19-20版 第2章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
高中数学同步课件 等比数列前n项和的性质及应用
四
随堂演练
1.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是
A.1
B.0
C.2
√D.－1
当q≠1时， Sn＝a111－－qqn＝1－a1 q－1－a1 qqn， ∴r＝－1.
1234
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于
√A.3∶4
B.2∶3
而S2n－Sn2＝a1q1n－1－q qn2， Sn(S3n－S2n)＝a111－－qqn×a1q21n－1－q qn，
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
问题3 你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示 思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm ＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn. 思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋ a2qn＋…＋amqn ＝Sn＋qnSm.
内容索引
一、等比数列前n项和公式的函数特征 二、等比数列前n项和的“片段和”性质 三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质 随堂演练 课时对点练
一 等比数列前n项和 公式的函数特征
问题1 你能发现等比数列前n项和公式Sn＝a111－－qqn (q≠1)的函数 特征吗？
提示 Sn＝a11－－aq1qn＝－1－a1qqn＋1－a1 q，设 A＝－1－a1 q，则 Sn＝Aqn－A.
第2课时
等比数列前n项和的性质及应用
第1章
<<<
学习目标
1.了解等比数列前n项和公式的函数特征. 2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
等比数列前n项和的性质及应用 课件
4．解数列应用题的思路方法如图所示．
公比为 q，显然 q≠1，则a111－－qq20＝30. 两式相除得 1＋q10＝3，∴q10＝2. ∴S30＝a111－－qq30＝a111－－qq10(1＋q10＋q20) ＝10×(1＋2＋4)＝70.
法二 ∵S10，S20－S10，S30－S20 仍成等比数列， 又∵S10＝10，S20＝30， ∴S30－30＝30－10102， 即 S30＝70.
12a1＋212a2＋…＋2n1－1an－1＝2(n－1)＋5,
②
①－②得，21nan＝2(n≥2)． 所以 an＝2·2n＝2n＋1(n≥2)． 在①中令 n＝1，可得12a1＝2＋5＝7，即 a1＝14.
所以 an＝124n＋，1，
n＝1， n≥2.
1．形如 an＋1＝an＋f(n)的递推式，可用叠加法求通项公式． 2．形如 an＋1＝f(n)an 的递推式，可用叠乘法求通项公式.3. 形如 an＋1＝kan＋b(k、b 为常数)的递推式，可变形为 an＋1＋λ＝ k(an＋λ)构造等比数列求解，其中 λ 可用待定系数法确定． 4．由ห้องสมุดไป่ตู้式求通项公式，可把和式看做一个数列的前 n 项和，
在等比数列{an}中，Sn，S2n－Sn， S3n－S2n 数列，其公比是 qn .
，…成等比
等比数列前n项和Sn与函数的关系
【问题导思】 1．等比数列前 n 项和公式 Sn＝a111－－qqn(q≠1)，是否可以 写成 Sn＝A(qn－1)(Aq≠0 且 q≠1)的形式？若可以，A 等于什 么？ 【提示】 可以，A＝－1－a1q.
高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用aa高一数学
法二：设 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3 ＋a6＋a9＋…＋a87， 因为 b1q＝b2，b2q＝b3，且 b1＋b2＋b3＝140， 所以 b1(1＋q＋q2)＝140，而 1＋q＋q2＝7，所以 b1＝20，b3＝q2b1＝ 4×20＝80. [答案] 80
第二十八页，共三十五页。
[错因与防范] 此题中，易把项数查错． 本题的求解利用定义显然比较麻烦．从题干以及待求式子的特征观 察，得 b1＝a1＋a4＋a7＋…＋a85，b2＝a2＋a5＋a8＋…＋a86，b3＝a3＋ a6＋a9＋…＋a87 三个等式，然后从等比数列的性质出发，寻找三者之 间的内在关系，即可求解，相对比较简单．
2.5 等比数列的前 n 项和
第 2 课时 等比数列的前 n 项和公式的性质及应用
第一页，共三十五页。
考纲定位
重难突破
1.灵活运用等比数列的 重点：掌握等比数列前
前 n 项和公式．
n 项和性质及其应用．
2．掌握等比数列前 n 项 难点：灵活处理 an 与 Sn
和性质的应用.
的关系.
第二页，共三十五页。
第四页，共三十五页。
[双基自测]
1．等比数列{an}的前 n 项和 Sn，若 S3＝9，S6＝36，则 a7＋a8＋a9＝( )
A．72
B．81
C．90
D．99
解析：a1＋a2＋a3＝9， a4＋a5＋a6＝S6－S3＝27， ∴a7＋a8＋a9＝81. 答案：B
第五页，共三十五页。
2．已知等比数列{an}中，an＝2·3n－1，则由此数列的偶数项所组成的 新数列的前 n 项和为( )
∴SS奇 偶＝ ＝－ －8106，0.
2.5.2等比数列前n项和的性质及应用
[例1]等比数列{an}中， 则 为______
[例2]等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q＝________.
[例3]在等比数列{an}中，公比q＝2，前99项的和S99＝56，
求a3＋a6＋a9＋…＋a99的值．
[例4]已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，
（1）若数列{an}是公比为q的等比数列，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成数列．
（2）在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则＝.
讨论领悟
1．若一个数列是等比数列，它的前n项和写成Sn＝Aqn＋B(q≠1)，则A与B有何关系？
2．前n项和的性质：“Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列”，有什么条件吗？
年级
高一
学科
数学
课题
编制人
谭金国
审定人
高一数学备课组
知识目标
教学活动
基础知识—重点知
识—重难点知识
自学质疑—讨论领悟—展示分享—检测巩固—评价提升
1.理解等比数列前n项和的性质，会运用性质解题．2．能等比数列的知识解决一些综合性问题.
自学质疑
1．等比数列前n项和公式
2．等比数列前n项和公式的函数观点
且2，an，Sn成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝，Tn为数列{bn}的前n项和，证明：Tn<2.
检测巩固
1设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则等于()
A．2 B.C.D．3
2一个等比数列的首项为1，项数是偶数，其奇数项的和为85，偶数项的和为170，求此数列的公比和项数．
(1)当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝是n的正比例函数，数列{Sn}对应的点(n，Sn)是正比例函数图象上的一些离散的点．
2.5.2等比数列前n项和性质与应用
③ 如果an为公比为 q的等比数列 , 对m、p N 有：
Sm p Sm qmS p
④ 若等比数列an共有2n项,则：
S偶 q S奇
18
等比数列前n项和的性质二(片段和性质)：
如果an为等比数列 ,则Sk , S2k Sk , S3k S2k 也成等比数列.
新等比数列首项为 Sk , 公比为qk .
怎么 证明？
7
8
例3、等比数列{an}的前n项和为Sn ,若Sm 10, S2m 30,求S3m的值.
解： Sm，S2m - Sm，S3m - S2m成等比数列 (S2m - Sm )2 Sm (S3m - S2m ) 即：(30 -10)2 10 (S3m - 30) 解得：S3m 70
1
知识回顾：
通项公式： an a1qn1
前n项和公式：
Sn
na1 a1 (1
q
n
)
1 q
a1 anq 1 q
(q 1) (q 1)
两个公式共有5个基本量:
a1 ，q ，n ，an，Sn 可知“三求二”.
填表
数列
等差数列
前n 项和 公式
S
n
na1
2
an
na1
nn 1
2
d
推导方法
倒序相加
等比数列
S
n
a1 1 qn 1 q
q 1
a1 anq 1 q
错位相减
【注意】在应用等比数列的前n项和公式时考虑
公比是否为1 .
合作探究 形成规律
当q 1时, Sn na1是n的正比例函数
当q
1时, Sn
高中数学第二章数列2.3.2等比数列的前n项和(第2课时)等比数列前n项和的性质及应用高二数学
a111－－qqn＝48，
①
由已知得
a11－q2n＝60，
②
1－q
②÷①得 1＋qn＝54，即 qn＝14.
