数学：7.1《等比数列》课件(沪教版高二上)

和等差数列一样，学习等比数列的定义也要强调： ①“从第二项起”，这是为了保证每一项的前一项确实存在； ②“同一个常数”这是等比数列的基本特征．如数列 1 1 1 3,1， ， ， ，„ 2 4 8 an＋ 1 1 a2 1 1 从第三项起满足 ＝ ，但 ＝ ≠ . an 2 a1 3 2 所以这个数列就不是等比数列． an＋ 1 ＝ q(n∈ N*) an 这一条不容破坏！
3． 等比数列的前 n 项和公式及其推导 等比数列 {an}的首项为 a1，公比为 q，末项为 an.则前 n 项和为 na q＝ 1 1 Sn＝ a1 1－ qn a1－anq ＝ q≠ 1 1－ q 1－ q 该公式的推导方法叫作“错位相减法”，它是一种很重要的求 和方法．在后面的讲解中将会看到它的重要作用，要明确两点：第 一，为什么要错位？即错位的目的是什么？我们说错位是为了在新 的式子中产生一系列的与原式相同的项，便于两式做减法，消去一 些无关项，而保留我们所需要的项；第二，怎样错位？就是根据等 比数列后每一项 (n≥2)都比它前面一项多一个因子 q 的这一特点， 在等式两边同时乘以这个因子，这样使得和式中所有的项都整体往 后错了一位， 这样， 就形成了与原式有一系列相同项的新的和式． 这 一方法，有时称之为乘公比错位相减法．
(7)若数列 {an}是公比为 q 的等比数列，则 ① Sm＋n＝ Sn＋ qnSm S偶 ②若等比数列项数为偶数，则 ＝ q S奇 ③ Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n，„成等比数列 .
典 例 对 对 碰 题型一 等比数列的判定 例 1.设数列 {an}中 a1＝ 1， Sn＋1＝4an＋ 2. (1)设 bn＝ an＋ 1－ 2an，求证 {bn}是等比数列． (2)求数列 {bn}的前 n 项和 Tn. 分析 首先将递推关系转化为 an 的关系式，利用 bn 与 an 的关 系结合等比数列定义证明．
解析 (1)证明： ∵ Sn＋ 1＝ 4an＋ 2， Sn＋ 2＝ 4an＋ 1＋ 2， ∴ Sn＋ 2－ Sn＋ 1＝ an＋ 2＝ 4an＋ 1－ 4an， ∴ an＋ 2－ 2an＋ 1＝ 2(an＋ 1－ 2an)， ∴ bn＋ 1＝ 2bn， {bn}为等比数列． (2)∵ Sn＋ 1＝ 4an＋ 2， ∴ a2＝ 3a1＋ 2＝ 5， － ∴ b1＝ a2－ 2a1＝ 3， ∴ bn＝ 3· 2n 1， 3 1－ 2n ∴ Tn＝ ＝ 3· 2n－ 3. 1－ 2 点评 定义证明等比数列是最基本的方法． 本题首先由 Sn 与 an 的关系转化为 an 的递推关系，再构造 bn 的形式．本题若是先求 an， 则较麻烦 .
考 点 串 串 讲 1． 等比数列的定义及判定方法 (1)等比数列的定义 一般地，一个数列 {an}，若从第二项起，每一项与它的前一项的 比都等于同一个常数 (用 q 表示)，就称这个数列为等比数列． 常数 q 就叫作这个等比数列的公比，即 an＋ 1 ＝ q (n∈ N*) an 对等比数列定义的理解可以类比等差数列来进行．
Sn＋1 Sn－1 Sn－1 (2)证明：由 (1)知 ＝ 4· (n≥ 2)，于是 Sn＋1＝4(n＋ 1)· n＋ 1 n－ 1 n－ 1 ＝ 4an(n≥ 2)． 又 a2＝3S1＝3， 故 S2＝ a1＋ a2＝ 4＝ 4a1. 因此对于任意正整数 n≥ 1，都有 Sn＋1＝4an.
题型二 与通项公式有关的计算问题 例 2.一个等比数列第 3 项与第 4 项分别是 12 与 18，求它的第 1 项与第 2 项． 分析 已知等比数列的两项，求其他项，由等比数列的通项公 式可得 a1、 q，就可以由通项公式求这个数列的任意项．
6． 等比数列的性质 (1)若首项 a1＞0，公比 q＞1，或首项 a1＜ 0，公比 0＜q＜ 1，则 数列为递增数列；若首项 a1＞0，公比 0＜ q＜1，或首项 a1＜ 0，公 比 q＞1，则数列为递减数列；公比 q＝ 1，数列为常数列；公比 q ＜ 0，数列为摆动数列．公比不等于零是一大特点． (2)有穷等比数列中，与首末两项等距离的两项积相等，并且等 于首末两项之积．特别地，若项数为奇数，还等于中间项的平方， 即 a1· an＝ a2· an－ 1＝a3· an－ 2 ＝„＝ a2 中 (3)若 m， n， p， k∈ N*，且 m＋ n＝ p＋ k，则 am · an＝ap· ak，其 中 am，an，ap，ak 是数列中的项．特别地，当 m＋ n＝ 2p 时，有 am · an ＝ a2 p. 类似于等差数列，在使用该性质时，不仅应注意等式两边下标 和相等，也应要求等式两边作积的项数应是一样多的．
变式迁移 3 设 {an}是由正数组成的等比数列，公比 q＝ 2，且 a1a2a3„a30＝ 230，则 a3a6a9„a30 等于________．
220 设 a3a6a9„a30＝ x，由等比数列性质 x x a2· a5· a8„ a29＝ 10， a1· a4· a7„ a28＝ 20， q q x x ∴ x·10· 20＝ 230，得 x＝220. q q 答案 解析
题型三 等比数列的性质 例 3.在等比数列 {an}中，若 a2＝ 2，a6＝ 162，试求 a10.
