第13讲：容斥问题

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五年级下册数学讲义-第十三讲容斥原理(解析版PDF)全国通用

一 13
12 二
25-12=13（人）（只做对第一部分人数）
19-13=6 （人）
二、三量容斥
B
花瓣
ABC 覆盖=A+B+C-AB 覆盖-AC 覆盖-BC 覆盖
花蕊
花蕊
花心
+ABC(重叠)（奇加偶减） C
A 花瓣花蕊花瓣
ABC 覆盖=花瓣-花蕊+花心方法：打√法
第1讲
70
[铺]（1）某班参加兴趣小组，每人至少参加一项，参加自然小组有 25 人，参加美术兴趣小组有 35 人，参加语文兴趣小组有 27 人，参加语文和美术的有 12 人，参加自然美术的有 8 人，参加自然和语文的有 9 人，三个都参加的有 4 人，则全班有多少人？
71
第1讲
三、容斥原理的应用
1、几何图形（打√法）练三个面积均为 50cm2 的圆放在桌面上，共同重叠的面积为 10 cm2，三个圆盖住的面积为 100 cm2，则阴影部分面积为多少
50+50+50-100-10×2=30 （cm2）
2、数论
二量容斥在数论中的应用取整号符[ ]
练
1 50 中，3 的倍数有多少个？
34+27-46=15(人)
（2）五年级 1 班有 48 名学生，写完语文作业的有 30 人，写完数学作业的有 20 人，语数都没写的有 6 人，则语数都写的有多少人？只写语文作业的有多少人？
8 数（ 20）
语（ 30）
48-6=42（人） 30+20-42=8（人） 30-8=22（人）
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第1讲
50 3
=16
个
5 的倍数有多少个？

容斥原理问题公式

容斥原理问题公式嘿，朋友们！今天咱来聊聊容斥原理问题公式。

这玩意儿啊，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开好多复杂问题的谜团呢！你想想看，生活中好多情况不就像一团乱麻嘛。

比如你去参加一个聚会，有的人喜欢吃蛋糕，有的人喜欢喝饮料，还有的人既喜欢吃蛋糕又喜欢喝饮料。

那怎么才能清楚知道到底有多少人有不同的喜好呢？这时候容斥原理问题公式就派上用场啦！它就好像是一个超级整理大师，能把那些重叠的、交叉的部分都给理清楚。

就好比整理一个杂乱的房间，把相同的东西放在一起，不同的东西区分开来。

咱说个具体的例子哈。

假设有一群小朋友，有的喜欢画画，有的喜欢唱歌，还有的既喜欢画画又喜欢唱歌。

如果我们只简单地把喜欢画画的人数和喜欢唱歌的人数加起来，那不就重复计算了那些既喜欢画画又喜欢唱歌的小朋友嘛。

这时候，容斥原理问题公式就能帮我们准确地算出真正的人数啦！它是不是很厉害？就像一个聪明的小助手，默默地帮我们把事情都处理得妥妥当当。

再比如，在一个班级里，有同学擅长数学，有同学擅长语文，还有同学两门都擅长。

我们要是想知道到底有多少同学在这两门学科上有特长，不用容斥原理问题公式可不行哦！不然可就糊涂啦。

这容斥原理问题公式啊，真的是无处不在呢。

它就像是我们生活中的小秘密武器，能让我们在面对各种复杂情况时都能游刃有余。

你说，要是没有它，我们得多头疼啊！好多问题都会变得像一团解不开的毛线球。

但有了它，就像找到了线头，能一点点把问题都解开。

容斥原理问题公式不就是这么神奇嘛！它让我们能更清楚地看到事物的本质，把那些看似混乱的局面变得清晰明了。

它真的是我们解决问题的好帮手啊！所以啊，大家可一定要好好掌握这个神奇的公式哦！。

容斥问题应用题解题技巧及公式

容斥问题应用题解题技巧及公式容斥原理是一种组合数学中常用的计数方法，用于解决包含重叠部分的计数问题。

常见的应用有如下几种情况：
1.求集合的并：当求两个集合的并集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。

公式为|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B|，其中|A∪B|表示A和B的并集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∩B|表示A和B的交集大小。

2.求集合的交：当求两个集合的交集大小时，可以使用容斥原理来避免重复计数。

公式为|A∩B| = |A| + |B| - |A∪B|，其中|A∩B|表示A和B的交集大小，|A|表示集合A的大小，|B|表示集合B的大小，|A∪B|表示A和B的并集大小。

3.求不满足某个条件的情况：当求满足某个条件的情况时，可以使用容斥原理来求不满足该条件的情况。

假设有n个事件，A1到An，分别表示这些事件，那么不满足任何一个事件的情况数目为S =
∑|Ai| - ∑|Ai∩Aj| + ∑|Ai∩Aj∩Ak| - ... +/-
|A1∩A2∩...∩An|。

其中|Ai|表示事件Ai发生的情况数目，
|Ai∩Aj|表示事件Ai和Aj同时发生的情况数目，依此类推。

在应用容斥原理解题时，需要注意对问题进行合理的划分，避免出现重复计数或者漏计的情况。

同时，需要对问题进行适当的拓展和转化，以便更好地利用容斥原理解决更复杂的计数问题。

事业单位考试数量关系：容斥问题

容斥问题是考试中比较偏向技巧性和公式性的问题, 大部分同学对容斥问题是比较熟悉的。

但是其中容斥中的极值问题, 确实考试中一个难点和出题的方向。

何为容斥极值问题, 简而言之就是将容斥问题和极值问题结合起来进行考察的题目。

主要包含以下两种:一、公式法求解容斥极值问题, 如果我们求解的是几个集合公共部分的最小值问题, 下面给出了相应的公式, 我们只需要讲数据代入即可。

其中, 公式中的A.B.C.D分别集合,I代表的是全集。

例1、某班30人, 数学22人优秀, 语文25人优秀, 英语20人优秀, 这三科全部优秀的学生至少有多少人?A.7B.6C.5D.4【答案】A。

解析: 根据题意可得全集为30;将数学、语文以及英语分别看成是A.B.C三个集合, 每个集合的数据也已知;最后题目求三科全部优秀的学生至少有多少人, 即求三个集合相交的最小值, 直接用三集合相交的最小值。

