2019中考复习 “隐形圆”问题ppt课件

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2019中考-“隐形圆”问题(共22张PPT)全面.ppt

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对应练
1、如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若 ∠CAD=76∘，则∠CBD=______度。
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真题演练
1. 如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若 ∠ CAD=76°，则∠ CBD= 度。
简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点
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班主任的专业发展一如治学之道，它不是遥不可及的事情，而是我们正在
谢谢！实践的工作；但也不是一蹴而就的，
而是一个不断发展，持续提高的过程。只要我们留守心中那盏信念的灯，拥有一颗热爱教育，热爱学生的心，再加上善于观察和反思教育生活的习惯，必然会收获内心的幸福，获得丰
满的教育人生。
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真题演练
1.如图，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑
直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为（）
简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P
到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离
等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆
简答：如图 2，因为 AP⊥BP，
∠P=90°（定角），AB=6（定弦），
故 P 在以 AB 为直径的⊙H 上，当
H 、 P 、 C 三点共线时 CP 最
短，HB=3，BC=4 则 HC=5，故
CP=5-3=2 。
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小结
以上例题说明，在求一类线段最值问题中，如果遇到
动点的运动路径是圆时，只需利用上面提到的方案1或方

中考数学“隐形圆模型”，“圆”来如此简单

中考数学“隐形圆模型”，“圆”来如此简单“圆”是初中数学最重要的知识点之一，纵观近几年中考数学，除了填空选择关于圆的计算以及解答题关于圆的证明以外，常常会以压轴题的形式考察圆的重要性质，往往这类题目中明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐形圆模型”，这一模型各省几乎每年中考都会出现。

类型一四点共圆常用：圆内接四边形对角互补同弦所对的圆周角相等例1：如图1，等边△ABC中，AB=6，P为AB上一动点，PD⊥BC，PE⊥AC，则 DE的最小值为？简答：因为∠PEC=∠PDC=90°，故四边形PDCE对角互补，故PDCE四点共圆，如图2。

∠EOD=2∠ECD=120°，要使得DE最小，则要使圆的半径最小，故直径PC最小，当CP⊥AB时，PC最短为3√3，则可求出DE=9/2。

例2：如图，正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转到正方形 APQR，连接 CQ，延长 BP 交于 CQ 于点 E，求证：E 是线段 CQ 的中点简答：因为 AC=AQ，AB=AP 且∠BAP=∠CAQ（旋转角相等）故△APB∽△AQC，故∠ABP=∠ACQ ，又因为∠1=∠2，故A、B、C、E 四点共圆（如图 2），因为∠ABC=90°，故 AC 是直径，故∠AEC=90°，又因为 AQ=AC，所以 AE 垂直且平分 QC（三线合一）类型二定义—动点到定点等于定长同一个端点处有多条相等线段时，要想到构造圆。

例:1：如图 1，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，若∠CAD=76°，则∠CBD= 度。

简答：如图 2，因为 AB=AC=AD，故 B、C、D 三点在以 A 为圆心的圆上，故∠CBD= 1/2∠CAD=38°例2：如图 1，长 2 米的梯子 AB 竖直放在墙角，在沿着墙角缓慢下滑直至水平地面过程中，梯子 AB 的中点 P 的移动轨迹长度为？.简答：由斜边上的中点等于斜边的一半可知，OP=1，动点P到定点O的距离始终等于1，满足圆的定义（到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆），故P的运动轨迹是圆弧，圆心角为90°，轨迹长度为四分之一圆的长度。

中考数学复习重难突破微专题(十一)隐形圆问题课件

解：(1)如答图①，作△ADC 的外接圆⊙O，
∵∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴A，B，C，D 四点共圆，且 AC 为⊙O 的直径，当 BD 为⊙O 直径时，BD 取得最大值， ∵AC＝ AB2＋BC2＝ 52＋122＝13. ∴BD 的最大值为 13.
(2)如答图②，作△ADC 的外接圆⊙O，当 B，O，D 三点共线时，BD 取得最大值，连接 OA，OC， ∵∠ADC＝45°，∴∠AOC＝90°. ∵OA＝OC，∴∠OCA＝45°＝∠ACB， ∴O，B，C 三点共线． ∵AC＝6，∴OA＝OC＝OD＝3 2. ∵∠BAC＝15°，∴∠OAB＝30°， ∴OB＝ 6，∴BD≤OB＋OD＝ 6＋3 2， ∴BD 的最大值为 6＋3 2.
方法一：点圆最值
已知平面内一定点 D 和⊙O，点 E 是⊙O 上一动点，设点 O 与点 D 之间距离为 d，⊙O 半径为 r.
【应用依据】直径是圆中最长的弦．
5．(2022·泸州)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝2 3，半径为 1 的⊙O 在 Rt△ABC 内平移(⊙O 可以与该三角形的边相切)，则点 A 到⊙O 上的点的距离的最大值为 22 7＋＋1 1.
3．如图，已知四边形 ABCD. (1)如图①，在矩形 ABCD 中，请在矩形 ABCD 的边上画出使∠APB＝30° 的所有点 P；
题图①
答图① 解：如答图①所示，点 P1，P2 即为所求(作 OA＝OB＝AB，则∠AOB＝2∠APB ＝60°)．
2)如图②，在矩形 ABCD 的边上画出使∠BPC＝60°的所有点 P. 题图②
4．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，O 为 AC 的中点，过点 O 作 OE⊥OF，OE，OF 分别交射线 AB，BC 于点 E，F，则 EF 的最小值为 55 .

