2014-2015年江苏省南通市如皋中学八年级上学期期中数学试卷及参考答案

2014-2015学年江苏省南通市如皋中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．（2分）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2分）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（）A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°C．AB=4，BC=5，CA=10 D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°3．（2分）等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则它的周长是（）A．15cm B．20cm C．25cm D．20cm或25cm4．（2分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a6÷a3=a2C．（a+b）2=a2+b2D．（﹣2a3）2=4a65．（2分）下列多项式中是完全平方式的是（）A．1+4a2B．4b2+4b﹣1 C．a2+ab+b2D．a2﹣4a+46．（2分）将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的方法共有（）A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种7．（2分）如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB=CD，AE=CF，则图中全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对8．（2分）如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（）A．21 B．18 C．13 D．99．（2分）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）10．（2分）已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）计算：（a﹣1b2）3=．12．（3分）点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是．13．（3分）若多项式x2+ax+b是（x+1）与（x﹣2）乘积的结果，则a+b的值为．14．（3分）若a﹣b=8，a2+b2=82，则ab=．15．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，如果CD=2，AB=8，那么△ABD的面积等于．16．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点E、F分别在AB、CD 上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为．18．（3分）一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=．三、解答题（共7小题，满分56分）19．（12分）计算：（1）（x2y﹣3xy）•xy2；（2）已知a m=4，a n=9，求a2m+n的值．（3）先化简再求值：（a﹣b）2+b（a﹣b），其中a=2，b﹣．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，5），点B（6，5）．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）（2）在（1）作出点P后，点P的坐标为．21．（8分）在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图，并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．22．（8分）已知：如图∠BAC中，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，BF交CE于点D，BD=CD，求证：D点在∠BAC的平分线上．23．（8分）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）已知AC=8，求点C到BE之间的距离．24．（6分）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+2m+4的最小值和5﹣x2+2x的最大值．25．（8分）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．2014-2015学年江苏省南通市如皋中学八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题2分，满分20分）1．（2分）如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：根据轴对称图形的定义：第一个图形和第二个图形有2条对称轴，是轴对称图形，符合题意；第三个图形找不到对称轴，则不是轴对称图形，不符合题意．第四个图形有1条对称轴，是轴对称图形，符合题意；轴对称图形共有3个．故选：C．2．（2分）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（）A．AB=4，BC=5，∠C=60°B．AB=6，∠C=60°，∠B=70°C．AB=4，BC=5，CA=10 D．∠C=60°，∠B=70°，∠A=50°【解答】解：A、若已知AB、BC与∠B的大小，则根据SAS可判定其形状和大小，故本选项错误；B、有两个角的大小，也就相当于有了三角形的三个角，又有一边的长，所以根据AAS或ASA可确定三角形的大小和形状，故本选项正确．C、由于AB=4，BC=5，CA=10，所以AB+BC＜10，三角形不存在，故本选项错误；D、有三个角的大小，但又没有边长，故其形状也不确定，故本选项错误．故选：B．3．（2分）等腰三角形的两边长分别是5cm和10cm，则它的周长是（）A．15cm B．20cm C．25cm D．20cm或25cm【解答】解：当5cm为腰长时，三角形的三边为5cm，5cm，10cm，则不能构成三角形；当5cm为底边时，三角形的三边为5cm，10cm，10cm，则能构成三角形，三角形的周长为5+10+10=25cm．