线性系统理论大作业
线性系统设计大作业
第一章 背景１．1自相关函数自相关函数是信号在时域中特性的平均度量，它用来描述信号在一个时刻的取值与另一时刻取值的依赖关系，对于离散信号r 长度为N ，记为{r(k),k=0,1,2,…,N-1}。
该信号的自相关函数为101R()[()()]N i r i i N ττ-==+∑()()r i r i N ττ+=+-伪随机信号在每个采样点k 信号值为-a 或a ，其自相关函数为自相关函数就是信号x(t)和它的时移信号()x t τ+乘积的平均值，它是时移变量τ的函数。
自相关函数具有如下主要性质：（1）自相关函数为偶函数，xy R ()τ=xy R ()τ-，其图形对称于纵轴。
因此，不论时移方向是导前还是滞后（τ为正或负），函数值不变。
（2）当τ＝0时，自相关函数具有最大值，且等于信号的均方值，即（3）周期信号的自相关函数仍为同频率的周期信号。
自相关函数的典型应用包括：检测淹没在随机噪声中的周期信号。
由于周期信号的自相关函数仍是周期性的，而随机噪声信号随着延迟增加，它的自相关函数将减到零。
因此在一定延迟时间后，被干扰信号的自相关函数中就只保留了周期信号的信息，而排除了随机信号的干扰。
1.2互相关函数互相关函数，表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。
随机信号x(t)和y(t)的互相关函数xy R ()τ定义为xy R ()[()()]n m x n m y n +∞=-∞=-∑系统脉冲响应的测定。
在随机激励试验中，假如以随机白噪声作为试验信号输入被测系统，则输入信号与输出信号的互相关函数R() 就是被测系统的脉冲xy响应。
这种测量方法的优点可以在系统正常工作过程中测量。
测量时，其他信号都与试验信号无关，因而对互相关函数没有影响，不影响脉冲响应的测量。
第二章 基于Hankel 阵的实现2.1 Markov 系数概述对于严格真有理分式111111...()...n n nnn n nb s b s b G s s a s a s a ----+++=+++ 用多项式除法按指数级数展开12()(0)+(1)(2)...g s h h s h s --=++∵传递函数是严格真有理分式 ∴(0)=0hG(s)按Markov 矩阵展开成1(1)(1)1G(s)=C[SI-A]()()i i i i i B CA s G s h i s ∞--+=∞-+==⇒=∑∑我们把{(1),(2),(3)...}h h h 称为Markov 系数。
研究生线性系统理论题
研究⽣线性系统理论题1.为什么要对连续系统进⾏离散化?离散化有哪些⽅法?它们各⾃的特点是什么?因为连续系统在电脑上⽆法实现,只能把连续系统离散化,⽽离散华是将连续变化的模拟量信号，转换成数字量（脉冲）信号，但是这⾥的离散化是⾮常密集的,在误差允许的范围内,可以⾮常的逼近原函数.这样就能⽤数字电⼦计算机（电脑）进⾏计算或处理。
1.前向差分法S平⾯左半平⾯得极点可能映射到Z平⾯单位圆外，这种⽅式所得到得离散滤波器可能不稳定2.后向差分法变换计算简单；S平⾯得左半平⾯映射到Z平⾯得单位圆内部⼀个⼩圆内因此如果D（s）稳定则变换后的D（z）也稳定；离散滤波器得过程特性及频率特性同原连续滤波器⽐较有⼀定得失真，需要较⼩得采样周期T。
3.双线性变换法如果D（s）稳定，则相应得D（z）也稳定；D(s)不稳定，则相应的D(z)也不稳定；所得D（z）的频率响应应在低频段与D（s）得频率响应相近，⽽在⾼频段相对于D(S)得频率响应有严重畸变。
4.脉冲响应不变法D(z)和D(s)有相同得单位脉冲响应序列；若D(z)稳定，则D（s）也稳定；D(z)存在着频率失真。
该法特别适⽤于频率特性为锐截⽌型的连续滤波器的离散化。
主要应⽤于连续控制器D（s）具有部分分式结构或能较容易地分解为并联结构，以及D（s）具有陡衰减特性，且为有限带宽得场合。
这时采样频率⾜够⾼，可减少频率混叠影响，从⽽保证D（z）得频率特性接近原连续控制器D（s）。
5.阶跃响应不变法若D（s）稳定，则相应的D（z）也稳定；D(z)和D（s）得阶跃响应序列相同；6.零极点匹配法需要先求出连续传递函数得全部零极点，计算复杂；能够保持变换前后特征频率处得增益不变；不改变系统得稳定区域，变换前后G（z）和G（s）的稳定特性不变2.多输⼊/多输出系统能控性和能观测性与系统传递函数矩阵的关系如何?在单输⼊单输出系统中，能控且能观测得充分必要条件是传递矩阵G （s ）的分母与分⼦之间不发⽣因⼦相消。
华电线性系统理论大作业
而前文已经得出导轨的动能 Tw ，因此两式相加得系统的动能 T 为：
2 2 2 2 1 x T Tb Tw m x x2 a Ib I w a 2 R
是导轨相对于水平线的倾斜角。
图 1.球杆系统简图
2.2 拉格朗日法建模
为了对球杆系统进行研究， 我们先对其进行建模， 一般来说， 这种球杆系统， 运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便，拉格朗日方程如下：