③
将③代入①得 a1 ＝64， 1－q
所12以/9/2021S3n＝a111－－qq3n＝64×1－413＝63. 第十六页，共三十五页。
命题角度2 不连续(liánxù)n项之和问题 例3 一个(yī ɡè)项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之 积为64，求该等比数列的通项公式. 解 设数列{an}的首项为a1，公比为q， 全部奇数项、偶数(ǒu shù)项之和分别记为S奇，S偶， 由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶，
12/9/2021
第十八页，共三十五页。
跟踪(gēnzōng)训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}是以1为 首项，2为公比的等比数列，则 ba1＋ ba2＋ ba3＋ ＋ ＝b _a _6_____1_2.6
解析(jiě xī)
b ∵an1 ban
bb11qqaann111 qan1an
(√ ) 4.等比数列{an}是递增数列，前n项和为Sn.则{Sn}也是递增数列.( ) ×
12/9/2021
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2
PART TWO
题型探究(tànjiū)
2021/12/9
第八页，共三十五页。
题型一 等比数列前n项和公式的函数(hánshù)特征应用
例1 数列(shùliè){an}的前n项和Sn＝3n－2(n∈N＋).求{an}的通项公式. 解 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合(shìhé)上式.
2.5等比数列前n项和及性质
K
《金榜》P41 例2 、举一反三 1、2
小
性质1
结
若某数列{an}的前n项和公式为Sn=kan+b(a≠1， a≠0)，仅当k+b=0时,数列{an}才为等比数列。 性质2： 若数列{an}是公比为q的等比数列，则 （1）Sn+m=Sn+qn. Sm
二、等比数列前n项和公式的推导 (一) 用等比定理推导 （定义特征及等比性质）
an a 2 a 3 a4 因为 a a a a q 1 2 3 n 1 a 2 a 3 a4 a n q 所以 a1 a2 a3 an1 S n a1 q S n an n a1 a n q a1 (1 q ) Sn (q 1) 或 Sn 1 q 1 q
a ≠ 0 ,求前n项的和.
一般地，若数列{an }是等差数列，数列{bn } 是等比数列且公比为q，求数列{an bn }的前n 项和时可采用这种思路和方法
x 1, y 1 原式 (1 1 1) (1 1 1) n n 2n
x 1, y 1 同变形1.(1)
同变形2.(1) 同例3
⑵ ⑶ ⑷
x 1, y 1
x 1, y 1
练习2
求和：
2 n
S n (a 1) (a 2) (a n), (a 0)
由 S ,a ,q , a1 , n 知三可求二 .
引例的解决：
由a1 1, q 2, n 30得：
a1 (1 q ) 1 (1 230 ) Sn 1 q 1 2
19-20版 第2章 2.3 2.3.2 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学 习 目标核 心 素 养1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用．(重点)2．掌握等差数列与等比数列的综合应用．(重点)3．能用分组转化方法求数列的和．(重点、易错点)1.通过等比数列前n 项和性质的学习，体现了学生的逻辑推理素养． 2．借助等差、等比数列求和的综合应用，考查学生的数据分析素养.等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则 ①S n ＋m ＝S n ＋q n S m .②在等比数列中，若项数为2n (n ∈N ＋)，则S 偶S 奇＝q . ③S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．1．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37B [根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5，∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.]2．已知等比数列{a n }的公比q ＝13，则a 1＋a 3＋a 5＋a 7a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝________.3 [∵q ＝a 2a 1＝a 4a 3＝a 6a 5＝a 8a 7，∴a 1＋…＋a 7a 2＋…＋a 8＝1q＝3.]3．等比数列{a n }的前5项和S 5＝10，前10项和S 10＝50，则它的前15项和S 15＝________.210 [法一：由等比数列前n 项和的性质知S 5，S 10－S 5， S 15－S 10成等比数列，故(S 10－S 5)2＝S 5(S 15－S 10)， 即(50－10)2＝10(S 15－50)，解得S 15＝210. 法二：设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，显然q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 5)1－q ＝10，①a 1(1－q 10)1－q ＝50，②由①÷②得1＋q 5＝5，所以q 5＝4，代入①得 a 11－q＝－103， 所以S 15＝a 1(1－q 15)1－q＝－103×(1－43)＝210.]等比数列前n 项和S n 的 函数特征＋( )A ．27(8n －1) B ．27(8n ＋1－1) C ．27(8n ＋2－1)D ．27(8n ＋3－1)[解析] f (n )＝2＋24＋27＋…＋23n ＋1＝2(1－8n ＋1)1－8＝27(8n ＋1－1)．[答案] B数列是一个特殊的函数，数列的通项公式和数列前n 项和公式都是关于n 的函数．所以利用函数的思想解题，是解决数列问题的基本方法．1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________. －13 [显然q ≠1，此时应有S n ＝A (q n －1)，又S n ＝13·3n ＋t ，∴t ＝－13.]等比数列前n 项 和性质的应用n 2n S 3n ，求证：S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．[证明] 法一：设此等比数列的公比为q ，首项为a 1， 当q ＝1时，S n ＝na 1，S 2n ＝2na 1，S 3n ＝3na 1，∴S 2n ＋S 22n ＝n 2a 21＋4n 2a 21＝5n 2a 21， S n (S 2n ＋S 3n )＝na 1(2na 1＋3na 1)＝5n 2a 21， ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．当q ≠1时，S n ＝a 11－q (1－q n )，S 2n ＝a 11－q (1－q 2n )，S 3n ＝a 11－q(1－q 3n )，∴S 2n ＋S 22n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·[(1－q n )2＋(1－q 2n )2] ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )． 又S n (S 2n ＋S 3n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 11－q 2·(1－q n )2·(2＋2q n ＋q 2n )，∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．法二：根据等比数列性质，有S 2n ＝S n ＋q n S n ＝S n (1＋q n )，S 3n ＝S n ＋q n S n ＋q 2n S n ，∴S 2n ＋S 22n ＝S 2n ＋[S n (1＋q n )]2＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )， S n (S 2n ＋S 3n )＝S 2n (2＋2q n ＋q 2n )． ∴S 2n ＋S 22n ＝S n (S 2n ＋S 3n )．运用等比数列的前n 项和公式要注意公比q ＝1和q ≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元．2．在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n . [解] 法一：因为S 2n ≠2S n ，所以q ≠1，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q n )1－q ＝48， ①a 1(1－q 2n )1－q ＝60， ②②÷①得1＋q n ＝54，即q n ＝14， ③ 将③代入①得a 11－q＝64， 所以S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q＝64×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－143＝63.法二：∵{a n }为等比数列，显然公比不等于－1， ∴S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 也成等比数列， ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，∴S 3n ＝(S 2n －S n )2Sn＋S 2n ＝(60－48)248＋60＝63.等差、等比数列的 性质应用对比1．已知{a n }为等差数列，且a 3＝－6，a 6＝6，则a n ＝________；若将{a n }改为等比数列，则a n ＝________.[提示] 法一：若{a n }为等差数列，则⎩⎨⎧a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得a 1＝－14，d ＝4，所以a n ＝4n －18，若{a n }为等比数列，则⎩⎨⎧a 1q 2＝－6，a 1q 5＝6，解得a 1＝－6，q ＝－1，所以a n ＝－6·(－1)n －1＝6(－1)n .法二：若{a n }为等差数列，由6＝－6＋3d 得d ＝4， 所以a n ＝－6＋(n －3)×4，即a n ＝4n －18.若{a n }为等比数列，由6＝(－6)·q 3得q ＝－1，所以a n ＝(－6)·(－1)n －3＝6·(－1)n .2．在1和16之间插入三个正数a ，b ，c 使1，a ，b ，c,16成等比数列，则a ＋b ＋c ＝________，a ·b ·c ＝________，若将“等比数列”改为“等差数列”又应如何求解？[提示] 若1，a ，b ，c,16成等比数列，则1，b,16成等比数列，所以b ＝4； 1，a ，b 与b ，c,16也都成等比数列，所以a ＝2，c ＝8，故a ＋b ＋c ＝14，abc ＝b 3＝64；若1，a ，b ，c,16成等差数列，用类似的方法求a ＋b ＋c 及abc ．3．若S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 2＝1，S 4＝3，则S 6＝________，若将“等差数列”改为“等比数列”结果又是多少？[提示] 若 {a n }为等差数列，则S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等差数列，即1,2，S 6－3成等差数列，所以S 6－3＋1＝4，则S 6＝6；若{a n }为等比数列，则1,2，S 6－3成等比数列，所以S 6－3＝4，则S 6＝7. 【例3】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1. (1) 求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝1－12n ，n ∈N ＋，求{b n }的前n 项和T n .[思路探究] (1)解决{a n }的通项公式关键是利用方程(组)的思想求a 1，d ．(2)解决本小题关键是认识到b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b na n是数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和．求解时先利用“S n 与a n 的关系”求出⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的通项b na n，再求出b n ，进一步求和．[解] (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ． 