山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数学试题

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山东省德州市夏津第一中学2021-2021高二数学上学期9月月考试题

山东省德州市夏津第一中学2021-2021高二数学上学期9月月考试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.）1.已知向量()1,2,1a =-，则下列向量中与a 同向的单位向量的坐标是（）A.121,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B.121,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C.121,,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D.121,,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭2.直线3350x y --=的倾斜角为（）A.6πB.3πC.23πD.56π 3.已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A.14-B.14C.15-D.15 4.已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，若12l l ∥，则实数a =（）A.1-或1B.0或1C.1D.1-5.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点C 到平面1BDC 的距离为（）A.22B.23C.7D.26.已知空间向量()3,0,1a =，()2,1,b n =-，()1,2,3c =且()2a c b -⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为（）A.210B.210-C.7D.7-7.无论a 取何实数，直线210ax y a --+=恒过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限8.已知直线:23120l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，直线m 过点AB 的中点，若直线l ，m 及x 轴围成的三角形面积为6，则直线m 的方程为（）A.230x y -=B.290x y +=C.290x y +=或29240x y +-=D.230x y -=或29240x y +-=二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得3分）9.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基组{},,OA OB OC 表示向量OG ，有OG xOA yOB zOC =++，则（）A.16x =B.13y =C.13z =D.1x y z ++=10.下列关于直线的方程，叙述不正确的是（）A.经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示B.经过任意两个不同点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C.不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D.经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示11.已知直线l 的一个方向向量为31,62u ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，且l 经过点()1,2-，则下列结论中正确的是（）A.l 的倾斜角等于150︒B.l 在x 轴上的截距等于23C.l 与直线3320x y -+=垂直D.l 上存在与原点距离等于1的点12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，15BB =，D 是11A C 的中点，点E 在棱1AA 上且靠近1A ，当1CE B E ⊥时，则（）A.22BE =B.6DE =C.35ACE S ∆=D.二面角11A B E D --的余弦值为2121三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13.已知直线0x my m +-=与210x my -+=垂直，则m =. 14.已知点()3,1P 到直线:30l x ay +-=的距离为12，则a =.15.已知点()2,3A ，()3,2B ，12,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是；若直线l 过点()1,1P 与线段BC 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是.16.设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，记11D PD Bλ=，当APC ∠为钝角时，λ的取值范围是 . 四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.（10分）已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-. （1）若()()2a kb a b ++∥，求实数k ；（2）若向量a kb +与2a b +所成角为锐角，求实数k 的范围.18.（12分）在平面直角坐标系中，ABC ∆的三个顶点坐标分别为()2,1A ，()2,3B -，()3,0C -，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程.19. （12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面PAB ，点O 为PB 的中点，22PA AD AB ===，5PB =.（1）求证：直线PA ⊥平面ABCD .（2）求直线PB 与平面OAC 夹角的正弦值.20.（12分）已知直线():10l x ay a a +--=∈R .（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若直线l 与y 轴所成的角为30︒，求a 的值.21.（12分）已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =，且113DAB BAADAA π∠=∠=∠=.（1）求1B D 的长；（2）求1CD 与1B D 夹角的余弦值.22.（12分）如图，在四面体A BCD -中，AB ⊥面BCD ，BC CD ⊥，2BC =，4CBD π∠=，E 、F 、Q 分别为BC 、BD 、AB 边的中点，P 为AD 边上任意一点.（1）证明：CP ∥面QEF .（2）当二面角B QF E --的平面角为3π时，求AB 的长度.参考答案一、选择题1.B2.A3.B4.D5.B6.B7.A8.D 二、多项选择题9.ABC 10.ACD 11.CD 12.BD 三、填空题D 1 C 1A 1B 1AB CD13. 14. 15.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11,,62⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭16.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭四、解答题17.解：（1）由题知，()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=，那么当()()2a kb a b ++∥时，112122k k -==，可得12k =. ····· 4分（2）由（1）知，()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=，那么当向量a kb +与2a b +所成角为锐角时，()()()()21,1,21,2,2a kb a b k k +⋅+=-⋅1240k k =-++>，即得1k >-， ························· 8分又当12k =时，()()2a kb a b ++∥，可得实数k 的范围为11,2k k k ⎧⎫>-≠⎨⎬⎩⎭且.10分18.解：（1）设BC 的直线方程为y kx b =+.将()2,3B -，()3,0C -坐标代入可得3203k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解方程组可得39k b =⎧⎨=⎩，则直线BC 方程为39y x =+，化为一般式为390x y -+=. ····· 6分（2）因为AD 为直线BC 的高，所以AD BC ⊥，故113AD BC k k =-=-， 8分设AD 的直线方程为13y x m =-+，将()2,1A 代入，解得53m =，得AD 的直线方程为1533y x =-+，代为一般式为350x y +-=. ·················· 12分19.解：（1）由题知，2PA =，1AB =，5PB =那么222PA AB PB +=，可得PA AB ⊥， ············· 2分由BC ⊥平面PAB ，可得PA BC ⊥，那么直线PA ⊥平面ABCD . ··· 4分（2）由（1）知，PA AD ⊥，PA AB ⊥，AD AB ⊥，那么分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， ··············· 6分如图，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，1,0,12O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,2P ，则1,0,12AO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,2,0AC =，()1,0,2PB =-.···················· 8分设平面AOC 的一个法向量为(),,m x y z =，那么00AO m AC m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即得0220x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，得22x y x z ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，令2x =，得()2,1,1m =--， ········ 10分那么230cos ,65m PB m PB m PB⋅===⨯， · 11分所以直线PB 与平面OAC 夹角的正弦值为230. ········· 12分 20.解：（1）由题意0a ≠令0x =，1a y a+= ······················ 2分令0y =，1x a =+ ······················ 4分由11a a a+=+，得1a =或1- 综上，a 的值为1-或1 ····················· 6分（2）∵直线l 与y 轴所成的角为30︒，∴直线l 与x 轴所成的角为60︒或120︒，即直线l 的倾斜角为60︒或120︒，∴直线l 的斜率存在，∴0a ≠，又∵直线l 的斜率为1a-，∴1tan603a -=︒=或1tan1203a -=︒=-，∴3a =-或3. ······················ 12分 21.解：（1）由题可知，111B D B B BA AD AD AB AA =++=--， ····· 2分那么()2211BD AD AB AA =--222111222AD AB AA AD AB AD AA AB AA =++-⋅-⋅+⋅()22211232121323152=++-⨯⨯+⨯-⨯⨯=，那么1B D 的长为15. ····················· 6分（2）由题知，111CD BA AA AB ==-， ·············· 7分可得()2221113232272CD AA AB=-=-⨯⨯⨯+=， ······ 8分()()111192CD B D AA AB AD AB AA ⋅=-⋅--=-， ·········· 10分111111931052cos ,715CD B D CD B D CD B D-⋅===-⨯. ········· 12分22.解：（1）证明：因为E 、F 、Q 分别为BC 、BD 、AB 的中点，所以QF AD ∥，EF CD ∥. ································ 2分又因为QFEF F =，AD CD D =，所以面QEF ∥面ACD .···· 3分又因为CP ⊂ACD ，所以CP ∥面QEF . ············· 4分（2）设AB a =，因为BC CD ⊥，2BC =，4CBD π∠=，所以2BC CD ==，22BD =.在底面作直线垂直于BD ，如图建立空间直角坐标系， ······· 6分则()0,0,A a ，)2,2,0C，()0,22,0D ，22E ⎫⎪⎪⎝⎭，()2,0F ，0,0,2a Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 22EF ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2,2a QF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.设面EQF 的法向量()1,,n x y z =，所以1120202n EF x y a n QF y z ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令1x =，所以 121,1,n ⎛= ⎝⎭.························ 10分又知面BQF 的法向量()21,0,0n =， ··············· 11分所以121cos ,2n n ==2，2a =.综上可知2AB =. ······················· 12分。

山东省德州市夏津县2021_2022学年高二数学上学期第一次月考试题pdf

由于 A 在 l1 上，B 在 l2 上，即
，所以
，
解得 x1＝，y1＝﹣ ，即 A 的坐标是（，），
又直线过点 P（﹣2，4），故直线 l 的方程是 4x+y+4＝0． 21. 解：（1）根据题意，圆 C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1，其圆心为（2，1），半径 r＝1，
若 P（﹣6，0），当切线的斜率不存在时，切线的方程为 x＝﹣6，不符合题意；当切线的斜率存在，设切线的斜率为 k，则切线的方程为 y＝k（x+6），即 kx﹣y+6k＝0，
21（12 分）. 已知 P 是直线 3x﹣4y+18＝0 上的动点，PA，PB 是圆 C：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1 的两条切线，A，B 为切点．（1）若 P（﹣6，0），求切线方程；（2）求四边形 PACB 面积的最小值．
22（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，PA⊥平面 ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝ 4，AB＝BC＝2，M 为 PC 的中点．（1）求异面直线 PD 与 BM 所成角的余弦值；（2）点 N 在线段 AD 上，当 AN 为何值时，直线 MN 与平面 PCD 所成角的正弦值为？
故 A（ ﹣3，0），B（ 0，3k﹣5），且
＝﹣3，且
求得 k＝＝﹣ ，故 A（﹣6，0）、B（0，﹣10）．
1/5
＝﹣5，
故△OAB 的面积为 •OA•OB＝ ×6×10＝30．
19.（1）解：（1）以 D1 为原点，D1A1，D1C1，D1D 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间坐标系，
1/4
A． 2
B．3
D． 2 1

山东省德州市夏津第一中学2020-2021高二物理上学期九月月考试题(含解析)

9。用多用电表测电阻时,若选择“×100”的欧姆档测量发现（）
A。指针指在电阻刻度较靠近0Ω的某刻度线上，则应换用“×1k”的欧姆档测量
B. 指针指在电阻刻度较靠近0Ω的某刻度线上，则应换“×10”或“×1”欧姆档测量
C。指针指在电阻刻度较靠近∝的某刻度线上，则应换用“×1k"的欧姆档测量
D。指针在电阻刻度较靠近∝的某刻度线上，则应换用“×10”或“×1”的欧姆档测量
A. 1:4B。 1：8C. 1:16D. 16：1
【答案】D
【解析】
【详解】设原来的电阻为R,根据得，把其中的一根均匀拉长到原来的2倍，根据体积不变知，横截面积变为原来的，电阻变为原来的4倍，即为4R；把另一根对折后绞合起来，则长度变为原来的一半，横截面积变为原来的2倍,则电阻变为原来的 ,即为，所以它们的电阻之比为16：1，串联在一起后,电流相等，根据可知，电压之比等于电阻之比，即为16：1。
10。如图,电流表A1(0 0。6A）和A2(0 3A)是由两个相同的电流计改装而成，现将这两个电流表并联后接人电路.闭合开关S，调节滑动变阻器，下列说法中正确的是( )
A。 A1、A2的读数之比为1：5
B。 Al、A2的读数之比为1：1
C。 A1、A2的指针偏转角度之比为1:1
D. Al、A2的指针偏转角度之比为1：5
P1＝U1I1＝175W
灯泡的电阻
R1＝＝ Ω＝ 0。7Ω
连接电源2时
U2＝5V，I2＝6A
故灯泡消耗的功率
P2＝U2I2＝30W
灯泡的电阻
R2＝＝ Ω
所以
R1：R2＝21:25
P1：P2＝7:12
故CD错误.
故选AB。

山东省德州市夏津第一中学2020_2021学年高二数学上学期入学收心考试试题PDF

21. 如图所示，四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，底面为平行四边形，以顶点 A 为端点的三条棱长都为 1，且两两夹角为 60°.(1)求 AC1 的长； (2)求证：AC1⊥BD； (3)求 BD1 与 AC 夹角的余弦值.
22.如图，正△ABC 的边长为 4，CD 为 AB 边上的高，E，F 分别是 AC 和 BC 边的中点，现将△ABC 沿 CD 翻折成直二面角 A－DC－B. (1)试判断直线 AB 与平面 DEF 的位置关系，并说明理由； (2)在线段 BC 上是否存在一点 P，使 AP⊥DE？如果存在，求出BP的值；如果不存在，请说明
数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知α是第二象限角，P（x，）为其终边上一点，且 cosα＝ x，则 x＝（）
A．
B．±
2．已知 sinα＝，则 sin（π﹣α）＝（
C．﹣ ）
D．﹣
A．
B．
C．
D．
3．若 cosα＝﹣ ，0＜α＜π，则 tanα＝（）
19．已知空间中三点 A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设 a＝A→B，b＝A→C. (1)若|c|＝3，且 c∥B→C，求向量 c. (2)求向量 a 与向量 b 的夹角的余弦值.
3
20．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC（acosB+bcosA）＝c．（1）求 C；（2）若 c＝，△ABC 的面积为，求△ABC 的周长．
A．若 m∥α，n∥α，则 m∥n
B．若 m∥α，n⊥α，则 n⊥m
C．若 m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β D．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β

