛物线的最高点，即顶点，是x坐标为-b/2a的点，y坐标为f(-
b/2a)。
2.抛物线与x轴交点有几个？
抛物线与x轴交点有0个、1个或2个，具体取决于抛物线的开口方向和方程的根。
3.抛物线的对称轴方程是多少？
抛物线的对称轴方程是x=-b/2a，具有以下特点：
-对称轴垂直于x轴；
-顶点位于对称轴上。
4.抛物线的最小值在哪里？
当抛物线开口向上时，抛物线没有最小值，最小值为负无穷；当抛物线开口向下时，最小值为f(-b/2a)。
5.抛物线有没有最大值？
当抛物线开口向上时，最大值为f(-b/2a)；当抛物线开口向下时，抛物线没有最大值，最大值为正无穷。
6.抛物线经过定点的条件是什么？
设定点为(x0,y0)，则抛物线经过该点的条件是方程f(x0)=y0成立。
7.抛物线对于x轴的对称点是哪个？
抛物线上任意一点与x轴对称的点的纵坐标为该点纵坐标的相反数，横坐标不变。
8.抛物线的拐点在哪里？
当抛物线开口向上并且a>0时，抛物线不存在拐点；当抛物线开口向下并且a<0时，拐点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)-|a|/4。
9.抛物线的单调区间是什么？。
抛物线最值问题
抛物线最值问题抛物线是二次函数的一种，其一般形式为f(x)=ax²+bx+c (a ≠0)。
在解决实际问题时，我们经常会遇到与抛物线最值相关的问题。
这类问题通常涉及到求函数的最大值或最小值，以及确定使函数取得最值的自变量的值。
下面我们来探讨一下抛物线最值问题的解决方法。
我们需要了解抛物线的开口方向和对称轴。
开口方向由a的正负决定，当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口。
对称轴是抛物线上的一条水平直线，使得抛物线上的点关于这条直线对称。
对称轴的方程为x=-b/2a。
我们可以根据抛物线的开口方向和对称轴来确定函数的最值。
1. 当a>0时，抛物线向上开口，函数在对称轴处取得最小值。
最小值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。
此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最小值。
2. 当a<0时，抛物线向下开口，函数在对称轴处取得最大值。
最大值为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。
此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值。
3. 当a=0时，抛物线变为一次函数y=ax²+bx+c。
此时，函数在顶点处取得最大值或最小值。
顶点的横坐标为-b/2a，纵坐标为f(-b/2a)=4ac-b²/4a。
此时，自变量x=-b/2a使得函数取得最大值或最小值。
通过以上分析，我们可以总结出求解抛物线最值问题的一般步骤：1. 确定抛物线的开口方向和对称轴。
2. 根据开口方向和对称轴确定函数的最值及其对应的自变量的值。
3. 将最值代入实际问题中进行求解。