一类具功能性反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析

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一类具功能反应的食饵-捕食系统的定性研究

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅｂｅｈａｖｉｏｕｒｆｏｒｐｒｅｄａｔｏｒ — ｐｒｅｙｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｆｕｎｃｔｉｏｎａｌｒｅｓｐｏｎｓｅｗａｓｓｔｕｄｉｅｄ．Ｉｔｗａｓｏｂｔａｉｎｅｄ
关键词：捕食一食饵系统；功能反应；极限环
中图分类号：０１７５．１４；０１７５．１３文献标志码：Ａ
ＱｕａｌｉｔａｔｉｖｅＡｎａｌｙｓｉｓｆｏｒＰｒｅｄａｔｏｒ－ＰｒｅｙＳｙｓｔｅｍｗｉｔｈ
Ａｐｒ．２０１３
文章编号：１００９－４８２２（２０１３）０２－０１２５－０５
ＤＯＩ：１０．１１７１３／ｊ．ｉｓｓｎ．１００９４８－２２．２０１３．０２．００１
１引
言
Ｊ－＝ｘｇ（ｘ）一ｙ（），
【＝Ｙ（一ｄ＋ｅ￣ｏ（ｘ））
对具有功能反应的食饵一捕食系统 ¨ ］
（其中ｄ，ｅ＞０）的定性研究，已经获得许多结果．
根据生态学意义，我们有 ≥０，Ｙ≥０．记Ｇ＝｛（，Ｙ）Ｉ ≥０，Ｙ≥０｝．
＿
＿＿
１三
● ＿＿＿＿＿
＿＿
＿

功能反应函数为kx θ的食饵-捕食系统的定性分析

摘要：研究了具功能反应的一类食饵一捕食系统：圣＝Ｘ（ａ—ｂ一ｚ）ｘＹ＝ｘ（）一ｋ，
Ｙ一＋ｄｘ）０＜０≤ １并得到了系统在正平衡点外围的极限环的不存在性与存在唯一性的相（ｅｋ（）
关条件．
关键词：功能性反应；食饵一一捕食系统；极限环
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◎ 生数学２（一Ｂｔｔ物学报７：６ｉａ０３４ｏｅｓ０）４Ｊｌ，４ｏ２４ｍａ２ｌｕｏａｉｒｆｎｃｈｍ
功能反应函数为的食饵一捕食系统的定性分析
杨柳
（黔西南民族师范高等专科学校，贵州兴义５２０）６４０
中图分类号：Ｏ１５１７．５
ＭＲ分类号：３Ｃ０；３Ｃ２４５４３
文献标识码：Ａ
文章编号：１０ —６６２０）３０４ — ６０１９２（０７０ — ４１０
０引言及预备引理
对于具功能反应的两种群模型：圣＝ｘ（）（）１＝Ｙ一＋ｄ）９Ｘ一，７（ｅ（），已有大量文献对其进行了研究【２．中文【ｉｉ９（）１，其Ｉ引３￣￣Ｔ＝０一ｂＸ】ｘ—Ｃ一ｈ，（）ｘ（（）＝ｋ。０＜０１的）
ｌ＝Ｙ一＋。三（）（ｅ）Ｑ，
令Ｑ（）ｈ（）４ｂ一ａ，因Ｑ（）一ａ＜０且Ｑ（）＝ｈ（）ｍｘ＞０＞０＝Ｘ－ｘ－０＝＋ｂ一（），故
Ｑ（。调增存唯的点．（Ｖ珈－一一。（＞单递且在一正再。吕＝０６九）））零令＝），（（，ｎ）

一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析

一类具Holling-Ⅱ型捕食者-食饵模型的稳定性与分叉分析生态系统中,由捕食者与食饵构成的种群之间相互作用的系统近年来受到生物学家和数学家的广泛关注.生物学家和数学家主要分析了具有功能反应函数的捕食者-食饵模型的稳定性与分叉,并利用数值模拟生动形象地丰富了种群动力学的研究内容.由于生物种群所生活的自然环境具有复杂性和多样性,分析研究生态系统时,具时滞与脉冲的微分方程比常微分方程所描述的动力系统的动力学行为更丰富,也更切实实际.本文主要研究一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型和在此系统中分别加入单时滞和固定时刻脉冲的捕食者-食饵模型.对一类具Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,本文首先介绍了具功能反应函数的捕食者-食饵模型的提出及研究现状,给出本章所用的基本理论和方法,讨论了具Holling-II型的捕食者-食饵系统平衡点的存在性与稳定性,正初始解的有界性.并通过构造合适的Dulac函数和张芷芬唯一性定理,研究了系统极限环的存在唯一性和稳定性的条件.其次对带有时滞的Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,捕食者和食饵中分别加入时滞,利用时滞微分方程理论,得到系统平衡点的稳定性和Hopf分叉的充分条件.最后对带有脉冲和Holling-II型功能反应函数的捕食者-食饵模型,通过脉冲微分方程比较定理、Floquent定理等,得出了系统解的全局稳定性的充分条件.。

