2019届河南省洛阳市高三数学(理)模拟试题
2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}, B＝{2, 3}, 则A∪B＝（）A．{﹣1, 0, 1, 2, 3}B．{1, 2, 3}C．[﹣1, 2]D．[﹣1, 3]2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位, a∈R）, 则|a+z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）在区间[﹣1, 1]内随机取两个实数x, y, 则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π7．（5分）已知双曲线C：（a＞0, b＞0）, 过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P, 交双曲线C右支于点Q, 若＝, 则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V, 求其直径d的一个近似公式, 人们还用过一些类似的近似公式, 根据π＝3.14159…判断, 下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x, y满足约束条件, 则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）如图, 设A、B是半径为2的圆O上的两个动点, 点C为AO中点, 则的取值范围是（）A．[﹣1, 3]B．[1, 3]C．[﹣3, ﹣1]D．[﹣3, 1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）, 则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球, BC＝3, , 点E在线段BD上, 且BD＝6BE, 过点E作球O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上）13．（5分）已知, 则＝．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2, 且, 令b n＝log3（a n+1）, 则的前2019项的和S2019＝．15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为．16．（5分）若函数在（0, +∞）上仅有一个零点, 则a＝．三、解答题（本大题共5小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图, D是直角△ABC斜边BC上一点, AC＝．（1）若∠CAD＝30°, 求角B的大小；（2）若BD＝2DC, 且AD＝2, 求CD的长．18．（12分）如图, 已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形, P A⊥底面ABCD, ED∥P A, 且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．19．（12分）已知椭圆C中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2, 椭圆C另一个焦点是F1, 且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点, 求△F2PQ的内切圆面积的最大值．20．（12分）为了引导居民合理用电, 国家决定实行合理的阶梯电价, 居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0, 210]（210, 400]（400, +∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况, 得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元, 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元, 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元, 试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户, 求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电, 现从全市中依次抽取10户, 若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大, 求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时, f（x）≥0恒成立, 求实数a的取值范围；（3）求证：e．请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为（α为参数）, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点, 当|CD|取最大值时, 求四边形ACBD 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时, 解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3, 4], 求m的取值范围．2019年河南省洛阳市高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题, 每小题5分, 共60分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}, B＝{2, 3}, 则A∪B＝（）A．{﹣1, 0, 1, 2, 3}B．{1, 2, 3}C．[﹣1, 2]D．[﹣1, 3]【解答】解：A＝{x∈N*|﹣1≤x≤2}＝{1, 2}, B＝{2, 3}；∴A∪B＝{1, 2, 3}．故选：B．2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位, a∈R）, 则|a+z|＝（）A．B．C．2D．【解答】解：由（1+i）z＝a﹣i, 得,∵复数z为纯虚数,∴, 解得a＝1．∴z＝﹣i,则|a+z|＝|1﹣i|＝．故选：A．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数y＝（x≠0）是奇函数, 排除C, D．当x＝时, y＝＜0．排除B,故选：A．4．（5分）在区间[﹣1, 1]内随机取两个实数x, y, 则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：由题意可得, 的区域为边长为2的正方形, 面积为4,满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分, 面积为2+＝∴满足y≥x2﹣1的概率是＝．故选：D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘, 每名大学生至多被一家企业录用, 则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【解答】解：分两类, 第一类, 有3名被录用, 有＝24种, 第二类, 4名都被录用, 则有一家录用两名, 有＝36,根据分类计数原理, 共有24+36＝60（种）故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【解答】解：由三视图可得, 直观图为圆锥的与圆柱的组合体,由图中数据可得几何体的体积为＝,故选：A．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0, b＞0）, 过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P, 交双曲线C右支于点Q, 若＝, 则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0, b＞0）, 左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线, 切点为P,∴丨OP丨＝a,设双曲线的右焦点为F′,∵P为线段FQ的中点,∴|QF′|＝2a, |QF|＝2b,由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a,∴b＝2a．∴双曲线C：（a＞0, b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0,即2ax±ay＝0,∴2x±y＝0．故选：B．8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数, 以十六乘之, 九而一, 所得开立方除之, 即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V, 求其直径d的一个近似公式, 人们还用过一些类似的近似公式, 根据π＝3.14159…判断, 下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．【解答】解：由V＝π（）3, 解得d＝,选项A代入得π＝＝3.1；选项B代入得π＝＝3；选项C代入得π＝＝3.2；选项D代入得π＝＝3.142857由于D的值最接近π的真实值故选：D．9．（5分）已知实数x, y满足约束条件, 则的取值范围为（）A．B．C．D．【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界）,把,看作点（x, y）和C（5, 0）之间的斜率,记为k, 由可行域可知A（2, 2）, B（2, ﹣4）,则﹣≤k≤．故选：A．10．（5分）如图, 设A、B是半径为2的圆O上的两个动点, 点C为AO中点, 则的取值范围是（）A．[﹣1, 3]B．[1, 3]C．[﹣3, ﹣1]D．[﹣3, 1]【解答】解：如图所示,可得O（0, 0）, A（﹣2, 0）, C（﹣1, 0）, 设B（2cosθ, 2sinθ）．θ∈[0, 2π）．＝（1, 0）•（2cosθ+1, 2sinθ）＝2cosθ+1∈[﹣1, 3]．故选：A．11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x ＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数）, 则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【解答】解：构造函数g（x）＝,则g′（x）＝＝（f′（x）cos x+f（x）sin x）, ∵对任意的x∈（﹣, ）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0,∴g′（x）＞0, 即函数g（x）在x∈（﹣, ）单调递增,则g（﹣）＜g（﹣）, 即,∴, 即f（﹣）＜f（﹣）, 故A正确．g（0）＜g（）, 即,∴f（0）＜2f（）,故选：A．12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形, 顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球, BC＝3, , 点E在线段BD上, 且BD＝6BE, 过点E作球O 的截面, 则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【解答】解：如图, 设△BDC的中心为O1, 球O的半径为R,连接O1D, OD, O1E, OE,则O1D＝3sin60°×＝, AO1＝＝＝3,在Rt△OO1D中, R2＝3+（3﹣R）2, 解得R＝2,∵BD＝6BE, ∴DE＝2.5,在△DEO1中, O1E＝＝,∴OE＝＝＝,过点E作圆O的截面, 当截面与OE垂直时, 截面的面积最小,此时截面圆的半径为＝, 最小面积为π,当截面过球心时, 截面面积最大, 最大面积为4π．故选：A．二、填空题（每题5分, 满分20分, 将答案填在答题纸上）13．（5分）已知, 则＝．【解答】解：∵, 则＝＝2, ∴解得：tanα＝,∴＝＝＝．故答案为：．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2, 且, 令b n＝log3（a n+1）, 则的前2019项的和S2019＝．【解答】解：数列{a n}首项a1＝2, 且,则：a n+1+1＝3（a n+1）,即：（常数）,所以：数列{a n+1}是以a1+1＝3为首项, 3为公比的等比数列,故：,令b n＝log3（a n+1）＝,故：＝＝．所以：S n＝b1+b2+…+b n,＝,＝,＝．所以：,故答案为：15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为﹣21．【解答】解：多项式（3x+2y）2（x﹣y）7＝（9x2+12xy+4y2）（x﹣y）7,设（x﹣y）7的通项公式为T r+1＝x7﹣r（﹣y）r,令r＝4, 则T5＝＝35x3y4,令r＝3, 则T4＝＝﹣35x4y3,令r＝2, 则T3＝x5（﹣y）2＝21x5y2．∴多项式（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4项的系数为：35×9﹣35×12+21×4＝﹣21．故答案为：﹣21．16．（5分）若函数在（0, +∞）上仅有一个零点, 则a＝5ln2﹣4．【解答】解：函数f（x）的零点满足e x+a﹣x3+2x2＝0, 即a＝ln（x3﹣2x2）﹣x,则原问题等价于函数y＝a与函数g（x）＝ln（x3﹣2x2）﹣x有且只有一个交点．注意到函数g（x）的定义域为（2, +∞）, 且,在区间（2, 4）上, g’（x）＞0, g（x）单调递增,在区间（4, +∞）上, g’（x）＜0, g（x）单调递减,则函数g（x）的最大值为g（4）＝5ln2﹣4,据此可得, 实数a的值为5ln2﹣4．故答案为：5ln2﹣4．三、解答题（本大题共5小题, 共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图, D是直角△ABC斜边BC上一点, AC＝．（1）若∠CAD＝30°, 求角B的大小；（2）若BD＝2DC, 且AD＝2, 求CD的长．【解答】解：（1）在△ABC中, 根据正弦定理, 有．∵,∴．又,∴,∴,∴；（2）设DC＝x, 则,∴．在△ABD中, AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B,即,得．故．18．（12分）如图, 已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形, P A⊥底面ABCD, ED∥P A, 且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°, 求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）连接BD, 交AC于点O, 设PC中点为F,连接OF, EF, ∵O, F分别为AC, PC的中点,∴OF∥P A, 且OF＝P A,∵DE∥P A, 且, ∴OF∥DE, 且OF＝DE．…（1分）∴四边形OFED为平行四边形, ∴OD∥EF, 即BD∥EF．…（2分）∵P A⊥平面ABCD, BD⊂平面ABCD, ∴P A⊥BD．∵ABCD是菱形, ∴BD⊥AC．∵P A∩AC＝A, ∴BD⊥平面P AC．…（4分）∵BD∥EF, ∴EF⊥平面P AC．…（5分）∵FE⊂平面PCE, ∴平面P AC⊥平面PCE．…（6分）解：（2）解法1：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°,∴∠PCA＝45°, ∴AC＝P A＝2．…（7分）∴AC＝AB, 故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M, 连接AM, 则AM⊥BC．以A为原点, AM, AD, AP分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）．则P（0, 0, 2）, C（）, E（0, 2, 1）, D（0, 2, 0）, ＝（）, ＝（﹣, 1, 1）, ＝（0, 0, 1）．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝{x1, y1, z1},则, 即令y1＝1, 则, ∴＝（）．…（10分）设平面CDE的法向量为＝（x2, y2, z2）,则, 即令x2＝1, 则, ∴＝（1,）．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ, 由于θ为钝角,∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为﹣．…（12分）解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°, 且P A⊥平面ABCD,所以∠PCA＝45°, 所以AC＝P A＝2．…（7分）因为AB＝BC＝2, 所以△ABC为等边三角形．因为P A⊥平面ABCD, 由（1）知P A∥OF,所以OF⊥平面ABCD．因为OB⊂平面ABCD, OC⊂平面ABCD, 所以OF⊥OB且OF⊥OC．在菱形ABCD中, OB⊥OC．以点O为原点, OB, OC, OF分别为x, y, z轴, 建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）．则,则．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝（x1, y1, z1）,则即令y1＝1, 则, 则法向量n＝（0, 1, 1）．…（10分）设平面CDE的法向量为m＝（x2, y2, z2）,则即令x2＝1, 则则法向量．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ, 由于θ为钝角,则．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为．…（12分）19．（12分）已知椭圆C中心在原点, 焦点在坐标轴上, 直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2, 椭圆C另一个焦点是F1, 且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点, 求△F2PQ的内切圆面积的最大值．【解答】解：（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M, 点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2,可知焦点在x轴上且M点坐标（c, ）．F1（﹣c, 0）, F2（c, 0）．∵,∴, ∴c＝1．设椭圆C方程：M点坐标（1, ）代入椭圆C方程得,∵c＝﹣1,∴a＝2, b＝．∴椭圆C方程为（Ⅱ）直线l过点（﹣1, 0）, 且与椭圆C交于P, Q两点,则△F2PQ的周长为4a＝8, 则＝•4a•r（r为三角形内切圆半径）,要使△F2PQ的内切圆面积最大, 即使△F2PQ的面积最大,∵F2F1为定长, △F2PQ的面积为•2|y1﹣y2|, （y1, y2分别为P, Q的纵坐标）, 可设直线l的方程为x＝my﹣1, 代入椭圆方程可得（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0,y1+y2＝, y1y2＝﹣,|y1﹣y2|2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝＝,显然m＝0上式取得最大值,∴当且仅当直线L过（﹣1, 0）, 与x轴垂直时△F2PQ的面积最大．此时P（﹣1, ）, Q（﹣1, ﹣）∴|F2P|＝|F2Q|＝, |PQ|＝3．设△F2PQ的内切圆半径为r, 则∴r＝, 其面积S＝．20．（12分）为了引导居民合理用电, 国家决定实行合理的阶梯电价, 居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0, 210]（210, 400]（400, +∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况, 得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元, 第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元, 第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元, 试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户, 求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电, 现从全市中依次抽取10户, 若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大, 求k的值．