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得 ⎩⎨⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋(2n －1)d ＝2a 1＋2(n －1)d ＋1， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2，因此a n ＝2n －1，n ∈N ＋.(2)由已知b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝1－12n ，n ∈N ＋，当n ＝1时，b 1a 1＝12；当n ≥2时，b n a n ＝1－12n －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －1＝12n . 所以b n a n＝12n ，n ∈N ＋.由(1)知a n ＝2n －1，n ∈N ＋， 所以b n ＝2n －12n ，n ∈N ＋.所以T n ＝12＋322＋523＋…＋2n －12n ， 12T n ＝122＋323＋…＋2n －32n ＋2n －12n ＋1. 两式相减，得12T n ＝12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫222＋223＋…＋22n －2n －12n ＋1 ＝32－12n －1－2n －12n ＋1，所以T n ＝3－2n ＋32n .1．本题对于b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n＝1－12n 式的处理运用了和式的思想，这也是求数列通项公式的基本方法．2．求解数列综合问题的步骤 (1)分析题设条件．(2)分清是a n 与a n ＋1的关系，还是a n 与S n 的关系．(3)转化为等差数列或等比数列，特别注意a n ＝S n －S n －1(n ≥2，n 为正整数)在a n 与S n 的关系中的应用．(4)整理求解．3．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N ＋)． (1)求{a n }的通项公式；(2)等差数列{b n }的各项为正，其前n 项和为T n ，且T 3＝15，又a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3成等比数列，求T n .[解] (1)由a n ＋1＝2S n ＋1，可得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2)， 两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，a n ＋1＝3a n (n ≥2)． 又∵a 2＝2S 1＋1＝3， ∴a 2＝3a 1.故{a n }是首项为1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝3n －1.(2)设{b n }的公差为d ，由T 3＝15，得b 1＋b 2＋b 3＝15，可得b 2＝5，故可设b 1＝5－d ，b 3＝5＋d ． 又a 1＝1，a 2＝3，a 3＝9，由题意可得(5－d ＋1)(5＋d ＋9)＝(5＋3)2. 解得d 1＝2，d 2＝－10. ∵等差数列{b n }的各项为正， ∴d >0，∴d ＝2.T n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .1．本节课的重点是等比数列前n 项和的性质． 2．本节课应重点掌握的规律方法(1)数列{a n }为公比不为1的等比数列，S n 为其前n 项和，S n ≠0，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…，仍构成等比数列．(2)若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋q n S m (n ，m ∈N ＋)． (3)若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项的和与奇数项的和，则(ⅰ)在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ； (ⅱ)在其前2n ＋1项中，S 奇－S偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)．3．错位相减法适用于{a n ·b n }形式(其中{a n }代表等差数列，{b n }代表等比数列)的数列的求和，即一个等差数列和一个等比数列的积构成的数列求和可以采用错位相减法．当公比q 不确定时，要注意对q ≠1与q ＝1分开讨论．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{a n }共2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q ＝2.( )(2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1－1，则a ＝1.( )(3)若数列{a n }为等比数列，则a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．( )(4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S 3，S 6，S 9成等比数列．( ) [解析] (1)×.因为由等比数列前n 项和的性质S 偶S 奇＝q ，得q ＝120240＝12. (2)×.因为由S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－a 11－q q n ＋a 11－q ，知在S n ＝a ·3n －1－1＝a 3·3n －1中a3＝1，故a ＝3. (3)√.因为a 3＋a 4＝q 2(a 1＋a 2)，a 5＋a 6＝q 4(a 1＋a 2)， 所以a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6成等比数列． (4)×.因为在等比数列中S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列，故S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列． [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)×2．等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝( ) A ．1－a n 1－aB ．1－a n －11－aC ．⎩⎨⎧1－a n1－a (a ≠1)n (a ＝1)D ．⎩⎨⎧1－a n －11－a (a ≠1)n (a ＝1)C [当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－a n1－a.]3．在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，且前n 项和为S n ＝5n ＋k ，则实数k ＝________.－1 [法一：当n ＝1时，a 1＝S 1＝5＋k ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(5n ＋k )－(5n －1＋k )＝5n －5n －1＝4·5n －1.由题意知{a n }为等比数列，∴a 1＝5＋k ＝4，∴k ＝－1.法二：由题意，{a n }是等比数列，a 1＝5＋k ，a 2＝S 2－S 1＝20，a 3＝S 3－S 2＝100，由a 22＝a 1a 3得100(5＋k )＝202，解得k ＝－1.]4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝4，S 8＝12，求a 21＋a 22＋a 23＋a 24的值．[解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n－4，…成等比数列．由题意可知上述数列的首项为S4＝4，公比为S8－S4S4＝2，故S4n－S4n－4＝2n＋1(n≥2)，所以a21＋a22＋a23＋a24＝S24－S20＝27＝128.课时分层作业(十五)等比数列前n项和的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝40，a3＋a4＝60，那么a7＋a8＝() A．135B．100C．95 D．80A[a3＋a4a1＋a2＝q2＝6040＝32，a7＋a8＝(a1＋a2)q6＝40×⎝⎛⎭⎪⎫323＝135.]2．设等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则S6＝()A．31 B．32C．63 D．64C[法一：由性质2可得(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即144＝3(S6－15)，解得S6＝63.法二：由性质4可得S4＝S2＋q2S2⇒15＝3＋3q2⇒q2＝4，所以S6＝S2＋q2S4＝3＋4×15＝63.]3．等比数列{a n}的通项a n＝2·3n－1，其前n项和为S n，则a1＋a3＋…＋a2n－1＝()A．3n－1 B．32n－1－1C．14(9n－1) D．9n－1C[S2n＝a1＋a3＋…a2n－1＋a2＋a4＋…＋a2n ＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)(1＋q)，∴a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＝14S 2n ＝14×2(1－32n )1－3＝14(9n －1)．]4．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，27a 4＋a 7＝0，则S 4S 2＝( ) A ．10B ．9C ．－8D ．－5A [设公比为q ，由27a 4＋a 7＝0，得a 4(27＋q 3)＝0.因为a 4≠0，所以27＋q 3＝0，则q ＝－3，故S 4S 2＝1－q 41－q 2＝10.] 5．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，a n ＋1＝3S n (n ∈N ＋)，则a 6等于( )A ．3×44B ．3×44＋1C ．45D ．45＋1A [a n ＋1＝3S n ，则a n ＋2＝3S n ＋1，∴a n ＋2－a n ＋1＝3S n ＋1－3S n ＝3a n ＋1，即a n ＋2＝4a n ＋1，∴该数列从第2项开始是以4为公比的等比数列．又a 2＝3S 1＝3a 1＝3，∴a n ＝⎩⎨⎧1(n ＝1)，3×4n －2(n ≥2).∴当n ＝6时，a 6＝3×46－2＝3×44.]二、填空题6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 [设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2. 由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2. ∴1＋q ＝3，∴q ＝2.]7．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10S 5＝5，则S 15S 10＝________.215 [由性质得：S 5、S 10－S 5，S 15－S 10成等比数列．因为S 10S 5＝5，所以设S 10＝5S 5，所以S 10－S 5＝4S 5，所以S 15－S 10＝16S 5， ∴S 15＝21S 5，∴S 15S 10＝21S 55S 5＝215.] 8．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．450 [由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.]三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值．[解] ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎨⎧ S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，∴⎩⎨⎧S 10＝10，S 30＝130， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 10)1－q ＝10，a 1(1－q 30)1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0.∴q 10＝3，∴S 20＝a 1(1－q 20)1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 10．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．[解] 设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇，S 偶，由题意，知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶．∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13. 又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，得a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1.[能力提升练]1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( )A ．8B ．12C ．16D ．24C [设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q n S n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.]2．一弹性球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回到原来高度的一半再落下，则第10次着地时所经过的路程和是(结果保留到个位)( )A ．300米B ．299米C ．199米D ．166米A [小球10次着地共经过的路程为100＋100＋50＋…＋100×⎝ ⎛⎭⎪⎫128＝2993964≈300(米)．]3．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2，S 3n ＝14，则S 4n ＝________.30 [由题意得q >0且q ≠1，根据性质2知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列．设S 2n ＝x (x >0)，则2，x －2,14－x 成等比数列，(x －2)2＝2(14－x )，解得x ＝6.由S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，S 4n －S 3n 成等比数列，可得(6－2)×(S 4n －14)＝(14－6)2，解得S 4n ＝30.4．如果数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1，…是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n ＝________.2n －1 [a n －a n －1＝a 1q n －1＝2n －1，即⎩⎨⎧ a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，…a n －a n －1＝2n －1.相加得a n －a 1＝2＋22＋…＋2n －1＝2n －2， 故a n ＝a 1＋2n －2＝2n －1.]5．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)若S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n 2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ， S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2.∴S n ＝1－a n 2.(2)∵log 3a n ＝log 33(－n )＝－n ，∴b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋3＋…＋n )＝－n (n ＋1)2.∴数列{b n }的通项公式为b n ＝－n (n ＋1)2.。
人教A版2019高中数学必修5练习：第二章_数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用_含答案
第2课时等比数列前n项和的性质及应用课后篇巩固探究A组1.在各项都为正数的等比数列{a n}中,首项a1=3,前3项和为21,则a3+a4+a5等于()A.33B.72C.84D.189S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.已知数列{a n}的前n项和S n=a n-1(a是不为零且不等于1的常数),则数列{a n}()A.一定是等差数列B.一定是等比数列C.或者是等差数列,或者是等比数列D.既不是等差数列,也不是等比数列S n=a n-1符合S n=-Aq n+A的形式,且a≠0,a≠1,所以数列{a n}一定是等比数列.3已知{a n}是等比数列,a1=1,a4=,则a1a2+a2a3+…+a n a n+1等于()A.2(1-4-n)B.2(1-2-n)C. (1-4-n)D. (1-2-n)q,∵=q3=,∴q=.∵a1=1,∴a n a n+1=1××1×=21-2n.故a1a2+a2a3+a3a4+…+a n a n+1=2-1+2-3+2-5+…+21-2n== (1-4-n).4.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯”.意思是:一座七层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯()A.2盏B.3盏C.5盏D.6盏a盏灯,由题意知第七层至第一层的灯的盏数构成一个以a为首项,以2为公比的等比数列,由等比数列的求和公式可得=381,解得a=3,故顶层有3盏灯.5.已知一个等比数列共有3m项,若前2m项之和为15,后2m项之和为60,则这个等比数列的所有项的和为()A.63B.72C.75D.87已知S2m=15,S3m-S m=60,又(S2m-S m)2=S m(S3m-S2m)=S m(S m+60-S2m),解得S m=3,所以603=63.3m6.在各项均为正数的等比数列{a n}中,a1=2,a2,a4+2,a5成等差数列,S n是数列{a n}的前n项和,则S10-S4=.题意有2(a4+2)=a2+a5,设公比为q,则有2(2q3+2)=2q+2q4,解得q=2.于是S10-S4==2 016.7.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1·a n=2n(n∈N*),则S2 018=.a n+1·a n=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又a n+2·a n+1=2n+1,∴=2,∴数列{a n}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2 018=(a1+a3+…+a2 017)+(a2+a4+…+a2 018)==3·21 009-3.1 009-38.已知一件家用电器的现价是2 000元,如果实行分期付款,一年后还清,购买后一个月第一次付款,以后每月付款一次,每次付款数相同,共付12次,月利率为0.7%,并按复利计算,那么每期应付款元.(参考数据:1.00711≈1.080,1.00712≈1.087,1.0711≈2.105,1.0712≈2.252)x元,第n期付款后欠款A n元,则A1=2 000(1+0.007)-x=2 000×1.007-x,A2=(2 000×1.007-x)×1.007-x=2 000×1.0072-1.007x-x,……A12=2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x,因为A12=0,所以2 000×1.00712-(1.00711+1.00710+…+1)x=0,解得x=≈175,即每期应付款175元.9.在等差数列{a n}中,a2+a7=-23,a3+a8=-29.(1)求数列{a n}的通项公式;(2)设数列{a n+b n}是首项为1,公比为|a2|的等比数列,求{b n}的前n项和S n.设等差数列{a n}的公差为d,依题意得a3+a8-(a2+a7)=2d=-6,从而d=-3.所以a2+a7=2a1+7d=-23,解得a1=-1.所以数列{a n}的通项公式为a n=-3n+2.(2)由(1)得a2=-4,所以|a2|=4.而数列{a n+b n}是首项为1,公比为4的等比数列.所以a n+b n=4n-1,即-3n+2+b n=4n-1,所以b n=3n-2+4n-1,于是S n=[1+4+7+…+(3n-2)]+(1+4+42+…+4n-1)=.10.导学号04994050已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,a n+1=S n,n∈N*,求:(1)a2,a3,a4的值及数列{a n}的通项公式;(2)a2+a4+a6+…+a2n的值.由a1=1,a n+1=S n,n=1,2,3,…,得21=a1=,a3=S2= (a1+a2)=,a4=S3= (a1+a2+a3)=.由a n+1-a n=(S n-S n-1)= a n(n≥2),得a n+1=a n(n≥2),∵a2=,∴a n=(n≥2).∴数列{a n}的通项公式为a n=(2)由(1)可知,a2,a4,…,a2n是首项为,公比为,项数为n的等比数列,∴a2+a4+a6+…+a2n=.B组1.在等比数列{a n}中,a1+a2+a3+a4+a5=3,=15,则a1-a2+a3-a4+a5的值是A.3B.C.-D.5题意可知等比数列{a n}的公比q≠1,则a1+a2+…+a5==3,+…+=15,∴=5,∴a1-a2+a3-a4+a5==5.2.已知某公司今年获利5 000万元,如果以后每年的利润都比上一年增加10%,那么总利润达3亿元大约还需要()(参考数据:lg 1.01≈0.004,lg 1.06≈0.025,lg 1.1≈0.041,lg 1.6≈0.204)A.4年B.7年C.12年D.50年据题意知每年的利润构成一个等比数列{a n},其中首项a1=5 000,公比110%=1.1,S n=30 000.于是得到=30 000,整理得1.1n=1.6,两边取对数,得n lg 1.1=lg 1.6,解得n=≈5,故还需要4年.3.已知等比数列{a n}的公比为q,其前n项和为S n,前n项之积为T n,且满足a1>1,a2 016a2017>1,<0,则下列结论正确的是()A.q<0B.a2 016a2 018-1>0C.T2 016是数列{T n}中的最大数D.S2 016>S2 017,得a2 016>1,a2 017<1,所以前2 016项均大于1,0<q<1,S2 016<S2 017,T2 016是数列{T n}中的最大数,a2 016a2 018与1的大小关系无法确定.故选C.4已知等比数列{a n},其前n项和为S n,若S30=13S10,S10+S30=140,则S20等于.q≠1 (否则S30=3S10),由所以q20+q10-12=0,所以q10=3(负值舍去),故S20==S10×(1+q10)=10×(1+3)=40.5.已知等比数列{a n}的前n项和为S n,且S n=b n+1-2(b>0,b≠1),则a4=.n≥2时,a n=S n-S n-1=(b-1)·b n.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此S n=2-2,于是a4=S4-S3=16.6.导学号04994051如图,作边长为3的正三角形的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆,……如此下去,则前n个内切圆的面积和为.×3=,面积为π,第二个内切圆的半径为,面积为π,……这些内切圆的面积组成一个等比数列,首项为π,公比为,故前n个内切圆的面积之和为π.π7.已知正项等差数列{a n}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{b n}的前三项,a2=3.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)记数列{b n}的前n项和为T n,若对任意的n∈N*,k≥3n-6恒成立,求实数k的取值范围.设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,a n=2n-1.∵b1=a2=3,b2=a5=9,b3=a14=27,∴b n=3n.(2)由(1)知b1=3,q=3.∵T n=,∴k≥3n-6对n∈N*恒成立.∴k≥对n∈N*恒成立.令c n=,c n-c n-1=,当n≤3时,c n>c n-1,当n≥4时,c n<c n-1,∴(c n)max=c3=,故k≥.8.导学号04994052已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且a2=8,S4=40.数列{b n}的前n项和为T n,且T n-2b n+3=0,n∈N*.(1)求数列{a n},{b n}的通项公式;(2)设c n=求数列{c n}的前2n+1项和P2n+1.由题意知,解得∴a n=4n.∵T n-2b n+3=0,∴当n=1时,b1=3,当n≥2时,T n-1-2b n-1+3=0,两式相减,得b n=2b n-1(n≥2),故数列{b n}为等比数列,且b n=3·2n-1.(2)由(1)知c n=∴P2n+1=(a1+a3+…+a2n+1)+(b2+b4+…+b2n)==22n+1+4n2+8n+2.。
2.5 等比数列前n项和的性质及应用(2)
能使问题的解决过程变得简洁明快.
