第一讲1.2平行线分线段成比例定理
1.2 平行线分线段成比例定理 课件(人教A选修4-1)(2)
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证明：过 A 作 AG∥BC，交 DF 于 G 点． FA AG ∵AG∥BD，∴ ＝ . FB BD FA AG 又∵BD＝DC，∴ ＝ . FB DC AG AE ∵AG∥DC，∴ ＝ . DC EC AE FA ∴ ＝ ，即 AE· FB＝EC· FA. EC FB
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[研一题]
[例 3] 如图，已知▱ABCD 中，延长
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AD DE CE ∴ ＝ ＝ ， AB AB AC AD AD CE AD CE AE ∴ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ， AB AC AC AC AC AC CE AE AC AD AD ∵ ＋ ＝ ＝1，∴ ＋ ＝1， AC AC AC AB AC 1 1 1 ∴ ＋ ＝ . AB AC AD
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[悟一法]
求线段长度比的问题，通常引入一个参数k，然
后用所设的参数k表示所求结论中的各个线段，最后消 掉参数k即可得到所求结论．
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[通一类]
3．如图，在△ABC中，DE∥BC，DF ∥AC，且AE∶AC＝3∶5，DE＝6， 求BF的值．
解：因为 DE∥BC， DE AE 3 所以 ＝ ＝ . BC AC 5 5 又因为 DE＝6，所以 BC＝ ×6＝10. 3 又因为 DF∥AC， 所以四边形 DFCE 是平行四边形， 所以 FC＝DE＝6，所以 BF＝BC－FC＝10－6＝4.
提示：仍然成立．
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[例 1] AB m BC＝ n .
[研一题] 已知：如图，l1∥l2∥l3，
DE m 求证：DF＝ . m＋n 分析：本题考查平行线分线段成比例定理及比例的
DE AB 基本性质．解答本题需要利用定理证得 ＝ ，然后利 EF BC DE 用比例的有关性质求出 即可． DF
高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质二平行线分线段成比例定理教材梳理素材1
三 相似三角形的判定及性质庖丁巧解牛知识·巧学一、平行线分线段成比例定理1。
定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.2.用符号语言表示:如图1-2-1所示，a ∥b ∥c ，则EF DE BC AB =.图1—2-13。
定理的证明：若BCAB 是有理数，则将AB 、BC 分成相等的线段,把问题转化为平行线等分线段,达到证明的目的，再推广到整个实数范围，其完整的推广过程等学到高等数学时才会实现。
4。
定理的条件:与平行线等分线段定理相同，它需要a 、b 、c 互相平行,构成一组平行线，m 与n 可以平行，也可以相交，但它们必须与已知的平行线a 、b 、c 相交，即被平行线a 、b 、c 所截.平行线的条数还可以更多。
知识拓展对于3条平行线截两条直线的图形,要注意以下变化（如图121）：如果已知是a ∥b ∥c ，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比例，如FDFE CA CB DF DE AC AB ==,等. 记忆要诀 对于平行线分线段成比例定理，可以归纳为右左右左全上全上下上下上===1，，等,便于记忆.二、平行线分线段成比例定理的推论1。
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。
2。
符号语言表示:如图1-2-2所示,a ∥b ∥c,则BC DE AC AE AB AD ==(1) （2）图1—2—23.推论的证明：直接利用平行线分线段成比例定理，应当注意的是一定要将线段对应好.误区警示实际应用时,通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意正确识别图形,如图123.图1-2-3问题·探究问题1 平行线分线段成比例定理与平行线等分线段定理有何区别与联系？怎样正确使用平行线分线段成比例定理？思路:从两个定理的条件和结论两方面进行对比，可以找到它们的共同点和区别点.探究：我们学习的平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等（如图1—2-4，若l 1∥l 2∥l 3，AB ＝BC ，则DE=EF)。
15-16版：二 平行线分线段成比例定理
二 平行线分线段成比例定理
37
3.推论的证明类似于平行线等分线段定理的推论1，即过点 A作直线l∥BC，则l∥DE∥BC. ∴AADB＝AACE，ADDB＝EACE，BADB＝EACC，其图形变化如图所示.
答案 D
二 平行线分线段成比例定理
10
规律方法 当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时， 常转化为比例式，通过所得的比例式突破题设的条件，其 中借助中间比是常用的转化方法.
二 平行线分线段成比例定理
11
跟踪演练 1 如图所示，在梯形 ABCD 中，E 是
DC 延长线上一点，AE 分别交 BD、BC 于 G、F，
下列结论：①CEDC ＝EAFF；②FAGG＝GBGD；③AAGE ＝DBDG；④CADF ＝DAEE，
其中正确的个数是( )
A.1
B.2
C.3
D.4
二 平行线分线段成比例定理
12
解析 ∵BC∥AD，∴CEDC＝EAFF，∴①正确. 又∵BC∥AD，∴FAGG＝GBGD，∴②正确. 由 BC∥AD 得AEFF＝CCDE，
二 平行线分线段成比例定理
18
(2)求OADE＋OBCE的值； 解 ∵OE∥AD，∴OADE＝BAEB. 由(1)知，OBCE＝AAEB， ∴OADE＋OBCE＝BAEB＋AAEB＝BEA＋BAE＝1.