三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7二、极限思想在容斥极值问题中, 若并非求得是几个集合公共部分的最小值问题, 那就不能直接使用上面的公式解决, 要结合具体题目运用极限思想分析, 下面通过一道例题进行说明:例2参加某部门招聘考试的共有120人, 考试内容共有6道题。

1至6道题分别有86人, 88人, 92人, 76人, 72人和70人答对, 如果答对3道题或3道以上的人员能通过考试, 那么至少有多少人能通过考试?A .72B .61 C.58 D .44【答案】D。

解析: 要使通过的人最少, 那么就是对1道, 2道的人最多, 并且应该是对2道的人最多(这样消耗的总题目数最多), 假设都只对了2道, 那120人总共对了240道, 而现在对了86+88+92+76+72+70=484, 比240多了244道, 每个人还可以多4道(这样总人数最少),244/4=61。

3.一次考试共有五道试题, 做对第1.2、3、4、5题的分别占考试人数的81%、91%、85%、79%、74%, 如果做对三道或三道以上为及格, 那么这次考试的及格率至少是多少?(参考第二题的思想, 一个类型)100-81,91,85,79,74=19+9+15+21+26=90 90/3=30, 100-30=70。

容斥问题公式及运用

容斥问题公式及运用在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。

为了使重叠部分不被重复计算，研究出一种新的计数方法。

这种方法的基本思路是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

一、容斥原理1：两个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，发现既是A类又是B类的部分重复计算了一次，所以要减去。

如下图所示。

【示例1】一次期末考试，某班有15人数学得满分，有12人语文得满分，并且有4人语、数都是满分，那么这个班至少有一门得满分的同学有多少人？解：数学得满分人数→A，语文得满分人数→B，数学、语文都是满分人数→A∩B，至少有一门得满分人数→A∪B。

A∪B=15+12-4=23，共有23人至少有一门得满分。

二、容斥原理2：三个集合的容斥原理如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，将A、B、C三个集合的元素个数相加后发现两两重叠的部分重复计算了1次，三个集合公共部分被重复计算了2次。

如下图所示，灰色部分A∩B-A∩B∩C、B∩C-A∩B∩C、C∩A-A∩B ∩C都被重复计算了1次，黑色部分A∩B∩C被重复计算了2次，因此总数A∪B∪C=A+B+C-（A∩B-A∩B∩C）-（B∩C-A∩B∩C）-（C∩A-A ∩B∩C）-2A∩B∩C=A+B+C-A∩B-B∩C-C∩A+A∩B∩C。

即得到：【示例2】某班有学生45人，每人都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？解：参加足球队→A，参加排球队→B，参加游泳队→C，足球、排球都参加的→A∩B，足球、游泳都参加的→C∩A，排球、游泳都参加的→B ∩C，三项都参加的→A∩B∩C。

行测容斥问题公式

行测容斥问题公式行测中的容斥问题可是个有趣的“家伙”，在考试中时不时就会冒出来，给咱们考生带来点小挑战。

咱们先来说说啥是容斥问题。

简单来讲，容斥问题就是研究集合之间重叠部分的情况。

比如说，一个班级里喜欢数学的有一部分同学，喜欢语文的有一部分同学，那么既喜欢数学又喜欢语文的同学有多少呢？这就是一个典型的容斥问题。

容斥问题有几个常用的公式。

两集合容斥公式：A∪B = A + B -A∩B。

这就好比有两个盒子，一个装苹果，一个装香蕉。

把两个盒子里的水果都放到一个大筐里，总数就是两个盒子里水果数的和，减去两个盒子里都有的那种水果（比如既是苹果又是香蕉的水果）。

再说说三集合容斥公式，标准型：A∪B∪C = A + B + C - A∩B -B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

这个公式看起来有点复杂，其实就是把三个集合的数量加起来，然后减去两两重叠的部分，再把三个都重叠的部分加回来。

打个比方，咱就说班级里的兴趣小组，有数学小组、语文小组和英语小组。

数学小组有多少人，语文小组有多少人，英语小组有多少人，这都好算。

但是有些同学既参加了数学又参加了语文，有些既参加了语文又参加了英语，有些既参加了数学又参加了英语，还有些同学三个小组都参加了。

要算出班级里一共参加兴趣小组的人数，就得用这个公式。

还有个非标准型的三集合容斥公式：A∪B∪C = A + B + C - 只属于两个集合的 - 2×属于三个集合的。

这个公式呢，理解起来也不难。

还是拿兴趣小组举例，咱们先把三个小组的人数加起来，然后把重复算的只属于两个小组的人数减掉，但是属于三个小组的人数被多减了一次，所以要再加上两倍的属于三个小组的人数。

我记得之前有个学生，在做容斥问题的时候，那叫一个头疼。

题目是这样的：一个班级有 50 名同学，参加数学竞赛的有 25 人，参加语文竞赛的有20 人，其中有10 人既参加了数学竞赛又参加了语文竞赛，问班级里参加竞赛的总人数是多少。

