实际问题与二次函数(第3节)

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实际问题与二次函数(3)

x
● (2,-2)
(-2,-2) ●
4米
-3
y o
(-2,-2) ●
解：建立如图所示坐标系, 2 设二次函数解析式为 y ax
x
● (2,-2)
由抛物线经过点（2，-2），可得 1 a 2 所以，这条抛物线的解析式为
-3
当水面下降1m时，水面的纵坐标为当
1 2 y x 2
y 3 y 3 时，x 6
我校九年级学生姚小鸣同学怀着激动的心情前往广州观看亚运会开幕式表演.现在先让我们和姚小鸣一起逛逛美丽的广州吧！
如果我是导演，运动员出场时，我就让他们坐着船，从圣火的拱形桥下面穿过，效果肯定特棒！
如果要使运动员坐着船从圣火的拱形桥下面穿过入场，现已知拱形底座顶部离水面 2 m,水面宽 4 m,为了船能顺利通过，需要把水面下降 1 m,问此时水面宽度增加多少?
所以水面的宽度增加了 2 6 4 m

有座抛物线形拱桥(如图)，正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m，为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 16m，求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球
命中?
（1）跳得高一点儿 y （2）向前平移一点儿
感悟果
知识果
方法果
作业：必做题：P27 第九题选做题：P27 第十题
(-2,-2) ●
解：建立如图所示坐标系, 2 设二次函数解析式为 y ax
x
● (2,-2)
由抛物线经过点（2，-2），可得 1水面下降1m时，水面的纵坐标为当
1 2 y x 2
y 3 y 3 时，x 6

人教版九年级上册数学精品教学课件第22章二次函数第3课时抛物线形实物及运动轨迹问题

1 令 x＝0 得 y＝− 45 ×(0 − 15)2 + 45＝40，
∴ 点 B 的坐标为 (0，40).
∴ 这名运动员起跳时的竖直高度为 40 米．
能力提升悬索桥两端主塔塔顶之间的主悬钢索，其形状可近似地看作抛物线，水平桥面与主悬钢索之间用垂直钢索连接. 已知两端主塔之间的水平距离为 900 m，两主塔塔顶距桥面的高度为 81.5 m，主悬钢索最低点离桥面的高度为 0.5 m.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，可求得点 D 的坐标为 (-2.5，0). y 根据对称性，如果不计其它因素，
●B (1，2.25)
A●(0，1.25)
那么水池的半径至少要 2.5 m，才
能使喷出的水流不致落到池外.
●
D
O
●
C
x
例3 如图，一名运动员在距离篮球框中心 4 m (水平距离) 远处跳起投篮，篮球准确落入篮框，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5 m 时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m．如果篮框中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
OABC 的长是 12 m，宽是 4 m，按照图中所示的平面
直角坐标系，抛物线可以用 y＝ − 1 x2 + 2x + c 表示． (1)请写出该抛物线的函数解析式；6
解：根据题意，得 C (0，4). 将其代入
抛物线 y＝− 1 x2 + 2x + c 中，得 c＝4，
∴
6
抛物线解析式为
y＝−
1
x2
例2 某广场喷泉的喷嘴安装在平地上．有一喷嘴喷出

初中数学第二十二章第3节《实际问题与二次函数》解答题 (20)(含解析)