二 平行线分线段成比例定理
19
(3)求证：A1D＋B1C＝E2F. 证明 由(2)知，∵OADE＋OBCE＝1，∴2AODE＋2BOCE＝2. 由(1)知，EF＝2OE，∴AEDF＋BECF＝2，∴A1D＋B1C＝E2F.
高二数学之数学人教A版选修4-1课件：1.2 平行线分线段成比例定理
12
名师点拨1.定理的条件与平行线等分线段定理的条件相同,它需 要a,b,c互相平行,构成一组平行线,m与n可以平行,也可以相交,但它 们必须与已知的平行线a,b,c相交,即被平行线a,b,c所截.平行线的条 数还可以更多.
2.定理的结论还有
������������ ������������
=
������������ ������������
HISHI SHHHIUSIHLSIHI SI HSHUULILI HONGNAN JVJHHIAOOONNGGNNAANNJJVVJJIIAAONOLI TOUXI IIAANNLLUIITTITOOAUUNXXGIIYANLIAN
比例的有关概念及性质
剖析:(1)线段的比:用同一个长度单位去量两条线段,所得的长度
题型一 题型二 题型三 题型四
题型一
证明线段成比例
【例1】 如图,AD为△ABC的中线,在AB上取点E,AC上取点F,使
AE=AF.
求证:
������������ ������������
=
������������������������.
分析:这道题目要证的比例中的线段都没有直接的联系,可以考 虑把比例转移,过点C作CM∥EF,交AB于点M,交AD于点N,且BC的 中点为D,可以考虑补出一个平行四边形来证明.
12
2.推论
文字 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所 语言 得的对应线段成比例
符号 直线 DE 分别与△ABC 的两边 AB,AC 所在直线交于点பைடு நூலகம்D,E,
语言
且
DE∥BC,则
AD DB
=
AE EC
图形 语言
人教A版高中数学选修4-1第一讲2平行线分线段成比例定理教案4
平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。
2．用推论进行有关计算和证明。
㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。
㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。
㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。
2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。
二、教学重点：推论及应用三、教学难点：推论的应用四、教学方法：引导、探究五、教学媒体：投影、胶片六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。
在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。
2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。
设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。
【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。
推论：投影出示。
在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。
2．学生能否用定理证明所得推论。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
【活动三】问题4 看图说比例式 A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。
在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。
2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。
3．学生能否体会由平行得出多个比例式。
设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。
【活动四】 教学例3问题5 已知：如图：BC ∥DE ，AB=15，AC=9，BD=4，求：AEE学生独立思考后，分组交流得出多种解题途径，老师引导学生找出最佳方案。
高中数学人教A选修4-1课件：1.2 平行线分线段成比例定理
长线交 BC 于 H，DE 的延长线交 CB 的延长线于 G.
求证：BC＝GH. 【导学号：07370006】
图 1-2-7
【精彩点拨】 从复杂的图形中找出基本图形△ABC 和△DHG，而 EF 是
它们的截线，再使用定理或推论即可．
【自主解答】 ∵FE∥BC，∴BECF＝AABE，GEFH＝DDHF. ∵AD∥EF∥BH，∴AAEB＝DDHF， ∴BECF＝GEHF ，∴BC＝GH.
教材整理 2 平行线分线段成比例定理的推论 阅读教材 P7～P9，完成下列问题． 1．文字语言 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的__对_应__线__段___ 成比例． 2．图形语言 如图 1-2-3，l1∥l2∥l3，
图 1-2-3
如图 1-2-4 所示，在△ACE 中，B，D 分别在 AC，AE 上，下列推理不正确
[小组合作型]Biblioteka 证明线段成比例 如图 1-2-5，AD 为△ABC 的中线，在 AB 上取点
E，AC 上取点 F，使 AE＝AF，求证：EFPP＝AACB. 【精彩点拨】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的 图 1-2-5
联系，可以考虑把比例转移，过点 C 作 CM∥EF，交 AB 于点 M，交 AD 于点 N，
的是( )
A．BD∥CE⇒AACB＝BCDE
B．BD∥CE⇒AADE＝BCDE C．BD∥CE⇒BACB＝ADDE
图 1-2-4
D．BD∥CE⇒BACB＝BCDE
【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论不难得出 A，B，C 都是正确 的，D 是错误的．
【答案】 D
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 2：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________ 疑问 3：_______________________________________________________ 解惑：________________________________________________________
人教版高中数学选修4-1《1.2 平行线分线段成比例定理》
名师点评
对于 3 条平行线截两条直线的图形，要注意以下变化：如果 已知 a∥b∥c，那么根据定理就可以得到所有的对应线段都成比 AB DE CB FE 例，如 ＝ ， ＝ 等． AC DF CA FD 上 上 上 上 对于平行线分线段成比例定理， 可以归纳为 ＝ ， ＝ ， 下 下 全 全 左 左 ＝ 等，便于记忆． 右 右
2．平行线分线段成比例定理的推论 (1)推论的内容：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两
成比例 ． 边的延长线)所得的对应线段__________
AD AE (2)符号语言表示：如图所示，若 a∥b∥c，则 AB ＝AC.