山东省德州市德城区第一中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题

德州一中2020-2021学年第一学期高二年级期中考试数学试题一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 350y --=的倾斜角为（） A. 6π B.3π C.23π D.56π A根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.350y --=的斜率为3,故倾斜角θ的正切值tan 3θ=, 又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A抛物线的方程可变为x 2=12y 故p=14其准线方程为18y =-故答案为：B.3. 已知空间向量()3,0,1a =，()2,1,b n =-，()1,2,3c =且()2a c b -⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为（）B. D. B首先根据()2a c b -⋅=得到4n =-，从而得到()2,1,4b =--，再计算cos ,a b 即可.()()()3,0,11,2,32,2,2a c -=-=--，因为()4222a c b n -⋅=---=，解得4n =-，即()2,1,4b =--.所以cos ,9a b a b a b⋅===+.故选：B以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y 轴建立直角坐标系xOy ，结合题意可知，该抛物线()220x py p =->经过点,2a h ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则224a hp =，解得28a p h=，故桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为28a p h=.故选A ． 6. 等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线的准线交于,A B 两点，43AB =C 的实轴长为（） A .2 B. 22 C. 4D. 8C设C ：22x a－22y a ＝1．∵抛物线y 2＝16x 的准线为x ＝－4，联立22x a－22y a ＝1和x ＝－4得A(－4，216a -，B(－4，216a -)，∴|AB|＝216a -3 ∴a ＝2，∴2a ＝4． ∴C 的实轴长为4．7. 如图所示，三棱柱111ABC A B C -所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D ，E 分别为棱11A B ，11B C 的中点，则异面直线AD 与BE 所成角的余弦值为（）A. 710B.3510C.155D.35A取AC 的中点F ，构造中位线，得到四边形ADEF 是平行四边形，所以//AD EF ，找出角，再利用余弦定理得到答案.如图，取AC 的中点F ，连接DE ，EF ，所以//DE 11A C ，1=2DE 11A C ，又12AF AC =，所以//AF DE ，AF DE =,则四边形ADEF 是平行四边形，所以//AD EF ，则异面直线AD 与BE 所成角为FEB ∠，令三棱柱各棱长为2， 5EF BE ==，3BF =，由余弦定理得7cos 10FEB ∠=，故选：A.详解：∵圆22:4O x y +=，∴圆心00O （，），半径1r =．由题意可知，点P 到圆22:4O x y +=的切线长最小时，OP ⊥直线30x y +-=． ∵圆心到直线的距离322d =，∴切线长的最小值为2=．故选C．点睛：本题考查直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9. 已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（）A. y=x+1B. y=2C.43y x= D. y=2x+1BC根据切割型直线的定义，由点M(5，0)到直线距离不大于4求解.A. 点M(5，0)到直线y=x+1的距离为：64d==>，故错误；B. 点M(5，0)到直线y=2的距离为：34d=<，故正确；C. 点M(5，0)到直线43y x=的距离为：454d⨯==，故正确；D. 点M(5，0)到直线y=2x+1的距离为：4d==>，故错误；故选：BC对于A：由双曲线的渐近线方程为y x=，可设双曲线方程为223xyλ-=，把点代入，得923λ-=，即1λ=．∴双曲线C的方程为2213xy-=，故A正确；对于B：由23a=，21b=，得2c==，∴双曲线C3=，故B错误；对于C ：取20x +=，得2x =-，0y =，曲线21x y e +=-过定点(2,0)-，故C 正确；对于D ：双曲线的渐近线30xy ±=，直线310x y --=与双曲线的渐近线平行，直线310x y --=与C 有1个公共点，故D 不正确．故选：AC ．12. 如图，在菱形中ABCD ，2AB =，60BAD ∠=︒，将ABD ∆沿对角线BD 翻折到PBD ∆位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A. PC 与平面BCD 所成的最大角为45︒B. 存在某个位置，使得PB BD ⊥C. 当二面角P BD C --的大小为90︒时，6PC =D. 存在某个位置，使得B 到平面PDC 3BC 【分析】取BD 的中点O ，得到3OP OC ==PC 与平面BCD 所成的角为PCO ∠，可判定A 错误；当点P 在平面BCD 内的投影为BCD △的重心点Q 时，由PB ⊂平面PBQ ，所以PB CD ⊥，可判定B 正确；当二面角P BD C --的大小为90时，平面PBD ⊥平面BCD ，得到POC △为直角三角形，可判定C 正确；由点B 到PD 3得到DB ⊥平面PCD ，可得DB CD ⊥，可判定D 不正确.对于A 中，取BD 的中点O ，连接,OP OC ，则3OP OC == 由题意可知ABD △和BCD △均为正三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC 与平面BCD 所成的角为PCO ∠，当3PC =OPC 为等边三角形，此时6045POC ∠=>，所以A 错误；对于B 中，当点P 在平面BCD 内的投影为BCD △的重心点Q 时，有PQ ⊥平面BCD ，BQ CD ⊥，所以PQ CD ⊥，又,,BQ PQ Q BQ PQ =⊂平面PBQ ，所以CD ⊥平面PBQ ，因为PB ⊂平面PBQ ，所以PB CD ⊥，所以B 正确；对于C 中，当二面角P BD C --的大小为90时，平面PBD ⊥平面BCD ，因为PB PD =，所以OP BD ⊥，因为平面PBD 平面BCD BD =，所以OP ⊥平面BCD ，所以OP OC ⊥, 又3OP OC ==，所以POC △为直角三角形，所以26PC OP ==，所以C 正确；对于D 中，因为点B 到PD 的距离为3，点B 到CD 的距离为3，所以若点B 到平面PDC 的距离为3，则平面PBD ⊥平面PCD ，平面CBD ⊥平面PCD ，则有DB ⊥平面PCD ，可得DB CD ⊥，所以BCD △是等边三角形，所以D 不正确. 故选：BC.(1).2π (2). 12如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，计算()0,1,1EF =-，()12,2,2AC =-，对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-，计算得到答案. 如图所示建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()2,0,1E ，()2,1,0F ，()2,0,0A ，()10,2,2C ，故()0,1,1EF =-，()12,2,2AC =-. 故10EF AC ⋅=，故EF 与直线1AC 所成角的大小为2π. 易知对角面11BDD B 的一个法向量为()1,1,0n =-，设EF 与对角面11BDD B 所成角为θ，故1sin cos ,2EF n EF n EF nθ⋅===⋅. 故答案为：2π；12.[2，＋∞)根据直线与渐进线的关系得到3ba≥，再计算离心率范围得到答案.过F 的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点,则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l 的倾斜角已知l 的倾斜角是60°，从而3b a ≥，故2ce a=≥. 故答案为：[2，＋∞)试题解析：（1）因为a ∥b ，所以＝＝，解得x ＝2,y ＝－4，这时a ＝(2,4,1)，b ＝(－2,－4,－1)．又因为b ⊥c ，所以b·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2,2)．（2）由（1）得a ＋c ＝(5,2,3)，b ＋c ＝(1，－6,1)，设(a ＋c )与(b ＋c )所成角θ，因此cos θ＝＝－.19. 已知直线l 经过两条直线230x y --=和4350x y --=的交点，且与直线20x y +-=垂直. （1）求直线l 的方程；（2）若圆C 的圆心为点(3,0)，直线l 被该圆所截得的弦长为2，求圆C 的标准方程. （1）10x y --=；（2）()223 4.x y -+= .试题分析：（1）求出两直线交点，直线l 的斜率，即可求直线l 的方程；（2）利用待定系数法求圆C 的标准方程.试题解析：（1）由已知得:230{4350x y x y --=--=, 解得两直线交点为(2,1)，设直线l 的斜率为1k ∵l 与20x y +-=垂直 ∴11k = ∵l 过点(2,1)∴l 的方程为12y x -=-，即10x y --=（2）设圆的半径为r =则由垂径定理得2224r =+=∴2r∴圆的标准方程为22(3)4x y -+=.20. 已知抛物线C ：22y px =()0p >上的点M ()1,m 到其焦点F 的距离为2. （1）求C 的方程；并求其焦点坐标；（2）过点()2,0且斜率为1的直线l 交抛物线于A ，B 两点，求弦AB 的长.（1）抛物线C 的方程为24y x =；焦点坐标为()1,0；（2）. （1）根据已知求出p 的值即得解；（2）由题得直线l 方程为2y x =-，再联立直线和抛物线的方程，利用弦长公式求解. （1）抛物线22y px =()0p >的标准方程为2px =-，由抛物线的定义可知：122p MF ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，解得2p =，因此，抛物线C 的方程为24y x =，焦点坐标为()1,0；（2）直线l 方程为2y x =-，由242y x y x ⎧=⎨=-⎩得2840x x -+=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则128x x +=，124x x =，∴22121281646AB k x x =+-=⋅-=.（1）求证：M 为PB 的中点；（2）求二面角B PD A --的大小；（3）求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．（1）证明见解析；（2）3π；（3）26．（1）设AC ，BD 的交点为E ，由线面平行性质定理得PDME ，再根据三角形中位线性质得M 为PB 的中点．（2）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角大小（3）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解各面法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求线面角大小（1）设AC ，BD 的交点为E ，连接ME ．因为PD平面MAC ，平面MAC ⋂平面PDB ME =，所以PDME ．因为ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点，所以M 为PB 的中点．（2）取AD 的中点O ，连接OP ，OE ．因为PA PD =，所以OP AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，且OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD ．因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP OE ⊥．因为ABCD 是正方形，所以OE AD ⊥．如图，建立空间直角坐标系O xyz -，则(2P ，()2,0,0D ，()2,4,0B -，所以()4,4,0BD =-，()2,0,2PD =-．设平面BDP 的法向量为(),,n x y z =，则00n BD n PD ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即440220x y x z -=⎧⎪⎨-=⎪⎩．令1x =，则1y =，2z =，于是()1,1,2n =．平面PAD 的法向量为()0,1,0p =，所以1cos ,2n p n p n p⋅==．由题知二面角B PD A --为锐角，所以它的大小为3π．（3）由题意知21,M ⎛- ⎝⎭，()2,4,0C ，23,2,MC ⎛=⎝⎭．设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则26sin cos ,9n MC n MC n MCα⋅===．所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269． 22. 已知1F ，2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，且2PF x ⊥轴，212116PF PF a ⋅=．直线l 经过1F ，与椭圆E 交于A ，B 两点，2F 与A ，B 两点构成△2ABF ．（1）求椭圆E 的离心率；（2）设△12F PF 的周长为23+，求△2ABF 的面积的最大值．（1）3e =（2）12．（1）设点P第一象限，则2(,)b P c a112212(2,),(0,)b b PF c PF a a=--=- ∴42122116b PF PF a a ⋅==，∴222244()a b ac ==-，∴2234a c =∴2e =. （2）∵2{222c a c =+=+∴1{2a c ==，∴214b = ∴椭圆方程为：2241x y +=由题知直线斜率不为0，设直线方程为2x ty =-22{41x ty x y =+=，得∴224(4)10t y +--=12y y +=12214(4)y y t =-+21212ABF S c y y =-==≤= “=”成立时22t =，所以面积的最大值为12. 考点：椭圆的几何性质，直线与椭圆的综合应用．。

山东省德州市夏津第一中学2020年学年高中高二数学上学期第一次月考试卷试题

