三次函数平移对称中心到原点公式
函数的对称性
函数的对称性新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
怎么求函数的对称中心
怎么求函数的对称中心求函数的对称中心是一种确定函数图像的方法，它有助于我们分析函数的性质和特点。
对称中心是指函数图像关于其中一直线对称的点或轴，可以是x轴、y轴、原点、其中一条直线等。
在下面的文章中，我将详细介绍如何求函数的对称中心，包括求函数的对称轴、对称点以及应用实例等。
一、函数的对称轴函数的对称轴是指函数图像关于该轴对称，对称轴可以是x轴或y轴。
要确定函数的对称轴，我们需要根据函数的定义和特点进行分析。
1.判断函数对称轴是否为x轴首先，我们可以观察函数的定义域和值域。
如果函数在定义域内的任意一点x对应的函数值f（x）和对应的f（-x）相等，即f（x）=f（-x），那么函数的对称轴可能是x轴。
例如，当函数为偶函数时，它的对称轴通常是x轴。
2.判断函数对称轴是否为y轴在一些情况下，函数的对称轴可能是y轴。
如果函数在定义域内的任意一点x对应的函数值f（x）和对应的f（-x）相等，即f（x）=f（-x），那么函数的对称轴可能是y轴。
例如，当函数为奇函数时，它的对称轴通常是y轴。
二、函数的对称点函数的对称点是指函数图像上关于对称轴对称的点。
对称点的求解需要根据函数的定义进行计算。
1.关于x轴对称的点如果函数的对称轴是x轴，那么它的对称点可以通过令y等于函数式中的负值来求解。
例如，对于函数f（x），它的对称点可以表达为f（x）=-f（x）。
2.关于y轴对称的点如果函数的对称轴是y轴，那么它的对称点可以通过将x值置为相反数来求解。
例如，对于函数f（x），它的对称点可以表达为f（x）=f（-x）。
三、函数对称中心的应用实例下面以一个应用实例来说明如何求函数的对称中心。
例1：求函数f（x）=x^2的对称中心。
解：首先，我们观察函数的定义式，它是一个关于x的二次函数。
根据二次函数的性质，我们知道二次函数的图像通常是关于对称轴对称的。
所以，我们需要确定对称轴的位置。
由于函数为关于x的二次函数，我们可以判断其对称轴可能是y轴。
三次函数的对称性中心问题
三次函数的对称性中心问题而)3()3()3()3]()3(3[)3(2323a b c a b b d a b a a b c a b a d a b a -++-=-++-)3(ab f -=)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 的图象关于))3(,3(a b f a b --对称。
证明3：设函数)0()(23≠+++=a d cx bx axx f 的对称中心为（m ，n ）。
按向量),(a n m --=将函数的图象平移，则所得函数n m x f y -+=)(是奇函数，所以2)()(=-+-++n m x f m x f+++++++d m x c m x b m x a )()()(23dm x c m x b m x a ++-++-++-)()()(23-2n=0化简得：上式对恒成立，故⎩⎨⎧=-+++=+00323n d cm bm am b am 得，。
所以，函数的对称中心是（）。
定理3：若三次函数有极值，则它的对称中心是两个极值点的中点证明：不妨设0232=++c bx ax 为)(x f 的导方程，判别式01242>-=∆ac b ,设)(x f 两极值点为))(,()),(,(2211x f x B x f x A[][]acx x a b x x d x x c x x x x b x x x x x x a dx x c x x b x x a d cx bx ax d cx bx ax x f x f 3,322)(2)(3)()(2)()()()()(2121212122121221212122213231222321213121=-=++++-++-++=++++++=+++++++=+∴ 又dabc a b b a b a da b c a c b a b b a c a b a a b a x f x f 2)3(2)3(2)3(22)32(32323)32(332)()(232321+-+-+-=+-+-⎪⎭⎫⎝⎛-+--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+∴)3(2)(21ab f x x f -=+∴所以此时的对称中心是两个极值点的中点，同时也是函数)(x f 的拐点。
三角函数对称轴和对称中心
三角函数对称轴与对称中心y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中心：(kπ，0）（k∈z)y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中心：（kπ+π/2，0）(k∈z)y=tanx 对称轴：无对称中心：（kπ，0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]倍角公式sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin²αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C(n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…半角公式sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))辅助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))万能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!*(x-a)n+……实用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x = x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1)arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x = x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x = 1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞)arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1)arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。
三次函数
2.对称中心
三次函数f (x) = ax3 +bx2 +cx+d (a ≠ 0)是关于点对称的，且对称中心为点(- b , f (- b )),此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。 3a 3a
证明：只需证明f (- b + x)+ f (- b - x) = 常数，即可。
3a
3a
3.三次函数f (x)图象的切线条数
0,∴
x0
=1,
x0
=
-
1 2
,
∴过点(1,1)与曲线y = x3相切的直线方程为3x - y - 2 = 0或3x - 4 y +1= 0，故有2个。
方法2：由大招结论，y = x3的中心对称点为A(0,0),过点A的切线方程为y = 0.
点P(1,1)在曲线y = x3上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三.P与曲线y = x3有2条切线。
32
12 2x -1
2016 2016
2016
解：依题意得：f ′(x) = 3x2 - 6x+3,∴ f ′′(x) = 6x - 6.
由f ′′(x) = 0,即6x - 6 = 0.∴ x =1. 又 f (1) = 2,∴函数f (x) = x3 - 3x2 +3x+1的图象对称中心为(1,2).
的距离为
1 1+ t
2
，则z
=
a2
+ (b
-1)2的最小值为
1 1+ t
2
.故选A
(2)依题意，设h(x) = 1 x3 - 1 x2 +3x - 5 ,得h′(x) = x2 - x+3,∴ h′′(x) = 2x -1.
三次函数图象的性质探索
三次函数图象的性质探索柳华【摘要】主要从三次函数的导函数的特征属性入手,探索三次函数图象的性质。
三次函数f（x）=ax^3＋bx^2＋cx＋d（a≠0）也一定有对称中心,且对称中心为（-b/3a,f（-b/3a））。
【期刊名称】《林区教学》【年(卷),期】2012(000)004【总页数】2页(P90-91)【关键词】三次函数;导数;对称中心;对称轴;极值【作者】柳华【作者单位】临沂市中医药职工中等专业学校,山东临沂276000【正文语种】中文【中图分类】O174大家知道，导数这一高等函数工具，已经走进了中学课堂，从而三次函数自然成为高考函数把关试题的结合点。
因此学习和掌握三次函数的基本性质很有必要。
对于一次函数y=ax+b(a≠0)，它的图象是直线，图象既中心对称又轴对称;二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象是抛物线，抛物线仅轴对称而非中心对称，其对称轴只有一条，且对称轴方程为顶点坐标为，当时，取得最值。
那么三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)的图象是否为轴对称或者是中心对称图形?三次函数满足什么条件才具有极值?本文将从三次函数的导函数的特征属性入手，对三次函数图象的性质作以猜想并给出证明，读来很有趣味。
先对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导数:f'(x)=3ax2+2bx+c，由此可知y=f'(x)的图象是二次抛物线，由导数的意义和抛物线的对称性可知三次函数曲线在直线两侧等距离处升降速度相同，由此启发我们猜想:三次函数曲线存在对称中心，并且对称中心的横坐标，即定理1:三次函数曲线y=ax3+bx2+cx+d(a≠0)是中心对称图形且对称中心为证明:因为形如y=ax3+cx(a≠0)的三次函数是奇函数，所以其图象是中心对称图形，对称中心坐标为(0，0)。
将函数y=ax3+cx(a≠0)的图象按向量珗a=(－m，d)平移，可得函数y=a(x+m)3+c(x+m)+d(a≠0)的图象，从而函数y=a(x+m)3+c(x+m)+d(a≠0)是中心对称图形，对称中心坐标为(－m，d)。
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。
尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。
一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。
②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。
2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。
③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。
④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。
⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。
⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。
⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。
⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。
三角函数对称轴与对称中心
三角函数对称轴与对称中间y=sinx 对称轴：x=kπ+π/2（k∈z) 对称中间：(kπ,0）（k∈z) y=cosx 对称轴：x=kπ（k∈z) 对称中间：（kπ+π/2,0）(k∈z) y=tanx 对称轴：无对称中间：（kπ,0）(k∈z)两角和与差的三角函数cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβcos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβsin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβtan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ)tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ)和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)cos(2α)=cos²α-sin²α=2cos²α-1=1-2sin&su p2;αtan(2α)=2tanα/(1-tan²α)cot(2α)=(cot²α-1)/(2cotα)sec(2α)=sec²α/(1-tan²α)csc(2α)=1/2*secα·cscα三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin³α =4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α)cos(3α) = 4cos³α-3cosα =4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α)tan(3α) = (3tanα-tan³α)/(1-3tan²α) =tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α)cot(3α)=(cot³α-3cotα)/(3cotα-1)n倍角公式sin(nα)=ncos^(n-1)α·sinα-C(n,3)cos^(n-3)α·sin^3α+C (n,5)cos^(n-5)α·sin^5α-…cos(nα)=cos^nα-C(n,2)cos^(n-2)α·sin^2α+C(n,4)cos^(n-4)α·sin^4α-…sin(α/2)=±√((1-cosα)/2)cos(α/2)=±√((1+cosα)/2)tan(α/2)=±√((1-cosα)/(1+cosα))=sinα/(1+cosα)=(1-co sα)/sinαcot(α/2)=±√((1+cosα)/(1-cosα))=(1+cosα)/sinα=sinα/(1-cosα)sec(α/2)=±√((2secα/(secα+1))csc(α/2)=±√((2secα/(secα-1))帮助角公式Asinα+Bcosα=√(A²+B²)sin(α+arctan(B/A))Asinα+Bcosα=√(A²+B²)cos(α-arctan(A/B))全能公式sin(a)= (2tan(a/2))/(1+tan²(a/2))cos(a)= (1-tan²(a/2))/(1+tan²(a/2))tan(a)= (2tan(a/2))/(1-tan²(a/2))降幂公式sin²α=(1-cos(2α))/2=versin(2α)/2cos²α=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2tan²α=(1-cos(2α))/(1+cos(2α))三角和的三角函数sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cos α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sin α·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)÷(1 -tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·t角的三角函数值幂级数c0+c1x+c2x2+...