故选：C．4．（2分）下列计算正确的是（）A．a2+a3=a5 B．a6÷a3=a2C．（a+b）2=a2+b2D．（﹣2a3）2=4a6【解答】解：A、原式不能合并，错误；B、原式=a3，错误；C、原式=a2+b2+2ab，错误；D、原式=4a6，正确，故选：D．5．（2分）下列多项式中是完全平方式的是（）A．1+4a2B．4b2+4b﹣1 C．a2+ab+b2D．a2﹣4a+4【解答】解：a2﹣4a+4=（a﹣2）2．故选：D．6．（2分）将一张长方形纸片只折一次，使得折痕平分这个长方形的面积，这样的方法共有（）A．2种 B．4种 C．6种 D．无数种【解答】解：根据矩形的中心对称性，过中心的直线可把矩形分成面积相等的两部分，所以，使得折痕平分这个长方形的面积的方法共有无数种．故选：D．7．（2分）如图，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，AB=CD，AE=CF，则图中全等三角形共有（）A．1对 B．2对 C．3对 D．4对【解答】解：∵AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，∴∠AEB=∠CFD=90°，在Rt△ABE和Rt△CDF中，，∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL），∴BE=DF，∠ABE=∠CDF，∴DE=BF，同样可利用“SAS”证明△AED≌△CFB，∴AD=BC，∴可利用”SSS”证明△ABD≌△CDB．故选：C．8．（2分）如图，DE⊥BC，BE=EC，且AB=5，AC=8，则△ABD的周长为（）A．21 B．18 C．13 D．9【解答】解：∵DE⊥BC，BE=EC，∴DE是线段BC的垂直平分线，∴BD=CD，∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=5+8=13．故选：C．9．（2分）从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形（如图1），然后将剩余部分剪拼成一个矩形（如图2），上述操作所能验证的等式是（）A．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2B．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．a2+ab=a（a+b）【解答】解：∵从边长为a的正方形内去掉一个边长为b的小正方形，剩余部分的面积是：a2﹣b2，拼成的矩形的面积是：（a+b）（a﹣b），∴根据剩余部分的面积相等得：a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），故选：B．10．（2分）已知△ABC的三条边长分别为6，8，12，过△ABC任一顶点画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．6条 B．7条 C．8条 D．9条【解答】解：不妨设AB=6，AC=8，BC=12，分别作三边的垂直平分线，如图1，则BD=AD，EA=EC，FB=FC，可知AE、BF、AD满足条件，当AB为腰时，以点A为圆心，AB为半径画圆，分别交BC、AC于点G、H，以B为圆心，AB为半径，交BC于点J，如图2，则AB=AG，AB=AH，BA=BJ，满足条件当AC为腰时，如图3，以点C为圆心，CA为半径画圆，交BC于点M，则CA=CM，满足条件，当A为圆心AC为半径画圆时，与AB、BC都没有交点，因为BC为最长的边，所以不可能存在以BC为腰的等腰三角形，综上可知满足条件的直线共有7条，故选：B．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．（3分）计算：（a﹣1b2）3=a﹣3b6．【解答】解：原式=a﹣3b6=．12．（3分）点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（1，0）．【解答】解：点P（1，2）关于直线y=1对称的点的坐标是（1，0）．13．（3分）若多项式x2+ax+b是（x+1）与（x﹣2）乘积的结果，则a+b的值为﹣3．【解答】解：∵x2+ax+b=（x+1）（x﹣2），∴x2+ax+b=x2﹣x﹣2，∴a=﹣1，b=﹣2，∴a+b=﹣3．故答案为：﹣3．14．（3分）若a﹣b=8，a2+b2=82，则ab=9．【解答】解：∵a﹣b=8，∴（a﹣b）2=a2+b2﹣2ab=64，又∵a2+b2=82，∴ab=9，故答案是：9．15．（3分）如图，△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，如果CD=2，AB=8，那么△ABD的面积等于8．【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，∵∠C=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=2，∴△ABD的面积=AB•DE=×8×2=8．故答案为：8．16．（3分）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为65°或25°．【解答】解：当这个三角形是锐角三角形时：高与另一腰的夹角为40，则顶角是50°，因而底角是65°；如图所示：当这个三角形是钝角三角形时：∠ABD=40°，BD⊥CD，故∠BAD=50°，所以∠B=∠C=25°因此这个等腰三角形的一个底角的度数为25°或65°．故填25°或65°．17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．点E、F分别在AB、CD 上，将矩形ABCD沿EF折叠，使点A、D分别落在矩形ABCD外部的点A1、D1处，则整个阴影部分图形的周长为36cm．【解答】解：根据折叠的性质，得A1E=AE，A1D1=AD，D1F=DF．则阴影部分的周长=矩形的周长=2（12+6）=36（cm）．18．（3分）一列数a1，a2，a3，…a n，其中a1=﹣1，a2=，a3=，…，a n=，则a1+a2+a3+…+a2014=1005.5．【解答】解：a1=﹣1，a2==，a3==2，a4==﹣1，…，由此可以看出三个数字一循环，∵2014÷3=671…1，∴a1+a2+a3+…+a2014=671×（﹣1++2）﹣1=1005.5．故答案为：1005.5．