第二十二章第3节《实际问题与二次函数》解答题 (20)一、解答题1．某商场用两个月时间试销某种新型商品，经市场调查，该商品的第x 天的进价y (元／件)与x (天)之间的相关信息如下表：时间x (天) 130x ≤< 3050x ≤≤进价y (元／件) 70x -+40该商品在销售过程中，销售量m (件)与x (天)之间的函数关系如图所示：在销售过程中，商场每天销售的该产品以每件80元的价格全部售出．（1）求该商品的销售量m (件)与x (天)之间的函数关系；（2）设第x 天该商场销售该商品获得的利润为w 元，求出w 与x 之间的函数关系式，并求出第几天销售利润最大，最大利润是多少元？（3）在销售过程中，当天的销售利润不低于2400元的共有多少天？2．如图，一面利用墙（墙的最大可用长度为10)m ，用长为24m 的篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边AB 的长为()x m ，面积为2()y m ．（1）若y 与x 之间的函数表达式及自变量x 的取值范围；（2）若要围成的花圃的面积为245m ，则AB 的长应为多少？3．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，批物线y ＝x 2﹣4x ＋a （a ＜0）与y 轴交于点A ，与x 轴交于E 、F 两点（点E 在点F 的右侧），顶点为M ．直线23y x a =-与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，与直线AM 交于点D ．（1）求抛物线的对称轴；（2）在y 轴右侧的抛物线上存在点P ，使得以P 、A 、C 、D 为顶点的四边形是平行四边形，求a 的值；（3）如图②，过抛物线顶点M 作MN ⊥x 轴于N ，连接ME ，点Q 为抛物线上任意一点，过点Q 作QG ⊥x 轴于G ，连接QE ．当a ＝﹣5时，是否存在点Q ，使得以Q 、E 、G 为顶点的三角形与△MNE 相似（不含全等）？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．4．我们知道，经过原点的抛物线可以用2y ax bx =+（a≠0）来表示，对于这样的抛物线，（1）①当顶点坐标为（1，2）时，则a= ；②当顶点当顶点坐标为（t ，2t ），且t≠0时，则a 与t 之间的关系式是．（2）当此抛物线的顶点在直线y kx =上，且b≠0时，用含k 的代数式表示b ．（3）现有一组过原点的抛物线，它们的顶点A 1，A 2，…，A n 在直线2y x =上，其横坐标依次为1，2，…，n （n 为正整数，且n ≤12），分别过每个顶点作x 轴的垂线，垂足分别记为B 1，B 2，…，B n ，以线段A n B n 为边向右作正方形A n B n C n D n ，若这组抛物线中的某一条经过D n ，求此时满足条件的正方形A n B n C n D n 的边长．5．如图，一次函数3y x =-+的图象与抛物线2y x bx c =++交x 轴于B 点，交y 轴于C 点，抛物线交x 轴的另一个交点为点A （点B 的左边）．点D 为抛物线上一个动点（且点D 的横坐标x 满足03x <<，过点D 作DE y 轴交BC 于点E ．（1）求该抛物线的解析式；（2）若BDE 为直角三角形，求点D 的坐标；（3）在（2）的结论下，点P 为抛物线上任意一个动点，点Q 为x 轴上一个动点，则以B ，D ，P ，Q 四点为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，请直接写出点P 的坐标；若不能，请说明理由．6．已知抛物线y=12x 2+bx+c 经过点A （-2，0），B （0，-4）与x 轴交于另一点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图，P 是第一象限内抛物线上一点，BP 交x 轴于点E ，且S △PBO =S △PBC ，求证：E 是OC 的中点；（3）在（2）的条件下求点P 的坐标．（4）在（2）的条件下拋物线上是否存在点D ，使△ACD 的面积与△ABP 的面积相等？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．7．如图，在平面直角坐标系中，已知点B 的坐标为(﹣1，0)，且OA ＝OC ＝4OB ，抛物线y ＝ax 2+bx+c （a≠0）图象经过A ，B ，C 三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P 是直线AC 下方的抛物线上的一个动点，作PD ⊥AC 于点D ，当PD 的值最大时，求此时点P 的坐标及PD 的最大值．8．平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为(),a b ，点P 的变换点P '的坐标定义如下：当a b >时，点P '的坐标为(),a b -；当a b ≤时，点P '的坐标为(),b a -．（1）点()3,1A 的变换点A '的坐标是_______；点()4,2B -的变换点为B '，连接OB ，OB '，则BOB '∠=_______．（2）已知抛物线()22y x m =-++与x 轴交于点C ，D （点C 在点D 的左侧），顶点为E ．点P 在抛物线()22y x m =-++上，点P 的变换点为P '．若点P '恰好在抛物线的对称轴上，且四边形ECP D '是菱形，求m 的值；（3）若点F 是函数()2642y x x =---≤≤-图象上的一点，点F 的变换点为F '，连接FF '，求FF '的最大值和最小值．9．某服装批发市场销售一种衬衫，衬衫每件进货价为50元，规定每件售价不低于进货价，经市场调查，每月的销售量y （件）与每件的售价x （元）满足一次函数关系202600y x =+．（1）该批发市场每月想从这种衬衫销售中获利24000元，又想尽量给客户实惠，该如何给这种衬衫定价？（2）物价部门规定，该衬衫的每件利润不允许高于进货价的30%，设这种衬衫每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少？10．在高尔夫球训练中，运动员在距球洞10m 处击球，其飞行路线满足抛物线2155b y x x =-+，其图象如图所示，其中球飞行高度为()y m ，球飞行的水平距离为()x m ，球落地时距球洞的水平距离为2m ．（1）求b 的值；（2）若运动员再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球的飞行路线应满足怎样的抛物线，求抛物线的解析式；（3）若球洞4m 处有一横放的1.2m 高的球网，球的飞行路线仍满足抛物线2155b y x x =-+，要使球越过球网，又不越过球洞（刚好进洞），求b 的取值范围． 11．某大学生利用暑假40天社会实践参与了一家网店经营，了解到一种新型商品成本为20元/件，第x 天销售量为p 件，销售单价为q 元．经跟踪调查发现，这40天中50p -与x 成正比，前20天（包含第20天），q 与x 的关系满足关系式30q ax =+；从第21天到第40天中，q 是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与x 成反比，且得到了表中的数据：x（天） 10 21 35q（元/件） 35 45 35p（件） 40a 天中p 与x 的关系式为______；（2）从第21天到第40天中，求q 与x 满足的关系式；（3）求这40天里该网店第几天获得的利润最大？最大为多少？12．岚山区地处黄海之滨，渔业资源丰富，海产品深受消费者喜爱．某海产品批发超市对进货价为40元/千克的某品牌小黄鱼的销售情况进行统计，发现每天销售量y （千克）与销售价x （元/千克）存在一次函数关系，如图所示．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）若不考虑其它因素，则销售总利润=每千克的利润×总销量，那么当销售价格定为多少时，该品牌小黄鱼每天的销售利润最大？