d T T V R U t dt q q ' q ' q
v v' w r
其中 v ' 是小球相对于导轨的线速度，其数值等于 x ，负号是指方向与规定 的正方向相反， 指的是导轨的角速度，即 a ，r 是小球的质心在坐标系中的位 置向量，计算式如下：
R x 0 x x a v 0 0 R xa a 0 0 0
其中 T 为系统的动能，包括小球的转动的动能，导轨转动的动能等，V 为系 统的势能， 包括重力势能弹性势能等等， 能量耗散函数为 R ，q
q1 , q2 ....qk
T
1
为广义坐标向量，其中 k 代表系统的自由度，即完全描述系统运动特性需要的坐 标数目，关于自由度在下文会具体分析， u 为作用于系统的外力。 以下为各个变量所表示的物理意义，M：导轨的质量，g：重力加速度 r：小 球的半径 I b ：球的惯性力矩， I w ：杆的惯性力矩，x：球的相对横坐标，y：球 的相对纵坐标， ：小球相对于导轨的转角，a：导轨与水平线的夹角，球杆系 统受力分析如下：
第一篇线性系统理论习题答案
9－7 设有三维状态方程
⎡0 ⎤ ⎢1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎣1 ⎥ ⎦
1 s + s +1 s 2 s + s +1
2
0
⎤ 0 ⎥ ⎥ ⎡0 ⎤ s 2 + 2 s 1⎥ = 3 0 ⎥ ⎢ ⎢ s −1 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎢ ⎣1⎥ ⎦ s − 1⎥ ⎦
⎡ R M ⎤ ⎡ R −1 ∵⎢ ⎥×⎢ ⎣0 T ⎦ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎡ R −1 ⎥=⎢ T− ⎦ ⎣ 0
⎡R M ⎤ ∴⎢ ⎥ ⎣0 T ⎦
9－10 解
−1
⎡ R −1 =⎢ ⎣ 0
− R −1 MT −1 ⎤ ⎥ T −1 ⎦
−1
对可控标准形 A 和 b ，计算 ( sI − A) b
+
v2
& 2 = x1 + y = x1 − C 2 x
写成矩阵形式为
1 1 x2 + U R2 R2
图 9－1 RLC 网络
⎡ R1 − & x ⎡ 1 ⎤ ⎢ L1 ⎢x ⎥=⎢ ⎣ &2 ⎦ ⎢ 0 ⎢ ⎣
⎤ ⎡ 1 ⎤ 0 ⎥ x ⎡ ⎤ ⎢ L ⎥ ⎥ ⎢ 1 ⎥ + ⎢ 1 ⎥U − 1 ⎥ ⎣ x2 ⎦ ⎢ − 1 ⎥ ⎢ R2 C 2 ⎥ ⎦ ⎣ R2 C 2 ⎥ ⎦
x1 ， x 2 有下列关系存在 x1 = x1 + x 2 x 2 = − x1 − 2 x 2
试求系统在 x 坐标中的状态方程。 解 ①
&1 = x & = x2 x &2 = & & = −2 x1 − 3 x 2 + u x x
《线性系统理论》作业参考答案6
可控可观，
>
5-9(2) 解：由题得系统的传递函数为
2 G (s) 0 s 3 1 1 0 2 1 0 1 s 1 0 1 s 1
1
0 1 0
2 0 s 5s 2 2 0 ( s s 1)( s 3 ) 2s 3 1 2 s s 1
注：本题也可以按照课本上介绍的方法做，答案不唯一。
注：本题也可以按照书上提供的第一种方法做。
-82 -40.5 128 62
( s5
2 2
d1 1 1 0 d2 1 1 0 经计算得 ， E lim sG 1 ( s ) 1 1 E 2 lim sG 2 ( s ) 2 s 1 s
1 1 3 x 2 1 3 1 3 v 。 1 3
2 1 1 u Kx Hv E Fx E v 4
注：这只是其中一种方法，不唯一。 （3）在第二问的基础上做，由于 等于-1，-2， -3，即可配置。 5-11 本题中，系统有耦合，p+q -1=2+2-1=3<n=4，故不能用静态反馈来配置系统极点，本题 只能用设计动 态输出反 馈补偿器的 方法， 设 计一个一 维的动态输 出反馈补 偿器，使得 p+q+2l-1=5>4 式成立。对此五维系统，可增设一个需要配置的极点（如 -5 或-6）用待定系数 法解 K 的各参数。以上只是大体思路，本题计算繁琐且 K 阵不唯一。 ，故只需令以上三个根
1 1 E 为非奇异阵，所以系统可以用反馈解耦。 2 1
1
C1 A d 1 1 6 F d 2 1 C A 2 0
《线性系统理论》作业参考答案
x 11 e t x 21 , 21 0 , x
x11 ( t 0 ) 1 x 21 ( t 0 ) 0
，
x 12 e t x 22 , 22 0 , x
x12 ( t 0 ) 0 x 22 ( t 0 ) 1
解得
x12 e t e t 0 x11 1 ， x 21 0 x 21 1 1 (t ) x 0 e
( sI A )
1
s ( s 1) 0 2 det( sI A ) s ( s 1) 0 adj ( sI A ) 1
s 1 ( s 1) 0
2
s ( s 1) 1 s ( s 1) 1 s 1 1
2
所以 e
。
可以看出， f ( i ) 是 f ( A ) 的一个特征值。
1-3 解：(1) 特征多项式为 1 ( ) ( 1 ) .