+cnxn+...=∑cnxn (n=0..∞)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+...+cn(x-a)n+...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 个中c0,c1,c2,...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.泰勒睁开式泰勒睁开式又叫幂级数睁开法f(x)=f(a)+f'(a)/1!*(x-a)+f''(a)/2!*(x-a)2+...+f(n)(a)/n!* (x-a)n+……适用幂级数：e^x = 1+x+x^2/2!+x^3/3!+……+x^n/n!+……ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3-……+(-1)^(k-1)*(x^k)/k (|x|<1)sin x =x-x^3/3!+x^5/5!-……+(-1)^(k-1)*(x^(2k-1))/(2k-1)!+……. (-∞<x<∞)cos x = 1-x^2/2!+x^4/4!-……+(-1)k*(x^(2k))/(2k)!+…… (-∞<x<∞)arcsin x = x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + ……(|x|<1) arccos x = π - ( x + 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 + …… ) (|x|<1)arctan x = x - x^3/3 + x^5/5 -…… (x≤1)sinh x =x+x^3/3!+x^5/5!+……+(-1)^(k-1)*(x^2k-1)/(2k-1)!+…… (-∞<x<∞)cosh x =1+x^2/2!+x^4/4!+……+(-1)k*(x^2k)/(2k)!+……(-∞<x<∞) arcsinh x = x - 1/2*x^3/3 + 1*3/(2*4)*x^5/5 - …… (|x|<1) arctanh x = x + x^3/3 + x^5/5 + ……(|x|<1)在解初等三角函数时,只需记住公式即可轻松作答,在比赛中,往往会用到与图像联合的办法求三角函数值.三角函数不等式.面积等等.傅立叶级数傅里叶级数又称三角级数f(x)=a0/2+∑(n=0..∞) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dxan=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dxbn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx三角函数的数值符号正弦第一,二象限为正, 第三,四象限为负余弦第一,四象限为正第二,三象限为负正切第一,三象限为正第二,四象限为负编辑本段相干概念三角形与三角函数1.正弦定理：在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R ．(个中R为外接圆的半径)2.第一余弦定理：三角形中随意率性一边等于其他双方以及对应角余弦的交叉乘积的和,即a=c cosB + b cosC3.第二余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其它双方的平方之和减去这双方与它们夹角的余弦的积的2倍,即a^2=b^2+c^2-2bc·cosA4.正切定理(napier比较)：三角形中随意率性双方差和的比值等于对应角半角差和的正切比值,即（a-b）/(a+b)=tan[(A-B)/2]/tan[(A+B)/2]=tan[(A-B)/2]/cot(C/2) 5.三角形中的恒等式：对于随意率性非直角三角形中,如三角形ABC,总有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC证实:已知(A+B)=(π-C)所以tan(A+B)=tan(π-C)则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC)整顿可得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC相似地,我们同样也可以求证:当α+β+γ=nπ(n∈Z)时,总有tanα+tanβ+tanγ=tanαtanβtanγ三角函数图像：界说域和值域sin(x),cos(x)的界说域为R,值域为〔-1,1〕tan(x)的界说域为x不等于π/2+kπ,值域为Rcot(x)的界说域为x不等于kπ,值域为Ry=a·sin(x)+b·cos(x)+c 的值域为 [ c-√(a²+b²) , c+√(a²+b²）]初等三角函数导数三角函数图像y=sinx---y'=cosxy=cosx---y'=-sinxy=tanx---y'=1/cos^2x =sec^2xy=cotx---y'= -1/sin^2x = - csc^2xy=secx---y'=secxtanxy=cscx---y'=-cscxcotxy=arcsinx---y'=1/√(1-x²)y=arccosx---y'= -1/√(1-x²)y=arctanx---y'=1/(1+x²)y=arccotx---y'= -1/(1+x²)倍半角纪律假如角a的余弦值为1/2,那么a/2的余弦值为√3/2反三角函数三角函数的反函数,是多值函数.它们是横竖弦Arcsin x,反余弦Arccos x,横竖切Arctan x,反余切Arccot x等,各自暗示其正弦.余弦.正切.余切.正割.余割为x的角.为限制反三角函数为单值函数,将横竖弦函数的值y限在y=-π/2≤y≤π/2,将y为横竖弦函数的主值,记为y=arcsin x;响应地,反余弦函数y=arccos x 的主值限在0≤y≤π;横竖切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2;反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π.反三角函数现实上其实不克不及叫做函数,因为它其实不知足一个自变量对应一个函数值的请求,其图像与其原函数关于函数y=x对称.其概念起首由欧拉提出,并且起首运用了arc+函数名的情势暗示反三角函数,而不是f-1(x).反三角函数主如果三个：y=arcsin(x),界说域[-1,1],值域[-π/2,π/2],图象用红色线条; y=arccos(x),界说域[-1,1],值域[0,π],图象用兰色线条;y=arctan(x),界说域(-∞,+∞),值域(-π/2,π/2),图象用绿色线条;sinarcsin(x)=x,界说域[-1,1],值域【-π/2,π/2】证实办法如下：设arcsin(x)=y,则sin(y)=x ,将这两个式子代入上式即可得其他几个用相似办法可得.编辑本段高级数学内容总体情形高级代数中三角函数的指数暗示(由泰勒级数易得)：sinz=[e^(iz)-e^(-iz)]/(2i)cosz=[e^(iz)+e^(-iz)]/2tanx=[e^(iz)-e^(-iz)]/[ie^(iz)+ie^(-iz)]泰勒睁开有无限级数,e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋… ≦此时三角函数界说域已推广至全部复数集.·三角函数作为微分方程的解：对于微分方程组 y=-y'';y=y'''',有通解Q,可证实Q=Asinx+Bcosx,是以也可以从此动身界说三角函数.填补：由响应的指数暗示我们可以界说一种相似的函数－－双曲函数,其失去许多与三角函数的相似的性质,二者相映成趣.:复数域内正余弦函数的性质（1）对于z为实数y来说,复数域内正余弦函数的性质与平日所说的正余弦函数性质是一样的.（2）复数域内正余弦函数在z平面是解析的.（3）在复数域内不克不及再断言|sinz|≦1,|cosz|≦1.（4）sinz.cosz分离为奇函数,偶函数,且以2π为周期.编辑本段三角函数的性质定理三角函数,正如其名称那样,在三角学中是十分重要的,主如果因为下列两个成果.正弦定理于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：sinA / a = sinB / b = sinC/c也可暗示为：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R个中R是三角形的外接圆半径.它可以经由过程把三角形分为两个直角三角形并运用上述正弦的界说来证实.在这个定理中消失的公共数 (sinA)/a 是经由过程A, B 和 C 三点的圆的直径的倒数.正弦定理用于在一个三角形中（1）已知两个角和一个边求未知边和角（2）已知双方及其一边的对角求其他角和边的问题.这是三角测量中罕有情形.余弦定理对于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：c^2=a^2＋b^2－2ab·cosC.也可暗示为：cosC=（a^2＋b^2－c^2）/ 2ab.这个定理也可以经由过程把三角形分为两个直角三角形来证实.余弦定理用于在一个三角形的两个边和一个角已知时肯定未知的数据.假如这个角不是两条边的夹角,那么三角形可能不是独一的（边-边-角）.要当心余弦定理的这种歧义情形.正切定理对于边长为a, b 和 c 而响应角为A, B 和C的三角形,有：(a+b)/(a-b) = tan[(A+B)/2]/tan[(A-B)/2]编辑本段三角函数在解三次方程中的运用一元三次方程的解是三个不相等的实根时,可用三角函数常识求出方程的解.一元三次方程aX^3＋bX^2＋cX＋d=0,（a,b,c,d∈R,且a≠0）重根判别式：A=b^2－3ac;B=bc－9ad;C=c^2－3bd.总判别式：Δ=B^2－4AC.当Δ=B^2－4AC＜0时,盛金公式④：X⑴=(－b－2A^(1/2)cos(θ/3))/(3a);X(2,3)=(－b＋A^(1/2)(cos(θ/3)±3^(1/2)sin(θ/3)))/(3a),个中θ=arccosT,T=(2Ab－3aB)/(2A^(3/2)),(A＞0,－1＜T＜1).在运用卡尔丹公式解三次方程时,对于x^3+px+q=0,有x1=√(-p/3)cos(Φ/3)x2=√(-p/3)cos(Φ/3+2π/3)x3=√(-p/3)cos(Φ/3+4π/3)对于一般的方程ax^3+bx^2+cx+d=0,只需令x=y-b/(3a)即可化为上式求解.例：一建筑物的楼顶要建一个储水池,按施工的设计请求,这个储水池的长.宽.高之和为70.5dm（为了削减占用楼顶面积,取长＞高＞宽）,满储水量为10082.44(dm)^3,立体对角线为1903.17dm,问：若何施工才干达到设计请求？解：设取长.宽.高分离为X⑴.X⑵.X⑶,依题意：X⑴＋X⑵＋X⑶=70.5;X⑴·X⑵·X⑶=10082.44;X⑴^2＋X⑵^2＋X⑶^2=1903.17.解这个方程组.依据韦达定理,得一元三次方程：X^3－70.5X^2＋1533.54X－10082.44=0a=1,b=－70.5,c=1533.54,d=－10082.44.A=369.63;B=－17372.61;C=219308.8716,Δ=－22444974.63＜0.依据盛金判别法,此方程有三个不相等的实根.运用盛金公式④求解.θ=90°.把有关值代入盛金公式④,得：X⑴=12.4(dm);X⑵=34.6(dm);X⑶=23.5(dm).经磨练,成果准确.因为取长＞高＞宽,所以,应取长为34.6dm;高为23.5dm;宽为12.4dm来进行施工.。
三次函数图象一定是中心对称图形吗？
ｂ ， ≠０ ｄ ） ≠０ ｃ ， ≠０．
三、 交流与合作
）中≠ （凸０ 其 ）
在以上两个小组研 究的基础上， 我组织他们 进行 了交流和答辩 等合作 活动． １第二小组的同学对第一小组的研究提出一 ． 点质疑， 他们指出， 第一小组的研究在 “ 设三次函
论， 更重要的是， 学生获得了研究问题 的一些途径
的图象 为中心对图形， 对称中心为Ｐ ｘ， （ｏ ． ｏ ， 上任意一点Ｍ（ｌ （１ （ｌ ） 厂 ） 则Ｃ （ ） ｘ， ｚ） Ｘ ∈Ｒ Ｉ ） 关于 Ｐ ｘ ，（ｏ 的对称 点 Ｍ ２０ 一 １ （ｏＩｚ） ） （ ５ ， ２ （ｏ 一． ）都在 上， Ｉｚ） 厂 １ （ ） 也就是说， 对任意
ｎ
放在一起来看， 就大有文章了． 究的兴趣和热 研 情一下子调动起来了．
一