最大利润是多少？13．某学具专卖店试销一种成本为60元/套的学具．规定试销期间销售单价不得低于成本单价，且获利不得高于成本价的20%，该专卖店每天的固定费用是100元．试销发现，每件销售单价相对成本提高x 元（x 为整数）与日平均销售量y 件之间符合一次函数关系，且当x ＝10时，y ＝40；x ＝25时，y ＝10．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）该学具专卖店日平均获得毛利润为w 元（毛利润＝利润﹣固定费用），求当销售单价为多少元时，日平均毛利润最大，最大日平均毛利润是多少元？14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2-83x+c 交x 轴于点A 和点B （点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），点A 的坐标为（-3，0），点B 的坐标为（1，0），交y 轴于点C ．（1）求该抛物线的解析式；（2）已知点P 为抛物线上一点，直线PC 与x 轴交于点Q ，使得PQ=54CQ ，求P 点坐标；（3）若点M 是抛物线对称轴上一点，点N 是平面内一点，是否存在以A ，C ，M ，N 为顶点的矩形？若存在，请直接写出N 点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，已知抛物线243y x x =++交x 轴于A ．B 两点，交y 轴于点C ，抛物线的对称轴交x 轴于点E ，点B 的坐标为(−1，0)．（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）连结CA与抛物线的对称轴交于点D．①在对称轴上找一点P，使ΔAPC为直角三角形，求点P的坐标．②在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．16．如图所示，某建筑物有一抛物线形的大门，小强想知道这道门的高度．他先测出门的宽度AB＝8 m，然后用一根长为4 m的小竹竿CD竖直地接触地面和门的内壁，并测得AC ＝1 m．小强画出了如图的草图，请你帮他算一算门的高度OE(精确到0.1 m)．17．某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现：若每箱以50元的价格出售，平均每天销售80箱，价格每提高1元，平均每天少销售2箱．（1）求平均每天销售量y（箱）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（2）求该批发商平均每天的销售利润W（元）与销售价x（元/箱）之间的函数关系式；（3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？18．如图，已知抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C、B不重合），过点D作DF⊥x轴于点F，交直线BC于点E，连接BD、CD．设点D的横坐标为m，△BCD的面积为S．求S关于m的函数解析式及自变量m的取值范围，并求出S的最大值；（3）已知M为抛物线对称轴上一动点，若△MBC是以BC为直角边的直角三角形，请直接写出点M的坐标．19．如图，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线C1：y＝13x2＋73x上，点A的坐标为(﹣4，m)，点B的坐标为(n，﹣2)．（点A在点B的左侧）（1）则m＝，n＝．（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A′OB′，抛物线C2：y＝ax2＋bx＋4经过A′、B′两点，延长OB′交抛物线C2于点C，连接A′C．设△OA′C的外接圆为⊙M．①求圆心M的坐标；②试直接写出△OA′C的外接圆⊙M与抛物线C2的交点坐标（A′、C除外）．20．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y（千克）是销售单价x（元）的一次函数，且当x＝45时，y＝10；x＝55时，y＝90．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．（1）求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；（3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？【答案与解析】一、解答题1．（1）2120m x =-+；（2）221001200(130)804800(3050)x x x w x x ⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩，第25天时利润最大，最大利润为2450元；（3）共有11天的销售利润不低于2400元．（1）利用待定系数法求解即可；（2）分130x ≤<和3050x ≤≤两种情况，分别根据“利润=（售价-进价）⨯销售量”建立函数关系式，然后利用一次函数和二次函数的性质求解即可；（3）根据（2）的结论，分别利用一次函数和二次函数的性质求出x 的取值范围，再找出符合条件的整数即可．（1）设该商品的销售量m 与x 之间的函数关系为()0m kx b k =+≠由图可知，点()0,120，()50,20在m kx b =+上将点()0,120，()50,20代入得1205020b k b =⎧⎨+=⎩解得2120k b =-⎧⎨=⎩则该商品的销售量m 与x 之间的函数关系为2120m x =-+；（2）由题意，分以下两种情况：①当130x ≤<时()()()2808070212021001200w y m x x x x =-⋅=+-⋅-+=-++()22252450x =--+由二次函数的性质可知，当25x =时，w 取得最大值，最大值为2450②当3050x ≤≤时()()80402120804800w x x =-⋅-+=-+∵800k =-<∴w 随x 的增大而减小则当30x =时，w 取得最大值，最大值为803048002400-⨯+=因24502400>故第25天时利润最大，最大利润为2450元综上，w 与x 之间的函数关系式为221001200(130)804800(3050)x x x w x x ⎧-++≤<=⎨-+≤≤⎩，第25天时利润最大，最大利润为2450元；（3）①当130x ≤<时，()22252450w x =--+则()222524502400x --+=∴120x =或230x =∴2030x ≤<，利润不低于2400元即此时，共有10天的销售利润不低于2400元②当3050x ≤≤时，804800w x =-+则8048002400x -+≥解得30x ≤ 30x ∴=即此时，只有1天的销售利润不低于2400元综上，共有11天的销售利润不低于2400元．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，理解题意，正确建立函数关系式是解题关键．2．（1）2324y x x =-+（1483x ≤<）；（2）AB 的长应为5m ．（1）根据题意可以得到y 与x 的函数关系式以及x 的取值范围；（2）令45y =代入（1）中的函数解析式，即可求得x 的值，注意x 的取值范围．（1）由题意可得，()2243324y x x x x=-=-+， ∵24310324x x -≤⎧⎨<⎩， ∴1483x ≤<，即y 与x 之间的函数表达式是2324y x x =-+（1483x ≤<）；（2）当45y =时， 245324x x =-+，整理得：28150x x -+=解得，1253x x ==，（舍去）答：AB 的长应为5m ．【点睛】本题考查二次函数的应用，一元一次不等式组的应用，解一元二次方程，根据题意得出函数关系式是解决问题的关键．。

