高一数学直线与圆的方程的应用2

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高中数学：直线与圆的方程应用题解题技巧

高中数学：直线与圆的方程应用题解题技
巧
高中数学应用题大致可分四类：纯文型、图文型、表文型、改错型。

无论哪种类型高中数学应用题，只要掌握其解题技巧，再难的题都可以攻破。

下面为大家整理的高中数学：直线与圆的方程应用题解题技巧，供大家参考和学习，希望对大家的数学学习和数学成绩的提高有所帮助。

数学直线与圆的方程应用题解题技巧
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1。

高一数学423直线与圆的方程的应用课件新人教A版必修2

同理可求得过点 A′(－3，－3)的圆 C 的切线方程 3x－4y －3＝0 或 4x－3y＋3＝0，
即为所求光线 m 所在直线的方程．
解题时需注意的问题是：直线的点斜式适用于斜率存在的情况，由图知此题中，入射光线所在直线应有两条，若 k 只有一解，应考虑 k 不存在的情况．
2－1.坐标平面上点(7,5)处有一光源，将圆 x2＋(y－1)2＝1 16
解：∵圆与 y 轴相切，且圆心在直线 x－3y＝0 上，故设圆的方程为(x－3b)2＋(y－b)2＝9b2.
又∵直线 y＝x 截圆得弦长为 2 7，则由垂径定理有|3b－2 b|2＋( 7)2＝9b2，解得 b＝±1. 故所求圆方程为
(x－3)2＋(y－1)2＝9 或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.
2．弦长问题：圆的弦长的计算：常用弦心距 d，弦长的一半12a 及圆的半径 r 所构成的直角三角形来解：r2＝d2＋(12a)2.
弦长问题例 1：根据下列条件求圆的方程：与 y 轴相切，圆心在直线 x－3y＝0 上，且直线 y＝x 截圆所得弦长为 2 7 .
思维突破：研究圆的问题，既要理解代数方法，熟练运用解方程思想，又要重视几何性质及定义的运用.
关于圆的弦长问题，可用几何法从半径、弦心距、半弦所组成的直角三角形求解，也可用代数法弦长公式求解．
1－1.一直线经过点 P－3，－23被圆 x2＋y2＝25 截得的弦长为 8, 求此弦所在直线方程．
解：当斜率 k 存在时，设所求方程为 y＋32＝kx＋3，即 kx －y＋3k－32＝0.
由已知，弦心距OM＝ 52－42＝3，
由点到直线的距离公式，得
|2－0＋b|＝ 2
3，即 b＝－2±
6，

第一部分第二章 §2 2.3 第一课时直线和圆的位置关系

|a－2＋3| |a＋1| 解析：圆心到直线的距离d＝＝ 2 ， 2 a ＋1 a ＋1 由 3＝ 4－d2，得a＝0.
答案：0
8．过点P(4，－4)的直线l被圆C：x2＋y2－2x－4y－20 ＝
解：圆的方程可化为(x－1)2＋(y－2)2＝52， 0截得的弦AB的长度为8，求直线l的方程． ∴圆心C(1,2)，半径r＝5. 由圆的性质可知圆的半弦长、半径、弦心距构成直角三角形， ∴圆心到直线的距离d＝ |AB| 2 r － 2 ＝ 52－42＝3.
1．判断直线和圆的位置关系主要利用几何法：圆
心到直线的距离与半径的大小关系．
2．和直线与圆的位置关系相关的一些问题也要掌
握，典型的是弦长和切线问题．弦长问题一般是利用勾股定理，也可用弦长公式或解交点坐标；切线问题主要是利用圆心到切线的距离等于半径．
3．在解决直线和圆的位置关系时，应充分
利用数形结合和分类讨论的思想．运用数形结合时
42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－ ) ＋(y－ ) ＝5. 5 5
2 2
法二：∵圆的圆心在直线y＝2x上，设圆的圆心为(m,2m)，因圆过点(3,2)，则半径r＝ m－32＋2m－22. ∵圆与直线y＝2x＋5相切． |2m－2m＋5| ∴ 2 ＝ m－32＋2m－22 2 ＋－12
与直线y＝2x＋5相切的圆的方程．
解：法一：设圆的方程为：(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 3－a2＋2－b2＝r2， b＝2a，依题意得 |2a－b＋5| 22＋－12＝r，
a＝2，解这个方程组，得b＝4， r＝ 5， ∴所求的圆的方程为：
4 a＝5， 8 或 b＝5， r＝ 5.
4 解得m＝2或5. 当m＝2时，圆心为(2,4)，半径r＝ 5. 4 4 8 当m＝5时，圆心为(5，5)，半径r＝ 5. 故所求的圆的方程为： 42 82 (x－2) ＋(y－4) ＝5或(x－5) ＋(y－5) ＝5.

高一数学直线和圆的方程知识点总结

高一数学直线和圆的方程知识点总结一、直线方程1.直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫做这条直线的倾斜角，其中直线与x轴平行或重合时，其倾斜角为0，故直线倾斜角的范围是[0,180)注：①当倾斜角等于90时，直线l垂直于x轴，它的斜率不存在.②每一条直线都存在惟一的倾斜角，除与x轴垂直的直线不存在斜率外，其余每一条直线都有惟一的斜率，并且当直线的斜率一定时，其倾斜角也对应确定.2.直线方程的几种形式：点斜式、截距式、两点式、斜切式.二、圆的方程1.⑴曲线与方程：在直角坐标系中，如果某曲线C上的与一个二元方程f(x,y)=0的实数建立了如下关系：①曲线上的点的坐标都是这个方程的解.②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线方程;这条曲线叫做方程的曲线(图形).⑵曲线和方程的关系，实质上是曲线上任一点M(x,y)其坐标与方程f(x,y)=0的一种关系，曲线上任一点(x,y)是方程f(x,y)=0的解;反过来，满足方程f(x,y)=0的解所对应的点是曲线上的点.注：如果曲线C的方程是f(x,y)=0，那么点P0(x0,y)线C上的充要条件是f(x0,y0)=01.提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.2.证明基本步骤：假设原命题的结论不成立→从假设出发，经推理论证得到矛盾→矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立3.应用关键：在正确的推理下得出矛盾(与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等).4.方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实.看过"高一数学直线和圆的方程知识点总结"的还看了:。

2019高中数学第四章圆与方程4.2直线、圆的位置关系(第2课时)圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用讲义