【解答】解：（1）210×0.5+（400﹣210）×0.6+（410﹣400）×0.8＝227元…（2分）（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ, 可知第二阶梯电量的用户有3户, 则ξ可取0, 1, 2, 3故ξ的分布列是ξ0123p所以…（7分）（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯, 满足X∽B（10, ）,可知（k＝0, 1, 2, 3…, 10）, 解得, k∈N*所以当k＝6时, 概率最大, 所以k＝6…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时, f（x）≥0恒成立, 求实数a的取值范围；（3）求证：e．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a+,f′（0）＝2+a, 又f（0）＝0,∴f（x）在x＝0处的切线方程为：y＝（a+2）x；（2）若x≥0时, 则f′（x）＝e x+a+, ,在[0, +∞）上单调递增, f″（x）≥f″（0）＝0．则f′（x）在[0, +∞）上单调递增, f′（x）≥f′（0）＝a+2,①当a+2≥0, 即a≥﹣2时, f′（x）≥0, 则f（x）在[0, +∞）上单调递增此时f′（x）≥f（0）＝0, 满足题意②若a＜﹣2, 由f′（x）在[0, +∞）上单调递增由于f′（0）＝2+a＜0, x→+∞时, f′（x）＞0．故∃x0∈（0, +∞）, 使得f′（x0）＝0．则当0＜x＜x0时, f′（x）＜f′（x0）＝0．∴函数f（x）在（0, x0）上单调递减．∴f（x0）＜f（0）＝0, 不恒成立．舍去综上所述, 实数a的取值范围是[﹣2, +∞）．（3）证明：由（1）知, 当a＝﹣2时, f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0, +∞）上单调递增．则f（）＞f（0）, 即e﹣1+ln（）﹣1＞0．∴ln．∴,即e请考生在22、23两题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为（α为参数）, 以原点O为极点, x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点, 当|CD|取最大值时, 求四边形ACBD 的面积．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数）, 消去参数化为：x2+（y﹣1）2＝1．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ, 即ρ2＝4ρcosθ, 化为普通方程：x2+y2＝4x．上述两个方程相减可得：2x﹣y＝0．则直线AB的斜率为2．（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时, 线段CD取得最大值, 此时|CD|＝3+＝+3．|AB|＝2＝．直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1, 可得C1•C2⊥AB．∴当|CD|取最大值时, 四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|＝××（3+）＝2+．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时, 解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3, 4], 求m的取值范围．【解答】解：（1）当时, f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2,由f（x）≥2解得x≤﹣4, 综合得x≤﹣4；当时, f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x,由f（x）≥2解得, 综合得；当x≥1时, f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2,由f（x）≥2解得x≥0, 综合得x≥1．所以f（x）≥2的解集是．（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3, 4],∴当x∈[3, 4]时, |2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3, 即|x﹣m|≤x+4,∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3, 4]上恒成立,显然当x＝3时, 2x+4取得最小值10,即m的取值范围是[﹣4, 10]．。
高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)
2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案) 2019届高三数学上期第三次月考试题(理科附答案)总分150分，考试用时120分钟。
一、选择题: 本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1.已知全集集合集合，则集合为( )A. B. C. D.2.已知点，则与同方向的单位向量是( )A. B. C. D.3.命题对随意都有的否定是( )A.对随意，都有B.不存在，使得C.存在，使得D.存在，使得4.已知函数的定义域为，则的定义域为( )A. B. C. D.5.已知角的终边上一点坐标为，则角的最小正值为( )A. B. C. D.6.已知函数的导函数为，且满意关系式，则的值等于( )A.2B.C.D.7.已知向量，，则与夹角的余弦值为( )A. B. C. D.8.已知点在圆上，则函数的最小正周期和最小值分别为( )A. B. C. D.9.函数有零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.10.设分程和方程的根分别为和，函数，则( )A. B.C. D.二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分.请把答案填在答题卡上.11.已知，则的值为13. 中，，，三角形面积，14.已知函数在处取得极值10，则取值的集合为15.若关于的方程有实根，则实数的取值范围是三、解答题：本大题共6小题，共75分.请在答题卡指定区域内作答，解答应写出必要的文字说明.证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)17.(本小题满分12分)已知函数，其中为使能在时取得最大值的最小正整数.(1)求的值;(2)设的三边长、、满意，且边所对的角的取值集合为，当时，求的值域.18.(本小题满分12分)中，设、、分别为角、、的对边，角的平分线交边于， .(1)求证： ;(2)若，，求其三边、、的值.19.(本小题满分12分)工厂生产某种产品，次品率与日产量 (万件)间的关系( 为常数，且 )，已知每生产一件合格产品盈利3元，每出现一件次品亏损1.5元(1)将日盈利额 (万元)表示为日产量 (万件)的函数;(2)为使日盈利额最大，日产量应为多少万件?(注： )20.(本小题满分13分)已知，当时， .(1)证明 ;(2)若成立，请先求出的值，并利用值的特点求出函数的表达式.21.(本小题满分14分)已知函数 ( 为常数，为自然对数的底)(1)当时，求的单调区间;(2)若函数在上无零点，求的最小值;(3)若对随意的，在上存在两个不同的使得成立，求的取值范围.数学(理)参考答案答案DADCBDBBCA11. 12. 13. 14. 15.16.若命题为真明显或故有或5分若命题为真，就有或命题或为假命题时， 12分17.(1) ，依题意有即的最小正整数值为25分(2) 又即即 8分10分故函数的值域是 12分18.(1)即5分(2) ① 7分又② 9分由①②解得 10分又在中12分19.(1)当时，， 2分当时，4分日盈利额 (万元)与日产量 (万件)的函数关系式为5分(2)当时，日盈利额为0当时，令得或 (舍去)当时，在上单增最大值 9分当时，在上单增，在上单减最大值 10分综上：当时，日产量为万件日盈利额最大当时，日产量为3万件时日盈利额最大20.(1) 时4分(2)由得到5分又时即将代入上式得又8分又时对均成立为函数为对称轴 10分又12分13分21.(1) 时，由得得故的减区间为增区间为 3分(2)因为在上恒成立不行能故要使在上无零点，只要对随意的，恒成立即时， 5分令则再令于是在上为减函数故在上恒成立在上为增函数在上恒成立又故要使恒成立，只要若函数在上无零点，的最小值为 8分(3)当时，，为增函数当时，，为减函数函数在上的值域为 9分当时，不合题意当时，故① 10分此时，当改变时，，的改变状况如下0+↘最小值↗时，，随意定的，在区间上存在两个不同的使得成立，当且仅当满意下列条件即②即③ 11分令令得当时，函数为增函数当时，函数为减函数所以在任取时有即②式对恒成立 13分由③解得④由①④ 当时对随意，在上存在两个不同的使成立2019届高三数学上期第三次月考试题就共享到这里了，更多相关信息请接着关注高考数学试题栏目！。
2019年河南省洛阳市高考数学三模试卷(理科)
2019年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择埋：本大題共12小题，每小题5分，共60分，在每小題给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z＝|4+3i|，则的虚部为（）A．B．C．D．2．（5分）设全集U＝R，A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|ln（1﹣x）＜0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|x≤1}B．{x|x≥1）C．{x|1≤x＜2}D．{x|0＜x≤1} 3．（5分）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A．200，20B．100，20C．200，10D．100，104．（5分）在等比数列{a n}中，a1a3＝a4＝4，则a6＝（）A．6B．±8C．﹣8D．85．（5分）已知，点C（﹣1，0），D（4，5），则向量在方向上的投影为（）A．B．C．D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A．4πB．2πC．D．7．（5分）执行如图的框图，若输入的N是7，则输出p的值是（）A．720B．120C．5040D．14408．（5分）欧阳修《卖油翁》中写到：（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为3cm的圆，中间有边长为1cm的正方形孔，若你随机向铜钱上滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．9．（5分）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若|AB|＝6，则△AOB的面积为（）A．B．C．D．410．（5分）若m，n，p∈（0，1），且log3m＝log5n＝lgp，则（）A．B．C．D．11．（5分）函数的图象与函数g（x）的图象关于直线对称，则关于函数y＝g（x）以下说法正确的是（）A．最大值为1，图象关于直线对称B．在（0，）上单调递减，为奇函数C．在（）上单调递增，为偶函数D．周期为π，图象关于点（，0）对称12．（5分）已知函数f（x）＝（kx﹣2）e x﹣x（x＞0），若f（x）＜0）的解集为（s，t），且（s，t）中恰有两个整数，则实数k的取值范围为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若，则n的展开式中，含x2项的系数为．14．（5分）甲、乙、丙三位同学，其中一位是班长，一位是团支书，一位是学习委员，已知丙比、学习委员的年龄大，甲与团支书的年龄不同，团支书比乙的年龄小，据此推断班长是．15．（5分）若数列{a n}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有a n+1＝a n+n+1，则＝．16．（5分）如图所示，在棱长为6的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是棱C1D1，B1C1的中点，过A，E，F三点作该正方体的截面，则截面的周长为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，，且∥，B为锐角．（1）求角B的大小；（2）设b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，P A⊥底面ABCD，，P A＝2，E是PC上的一点，PE＝2EC．（Ⅰ）证明：PC⊥平面BED；（Ⅱ）设二面角A﹣PB﹣C为90°，求PD与平面PBC所成角的大小．19．（12分）某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以如表：（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量y（百件）与返还点数t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程y＝bt+a，并预测若返回6个点时该商品每天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整．已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值X的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在[1，3）和[11，13]的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．参考公式及数据：①，；②．20．（12分）在平面直角坐标系xoy中，椭圆E：（a＞0，b＞0）经过点A（，），且点F（0，﹣1）为其一个焦点．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设椭圆E与y轴的两个交点为A1，A2，不在y轴上的动点P在直线y＝b2上运动，直线P A1，P A2分别与椭圆E交于点M，N，证明：直线MN通过一个定点，且△FMN的周长为定值．21．（12分）已知函数f（x）＝lnx﹣kx，其中k∈R为常数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个相异零点x1，x2（x1＜x2），求证：lnx2＞2﹣lnx1．选考部分：请考生在22、23南题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．[选修4一4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C：ρ＝2sinθ上任一点，点P满足．设点P的轨迹为曲线Q．（1）求曲线Q的平面直角坐标方程；（2）已知曲线Q向上平移1个单位后得到曲线N，设曲线N与直线为参数）相交于A，B两点，求|OA|+|OB|．[选修4-5：不等式选讲].23．已知函数f（x）＝|x﹣5|．（1）解不等式：f（x）+f（x+2）≤3；（2）若a＜0，求证：f（ax）﹣f（5a）≥af（x）．。
河南省洛阳市2019届高三下学期第一次高考模拟测试理科数学试题(含答案)
3 ，即 BE
3，
∴ △ABC 为等边三角形， AB BC CA 2 ， PB 9 3 2 3 ， PA PC 9 1 10 ，
∴最长棱的长度为 2 3 ．故选 B．
7．[2019·南昌二中]已知函数 f x 2 ，则 y f x 的图象大致为（ ）
x ln x 1
A．
锥 SD 与它外接球（即顶点在球面上且底面圆周也在球面上）的体积比为（ ）
A． 9 : 32
B． 8 : 27
C． 9 : 22
D． 9 : 28
【答案】A
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r ，圆锥母线长为 l ，
则侧面积为 πrl
，侧面积与底面积的比为
πrl πr 2
l r
2，
则母线 l 2r ，圆锥的高为 h l2 r2 3r ，则圆锥的体积为 1 πr2h 3 πr3 ，
16．[2019·长治二中]已知 a 、 b 、 c 是实数，方程 x3 ax2 bx c 0 的三个实数根可以作为椭圆、
双曲线、抛物线的离心率，则 a2 b2 的取值范围是____．
【答案】 5,
【解析】构造函数 f x x3 ax2 bx c ，∵一个根为抛物线的离心率，
可知1 a b c 0 ，解得 c a b 1， ∵三个实数根分别为椭圆、双曲线和抛物线的离心率， 可知一个根 x1 大于 0，小于 1，一个根 x2 大于 1，一个根 x3 为 1，绘制图像：
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由于
f
1 2
1
2 ln 1
1
2 ln 2 1
0
，排除
B
选项．
22
2
2019届河南省洛阳市高三上学期第一次统一考试数学(理)试卷及答案
洛阳市2019届高三上学期第一次统一考试数学（理）试卷本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)商部分。
第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至 4页.共150分.考试时间120分钟。
第I 卷（选择题，共60分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上。
2.考试结束，将答题卡交回。
一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合A={02|2≤--∈*x x N x }，B={2,3}，则=B A =A. {-1,0,1,2,3}B. {1,2,3}C. [-1,2]D.[-1,3]2.若复数z 为纯虚数，且i a z i -=+)1( (其中R a ∈)，则=+||z a A. 2 B. 3 C. 2 D. 53.函数||ln sin x x y =的图象大致为4.在区间[-1,1]内随机取两个实数y x ,,则满足12-≥x y 的概率是 A. 92 B. 97 C. 61 D. 65 5.4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有A. 24种B. 36种C. 48种D. 60种6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. π939+B. π636+ C.π633+ D. π6312+ 7.已知双曲线C: 12222=-by a x （a>0,b>0)，过左焦点F 1的直线切圆222a y x =+于点P,交双曲线C 右支于点Q ，若PQ P F =1，则双曲线 C 的渐近线方程为 A. x y 21= B. x y ±= C. x y 2±= D. x y 23±= 8.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径.“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ，求其直径d 的一个近似公式3916V d ≈,人们还用过一些类似的近似公式，根据14159.3=π… 判断下列近似公式中最精确的一个是 A. 33160V d ≈ B. 32V d ≈ C. 3818V d ≈ D. 31121V d ≈ 9.已知实数y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤020222y x y x x ，则5-=x y z 的取值范围为 A. ]34,32[- B. ]32,34[- C. ),43[]32,(+∞--∞ D. ),23[]43,(+∞--∞ 10.设A ，B 是半径为2的圆0上的两个动点，点C 为AO 中点，则CB CO ⋅筋的取值范围是A. [-1,3] B, [1,3] C.[-3，-1] D.[-3，1]11.已知函数)(x f y =对任意的)2,2(ππ-∈x 满足0>sin )(cos )('x x f x x f +(其中)('x f 是函数)(x f y =的导函数），则下列不等式成立的是。
河南省洛阳市高三数学“一练”试题 理(含解析)新人教A版