三、解答题（共7小题，满分56分）19．（12分）计算：（1）（x2y﹣3xy）•xy2；（2）已知a m=4，a n=9，求a2m+n的值．（3）先化简再求值：（a﹣b）2+b（a﹣b），其中a=2，b﹣．【解答】解：（1）原式=x3y3﹣2x2y3；（2）∵a m=4，a n=9，∴原式=（a m）2•a n=16×9=144；（3）原式=a2﹣2ab+b2+ab﹣b2=a2﹣ab，当a=2，b=﹣时，原式=4+1=5．20．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，5），点B（6，5）．（1）只用直尺（没有刻度）和圆规，求作一个点P，使点P同时满足下列两个条件：①点P到A，B两点的距离相等；②点P到∠xOy的两边的距离相等．（要求保留作图痕迹，不必写出作法）（2）在（1）作出点P后，点P的坐标为（3，3）．【解答】解：（1）如图所示：（2）由作图可知：P在AB的垂直平分线上，∵点A（0，5），点B（6，5），∴P点横坐标为3，∵OP平分∠AOB，∴P点横、纵坐标相等，∴P（3，3）．故答案为：（3，3）．21．（8分）在一次数学课上，王老师在黑板上画出一幅图，并写下了四个等式：①AB=DC，②BE=CE，③∠B=∠C，④∠BAE=∠CDE．（1）上述三个条件中，由哪两个条件可以判定△AED是等腰三角形？（用序号写出所有成立的情形）（2）请选择（1）中的一种情形，写出证明过程．【解答】解：（1）①③、①④、②③、②④都可以证明△ABE≌△DCE，可得到AE=DE，可判定△AED为等腰三角形；（2）选择①③，证明如下：在△ABE和△DCE中，，∴△ABE≌△DCE（AAS），∴AE=DE，∴△AED为等腰三角形．22．（8分）已知：如图∠BAC中，BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，BF交CE于点D，BD=CD，求证：D点在∠BAC的平分线上．【解答】证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB，∴∠DEB=∠DFC=90°，在△DBE和△DCF中，，∴△DBE≌△DCF（AAS），∴DE=DF，而BF⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为F、E，∴D点在∠BAC的平分线上．23．（8分）如图，等边△ABC中，AO是∠BAC的角平分线，D为AO上一点，以CD为一边且在CD下方作等边△CDE，连接BE．（1）求证：AD=BE；（2）已知AC=8，求点C到BE之间的距离．【解答】（1）证明：∵△ABC和△CDE为等边三角形，∴CD=CE，AC=BC，∠ACB=∠DCE=60°，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE；（2）解：由（1）可知△ACD≌△BCE，∴S=S△BCE，△ACD设C到BE的距离为h，则AD•CO=BE•h，∴h=CO，∵AO平分∠BAC，∴CO=BC=AC=4，即点C到BE的距离为4．24．（6分）阅读下面的解答过程，求y2+4y+8的最小值．解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=（y+2）2+≥4，∵（y+2）2≥0即（y+2）2的最小值为0，y2+4y+8的最小值为4．仿照上面的解答过程，求m2+2m+4的最小值和5﹣x2+2x的最大值．【解答】解：（1）m2+2m+4=（m+1）2，+3，∵（m+1）2≥0，∴（m+1）2+3≥3．则m2+2m+4的最小值是3；（2）5﹣x2+2x=﹣（x﹣1）2+6，∵﹣（x﹣1）2≤0，∴﹣（x﹣1）2+6≤6，则4﹣x2+2x的最大值为6．25．（8分）在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G．一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，另一条直角边恰好经过点B．（1）在图1中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时，一条直角边仍与AC边在同一直线上，另一条直角边交BC边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察、测量DE、DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）的基础上沿AC方向继续平移到图3所示的位置（点F在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立（不用说明理由）．【解答】解：（1）BF=CG；证明：在△ABF和△ACG中∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC，AB=AC∴△ABF≌△ACG（AAS）∴BF=CG；（2）DE+DF=CG；证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图2）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形∴DE=HG，DH∥BG∴∠GBC=∠HDC∵AB=AC∴∠FCD=∠GBC=∠HDC又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG；（3）仍然成立．证明：过点D作DH⊥CG于点H（如图3）∵DE⊥BA于点E，∠G=90°，DH⊥CG∴四边形EDHG为矩形，∴DE=HG，DH∥BG，∴∠GBC=∠HDC，∵AB=AC，∴∠FCD=∠GBC=∠HDC，又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC，∴△FDC≌△HCD（AAS）∴DF=CH，∴GH+CH=DE+DF=CG，即DE+DF=CG．方法2．（2）如图2，连接AD，S△ABC=S△ABD+S△ACD=AB×DE+AC×DF=AB×DE+AB×DF=AB（DE+DF），S△ABC=AB×CG，∴AB×CG=AB（DE+DF），即：DE+DF=CG．（3）同（2）的方法得出，DE+DF=CG．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC ⊥BD ，垂足为E ，AB ＝2，DC ＝4，求⊙O 的半径.2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。