实际问题与二次函数_第三课时-课件

图1
图2
【思路点拨】根据线段的长度写出相关点的坐标，再设出函数的解析式，把点的坐标代入解析式求出解析式，可以算出EF的宽度。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
例5.如图1，三孔桥截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同。正常水位时，大孔水面宽度AB＝20米，顶点M距水面6米（即MO＝6米），小孔顶点N距水面4.5米（NC＝4.5米）。当水位上涨刚好淹没小孔时，借助图2 中的直角坐标系，求此时大孔的水面宽度EF。
探究三：利用二次函数解决实际问题的训练
练习：有一抛物线形拱桥，其最大高度为16米，跨度为40米，把它的示意图放在如图所示的坐标系中，则抛物线的函数关系式为__y_____21_5__x_2 __85__x__ 。
解：因为抛物线过点（0，0）和（40，0），
∴ y=ax（x- 40）①
又∵ 函数过点（20，16）代入①得20a（20-40）=16，
探究一：利用二次函数解决抛物线形拱桥问题
重点知识★
活动2 自学互研，生成能力。
完成下列填空：
1.以拱桥的顶点为原点，以经过该点的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为_____y____a_x_2。
2.一座拱桥为抛物线形，其函数解析式为___y____a_x_2_，
当水位线在AB位置时，水面宽4 m，这时水面离桥顶的高度为
设点B（10，n），点D（5，n+3），
n=10²•a=100a，n+3=5²a=25a，
即
n 100a n 3 25a
y 1 x2 25
n 4
解得