“隐形圆”教学内容

“隐形圆”与圆有关问题第一讲“形”现“圆”形问题如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝2，点P为等腰直角三角形ABC所在平面内一点，且满足PA⊥PB，则PC的取值范围是__________．APB C圆是高中数学中一种简单但又非常重要的曲线，近几年高考题和高考模拟题中，经常会出现一类有关圆的题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆方面的信息，而是以隐性的形式出现，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解．这类题目构思巧妙，综合性强,，充分考查了学生的数形结合、转化和化归等数学思想方法，处理这类题目关键在于能否把"隐形圆"找出来．圆作为几何图形，找“隐形圆”的一个角度可以从“形”的角度来发现．策略一由圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)2＋(y－a－3)2＝4上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a的取值范围是________．（2）（2016年南京二模）已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a )2＋(y －a ＋4)2＝1．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为_________．（3）（2017年苏北四市一模）已知A B 、是圆221:1C x y +=上的动点，AB P 是圆222:(3(4)1C x y -+-=）上的动点，则PA PB +u u u r u u u r的取值范围是_________．（4）若对任意α∈R ，直线l ：x cos α＋y sin α＝2sin(α＋6π)＋4与圆C ：(x －m )2＋(y －)2＝1均无公共点，则实数m 的取值范围是_________．（5）（2016年南通三模）在平面直角坐标系xOy 中，圆()221:12C x y -+=，圆()()2222:C x m y m m -++=，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是_________．策略二由动点P 对两定点A 、B 张角是090（1PA PB k k ⋅=-，或PA PB ⋅=uu r uu r0）确定隐形圆例2 （1）已知圆C ：22(3)(4)1x y -+-=和两点(,0)A m -，(,0)B m (0)m >，若圆上存在点P ，使得∠APB =90°，则m 的取值范围是_________．（2）（海安2016届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0)， Q (2，1)，直线l ：0ax by c ++=其中实数a ，b ，c 成等差数列，若点 P 在直线 l 上的射影为 H ，则线段 QH 的取值范围是_________．（3）设m ∈R ，直线1l ：0x my +=与直线2l ：240mx y m ---=交于点00(,)P x y ，则220002x y x ++的取值范围是_________．策略三由圆周角的性质确定隐形圆例3 （1）已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2a =，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则ABC ∆面积的最大值为_________．（2）（2017年常州一模）在△ABC 中，∠C ＝45o ，O 是△ABC 的外心，若OC mOA nOB =+u u u r u u u r u u u r(m ，n ∈R )，则m ＋n 的取值范围是_________．策略四由四点共圆的定理来确定隐形圆（如一个四边形的对角互补，则该四边形四点共圆）例4 设向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，若a －c 与b －c 的夹角为60°，则|c |的最大值等于．【同步练习】1.点A ，B 分别在x 轴与y 轴的正半轴上移动，且AB ＝2，若点A 从(3，0)移动到(2，0)，则AB 中点D 经过的路程为．2．已知O 为坐标原点，向量20(,)OB =uu u r，22(,)OC =uuu r,)CA αα=uu r，则OA uu r 与OB uu u r夹角的范围为．3．已知直线20:l x y m -+=上存在点M 满足与两点(2,0)A -,(2,0)B 连线的斜率之积为1-，则实数m 的取值范围是．4．已知圆C ：x 2＋y 2＝1，点P (x 0，y 0)在直线x －y －2＝0上，O 为坐标原点，若圆C 上存在一点Q ，使得∠OPQ ＝30°，则x 0的取值范围是________．5．如图，已知点A (－1,0)与点B (1,0)，C 是圆x 2＋y 2＝1上的动点(与点A ,B 不重合)，连接BC 并延长至D ，使得|CD |＝|BC |，则线段PD 的取值范围．题第二讲 “数”现“圆”形解析几何中，找“隐形圆”的另一个角度可以从“数”的角度（求出其方程）来发现．策略五直接由圆（半圆）的方程确定隐形圆例1 （1）(2016年泰州一模)已知实数a ，b ，c 满足222a b c +=，0c ≠，则2b a c-的取值范围为__________．（2）若方程3x ＋b 有解，则b 的取值范围是．（3）已知实数x 、y 满足x y -=，则x +y 的最大值是__________．策略六直接由圆（半圆）的参数方程确定隐形圆例2（1）已知,t R θ∈，则22(cos 2)(sin 2)t t θθ--+-+的取值范围是__________．（2）函数f (x02x π≤≤) 的值域是________．策略七由两定点A 、B ，动点P 满足PA PB λ⋅=uu r uu r（λ是常数）,求出动点P 的轨迹方程确定隐形圆例3 已知圆22341:()()C x y -+-=和两点00(,),(,)A m B m -0()m >．若圆C 上存在点P ，使得1PA PB ⋅=u u r u u r，则m 的取值范围是__________．策略八由两定点A 、B ，动点P 满足22PA PB +是定值确定隐形圆例4（1）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：(x －a )2＋(y －a ＋2)2＝1，点A (0，2)，若圆C 上存在点M ，满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是__________．（2）（2017届盐城三模）已知A B C D ，，，四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA =u u u r u u u r ，则||BD u u u r的最大值为．策略九由两定点A 、B ，动点P 满足01PAPBλλλ=>≠(,)确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）例5（1）（2016年南通一模）在平面直角坐标xOy 中，已知点(1,0),(4,0)A B ，若直线0x y m -+=上存在点P 使得12PA PB =,则实数m 的取值范围是________．（2）（2016届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线0x b +-=上，过点P 作圆O ，O 1的两条切线，切点分别为A ，B ，若满足2PB PA =的点P 有且仅有两个，则b 的取值范围_________．（3）已知曲线C 的方程221x y +=，()2,0A -，存在一定点()(),02B b b ≠-和常数λ，对曲线C 上的任意一点(),M x y ，都有MA MB λ=成立，则点(),P b λ到直线()220m n x ny n m ++++=的最大距离为_________．例6（2017年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线l （一条南北方向的直线）3.8海里的A 处，发现在其北偏东30°方向相距4海里的B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据：sin17°5.7446）（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截？并说明理由．(例6)【同步练习】1．已知圆C ：(x －3)2＋(y －4)2＝1，点A (0，－1)，B (0,1)．P 是圆C 上的动点，当|P A |2＋|PB |2取最大值时，点P 的坐标是．2．（2016年盐城三模）已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是__________．3．（2016年苏北四市一模）已知)1,0(A，)0,1(B，)0,(tC，点D是直线AC上的动点，若2≤恒成立，则最小正整数t的值为．AD BD4．在平面直角坐标系xOy中，M为直线x＝3上一动点，以M为圆心的圆记为圆M，若圆M截x轴所得的弦长恒为4．过点O作圆M的一条切线，切点为P，则点P到直线2x＋y－10＝0距离的最大值为．5．已知x y ∈R 、且满足22246x xy y ++=，则224z x y =+的取值范围是．第三讲 “隐圆”综合隐藏圆问题可以和很多知识点结合，在三角形、向量、圆锥曲线等背景的一些问题中看上去和圆无关，但却隐藏着圆．一、三角形中的隐形圆例1（1）（2017年南京、盐城一模）在ABC ∆中，A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，若22228a b c ++=，则ABC ∆面积的最大值为__________．（2）（2008年高考江苏卷）若=2AB AC ，，则ABC S ∆的最大值是__________．例2 （1）在ABC ∆中，BC ＝2，AC ＝1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段CD 长的最大值为．（2）在ABC ∆中，点D 在边BC 上，且DC ＝2BD ，AB ∶AD ∶AC ＝3∶k ∶1，则实数k 的取值范围为．二、向量中的隐形圆例3 （1）已知向量a 、b 、c 满足=a ，3==⋅b a b ，若()()0--=c a c b ，则-b c 的最大值是__________．（2）在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r=DB u u u r=DC u u u r，DA u u u r ⋅DB u u u r =DB u u u r ⋅DC u u u r =DC u u u r ⋅DA u u u r = -2，动点P ，M 满足AP u u u r=1，PM u u u u r =MC u u u u r ，则2BM u u u u r 的最大值是__________．例4 已知OA u u u r ，OB u u u r 为非零的不共线的向量，设111r OC OA OB r r=+++u u u r u u u r u u ur ．定义点集{|}||||KA KC KB KCM K KA KB ⋅⋅==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．当1K 、2K M ∈时，若对任意的2r ≥，不等式12||||K K c AB u u u u u r u u u r≤恒成立，则实数c 的最小值为__________．例5 （2014年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆2216:O x y +=，点P 12(,)，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且0PM PN ⋅=uuu r uuu r，若PQ PM PN =+uu u r uuu r uuu r，则PQ uu u r 的最小值为__________．三、圆锥曲线中的隐形圆例6 在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1O ，圆2O 均与x 轴相切且圆心1O ，2O 与原点O 共线，1O ，2O 两点的横坐标之积为6，设圆1O 与圆2O 相交于P ，Q 两点，直线l ：280x y --=，则点P 与直线l 上任意一点M 之间的距离的最小值为__________．例7 设椭圆E ：x 28＋y 24＝1，是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A ，B ，且OA u u u r ⊥OB u u u r？【同步练习】1．若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为_________．2．已知曲线C ：x ＝－4－y 2，直线l ：x ＝6，若对于点A (m ，0)，存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP u u u r＋AQ u u u r ＝0，则m 的取值范围为．3．已知圆()22:11C x y -+=，点(3,0)D ，过动点P 作圆C 的切线PQ ，切点为Q ，若PD =，则△PCD 面积的最大值为__________．4．设点,A B 是圆224x y +=上的两点，点(1,0)C ，如果90ACB ∠=o ，则线段AB 长度的取值范围为__________．精品文档收集于网络，如有侵权请联系管理员删除5．已知ABC ∆是边长为3的等边三角形，点P 是以A 为圆心的单位圆上一动点，点Q 满足2133AQ AP AC =+u u u r u u u r u u u r ，则BQ u u u r 的最小值是__________．。

