9-4 连续时间系统状态方程的求解

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连续时间系统的时域分析经典法

在弹性限度内,拉力Fk与位移
k
m
FS
x成正比，x(t) t v( )d ,设
f
刚度系数为k，有 Fk (t) k t v( )d
Ff (t) f v(t)
牛顿第二定律
Fm
(t)
m
d dt
v(t)
m d v(t) dt
f
v(t) k t v( )d
FS (t )
m
d2 dt 2
v(t)
3B1 1 4B1 3B2 2 2B1 2B2 3B3 0
联立求解
B1
1, 3
B2
2, 9
B3
10 27
所以，特解为
rp
(t)
1 3
t
2
2 9
t
10 27
(2) 当e(t) et时，选择特解函数形式
rp (t) Bet
代入方程得
d2 dt 2
(Bet
)
2d dt
(Bet
)
3(Bet
特征方程 6
(
特征根
2, 4
齐次解 rh (t)
rh (t) A1e2t A2e4t
2）求非齐次方程 r(t) 6r(t) 8r(t) e(t)的特解 rp (t) 由输入e(t) 的形式，设方程的特解为
rp (t) Bet
将特解代入原微分方程
rp(t) 6rp(t) 8rp (t) et
i(t)
R2 R1L
d dt
e(t)
1 R1LC
e(t)
d2 d t2
i(t
)
1 R1C
d i(t) 1 d
dt
R1C dt
iL

信号与系统连续时间LTI系统状态方程的求解解析

c1
e2 t
e
t
信号与系统二、用时域法求解状态方程
所以得
eA t c0I c1A
2e t e2 t
1 0
0 1
e2t e t
1 0
1 2
e t e2t e t
0
e2 t
信号与系统二、用时域法求解状态方程
e 例：给定矩阵 A。求矩阵指数函数
At
A
1 1
1
3
解：矩阵 A 的特征多项式为
s
1
12
4
3s 1
s
5
4 s 1 s
s s
3s2 s 4
s 12 4
s2 5s 1
s 12 4
4 5 s
1 5 s
19 s 3
5 s
12
5
4 s 23 55
s 12 4
4
4 5 s
1 5 s
x(t
)
y(t)
1 2
1
1(t) 2 (t )
1
x(t
)
系统输入为单位阶跃信号，初始状态
1 λ(0 ) 2
试求矩阵指数函数 eAt 、状态变量 λ(t)与输出 y(t) 。
信号与系统
解：系统的参量矩阵分别为
A
1 1
0 3
，
B
1 0
C
1 2
1
，
D 1
所以
(sI
A)
s
1 0
0 1
d
1
d
1
d m1
dm
1
e t
1
t m1e1 t
d m1
dm1
g

连续系统的状态方程 -回复

连续系统的状态方程是什么
连续系统的状态方程描述了系统的动态行为，通常以微分方程形式表示。

对于线性时间不变系统，连续系统的状态方程可以用以下一阶常微分方程表示：
dx(t)/dt = A * x(t) + B * u(t)
其中：
- x(t) 是系统的状态向量，它包含了描述系统状态的变量。