由（ 式得 Ｘ ＝一２． ３ ） Ｏ 。 ＝ 。
将 （ 式分别代入 （ 、５， ６ ） ４ （ 经化简验证， ） ） 此 时（ 、５两式均成立， Ｏ 同时满足对 ４ （ ） ） 即Ｘ：一 称中心的条件（ 、４、５， ３ （ （ 所以， ） ） ） 三次函数 Ｉｚ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ ＋ｄ（ ≠０ （） ｘ ＋ｂ ａ ）
一
般地， 设三次 函数解析式为
ＩＺ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ ＋ｄ （ ≠０， （） ｘ ＋ｂ ａ ）
先研 究简单特殊 的情况．
Ｉｚ ＝ａ ３ ｘ ＋ｃ （ ） ｘ ＋ｂ ＋ｄ （ ≠０ ａ ）
１当ａ≠０ ｃ ， ＝ ｄ 时， ． ， ≠０ ｂ ＝０
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由以上两点， 同学们大胆类 比、联想、猜 请 测， 有什么想法？ 同学们觉得以上这两份材料虽然简单， 可是
三次函数的对称性试题赏析
1 x2 + 3x － 5 + cos( x － π + 1) ，
2
12
2
则 g( 20113) + g( 20213) + g( 20313) + g( 20413) + … + g( 22001123) =
1006． 其中正确命题的序号为
( 把所有正确命题的序
号都填上) ．
解析： ①②． 对于 ①② 明显正确； 对于 ③，任意的三次函数
1，则可求得： f （ 20112） + f （ 20212） + … + f （ 42002122） + f （ 42002132） =
．
2． （ 2012 福州市高三质量检查） 已知 m，t ∈ Ｒ，函数 f （ x） = （ x － t） 3 + m．
（ Ⅰ） 当 t = 1 时，
（ i） 若 f （ 1） = 1，求函数 f （ x） 的单调区间； （ ii） 若关于 x 的不等式 f （ x） ≥ x3 － 1 在区间［1，2］上有解，
（ 3） 一般地，三次函数 f （ x） = ax3 + bx2 + cx + d（ a ≠ 0） 的
“拐点”是（
－
b 3a
，f
（
－
b 3a
）
）
，它就是 f （
x）
的对称中心． 或者： 任
何一个三次函数都有拐点； 任何一个三次函数都有对称中心；
任何一个三次函数平移后可以是奇函数 ．
点评： 该两题属于信息创新题． 要求学生对新颖的信息、情
求实数 b 的值;
( Ⅱ) 令 h( x) = f ( x) － g( x) ．
三次函数的性质
三次函数的性质2015年11月13日 意琦行 数海拾贝三次函数（）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一 单调性以为例，如图1，记为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当时，为上的单调递增函数；当时，会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明 的导函数为其判别式为，进而易得结论．性质二 对称性f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0a >0Δ=−3ac b 2Δ⩽0f (x )R Δ>0f (x )f (x )(x )=3a +2bx +c ,f ′x 24(−3ac )b2如图2，的图象关于点对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为，则其解析式可以设为其中．性质二的证明 由于即于是性质二得证．例1 设直线与曲线有三个不同的交点，且，求直线的方程．解 由可知为三次函数的对称中心，由性质二可得，进而不难求得直线的方程．例2 设函数，．（1）求导数，并证明有两个不同的极值点，；f (x )P (−,f(−))b 3a b 3aP (m ,n )f (x )=α⋅+β⋅(x −m )+n ,(x −m )3α≠0f (x )=a +(c −)(x +)−++d ,(x +)b 3a 3b 23a b 3a bc 3a 2b 327a2f (x )=a +(c −)(x +)+f (−),(x +)b 3a 3b 23a b 3a b 3al y =+x +1x 3A ,B ,C |AB |=|BC |=5√l |AB |=|BC |B B (0,1)l y =2x +1f (x )=x (x −1)(x −a )a >1(x )f ′f (x )x 1x 2（2）若不等式成立，求的取值范围．（1）解 的导函数而于是有两个变号零点，从而有两个不同的极值点．（2）解 根据性质二，三次函数的对称中心是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是即结合，可得的取值范围是．注 本题为2004年高考重庆卷理科数学第题．性质三 切割线性质如图3，设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的一条割线与一条切线（点不为切点），、、均在的图象上，则点的横坐标平分、点的横坐标．f ()+f ()⩽0x 1x 2a f (x )(x )f ′=(x −1)(x −a )+x (x −a )+x (x −1)=3−2(a +1)x +a ,x 2(0)f ′(1)f ′(a )f ′=a >0,=1−a <0,=a (a −1)>0,(x )f ′f (x )(,f ())a +13a +13f ()+f ()=2f ()⩽0,x 1x 2a +132⋅⋅⋅⩽0,a +13a −23−2a +13a >1a [2,+∞)20P f (x )P f (x )AB PT P A B T f (x )T A B图3 切割线性质推论1 设是上任意一点（非对称中心），过作函数图象的两条切线、，切点分别为、，如图．则点的横坐标平分、点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设的极大值为，方程的两根为、（），则区间被和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明 设（），直线，直线，则分别将直线与直线的方程与三次函数的解析式联立，得P f (x )P f (x )PM PN M P M P N f (x )M f (x )=M x 1x 2<x 1x 2[,]x 1x 2−b 3af (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0PT :y =x +k 0m 0PAB :y =kx +m PT PAB ++(−)+−=0,32于是根据三次方程的韦达定理可得即于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数（）的图象为，若对于任意非零实数，曲线与其在点处的切线交于另一点，曲线与其在点处的切线交于另一点，线段、与曲线所围成的封闭图形的面积分别记为、．求证：是定值．图6解 由性质二，任意三次函数都可以通过平移变化变成然后可以作伸缩变换变成a +b +(c −)x +d −=0,x 3x 2k 0m 0a +b +(c −k )x +d −m =0,x 3x 22+=++,x T x P x A x B x P =,x T +x A x B 2f (x )=a +b +cx +d x 3x 2a ≠0C x 1C (,f ())P 1x 1x 1(,f ())P 2x 2x 2C P 2(,f ())P 3x 3x 3P 1P 2P 2P 3C S 1S 2S 1S 2f (x )g (x )=p +qx ,x 3而无论平移还是伸缩，题中的均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数成立即可．根据题意，联立函数与函数在处的切线方程得于是即又由性质三的推论1，可得即于是，线段与曲线所围成的封闭图形的面积类似的，线段与曲线所围成图形的面积h (x )=+rx ,x 3S 1S 2h (x )=+rx x 3h (x )=+rx x 3h (x )P 1(x −⋅(x −)=0,x 1)2x 22+=0,x 1x 2=−2.x 2x 12=+,x 1x 2x 3=4.x 3x 1P 1P 2C S 1=(x −⋅(x −)d x ∣∣∣∫x 2x 1x 1)2x 2∣∣∣=(−3x +2)d x ∣∣∣∫−2x 1x 1x 3x 21x 31∣∣∣=∣∣∣(−+2x )14x 432x 21x 2x 31∣∣∣−2x 1x 1∣∣∣=,274x 41P 2P 3C于是所求的面积之比为注 此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对成立）．性质四 切线条数如图7，过的对称中心作切线，则坐标平面被切线和函数的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数① 过区域 I、III 内的点作的切线，有且仅有三条；② 过区域 II、IV 内的点以及对称中心作的切线，有且仅有一条；③ 过切线或函数图象（除去对称中心）上的点作的切线，有且仅有两条．性质四的证明 由性质二，不妨设，坐标平面内一点．三次函数图象上处的切线方程为=,S 2274x 42==.S 1S 2()x 1x 24116f (x )=−x x 3f (x )l l f (x )y =f (x )y =f (x )l f (x )y =f (x )f (x )=+mx x 3P (a ,b )x =t即切线过点，即而三次函数对称中心处的切线方程为于是考虑直线与函数的图象公共点个数．函数的零点为和，且为它的一个极值点，由性质二的推论2知，的另外一个极值点对应的函数图象上的点的坐标为，以为例，的草图如下：容易得到结论：当时，时为个公共点，时为个公共点，时为个公共点；当时，无论取何值，均为个公共点；当时，时为个公共点，y =(3+m )(x −t )++mt ,t 2t 3y =(3+m )x −2,t 2t 3P (a,b )b =−2+3a +ma .t 3t 2y =mx ,y =b −ma h (t )=−2+3a t 3t 2h (t )03a 20h (t )(a ,)a 3a >0h (t )a <0b <+ma ∨b >ma a 31b =ma ∨b =+ma a 32+ma <b <ma a 33a =0b 1a >0b >+ma ∨b <ma a 31时为个公共点，时为个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论 ① 的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论 ①：已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．例4 设函数，其中．曲线在点处的切线方程为．（1）确定的值；（2）设曲线在点及处的切线都过点．证明：当时，；（3）若过点可作曲线的三条不同切线，求的取值范围．解 （1）的导函数为于是该函数在处的切线方程为因此b =ma ∨b =+ma a 32ma <b <+ma a 33f (x )=−x x 3y =f (x )M (t ,f (t ))a >0(a ,b )y=f (x )−a <b <f (a )f (x )=−+bx +c 13x 3a 2x 2a >0y =f (x )P (0,f (0))y =1b ,c y =f (x )(,f ())x 1x 1(,f ())x 2x 2(0,2)≠x 1x 2()≠()f ′x 1f ′x 2(0,2)y =f (x )a f (x )(x )=−ax +b ,f ′x 2x =0y =bx +c ,b =0,c =1.（2）函数在处的切线方程为当切线过点时可得于是是该方程的两个不等实根．考虑而两式相减并约去，得而于是f(x )x =t y =(−at )(x −t )+−+1,t 213t 3a 2t 2(0,2)−+1=0,23t 3a 2t 2,x 1x 2()−()f ′x 1f ′x 2=(−a)−(−a )x 21x1x 22x 2=(−)⋅(+−a ),x 1x 2x 1x 2⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪−+1=0,23x 31a2x 21−+1=0,23x 32a2x 22−x 1x 2++=,x 21x 1x 2x 2234a 2++x 21x 1x 2x 22=(+−x 1x 2)2x 1x 2>(+−(+x 1x 2)214x 1x 2)2=(+,34x 1x2)2+≠a ,x 1x 2进而可得（3）函数的对称中心为，于是在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得解得即的取值范围是．注 此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）． 练习题练习1、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示；（2）求的单调区间；（3）令，设函数在（）处取得极值，记点，，证明：线段与曲线存在异于、的公共点．()≠().f ′x 1f ′x 2f (x )(,−+1)a 2a 312y =−(x −)−+1,a 24a 2a 3121<2<−+1,a 324a >2,3√3a (2,+∞)3√3f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2MN f (x )M N练习2、已知在上是增函数，在上是减函数，且方程有三个根，它们分别为从小到大依次为、、．求的取值范围．练习3、如图8，记原点为点，由点向三次函数（）的图象（记为曲线）引切线，切于不同于点的点，再由点引此曲线的切线，切于不同于点的点．如此继续作下去，得到点列．试回答下列问题：图8（1）求数列的递推公式与初始值；（2）求，并指出点列的极限位置在何处？练习4、已知，过点作图象的切线，如果可以作出三条切线，当时，求点所在的区域面积．练习5、已知函数．（1）求在区间上的最大值；（2）若过点存在条直线与曲线相切，求的取值范围；（3）问过点，，分别存在几条直线与曲线相切？