跟踪训练3 设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn} 是以1为首项，2为公比的等比数列，则ba1 ba2 ba3 … ba6＝_1_2_6_.ຫໍສະໝຸດ 解析ban1 ban
b qan11 1
b1 qan 1
qan1an
规律与方法
1.在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判 断；若{an}是等比数列，且an>0，则{lg an}构成等差数列. 2.等比数列前n项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想： ①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论； ②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0,0<q<1 时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0,0<q<1时为递减数列；当q<0时为 摆动数列；当q＝1时为常数列.
Sn (S3n
S2n
)
∴S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
反思与感悟 处理等比数列前n项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形， 在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元. (2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
类型二 等比数列前n项和的性质 命题角度 1 连续 n 项之和问题
例 2 已知等比数列前 n 项，前 2n 项，前 3n 项的和分别为 Sn，S2n，S3n， 求证：S2n＋S22n＝Sn(S2n＋S3n).
证明 方法二 因为Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等比数列
2.5等比数列的前n项和的性质
五、 小结
（1）本节课，你有哪些收获？ （2）学科班长总结
课后反思
课堂导入 一、 设疑自探
复习提问
a1 1 q n Sn , q 1 1 q 1．等比数列的前 n 项和公式： ；
n1 2 错位相减法 an b1 n 1d c1q ，
则： S n qSn a1 d c2 c3 cn qan
例 4． 已知等差数列{ an }的第二项为 8，前十项的和为 185，从数列{ an }中，依次取 出第 2 项、第 4 项、第 8 项、…、第 2 项，按原来的顺序排成一个新数列{ bn }，求数 列{ bn }的通项公式 bn 与前 n 项和公式 S n ．
n
Байду номын сангаас
针对训练：
1．一个等比数列前 n 项的和为 S n 48, 前 2 n 项之和 S 2 n 60 ，求 S 3n ．
二、 解疑合探
1．等比数列的前 n 项和公式： S n ．
2 ． 错 位 相 减 法 ： 若 ： an b1 n 1d c1q n1 ， 则 ： （注意：用前式第 k 项 S n qSn a1 d c2 c3 cn qan ，可以求和． 减后式的第 k 1 项——错位相减！ ） 3．等比数列的前 n 项和的性质： S n ， S 2n S n ， S 3n S 2 n ，…，成等比数列． 4．等比数列判定：④求和法： S n A q n 1 ．
三、 质疑再探
同学们还有什么疑问，请提出来？
四、 运用拓展
例题讲解：
例 1．求和： （x+
1 1 1 ) ( x 2 2 ) ( x n n ) （其中 x≠0，x≠1，y≠1） y y y
2.5 第2课时 等比数列前n项和的运算性质及应用
n≥2时，an=Sn-Sn-1=4· 3n-1
∵n 1 时不成立，
5 ∴ a n 1 n 4 3
n1 n2
例2.各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为 Sn，若Sn 2，S3n 14，求S 4n 的值. 【审题指导】题目中给出了等比数列中的Sn2， S3n 14等已知量，欲求S4n的值，可充分利用
∴S30=10×（1+2+4）=70.
方法二：∵数列{an}为等比数列，∴S10，
S20-S10，S30-S20仍成等比数列，又S10=10，
S20=30，
2 （ 30 10 ） ∴S30-S20=S30-30= 即S30=70. ， 10
【例4】某家庭打算以一年定期的方式存款，计划
从2011年起，每年年初到银行存入a元，年利率p保
n n 3n n 3n a ［（ 1 q ） q （ 1 q ）］ a （ 1 q ） a （ 1 q ） n 1 1 1 q 1 q 1 q 1 q
=Sn+qn·S3n =2+2×14=30. 方法三：由于S3n=（a1+a2+a3+…+an）+(an+1+an+2+…+a2n) +（a2n+1+a2n+2+…+a3n）=Sn+qnSn+q2nSn=Sn（1+qn+q2n）, 所以q2n+qn-6=0.因为an＞0，所以qn=2，所以S4n=Sn+qnS3n =2+2×14=30.
方法四：∵{an}为各项均为正数的等比数列， ∴Sn，S2nSn，S3n-S2n，S4n-S3n仍成等比数列， 又Sn2，S3n14，∴（S2nSn)2 Sn· （S3nS2n）， 即
2.5.2 等比数列前n项和的性质
∵等比数列的项数为偶数，Sn＝S 奇＋S 偶， 则 S 奇＝a1＋a3＋a5＋…＋an－1， S
偶
＝ a2 ＋ a4 ＋ a6 ＋…＋ an ＝ a1q ＋ a3q ＋ a5q ＋…＋ an － 1q ＝
q(a1＋a3＋a5＋…＋an－1)＝q· S 奇，∴85q＝170，∴q＝2， a11－qn 又∵Sn＝85＋170＝255，∴ ＝255. 1－q 1－2n ∴ ＝255，∴2n＝256， 1－2 ∴n＝8，故公比 q＝2，项数 n＝8.
S偶 等比数列的公比，即 ＝q. S奇 (3)若一个非常数列{an}的前n项和Sn＝－Aqn＋A(A≠0， q≠0，n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即Sn＝－Aqn＋ A⇔数列{an}为等比数列．
课前探究学习
课堂讲练互动
【例1】 (1)在等比数列{an}中，若S10＝10，S20＝30，求S30. (2)一个等比数列的首项为1，项数是偶数， 其奇数项的和为85，偶数项和为170， 求出数列的公比和项数．
nqn＋1－n＋1qn＋1 于是 Sn＝ . q－12
课前探究学习 课堂讲练互动
nn＋1 ②若 q＝1，则 Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝ . 2
n＋1 n nq － n ＋ 1 q ＋1 ，q≠1， q－12 所以，Sn＝ nn＋1 ，q＝1. 2
2.5.2 等比数列前n项和的性质
课前探究学习
课堂讲练互动
等比数列的前n项和公式
课前探究学习
课堂讲练互动
等比数列前n项和性质 (1)在等比数列{an}中，连续相同项数和也成等比数列， 即：Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…仍成等比数列． (2)当 n 为偶数时， 偶数项之和与奇数项之和的比等于
2019_2020版高中数学第二章数列2.5.2等比数列前n项和的性质及应用课件新人教A版必修5
“×”. (1)若某一数列的前 n 项和为 Sn=4·3n-1-4,则其必为等比数列. ( )
(2)若等比数列{an}的前 n 项和为 Sn=2·13
������
+m,则 m=-2. (
)
(3)若{an}为等比数列,则 S5,S10,S15 仍然构成等比数列. ( ) (4)若 an 为等比数列,则 a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9 仍然构成等比数 列. ( )
C.210 D.520
(2)在数列{an}中,an+1=can(c为非零常数),且前n项和Sn=3n+k,则实数
k等于
.
解析(1)∵S2=20,S4-S2=40,∴S6-S4=80, ∴S6=S4+80=S2+40+80=140.
(2)依题意得k+1=0,所以k=-1.
答案(1)A (2)-1
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“√”,错误的画
∵年底付清欠款,∴A12=5 000×1.00812,
即 5 000×1.00812=x(1+1.0082+1.0084+…+1.00810),
∴x=1+1.00852+0010.0×018.40+0…81+2 1.00810≈880.8.
故小华每期付款金额约为 880.8 元.
反思感悟分期付款问题是典型的求等比数列前n项和的应用题,此 类题目的特点是:每期付款数相同,且每期间距相同.解决这类问题 有两种处理方法,如本题中方法一是按欠款数计算,由最后欠款为0 列出方程求解;而方法二是按付款数计算,由最后付清全部欠款列 方程求解.