2019年中考初三数学专题隐形圆

2019年中考初三数学专题系列辅助圆模型一：“隐形圆”解点的存在性模型分析“定边、定角”圆上找.具体来说：当边长一定，其所对角度也一定时，该角顶点在两段弧上.1. 如图，已知线段AB.（1）请你在图①中画出使∠APB＝90°的所有满足条件的点P；（2）请你在图②中画出使∠APB＝60°的所有满足条件的点P；（3）请你在图③中画出使∠APB＝45°的所有满足条件的点P.2. （1）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5.请你在图①中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝90°的点P；（2）如图②，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图②中矩形ABCD的边上画出使∠BPC＝60°的点P；（3）如图③，在正方形ABCD中，AB＝2，BC＝.请你在图③正方形ABCD的边上画出使∠BPC＝45°的点P.3. 如图，线段AB和动点C构成△ABC，AB＝2，∠ACB＝120°，则△ABC周长的最大值为___________..模型二：“隐形圆”解角的最值模型分析同弧所对的圆周角相等，其所对的“圆外角”小于圆周角，“圆内角”大于圆周角. 如图①，∠B＝∠D ＝∠E；如图②，∠F＞∠B＞∠G.4. 如图，线段AB是球门的宽，球员（前锋）在距球门前一定距离的直线b上，在直线b上是否存在一点P，使得球员在P点射门更易进球？若存在这样的点，请找出；若不存在，请说明理由.5. 如图，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.（1）使∠APB＝30°的点P有________个；（2）若点P在y轴上，且∠APB＝30°，求满足条件的点P的坐标；（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，请说明理由.模型三：“隐形圆”解线段的最值模型分析平面内一定点D和⊙O上动点E的连线中，当连线过圆心O时，线段DE有最大值和最小值. 具体分以下三种情况讨论（规定OD＝d，⊙O半径为r）：第一种：当点D在⊙O外时，d>r，如图①、②：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为（d＋r），DE的最小值为（d－r）；第二种：当点D在圆上时，d＝r，如图③：当D，E，O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r＝2r （即为⊙O的直径），DE的最小值为d－r＝0（点D，E重合）；第三种：当点D在⊙O内时，d<r，如图④、⑤：当D、E、O三点共线时，线段DE出现最值，DE的最大值为d＋r，DE的最小值为r－d.6. 如图，已知⊙O及其圆外一点C，请在⊙O上找一点P，使其到点C的距离最近.7. 如图，已知正方形ABCD的边长为4.点M和N分别从B，C同时出发，以相同的速度沿BC，CD方向向终点C和D 运动.连接AM和BN，交于点P，则PC长的最小值为_________（请在图中画出点P的运动路径）8. 如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB上一个动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值为___________.（请在图中画出点A′的运动路径）9. 如图，∠AOB＝45°，边OA，OB上分别有两个动点C，D，连接CD，以CD为直角边作等腰直角△CDE，当CD长保持不变且等于2 cm时，则OE的最大值为___________..模型四：“隐形圆”解面积的最值模型分析三角形中，若一边长为定值，这一边所对的角度也为定值，则满足条件的点在两段弧上运动，当这个角的顶点在其对边的中垂线与弧的交点处时该三角形的面积达到最大，此时该三角形为等腰三角形.例：如图，AB＝2，∠APB＝90°，要求S△APB的最大值，当且仅当PO⊥AB时，△APB的面积最大.10. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD⊥DC，若AD＝2，BC＝4，则四边形ABCD面积的最大值是___________..11. 如图，已知在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠BCD＝30°，AC＝4，则四边形ABCD面积的最小值是___________.12. 如图，在△ABC中，AB＝2，∠ACB＝45°，分别以AC，BC为边向外作正方形ACED，正方形CBMN，连接EN，则△ECN面积的最大值为___________.___..13.如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）A. B. C. D.13.如图,在Rt△ABC中,∠B=60∘,BC=3,D为BC边上的三等分点,BD=2CD,E为AB边上一动点,将△DBE沿DE折叠到△DB′E的位置,连接AB′,则线段AB′的最小值为：___________.14.如图,O 的直径为4,C 为O 上一个定点,∠ABC =30∘,动点P 从A 点出发沿半圆弧AB ˆ向B 点运动(点P 与点C 在直径AB 的异侧)，当P 点到达B 点时运动停止，在运动过程中，过点C 作CP 的垂线CD 交PB 的延长线于D 点。

微专题09.02 “隐形圆”问题

微专题08.02 “隐形圆”问题一、问题概述江苏高考考试说明中圆的方程是C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆的相关信息，而是将圆隐藏于题目中的，隐晦地考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系。

要通过分析和转化，发现圆（或是圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题．如何发现“隐形圆”（或圆的方程）是本讲内容的关键，常见的有以下策略：二、释疑拓展策略一利用圆的定义（到定点距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆1．如果圆()()43222=--+-a y a x 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是_________．2．【2016南京二模】已知圆O :122=+y x ，圆M ：()()1422=+-+-a y a x ，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得ο60=∠APB ，则a 的取值范围为_________．3．【2017苏北四市一模.13题】已知B A 、是圆1:221=+y x C 上的动点，3=AB ，P是圆()()143:222=-+-y x C 的取值范围是_________．策略二动点对两定点A 、B 的张角是ο90()01=•-=•K K PB PA 或确定隐形圆1．【2014.北京高考】已知圆()()14322=-+-y x C ：和两点()()0,,0,m B m A -若圆上存在点P ，使得∠APB =90°则m 的取值范围是_________．2．（2017南京二模）在平面直角坐标系xoy 中，直线021=+-y kx l ：与直线02:2=-+ky x l 相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线04=--y x 的最大值为_________．3．【南通市通州区2017届高三下学期开初检测】设R m ∈，直线0:1=+my x l 与直线042:2=---m y mx l 交于),(00y x P ，则020202x y x ++的取值范围_________．策略三两定点A 、B ，动点P 满足λ=•确定隐形圆1．（2017南通密卷3）已知点A （2，3），点B （6，-3），点P 在直线0343=+-y x 上，若满足不等式02.=+λ的点P 有两个，则实数λ的取值范围是_________．2．【盐城市2016届高三三模.11题】已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA CB λ⋅=u u u r u u u r（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值是_________．策略四两定点A 、B ，动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆1．在平面直角坐标系xoy 中，已知圆()()1222=+-+-a y a x C ：，点A(0,2),若圆C 上存在点M ，满足1022=+MO MA ，则实数a 的取值范围是_________．2．（徐州市2017届高三考前模拟卷）已知,,,A B C D 四点共面，2BC =，2220AB AC +=，3CD CA=u u u r u u u r，则||BD uuu r 的最大值为．延伸：到两个动点A 、B （A 、B 间距离定），动点P 满足22PB PA +是定值确定隐形圆 3．已知A 、B 为直线x y l -=:上两动点，且AB=4圆026622=+--+y x y x C ：满足1022=+PB PA 则线段AB 中点M 的横坐标取值范围为_________．策略五已知两定点A 、B ，动点P 满足()10≠>=λλλ且PBPA确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）1．（2008江苏高考）满足条件AB = 2，AC = 2BC 的∆ABC 的面积的最大值是______． 2．【南通市2016届高三下学期第一次调研测试11题】在平面直角坐标系xOy 中，点)0,4(),0,1(B A .若直线0=+-m y x 上存在点P ，使得PB PA 21=，则实数m 的取值范围是．3．【常州市2016届高三第一学期期末考试】在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝1，O 1：(x －4)2＋y 2＝4，动点P 在直线x ＋3y －b ＝0上，过P 分别作圆O ，O 1的切线，切点分别为A ，B ，若满足PB ＝2PA 的点P 有且只有两个，则实数b 的取值范围是________．策略六相关点法确定隐形圆1．在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为_________．2．【苏北四市2018届高三第一次调研检测12题】在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是．策略七利用圆周角的性质确定隐形圆1．已知，a ,b ,c 是△ABC 的三角内角A,B,C 的对边，2=a ，C b c B A b a sin )()sin )(sin (-=-+，则△ABC 面积的最大值是．2．【2017年常州一模】在△ABC 中，∠C=45。