第十三讲重叠(容斥)问题

第十三讲：重叠（容斥）问题重叠（容斥）问题涉及一个重要原理-包含与排除。

当两个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们得和中排除重复的部分重叠（容斥）原理就是对一些事物进行分类，如果采用两种不同的分类标准，a和b，那么具有性质a或者是性质b的事物有N1+N2-N12例1、同学们做操，每行，每列人数都相同，小明从左边数是第4个，从右边数是第3个，从前变数是第5个，从后边数是第6个，做操的同学共有多少人？练1同学们为参加六一节目，每行每列人数都相同，小红从前后左右数都是第5个，那么共有多少学生参加六一舞蹈节目？练2、四一班学生参加学校运动会，小李的位置是从前数是第5个，从后数是第6个，从左右数都是第3个，四一班有多少同学参加运动会？练3、把2块同样长的木板钉成一个木板，已知钉成后共长35厘米，中间重叠部分是11厘米，那么原来木板多长？例2、两道数学题，全班有36人做对第一道，有18人做对第2道，每人至少做对一道题，两道题都做对的有多少人？练1、四一班有学生55人，每人至少参加跳绳和跳远两个项目中的一个，已知参加跳远的36人，参加跳绳的有38人，两项都参加的有多少人？练2、两块相同的木板各长75厘米，如下图钉成一个长130厘米的木板，那么中间重合的有多长？例3、四年级一班订阅《数学报》的有34人，订阅《阅读报》的有28人，已知两种报纸都订阅的有10人，那么四一班共有多少人？练1、四一班做完语文作业的有37人，做完数学作业的有42人，两种作业都做完的有31人，每人至少完成一种作业，那么四一班共有多少人？练2、四一班学生去夏令营，带矿泉水的有32人，带水果的有30人，两种都带的有10人，要求每人最少带一种，那么四一班共有多少学生？例4、四一班共有学生50人，参加学校绘画比赛的有20人，即参加绘画比赛，又参加摄影比赛的有12人，已知每人必须参加一项比赛，那么参加摄影比赛的有多少人？练1、四一班共有学生43人上美术课，带蜡笔的有25人，带蜡笔和水彩笔的有12人，已知每人至少带一种笔，问带水彩笔的有多少人？？练2、四一班46人在一次数学测验中，做对第一道思考题的有26人，做对前两道思考题的有4人，已知每人至少做对一道思考题，那么做对第二道思考题的有多少人？例5、某班有学生56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科都没有参加的有25人，那么两科都参加的有多少人？练1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都不会的有4人，那么两种语言都会的有多少人？练2、一个俱乐部共有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种象棋都不会的有21人，那么两种象棋都会的有几人？例6、某班有学生56人，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有27人，两科都参加的有25人，那么两科都没有参加的有多少人？练1、一个旅行社有36人，其中会英语的有24人，会法语的有18人，两样都会的有4人，那么两种语言都不会的有多少人？练2、一个俱乐部共有103人，其中会下中国象棋的有69人，会下国际象棋的52人，这两种象棋都会的有21人，那么两种象棋都不会的有几人？例7、四一班有学生50人，参加跳远比赛的有20人，既参加跳远又参加跳高比赛的有12人，两项活动都不参加的有10人，那么参加跳高有几人？练1、四一班46人参加数学测验，做对第一道题的有29人，两道题都做对和都做错的人数相等都是5人，那么做对第二道思考题的有多少人？练2、把练1中的问题改成只做对第二道思考题的有多少人？例8、实验小学举办书法展，其中有24幅不是五年级的，有22幅不是六年级的，五年级和六年级书法作品共有10幅，其他年级作品共有多少幅？24=其他年级+六年级22=其他年级+五年级练1、科技节那天，学校展出学生的科技作品，其中有110件不是一年级的，有100件不是二年级的，一二年级参展作品共有32件，那么其他年级共有多少件作品展出？练2、六一那天，学校展出同学的图画作品，其中有25幅画不是三年级的，有19幅画不是四年级的，三四年级共有4幅画展出，那么其他年级共有多少画展出？实验小学举办书画展，其中有28幅不是五年级的，有24幅不是六年级的，五六年级书画作品共有20幅，一二年级参展作品比三四年级参展作品少4幅，那么一二年级参展作品共有多少幅？。

第13讲容斥原理

第十三讲容斥原理
【学习目标】
1了解容斥原理二重重叠和三重重叠每个部分代表含义，并能熟练用韦恩图表示。

（韦恩图是本讲重点）
2掌握容斥原理在图形和计数上的应用，学会容斥中的最值
【学习重点、学习难点】
掌握韦恩图中以及不同区域代表含义，并且明白不同量之间的关系
【练一练】
1 某班有 30名学生，每个人至少参加1个小组。

其中有 15 人参加数学小组， 18 人参加航模小组．那么有多少人两个小组都参加?
2有两个正方形长分别为10厘米和6厘米以以下形状摆放，求总共覆盖的面积。

答案
1分析与解：总共30人，有15人参加了数学小组，18人参加了航模小组，其和大于30，图上很明显显示出，有重叠部分，及是既参加了数学小组又参加了航模小组的。

他们被算了两次。

所以参加了两个个小组的人为：15+18-30=3（人）
答：参加了两个小组的有3人。

2分析与解：阴影部分是一个长方形是两个图形的重叠部分，其面积为：4×2=8（平方厘米）大正方形面积为10×10=100（平方厘米）
小正方形面积为6×6=36（平方厘米）
所以所求面积应为100+36-8=128（平方厘米）
答：总共覆盖的面积为128平方厘米。

部编版数学五年级暑假第13讲.容斥原理.超常体系

第13讲四年级春季排列组合初步五年级暑假枚举法进阶五年级暑假容斥原理五年级秋季排列组合进阶五年级秋季几何计数进阶两量容斥原理，三量容斥原理，容斥原理中的最值问题漫画释义知识站牌容斥，从字面上理解就是“包容”与“排斥”。

为了计算几种物体的总个数，首先计算所有包容了的物体个数，但包含多了（出现重叠对象），又要排斥某些物体，当排斥多了，又要包容若干物体……，如此继续下去，最终就可以得到我们所要求的物体个数。