每个变量代表系统的一个状态，如位置、速度、温度等。

- t 是时间变量，表示系统运行的时间。

- dx(t)/dt 是状态向量x(t) 关于时间t 的导数，表示状态的变化率。

- A 是系统的状态矩阵，描述了状态变量之间的关系和状态变化的规律。

- B 是输入矩阵，描述了外部输入u(t) 对系统状态的影响。

上述方程表示了状态向量x(t) 随时间t 的变化情况。

右侧第一项A * x(t) 表示系统自身状态对状态变量的影响，而右侧第二项B * u(t) 表示外部输入u(t) 对状态变量的影响。

需要注意的是，上述方程是线性时间不变系统的状态方程。

对于非线性或时变系统，状态方程的形式可能更加复杂，可能包含更高阶的微分项或非线性函数。

连续系统的状态变量方程求解

连续系统的状态变量方程求解连续系统的状态变量方程求解通常采用数值方法，例如龙格-库塔法（Runge-Kutta）等。

在这个过程中，需要将连续系统的状态方程离散化，即将连续时间步长的微分方程转化为离散时间步长的离散方程。

求解离散方程可采用递推的方式，根据系统的初始条件和上一时刻的状态变量值，计算出当前时刻的状态变量值。

以下是一个求解连续系统状态变量方程的步骤：1. 确定连续系统的状态变量方程。

例如，给定线性定常系统dx/dt = Ax + Bu，其中x为状态变量，A和B为系统矩阵。

2. 离散化。

将状态变量方程转化为离散方程。

常见的离散化方法有前项差分变换、后项差分变换和Tustin变换。

具体变换方法取决于系统的特性以及所需的数值稳定性和精度。

例如，使用Tustin变换将连续系统离散化，得到离散状态方程x[k+1] = A*x[k] + B*u[k]。

3. 初始化。

给定初始条件，如x[0] 和u[0]，初始化状态变量值。

4. 数值求解。

使用数值方法（如龙格-库塔法）递推计算离散方程，得到一系列状态变量值x[1], x[2], ...，以及对应的输出值y[1], y[2], ...。

5. 分析结果。

根据求解得到的状态变量值和输出值，分析系统的性能，如稳定性、收敛速度等。

在MATLAB中，可以使用ode45等函数求解连续系统的状态变量方程。

以下是一个简单的示例：```MATLAB定义系统矩阵A、B和输入信号uA = [1 0; -1 1];B = [0 1];u = [1; 0.5];定义初始条件x0 = [1; 2];设置求解参数tspan = [0, 10];options = odeset('RelTol', 1e-6, 'AbsTol', 1e-6);求解状态变量方程[x, u] = ode45(@(t, x) A*x + B*u, tspan, x0, options);绘制状态变量曲线figure;plot(t, x(:, 1), 'b', 'LineWidth', 2);hold on;plot(t, x(:, 2), 'r', 'LineWidth', 2);xlabel('Time');ylabel('State Variables');legend('x1', 'x2');```这个示例中，我们使用ode45函数求解了一个线性定常系统在给定输入信号下的状态变量演化。

9.4 连续时间系统状态方程的求解

第
12 页
其他非重根部分与式 (4)相同处理，两者联立解得要求的系数。
X
将sI A 记为Φs ，称为特征矩阵或预解矩阵，则
1
Λs Φs λ 0 Φs BE s Rs CΦs λ 0 CΦs B DE s
因而时域表示式为
λ t L1 Φs λ 0 L1 Φs B L1 E s r t CL1 Φs λ 0 CL1 Φs B D t L1 E s 零状态解零输入解

可见，在计算过程中最关键的一步是求Φs 。
X
第
若系统为零状态的，则 Rs CΦs B DE s
则系统的转移函数矩阵为 H s CΦs B D
5 页
H11 s H12 s H s H s 21 22 H H n1 s H n 2 s
第
11 页
(4)
X
第二种情况
若A的特征根 1具有m阶重根，则重根部分方程为
e1t c c c 2 c k 1 0 1 1 2 1 k 1 1 d t 1t k 2 e t e c 2 c k 1 c 1 2 1 k 1 1 d 1 (5) d m 1 t m 1 1t e t e m 1!cm 1 m!cm1 m 1 1 d (m 1)! k - 1! 2 cm 11 ck 11k m 2! (k m)!
X
第
二．用时域法求解状态方程
(一)矩阵指数
1．矩阵指数 e At 的定义 1 1 1 k k At 2 2 k k e I At A t A t A t 2！ k! k 0 k!