第2课时圆与圆的位置关系、直线与圆的方程的应用[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P129～P132，回答下列问题．(1)如何利用几何性质判断圆与圆的位置关系？判断步骤如何？提示：设两圆的连心线长为l，则判别圆与圆的位置关系的依据有以下几点：①当l>r1＋r2时，圆C1与圆C2外离；②当l＝r1＋r2时，圆C1与圆C2外切；③当|r1－r2|<l<r1＋r2时，圆C1与圆C2相交；④当l＝|r1－r2|时，圆C1与圆C2内切；⑤当l<|r1－r2|时，圆C1与圆C2内含．判断步骤为：①将两圆的方程化为标准方程；②求两圆的圆心坐标和半径R、r；③求两圆的圆心距d；④比较d与|R－r|，R＋r的大小关系得出结论．(2)已知两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，如何通过代数的方法判断两圆的位置关系？提示：联立两圆的方程，消去y后得到一个关于x的一元二次方程，当判别式Δ>0时，两圆相交，当Δ＝0时，两圆外切或内切，当Δ<0时，两圆外离或内含．2．归纳总结，核心必记(1)圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含．(2)圆与圆位置关系的判定①几何法：若两圆的半径分别为r1、r2，两圆连心线的长为d，则两圆的位置关系的判断方法如下：⎭⎪⎬⎪⎫圆C 1方程圆C 2方程消元，一元二次方程⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0⇒相交Δ＝0⇒内切或外切Δ<0⇒外离或内含[问题思考]将两个相交的非同心圆的方程x 2＋y 2＋D i x ＋E i y ＋F i ＝0(i ＝1,2)相减，可得一直线方程，这条直线方程具有什么样的特殊性呢？提示：两圆相减得一直线方程，它经过两圆的公共点．经过相交两圆的公共交点的直线是两圆的公共弦所在的直线．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点． (1)圆与圆有哪些位置关系？；(2)怎样判断圆与圆的位置关系？ .下图为在某地12月24日拍到的日环食全过程．可以用两个圆来表示变化过程．[思考1] 根据上图，结合平面几何，圆与圆的位置关系有几种？提示：5种，即内含、内切、相交、外切、外离．[思考2] 能否通过一些数量关系表示这些圆的位置关系？提示：可以，利用圆心距与半径的关系可判断．[思考3] 直线与圆的位置关系可利用几何法与代数法判断，那么圆与圆的位置关系能否利用代数法判断？提示：可以．讲一讲1．当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、相离？(链接教材P129－例3)[尝试解答] 将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k.圆C1的圆心为C1(－2,3)，半径长r1＝1；圆C2的圆心为C2(1,7)，半径长r2＝50－k(k＜50)，从而|C1C2|＝－2－2＋－2＝5.当1＋50－k＝5，即k＝34时，两圆外切．当|50－k－1|＝5，即50－k＝6，即k＝14时，两圆内切．当|50－k－1|＜5＜1＋50－k，即k∈(14,34)时，两圆相交．当1＋50－k＜5或|50－k－1|＞5，即k∈(34,50)∪(－∞，14)时，两圆相离．(1)判断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤：①化成圆的标准方程，写出圆心和半径；②计算两圆圆心的距离d；③通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来判断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．(2)应用几何法判定两圆的位置关系或求字母参数的范围是非常简单清晰的，要理清圆心距与两圆半径的关系．练一练1．两圆C 1：x 2＋y 2－2x －3＝0，C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含解析：选C 法一：(几何法)把两圆的方程分别配方，化为标准方程是(x －1)2＋y 2＝4，(x －2)2＋(y ＋1)2＝2，所以两圆圆心为C 1(1,0)，C 2(2，－1)，半径为r 1＝2，r 2＝2，则连心线的长|C 1C 2|＝－2＋＋2＝2，r 1＋r 2＝2＋2，r 1－r 2＝2－2，故r 1－r 2＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2，两圆相交．法二：(代数法)联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x －3＝0，x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1，y 1＝－2，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝3，y 2＝0，即方程组有2组解，也就是说两圆的交点个数为2，故可判断两圆相交．讲一讲2．已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0，圆C 2：x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．[尝试解答] 设两圆交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0， ①x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0 ②的解，①－②得： 3x －4y ＋6＝0. ∵A ，B 两点坐标都满足此方程，∴3x －4y ＋6＝0即为两圆公共弦所在的直线方程．易知圆C 1的圆心(－1,3)，半径r 1＝3. 又C 1到直线AB 的距离为d ＝|－1×3－4×3＋6|32＋－2＝95. ∴|AB |＝2r 21－d 2＝232－⎝ ⎛⎭⎪⎫952＝245.即两圆的公共弦长为245.(1)若圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与圆C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D 1－D 2)x ＋(E 1－E 2)y ＋F 1－F 2＝0.(2)公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长． ②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，根据勾股定理求解．练一练2．求两圆x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0和x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0的公共弦所在直线的方程及公共弦长．解：联立两圆的方程得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，两式相减得x －2y ＋4＝0，此即为两圆公共弦所在直线的方程．法一：设两圆相交于点A ，B ，则A ，B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x 2＋y 2＋2x ＋2y －8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.所以|AB |＝－4－2＋－2＝25，即公共弦长为2 5.法二：由x 2＋y 2－2x ＋10y －24＝0，得(x －1)2＋(y ＋5)2＝50，其圆心坐标为(1，－5)，半径长r ＝52，圆心到直线x －2y ＋4＝0的距离为d ＝|1－－＋4|1＋－2＝3 5. 设公共弦长为2l ，由勾股定理得r 2＝d 2＋l 2，即50＝(35)2＋l 2，解得l ＝5，故公共弦长2l ＝2 5.讲一讲3．有一种大型商品，A ，B 两地均有出售且价格相同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每公里的运费A 地是B 地的两倍，若A ，B 两地相距10公里，顾客选择A 地或B 地购买这种商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地点的居民应如何选择购买此商品的地点？[思路点拨] 建系后利用居民选择在A 地购买商品建立不等关系后化简作出判断． [尝试解答]以直线AB 为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系，如图所示，设A (－5,0)，则B (5,0)．在坐标平面内任取一点P (x ，y )，设从A 运货到P 地的运费为2a 元/km.则从B 运货到P 地运费为a 元/km.若P 地居民选择在A 地购买此商品，则2ax ＋2＋y 2<ax －2＋y 2，整理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2<⎝ ⎛⎭⎪⎫2032，即点P 在圆C ：⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2532＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2032的内部．也就是说，圆C 内的居民应在A 地购物．同理可推得圆C 外的居民应在B 地购物．圆C 上的居民可随意选择A 、B 两地之一购物．解决关于直线与圆方程实际应用问题的步骤练一练3．台风中心从A 地以20千米/时的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B 在A 的正东40千米处，B 城市处于危险区内的时间为( )A ．0.5小时B ．1小时C ．1.5小时D ．2小时解析：选B 以台风中心A 为坐标原点建立平面直角坐标系，如图，则台风中心在直线y ＝x 上移动，又B (40,0)到y ＝x 的距离为d ＝202，由|BE |＝|BF |＝30知|EF |＝20，即台风中心从E 到F 时，B 城市处于危险区内，时间为t ＝20千米20千米/时＝1小时．故选B.———————————[课堂归纳·感悟提升]————————————1．本节课的重点是理解并掌握圆与圆的位置关系，会利用方程判断圆与圆的位置关系，以及解决有关问题，能利用直线与圆的方程解决平面几何问题，能利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．难点是利用方程判断圆与圆的位置关系及利用直线与圆的方程解决简单的实际生活问题．2．本节课要重点掌握的规律方法(1)判断两圆位置关系的方法及应用，见讲1. (2)求两圆公共弦长的方法，见讲2.(3)解决直线与圆的方程的实际应用问题的步骤，见讲3.3．本节课的易错点是判断两圆位置关系时易忽略相切的两种情况而丢解，如讲1.课下能力提升(二十五) [学业水平达标练]题组1 圆与圆的位置关系1．圆O 1：x 2＋y 2－2x ＝0和圆O 2：x 2＋y 2－4y ＝0的位置关系为( ) A ．相离 B ．相交 C ．外切 D ．内切解析：选B 圆O 1的圆心坐标为(1,0)，半径长r 1＝1；圆O 2的圆心坐标为(0,2)，半径长r 2＝2; 1＝r 2－r 1<|O 1O 2|＝5<r 1＋r 2＝3，即两圆相交．2．若两圆x 2＋y 2＝m 和x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0有公共点，则实数m 的取值范围是( )A．(－∞，1) B．(121，＋∞)C．[1,121] D．(1,121)解析：选C x2＋y2＋6x－8y－11＝0化成标准方程为(x＋3)2＋(y－4)2＝36.圆心距为d ＝＋2＋－2＝5，若两圆有公共点，则|6－m|≤5≤6＋m，∴1≤m≤121.3．已知圆C1：(x－1)2＋(y－2)2＝4，圆C2：(x＋2)2＋(y＋2)2＝9，则两圆的位置关系是________．解析：C1(1,2)，r1＝2，C2(－2，－2)，r2＝3，|C1C2|＝5，r1＋r2＝5，因此两圆外切．答案：外切4．已知两圆x2＋y2＝10和(x－1)2＋(y－3)2＝20相交于A，B两点，则直线AB的方程是________．解析：圆的方程(x－1)2＋(y－3)2＝20可化为x2＋y2－2x－6y＝10.又x2＋y2＝10，两式相减得2x＋6y＝0，即x＋3y＝0.答案：x＋3y＝05．求与圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4相切于点A(4，－1)且半径为1的圆的方程．解：设所求圆的圆心为P(a，b)，则a－2＋b＋12＝1. ①(1)若两圆外切，则有a－2＋b＋2＝1＋2＝3, ②联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1；(2)若两圆内切，则有a－2＋b＋2＝|2－1|＝1, ③联立①③，解得a＝3，b＝－1，所以，所求圆的方程为(x－3)2＋(y＋1)2＝1.综上所述，所求圆的方程为(x－5)2＋(y＋1)2＝1或(x－3)2＋(y＋1)2＝1.题组2 直线与圆的方程的应用6．一辆卡车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形隧道，则这辆卡车的平顶车蓬蓬顶距地面的高度不得超过( )A．1.4米 B．3.5米C．3.6米 D．2米解析：选B 建立如图所示的平面直角坐标系．如图设蓬顶距地面高度为h，则A(0.8，h－3.6)所在圆的方程为：x2＋(y＋3.6)2＝3.62，把A(0.8，h－3.6)代入得0.82＋h2＝3.62.∴h＝40.77≈3.5(米)．7．某公园有A、B两个景点，位于一条小路(直道)的同侧，分别距小路 2 km和2 2 km，且A、B景点间相距2 km，今欲在该小路上设一观景点，使两景点在同时进入视线时有最佳观赏和拍摄效果，则观景点应设在何处？解：所选观景点应使对两景点的视角最大．由平面几何知识知，该点应是过A 、B 两点的圆与小路所在的直线相切时的切点．以小路所在直线为x 轴，B 点在y 轴正半轴上建立平面直角坐标系．由题意，得A (2，2)，B (0,22)，设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝b 2，由A 、B 两点在圆上，得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝2或⎩⎨⎧a ＝42，b ＝52，由实际意义知a ＝0，b ＝2，∴圆的方程为x 2＋(y －2)2＝2，切点为(0,0)， ∴观景点应设在B 景点在小路的投影处．8．(2016·日照高一检测)为了适应市场需要，某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图)，它的附近有一条公路，从基地中心O 处向东走1 km 是储备基地的边界上的点A ，接着向东再走7 km 到达公路上的点B ；从基地中心O 向正北走8 km 到达公路的另一点C .现准备在储备基地的边界上选一点D ，修建一条由D 通往公路BC 的专用线DE ，求DE 的最短距离．解：以O 为坐标原点，过OB ，OC 的直线分别为x 轴和y 轴，建立平面直角坐标系，则圆O 的方程为x 2＋y 2＝1.因为点B (8,0)，C (0,8)，所以直线BC 的方程为x 8＋y8＝1，即x ＋y ＝8.当点D 选在与直线BC 平行的直线(距BC 较近的一条)与圆的切点处时，DE 为最短距离．所以DE 长的最小值为|0＋0－8|2－1＝(42－1) km.[能力提升综合练]1．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36 D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析：选D ∵半径长为6的圆与x 轴相切，设圆心坐标为(a ，b )，则b ＝6(b ＝－6舍去)．再由a 2＋32＝5，可以解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.2．两圆C 1：x 2＋y 2＋4x －4y ＋7＝0，C 2：x 2＋y 2－4x －10y ＋13＝0的公切线的条数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选C ∵圆C 1的圆心C 1(－2,2)，半径为r 1＝1，圆C 2的圆心C 2(2,5)，半径r 2＝4，∴C 1C 2＝＋2＋－2＝5＝r 1＋r 2，∴两圆相外切，∴两圆共有3条公切线．3．(2016· 衡水高一检测)已知半径为1的动圆与圆(x －5)2＋(y ＋7)2＝16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2＋(y －7)2＝25B ．(x －5)2＋(y －7)2＝17或(x －5)2＋(y ＋7)2＝15 C ．(x －5)2＋(y －7)2＝9D ．(x －5)2＋(y ＋7)2＝25或(x －5)2＋(y ＋7)2＝9解析：选D 设动圆圆心为(x ，y )，若动圆与已知圆外切，则x －2＋y ＋2＝4＋1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝25；若动圆与已知圆内切，则x －2＋y ＋2＝4－1，∴(x －5)2＋(y ＋7)2＝9.4．设两圆C 1，C 2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C 1C 2|＝( ) A ．4 B ．4 2 C ．8 D ．8 2解析：选C ∵两圆与两坐标轴都相切，且都经过点(4,1)，∴两圆圆心均在第一象限且横、纵坐标相等．设两圆的圆心分别为(a ，a )，(b ，b )，则有(4－a )2＋(1－a )2＝a 2，(4－b )2＋(1－b )2＝b 2，即a ，b 为方程(4－x )2＋(1－x )2＝x 2的两个根，整理得x 2－10x ＋17＝0，∴a ＋b ＝10，ab ＝17. ∴(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＝100－4×17＝32， ∴|C 1C 2|＝a －b2＋a －b2＝32×2＝8.5．若圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2＋2ay －6＝0(a ＞0)的公共弦长为23，则a ＝__________. 解析：由已知两个圆的方程作差可以得到相应弦的直线方程为y ＝1a，利用圆心(0,0)到直线的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1a 1＝22－32＝1，解得a ＝1.答案：16．一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台的台风预报，台风中心位于轮船正西70 km 处，受影响的范围是半径为30 km 的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km 处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？解：以台风中心为坐标原点，以东西方向为x 轴建立直角坐标系(如图)，其中取10 km 为单位长度，则受台风影响的圆形区域所对应的圆的方程为x 2＋y 2＝9，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l 的方程为x 7＋y 4＝1，即4x ＋7y －28＝0.圆心(0,0)到航线4x ＋7y －28＝0的距离d ＝|28|42＋72＝2865，而半径r ＝3，∴d >r ， ∴直线与圆相离，即轮船不会受到台风的影响．。