具Holling功能反应的食饵—捕食者两种群模型的极限环的唯一性

Ｋｅｒｓ：ｑｌｂｉｍ；ｌｔｃｃｅ；ｇｏｌｓａｉｔｙｗｏｄｅｕｉｒｕｉｉｙｌｍｉｌｂａｔｂｌｙ；ｄｌｃｆｎｔｏｉｕａｕｃｉｎ
０引言
关于Ｈｌｎ功能反应¨ 的食饵一捕食系统讨论有很多，是大部分密度制约项仅限于线性形ｏｉｌｇ但式，然而密度制约项为非线性形式的非常少见。文献［ — ］５６对于仅食饵种群具有形如ａ一一ｘ一ｂｈｘ的非线形密度制约模型进行了讨论（（）这里ｈｘ为符合ｈ０＝，（ ≥０／，，，０的非线（）（）０ｈ ’ ），＝１２３＞１，性函数）给出了该系统完整的分析，，本文将对于食饵种群的密度制约项为非线性的如下系统进行讨论
岳宗敏等：Ｈｏｉｇ功能反应的食饵一捕食者两种群模型的极限环的唯一性具ｌｎｌ
１７４
１１－
０｝。
］
＝
（）２
这里埘＝ａ一，ｋ由生态意义仅限在＝｛，） ≥０）Ｉ内研究，（）Ｉ，， ≥０｝，并记Ｒ
｛，）ｘ＞０Ｙ＞（ＹＩ，
摘
要：研究了一类具有Ｈｌｇｏｉ功能反应的食饵一捕食者两种群模型的定性问题，中模型中的ｌｎ其
食饵具有非线性的密度制约．通过分析平衡点以及构造Ｄｌ函数给出了系统不存在极限环的条ｕｃａ件，最后运用张芷芬唯一性定理的证明了该系统极限环的存在唯一性。
３０，＝詈由（）得（）一２ｘ，）０一ｔ）＞时 √ ，尸，＝出一１（ —ｔ，，一２当令０＝＋口ｔ）ｔ即ｔｂ若＞

一类两种群食饵-捕食者模型的定性分析

＝
，
ｆ（）铲詈
÷ ，为任意正实数，到一类新的具功能性反ｍ得
Ｊ
应的两种群食饵一捕食者模型：＝（＆１～ｂ）ｘ
２
一
ｌ（｝（ ’ Ｙ詈＿詈２）６）：
得到系统（２）的三个奇点：０，，。０），Ｏ（０）Ａ（，
＞ｏ，＞ｏｙ
＝｛，）Ｉ（ｙ
推论１当（ｍ＋１３）～ｅ＜ｂｄ＜ｅＥ时，系
统（的正平衡点Ｂ（，）全局稳定的，时２）：是此
系统在内不存在极限环．
证明３ｚ
当ｂｄ＝ｅｍ，衡点Ａ与曰重合，时系Ｅ３时平此
统（）有两个平衡点：，２只ＤＡ．当ｂｄ＜ｅ时，Ｅ平
衡点Ｂ∈
，统（有三个平衡点：Ａ，而系２）Ｏ，Ｂ．，时，考虑系统此只
＜ｅ时，统的正平衡点Ｂ（，）稳定的．系：是直接取函数（）：１有：，，＋＝打
１
二
【（））＆１一＝一Ｑ，＿（一ｄ＋ｙ
ｙ
令Ｐ（Ｙ）＝０，，，Ｑ（Ｙ）＝０，解得：可
＜１，研究了上述模型当ａ＝）并ｃ＝１ｍ＝０＝÷ 时，
的有关性态．
本文讨论的是另一种情形．取ａ＝ｃ＝１，０
当ｂｄ＞ｅＥ时，衡点Ｂ隹平（的两个平衡点：Ａ２）Ｄ，．

一类具HollingII型功能反应的食饵-捕食者模型的定性分析

ｄｅｎｓｉｔｙｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ），ａｎｄｃｏｎｄｕｃｔｓａｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅａｎａｌｙｓｉｓｏｆｔｈｅｓｙｓｔｅｍｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｔｈａｔｔｈｅｓｙｓｔｅｍｈａｓｏｎｌｙａ
ｈｔｔｐ：／／ｘｂ．ｙｎｎｉ．ｅｄｕ．ｅｎ
一
类具ＨｏｌｌｉｎｇＩＩ型功能反应的
食饵一捕食者模型的定性分析
范学良，雒志学，张宇功
（兰州交通大学数理学院，甘肃兰州７３００７０）
摘要：研究了一类具ＨｏｌｌｉｎｇｌＩ型功能反应的食饵一捕食系统（食饵具有密度制约），对系统进行了定性分析，给出了该系统稳定性的相关证明及系统至多只有１个极限环的充分条件．关键词：食饵捕食系统；Ｄｕｌａｃ函数；稳定性；极限环
ｒ】，
２ｆｄｔ＝（口一ｂｘ）一（＋（））ｙ；
【ｕｄｙ＝ｙ（一ｒ＋（））．
（１）
讨论了系统的极限环以及平衡点的全局稳定性，，Ｙ分别代表食饵种群、捕食种群，且食饵种群具有密度制
云南民族大学学报：自然科学版，２０１４，２３（３）：１９０— １９４