（只需写出结论）f (x )=+b +cx +d x 3x 2(−∞,0)(0,2)f (x )=0α2β|α−β|(,)P 1x 1y 1P 1y =−3a +bx x 3x 2a ≠0C P 1(,)P 2x 2y 2P 2C P 2(,)P 3x 3y 3{(,)}P n x n y n {}x n lim n →+∞x n {}P n f (x )=−x x 3(,)x 0y 0f (x )∈(0,1)x 0(,)x 0y 0f (x )=2−3x x 3f (x )[−2,1]P (1,t )3y =f (x )t A (−1,2)B (2,10)C (0,2)y =f (x )1练习6、已知函数，且．（1）试用含的代数式表示，并求的单调区间；（2）令．设函数在（）处取值极值，记点，，，．请仔细观察曲线在点处的切线与线段的位置变化趋势，并解答以下问题：① 若对任意的，线段与曲线有异于、的公共点，试确定的最小值；② 若存在点，，使得线段与曲线有异于、的公共点，请直接写出的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）的导函数为于是所求的代数表达式为（2）在（1）的基础上，有于是当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间是；f (x )=+a +bx 13x 3x 2(−1)=0f ′a b f (x )a =−1f (x ),x 1x 2<x 1x 2M (,f ())x 1x 1N (,f ())x 2x 2P (m ,f (m ))<m ⩽x 1x 2f (x )P MP m ∈(t ,]x 2MP f (x )P Q t Q (n ,f (n ))⩽n <m x 1PQ f (x )P Q m f (x )(x )=+2ax +b ,f ′x 2b =2a −1.(x )=(x +1)⋅(x +2a −1),f ′a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )a =1f (x )R当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是．（3）此时而于是，．根据性质二，该公共点为三次函数图象的对称中心．注 本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，为的导函数的零点，于是．又，于是即从而因此a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)f (x )=−−3x ,13x 3x 2(x )=−2x −3,f ′x 2M (−1,)53N (3,−9)f (x )(1,−)113x =0f (x )(x )=3+2bx +cf ′x 2c =0f (2)=08+4b +d =0,d =−4b −8,f (x )=+b −(8+4b )x 3x 2=(x −2)⋅[+(b +2)x +2b +4],x 2222另一方面，由在上是减函数得，即于是可得的取值范围是从而的取值范围是．练习3、（1） 根据已知，联立出发的切线方程与曲线的方程，得又，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得进而由性质三的推论1可得于是数列的递推公式与初始值为（2）由数列的递推公式不难得到通项于是=−4α⋅β=(2−b −16.(α−β)2(α+β)2)2f (x )(0,2)(2)⩽0f ′12+4b ⩽0,b b <−3.|α−β|[3,+∞)P 1C (x −)(x −=0,x 1x 2)2=0x 1=a .x 232∀n ⩾3∧n ∈,2=+.N ∗x n x n −1x n −2{}x n =,n ⩾3∧n ∈,=0,=a .x n +x n −1x n −22N ∗x 1x 232∀n ∈,=a ⋅[1−],N ∗x n (−)12n −1因此点列的极限位置为，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数在对称中心处的切线方程为于是根据性质四的结论 ①，我们可得所求区域面积为练习5、（1）的导函数于是可得在区间上的最大值为（2）函数在对称中心处的切线方程为根据性质四的结论 ①，可得即=a .lim n →+∞x n {}P n (a ,−2+ab )a 3f (x )(0,0)y =−x ,[−x −(−x )]d x =d x =.∫10x 3∫10x 314f (x )(x )=6−3,f ′x 2f (x )[−2,1]max {f (−),f (1)}=.2√22√f (x )(0,0)y =−3x ,−3<t <f (1),于是的取值范围是．（3）根据性质四，可得过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切；过存在条直线与曲线相切．注 本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为．（2）① 的最小值为，证明从略；② 的取值范围为．注 本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．−3<t <−1,t (−3,−1)A (−1,2)3y =f (x )B (2,10)2y =f (x )C (0,2)1y =f (x )b =2a −1a >1f (x )(−∞,1−2a )(−1,+∞)(1−2a ,−1)a =1f (x )R a <1f (x )(−∞,−1)(1−2a ,+∞)(−1,1−2a )t 2m (1,3]。
三次函数 性质大全
三次函数)0(≠a d cx bx ax x f +++=23)(性质大全本文从三个专题（专题一 三次函数的图象及单调性，专题二 三次函数的对称性，专题三 三次函数切线问题）来介绍三次数的性质，对同学们学习三次函数大有帮助，可以解绝三次函数涉及到的高考题，是能够充分准备，应对高考。
专题一 三次函数的图象及单调性c bx ax x f ++='23)(2,当01242≤-=∆ac b 时，函数是单调增函数，或单调减函数，当时042>-=∆ac b ，设0)(='x f 的两根分别为,,21x x 则原函数0>a 时函数)(x f 图象 （先上升） 0<a 时函数)(x f 图象（先下降）1.0>a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递增；)(x f 在),(21x x x ∈单调递减在1x x =处)(x f 取得极大值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极小值)(2x f ．2.0<a 时)(x f 在),(1x x -∞∈或),(2+∞∈x x 单调递减；)(x f 在),(21x x x ∈单调递增在1x x =处)(x f 取得极小值)(1x f ，在2x x =处)(x f 取得极大值)(2x f ．注意：三次函数f(x)有极值导函数(x)f '的判别式0>∆3.一般地d cx bx ax x f +++=23)()0(>a 在导数023)(2=++='c bx ax x f 有两根,,21x x 且21x x <时，在1x 处有1()()f x f x M ==极大值；在2x 处有2()()f x f x m ==极小值，4 .三次方程根的个数问题，由三次函数图象极易得到以下结论:若()y f x =为三次函数,其导数为()y f x '=,则: ⑴若()0f x '≥或()0f x '≤恒成立,则()0f x =仅有一实数解。
三次函数的性质-的总结练习
三次函数的性质三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）在高中阶段学习导数后频繁出现，同时也是其他复杂函数的重要组成部分，因此有必要对其性质有所了解，才可以做到知己知彼，百战不殆．性质一单调性以a>0为例，如图1，记Δ=b2−3ac为三次函数图象的判别式，则图1 用判别式判断函数图象当Δ⩽0时，f(x)为R上的单调递增函数；当Δ>0时，f(x)会在中间一段单调递减，形成三个单调区间以及两个极值．性质一的证明f(x)的导函数为f′(x)=3ax3+2bx+c,其判别式为4(b2−3ac)，进而易得结论．例1 设直线l与曲线y=x3+x+1有三个不同的交点A,B,C，且|AB|=|BC|=5√，求直线l的方程．解由|AB|=|BC|可知B为三次函数的对称中心，由性质一可得B(0,1)，进而不难求得直线l的方程y=2x+1．性质二对称性如图2，f(x)的图象关于点P(−b3a,f(−b3a))对称（特别地，极值点以及极值点对应的图象上的点也关于P对称）．图2 图象的对称性反之，若三次函数的对称中心为(m,n)，则其解析式可以设为f(x)=α⋅(x−m)3+β⋅(x−m)+n,其中α≠0．性质二的证明由于f(x)=a(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)−bc3a+2b327a2+d,即f(x)=(x+b3a)3+(c−b23a)(x+b3a)+f(−b3a),于是性质二得证．例2 设函数f(x)=x(x−1)(x−a)，a>1．（1）求导数f′(x)，并证明f(x)有两个不同的极值点x1，x2；（2）若不等式f(x1)+f(x2)⩽0成立，求a的取值范围．（1）解f(x)的导函数f′(x)=(x−1)(x−a)+x(x−a)+x(x−1)=3x2−2(a+2)x+a,而f′(0)f′(1)f′(a)=a>0,=1−a<0,=a(a−1)>0,于是f′(x)有两个变号零点，从而f(x)有两个不同的极值点．（2）解根据性质二，三次函数的对称中心(a+13,f(a+13))是两个极值点对应的函数图象上的点的中点．于是f(x1)+f(x2)=2f(a+13)⩽0,即2⋅a+13⋅a−23⋅−2a+13⩽0,结合a>1，可得a的取值范围是[2,+∞)．注本题为2004年高考重庆卷理科数学第20题．性质三切割线性质如图3，设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的一条割线AB与一条切线PT（P点不为切点），A、B、T均在f(x)的图象上，则T点的横坐标平分A、B点的横坐标．图3 切割线性质推论1 设P是f(x)上任意一点（非对称中心），过P作函数f(x)图象的两条切线PM、PN，切点分别为M、P，如图．则M点的横坐标平分P、N点的横坐标，如图4．图4 切割线性质推论一推论2 设f(x)的极大值为M，方程f(x)=M的两根为x1、x2（x1<x2），则区间[x1,x2]被−b3a和极小值点三等分．图5 切割线性质推论二性质三的证明设f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0），直线PT:y=k0x+m0，直线PAB:y=kx+m，则分别将直线PT与直线PAB的方程与三次函数的解析式联立，得ax3+bx2+(c−k0)x+d−m0=0,ax3+bx2+(c−k)x+d−m=0,于是根据三次方程的韦达定理可得2x T+x P=x A+x B+x P,即x T=x A+x B2,于是命题得证．推论1和推论2的证明留给读者．例3 如图6，记三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的图象为C，若对于任意非零实数x1，曲线C与其在点P1(x1,f(x1))处的切线交于另一点P2(x2,f(x2))，曲线C与其在点P2处的切线交于另一点P3(x3,f(x3))，线段P1P2、P2P3与曲线C所围成的封闭图形的面积分别记为S1、S2．求证：S1S2是定值．图6解由性质二，任意三次函数f(x)都可以通过平移变化变成g(x)=px3+qx,然后可以作伸缩变换变成h(x)=x3+rx,而无论平移还是伸缩，题中的S1S2均保持不变，因此只需要证明命题对三次函数h(x)=x3+rx成立即可．根据题意，联立函数h(x)=x3+rx与函数h(x)在P1处的切线方程得(x−x1)2⋅(x−x2)=0,于是2x1+x2=0,即x2=−2x1.又由性质三的推论1，可得2x1=x2+x3,即x3=4x1.于是，线段P1P2与曲线C所围成的封闭图形的面积S1=∣∣∣∫x2x1(x−x1)2⋅(x−x2)d x∣∣∣=∣∣∣∫−2x1x1(x3−3x21x+2x31)d x ∣∣∣=∣∣∣(14x4−32x21x2+2x31x)∣∣∣−2x1x1∣∣∣=274x41,类似的，线段P2P3与曲线C所围成图形的面积S2=274x42,于是所求的面积之比为S1S2=(x1x2)4=116.注此题即2010年高考福建卷理科数学第20题第（2）小问（第（1）小问要求证明该结论对f(x)=x3−x成立）．性质四切线条数如图7，过f(x)的对称中心作切线l，则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域，有以下结论：图7 切线条数①过区域 I、III 内的点作y=f(x)的切线，有且仅有三条；②过区域 II、IV 内的点以及对称中心作y=f(x)的切线，有且仅有一条；③过切线l或函数f(x)图象（除去对称中心）上的点作y=f(x)的切线，有且仅有两条．性质四的证明由性质二，不妨设f(x)=x3+mx，坐标平面内一点P(a,b)．三次函数图象上x=t处的切线方程为y=(3t2+m)(x−t)+t3+mt,即y=(3t2+m)x−3t3,切线过点P(a,b)，即b=−3t3+3at2+ma.而三次函数对称中心处的切线方程为y=mx,于是考虑直线y=b−ma与函数y=−3t3+3at2的图象公共点个数．当a=0时，无论b取何值，均为1个公共点；当a>0时，b−ma>0时为1个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为3个公共点；当a<0时，b−ma>0时为3个公共点，b−ma=0时为2个公共点，b−ma<0时为1个公共点．综上，性质四得证．在高考中，对结论①的考察最为常见，例如2007年高考全国II卷理科数学第22题（压轴题）就是证明性质四的结论①：已知函数f(x)=x3−x．（1）求曲线y=f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程；（2）设a>0，如果过点(a,b)可作曲线y=f(x)的三条切线，证明：−a<b<f(a)．例4 设函数f(x)=13x3−a2x2+bx+c，其中a>0．曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1．