河南省洛阳市高三“一练”数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（•洛阳模拟）设复数z=﹣1﹣i（i为虚数单位），z 的共轭复数为=（）A．B．2C．D．1考点：复数代数形式的乘除运算；复数求模．专题：计算题．分析：给出z=﹣1﹣i ，则，代入整理后直接求模．解答：解：由z=﹣1﹣i ，则，所以=．故选A．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的模，考查了学生的运算能力，此题是基础题．2．（5分）（•洛阳模拟）已知集合，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（）A．1B．2C．4D．8考点：集合的包含关系判断及应用；其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：通过解分式不等式求出好A，无理不等式求出集合B，通过满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数即可．解答：解：∵={1，2}={0，1，2，3，4}，因为A⊆C⊆B，所以C中元素个数至少有1，2；至多为：0，1，2，3，4；所以集合C的个数为{0，3，4}子集的个数：23=8．故选D．点评：本题考查分式不等式与无理不等式的求法，集合的子集的求解，考查计算能力，转化思想．3．（5分）（•洛阳模拟）如果函数y=3sin（2x﹣φ）（φ＞0）的图象关于直线对称，则φ的最小值为（）A．B．C．D．考点：正弦函数的对称性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数图象对称轴方程的公式，建立关于φ的等式，化简可得﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1得φ=，即为正数φ的最小值．解答：解：∵函数y=3sin（2x ﹣φ）的图象关于直线对称，∴当x=时，函数达到最大或最小值由此可得：2﹣φ=+kπ（k∈Z）∴﹣φ=+kπ（k∈Z），取k=﹣1，得φ=因此，φ的最小值为故选：C点评：本题给出三角函数图象的一条对称轴方程，求参数φ的最小值，着重考查了三角函数和图象与性质和正弦函数图象的对称性等知识，属于基础题．4．（5分）（•揭阳一模）如图，阅读程序框图，任意输入一次x（0≤x≤1）与y（0≤y≤1），则能输出数对（x，y）的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：计算题．分析：据程序框图得到事件“能输出数对（x，y）”满足的条件，求出所有基本事件构成的区域面积；利用定积分求出事件A构成的区域面积，据几何概型求出事件的概率．解答：解：是几何概型所有的基本事件Ω=设能输出数对（x，y）为事件A，则A=S（Ω）=1S（A）=∫01x2dx==故选A点评：本题考查程序框图与概率结合，由程序框图得到事件满足的条件、考查利用定积分求曲边图象的面积；利用几何概型概率公式求出事件的概率．5．（5分）（•洛阳模拟）若函数为常数）在定义域内为奇函数，则k的值为（）A．1B．﹣1 C．±1D．0考点：函数奇偶性的判断．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由奇函数定义知f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，进行化简整理即可求得k值．解答：解：因为f（x）为定义域内的奇函数，所以f（﹣x）=﹣f（x），即=﹣，所以（2﹣x﹣k•2x）（2x+k•2﹣x）=﹣（2x﹣k•2﹣x）（2﹣x+k•2x），所以2﹣x•2x+k•2﹣2x﹣k•22x﹣k2•2x•2﹣x=﹣2x•2﹣x﹣k•22x+•k•2﹣2x+k2•2﹣x•2x，即1﹣k2=﹣1+k2，解得k=±1，故选C．点评：本题考查函数的奇偶性，考查指数幂的运算法则，考查学生的运算能力，属中档题．6．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，D为BC 边上的点，的最大值为（）A．1B．C．D．考点：基本不等式．专题：计算题．分析：在△ABC中，D为BC边的点，由D，B，C三点共线可知λ+μ=1，（λ、μ＞0），利用基本不等式即可求得λμ的最大值．解答：解：∵在△ABC中，D为BC边的点，∴D，B，C三点共线且D在B，C之间，∴λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）∴λμ≤==（当且仅当λ=μ时取“=”）．∴λμ的最大值为．故选D．点评：本题考查基本不等式，求得λ+μ=1，（λ＞0，μ＞0）是关键，属于中档题．7．（5分）（•洛阳模拟）如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．64+32πB．64+64πC．256+64πD．256+128π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题．分析：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．据此即可计算出．解答：解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个圆柱，底面直径为8，高为4；下面是一个长宽高分别为8，8，4的长方体．∴该几何体的体积V=8×8×4+π×42×4=256+64π．故选C．点评：由三视图正确恢复原几何体是解题的关键．8．（5分）（•洛阳模拟）已知F是抛物线y2=4x的焦点，过点F1的直线与抛物线交于A，B两点，且|AF|=3|BF|，则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为（）A．B．C．D．10考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．解答：解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=3|BF|，∴x1+1=3（x2+1），∴x1=3x2+2∵|y1|=3|y2|，∴x1=9x2，∴x1=3，x2=∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为[（x1+1）+（x2+1）]=故选B．点评：本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是关键．9．（5分）（•洛阳模拟）函数的最大值为（）A．2B．3C．D．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．专题：计算题．分析：函数解析式第一项利用二倍角的余弦函数公式化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由正弦函数的值域，即可确定出f（x）的最大值．解答：解：f（x）=1﹣cos （+2x ）﹣cos2x=1+（sin2x ﹣cos2x）=1+2sin（2x ﹣），∵≤x≤，∴≤2x﹣≤，∵≤sin（2x ﹣）≤1，即2≤1+2sin（2x ﹣）≤3，则f（x）的最大值为3．故选B点评：此题考查了二倍角的余弦函数公式，两角和与差的正弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．10．（5分）（•洛阳模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的表面积为（）A．4πB．12πC．16πD．64π考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的表面积．解答：解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，∵SA⊥平面ABC ，，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC==，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r==1，∴球O的半径R==2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故选C．．点评：本题考查球的表面积的求法，合理地作出图形，数形结合求出球半径，是解题时要关键．11．（5分）（•洛阳模拟）已知的两个零点，则（）A．B．1＜x1x2＜e C．1＜x1x2＜10 D．e＜x1x2＜10考点：函数的零点．专题：函数的性质及应用．分析：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标，在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象，利用对数函数的性质，可判断出x1x2的范围．解答：解：若的两个零点，则x1，x2是函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象交点的横坐标在同一个坐标系中，画函数y=e﹣x和y=|lnx|的图象如下图所示：由图可得即﹣1＜ln（x1•x2）＜1即又∵﹣lnx1＞lnx2∴ln（x1•x2）＜0∴x1•x2＜1综上故选A点评：本题考查的知识点是函数的零点，对数函数的图象和性质，其中画出函数的图象，并利用数形结合的办法进行解答是关键．12．（5分）（•洛阳模拟）设F1，F2分别为双曲线的左右焦点，过F1引圆x2+y2=9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|﹣|MT|等于（）A．4B．3C．2D．1考点：两点间的距离公式；双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程，算出c==5，根据三角形中位线定理和圆的切线的性质，并结合双曲线的定义可得|MO|﹣|MT|=4﹣a=1，得到本题答案．解答：解：∵MO是△PF1F2的中位线，∴|MO|=|PF2|，|MT|=|PF1|﹣|F1T|，根据双曲线的方程得：a=3，b=4，c==5，∴|OF1|=5，∵PF1是圆x2+y2=9的切线，|OT|=3，∴Rt△OTF1中，|FT|==4，∴|MO|﹣|MT|=|=|PF2|﹣（|PF1|﹣|F1T|）=|F1T|﹣（|PF1|﹣|PF2|）=4﹣a=1故选：D点评：本题给出双曲线与圆的方程，求|MO|﹣|MT|的值，着重考查了双曲线的简单性质、三角形中位线定理和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．二、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（•洛阳模拟）设变量x，y 满足约束条件：．则目标函数z=2x+3y 的最小值为7 ．考点：简单线性规划．专题：数形结合．分析：先根据条件画出可行域，设z=2x+3y，再利用几何意义求最值，将最小值转化为y轴上的截距，只需求出直线z=2x+3y，过可行域内的点B（1，1）时的最小值，从而得到z最小值即可．解答：解：设变量x、y满足约束条件，在坐标系中画出可行域△ABC，A（2，1），B（4，5），C（1，2），当直线过A（2，1）时，目标函数z=2x+3y的最小，最小值为7．故答案为：7．点评：借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．14．（5分）（•洛阳模拟）曲线处的切线方程为x+y﹣2=0 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：由y=，知，由此能求出曲线处的切线方程．解答：解：∵y=，∴，∴曲线处的切线方程的斜率k=y′|x=0=﹣1，∴曲线处的切线方程为y﹣2=﹣x，即x+y﹣2=0．故答案为：x+y﹣2=0．点评：本题考查曲线方程在某点处的切线方程的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意导数的几何意义的灵活运用．15．（5分）（•洛阳模拟）的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为160 ．考点：二项式系数的性质．专题：计算题；概率与统计．分析：由的展开式中各项系数之和为729，知3n=729，解得n=6．再由（2x+）6的通项公式为T r+1==，能求出该展开式中x2的系数．解答：解：∵的展开式中各项系数之和为729，令x=1，得3n=729，解得n=6．∵（2x+）6的通项公式为T r+1==，由6﹣=2，得r=3．∴该展开式中x2的系数为=8×=160．故答案为：160．点评：本题考查二项式系数的性质的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．16．（5分）（•洛阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，2bcosB=acosC+ccosA，且b2=3ac，则角A 的大小为或．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理、诱导公式可得sin2B=sin（A+C），得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，即sin2B=3sinAsinC，利用积化和差公式求得cos（A﹣C）=0，得A﹣C=±90°，由此可得A的大小．解答：解：△ABC中，∵2bcosB=acosC+c•cosA，由正弦定理可得2sinBcosB=sinAcosC+sinC•cosA，∴sin2B=sin（A+C）．得2B=A+C （如果2B=180°﹣（A+C），结合A+B+C=180°易得B=0°，不合题意）．A+B+C=180°=3B，得B=60°，A+C=120°．又b2=3ac，故 sin2B=3sinAsinC，∴=3sinAsinC=3×[cos（A﹣C）﹣cos（A+C）]=（cos（A﹣C）+），解得 cos（A﹣C）=0，故A﹣C=±90°，结合A+C=120°，易得 A=，或A=．故答案为A=，或A=点评：本题主要考查正弦定理、诱导公式、积化和差公式的应用，已知三角函数值求角的大小，属于中档题．三、解答题：本大题共8小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（•洛阳模拟）设数列{a n}满足：a1+2a2+3a3+…+na n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n2a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：计算题．分析：（1）根据题意，可得a1+2a 2+3a3++（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1，两者相减，可得数列{a n}的通项公式．（2）根据题意，求出b n的通项公式，继而求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵a1+2a2+3a3+…+na n=2n①，∴n≥2时，a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1=2n﹣1②①﹣②得na n=2n﹣1，a n=（n≥2），在①中令n=1得a1=2，∴a n=（2）∵b n=．则当n=1时，S1=2∴当n≥2时，S n=2+2×2+3×22+…+n×2n﹣1则2S n=4+2×22+3×23+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n相减得S n=n•2n﹣（2+22+23+…+2n﹣1）=（n﹣1）2n+2（n≥2）又S1=2，符合S n的形式，∴S n=（n﹣1）•2n+2（n∈N*）点评：此题主要考查数列通项公式的求解和相关计算．18．（12分）（•洛阳模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，AD∥BC，∠ABC=90°，PA=PB=3，BC=1，AB=2，AD=3，O是AB的中点．（1）证明：CD⊥平面POC；（2）求二面角C﹣PD﹣O的余弦值的大小．考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间向量及应用．分析：（1）利用侧面PAB⊥底面ABCD，可证PO⊥底面ABCD，从而可证PO⊥CD，利用勾股定理，可证OC⊥CD，从而利用线面垂直的判定，可得CD⊥平面POC；（2）建立坐标系，确定平面OPD、平面PCD的一个法向量，利用向量的夹角公式，可求二面角O﹣PD ﹣C的余弦值；解答：证明：（1）∵PA=PB=，O为AB中点，∴PO⊥AB∵侧面PAB⊥底面ABCD，PO⊂侧面PAB，侧面PAB∩底面ABCD=AB，∴PO⊥底面ABCD∵CD⊂底面ABCD，∴PO⊥CD在Rt△OBC中，OC2=OB2+BC2=2在Rt△OAD中，OD2=OA2+AD2=10在直角梯形ABCD中，CD2=AB2+（AD﹣BC）2=8∴OC2+CD2=OD2，∴△ODC是以∠OCD为直角的直角三角形，∴OC⊥CD∵OC，OP是平面POC内的两条相交直线∴CD⊥平面POC…（6分）解：（2）如图建立空间直角坐标系O﹣xyz，则P（0，0，2），D（﹣1，3，0），C（1，1，0）∴=（0，0，2），=（﹣1，3，0），=（﹣1，﹣1，2），=（﹣2，2，0）假设平面OPD 的一个法向量为=（x，y，z），平面PCD 的法向量为=（a，b，c），则由可得，令x=3，得y=1，z=0，则=（3，1，0），由可得，令a=2，得b=2，c=，即=（2，2，）∴cos＜，＞===故二面角O﹣PD﹣C 的余弦值为．…（12分）点评：本题考查线面垂直，考查面面角，考查向量方法解决空间角问题，正确运用线面垂直的判定是关键．19．（12分）（•洛阳模拟）随着建设资源节约型、环境友好型社会的宣传与实践，低碳绿色的出行方式越来越受到追捧，全国各地兴起了建设公共自行车租赁系统的热潮，据不完全统计，已有北京、株洲、杭州、太原、苏州、深圳等城市建设成公共自行车租赁系统，某市公共自行车实行60分钟内免费租用，60分钟以上至120分钟（含），收取1元租车服务费，120分钟以上至180分钟（含），收取2元租车服务费，超过180分钟以上的时间，按每小时3元计费（不足一小时的按一小时计），租车费用实行分段合计．现有甲，乙两人相互到租车点租车上班（各租一车一次），设甲，乙不超过1小时还车的概率分别为小时以上且不超过2小时还车的概率分别为小时以上且不超过3小时还车的概率分别为，两人租车时间均不会超过4小时．（1）求甲、乙两人所付租车费用相同的概率．（2）设甲一周内有四天（每天租车一次）均租车上班，X表示一周内租车费用不超过2元的次数，求X的分布列与数学期望．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题．分析：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元，然后利用互斥事件的概率公式分别求出相应的概率，最后求和可求出所求；（2）X的取值可能为0，1，2，3，4，然后利用二项分布的概率公式分别求出相应的概率，列出分布列，最后利用数学期望公式解之即可．解答：解：（1）甲、乙两人租车费用相同包括0，1，3，6元两人都付0元的概率为P1=×=两人都付1元的概率为P2=×=两人都付3元的概率为P3=×=两人都付6元的概率为P4=（1﹣﹣﹣）×（1﹣﹣﹣）=×=则甲，乙两人所付租车费用相同的概率为P=P1+P2+P3+P4=（2）依题意，甲某每天租车费用不超过2元的概率为P=+=则P（X=0）=××=，P（X=1）==P（X=2）==，P（X=3）==P（X=4）==∴X的分布列为X 0 1 2 3 4PX的数学期望为E（X ）=1×+2×+3×+4×=3点评：本题主要考查了事件、互斥事件的概率，以及离散型随机变量的分布列和数学期望，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．20．（12分）（•洛阳模拟）在平面直角坐标系中xOy中，O为坐标原点，A（﹣2，0），B（2，0），点P为动点，且直线AP与直线BP 的斜率之积为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）过点D（1，0）的直线l交轨迹C于不同的两点M，N，△MON的面积是否存在最大值？若存在，求出△MON 的面积的最大值及相应的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：轨迹方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）设P点坐标为（x，y）根据直线AP与直线BP 的斜率之积为，代入斜率公式，整理可得动点P的轨迹C的方程；（2）设出交点M，N的坐标及直线l的方程为x=ny+1，联立方程根据韦达定理求出y1+y2，y1•y2的值，根据弦长公式求出MN长，求出△MON的面积的表达式，分析出对应函数的单调性，可得答案．解答：解：设P点的坐标为（x，y）∵A（﹣2，0），B（2，0），直线AP与直线BP 的斜率之积为．∴•=（x≠±2）整理得P 点的轨迹方程为（x≠±2）（2）设直线l的方程为x=ny+1联立方程x=ny+1与（x≠±2）得（3n2+4）y2+6ny﹣9=0设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=，y1•y2=△MON的面积S=•|OP|•|y1﹣y2|====令t=，则t≥1，且y=3t+在[1，+∞）是单调递增∴当t=1时，y=3t+取最小值4此时S 取最大值此时直线的方程为x=1点评：本题考查的知识点是轨迹方程，直线与圆锥曲线的关系，熟练掌握设而不求，联立方程，韦达定理，弦长公式等一系列处理直线与圆锥曲线关系的方法和技巧是解答的关键．