状态空间分析方法基础

上一页下一页
§9-1 控制系统的状态空间描述
别是每一个状态变量的一阶导数，右端是状态变量和输入变量所组成的代数多项式。
2.输出方程输出方程是在指定输出变量的情况下，该输出变量与状态变量以及输入变量之间的函数关系。状态变化决定输出的变化，这是一个变换过程，所以输出方程的数学形式表征为一个变换关系的代数方程。
1.1检测的基本概念
1）传感器传感器的作用是把被测的物理量转变为电参量，是获取
信息的手段，是自动检测系统的首要环节，在自动检测系统中占有重要的位置。 2）信号处理电路
信号处理电路的作用把传感器输出的电参量转变成具有一定驭动和传输功能的电压、电流和频率信号，以推动后续的记录显示装置、数据处理装置及执行机构。 3）记录显示装置
1）静态测量和动态测量 2）直接测量与间接测量 3）模拟式测量和数字式测量 4）接触式测量和非接触式测量 5）在线测量和离线测量
上一页下一页返回
1.1检测的基本概念
2. 测量误差在检测过程中，被测对象、检测系统、检测方法和检测
人员都会受到各种因索的影响。而且，对被测量的转换有时也会改变被测对象原有的状态信息，这就造成了检测结果（测量值）与真值之间存在一定的差值，这个差值就称为测量误差。
上一页返回
§9-3 线性离散系统状态空间表达式
一、线性离散系统的状态空间表达式线性定常离散系统状态空间表达式的结构图如图9-16所
示。二、线性定常离散系统状态方程的解
1.迭代法求解迭代法是一种递推的数值解法，其思路是：利用初始时刻t0=0(即k=0)时的x(0)和u(0)求x(1)；再根据求出的 x(1)和给定的u(1)求x(2)；如此逐步迭代，即可求得所需的 x(k)。此法适于在计算机上求解。

《自动控制原理》线性定常连续系统的可控性判据

•
x = A x+ Bu
其中
J1
A =
( nn )
J2
B
Jl
， (n p)
=
B
1
B2
B
l
J i1
Bi1
Ji
=
( i i )
Ji2
B
J
i i
，i ( i p)
=
Bi2
Bii
i
Jik
(rik rki )
=
1
i
1
b
1ik
,
1
Bik
rankS0 = 1 = q ，故输出可控。
五．线性定常连续系统的可观测性判据
考虑输入u=0时系统的状态方程和输出方程
•
x = Ax, x(0) = x0 ,t 0, y = Cx
其中，x为n维；y为q维；A和C分别为和的常值矩阵。
（9-124）
1．秩判据线性定常连续系统（9-124）完全可观测的充分必要
)
x1
+
1u L
•
x2
=
−1 C
( R1
1 +
R2
−
R3
1 +
R4
)x2
可控性矩阵为
S = [b
1
Ab]
=
L 0
−
1 L2
( R1R2 R1 + R2
+
R3 R4 R3 + R4
)
0
rankS = 1 n ，系统不可控，u 不能控制 x2, x2 是不可控状态变量。
例9-21 判别下列系统的可控性：
n−1

信号与系统分析第9章线性系统的状态变量分析

设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方法时取全部独立的电感电流和独立的电容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1

《自动控制原理》系统数学描述的两种基本类型

松弛性若系统的输出y[t0 ,]由输入u[t0, ]唯一确定，则称系统在时刻是松弛的。从能量的观点看，系统在t0时刻是松弛的意味着系统在时刻不存贮能量。例如RLC网络，若所有电容两端的电压和流过电感的电流在 t0 时刻均为零(即初始条件为零)，则称网络在 t0 时刻是松弛的。若网络不是松弛的，则其输出不仅由输入决定，而且与初始条件有关。
线性定常系统在线性系统的状态空间表达式中，若系数矩阵 A(t), B(t),C(t), D(t)或 G(k), H (k),C(k), D(k) 的各元素都是常数，则称该系统为线性定常系统，否则为线性时变系统。线性定常系统状态空间表达式的一般形式为
.
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
y(t) = Cx(t) + Du(t)
应注意到在向量、矩阵的乘法运算中，相乘顺序不允许任意颠倒。
状态空间分析法在状态空间中以状态向量或状态变量描述系统的方法称为状态空间分析法或状态变量法。
状态空间分析法的优点是便于采用向量、矩阵记号简化数学描述，便于在数字机上求解，容易考虑初始条件，能了解系统内部状态的变化特性，适用于描述时变、非线性、连续、离散、随机、多变量等各类系统，便于应用现代设计方法实现最优控制、自适应控制等。
这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。本章中所研究的系统均假定具有若干输入端和输出端，如图9-1所示。图中方块以外的部分为系统环境，环境对系统的作用为系统输
T
入，系统对环境的作用为系统输出；二者分别用向量u = [u1,u2 ,...,u p ] 和y = [ y1, y2 ,..., yq ] T表示，它们均为系统的外部变量。描述系统内部每个时刻所处状况的变量为系统的内部变量，以向量 x = [x1, x2 ,..., xn ] T 表示。系统的数学描述是反映系统变量间因果关系和变换关系的一种数学模型。