（1）确定b,c的值；（2）设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)．证明：当x1≠x2时，f′(x1)≠f′(x2)；（3）若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线，求a的取值范围．解（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2−ax+b,于是该函数在x=0处的切线方程为y=bx+c,因此b=0,c=1.（2）函数f(x)在x=t处的切线方程为y=(t2−at)(x−t)+13t3−a2t2+1,当切线过点(0,2)时可得23t3−a2t2+1=0,于是x1,x2是该方程的两个不等实根．考虑f′(x1)−f′(x2)=(x21−ax1)−(x22−ax2)=(x1−x2)⋅(x1+x2−a),而⎧⎧⎧⎧⎧⎧⎧23x31−a2x21+1=0,23x32−a2x22+1=0,两式相减并约去x1−x2，得x21+x1x2+x22=34a2,而x21+x1x2+x22=(x1+x2)2−x1x2>(x1+x2)2−14(x1+x2)2=34(x1+x2)2,于是x1+x2≠a,进而可得f′(x1)≠f′(x2).（3）函数f(x)的对称中心为(a2,−a312+1)，于是在对称中心处的切线方程为y=−a24(x−a2)−a312+1,根据性质四的结论①，可得1<2<−a324+1,解得a>23√3,即a的取值范围是(23√3,+∞)．注此题为2010年高考湖北卷文科数学第21题（压轴题）．练习题练习1、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b；（2）求f(x)的单调区间；（3）令a=−1，设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取得极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，证明：线段MN与曲线f(x)存在异于M、N的公共点．练习2、已知f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0)上是增函数，在(0,2)上是减函数，且方程f(x)=0有三个根，它们分别为从小到大依次为α、2、β．求|α−β|的取值范围．练习3、如图8，记原点为点P1(x1,y1)，由点P1向三次函数y=x3−3ax2+bx（a ≠0）的图象（记为曲线C）引切线，切于不同于点P1的点P2(x2,y2)，再由点P2引此曲线C的切线，切于不同于点P2的点P3(x3,y3)．如此继续作下去，得到点列{P n(x n,y n)}．试回答下列问题：图8（1）求数列{x n}的递推公式与初始值；（2）求lim n→+∞x n，并指出点列{P n}的极限位置在何处？练习4、已知f(x)=x3−x，过点(x0,y0)作f(x)图象的切线，如果可以作出三条切线，当x0∈(0,1)时，求点(x0,y0)所在的区域面积．练习5、已知函数f(x)=2x3−3x．（1）求f(x)在区间[−2,1]上的最大值；（2）若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切，求t的取值范围；（3）问过点A(−1,2)，B(2,10)，C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切？（只需写出结论）练习6、已知函数f(x)=13x3+ax2+bx，且f′(−1)=0．（1）试用含a的代数式表示b，并求f(x)的单调区间；（2）令a=−1．设函数f(x)在x1,x2（x1<x2）处取值极值，记点M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m))，x1<m⩽x2．请仔细观察曲线f(x)在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解答以下问题：①若对任意的m∈(t,x2]，线段MP与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，试确定t的最小值；②若存在点Q(n,f(n))，x1⩽n<m，使得线段PQ与曲线f(x)有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必写出求解过程）．练习题的参考答案练习1、（1）f(x)的导函数为f′(x)=x2+2ax+b,于是所求的代数表达式为b=2a−1.（2）在（1）的基础上，有f′(x)=(x+1)⋅(x+2a−1),于是当a<1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间是R；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间是(−∞1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间是(1−2a,−1)．（3）此时f(x)=13x3−x2−3x,而f′(x)=x2−2x−3,于是M(−1,53)，N(3,−9)．根据性质二，该公共点为三次函数f(x)图象的对称中心(1,−113)．注本题为2009年高考福建卷文科数学第21题（压轴题）．练习2、根据题意，x=0为f(x)的导函数f′(x)=3x2+2bx+c的零点，于是c=0．又f(2)=0，于是8+4b+d=0,即d=−4b−8,从而f(x)=x3+bx2−(8+4b)=(x−2)⋅[x2+(b+2)x+2b+4],因此(α−β)2=(α+β)2−4α⋅β=(2−b)2−16.另一方面，由f(x)在(0,2)上是减函数得f′(2)⩽0，即12+4b⩽0,于是可得b的取值范围是b<−3.从而|α−β|的取值范围是[3,+∞)．练习3、（1）根据已知，联立P1出发的切线方程与曲线C的方程，得(x−x1)(x−x2)2=0,又x1=0，切线方程只能改变左边三次式的一次项和常数项，于是可得x2=32a.进而由性质三的推论1可得∀n⩾3∧n∈N∗,2x n=x n−1+x n−2.于是数列{x n}的递推公式与初始值为x n=x n−1+x n−22,n⩾3∧n∈N∗,x1=0,x2=32a.（2）由数列的递推公式不难得到通项∀n∈N∗,x n=a⋅[1−(−12)n−1],于是lim n→+∞x n=a.因此点列{P n}的极限位置为(a,−2a3+ab)，也就是三次函数的对称中心．练习4、函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−x,于是根据性质四的结论①，我们可得所求区域面积为∫10[x3−x−(−x)]d x=∫10x3d x=14.练习5、（1）f(x)的导函数f′(x)=6x2−3,于是可得f(x)在区间[−2,1]上的最大值为max{f(−2√2),f(1)}=2√.（2）函数f(x)在对称中心(0,0)处的切线方程为y=−3x,根据性质四的结论①，可得−3<t<f(1),即−3<t<−1,于是t的取值范围是(−3,−1)．（3）根据性质四，可得过A(−1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切；过B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切；过C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切．注本题为2014年高考北京卷文科数学第20题（压轴题）．练习6、（1）b=2a−1；当a>1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,1−2a)和(−1,+∞)，单调递减区间为(1−2a,−1)；当a=1时，函数f(x)的单调递增区间为R；当a<1时，函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)和(1−2a,+∞)，单调递减区间为(−1,1−2a)．（2）①t的最小值为2，证明从略；②m的取值范围为(1,3]．注本题为2009年高考福建卷理科数学第21题（压轴题）．。
三次函数专题
三次函数专题一、定义：定义1、形如32(0)y ax bx cx d a =+++≠的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）。
定义2、三次函数的导数232(0)y ax bx c a '=++≠，把2412b ac ∆=-叫做三次函数导函数的判别式。
由于三次函数的导函数是二次函数，而二次函数是高中数学中的重要内容，所以三次函数的问题，已经成为高考命题的一个新的热点和亮点。
二、三次函数图象与性质的探究： 1、单调性。
一般地，当032≤-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上是单调函数；当032>-ac b 时，三次函数)0(23≠+++=a d cx bx ax y 在R 上有三个单调区间。
（根据0,0<>a a 两种不同情况进行分类讨论） 2、对称中心。
三次函数)0()(23≠+++=a d cx bx ax x f 是关于点对称，且对称中心为点))3(,3(abf a b --，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。
【证明：设函数的对称中心为（m ，n ）。
按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以化简得：上式对恒成立，故，得，。
所以，函数的对称中心是（）。
可见，y ＝f(x)图象的对称中心在导函数y ＝的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。
3、三次方程根的问题。
（1）当△=01242≤-ac b 时，由于不等式0)(≥'x f 恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。
(（2）当△=01242>-ac b 时，由于方程0)(='x f 有两个不同的实根21,x x ，不妨设21x x <，可知，))(,(11x f x 为函数的极大值点，))(,(22x f x 为极小值点，且函数)(x f y =在),(1x -∞和),(2+∞x 上单调递增，在[]21,x x 上单调递减。
11三次函数-解析版-2023届高考数学二轮复习
第11讲 三次函数知识与方法1．单调性当230b ac -≤时，三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠在R 上是单调函数；当230b ac ->时，三次函数()320y ax bx cx d a =+++≠在R 上有3个单调区间．证明：()320y ax bx cx d a =+++≠232y ax bx c '=++()()()2224343b a c b ac ∆=-=-∴当()2430b ac ∆=-≤时，232y ax bx c '=++与x 轴无交点或有一个交点，0y '≥或0y '≤恒成立，原函数单调．当()2430b ac ∆=->时，232y ax bx c '=++与x 轴有两个交点，原函数有3个单调区间．2．对称中心三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠是关于点对称的，且对称中心为点,33bb f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标． 证明：只需证明33b b f x f x a a ⎛⎫⎛⎫-++--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭常数，即可．3．三次函数()f x 图象的切线条数过()32f x ax bx cx d =+++（0a ≠）的对称中心作切线l ，则坐标平面被切线l 和函数()f x 的图象分割为四个区域，有以下结论：①过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作()f x 的切线，有且仅有三条；②过区域Ⅱ、Ⅳ内的点以及对称中心作()f x 的切线，有且仅有一条；③过切线l 或函数()f x 图象（除去对称中心）上的点作()f x 的切线，有且仅有两条．切线条数口诀：内一、上二、外三．典型例 题【例1】 已知过点()1,1P 且与曲线3y x =相切的直线的条数有（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】【解法1】若直线与曲线切于点()()000,0x y x ≠，则3200000011111y x k x x x x --===++--．∵23y x '=，∴0203x x y x ='=，∴200210x x --=，∴01x =，012x =-， ∴过点()1,1P 与曲线3y x =相切的直线方程为320x y --=或3410x y -+=，【解法1】由大招结论，3y x =的中心对称点为()0,0A ，过点A 的切线方程为0y =．点()1,1P 在曲线3y x =上，根据切线条数口诀：内一、上二、外三．P 与曲线3y x =有2条切线． 【答案】 C ．【例2】 对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，定义：()f x ''是函数()y f x =的导数()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数解 0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的“拐点”．有机智的同学发现“任何三次函数都有‘拐点’；任何三次函数都有对称中心，且‘拐点’就是对称中心”．请你将这一机智的发现作为条件，求： （1）函数()32331f x x x x =-++的图象对称中心为______；（2）若函数()3211533212g x x x x =-+-，则122015201620162016g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭______．