两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析

南京航空航天大学硕士学位论文两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析姓名：***申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：***20070301南京航空航天大学硕士学位论文摘要近年来，捕食关系成为数学与生态学界研究的一个重要课题。

食饵—捕食者相互作用的研究具有非常重要的理论意义和应用价值，其中生物种群持续生存是捕食理论中的一个重要而又广泛的问题，它受到越来越多的学者的关注。

本文在已有的Lotka-Volterra模型的基础上，对两类具有Holling型功能反应函数的食饵—捕食者模型进行了讨论。

本文首先讨论了一类两种群具有密度制约的Holling III类功能反应模型。

利用定性分析的方法，讨论了模型在收获率条件下平衡点的稳定性，解的有界性，极限环的存在性问题。

然后本文讨论了一类具有两捕食者和一食饵三种群并有Holling型功能反应的周期系数的三维模型，利用Brouwer不动点定理，得到系统存在唯一、全局渐近稳定周期解的充分条件。

最后本文进一步考虑概周期情形，讨论了对应的概周期系统的一致持续生存性，得到了存在唯一、全局渐近稳定正概周期解的充分条件。

这些结果推广了已知的一些结论。

关键词：食饵—捕食者系统，Holling III功能反应，正周期解，正概周期解，全局渐近稳定性I两类具有Holling功能反应的食饵—捕食者模型的定性分析IIAbstractIn recent years, the predator-prey relation has become a very important part inmathematics and ecology. The predator-prey theory has a great importance in both theory and applications. One of the most important questions in population ecology is to find the permanence conditions for the species, which has received a great deal of attention of many mathematicians and biologists. Based on the Lotka-V olterra population models, this thesis studies two classes of predator-prey systems with Holling functional responses. Firstly, this thesis studies the predator-prey system with Holling’s type III functional response under density restriction and linear harvesting rate. Using qualitative analysis methods, the paper studies the boundedness of solutions and the existence of limit cycles. Secondly, two-predator and one-prey systems of three species with Holling’s type III functional response and periodic coefficients are studied. With the help of differential inequality and Liapunov functions, some sufficient conditions are obtained for the existence and global stability of positive periodic solutions and positive almost periodic solutions. These results generalize some existing results.KEY WORDS: prey-predator system, Holling’s type III functional response, positive periodic solution, positive almost periodic solution, global asymptotic stability承诺书本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作所取得的成果。

一类具Holling Ⅰ型功能反应的食饵——捕食者模型的极限环及平衡点

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O
一~ 一一一 A 从线的上 ~ < 为垂直等倾在曲线 N M 一方有曰哭 d才、 ~ ~ 万叭~ ”协四 ~ 一
且系统
心I ) 的平衡点 O (
o
,
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定理 1
;
a b 若汽\ 尹一
K 乙
,
或者兵<
托
〔
孕
口
e 、尸子一夕X K 乙
。
,
则系统 ( I ) 仅有一个非平衡点A
。
(于
它在区域 D 二王 ( x 证
:
,
功 !x >
,
o
,
y>
o
} 内是全局渐近稳定的
由其方向场易知
。
,
平衡点 A在区域
D
内全局渐近稳定综上所述

一类Leslie-Gower捕食-食饵模型的定性分析

一类Leslie-Gower捕食-食饵模型的定性分析张瑜;聂华【摘要】The Leslie-Gower predator-prey model with the Holling-II response function is studied. A priori estimate of the steady-state system is given. The local asymptotic stability and global asymptotic stability of positive constant solu-tions are established. By bifurcation theory, the existence of local bifurcation solution bifurcating from constant positive branch is obtained, which can be extended to a global bifurcation.%研究一类具有Holling-II型反应函数的Leslie-Gower捕食-食饵模型。