21．（12分）（•洛阳模拟）已知函数．（1）当a=2时，求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意的，求实数m的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时，求出f（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0即可；（2）对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），等价于f（x0）min＞m（1﹣a2），用导数可求f（x0）min，构造函数g（a）=f（x0）min﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2），问题转化为g（a）min＞0（1＜a＜2），分类讨论可求出m的取值范围．解答：解：（1）当a=2时，f（x）=，定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣2+=2x﹣2+=．由f′（x）＞0，得，或x ＞；由f′（x）＜0，得0＜x ＜．所以函数f（x ）的单调递增区间为（，0），（，+∞），单调递减区间为（0，）．（2）y=f（x ）的定义域为（﹣，+∞）．f′（x）=2x﹣a+=2x﹣a+==．当1＜a＜2时，﹣1==＜0，即，所以当1＜x＜2时，f′（x）＞0，f（x）在[1，2]上单调递增，所以f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1﹣a+ln （）．依题意，对任意的a∈（1，2），当x0∈[1，2]时，都有f（x0）＞m（1﹣a2），即可转化为对任意的a∈（1，2），1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）＞0恒成立．设g（a）=1﹣a+ln （）﹣m（1﹣a2）（1＜a＜2）．则g′（a）=﹣1++2ma==，①当m≤0时，2ma﹣（1﹣2m）＜0，且＞0，所以g′（a）＜0，所以g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，则g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾．②当m＞0时，g′（a）=，若，则g′（a）＜0，g（a）在（1，2）上单调递减，且g（1）=0，g（a）＜0，与g（a）＞0矛盾；若1＜＜2，则g（a）在（1，）上单调递减，在（，2）上单调递增，且g（1）=0，g（a）＜g（1）=0，与g（a）＞0矛盾；若，则g（a）在（1，2）上单调递增，且g（1）=0，则恒有g（a）＞g（1）=0，所以，解得m，所以m的取值范围为[，+∞）．点评：本题考查综合运用导数求函数的单调区间、最值及函数恒成立问题，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，考查分类讨论思想的运用．22．（10分）（•洛阳模拟）选修4﹣1：几何证明选讲如图，已知PE切⊙O于点E，割线PBA交⊙O于A，B两点，∠APE的平分线和AE，BE分别交于点C，D．求证：（1）CE=DE；（2）．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．专题：选作题．分析：（1）由弦切角定理是，及PC为∠APE的平分线，可证得∠ECD=∠EDC，进而证得CE=DE （2）先由AA证明出△PBC∽△ECD，进而证得△PBC∽△PEC，可由相似三角形对应边成比例得到结论．解答：解：（1）PE切圆O于点E∴∠A=∠BEP∵PC平分∠APE，∴∠A+∠CPA=∠BEP+∠DPE∵∠ECD=∠A+∠CPA，∠EDC=∠BEP+∠DPE∴∠ECD=∠EDC，∴EC=ED（2）∵∠PDB=∠EDC，∠EDC=∠ECD∴∠PDB=∠PCE∵∠BPD=∠EPC∴△PDB∽△PEC∴=同理△PDE∽△PCA∴=∴=∵DE=CE∴点评：本题考查的往右点是与圆相关的比例线段，相似三角形的性质，熟练掌握弦切角定理及相似三角形的判定及性质是解答的关键．23．（•洛阳模拟）选修4﹣4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣1，0），其倾斜角为α，以原点O为极点，以x轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0．（1）若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；（2）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求x+y的取值范围．考点：直线与圆的位置关系；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆．分析：（1）先根据极坐标与直角坐标互化的公式，算出曲线C的直角坐标方程，再结合直线l 的参数方程：，联解得到关于参数t的二次方程，运用根的判别式列式并解之，即可得到角α的取值范围；（2）由（1）可得曲线C的参数方程，从而得到x+y=3+2sin （θ+），最后结合正弦函数的值域，即可得到x+y的取值范围．解答：解：（1）将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程，得圆C：x2+y2﹣6x+5=0直线l 的参数方程为（t为参数）将其代入圆C方程，得（﹣1+tcosα）2+（tsinα）2﹣6tsinα+5=0整理，得t2﹣8tcosα+12=0∵直线l与圆C有公共点，∴△≥0，即64cos2α﹣48≥0，可得cosα≤﹣或cosα≥∵α为直线的倾斜角，得α∈[0，π）∴α的取值范围为[0，]∪[，π）（2）由圆C：x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程，得（θ为参数）∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin （θ+）∵sin（θ+）∈[﹣1，1]∴2sin （θ+）∈[﹣2，2]，可得x+y的取值范围是[3﹣2，3+2]．点评：本题给出直线与圆的极坐标方程，要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系．着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．24．（•洛阳模拟）选修4﹣5：不等式选讲设函数f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣a．（1）当a=1时，求函数f（x）的最小值；（2）若对任意的实数x恒成立，求实数a的取值范围．考点：函数恒成立问题；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：函数的性质及应用．分析：（1）当a=1时，利用绝对值不等式的性质即可求得最小值；（2）⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+⇔a+≤4，对a进行分类讨论可求a的取值范围．解答：解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|+|x﹣4|﹣1≥|（x+1）﹣（x﹣4）|﹣1=5﹣1=4．所以函数f（x）的最小值为4．（2）对任意的实数x恒成立⇔|x+1|+|x﹣4|﹣1≥a+对任意的实数x恒成立⇔a+≤4对任意实数x恒成立．当a＜0时，上式显然成立；当a＞0时，a+≥2=4，当且仅当a=即a=2时上式取等号，此时a+≤4成立．综上，实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪{2}．点评：本题考查绝对值函数、基本不等式以及恒成立问题，考查分类讨论思想，恒成立问题一般转化为函数最值问题解决，．四、附加题（满分0分，不计入总分）25．（•洛阳模拟）有小于1的n（n≥2）个正数x1，x2，x3，…，x n，且x1+x2+x3+…+x n=1．求证：．考点：不等式的证明．专题：证明题；不等式的解法及应用．分析：由x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，可得，由均值定理及放缩法，证得成立．解答：证明：∵x1，x2，x3，…，x n均为小于1的正数，∴∴＞≥又∵≤=∴≥n∴＞n2≥22=4即＞4点评：本题考查的知识点是不等式的证明，熟练掌握均值定理及放缩法是解答的关键．。
洛阳市2019年高考第三次统一考试数学理科试题卷含答案详析
洛阳市2018—2019学年高中三年级第三次统一考试数学试卷（文）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A. 2B. -2C.D.【答案】A【解析】解：因为，所以，故选A2.设全集，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简集合A,B，再结合集合补集交集的定义进行求解即可．【详解】，，则或，则，故选：．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，结合集合补集交集的定义是解决本题的关键．3.已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示.为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A. 100，10B. 100，20C. 200，10D. 200，20【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【详解】由题得样本容量为，抽取的高中生人数为人，则近视人数为人，故选：．【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键．4.中心在远点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点（4,2），则它的离心率为A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意知,过点(4,-2)的渐近线方程为y=-x,∴-2=-×4,∴a=2b.设b=k,则a=2k,c=k,∴e===.5.执行如图所示的框图，若输入的是4，则输出的值是（）A. 6B. 24C. 30D. 120【答案】B【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】若，，是，，，是，，，是，，，否，，故选：．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．6.，为平面向量，已知，，则，夹角的余弦值等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析：∵=(4,3)，2+=(3,18)，∴=(-5,12)，∴，，，∴，即,夹角的余弦值等于，故选C考点：本题考查了向量及数量积的坐标运算点评：熟练掌握数量积的定义及坐标运算是解决此类问题的关键，属基础题7.下列命题错误的是（）A. 命题“若，则”的逆否命题为“若，则”B. 若：，.则：，.C. 若复合命题：“”为假命题，则，均为假命题D. “”是“”的充分不必要条件【答案】C【解析】【分析】对每一个选项逐一分析得解.【详解】对于选项A,命题“若，则”的逆否命题为“若，则”是真命题，故选项A是正确的；对于选项B,若：，.则：，.是真命题，故选项B是正确的；对于选项C, 若复合命题：“”为假命题，则，至少有一个为假命题，所以该选项是错误的，故选项C是错误的；对于选项D,因为，所以或，所以“”是“”的充分不必要条件，故选项D是正确的.故选：C【点睛】本题主要考查逆否命题和特称命题的否定，考查复合命题的真假和充分不必要条件，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8.设实数，满足，则目标函数（）A. 有最小值2，最大值3B. 有最小值2，无最大值C. 有最小值-1，最大值3D. 既无最小值，也无最大值【答案】B【解析】【分析】先作出不等式的可行域，再利用数形结合分析得解.【详解】由题得不等式的可行域如图所示，由题的y=-x+z,直线的纵截距为z,当直线y=-x+z经过点A时，直线的纵截距z最小，联立得A(2,0),所以z最小=2+0=2，由于纵截距没有最大值，所以z没有最大值.故选：B【点睛】本题主要考查线性规划求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，由此计算体积即可．【详解】由已知三视图得到几何体是底面半径为2，高为3的圆柱的，所以几何体的体积为；故选：．【点睛】本题考查了几何体的三视图,关键是正确还原几何体的形状，利用公式求体积．10.已知函数为定义在上的奇函数，是偶函数，且当时，，则（）A. -3B. -2C. -1D. 0【答案】C【解析】【分析】先通过分析求出函数f(x)的周期，再利用函数的周期求值得解.【详解】因为函数是偶函数，所以所以函数f(x)的图像关于直线x=2对称，所以所以，所以，所以函数的周期为8，所以.故选：C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、对称性和周期性应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知抛物线：，过焦点且斜率为2的直线交抛物线于、两点，则（）A. 5B.C. 4D.【答案】B【解析】【分析】设,联立直线和抛物线的方程得，再求的值.【详解】设,由题得直线AB的方程为联立方程得，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.12.锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据余弦定理得到，再根据正弦定理和两角和差正弦公式可得sinA=sin(B-A)，根据三角形为锐角三角形，求得，以及，的范围，再求出f(B)的表达式，利用三角函数的图像和性质求解.【详解】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，，==，所以,因为,所以.故选：A【点睛】本题主要考查余弦定正弦定理理解三角形和三角函数的图像和性质，考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.13.圆与直线相交于，两点，则弦_______．【答案】【解析】【分析】先求出圆心到直线的距离，再解直角三角形求解.【详解】由题得圆心到直线的距离为，所以|AB|=.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，考查弦长公式的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14.若是函数的极值点，则函数在点处的切线方程是______．【答案】【解析】【分析】根据是函数的极值点得k=e,再利用导数的几何意义求切线方程.【详解】由题得.所以.所以切点为（1，-e）,所以切线方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查导数的几何意义和极值的应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15.在底面是边长为的正方形的四棱锥中，顶点在底面的射影为正方形的中心，异面直线与所成角的正切值为2，若四棱锥的内切球半径为，外接球的半径为，则________．【答案】【解析】【分析】设，为，的中点，先求出四棱锥内切球的半径，再求出外接球的半径，即得解.【详解】如图，，为，的中点，由题意，为正四棱锥，底边长为2，，即为与所成角，可得斜高为2，为正三角形，正四棱锥的内切球半径即为的内切圆半径，所以可得，设为外接球球心，在中，，解得，，故答案为：.【点睛】本题主要考查多面体与球的内切和外接问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16.有下列四个命题：其中真命题的序号是__________.①等差数列的前项和为，若，则；②函数的最小值4；③函数在点处的切线方程是；④函数的唯一零点在区间上.【答案】①③④【解析】【分析】对每一个命题逐一分析得解.【详解】①设,故该命题正确；②设，所以函数g(t)在上单调递减，所以函数的最小值为g(1)=5,所以该命题是假命题.③切线方程为y-0=x-1,所以该命题是真命题；④，所以函数在（1,2）上单调递增，，所以函数的唯一零点在区间上.故该命题是真命题.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查等差数列的性质，考查利用导数研究函数的最值和零点，考查导数几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.设数列是等差数列，数列的前项和满足且，.（1）求数列和的通项公式；（2）求的前项和.【答案】（1）,；（2）.【解析】【分析】（1）利用项和公式求数列的通项公式，再求数列的通项公式；（2）利用错位相减法求的前项和.【详解】（1）由，当时，，当时，，，即，∴是首项为3，公比为3的等比数列，所以数列的通项公式为，又因为数列是等差数列，且，，所以，可得数列的通项公式为.（2）①②①-②得，整理得.【点睛】本题主要考查等差数列的通项的求法，考查项和公式求等比数列的通项，考查错位相减法求数列的前n项和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.18.如图，在三棱柱中，四边形是菱形，四边形是矩形，、分别为棱、的中点.（1）求证：平面；（2）若，，且平面平面，求四棱锥的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）取的中点，连接，，证明，再证明平面；（2）取的中点，证明平面，再利用求四棱锥的体积.【详解】证明：（1）取的中点，连接，，因为且，又因为，分别为，的中点，且，所以与平行且相等，所以四边形是平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面.（2）取的中点，在中，，，，∴，∴，∴，即.∵平面平面，平面平面，又平面，∴平面.，∴即四棱锥的体积为.【点睛】本题主要考查空间几何元素的平行关系的证明，考查几何体体积的计算，意在考查学生对这些知识的理解张窝水平和分析推理能力.19.某学校为调查高三年级学生的身高情况，按随机抽样的方法抽取100名学生，得到男生身高情况的频率分布直方图（图（1））和女生身高情况的频率分布直方图（图（2））.已知图（1）中身高在的男生人数有16人.（1）试问在抽取的学生中，男，女生各有多少人？（2）根据频率分布直方图，完成下列的列联表，并判断能有多大（百分之几）的把握认为“身高与性别有关”？总计男生身高女生身高总计（3）在上述100名学生中，从身高在之间的男生和身高在之间的女生中间按男、女性别分层抽样的方法，抽出6人，从这6人中选派2人当旗手，求2人中恰好有一名女生的概率.参考公式：参考数据：0.0250.0100.0050.0015.0246.6357.87910.828【答案】（1）40,60；（2）列联表见解析，有的把握认为身高与性别有关；（3）.【解析】【分析】（1）根据直方图求出男生的人数为40，再求女生的人数；（2）完成列联表，再利用独立性检验求出有的把握认为身高与性别有关；（3）利用古典概型的概率公式求出2人中恰好有一名女生的概率.【详解】（1）直方图中，因为身高在的男生的频率为0.4，设男生数为，则，得.由男生的人数为40，得女生的人数为.（2）男生身高的人数，女生身高的人数，所以可得到下列列联表：总计男生身高301040女生身高65460总计3664100，所以能有的把握认为身高与性别有关；（3）在之间的男生有12人，在之间的女生人数有6人.按分层抽样的方法抽出6人，则男生占4人，女生占2人.设男生为，，，，女生为，.从6人任选2名有：，，，，，，，，，，，，，，共15种可能，2人中恰好有一名女生：，，，，，，，共8种可能，故所求概率为.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算，考查独立性检验解决实际问题，考查古典概型的概率的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知椭圆右顶点与右焦点的距离为，短轴长为，为坐标原点.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆分别交于，两点，求的面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由题意列出关于a,b,c的方程组，解方程组即得椭圆的方程；（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，求出,再换元利用基本不等式求面积的最大值.【详解】（1）由题意知，，∴.联立解得：，.∴椭圆的方程为.（2）由题意知直线的斜率存在，设直线方程为，联立：消去得，设点，，∴，即，，.∵到的距离，，所以.令，∴，.∴.当且仅当，即时，的面积的最大值为.【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系和最值的求解，考查基本不等式求最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）.【解析】【分析】（1）对a分三种情况讨论求出函数的单调性；（2）对a分三种情况，先求出每一种情况下函数f(x)的最小值，再解不等式得解.【详解】（1），当时，，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增；当时，，，，，∴在上单调递减，在上单调递增.综上：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）由（1）可知：当时，，∴成立.当时，，，∴.当时，，，∴，即.综上.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.选修4-4：坐标系与参数方程22.已知极点与坐标原点重合，极轴与轴非负半轴重合，是曲线：上任一点，点满足.设点的轨迹为曲线.（1）求曲线的平面直角坐标方程；（2）已知曲线向上平移1个单位后得到曲线，设曲线与直线：（为参数）相交于，两点，求值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)设，求出点的极坐标为.把点代入曲线即得曲线的极坐标方程，再化成直角坐标方程即可.(2)求出的参数方程，再利用直线参数方程t的几何意义求解.【详解】（1）设，∵，点的极坐标为.把点代入曲线，得，即曲线的极坐标方程为：.∵，∴，∴，∴曲线的平面直角坐标系下的方程为.（2）曲线向上平移1个单位后曲线的方程为.的参数方程化为：.两方程联立得，∴，，∴.【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）解不等式：；（2）若，求证：.【答案】（1）；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）讨论x的范围，去掉绝对值符号解不等式；（2）利用绝对值三角不等式证明．【详解】（1）不等式化为.当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即；当时，原不等式等价于，即.综上，原不等式的解集为.（2）由题意得，所以成立.【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论的思想，属于基础题．。