【解析】 依题意得：()2363f x x x '=-+，∴()66f x x ''=-．由()0f x ''=，即660x -=．∴1x =，又∵()12f =，∴函数()32331f x x x x =-++的图象对称中心为()1,2．（2）依题意，设()3211533212g x x x x =-+-，得：()23g x x x '=-+，∴()21g x x ''=-．由()0g x ''=，即210x -=．∴12x =，又∵112g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴函数()g x 对称中心为1,12⎛⎫⎪⎝⎭，()()12g x g x +-=． 所以1220152015201620162016g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．【答案】（1）()1,2；（2）2015．【例3】已知过第二象限内的点(),P a b 能且只能向函数()3f x x tx =-（t 为给定的正常数）的图象作两条切线，则()221z a b =+-的最小值为（ ） A ．211t + B 21t +C ．21t + D 21t +【解析】【解法1】 设切点为(),m n ，()3f x x tx =-的导数为()23f x x t '=-，可得切线的方程为()()()323y m tm m tx m --=--，代入点(),P a b ，可得()()()323b m tm m t a m --=--，即有32230m am b at -++=，设()3223g m m am b at =-++，()266g m m am '=-，由()0g m '=，解得0m =或m a =，0a <，可得0m =为极小值点，m a =为极大值点，由题意可得()00g =，()0g a >，即有0b at +=，b at =-表示以O 为端点在第二象限的射线，()221z a b =+-表示点()0,1与(),a b 两点的距离的平方，由点()0,1到射线0at b +=的距21t +()231z a b =+-的最小值为211t +．故选A ． 方法2：()3f x x tx =-，()23f x x t '=-，()6f x x ''=，令()60f x x ''==，得0x =．所以对称中心为()0,0O ，()0f t '=-，在O 点切线方程为y tx =-．根据“内一上二外三”，点(),P a b 位于第二象限中，而且在三次函数上或者过原点的切线上．所以()221z a b =+-表示点()0,1与(),a b 两点的距离的平方，由点()0,1到射线0at b +=21t+，则()231z a b =+-的最小值为211t+．故选A ．【例4】已知函数()323f x x x =-．（1）求()f x 在区间[]2,1-上的最大值；（2）若过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切，求t 的取值范围；（3）问过点()1,2A -，()2,10B ，()0,2C 分别存在几条直线与曲线()y f x =相切?（只需写出结论）【解析】 （1）由()323f x x x =-得()263f x x '=-，令()0f x '=，得22x =-或22x =， ∵()210f -=-，22f ⎛= ⎝⎭22f =-⎝⎭()11f =-，∴()f x 在区间[]2,1-2．（2）【解法1】 设过点()1,P t 的直线与曲线()y f x =相切于点()00,x y ，则300023y x x =-，且切线斜率为2063k x =-，∴切线方程为()()200063y y x x x -=--，∴()()2000631t y x x -=--，即304x 20630x t -++=，设()32463g x x x t =-++，则“过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切”，等价于“()g x 有3个不同的零点”．∵()()21212121g x x x x x '=-=-，∴()g x 与()g x '变化情况如下：x(),0-∞0 ()0,11 ()1,+∞()g x ' + 0― 0+ ()g x↗3t + ↘1t +↗∴03g t =+是g x 的极大值，11g t =+是g x 的极小值．当()030g t =+≤，即3t ≤-时，()g x 在区间(],1-∞和()1,+∞上分别至多有一个零点，故()g x 至多有2个零点．当()110g t =+≥，即1t ≥-时，()g x 在区间(],0-∞和()0,+∞上分别至多有一个零点，故()g x 至多有2个零点．当()00g >且()10g <，即31t -<<-时，∵()170g t -=-<，()2110g t =+>， ∴()g x 分别在区间[)1,0-和[)0,1以及[)1,2上恰有1个零点，由于()g x 在区间(),0-∞和[)1,+∞上单调，故()g x 分别在区间(),0-∞和[)1,+∞上恰有1个零点．综上所述，当过点()1,P t 存在3条直线与曲线()y f x =相切时，t 的取值范围是()3,1--． 【解法2】 （此大招可快速秒答案，但考试还是建议普通方法）显然函数的对称中心为()0,0，而()03f '=-，故切线为3y x =-，当1x =时，()1231f =-=-，而13x y ==-，故t 的取值范围是()3,1--．（3）过点()1,2A -存在3条直线与曲线()y f x =相切； 过点()2,10B 存在2条直线与曲线()y f x =相切； 过点()0,2C 存在1条直线与曲线()y f x =相切． 【例5】已知函数()1110nn n n n f x a x a xa x a --=++⋅⋅⋅++，其中0i a ≠，0,1,,i n =⋅⋅⋅．（1）若存在12x x <，使得()()()212331322x x a f x f x -'='<，证明：()()3132f x f x >；（2）当3n ≥时，若()n f x 存在1n -个极值点，证明：21221n n n na a a n -->-． 【解析】 （1）设()()()23312321332f x a x x x x a x a x a λ'=--+=++则()231232a a x x =-+，13123a a x x λ=+，其中λ为常数，根据题设知()21232x x a λ-<．()()()()()()()()222313231211223121212312332f x f x a x x x x x x a x x x x x x a x x λ-=-++--++-+()()313212f x f x x x --()()22231122312312332a x x x x a x x a x x λ=++-+++()()()22123223112231231233022x x a a x x x x a x x a x x -<++-+++=因为12x x <，所以()()3132f x f x >．（2）假设当2n ≥时，()n f x 存在n 个零点，设1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 为()n f x 的n 个零点， 则()()()()111012nn n n n n n f x a x a xa x a a x x x x x x --=++⋅⋅⋅++=--⋅⋅⋅-，所以()121n n n a x x x a --++⋅⋅⋅+=，21n i j n i j na x x a -≤<≤=∑，即112n n n a x x x a -++⋅⋅⋅+=-，21n i j n i j na x x a -≤<≤=∑， 因为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 互不相等，且1i j i j nx x ≤<≤∑包含()212nn n C -=项，所以21121ni i j i i j nx x x n =≤<≤>-∑∑， 所以()()222121211122211nn n n i i j i ji i j n i j n n n a na n x x x x x x x x a n n a --=≤<≤≤<≤⎛⎫++⋅⋅⋅+==+>= ⎪--⎝⎭∑∑∑， 所以21221n n n na a a n -->-． 当3n ≥时，若()n f x 存在1n -个极值点， 即1n -次函数()()12111n n n n n f x na x n a x a ---'=+-+⋅⋅⋅+存在1n -个零点，所以()()()221221122n n n n n a na n a n ---->⋅⋅--，所以21221n n n na a a n -->-． 强化训练1．对于三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设()f x '是函数()y f x =的导数，()f x ''是()f x '的导数，若方程()0f x ''=有实数【解析】 0x ，则称点()()00,x f x 为函数()y f x =的对称中心（也称为函数的拐点），若()32341f x x x x =-+-，则()y f x =的图象的对称中心为______．【解析】 ∵函数()32341f x x x x =-+-，∴()2364f x x x '=-+，∴()66f x x ''=-，令()660f x x ''=-=，解 得1x =，且()11f =，故函数()32341f x x x x =-+-的对称中心为()1,1， 【答案】()1,1．2．设()32f x ax bx cx =++的极小值为2-，其导函数()y f x ='的图象是经过点()1,0-，()1,0开口向上的抛物线，如图所示．（1）求()f x 的解析式；（2）若2m ≠-，且过点()1,m 可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．【解析】（1）由图象可知，在(),1-∞-上()0f x '>，在()1,1-上()0f x '<．在()1,+∞上()0f x '>．故()f x 在()(),11,-∞-⋃+∞上递增，在()1,1-上递减．因此()f x 在1x =处取得极小值， ∴()12f a b c =++=-，∵()232f x ax bx c '=++，∴()10f '-=，()10f '=，∴2113b a --+=，即0b =，113ca-⨯=，即3c a =-，∴1a =，0b =，3c =-，∴()33f x x x =-．（2）方法1：过点()1,A m 向曲线()y f x =作切线，设切点为()00,x y ，则30003y x x =-，()20033k f x x ='=-，则切线方程为()()()320000333y x x x x x --=--，将()1,A m 代入上式，整理得32002330x x m -++=．∵过点()()1,2A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线， ∴方程322330x x m -++=有三个不同实数根．记()32233g x x x m =-++，()()26661g x x x x x '=-=-，令()0g x '=，得0x =或1，则x ，()g x '，()g x 的变化情况如下表：x(),0-∞0 ()0,11 ()1,+∞()g x ' + 0 ― 0 + ()g x↗极大↘极小↗当0x =，g x 有极大值3m +；1x =，g x 有极小值2m +，由题意有，当且仅当()()00,10,g g ⎧>⎪⎨<⎪⎩即30,20,m m +>⎧⎨+<⎩解 得32m -<<-时函数()g x 有三个不同零点．此时过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线．故m 的取值范围是()3,2--．方法2：显然三次函数对称中心为()0,0，而()03f '=-，故切线为3y x =-，当1x =时，()113f =-=2-，而13x y ==-，故m 的取值范围是()3,2--．3．设函数()32132a f x x x bx c =-++，其中0a >，曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =． （1）确定b ，c 的值；（2）设曲线()y f x =在点()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2．证明：当12x x ≠时，()()12f x f x '≠'；（3）若过点()0,2可作曲线()y f x =的三条不同切线，求a 的取值范围．【解析】（1）由()32132a f x x x bx c =-++，得()0f c =，()2f x x ax b '=-+，()0f b '=． 又由曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为1y =，得()01f =，()00f '=．故0b =，1c =．（2）证明：()321132a f x x x =-+，()2f x x ax '=-，由于点()(),t f t 处的切线方程为()()()y f t f t x t -='-，而点()0,2在切线上，所以()()()2f t f t t -='-，化简得3221032a t t -+=．即t 满足的方程为323t -2102at +=．下面用反证法证明． 假设()()12f x f x '='，由于曲线()y f x =在点()()11,x f x 及()()22,x f x 处的切线都过点()0,2，则下列等式成立：321132222211222103221032a x x a x x x ax x ax ⎧-+=⎪⎪⎨-+=⎪⎪-=-⎩①②③由③得12x x a +=，由①―②得222112234x x x x a ++=④ 又()()222222222112212121111133244a x x x x x x x x a x a x x ax a x a a ⎛⎫++=+-=--=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故由④得12a x =，此时22ax =与12x x ≠矛盾，所以()()12f x f x '≠'．