山东省德州市夏津第一中学2020学年高二数学上学期第一次月考试题一、选择题（本大题共13小题，共分）1.直线的倾斜角的大小为()A. B. C. D.2.以下图,在中,,,若将绕BC所在的直线旋转一周,则所形成的旋转体的表面积是A.B.C.D.3.假如点是两条异面直线外的一点,则过点且与,b都平行的平面() M M aA.只有一个B.恰有两个C.没有或只有一个D.有无数个4.已知m,n是两条不一样的直线,,是两个不一样的平面,则以下命题中正确的选项是()A.若,,则B.若,,且,则C.若,,且,则D.若,,且,则5.在直三棱柱中,,,则点A到平面的距离为()A. B. C. D.6.过点作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有A.3条条条条7. 正四棱锥,为PB的中点,为PD的中点,则两个棱锥和的体积之比是A. B. C. D.8.函数的值域是A. B. C. D.9.如图,动点P在正方体的对角线上过点P作垂直于平面的直线,与正方体表面订交于M,设,,则函数的图象大概是()A. B.C. D.10.在三棱锥中,,,则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.多项选择题11.下边对于四棱柱的命题中,真命题的是()A.如有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C.若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱D.若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱12.在以下四个命题中,错误的有()坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率直线的倾斜角的取值范围是C.若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为13.如图,矩形中,,E 边AB的中点,将沿直线翻折成平面ABCD DE,若为线段的中点,则在翻折过程中,以下结论正确的选项是() MA.恒有平面B.B与M两点间距离恒为定值C.三棱锥的体积的最大值为D.存在某个地点,使得平面平面二、填空题（本大题共4小题，共分）14.九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑,平面ABC,,,三棱锥的四个极点都在球O的球面上,则球O的表面积为.15.过点且在座标轴上的截距相等的直线方程是______．16.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______．17.如图,所在的平面,是的直径,C 是上的一点,于,于,AB E F 以下四个命题中：面PAC；面PBC；；面PBC．此中正确命题的是______请写出全部正确命题的序号三、解答题（本大题共6小题，共82分）18. (12分）以下图,在边长为4的正三角形ABC中,挨次是的中点,,为垂足,若将绕AD旋转,求暗影部分形成的几何体的表面积与体积．19.（14分）在平面直角坐标系xOy中,直线：求直线经过定点的坐标；,：．当且时,务实数a的值．20.（14分）以下图,在三棱柱中,E,F,G,H分别是AB,AC,,的中点．求证：平面ABC；求证：平面平面BCHG．21.（14分）在三棱柱中,侧面底面ABC,,,,E为AB的中点．求证：平面；求证：平面；求三棱锥的体积．22.（14分）过点作直线l ,与x轴和y轴的正半轴分别交于,两点,求：AB面积的最小值及此时直线l的方程；求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程.23.（14分）正三棱锥有一个半径为的内切球.（1）当正三棱锥为正四周体时，求此正四周体的体积；（2）求全部这样的正三棱锥中的体积最小的正三棱锥的体积.24.直线第一次月考参照答案的倾斜角的大小为()A. B. C. D.【答案】B【分析】解：设直线则,．的倾斜角为,,应选：B．设直线的倾斜角为,则此题考察了直线的倾斜角与斜率的关系,即可得出．,考察了推理能力与计算能力,属于基础题．25.以下图,在中,,,若将绕BC所在的直线旋转一周,则所形成的旋转体的表面积是A.B.C.D.【答案】A【分析】【剖析】此题考察的知识点是旋转体的体积和表面积,此中剖析出几何体的形状及底面半径、母线长等几何量是解答的重点．绕直线BC旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,代入圆锥侧面积公式,可得答案．【解答】解：绕直线BC旋转一周,所形成的旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥,是一个以A到BC的距离AO为半径,母线为AC的圆锥挖去同底的以AB为母线的的圆锥的组合体,,,,因此该几何体的表面积为．应选A．26.假如点M是两条异面直线外的一点A.只有一个C.没有或只有一个,则过点M且与a,b都平行的平面B.恰有两个D.有无数个()【答案】C【分析】【剖析】此题考察线面平行的判判定理,考察学生剖析解决问题的能力,要注意把空间状况想全面．【解答】解：当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线平行时,此时找不到一个过M的平面与两条异面直线都平行；当过点M与两条异面直线中的一条的平面与另一条直线不平行时,利用线面平行的判判定理,可得1个平面与a,b都平行．应选．C27.已知,是两条不一样的直线,,是两个不一样的平面,则以下命题中正确的选项是() mnA.若,,则B.若,,且,则C.若,,且,则D.若,,且,则【答案】B【分析】解：对于A,若,,则m与可能平行；故A错误；对于,若,,且,依据面面垂直的定义；故B正确；B对于C,若,,且,m,n共面,则；故C不正确；对于D,若,,且,则与可能订交；故D错误．应选B．利用面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判判定理对选项剖析即可．此题考察了面面垂直、线面平行、线面垂直想性质定理和判判定理的运用判断线面关系和面面关系；重点是娴熟掌握定理的条件,注意特别状况．28.在直三棱柱中,,,则点A到平面的距离为()A.B. C. D.【答案】B【分析】【剖析】此题考察空间中点到平面的距离,考察等体积法的应用,属基础题．解题重点在于利用等体积法求点到直线距离．【解答】解：设点A到平面的距离为h,,三角形面积,三角形ABC面积,,解得．故答案选B．29.过点作直线l,使直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积为8,这样的直线l一共有A.3条条条条【答案】C【分析】【剖析】此题考察了直线的截距式、三角形的面积计算公式,属于基础题．设直线l 的方程为：,联合直线过点且在第二象限内围成的三角形面积为8,结构方程组,解得直线方程,可得答案．【解答】解：假定存在过点的直线l ,使它与两坐标轴在第二象限围成的三角形的面积为8,设直线l 的方程为：,则,即,直线l与两坐标轴在第二象限内围成的三角形面积,即,联立解得：,．直线l的方程为：,即,即这样的直线有且只有一条．应选C．30.正四棱锥,为PB的中点,为PD的中点,则两个棱锥和的体积之比是A.B. C. D.答案：31.函数的值域是A.B. C. D.【答案】B【分析】【剖析】此题考察函数定义域与值域,以及两点间距离公式,属于中档题．由题意,函数,函数能够表示为x轴上的点和的距离之和,当三点成一条直线时距离之和最小,即可求出结果．【解答】解：由题意,函数,因此函数能够表示为x轴上的点到点和的距离之和,当三点成一条直线时距离之和最小,因此,应选B．到点32. 如图,动点P在正方体与正方体表面订交于M,设,的对角线,则函数上过点P作垂直于平面的图象大概是()的直线,A. B.C. D.【答案】B【分析】解：设正方体的棱长为1,明显,当P挪动到对角线的中点O时,函数获得独一最大值,因此清除A、C；当P在BO上时,分别过M、N、P作底面的垂线,垂足分别为、、,则是一次函数,因此清除D．应选B．只有当P挪动到正方体中心O 时,有独一的最大值,则裁减选项、；点挪动时,x与y的MN ACP关系应当是线性的,则裁减选项D．此题考察直线与截面的地点关系、空间想象力及察看能力,同时考察特别点法、清除法．33.在三棱锥中,,,则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D.【答案】B【分析】【剖析】此题考察三棱锥的外接球的表面积和正、余弦定理,属于中档题考察空间想象能力、推理能力和计算能力重点是求出外接球的半径．【解答】解：由条件,得,．因此故为直角三角形．因此三棱锥的外接球的球心在过的外心E垂线上,设为点O,,由于因此,故外接圆的半径,则外接球的半径,故外接球的表面积为,应选B．34.下边对于四棱柱的命题中,真命题的是()A.如有两个侧面垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱B.若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C.若四个侧面两两全等,则该四棱柱为直四棱柱D.若四棱柱的四条对角线两两相等,则该四棱柱为直四棱柱【答案】BD【分析】【剖析】此题考察棱柱的结构特点棱柱的性质：棱柱的各个侧面都是平行四边形,全部的侧棱都平行且相等；直棱柱的各个侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形,棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边相互平行的全等多边形,过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形,AC 直棱柱的侧棱长与高相等；直棱柱的侧面及经过不相邻的两条侧棱的截面都是矩形对于可举出反例加以说明；对于BD可联合棱柱的观点进行判断．【解答】解：A错,一定是两个相邻的侧面；正确；因两个过相对侧棱的截面都垂直于底面可获得侧棱垂直于底面；C错,反例,能够是斜四棱柱；D正确,对角线两两相等,则此两对角线所在的平行四边形为矩形．应选BD．35.在以下四个命题中,错误的有()坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率直线的倾斜角的取值范围是C.若一条直线的斜率为,则此直线的倾斜角为D.若一条直线的倾斜角为,则此直线的斜率为【答案】ABCD【分析】【剖析】A中,直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为,斜率不存在；B中,直线倾斜角的取值范围是；C中,直线的斜率为时,它的倾斜角不必定为；D中,直线的倾斜角为时,它的斜率为或不存在．【解答】对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为,斜率不存在,A错误；对于,直线倾斜角的取值范围是,B 错误；B对于,一条直线的斜率为,此直线的倾斜角不必定为,如的斜率为,它的倾斜C角为,C错误；对于,一条直线的倾斜角为时,它的斜率为或不存在,D 错误．D应选：ABCD．36.如图,矩形,若ABCD 中,M为线段的中点,E边,则在AB的中点,将翻折过程中沿直线DE翻折成,以下结论正确的选项是()平面B. A.恒有平面B与M两点间距离恒为定值C.三棱锥的体积的最大值为D.存在某个地点,使得平面平面【答案】ABC【分析】【剖析】此题考察了线面垂直、面面垂直的判断,余弦定理和三棱锥的体积,属于较难题考察空间想象能力、推理能力和计算能力,依据条件逐个判断即可．【解答】解：对于A,取CD中点F,连结MF,BF,则且,且,由与,可得平面平面,总有平面,故A正确；对于B,由矩形ABCD中,,E为AB中点,得取CD中点F,连结,因此MF,BF,则,且,由余弦定理,得,故B正确；对于C,当平面平面ABCD时,三棱锥的体积的最大值,且最大概积为,故C正确；对于D,由于不存在某个地点,使得平面平面,故错误．应选ABC．37.九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑若三棱锥为鳖臑,平面ABC,,,三棱锥的四个极点都在球O的球面上,则球O的表面积为()A. B. C. D.【答案】C【分析】【剖析】此题考察球 O的表面积,考察学生的计算能力,求出球的半径是重点．由题意,PC为球O的直径,求出PC,可得球O的半径,即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意,以下图：,PC为球O的直径,球O的半径为球O的表面积为应选：C．,,38.九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有以下问题：“今有阳马,广五尺,褒七尺,高八尺,问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥它的底面长,宽分别为7尺和5尺,高为8尺,问它的体积是多少？”若以上条件不, D.变,则这个四棱锥的外接球的表面积为()A.平方尺B.平方尺C.平方尺【答案】B【分析】解：今有底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥,它的底面长,宽分别为7尺和5尺,高为8尺,结构一个长方体,其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺,则这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,这个四棱锥的外接球的半径尺,这个四棱锥的外接球的表面积为平方尺．应选：B．结构一个长方体,其长、宽、高分别为7尺、5尺、8尺,则这个这个四棱锥的外接球就是这个长方体的外接球,由此能求出这个四棱锥的外接球的表面积．此题考察四棱锥的外接球的表面积的求法,考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识,考察运算求解能力、空间想象能力,考察函数与方程思想、化归与转变思想,是基础题．39.过点且在座标轴上的截距相等的直线方程是______．【答案】或【分析】【剖析】此题考察了直线的截距式方程,考察了分类议论的数学思想方法,是基础题,也是易错题．分直线过原点和可是原点两种状况议论,直线过原点时直接求出斜率得直线方程；可是原点时设出直线方程,代入点的坐标得答案【解答】解：当直线过原点时,直线的斜率,直线方程为,即；当直线可是原点时,设直线方程为,代入点得：,即直线方程为：过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程为或．故答案为或．40.如图,一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,这时圆柱、圆锥、球的体积之比为______．【答案】3：1：2【分析】解：设球的半径为R,则圆柱和圆锥的高均为2R,则,,,故圆柱、圆锥、球的体积之比为：3：1：2故答案为：3：1：2由已知中一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等,则我们易依据圆柱、圆锥及球的体积公式,求出圆柱、圆锥及球的体积,从而获得答案．此题考察的知识点是圆柱、圆锥及球的体积公式,此中依据已知,设出球的半径,从而求出圆柱、圆锥及球的体积中解答此题的重点．41.如图,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,于F,以下四个命题中：面PAC；；此中正确命题的是______面PBC；面PBC．请写出全部正确命题的序号【答案】【分析】解：所在的平面,,又是的直径,由线面垂直的判判定理,可得面PAC,故正确；又由平面PAC,联合于F,由线面垂直的判判定理,可得面PBC,故正确；又于E,联合的结论我们易得平面PAB由平面PAB,可得,故正确；由的结论,及过一点有且只一条直线与已知平面垂直,故错误；故答案为：依据已知中,所在的平面,AB是的直径,C是上的一点,于E,合线面垂直的判判定理,我们逐个对已知中的四个结论进行判断,即可获得答案．此题考察的知识点是直线与平面垂直的判断,此中娴熟掌握线面垂直的判判定理的重点．于F,结,是解答此题三、解答题42.以下图,在边长为点,体的表面积与体积．4的正三角形ABC中,,为垂足,若将挨次是的中绕AD旋转,求暗影部分形成的几何【答案】解：所得几何体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,,,所求几何体的表面积,由,,所求几何体的体积为．【分析】此题主要考察旋转体的表面积,属于中档题．先剖析出这个旋转体是一个圆锥挖去一个圆柱后形成的,而后利用公式求出即可．43.在平面直角坐标系xOy中,直线：,：．求直线经过定点的坐标；当且时,务实数a的值．【答案】解：直线：可化为,令,解得,对随意,直线经过定点；当时,直线为,即；又直线：,即；当时,有,解得．【分析】把直线的方程化为,令求得直线经过的定点坐标；利用两直线的斜率相等且在此题考察了直线方程的应用问题y轴上的截距不等,是基础题．,求得实数a的值．44.以下图,在三棱柱中,E,F,G,H分别是AB,AC,,的中点．求证：平面ABC；求证：平面平面BCHG．【答案】证明：在三棱柱中,E,F,G,H分别是AB,AC,,的中点,,平面ABC,平面ABC,面ABC；在三棱柱中, E,F,G,H分别是AB,AC,,的中点,,,四边形是平行四边形,,,,,平面平面平面,BG,BCHG．平面BCHG,【分析】此题考察线面平行的证明,考察面面平行的证明,是中档题,解题时要仔细审题,注意空间思想能力的培育．推导出推导出,,由此能证明面,由此能证明平面ABC；平面BCHG．45.在三棱柱中,侧面底面ABC,,,,E为AB的中点．求证：平面；求证：平面；求三棱锥的体积．【答案】证明：连结,设,则F为的中点,由于E为AB的中点,因此．又平面,,因此平面．在中,由,,,得,即；在中,同理可得B.由于侧面底面ABC,侧面底面,因此平面．又平面,因此,又,因此平面．解：由于平面,平面,因此C.在直角中,由及,得．因此．【分析】连结,设,则F为的中点,从而由此能证明平面．推导出,,,由此能证明平面．推导出C.再由,能求出三棱锥的体积．此题考察线面平行、线面垂直的证明,考察三棱锥的体积的求法,考察空间中线线、线面、面面间的地点关系等基础知识,是中档题．46.过点作直线l ,与x轴和y轴的正半轴分别交于,两点,求：AB面积的最小值及此时直线l的方程；求直线l在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l的方程；【答案】解：设直线l 的方程为,则可得,,直线l与x轴,y轴正半轴分别交于A,B两点,,得,,当且仅当,即时,的面积有最小值4,此时直线l的方程为,即．,,截距之和为,当且仅当,即时等号建立,故截距之和的最小值为,此时直线l的方程为,即．【分析】此题主要考察利用基本不等式求最值,直线的点斜式方程,属于偏难题目．设AB的方程为,可得A,B点坐标,得出三角形面积,利用基本不等式算出面积S有最小值为4,求出k的值,从而算出此时的直线l方程；的由,B点坐标得出截距之和利用基本不等式求出最小值得出k的值,获得直线方程；,,利用基本不等式算出,由正弦函数的值域可得直线斜率为,利用点斜式方程列式,化简可得直线l的方程.47. V=。