第2课时-等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用一、学习目标1.熟练应用等比数列前n 项和公式的性质解题.2.能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题．二、导学指导 导学检测及课堂展示一、等比数列前n 项和公式的灵活应用问题1 类比等差数列前n 项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？ 提示 若等比数列{a n }的项数有2n 项，则 其偶数项和为S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ， 其奇数项和为S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，即S 偶＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝qS 奇，所以有S 偶S 奇＝q . 若等比数列{a n }的项数有2n ＋1项，则其偶数项和为S 偶＝a 2＋a 4＋…＋a 2n ，其奇数项和为S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S 奇－a 1＝a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＋1＝a 2q ＋a 4q ＋…＋a 2n q ＝qS 偶，即S 奇＝a 1＋qS 偶．知识梳理若{a n }是公比为q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n 项中，S 偶S 奇＝q ； ②在其前2n ＋1项中，S 奇－S 偶＝a 1－a 2＋a 3－a 4＋…－a 2n ＋a 2n ＋1＝a 1＋a 2n ＋1q 1－(－q )＝a 1＋a 2n ＋21＋q(q ≠－1)； S 奇＝a 1＋qS 偶．例1 (1)已知等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝________.(2)若等比数列{a n }共有2n 项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{a n }的所有项之和为________．跟踪训练1 (1)若等比数列{a n }共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为________，项数为________．(2)一个项数为偶数的等比数列{a n }，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式a n ＝________.反思感悟：二、等比数列中的片段和问题问题2 你能否用等比数列{a n }中的S m ，S n 来表示S m ＋n ?提示 思路一：S m ＋n ＝a 1＋a 2＋…＋a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋n ＝S m ＋a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a n q m＝S m ＋q m S n .思路二：S m ＋n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a n ＋m＝S n ＋a 1q n ＋a 2q n ＋…＋a m q n＝S n ＋q n S m .问题3 类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …(n为偶数且q ＝－1除外)的关系吗？提示 S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n …仍成等比数列，证明如下：思路一：当q ＝1时，结论显然成立；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 3n ＝a 1(1－q 3n )1－q. S 2n －S n ＝a 1(1－q 2n )1－q －a 1(1－q n )1－q ＝a 1q n (1－q n )1－q， S 3n －S 2n ＝a 1(1－q 3n )1－q －a 1(1－q 2n )1－q ＝a 1q 2n (1－q n )1－q， 而(S 2n －S n )2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 1q n (1－q n)1－q 2，S n (S 3n －S 2n )＝a 1(1－q n )1－q ×a 1q 2n (1－q n )1－q ， 故有(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．思路二：由性质S m ＋n ＝S m ＋q m S n 可知S 2n ＝S n ＋q n S n ，故有S 2n －S n ＝q n S n ，S 3n ＝S 2n ＋q 2n S n ，故有S 3n －S 2n ＝q 2n S n ，故有(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，所以S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．知识梳理1．若{a n }是公比为q 的等比数列，则S n ＋m ＝S n ＋ (n ，m ∈N *)．2．数列{a n }为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n 不是偶数)，S n 为其前n 项和，则S n ，S 2n －S n ， 仍构成等比数列．注意点：等比数列片段和性质的成立是有条件的，即S n ≠0.例2 在等比数列{a n }中，已知S n ＝48，S 2n ＝60，求S 3n .1．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶32．在等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( )A ．2n－1 B.4n －13 C.1－(－4)n 3 D.1－(－2)n3 3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有1个这种细菌和200个这种病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟4．若等比数列{a n }的公比为13，且a 1＋a 3＋…＋a 99＝60，则{a n }的前100项和为________．四、小结记录1．知识清单：(1)奇数项和、偶数项和的性质．(2)片段和性质．(3)等比数列前n项和的实际应用．2．方法归纳：公式法、分类讨论．3．常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件．今日之事今日毕日积月累成大器课堂反思:。
19-20版 第2章 2.5 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
第2课时 等比数列前n 项和的性质及应用学习 目 标核 心 素 养1.掌握等比数列前n 项和的性质的应用(重点).2.掌握等差数列与等比数列的综合应用(重点).3.能用分组转化方法求数列的和(重点、易错点)．1.通过等比数列前n 项和公式的函数特征的学习，体现了逻辑推理素养.2.借助等比数列前n 项和性质的应用及分组求和，培养学生的数学运算素养.1．等比数列前n 项和的变式当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1（1－q n ）1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·q n ＋a 11－q ，设A ＝a 11－q ，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A ．由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．思考：在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 的取值是什么？[提示] 由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数， 而3n 的系数为13，∴k ＝－13. 2．等比数列前n 项和的性质性质一：若S n 表示数列{a n }的前n 项和，且S n ＝Aq n －A (Aq ≠0，q ≠±1)，则数列{a n }是等比数列．性质二：若数列{a n }是公比为q 的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n (n ∈N *)，则S 偶S 奇＝q ． ②S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列．思考：在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，如何求S 6的值？ [提示] S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80，∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.1．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________．15 [法一：a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－2)3|＝15. 法二：因为a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋|a 4|，数列{|a n |}是首项为1，公比为2的等比数列，故所求代数式的值为1－241－2＝15.]2．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________． 2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.]3．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________．(－2)n －1 [当n ＝1时，S 1＝23a 1＋13，所以a 1＝1. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－⎝ ⎛⎭⎪⎫23a n －1＋13＝23(a n －a n －1)，所以a n ＝－2a n －1，即a na n －1＝－2，所以{a n }是以1为首项的等比数列，其公比为－2， 所以a n ＝1×(－2)n －1，即a n ＝(－2)n －1.]4．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1·a n a n ＋1＝324，则n ＝________．14 [设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12，可得q 9＝3，a n －1a n a n ＋1＝a 31q3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以3n －6＝36，即n ＝14.]等比数列前n 项和公式的函数特征应用n n 则数列{a n }( )A ．一定是等差数列B ．一定是等比数列C ．是等差数列或等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列 B [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1； 当n ＝1时，a 1＝a －1，满足上式． ∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，∴数列{a n }是等比数列．]1．已知S n 通过a n ＝⎩⎨⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求通项a n ，应特别注意n ≥2时，a n ＝S n －S n －1.2．若数列{a n }的前n 项和S n ＝A (q n －1)，其中A ≠0，q ≠0且q ≠1，则{a n }是等比数列．1．若{a n }是等比数列，且前n 项和为S n ＝3n －1＋t ，则t ＝________． －13 [显然q ≠1， 此时应有S n ＝A (q n －1)， 又S n ＝13·3n＋t ，∴t ＝－13.]等比数列前n 项和性质的应用1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？[提示] S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ， ∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m .同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？[提示] 由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q . 【例2】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( ) A ．28 B ．32 C ．21 D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________． 思路探究：(1)由S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列求解． (2)利用S 偶S 奇＝q ，及S 2n ＝S 奇＋S 偶求解． (1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列， 即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21. ∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28.(2)设S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80，S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则S1S2＝q＝3，即S1＝3S2.又S1＋S2＝S80＝32，∴43S1＝32，解得S1＝24.即a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]1．(变条件)将例题(1)中的条件“S2＝7，S6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S3n＝14”求S4n的值．[解]设S2n＝x，S4n＝y，则2，x－2，14－x，y－14成等比数列，所以⎩⎨⎧（x－2）2＝2（14－x），（14－x）2＝（x－2）（y－14），所以⎩⎨⎧x＝6，y＝30或⎩⎨⎧x＝－4，y＝－40(舍去)，所以S4n＝30.2．(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为“项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它的首项为12，且中间两项的和为3128”求此等比数列的项数．[解]设等比数列为{a n}，项数为2n，一个项数为2n的等比数列中，S偶S奇＝q.则q＝12，又a n和a n＋1为中间两项，则a n＋a n＋1＝3128，即a1qn－1＋a1q n＝3128，又a1＝12，q＝12，∴12·⎝⎛⎭⎪⎫12n－1＋12·⎝⎛⎭⎪⎫12n＝3128⇒12·⎝⎛⎭⎪⎫12n－1·⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＝3128⇒n＝6.∴项数为2n＝12.则此等比数列的项数为12.1．在涉及奇数项和S奇与偶数项和S偶时，常考虑其差或比进行简化运算．若项数为2n，则S偶S奇＝q(S奇≠0)；若项数为2n＋1，则S奇－a1S偶＝q(S偶≠0)．2．等比数列前n项和为S n(且S n≠0)，则S n，S2n－S n，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为q n(q≠－1)．分组求和法n121n n－1此数列是首项为1，公比为13的等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式；(2)求数列{a n}的前n项和S n.思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前n项和恰为a n，这样即可将问题转化为首项为1，公比为13的等比数列的前n项和，数列{a n}的通项公式求出后，计算其前n项和S n就容易多了．