中考隐形圆问题

2019中考数学复习隐形圆问题大全一定点+定长1。

依据：到定点的距离等于定长的点的集合是以定点为圆心定长为半径的圆.2。

应用：（1)如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD=2，BC=1,AB∥CD，求BD的长.简析：因AB=AC=AD=2，知B、C、D在以A为圆2为半径的圆上，由AB∥CD 得DE=BC=1,易求BD=15.(2）如图，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点,将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F,连接B′D，则B′D的最小值是.简析：E为定点，EB′为定长，B′点路径为以E为圆心EB′为半径的圆，作穿心线DE得最小值为210。

（3）ΔABC中,AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE 交于点O，则线段AO的最大值为。

简析：先确定A、B点的位置，因AC=2，所以C点在以A为圆心，2为半径的圆上；因点O是点C以点B为中心顺时针旋转45度并1：√2缩小而得，所以把圆A旋转45度再1：2缩小即得O点路径。

如下图，转化为求定点A到定圆F的最长路径,即AF+FO=32.二定线+定角1.依据：与一条定线的两端夹角一定的动点路径是以定线为弦，定角为圆周角的弧。

2.应用：（1）矩形ABCD中，AB=10，AD=4,点P是CD上的动点，当∠APB=90°时求DP的长.简析：AB为定线，∠APB为定角（90°)，P点路径为以AB为弦(直径）的弧，如下图，易得DP为2或8.（2）如图,∠XOY = 45°，等边三角形ABC的两个顶点A、B分别在OX、OY 上移动，AB = 2，那么OC的最大值为.简析：AB为定线,∠XOY为定角，O点路径为以AB为弦所含圆周角为45°的弧，如下图，转化为求定点C到定圆M的最长路径，即CM+MO=3+1+2。

（3)已知A（2，0），B（4，0)是x轴上的两点，点C是y轴上的动点,当∠ACB最大时，则点C的坐标为_____．简析：作ΔABC的处接圆M,当∠ACB最大时，圆心角∠AMB最大,当圆M半径最小时∠AMB最大，即当圆M与y轴相切时∠ACB最大。

2019高考数学二轮复习微专题6隐形圆问题课件ppt版本

的内部,则 1 m2 < 3 + 2 m2 .两边平方并化简,得 m2 - 5 < 3(2 m2) 恒成立.所
4
4
22
以只要m2≤2即可.故m的取值范围是[- 2 , 2 ].
【方法归纳】当直线与圆相交时,特征三角形(由弦心距、半弦长、半径构成)的应用是最普遍的,在特征三角形中应用边角关系求出动点的条件是解题的关键.
1-1 已知圆O:x2+y2=1,直线l:ax+y=3,若直线l上存在点P,过点P作圆O的两条
切线,切点为A,B,使得四边形OAPB为正方形,则实数a的取值范围是
.
答案
,
14 2

∪

14 2
,

解析由四边形OAPB为正方形,得∠APB=90°.所以∠APO=45°,PO= 2OA=
2-1 已知A,B是圆O:x2+y2=1上的动点,满足AB= 3,P是圆C:(x-3)2+(y-4)2=1上

的动点,则| PA+ PB |的取值范围是
.
答案 [7,13]
解析
设AB的中点为Q,则OQ= 1 ,点Q的轨迹方程是x2+y2= 1 .所以 PA

PB
=2
2
4
PQ
.又点P在圆C上,OC=5,所以 PQ
范围为
.
答案 [16,36]
解析函数f(x)的图象关于点C(3,4)对称,直线y=k(x-3)+4也经过点C(3,4),所以
A,B两点关于点C对称, PA

PB
=2 PC
=2, PC
=1,即点P的轨迹是以C为圆心、1

中考数学专题复习圆专题--隐圆讲解解析

圆专题--隐圆知识点储备：构造出隐圆出来，可以运用与圆有关的几何性质去解题。

1、点圆距离。

点P 是圆O 外一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。

证明：在△POB ’利用到三边关系：即PO+OB ’＞PB ’，OB ’=OB PO+OB=PB ＞PB ’.在△POA ’利用到三边关系:即 PA ’+OA ’＞ OA+PA,OA=OA ’,PA ’＞PA.点P 是圆O 内一点，连接PO 交圆与点A,点B ，则PA 是点P 到圆上的最短距离，PB 为点P 到圆上的最长距离。

证明：同上;2、直径最长。

在圆中所有的弦中，直径最长。

AB 为直径，最长的弦。

3、点弦距离。

点P 是弧AB 上一动点，过圆心作弦AB 的垂线交于点E,交圆O 于点C,点D,若点P 在劣弧AB 上，当点P 与点C 重合，则点P 到AB 的最大距离为CE,若点P 在优弧AB 上，当点P 与点D 重合,则点P 到AB 的最大距离为DE,（此时点C 为劣弧AB 的中点，点D 为优弧AB 的中点）证明：可以过点P 作AB 的平行线L ，L 与AB 的距离就是点P 到AB 的距离，当L 与圆O 只有一个交点时，即相切时，L 与AB 的距离最大，此时点P 与点C 重合，或点P 与点D 重合。

PA OBB'A'P AO BB'A'ABEF DA BOE CP P由上述结论可知：点P 在圆上运动，线段AB 长度固定，当△PAB,为等腰三角形时，△PAB 的面积取最大（也要分在优弧和劣弧两种情况。

）证明：因为 △PAB 底AB 不变，此时AB 边上的高最大，得面积也是最大的。

拓展：此时得到的△PAB 的周长也是最大的。

（也要分在优弧和劣弧两种情况。

）证明：1、当点P 在劣弧AB 上时，如图所示：AB 为定值，求△PAB 的周长最大，即求PA+PB 最大。

中考数学专题《隐形圆解析》

A
D
E O
C
B
取 CB 中点 M，所以 E 点轨迹是以 M 为圆心、CB 为直径的圆弧．
A
D
E O
CM
B
连接 AM，与圆弧交点即为所求 E 点，此时 AE 值最小， AE AM EM 102 22 2 2 26 2 ．
A
E
C
M
B
【2019 园区一模】如图，正方形 ABCD 的边长为 4，动点 E、F 分别从点 A、C 同时出发，
C
M
E
A
O
B
【寻找定边与直角】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，BC=4，AC=10，点 D 是 AC 上的一个动点，以 CD 为直径作圆 O，连接 BD 交圆 O 于点 E，则 AE 的最小值为_________．
A
D
O
E
C
B
【分析】连接 CE ，由于 CD 为直径，故∠CED=90°，考虑到 CD 是动线段，故可以将此题看成定线段 CB 对直角∠CEB ．
A
D
O
P
F
B
E
C
连接 OC，与圆的交点即为 P 点，再通过勾股定理即可求出 PC 长度．思路概述：分析动点形成原理，通常“ 非直即圆” （不是直线就是圆），接下来可以寻找与动点相关有无定直线与定角．
【2013 武汉中考】如图，E 、F 是正方形 ABCD 的边 AD 上的两个动点，满足 AE =DF，连接 CF 交 BD 于点 G，连接 BE 交 AG 于点 H，若正方形边长为 2，则线段 DH 长度的最小值是________．
A
O
B
【辅助圆+相切】如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB =90°，∠B=30°，AB =4，D 是 BC 上一动点， CE ⊥AD 于 E ，EF⊥AB 交 BC 于点 F，则 CF 的最大值是_________．