4
验证
A 1 I 0 , ( A 1 I ) 2 0 , ( A 1 I ) 3 0 , ( A 1 I ) 4 0
At
e t 1 1 L [( sI A ) ] 0 0
e 1 1 0
t
t t 1 e te t e 1 。 t e
1-5 证明：因为 D 1 存在，所以由 D R p p
A det C B IA det D 0 BD A I D C
c
k 0
k
A
k
设 x 是属于 i 的一个非零特征向量，故
A x i x
.
2 2 因此 A x A Ax A i x i Ax i i x i x .
线性系统理论大作业2
摘要：本文主要讨论线性系统解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。
这一关系从两个方面来说明，第一部分讲述系统解集几何结构与特征值和特征向量之间的关系，通过Matlab 仿真例子说明这一关系；第二部分分别讲述特征值和特征向量与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系，并讲述了能观性，能控性以及稳定性的定义和判据，通过以约旦标准型为例来讲述相同特征值和不同特征值情况下的能观性，能控性，最后在Simulink中仿真一定特征值条件下系统的稳定性。
从以上两个方面来说明解集的几何结构与系统能观性、能控性和稳定性之间的关系。
1. 零输入响应解集与特征值和特征向量之间的关系线性定常系统状态方程x Ax Buy Cx Du=+⎧⎨=+⎩，0(0),0x x t =≥的解为()00()(),0t At A t x t e x e Bu d t τττ-=+≥⎰。
为了研究线性定常系统状态方程解集的几何结构与线性系统的特征之间的关系，将系统简化，只考虑系统为零输入的状态响应，即x Axy Cx=⎧⎨=⎩，0(0),0x x t =≥的解为0()At x t e x =。
所有的零输入状态响应组成了一个线性空间，且该线性空间中有n 个独立的元素，它们的线性组合决定了所有零输入响应。
所以可以通过选择一组线性独立的初始条件得到一组零输入响应集中的基底。
下面先考虑最简单的零输入状态响应集的基底。
若12,,...n λλλ是A 的两两互异的特征值，且12,,...n v v v 是相应的单位特征向量，即,1,2,...i i i Av v i n λ==。
选0,1,2,...i x v i n ==，则0()(...)......i At At i2233i 2233i i i i 2233i i i i i i i t i x t e x e v 11I +At +A t +A t +v 2!3!11v Av t A v t A v t 2!3!11v v t v t v t 2!3!e v λλλλ====++++=++++=所以取01122...n n x v v v ααα=+++时，相应的零输入响应为121122()...n t t t n nx t e v e v e v λλλααα=+++由此可以看出线性定常系统的零输入响应解集的几何结构可以由系统矩阵A 的特征值和特征向量来表征。
华工自动化线性系统第一次 大作业
求的方法有时域的求解方法和频域的求解方法。 方法1：根据或者的定义直接计算：
=I+++…++…= 从公式可以看出，右边是一个无穷项的和，要精确计算出
结果是很困难的，所以无论是手工计算还是利用电脑计算，都 不可能取无穷项计算，通常是取有限项,得到一个近似的值， 以满足不同的精度要求即可.对于不同的精度要求，n的值会不 同。在工程上，只要取它的前几项就可以满足要求，本方法易 于理解，适合计算机编程。 方法2：利用拉氏反变换法求：
版本）正在进行着陆（速度V=16英里/小时）。描述飞机纵向 运动的状态空间方程
给出如下：
控制输入是升降舵角度和向量的状态变量分别是速度的变化， 迎角，俯仰速率和俯仰度。
该飞机的纵向模式称为短周期和长周期。在长周期特征 值，这也是一种复杂的共轭特征值接近虚轴，造成长周期运 动，在水平面缓慢地震荡。
二、状态转移矩阵的重要性与意义
线性系统理论大作业
专业：控制理论与控制工程 学号与姓名：
一、飞行器原理及结构和空间坐标系
为了进行控制系统设计的目的，飞机动力学经常称为飞行 姿态的一些操作状态进行线性化，它假设飞机的速度（马赫 数）和姿态是不变的。控制面（The control surfaces）和发动 机推力装置设置或修改，以达到这些状态，我们设计控制系统 就是为了维护这些条件，例如，强制将到这些状态的扰动（偏 差）变为零。
syms M s d1 t XT X0; A=[-0.0507 -3.861 0 -32.2;-0.00117 -0.5164 1 0;-0.000129 1.4168 -0.4932 0;0 0 1 0]; disp('矩阵A的行列式如下:'); d1=det(A); I=eye(4); disp('[sI-A]^(-1)为:'); B=(s*I-A); C=inv(B); digits(4) C=vpa(C) disp('状态转移阵为'); D=ilaplace(C); digits(4); M=vpa(D) X0=[0;0;0;0]; B=[0;-0.0717;-1.645;0]; XT=M*(X0+B) %求解系统的状态响应。 %画图 subplot(2,2,1) %画出x(t)d第一个分量X1(t),并把它显示在左上 角。 ezplot(XT(1,1),[0,2]) subplot(2,2,2) %画出x(t)d第二个分量X2(t),并把它显示在右上 角。 ezplot(XT(2,1),[0,2])