特别提醒
实际应用时，通常图形中不会出现三条平行线，此时要注意 正确识别图形，如图(1)和图(2)所示．
(3)当截得的对应线段成比例， 且比值为 1 时， 则截得的线段 相等， 因此平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的扩 充，而平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特例， 平行线等分线段定理是证明线段相等的依据， 而平行线分线段成 比例定理是证明线段成比例的途径．
问题探究 1：如图，直线 l1、l2 被三个平行平面 α、β、γ 所 截，直线 l1 与它们的交点分别为 A、B、C，直线 l2 与它们的交点 AB DE 分别为 D、E、F.BC与 EF 相等吗？ 提示：相等． 证明如下：(1)如果 l1 与 l2 相交于点 G(图①)，那么 l1 与 l2 确 定一个平面 π，连接 AD，BE，CF，则 AD，BE，CF 均在平面 π AB DE 上， 且 AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知， ＝ . BC EF
如图所示，在四边形 ABCD 中，AC、BD 交于 O 点，过 O 作 AB 的平行线，与 AD、BC 分别交于 E、F 两点，与 CD 的延长线交于点 K.求证：KO2＝KE· KF.
1.2平行线分线段成比例定理(人教A版选修4-1)
N
E
l4
l5
问题二 如何不通过测量，运用所学知识，快速将一根绳 子分成两部分，使这两部分之比是2:3?
A
B
C
BI CI
DI
则
ACI CIFI
=
2
3
F
D E
EI FI
平行线截两条直线会有什么结果?
A B C D E F BI CI DI EI FI
已知：如图，l DE = 2, EF = 4. 1//l 2 //l 3，AB = 3, 求：BC.
解： Ql1//l 2 //l 3 AB DE \ = BC EF （平行线分线段成比例定理） 3 =2 即 BC 4 \ BC = 6
3
B
A
D
l1
2
E l2
?
C
4
F l3
[例一]
AB m 已知：如图，l = . 1//l 2 //l 3， BC n DE m 求证： = . DF m n
推论2 经过梯形一腰的中点与底平行的 直线，必平分另一腰。
符号语言
∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC， AE=EB ∴DF=FC
符号语言： △ABC中，EF∥BC，AE=EB ∴AF=FC
问题一 直线l1//l2//l3,l4、l5、l6被l1、l2、l3所截且 AB=BC则图中还有哪些线段相等？
证明 ：Ql1//l 2 //l 3 ,
F
A E
D B C
l1 l2 l3
AB DE m \ = = 注意观察： BC EF n 此图与前面图形有何不同？ （平行线分线段成比例定理） A D DE n m EF n EF \ = = ， DE m DE m E B DF = m n 即 . DE m [例二] DE m F C \ = . DF
(完整版)平行线分线段成比例
1.在VABC中,AD是ABC的平分线，35AB=5cm， AC=4cm，BC=7cm，则BD=___9____
2.在VABC中，AD是ABC的平分线， 55 AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=____3___
3.RtVABC中,B 90, AB 12, BC 5, DE AC于E,
A
D
C
证明： 过C作AD的平行线交AB于点E。 ∴BD︰CD＝AB︰AE，∠1＝∠AEC ∠CAD＝∠ACE ∵∠1＝∠CAD ∴∠AEC＝∠ACE
∴AE＝AC ∴BD︰CD＝AB︰AC
直角三角形中的比例（射影定理）：
C
A
DB
在直角三角形ABC中，CD为斜边AB边上的高， 则：
CD2 ADgDB; AC2 ADgAB; BC2 BDgAB
1gABgADgsin BAD 2
SVDAC
1 gCDgh 2
1gDAgACgsin DAC 2
SVABD BDgh ABgADgsin BAD SVDAC DCgh ACgADgsin DAC
Q AD为BAC的平分线 BAC DAC
AB BD
B
AC DC
本节内容是关于几何中的一些比例关系，这几 节内容现在在初中课本中已“淡化”，但是这几个 结论在高中的“立体几何”和“平面解析几何”中 有时会用到.因此,在本节中首先把这几个定理内容介 绍给同学们,然后利用这三个定理来解决一些题目.其 中对于“平行线分线段成比例”介绍几条稍有难度 的题目，而“三角形内外角平分线性质定理”和 “直角三角形中的比例”的题目直接围绕定理展开， 难度不大.