（3）方法1：由（2）知，过点()0,2可作()y f x =的三条切线，等价于方程()()()20f t f t t -='-有三个相异的实根，即等价于方程3221032at t -+=有三个相异的实根． 设()322132a g t t t =-+，则()2222a g t t at t t ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭．由于0a >，故有 t(),0-∞0 0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭2a ,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()g t ' + 0 ― 0+ ()g t↗极大值1↘极小值3124a -↗由()g t 的单调性知：当且仅当1024a -<时，()0g t =有三个相异的实根． 即323a >a 的取值范围是()323,+∞．方法2：由于()321132a f x x x =-+，故()2f x x ax '=-，()2f x x a ''=-，令()0f x ''=，即2ax =，此时31212a a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，而224a a f ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，故切线为3211242a a a y x ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭，当0x =时，3124a y =+，即保证324a 12+>即可，即324a >，故323a >a的取值范围是()323,+∞．4．设a 为实数，函数()33f x x x a =-++．（1）求()f x 的极值；（2）是否存在实数a ，使得方程()0f x =恰好有两个实数根?若存在，求出实数a 的值；若不存在，请说明理由．【解析】（1）()233f x x '=-+，令()0f x '=，得1x =-或1x =．∵当(),1x ∈-∞-时，()0f x '<；当()1,1x ∈-时，()0f x '>； 当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，∴()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-上单调递增． ∴()f x 的极小值为()12f a -=-，极大值为()12f a =+．（2）方程()0f x =恰好有两个实数根，等价于直线y a =与函数33y x x =-的图象有两个交点．∵3y x =3x -，∴233y x '=-．令0y '>，【解析】 得1x >或1x <-；令0y '<，解 得11x -<<．∴33y x x =-在()1,1-上为减函数，在()1,+∞和(),1-∞-上为增函数．∴当1x =-时，2y =极大值；当1x =时，2y =-极小值．∴33y x x =-的大致图象如图所示．y a =表示平行于x 轴的一条直线，由图象知，当2a =或2a =-时，y a =与33y x x =-有两个交点．故当2a =或2a =-时，方程()0f x =恰好有两个实数根．5．已知函数()3232f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点()0,2处的切线与x 轴交点的横坐标为2-． （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点． 【解析】（1）()236f x x x a '=-+，()0f a '=．曲线()y f x =在点()0,2处的切线方程为2y ax =+． 由题设得22a-=-，所以1a =． （2）由（1）知，()3232f x x x x =-++设()()()322314g x f x kx x x k x =-+=-+-+，由题设知10k ->． 当0x ≤时，()23610g x x x k '=-+->，()g x 单调递增，()110g k -=-<，()04g =，所以()0g x =在(],0-∞有唯一实根．当0x >时，令()3234h x x x =-+，则()()()()1g x h x k x h x =+->．()()23632h x x x x x '=-=-，()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增，所以()()()20g x h x h >≥=，所以()0g x =在()0,+∞没有实根．综上，()0g x =在R 有唯一实根，即曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点．6．已知函数()()32113f x x x ax a =+++∈R ． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0a <时，试讨论是否存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭． 【解析】（1）()22f x x x a '=++，方程220x x a ++=的判别式：44a ∆=-． ∴当1a ≥时，0∆≤，∴()0f x '≥，此时()f x 在(),-∞+∞上为增函数． 当1a <时，方程220x x a ++=的两根为11a --当(,11x a ∈-∞--时，()0f x '>，∴此时()f x 为增函数，当(11,11x a a ∈----时，()0f x '<，∴此时()f x 为减函数， 当()11,x a ∈--+∞时，()0f x '>，∴此时()f x 为增函数，综上，1a ≥时，()f x 在(),-∞+∞上为增函数当1a <时，()f x 的单调递增区间为(,11a -∞--，()11,a --+∞．()f x 的单调递减区间为(11,11a a -----．（2）()3232000011111111233222f x f x x ax a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+++-+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦323200011113222x x a x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦20000001111113224222x x x x x a x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++-++- ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 20000111236122x x x x a ⎛⎫⎛⎫=-+++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()200011414712122x x x a ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭∴若存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭， 必须2004147120x x a +++=在110,,122⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上有解 ， ∵0a <，∴()()21416712421480a a ∆=-+=->，142214872148a a-±--±-=00x >，∴0x 72148a -+-，依题意，7214801a-+-<<，即7214811a <-<，∴492148121a <-<，即2571212a -<<-， 又由72148142a -+-=，得54a =-，故欲使满足题意的0x 存在，则54a ≠-．∴当25557,,124412a ⎛⎫⎛⎫∈--⋃-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，存在唯一的0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭满足()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．当2575,,012124a ⎛⎤⎡⎫⎧⎫∈-∞-⋃-⋃-⎨⎬ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭⎩⎭时，不存在0110,,122x ⎛⎫⎛⎫∈⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 使()012f x f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．7．已知函数()322f x x ax b =-+． （1）讨论()f x 的单调性；（2）是否存在a ，b ，使得()f x 在区间[]0,1的最小值为1-且最大值为1?若存在，求出a ，b 的所有值；若不存在，说明理由．【解析】（1）()()26223f x x ax x x a '=-=-．令()0f x '=，得0x =或3ax =． 若0a >，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当0,3a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在(),0-∞，,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，在0,3a ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；若0a =，()f x 在(),-∞+∞单调递增； 若0a <，则当(),0,3a x ⎛⎫∈-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,03a x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<．故()f x 在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，()0,+∞单调递增，在,03a⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减．（2）满足题设条件的a ，b 存在．（ⅰ）当0a ≤时，由（1）知，()f x 在[]0,1单调递增，所以()f x 在区间[]0,l 的最小值为()0f b =，最大值为()12f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当1b =-，21a b -+=，即0a =，1b =-．（ⅱ）当3a ≥时，由（1）知，()f x 在[]0,1单调递减，所以()f x 在区间[]0,1的最大值为()0f b =，最小值为()12f a b =-+．此时a ，b 满足题设条件当且仅当21a b -+=-，1b =，即4a =，1b =．（ⅲ）当03a <<时，由（1）知，()f x 在[]0,1的最小值为3327a a f b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最大值为b 或2a b -+．若3127a b -+=-，1b =，则332a =，与03a <<矛盾． 若3127a b -+=-，21a b -+=，则33a =33a =-0a =，与03a <<矛盾． 综上，当且仅当0a =，1b =-或4a =，1b =时，()f x 在[]0,1的最小值为1-，最大值为1．8．已知函数()3214f x x x x =-+． （1）求曲线()y f x =的斜率为1的切线方程； （2）当[]2,4x ∈-时，求证：()6x f x x -≤≤；（3）设()()()F x f x x a =-+（a ∈R ），记()F x 在区间[]2,4-上的最大值为()M a ．当()M a 最小时，求a 的值．【解析】（1）由()3214f x x x x =-+得()23214f x x x '=-+． 令()1f x '=，即232114x x -+=，得0x =或83x =．又()00f =，88327f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以曲线()y f x =的斜率为1的切线方程是y x =与88273y x -=-， 即y x =与6427y x =-．（2）令()()g x f x x =-，[]2,4x ∈-．由()3214g x x x =-得()2324g x x x '=-． 令()0g x '=得0x =或83x =．()g x '，()g x 的情况如下：x2-()2,0-0 80,3⎛⎫ ⎪⎝⎭838,43⎛⎫ ⎪⎝⎭4 ()g x '+ ―+ ()g x6-↗↘6427-↗所以g x 的最小值为6-，最大值为0． 故()60g x -≤≤，即()6x f x x -≤≤． （3）由（2）知，当3a <-时，()()()003M a F g a a ≥=-=->； 当3a >-时，()()()2263M a F g a a ≥-=--=+>； 当3a =-时，()3M a =． 综上，当()M a 最小时，3a =-．9．设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c ∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，()48f =，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{}3,1,3-中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <≤，1c =，且()f x 的极大值为M ，证明：427M ≤． 【解析】（1）因为a b c ==，所以()()()()()3f x x a x b x c x a =---=-． 