线性系统理论习题答案
《线性系统理论》作业参考答案1-1 证明：由矩阵úúúúúúûùêêêêêêëé----=--121000001000010a a a a A n n nL M O M M M L L L则A 的特征多项式为nn n n n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a a a A I +++==+--++--=--++--=+--=--------+-----L L L M O MM ML LL L M O M M M L L L L M O MMM L L L112114322111321121)1()1(00001001)1()1(000010001000010001l l l l l l ll l l l l l l l l ll 若i l 是A 的特征值，则00001000010001)(1112121=úúúúúúûùêêêêêêëé+++=úúúúúúûùêêêêêêëéúúúúúúûùêêêêêêëé+--=-----n n i n i n i i i in n ni i i i i a a a a a a A I L M M L M O M M M L L L l l l l l l l l l u l 这表明[]Tn ii i121-l l l L 是i l 所对应的特征向量。
华电线性系统理论大作业
分数: ___________任课教师签字：___________ 华北电力大学研究生结课作业学年学期：2014-2015学年第一学期课程名称：线性系统理论学生姓名：学号：提交时间：2014年11月27日目录1.绪论 (1)2.球杆系统分析与建模 (1)2.1球杆模型简介 (1)2.2拉格朗日法建模 (1)2.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取 (4)3. 系统稳定性分析 (5)3.1有初始状态下求取系统响应曲线 (6)3.3稳定性判断并求取零极点分布图 (7)4.系统能控性判别 (8)4.1代数判据 (8)4.2模态判据 (8)4.3可控性与可稳定性 (10)5.系统极点配置 (10)5.1极点配置方法 (10)5.1.1状态反馈原理 (11)5.1.2输出反馈原理 (11)5.1.3PID配置极点原理 (12)5.1.4三种反馈对比 (12)5.2.用状态反馈进行极点配置 (12)6.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计 (16)6.1能观性分析 (16)6.1.1代数判据 (16)6.1.2模态判据 (16)6.3全维观测器原理 (17)6.4全维状态观测器结构 (17)6.5全维状态观测器设计 (18)6.6全维状态观测器Simulink仿真 (18)6.7全维状态观测器在干扰下的性能研究 (20)7.总结 (22)1.绪论球杆系统是控制理论中很经典的一个模型，通常用来检验控制策略的效果，并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型，因此，对球杆系统的研究很有意义，本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手，对球杆系统稳定性，能控能观性等控制特性进行分析。
2.球杆系统分析与建模2.1球杆模型简介球杆系统由底座，直流伺服电机，光滑导轨，小球等组成，导轨在伺服电机的带动下转动，小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动，球杆系统简图如下，其中x 是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量，以导轨左侧为正，α是导轨相对于水平线的倾斜角。
线性系统大作业范文
线性系统大作业范文线性系统是控制理论中的重要概念，它涉及到系统的线性性质以及如何对系统进行控制和优化。
在本次大作业中，我研究了一个线性系统的特性，并尝试设计一个控制策略，以优化系统的性能。
以下是我对此的详细分析和实施方案。
我选择研究一个被广泛应用于调节系统中的经典线性系统，即比例-积分-微分控制器（PID控制器）。
这种控制器通过测量误差信号，并根据比例、积分和微分增益来计算控制信号，使系统的输出尽量接近期望值。
PID控制器的优点是简单、稳定且易于调节。
我首先建立了一个模型以更深入地了解系统的特性。
我选择了一个简单的一阶系统作为示例。
该系统由一个控制信号u和输出信号y之间的线性关系组成，可以使用方程y=ku来表示，其中k是系统的增益。
然后，我对这个系统进行了频率响应分析。
通过使用傅里叶变换和频谱分析，我确定了系统的幅度和相位响应。
通过分析振荡频率、幅度衰减和相位延迟等指标，我能够了解系统的稳定性和动态响应。
接下来，我设计了一个PID控制器来优化系统的性能。
PID控制器的核心是比例、积分和微分增益。
比例增益用于调整控制信号与误差信号的比例关系，积分增益用于处理系统的静差，而微分增益用于校正系统的动态响应。
通过适当调节这些参数，可以优化系统的响应速度、稳定性和误差补偿能力。
为了确定PID控制器的最佳增益，我使用了试探法。
我从一个合理的起始点开始，逐渐调整增益，观察系统的响应，并根据响应结果进行微调。
通过不断迭代，最终我找到了一组使系统达到最佳性能的增益。