平行线分线段成比例定理
三条平行线截两条直线，截得的对应线段成比例
1.2 平行线分线段成比例定理
点评：本题是一道综合性较强的几何题，抓住已知分点作平行线 是解决问题常用的方法． 【疑难点辨析】在证明的过程中，由于思路不清晰，逻辑推理能 力不强，提取信息时有遗漏，甚至以特殊代替一般，与平行线等分 线段定理混淆而出错，在利用定理时，不会应用比例的性质而出现 计算错误等．
分析：本题容易错选 D.要求
EF AF ＋ 的值，需要添加平行线． FC FD
DG CD CG 1 过点 D 作 DG∥AB 交 EC 于点 G，则 ＝ ＝ ＝ ， BE BC EC 3 AE 1 AE DG 而 ＝ ，即 ＝ ，所以 AE＝DG，从而有 AF＝FD， BE 3 BE BE EF AF EF AF 1 3 EF＝FG＝CG，故 ＋ ＝ ＋ ＝ ＋1＝ . FC FD 2EF AF 2 2 答案：C
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∴EF∶FD＝CA∶CB. 证法 2：如图所示，过 E 作 EP∥AB 交 CA 的延长线于点 P. CB CA CA AP ∵AB∥EP，∴ ＝ ，即 ＝ ， BE AP CB BE ∵在△DPE 中，AF∥PE， ∴ EF AP AP AP ＝ ，∵AD＝BE，∴ ＝ ， FD AD BE AD
1．2 平行线分线段成比例定理
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1．理解平行线分线段成比例定理及其推论．
2．能应用平行线分线段成比例定理及其推论解决简单几 何问题．
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题型一
证明关系
例1 如图所示，DE∥BC，EF∥DC，求证：AD2＝AF· AB.
4．如图，已知D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交 AB于G点，交BC延长线于F点，若BG∶GA＝3∶1，BC＝8，求AE的长．
平行线分线段成比例定理
平行线分线段成比例定理1. 问题介绍在平面几何学中，平行线分线段成比例定理是一个重要的定理，它描述了平行线所分割的线段之间的比例关系。
本文将介绍平行线分线段成比例定理的定义、原理、证明以及应用。
2. 定理定义给定一条直线上的两个点A、B，以及与该直线平行的另外一条直线CD，如果直线CD与直线AB相交于点E，那么线段AE与线段EB的比例等于线段CE与线段ED的比例，即：AB / CD = AE / CE = BE / ED其中，AB代表线段AB的长度，CD代表线段CD的长度，AE代表线段AE的长度，CE代表线段CE的长度，BE代表线段BE的长度，ED代表线段ED的长度。
3. 定理原理平行线分线段成比例定理的原理可以通过平行线的性质来进行推导。
根据平行线的性质，我们知道平行线分割两条平行线之间的线段时，这些线段之间的比例关系是不变的。
在给定的情况下，我们可以得到以下等式：∠ADE = ∠CDE （对应角）∠AED = ∠CED （对应角）根据三角形内角和定理，我们知道：∠ADE + ∠AED = 180°∠CDE + ∠CED = 180°因此，我们可以得到以下等式：∠ADE + ∠AED = ∠CDE + ∠CED根据等式的基本性质，我们可以得到：∠ADE = ∠CDE∠AED = ∠CED根据角度对应定理，我们知道∠DAE与∠DCE相等。
由此，我们可以得到以下相似三角形关系：△DAE ~ △DCE （相似三角形）△BDE ~ △BEC （相似三角形）根据相似三角形的性质，我们可以得到以下比例关系：AE / CE = DE / DE = AE / DE （对应边）BE / CE = DE / DE = BE / DE （对应边）由此，我们可以得到以下等式：AB / CD = AE / CE = BE / DE这就是平行线分线段成比例定理的原理。
4. 定理证明平行线分线段成比例定理的证明可以通过几何推理和相似三角形的性质来完成。
教学课件：第1课时-平行线分线段成比例
02
通过相似三角形的性质证明了平行线分线段成比例的定理。
平行线分线段成比例的应用
03
举例说明了平行线分线段成比例在几何证明题中的应用。
学习心得分享
掌握了平行线分线段成比例的基 本概念和定理，理解了其几何意
义。
通过实例练习，学会了如何应用 平行线分线段成比例定理进行证
明和解题。
在学习过程中，遇到了一些困难， 但在老师和同学的帮助下得以解 决，提高了自己的学习能力和解
证明方法二
利用平行线的性质和线段 的比例关系，通过代数方 法证明定理。
证明方法三
利用平行线的性质和平行 四边形的性质，通过几何 方法证明定理。
03
平行线分线段成比例的应用
在几何图形中的应用
01 02
平行线分线段成比例定理
在几何图形中，如果一组平行线与另一组线段相交，那么这些线段的比 例是恒定的。这个定理在证明三角形相似、解决几何问题等方面有广泛 应用。
学习目标
理解平行线分线段成 比例的基本概念和性 质。
能够运用平行线分线 段成比例的知识解决 一些简单的几何问题。
掌握平行线分线段成 比例在实际问题中的 应用。
02
平行线分线段成比例的定义
定义及性质
定义
若一组平行线在同一条直线上截 取的线段成比例，则称这组平行 线分线段成比例。
性质
平行线分线段成比例的性质包括 线段对应成比例、截取线段长度 相等、平行线间距离相等等。
教学课件：第1课时-平行 线分线段成比例
• 引言 • 平行线分线段成比例的定义 • 平行线分线段成比例的应用 • 练习与巩固 • 总结与回顾
01
引言
主题简介
平行线分线段成比例是几何学中的一 个基本概念，它描述了平行线将一条 线段分割成几部分，这几部分之间存 在一定的比例关系。
「精品」高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质1.2平行线分线段成比例定理课件新人教A版选修4_1
=
������������ ������������
=
������������ ������������
=
23.