a

1 25
（2）∵ 货轮经过拱桥时的横坐标为x=3， ∴ 当x=3时，y 1 9 25 9 （ 4） 3.6 25

22.3.3实际问题与二次函数③

x(元) 15 20 30 …
y(件)
25
20
10
…
观察表格，
（1）根据学过的函数有关知识求日销售量 y 与销售价 x 的函数关系式。（6分）（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？（ 6分）
解:(1)根据表格可知，日销售量 y 与销售价 x 的一次函数，设这个一次函数解析式为 y kx 时每日获得最大销售利润为225元。 12分
3、有一经销商，按市场价收购了一种活蟹1000千克，放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升1元，但是，放养一天需各种费用支出400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克20元（放养期间蟹的重量不变）. ⑴设x天后每千克活蟹市场价为P元，写出P关于x的函数关系式.
B
C
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点C的坐标为(4,0)，∠AOC=60°，垂直于x轴的直线l从y轴出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线l与菱形OABC的两边分别交于点M、N(点M在点N的上方). (1)求A、B两点的坐标； (2)设△OMN的面积为S，直线l运动时间为t秒 (0<t<6)，试求S 与t的函数表达式； (3)在题(2)的条件下，t为何值时，S的面积最大？最大面积是多少？
即：Q= -10x2+900x+30000
③设总利润为W=Q-30000-400x=-10x2+500x 即：W= -10(x-25)2+6250 ∴当x=25时，总利润最大，最大利润为6250元。
4.用一块宽为1.2m的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角120º 的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面AB 应该是多长？ D A

九年级数学上册第22章二次函数22.3实际问题与二次函数第三课时建系

九年级上册
22.3 实际问题与二次函数（第3课时）
第1页
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题数学模型，如生活中包括求最大利润，最大面积等．这表达了数学实用性，是理论与实践结合集中表达．本节课主要研究建立坐标系处理实际问题．
第2页
课件说明
• 学习目标：能够分析和表示实际问题中变量之间二次函数关系，正确建立坐标系，并利用二次函数图象、性质处理实际问题．
0
0
X
(3)
(4)
第7页
三、巩固训练--应用新知，巩固提升
温馨提醒：（1）写出图中点AB坐标 (2)18M是图中那条线段长度。
C A
y O
h 20 m
DB x
第8页
三、巩固训练—大展身手
第9页
三、巩固训练—大展身手
第10页
三、巩固训练—大展身手
第11页
3．应用新知，巩固提升
问题5
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为
20 m，拱顶距离水面 4 m．
（1）如图所表示直角坐标系中，求出这条抛物线表
示函数解析式；
（2）设正常水位时桥下水深为 2 m，为确保过往
船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于 18 m．求水深超
出多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
y O
C A
h
DB x
20 m 第12页
4．小结
（1）这节课学习了用什么知识处理哪类问题？（2）处理问题普通步骤是什么？应注意哪些问题？（3）你学到了哪些思索问题方法？用函数思想方法处理抛物线形拱桥问题应注意什么？
第13页
为原点，
以
为y轴
建立平面直角坐标系，

实际问题与二次函数第三课时教案

26.3实际问题与二次函数教案教学设计思路本节安排了一个探究性问题，以和拱桥桥洞的有关问题为背景，运用二次函数分析和解决实际问题。

教科书从实际问题出发，引导学生分析问题中的数量关系，建立相应的数学模型即列出函数关系式，进而利用二次函数的性质和图象研究问题的解法。

通过这一节的学习可以使学生对解决实际问题的数学模型的认识再提高一步，从而提高运用数学分析问题和解决问题的能力。

一、教学目标：1．知识与技能能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能利用二次函数的知识解决实际问题。

2．过程与方法经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验。

3．情感态度与价值观体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。

二、教学重点难点：1．重点通过对实际问题的分析，使学生理解二次函数是在实际生活中解决问题的一种重要模型。

2．难点利用二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便。

三、教学过程：(一)创设情境导入新课小明家门前有一座抛物线形拱桥（如图所示）．当水面在L时，拱顶离水面2 m，水面宽4m。

水面下降1 m时，水面宽度增加多少?(二)探究：①想一想：二次函数的图象是抛物线，建立适当的坐标系，就可以求出这条抛物线表示的二次函数．从而求出水面下降1 m时，水面宽度增加多少。

怎么建立坐标系呢？②建立模型：建立坐标系后需要求出抛物线解析式，可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2(a≠0)由题意知抛物线经过点A(2，-2)，可得-2=a·2,a=-1/2。

即抛物线的表达式.③解决问题：当水面下降1 m时，水面的纵坐标为y=-3，代人y=-x2，计算可得此时水面宽度，两者相减既得问题答案。

教师关注：（１）学生能否用函数的观点来认识问题；（2）学生能否建立函数模型；（3）学生能否找到两个变量之间的关系；（4）学生能否从拱桥问题中体会到函数模型对解决实际问题的价值．解法探讨：以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以抛物线的对称轴为y轴，建立平面直角坐标系.以抛物线和水面的两个交点的连线为x轴，以其中的一个交点(如左边的点)为原点，建立平面直角坐标系.归纳总结：(1)用二次函数知识解决拱桥类的实际问题一定要建立适当的直角坐标系。