[解](1)a n＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a n－a n－1)＝1＋13＋⎝⎛⎭⎪⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫13n－1＝32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫13n.(2)S n＝a1＋a2＋a3＋…＋a n＝32⎝⎛⎭⎪⎫1－13＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫132＋…＋32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫13n＝32n－34⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫13n＝34(2n－1)＋14⎝⎛⎭⎪⎫13n－1.分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤2．求数列214，418，6116， (2)＋12n＋1，…的前n项和S n.[解]S n＝214＋418＋6116＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫2n＋12n＋1＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋⎝⎛⎭⎪⎫14＋18＋…＋12n＋1＝n（2n＋2）2＋14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－⎝⎛⎭⎪⎫12n1－12＝n(n＋1)＋12－12n＋1.1．在利用等比数列前n项和公式时，一定要对公比q＝1或q≠1作出判断；若{a n}是等比数列，且a n>0，则{lg a n}构成等差数列．2．等比数列前n项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n项和公式时要分公比q＝1和q≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a1>0，q>1或a1<0，0<q<1时为递增数列；当a1<0，q>1或a1>0，0<q<1时为递减数列；当q<0时为摆动数列；当q＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n＝a1q n－1＝a1q·qn(q>0且q≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n项和S n＝a1q－1(q n－1)(q≠1)．设A＝a1q－1，则S n＝A(q n －1)与指数函数相联系．(3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．1．判断正误(1)等比数列{a n }共2n 项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q ＝2.( ) (2)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝a ·3n －1－1，则a ＝1.( )(3)若数列{a n }为等比数列，则a 1＋a 2，a 3＋a 4，a 5＋a 6也成等比数列．( ) (4)若S n 为等比数列的前n 项和，则S 3，S 6，S 9成等比数列． ( )[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×[提示] (1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2D ．1∶3A [在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A .]3．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________．－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1； 当n ＝2时，a 1＋a 2＝2a 2＋1，解得a 2＝－2； 当n ＝3时，a 1＋a 2＋a 3＝2a 3＋1，解得a 3＝－4； 当n ＝4时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝2a 4＋1，解得a 4＝－8； 当n ＝5时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝2a 5＋1，解得a 5＝－16； 当n ＝6时，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝2a 6＋1，解得a 6＝－32. 所以S 6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.法二：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×（1－26）1－2＝－63.]4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．[解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n－4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n (n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.课时分层作业(十六) 等比数列前n 项和的性质及应用(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1，2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( )A ．7B ．8C ．15D ．16 C [由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2， ∴q ＝2，∴S 4＝1·（1－24）1－2＝15.]2．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 C [S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.]3．在等比数列{a n }中，已知a 1＝3，a n ＝48，S n ＝93，则n 的值为( )A．4 B．5 C．6 D．7B[显然q≠1，由S n＝a1－a n q1－q，得93＝3－48q1－q，解得q＝2.由a n＝a1q n－1，得48＝3×2n－1，解得n＝5.故选B.]4．设数列{x n}满足log2x n＋1＝1＋log2x n(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{x n}的前n项和为S n，则S20等于()A．1 025 B．1 024C．10 250 D．20 240C[∵log2x n＋1＝1＋log2x n＝log2(2x n)，∴x n＋1＝2x n，且x n>0，∴{x n}为等比数列，且公比q＝2，∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，故选C.]5．已知等比数列{a n}的首项为8，S n是其前n项的和，某同学经计算得S1＝8，S2＝20，S3＝36，S4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为() A．S1B．S2C．S3D．S4C[由题知S1正确．若S4错误，则S2，S3正确，于是a1＝8，a2＝S2－S1＝12，a3＝S3－S2＝16，与{a n}为等比数列矛盾，故S4＝65.若S3错误，则S2正确，此时，a1＝8，a2＝12，得q＝32，a3＝18，a4＝27，S4＝65，满足题设，故选C.]二、填空题6．在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)，且前n项和为S n＝3n＋k，则实数k＝________．－1[由a n＋1＝ca n知数列{a n}为等比数列．又∵S n＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点知k＝－1.]7．等比数列{a n}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________．2 [设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1（1－q 2n ）1－q， S 奇＝a 1[1－（q 2）n ]1－q 2. 由题意得a 1（1－q 2n ）1－q ＝3a 1（1－q 2n ）1－q 2. ∴1＋q ＝3，∴q ＝2.]8．数列11，103，1 005，10 007，…的前n 项和S n ＝________．109(10n －1)＋n 2 [数列的通项公式a n ＝10n ＋(2n －1)． 所以S n ＝(10＋1)＋(102＋3)＋…＋(10n ＋2n －1)＝(10＋102＋…＋10n )＋[1＋3＋…＋(2n －1)]＝10（1－10n ）1－10＋n （1＋2n －1）2＝109(10n －1)＋n 2.] 三、解答题9．在等比数列{a n }中，已知S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，求S 20的值．[解] ∵S 30≠3S 10，∴q ≠1.由⎩⎨⎧S 30＝13S 10，S 10＋S 30＝140，得⎩⎨⎧S 10＝10，S 30＝130，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1（1－q 10）1－q ＝10，a 1（1－q 30）1－q ＝130，∴q 20＋q 10－12＝0，∴q 10＝3，∴S 20＝a 1（1－q 20）1－q＝S 10(1＋q 10)＝10×(1＋3)＝40. 10．在等差数列{a n }中，a 2＝4，a 4＋a 7＝15.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n －2＋n ，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 10的值．[解] (1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知得⎩⎨⎧a 1＋d ＝4，（a 1＋3d ）＋（a 1＋6d ）＝15，解得⎩⎨⎧a 1＝3，d ＝1.所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ＋2. (2)由(1)可得b n ＝2n ＋n ，所以b 1＋b 2＋b 3＋...＋b 10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋...＋(210＋10) ＝(2＋22＋23＋...＋210)＋(1＋2＋3＋ (10)＝2（1－210）1－2＋（1＋10）×102 ＝(211－2)＋55＝211＋53＝2 101.[能力提升练]1．在各项都为正数的数列{a n }中，首项a 1＝2，且点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y＝0上，则数列{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．3n －1B ．1－（－3）n 2C ．1＋3n 2D ．3n 2＋n 2A [由点(a 2n ，a 2n －1)在直线x －9y ＝0上，得a 2n －9a 2n －1＝0，即(a n ＋3a n －1)(a n－3a n －1)＝0，又数列{a n }各项均为正数，且a 1＝2，∴a n ＋3a n －1＞0，∴a n －3a n －1＝0，即a n a n －1＝3，∴数列{a n }是首项a 1＝2，公比q ＝3的等比数列，其前n 项和S n ＝a 1（1－q n ）1－q ＝2×（3n －1）3－1＝3n －1.] 2．设数列{a n }的前n 项和为S n ，称T n ＝S 1＋S 2＋…＋S n n为数列a 1，a 2，a 3，…，a n 的“理想数”，已知数列a 1，a 2，a 3，a 4，a 5的理想数为2 014，则数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为( )A ．1 673B ．1 675C ．5 0353D ．5 0413D [因为数列a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2 014，所以S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 55＝2 014，即S 1＋S 2＋S 3＋S 4＋S 5＝5×2 014，所以数列2，a 1，a 2，…，a 5的“理想数”为2＋（2＋S 1）＋（2＋S 2）＋…＋（2＋S 5）6＝6×2＋5×2 0146＝5 0413.] 3．设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n ＝________．2n ＋1－n －2 [因为a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n1－2＝2n －1， 所以S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2（1－2n ）1－2－n ＝2n ＋1－n －2.] 4．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，则a n ＝________．(－1)n －1×32n [设等比数列{a n }的公比为q ，由S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12.故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×(－12)n －1＝(－1)n －1×32n .]5．已知{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，且b 2＝3，b 3＝9，a 1＝b 1，a 14＝b 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设c n ＝a n ＋b n ，求数列{c n }的前n 项和．[解] (1)设数列{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，由⎩⎨⎧b 2＝b 1q ＝3，b 3＝b 1q 2＝9得⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝3.∴{b n }的通项公式b n ＝b 1q n －1＝3n －1，又a 1＝b 1＝1，a 14＝b 4＝34－1＝27，∴1＋(14－1)d ＝27，解得d ＝2.∴{a n }的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ＝1＋(n －1)×2＝2n －1(n ∈N *)．(2)设数列{c n }的前n 项和为S n .∵c n ＝a n ＋b n ＝2n －1＋3n －1，∴S n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n＝2×1－1＋30＋2×2－1＋31＋2×3－1＋32＋…＋2n －1＋3n －1＝2(1＋2＋…＋n )－n ＋30×（1－3n ）1－3＝2×（n ＋1）n 2－n ＋3n －12 ＝n 2＋3n －12. 即数列{c n }的前n 项和为n 2＋3n －12.。
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2．等比数列前 n 项和的性质 性质一：若 Sn 表示数列{an}的前 n 项和，且 Sn＝Aqn－A(Aq≠0，
q≠±1)，则数列{an}是等__比__数列．
性质二：若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则
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分组求和法
【例 3】 已知数列{an}构成一个新数列：a1，(a2－a1)，…，(an －an－1)，…此数列是首项为 1，公比为13的等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
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思路探究：通过观察，不难发现，新数列的前 n 项和恰为 an， 这样即可将问题转化为首项为 1，公比为13的等比数
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1．已知 Sn 通过 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2求通项 an，应特别注意 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.