2020-2021学年山东省德州一中高二(上)期中数学试卷(附答案详解)

2020-2021学年山东省德州一中高二（上）期中数学试卷1.直线√3x−3y−5=0的倾斜角为()A. π6B. π3C. 23π D. 56π2.抛物线y=2x2的准线方程为()A. y=14B. y=18C. y=−14D. y=−183.已知空间向量a⃗=(3,0，1)，b⃗ =(−2,1，n)，c⃗=(1,2，3)且(a⃗−c⃗ )⋅b⃗ =2，则a⃗与b⃗ 的夹角的余弦值为()A. √21021B. −√21021C. √721D. −√7214.平面α的一个法向量n⃗=(1,−1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A. π6B. π4C. π3D. 3π45.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为h，跨径为a，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()A. a28ℎB. a24ℎC. a22ℎD. a2ℎ6.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2=16x的准线交于A，B两点，|AB|=4√3，则C的实轴长为()A. 4B. 2√2C. √2D. 87.如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1所有棱长均相等，各侧棱与底面垂直，D，E分别为棱A1B1，B1C1的中点，则异面直线AD与BE所成角的余弦值为()A. 710B. 3√510C. √155D. 358. 点P 是直线x +y −3=0上的动点，由点P 向圆O ：x 2+y 2=4作切线，则切线长的最小值为( )A. 2√2B. 32√2C. √22D. 129. 已知平面上一点M(5,0)，若直线上存在点P 使|PM|=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是( )A. y =x +1B. y =2C. y =43xD. y =2x +110. 下列关于空间向量的命题中，正确的是( )A. 若向量a ⃗ ，b ⃗ 与空间任意向量都不能构成基底，则a ⃗ //b ⃗B. 若非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⊥b ⃗ ，c ⃗ ⊥b ⃗ ，则有a⃗ //c ⃗ C. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间的一组基底，且OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则A ，B ，C ，D 四点共面D. 若向量a ⃗ +b ⃗ ，b ⃗ +c ⃗ ，a ⃗ +c ⃗ ，是空间一组基底，则a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 也是空间的一组基底 11. 已知双曲线C 过点(3,√2)且渐近线方程为y =±√33x ，则下列结论正确的是( )A. C 的方程为x 23−y 2=1 B. C 的离心率为√3C. 曲线y =e x−2−1经过C 的一个焦点D. 直线x −√2y −1=0与C 有两个公共点12. 如图，在菱形ABCD 中，AB =2，∠BAD =60°，将△ABD 沿对角线BD 翻折到△PBD位置，连接PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是( )A. PC 与平面BCD 所成的最大角为45°B. 存在某个位置，使得PB ⊥CDC. 当二面角P −BD −C 的大小为90°时，PC =√6D. 存在某个位置，使得B 到平面PDC 的距离为√313. 若圆x 2+y 2=1与圆x 2+y 2−6x −8y −m =0相切，则m 的值为．14.已知方程x2|m|−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是．15.正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，AB的中点，则EF与直线AC1所成角的大小为；EF与对角面BDD1B1所成角的正弦值是．16.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是．17.(1)若抛物线的顶点在原点，焦点在直线x−2y−4=0上，求此抛物线的标准方程；(2)若双曲线与椭圆x264+y216=1共焦点，且以y=±√3x为渐近线，求此双曲线的标准方程．18.已知：a⃗=(x,4，1)，b⃗ =(−2,y，−1)，c⃗=(3,−2,z)，a⃗//b⃗ ，b⃗ ⊥c⃗，求：(1)a⃗，b⃗ ，c⃗；(2)a⃗+c⃗与b⃗ +c⃗所成角的余弦值．19.已知直线l经过两条直线2x−y−3=0和4x−3y−5=0的交点，且与直线x+y−2=0垂直．(1)求直线l的方程；(2)若圆C的圆心为点(3,0)，直线l被该圆所截得的弦长为2√2，求圆C的标准方程．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)上的点M(1,m)到其焦点F的距离为2．(1)求C的方程；并求其焦点坐标；(2)过点(2,0)且斜率为1的直线l交抛物线于A，B两点，求弦AB的长．21.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD，点M在线段PB上，PD//平面MAC，PA=PD=√6，AB=4．(1)求证：M为PB的中点；(2)求二面角B−PD−A的大小；(3)求直线MC与平面BDP所成角的正弦值．22. 已知F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左右焦点，P 是椭圆E 上的点，且PF 2⊥x 轴，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =116a 2.直线l 经过F 1，与椭圆E 交于A ，B 两点，F 2与A ，B 两点构成△ABF 2． (1)求椭圆E 的离心率；(2)设△F 1PF 2的周长为2+√3，求△ABF 2的面积的最大值．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了由直线方程求直线倾斜角，以及斜率公式，属于基础题．把直线方程化为斜截式，求出直线的斜率，由斜率公式求出直线的倾斜角．【解答】解：由直线√3x −3y −5=0得，y =√33x −53，∴斜率k =√33，∴直线的倾斜角为π6，故选：A ．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查抛物线的准线方程，在解答的过程当中充分运用抛物线的方程与性质是解题的关键．先把抛物线化为标准方程为x 2=12y ，再求准线．【解答】解：∵抛物线的标准方程为x 2=12y ， ∴p =14，开口朝上，∴准线方程为y =−18，故选：D ．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量问题，考查向量的坐标运算，是一道基础题．根据(a⃗−c⃗ )⋅b⃗ =2，求出n的值，从而求出b⃗ ，根据向量数量积的运算求出a⃗与b⃗ 的夹角的余弦值即可．【解答】解：由题意得：a⃗−c⃗=(2,−2,−2)，则(a⃗−c⃗ )⋅b⃗ =−4−2−2n=2，解得：n=−4，即b⃗ =(−2,1，−4)，而|a⃗|=√10，|b⃗ |=√21，a⃗⋅b⃗ =−10，则cos<a⃗，b⃗ >=a⃗ ⋅b⃗|a⃗ |⋅|b⃗|=−10√10×√21=−√21021，故选：B．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查直线与平面所成角的大小的求法，是基础题，解题时要注意向量法的合理运用．设y轴与平面α所成的角的大小为θ，由在y轴上的单位向量和平面α的一个法向量，利用向量法能求出结果．【解答】解：设y轴与平面α所成的角的大小为θ，，∵在y轴上的单位向量j=(0,1，0)，平面α的一个法向量n⃗=(1,−1,0)，∴sinθ=|cos<j，n⃗>|=1⋅√2=√22，∴θ=π4．故选：B．5.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线在实际中的应用，考查了抛物线的基础知识．本题属基础题．本题根据题意建立一个平面直角坐标系，然后根据桥形的特点写出对应的抛物线方程，,−ℎ)代入抛物线方程解出p的值，而桥形对应的抛物线的焦点到准线的距再将已知点(a2离即为p．【解答】解：根据题意，以桥顶为坐标原点，桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系，该抛物线方程可设为x2=−2py(p>0)．,−ℎ)，∵该抛物线经过点(a2=2ℎp，代入抛物线方程可得a24．解得p=a28ℎ∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a2．8ℎ故选：A．6.【答案】A【解析】【分析】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，考查学生的计算能力，属于中档题．设出双曲线方程，求出抛物线的准线方程，利用|AB|=4√3，即可求得结论．【解答】解：设等轴双曲线C的方程为x2−y2=λ.(1)=4．∵抛物线y2=16x，2p=16，p=8，∴p2∴抛物线的准线方程为x=−4．设等轴双曲线与抛物线的准线x=−4的两个交点A(−4,y)，B(−4,−y)(y>0)，则|AB|=|y−(−y)|=2y=4√3，∴y=2√3．将x=−4，y=2√3代入(1)，得(−4)2−(2√3)2=λ，∴λ=4∴等轴双曲线C的方程为x2−y2=4，即x24−y24=1，∴C的实轴长为4．故选A．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查计算能力，属于中档题．取AC中点F，连接DE，EF，可得AD//EF，则异面直线AD与BE所成角为∠FEB(或其补角)，设三棱柱各棱长为2，求解三角形得答案．【解答】解：取AC中点F，连接DE，EF，∵D，E分别为棱A1B1，B1C1的中点，∴DE//A1C1//AC，DE=12A1C1=12AC．∴DE//AF且DE=AF，则四边形ADEF为平行四边形，则AD//EF．∴异面直线AD与BE所成角为∠FEB(或其补角)，连接BF．设三棱柱各棱长为2，则EF=BE=√5，BF=√3．在三角形BEF中，由余弦定理可得cos∠FEB=2×√5×√5=710，即异面直线AD与BE所成角的余弦值为710．故选：A．8.【答案】C【解析】【分析】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及勾股定理，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．由圆的标准方程，找出圆心坐标和圆的半径，要使切线长的最小，则必须点P到圆的距离最小，求出圆心到直线x+y−3=0的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可．【解答】解：∵圆O：x2+y2=4，∴圆心O(0,0)，半径r=2．由题意可知，点P到圆O：x2+y2=4的切线长最小时，OP⊥直线x+y−3=0．∵圆心到直线的距离d=√2，∴切线长的最小值为：√92−4=√22．故选：C．9.【答案】BC【解析】【分析】本题主要考查新定义，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．由题意得，要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|=4，求出点M 到各条直线的距离，可得答案．【解答】解：要使直线为“切割型直线”，则直线上存在点P使得|PM|=4，即点M(5,0)到直线的距离小于或等于4．点M(5,0)到直线y=x+1的距离为3√2>4，不满足条件；点M(5,0)到直线y=2的距离为2<4，故满足条件；点M(5,0)到直线4x−3y=0的距离为√42+32=4，故满足条件；点M(5,0)到直线y =2x +1的距离为√22+1=11√55>4，故不满足条件，故选：BC ．10.【答案】ACD【解析】【分析】本题考查了空间向量基本定理，理解掌握定理是解答的关键．根据空间向量基本定理，逐项判断即可．【解答】解：对于A ：若向量a ⃗ ，b ⃗ 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，则a ⃗ //b ⃗ ；故A 正确；对于B ：若非零向量a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 满足a ⃗ ⊥b ⃗ ，c ⃗ ⊥b ⃗ ，则a ⃗ 与c ⃗ 不确定；故B 错误；对于C ：若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 是空间的一组基底，则A ，B ，C 三点不共线，且OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +13OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +13OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，由空间向量基本定理得到A ，B ，C ，D 四点共面；故C 正确；对于D ：若向量a ⃗ +b ⃗ ，b ⃗ +c ⃗ ，a ⃗ +c ⃗ ，是空间一组基底，则空间任何一个向量d⃗ ，存在唯一的实数组(x,y ，z)， d ⃗ =x(a ⃗ +b ⃗ )+y(b ⃗ +c ⃗ )+z(a ⃗ +c ⃗ )=(x +z)a ⃗ +(x +y)b ⃗ +(y +z)c ⃗ ，则a ⃗ ，b ⃗ ，c ⃗ 也是空间的一组基底；故D 正确；故选：ACD ．11.【答案】AC【解析】【分析】本题考查双曲线的标准方程和性质，考查直线与双曲线的位置关系，属于中档题．设双曲线的方程，结合已知条件和渐近线方程可判断A ；由离心率公式e =ca 可判断B ；将双曲线C 的焦点坐标代入可判断C ；联立直线与双曲线方程可判断D ．【解答】解：由题意可设双曲线C的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，根据条件可知ba=√33，所以方程可化为x23b2−y2b2=1，将点(3,√2)代入得b2=1，所以a2=3，所以双曲线C的方程为x23−y2=1，故A对；离心率e=ca =√a2+b2a2=√3+13=2√33，故B错；双曲线C的焦点为(2,0)，(−2,0)，将x=2代入得y=e0−1=0，所以C对；联立{x23−y2=1x−√2y−1=0，整理得y2−2√2y+2=0，则△=8−8=0，故直线x−√2y−1=0与C只有一个公共点，故D错，故选：AC．12.【答案】BC【解析】【分析】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力，是拔高题．A，取BD的中点O，连接OP、OC，结合PC与平面BCD所成的角为∠PCO，举例说明当PC=√3时∠PCO=60°>45°，即可判断；B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，证明CD⊥平面PBQ，可得PB⊂平面PBQ，PB⊥CD，即可判断；C，当二面角P−BD−C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，即可得△POC为等腰直角三角形，即可判断；D，取CD的中点N，若B到平面PDC的距离为√3，则BN⊥平面PCD，结合三角形的三边关系计算求解即可．【解答】解：选项A，取BD的中点O，连接OP、OC，则OP=OC=√3．由题可知，△ABD和△BCD均为等边三角形，由对称性可知，在翻折的过程中，PC与平面BCD所成的角为∠PCO，当PC=√3时，△OPC为等边三角形，此时∠PCO=60°>45°，即选项A错误；选项B，当点P在平面BCD内的投影为△BCD的重心点Q时，有PQ⊥平面BCD，BQ⊥CD，又∵CD⊂平面BCD，∴PQ⊥CD，又BQ∩PQ=Q，BQ、PQ⊂平面PBQ，∴CD⊥平面PBQ，∵PB⊂平面PBQ，∴PB⊥CD，即选项B正确；选项C，当二面角P−BD−C的大小为90°时，平面PBD⊥平面BCD，∵PB=PD，∴OP⊥BD，∵平面PBD∩平面BCD=BD，OP⊂平面PBD，∴OP⊥平面BCD，OC⊂平面BCD，∴OP⊥OC，又OP=OC=√3，∴△POC为等腰直角三角形，∴PC=√2OP=√6，即选项C正确；选项D，取CD的中点N，∵BN=√3，若点B到平面PDC的距离为√3，则BN⊥平面PCD，∵PN⊂平面PCD，∴BN⊥PN，由PB=2，BN=√3，得PN=1，又∵DN=1，PD=2，在△PDN中，PN+DN=PD，显然不成立，故D错误．故选：BC．13.【答案】−9或11【解析】【分析】本题考查两圆的位置关系的判定，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题．由圆x2+y2−6x−8y−m=0，求出圆心和半径，分两圆内切和外切两种情况，求出m的值即可．【解答】解：圆x2+y2−6x−8y−m=0的圆心为(3,4)，半径r=√25+m，若两圆外切，则√25+m+1=5，解得m=−9，若两圆内切，则√25+m−1=5，解得m=11．故答案为：−9或11．14.【答案】{m|1<m<32或m<−1}【解析】【分析】本题给出含有字母参数的椭圆方程，在已知焦点位置的情况下求参数的取值范围，着重考查了椭圆的标准方程和基本概念，属于基础题．方程表示焦点在y轴上的椭圆，所以y2的分母要大于x2的分母，并且这两个分母都是正数，由此建立关于m的不等式，解之即得m的取值范围．【解答】解：∵方程x 2|m|−1+y22−m=1表示焦点在y轴上的椭圆，∴2−m>|m|−1>0，解之得：1<m<32或m<−1，故答案为：{m|1<m<32或m<−1}15.【答案】π212【解析】【分析】本题考查空间中线与面的垂直的关系、异面直线夹角和线面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及理解异面直线夹角和线面角的定义是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．易知B1C1⊥EF，AB1⊥EF，可推出EF⊥平面AB1C1，故EF⊥AC1，从而得EF与直线AC1所成角；取B1D1的中点O，连接OA1、OB，由A1O⊥B1D1，BB1⊥A1O，推出A1O⊥平面BDD1B1，由EF//A1B，知A1B与面BDD1B1所成角即为所求，也就是∠A1BO，在Rt△A1BO中，sin∠A1BO=A1OA1B，从而得解．【解答】解：由正方体的性质知，B1C1⊥平面ABB1A1，又EF在平面ABB1A1内，∴B1C1⊥EF，连接AB1、A1B，∵四边形ABB1A1为正方形，∴AB1⊥A1B，∵E，F分别是AA1，AB的中点，∴EF//A1B，∴AB1⊥EF，又B1C1∩AB1=B1，B1C1、AB1⊂平面AB1C1，∴EF⊥平面AB1C1，又AC1在平面平面AB1C1内，∴EF⊥AC1，即EF与直线AC1所成角的大小为π2．取B1D1的中点O，连接OA1、OB，则A1O⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1O在平面A1B1C1D1内，∴BB1⊥A1O，∵B1D1∩BB1=B1，B1D1、BB1⊂平面BDD1B1，∴A1O⊥平面BDD1B1，∵EF//A1B，∴EF与面BDD1B1所成角也为A1B与面BDD1B1所成角，即∠A1BO，在Rt△A1BO中，sin∠A1BO=A1OA1B =12，∴EF与面BDD1B1所成角的正弦值为12．故答案为：π2；12．16.【答案】[2,+∞)【解析】【分析】本题考查双曲线的性质以及直线与双曲线的位置关系，解题时要注意挖掘隐含条件．若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则有ba ≥√3，即b2a2≥3，依次求解离心率的取值范围即可．【解答】解：因为双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，渐近线的斜率为±ba，过点F且倾斜角为60∘的直线的斜率为tan60∘=√3，则由题意可得，ba ≥√3，即b2a2≥3，所以离心率满足e2=c2a2=a2+b2a2=1+b2a2≥4，∴e≥2，所以离心率e的取值范围为[2,+∞).故答案为：[2,+∞)．17.【答案】解：(1)直线x−2y−4=0与坐标轴的交点分别为(4,0)，(0,−2)，若焦点为(4,0)，可设抛物线的方程为y2=2px(p>0)，由p2=4，即p=8，抛物线的方程为y2=16x；若焦点为(0,−2)，可设抛物线的方程为x2=−2py(p>0)，由−p2=−2，即p=4，抛物线的方程为x2=−8y，综上可得，所求抛物线的方程为y2=16x或x2=−8y；(2)椭圆x264+y216=1的焦点为(±4√3,0)，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，则a2+b2=48，由渐近线y=±√3x，可得ba=√3，解得a=2√3，b=6，可得双曲线的方程为x212−y236=1．【解析】(1)求得直线x−2y−4=0与坐标轴的交点，可得抛物线的焦点，运用待定系数法，求得抛物线的方程；(2)求得椭圆的焦点，设双曲线的方程为x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)，结合渐近线方程，可得a，b的方程，解方程可得所求双曲线的方程．本题考查椭圆、双曲线和抛物线的方程和性质，注意运用待定系数法，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)∵a ⃗ //b ⃗ ，∴x −2=4y=1−1，解得x =2，y =−4，故a ⃗ =(2,4，1)，b ⃗ =(−2,−4,−1)，又∵b ⃗ ⊥c ⃗ ，∴b ⃗ ⋅c ⃗ =0，即−6+8−z =0，解得z =2，故c⃗ =(3,−2,2)； (2)由(1)可得a ⃗ +c ⃗ =(5,2，3)，b ⃗ +c ⃗ =(1,−6,1)，设向量a ⃗ +c ⃗ 与b ⃗ +c ⃗ 所成的角为θ，则cosθ=√38×√38=−219．【解析】本题考查空间向量平行和垂直的判断，涉及向量的夹角公式．(1)由向量的平行和垂直的坐标公式可得关于x ，y ，z 的关系式，解之即可得向量坐标； (2)由(1)可得向量a ⃗ +c ⃗ 与b ⃗ +c ⃗ 的坐标，进而由夹角公式可得结论．19.【答案】解：(1)由题意知，{2x −y −3=04x −3y −5=0，解得{x =2y =1，∴直线2x −y −3=0和4x −3y −5=0的交点为(2,1)，设直线l 的斜率为k ，∵直线l 与直线x +y −2=0垂直， ∴k =1，∴直线l 的方程为y −1=(x −2)，化为一般形式为x −y −1=0； (2)设圆C 的半径为r ，则圆心C(3,0)到直线l 的距离d =√1+1=√2，可得r 2=(√2)2+(2√22)2=4，解得r =2，∴圆C 的标准方程为(x −3)2+y 2=4．【解析】本题考查了直线的方程求法，两垂直直线斜率之积为−1，点到直线的距离公式，直线与圆的标准方程应用问题，是中档题．(1)由题意求出两直线的交点，再求出直线l 的斜率，用点斜式写出直线l 的方程； (2)根据题意求出圆的半径，由圆心写出圆的标准方程．20.【答案】解：(1)由抛物线的方程可得其准线方程为x =−p2，由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以1−(−p2)=2，解得p =2，所以抛物线的方程为：y 2=4x ，焦点F(1,0)．(2)由题意可得直线l 的方程为：y =x −2，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y 2=4x y =x −2，整理可得：x 2−8x +4=0，则x 1+x 2=8，x 1x 2=4，所以弦长|AB|=√1+k 2⋅√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√1+1⋅√82−4×4=4√6，所以弦AB 的长为4√6．【解析】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的综合及弦长公式的应用，属于中档题． (1)由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质可得抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求出p 的值，进而求出抛物线的方程及焦点坐标；(2)由题意可得直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，再由弦长公式可得弦AB 的值．21.【答案】(1)证明：设AC ∩BD =O ，∵ABCD 为正方形，∴O 为BD 的中点，连接OM ，∵PD//平面MAC ，PD ⊂平面PBD ，平面PBD ∩平面MAC =OM ， ∴PD//OM ，则BOBD =BM BP，即M 为PB 的中点； (2)解：取AD 中点G ， ∵PA =PD ，∴PG ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，PG ⊂平面PAD ， ∴PG ⊥平面ABCD ，连接OG ，∵OG ⊂平面ABCD ，则PG ⊥OG ，由G 是AD 的中点，O 是AC 的中点，可得OG//DC ，又DC ⊥AD ，则OG ⊥AD ．以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系G −xyz ，由PA =PD =√6，AB =4，得D(2,0，0)，A(−2,0，0)，P(0,0，√2)，C(2,4，0)，B(−2,4，0)，M(−1,2，√22)，DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0,√2)，DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−4,4,0)．设平面PBD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则由{m ⃗⃗⃗ ⋅DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m ⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{−2x +√2z =0−4x +4y =0，取z =√2，得m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)．取平面PAD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=12×1=12，由图知二面角B −PD −A 是锐二面角， ∴二面角B −PD −A 的大小为60°；(3)解：CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−3,−2,√22)，平面BDP 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(1,1,√2)． ∴直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为|cos <CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗⃗ >|=|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ ||=√9+4+12×2=2√69．【解析】本题考查线面角与面面角的求法，考查利用空间向量求线面和面面的夹角，属较难题．(1)设AC ∩BD =O ，则O 为BD 的中点，连接OM ，利用线面平行的性质证明OM//PD ，再由平行线截线段成比例可得M 为PB 的中点；(2)取AD 中点G ，可得PG ⊥AD ，再由面面垂直的性质可得PG ⊥平面ABCD ，连接OG ，则PG ⊥OG ，再证明OG ⊥AD.以G 为坐标原点，分别以GD 、GO 、GP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，求出平面PBD 与平面PAD 的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角B −PD −A 的大小；(3)求出CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，由CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与平面PBD 的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线MC与平面BDP 所成角的正弦值．22.【答案】解：(1)由题意可得F 1(−c,0)，F 2(c,0)，设点P 在第一象限，令x =c ，可得y =±b √1−c 2a 2=±b 2a，则P(c,b 2a)，PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2c,−b 2a)，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,−b2a)，可得PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =b 4a 2=116a 2，则a 2=4b 2=4(a 2−c 2)，可得3a 2=4c 2，即c =√32a ，即有离心率e =c a=√32； (2)由(1)可得2c =√3a ，由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a ， △F 1PF 2的周长为2a +2c =2+√3，解得a =1，c =√32，则b =√a 2−c 2=12，可得椭圆方程为x 2+4y 2=1，由题知直线斜率不为0，设直线方程为x =ty −√32，由{x =ty −√32x 2+4y 2=1，得4(t 2+4)y 2−4√3ty −1=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，即有y 1+y 2=√3tt 2+4，y 1y 2=−14(t 2+4)，|y 1−y 2|=√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=√3t 2(4+t 2)2+14+t 2=√4(1+t 2)(4+t 2)2，则S △ABF 2=c|y 1−y 2|=√3√t 2+1(t 2+4)2=√3√1(t 2+1)+9t 2+1+6≤√3√112=12，“=”成立时t 2=2，即t =±√2，则△ABF 2的面积的最大值为12．【解析】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用向量的数量积的坐标表示和椭圆的基本量的关系，考查三角形的面积的最值的求法，注意运用联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，考查化简整理的运算能力，属于拔高题． (1)设出两焦点的坐标，由x =c 代入椭圆方程，可得P 的坐标，求得向量PF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，PF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，运用向量的数量积的坐标表示，可得a =2b ，由a ，b ，c 的关系和离心率公式，计算即可得到所求值；(2)运用椭圆的定义，结合离心率，可得a，b，进而得到椭圆方程，设出直线AB的方程，联立椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，以及基本不等式，可得三角形ABF2的面积的最大值．第21页，共21页。