景县十中九年级数学上册第二十二章二次函数22.3实际问题与二次函数第3课时拱桥问题和运动中的抛物线教

第3课时拱桥问题和运动中的抛物线1．掌握二次函数模型的建立，会把实际问题转化为二次函数问题． 2．利用二次函数解决拱桥及运动中的有关问题． 3．能运用二次函数的图象与性质进行决策．一、情境导入某大学的校门是一抛物线形的水泥建筑物(如图所示)，大门的宽度为8米，两侧距地面4米高处各挂有一个挂校名横匾用的铁环，两铁环的水平距离为6米，请你确定校门的高度是多少？二、合作探究探究点一：建立二次函数模型【类型一】运动轨迹问题某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高209米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．(1)建立如图所示的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？(2)此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？解析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点(顶点)和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x ＝1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：(1)由条件可得到球出手点、最高点和篮圈的坐标分别为A (0，209)，B (4，4)，C (7，3)，其中B 是抛物线的顶点．设二次函数关系式为y ＝a (x －h )2＋k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y ＝－19(x －4)2＋4.将点C 的坐标代入解析式，得左边＝右边，即点C 在抛物线上，所以此球一定能投中．(2)将x ＝1代入解析式，得y ，所以盖帽能获得成功．【类型二】拱桥、涵洞问题如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米．水面下降1米时，水面的宽度为________米．解析：如图，建立直角坐标系，设这条抛物线为y ＝ax 2，把点(2，－2)代入，得－2＝a ×22，a ＝－12，∴y ＝－12x 2，当y ＝－3时，－12x 2＝－3，x ＝± 6.故答案为2 6.方法总结：在解决呈抛物线形状的实际问题时，通常的步骤是：(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)将实际问题中的数量转化为点的坐标；(3)设出抛物线的解析式，并将点的坐标代入函数解析式，求出函数解析式；(4)利用函数关系式解决实际问题．如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD －DC －CB ，使C 、D 点在抛物线上，A 、B 点在地面OM 上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？解析：解决问题的思路是首先建立适当的坐标系，挖掘条件确定图象上点的坐标M (12，0)和抛物线顶点P (6，6)；已知顶点坐标，可设二次函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6，可利用待定系数法求出二次函数关系式；再利用二次函数上某些点的坐标特征，求出有关“支撑架”总长AD ＋DC ＋CB 二次函数的关系式，根据二次函数的性质，求出最值，从而解决问题．解：(1)根据题意，分别求出M (12，0)，最大高度为6米，点P 的纵坐标为6，底部宽度为12米，所以点P 的横坐标为6，即P (6，6)．(2)设此函数关系式为y ＝a (x －6)2＋6.因为函数y ＝a (x －6)2＋6经过点(0，3)，所以3＝a (0－6)2＋6，即a ＝－112.所以此函数关系式为y ＝－112(x －6)2＋6＝－112x 2＋x ＋3.(3)设A(m，0)，则B(12－m，0)，C(12－m，－112m2＋m＋3)，D(m，－112m2＋m＋3)．即“支撑架”总长AD＋DC＋CB＝(－112m2＋m＋3)＋(12－2m)＋(－112m2＋m＋3)＝－16m2＋18.因为此二次函数的图象开口向下．所以当m＝0时，AD＋DC＋CB有最大值为18.三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决生活中的实际问题.[圆]说课稿一、教材分析1．教材的地位和作用圆是在学习了直线图形的有关性质的根底上来研究的一种特殊的曲线图形.它是常见的几何图形之一，在初中数学中占有重要地位,中考中分值占有一定比例，与其它知识的综合性较强.本节课的内容是对已学过的旋转及轴对称等知识的稳固,也为本章即将要探究的圆的性质、圆与其它图形的位置关系、数量关系等知识打下坚实的根底。

2实际问题与二次函数第3课时PPT课件(人教版)

(2)5小时。
(3)能。
-5-
D B
-6-
四：变练演编，深化提高
小组合作，设计一个实际问题，建立适当的平面直角坐标系，并求出相应的函数解析式。
-7-
五：反思小结，观点提炼
用抛物线的知识解决一些实际问题的一般步骤： 1.建立直角坐标系； 2.求二次函数解析式； 3. 得出实际问题的答案。
-8-
-3-
二、信息交流，揭示规律
一座抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2m，水面宽4m. 水面降落1m，水面宽度增加多少?
以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系，
设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2（a不为0）
由抛物线经过点(2,-2)，可得：
-2=a×22 ，
解得：a=-
作业：
根据条件，分别确定二次函数的解析式：
（1）抛物线y=ax2+bx+c过点(-3,2)，(-1,-1)，(1,3)；
（2）抛物线y=ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标
分别是-
1 2
，3 2
，与y轴交点的纵坐标是-5；
答案：（1）y=
7 8
x2+2x+
1 8
(2)y=
20 x2- 20 x-5
1 2
这条抛物线表示的二次函数为y=-
1 2
x2
当水面降落1m时，水面的纵坐标为-3，此时的x=± 6 ,水面的宽度为2 6m
水面的宽度增加（2 6-4）m；
Hale Waihona Puke -4-二、信息交流，揭示规律
一座抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2m，水面宽4m. 水面降落1m，水面宽度增加多少?

人教版初中数学22.3 实际问题与二次函数(第3课时) 课件

① 能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法
课后作业
作业内容
22.3 实际问题与二次函数/
教材作业从课后习题中选取自主安排配套练习册练习
2. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面
的高度y(米）关于水平距离x(米）的函数解析式
为y
1 8
x2
1 2
x
32，那么铅球运动过程中y
最高点离地面的距离为 2 米.
O
x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
3. 某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成
的，为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢
的支柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护
栏需要不锈钢00m
C.160m
D.200m
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
能力提升题
某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房．如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m．（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式．
81.5=a•4502+0.5.
y
解得
a
81 4502
1. 2500
故所求表达式为 y
1
x2 0.5(450 x 450).
2500
-450
O
450 x
课堂检测
22.3 实际问题与二次函数/
(2)计算距离桥两端主塔分别为100m,50m处垂直钢索的长.
y 1 3502 0.5 49.5(m).
2500
y
当x=450﹣50=400（m）时，得

第26章第12课时实际问题与二次函数(建立平面直角坐标系问题)