2022-2023学年高一数学：直线与圆的位置关系的实际应用

故所求圆的方程为x 2 ＋y 2 ＋2x－4y－8＋x＋y＝0，
即x 2 ＋y 2 ＋3x－3y－8＝0.
最长弦、最短弦问题
(1) 当直线过圆心时，直线被圆截得的弦长最长，最长弦是直径，即为
|AB| 2r .
(2) 当直线与过圆心的弦垂直时，被圆截得的弦长最短，即为
|PQ| 2 r 2 d 2 .
围．
y
练一练
D
.C(0,1)B
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(1)
x－22＋y2的最值；
分析： x－22＋y2表是点 P(x,y)与定点(2,0)的距离．
解： x－22＋y2表示圆上的动点 P(x, y)与定点(2,0)的距离．
∵圆心 C(0,1)与定点(2,0)的距离是 2－02＋0－12＝ 5，
x－a
(2)形如 t＝ax＋by 形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2 形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的
平方的最值问题．
2.过直线与圆的交点
的圆系方程
典例3
已知圆C经过直线x＋y＋2＝0与圆x 2 ＋y 2 ＝4的交点，且圆C的圆心在
直线2x－y－3＝0上，求圆C的方程．
圆的半径是 1，
∴ x－22＋y2的最小值是 5－1，最大值是 5＋1.
O
.
A(2,0) x
y
练一练
设点 P(x, y)在圆 C：x2＋(y－1)2＝1 上运动，求：
(2)
y＋2
的最小值；
x＋1
y＋2
分析：
表示点 P(x, y)与定点(－1,－2)连线的斜率.