给出了平衡态方程解的先验估计，讨论了正常数解的局部渐近稳定性和全局渐近稳定性，利用分歧理论，得到了局部分歧解的存在性，最后将局部分歧延拓为全局分歧。

【期刊名称】《计算机工程与应用》【年(卷),期】2016(000)002【总页数】5页(P36-39,44)【关键词】捕食-食饵模型;分歧解;渐近稳定性【作者】张瑜;聂华【作者单位】陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710119;陕西师范大学数学与信息科学学院，西安 710119【正文语种】中文【中图分类】O175.2ZHANG Yu,NIE Hua.Computer Engineering and Applications,2016,52（2）：36-39.本文研究一类具有Holling-II反应项的Leslie-Gower捕食-食饵问题：其中Δ为Lapalce算子，Ω为Rn中具有光滑边界的有界开区域，u，v分别为食饵和捕食者的数量，a，b，e，c1，c2，m，r都是正常数，d1和d2分别是食饵和捕食者的扩散系数，b，a分别是食饵和捕食者的固有增长率，e刻画了食饵种群的自身抑制程度，c1，c2分别为食饵和捕食者的平均损耗率，m，r代表了食饵和捕食者的环境承载能力。

一类具有非饱和功能反应的食饵-捕食者系统的定性分析

（）３的解在２内均为最终有界的．＋据此，根据动
力系统流形理论ｕ可知系统（）有界正半轨 ¨，３的线不会进入不稳定点Ｏ（，）ｆ＋。时都将００当叶。进入稳定的焦（）Ｃ（０．结点ｘ，）
当Ａｒ＋Ａｒ＜Ａ＜３２２３４ｌＡｒＡｒ，＋５３４时ｑ＞ＯＰ＞０，
于是，据ＢｎｉｓｎＤｌｃ判据得到下面的根ｅｄｘｏ — ｕａ定理．定理２如果。２Ａ＜ｒ＋３３，＞ｒ且ｌ２Ａｒ则
可适地取够的－，警㈨０以当选足大｜０得ｆ．ｉ使＜｝＞
第５期
李玉辉：具有非饱和功能反应的食饵一一类捕食者系统的定性分析
（）ｏｏ０点处，Ｉ在（，）易知系统（）３的线性系
统系数矩阵．的特征方程为，。
Ａ＋ｐＡ＋ｑ＝０，＝一ｔｏ＝一Ａｌ＋Ａ０，＝Ｐｒｑ
【＝（ｄｅｄｙ一＋ｙｔｃ
收稿日期：０ｌＩ２１２３作者简介：李玉辉（９４）男，１５一，辽宁盘锦人，北方工业学校讲师，主要从事微分方程应用方面的研究
１系统（）知，３在２＋内的正平衡点ｆ（。Ｙ）ｔｘ，不存ｏ
在，Ｃｘ，）是系统（）而（０点３的稳定焦（），结点０
（，）００点是系统（）３的鞍点；由引理２知，再系统
—
５３）ｇｄｔ＝４Ｙ．Ａｒ，＝ｅ４厶 ÷０ｏｏ

食饵-捕食者两种群同时捕获模型的定性分析

（，）直线＝００；０与直线２：一ｂｙ＋＝口２０的交点Ｐ（，）直线Ｙ＝０与直线２：一ｂ — ０；口ｌａ０交点Ｑ（，）两直线２与２在第１限ｙ＝的０；象
ｆ一（警１＿
－（ｑ１１）
【ｓ１詈＋，ｇ警＝，一），ｚ，（一
其中（）ｙｔ分别表示食饵和捕食者在ｔ刻ｔ，（）时
内交｛，｛的点警。
注意到２与２的斜率为负值和正值，等倾两
线在第１限可能的相对位置有以下几种情况。象根据生态背景，有当奇点位于平面坐标系只
由于：，０故是系统（）２的垂直等倾线，它把
（）２当时，是系统（）２的鞍点；当时，点为稳定的
相第象分了部。过断在结；）詈，０）系（的平的１限成两分通判，点（当＞时（是统２鞍３Ｐ，）ｚ上警０下面０方＜方ｘ。的，ｄ＞点；当＜时，Ｐ点为稳定的结点。
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・
８・
盐城工学院学报（自然科学版）
第２０卷
，，
０
００
‘
乞
容易检验这时存在正平衡点Ｍ，在直线ｌ上
Ｏ
稳定结点（。０ａ＞０和鞍点（。０，：＜）ａ＞，：）ａ＞ａ０；
平衡点的存在性、定性及此系统极限环的不存在性。另为，稳对正平衡点的局部稳定性和全局稳定性进行了详细分析，并证明了系统在正平衡点处是全局稳定的。从生态学的角度对所得的结果作出了解释，为生物资源的实际开发与管理提供了必要的理论依据。从生态意义上得到了