又 DF=1,∴AF=2,AD=3.
又������������
������������
=
������������ ������������
=
23,故
AB=92.
探究一
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
求线段的长度及其比值
【例3】 如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD.若BC=3,DE=2, DF=1,求AB的长度.
分析:先根据已知条件中的两组平行线得到线段比值相等,再结
合已知线段长度求出AB的长度.
解:∵DE∥BC,EF∥CD,BC=3,DE=2,
∴������������
=
������������ ������������
B.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
C.BD∥CE⇒������������������������
=
������������ ������������
D.BD∥CE⇒������������������������
=
52,即������������������������
=
52.
答案:52
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
1.如图,l1∥l2∥l3,已知AB=6 cm,BC=3 cm,A1B1=4 cm,则B1C1的长为 ()
A.6 cm
1----平行线分线段成比例
平行线分线段成比例知识梳理平行线分线段成比例定理及其推论1. 平行线分线段成比例定理如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB ACDE DF=. l 3l 2l 1FE D CB A2. 平行线分线段成比例定理的推论：如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则AD AE DEAB AC BC==ABCDEEDC B A3. 平行的判定定理：如上图，如果有BCDEAC AE AB AD ==，那么DE ∥ BC 。
专题讲解专题一、平行线分线段成比例定理及其推论基本应用【例1】 如图，DE BC ∥，且DB AE =,若510AB AC ==，，求AE 的长。
EDCBA【例2】 如图，已知////AB EF CD ，若AB a =，CD b =，EF c =，求证：111c a b=+.FE DCBA【巩固】如图，AB BD ⊥，CD BD ⊥，垂足分别为B 、D ，AC 和BD 相交于点E ，EF BD ⊥，垂足为F .证明：111AB CD EF+=. FEDCBA【巩固】如图，找出ABD S ∆、BED S ∆、BCD S ∆之间的关系，并证明你的结论.FE DCBA【例3】 如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥， 129AB CD ==，，过对角线交点O 作EF CD ∥交AD BC ，于E F ，，求EF 的长。
OFED CBA【巩固】（上海市数学竞赛题）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，AD a BC b E F ==，，，分别是AD BC ，的中点，AF 交BE 于P ，CE 交DF 于Q ，求PQ 的长。
QPFED CBA专题二、定理及推论与中点有关的问题 【例4】 （2007年北师大附中期末试题）（1）如图（1），在ABC ∆中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且14AE AB =， 连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，则BCCD=_______. *（2）如图（2），已知ABC ∆中，:1:3AE EB =，:2:1BD DC =，AD 与CE 相交于F ，则E F A FF C F D+ 的值为（ ）A.52B.1C.32D.2(1)MEDC BA(2)F ED CBA【例5】 （2001年河北省中考试题）如图，在ABC ∆中，D 为BC 边的中点，E 为 AC 边上的任意一点，BE 交AD 于点O .（1）当1A 2AE C =时，求AOAD的值；（2）当11A 34AE C =、时，求AOAD的值； E AO（3）试猜想1A 1AE C n =+时AOAD的值，并证明你的猜想.【例6】 （2003年湖北恩施中考题）如图，AD 是ABC ∆的中线，点E 在AD 上，F是BE 延长线与AC 的交点.（1）如果E 是AD 的中点，求证：12AF FC =； （2）由（1）知，当E 是AD 中点时，12AF AEFC ED=⋅成立，若E 是AD 上任意一点（E 与A 、D 不重合），上述结论是否仍然成立，若成立请写出证明，若不成立，请说明理由.F E DCBA【巩固】（天津市竞赛题）如图，已知ABC ∆中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上的一点，且BE AC =，延长BE 交AC 于F 。
第一讲1.2平行线分线段成比例定理介绍
DG CG (1)证明：因为 CD∥AE，所以GE＝AG， GF CG 因为 AD∥CF，所以DG＝AG， DG GF 所以GE＝DG，即 DG2＝GE· GF.
AB DF (2)解：因为 BF∥AD，所以AE＝DE.① CF DF 因为 CD∥BE，所以CB＝DE.② CF AB 由①②可得CB＝AE.