河南省洛阳市2019届高三数学第二次联考试题理
河南省洛阳市2019届高三数学第二次联考试题理（无答案）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上．2．考试结束，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝[－1，1]，B＝{x｜lnx＜0}，则A∩ B＝A．（0，1） B．（0，1] C．（－1，1） D．[－1，1]zz zzz在复平面内对，则复数（i｜＝为虚数单位）＋12．已知－的共轭复数是，且｜2i应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限rrr rrr?3bbb aaa2｜＝的夹角为，，则｜），｜＋｜＝3，且3．已知向量与＝（1337377 D．． C．A．5 B x－?，≤0e，x?2)(xf，）a＋11（a－4．已知函数）≥f（－＝若f?2．0x＞1－2x＋，－x??的取值范则实数a 围是2]1，1] B．[－[A．－2，，＋∞）1]∪[2[12]∪，＋∞） D．（－∞，－．C（－∞，－．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《数学九章》57 2，被被，比如已知正整数n3除余中的“中国剩余定理”的最小值．执行程序框图，则输出5，求n，被除余48除余 n＝的59 ． A．62 B50 ．．C53 D- 1 -31＋cosx，将函数fsinx（x6．已知函数f（x）＝）的图象向22左平移m（m＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是?? B． A．46?? C． D．237．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是A．1812 B．10 C．9D．22yx31－＝ 2）在，）的左，右焦点分别为F，F，点8．已知双曲线P（（a＞0，b＞021 22ba｜成等差数列，则该双曲线的方程为F｜，｜PF｜，｜双曲线上，且｜PFF211222222yyxxy222＝yx1－1－＝x－＝1－＝1． C．． B D．A416233．如图所示，三国时代数学家在《周脾算经》中利用弦图，给出了勾9 股定理的绝妙证明．图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方 30，设直角三角形有一个内角为°，若向弦图内随机抛形（阴影）3），则落在小正方≈1掷200．颗米粒（大小忽略不计，取732形（阴影）内的米粒数大约为6454 D．．27 C．A．20 B，0＋y2≥2x－??，01≤x－2y＋221）＝＋x＋（y2点Q在曲线x10．如果点P（，y）满足??，≤0＋y－2x?PQ上，则｜｜的取值范围是1－110＋101－15－5] ，，．．A[]B[110－1－55]，，．．C[5] D[- 2 -10，BC＝2AC，若四面体＝ABCD的外接球的表11．在四面体ABCD中，AD⊥平面ABC，AB＝?676，则四面体ABCD的体积为面积为9A．24 B．12 C．8 D．4．已知a＞0，曲线f（x）＝3x－4ax与g（x）＝2alnx－b有公共点，且在公共点处的切线2212相同，则实数b的最小值为124－－－． CA．0 B．． D222eee90分）第Ⅱ卷（非选择题，共 20分．4小题，每小题5分，共二、填空题：本大题共11032）－x（的展开式中含x项的系数为13__________．．3x33，tanB＝，c成等比数列，且，c，若a，b所对的边分别为14．在△ABC中，角A，B，Ca，b411＋．的值是则__________ tanAtanC12＝1＋，且0＞，y＞0＋x＋y的最小值为__________． 15．已知x，则xy yx22yx1＋＝l，交椭Pya）的左顶点A（－，0）作直线．已知过椭圆16轴于点交a （＞b＞022ba uuuruurPQQA，则椭圆的离心率为__________．＝2圆于点Q，若△AOP 是等腰三角形，且三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（本小题满分12分）a}的公差d≠0，若a＋a＝22，且a，a，a 已知等差数列{成等比数列．135938n a}的通项公式；{ ）求数列（1n21a（＋）n bS＝b．项和，求数列{}的前n）设2（nnn aa n＋1n- 3 -18．（本小题满分12分）已知平面多边形PABCD中，PA＝PD，AD＝2DC＝2BC＝4，AD∥BC，AP⊥PD，AD⊥DC，E为22．＝AD折起，使PC PD的中点，现将△APD沿（1）证明：CE∥平面ABP；（2）求直线AE与平面ABP所成角的正弦值．19．（本小题满分12分）2l相交于为坐标原点，直线C与抛物线0），其焦点为F，O＝已知抛物线C：y2px（p＞的中点．为ABA，B，M不同两点l的方程；，1），求直线，（1）若p＝2M的坐标为（12｜｜MN2l是否为定值，N，试问：的垂直平分线交F，ABx轴于点（2）若直线过焦点｜｜FN若为定值，试求出此定值，否则，说明理由．20．（本小题满分12分）某共享单车经营企业欲向甲市投放单车，为制定适宜的经营策略，该企业首先在已投放单车的乙市进行单车使用情况调查．调查过程分随机问卷、整理分析及开座谈会三个阶段．在随机问卷阶段，A，B两个调查小组分赴全市不同区域发放问卷并及时收回；在整理分析阶段，两个调查小组从所获取的有效问卷中，针对15至45岁的人群，按比例随机抽取了300份，进行了数据统计，具体情况如下表：- 4 -6035岁”抽出一个容量为）先用分层抽样的方法从上述300人中按“年龄是否达到（1岁”的被抽个体数分配到“经常使用单人的样本，再用分层抽样的方法将“年龄达到35 车”和“偶尔使用单车”中去． 35岁且偶尔使用单车”的人数；①求这60人中“年龄达到岁且偶尔使用②为听取对发展共享单车的建议，调查组专门组织所抽取的“年龄达到35份（其余人员仅人，每人13份礼品赠送给其中3单车”的人员召开座谈会．会后共有人中得4组，求A组这赠送骑行优惠券）．已知参加座谈会的人员中有且只有4人来自A 的分布列和数学期望；到礼品的人数X在的结论．m岁）有关”（2）从统计数据可直观得出“是否经常使用共享单车与年龄（记作还25用独立性检验的方法说明该结论成立时，为使犯错误的概率尽可能小，年龄m应取2 K的观测值的大小加以说明．35是？请通过比较2）－bc（nad2d＋＋b＋cn＝a ＝K，其中参考公式：））（b＋d）（bc＋d）（a ＋c（a＋12分）21．（本小题满分2 2）．＋1）（a＜＋f已知函数（x）＝（x－1）a（1nx－xx）的极值点的个数；（1）讨论f（的取值范围．，2]上有且只有一个实根，求a＋x）＋a1＝0在（0（（2）若方程f题中任选一题作答．如果多做，则按所做的22分．请考生在第、23（二）选考题：共10 第一题计分．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑．分）]4：坐标系与参数方程（10422．[选修—2t1＝＋x?，以坐标原点为t的参数方程为CxOy在直角坐标系中，曲线（是参数）?1t＋＝－y2?- 5 -42．＝ x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ极点，22θ＋3sin1的直角坐标方程；）求曲线C的普通方程和曲线C1（21?＝x2x?（2）设曲线C经过伸缩变换得到曲线C，M（x，y）是曲线C上任意一点，求点?323?＝yy?M到曲线C的距离的最大值．1 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知f（x）＝｜x＋1｜，g（x）＝2｜x｜＋a．（1）当a＝－1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若存在x∈R使得f（x）≥g（x）成立，求a的取值范围．000- 6 -。
2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷(理科)
2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{2，3}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2，3}C．[﹣1，2]D．[﹣1，3]2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|＝（）A．B．C．2D．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．4．（5分）在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．10．（5分）如图，设A、B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，1] 11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则＝．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2，且，令b n＝log3（a n+1），则的前2019项的和S2019＝．15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为．16．（5分）若函数在（0，+∞）上仅有一个零点，则a＝．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝．（1）若∠CAD＝30°，求角B的大小；（2）若BD＝2DC，且AD＝2，求CD的长．18．（12分）如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，P A⊥底面ABCD，ED∥P A，且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．19．（12分）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C另一个焦点是F1，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．20．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0，210]（210，400]（400，+∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：e．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形ACBD的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．2019年河南省洛阳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）设集合A＝{x∈N*|x2﹣x﹣2≤0}，B＝{2，3}，则A∪B＝（）A．{﹣1，0，1，2，3}B．{1，2，3}C．[﹣1，2]D．[﹣1，3]【考点】1D：并集及其运算．【专题】11：计算题；37：集合思想；49：综合法；5J：集合．【分析】可求出集合A，然后进行并集的运算即可．【解答】解：A＝{x∈N*|﹣1≤x≤2}＝{1，2}，B＝{2，3}；∴A∪B＝{1，2，3}．故选：B．【点评】考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．2．（5分）若复数z为纯虚数且（1+i）z＝a﹣i（其中i是虚数单位，a∈R），则|a+z|＝（）A．B．C．2D．【考点】A8：复数的模．【专题】11：计算题；38：对应思想；5N：数系的扩充和复数．【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求得a值，则|a+z|可求．【解答】解：由（1+i）z＝a﹣i，得，∵复数z为纯虚数，∴，解得a＝1．∴z＝﹣i，则|a+z|＝|1﹣i|＝．故选：A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题．3．（5分）函数y＝（x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】3A：函数的图象与图象的变换．【专题】11：计算题；31：数形结合；34：方程思想；35：转化思想；51：函数的性质及应用．【分析】判断函数的奇偶性，排除选项，利用特殊值判断即可．【解答】解：函数y＝（x≠0）是奇函数，排除C，D．当x＝时，y＝＜0．排除B，故选：A．【点评】本题考查函数的图象的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）在区间[﹣1，1]内随机取两个实数x，y，则满足y≥x2﹣1的概率是（）A．B．C．D．【考点】CF：几何概型．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】该题涉及两个变量，故是与面积有关的几何概型，分别表示出满足条件的面积和整个区域的面积，最后利用概率公式解之即可．【解答】解：由题意可得，的区域为边长为2的正方形，面积为4，满足y≥x2﹣1的区域为图中阴影部分，面积为2+＝∴满足y≥x2﹣1的概率是＝．故选：D．【点评】本题主要考查了与面积有关的几何概率的求解，解题的关键是准确求出区域的面积，属于中档题．5．（5分）4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有（）A．24种B．36种C．48种D．60种【考点】D3：计数原理的应用．【专题】5O：排列组合．【分析】分两类，第一类，有3名被录用，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，根据分类计数原理即可得到答案【解答】解：分两类，第一类，有3名被录用，有＝24种，第二类，4名都被录用，则有一家录用两名，有＝36，根据分类计数原理，共有24+36＝60（种）故选：D．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，解题时要先确定分几类，属于基础题6．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．πB．πC．πD．π【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】15：综合题；35：转化思想；4G：演绎法；5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得该几何体的体积．【解答】解：由三视图可得，直观图为圆锥的与圆柱的组合体，由图中数据可得几何体的体积为＝，故选：A．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，考查学生的计算能力，确定几何体的形状是关键．7．（5分）已知双曲线C：（a＞0，b＞0），过左焦点F1的直线切圆x2+y2＝a2于点P，交双曲线C右支于点Q，若＝，则双曲线C的渐近线方程为（）A．y＝±x B．y＝±2x C．y＝±D．y＝【考点】KC：双曲线的性质．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由已知可得：丨OP丨＝a，设双曲线的右焦点为F′，由P为线段FQ的中点，知|PF′|＝2a，|QF|＝2b，由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a，由此能求出双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程．【解答】解：∵过双曲线C：（a＞0，b＞0），左焦点F引圆x2+y2＝a2的切线，切点为P，∴丨OP丨＝a，设双曲线的右焦点为F′，∵P为线段FQ的中点，∴|QF′|＝2a，|QF|＝2b，由双曲线的定义知：2b﹣2a＝2a，∴b＝2a．∴双曲线C：（a＞0，b＞0）的渐近线方程为bx±ay＝0，即2ax±ay＝0，∴2x±y＝0．故选：B．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与双曲线的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化，属于中档题．8．（5分）我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径．“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V，求其直径d的一个近似公式，人们还用过一些类似的近似公式，根据π＝3.14159…判断，下列近似公式中最精确的一个是（）A．B．C．D．【考点】F3：类比推理．【专题】11：计算题；35：转化思想；4O：定义法；5M：推理和证明．【分析】根据球的体积公式求出直径，将四个选项逐一代入，求出最接近真实值的那一个即可．【解答】解：由V＝π（）3，解得d＝，选项A代入得π＝＝3.1；选项B代入得π＝＝3；选项C代入得π＝＝3.2；选项D代入得π＝＝3.142857由于D的值最接近π的真实值故选：D．【点评】本题主要考查了球的体积公式及其估算，同时考查了计算能力，属于中档题．9．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为（）A．B．C．D．【考点】7C：简单线性规划．【专题】11：计算题；31：数形结合；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．【解答】解：作出的可行域为三角形（包括边界），把，看作点（x，y）和C（5，0）之间的斜率，记为k，由可行域可知A（2，2），B（2，﹣4），则﹣≤k≤．故选：A．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．10．（5分）如图，设A、B是半径为2的圆O上的两个动点，点C为AO中点，则的取值范围是（）A．[﹣1，3]B．[1，3]C．[﹣3，﹣1]D．[﹣3，1]【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】31：数形结合；56：三角函数的求值；5A：平面向量及应用．【分析】如图所示，可得O（0，0），A（﹣2，0），C（﹣1，0），设B（2cosθ，2sinθ）．θ∈[0，2π）．利用数量积运算性质与三角函数的单调性可得范围．【解答】解：如图所示，可得O（0，0），A（﹣2，0），C（﹣1，0），设B（2cosθ，2sinθ）．θ∈[0，2π）．＝（1，0）•（2cosθ+1，2sinθ）＝2cosθ+1∈[﹣1，3]．