圆的标准方程(2)

小结：点和圆之间存在有三种位置关系：若已知圆的半径为r，点P(x0，y0)和圆心C 之间的距离为d，则
P在圆上 d=r (x0 a)2 +( y0 b)2 =r2 d>r (x0 a)2 +(y0 b)2 >r2 P在圆外 P在圆内 d<r (x0 a)2 +(y0 b)2 < r2
圆的标准方程
北师大版必修2
Hale Waihona Puke 问题： (1) 求到点C(1, 2)距离为2的点的轨迹方程. (x 1)2 + ( y 2)2 = 4 (2) 方程(x 1)2 + ( y 2)2 = 4表示的曲线是什么？以点C(1, 2)为圆心， 2为半径的圆.
1.圆的定义：平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆. 2.圆的标准方程:
一般地，过圆(x +(y 上一点M(x0，y0)的切线方程为
2 a) 2 b)
=
2 r
(x0 a)(x a) + ( y0 b)( y b) = r2．
小结:
本课研究了圆的标准方程推导过程，对于这个方程必须熟记并能灵活应用. 从三道例题的解题过程，我们不仅仅要理解和掌握解题的思想方法，也要学会从中发现和总结出规律性的内在联系.
练习：点(2a, 1 a)在圆x2 + y2 = 4 的内部，求实数 a 的取值范围. 3 <a<1
5
例2 求满足下列条件的圆的方程： (1) 圆心在 x 轴上，半径为5，且过点A(2， 3).
(x 6)2 + y2 = 25或(x + 2)2 + y2 = 25
(2) 过点A(3，1)和B( 1，3)，且圆心在直线3x y 2 = 0上.

高一直线和圆的方程知识点

高一直线和圆的方程知识点在高中数学课程中，直线和圆是两个基本的几何图形。

了解和掌握直线和圆的方程知识点，对于解决几何问题和理解数学概念都非常重要。

本文将介绍高一直线和圆的方程知识点，并通过具体的例子来说明。

一、直线的方程直线是平面上一组点的集合，可以通过不同的方式来表示其方程。

在高一数学中，主要学习两种直线方程：截距式和一般式。

1. 截距式方程截距式方程由直线在坐标轴上的截距表示。

这个方程的形式为：x/a + y/b = 1。

其中a和b分别是直线在x轴和y轴上的截距。

通过截距式方程，我们可以直观地了解直线在坐标轴上的截距情况，进而确定直线的位置。

例如，一条直线在x轴上截距为2，在y轴上截距为3，那么它的截距式方程为x/2 + y/3 = 1。

通过这个方程，我们可以知道直线与x轴和y轴的交点分别为(2,0)和(0,3)，并且研究直线的斜率等性质。

2. 一般式方程一般式方程是直线的一种标准表示形式。

它的一般形式为Ax + By + C = 0。

其中A、B和C是常数，A和B不能同时为0。

通过一般式方程，我们可以进行一些直线的运算和性质的验证。

例如，一条直线的一般式方程为2x - 3y + 4 = 0。

通过这个方程，可以得到直线的斜率为2/3，根据斜率的正负以及与坐标轴的交点可以判断直线在平面上的位置。

二、圆的方程圆是平面上一组等距离于圆心的点的集合，圆的方程也有多种形式。

在高一数学中，主要学习直径式和一般式两种圆的方程。

1. 直径式方程直径式方程是圆的一种直观表示方法，通过圆心和半径来表达圆的性质和位置。

直径式方程的一般形式为：(x - h)² + (y - k)² = r²。

其中(h, k)是圆心的坐标，r是半径的长度。

例如，一个以坐标原点为圆心，半径为5的圆的直径式方程为：x²+ y² = 25。

通过这个方程，可以得知圆与坐标轴的交点和圆在平面上的位置。

高一数学直线和圆的位置关系2

d
A B
2
2
d>r
d=r
直线与圆相离直线与圆相切直线与圆相交
d<r
(2) 利用直线与圆的公共点的个数进行判断：
Ax By C 0 设方程组 2 2 2 ( x a) ( y b) r 的解的个数为 n
△<0
△=0 △>0
n=0Leabharlann 直线与圆相离n=1
n=2
直线与圆相切
y 1 1 x2 3.若方程组 y k x 2
A 相交 B相切 C相离 D与k值有关
有唯一解，求K的
取值情况。
; ; ; orz25msr ;
再做几个菜，把米饭也热一热。对啦，再做一大锅西红柿鸡蛋挂面汤吧，他们三个辛苦赶路，一定饥渴了。”说着话，就要起身。小青赶快强打精神站起来，对乔氏说：“姆妈，你歇着吧，我知道弟弟妹妹们喜欢吃什么！”耿直把软皮箱靠墙边上放了，拉过小东伢来，从上到下看了两遍后，惊喜地说：“小东伢，你几岁了？”小东伢没有说话，只是举起一个巴掌轮流动动手指头。耿直说：“五岁啦？好伢子，你活脱脱就是一个小块头的东伢子啊！”小家伙却瞪着一双黑眼珠说：“你们大人都光顾自己的事情，一会儿哭一会儿笑的，我还不知道应该怎么叫你们呢！”东伢子和耿正这个时候正好进来了。东伢子说：“爹这就告诉你，这个是大舅爷，这个是二舅爷，这个是姨姨！”小家伙忽闪着一对大眼睛看过每一个人后，问乔氏：“婆婆，是真的吗？”乔氏点点头说：“是真的！”小东伢立马就高兴地笑了，大声嚷着：“噢，我终于有舅爷和姨姨嘞！以前都是别人有，就我没有。现在我也有啦！”随后就扑上来挨着个儿叫，大家的脸上终于露出了笑容。想着耿大哥的事情还没有问清楚，乔氏含着笑的眼里又流下了心酸的泪水。耿正赶快过来拉起乔氏的手，东伢子递来一块干毛巾，耿正接过来替乔氏擦去满脸的泪水，轻轻地说：“娘娘，你莫要伤心着急，先知道我爹早已经不在人世就行了。等一会儿咱们吃完了饭，我慢慢说给您听好吗？” 乔氏听话地点点头，轻轻地说：“好的，吃了饭再告诉我吧。”午饭都做好和重新热好了，大家围坐在圆桌边上吃饭。虽然刚刚经历了久别重逢的大喜和大悲，但耿正兄妹三人对这顿味道熟悉的饭菜还是吃得非常香甜。45第九十七回祭“灵车”激走抢劫贼|（上善若水扬美德，厚德载物展胸襟；民间多少感人事，何惧恶人起祸端。）大家坐在一起高高兴兴地吃完午饭，耿大业招呼两个伙计过来把面盆儿碗碟什么的都拾掇到大厨房里去洗刷，自己和妻儿依然随意坐了和耿正兄妹三个继续聊天儿。聊了一会儿以后，耿正看看天色尚早，就对耿大业夫妇说：“大白骡好脚力，今儿个再走三十里路没有问题的。我们着急回老家去呢，咱们就此告辞吧！”耿大嫂不依，说：“知道你们急着回老家去。但说什么也得住一晚上啊，我们还有很多话没有说呢！”耿大业也说：“你们看，这大厅的两边各有一大间卧房呢，大床小床的宽敞得很。我和两位兄弟睡一边，妹子你和嫂子带小铁蛋儿睡一边。这有多么方便啊！”耿正看耿大业夫妇实在不想让走，就对弟弟和妹妹说：“那咱们今儿个就别走了，住一晚上吧。唉，也是，这一走了，以后再想见面可就难了啊！”耿英说：“只是，又要给大哥大嫂添麻烦了！”耿大业夫妇高兴地说：“太好了！要说麻烦，大哥大嫂巴不得能多麻烦几天