为了验证PID控制器的效果，我进行了仿真实验。
我利用MATLAB软件搭建了一个模拟环境，输入初始参数和控制信号，然后模拟系统的输出。
通过比较使用PID控制器前后的系统性能指标，如误差补偿能力、响应速度和稳定性，我确认了PID控制器的优越性。
最后，我对PID控制器的适用性进行了讨论。
尽管PID控制器广泛应用于各种应用领域，但它并不适用于所有系统。
对于具有高度非线性特性、时变性或多变量耦合的系统，PID控制器的效果可能不理想。
线性系统大作业1
xdot(1)=-R/L*x(1)-1/L*x(2)+1/L*f(t);
xdot(2)=1/C*x(1);
function in=f(t)
in=(t>0)*2;
end
end
仿真求解状态方程代码如下：
L=1;
C=0.1;
R=1.5;
[t,x]=ode45('funcforex14',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
的根。方阵A有n个特征值；实际物理系统中，A为实数方阵，故特征值或为实数，或为成对共轭复数；如A为实数对称方阵，则其特征值都是实数。
4.2系统的不变量与特征值的不变性
同一系统，经非奇异变換后，得
公式(4.1)
其特征方程为
公式(4.2)
公式(4.1)与公式(4.2)形式虽然不同，但实际是相等的，即系统的非奇异变换，其特征值是不变的。可以证明如下：
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('系统响应');
[t,x]=ode45('funcforex13',[-1,10],[0;1],[],R,L,C);
figure(1);plot(t,x(:,1),'k');hold on;xlabel('time sec');
figure(1);plot(t,x(:,1),'r');hold on;xlabel('time sec');grid;
xlabel('t/ms');ylabel('电压/V');title('齐次性');
线性系统理论大作业
《线性系统理论》大作业报告引言：研究线性定常连续系统状态方程的解时，求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。
而线性定常连续系统状态方程的解由两个部分相加组成。
第一个部分是由初始状态所引起的自由运动，即状态的零输入响；第二个部分是由输入所引起的系统强迫运动,其值为输入函数与矩阵指数函数的卷积，即状态的零状态响应。
由于这两部分中都包含有状态转移矩阵，因此状态转移矩阵的计算是线性定常连续系统状态方程求解的关键。
本文先总结了的计算方法，并运用matlab命令求解证明各方法的正确性及给出相应的零输入响应仿真结果。
然后推导了脉冲响应的公式，希望通过飞机模型的例子来研究其系统的脉冲响应。
最后推广研究了任意输入的零状态响应。
第一部分的计算方法及零输入响应的仿真证明一．的计算方法1.根据的定义直接计算定义式是一个无穷级数，故在计算中必须考虑级数的收敛条件和计算收敛速度问题。
类似于标量指数函数，对所有有限的常数矩阵A和有限的时间t来说，矩阵指数函数这个无穷级数都是收敛的。
显然用此方法计算一般不能写成封闭的解析形式，只能得到数值计算的结果。
2.变换A为约旦标准型因为任何都可经线性变换成为对角矩阵或约旦矩阵，因此下面将利用对角矩阵和约旦矩阵的矩阵指数函数计算的简便性质，通过线性变换将一般形式的系统矩阵变换成对角矩阵或约旦矩阵计算其矩阵指数函数。
对于矩阵A，若经过非奇异变换（相似变换）矩阵Ｐ作变换后，有则3. 利用拉氏反变换求已知齐次方程两边取拉氏变换即对上式两边取拉氏反变换得齐次微分方程的解：而由定义法求得的齐次微分方程的解为比较两式得4. 应用凯莱—哈密顿定理求（1）由凯莱—哈密顿定理，方阵A 满足其自身的特征方程，即()1110 0n n n fA A a A a A a I--=++++=故121210...n n n n n A a A a A a A a I ----=-----它是的线性组合。
兰州理工大学线性系统理论期末MATLAB大作业
1、在造纸流程中，投料箱应该把纸浆流变成2cm 的射流，并均匀喷洒在网状传送带上。
为此，要精确控制喷射速度和传送速度之间的比例关系。
投料箱内的压力是需要控制的主要变量，它决定了纸浆的喷射速度。
投料箱内的总压力是纸浆液压和另外灌注的气压之和。
由压力控制的投料箱是个耦合系统，因此，我们很难用手工方法保证纸张的质量。
在特定的工作点上，将投料箱线性化，可以得到下面的状态空间模型：ẋ = [−0.8+0.02−0.020] x+[0.0510.0010] u y =[x 1 , x 2]其中，系统的状态变量x1=液面高度，x2=压力，系统的控制变量u1=纸浆流量u2=气压阀门的开启量。
在上述条件下，试设计合适的状态变量反馈控制器，使系统具有实特征根，且有一个根大于5解：下面是对此设计的MATLAB 程序实现：>> A=[-0.8 0.02;-0.02 0];>> B=[0.05 1;0.001,0];>> r=rank(ctrb(A,B))r =2>> C=[1 1];>> P=[1 6];>> K=place(A,B,P)K =1.0e+003 *-0.0200 -6.0000-0.0008 0.30002、描述恒速制导导弹的运动方程为：ẋ = [ 01000−0.1−0.50000.500000 010000.51000]x + [ 01000] uy =[ 0 0 0 1 0 ] x(a) 运用ctrb 函数计算系统的能控型矩阵，并验证系统是不可控的；(b) 计算从u 到Y 的传递函数，并消去传递函数中的分子和分母公因式，由此可以得到能控的状态空间模型。