2．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝A(qn－1)，其中 A≠0，q≠0 且 q≠1， 则{an}是等比数列．
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1．若{an}是等比数列，且前 n 项和为 Sn＝3n－1＋t，则 t＝________．
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1．设数列{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，则 a1＋|a2| ＋a3＋|a4|＝________．
15 [法一：a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝1＋|1×(－2)|＋1×(－2)2＋|1×(－ 2)3|＝15.
法二：因为 a1＋|a2|＋a3＋|a4|＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋|a4|，数列{|an|}是 首项为 1，公比为 2 的等比数列，故所求代数式的值为11－－224＝15.]
3.能用分组转化方法求数列 用及分组求和，培养学生的数学运
的和(重点、易错点)．
算素养.
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自主预习 探新知
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1．等比数列前 n 项和的变式 当公比 q≠1 时，等比数列的前 n 项和公式是 Sn＝a1（11－－qqn）， 它可以变形为 Sn＝－1－a1q·qn＋1－a1q，设 A＝1－a1q，上式可写成 Sn＝
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1．在涉及奇数项和 S 奇与偶数项和 S 偶时，常考虑其差或比进行 简化运算．若项数为 2n，则SS偶 奇＝q(S 奇≠0)；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶 a1 ＝q(S 偶≠0)．
2．等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn(q≠－1)．
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(2)函数思想：等比数列的通项 an＝a1qn－1＝aq1·qn(q>0 且 q≠1) 常和指数函数相联系；等比数列前 n 项和 Sn＝q－a11(qn－1)(q≠1)．设 A＝q－a11，则 Sn＝A(qn－1)与指数函数相联系．
(3)整体思想：应用等比数列前 n 项和公式时，常把 qn，1－a1q当 成整体求解．
A．28 B．32 C．21 D．28 或－21 (2)等比数列{an}中，公比 q＝3，S80＝32，则 a2＋a4＋a6＋…＋a80 ＝________． 思路探究：(1)由 S2，S4－S2，S6－S4 成等比数列求解． (2)利用SS偶 奇 ＝q，及 S2n＝S 奇＋S 偶求解．
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(1)A (2)24 [(1)∵{an}为等比数列， ∴S2，S4－S2，S6－S4 也为等比数列， 即 7，S4－7，91－S4 成等比数列， ∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得 S4＝28 或 S4＝－21. ∵S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2 ＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28.
①在等比数列中，若项数为 2n(n∈N*)，则SS偶 奇＝_q_． ②Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 成等__比__数列．
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思考：在等比数列{an}中，若 a1＋a2＝20，a3＋a4＝40，如何求 S6 的值？
[提示] S2＝20，S4－S2＝40，∴S6－S4＝80，∴S6＝S4＋80＝S2 ＋40＋80＝140.
第二章 数列
2.5 等比数列的前n项和 第2课时 等比数列前n项和的性质及应用
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学习目标
核心素养
1.掌握等比数列前 n 项和的 1.通过等比数列前 n 项和公式的函
性质的应用(重点).
数特征的学习，体现了逻辑推理素
2.掌握等差数列与等比数列 养.
的综合应用(重点).
2.借助等比数列前 n 项和性质的应
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2．已知数列{an}为等比数列，且前 n 项和 S3＝3，S6＝27，则公 比 q＝________．
2 [q3＝S6－S3 S3＝27－ 3 3＝8，所以 q＝2.]
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3．若数列{an}的前 n 项和 Sn＝23an＋13，则{an}的通项公式是 an
＝________． (－2)n－1 [当 n＝1 时，S1＝23a1＋13，所以 a1＝1. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝23an＋13－23an－1＋13 ＝23(an－an－1)，所以 an＝－2an－1，即aan－n 1＝－2， 所以{an}是以 1 为首项的等比数列，其公比为－2， 所以 an＝1×(－2)n－1，即 an＝(－2)n－1.]
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[提示] Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列． ∵在等比数列{an}中有 am＋n＝amqn， ∴Sm＝a1＋a2＋…＋am， S2m－Sm＝am＋1＋am＋2＋…＋a2m＝a1qm＋a2qm＋…＋amqm＝(a1＋ a2＋…＋am)qm＝Sm·qm. 同理 S3m－S2m＝Sm·q2m，…， 在 Sm≠0 时，Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍组成等比数列．
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＝n（2n＋2）＋141－12n
2
1－12
＝n(n＋1)＋12－2n1＋1.
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1．在利用等比数列前 n 项和公式时，一定要对公比 q＝1 或 q≠1 作出判断；若{an}是等比数列，且 an>0，则{lg an}构成等差数列．
2．等比数列前 n 项和中用到的数学思想 (1)分类讨论思想： ①利用等比数列前 n 项和公式时要分公比 q＝1 和 q≠1 两种情况 讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当 a1>0，q>1 或 a1<0， 0<q<1 时为递增数列；当 a1<0，q>1 或 a1>0，0<q<1 时为递减数列； 当 q<0 时为摆动数列；当 q＝1 时为常数列．
[解] 设 S2n＝x，S4n＝y，则 2，x－2，14－x，y－14 成等比数列， 所以（（1x－4－2）x）2＝2＝2（（x1－4－2）x）（，y－14），
所以xy＝ ＝63， 0 或xy＝ ＝－ －44， 0 (舍去)，所以 S4n＝30.
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2．(变条件，变结论)将例题(2)中的条件“q＝3，S80＝32”变为 “项数为偶数的等比数列，它的偶数项之和是奇数项之和的12，又它 的首项为12，且中间两项的和为1238”求此等比数列的项数．
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合作探究 提素养
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等比数列前n项和公式的函数特征应用
【例 1】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝an－1(a 是不为零且不等 于 1 的常数)，则数列{an}( )
A．一定是等差数列 B．一定是等比数列 C．是等差数列或等比数列 D．既非等差数列，也非等比数列
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B [当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝(a－1)·an－1； 当 n＝1 时，a1＝a－1，满足上式． ∴an＝(a－1)·an－1，n∈N*. ∴aan＋n 1＝a， ∴数列{an}是等比数列．]
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当堂达标 固双基
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1．判断正误
(1)等比数列{an}共 2n 项，其中奇数项的和为 240，偶数项的和
为 120，则该等比数列的公比 q＝2.
()
(2)已知等比数列{an}的前 n 项和 Sn＝a·3n－1－1，则 a＝1. ( )
(3)若数列{an}为等比数列，则 a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6 也成等比
__－_A__qn_＋__A____．由此可见，非常数列的等比数列的前 n 项和 Sn 是由
关于 n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数 项互为相反数．当公比 q＝1 时，因为 a1≠0，所以 Sn＝na1 是 n 的正 比例函数(常数项为 0 的一次函数)．
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思考：在数列{an}中，an＋1＝can(c 为非零常数)且前 n 项和 Sn＝ 3n－1＋k，则实数 k 的取值是什么？
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分组转化求和法的应用条件和解题步骤 (1)应用条件 一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和 的数列的通项公式相加组成． (2)解题步骤
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2．求数列 214，418，6116，…，2n＋2n1＋1，…的前 n 项和 Sn. [解] Sn＝214＋418＋6116＋…＋2n＋2n1＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n)＋14＋18＋…＋2n1＋1
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4．在正项等比数列{an}中，已知 a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1·anan ＋1＝324，则 n＝________．
14 [设数列{an}的公比为 q，由 a1a2a3＝4＝a31q3 与 a4a5a6＝12＝ a31q12，可得 q9＝3，an－1anan＋1＝a31q3n－3＝324，因此 q3n－6＝81＝34＝q36， 所以 3n－6＝36，即 n＝14.]
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(2)设 S1＝a2＋a4＋a6＋…＋a80， S2＝a1＋a3＋a5＋…＋a79.则SS12＝q＝3，即 S1＝3S2. 又 S1＋S2＝S80＝32，∴43S1＝32，解得 S1＝24. 即 a2＋a4＋a6＋…＋a80＝24.]