直线与圆的位置关系常见问题及求解策略

数学部分•知识结构与拓展高一使用2021年1月直线垢圆痕置和常见间题及求解获■郭兴甫直线与圆的位置关系是高中数学的重要内二、考查圆的切线相关问题容，是平面解析几何的基础，也是高考命题的热点。

下面举例说明直线与圆的位置关系常见问题及求解策略，以期对同学们的学习有所帮助。

—、根据直线与圆的位置关系求参数例1在平面直角坐标系^Oy中，直线x+y+32=0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,—1)。

(1)求圆C的方程。

(2)设直线y=kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围。

(3)设直线y=x+m与圆C交于M,N 两点，且OM丄ON，求m的值。

解：(1)由直线x+y+32=0与圆C 相切，且圆心C的坐标为(1,—1),可得圆CI1一1Q py的半径厂=\=3,则圆C的方程V2为(x—1)+(y+1)=9。

()由直线y=kx+2与圆C没有公共点，可得点C(1,—1)到直线的距离k-k++〉3,解得0V k<3,所以k的取k+14值范围为(0,3)!y=x+m,x—1)2+y+1)2=9,可得2x2+2mx+m2+2m—7=0。

由△4m2—8(m2+2m—7)>0,解得—2—32V m<—2+3J2。

设点M(x〕，y1),N(x2,.m2+2m—7y2),贝U x1+x2= —m,x〕x2=-------------------------。

因为O1M丄ON,所以k OM•k ON=—1,可得x1x2+y1y2=0,艮卩x1x2+(x1+m)(x2+ m)=2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,所以m2+2m—7=0,解得m=—1±22。

评注：本题考查了直线与圆位置关系的应用，合理转化、细心计算是解题关键。

例2已知点P(2+1,2—2),点M(3,1),圆C：(x—1)2+(y—2)2=4。

(1)求过点P的圆C的切线方程。

(2)求过点M的圆C的切线方程，并求出切线长。

解:(1)由题意得圆心C(1,2),半径r= 2。

高一数学课件：直线与圆的方程的应用

∠1=∠2 ∵ ∠5=∠1+ ∠7，
∠6=∠2+ ∠7 ∴ ∠5= ∠6 ① 又∵∠ACF=900 且 ∠CHD=900
∴ CF∥BD ② 由① ②可得四边形CFDB为等腰梯形∴|CB|=|FD| 又∵|FD|=2|PE| ∴|BC|=2|PE |
思考1:许多平面几何问题常利用“坐标法” 来解决，首先要做的工作是建立适当的直角坐标系，在本题中应如何选取坐标系？
1.已知圆x2+y2=4,直线l:y=x+b.当b为何值时，圆x2+y2=4上恰有3个点到直线l的距离都等于1.
2.
3.已知△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是 △ABO内切圆上一点,求以|PA|､|PB|､|PO|为直径的三个圆面积之和的最大值与最小值.
分析:三个圆面积之和的最值问题实质上是求 |PA|2+|PB|2+|PO|2的最值.
4.在Rt△ABC中,斜边BC为m，以BC的中点O为圆心，作半径为n（n<m/2)的圆，分别交BC于 P，Q两点。求证：|AP|2+|AQ|2+|PQ|2为定值.
y
P
O
Q
x
5. 如图，在Rt△AOB中，|OA|=4， |OB|=3，∠AOB=90°，点P是△AOB内切圆上任意一点，求点P到顶点A、O、B的距离的平方和的最大值和最小值.
x2+（y - b）2=r2 下面用待定系数法来确定b和r的值.
y P2 P
由方程组 1002 2（（40bb）） 2 2rr2 2 A
A1 A2 O A3 A4 B x
因为P、B都在圆上，所以它们的
解得：b=-10.5 r2=14.52

高一数学直线与圆的方程——直线与圆的位置关系(带答案)

专题二直线与圆的位置关系教学目标：直线和圆的位置关系的判断教学重难点：直线和圆的位置关系的应用教学过程：第一部分知识点回顾考点一：直线与圆的位置关系的判断：直线:0l Ax By C ++=和圆()()222C ：x a y b r -+-=()0r >有相交、相离、相切。

可从代数和几何两个方面来判断：（1）代数方法判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况：由⎩⎨⎧=-+-=++222)()(0r b y a x C By Ax ，消元得到一元二次方程，计算判别式∆， ①0∆>⇔相交；②0∆<⇔相离；③0∆=⇔相切；（2）几何方法如果直线l 和圆C 的方程分别为：0=++C By Ax ，222)()(r b y a x =-+-. 可以用圆心),(b a C 到直线的距离=d 22||Aa Bb C A B+++与圆C 的半径r 的大小关系来判断直线与圆的位置关系:①d r <⇔相交；②d r >⇔相离；③d r =⇔相切。

提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。

例1 直线x sin θ＋y cos θ＝2＋sin θ与圆(x －1)2＋y 2＝4的位置关系是( )A ．相离B ．相切C ．相交D ．以上都有可能答案 B 解析圆心到直线的距离d ＝|sin θ－2－sin θ|sin 2θ＋cos 2θ所以直线与圆相切．例2 已知直线l 过点(－2,0)，当直线l 与圆x 2＋y 2＝2x 有两个交点时，其斜率k 的取值范围是( )A ．(－22，22)B ．(－2，2)C ．(－24，24)D ．(－18，18)答案C 设l 的方程y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0.圆心为(1,0)．由已知有|k ＋2k |k 2＋1<1，∴－24<k <24.例3 圆(x －3)2+(y －3)2=9上到直线3x +4y －11=0的距离为1的点有几个？解：圆(x －3)2+(y －3)2=9的圆心为O 1(3，3)，半径r =3，设圆心O 1(3，3)到直线3x +4y －11=0的距离为d ，则d =22|334311|2334⨯+⨯-=<+如图1，在圆心O 1的同侧，与直线3x +4y －11=0平行且距离为1的直线l 1与圆有两个交点，这两个交点符合题意，又r －d =3－2=1，所以与直线3x +4y －11=0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意. 所以符合题意的点共有3个。

高一数学：4.2.3《直线与圆的方程的应用》学案

二、导学：1. 复习圆的方程:标准方程一般方程,直径式方程 2. 复习直线与圆的位置关系以及解决方法合作探究：探究直线与圆的关系的应用直线与圆的合作探究：探究直线与圆的关系的应用例 1 如图所示，是某圆拱形桥一孔圆拱的示意图，这个圆的圆拱跨度 AB=20m，拱高 OP=4m，建造时每隔 4m 需要用一根支柱支撑，求支柱 A2P2 的高度(精确到 0.01m)。 P2 P
y 的最大值 x
18．已知圆心在直线 x − 3 y = 0 的圆 C 与 y 轴相切，且在直线 y = x 上截得的弦长为 2 7 ，求圆 C 的方程
2
(D) − 21 < a < 19
（
）
6．若直线 ax + by − 3 = 0 与圆 x + y + 4 x − 1 = 0 切于点 P（－1，2），则 ab 积的值为 (A)3 (B)2 (C)－3 (D)－2 （） 7．圆 ( x − 3) 2 + ( y − 3) 2 = 9 上到直线 3 x + 4 y − 11 = 0 的距离等于 1 的点的个数有 (A)1 二、填空题 8．圆 x 2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 与 y 轴切于原点，则 D 、 E 、 F 应满足的条件是__________________． 9．若实数 x 、 y 满足方程 x 2 + y 2 + 8 x − 6 y + 16 = 0 ，则 x 2 + y 2 的最大值是________． 10．过 A（－3，0），B（3，0）两点的所有圆中面积最小的圆方程是______________． 11．圆 x 2 + y 2 − x + 2 y = 0 关于直线 l ： x − y + 1 = 0 对称的圆方程是_______________． 12．过点 O（0，0），A（1，1），B（1，－5）的圆方程是__________________________． 13．若过点（1，2）总可以作两条直线和圆 x 2 + y 2 + kx + 2 y + k 2 − 15 = 0 相切，则实数 k 的取值范围是 _________________． 14 从圆外一点 P ( x0 , y 0 ) 引圆 x 2 + y 2 = r 2 的两切线，则切点弦的方程是________________． 15．当 k ∈ R 且 k ≠ −1 时，圆 ( k + 1)( x 2 + y 2 ) = x + ky 总是经过定点_____________．