“隐圆”模型(与圆有关的模型)-中考数学二轮复习

定长
A
AB=AC=AP
A
辅
助
圆
B
C
P2
典例精讲
知识点一
定点定长型
25º
【变试题】如图,四边形ABCD中,AB=AC=AD,若∠CAD=50º,则∠CBD=_____.
A
B
D
C
01
定点定长型
02
定边对定角
考点聚焦
03
定角夹定高
04
四点共圆
精讲精练
定边对定角
模型分析
知识点二
定边对定角：固定的线段对应的角度固定叫定边对定角,也叫定弦定角,
中考总复习-几何模型
专题四与圆有关的模型
“隐圆”模型
情境导入理论依据考点聚焦典例精讲查漏补缺课堂小结提升能力
知识梳理
“隐圆”模型概述
考点归纳
在辅助圆问题中,我们了解了求关于动点最值问题的方式之
一---求出动点轨迹,即可求出关于动点的最值.
本节课我们继续讨论另一类动点引发的最值问题,在此类题
那么这个角的顶点轨迹为圆(一部分)．
(1)如图,在⊙O中,若弦AB长度固定,则弦AB所对的圆周角都相等；
P2
条件：固定线段AB所对动角∠P为定值.
P3
O
P1
结论：点P运动轨迹为过A,B,P三点的圆.
原理：弦AB所对同侧圆周角相等.
B
A
备注：点P在优弧,劣弧上皆可.
(2)有一固定线段AB及线段AB所对的∠P大小固定,根据圆的知识可知P点并
C
条件：AB为定线段(即直径),线段AB外一点C与
B
A
A,B两端形成的张角为直角(即∠ACB=90º),

二次函数综合题中的隐形圆

二次函数综合题中的隐形圆二次函数综合题中的隐形圆刘旭亮其实，该题还含有隐形中垂线（恰为二、四象限夹角平分线）。

延伸阅读：淡定心态从容应考（1）——中高考前的提醒和建议刘旭亮又一次中高考就要到了，如何做好应考，是每一位同学必须要思考的问题。

这里我从三个方面提一些建议，供同学们参考。

人的一生要经历无数次的各种各样的考试。

上学时的考试仅仅是一个小插曲而已，更何况是一次中高考。

既然不能回避，我们就要认真地研究考试，正确地对待考试，掌握科学的应考方法。

一、考前充分准备（一）心理准备学会自我减压。

不要考虑考试的结果，不要对自己提过高的要求。

考试是一种促进学习的手段，不是目的。

我们要通过一次次的考试，不断反思学习的过程，提高学习效率。

同时，要有万一考不好的心理准备。

像运动员先做准备运动、演员提前酝酿感情一样，考生也应提前进入“角色”，把最佳竞技状态带进考场。

1.停止训练常言道，静能生慧。

经过紧张的复习和强化训练之后，让大脑放松是记忆恢复的最佳状态。

许多发明创造都是在“闹风暴”之后的冷却期出现的。

所以，强化训练最迟应在考前一周停止，留下一段自由支配的时间让考生进入相对静息状态。

2.调整作息在考前的静息时间里，积极进行生物钟的调整，增加睡眠时间，保持作息时间与考试时间完全同步，促使临场思维自动进入工作高潮。

（二）物质准备1.注意适量锻炼身体，科学膳食。

2.若考场不在本校，考生一定要亲临考场，熟悉情况。

如来回路线和用时，甚至卫生间的位置等等。

3.提前列出清单，贴在醒目位置。

考前当天晚上，一定要带齐考试所需要的一切学习用具。

尤其是理科，比方说数学，考试时少不了橡皮、一副三角板、量角器、圆规和专用计算器等。

4.考试当天，一定按学校要求提前到达考区，尽快稳定情绪，对学科内容从从容容“过过电影”，让大脑进入预热状态。

（三）知识准备1.在静息状态下，要按老师的要求，并结合自己的学习实际，采取适合于不同学科的复习方法，回想学科整体结构，梳理知识，查漏补缺。

模型隐形圆问题梳理(附PPT)

例 2：已知圆C ： x 32 y 42 1，点 A(m,0)，
点 B(m,0) ， m 0 ，若圆 C 上存在点 P ，使得
APB 90o，则m的范围是___________．解：由APB 90o可得点P在以 AB为直径的圆上，
其方程为 x2 y2 m2，且与圆 x 32 y 42 1有
2
2
所以2 2 m 2 2 ．
变式 1：在平面直角坐标系中，已知点 A0,2，
B1,1， P 为圆 x2 y2 2上一动点，则 PB 的最大
PA 值是________．
解：设P x, y，则x2 y2 2，
PB
2
PA
x 12 y 12 x2 y 22
x2 y2 2x 2y 2 x2 y2 4y 4
直线l1与直线l2垂直，所以点P在以 AB为直径的圆上，
圆心C 1,1，半径r 2 ，其方程为 x 12 y 12 2
因为圆心C 到直线x y 4 0的距离为 d 4 2 2 ，所以点P到直线x y 4 0的距离的
2 最大值为2 2 2 3 2 ．
变式 2：在直角坐标系中，已知点P(1,0)，点Q(2,1)，直线l ：ax by c 0，其中a ，b，c成等差数列，点 P 在直线l 上的射影为 H ，则线段QH 的取值范围是____________．
CD2 11 2sin2
P
C
D
Q O
CD2
1
1
2
1 CD2
CD2
2 CD2
3．
因为OD 2 3 ，所以CD 3,3 3 ，
所以CD2 3,27．
因为CD2
2 CD2
3在3,27上单调递增，

隐形圆_精品文档

隐形圆（引圆）最值问题：我们首先要知道圆上一动点到平面内一定点距离的何时取得最小值和最大值；1》当定点在圆外时，如图所示动点P是在圆o上运动，定点C在圆o外，连接CO并延长，连接OP；我们令OC=d，OP=r；（1）当P，O，C三点不共线时P，O，C三点围成三角形，OC-OP<PC<OC+OP；即d-r<PC<d+r;（2）当P，O，C三点共线时，①P在P’处时，OC-OP=PC,即d-r=PC；②P在P1处时，OC+OP=PC,即d+r=PC；综上可得d-r≤PC≤d+r，PC min=d-r，PC max=d+r.2》当定点在圆内时（不与圆心重合）如图所示：动点P是在圆o上运动，定点C在圆o内，连接CO并双向延长，连接OP；我们令OC=d，OP=r；（1）当P，O，C三点不共线时P，O，C三点围成三角形，OP-OC<PC<OC+OP；即r-d<PC<d+r;（2）当P，O，C三点共线时，①P在P’处时，OP-OC=PC,即r-d=PC；②P在P1处时，OC+OP=PC,即d+r=PC；综上可得r-d≤PC≤d+r，PC min=r-d，PC max=d+r.1.折叠引圆：如图所示在矩形ABCD中，AB=4，AD=6.点E为AB边中点，F为边BC上一动点，以EF为折痕将三角形BEF折叠点B落在B’处，求线段DB’最小值.解析：由题中条件可知折痕EF 满足一定一动的特点，所以满足折叠引圆，根据折叠的性质我们可得到EB=EB ’=21AB=2,根据圆的定义可知，动点B ’是以E 为圆心，2为半径的圆上运动，而B ’的运动又与动点F 有关，我们如果我们将F 看成是从点B →C 的运动可得到B ’的轨迹，如下图所示，B ’的运动并不是完整的圆，而是一部分圆弧。