一类具有饱和功能性反应的食饵-捕食者系统的定性分析

作变换ｘ：，，ｔ１＋：ｄ，换后ｘ｝：）ｄ：（）ｒ变，、
ｆ＝［１（ｈ一］警 ÷ （）一一ｍ＋口ｘｙ）
ｆ：ｚ。戈Ａ－【Ａ（一）业，ｄｔ
（）４
打不妨仍用戈ｄ记之，、ｔ并设Ａ：ｍ— ｎ则。ｅｄ，系统（）２化为：
分条件。关键词：功能性反应；平衡点；极限环中图分类号：７０１５文献标识码：Ａ
１６９５年，ｏｉｇ在实验的基础上，著名的Ｈｌｎｌ对Ｌｔｅｏｔｒ型加以改进，不同类型的物ｏｋ —Ｖｌｒｅａ模对种提出了三种不同的功能性反应函数。它们都是
Ｊｎ２０ｕＩＯｒ７
Ｖ０．４Ｎｏ３１２．
文章编号：０７—１８（０７０１０３５２０）２—０８０６—０３
一
类具有饱和功能性反应的食饵一捕食者系统的定性分析
王辉张雪峰闻良辰
１００）１０６（．１沈阳航空工业学院，宁沈阳辽１０３２东北大学，１０４；．辽宁沈阳
单调有界的函数，从而在不考虑捕食者密度制约的情况下，具有Ｈｌｎ功能性反应的食饵一捕食ｏｉｌｇ
者系统的一般形式为：
ｆ＝［１（）ｍ警了（）一一一］１＋口ｙＩ－。ｄ￣ｙ）ｔｃ２一
Ｉ＝一圳ｄｙｄ（。［＋ｙ
食饵种群的增长率，为捕食者种群的捕食率（）也称功能性反应函数。文［］一４考虑食饵种群的相对增长率为１［］

一类具有功能性反应函数√x的食饵捕食系统的定性分析的开题报告

一类具有功能性反应函数√x的食饵捕食系统的定性分析的开题报告题目：一类具有功能性反应函数√x的食饵捕食系统的定性分析研究背景：食饵捕食系统是生态学和动态系统理论中一个经典的研究课题。

在现实中，食饵捕食系统普遍存在，并在许多生态系统中起着重要的作用。

因此，对食饵捕食系统的定性分析具有重要的理论和实践意义。

研究内容：本文将研究一类具有功能性反应函数√x的食饵捕食系统的定性分析。

具体来说，我们将探讨以下几个问题：1. 该系统在不同参数条件下的平衡点和稳定性分析；2. 系统在不同初值条件下的时间演化模拟及相关规律分析；3. 对比功能性反应函数√x 和传统的线性反应函数的差异性及其在实际应用中的推广和应用。

研究方法：本文将采用动力学理论和数值模拟相结合的方法，建立该食饵捕食系统的动力学模型，并通过数值模拟来研究该系统的动态行为，并进行定性分析。

具体来说，我们将采用如下方法：1. 建立该系统的数学模型，包括描述食饵种群和捕食者种群数量变化的方程、初始条件和参数设置；2. 利用分岔图分析系统的平衡点，求解系统的稳定性条件；3. 通过数值模拟研究该系统在不同初值条件下的时间演化行为；4. 基于不同的参数设置和初始条件，分析系统的动态行为，探讨系统的稳定性和非线性特性；5. 对比不同的反应函数形式，并讨论其在应用中的优缺点。

研究意义：本文研究的食饵捕食系统具有重要的科学意义和实际应用价值。

首先，通过建立模型和模拟分析，有助于深入理解食饵捕食系统的动态行为和非线性特性。

其次，研究不同反应函数形式之间的差异性，可以为实际应用提供理论依据和指导，有助于优化和改进生态系统管理的策略。

最后，本研究所采用的动力学理论和数值模拟方法可以为相关领域的研究提供参考和借鉴。

参考文献：1. May R.M. Simple mathematical models with very complicated dynamics[J]. Nature, 1976, 261(5560): 459-467.2. R. M. May. The theoretical background for food chains, [J] In:Ecology of Biological Invasions edited by G. E. G. Aluen , J. M. Sharples, R. G. Lawrance, Academic Press Inc.1971，pp.158-1753. L. Edelstein-Keshet. Mathematical models in biology [M]. Philadelphia: SIAM, 2005.4. G. Isard, A. V. Roberts. Some applications of dynamical systems theory to ecology [J]. math. biosci., 1982, 59:35-57.5.李菊生，张文显. 食饵捕食系统的定性分析与数值模拟[J].生态学报，2009，29（3）:1144-1150.。