解析：(1)正确，因为顺次连接任意四边形的四边中 点所构成的四边形为平行四边形， 根据平行四边形对角线 互相平分，可知(1)对． (2)正确，中位线的两端点和中线的两个端点连起来 也构成平行四边形，所以对角线互相平分．
(3)错误，如果对角线互相平分的话，则此四边形就 一定是平行四边形了，不可能是梯形了． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
又因为 EF⊥AB，所以 AD∥EF∥BC， AE DF a c 所以EB＝CF，即b＝CF， bc 所以 CF＝ a .
归纳升华 1．应用平行线分线段成比例定理的解题思路： (1)观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和 被平行线所截的两条直线． (2)分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系．
人有了知识，就会具备各种分析能力， 明辨是非的能力。 所以我们要勤恳读书，广泛阅读， 古人说“书中自有黄金屋。 ”通过阅读科技书籍，我们能丰富知识， 培养逻辑思维能力； 通过阅读文学作品，我们能提高文学鉴赏水平， 培养文学情趣； 通过阅读报刊，我们能增长见识，扩大自己的知识面。 有许多书籍还能培养我们的道德情操， 给我们巨大的精神力量， 鼓舞我们前进。
第一讲
相似三角形的判定及有关性质
1．2 平行线分线段成比例 定理
[学习目标] 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推 论(重点)． 2.能应用平行线分线段成比例定理及其推论 解决简单几何问题(重点、难点)．
1.2 平行线分线段成比例定理 课件(人教A选修4-1)
2. 如图，已知AE∥CF∥DG，AB∶BC∶ CD＝1∶2∶3， CF＝12 cm，求AE，DG的长．
解：∵AE∥CF， AE AB ∴CF＝BC. AB ∴AE＝BC· CF. ∵AB∶BC＝1∶2，CF＝12 cm， 1 ∴AE＝ ×12＝6 (cm)． 2 BC CF ∵CF∥DG，∴BD＝DG. BC 2 BC 2 ∵CD＝ ，∴BD＝ . 3 5 BD 5 ∴DG＝ BC· CF＝ ×12＝30(cm). 2
DE AB EG 在此题中，DF是AC与FH的公共比，公共比大多是两个 或两个以上的比例式都具有的一个公共比，通常是两个图形 中公共边的比．当要证的结论不是比例式(通常是等积式)时， 常转化为比例式来突破题设的条件，其中公共比是常用的转 化方法．
3．已知：如图，四边形ABCD是正方
形，延长BC到点E，连接AE交CD于F，
“借图解题”．
1．已知：如图所示，l1∥l2∥l3， AB m BC＝ n . DE m 求证：DF＝ . m＋n
证明：∵l1∥l2∥l3， AB DE m ∴BC＝ EF＝ n . EF＋DE n＋m EF n ∴DE＝m，则 DE ＝ m ， DF m＋n DE m 即DE＝ m .∴DF＝ . m＋n
证明：(1)∵CD∥AE， DG CG ∴GE ＝AG. GF CG 又∵AD∥CF，∴DG＝AG. DG GF ∴GE ＝DG，即 DG2＝GE· GF. AB DF (2)∵BF∥AD，∴AE＝DE. CF DF 又∵CD∥BE，∴CB＝DE. CF AB ∴CB＝AE.
[例 3] 如图，在△ABC 中，CD⊥AB 于 D， E 为 BC 中点，延长 AC、DE 相交于点 F， AC AF 求证：BC＝DF. [思路点拨] 由已知条件，结合图形特点，可添加平行 线，构造出能够运用平行线分线段成比例定理或推论的基本 图形，再结合直角三角形的性质，找出公共比，得证．
人教版高中数学选修4-1：1.2《平行线分线段成比例定理》教案【2】
平行线分线段成比例定理一、教学目标：㈠知识与技能：1．掌握平行线分线段成比例定理的推论。
2．用推论进行有关计算和证明。
㈡教学思考：通过探究平行线分线段成比例定理的推论，培养学生数学思维能力。
㈢解决问题：学生经历观察、操作、探究、交流、归纳、总结过程获得结论，体验解决问题的多样性，感悟比例中间量的作用。
㈣情感态度：1．通过探究活动，给学生创造表现自我的机会，让学生体验成功的喜悦。
2．培养学生合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质。
3．将学生置于教师平等地位、营造和谐的师生气氛。
二、教学重点：推论及应用 三、教学难点：推论的应用 四、教学方法：引导、探究 五、教学媒体：投影、胶片 六、教学过程：【活动一】引入新课问题1 上节我们学习了什么内容？本节将研究什么？ 学生共同手工拼图，通过思考探究得出结论。
在本次活动中，教师应重点关注：1．操作过程中学生是否把被截得两直线交点放在相应位置。
2．学生是否有探究本节所学内容的兴趣和欲望。
设计意图：使学生通过动手操作、观察、直观得出初步结论。
【活动二】探究推论问题2．被截直线的交点若落在第一条或第二条平行线上，平行线分线段成比例定理是否还成立？ 问题3．若上述问题成立，可得什么特殊结论？321123教师提问，引导学生猜想，并在拼好的图上测量、计算、证明。