根据圆上一动点到圆外一定点的最小值分析可知，B ’D 取得最小值时，B ’，D ，E 三点共线，B ’在G 处；所以B ’D min =DE-EG,在直角三角形ADE 中，DE=，因为EG=EB=2，所以B ’D min =-2例1. 如图所示，四边形ABCD 是菱形，∠A=60o，AB=6，点E 是边AD 中点，动点F 是在线段AB 上由A →B 运动,到达B 点停止运动，102AE AD 22=+102连接EF，以EF为折痕将△AEF折叠，点A落在A’处.(1)求A’C长度最小值.(2)求A’的路径长.例2.如图所示矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E是AD边上的中点，点F是AB边上的动点，连接EF，以EF为折痕将△AEF折叠，点A落在A’处，求△A’BC的面积最小值.定角定弦引圆（隐圆）：如图所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a.像这类动点处存在一个角度恒为定角，且该角能放在一个三角形内，所对边为定边，那么该动点就是在圆上运动；这个定角就可以理解为圆周角，它所对的定边就是该圆周角所对的弦.（1）直角类型：如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦，因为∠P=90o，图1 图2（2）锐角类型:如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a,且a<90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦，此时的AB并不是直径，我们知道想要画出这个P所在的圆我们需要圆心和半径，或者找到直径；因为A，P，B三点都是圆上的点，∠A，∠B也是圆周角，点P在运动的时候∠A，∠B的大小是会发生改变的，，如图2所示.图1 图2（3）钝角类型：如图1所示，在平面内存在定点A，B.点P是平面内的一动点，且点∠P=a,且a>90o，根据上面定角定弦可知，∠P是圆周角，AB是它所对弦,此时我们发现钝角是无法构造到直角三角形中去的，那么我们就要想办法去转化，我们可以通过四点共圆的特点去转化，我们可以图1 图2图3例1. 如图所示，在矩形ABCD 中AB=8，AD=6，点Q 是边AD 边上一动点，连接CQ ，过点D 作DP ⊥CQ ，交CQ 于点P .(1) 求线段BP 最小值.(2) 如图2所示，点M 也是边AD 上的动点，求BM+PM 最小值.(3) 如图2所示，点M 是边AD 上的动点，求AM+PM 最小值21图1 图2例2.在三角形ABP中，AB=6，∠P=60o，求AP+BP最大值.例3.在等边三角形ABC中，D、E分别为边AC，AB上的动点，且AD=BE；BC=6，连接CE、BD交于点F.（1）.求∠CFD.（2）.求AF最小值.2.瓜豆原理引圆：瓜豆原理：从动点的运动状态与主动点吻合（主动点在直线上运动，从动点就会在直线上运动；主动点在圆上运动，从动点就会在圆上运动）(1)如图所示点A 、B 都是定点，点D 是圆B 上一动点，连接AD ，取AD 上一点E ，使=k ，此时点D 在圆B 上运动的时候就会带着点E 一起运动，那么点D 就是主动点，点E 就是从动点；（圆B 大小不变，k 为定值）∵=k （主动点与从动点之间的关联所在）∵点A 是定点∴我们可以将点E 所在图形是点D 所在图形关于点A 位似得到的如下图：圆的位似可以对其半径进行位似，即取AB 上一点C ，使=k ∵∠A=∠A ，==k ，∴△ABD ∽△ACE ，∴==k∴CE=kBD 为定值；所以点E 就是以点C 为圆心CE 为半径的圆上运动AD AEAD AEAB ACAD AE AB AC BD CE ABAC(2).如图所示，点A 、B 是平面内定点，点D 是圆B 上一动点，∠DAE=a ，=k ，此时点D 在圆B 上运动的时候就会带着点E 一起运动，那么点D 就是主动点，点E 就是从动点；（圆B 大小不变，k 为定值，a 角度为定值）这个可以看成（1）中图形旋转得到的；取AB 上一点C ，使=k ，将AC 以点A 为旋转中心逆时针旋转a得到C ’,易证△ACE ’∽△ABD ，所以==k ，即C ’E=kBD 所以点E 为C ’为圆心C ’E 为半径的圆上运动例1．如图，点A ，B 的坐标分别为(60)(06)A B C ，，，，为坐标平面内一点，BC M 为线段AC 的中点，连接OM ，当OM 取最大值时，点M 的坐标为__________________． AD AEAB ACBD E C'ABAC2．如图，△ACB中，CA＝CB＝4，∠ACB＝90°，点P为CA上的动点，连BP，过点A作AM⊥BP于M．当点P从点C运动到点A 时，线段BM的中点N运动的路径长为。