故选：A．【点评】本题考查了向量数量积运算性质、三角函数的单调性求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．（5分）已知函数y＝f（x）对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），则下列不等式成立的是（）A．f（﹣）＜f（﹣）B．f（）＜f（）C．f（0）＞2f（）D．f（0）＞f（）【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】53：导数的综合应用．【分析】根据条件构造函数g（x）＝，求函数的导数，利用函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：构造函数g（x）＝，则g′（x）＝＝（f′（x）cos x+f（x）sin x），∵对任意的x∈（﹣，）满足f′（x）cos x+f（x）sin x＞0，∴g′（x）＞0，即函数g（x）在x∈（﹣，）单调递增，则g（﹣）＜g（﹣），即，∴，即f（﹣）＜f（﹣），故A正确．g（0）＜g（），即，∴f（0）＜2f（），故选：A．【点评】本题主要考查函数单调性的应用，利用条件构造函数是解决本题的关键，综合性较强，有一点的难度．12．（5分）已知球O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC＝3，，点E在线段BD上，且BD＝6BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】LG：球的体积和表面积．【专题】11：计算题；31：数形结合；44：数形结合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，可得R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D＝3sin60°×＝，AO1＝＝＝3，在Rt△OO1D中，R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，∵BD＝6BE，∴DE＝2.5，在△DEO1中，O1E＝＝，∴OE＝＝＝，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为＝，最小面积为π，当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故选：A．【点评】本题考查三棱锥外接球的截面圆面积的取值范围的求法，考查球、圆锥等基础知识，考查运算求解能力、空间想象能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知，则＝．【考点】GP：两角和与差的三角函数．【专题】11：计算题；35：转化思想；56：三角函数的求值．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式tanα＝，利用同角三角函数基本关系式化简所求即可计算得解．【解答】解：∵，则＝＝2，∴解得：tanα＝，∴＝＝＝．故答案为：．【点评】本题主要考查了两角和的正切函数公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．14．（5分）数列{a n}首项a1＝2，且，令b n＝log3（a n+1），则的前2019项的和S2019＝．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式．进一步利用通项公式再利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：数列{a n}首项a1＝2，且，则：a n+1+1＝3（a n+1），即：（常数），所以：数列{a n+1}是以a1+1＝3为首项，3为公比的等比数列，故：，令b n＝log3（a n+1）＝，故：＝＝．所以：S n＝b1+b2+…+b n，＝，＝，＝．所以：，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．15．（5分）（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4的项的系数为﹣21．【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；35：转化思想；5P：二项式定理．【分析】多项式（3x+2y）2（x﹣y）7＝（9x2+12xy+4y2）（x﹣y）7，设（x﹣y）7的通项公式为T r+1＝x7﹣r（﹣y）r，分别令r＝4，r＝3，r＝2，即可得出．【解答】解：多项式（3x+2y）2（x﹣y）7＝（9x2+12xy+4y2）（x﹣y）7，设（x﹣y）7的通项公式为T r+1＝x7﹣r（﹣y）r，令r＝4，则T5＝＝35x3y4，令r＝3，则T4＝＝﹣35x4y3，令r＝2，则T3＝x5（﹣y）2＝21x5y2．∴多项式（3x+2y）2（x﹣y）7的展开式中含有x5y4项的系数为：35×9﹣35×12+21×4＝﹣21．故答案为：﹣21．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（5分）若函数在（0，+∞）上仅有一个零点，则a＝5ln2﹣4．【考点】57：函数与方程的综合运用．【专题】11：计算题；35：转化思想；4G：演绎法；53：导数的综合应用．【分析】由题意将原问题转化为两个函数交点个数的问题，然后利用导函数研究函数的最大值即可确定实数a的值．【解答】解：函数f（x）的零点满足e x+a﹣x3+2x2＝0，即a＝ln（x3﹣2x2）﹣x，则原问题等价于函数y＝a与函数g（x）＝ln（x3﹣2x2）﹣x有且只有一个交点．注意到函数g（x）的定义域为（2，+∞），且，在区间（2，4）上，g’（x）＞0，g（x）单调递增，在区间（4，+∞）上，g’（x）＜0，g（x）单调递减，则函数g（x）的最大值为g（4）＝5ln2﹣4，据此可得，实数a的值为5ln2﹣4．故答案为：5ln2﹣4．【点评】本题主要考查函数零点个数问题，等价转化的数学思想，导函数研究函数的单调性和函数的最值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）如图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AC＝．（1）若∠CAD＝30°，求角B的大小；（2）若BD＝2DC，且AD＝2，求CD的长．【考点】HT：三角形中的几何计算．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；58：解三角形．【分析】（1）根据正弦定理即可求出，（2）根据余弦地理和同角的三角函数的关系即可求出．【解答】解：（1）在△ABC中，根据正弦定理，有．∵，∴．又，∴，∴，∴；（2）设DC＝x，则，∴．在△ABD中，AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，即，得．故．【点评】本题考查了正弦定理余弦定理的应用，以及解三角形的问题，属于中档题．18．（12分）如图，已知多面体P ABCDE的底面ABCD是边长为2的菱形，P A⊥底面ABCD，ED∥P A，且P A＝2ED＝2．（1）证明：平面P AC⊥平面PCE；（2）若直线PC与平面ABCD所成的角为45°，求二面角P﹣CE﹣D的余弦值．【考点】LY：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】14：证明题；31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离；5G：空间角．【分析】（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF，推导出四边形OFED为平行四边形，从而OD∥EF，即BD∥EF，进而P A⊥BD．再求出BD⊥AC，从而BD⊥平面P AC，求出EF⊥平面P AC，由此能证明平面P AC⊥平面PCE．（2）法1：设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣CE﹣D的余弦值．法2：以点O为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，利用向量法能求出二面角P﹣CE﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）连接BD，交AC于点O，设PC中点为F，连接OF，EF，∵O，F分别为AC，PC的中点，∴OF∥P A，且OF＝P A，∵DE∥P A，且，∴OF∥DE，且OF＝DE．…（1分）∴四边形OFED为平行四边形，∴OD∥EF，即BD∥EF．…（2分）∵P A⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴P A⊥BD．∵ABCD是菱形，∴BD⊥AC．∵P A∩AC＝A，∴BD⊥平面P AC．…（4分）∵BD∥EF，∴EF⊥平面P AC．…（5分）∵FE⊂平面PCE，∴平面P AC⊥平面PCE．…（6分）解：（2）解法1：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°，∴∠PCA＝45°，∴AC＝P A＝2．…（7分）∴AC＝AB，故△ABC为等边三角形．设BC的中点为M，连接AM，则AM⊥BC．以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A﹣xyz（如图）．则P（0，0，2），C（），E（0，2，1），D（0，2，0），＝（），＝（﹣，1，1），＝（0，0，1）．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝{x1，y1，z1}，则，即令y1＝1，则，∴＝（）．…（10分）设平面CDE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即令x2＝1，则，∴＝（1，）．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ，由于θ为钝角，∴cosθ＝﹣|cos＜＞|＝﹣．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为﹣．…（12分）解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45°，且P A⊥平面ABCD，所以∠PCA＝45°，所以AC＝P A＝2．…（7分）因为AB＝BC＝2，所以△ABC为等边三角形．因为P A⊥平面ABCD，由（1）知P A∥OF，所以OF⊥平面ABCD．因为OB⊂平面ABCD，OC⊂平面ABCD，所以OF⊥OB且OF⊥OC．在菱形ABCD中，OB⊥OC．以点O为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz（如图）．则，则．…（9分）设平面PCE的法向量为n＝（x1，y1，z1），则即令y1＝1，则，则法向量n＝（0，1，1）．…（10分）设平面CDE的法向量为m＝（x2，y2，z2），则即令x2＝1，则则法向量．…（11分）设二面角P﹣CE﹣D的大小为θ，由于θ为钝角，则．∴二面角P﹣CE﹣D的余弦值为．…（12分）【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）已知椭圆C中心在原点，焦点在坐标轴上，直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，椭圆C另一个焦点是F1，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，求△F2PQ的内切圆面积的最大值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】15：综合题．【分析】（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，可知焦点在x轴上且M点坐标（c，）．F1（﹣c，0），F2（c，0）．利用，可得c＝1，设椭圆C方程M 点代入椭圆C方程，即可求得椭圆C方程；（Ⅱ）要使△F2PQ的内切圆面积最大，即使△F2PQ的面积最大，根据F2F1为定长，可得当且仅当直线L过（﹣1，0），与x轴垂直时△F2PQ的面积最大．【解答】解：（Ⅰ）根据直线与椭圆C在第一象限内的交点是M，点M在x轴上的射影恰好是椭圆C的右焦点F2，可知焦点在x轴上且M点坐标（c，）．F1（﹣c，0），F2（c，0）．∵，∴，∴c＝1．设椭圆C方程：M点坐标（1，）代入椭圆C方程得，∵c＝﹣1，∴a＝2，b＝．∴椭圆C方程为（Ⅱ）直线l过点（﹣1，0），且与椭圆C交于P，Q两点，则△F2PQ的周长为4a＝8，则＝•4a•r（r为三角形内切圆半径），要使△F2PQ的内切圆面积最大，即使△F2PQ的面积最大，∵F2F1为定长，△F2PQ的面积为•2|y1﹣y2|，（y1，y2分别为P，Q的纵坐标），可设直线l的方程为x＝my﹣1，代入椭圆方程可得（4+3m2）y2﹣6my﹣9＝0，y1+y2＝，y1y2＝﹣，|y1﹣y2|2＝（y1+y2）2﹣4y1y2＝＝，显然m＝0上式取得最大值，∴当且仅当直线L过（﹣1，0），与x轴垂直时△F2PQ的面积最大．此时P（﹣1，），Q（﹣1，﹣）∴|F2P|＝|F2Q|＝，|PQ|＝3．设△F2PQ的内切圆半径为r，则∴r＝，其面积S＝．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查三角形的内切圆的面积，考查学生分析解决问题的能力，综合性强．20．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0，210]（210，400]（400，+∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．【考点】CG：离散型随机变量及其分布列；CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】（1）利用已知条件通过分段函数分段求解电费即可．（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3，求出概率，得到ξ的分布列，然后求解期望即可．（3）利用独立重复试验，求出概率，列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）210×0.5+（400﹣210）×0.6+（410﹣400）×0.8＝227元…（2分）（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3故ξ的分布列是ξ0123p所以…（7分）（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X∽B（10，），可知（k＝0，1，2，3 (10)，解得，k∈N*所以当k＝6时，概率最大，所以k＝6…（12分）【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，分布列以及期望的期望的求法，考查分析问题解决问题的能力．21．（12分）已知函数f（x）＝e x+ax+ln（x+1）﹣1．（1）求f（x）在x＝0处的切线方程；（2）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围；（3）求证：e．【考点】6E：利用导数研究函数的最值；6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】35：转化思想；49：综合法；53：导数的综合应用．【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率，进而得到f（x）在x＝0处的切线方程；（2）f′（x）＝e x+a+，，在[0，+∞）上单调递增，可得f′（x）≥f′（0）＝a+2，讨论（i）当2+a≥0时，（ii）当2+a＜0时；（3）由（1）知，当a＝﹣2时，f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则f（）＞f（0），即e﹣1+ln（）﹣1＞0，由ln，即可得到证明．【解答】解：（1）f′（x）＝e x+a+，f′（0）＝2+a，又f（0）＝0，∴f（x）在x＝0处的切线方程为：y＝（a+2）x；（2）若x≥0时，则f′（x）＝e x+a+，，在[0，+∞）上单调递增，f″（x）≥f″（0）＝0．则f′（x）在[0，+∞）上单调递增，f′（x）≥f′（0）＝a+2，①当a+2≥0，即a≥﹣2时，f′（x）≥0，则f（x）在[0，+∞）上单调递增此时f′（x）≥f（0）＝0，满足题意②若a＜﹣2，由f′（x）在[0，+∞）上单调递增由于f′（0）＝2+a＜0，x→+∞时，f′（x）＞0．故∃x0∈（0，+∞），使得f′（x0）＝0．则当0＜x＜x0时，f′（x）＜f′（x0）＝0．∴函数f（x）在（0，x0）上单调递减．∴f（x0）＜f（0）＝0，不恒成立．舍去综上所述，实数a的取值范围是[﹣2，+∞）．（3）证明：由（1）知，当a＝﹣2时，f′（x）＝e x﹣2x+ln（x+1）﹣1在[0，+∞）上单调递增．则f（）＞f（0），即e﹣1+ln（）﹣1＞0．∴ln．∴，即e【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率、单调区间和极值、最值，考查不等式恒成立问题的解法，以及不等式的证明，注意运用分类讨论和构造函数法，考查化简整理的运算能力，属于难题．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，曲线C1、C2的公共点为A、B．（Ⅰ）求直线AB的斜率；（Ⅱ）若点C、D分别为曲线C1、C2上的动点，当|CD|取最大值时，求四边形ACBD的面积．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程．【专题】49：综合法；5B：直线与圆；5S：坐标系和参数方程．【分析】（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），利用平方关系消去参数化为普通方程，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，利用互化公式可得普通方程．上述两个方程相减可得直线AB的方程及其斜率．（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时，线段CD取得最大值，此时|CD|＝3+＝+3．直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1，可得C1•C2⊥AB．利用弦长公式可得|AB|，当|CD|取最大值时，四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|．【解答】解：（I）曲线C1的参数方程为（α为参数），消去参数化为：x2+（y﹣1）2＝1．曲线C2的极坐标方程为ρ＝4cosθ，即ρ2＝4ρcosθ，化为普通方程：x2+y2＝4x．上述两个方程相减可得：2x﹣y＝0．则直线AB的斜率为2．（Ⅱ）当且仅当直线CD经过两个圆的圆心时，线段CD取得最大值，此时|CD|＝3+＝+3．|AB|＝2＝．直线C1•C2的方程为：y＝﹣x+1，可得C1•C2⊥AB．∴当|CD|取最大值时，四边形ACBD的面积S＝|AB|•|CD|＝××（3+）＝2+．【点评】本题考查了直线与圆的参数方程极坐标方程、点到直线的距离公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|（m∈R）．（1）当m＝1时，解不等式f（x）≥2；（2）若关于x的不等式f（x）≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．【考点】6P：不等式恒成立的问题；R5：绝对值不等式的解法．【专题】11：计算题；34：方程思想；35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】（1）通过x讨论去掉绝对值符号，求解不等式的解集即可．（2）题目转化为当x∈[3，4]时，|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立，即|x﹣m|≤x+4，转化求解即可．【解答】解：（1）当时，f（x）＝﹣2x﹣1+（x﹣1）＝﹣x﹣2，由f（x）≥2解得x≤﹣4，综合得x≤﹣4；当时，f（x）＝（2x+1）+（x﹣1）＝3x，由f（x）≥2解得，综合得；当x≥1时，f（x）＝（2x+1）﹣（x﹣1）＝x+2，由f（x）≥2解得x≥0，综合得x≥1．所以f（x）≥2的解集是．（2）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|的解集包含[3，4]，∴当x∈[3，4]时，|2x+1|﹣|x﹣m|≥|x﹣3|恒成立原式可变为2x+1﹣|x﹣m|≥x﹣3，即|x﹣m|≤x+4，∴﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4即﹣4≤m≤2x+4在x∈[3，4]上恒成立，显然当x＝3时，2x+4取得最小值10，即m的取值范围是[﹣4，10]．【点评】本题考查不等式的解法，绝对值的几何意义，考查转化思想以及计算能力．。