一类具功能反应且两种群均有密度制约的捕食系统的定性分析

用，，，Ｙ￡记，，得Ｙ￡
，＝
，＝并仍
证条＜验不式１。明由件１证等丧＜＜立可。成
易知，当０＜ ≤ ；时系统（）有正平衡点Ｍ。２
ｆ＝— 七ｔ一Ｙ‘ ｃＰ
【＝一岛，一ｙ＋ｋ，。，２４（），
于平衡点的增多，显著增加了系统定性分析的难度。
文［］２对具有ＨＵｎ类功能反应且食饵与捕食者种群ｏｉｇＩＩ都有密度制约项的捕食系统进行了分析，文讨论具有本
ＨＵｎ类功能反应且食饵、ｏｉｇＩ捕食者种群均有密度制约项的捕
其㈤
ｄ，
，
（２）
：ｂ
，
当＞；时由联立方程Ｐ，）＝０Ｑ（，）＝０２ｘｙ，，，知如果
存在平衡点，其横坐标应满足方程，）＝０纵坐标是ｙ。（， ’ 因
：
Ｌ＞ｆｔｋｆ，
，ｌ：ｋ
ｂ
。
为，；（）＝；１＋Ｊｋ）；一ｏ（｝（Ｘ）＞０所以只要，），（有零点必小于；从而＞；，时系统无正平衡点。引理３当 ≤ ；＜１，时若参数；还满足下述条件，则
量；常数口ｂｄ，，，，ｅｋ均是正数，其生态意义参见文［］１；一ｂｘ，
一
ｋ（３＋
），
分别表示食饵与捕食者的密度制约项；函数（）＝
，）＝一＋ｌ，设与是，）＝０（ｋｋ；， ’，。（＋ｋ￣ｘｙ（）ｐ

一类具有功能反应的食饵-捕食模型的定性分析

统的研究，以Ｈｌｎ所ｏｉｇ类的发展又涉及到生物、ｌ
近年来，对具有功能反应的食饵一捕食者系统的定性研究，已取得许多结论］本文中主要考虑，如下一类比较具体的生态系统：
・
收稿日期：０９一ｌ — ３２０１２
应用的一个重要部分。目前，Ｈｏｉｇ功能反对ｌｎ类ｌ
化学控制，以实现外部因素对生物系统的影响，随
着对生物系统研究的进一步深入，可以建立一还
应的食饵一捕食者系统研究较多，文献［］１中研究
了Ｈｌｎ类食饵一捕食者模型，ｏｉｇＩｌ文献［］２中研究
（ｅａｍｎｏＭａｅａｃ，ｈｎｄｎｖｒｔｏＩｆｒａｏｅｈｏｇ，Ｃｅｇｕ６０２，ｈｎ）ＤｐｒｅｔｆｔｍｔｓＣｅｇｕＵｉｓｙｆｎｏｍｔｎＴｃｎｌｙｈｎｄ１２５Ｃｉａｔｈｉｅｉｉｏ
了Ｈｌｎｌ类食饵一捕食者模型，ｏｉｇＩｌ文献［］３中对
些Ｈｌｎ的其他类型的功能反应系统：ｏｌｇ类ｉ
』ｇｙ一 ‘ 咖
【）ｄｅ警＝（＋（），）一
（１）
ＨｌｎＩ类模型进行了分析，关ＨｏｉＩｏｉｇＩｌ１有ｌｎＶ系统ｌｇ的研究也已有报道，生物系统的发展很快，ｊ但单纯以上几类Ｈｌｎｏｉｇ模型已不容易实现对生物系ｌ

具功能性反应的食饵与捕食者系统的定性分析

食者系统，给定参数满足一定的条件下，明了该系统极限环的存在性和唯一性，在证以及该系
统的正平衡点全局渐近稳定。
关键词：食饵与捕食者系统；极限环；全局渐近稳定
中图分类号：７．３Ｏ１５１文献标识码：Ａ文章编号：０６２３（０７０ — ３９０１０ —９９２０）４０６ —５
ＬＩＨｕｉ，ＷＡＮＧ —ｅＹｉｆｉ
（ｌｇｆＭａｈｍａｉｓＣｏｌｅｏｔｅｔ，ＢｅｈｕｅｃｉａＵｎｉｅｓｔ，Ｊｌｎ１２３，Ｃｈｉａｖｒｉｙｉｉ３０１ｎ）
Ａｂｔａｔｓｒｃ：Ｗｉｈｔｅｍａｈｍａｉｓｅｏｏｙａｄｔｅｄｆｅｅｔａｑａｉｎｑａｉｙｔｅｒｔｈｔｅｔｃｌｇｎｈｉｒｎｉｌｕｔｏｕｌｈｏｙ，ａｓｓｅｂｔｅｃｆｅｔｙｔｍｅｗｅｎｔｅｐｅａｏｎｒｙｐｓｅｓｎｕｃｉｎｌｅｐｎｅｉｓａｌｈｄＵｎｅｈｉｅａａｅｅｓｏｈｈｒｄｔｒａｄｐｅｏｓｓｉｇｆｎｔｏａｓｏｓｓｅｔｂｉｅ．ｒｓｄｒｔｅｇｖｎｐｒｍｔｒ，ｂｔｔｅｅｉｔｎｅａｄｕｉｕｎｓｆｔｅｓｓｅ ’ ｉｔｃｃｅｒｒｖｄＴｈｏｉｖｑｉｂｉｍｏｎｓｈｘｓｅｃｎｎｑｅｅｓｏｈｙｔｍＳｌｍｉｙｌｓａｅｐｏｅ．ｅｐｓｔｅｅｕｌｒｕｐｉｔｉｉ