专题复习_“隐形圆”问题

“隐形圆”问题江苏省通州高级中学一、问题概述江苏省高考考试说明中圆的方程是C 级知识点，每年都考，但有些时候，在条件中没有直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中的，要通过分析和转化，发现圆（或圆的方程），从而最终可以利用圆的知识来求解，我们称这类问题为“隐形圆”问题．二、求解策略如何发现隐形圆（或圆的方程）是关键，常见的有以下策略．策略一利用圆的定义（到定点的距离等于定长的点的轨迹）确定隐形圆例1（1）如果圆(x－2a)＋(y－a－3)＝4 上总存在两个点到原点的距离为1，则实数a 的取值范围是．6a 05略解：到原点的距离为1 的点的轨迹是以原点为圆心的单位圆，转化到此单位圆与已知圆相交求解．（2）（2016 年南京二模）已知圆O：x＋y＝1，圆M：(x－a)＋(y－a＋4)＝1．若圆M 上存在点P，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A，B，使得∠APB＝60°，则a 的取值范围为．解：由题意得OP 2 ，所以P 在以O 为圆心2 为半径的圆上，即此圆与圆M 有公共点，因此有 2 1OM 2 11≤a (a 4)≤9 2 2≤ a ≤ 22．22（3）（2017 年苏北四市一模）已知A、B 是圆C : x y1上的动点，AB= 3 ，P 是圆C :(x 3）(y 4)1上的动点，则PA PB的取值范围是．[7,13]1略解：取AB 的中点M，则CM= 21，所以M 在以C圆心，半径为2的圆上，且PA PB2PM，转化为两圆上动点的距离的最值．（4）若对任意R，直线l：x cos＋y sin＝2sin(＋)＋4 与圆C：(x－m)＋(y－3 m)6＝1 均无公共点，则实数m 的取值范围是．( 1 , 5 )2 2略解：直线l 的方程为：(x-1)cos＋(y- 3 )sin＝4，M(1, 3 )到l 距离为4，所以l 是以M 为圆心半径为4 的定圆的切线系，转化为圆M 与圆C 内含．O2 ，注：直线 l ：(x -x )cos ＋(y - y )sin ＝R 为圆 M ： (x x ) (x y )R 的切线系．例 2（2017 年南通市一模）在平面直角坐标系 xOy 中，已知 B ，C 为圆 xy4 上两点，点 A (1，1) ，且AB ⊥AC ，则线段 BC 的长的取值范围为．解：法一（标解）：设 BC 的中点为 Mx , y ，因为 OB OM BM OM AM ，y所以 4 x yx1y1，BMC化简得x 1y1 3，A222x所以点 M 的轨迹是以 1 1 为圆心， 3 2 为半径的26圆，所以 AM 的取值范围是22 ，62，所 2 2例 2以 BC 的取值范围是 6 2 ， 62 ．法二：以 AB 、AC 为邻边作矩形 BACN ，则 BC ＝AN ，由矩形的几何性质（矩形所在平面上的任意一点到其对角线上的两个顶点的距离的平方和相等），有 OB OCOA ON ，所以 ON ＝ 6 ，故 N 在以 O 为圆心，半径为 6 的圆上，所以 BC 的取值范围是 6 2 ， 6 2 ．变式1 （2014 年常州高三期末卷）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O : x y16 ，点P (1, 2) ，M、N 为圆O 上两个不同的点，且PM PN 0 ，若PQ PM PN ，则PQ 的最小值为． 3 3 5 y变式2 已知圆C：x y 9 ，圆C：xy4 ，定点AP(1, 0) ，动点A, B 分别在圆C 和圆C上，满足APB90 ，则线段AB 的取值范围．[2 3 1, 2 3 1]BO P x变式3 已知向量a、b、c 满足a 3, b 2, c 1, (a c) (b c) 0 ，则a b 范围为．[2 3 1, 2 3 1]策略二动点P 对两定点A、B 张角是90（k k 1 ，或PA PB 0）确定隐形圆例3 （1）（2014 年北京卷）已知圆C：(x 3)(y 4)1和两点A (m, 0) ，B(m, 0) ，若圆上存在点P，使得APB 90 ，则m 的取值范围是．4, 6略解：由已知以AB 为直径的圆与圆C 有公共点．（2）（海安2016 届高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (−1，0) ，Q(2 ，1) ，直线l：ax by c 0 其中实数a，b，c 成等差数列，若点P 在直线l 上的射影为H，则线段QH 的取值范围是．[ 2,3 2]解：由题意，圆心C(1，－2)在直线ax＋by＋c＝0 上，可得a－2b＋c＝0，即c＝2b－a．直线l：(2a－b)x＋(2b－c)y＋(2c－a)＝0，即a(2x＋y－3)＋b(4－x)＝0，2x y 3 0,由4 x，可得x＝4，y＝－5，即直线过定点M(4，－5)，由题意，H 在以PM 为直径的圆上，圆心为A(5，2)，方程为(x－5)＋(y－2)＝50，∵|CA|＝4 2 ，∴CH 最小为5 2 －4 2 ＝ 2 ，CH 最大为4 2 ＋5 2 ＝92 ，∴线段CH 长度的取值范围是[ 2 ，9 2 ]．（3）（通州区2017 届高三下开学初检测）设m R ，直线l：x my 0 与直线l：mx y 2m 4 0 交于点P(x, y) ，则x y2x的取值范围是．[12 4 10,12 4 10 ]略解：l过定点O(0，0)，l过定点A(2，-4)，则P 在以OA 为直径的圆上（除去一点），变式（2017 年南京二模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l：kx－y＋2＝0 与直线l：x＋ky－2＝0 相交于点P，则当实数k 变化时，点P 到直线x－y－4＝0 的距离的最大值为． 3 2策略三两定点 A 、B ，动点 P 满足 PA PB 确定隐形圆例 4 （1）（2017 年南通密卷 3）已知点 A (2, 3) ，点 B (6,3)，点 P 在直线 3x4 y 30 上，若满足等式 AP BP 20 的点P 有两个，则实数的取值范围是．解：设P （x ，y ），则 AP (x 2, y 3) ， BP ( x 6, y 3) ，根据 AP BP 20 ，有x4 y 13 213 .由题意2心，圆： x 4y 13 213 圆与直线 3x4 y 30 相交，23440 3圆心到直线的距离 d 33 413 2，所以 2 .（2）（2016 年盐城三模）已知线段 AB 的长为 2，动点 C 满足 CA CB （为常数），且点 C 总不在以点 B 为圆 12为半径的圆内，则负数的最大值是 . 34略解：动点 C 满足方程 x y1 .策略四两定点 A 、B ，动点 P 满足PA PB 是定值确定隐形圆例 5 （1）在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 C ：(x －a )＋(y －a ＋2)＝1，点 A (0，2)，若圆 C 上存在点 M ，满足 MA ＋MO ＝10，则实数 a 的取值范围是．[0，3]略解：M 满足的方程为 x( y 1) 4 ，转化为两圆有公共点（2）（2017 年南京、盐城一模）在 ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a b 2c 8 ，则 ABC 面积的最大值为．2 55解：以 AB 的中点为原点，AB 所在直线为 x 轴，建系.设 A (c , 0) ， B ( c, 0) ， C (x , y ) ，则由 a b 2c8 ，22得 (x c)y ( x c) y 2c 8 ，即 xy4 5c ，22所以点 C 在此圆上，S ≤ crc45c14(4 5 c ) 5c ≤ 2 522 4 54 45策略五两定点A、B，动点P 满足PA( 0, 1) 确定隐形圆（阿波罗尼斯圆）PB例6（1）略解：点P 满足圆的方程为x y4，转化到直线与圆相交.（2）（2016 届常州一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O：x＋y＝1，O：(x－4)＋y＝4，动点P 在直线x 3 y b 0 上，过点P 作圆O，O的两条切线，y切点分别为 A ，B ，若满足 PB 2PA 的点 P 有且仅有两个，则 b 的取值范围．－20,4 3例 7（2017 年南通二模）一缉私艇巡航至距领海边界线 l （一条南北方向的直线）海里的 A处，发现在其北偏东 30°方向相距 4 海里的 B 处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．已知缉私艇的最大航速是走私船最大航速的 3 倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．（1）若走私船沿正东方向逃离，试确定缉私艇的追击方向，使得用最短时间在领海内拦截成功；（参考数据： sin17 ° 3， 33 ）6（2）问：无论走私船沿何方向逃跑，缉私艇是否总能在领海内成功拦截并说明理由．北l领海公海B30°A解：（1）略(例 7)（2）如图乙，以 A 为原点，正北方向所在的直线为 y 轴建立平面直角坐标系 xOy ．则 B 2 ，2 3 ，设缉私艇在 P (x ，y ) 处（缉私艇恰好截住走私船的位置）与走私船相遇，则 PA 3 ，即xy3 ．lPB( x2)y2 3领海公海整理得，99 39x 4y434，B所以点 P (x ，y ) 的轨迹是以点 9 ，9 3 为圆心，4 4602 为半径的圆．Ax图乙因为圆心 9 ，9 3到领海边界线 l ： x 的距离为，大于圆半径3 ，4 42所以缉私艇能在领海内截住走私船．策略六由圆周角的性质确定隐形圆例 8 （1）已知 a , b , c 分别为 ABC 的三个内角 A , B , C 的对边， a 2 ，(a +b )(sin A -sin B )=(c -b )sin C 则 ABC 面积的最大值为． 3略解：cos∠A ＝1，∠A＝60°，设ABC 的外接圆的圆心为O，外接圆的半径为2 3，则2 3O 到BC 的距离为 3 ，则边BC 上的高h 的最大值为 3 + 2 3 = 3 ，则面积的最大值3 3 3为 3 ．（2）（2017 年常州一模）在△ABC 中，∠C＝45，O 是△ABC 的外心，若OC mOA nOB (m，n∈R)，则m＋n 的取值范围是．[2,1)略解：∠AOB＝2∠C＝90°，点C 在以O 为圆心，半径OA 的圆上（在优弧AB 上）．三、同步练习1．已知直线l : x 2y m 0 上存在点M 满足与两点A(2, 0) , B(2, 0) 连线的斜率之积为 1 ，则实数m 的取值范围是．[ 2 5 , 2 5 ]2．(2016 年泰州一模)已知实数a，b，c 满足a b c，c0 ，则ba2c的取值范围为．[3,3] 3 33．已知,t R ，则(cos t 2) (sin t 2)的取值范围是．[2 2 1, 2 2 1]4．已知圆C :(x 3)(y 4)1和两点A(m, 0), B(m, 0) (m 0) ．若圆C 上存在点P，使得PA PB 1，则m 的取值范围是．[ 15, 35]7．（2016 年无锡一模）已知圆C : ( x 2)y 4 ，线段EF 在直线l : y x 1 上运动，点P为线段EF 上任意一点，若圆C 上存在两点A、B，使得PA PB ≤0 ，则线段EF 长度的最大值是．148．如图，已知点A(－1,0)与点B(1,0)，C 是圆x＋y＝1 上的动点(与点A,B 不重合)，连接BC 并延长至D，使得|CD|＝|BC |，则线段 PD 的取值范围． ( 2, 2)39．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A ( t ，0)(t 0) ， B (t ，0) ，点 C 满足 ACBC8 ，且点 C 到直线 l ： 3x4y 240 的最小距离为 9 ，则实数 t 的值是．1510．（2013 年江苏卷第 17 题改编）在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 O (0, 0) ， A (0, 3) 如果圆 C : ( x a )( y 2a 4)1 上总存在点 M 使得 MA 2MO ，则圆心 C的横坐标 a 的取值范围是．[0, 12 ]511．已知向量 a 、b 、c 满足 a2 ， ba b = 3 ，若 (c 2a )(2b 3c ) 0，则 b c 的最大值是．1 212．设点 A , B 是圆 x y 4 上的两点，点 C (1, 0) ，如果 ACB 90 ，则线段 AB 长度的取值范围为．[ 7 1, 7 1]13．在 ABC 中，BC ＝ 2，AC ＝1，以 AB 为边作等腰直角三角形 ABD (B 为直角顶点，C 、D 两点在直线 AB 的两侧)．当∠C 变化时，线段 CD 长的最大值为． 314．（2016 年南通三模）在平面直角坐标系 xOy 中，圆 C :x1 y2 ，圆 C :xmymm ，若圆 C上存在点 P 满足：过点 P 向圆作两条切线CPA 、PB ，切点为 A 、B ， ABP 的面积为 1，则正数 m 的取值范围是．解：设 P (x ，y ) ，设 PA ，PB 的夹角为2 ．△ABP 的面积 S =1PA sin 2PA2PA1．2PCPC由2 ，解得PA 2 ，2PA PCPAy 4 上．所以PC 2 ，所以点P 在圆(x1)所以m 2(m 1)(m)≤m 2 ，解得1≤m≤3 2 3 ．≤。