连续系统状态方程的求解

x ' 2 0 x 1 3 2
y 2 x1 4 x2
2.此系统为并联摸拟系统 2 4 2s 2 H ( s) 2 s 2 s 3 s 5s 6
x1 y [2,4] x2
y' '5 y'6 y 2(u'u)
T 1 1 1
其中（A jk )是以余因子A jk 为元素的矩阵， jk ) ( Akj )是它的转置矩阵。 (A
T
2.状态过渡矩阵
令F ( s) 0, 则X ( s) ( s) X (0) z.i.r : x(t ) (t ) x(0) 1 adj( sI A) 1 (t ) L { }, (t ) L [ ( s)] sI A At x(t ) (t ) x(0), (t ) e
1
第i个输出Ri (s)中第j个输入的响应 H ij (s) 其它输入 0 第j个输入E j (s)
3.例(p369,12-18)
解:设回路电流 i (t ) i1 (t ) A 3 i1,i2如图所示:并 1 设元件A两端的 ) 电压为状态变量 (t，电容两端的电压为
2
R1
1 1 2 ' (t ) 1 (t ) 3 (t )(由2， 3，得出） R2 R2 d i1 (t ) i 2 (t ) c 3 (t )(带入1得出） dt d d i1 (t ) c 3 (t ) 2 (t ) dt dt R12 ' (t ) R1C13 ' (t ) 3 (t ) e(t )...4
X (s) [ X (0) BF(s)] (S ) x(t ) L [ (s)]X (0) L [ (s) BF(s)] z.s.r z.i.r

现代控制理论-状态方程的解

2 5
T 1 2 3 1 2
二重根
2
1 1
对于重根，要求广义特征向量
i Pi APi
i Pi1 APi1 Pi
.......... .......... .......... ....
参见现代控制论
教材p.490 刘豹 p.28

Matla 中，矩阵求逆 b 命令为
1 1 0
dt
e At Bu(t )
将上式积分有
X (t) 1 (sI A)1 X (0) 显然 e At 1 (sI A)1
t d eA X ( )
t
d e A Bu( )d
0 d
0
t
e At的一种求法
2021/4/22
可得 e At X (t ) X (0) e A Bu( )d
T 1 AT，有eAt TetT 1
( 2 )A特征根有重根 ,算法和( 1 )相似
参见教材 P.490 机机械械工工业业出出版版社社天天津津大大学学刘刘豹豹 pp..2288
[3]利用拉氏反变换求 e At
( t ) eAt 1 [( sI A)1 ]
[ 4 ]; 应用凯莱哈密顿定理求e At 参见p.472
方阵A满足自身的特征方程
作业：p.536;9-12，9-2
f ( A ) An an1 An1 a1 A a0 I 0
2021/4/22
8
电气工程学院
1.什么是传统机械按键
设传计统？的机械按键设计是需要手动按压按键
触动PCBA上的开关按键来实现功能的一种
设传计统方机式械。按键结
构层图：
0
3
电气工程学院
t