2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系(二)课件(北师大版必修二)

2．圆系方程具有某些共同性质的圆的集合称为圆系． (1)与直线系方程一样，了解一些常见的圆系方程可以帮助我们简化解题思路． ①同心圆系：与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 同心的圆系方程为 x2 ＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.
②相交圆系：过两圆 x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0 与 x2＋y2＋D2x ＋E2y＋F2 ＝0 的交点的圆系方程为(x2 ＋y2 ＋D1x＋E1y＋F1)＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．λ＝－1 时为两圆公共弦所在直线方程(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0，特别地，两圆相切时，此方程表示两圆的公切线方程． ③过直线 l：Ax＋By＋C＝0 与圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋ E2－4F＞0)的交点的圆系方程为 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋ By＋C)＝0.
【题后反思】本题的解答技巧主要有两个：一是由 A、B 两点平分圆 N 的圆周，联想到直线 AB 经过圆 N 的圆心 N；二是通过点 N 在直线 AB 上，得到 m，n 满足的关系式，进而得到圆心 M 的轨迹方程．另外，两圆方程相减，得公共弦所在直线也是解答本题的关键．
【变式 3】已知圆 C1：x2＋y2＋2x＋2y－8＝0 与 C2：x2＋y2－ 2x＋10y－24＝0 相交于 A，B 两点， (1)求公共弦 AB 的长； (2)求圆心在直线 y＝－x 上，且过 A，B 两点的圆的方程； (3)求经过 A，B 两点且面积最小的圆的方程．解 (1)由两圆方程相减，即得 x－2y＋4＝0，此为公共弦 AB 所在的直线方程．圆心 C1(－1，－1)，半径 r1＝ 10， |－1＋2＋4| C1 到直线 AB 的距离为 d＝＝ 5. 5 故公共弦长|AB|＝2 r2－d2＝2 5. 1