在消去了公因子之后，请用tf2ss 函数确定新的状态变量模型；(c) 证明(b)中得到的状态变量模型是能控的；(d) 说明恒速制导导弹是否稳定？(e) 讨论状态变量模型的能控性和复杂性的关系（假设用状态变量的数目来度量复杂性）解程序如下:clearA=input('请输入系统矩阵:');B=input('请输入输入矩阵:');C=input('请输入输出矩阵:');Qc1=ctrb(A,B)N1=size(A);n1=N1(1) %判断状态方程维数rc1=rank(Qc1)if rc1==n1disp('系统可控')elseif rc1<n1disp('系统不可控')endsyms sI=eye(n1);Q=inv(s*I-A);sys=collect(C*Q*B) %求解原状态方程的频域传递函数并化简num=[500 250 50];den=[1 0 0];[A1 B1 C1 D1]=tf2ss(num,den)Qc2=ctrb(A1,B1)N2=size(A1);n2=N2(1) %判断状态方程维数rc2=rank(Qc2)if rc2==n2disp('系统可控')elseif rc2<n2disp('系统不可控')endd1=eig(A)'d2=eig(A1)'flag1=0;flag2=0;for i=1:n1if real(d1(i))>0flag1=1;endendif flag1==1disp('原系统不稳定')elsedisp('原系统稳定')endfor j=1:n2if real(d2(j))>0flag2=1;endendif flag2==1disp('新系统不稳定')elsedisp('新系统稳定')end运行结果：请输入系统矩阵:[0 1 0 0 0;-0.1 -0.5 0 0 0;0.5 0 0 0 0;0 0 10 0 0;0.5 1 0 0 0]请输入输入矩阵:[0;1;0;0;0]请输入输出矩阵:[0 0 0 1 0]Qc1 =0 1.0000 -0.5000 0.1500 -0.02501.0000 -0.5000 0.1500 -0.0250 -0.00250 0 0.5000 -0.2500 0.07500 0 0 5.0000 -2.50000 1.0000 0 -0.1000 0.0500n1 =5rc1 =4系统不可控sys =50/s^2/(10*s^2+5*s+1)A1 =0 01 0B1 =1C1 =250 50D1 =500Qc2 =1 00 1n2 =2rc2 =2系统可控d1 =0 0 0 -0.2500 - 0.1936i -0.2500 + 0.1936id2 =0 0原系统稳定新系统稳定分析：由上述分析结果可知原系统和新系统均稳定，而实际上由系统的极点可知，原系统是稳定的，新系统实际上处于临界稳定状态也可认为是不稳定的；若以状态变量的数目来度量复杂性，可知系统的完全可控性与复杂性存在类似反比的关系，及复杂性越高系统完全可控的难度越大，复杂性越低系统完全可控的难度越低。
线性系统理论多年考题和答案
线性系统理论多年考题和答案2019级综合大题⎡400⎤⎡1⎤⎥x +⎢1⎥u x =⎢0-21⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣00-1⎥⎦⎣0⎥⎦y =[112]x1 能否通过状态反馈设计将系统特征值配置到平面任意位置？2 控规范分解求上述方程的不可简约形式？3 求方程的传递函数；4 验证系统是否渐近稳定、BIBO 稳定、李氏稳定；（各种稳定之间的关系和判定方法！）5 可能通过状态反馈将不可简约方程特征值配置到-2，-3？若能，确定K ，若不能，请说明理由；6 能否为系统不可简约方程设计全阶状态观测器，使其特征值为-4，-5； 7画出不可简约方程带有状态观测器的状态反馈系统结构图。
参考解答： 1.判断能控性：能控矩阵M =⎡⎣B可控，不能任意配置极点。
2按可控规范型分解AB⎡1416⎤⎢1-24⎥, rank (M ) =2. 系统不完全A 2B ⎤=⎦⎢⎥⎢⎣000⎥⎦⎡1⎢3140⎡⎤⎢1⎢⎥-1取M 的前两列，并加1与其线性无关列构成P =1-20，求得P =⎢⎢⎥⎢6⎢⎥⎢⎣001⎦⎢0⎢⎣2⎤⎡08⎢3⎥⎡1⎤⎢⎥1⎢⎥-1-1进行变换=PAP ⎢12-⎥, =PB =0, =cP =[222]⎢⎥⎢6⎥⎢⎢⎥⎣0⎥⎦001⎢⎥⎢⎥⎣⎦2⎤0⎥3⎥1-0⎥⎥6⎥01⎥⎥⎦⎧⎡08⎤⎡1⎤⎪x =⎢⎥x +⎢0⎥u12所以系统不可简约实现为⎨⎣⎦⎣⎦⎪y =[22]x ⎩3.G (s ) =c (sI -A ) -1B =4.2(s -1)(s +1) 2(s -1)=(s -4)(s +2)(s +1) (s -4)(s +2)det(sI -A ) =(s -4)(s +2)(s +1) ，系统有一极点4，位于复平面的右部，故不是渐近稳定。
G (s ) =c (sI -A ) -1B =2(s -1)，极点为4，-2，存在位于右半平面的极点，故系统不(s -4)(s +2)是BIBO 稳定。
系统发散，不是李氏稳定。