容斥原理所体现的这种数学思想就是一种“多退少补，逐步淘汰”的取舍思想。

也许这样说比较枯燥，如果用图形和符号来研究这些问题就比较直观了，那么我们就用图形和符号这两个“拐杖”来学习容斥原理，借用教育家苏荷姆林斯基的一句名言来说：“用直观来照亮我们认识的路途！”1.熟练掌握两量容斥原理并处理两量最值问题；2.会利用容斥原理处理三量重叠及最值问题；3.会利用方程解决较复杂的容斥问题．容斥原理容斥原理I ：两量重叠问题A B A B A B =+- (其中符号“ ”读作“并”，相当于中文“和”或者“或”的意思；符号“ ”读作“交”，相当于中文“且"的意思．)图示如下:A 表示小圆部分，B 表示大圆部分，C 表示大圆与小圆的公共部分，记为：A B ，即容斥原理II ：三量重叠问题A B C A B C A B B C A C A B C=++---+ 图示如下：经典精讲课堂引入教学目标第13讲C A B AC B BA C 模块1：两量的容斥例1-3例1：两量容斥例2：容斥最值(利用线段图)例3：容斥最值(需要判断)模块2：三量容斥例4：截长度例5：开关灯例6：容斥最值(浇花，答题)模块3：容斥综合例7：普通方程解容斥例8：不定方程解容斥在游艺会上，有100名同学抽到了标签分别为1至100的奖券．按奖券标签号发放奖品的规则如下：（1）标签号为2的倍数，奖2支铅笔；（2）标签号为3的倍数，奖3支铅笔；（3）标签号既是2的倍数，又是3的倍数可重复领奖；（4）其他标签号均奖1支铅笔．那么游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有多少支?【分析】1～100，2的倍数有1002⎡⎤⎢⎥⎣⎦=50，3的倍数有1003⎡⎤⎢⎣⎦=33个，因为既是2的倍数，又是3的倍数的数一定是6的倍数，所以标签为这样的数有1006⎡⎤⎢⎥⎣⎦=16个．于是，既不是2的倍数，例题思路又不是3的倍数的数在1～100中有100-50-33+16=33．所以，游艺会为该项活动准备的奖品铅笔共有：50×2+33×3+33×1=232支.(1)有100种食品.其中含钙的有68种，含铁的有43种，那么，同时含钙和铁的食品种类的最大值和最小值分别是____、_____.(2)某班共有学生48人，其中27人会游泳，33人会骑自行车，40人会打乒乓球．那么，这个班三项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(3)某班有46人，其中有40人会骑自行车，38人会打乒乓球，35人会打羽毛球，27人会游泳，那么，这个班四项运动都会的人数的最大值和最小值分别是____、_____.(4)在阳光明媚的一天下午，甲、乙、丙、丁四人给100盆花浇水，已知甲浇了30盆，乙浇了75盆，丙浇了80盆，丁浇了90盆，那么，恰好被3个人浇过的花最少有____盆.(5)60人中有23的人会打乒乓球，34的人会打羽毛球，45的人会打排球，这三项运动都会的人有22人，那么，这三项运动都不会的最多有___人.(6)甲、乙、丙都在读同一本故事书，书中有100个故事．每个人都从某一个故事开始，按顺序往后读．已知甲读了75个故事，乙读了60个故事，丙读了52个故事．那么，甲、乙、丙3人共同读过的故事最少有____个.【分析】最大值不能超过几类中的最小值；而求最小值，则应该让次数平均分配．(1)最大值就是含铁的有43种.根据容斥原理最小值68+43-100=11，最小值可以用下图表示：(2)最大值为27.三项都会的最少，那么两项都会的应该最多．因此可以先让所有人都会两项．剩下的就是三项都会的最小值．27+33+40-48×2=4(3)同上分析：最大值为27，最小值为40+38+35+27-46×3=140-138=2人(4)为了恰好被3个人浇过的花盆数量最少，那么被四个人浇过的花、两个人浇过的花数量都要尽量多，那么应该可以知道被四个人浇过的花数量最多是30盆，那么接下来就变成乙浇了45盆，丙浇了50盆，丁浇60盆了，这时共有1003070-=盆花，我们要让这70盆中恰好被3个人浇过的花最少，这就是简单的容斥原理了，恰好被3个人浇过的花最少有45506070215++-⨯=盆．(5)2346040;6045;6048345⨯=⨯=⨯=.此题中有22人三项全会，要让都不会的最多，那么会两项的就应该最多．(40+45+48-22×3)÷2=33…1．因此除了22人外，至少还有34人会2项或1项运动．都不会的最多有60-22-34=4人．(6)考虑甲乙两人情况，有甲乙都读过的最少为：75+60-100=35个，此时甲单独读过的为75-35=40个，乙单独读过的为60-35=25个；欲使甲、乙、丙三人都读过的书最少时，应将丙读过的书尽量分散在某端，于是三者都读过书最少为52-40=12个．第13讲(1)参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有11人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．(2)某班有50名学生，参加语文竞赛的有28人，参加数学竞赛的有23人，参加英语竞赛的有20人，每人最多参加两科，那么参加两科的最多有人．(3)参加语文竞赛的有8人，参加数学竞赛的有9人，参加英语竞赛的有21人，每人最多参加两科，那么至少有人参加这次竞赛．【分析】此类问题算出最值后，一定要检验是否能办到．原因可见(3)小题．(1)由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加2科，所以理论上至少有(8911)214++÷=人参加竞赛，1495-=，14113-=，参加语文和英语竞赛的有5人，参加语文和数学竞赛的有3人，参加数学和英语竞赛的有6人，符合题意，因此至少有14人参加竞赛(2)根据题意可知，该班参加竞赛的共有28232071++=人次．由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，也有不参加的，共是71人次．要求参加2科的人数最多，则让这71人次尽可能多地重复，而712351÷= ，所以至多有35人参加2科，此时还有1人参加1科．那么是否存在35人参加两科的情况呢？由于此时还有1人是只参加一科的，假设这个人只参加数学一科，那么可知此时参加语文、数学两科的共有(282220)215+-÷=人，参加语文、英语两科的共有281513-=人，参加数学、英语两科的共有20137-=人．也就是说，此时全班有15人参加语文、数学两科，13人参加语文、英语两科，7人参加数学、英语2科，1人只参加数学1科，还有14人不参加．检验可知符合题设条件．所以35人是可以达到的，则参加2科的最多有35人．（当然本题中也可以假设只参加一科的参加的是语文或英语）(3)由于每人最多参加2科，也就是说有参加2科的，有参加1科的，要求参加的人最少，那么尽可能让每人都参加2科，所以理论上至少有(8921)219++÷=人参加竞赛，但参加英语竞赛的有21人，因此至少应该有21人参加竞赛.一根1001厘米长的木棒，从同一端开始，第一次每隔7厘米画一个刻度，第二次每隔11厘米画一个刻度，第三次每隔13厘米画一个刻度，如果按刻度把木棒截断，那么可以截出多少段?(学案对应：超常1，带号1)【分析】要求出截出的段数，应当先求出木棒上的刻度数，而木棒上的刻度数，相当于1、2、3、…、1000、1001这1001个自然数中7或11或13的倍数的个数，为：100110011001100110011001100128171113711713111371113⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤++---+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎥⨯⨯⨯⨯⨯⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故木棒上共有281个刻度，可以截出281段．(注：此题中1001恰好是7，11，13的倍数，因此最后一个刻度不需要截．若是1002，那么刻度还是281个，但截成的是282段．)有2000盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为1，2，3，…，2000，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后，亮着的灯有多少盏？棣莫弗的传奇容斥原理有一个有趣的历史，该原理最早的数学表述是有法国数学家棣莫弗在他关于概率论的教材——《机会的学说》中提出的。