一类捕食-食饵2种群系统的定性分析及最优捕获

】
（）１
进行了研究，了系统平衡点的性态、限环的存在性讨论极
以及系统的全局稳定性．现将系统（）入捕获项，且假１加并设单位时间内捕捞量与２个种群规模成正比，设捕捞强度
・
收稿日期：０７１９２ａ一Ｏ —０
基金项目：国家自然科学基金资助项目（０７００）兰州交通大学“ ６４３３４；青蓝 ” 人才工程基金资助项目（Ｌ一５８）Ｑ０ —１Ａ作者简介：林琳（９３，，１８一）女山西运城人，硕士研究生，主要从事生物数学研究．
（ｅａｍｎｏＭｔｍｔｓｎｏｗｒＥｌｎｅｌ，ｎｌＪｏｎｎｅｉ，ａｄ７０７，ＣｉａＤｐｒｅｔｆａｅａｃｄＳｆａｆｅＩｌＩｚｉｔｇＵｉｒｔＩｎ瑚３００ｈ）ｔｈｉａｔｅｉｇａ￣ａｏｖｓｙｎ
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一类具功能反应捕食系统的定性分析

一类具功能反应捕食系统的定性分析房玉志;魏凤英【摘要】With the help of Poincare-Bendixson theorem, the existence for the limit cycles about a kind of predator-prey systems with functional response x = xg(x) - yφ (x) , y = y( - d + eφ(x) ) was discussed, obtaining the sufficient conditions for nonexistence, existence and uniqueness of the limit cycles around an equilibrium point in the case of g(x) =a - bxm , φ(x) =cxθ, m = θ = k/n, n>2, l≤k <n, k,n∈Z+ .%利用Poincare-Bendixson环域定理等方法,研究一类具有功能性反应捕食系统x=xg(x)-yφ(x),y=y(-d+eφ(x))极限环的存在性.在g(x)=a-bxm,φ(x)=cxθ,m=θ=k/n,n＞2,1≤k＜n为正整数的情形下,得到了该系统的平衡点性态及系统在平衡点附近极限环的不存在性、存在性与唯一性的充分条件.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2012(050)005【总页数】4页(P961-964)【关键词】捕食系统;平衡点;极限环;稳定性【作者】房玉志;魏凤英【作者单位】福州大学数学与计算机科学学院,福州350108;福州大学数学与计算机科学学院,福州350108【正文语种】中文【中图分类】O175.14考虑具有功能反应的捕食系统:φ(-d+eφ(x)),(1)其中: d>0; e>0; g(x)为食饵种群的增长率; φ(x)为捕食者的功能反应函数. 文献[1]研究了g(x)=a-bxm(a>0, b>0, 0<m<1), φ(x)=cxθ(c>0, 0<θ<1)当m=θ=1/2, a=c=1时系统(1)的结果; 文献[2]研究了当m+θ=1, m=1/n, n>2为正整数时系统(1)的结果; 文献[3]讨论了当1/2≤m=θ<1, 且使函数φ(x)=x1/m为偶函数时系统(1)的结果; 文献[4]研究了当m=θ=1/n, n>2为正整数时系统(1)的结果. 系统(1)的其他结果参见文献[5-7]. 本文研究当m=θ=k/n, n>2, 1≤k<n, n,k为正整数时系统(1)的结果. 对系统(2)采取变换变换后仍用x,y,t表示, 则系统(2)可化为等价系统：(3)考虑系统:(4)其中: 仍记为由其实际生态意义, 本文在内讨论系统(4), 并记1 系统的平衡点及其性态系统(4)有3个平衡点: O(0,0), 当A1>b时, 此时系统(4)只有1个正平衡点. 系统(4)的一次近似系统矩阵为定理1 1) O(0,0)是系统(4)的鞍点;2) 当A1>b时, E1(b-1/k,0)是系统(4)的鞍点；当A1<b时, E1(b-1/k,0)是系统(4)的稳定焦(结)点;3) 当时,是系统(4)在内稳定的奇点; 当时,是系统(4)在内不稳定的奇点.证明： 1) 由于系统(4)在O(0,0)处对应的线性系统矩阵为所以O(0,0)是系统(4)的高阶奇点, 且其两个特征根为0. 做变换变换后仍用x,y表示, 可得系统(4)在点O(0,0)的等价系统为(5)由y+P2(x,y)=0解得y=bxn-xn-k, 做变换T: ξ=x, η=y+P2(x,y), 在原点O(0,0)充分小的邻域内, 存在逆变换T-1: x=ξ, y=η-ξn-k+bξn, 变换T将系统(5)化为根据文献[8]中定理7.2知, O(0,0)是系统(4)的鞍点.2) 系统(4)在E1(b-1/k,0)处对应的线性系统矩阵当A1>b时, E1(b-1/k,0)为系统(4)的鞍点; 当A1<b时, det JE1=kA0b-(2n-k-2)/k(b-A1)>0, tr JE1=b-(n-1)/k(A0A1-A0b-bk)<0, 于是, E1(b-1/k,0)为系统(4)稳定的焦(结)点.3) 系统(4)在处对应的线性系统矩阵为余下与2)同理可证.2 系统的极限环定理2 当时, 系统(4)在内无极限环, 系统(4)的正平衡点E2是全局稳定的.