因为()48f =，所以()348a -=，解 得2a =． （2）因为b c =，所以()()()()()232222f x x a x b x a b x b a b x ab =--=-+++-， 从而()()233a b f x x b x +⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭．令()0f x '=，得x b =或23a b x +=． 因为a ，b ，23a b+都在集合{}3,1,3-中，且a b ≠， 所以213a b+=，3a =，3b =-． 此时()()()233f x x x =-+，()()()331f x x x '=+-． 令()0f x '=，得3x =-或1x =．列表如下：x(),3-∞-3-()3,1-1 ()1,+∞()f x '+ 0 ― 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗所以()f x 的极小值为()()()1131332f =-+=-．（3）因为0a =，1c =，所以()()()()3211f x x x b x x b x bx =--=-++，()()2321f x x b x b '=-++．因为01b <≤，所以()()2241122130b b b ∆=+-=-+>， 则()f x '有2个不同的零点，设为1x ，()212x x x <．由()0f x '=，得2111b b b x +--+=，2211b b b x ++-+=．列表如下：x()1,x -∞1x()12,x x2x()2,x +∞()f x ' + 0 ― 0 + ()f x↗极大值↘极小值↗所以f x 的极大值1M f x =．【解法1】()()3211111M f x x b x bx ==-++()()()22111121113213999b b b b x b x b x b x -+++⎛⎫⎡⎤=-++--+ ⎪⎣⎦⎝⎭()()()(23221112127927b b b b b b b --+++=++-+()()()()231211211272727b b b b b b +-+=-+-+()124272727b b +≤+≤．因此427M ≤．【解法2】因为01b <≤，所以()10,1x ∈．当()0,1x ∈时，()()()()211f x x x b x x x =--≤-．令()()21g x x x =-，()0,1x ∈，则()()1313g x x x ⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭． 令()0g x '=，得13x =．列表如下： x10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()g x ' + 0 ― ()g x↗极大值↘所以当3x =时，()g x 取得极大值，且是最大值，故()max 14327g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭．所以当()0,1x ∈时，()()427f x g x ≤≤，因此427M ≤．10．若函数()y f x =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数()y f x =的极值点．设函数()()321f x x tx t =-+∈R ．（1）若函数()f x 在()0,1在无极值点，求t 的取值范围；（2）证明：对任意实数t ，函数()f x 的图像总存在两条切线相互平行；（3）当3t =时，函数()f x 的图像存在的两条平行切线之间的距离为4，求满足此条件的平行切线共有几组．【解析】（1）()()23232f x x tx x x t '=-=-，令()0f x '=，解 得10x =，223tx =， 因为()f x 在()0,1上无极值点，所以()20,13t ∉，即t 的取值范围为(]3,0,2⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭． （2）()232f x x tx '=-，取()121223tx x x x +=≠，则有()()12f x f x '='， 此时()()()()3322121212221122121212x x t x x f x f x xx x x t x x x x x x ----==++-+--，且()()()()222212121222121212332222f x f x x x t x x x x x x t x x '+'+-++==++-+，因为12x x ≠，所以2212122x x x x +≠，所以()()()()1212122f x f x f x f x x x -'+'≠-， 即()()()()121212f x f x f x f x x x -≠'='-，所以曲线()y f x =在1x x =处与2x x =处的切线平行．（3）当3t =时，()3231f x x x =-+，()236f x x x '=-，令()()()1212f x f x x x '='>，则122x x +=，所以11x >， 所以：()()()2223322121212121212121212242,86x x x x x x x x x x x x x x x x x x +=+-=-+=++-=-， 所以()()()3322121212322f x f x x x x x +=+-++=-，所以()()11,x f x ，()()22,x f x 的中点为()1,1-，即点()1,1-到1x x =处的切线距离为2， 曲线()y f x =在1x x =处的切线方程为()()232111113631y x x x x xx =--+-+，整理得()2321111362310x x x y x x ---++=，点()1,1-到直线的距离()32111221126622361x x x d xx -+-+==-+，整理得()()4321111112421230x x x x x x ---++=，故12x =符合设()43242123g x x x x x =--++，()()()()4113g x x x x '=+--，列表可知，()g x 在()1,3上单调递减，在()3,+∞单调递增， 又因为()230g =>，()360g =-<，()4190g =>， 所以存在()2,3s ∈及()3,4t ∈，使得()()0g s g t ==， 故12x =，s ，t 均符合题意，所以满足条件的平行切线共有三组．11．已知函数()()324,f x ax bx a a b =+-∈R ．（1）当1a b ==，求()f x 的单调增区间；（2）当0a ≠时，若函数()f x 恰有两个不同的零点，求ba的值； （3）当0a =时，若()ln f x x <的【解析】 集为(),m n ，且(),m n 中有且仅有一个整数，求实数b 的取值范围．【解析】（1）当1a b ==时，()324f x x x =+-，则()232f x x x '=+，令()0f x '>，解得()2,0,3x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭，即()f x 的单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()0,+∞；（2）因为0a ≠，所以()324b f x a x x a ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，设b t a =， 则()324g x x tx =+-恰好有两个不同的零点，令()232g x x tx '=+，解得10x =，223tx =-由题意可知，只需()2003t g g ⎛⎫⋅-= ⎪⎝⎭即可，整理得327t =，解 得3t =； （3）当0a =时，()2f x bx =，则不等式2ln bx x <可化为2ln x b x <，设()2ln xh x x=， 则()312ln xh x x-'=，当(e x ∈时，()0h x '>，即()h x 单调递增， 当)e,x ∈+∞时，()0h x '<，即()h x 单调递减，因为()10h =，()ln 224h =，()ln 339h =，所以ln 3ln 2,94b ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭．12．设函数()323f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间；（2）若函数()y f x m =-在区间[]1,2-上有三个零点，求实数m 的取值范围； （3）设函数()ln a g x x x x =+，如果对任意的1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x g x ≤成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）()()23232f x x x x x '=-=-． 由()0f x '>，得0x <或23x >； 由()0f x '<，得203x <<，所以()f x 的单调递增区间是(),0-∞，2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，单调递减区间是20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）令()()h x f x m =-，则()323h x x x m =---，()()23232h x x x x x '=-=-，由（1）知函数()h x 在0x =处取得极大值()03h m =--，在23x =处取得极小值285327h m ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭． 因为函数()y f x m =-在区间[]1,2-上有三个零点，所以()()()150,030,2850,327210,h m h m h m h m ⎧-=--≤⎪=-->⎪⎪⎨⎛⎫=--< ⎪⎪⎝⎭⎪=-≥⎪⎩解得85327m -<<-， 所以实数m 的取值范围是85,327⎛⎫-- ⎪⎝⎭． （3）由（1）知，函数()f x 在12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在2,23⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 而12528f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，()21f =，故()f x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()21f =． 因为“对任意的1x ，21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都有()()12f x x ≤成立”等价于“对任意1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()max g x f x ≥恒成立”．即当1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()ln 1ag x x x x =+≥恒成立， 即2ln a x x x ≥-恒成立．记()2ln u x x x x =-，则有()max a u x ≥．()12ln u x x x x '=--，可知()10u '=．当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，10x ->，2ln 0x x <， 则()0u x '>，()u x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 当()1,2x ∈时，10x -<，2ln 0x x >， 则()0u x '<，()u x 在()1,2上单调递减． 故()u x 在区间1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为()11u =，所以实数a 的取值范围是[)1,+∞．13．函数()3231f x ax ax bx =+++满足[)3,x ∈-+∞时有()13xf x ≤+恒成立，且0a ≠． （1）求a 的取值范围及b 的值；（2）证明：函数()()()29e 3x g x x f x =-+有且仅有唯二零点．【解析】（1）函数()3231f x ax ax bx =+++满足[)3,x ∈-+∞时，有()13xf x ≤+恒成立等价于3221133033ax ax b x x ax ax b ⎛⎫⎛⎫++-=++-≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[)3,x ∈-+∞恒成立，∴等价于[]3,0x ∈-时，21303ax ax b ++-≥，和()0,x ∈+∞时，21303ax ax b ++-≤； 则0x =是方程21303ax ax b ++-=的一个根，即为103b -=，则13b =，因为当[]3,0x ∈-时，()30ax x +≥，则0a <． （2）证明：由（1）知()()3221131333f x ax ax x ax x ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭， ()()()()23219e 39e 33x x g x x f x x ax ⎛⎫=-+=-++ ⎪⎝⎭，则()339e0g --=>，当3x ≠-，()()239e 133xh x ax x =--+， 则()()()449e 233x x a x h x x ⎡⎤-+⎣⎦'=+，且()49e 230x a x -+>，当0x >时，()0h x '>，函数()h x 单调递增； 当30x -<<时，()0h x '<，函数()h x 单调递减； 所以3x -<时，()()min 00g x g ==，当3x <-时，()0h x '<，函数()h x 单调递减；当x →-∞，()h x →+∞， 则()h x 在3x <-时有唯一一个零点，综上所述，函数()()()29e 3x g x x f x =-+有且仅有唯二零点．。