容斥问题的解法

容斥问题的解法
容斥原理是一种用于解决包含多个集合的问题的方法。

它基于布尔代数中的概念，在组合数学和概率论中经常被使用。

容斥定理是这样表述的：对于任意一组集合A1, A2, ..., An，
其容斥原理可以表示如下：
|A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An| = Σ(|Ai|) - Σ(|Ai ∩ Aj|) + Σ(|Ai ∩ Aj ∩ Ak|) - ... + (-1)^(n+1) * |A1 ∩ A2 ∩ ... ∩ An|
其中 |X| 表示集合X的元素个数。

容斥原理的基本思想是通过减去不相关的重复计数来得到正确的计数。

具体步骤如下：
1.计算每个集合Ai的元素个数。

2.计算每对集合Ai ∩ Aj 的元素个数，注意要减去这些重复计数。

3.计算每三个集合Ai ∩ Aj ∩ Ak 的元素个数，注意要加回这些重复计数。

4.依此类推，计算每n个集合Ai ∩ Aj ∩ ... ∩ An 的元素个数，注意要交替加减。

5.最终得到的结果即为所求的集合的元素个数。

例如，假设有两个集合A和B，我们可以使用容斥原理计算它们的并集的元素个数：
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
这就是容斥原理的简单形式，它可以通过直观理解得到。

对于更复杂的问题，容斥原理可以一次应用到多个集合之间的关系上，通过递归的方式得到正确的计数。

数量关系容斥问题公式

数量关系容斥问题公式咱来聊聊数量关系里的容斥问题公式。

先说说啥是容斥问题，简单来讲，就是在一些集合的计算中，要考虑重叠部分，别重复计算也别漏算。

这容斥问题的公式就像是一把神奇的钥匙，能帮咱们打开解决这类问题的大门。

比如说，有个班级组织活动，喜欢语文的有 20 人，喜欢数学的有30 人，既喜欢语文又喜欢数学的有 10 人。

那咱们怎么算这个班级喜欢语文或者数学的总人数呢？这就得用到容斥问题公式啦。

容斥问题的基本公式是：A∪B = A + B - A∩B 。

就拿刚才班级的例子来说，喜欢语文的是 A 集合，有 20 人；喜欢数学的是 B 集合，有30 人；既喜欢语文又喜欢数学的就是A∩B ，有 10 人。

那喜欢语文或者数学的总人数就是 20 + 30 - 10 = 40 人。

再复杂一点的，三个集合的容斥问题公式是：A∪B∪C = A + B + C - A∩B - B∩C - C∩A + A∩B∩C 。

我之前遇到过这么个事儿，学校组织兴趣小组，有绘画组、音乐组和书法组。

参加绘画组的有 50 人，参加音乐组的有 60 人，参加书法组的有 40 人。

同时参加绘画组和音乐组的有 20 人，同时参加绘画组和书法组的有 15 人，同时参加音乐组和书法组的有 10 人，三个组都参加的有5 人。

那这时候，咱们用公式来算算参加兴趣小组的总人数。

绘画组是 A 集合，50 人；音乐组是 B 集合，60 人；书法组是 C 集合，40 人。

A∩B 就是同时参加绘画组和音乐组的 20 人，B∩C 是同时参加音乐组和书法组的 10 人，C∩A 是同时参加绘画组和书法组的 15 人，A∩B∩C 是三个组都参加的 5 人。