(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)
2019届全国高考高三模拟考试卷数学（理）试题（二）（解析版）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．1-D ．12．[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =，则集合A B I 中元素的个数为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．53．[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ，()2,3=-b ，且()m ⊥+a a b ，则m =（ ） A ．25B ．25-C ．0D ．154．[2019·台州期末]已知圆C ：()()22128x y -+-=，则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为（ ） A ．30x y +-=B ．30x y --=C ．230x y --=D ．230x y +-=5．[2019·东北三校]中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种，现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有（ ） A ．30种B ．50种C ．60种D ．90种6．[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形，俯视图是扇形，则该几何体的体积为（ ）A ．π9B ．π3C ．π6D ．π187．[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ） A ．函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B ．函数()g x 的周期是π2C ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18．[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）A ．0B ．12C ．1D ．1-9．[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒（ ）A ．3B ．1C 3D ．210．[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减，且为偶函数．若()21f =-，则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是（ ） A ．[]1,5B ．[]1,3C ．[]3,5D ．[]2,2-11．[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ，若C 的左支上存在点M ，使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线，则C 的离心率为（ ）AB ．2CD ．512．[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212x x y y +0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①()()10f x x x x=+>；②()()ln 0e f x x x =<<；③()cos f x x =；④()21f x x =-．其中为“柯西函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边，S 是ABC △的面积，若8a =，5b =，S =，则c =_________．14．[2019·景山中学]已知a ，b 表示直线，α，β，γ表示不重合平面． ①若a αβ=I ，b α⊂，a b ⊥，则αβ⊥；②若a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，则αβ⊥； ③若αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥；④若a α⊥，b β⊥，a b ∥，则αβ∥．上述命题中，正确命题的序号是__________．15．[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门，且这四位同学选修的课程互不相同．下面是关于他们选课的一些信息：①甲同学和丙同学均不选播音主持，也不选广播电视；②乙同学不选广播电视，也不选公共演讲；③如果甲同学不选公共演讲，那么丁同学就不选广播电视．若这些信息都是正确的，依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______（填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持）16．[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ，则实数m =________．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项，其中*n ∈N ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：21n T <．18．（12分）[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长，投资最多，难度最大的跨海桥梁项目，大桥建设需要许多桥梁构件．从某企业生产的桥梁构件中抽取100件，测量这些桥梁构件的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间[)55,65，[)65,75，[]75,85内的频率之比为4:2:1．（1）求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率；（2）若将频率视为概率，从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件，记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ，求X 的分布列与数学期望．19．（12分）[2019·淄博模拟]如图，在四棱锥P ABCD -中，AB CD ∥，1AB =，3CD =，2AP =，23DP =，60PAD ∠=︒，AB ⊥平面PAD ，点M 在棱PC 上．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）若直线PA ∥平面MBD ，求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值．20．（12分）[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2，抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N （M 、N 都在x 轴上方）．且AFM OFN ∠=∠．证明：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．21．（12分）[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-，a ∈R ． （1）当13a =-时，求函数()f x 的单调区间；（2）令函数()()2x x f x ϕ'=，若函数()x ϕ的最小值为32-，求实数a 的值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=（a ∈R ，a 为常数）），过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+，（t 为参数）．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点（点P 在A 、B 之间），且2PA PB ⋅=，求a 和PA PB -的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t ．求t 的值；若实数a ，b 满足2222a b t +=，求221112a b +++的最小值．2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学（二）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部，∴122a=-，即1a =-．故选C ． 2．【答案】A【解析】由题意，集合{}31,A x x n n ==-∈N ，{}6,8,10,12,14B =， ∴{}8,14A B =I ，∴集合A B I 中元素的个数为2．故选A ． 3．【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ，结合向量垂直判定，建立方程，可得12310m m --+=，解得25m =，故选A ． 4．【答案】B【解析】根据题意，圆C ：()()22128x y -+-=，P 的坐标为()3,0， 则有()()2231028-+-=，则P 在圆C 上，此时20113CP K -==--，则切线的斜率1k =， 则切线的方程为3y x =-，即30x y --=，故选B ． 5．【答案】B【解析】若同学甲选牛，那么同学乙只能选狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11210C C 20⋅=，若同学甲选马，那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种，丙同学可以从剩下的10中任意选，∴共有11310C C 30⋅=，∴共有203050+=种．故选B ． 6．【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形，圆锥的高为1，底面半径为1， 俯视图是扇形，圆心角为2π3，几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=．故选A ．7．【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后，得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，当π12x =-时，π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称，故选项A 错误；周期2ππ2T ==，故选项B 错误； 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,，∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，故选项C 正确；∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值，故选项D 错误．故选C ．8．【答案】A【解析】第一次循环，1k =，cos01S ==，112k =+=，4k >不成立； 第二次循环，2k =，π131cos 1322S =+=+=，213k =+=，4k >不成立； 第三次循环，3k =，32π31cos 12322S =+=-=，314k =+=，4k >不成立； 第四次循环，4k =，1cos π110S =+=-=，415k =+=，4k >成立， 退出循环，输出0S =，故选A ． 9．【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒．故选C ．10．【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数，∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥， ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减，∴32x -≤，232x -≤-≤，15x ≤≤，故选A ． 11．【答案】C【解析】()2,0F c ，直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线， 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+，即有22OP c b a =-=，由OP 为12MF F △的中位线，可得122MF OP a ==，22MF b =，可得212MF MF a -=，即为222b a a -=，即2b a =，可得221145c b e a a==+=+=．故选C ．12．【答案】B【解析】由柯西不等式得：对任意实数1x ，1y ，2x ，2y ，2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立， （当且仅当1221x y x y =取等号）若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0，则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，使得OA u u u r，OB u u u r 共线，即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点： 对于①，方程()10kx x x x=+>，即()211k x -=，不可能有两个正根，故不存在； 对于②，，由图可知不存在；对于③，，由图可知存在；对于④，，由图可知存在，∴“柯西函数”的个数为2，故选B ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形，故得到角C 为π3，再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=．故答案为7．14．【答案】②④【解析】对于①，根据线面垂直的判定定理，需要一条直线垂直于两条相交的直线，故不正确， 对于②，a α⊂，a 垂直于β内任意一条直线，满足线面垂直的定理，即可得到αβ⊥， 又a α⊂，则αβ⊥，故正确，对于③，αβ⊥，a αβ=I ，b αγ=I ，则a b ⊥或a b ∥，或相交，故不正确， 对于④，可以证明αβ∥，故正确． 故答案为②④． 15．【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持，也不选广播电视； 由②知乙不选广播电视，也不选公共演讲；由③知如果甲不选公共演讲，那么丁就不选广播电视，综上得甲、乙、丙均不选广播电视，故丁选广播电视，从而甲选公共演讲，丙选影视配音， 故答案为影视配音． 16．【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=，曲线2y mx =的导数为2y mx '=，由e2mx x =，0x >且0m >，得x =e 2⎫⎪⎪⎭，代入eln y x =得e 2=，解得12m =，故答案为12．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）n a n =；（2）见解析．【解析】（1）∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项，∴()221n n n n n S a a a a =+=+， 当1n =时，21112a a a =+，∴11a =．当2n ≥时，22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--，整理得()()1110n n n n a a a a --+--=． 又0n a >，∴()112n n a a n --=≥，即数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列． ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=． （2）()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭，∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+． 18．【答案】（1）0.05；（2）见解析．【解析】（1）设区间[]75,85内的频率为x ，则区间[)55,65，[)65,75内的频率分别为4x 和2x ． 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=，解得0.05x =． ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05．（2）从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复实验， ∴X 服从二项分布(),B n p ，其中3n =．由（1）得，区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=， 将频率视为概率得0.6p =．∵X 的所有可能取值为0，1，2，3，且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=，()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=，()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=，()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=．∴X 的分布列为：X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ，∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=．19．【答案】（1）见解析；（2219565【解析】（1）∵AB ⊥平面PAD ，∴AB DP ⊥，又∵23DP=，2AP=，60PAD∠=︒，由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠，可得1sin2PDA∠=，∴30PDA∠=︒，90APD∠=︒，即DP AP⊥，∵AB AP A=I，∴DP⊥平面PAB，∵DP⊂平面PCD，∴平面PAB⊥平面PCD；（2）以点A为坐标原点，AD所在的直线为y轴，AB所在的直线为z轴，如图所示，建立空间直角坐标系，其中()0,0,0A，()0,0,1B，()0,4,3C，()0,4,0D，)3,1,0P．从而()0,4,1BD=-u u u r，)3,1,0AP=u u u r，()3,3,3PC=-u u u r，设PM PCλ=u u u u r u u u r，从而得()33,31,3Mλλλ+，()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r，设平面MBD的法向量为(),,x y z=n，若直线PA∥平面MBD，满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn，即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=，得14λ=，取()3,3,12=--n，且()3,1,1BP=-u u u r，直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20．【答案】（1）2212xy+=；（2）直线l过定点()2,0．【解析】（1）由题意可知，抛物线2C的准线方程为1x=，又椭圆1C2，∴点2⎛⎝⎭在椭圆上，∴221112a b+=，①又2cea==，∴222212a bea-==，∴222a b=，②，由①②联立，解得22a=，21b=，∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=．（2）设直线:l y kx m =+，设()11,M x y ，()22,N x y ，把直线l 代入椭圆方程，整理可得()222214220k x km m +++-=，()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22210k m -+>，∴122421kmx x k +=-+，21222221m x x k -=+，∵111FM y k x =+，221FN yk x =+，M 、N 都在x 轴上方，且AFM OFN ∠=∠，∴FM FN k k =-，∴121211y yx x =-++，即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++， 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=，∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭，即22224444420km k k m km k m m ---++=，整理可得2m k =， ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+，∴直线l 过定点()2,0． 