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目录题目一 (2)（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (2)(1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质 (2)(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计 (4)(3)全维观测器设计 (6)(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节 (8)（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计 (8)(1)线性二次型最优全状态反馈设计 (8)(2)降维观测器设计 (13)题目二 (15)(1)判断系统是否存在最优控制律 (15)(2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析 (16)(3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析 (17)题目一（一）状态反馈加积分器校正的输出反馈系统设计 (1)建立被控对象的状态空间模型，并判断系统性质1)画出与题目对应的模拟结构图，如图1所示：图1原始系统结构图取状态变量为1x =n ，2x =d I ，3x =d u ，控制输入u=c u1222212333375375111T Le la la la s s s C x x T GD GD C x x x x RT T RT K xx u T T ⎧=-⎪⎪⎪=--+⎨⎪⎪=-+⎪⎩将已知参数代人并设输出y=n=1x ，得被控对象的状态空间表达式为L x Ax Bu ET y Cx=++=其中，237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100T ela lala s C GD C A RT T RT T ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2375-30.4880=000GD E ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，[]100C = 2)检查被控系统的结构性质判断系统能控性、能观性、稳定性 程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0]; Qc=ctrb(A,B); Qo=obsv(A,C); L=length(A); if rank(Qc)==Ldisp('系统是状态完全能控'); elsedisp('系统是状态不完全能控'); endif rank(Qo)==Ldisp('系统是状态完全能观'); elsedisp('系统是状态不完全能观'); enddisp(eig(A))%利用A 的特征值判断系统稳定性 运行结果：系统是状态完全能控 系统是状态完全能观 1.0e+02 *-0.0893 + 0.0820i -0.0893 - 0.0820i -5.8823 + 0.0000i由于矩阵A 全部特征值均具有负实部，因此系统渐近稳定。
原系统设负载转矩为0，输入为阶跃信号，系统simulink 仿真如下：图2原始开环系统结构框图图3原始开环系统仿真分析：由系统仿真图可以看出，调节时间大于0.5s ，不满足性能指标。
(2)状态反馈增益矩阵和积分增益常数的设计由于原系统能控，可以使用状态反馈。
为满足设计指标，采用状态反馈加积分器校正的输出反馈系统。
因增广系统能控，故可采用线性状态反馈控制律12u K x K w =-+。
将闭环系统极点配置到复平面左半开平面的任意期望位置且可消除阶跃扰动及阶跃参考输入作用下的稳态误差。
式中：[]1111213=K K K K ，[]123=Tx x x x ，w v y =-，v 为系统参考输入。
由经典控制理论，闭环极点为1,2n j λζωω=-±的欠阻尼二阶线性定常系统的超调量及调节时间为%=100%eσ⨯， 3.5s nt ζω=。
系统需满足%%σ≤8，0.5s s t ≤，计算可得0.6266ζ≥，n ω≥11.1714，取=0.7ζ，=n ω12，设计指标的期望闭环主导极点对为*1,28.48.57j λ=-±。
选择2个期望的闭环非主导极点离虚轴为主导极点5倍以上，取*3,450λ=-，据期望闭环极点，采用MATLAB 极点配置函数可求出增广系统状态反馈增益阵，程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0];Az=[A [0;0;0];-C 0];Bz=[B;0];Cz=[C 0]; P=[-8.4+j*8.57;-8.4-j*8.57;-50;-50]; Km=acker(Az,Bz,P);K=[Km(1,1),Km(1,2),Km(1,3),-Km(1,4)] 运行程序可得：[][]1112132=0.001650.003780.02080.0142K K K K K =-系统simulink 仿真如下：图4状态反馈加积分器校正系统结构框图图5状态反馈加积分器校正系统仿真由图可知，超调量%（1.0420-1）/1 4.2%8%σ==<，调节时间0.5s s t <，满足要求。
图6 加负载扰动后系统状态反馈加积分器校正系统仿真0时刻扰动，最终系统稳定在1，因此系统稳态误差为0。
(3)全维观测器设计由于系统能观，可以使用状态观测器。