第12课时实际问题与二次函数（3）（建立平面直角坐标系问题）【目标导航】1．会建立直角坐标系解决实际问题；2．会解决桥洞水面宽度问题；3．经历探索“抛物线形拱桥水面宽度问题”的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，体会二次函数解决实际问题时应如何建立适当的坐标系从而使解题简便．【要点梳理】1．用函数的思想方法解决抛物线型拱桥问题应注意：(1)建立恰当的平面直角坐标系；(2)善于根据已知条件看抛物线上某些特殊点的坐标，求出解析式．2．同一问题，所建立的直角坐标系不同，所得抛物线的解析式也（相同或不同）．【问题探究】例1．（拱桥与抛物线）如图1是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如图2）．（1）求抛物线的解析式．（2）求两盏景观灯之间的水平距离．变式：如图3，宜昌西陵长江大桥属于抛物线形悬索桥，桥面（视为水平的）与主悬钢索之间用垂直钢拉索连接．桥两端主塔塔顶的海拔高度均是187.5米，桥的单孔跨度（即两主塔之间的距离）是900米，这里水面的海拔高度是74米．若过主塔塔顶的主悬钢索（视为抛物线）最低点离桥面（视为直线）的高度为0.5米，桥面离水面的高度为19米．请你计算距离桥两端主塔100米处垂直钢拉索的长（结果精确到0.1米）．例2．（体育运动与抛物线）一男生在校运会的比赛中推铅球，铅球的行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系用如图4所示的二次函数图象表示．（铅球从A 点被推出，实线部分表示铅球所经过的路线）⑴由已知图象上的三点，求y 与x 之间的函数关系式． ⑵求出铅球被推出的距离．⑶若铅球到达的最大高度的位置为点B ，落地点为C ，求四边形OABC 的面积．变式：某学校初三年级的一场篮球比赛中，如图5，队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高920米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行轨迹为抛物线，篮圈距地面3米．⑴建立如图5的平面直角坐标系，问此球能否准确投中？⑵此时，若对方队员乙在甲面前1米处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为3.1米，那么他能否获得成功？【课堂操练】 1．拱桥呈抛物线形，其函数关系式为y ＝－14 x 2，当拱桥下水位线在AB 位置时，水面宽为12m ，这时水面离桥拱顶端的高度h 是（） A ．3m B ．2 6 m C ．4 3 m D ．9m2．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图6所示，则厂门的高为（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）（）A ．6.9米B ．7.0米C ．7.1米D ．6.8米3．以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y 轴建立直角坐标系时，可设这条抛物线的关系式为___________________．4．有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面4米．(1)如图7所示的直角坐标系中，求出该抛物线的解析式：(2)在正常水位的基础上，当水位上升h （米)时，桥下水面的宽度为d (米)，求出将d 表示为h 的函数解析式；(3)设正常水位时桥下的水深为2米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18米．求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下顺利航行．【每课一测】图6 图7一、选择题（每题15分，共30分）1．你知道吗?平时我们在跳大绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看为抛物线．如图8所示，正在甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手间距离为4米，距地面均为1米，学生丙、丁分别站在距拿绳的手水平距离1米、2.5米处，绳子甩到最处时刚好通过他们的头顶，已知学生丙的身高是1.5米则学生丁的身高为(建立的平面坐标系如图所示) ( ) A ．1.5m B ．1.625m C ．1.66m D ．1.67m2．在南非世界杯中，巴西队在某次训练中，一队员距离门12米处挑射，正好射中了2.4米高的球门横梁，若足球运动的路线是抛物线y =ax 2+bx +c ，如图9所示，则下列结论⑴a ＜-160；⑵-160＜a ＜0；⑶a -b +c ＞0；⑷0＜b ＜-12a ，其中正确的是( )A ．⑴⑶B ．⑴⑷C ．⑵⑶D ．⑵⑷ 二、填空题（每题15分，共30分）3．(2010甘肃兰州中考)如图10，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为米.4．如图11所示，一座抛物线型拱桥，桥上水面宽度是4m 时，拱高为2m.一艘木船宽2m ，要能顺利从桥下通过，船顶与桥拱之间的间隔不应少于0.3m.那么木船的高不得超过________ m ．三、解答题（每题40分，共40分） 5．（2010山东日照中考）如图12，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距83米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A点．图9 x y O 2.4 12 甲丙丁乙1m 1m 1m2.5m4m x y o 图8 图10 图11 图12【参考答案】【要点梳理】 2．不同【问题探究】例1．分析：本题已经建立了平面直角坐标系，于是：（1）依题意可以求得抛物线的顶点坐标，这样可以用顶点式设出抛物线的解析式；（2）由于桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m 的景观灯，也就是说两景观灯的纵坐标都是4，这样利用（1）求得的抛物线的解析式得到一个一元二次方程，即可求解．解：（1）由题意可知抛物线的顶点坐标为（5，5），与y 轴交点坐标是（0，1）．于是可设抛物线的解析式是y ＝a （x －5）2＋5，把（0，1）代入y ＝a （x －5）2＋5，得425a =-a ．所以所求抛物线的解析式为24(5)5(010)25y x x =--+≤≤．（2）由已知条件得两景观灯的纵坐标都是4，所以244(5)525x =--+，即225(5)4x -=，于是1152x =，252x =．所以两景观灯间的距离为5米．变式：分析：本题看似复杂，但只要仔细理解题意，正确地建立坐标系，再运用二次函数的知识，即可求解．解：如图1，以桥面上位于主悬钢索最低点的正下方一点为坐标原点，以桥面所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A （0，0.5），B （－450， 94.5），C （450，94.5）．由题意，设抛物线为y ＝ax 2＋0.5．将C （450，94.5）代入求得47101250a = ．所以2470.5101250y x =+ ．当x ＝350时，y ≈57.4．所以，离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长都约为57.4米．说明：本题也可以这样来建立平面直角坐标系：如图5，以抛物线形主悬钢索最低点为原点，以平行于桥面的直线为x 轴建立平面直角坐标系．则B （－450，94），C （450，94）．设抛物线为：y ＝ax 2，将C （450，94）代入求得：47101250a =．所以247101250y x =．当x ＝350时，y ≈56.9，所以56.9+0.5＝57.4．所以离桥两端主塔100米处竖直钢拉索的长约为57.4米．例2．分析：本题考查从图象中获取信息能力．观察图象可得到抛物线上的三个点的坐标，从而求出函数表达式；在此基础上，利用二次函数与一元二次方程的关系可求出抛物线与x 轴的交点坐标，得铅球被推出的距离；最后通过配方法将函数式化成顶点式，得到顶点坐标，用分割法求得四边形的面积．解：⑴设y =Ax 2+Bx +C ，已知图象经过（—2，0），（0，35），（2，38）三点，由此可求得A = —121，B =32，C =35，所以y = —121x 2+32x +35． ⑵令y =0，即—121x 2+32x +35=0，解得x 1=10，x 2= —2（不合题意，舍去）．所以铅球被推出的距离是10图1 图2米．⑶作BD ⊥OC ，D 为垂足．因为y = —121（x 2—8x —20）= —121（x —4）2+3，所以B （4，3）；由⑵得C （10，0）．所以S 四边形OABC = S 梯形OABD +S △BDC =21×（35+3）×4+21×6×3=1831．变式：分析：这是一个有趣的、贴近学生日常生活的应用题，由条件可得到出手点、最高点（顶点）、和篮圈的坐标，再由出手点、顶点的坐标可求出函数表达式；判断此球能否准确投中的问题就是判断代表篮圈的点是否在抛物线上；判断盖帽拦截能否获得成功，就是比较当x =1时函数y 的值与最大摸高3.1米的大小．解：⑴由条件可得到球出手点、最高点、和篮圈的坐标分别为A （0，920），B （4，4），C （7，3），其中B 是抛物线的顶点．设二次函数解析式为y =A （x —h ）2+k ，将点A 、B 的坐标代入，可得y = —91（x —4）2+4．将点C 的坐标代入上式，得左边=右边，即点C 在抛物线上．所以此球一定能投中． ⑵将x =1代入函数式，得y =3．因为3.1＞3，所以盖帽能获得成功．【课堂操练】 1．D2．A 提示：建立如图所示的平面坐标系，根据题意知A （-4，0）、B （4，0）、C （3，3）、D （-3，3），设抛物线的解析式为：y =a (x -4)(x +4)，则有3= a (3-4)(3+4)，解答a =-73，所以y =-73(x -4)(x +4)=-73x 2+748，又因为748≈6.9米，所以厂门的高约6.9米，选A ．3．y =ax 24．解：(1)由所建坐标系所示，设抛物线的解析式为y =ax 2 ∵在正常水位时，B 点坐标为(10，-4) ．∴-4=102a ．∴a =-251，∴该抛物线的解析式为y =-251x 2(2)当水住上升h 米时，D 点的纵坐标为 -(4-h )．设D 点的横坐标为x ，则有-(4-h )= -251x 2，∴x =h -45，∴d =2x =10h -4(3)当桥下水面宽为18米时，得18=10h -4．∴h =4-2581=0.76．又2+0.76=2.76(米)，即桥下水深超过2.76米时，就会影响过往船只在桥下顺利航行．【每课一测】1．B 提示：设所求函数的解析式为y =ax 2+bx +c ．由已知，函数的图象过(-1，1)、(0，1.5)、(3，1)三点，易求得其解析式为y =-16x 2+13x +32．因为丁头顶的横坐标为1.5，代入其解析式可求得其纵坐标为1.625．因此，丁得身高为1.625米．故选B ．2．B 提示：把点(0，2.4)、(12，0)代入解析式得c =2.4，b =-12a -0.2．故b ＜-12a ．又抛物线开口向下，故a ＜0．且对称轴x =-2ba＞0，故b ＞0．即0＜b ＜-12a ，因此⑷正确．又因144a +12b =-2.4且b ＞0，故144a ＜-2.4．因此a ＜-160，因此⑴正确．因此，应选B ． 3．0.5 提示：建立如图所示的坐标系,设抛物线的解析式为2y ax bx c =++，A (0.5，-1.5)，B (2，0)，O (0，0),所以a ＝2，b ＝-4，c ＝0，所以解析式为y ＝2x 2-4x ，所以顶点坐标为(1，-2)，即最低点距地面的距离为2.5-2＝0.5米.4．1.2 提示：设水面宽为AB ，以水平面所在的直线AB 为x 轴，AB 的中点O 为坐标原点建立如图所示的直角坐标系.则有顶点C 的坐标为C （0，2）、A （-2，0）、B （2，0），设抛物线的解式为y =ax 2+2.把B （2，0）代入式中，得0=4a +2 ∴a =-21， y =-21x 2+2. 设木船MNPH 正中央通过，ON =1m ，N 的坐标为（1，0）.当x=1时，y =-21×12+2=23，即Q 的坐标为（1，23）.就是QN =23m.PN =23-0.3=1.5-0.3=1.2，即该船要顺利通过拱桥，船的高度不得超过1.2m.5．解：（1）在Rt △AOC 中，∵∠AOC=30 ° ，OA =83，∴AC=12OA =21×83=34， 2222(83)(43)12OA AC -=-=．∴点A 的坐标为（12，34）．设OA 的解析式为y=kx ，把点A （12，34）的坐标代入得：34=12k ，∴k =33 ， ∴OA 的解析式为y =33x ； (2) ∵顶点B 的坐标是（9，12）, 点O 的坐标是（0，0）∴设抛物线的解析式为y=a (x-9)2+12，把点O 的坐标代入得：0=a （0-9）2+12，解得a =274- ，∴抛物线的解析式为y =274-(x -9)2+12，即y =274- x 2+ 38x ； (3) ∵当x =12时，y =332≠34，∴小明这一杆不能把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．。