代入公式就是：50 + 60 + 40 - 20 - 10 - 15 + 5 = 100（人）所以，参加兴趣小组的总人数就是 100 人。

通过这些例子，是不是觉得容斥问题公式没那么难啦？其实啊，只要多做几道题，多琢磨琢磨，这公式就能被咱们用得得心应手。

奥数容斥问题课件

示例：有五个班级，分别有30人、40人、50人、60人和70人，其中两个班级共有10人既是第一班也是第二班的人，同时是第二班和第三班的人有15人，同时是第二班和第四班的人有20人，同时是第三班和第四班的人有25人，同时是第三班和第五班的人有30人，同时是第四班和第五班的人有35人。求五个班级总共有多少人
进阶练习题在难度上有所提升，需要学生灵活运用容斥原理解决较为复杂的问题，提高解题技巧。
题目4
一个班级有45名学生，每人至少参加一项体育活动。其中，28人参加篮球，30人参加足球。问同时参加两项体育活动的学生有多少人？
题目3
一个班级有35名学生，每人至少参加一项课外活动。其中，18人参加音乐小组，21人参加美术小组。问同时参加两项课外活动的学生有多少人？
奥数容斥问题课件
目录
容斥问题简介容斥问题的基本解法容斥问题的进阶解法容斥问题的实际应用容斥问题的常见题型及解析练习题及答案解析
CONTENTS
容斥问题简介
容斥问题是一种数学问题，涉及到集合和集合之间的关系。它主要考察的是如何正确地理解和处理集合之间的关系，以及如何通过已知的集合信息来推导出未知的集合信息。
题目2：一个班有40名学生，每人至少参加一个运动项目。其中，25人参加篮球，20人参加足球。问同时参加两个运动项目的人数是多少？
答案及解析：通过容斥原理，我们可以得出同时参加两个运动项目的人数为10人。
总结词
提高解题技巧
答案及解析
通过容斥原理，我们可以得出同时参加两项课外活动的学生有9人。
详细描述
详细描述：对于n个集合，它们的并集的元素数量可以通过以下公式计算：|A∪B∪C...∪n| = Σ(i=1 to n) |Ai| - Σ(i=2 to n) Σ(j=i+1 to n) |Ai∩Aj| + Σ(i=3 to n) Σ(j=i+1 to n) Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak| - ... + (-1)^(n-1) * Σ(i=n to 2) Σ(j=i+1 to n) ... Σ(k=i+1 to n) |Ai∩Aj∩Ak...∩An|，其中Σ表示求和符号，Ai、Aj、Ak...An分别表示第i个、第j个、第k个...第n个集合的元素数量，Ai∩Aj、Ai∩Aj∩Ak、Ai∩Aj∩Ak...∩An等分别表示第i个和第j个、第i个和第j个以及第k个...第n个集合的交集的元素数量。

第十三讲容斥原理

第十三讲容斥原理（包含与排除）【例题选讲】例题1某班同学今天至少都完成了一门语文或数学作业，已知做完语文作业的有40人，做完数学作业的有45人，两门作业都做完的有36人。

请问：这个班有多少个同学？练习13 -1六(4)班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中至少要订阅一份。

其中订阅《少年报》的25人，订阅《儿童世界》的有31人，两种报刊都订阅的有4人，求六(4)有多少学生？例题2某班有学生48人，其中21人参加数学竞赛，1 3人参加作文竞赛，有7人即参加数学竞赛又参加作文竞赛，那么，①只参加数学竞赛的有多少人？②参加竞赛的一共有多少人？③没有参加竞赛的一共有多少人？练习13 -2某班中有30人参加足球与排球活动，参加足球活动的有16人，参加排球活动的有21人。

①求两项活动都参加的共有多少人？②只参加足球活动的有多少人？③只参加排球活动的有多少人？例题3在1 00个学生中，音乐爱好者有56人，体育爱好者有75人。

那么既爱好音乐又爱好体育的人最少有多少人？最多有多人？练习13 -4外语学校共有英语、法语、日语教师共2 7人，其中只能教英语的有8人，只能教日语的有6人，能教英、日语的有5人，能教法、日语的有3人，能教英、法语的有4人，三种语言都能教的有2人，问只能教法语的有多少人？例题5如图13 -5所示，桌面上放置三个两两重叠，形状相同的圆形纸片，它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，三张纸片共同重叠的面积是42平方厘米，那么，图中阴影部分面积的总和等于多少平方厘米？练习13-5图13-6中，A、B、C分别代表面积为10、11、13的三张不同形状的纸片，它们重叠放在一起，盖住桌面的面积是22，且A与B，B与C，C与A公共部分的面积分别是6，4，5，求A、B、C三个图形公共部分（即阴影部分）的面积？例题6某班学生中78%喜欢游泳，80%喜欢玩游戏机，84%喜欢下棋，88%喜欢看小说，该班学生中同时有四种爱好的学生所占的最小百分比应是多少？练习13 -6某大学有外语教师130人，其中教英语的有60人，教日语的有55人，教法语的有50人，既教英语又教日语的有20人，既教英语又教法语的有15人，既教日语又教法语的有13人，有7人英语、日语和法语三门课都会教，则不会教这三门课的外语教师有多少人？《容斥原理》自我检测1．某班学生在一次期末语文和数学考试中，语文得优的有15人，数学得优的有24人，其中语文、数学都得优的有12人，全班得优的共有多少人？2．某班共50人，参加书法兴趣小组的32人，参加绘画兴趣小组的28人，两种兴趣小组都参加的有1 5人，这个班级还有多少人没有参加这两项兴趣小组？3．育苗小学四年级学生到野外采集标本，采集昆虫标本的有32人，采集植物标本的有27人，两种标本都采集的有7人，全班学生共有多少人？4．工厂有一批工人，每人至少会一门技术，其中会开车床的有235人，会开铣床的有218人，会开刨床的有207人，既会开车床又会开铣床的有112人，既会开车床又会开刨床的有71人，既会开铣床又会开刨床的有63人；三种机床都会开的有19人，求全厂共有多少名工人？5．某小学举行数学、语文、常识三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学203人，语文179人，常识165人。