连续时间系统的系统函数课件

传递函数的零点和极点
掌握传递函数的零点和极点的概念及其在系统分析中的作用。
极点、零点和增益
1 2
极点和零点的定义
了解极点和零点的定义及其在系统函数中的作用。
增益的概念
掌握增益的概念及其在系统分析中的应用。
3
极点、零点和增益的关系
了解极点、零点和增益之间的关系及其对系统性能的影响。
03
系统函数的分析方法
通过系统函数，可以分析系统的频率响应、稳定性、阻尼特性等性能指标。
控制系统的设计
系统函数是控制系统设计的基础，通过改变系统函数可以设计出不同性能的控制系统。
系统辨识
通过对实际系统的输入输出数据进行辨识，可以得到系统的系统函数，进而进行系统分析和控制。
02
系统函数的数学表达
微分方程与系统函数的关系
频率响应分析
频率响应的定义
01
频率响应是系统对正弦波输入的稳态响应，它反映了系统在不
同频率下的输出振幅和相位变化。
频率响应的求解方法
02
通过拉普拉斯变换将时域系统函数转化为复频域系统函数，然
后求解出系统的幅频特性和相频特性。
频率响应分析的意义
03
频率响应是系统稳定性和性能的重要指标，通过对频率响应的
线性时不变性分析
线性时不变性的定义
如果系统对于任何输入信号的响应都是线性的，并且具有时不变性，则称该系统是线性时不变系统。
线性时不变性的性质
线性时不变系统具有叠加性、均匀性和时不变性等性质。
线性时不变性分析的意义
线性时不变性是许多控制系统的重要性质，通过对线性时不变性的分析可以了解系统的控制性能和稳定性特性。
描述
三阶系统函数，由电阻R、电容C 、电感L和阻尼电阻Rd组成。

9-3连续时间系统状态方程的建立课堂优讲

bk ak b0 1 bk1 ak1b0 2 ... b2 a2b0 k1 b1 a1b0 k b0et
表示成矢量矩阵的形式
状态方程
'1 '2
0
0
... ...
'k
1
0
'k ak
1 0 ... 0 ak1
0 1 ... 0 ak2
... 0 1 0
状态变量的特性
•每一状态变量的导数是所有状态变量和输入激励信号的函数； •每一微分方程中只包含有一个状态变量对时间的导数； •输出信号是状态变量和输入信号的函数； •通常选择动态元件的输出作为状态变量，在连续系统中是选积分器的输出。建立给定系统状态方程的方法分为:
直接法和间接法两类： •直接法——主要应用于电路分析、电网络
et 1
b0
b1
1 s k a1
b2 1 sk1
a2
bk 2
bk 1
3 1 s 2 1 s 1 bk rt
ak2 ak1
ak
取积分器的输出作为状态变量，如图中所标的
1(t), 2(t),…... k(t)
状态方程
b0
''12
2 3
' k 1
k
et 1
b1
1 s k a1
b2 1 sk1
...
0
2
0
... ... ... ...et
...
1
k
1
0
... a1 k 1
输出方程
1
2
r t
bk
ak b0
,bk1
a k 1 b0
,...,b2
a 2 b0

信号与系统连续时间LTI系统状态方程的建立

n (t ) f n 1 (t ), 2 (t ),, n (t ), x1 (t ), x2 (t ),, x p (t ), t
系统的输出方程为： y1 (t ) g1 1 (t ), 2 (t ), , n (t ), x1 (t ), x2 (t ), , x p (t ), t
1 (t ) d11 (t ) 2 d 21 n (t ) d q1
d12 d1 p x1 (t ) x (t ) d 22 d 2 p 2 d q 2 d qp x p (t )
b1 p x1 (t ) x (t ) b2 p 2 bnp x p (t )
λ (t ) Aλ (t ) Bx (t )
信号与系统
一、连续时间LTI系统状态方程的一般形式
y1 t c111 t c12 2 t c1n n t d11 x1 t d12 x2 t d1 p x p t y2 t c211 t c22 2 t c2n n t d 21 x1 t d 22 x2 t d 2 p x p t …… yq t cq11 t cq 22 t cqn n t d q1 x1 t d q 2 x2 t d qp x p t
连续时间系统的状态方程是状态变量的一阶微分联立方程组，设系统有 n 个状态变量