21．【答案】（1）见解析；（2）56-．【解析】（1）13a =-时，()2ln f x x x x =--，则()()()221121x x x x f x x x +---'==， 令()'0f x =，解得12x =-或1x =，而0x >，故1x =，则当()0,1x ∈时，()0f x '<，即()f x 在区间内递减， 当()1,x ∈+∞时，()0f x '>，即()f x 在区间内递增． （2）由()23ln f x x ax x =+-，()123f x x a x'=+-， 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-，故()2661x x ax ϕ'=+-， 又()()264610a ∆=-⨯⨯->，故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根，不妨记为1x ，2x ，且12x x <， 又∵12106x x =-<，故120x x <<，当()20,x x ∈时，()0x ϕ'<，()x ϕ递减， 当()2,x x ∈+∞时，()0x ϕ'>，()x ϕ递增， 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-，①又()20x ϕ'=，∴2226610x ax +-=，即222166x a x -=，②将222166x a x -=代入式，得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--， 由题意得3221322x x --=-，即322230x x +-=，即()()222212230x x x -++=，解得21x =， 将21x =代入式中，得56a =-．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．【答案】（1）222x y a -=，3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）；（2）2a =±，432． 【解析】（1）由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，得222x y a -=，∴C 的普通方程为222x y a -=， ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+， 由32x =得112y t =+，∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩（t 为参数）． （2）将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=，得()()222231230t t a ++-=， 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦，则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数，∵()21223t t a ⋅=-，由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅，得122t t ⋅=， ∵点P 在A 、B 之间，∴120t t ⋅<，∴122t t ⋅=-，即()2232a -=-，解得24a =（满足0∆>），∴2a =±， ∵1212PA PB t t t t -=-=+，又()122231t t +=-， ∴432PA PB -=． 23．【答案】（1）2；（2）1．【解析】（1）()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩，故当1x =-时，函数()f x 有最小值2，∴2t =． （2）由（1）可知22222a b +=，故22124a b +++=，∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭， 当且仅当22122a b +=+=，即21a =，20b =时等号成立，故221112a b +++的最小值为1．。
河南省洛阳市2019届高三第二次联考数学(理)试题
河南省洛阳市2019届高三第二次联考数学（理）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|230A x x x =--≤，(){}|ln 2B x y x ==-，则AB =（ ）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,2-D ．()1,2- 2.若复数43cos sin 55z i θθ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是纯虚数（i 为虚数单位），则tan 4πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．-7B ．17-C ．7D ．-7或17- 3.已知x 与y 之间的一组数据：已求得关于y 与x 的线性回归方程为ˆ 2.10.85yx =+，则m 的值为（ ） A ．1 B ．0.85 C ．0.7 D ．0.54.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，12a =，且2a ，42a +，5a 成等差数列，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则5S =（ ）A ．32B ．62 C.27 D ．815.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，()()f x f x -=-，且当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则()31f =（ ）A ．-1B ．0 C.1 D ．26.经过点()2,1，且渐近线与圆()2221x y +-=相切的双曲线的标准方程为（ ）A ．22111113x y -= B ．2212x y -= C.22111113y x -= D ．22111113y x -= 7.某几何体的三视图如图所示，在该几何体的各个面中，面积最小的面与底面的面积的比值为（ ）A ．13 B ．23 C.25 D ．458.在ABC ∆中，点D 在线段BC 上，且2BD DC →→=，点O 在线段CD 上（与点C ，D 不重合）若()1AO x AB x AC →→→=+-，则x 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭ C.10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．12,33⎛⎫⎪⎝⎭9.四棱锥S ABCD -的所有顶点都在同一个球面上，底面ABCD 是正方形且和球心O 在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于8+O 的体积等于（ ）A ．323π B．3 C.16π D．310.某校从8名教师中选派4名同时去4个边远地区支教（每地1名教师），其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，则不同的选派方案有（ ） A ．900种 B ．600种 C.300种 D ．150种11.如图，已知点()0,3S ，SA ，SB 与圆()22:00C x y my m +-=>和抛物线()220x py p =->都相切，切点分别为M ，N 和A ，B ，//SA ON ，则点A 到抛物线准线的距离为（ ）A ．4 B．．12.已知函数()f x 的图象在点()()00,x f x 处的切线为():l y g x =，若函数()f x 满足x I ∈（其中I 为函数()f x 的定义域），当0x x ≠时，()()()()00f x g x x x -->恒成立，则称0x为函数()f x 的“转折点”.已知函数()2ln f x x ax x =--在(]0,e 上存在一个“转折点”，则a 的取值范围为（ ） A ．21,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B ．211,2e ⎛⎤- ⎥⎝⎦ C.21,12e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．21,2e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知03sin m xdx π=⎰，则二项式()2ma b c +-的展开式中23m ab c -的系数为 ．（用数字作答）14.已知x ，y 满足2,4,20,x x y x y m ≥⎧⎪+≤⎨⎪--≤⎩若目标函数3z x y =+的最大值为10，则z 的最小值为 ．15.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，得到的点数分别为a ，b ，则椭圆22221x y a b+=的离心率2e >的概率是 ． 16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈，()1132nn n nS a n =-++-，且()()10n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点()21,n n P a a +在曲线244y x x =++上.（1）求n a 和n S ；（2）若数列{}n b 满足117b =，12n n b b n +-=n 值. 18. 已知四棱锥P ABCD -，底面ABCD 是直角梯形，//AD BC ，90BCD ∠=︒，PA ⊥底面ABCD ，ABM ∆是边长为2的等边三角形，PA DM ==（1）求证：平面PAM ⊥平面PDM ；（2）若点E 为PC 中点，求二面角P MD E --的余弦值. 19. 现有两种投资方案，一年后投资盈亏的情况如下表：投资股市：购买基金：（1）当14p =时，求q 的值；（2）已知甲、乙两人分别选择了“投资股市”和“购买基金”进行投资，如果一年后他们中至少有一人获利的概率大于45，求p 的取值范围； （3）丙要将家中闲置的10万元钱进行投资，决定在“投资股市”和“购买基金”这两种方案中选择一种，已知12p =，16q =，那么丙选择哪种投资方案，才能使得一年后投资收益的数学期望较大？请说明理由.20. 已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，抛物线()221:12C y x =--的顶点为B ，且经过1F ，2F ，椭圆1C 的上顶点A 满足2OB OA →→=.（1）求椭圆1C 的方程；（2）设点M 满足1112F M FO F B →→→=+，点N 为抛物线2C 上一动点，抛物线2C 在N 处的切线与椭圆交于P ，Q 两点，求MPQ ∆面积的最大值.21. 已知函数()f x 满足()()22f x f x +=，当()0,2x ∈时，()1ln 2f x x ax a ⎛⎫=+<- ⎪⎝⎭，当()4,2x ∈--时，()f x 的最大值为-4. （1）求()0,2x ∈时函数()f x 的解析式；（2）是否存在实数b 使得不等式()x bf x x->+()()0,11,2x ∈时恒成立，若存在，求出实数b 的取值集合，若不存在，说明理由.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为：2cos ρθ=.（1）若曲线2C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）若曲线2C 的参数方程为cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数），()0,1A ，且曲线1C 与曲线2C 的交点分别为P 、Q ，求11AP AQ+的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲已知()3f x x =-，()g x x k =-（其中2k ≥）. （1）若4k =，求()()9f x g x +<的解集；（2）若[]1,2∀∈，不等式()()f x g x k x -≥-恒成立，求实数k 的值.试卷答案一、选择题1-5:CADBC 6-10:ACCAB 11、12：AD 二、填空题13. -240 14.5 15.13 16.311,44⎛⎫- ⎪⎝⎭三、解答题17.解：（1）由()2212n n a a +=+，得12n n a a +-=，∴数列{}n a 是以11a =为首项，2为公差的等差数列.()112n a a n =+-⨯∴，即21n a n =-.()21212n n n S n +-==∴.（2）1n n b b +-，()()1212n n b b n n --=-≥，···，212b b -=，()()()121211n b b n n n n -=-+-++=-⎡⎤⎣⎦∴….()117n b n n =-+∴.()1171711n n n n n -+==+-≥.n N *∈， ∴当4n =17294144=+-=， 当5n =17375155=+-=， ∴当4n =. 18.（1）证明：ABM ∆是边长为2的等边三角形，底面ABCD 是直角梯形，CD ∴DM =3CM =∴，314AD =+=∴，222AD DM AM =+∴，DM AM ⊥∴.又PA ⊥底面ABCD ，DM PA ⊥∴，AMPA A =，DM ⊥∴平面PAM ，DM ⊂平面PDM ，∴平面PAM ⊥平面PDM .（2）解：以D 为原点，DC 所在直线为x 轴，DA 所在直线为y 轴，过D 且与PA 平行的直线为z 轴，建立空间直角坐标系D xyz -，则)C，)M，(0,4,P ，设平面PMD 的法向量为()1111,,n x y z →=，则111130,40,y y +=+=⎪⎩取13x =，()13,n →=∴.E 为PC中点，则E ⎝，设平面MDE 的法向量为()2222,,n x y z →=，则2222230,20,y x y +=+=取23x =，213,2n →⎛⎫= ⎪⎝⎭∴.12121213cos 14n n n n n n →→→→→→∙<∙>==∙∴. ∴二面角P MD E --的余弦值为1314. 19.（1）因为“购买基金”后，投资结果只有“获利”“不赔不赚”“亏损”三种，且三种投资结果相互独立，113p q ++=∴.又因为1=4p ，512q =∴.（2）记事件A 为“甲投资股市且盈利”，事件B 为“乙购买基金且盈利”， 事件C 为“一年后甲、乙两人中至少有一人投资获利”， 则C ABAB AB =，且A ，B 独立.由题意可知()12P A =，()P B p =. ()()()()P C P AB P ABP AB =∴()1111222p p p =∙-++ 1122p =+. ()114225P C p =+>，35p >∴.又113p q ++=，0q ≥，23p ≤∴.3253p <≤∴. （3）假设丙选择“投资股市”方案进行投资，且记X 为丙投资股市的获利金额（单位：万元）， 所以随机变量X 的分布列为：则()()11354022884E X =⨯+⨯+-⨯=. 假设丙选择“购买基金”方案进行投资，且记Y 为丙购买基金的获利金额（单位：万元）， 所以随机变量Y 的分布列为：则()()11152012366E Y =⨯+⨯+-⨯=. 因为()()E X E Y >，故丙选择“投资股市”，才能使得一年后的投资收益的数学期望较大. 20.（1）由抛物线()221:12C y x =--，可得10,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，()11,0F -， 设椭圆的焦距为2c ，则有1c =， 又由2OB OA →→=可得()0,1A ，1b =∴，a =故椭圆1C 的方程为2212x y +=. （2）设点211,22N t t ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， 由()2112y x =--得，|PQ x t k y t ='==-.∴直线21122PQ y tx t =-++：，联立222121122x y y tx t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩消去y 整理得，()()4222223212102t t t x t t x +-+-++=， 由0∆>，得23t <+()11,P x y ，()22,Q x y ，由根与系数关系可得，()21222121t t x x t ++=+，()4212223221t t x x t +-∙=+，12x x -=∴12221PQ x t -=+∴. 设(),x y ，由1112F M FO F B →→→=+得0,1,4x y =⎧⎪⎨=⎪⎩故10,4M ⎛⎫⎪⎝⎭.而点10,4M ⎛⎫ ⎪⎝⎭到直线PQ 的距离为：1284MPQS PQ d ∆=∙=≤∴， 23t <+23t =时，()max MPQ S ∆=. 21.解：（1）若()4,2x ∈--，则()40,2x +∈. 又()()()2244f x f x f x =+=+，()4,2x ∈--∴时，()()()4ln 444f x x a x =+++. ()1444444x a f x a a x x ++'=+=∙++∴，12a <-，1442a-<--<-∴，∴当14,4x a ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 当14,2x a ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， ()max 11144ln 44f x f a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， 1a =-∴.1a =-∴当()0,2x ∈时，()ln f x x x =-.（2）由题意，当()()0,11,2x ∈时，不等式()x b f x x ->+ln x b x ->立，①当()0,1x ∈时，ln x b x->b x x >，令()g x x x =，()0,1x ∈，则()1g x '==令()ln 2h x x =-，则当()0,1x ∈时，()110h xxx '==<，()()10h x h >=∴， ()0h x g x '>∴，()()<g 1=1g x ∴，故此时只需1b ≥即可；②当()1,2x ∈时，ln x b x ->b x x <，令()x x x ϕ=，()1,2x ∈，则()1x ϕ'==令()ln 2h x x -，则当()1,2x ∈时，()110h xx x'=-=>，()()11h x h >=∴，()0h x x ϕ'=>∴，()()11x ϕϕ>=∴，故此时只需1b ≤即可.综上所述，1b =，因此b 的取值集合为：{}1.22.解：（1）2cos ρθ=，则22cos ρρθ=.又222x y ρ=+，cos x ρθ=，∴曲线1C 的直角坐标方程为：2220x y x +-=.又消参可得曲线2C 的普通方程为：()2221x y t +-=. （2）将2C 的参数方程：cos 1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）代入1C 的方程：2220x y x +-=得：， ()22sin 2cos 10t t αα+-+=，()222sin 2cos 48sin 404πααα⎛⎫∆=--=--> ⎪⎝⎭， 21sin 42πα⎛⎫-> ⎪⎝⎭∴，sin 42πα⎛⎤⎛⎫-∈ ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦∴. ()122sin 2cos 4t t πααα⎛⎫+=--=-- ⎪⎝⎭，121t t ∙=. 1210t t ∙=>，1t ∴，2t 同号，1212t t t t +=+∴.由t 的几何意义可得：(12121212121211114t t t t t t PA PB t t t t t t πα++⎛⎫+=+===+=-∈ ⎪∙∙⎝⎭，(11PA PB +∈∴. 23.解：（1）若4k =，则()()9f x g x +<，即为349x x -+-<，等价为3349x x x <⎧⎨-+-<⎩或34349x x x ≤≤⎧⎨-+-<⎩或4349x x x >⎧⎨-+-<⎩解得：13x -<<或34x ≤≤或48x <<，∴原不等式的解集为：{}|48x x <<.（2）2k ≥，且[]1,2x ∈，30x -<∴，0x k -<， ()33f x x x =-=-∴，()g x x k k x =-=-， 则[]1,2x ∀∈，不等式()()f x g x k x -≥-恒成立， 等价于：[]1,2x ∀∈，32x k +≥恒成立，42k ≥∴，即2k ≤，又2k ≥，2k =∴.。