山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题

山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知向量()1,2,1a =-，则下列向量中与a 同向的单位向量的坐标是（）A ．11,222⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭B ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1122⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭D ．11,222⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭2350y --=的倾斜角为（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 3．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为（）A ．14-B ．14C ．D 4．已知直线1:10l ax y ++=，2:10l x ay ++=，若12l l //，则实数a =（） A ．1-或1 B ．0或1 C ．1 D ．1- 5．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122AA AB ==，则点C 到平面1BDC 的距离为（）A ．3B ．23CD ．26．已知空间向量()3,0,1a =，()2,1,b n =-，()1,2,3c =且()2a c b -⋅=，则a 与b 的夹角的余弦值为（）A B ．C ．21 D ． 7．无论a 取何实数，直线210ax y a --+=恒过（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 8．已知直线:23120l x y +-=与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，直线m 过点AB 的中点，若直线l ，m 及x 轴围成的三角形面积为6，则直线m 的方程为（） A ．230x y -=B ．290x y +=C ．290x y +=或29240x y +-=D ．230x y -=或29240x y +-=二、多选题9．已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N 分别是对边OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且2MG GN =，现用基组{},,OA OB OC 表示向量OG ，有OG xOA yOB zOC =++，则（）A ．16x =B ．13y =C ．13z =D ．1x y z ++= 10．下列关于直线的方程，叙述不正确的是（）A ．经过定点()000,P x y 的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示 B ．经过任意两个不同点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示C ．不经过原点的直线都可以用方程1x y a b+=表示 D ．经过定点()0,A b 的直线都可以用方程y kx b =+表示11．已知直线l 的一个方向向量为31,2u ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，且l 经过点()1,2-，则下列结论中正确的是（）A ．l 的倾斜角等于150︒B ．l 在xC ．l320y -+=垂直 D ．l 上存在与原点距离等于1的点 12．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AB BC ⊥，2AB =，4BC =，15BB =，D 是11A C 的中点，点E 在棱1AA 上且靠近1A ，当1CE B E ⊥时，则（）A．BE =B．DE =C．ACE S =△D ．二面角11A B E D --的余弦值为21三、填空题 13．已知直线0x my m +-=与210x my -+=垂直，则m =____________．14．已知点()3,1P 到直线:30l x ay +-=的距离为12，则a =____________. 15．设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记11D P D B ＝λ.当∠APC 为钝角时，λ的取值范围是________．四、双空题16．已知点()2,3A ，()3,2B ，12,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，若直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是____________；若直线l 过点()1,1P 与线段BC 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是____________.五、解答题17．已知向量()1,1,0a =，()1,0,2b =-.（1）若()()//2a kb a b ++，求实数k ；（2）若向量k +a b 与2a b +所成角为锐角，求实数k 的范围.18．在平面直角坐标系中，三角形ABC 的三个顶点坐标分别为()2,1A ，()2,3B -，()3,0C -，求：（1）BC 边所在直线的方程；（2）BC 边上的高AD 所在直线的方程.19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，BC ⊥平面PAB ，点O为PB 的中点，22PA AD AB ===，PB =（1）求证：直线PA ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面OAC 夹角的正弦值.20．已知直线():10l x ay a a R +--=∈.（1）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求a 的值；（2）若直线l 与y 轴所成的角为30，求a 的值.21．已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，2AB =，13AA =，1AD =，且113DAB BAA DAA π∠=∠=∠=.（1）求1B D 的长；（2）求1CD 与1B D 夹角的余弦值.22．如图在四面体A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，24BC CD BC CBD π⊥=∠=，，，E F Q 、、分别为BC BD AB 、、边的中点，P 为AD 边上任意一点.（1）证明：//CP 平面QEF ；（2）当二面角B QF E --的平面角为3π时，求AB 的长度.参考答案1．B【分析】求得a，进而可计算得出与a 同向的单位向量aa的坐标.【详解】()1,2,1a=-，则122a =++=，所以，与a 同向的单位向量的坐标是121,22 aa⎛⎫=-⎪⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题考查与向量同向的单位向量的坐标，考查计算能力，属于基础题.2．A【分析】根据直线倾斜角的正切值等于切线斜率求解即可.【详解】35y--=,故倾斜角θ的正切值tan3θ=,又[)0,θπ∈,故6πθ=.故选：A【点睛】本题主要考查了直线倾斜角与斜率的关系,属于基础题型.3．B【分析】以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线1A B与1AC所成角的余弦值．【详解】以A为原点，在平面ABC内，过点A作AC的垂线为x轴，以AC为y轴，1AA为z轴，建立空间直角坐标系，由题得，(0A ，0，0)，1(0,0,2)A，B ,1(0C ，2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选：B ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 4．D【分析】讨论a ，根据两条直线平行的条件列式可解得结果.【详解】当0a =时，2l 的斜率不存在，1l 的斜率为0，此时12l l ⊥，不合题意；当0a ≠时，由12l l //可得1111a a =≠，解得1a =-，故选：D【点睛】本题查了由两条直线平行求参数，属于基础题.5．B【分析】结合余弦定理、三角形面积公式、棱锥得体积公式，利用等体积法111133BDC BCD S d S CC ⋅⋅=⋅⋅，即可求出答案．【详解】解：设点C 到平面1BDC 的距离为d ， ∵122AA AB ==，由题意，BCD 的面积11111222BCD S BC CD =⋅⋅=⨯⨯=，在1BDC中，易求得BD =，11BC DC==∴由余弦定理得14cos 5BC D ∠==， ∴13sin 5BC D ∠=， ∴11111sin 2BDC SBC DC BC D =⋅⋅⋅∠133252==，又11C BDC C BCD V V --=，即111133BDC BCD S d S CC ⋅⋅=⋅⋅， ∴111222332BCD BDC S CC d S ⨯⋅===，故选：B ．【点睛】本题主要考查等体积法求点到平面的距离，考查转化与化归思想，属于中档题． 6．B【分析】首先根据()2a c b -⋅=得到4n =-，从而得到()2,1,4b =--，再计算cos ,a b 即可.【详解】()()()3,0,11,2,32,2,2a c -=-=--，因为()4222a c b n -⋅=---=，解得4n =-，即()2,1,4b =--.所以cos ,9a b a b a b ⋅===+. 故选：B【点睛】本题主要考查空间向量的夹角计算，属于简单题.7．A【分析】将直线化为点斜式，求出直线恒过定点即可得解；【详解】解：将直线方程化为点斜式为1(2)y a x -=-，可知直线恒过定点(2,1)，因为点(2,1)在第一象限，所以直线恒过第一象限．故选：A【点睛】本题考查直线过定点问题，属于基础题.8．D【分析】求得,A B 的中点坐标为(3,2)，设直线m 的方程为32y kx k =-+，且与x 轴交于点(,0)C C x ，结合三角形的面积公式，列出方程，求得0C x =或12C x =，进而求得直线m 的方程. 【详解】由直线23120x y +-=，可得与x 轴，y 轴分别交于(6,0),(0,4)A B ，则,A B 的中点为6004(,)22++，即中点坐标为(3,2)，设直线m 的方程为2(3)y k x -=-，即32y kx k =-+，且与x 轴交于点(,0)C C x ，因为直线l ，m 及x 轴围成的三角形面积为6，可得1162622PAC B C S AC y x ==-⨯=，即66C x -=，解得0C x =或12C x =，当0C x =时，即点(0,0)C ，此时直线m 的方程为23y x =，即230x y -=；当12C x =时，即点(12,0)C ，此时2023129k -==--，直线m 的方程为29240x y +-=，综上可得直线m 的方程为230x y -=或29240x y +-=. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了直线方程的求解，以及三角形面积公式的应用，其中解答中熟练直线的点斜式方程，以及结合三角形的面积公式列出方程求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 9．ABC 【分析】求出MN 关于OA 、OB 、OC 的表达式，可求得OG 关于OA 、OB 、OC 的表达式，可得出x 、y 、z 的值，进而可判断出各选项的正误. 【详解】如下图所示，N 为BC 的中点，则()11112222ON OB BN OB BC OB OC OB OB OC =+=+=+-=+，M 为OA 的中点，则12OM OA =，111222MN ON OM OB OC OA ∴=-=+-，2MG GN =，则23MG MN =， 212111111323222633OG OM MG OM MN OA OB OC OA OA OB OC⎛⎫∴=+=+=++-=++ ⎪⎝⎭，16x ∴=，13y z ==，则56x y z ++=. 故选：ABC. 【点睛】本题考查利用空间基底表示向量，考查计算能力，属于中等题. 10．ACD 【分析】根据各种直线方程的适用范围，逐个分析判断即可【详解】解：对于A ，经过定点()000,P x y ，且斜率存在的直线都可以用方程()00y y k x x -=-表示，所以A 错误；对于B ，经过任意两个不同点()111,P x y ，()222,P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示，所以B 正确；对于C ，不经过原点，且与坐标轴不垂直的直线都可以用方程1x ya b+=表示，所以C 错误；对于D ，经过定点()0,A b ，且斜率存在的直线都可以用方程y kx b =+表示，所以D 错误，故选：ACD 【点睛】此题考查各个直线方程的适用范围，考查命题的真假判断，属于基础题 11．CD 【分析】由直线的方向向量可求得直线的斜率，从而可求出直线的倾斜角和直线方程，进而可判断A ，B ，C ，对于计算出原点到直的距离即可判断【详解】解：因为直线l 的一个方向向量为31,2u ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，所以直线l 的斜率为1k ==设直线的倾斜角为α（[0,180)α∈︒︒），则tan α=120α=︒，所以A 错误；因为l 经过点()1,2-，所以直线l的方程为21)y x +=-，令0y =，则1x =+，所以l 在x轴上的截距为1，所以B 错误；320y -+=的斜率为3，直线l的斜率为，所以13=-，所以l320y -+=垂直，所以C 正确；因为原点到直线l的距离为1d ==<，所以l 上存在与原点距离等于1的点，所以D 正确，故选：CD 【点睛】此题考查直线方程的求法，考查两直线的位置关系，考查斜率与倾斜角的关系，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题 12．BD 【分析】以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设AE t =，552t <≤，根据10CE B E ⋅=求出4t =，可得(2,0,4)E ，根据空间两点间的距离公式求出DE =，BE =ACE S =△，利用法向量求出二面角11A B E D --. 【详解】依题意可知BA BC ⊥，1BB BA ⊥，1BB BC ⊥，以B 为原点，1,,BA BC BB 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：设AE t =，552t <≤，则(0,0,0)B ，1(0,0,5)B ，(0,4,0)C ， (2,0,0)A ，(2,0,)E t ，1(2,0,5)A ，1(0,4,5)C ，(1,2,5)D ，所以(2,4,)CE t =-，1(2,0,5)B E t =-，因为1CE B E ⊥，所以12240(5)0CE B E t t ⋅=⨯-⨯+-=，即2540t t -+=，解得4t =或1t =（舍），所以(2,0,4)E，DE ==，故选项B 正确，BE ==A 不正确，因为AC ===，所以11422ACE S AC AE =⨯=⨯=△C 不正确，取平面11A B E 的一个法向量为11(0,4,0)BC =，设平面1DB E 的法向量为(,,)n x y z =，1(1,2,0)B D =，(1,2,1)DE =--，由100B D n DE n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即2020x y x y z +=⎧⎨--=⎩，取1y =，则2x =-，4z =-，所以()2,1,4n =--，显然二面角11A B E D --为锐角，所以二面角11A B E D --的余弦值为1111||||||B C n BC n⋅21==，故选项D 正确.故选：BD 【点睛】本题考查了空间向量垂直的坐标表示，考查了空间两点间的距离公式，考查了二面角的向量求法，属于中档题.13．【分析】由题意得()120m m ⨯+⨯-=，解出即可．【详解】解：∵直线0x my m +-=与210x my -+=垂直， ∴()120m m ⨯+⨯-=，即22m =，解得m =，故答案为：【点睛】本题主要考查根据两条直线垂直求参数值，属于基础题．14．±【分析】根据点到直线的距离公式列式可解得结果. 【详解】12=，解得a =.故答案为：3±. 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，属于基础题. 15．(13，1) 【解析】本题主要考查了用空间向量求直线间的夹角，一元二次不等式的解法，意在考查考生的空间想象能力以及运算求解能力．以DA 、DC 、1DD 为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D 1(0,0,1)，则1D B ＝(1,1，－1)，得1D P ＝λ1D B ＝(λ，λ，－λ)，所以PA ＝1PD ＋1D A ＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC ＝1PD ＋1D C ＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)，显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于PA ·PC <0，即－λ(1－λ)－λ(1－λ)＋(λ－1)2<0，即(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1，因此λ的取值范围是(13，1)．16．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦11,,62⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】分别画出图象，数形结合可得答案. 【详解】由()2,3A ，()3,2B，直线l 过点()1,1P 与线段AB 相交，如上图，211312PBk-==-, 31221PAk -==-，则直线l 的斜率k 的取值范围是1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；由()3,2B，12,2C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，直线l 过点()1,1P 与线段BC 相交，如上图，211312PBk -==-， 11121(2)6PCk -==--，则直线l 的斜率k 的取值范围11,,62⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭，故答案为：① 1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；②11,,62⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭. 【点睛】本题考查了直线的斜率，斜率的取值范围，属于基础题. 17．（1）12；（2）{1k k -且12k ⎫≠⎬⎭. 【分析】（1）求出()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=，根据112122k k-==可解得结果；（2）根据()()20a kb a b +⋅+>可得1k >-，除去12k =可得解. 【详解】（1）由已知可得，()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=，因为()()//2a kb a b ++，所以112122k k-==，可得12k =. （2）由（1）知，()1,1,2a kb k k +=-，()21,2,2a b +=，因为向量k +a b 与2a b +所成角为锐角，所以()()()()21,1,21,2,2a kb a b k k +⋅+=-⋅1240k k =-++>，解得1k >-，又当12k =时，()()2a kb a b ++∥，可得实数k 的范围为{1k k -且12k ⎫≠⎬⎭.【点睛】本题考查了空间向量共线问题，考查了空间向量的夹角问题，属于中档题. 18．（1）390x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）求出直线BC 的斜率，代入点斜式方程即可；(2)求出直线BC 的斜率，得到BC 边上的高所在直线的斜率，代入点斜式方程即可. 【详解】（1）设BC 的直线方程为y kx b =+. 将()2,3B -，()3,0C -坐标代入可得3203k b k b =-+⎧⎨=-+⎩，解方程组可得39k b =⎧⎨=⎩，则直线BC 方程为39y x =+，化为一般式为390x y -+=. （2）因为AD 为直线BC 的高，所以AD BC ⊥，故113AD BC k k =-=-，设AD 的直线方程为13y x m =-+，将()2,1A 代入，解得53m =，得AD 的直线方程为1533y x =-+，代为一般式为350x y +-=. 【点睛】本题主要考查了直线方程问题，考查求直线的斜率，两条垂直直线斜率间的关系，属于基础题．19．（1）证明见解析；（2）15【分析】（1）由BC ⊥平面PAB 可得出PA BC ⊥，由勾股定理可得出PA AB ⊥，进而利用线面垂直的判定定理可证得直线PA ⊥平面ABCD ；（2）以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量法可求得直线PB 与平面OAC 夹角的正弦值.【详解】（1）由题知，2PA =，1AB =，PB 222PA AB PB +=，可得PA AB ⊥，由BC ⊥平面PAB ，PA ⊂平面PAB ，可得PA BC ⊥，AB BC B ⋂=，因此，直线PA ⊥平面ABCD ；（2）由（1）知，PA ⊥平面ABCD ，AD AB ⊥，以点A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -，如图，可得()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,2,0C ，1,0,12O ⎛⎫⎪⎝⎭，()002P ,,，则1,0,12AO ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,2,0AC =，()1,0,2PB =-.设平面AOC 的一个法向量为(),,m x y z =，那么00AO m AC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即得0220x z x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，令2x =，得()2,1,1m =--，那么cos ,156m PB m PB mPB⋅<>===⋅，所以直线PB 与平面OAC 夹角的正弦值为15. 【点睛】本题考查线面垂直的判定，同时也考查了利用空间向量法求解线面角的正弦值，考查计算能力与推理能力，属于中等题.20．（1）1-或1；（2）3-3. 【分析】（1）根据方程解出横纵截距，然后建立方程求解即可；（2）由条件可得直线l 的倾斜角为60︒或120︒，然后可求出答案. 【详解】（1）由题意0a ≠ 令0x =，1a y a+=，令0y =，1x a =+，由11a a a+=+，得1a =或1-，综上，a 的值为1-或1；（2）∵直线l 与y 轴所成的角为30，∴直线l 与x 轴所成的角为60︒或120︒，即直线l 的倾斜角为60︒或120︒，∴直线l 的斜率存在，∴0a ≠，又∵直线l 的斜率为1a-，∴1tan60a -=︒=或1tan120a-=︒=∴a =或3【点睛】本题考查的是直线的一般式方程的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单.21．（1（2）. 【分析】（1）由空间向量的加法法则可得11B D AD AB AA =--，利用空间向量数量积的运算性质可求得()2211B D AD AB AA =--的值，由此可求得1B D 的长；（2）计算出11CD B D ⋅、1CD 的值，利用平面向量数量积可计算出11cos ,CD B D <>的值，即可得解.【详解】（1）由题可知，111B D B B BA AD AD AB AA =++=--，那么()2222211111222B D AD AB AA AD AB AA AD AB AD AA AB AA =--=++-⋅-⋅+⋅ ()22211232121323152=++-⨯⨯+⨯-⨯⨯=，因此，1B D（2）由题知，111CD BA AA AB ==-，则()2222111123CD AA AB AA AB AA AB =-=+-⋅==， ()()22111111CD B D AA AB AD AB AA AD AA AD AB AB AA ⋅=-⋅--=⋅-⋅+- 22119131223222=⨯⨯-⨯⨯+-=-，所以，1111119cos ,7CD B D CD B D CD B D -⋅<>===⋅. 【点睛】本题考查利用空间向量法计算线段长，同时也考查了利用空间向量法计算向量夹角的余弦值，解题的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.22．（1）证明见解析（2）2AB =【分析】(1)由已知证明面//QEF 面ACD ,由CP ⊂面ACD 即可证得//CP 面QEF ;(2)设=AB a ,根据已知条件建系如图,求得两个平面的法向量，根据二面角的向量计算公式代入即可求得a .【详解】解：（1）证明：因为E F Q 、、分别为BC BD AB 、、边的中点，所以////QF AD EF CD ，. 又因为QF EF F AD CD D ==，，所以面//QEF 面ACD .又因为CP ⊂面ACD ，所以//CP 面QEF（2）设=AB a .,2,4BC CD BC CBD π⊥=∠=，2,BC CD BD ∴===在底面作直线垂直于BD ，如图建立空间直角坐标系，则(0,0,),,A a C D E F ⎫⎪⎪⎝⎭， 220,0,,,,0,0,2,22a a Q EF QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 设面EQF 的法向量()1,,n x y z = 所以112022202n EF x y a n QF y z ⎧⋅=-+=⎪⎪⎨⎪⋅=-=⎪⎩，令1x=，1n ⎛∴= ⎝⎭.又知面BFQ 的法向量2(1,0,0)n =.所以121cos ,2n n〈〉==，2,2a ==. 综上可知2AB =.【点睛】本题主要考查面面平行的判定和性质定理,考查向量法在求解二面角中的应用,考查了转化化归的思想和运算求解的能力,-属于中档题.。