推论：投影出示。
在本次活动中，教师应重点关注： 1．学生是否认真、仔细的测量和计算。
2．学生能否用定理证明所得推论。
设计意图：培养学生大胆猜测，从实践中得出结论。
【活动三】问题4 看图说比例式 A BCD3()2() A B DE1() DE BC学生结对子，师生结对子说出比例式。
在本次活动中，教师应重点关注：1．学生能否顺利回答对方所提出的比例式。
2．学生是否与同伴交流中达到互帮互学。
3．学生能否体会由平行得出多个比例式。
设计意图：给学生表现机会，让学生体验成功的喜悦，调动学生积极性。
平行线分线段成比例定理课件
证明方法二：利用向量运算
总结词
通过向量运算，证明平行线分线段成 比例。
详细描述
首先，根据向量的加法性质，将线段 分解为与平行线平行的向量分量。然 后，利用向量的模长关系和向量平行 的性质，证明这些向量分量之间存在 比例关系。
证明方法三：利用坐标几何
总结词
通过坐标几何的方法，证明平行线分线段成比例。
2023
PART 04
平行线分线段成比例定理 的应用实例
REPORTING
实例一：解析几何中的应用
总结词
解析几何中的线段比例关系
详细描述
在解析几何中，平行线常常用于确定线段的比例关系。例如 ，在直线的平行移动过程中，线段的比例保持不变，这为解 决几何问题提供了重要的理论依据。
实例二：三角形中的比例关系
总结词
平行线间的面积比值关系是指，如果两条平行线被一条横截线所截，那么它们之间的面 积比值是相等的。
详细描述
假设有两条平行线$l_1$和$l_2$，它们被一条横截线$m$所截，形成了两个三角形 $triangle ABC$和$triangle CDE$。根据平行线分线段成比例定理，我们有
$frac{triangle ABC}{triangle CDE} = frac{AB}{CD}$。这意味着，如果$triangle ABC > triangle CDE$，则$AB > CD$，反之亦然。
总结词
三角形中的边长比例关系
VS
详细描述
在三角形中，通过平行线可以推导出边长 的比例关系。例如，在等腰三角形中，通 过底边上的平行线可以证明两腰之间的比 例关系，这对于证明某些三角形的性质和 定理非常有用。
实例三：建筑设计中的应用
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(2)定理比例的变式：对于 3 条平行线截两条直线的 图形，需要注意其变式：如果已知 a∥b∥c，那么根据定 上 理就可以得到所有的对应线段都成比例，可以归纳为 下 上 上 上 左 左 ＝ ， ＝ ， ＝ 等，便于记忆． 下 全 全 右 右
2．解题思路 (1)利用平行线分线段成比例定理及其推论，要注意 线段的对应关系，有时要用到比例的一些性质才能解决 相关问题，过定点作某一线段的平行线是常用的作辅助 线的方法． (2)平行线在解决比例问题时有很重要的作用，若题 目中有平行线，要充分利用这一条件，若没有平行关系， 需构造一组平行线，利用平行关系找出对应的比例关系．
BD 2 因为 ＝ ， DC 3 BD 2 所以 ＝ ， 7x 3 14 所以 BD＝ x. 3 14 x BD 3 14 所以EG＝ ＝ . 3x 9
BF BD 因为 EG∥BC，所以EF＝EG. BF 14 所以EF＝ . 9
1．定理应用的相关事项 (1)应用定理的条件： 与平行线等分线段定理相同， a、 b、c 互相平行，m 与 n 可以平行，也可以相交，但它们 必须与已知的平行线 a、b、c 相交，即被平行线 a、b、c 所截，平行线的条数还可以更多．第Biblioteka 讲相似三角形的判定及有关性质
1．2 平行线分线段成比例 定理
[学习目标] 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推 论(重点)． 2.能应用平行线分线段成比例定理及其推论 解决简单几何问题(重点、难点)．
[知识提炼· 梳理] 1．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直 线，所得的对应线段成比例．用符号语言表述为：若
AG AE FG EF 因为 ＝ ，所以 ＝ . AE AC BE BC 因为 BE＝BC，所以 FG＝EF.
类型 2 运用定理及推论进行计算 [典例 2] 如图所示，梯形 ABCD 中， ∠A＝∠B＝90°，EF⊥AB，垂足为 E， 已知 AE＝a，EB＝b，DF＝c，求 CF. 解：因为∠A＝∠B＝90°， 所以 AD⊥AB，BC⊥AB，
[变式训练] 如图所示，在△ABC 中，D 是 BC 上的 点， E 是 AC 上的点， AD 与 BE 交于 F.若 AE∶EC＝3∶4， BD∶DC＝2∶3，求 BF∶FE 的值．
解：过 E 点作 EG∥BC 交 AD 于 G， EG AE 则 ＝ . DC AC AE 3 AE 3 因为EC＝ ，所以AC＝ ， 4 7 EG 3 所以 ＝ . DC 7 设其中一份为 x，则 EG＝3x，DC＝7x.