证明：取Dulac函数[9]B(x,y)=xαyβ, 其中:当时, 有α>0,于是, 由Bendixson-Dulac判别法可得: 当时, 系统(4)在内无极限环, 由定理1中3)知, 系统(4)的正平衡点E2是稳定的, 故是全局稳定的.又由于x=0,y=0是积分曲线, x=b-1/k是无切线段, 所以, 系统(4)在内若有极限环, 则一定位于直线x=b-1/k的一侧; 又由于极限环内必有奇点, 所以内极限环只能位于区域D={(x,y)0<x<b-1/k}内, 且包含奇点.定理3 当时, 系统在区域D内存在唯一包围奇点E2的极限环, 且该极限环是稳定的.证明：存在性. 由定理1中3)知, 奇点E2是不稳定的焦点或结点, 可作为环域内境界线. 下面构造环域外境界线. 首先, 过E1(b-1/k,0)做直线可见, 系统(4)的轨线经过l1时是自右向左的；取m足够大, 使E2在其内部, 在l1上取点R1(b-1/k,m/2), 在直线上取点过点R1,R2作直线:前两项当时有界, 第三项为负, 第四项只要m足够大, 可使得<0. 于是, 系统(4)的轨线与l2相遇时, 轨线自外向内穿入, 过点R2做直线l3: y=m, 交y轴于R3(0,m),从而, 系统(4)的轨线与l2相遇时均自外向内穿入; 而R3O和OE1: y=0是积分轨线, 于是闭合曲线OE1R1R2R3O构成环域外境界线, 且其上除鞍点外无其他类型的奇点, 故由Poincare-Bendixson环域定理可知, 系统(4)在域D内存在包围奇点E2的极限环.唯一性. 令做平移变换变换后仍用x,y表示, 则系统(4)可化为(6)奇点从E2(x0,y0)变为O(0,0), 对系统(6)做可逆变换变化后仍用x,y表示, 则系统(4)可化为广义的Lienard系统:(7)其中:φ(y)=1-e-y;f(x)=F′(x)=nb(x+x0)n-1-(n-k)(x+x0)n-k-1.经验证, 系统(7)满足文献[10]中定理的条件. 从而, 广义的Lienard系统(7)在带形区域{x-x0<x<-x0+b-1/k}内至多有一个极限环, 即系统(4)在域D内至多存在一个包围奇点E2的极限环, 再由定理1中3)知, 极限环是稳定的.综上所述, 本文研究了一类具有功能反应的两种群捕食系统极限环的存在性, 改进并推广了目前已有的结果, 是继m+θ=1, m=1/n, n>2[2]后又一个较普遍的结果, 解决了m=θ为有理数的情形. 上述系统虽对有理数具有普遍性, 但仍不能解决无理数的情形, 并且无法得到m≠θ更一般的结果.参考文献【相关文献】[1] CHENG Rong-fu, CAI Shu-yun. A Qualitative Analysis of a Kind of Food with Functional Response-Two Group Types of Predators [J]. Journal of Biomathematics, 2002, 17(4): 406-410. (程荣福, 蔡淑云. 一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析 [J]. 生物数学学报, 2002, 17(4): 406-410.)[2] WU Cheng-qiang. Qualitative Analysis for a Kind of Predator-Prey Systems with Functional Response [J]. J Sys Sci & Math Scis, 2005, 25(6): 688-692. (吴承强. 一类具功能反应的食饵-捕食者系统的定性分析 [J]. 系统科学与数学, 2005, 25(6): 688-692.)[3] YAN Xiang-ping, ZHANG Cun-hua. The Qualitative Analysis of a Class of Two Species Predator-Prey Model with Functional Response [J]. Journal of Biomathematics, 2004, 19(3): 323-327. (颜向平, 张存华. 一类具功能反应的食饵-捕食者两种群模型的定性分析 [J]. 生物数学学报, 2004, 19(3): 323-327.)[4] WANG Xue-lei, MENG Xin-zhu. The Qualitative Analysis of a Kind of Predator-Prey System with Functional Response [J]. Mathematics in Practice and Theory, 2011, 41(1): 166-170. (王学蕾, 孟新柱. 一类具功能反应的食饵-捕食者系统模型的定性分析 [J]. 数学的实践与认识, 2011, 41(1): 166-170.)[5] KUANG Yi-qun, QIU Mei-qing. 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