人教B版数学高一必修2教案直线与圆的位置关系

示范教案整体设计教学分析教材通过两个例题介绍了用代数方法研究直线和圆的位置关系，值得注意的是在教学中要引导学生对比例1的两种解法，使学生真正体会到解法2(几何法)的简便．三维目标1．掌握直线与圆的位置关系及其判定方法，培养学生分析问题和解决问题的能力．2．能解决与直线和圆的位置关系有关的问题，培养学生数形结合的数学思想．重点难点教学重点：直线与圆的位置关系．教学难点：求圆的切线方程．课时安排1课时教学过程导入新课设计 1.我们已经学习了直线、圆的方程，那么如何用方程来讨论直线与圆的位置关系呢？教师点出课题．设计2.早晨起来，站在海边上向东方观看：太阳从海平面上缓缓升起．如果把远处的海平面抽象成直线，把太阳抽象成圆，那么其中呈现直线与圆的什么位置关系？今天，我们用方程来讨论，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题(1)初中学过的平面几何中，直线与圆的位置关系有几类？并画图表示.(2)在初中，我们怎样判断直线与圆的位置关系呢？(3)如何用直线与圆的方程判断它们之间的位置关系呢？讨论结果：(1)相离、相切、相交．如下图所示．(2)方法一：根据公共点的个数方法二：根据圆心到直线距离d与半径r的大小关系．如下表所示：(3)方法一，判断直线l 与圆的位置关系，就是看由它们的方程组成的方程组解的个数；方法二，可以依据圆心到直线的距离与半径的大小关系判断直线与圆的位置关系．应用示例思路1例1已知圆的方程是x 2＋y 2＝2，直线方程是y ＝x ＋b ，当b 为何值时，圆与直线有两个公共点？只有一个公共点？没有公共点？解法一：所求曲线公共点问题可转化为b 为何值时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝2，y ＝x ＋b ，①②有两组不同实数解；有两组相同实数解；无实数解的问题． ②代入①，整理，得 2x 2＋2bx ＋b 2－2＝0，③ 方程③的根的判别式 Δ＝(2b)2－4×2(b 2－2) ＝－4(b ＋2)(b －2)．当－2<b<2时，Δ>0，方程组有两组不同实数解，因此直线与圆有两个公共点；当b ＝2或b ＝－2时，Δ＝0，方程组有两组相同的实数解，因此直线与圆只有一个公共点；当b<－2或b>2时，Δ<0，方程组没有实数解，因此直线与圆没有公共点．以上分别就是直线与圆相交、相切、相离的三种情况(如下图)．解法二：圆与直线有两个公共点、只有一个公共点、无公共点的问题，可以转化为b 取何值时圆心到直线的距离小于半径、等于半径、大于半径的问题．圆的半径r ＝2，圆心O(0,0)到直线y ＝x ＋b 的距离为d ＝|b|2.当d<r ，即－2<b<2时，圆与直线相交，有两个公共点；当d ＝r ，|b|＝2，即b ＝2或b ＝－2时，圆与直线相切，直线与圆有一个公共点；当d>r ，|b|>2，即b<－2或b>2时，圆与直线相离，圆与直线无交点．点评：解法一称为代数法，解法二称为几何法．几何法是判定直线与圆的位置关系的最优解法．代数法步骤：①将直线方程与圆的方程联立成方程组；②利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程； ③求出其判别式Δ的值；④比较Δ与0的大小关系，若Δ>0，则直线与圆相交；若Δ＝0，则直线与圆相切；若Δ<0，则直线与圆相离．几何法步骤：①把直线方程化为一般式，求出圆心和半径； ②利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离；③作判断：当d>r 时，直线与圆相离；当d ＝r 时，直线与圆相切；当d<r 时，直线与圆相交．变式训练判断下列直线与圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的位置关系： (1)x －y －2＝0；(2)x ＋2y －1＝0.解：已知圆的圆心为C(1,1)，半径r ＝1.(1)点C 到直线x －y －2＝0的距离为d 1＝|1－1－2|12＋(－1)2＝ 2.又r ＝1，所以d 1>r ，可知直线与圆相离．(2)点C 到直线x ＋2y －1＝0的距离为d 2＝|1＋2×1－1|12＋22＝25＝255.因为d 2<r ，所以此直线与圆相交．例2已知圆的方程是x 2＋y 2＝r 2，求过圆上一点M(x 0，y 0)的切线方程(如下图)．解法一：如果x 0≠0，且y 0≠0，则直线OM 的方程为y ＝y 0x 0x ，从而过点M 的圆的切线的斜率为－x 0y 0，因此所求圆的切线方程为y －y 0＝－x 0y 0(x －x 0)，化简，得x 0x ＋y 0y ＝x 20＋y 20.因为点M(x 0，y 0)在圆上，所以x 20＋y 20＝r 2.所以，过圆x 2＋y 2＝r 2上一点(x 0，y 0)的圆的切线方程为 x 0x ＋y 0y ＝r 2.如果x 0＝0或y 0＝0，我们容易验证，过点M(x 0，y 0)的切线方程也可以表示为x 0x ＋y 0y ＝r 2的形式．因此，所求的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.解法二：设P(x ，y)为所求切线上的任意一点，当P 与M 不重合时，△OPM 为直角三角形，OP 为斜边，所以OP 2＝OM 2＋MP 2，即x 2＋y 2＝x 20＋y 20＋(x －x 0)2＋(y －y 0)2. 整理得x 0x ＋y 0y ＝r 2.可以验证，当P 与M 重合时同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.解法三：设P(x ，y)为所求切线上的任意一点，当点M 不在坐标轴上时，由OM ⊥MP得k OM ·k MP ＝－1，即y 0x 0·y 0－yx 0－x ＝－1，整理得x 0x ＋y 0y ＝r 2.可以验证，当点M 在坐标轴上时，P 与M 重合，同样适合上式，故所求的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.点评：解决直线与圆相切问题的关键是如何利用圆的切线性质，即圆的切线垂直于经过切点的半径．解法一是利用圆的切线性质，求出切线斜率，从而得切线方程；解法二是利用圆的切线性质，得到直角三角形，由勾股定理解决；解法三是利用圆的切线性质，得两直线垂直，由斜率关系解决．解法一是通法，以后常用解法一来解决直线与圆相切的问题．变式训练 1．直线 3x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x －2＝0相切，则实数m 等于( ) A.3或－ 3 B ．－3或3 3 C ．－33或 3 D ．－33或3 3解析：圆x 2＋y 2－2x －2＝0的圆心为(1,0)，半径为3，因为直线3x －y ＋m ＝0为圆的切线，因此圆心(1,0)到直线的距离为圆的半径 3.从而d ＝|3×1＋(－1)×0＋m|(3)2＋(－1)2＝3，解得m ＝±23－3， ∴m ＝3或m ＝－3 3. 答案：C2．求过点M(3,1)，且与圆(x －1)2＋y 2＝4相切的直线l 的方程．解：设切线方程为y －1＝k(x －3)，即kx －y －3k ＋1＝0，因为圆心(1,0)到切线l 的距离等于半径2，所以|k －3k ＋1|k 2＋(－1)2＝2，解得k ＝－34.所以切线方程为y －1＝－34(x －3)，即3x ＋4y －13＝0.当过点M 的直线的斜率不存在时，其方程为x ＝3，圆心(1,0)到此直线的距离等于半径2，故直线x ＝3也符合题意．所以直线l 的方程是3x ＋4y －12＝0或x ＝3.3．设直线mx －y ＋2＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，求实数m 的值．解：已知圆的圆心为O(0,0)，半径r ＝1，则O 到已知直线的距离d ＝|m ×0＋(－1)×0＋2|m 2＋(－1)2＝2m 2＋1.由已知得d ＝r ，即2m 2＋1＝1，解得m ＝±3.思路2例3已知直线l ：3x ＋y －6＝0和圆心为C 的圆x 2＋y 2－2y －4＝0，判断直线l 与圆的位置关系，如果相交，求它们交点的坐标．解法一：由直线与圆的方程得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6＝0，x 2＋y 2－2y －4＝0.消去y 得x 2－3x ＋2＝0.∵Δ＝(－3)2－4·1·2＝1>0，∴直线与圆相交，有两个交点．解法二：圆的方程可化为x 2＋(y －1)2＝5，其圆心的坐标为(0,1)，半径长为 5.圆心到直线的距离为d ＝510< 5.∴直线与圆相交，有两个交点．由x 2－3x ＋2＝0得x 1＝2，x 2＝1.当x 1＝2时，y 1＝6－3×2＝0；当x 2＝1时，y 2＝6－3×1＝3，得交点坐标为(2,0)、(1,3)．点评：利用几何法判断比利用代数方法要快．但求交点坐标时仍需联立方程．直线与圆的位置关系的判定：法一：看由它们的方程组成的方程组有解的个数；法二：可以依据圆心到直线的距离与半径的关系．变式训练1．直线l ：3x ＋4y ＋6＝0与圆x 2＋y 2＝4的交点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定解析：圆心(0,0)到直线l 的距离d ＝|6|9＋16＝65<r ＝2，则直线l 与圆相交，有2个交点．答案：C2．若过点A(4,0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．[－3， 3 ]B ．[－3，3)C ．[－33，33 ] D ．[－33，33) 解析：数形结合的方法．如下图所示，∠CAB ＝∠BAD ＝30°，∴直线l 的倾斜角θ的取值范围为[0°，30°]∪[150°，180°)． ∴直线l 的斜率的取值范围为[－33，33]．答案：C例4已知过点M(－3，－3)的直线l 被圆x 2＋y 2＋4y －21＝0所截得的弦长为45，求直线l 的方程．分析：利用几何图形的性质，半弦长、半径与圆心到直线的距离所构成的直角三角形求解．解：将圆的方程写成标准形式，得x 2＋(y ＋2)2＝25. 所以圆心为(0，－2)，半径为r ＝5.因为直线l 被圆截得的弦长是45，所以弦心距为52－(452)2＝5，即圆心到所求直线l 的距离为 5. 因为直线过点(－3，－3)，所以可设所求直线l 的方程为y ＋3＝k(x ＋3)，即kx －y ＋3k －3＝0. 根据点到直线的距离公式，得到圆心到直线l 的距离 d ＝|2＋3k －3|k 2＋1＝ 5.两边平方整理得，2k 2－3k －2＝0，解得k ＝－12，k ＝2.所以所求的直线方程为y ＋3＝－12(x ＋3)或y ＋3＝2(x ＋3)，即x ＋2y ＋9＝0或2x －y ＋3＝0.点评：本题解法突出了适当地利用几何性质，有助于简化运算，强调图形在解题中的辅助作用，加强了形与数的结合．变式训练 1．过直线y ＝x 上的一点作圆(x －5)2＋(y －1)2＝2的两条切线l 1，l 2，当直线l 1，l 2关于y ＝x 对称时，它们之间的夹角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如下图，过圆心O ′作O ′A 垂直于直线y ＝x ，垂足为A(3,3)．易知过点A 向圆所引两条切线是关于直线y ＝x 对称的．又|O ′A|＝22，|O ′C|＝2，∠O ′AC ＝30°，即两切线l 1与l 2间夹角为60°. 答案：C2．已知一圆C 的圆心为(2，－1)，且该圆被直线l ：x －y －1＝0截得的弦长为22，求该圆的方程及过弦的两端点的切线方程．分析：通过弦长与圆半径的关系可以求出圆的半径，得到圆的方程，其他问题易解．解：设圆C 的方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝r 2(r>0)，如下图．则弦长p ＝2r 2－d 2，其中d 为圆心到直线x －y －1＝0的距离，∴p ＝2r 2－(2)2＝2 2.∴r 2＝4. ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －1＝0，(x －2)2＋(y ＋1)2＝4，解得弦的两端点坐标是(2,1)、(0，－1)． ∴过弦两端点的该圆的切线方程是y ＝1和x ＝0.知能训练1．已知圆C 和y 轴相切，圆心C 在直线x －3y ＝0上，且被直线y ＝x 截得的弦长为27，求圆C 的方程．答案：(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9或(x －3)2＋(y －1)2＝9.2．圆x 2＋y 2＝2上的点到直线3x ＋4y ＋25＝0的距离的最小值为( ) A ．5－ 2 B ．5＋ 2 C ．3 D.5－ 2 答案：A3．以M(－4,3)为圆心的圆与直线2x ＋y －5＝0相离，那么圆M 的半径r 的取值范围是( )A ．0<r<2B ．0<r< 5C ．0<r<2 5D ．0<r<10 答案：C 4．若经过两点A(－1,0)、B(0,2)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －a)2＝1相切，则a ＝________. 答案：4±55．若直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2－2x ＋4y ＋4＝0没有公共点，则实数m 的取值范围是__________．解析：化为标准方程为(x －1)2＋(y ＋2)2＝1.因为直线3x ＋4y ＋m ＝0与圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝1没有公共点，因此圆心(1，－2)到直线3x ＋4y ＋m ＝0的距离大于圆的半径(r ＝1)．故|3－8＋m|5＞1 ⇔|m －5|＞5 ⇔m ＞10或m ＜0.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)6．从点P(4,5)向圆(x －2)2＋y 2＝4引切线，求切线方程．解：把点P(4,5)代入(x －2)2＋y 2＝4，得(4－2)2＋52＝29>4，所以点P 在圆(x －2)2＋y 2＝4外．设切线斜率为k ，则切线方程为y －5＝k(x －4)，即kx －y ＋5－4k ＝0.又圆心坐标为(2,0)，r ＝2.因为圆心到切线的距离等于半径，即|2k －0＋5－4k|k 2＋1＝2，k ＝2120.所以切线方程为21x －20y ＋16＝0.当直线的斜率不存在时还有一条切线是x ＝4.7．圆x 2＋y 2＝8内有一点P 0(－1,2)，AB 为过点P 0且倾斜角为α的弦． (1)当α＝135°时，求AB 的长；(2)当AB 的长最短时，求直线AB 的方程．解：(1)当α＝135°时，直线AB 的斜率为k ＝tan135°＝－1，所以直线AB 的方程为 y －2＝－(x ＋1)，即y ＝－x ＋1.弦心距d ＝12，半径r ＝22，弦长|AB|＝2r 2－d 2＝28－12＝30.(2)当AB 的长最短时，OP 0⊥AB ，因为kOP 0＝－2，所以k AB ＝12，直线AB 的方程为y－2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.拓展提升(1)已知直线l ：y ＝x ＋b 与曲线C ：y ＝1－x 2有两个不同的公共点，求实数b 的取值范围；(2)若关于x 的不等式1－x 2 >x ＋b 解集为R ，求实数b 的取值范围．解：(1)如下图，方程y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线l ；方程y ＝1－x 2 表示单位圆在x 轴上及其上方的半圆，当直线过B 点时，它与半圆交于两点，此时b ＝1，直线记为l 1；当直线与半圆相切时，b ＝2，直线记为l 2.直线l 要与半圆有两个不同的公共点，必须满足l 在l 1与l 2之间(包括l 1但不包括l 2)，所以1≤b<2，即所求的b 的取值范围是[1，2)．(2)不等式1－x 2>x ＋b 恒成立，即半圆y ＝1－x 2在直线y ＝x ＋b 上方，当直线l 过点(1,0)时，b ＝－1，所以所求的b 的取值范围是(－∞，－1)．课堂小结1．判断直线与圆的位置关系的方法：几何法和代数法． 2．求切线方程．作业本节练习B 2,3,4题．设计感想本节教学设计以例题教学为主，突出了圆的几何性质的应用．渗透了数形结合的思想．在设计过程中，考虑到高考要求，例题的难度有所增加，在实际教学中可选择应用．备课资料备选习题1．圆(x －1)2＋(y ＋3)2＝1的切线方程中有一个是( ) A ．x －y ＝0 B ．x ＋y ＝0 C ．x ＝0 D ．y ＝0解析：圆心为(1，－3)，半径为1，故此圆必与y 轴(x ＝0)相切．答案：C2．圆x 2＋2x ＋y 2＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：C3．已知圆x 2－4x －4＋y 2＝0的圆心是点P ，则点P 到直线x －y －1＝0的距离是________．答案：224．已知圆C 的圆心与点P(－2,1)关于直线y ＝x ＋1对称．直线3x ＋4y －11＝0与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB|＝6，则圆C 的方程为__________．解析：设圆心为C(a ，b)，则由⎩⎪⎨⎪⎧k CP＝－2－a 1－b ＝－1，线段PC 中点M (－2＋a 2，1＋b2)在y ＝x ＋1上⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋1＝0，a －b －1＝0 ⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝－1.∴C(0，－1)．设C 半径为r ，点C 到直线3x ＋4y －11＝0的距离为d ，则d ＝|3×0＋4×(－1)－11|32＋42＝3.∴r 2＝(|AB|2)2＋d 2＝9＋9＝18.∴x 2＋(y ＋1)2＝18. 答案：x 2＋(y ＋1)2＝185．直线l ：2mx －y －8m －3＝0和圆C ：(x －3)2＋(y ＋6)2＝25.(1)证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆C 总相交；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及此时直线l 的方程．(1)证明：设圆心C 到直线l 的距离为d ，则有d ＝|6m ＋6－8m －3|4m 2＋1，整理可得4(d 2－1)m 2＋12m ＋d 2－9＝0 ①，为使上面关于m 的方程有实数解，需要Δ＝122－16(d 2－1)(d 2－9)≥0，解得0≤d ≤10，可得d<5.故不论m 为何实数值，直线l 与圆C 总相交；(2)解：由(1)可知0≤d ≤10，即d 的最大值为10.根据平面几何知识可知：当圆心到直线l 的距离最大时，直线l 被圆C 截得的线段长度最短．所以当d ＝10时，线段(即弦长)的最小长度为252－(10)2＝215.将d ＝10代入①可求得m ＝－16，代入直线l 的方程得直线与圆C 截得最短线段时的方程为x ＋3y ＋5＝0.。