5． 如图所示， E 是▱ABCD 的边 AB 延长线上的一点， DC 3 AD 且BE＝ ，则BF＝________． 2
解析：因为 DC∶BE＝3∶2，DC＝AB， 所以 AB∶BE＝3∶2，AE∶BE＝5∶2，
又因为 BC∥AD， 所以 AD∶BF＝AE∶BE＝5∶2. 5 答案： 2
类型 1 利用定理及推论进行证明(自主研析) [典例 1] 如图所示，在▱ABCD 中，E 是 AB 延长线 上一点，DE 交 AC 于点 G，交 BC 于点 F. 求证：(1)DG2＝GE· GF. CF AB (2)CB＝AE.
(3)灵活运用比例性质或中间比进行线段比的转化， 达到求线段比或证明线段成比例的目的． (4)注意定理基本图形的几种变式情形，在复杂图形 中识别能够应用定理的图形．
2．寻求比例线段的方法： (1)根据欲求的线段比(或欲求线段)列比例线段． (2)根据欲证明的线段列出比例线段． (3)根据平行线与被截直线的分点列出比例线段．
DG CG (1)证明：因为 CD∥AE，所以GE＝AG， GF CG 因为 AD∥CF，所以DG＝AG， DG GF 所以GE＝DG，即 DG2＝GE· GF.
AB DF (2)解：因为 BF∥AD，所以AE＝DE.① CF DF 因为 CD∥BE，所以CB＝DE.② CF AB 由①②可得CB＝AE.
2．已知线段 a，m，n 且 ax＝mn，求作 x，图中作 法正确的是( )
a n 解析：由 ax＝mn，得m＝x. 由平行线分线段成比例定理可得 C. 答案：C
3.如图所示，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 是 DC 延长线上一点，AE 分别交 BD，BC 于 G、F.有下列结论： EC EF FG BG AE BD ① ＝ ；② ＝ ；③ ＝ ； CD AF AG GD AG DG AF AE ④CD＝DE. 其中正确的有( A．1 个 ) B．2 个 C．3 个 D．4 个
AB DE a∥b∥c(如图所示)，则___________ BC＝EF ．
温馨提示 定理的结论是“对应线段成比例”， 因而 AB DE AB DE BC EF 除了有BC＝EF成立外，还有AC＝DF，AC＝DF成立．
2．推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两 边的延长线)所得的对应线段成比例． 用符号语言表述为：
解析：(1)正确，因为顺次连接任意四边形的四边中 点所构成的四边形为平行四边形， 根据平行四边形对角线 互相平分，可知(1)对． (2)正确，中位线的两端点和中线的两个端点连起来 也构成平行四边形，所以对角线互相平分．
(3)错误，如果对角线互相平分的话，则此四边形就 一定是平行四边形了，不可能是梯形了． 答案：(1)√ (2)√ (3)×
AD AE ＝AC AB 若 a∥b∥c(如图所示)，则___________．
[思考尝试· 夯基] 1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)任意四边形两组对边中点的连线互相平分． ( )
(2)任意三角形的一条中位线与第三边上的中线互相 平分．( ) )
(3)梯形的两条对角线可能互相平分．(
归纳升华 1．在证明等积式时，常把等积式转化成比例式． 2．当证明的比例式中的线段在同一条直线上时，常 用相等的线段、 相等的比、 相等的等积式来代换相应的量． 3．当同一题目中出现两组或两组以上平行线时，证 明比例式常用中间比来证明．
[变式训练] 如图所示，BE＝BC， AG AE AF AE＝AC＝AB， 求证：FG＝EF. AG AF AE AF 证明：因为AE＝AB，AC＝AB， 所以 FG∥BE，EF∥BC， FG AG EF AE 所以 ＝ ， ＝ . BE AE BC AC
解析：在△EAD 中，由 CF∥AD 知①和④正确；又 BD AF 由 BF∥AD 可知②正确；由 BF∥AD，有DG＝AG，故③ 不正确． 答案：C
4.如图所示，在△ABC 中，MN∥DE∥BC， 若 AE∶EC＝7∶3，则 DB∶AB＝________． AD 解析：由 MN∥DE∥BC，知DB＝ AE 7 AD＋DB 7＋3 10 ＝ ⇒ ＝ ＝ . EC 3 DB 3 3 AB 10 所以 ＝ ，所以 DB∶AB＝3∶10. DB 3 答案：3∶10
又因为 EF⊥AB，所以 AD∥EF∥BC， AE DF a c 所以EB＝CF，即b＝CF， bc 所以 CF＝ a .
归纳升华 1．应用平行线分线段成比例定理的解题思路： (1)观察图形和已知条件，找出图中的三条平行线和 被平行线所截的两条直线． (2)分析截线上的对应线段，写出相应的比例关系．