隐形圆的5种情况

隐形圆的5种情况
隐形圆的5种情况是对角互补，四点共圆；定弦定角，点在圆上；定点定长。

隐形圆的应用是中考中的常见题目，这类题目在条件中没有直接给出有关圆的信息，但我们通过分析和转化，最终都可以利用圆的知识求解。

这类题目构思巧妙，综合性强，它将复杂的多边形求角问题转化为圆内的求角问题，体现了转化和化归的数学思想，处理这类题目，关键在于能否把“隐形圆”找出来。

考情分析：
圆是初中数学几何中最重要的知识点之一，也是难点之一。

常考的知识点有：直线与圆的位置关系；圆与圆的位置关系（部分地区已经删除该知识点）；垂径定理；弦、弧、圆心角、圆周角的关系；弧长公式；扇形的面积公式等。

除了小题中常考的面积问题以及解答题中的证明问题外，常常会以压轴题的形式来考察圆的各种性质。

而“隐形圆”近年来也颇受出题者的青睐，可以解决最值问题等相关类型的题目。

“隐形圆”模型有两种最基本的模型图。

初三专题——隐圆

一、几个点到某个定点距离相等可用圆（定点为圆心，相等距离为半径）例1如图，若AB＝OA＝OB＝OC，则∠ACB的大小是_______练习如图，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，则∠CAD的度数为________二、动点到定点距离保持不变的可用圆（先确定定点，定点为圆心，动点到定点的距离为半径）例1木杆AB斜靠在墙壁上，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动．下列图中用虚线画出木杆中点P随之下落的路线，其中正确的是（）练习： 1如图，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，点E、F分别为AD、DC边上的点，且EF=2，点G为EF的中点，点P为BC上一动点，则PA+PG的最小值为________中，，当最大时，的长是( )2如图，在ABCA ．1B ．C ．13D ．53如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90∘，AC=2，以点C为圆心，1为半径作圆，点P为⊙C上一动点，连结AP，并绕点A顺时针旋转90∘得到AP′，连结CP′，则CP′的取值范围是____________.4如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，AC=4，BC=3，点D是平面内的一个动点，且AD=2，M为BD的中点，在D点运动过程中，线段CM长度的取值范围是_________.三、过定点做折叠的可用圆（定点为圆心，对应点到定点的距离为半径）例1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B重合），将△BCP沿CP 所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是．练习：1如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF 所在直线折叠得到△EB’F，连接B’D，则B’D的最小值是____________2如图，在Rt△ABC中，∠B=60∘，BC=3，D为BC边上的三等分点，BD=2CD，E为AB边上一动点，将△DBE 沿DE折叠到△DB′E的位置，连接AB′，则线段AB′的最小值为：__________.四、90o的圆周角所对的弦为直径（动态问题中一般会出现多个直角，往往会有一个直角所对斜边是固定不变的，选取该斜边中点为圆心，斜边中线为半径）例1等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为．练习：1如图，在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同的速度在边DC、CB上移动，连接AE和DF交于点P，由于点E、F的移动，使得点P也随之运动.若，线段CP的最小值是_____________2（2016·安徽）如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=6，BC=4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，则线段CP长的最小值为_______.3如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（0，2），⊙O的半径为1，点C为⊙O上一动点，过点B作BP⊥直线AC，垂足为点P，则P点纵坐标的最大值为（）A． B． C．2 D．4如图，矩形OABC 的边OA 、OC 分别在x 轴、y 轴上，点B 的坐标为（7，3），点E 在边AB 上，且AE=1，已知点P 为y 轴上一动点，连接EP ，过点O 作直线EP 的垂线段，垂足为点H ，在点P 从点F （0，254 ）运动到原点O 的过程中，点H 的运动路径长为______．5如图，半圆的半径BC 为2，O 是圆心，A 是半圆上的一个动点，连接AB ，M 是AB 的中点，连接CM 并延长交半圆于点D ，连接BD ，则BD 的最大值为__________6（2016黄冈模拟）如图，在△ABC 中，∠C =90∘，点D 是BC 边上一动点，过点B 作BE ⊥AD 交AD 的延长线于E. 若AC =6，BC =8，则DEAD的最大值为（） A.12 B. 13 C. 34D. 22四、对角互补的四边形可用圆；角度存在一半关系的可用圆例1平面内有四个点A 、O 、B 、C ，其中∠AOB=120°，∠ACB=60°，AO=BO=2，则满足题意的OC 长度为整数的值可以是__________练习1如图，AB 为直径，AB=4，C 、D 为圆上两个动点，N 为CD 中点，CM ⊥AB 于M ，当C 、D 在圆上运动时保持∠CMN=30°，则CD 的长（）A ．随C 、D 的运动位置而变化，且最大值为4B ．随C 、D 的运动位置而变化，且最小值为2 C ．随C 、D 的运动位置长度保持不变，等于2D ．随C 、D 的运动位置而变化，没有最值DOMCBADECBA五、一边固定及其所对角不变可用圆（定弦定角角）（圆心在弦的垂直平分线上且和弦的两端点形成的圆心角等于圆周角的两倍）例1已知在ABC ∆中，=2AC ，=45o ABC ∠，则ABC ∆的最大面积为_____________例2如图，边长为3的等边ABC ∆，D E 、为AB BC 、上的点，且CE BD =，AD 与BE 交于点P ，连接CP ，则CP 的最小值为__________:练习1如图,的半径为1,弦,点P 为优弧AB 上一动点,交直线PB 于点C,则的最大面积是___________2如图，半径为，圆心角为的扇形OAB 的上有一运动的点P 从点P 向半径OA 引垂线PH 交OA 于点H ，设的内心为I ，当点P 在上从点A 运动到点B 时，内心I 所经过的路径长为。