解析 解法一：∵a6＝ a2q4，其中 a2＝ 2，a6＝ 162，∴q4＝ 81， ∴ a10＝ a6q4＝ 162×81＝ 13122. 解法二： ∵2、 6、 10 三个数成等差数列， ∴ a2、 a6、 a10 成等比数列． ∴ a2 a10. 6＝ a2· 2 1 ∴ a10＝ 162 × ＝ 13122. 2 解法三：由公式 ap· aq＝ ap＋ k· aq－ k， 得 a2a10＝ a2＋ 4a10－ 4＝ a2 6， 2 1 ∴ a10＝ 162 × ＝ 13122. 2
解析 设该等比数列的公比为 q，首项为 a1，由已知 2 a1＋a1q＋ a1q ＝ 168， 4 a q － a q ＝42， 1 1
2 a1 1＋ q＋ q ＝ 168， ∴ 3 a1q1－ q ＝42.
∵ 1－q3＝ (1－ q)(1＋q＋q2)， 1 1 上述两式相除 q(1－q)＝ ⇒ q＝ . 4 2 42 ∴ a1＝ ＝ 96. 1 14 － 2 2 10 若 G 是 a5、a7 的等比中项，则应有 G2＝ a5· a7＝a1q4· a1q6＝a2 1q 1 ＝ 962· ( )10＝ 9. 2 ∴ a5、 a7 的等比中项是 ± 3.
变式迁移 1 n＋ 2 数列 {an}的前 n 项和记为 Sn，已知 a1＝1，an＋ 1＝ S (n＝ n n 1,2,3，„)，证明： Sn (1)数列 { }是等比数列； n (2)Sn＋ 1＝ 4an.
n＋ 2 (1)证明：∵ an＋1＝ Sn＋1－ Sn， an＋1＝ S， n n ∴ (n＋ 2)Sn＝ n(Sn＋ 1－ Sn)， 整理得 nSn＋ 1＝ 2(n＋ 1)Sn. Sn＋1 Sn ∴ ＝2 . n n＋ 1 Sn 故数列{ }是等比数列． n 解析
解析 设这个等比数列的第 1 项是 a1，公比是 q，那么 a1q2＝ 12， ① a1q3＝ 18， ② 3 16 解 ①、 ②所组成的方程组，得 q＝ ， a1＝ ， 2 3 16 3 因此， a1q＝ × ＝ 8. 3 2 16 ∴这个数列的第一项为 ，第二项为 8. 3
变式迁移 2 等比数列的前三项和为 168，a2－a5＝ 42，求 a5、a7 的等比中项．
(4)在等比数列中， 每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排 列，构成的新数列仍然是等比数列． 一个等比数列的奇数项，仍组成一个等比数列，新公比是原公 比的二次幂． 一个等比数列的偶数项，也组成一个等比数列，新公比是原公 比的二次幂． 1 (5)若 {an}，{bn}为等比数列，则 {λan}(λ≠ 0)，{|an|}，{ }，{a2 n}， an {manbn}(m≠ 0)仍为等比数列． (6)若等比数列 {an}， {bn}的公比分别是 q1、 q2，则 {k1an· k2bn}是 公比为 q1q2 的等比数列．
题型四 等比数列的前 n 项和 例 4.等比数列 {an}中， a3＝ 12，前 3 项和 S3＝－ 9，求公比 q. 分析 分析 1：列方程 (组 )，可解得 q. 分析 2：注意到等比数列的倒序依次成等比数列，公比为原数 列公比的倒数．
解析 解法一：由已知可得方程组 a1q2＝ 12， 1 a1 1－ q3 解得 q＝－ . 2 ＝－ 9. 1－ q 1 a3[1－ 3] q 解法二： S3＝ ＝－ 9. 1 1－ q 1 ∴ q＝－ . 2 点评 解法二优化了解题的思维 .
2． 等比数列的通项公式 已知等比数列 {an}的首项为 a1，公比为 q，则等比数列 {an}的通 项公式为 － an＝ a1qn 1 (n∈ N＋ )① 若已知等比数列Байду номын сангаас{an}的第 m 项为 am ， 公比为 q，则等比数列 {an} 的通项公式为 － an＝ amqn m (n， m∈ N＋ )② 通项公式的意义不仅可以求通项，而且还可以利用通项公式① 求首项和公比；利用通项公式②求指定项 am 和公比 q.
注意 ①在等比数列的前 n 项和的两个公式中共有五个量 a1， n， q， Sn， an，如果已知其中的任意三个便可求出另外两个，即所 谓的 “知三求二 ”． ②在使用等比数列的前 n 项和公式时，如果公比 q 不确定，切 不可贸然使用，而应当分 q＝ 1 与 q≠ 1 两种情况讨论．
4． 用函数的观点审视等比数列 － 等比数列的通项公式 an＝ a1qn 1，可以化为 a1 n an＝ cq (其中 c＝ 为常数 )． q 当 q＞ 0 且 q≠ 1 时，图像为分布在指数曲线 y＝ cqx 上，横坐标 为正整数的一些孤立点．如图 1 所示．
an＋ 1 ③同样要注意 q＝ (n∈ N*) an ④从等比数列的定义式中可知，等比数列中无零项，因此，等 an＋ 1 比数列的公比 q≠ 0， 由此可知， 式子 ＝ q 与 an＋1＝qan 并不等价！ an ⑤和等差数列一样确定等比数列的条件也只要两个：某一项和 公比．