山东省夏津一中高二数学上学期第一次月考试题

山东省夏津一中2018-2019学年高二数学上学期第一次月考试题一．选择题（共13小题，1-10为单选题，11-13为多选题，共52分）1．给出下列命题中正确的是（）A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱的底面一定是平行四边形D．棱锥的底面一定是三角形2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何？答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高），则由此可推得圆周率π的取值为（）A．3 B．3.1 C．3.14 D．3.23．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是（）A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行4．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，则该圆柱的外接球表面积为（）A．B．4π（π2+1）C．D．4π（π+1）5．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α．有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC，则四面体A﹣BCD 的外接球的体积为（）A．πB．πC．πD．π7．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′=O′C′=1，则△ABC的面积为（）A．2 B．C．D．8．已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9．已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，下列命题：①若a∥b，b∥α，则a∥α；②若a⊥b，b⊥α，c⊥α，则a⊥c；③若a⊥b，b⊥α，则a∥α；④若a∥b，b∥α，b⊂β，a∩β=c，则a∥c．其中错误命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②10．如图1—2—87所示，四边形ABCD中，AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中不正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C12．已知m，n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：A若m⊥α，m⊥n，则n∥α；B若m⊥β，n⊥β，则n∥m；C若m⊥α，m⊥β，则α∥β；D若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m；则正确的（）13．对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件：A存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；B存在平面γ，使得α⊥γ且β⊥γ；Cα内有不共线的三点到β的距离相等；D存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β其中，可以判定α与β平行的条件有（）二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分）14．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π，则该圆锥的侧面积等于．15．现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2．则的值为．16．棱长为a的正四面体的内切球半径为外接球的半径为17.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．18．在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=4，AC=3，AD=1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE= ．三．解答题（共6小题，每小题13分，共78分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中，已知∠ACB=90°，BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，∠ADB=90°，CB=CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB=PD，求证：PC⊥BD；（2）求证：CE∥平面PAD．21．如图所示，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证：BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证：AB1⊥A1C．22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，Q是A1B1的中点．（I）求证：AQ∥平面PBC1；（Ⅱ）若BC=CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB的中点．（1）证明：PD∥平面CEF；（2）若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面体P﹣DEF的体积．24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD的中点，点M在棱CC1上，CM=tCC1（0＜t＜1）．（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大？最大值为多少？（Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．夏津一中高二上学期第一次月考数学试题答案一．选择题（共13小题）1AADBC ．CADAB ．11．ACD 12．BC 13．AD二．填空题（共5小题）14．15π．15．．16.12a 6、4a 6 17．M 在线段FH 上18．．三．解答题（共6小题）19．证明：（1）由题知，EF 是△AA 1B 的中位线，所以EF ∥A 1B……………（2分）由于EF ⊄平面BC 1A 1，A 1B ⊂平面BC 1A 1，所以EF ∥平面BC 1A 1．……………（6分）（2）由题知，四边形BCC 1B 1是正方形，所以B 1C ⊥BC 1．……（8分）又∠A 1C 1B 1=∠ACB=90°，所以A 1C 1⊥C 1B 1．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面A 1C 1B 1，A 1C 1⊂平面A 1C 1B 1，从而A 1C 1⊥CC 1，又CC 1∩C 1B 1=C 1，CC 1，C 1B 1⊂平面BCC 1B 1，所以A 1C 1⊥平面BCC 1B 1，又B 1C ⊂平面BCC 1B 1，所以A 1C 1⊥B 1C..……………（10分）因为A 1C 1∩BC 1=C 1，A 1C 1，BC 1⊂平面BC 1A 1，所以B 1C ⊥平面BC 1A 1．……………（12分）又A 1B ⊂平面BC 1A 1，所以B 1C ⊥A 1B ．又由于EF ∥A 1B ，所以EF ⊥B 1C ．……………（13分）20．证明：（1）取BD 的中点O ，连结CO ，PO ，因为CD=CB ，所以△CBD 为等腰三角形，所以BD ⊥CO ．因为PB=PD ，所以△PBD 为等腰三角形，所以BD ⊥PO ．又PO ∩CO=O ，所以BD ⊥平面PCO ．因为PC ⊂平面PCO ，所以PC ⊥BD ．解：（2）由E 为PB 中点，连EO ，则EO ∥PD ，又EO ⊄平面PAD ，所以EO ∥平面PAD ．由∠ADB=90°，以及BD⊥CO，所以CO∥AD，又CO⊄平面PAD，所以CO∥平面PAD．又CO∩EO=O，所以平面CEO∥平面PAD，而CE⊂平面CEO，所以CE∥平面PAD．21．证明：（1）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AB∥A1B1，且AB=A1B1，又点M，N分别是AB、A1B1的中点，所以MB=A1N，且MB∥A1N．所以四边形A1NBM是平行四边形，从而A1M∥BN．又BN⊄平面A1MC，A1M⊂平面A1MC，所以BN∥平面A1MC；（2）因为ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，所以AA1⊥底面ABC，而AA1⊂侧面ABB1A1，所以侧面ABB1A1⊥底面ABC．又CA=CB，且M是AB的中点，所以CM⊥AB．则由侧面ABB1A1⊥底面ABC，侧面ABB1A1∩底面ABC=AB，CM⊥AB，且CM⊂底面ABC，得CM⊥侧面ABB1A1．又AB1⊂侧面ABB1A1，所以AB1⊥CM．又AB1⊥A1M，A1M、MC平面A1MC，且A1M∩MC=M，所以AB1⊥平面A1MC．又A1C⊂平面A1MC，所以AB⊥A1C．21．证明：（1）取AB中点为R，连接PR，B1R∵点P是CD中点，Q是A1B1的中点，∴四边形AQB1R，PRB1C1都为平行四边形，∴AQ∥B1R，B1R∥PC1，∴AQ∥PC1．∵AQ⊄平面PBC1，PC1⊂平面PBC1，∴AQ∥平面PBC1．（Ⅱ）∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，BC=CC1，∴B1C⊥BC1．∵A1B1⊥平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1．∵A1B1∩B1C=B1，A1B1⊂平面A1B1C，B1C⊂平面A1B1C，∴BC1⊥平面A1B1C，BC1⊂平面PBC1，∴平面A1B1C⊥平面PBC1．22．（1）证明：连接BE、BD，BD交CE于点O，∵E为线段AD的中点，AD∥BC，，∴BC∥ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴O为BD的中点，又F是BP的中点，∴OF∥PD，又OF⊂平面CEF，PD⊄平面CEF，∴PD∥平面CEF；（2）解：由（1）知，四边形BCDE为平行四边形，∴BE∥CD，∵四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，∴AB=AE=BE，∴三角形ABE是等边三角形，∴，做BH⊥AD于H，则，∵PE⊥平面ABCD，PE⊂平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD，又平面PAD∩平面ABCD=AD，BH⊥AD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥平面PAD，∴点B到平面PAD的距离为，又∵F为线段PB的中点，∴点F到平面PAD的距离等于点B到平面PAD的距离的一半，即，又，∴=．23．解：（Ⅰ）由题可知，CM=2t，C1M=2﹣2t，∴V1=S△ECF•CM==，V2=S•C1M=（2﹣2t）=（1﹣t），∴V1•V2=≤•（）2=．当且仅当t=1﹣t，即t=时等号成立．所以当t=时，V1•V2最大，最大值为．（Ⅱ）连接A1C1交B1D1于点O，则O为A1C1的中点，∵A1C∥平面B1D1M，平面A1CC1∩平面B1D1M=OM，∴A1C∥OM，∴M为CC1的中点，连接BD，∵E，F为BC、CD的中点，∴EF∥BD，又AC⊥BD，∴AC⊥EF．∵AA1⊥平面ABCD，EF⊂平面ABCD，∴AA1⊥EF，又AA1∩AC=A，∴EF⊥平面A1AC，又A1C⊂平面A1AC，∴EF⊥A1C．同理可得：EM⊥A1C，又EF∩EM=E，∴A1C⊥平面EFM．又A1C∥平面B1D1M，∴平面EFM⊥平面B1D1M．。

2020-2021学年山东省德州市夏津县第一中学高二上学期第一次月考(10月)数学试题(解析版)