容斥问题方法总结

容斥问题方法总结引言在数学和计算机科学中，容斥原理是一种经典的组合数学方法，用于解决计数问题。

容斥原理通过排斥和包容的方式来计算具有一定条件的对象的数量，从而得到准确的结果。

本文将介绍容斥原理的基本概念和方法，并通过一些实例来展示容斥原理在实际问题中的应用。

容斥原理的基本概念容斥原理是基于集合的基本运算规则而建立的。

在集合论中，容斥原理的核心思想是通过排斥和包容的方式来计算集合的交、并以及其他相关运算。

下面是容斥原理的基本概念：1.排斥原理：如果要计算某个事件的概率或数量，可以先计算每个独立事件的概率或数量，然后减去同时发生这些独立事件的概率或数量。

2.包容原理：如果要计算某个事件的概率或数量，可以将该事件划分为若干个互斥的子事件，然后计算每个子事件的数量，再根据排斥原理计算得到结果。

容斥原理在解决计数问题时通常较为方便和高效，特别是在面对复杂的问题时能够简化计算过程。

容斥问题的具体方法容斥原理的应用通常涉及以下几个环节：1.确定事件：首先需要明确要计算的事件是什么，即要求解的问题是什么。

2.划分事件：将要计算的事件划分为互斥的子事件，确保每个子事件之间没有重叠。

3.计算数量：计算每个子事件的数量，可以通过直接计算、组合数学等方法得到。

4.使用容斥原理：根据容斥原理，计算得到要求解的事件的数量。

接下来，我们通过一些实例来具体展示容斥原理在解决计数问题中的应用。

实例分析实例1：计算两个集合的并集假设有两个集合A和B，分别包含元素{1, 2, 3}和{2, 3, 4}，我们想要求解这两个集合的并集元素个数。

首先，我们可以通过包容原理知道，两个集合的并集等于每个集合的元素个数之和减去它们的交集元素个数。

根据排斥原理，我们可以得到下面的计算式：equationequation其中，|A|表示集合A的元素个数，|B|表示集合B的元素个数，|A∩B|表示集合A和B的交集元素个数。

根据题目中的数据，我们可以计算得到：equationequation代入计算式，我们得到：equationequation因此，集合A和集合B的并集元素个数为4。

容斥问题讲解方法

容斥问题讲解方法一、容斥原理容斥原理是组合数学中的一种重要原理，主要用于解决包含与排斥的问题。

当两个或多个集合存在重叠时，我们不能简单地将这些集合的元素数目相加，因为重叠部分的元素被重复计算了。

容斥原理提供了解决这类问题的方法，通过将各个集合的元素数目两两相减，得到不重叠部分的元素数目。

二、基本形式两个集合的容斥问题：设A和B是两个集合，则A和B 的并集的元素数目可以通过|A∪B| = |A| + |B| - |A∩B| 来计算。

三个集合的容斥问题：设A、B和C是三个集合，则A、B和C的并集的元素数目可以通过|A∪B∪C| = |A| + |B| + |C| - |A∩B| - |B∩C| - |C∩A| + |A∩B∩C| 来计算。

三、复杂形式当集合的数量增加时，容斥原理可以扩展到更复杂的形式。

通过递归或归纳的方法，可以将多个集合的并集的元素数目表示为各个集合元素数目的函数。

四、解题技巧明确问题的条件和目标：首先需要明确问题的条件和目标，确定涉及的集合以及它们之间的关系。

画出文氏图：在理解问题时，可以通过画出文氏图来直观地表示各个集合以及它们的重叠部分。

文氏图是一种用封闭曲线表示集合及其关系的图形。

应用容斥原理：根据问题的具体情况，选择适当的容斥原理公式来解决问题。

如果涉及多个集合，需要仔细分析它们的重叠关系。

简化计算：在应用容斥原理时，需要注意简化计算，避免出现大量的重复计算和复杂运算。

可以采取提取公因式、使用对称性等方法来简化计算。

检查答案：在解决问题后，需要检查答案是否符合实际情况和逻辑，确保答案的正确性。

五、注意事项理解问题的背景和要求：在解决容斥问题时，需要注意理解问题的背景和要求，弄清各个集合的含义和关系。

避免重复计数：在应用容斥原理时，需要注意避免重复计数。

特别是当集合之间存在多重重叠时，需要仔细分析重叠部分的关系。

分情况讨论：当问题涉及多种情况时，需要注意分情况讨论。

不同情况下的集合关系可能会有所不同，需要分别进行分析和计算。

容斥问题题型

容斥问题题型讲解
容斥问题，也被称为集合问题，是一种在数学和计算机科学中常见的题型。

它主要考察了我们对集合运算的理解和运用。

容斥问题的关键在于理解“包含”和“排斥”的含义，并根据题目条件正确使用集合的运算性质。

容斥问题一般以“两个集合A和B的并集，与集合C的交集，等于集合D”的形式出现。

在解题过程中，我们需要先明确各个集合的元素，然后根据集合的运算性质进行计算。

对于容斥问题，我们需要理解以下两个关键点：
1.包含：当一个元素属于某个集合时，它也属于该集合的并集。

2.排斥：当一个元素同时属于两个集合时，它只会被计算一次，以避免重
复计数。

在解题过程中，我们通常需要使用以下公式：
|A ∪ B ∩ C| = |A ∪ B| - |B ∩ C| + |A ∩ C|
其中，|A ∪ B|表示集合A和B的并集的元素个数，|B ∩ C|表示集合B 和C的交集的元素个数，|A ∩ C|表示集合A和C的交集的元素个数。