1 (t ), 2 (t ),, n (t ) ；

状态变量的一阶导数用 1 (t ), 2 (t ),, n (t ) 表示；

信号与系统第八章(2) 连续系统状态方程的求解

将有关矩阵代入，得

x1 (t ) x2 (t )

et

0
et et 1 et
et

1

0
et et 0
et

1
1 (t) 0 * (t)
et et et et (t)
(t)

1 2
e3t

(t)

1 6
(5

e3t
)
t0
所以，系统的输出响应为
y(t)

yx (t)

yf
(t)

3 2
e3t

1 6
(5

e3t
)

5 6
(1 2e3t )
t0
例8.3-3一个二阶系统，其状态方程为 x(t) 。Ax(t)
已知
当x(0)

x1 (0) x2 (0)
特征矩阵

0
1 ( 1)( 1)
A的特征根为 1 1,2 1
用成分矩阵法求 e At
可得矩阵指数函数为
e At e1t E1 e2t E2
其中
E1

A 2I 1 2

1 0
1 0
E2

A 1I 2 1

0 0

1 1
0 (t) 0 (t)
1 0
1 1

et e
t

2e
t et 1 e
t

2

9-4 连续时间系统状态方程的求解

λ1 ( 0− ) 3 = λ1 ( 0− ) 2
试求系统的状态变量。试求系统的状态变量。 (1)求特征矩阵Φ(s) (1)求特征矩阵
1 0 1 - 2 s −1 2 sI − A = s − 1 4 = −1 s − 4 0 1
−At

−1
d At At At e = Ae = e A dt
(二)用时域方法求解状态方程 1. 求状态方程和输出方程
d λ (t ) = Aλ (t ) + Be(t ) 若已知 dt
(1)
并给定起始状态矢量
λ 1 (0 − ) λ 2 (0 − ) λ (0 − ) = .... λ k (0 − )
具体计算步骤：具体计算步骤：
求矩阵A的特征值；求矩阵A的特征值；将各特征值分别代入式（），求系数将各特征值分别代入式（3），求系数c。求系数c
第一种情况
A的特征值各不相同，分别为α1, α2,…, αk 的特征值各不相同，代入式(3)有代入式(3)有
e = c0 + c1α1 + c2α12 + ...+ ck−1α1k −1 eα2t = c + c α + c α 2 + ...+ c α k−1 0 1 2 2 2 k −1 2 ... 2 k eαk t = c0 + c1α k + c2α k + ...+ ck −1α k −1
At t 0−
为方程的一般解。为方程的一般解。求输出方程r 求输出方程r(t) r (t ) = C λ (t ) + De (t )
e At λ (0 ) + t e A (t −τ )B e (τ )d τ + De (t ) =C − ∫0 = Ce At λ (0 − ) + Ce At B + D δ (t ) * e (t )

线性定常连续系统状态方程的解ppt课件

资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
引入能描述系统状态转移特性的状态转移矩阵如下： (t-0)=eA(t-0)
(t-0t)eA(tt0)
因此，有如下关系式
x(t)=(t)x0=(t-t0)x(t0)
重点!
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
2.1 线性定常连续系统状态方程的解
求解状态方程是进行动态系统分析与综合的基础，是进行定量分析的主要方法。
状态方程求解理论是建立在状态空间上，以矩阵代数运算来描述的定系数常微分方程解理论。而后基于矩阵代数运算的状态方程解理论引入了状态转移矩阵这一基本概念。
为此，设其解为t的向量幂级数，即
x(t)=b0+b1t+b2t2+…+bktk+…
式中，bk(k=1，2，...)为待定级数展开系数向量。
将所设解代入该向量状态方程x’=Ax，可得
b1+2b2t+3b3t2 +…+kbktk-1+…=A(b0+b1t+b2t2 +…+bktk+…)
如果所设解是方程的真实解，则对任意t，上式均成立。因此，使t有相同幂次项的各项系数相等，即可求得
资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值
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