2020-2021学年山东省德州市夏津县第一中学高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．若A,B,C,D 为空间不同的四点,则下列各式为零向量的是( )①AB +2BC +2CD DC +;②2AB +2BC +3CD +3DA AC +;③AB CA BD ++;④AB CB CD AD -+-.A ．①②B ．②③C ．②④D ．①④【答案】C【解析】无论是平面向量还是空间向量，各向量的和为零向量必定有各向量恰好形成一个回路，即起点与终点重合，也可以运用向量加法法则直接计算．【详解】①22AB BC CD DC +++=2AB BD DC ++=AB BD BD DC +++=AD BC +； ②2233AB BC CD DA AC ++++=23AC CA AC ++=0； ③AB CA BD ++=AD CA +；④AB CB CD AD -+-=AB BC CD DA +++表示A B C D A →→→→恰好形成一个回路，结果必为0；综上可知答案选C ．【点睛】本题考查了向量的基本运算，关键掌握相应运算的法则，属于基础题．2．已知(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，而B 关于x 轴的对称点为C ，则BC =（）A ．(042)，， B ．(042)--，， C ．(040)，， D ．(202)-，，【答案】B 【解析】【详解】本题考查空间直角坐标系及向量的坐标因为(121)A -，，关于面xOy 的对称点为B ，所以()1,2,1B ；又而B 关于x 轴的对称点为C ，则()1,2,1C --，所以()()()1,2,11,2,10,4,2BC =---=-- 故正确答案为B3．若直线1:260l ax y ++=与直线()2:150l x a y +-+=垂直，则实数a 的值是（） A ．23B ．1C ．12D ．2【答案】A【解析】根据直线的垂直关系求解. 【详解】由1l 与2l 垂直得：·12(1)=0a a +-，解得23a = ，故选A. 【点睛】本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系,属于基础题.4．已知四面体A-BCD 的所有棱长都是2,点E,F 分别是AD,DC 的中点,则EF BA ⋅=( )A ．1B ．-1C D ．【答案】B【解析】在四面体中，由题意可得任意两条棱的夹角为60°，又12EF AC =，再根据数量积的定义求解．【详解】由题意可得12EF AC =，所以1122cos120122EF BA AC BA ⋅=⋅=⨯⨯⨯︒=-．故选B ．【点睛】在利用定义求向量的数量积时，要注意两向量夹角的确定，如在本题中,AC BA 的夹角为120°而不是60°，这是在解题中容易出现的错误，考虑问题时一定要抓住夹角的定义．5．如图，M 是三棱锥P ABC -的底面ABC ∆的重心.若PM x AP y AB z AC =++（x 、y 、z R ∈），则x y z ++的值为（）A ．23B ．1C ．13-D ．12-【答案】C【解析】根据重心的性质及向量加法的平行四边形法则，13AM =（AB AC +），从而便可得到PM ═1133AP AB AC -++，由此可求出x +y +z ．【详解】如图，连结PM ，AM,∵M 是三棱锥P ﹣ABC 的底面△ABC 的重心， ∴()13AM AB AC =+， ∴1133PM PA AM AP AB AC =+=-++， ∵PM x AP y AB z AC =++（x 、y 、x ∈R ）， ∴x ＝﹣1，y ＝z 13=， ∴x +y +z 13=-．故选：C ．【点睛】本题考查代数和的求法，考查重心定理、向量加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．已知三棱锥底面是边长为1的等边三角形，侧棱长均为2，则侧棱与底面所成角的余弦值为（）A ．3 B ．12C ．3 D ．36【答案】D【解析】由正三棱锥得顶点在底面上的射影正好落在底面的中心上，构造由棱锥高、侧棱长及底面顶点到中心为三边的三角形，解三角形后，即可得结果. 【详解】由已知易得该三棱锥为正三棱锥，则顶点在底面上的射影正好落在底面的中心上，如图所示：在三棱锥S ABC -中，O 为底面中心，则易得SO AO ⊥，3AO =，2SA =，则SAO ∠即为侧棱与底面所成的角，则3cos AO SAO SA ∠==，故选：D. 【点睛】本题主要考查了棱锥的性质，直线与平面所成的角的求法，属于基础题. 7．在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=，4AB AC ==，60PBC ∠=，则点C 到平面PAB 的距离是( )A ．342B 442C 542D 642【答案】B【解析】以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点C 到平面PAB 的距离．【详解】在三棱锥P ABC -中，PC ⊥底面ABC ，90BAC ∠=，4AB AC ==，60PBC ∠=，∴以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，过A 作平面ABC 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,C 4，0)，(0,P 4，46)，(0,A 0，0)，(4,B 0，0)，(0,AC =4，0)，(4,AB =0，0)， (0,AP =4，6)，设平面PAB 的法向量(,n x =y ，)z ，则446040n AP y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，取1z =，得()0,6,1n =-，∴点C 到平面PAB 的距离464427AC n d n⋅===．故选B ．【点睛】本题考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 8．在直三棱柱111A B C ABC -中, 1,12BAC AB AC AA π∠====已知G 和E 分别为11A B 和1CC 的中点, D 与F 分别为线段AC 和AB 上的动点(不包括端点),若GD EF ⊥,则线段DF 的长度的取值范围为( )A ．5,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭B ．5 ,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．25 ,1⎛⎫⎪⎪⎝⎭D ．25 ,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】A【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0A ,10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ,1,0,12G ⎛⎫⎪⎝⎭,(),0,0F x ,()0,,0D y ，由于GD EF ⊥，所以210x y +-=，222221541555DF x y y y y ⎛⎫=+=-+=-+ ⎪⎝⎭，当25y =时，线段DF 长度的最小值是5，当1y =时，线段DF 的最大值是1，由于不包括端点，故1y =不能取，故选A .点睛：本题主要考查空间中点、线、面的位置关系，考查柱体的结构特征，考查利用空间直角坐标系，数形结合的数学思想方法.由于几何体容易建系，故一开始就对其建立空间直角坐标系，利用两个向量垂直，数量积为零，得到,F D 两点坐标的关系，利用两点间距离公式和二次函数配方法，可求得取值范围.二、多选题9．在以下命题中，不正确的命题有（） A ．a b a b →→→→-=+是a →，b →共线的充要条件 B ．若//a b →→，则存在唯一的实数λ，使a b λ→→=C ．对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若22OP OA OB OC →→→→=--，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．若{},,a b c →→→为空间的一个基底，则{},,a b b c c a →→→→→→+++构成空间的另一个基底【答案】ABC【解析】根据向量共线的性质，即可判断A 选项；根据零向量与任意向量共线以及向量共线定理，即可判断B 选项；根据向量的共面定理的定义，即可判断C 选项；根据不共面的三个向量可构成空间的一个基底，结合共面向量定理，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A ，当a b a b →→→→-=+，则a →，b →共线成立，但a →，b →同向共线时，a b a b →→→→-≠+，所以a b a b →→→→-=+是a →，b →共线的充分不必要条件，故A 不正确；对于B ，当0b →→=时，//a b →→，不存在唯一的实数λ，使a b λ→→=，故B 不正确；对于C ，由于22OP OA OB OC →→→→=--，而2211--≠，根据共面向量定理知，P ，A ，B ，C 四点不共面，故C 不正确；对于D ，若{},,a b c →→→为空间的一个基底，则,,a b c →→→不共面，由基底的定义可知，,,a b b c c a →→→→→→+++不共面，则{},,a b b c c a →→→→→→+++构成空间的另一个基底，故D 正确. 故选：ABC. 【点睛】本题考查与向量有关的命题的真假性判断，考查空间向量的共线定理和共面定理的应用，考查推理论证能力.10．已知平面上一点M (5，0)，若直线上存在点P 使|PM |=4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是（） A ．y =x +1B ．y =2C ．43y x =D ．y =2x +1【答案】BC【解析】根据切割型直线的定义，由点M (5，0)到直线距离不大于4求解. 【详解】A. 点M (5，0)到直线 y =x +1的距离为：3242d ==>，故错误；B. 点M (5，0)到直线y =2的距离为：34d =<，故正确；C. 点M (5，0)到直线43y x =的距离为：2453441+3d ⨯==⎛⎫ ⎪⎝⎭，故正确；D. 点M (5，0)到直线y =2x +1的距离为：()225+1115451+2d ==>，故错误；故选：BC 【点睛】本题主要考查点到直线的距离以及存在问题，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”（chumeng ）是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如下图五面体ABCDEF 是一个刍甍，其中四边形ABCD 为矩形，其中8AB =，23AD =，ADE 与BCF △都是等边三角形，且二面角E AD B --与F BC A --相等且大于3π，则EF 长度可能为（）A ．1B ．5C ．9D ．13【答案】CD【解析】取两个极限情况：二面角E AD B --与F BC A --相等，且为平角时，14EF =，二面角为3π时，5EF =，即可得出结果.【详解】等边三角形ADE 边上的高为 3603︒=，同理等边三角形BCF 边上的高为3．二面角E AD B --与F BC A --相等，且为平角时，6814EF =+=，因此14EF <，二面角E AD B --与F BC A --相等，且为3π时，EF 最小，如图所示，此时取BC ，AD 的中点,O Q ，连接OQ ，FO ，由图形的对称性可得F 点在底面的投影必在OQ 上，由于OF BC ⊥，OH BC ⊥，所以FOH ∠即为二面角F BC A --的平面角，即3FOH π∠=，故32OH =，此时38252EF =-⨯= 由于二面角大于3π，因此5EF >，即可得EF 长度可能为9,13，故选：CD.【点睛】本题主要考查了空间角、运动思想方法、空间位置关系，考查了空间想象能力、推理能力，属于中档题.12．如图（1）是一副直角三角板.现将两三角板拼成直二面角，得到四面体ABCD ，如图（2）所示.下列叙述中正确的是（）A ．0BD AC ⋅=B ．平面BCD 的法向量与平面ACD 的法向量垂直C ．异面直线BC 与AD 所成的角小于60° D ．直线DC 与平面ABC 所成的角为30° 【答案】ACD【解析】根据直线与平面垂直的判定定理可得BD ⊥平面ABC ，可得A 正确；根据平面BCD 与平面ACD 不垂直，可得B 不正确；过点D 作DM 和BC 平行且相等，可得ADM ∠为异面直线BC 与AD 所成的角，求得cos ADM ∠的值，可得C 正确，由条件求得DCB ∠为直线DC 与平面ABC 所成的角，可得D 正确. 【详解】对于选项A ：将两三角板拼成直二面角，故平面ABC ⊥平面BCD ，因为BD BC ⊥，平面ABC平面BCD BC =，BD ⊂平面BCD ，故BD ⊥平面ABC ，所以BD AC ⊥，故0BD AC ⋅=，故选项A 正确；对于选项B ：平面BCD 与平面ACD 不垂直，故两个平面的法向量不可能垂直，故选项B 不正确；对于选项C ：过点D 作DM 和BC 平行且相等，可得ADM ∠为异面直线BC 与AD 所成的角，设2AB AC ==，则22BC =326tan 3022BD BC =⋅==，因为四边形BDMC 为矩形，22DM BC ==222226215233AD BD AB ⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭，等腰三角形ADM 中，123012cos 102215DMADM AD ∠===> ，故60ADM ∠<，故选项C 正确；对于选项D ：BD ⊥平面ABC ，所以BC 为DC 在平面ABC 内的射影，所以DCB ∠为直线DC 与平面ABC 所成的角，因为30DCB ∠=，故选项D 正确，故选：ACD 【点睛】本题主要考查了平面图形翻折问题，直线和平面垂直的判定与性质，直线和平面所成的角、异面直线所成的角，属于中档题.三、填空题13．经过两条直线220x y ++=和3420x y +-=的交点，且垂直于直线3240x y -+=的直线的一般式方程为______.【答案】2320x y +-=【解析】首先联立方程求两直线的交点，再利用两直线垂直斜率之积为-1，可求得所求直线斜率，然后根据点斜式可得直线方程. 【详解】由方程组3420220x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得交点坐标为()2,2-，因为所求直线垂直于直线3240x y -+=，故所求直线的斜率23k =-，由点斜式得所求直线方程为()2223y x -=-+，即2320x y +-=. 故答案为：2320x y +-=. 【点睛】本题主要考查两条直线的交点坐标的求法，考查从直线的一般方程求斜率，考查两条直线垂直斜率之积为1-，考查学生的运算能力，属于基础题.14．如图，已知在大小为60°的二面角l αβ--中，,,A B AC l αβ∈∈⊥于点,C BD l ⊥于点D ，且1,2,5AC BD AB ===，则CD =_________.22【解析】由向量线性运算加法的运算性质，结合二面角表示得AB AC CD DB =++，同时平方结合向量的数量积即可求解【详解】,AC l BD l ⊥⊥，二面角l αβ--的大小为60°，,60CA DB ︒∴=，AB AC CD DB =++，2222222AB AC CD DB AC CD AC DB CD DB ∴=+++⋅+⋅+⋅，2225142||||cos ,CD AC DB AC DB∴=+++⋅⋅， 220212cos12022CD ︒∴=-⨯⨯⨯=，||22CD ∴=.故答案为：22 【点睛】本题考查由向量的运算性质求解二面角中具体线段长度问题，属于中档题15．点P 在直线l ：310x y --=上，当P 到()4,1A 和()0,4B 的距离之差最大时，点P 的坐标为______.【答案】5(2)P ，【解析】先判断()4,1A 和()0,4B 在直线l 的两侧，接着求点()4,1A 关于直线l 的对称点()'2,3A -，再判断当'A 、B 、P 三点共线时差值最大，最后求直线'A B 的方程并建立方程组求点P 的坐标. 【详解】解：因为34110⨯-->和30410⨯--<，所以()4,1A 和()0,4B 在直线l 的两侧，设点()',A m n 是点()4,1A 关于直线l 对称的对称点，则41310221314m n n m ++⎧⨯--=⎪⎪⎨-⎪⨯=-⎪-⎩，解得23m n =-⎧⎨=⎩，所以点()'2,3A -，根据题意作图如下：所以'PA PA =，由图可知，''PA PB PA PB A B -=-≤, 当'A 、B 、P 三点共线时，差值最大，且最大值为'A B ，因为()'2,3A -和()0,4B ，所以直线'A B 的方程为：280x y -+= 所以280310x y x y -+=⎧⎨--=⎩，解得25x y =⎧⎨=⎩，所以(2,5)P .所以当P 到()4,1A 和()0,4B 的距离之差最大时，点P 的坐标为(2,5)P 故答案为：(2,5)P 【点睛】本题考查求关于直线对称的对称点、求直线的交点坐标、动点到定点的距离差的最值问题，是中档题.16．如图，已知平面四边形ABCD ，3AB BC ==，1CD =，5AD =，90ADC ∠=︒.沿直线AC 将ACD △翻折成'ACD △，直线AC 与'BD 所成角的余弦的最大值是______.【答案】66【解析】通过作辅助线//BF AC ，把异面直线AC 与'BD 平移到一个面内，即FBD '∠为直线AC 与'BD 所成的角，再利用线面垂直的判定定理可知，D FB '为直角三角形，要想FBD '∠的余弦值最大，需要D B '的长最小，即D F '长最小，所以在D EF '中，先用余弦定理求得D F '长的最小值. 【详解】如图所示，取AC 的中点O ，并连接BO ，AB BC =，BO AC ∴⊥,在Rt ACD '中，221(5)6AC =+=作D E AC '⊥，垂足为E ，由等面积法可得6D E '==，又CO =，CE ==，EO CO CE ∴=-==. 过点B 作//BF AC ，作//FE BO 交BF 于点F ，则EF AC ⊥，连接D F '，则FBD '∠为直线AC 与'BD 所成的角.由四边形BOEF 为矩形，BF EO ∴==，2EE BO ===，由D E AC '⊥，EF AC ⊥，可知D EF '∠为二面角D CA B '--的平面角，设为θ，由余弦定理可得：2222510(()25cos 626233D F θθ'=+-⨯⨯=-≥（cos 1θ=时等号成立）由D E AC '⊥，EF AC ⊥，EF D E E '=，则AC ⊥平面D EF '，又D F '⊂平面D EF '，则D F AC '⊥，所以D F BF '⊥，在直角D FB '中，利用勾股定理222+D F BF D B ''=，可知D B '∴的最小值2==，3cos 26BF D BF D B '∴∠===',∴直线AC 与'BD【点睛】本题考查异面直线夹角的求法，有两种做法：一，把异面直线平移到一个面内，按解三角形来求角度，即用余弦定理求；二，可以建立空间直角坐标系，利用空间向量方法求，考查学生的逻辑推理能力与运算能力，属于难题.四、解答题17．已知直线l 在两坐标轴上的截距相等，且P （4，3）到直线l 的距离为3，求直线l 的方程．【答案】y=x ，或x +y ﹣1=0，或 x +y ﹣13=0．【解析】试题分析：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx ，再根据P （4，3）到直线l 的距离为3，求得k 的值，可得此时直线的方程．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y ﹣a=0，由P （4，3）到直线l 的距离为3，求得a 的值，可得此时直线方程，综合可得结论．解：当直线经过原点时，设直线方程为y=kx ，再根据P （4，3）到直线l 的距离为3，可得 =3，求得k=，故此时直线的方程为 y=x ．当直线不经过原点时，设直线的方程为x+y ﹣a=0，由P （4，3）到直线l 的距离为3，可得=3，求得a=1，或a=13，故此时直线的方程为x+y ﹣1=0或x+y ﹣13=0．综上可得，所求直线的方程为y=x ，或x+y ﹣1=0，或x+y ﹣13=0．【考点】直线的截距式方程；点到直线的距离公式．18．已知向量()1,3,2a =-，()2,1,1b =-，点()3,1,4A --，()2,2,2B --. （1）求2a b +；（2）在直线AB 上，是否存在一点E ，使得OE b ⊥，（O 为原点），若存在，求出点E 的坐标，若不存在，说明理由.【答案】（1）52（2）存在，6142,,555E ⎛⎫--⎪⎝⎭. 【解析】（1）根据向量的坐标加法运算求出2a b →→+，再利用向量的模长公式即可求出2a b →→+；（2）由向量共线定理和向量的线性运算得出OE OA AE OA t AB →→→→→=+=+，从而得出OE →的坐标，再根据OE b →→⊥以及向量的数量积，即可求出t 的值，即可得出点E 的坐标. 【详解】（1）根据题意，得()()()22,6,42,1,10,5,5a b →→+=-+-=-，故()222205552a b →→+=+-+=.（2）由于点E 在直线AB 上，则OE OA AE OA t AB →→→→→=+=+，即()()()3,1,41,1,23,1,42OE t t t t →=--+--=-+---，由OE b →→⊥，则0OE b →→⋅=，所以()()()231420t t t --++--+-=，解得95t =，因此在直线AB 上存在点E ，使得OE b ⊥，此时点E 的坐标为6142,,555E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查平面向量坐标的加法运算和向量的模，考查向量的共线定理和向量的线性运算，及向量垂直运算，考查学生运算能力，属于基础题.19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，M ，N 分别是1A B ，11B C 上的点，且12BM A M =，112C N B N =.设AB a =，AC b =，1AA c =.（1）试用a ，b ，c 表示向量MN ；（2）若90BAC ∠=︒，1160BAA CAA ∠=∠=︒，11AB AC AA ===，求MN 的长. 【答案】（1）111333MN a b c =++；（2）53MN =. 【解析】（1）由于1111MN MA AC C N =++，结合空间向量的线性运算法则即可得结果；（2）根据空间向量数量积的运算法则，求MN 的平方即可得结果. 【详解】（1）111111233MN MA AC C N BA AC CB =++=++ =()1112333AB AA AC AB AC -+++- =11133AB AA AC ++ 又AB a =，AC b =，1AA c=，∴111333MN a b c =++. （2）∵11AB AC AA ===，∴1a b c ===. ∵90BAC ∠=︒，∴0a b ⋅=.∵1160BAA CAA ∠=∠=︒，∴12a cbc ⋅=⋅=， ∴()()22222115222999MN a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅=， ∴5MN =. 【点睛】本题主要考查了空间向量的线性运算，利用向量的数量积求线段的长，考查了学生的计算能力，属于基础题.20．如图所示，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4ABC π∠=，OA ⊥面ABCD ，2OA =，M 、N 分别为OA 、BC 的中点.（1）证明：直线//MN 平面OCD ；（2）求异面直线AB 与MD 所成角的大小；（3）求点B 到平面OCD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）3π（3）23【解析】(1) 取OD 的中点E ，构造平行四边形MNCE ，再根据线面平行的判定定理完成证明；(2)根据平行可知异面直线AB 与MD 所成的角即为MDC ∠或其补角，然后根据长度进行求解；(3)根据线面平行将问题转化为A 到平面OCD 的距离，然后作出A 在平面内的射影，根据长度即可计算出A 到平面OCD 的距离，即可求解出点B 到平面OCD 的距离. 【详解】（1）取OD 的中点E ，连接ME 、CE .则四边形MNCE 为平行四边形， ∴//MN CE ，又∵MN ⊄平面OCD ，CE ⊂平面OCD ， ∴//MN 平面OCD .（2）∵//CD AB ，∴MDC ∠为异面直线AB 与MD 所成的角（或其补角）作AP CD ⊥于点P ，连接,MP MD .∵OA ⊥平面ABCD ，∴CD MP ⊥，∵4ADP π∠=，∴2DP =. ∵222MD MA AD =+=，∴1cos 2DP MDP MD ∠==，3MDC MDP π∠=∠=. 所以异面直线AB 与MD 所成的角为3π.（3）∵//AB 平面OCD ，∴点B 和点A 到平面OCD 的距离相等. 连接OP ，过点A 作AQ OP ⊥于点Q ，∵AP CD ⊥，OA CD ⊥，∴CD ⊥平面OAP ，∴AQ CD ⊥，又∵AQ OP ⊥，∴AQ ⊥平面OCD ，线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离，与点B 到平面OCD 的距离相等22222322OP ODDP OA AD DP =-=+-=，22AP AD ==， 2222332OA AP AQ OP ⨯⋅===. 所以点B 到平面OCD 的距离为23.【点睛】本题考查线面平行的证明、异面直线所成角以及点到面的距离的求解，难度一般.(1)求解异面直线所成角注意角是钝角还是锐角；(2)求解点到平面内的距离，除了通过找到点在平面内射影的方法并根据长度求解距离，还可以通过等体积法完成距离的求解. 21．已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 为菱形， PD PB =,H 为PC 上的点，过AH 的平面分别交,PB PD 于点,M N ，且//BD 平面AMHN ．（1）证明： MN PC ⊥；（2）当H 为PC 的中点， 3PA PC AB ==，PA 与平面ABCD 所成的角为60︒，求二面角PAM N 的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）39. 【解析】（1）连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．由题意可证得BD ⊥平面PAC ，则BD PC ⊥．由线面平行的性质定理可得//BD MN ，据此即可证得题中的结论；（2）结合几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量，然后求解二面角的余弦值即可. 【详解】（1）证明：连结AC 交BD 于点O ，连结PO ．因为ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，且O 为AC 、BD 的中点，因为PD PB =，所以PO BD ⊥，因为AC PO O ⋂=且AC PO ⊂、平面PAC ，所以BD ⊥平面PAC ，因为PC ⊂平面PAC ，所以BD PC ⊥．因为//BD 平面AMHN ， BD ⊂平面PBD ，且平面AMHN ⋂平面PBD MN =，所以//BD MN ，所以MN PC ⊥．（2）由（1）知BD AC ⊥且PO BD ⊥，因为PA PC =，且O 为AC 的中点，所以PO AC ⊥，所以PO ⊥平面ABCD ，所以PA 与平面ABCD 所成的角为PAO ∠，所以，所以13,22AO PA PO PA ==，因为3PA =，所以36BO PA =．分别以OA ， OB ， OP 为,,x y z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设2PA =，则()()()(33130,0,0,1,0,0,,1,0,0,0,,3,2O A B C D P H ⎛⎫⎛⎫⎛-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()233330,,0,,0,,1,,0,1,0,33223DB AH AB AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．记平面AMHN 的法向量为()1111,,n x y z =，则1111123033302n DB y n AH x z ⎧⋅==⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩，令10x =，则110,3y z ==，所以()11,0,3n =，记平面PAB 的法向量为()2222,,n x y z =，则2222223030n AB x y n AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩，令21x =，则2233,3y z ==，所以231,3,3n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，记二面角P AM N --的大小为θ，则12121239cos cos<,n n n n n n θ⋅=>==⋅．所以二面角P AM N --的余弦值为39 ．【点睛】本题主要考查线面垂直的性质定理，利用空间直角坐标系求二面角的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22．已知三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=，11A B AC ⊥，14AC AA ==，2BC =．()1求证：面11A ACC ⊥面ABC ；()2若160A AC ∠=，在线段AC 上是否存在一点P ，使二面角1B A PC --的平面角3P 的位置；若不存在，说明理由【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】()1由1AC AA =，可得四边形11AAC C 为菱形，则11A C AC ⊥，又11A B AC ⊥，利用线面垂直的判定可得1AC ⊥平面1A CB ，得到1AC BC ⊥，结合90ACB ∠=，即可证明BC ⊥平面11A ACC ，从而可证明面11A ACC ⊥面ABC ；()2以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立空间直角坐标系，设在线段AC 上存在一点P ，满足AP AC λ=，使得二面角1B A P C --的余弦值为34，利用二面角1B A P C --的余弦值为34，可求得λ的值，从而得到答案．【详解】 ()1证明：如图，1AC AA =，∴四边形11AAC C 为菱形，连接1A C ，则11A C AC ⊥，又11A B AC ⊥，且111A C A B A ⋂=，1AC ∴⊥平面1A CB ，则1AC BC ⊥，又90ACB ∠=，即BC AC ⊥，BC ∴⊥平面11A ACC ，而BC ⊂平面ABC ，∴面11A ACC ⊥面ABC ；()2解：以C 为坐标原点，分别以CA ，CB 所在直线为x ，y 轴建立如图所示的空间直角坐标系，14AC AA ==，2BC =，160A AC ∠=，(0,C ∴0，0)，(0,B 2，0)，(4,A 0，0)，1(2,A 0,23).设在线段AC 上存在一点P ，满足()01AP AC λλ=≤≤，使得二面角1B A P C --的3 则()4,0,0AP λ=-．()4,2,0(4,BP BA AP λ=+=-+-0，0)(44λ=-，2-，0)，(1124,0,23A P A A AP λ=+=--，(12,0,23CA =．设平面1BA P 的一个法向量为()111,,m x y z =，由()()11111442024230m BP x y m A P x z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=--=⎪⎩，取11x =，得1,223m λ⎛=- ⎝；平面1A PC 的一个法向量为()0,1,0n =．由22223cos ,4(12)1(22)13m nm n m n λλλ⋅-===⋅-+-+⨯，解得：43λ=，或34λ=，因为01λ≤≤，所以34λ=.故在线段AC 上存在一点P ，满足34AP AC =，使二面角1B A P C --【点睛】本题考查平面与平面垂直的判定，考查了平面与平面的夹角，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解二面角，是中档题．。