高中数学必修二直线与圆的位置关系

课题：直线与圆的位置关系一、教学内容分析学生在初中的学习中已了解直线与圆的位置关系,并知道可以利用直线与圆的公共点的个数，圆心与直线的距离d与半径r的关系来判断直线与圆的位置关系,但是,在初中学习时,利用圆心与直线的距离d与半径r的关系判断直线与圆的位置关系的方法都是以结论性的形式呈现,虽然是定量的展现，但实质还是定性研究（d与r都是直接给数据或者利用几何证明来得出d与r的数量关系）.在高一学习了解析几何以后,要考虑的问题是如何掌握由直线和圆的方程判断直线与圆的位置关系的方法，也就是定量研究.解决问题的方法主要是几何法(d-r法)和代数法（Δ法）.其中几何法是在初中学习的基础上,结合高中所学的点到直线的距离公式求出圆心与直线的距离d后,比较与半径r的关系从而作出判断.而代数法是结合直线方程与圆的方程，通过联立方程形成方程组，转化为二次方程根的判别问题从而做出判断。

两种方法学生都可以自己讨论得到,通过具体问题学生掌握“代数法”与“几何法”,明确代数法更具有一般性,几何法则紧扣圆的几何特性，充分利用圆的性质。

所以在研究直线与圆的位置关系时“几何法”更实用一些.通过教学想让学生体会：解析几何的核心就是坐标法，计算是必不可少的，提高计算能力也是必要的。

但解析几何终究研究的是几何问题，深入研究几何图形的特性，再用代数方法去解决可以减少计算量从而提高解题效率。

含参数的问题、简单的弦的问题、切线问题等综合问题作为进一步的拓展提高或综合应用,也可适度地引入课堂教学中,但以深化“判定直线与圆的位置关系”为目的,想要控制难度.虽然学生学习解析几何了,但把几何问题代数化无论是思维习惯还是具体转化方法,学生仍是似懂非懂,因此应不断强化,逐渐内化为学生的习惯和基本素质.二、学生情况分析学生在初中平面几何中已经接触过直线与圆的位置关系，前面已经学习了直线方程、圆的方程、两直线的位置关系以及点到直线的距离等知识，具备了利用方程及图形研究直线与圆的位置关系的基本能力。