237500039.768011=-3.696-17.85727.05600-588.235100⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦T e la lala s C GD C A RT T RT T ， 000=023529.41s s B K T ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦，[]100C =，[][]1111213=0.001650.003780.0208=-K K K K2111121337500039.768011-=-3.696-17.85727.056-38.8235-88.9412-98.82331⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥----⎢⎥⎣⎦T ela lalas s s s s s s C GD C A BK RT T RT K K K K K K T T T T 新系统的特征根为：-61，27.807212.1936j -±，基于通常选择观测器的响应速度比所考虑的状态反馈闭环系统快2-5倍这一经验规则，取观测器期望极点为：-150，-60，-70。
应用MATLAB 极点配置函数求解新系统全维观测器，程序如下： A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;-38.8235 -88.9412 -98.8233]; B=[0;0;23529.41];C=[1 0 0]; P=[-150;-60;-70];Gt=acker(A',C',P);%求对偶系统的状态反馈增益阵G G=Gt';%求系统的观测器偏差反馈增益矩阵G 运行程序可得：163.3197G=8.1911129.8454⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
带观测器的状态反馈加积分调节系统仿真结构图如下：图7带观测器的状态反馈加积分器校正系统结构框图图8系统加全维观测器波形图图9全维观测器波形图由仿真图可知，系统的稳态误差为0，动态误差满足超调量%% ≤8,调节时间0.5s s t ≤的要求。
状态估计误差收敛速度与状态观测器极点的配置有关。
一般而言状态观测器极点在复平面的左半开平面距离虚轴距离越远，则估计误差收敛速度越快。
但是，观测器响应速度过快会产生大量噪声，影响系统的正常工作故不宜取值过大。
综合工程实际出发，一般取为比状态反馈闭环系统快2—5倍。
(4)如何在闭环调速系统中增加限流环节从加快启动电动机的角度来看，闭环调速系统应允许有较大的启动电流，而造成堵转的故障消失后，系统电流应能自动恢复正常。
所以常规的熔断器或过流继电器在这里均不能作为限流保护措施。
因为它们是通过切断电路来保护设备的，虽然能起到保护作用，但故障消失后，系统无法自动恢复正常。
为了充分利用设备的过流能力，又保证设备的安全运行，电流截止负反馈则可以限制电流的大小。
电流截止负反馈的作用是：当电枢电流大于某一截止值时，电流负反馈起作用，限制电流不能过大。
当电枢电流小于截止值时，电流反馈被截止，对系统的稳态运行不产生影响。
电动机启动时，因为电流截止负反馈作用，从而限制启动电流。
正常工作时，电流截止负反馈作用很小。
电动机发生堵转时，由于电流截止负反馈的作用，使Ud 大大下降，因而使Ia 不致过大。
允许的堵转电流一般为电动机额定电流的2~2.5倍。
系统工作在额定值时，由于电流截止负反馈起作用，从而保证系统设备的安全。
电流截止负反馈如图所示：图10 电流截止负反馈结构图（二）二次型最优全状态反馈控制和按负载扰动前馈补偿的复合控制系统设计 (1)线性二次型最优全状态反馈设计1)判断系统是否存在最优控制律要使系统阶跃响应具有良好的动、静态特性，可按非零给定点的最优控制律设计，即()()g u t Kx t u *=-+，由于输入维数和输出维数相等，所以1()()(0)c w u t Kx t W y *-=-+。
由于系统完全能控，因此，最优控制()u t *存在。
最优控制性能指标为：01()()()()2T TtJ x t Qx t u t Ru t dt ∞⎡⎤=+⎣⎦⎰，其中Q 为状态加权系数矩阵，R 为控制加权系数矩阵。
2)非零给定点的最优控制设计和仿真分析由图可知，系统输出响应发散，可引入最优控制1()()(0)c w u t Kx t W y *-=-+。
选取设⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦112233001000000=01000100q Q q q ，R=1。
程序如下：A=[0 39.768 0;-3.696 -17.857 27.056;0 0 -588.235]; B=[0;0;23529.41]; C=[1 0 0]; D=0; R=1;Q=[100 0 0;0 1 0;0 0 1]; K=lqr(A,B,Q,R); ac=A-B*K;W=inv((-C/(A-B*K))*B); bc=B*W; cc=C; dc=D;step(ac,bc,cc,dc); grid运行结果如下：[]K=9.8635 4.87020.9809，110.0009c W -=。
图11非零给定点最优控制系统单位阶跃响应3)权矩阵的各权值对动态性能影响分析a)固定控制加权系数矩阵R=1，且另22q 、33q 都为1，11q 取不同值时，研究非零给定点的最优控制仿真曲线。