2020年山东省德州市夏津县第一中学高二数学文月考试题含解析

2020年山东省德州市夏津县第一中学高二数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 计算sin240°的值为（）A．﹣B．﹣C．D．参考答案：A【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式化简可得所给式子的值．【解答】解：sin240°=sin=﹣sin60°=﹣，故选：A．2. 若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是( )A． B． C． D．参考答案：C略3. 若，且满足，则的最小值是（）A． B． C． D．参考答案：B4. 的常数项为( )A.28B.56C.112D.224参考答案：C的常数项为,故选C.5. 从椭圆短轴的一个端点看长轴的两个端点的视角为，那么此椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D6. 若直线的参数方程为（t为参数），则直线的斜率为（）A. B. C. D.参考答案：D7. 如图，AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于点A，B)，直线PA垂直于圆O所在的平面，点M 为线段PB的中点．有以下四个命题：①PA∥平面MOB；②MO∥平面PAC；③OC⊥平面PAC；④平面PAC⊥平面PBC。

其中正确的命题是( )A．①和② B．②和③C．③和④ D．②和④参考答案：D8. 已知=（）A．1+2i B．1﹣2i C．2+i D．2﹣i参考答案：C【考点】A3：复数相等的充要条件．【分析】复数为实数的充要条件是虚部为0．和复数相等，求出m 、n 即可．【解答】解：∵，由于m 、n 是实数，得∴，故选择C ．9. 在区域内任取一点，则点落在单位圆内的概率为（）A ．B ．C ．D ．参考答案：D 略10. 由直线x ＝－，x ＝，y ＝0与曲线y ＝cosx 所围成的封闭图形的面积为( )参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线经过定点的坐标为.参考答案：(2,0) 直线方程即：,结合直线的点斜式方程可知，直线经过定点的坐标为12. 已知点P 是曲线上一点，则P 到直线的最小值为 ▲ ．参考答案：略13. 复数(其中)满足方程, 则在复平面上表示的图形是____________。

山东省夏津一中高二数学上学期第一次月考试题

山东省夏津一中2018—2019学年高二数学上学期第一次月考试题一．选择题（共13小题，1—10为单选题,11—13为多选题，共52分)1．给出下列命题中正确的是（）A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱B．底面是矩形的平行六面体是长方体C．棱柱的底面一定是平行四边形D．棱锥的底面一定是三角形2．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡瑽,周四丈八尺，高一丈一尺．问积几何?答曰：二千一百一十二尺．术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一”．这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘,以高乘之，十二而一”．就是说：圆堡瑽（圆柱体）的体积为（底面圆的周长的平方×高）,则由此可推得圆周率π的取值为（)A．3 B．3.1 C．3。

14 D．3。

23．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( ）A．MN与CC1垂直 B．MN与AC垂直C．MN与BD平行D．MN与A1B1平行4．已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2π的正方形，则该圆柱的外接球表面积为（）A．B．4π（π2+1) C．D．4π(π+1)5．在直三棱柱ABC﹣A1B l C1中，平面α与棱AB，AC,A1C1，A1B1分别交于点E，F,G，H,且直线AA1∥平面α．有下列三个命题:①四边形EFGH是平行四边形;②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE．其中正确的命题有（)A．①② B．②③ C．①③ D．①②③6．矩形ABCD中,AB=4,BC=3，沿AC将矩形ABCD折起，使面BAC⊥面DAC,则四面体A﹣BCD的外接球的体积为( )A．πB．πC．πD．π7．如图所示，Rt△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，其中A′C′⊥B′C′，B′O′=O′C′=1,则△ABC的面积为（）A．2 B．C．D．8．已知三棱锥S﹣ABC的四个顶点均在某个球面上，SC为该球的直径，△ABC是边长为4的等边三角形，三棱锥S﹣ABC的体积为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．9．已知a，b，c表示不同的直线，α,β表示不同的平面,下列命题：①若a∥b,b∥α,则a∥α；②若a⊥b,b⊥α，c⊥α，则a⊥c;③若a⊥b，b⊥α，则a∥α;④若a∥b，b∥α，b⊂β，a∩β=c,则a∥c．其中错误命题的序号是（）A．①③ B．②④ C．③④ D．①②10．如图1-2—87所示，四边形ABCD中,AD//BC，AD=AB，∠BCD=45°，∠BAD=90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD,构成四面体ABCD,则在四面体ABCD中，下列命题正确的是（）A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BDC D．平面ABC⊥平面BDC11．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是线段BC1上任意一点，则下列结论中不正确的是（）A．AD1⊥DP B．AP⊥B1C C．AC1⊥DP D．A1P⊥B1C12．已知m,n是两条直线，α，β是两个平面．给出下列命题：A若m⊥α,m⊥n，则n∥α；B若m⊥β，n ⊥β，则n∥m;C若m⊥α，m⊥β，则α∥β；D若α∥β，m⊂α，n⊂β，则n∥m;则正确的（）13．对于不重合的两个平面α和β，给定下列条件:A存在直线l，使得l⊥α，且l⊥β；B存在平面γ,使得α⊥γ且β⊥γ;Cα内有不共线的三点到β的距离相等；D存在异面直线l,m，使得l∥α，l∥β,m∥α,m∥β其中，可以判定α与β平行的条件有（）二．填空题（共5小题，每小题4分,共20分）14．若一圆锥的底面半径为3，体积是12π,则该圆锥的侧面积等于．15．现有一正四棱柱形铁块，底面边长为高的8倍，将其熔化锻造成一个底面积不变的正四棱锥形铁件（不计材料损耗）．设正四棱柱与正四棱锥的侧面积分别为S1，S2．则的值为．16．棱长为a的正四面体的内切球半径为外接球的半径为17.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足时，有MN∥平面B1BDD1．18．在四面体ABCD中，DA⊥平面ABC,AB⊥AC，AB=4,AC=3,AD=1，E为棱BC上一点，且平面ADE⊥平面BCD，则DE= ．三．解答题(共6小题，每小题13分，共78分）19．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C中,已知∠ACB=90°,BC=CC1，E，F分别为AB，AA1的中点．（1）求证：直线EF∥平面BC1A1；（2）求证：EF⊥B1C．20．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,∠ADB=90°,CB=CD，点E为棱PB的中点．（1）若PB=PD，求证:PC⊥BD；(2）求证:CE∥平面PAD．21．如图所示,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB，点M，N分别是AB，A1B1的中点．（1）求证:BN∥平面A1MC；（2）若A1M⊥AB1，求证:AB1⊥A1C．22．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1为长方体，点P是CD中点，Q是A1B1的中点．（I）求证：AQ∥平面PBC1；(Ⅱ)若BC=CC1，求证：平面A1B1C⊥平面PBC1．23．如图，在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为等腰梯形，AD∥BC，，E，F分别为线段AD，PB 的中点．（1）证明：PD∥平面CEF；(2)若PE⊥平面ABCD，PE=AB=2，求四面体P﹣DEF的体积．24．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是CB，CD的中点，点M在棱CC1上，CM=tCC1（0＜t ＜1)．（Ⅰ）三棱锥C﹣EFM，C1﹣B1D1M的体积分别为V1，V2，当t为何值时，V1•V2最大?最大值为多少？(Ⅱ）若A1C∥平面B1D1M，证明：平面EFM⊥平面B1D1M．夏津一中高二上学期第一次月考数学试题答案一．选择题(共13小题) 1AADBC ．CADAB ． 11．ACD 12．BC 13．AD 二．填空题（共5小题） 14．15π．15．．16。

2021年山东省德州市夏津县第一中学高二数学理联考试题含解析

2021年山东省德州市夏津县第一中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数的周期为2，当∈[－1,1]时，那么函数的图象与函数的图象的交点共有A、10个B、9个C、8个D、1个参考答案：A2. 已知命题，其中正确的是A. B.C. D.参考答案：C略3. （ +）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180 B．90 C．45 D．360参考答案：A【考点】DB：二项式系数的性质．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：由于（+）n展开式中只有第六项的二项式系数最大，故n=10，故（+）10展开式的通项公式为 T r+1=?2r?，令5﹣=0，求得 r=2，∴展开式中的常数项是?22=180，故选：A．4. 已知点，过抛物线上的动点M作的垂线，垂足为N，则的最小值为（）A． B. C. D.参考答案：C5. 在中，分别是三内角的对边，且，则角等于( )A． B． C． D．参考答案：B略6. 下列关于随机抽样的说法不正确的是( )A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样参考答案：C考点：系统抽样方法；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：根据抽样的定义和性质分别进行碰到即可．解答：解：A．简单随机抽样是一种逐个抽取不放回的抽样，正确．B．系统抽样和分层抽样中每个个体被抽到的概率都相等，正确．C．有2006个零件，先用随机数表法剔除6个，再用系统抽样方法抽取20个作为样本，每个零件入选样本的概率都为，故C错误，D．当总体是由差异明显的几个部分组成时适宜采取分层抽样，正确．故选：C点评：本题主要考查与抽样有关的命题的真假判断，比较基础．7. 已知=2， =3， =4，…，若（a，b∈R），则（）A．a=7，b=35 B．a=7，b=48 C．a=6，b=35 D．a=6，b=48参考答案：B【考点】进行简单的合情推理．【专题】计算题；规律型；转化思想；推理和证明．【分析】利用已知条件，找出规律，写出结果即可．【解答】解： =2， =3， =4，…，可得通项公式为： =，若（a，b∈R），则a=7，b=48．故选：B．【点评】本题考查归纳推理，考查分析问题解决问题的能力．8. 设是可导函数，且（）A．B．－1 C．0 D．－2参考答案：B略9. 函数的递减区间是A.或B.C. 或D.参考答案：B略10. 已知是离心率为为双曲线的左、右焦点，点在上，，则（）（A）（B）（C）（D）参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点是该抛物线的焦点，则双曲线实轴长．参考答案：12【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求出抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，利用抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=225相切，可得p，利用双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点是该抛物线的焦点， =，a 2+b 2=144，即可求出双曲线实轴长．【解答】解：抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线方程为x=﹣，∵抛物线y 2=2px （p ＞0）的准线与圆（x ﹣3）2+y 2=225相切，∴3+=15，∴p=24，∵双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程是y=x ，它的一个焦点是该抛物线的焦点，∴=，a 2+b 2=144，∴a=6，b=6，∴2a=12，∴双曲线实轴长为12．故答案为：12．【点评】本题考查双曲线实轴长，考查双曲线、抛物线的性质，属于中档题．12. 设是直线上的点，若对曲线上的任意一点恒有，则实数的取值范围是.参考答案：13. 设=（﹣2，3），||=||，且、同向，则的坐标为．参考答案：（﹣4，6）【考点】平行向量与共线向量．【分析】由||=||，且、同向，可得．【解答】解：∵||=||，且、同向，则=（﹣4，6）．故答案为：（﹣4，6）．14. 某市有大型超市100家、中型超市200家、小型超市700家，为掌握各类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为90的样本，应抽取小型超市家.参考答案：63; 15. 直线交抛物线与两点，若的中点的横坐标是2，则参考答案：略16. 某算法的程序框图如图3所示，则输出量y 与输入量x 满足的关系式是______________________．参考答案：y ＝17. 三段论式推理是演推理的主要形式，“函数的图像是一条直线”这个推理所省略的大前提是参考答案：一次函数图象是一条直线三、解答题：本大题共5小题，共72分。