人教版初三数学上册22.3实际问题与二次函数(3).3实际问题与二次函数(3)教学设计

课题：22.3实际问题与二次函数(3)设计：如皋市石庄镇初级中学张小军教学目标1．利用实际问题中变量关系建立二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题．2．体会二次函数解决实际问题时，如何建立适当的坐标系从而使解题简便．重点难点重点：利用实际问题中变量关系建立二次函数模型难点：如何建立适当的坐标系使解题简便教法学法教法：借助于现代教育技术，创设“生活数学”情境，利用电子交互白板形成“抽象数学”，在师生互动中，促进“四基”的生成。

学法：自主探究、动手实践、合作交流、全面展示。

教学流程设计意图一、创设情境、引入课题以标题拱桥图片引入课题二、探究新知、解决问题：活动一探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验下图是抛物线形拱桥，当拱高离水面2m时，水面宽4m．水面下降1m，水面宽度增加多少？归纳：遇到此类问题时，我们一般会怎么做？让学生经历从生活情境中抽象出数学模型的过程。

让学生经历探索抛物线形拱桥水面宽度问题，获得利用数学方法解决实际问题的经验．活动二进一步巩固解题方法，选择合适的坐标系，建立模型1．某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8米，两侧距地面3米高各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6米，如图所示，则厂门的高是多少？（水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1米）2．永和大桥(钢管混凝土拱桥)是南宁市的一标志性建筑，其拱桥图形为抛物线的一部分(如图)，在正常情况下，位于水面上的桥拱跨度为400 m，拱高为9m．（1）在所给的直角坐标系中假设抛物线的表达式为y=ax2+b，请你根据上述数据求出a，b的值，并写出抛物线的表达式；（2）七月份讯期将要来临，当江水位上涨后，位于水面上的桥拱跨度将会减小，当水位上涨3m时，位于水面上的桥拱跨度有多大?四、归纳小结通过本节课的学习你有什么收获？【检测反馈】1．如图，小红家门前有一座抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面1m，水面宽4 m，水面下降1 m时，水面宽度增加．2．如图所示，有一座抛物线形拱桥，桥下面在正常水位时，AB宽20m，水位上升到警戒线CD时，CD到拱桥顶E的距离仅为1m，这时水面宽度为10m ．（1）在如图所示的坐标系中求抛物线的解析式；（2）若洪水到来时，水位以每小时0.3m的速度上升，从正常水位开始，持续多少小时到达警戒线？适时的归纳有利于学生知识网络的建构.通过综合练习，巩固学生对抛物线形拱桥水面宽度问题认识，提高学生解决此类问题的能力。

人教版九年级数学上册22.3 实际问题与二次函数第三课时课件

6．(15 分)隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长为 8 m，宽为 2 m，隧道最高点 P 位于 AB 的中央且距地面 6 m，建立如图所示的坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)一辆货车高 4 m，宽为 2 m，能否从该隧道内通过，为什么？
(3)如果隧道内设双行道，那么这辆货车是否可以顺利通过，为什么？
解：设大孔对应的抛物线所对应的函数关系式为y＝ax2＋6. 依题意，得B(10，0)，∴a×102＋6＝0.解得a＝－0.06.即y＝－ 0.06x2＋6.当y＝4.5时，－0.06x2＋6＝4.5.解得x＝±5，∴DF＝ 5，EF＝10.即水面宽度为10米
10．(14 分)杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端 A 处弹跳到
看为抛物线．如图所示，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的
手间距为4 m，距地面均为1 m，学生丙、丁分别站在距甲拿
绳子的手的水平距离1 m，2.5 m处．绳子在甩到最高处时刚
好通过他们的头顶．已知学生丙的身高是1.5 m，则学生 m
C．1.66 m
D．1.67 m
由题意可知，抛物线经过点 A(0，2)，P(4，6)，B(8，2)．设抛物线的方程为 y＝ax2＋bx＋c，将 A，P，B 三点的坐标代入抛物线方程，解得抛物线解析式为 y＝－14x2＋2x＋2
(2)令 y＝4，则有－14x2＋2x＋2＝4.解得 x1＝4＋2 2，x2＝4－2 2，∵ |x2－x1|＝4 2＞2，∴货车可以通过
D．12.1 m
2．(5分)某幢建筑物，从10 m高的窗口A用水管向外喷水，
喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与地面垂直)．如果抛物
线的最高点M离墙1 m，离地面 m(如图所示)，则水流落地点

初中数学人教版九年级上册《2233实际问题与二次函数第三课时实物中的抛物线形问题问题》练习

22.3.3实际问题与二次函数第三课时一．选择题1．美丽的青岛市举行了苏迪曼杯羽毛球混合团体锦标赛．在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y=﹣x2+bx+c的一部分（如图），其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A．y=﹣x2+x+1 B．y=﹣x2+x﹣1C．y=﹣x2﹣x+1 D．y=﹣x2﹣x﹣12.如图，一场篮球赛中，篮球运动员跳起投篮，已知球出手时离地面高2.2m，与篮圈中心的水平距离为8m，当球出手后水平距离为4m时达到最大高度4m，篮圈运行的轨迹为抛物线的一部分，篮圈中心距离地面3m，运动员发现未投中，若假设出手的角度和力度都不变，要使此球恰好通过篮圈中心，运动员应该跳得（）A．比开始高0.8m B．比开始高0.4mC．比开始低0.8m D．比开始低0.4m3．图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣x2 D．y=x24．有一座抛物线形拱桥，正常水位桥下面宽度为20米，拱顶距离水平面4米，如图建立直角坐标系，若正常水位时，桥下水深6米，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18米，则当水深超过多少米时，就会影响过往船只的顺利航行（）A．2.76米 B．6.76米 C．6米 D．7米二．填空题5．如图为一座拱桥的示意图，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣（x+6）2+4，则选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是．6．如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，C 点在斜边上，设矩形的一边AB=xm，矩形的面积为ym2，则y的最大值为___________。

22.3.3实际问题与二次函数(3)(拱桥问题)

A
B
3、一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当水面宽AB＝1.6 m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m．这时，离开水面1.5 m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1 m？
4、如图的抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱桥顶离
水面 2 m,水面宽 4 m,水面下降 1 m, 此时水面宽度为多少？水面宽度增加多少 ?
zxxkw
解：如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点
O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系。
由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），
又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入
，
得 y ax2 (a 0)
所以 2.4 a 0.82
因此，函a数 1系45 式是
y 15 x2 4
22.3.3 二次函数与抛物线形问题
---------------拱桥问题
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1、如图，拱桥是抛物线形,其函数解析式为 y - 1 x2 ，当水位线在AB位置时，水面的宽度为302米5 ，这时水面离拱桥的高度是多少？
y
9米
x
A
B
2、某涵洞是抛物线形，它的截面如图所示，现测得水面宽 1 ． 6m ，涵洞顶点 O 到水面的距离为 2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？
水面宽 2 6 4.9m.
增加（2 6 4）米
y
y
0
X
(1)
y
0
X
0 y
x
(2)
0
X
(3)
(4)
5、某工厂大门是一抛物线型水泥建筑物，如图所示，大门地面宽AB=4m，顶部C离地面高度为4．4m．现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面 2 ． 8m ，装货宽度为 2．4m．请判断这辆汽车能否顺利通过大门．