这个公式是基于集合的运算性质推导出来的，可以帮助我们快速解决容斥问题。

在实际解题过程中，我们还需要注意以下几点：
1.仔细阅读题目，理解题意，明确各个集合的元素。

2.根据题目条件，选择合适的公式进行计算。

3.在计算过程中，要注意避免重复计数和遗漏。

4.对于复杂的问题，可以使用图示或表格来帮助理解和计算。

通过以上讲解和示例，相信大家已经对容斥问题有了更深入的理解。

在解决这类问题时，我们要灵活运用集合的运算性质，仔细分析题目条件，并选择合适的方法进行计算。

容斥问题——精选推荐

容斥问题在19世纪末，德国数学家康托系统地描绘了⼀个能够为全部数学提供基础的通⽤数学框架，他创⽴的这个学科⼀直是我们数学发展的根植地，这个学科就叫做集合论。

它的概念与⽅法已经有效地渗透到所有的现代数学。

可以认为，数学的所有内容都是在“集合”中讨论、⽣长的。

容斥问题在信息学竞赛的问题求解中也经常出现。

⼀、知识点1、集合与元素：把⼀类事物的全体放在⼀起就形成⼀个集合。

每个集合总是由⼀些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。

如：集合A={0，1，2，3，……，9}，其中0，1，2，…9为A的元素。

2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作A∪B，记号“∪”读作“并”。

A∪B读作“A并B”，⽤图表⽰为图中阴影部分表⽰集合A，B的并集A∪B。

例：已知6的约数集合为A={1，2，3，6}，10的约数集合为B={1，2，5，10}，则A∪B={1，2，3，5，6，10}3、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，⼜属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“A∩B”，读作“A交B”，如图阴影表⽰：例：已知6的约数集合A={1，2，3，6}，10的约数集合B={1，2，5，10}，则A∩B={1，2}。

4、容斥原理（包含与排除原理）：（⽤|A|表⽰集合A中元素的个数，如A={1，2，3}，则|A|=3）原理⼀：给定两个集合A和B，要计算A∪B中元素的个数，可以分成两步进⾏：第⼀步：先求出∣A∣+∣B∣（或者说把A，B的⼀切元素都“包含”进来，加在⼀起）；第⼆步：减去∣A∩B∣（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|A∪B|=∣A∣+∣B∣-∣A∩B∣原理⼆：给定三个集合A，B，C。

要计算A∪B∪C中元素的个数，可以分三步进⾏：第⼀步：先求∣A∣+∣B∣+∣C∣；第⼆步：减去∣A∩B∣，∣B∩C∣，∣C∩A∣；第三步：再加上∣A∩B∩C∣。

即有以下公式：∣A∪B∪C∣=∣A∣+∣B∣+∣C∣-∣A∩B∣-∣B∩C∣- |C∩A|+|A∩B∩C∣⼆、解题思路：遇到集合问题，⾸先要弄请：集合⾥的元素是什么。

容斥问题466

容斥问题466摘要：1.容斥问题的基本概念2.容斥问题的解决方法3.容斥问题的实际应用正文：一、容斥问题的基本概念容斥问题是组合数学中的一个重要问题，主要研究从一组数集中选取元素组成集合的方法。

它涉及到两个基本的集合运算：并集和交集。

在容斥问题中，给定一组数集，要求通过并集和交集的运算，得到所有可能的子集。

二、容斥问题的解决方法解决容斥问题的方法主要是利用容斥原理。

容斥原理是组合数学中的一个基本原理，它给出了求解容斥问题的一般方法。

容斥原理的公式表达式为：|A ∪B| = |A| + |B| - |A ∩B|其中，|A ∪B| 表示A 和B 的并集的元素个数，|A| 和|B| 分别表示A 和B 的元素个数，|A ∩B| 表示A 和B 的交集的元素个数。

利用容斥原理，我们可以通过计算并集、交集的元素个数，来求解容斥问题。

具体步骤如下：1.计算每个数集的元素个数；2.利用容斥原理公式，计算并集的元素个数；3.根据并集的元素个数，求解交集的元素个数；4.根据交集的元素个数，求解所有可能的子集。

三、容斥问题的实际应用容斥问题在实际生活中有着广泛的应用，例如在计算机科学中的集合运算、数据结构等。

在计算机程序设计中，解决容斥问题的方法可以有效地优化算法，提高程序的运行效率。

此外，容斥问题在组合数学、离散数学、概率论等领域也有着广泛的应用。

通过学习容斥问题，我们可以更好地理解这些领域的基本概念和方法，提高自己的学术素养和实际能力。

总之，容斥问题是组合数学中的一个基本问题，它涉及到并集、交集等集合运算。

通过利用容斥原理，我们可以解决容斥问题，求解所有可能的子集。

容斥原理公式

容斥原理公式容斥原理是组合数学中的一种重要方法，用于解决集合之间的交集和并集问题。

容斥原理的应用范围非常广泛，涉及到概率论、组合数学、计算几何等多个领域。

在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算，提高问题求解的效率。

本文将介绍容斥原理的基本概念和公式推导，希望能够帮助读者更好地理解和运用容斥原理。

首先，我们来看容斥原理的基本概念。

容斥原理是指对于给定的集合A，B，C…的交集和并集问题，可以通过容斥原理来求解。

假设A，B，C…是有限集合，那么它们的交集和并集可以表示为：并集，A∪B∪C = |A| + |B| + |C| |A∩B| |A∩C| |B∩C| + |A∩B∩C|。

交集，A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。

其中，|A|表示集合A的元素个数。

这就是容斥原理的基本公式，通过这个公式我们可以方便地求解集合的交集和并集问题。

接下来，我们来看容斥原理的公式推导。

首先，我们可以通过一个简单的例子来理解容斥原理的推导过程。

假设有三个集合A，B，C，我们要求它们的交集。

根据容斥原理的基本公式，交集可以表示为：A∩B∩C = |A| + |B| + |C| |A∪B| |A∪C| |B∪C| + |A∪B∪C|。

这个公式的推导过程可以通过集合的特征函数来解释。

我们定义集合A，B，C的特征函数分别为χA(x)，χB(x)，χC(x)，其中χA(x)表示元素x是否属于集合A。

那么集合的交集可以表示为：A∩B∩C = ΣχA(x)χB(x)χC(x)。

通过特征函数的定义，我们可以将交集的计算转化为特征函数的计算，进而得到容斥原理的公式推导过程。

在实际问题中，容斥原理可以帮助我们简化复杂的计算。

例如，在概率论中，我们经常需要计算多个事件的交集和并集，这时容斥原理可以帮助我们简化计算过程。

在组合数学中，容斥原理也经常用于计算排列组合的问题，提高问题求解的效率。