一.三角形的边角转换
13.1三角形中的边角关系(第一课时)说课课件
2.教学方法
根据教材分析和目标分析，贯彻新课程改革下的课堂教 学方法，本节课我主要采用引导——发现式教学法和多媒体 辅助教学。学生在教师营造的“可探索”环境里，积极参与， 互相讨论，理解三角形的三边关系，再通过应用其解决相关 问题，使学生得到更深刻的体会，从而实现教学目标。
3.学法指导
引导、观察、概括、总结是学法指导的重点。 课堂教学中，我引导学生带着问题阅读教材，自己动 手操作、合作探究来获取新知，培养他们学习的自主 性。让学生通过对问题的讨论归纳,在与老师、同学的 交流中学习知识。
从动手操作的结果中归纳概括出一般的结论对于初二的学生来说 还有一定的困难。
难点：三角形三边关系的探索
知识技能
1、了解三角形的概念，会将三角形按边进行分类， 并会用几何符号表示三角形; 2、理解三角形三边之间的关系.
过程与方法
一节课的教 学目标准确与否， 直接关系到这节课 教学效果的好坏， 因此预设教学目标 时，我力求准确。 依据新课程的要求， 我将本节课的教学 目标确定为以下三
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13.1三角形中的边角关系
池州市第十一中学 王岩
三角形中的边角关系（第1课时）
1 2 3 4 5 6
教材 分析
教学 目标
教法 学法
教学 过程
教学 设计 说明
教后 反思
1. 地位及作用
2. 教学重点、难点
1. 地位及作用
本节课是在学生初步了解三角形定义的基 础上，进一步研究三角形的组成特征。三角形 是研究其他图形的基础。三角形三边关系又是 学习三角形知识的基础，且在之后的几何学习 中有着重要的应用。通过对其规律的总结发现， 可以很好地展示几何知识源于客观实际的特点， 培养学生理论联系实际的能力。
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导
《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为《第13章三角形中的边角关系、命题与证明》学习指导的全部内容。
《第13章 三角形中的边角关系、命题与证明》学习要求：1．理解三角形的角平分线、中线、高线的概念及性质。
会用刻度尺和量角器画出任意三角形的角平分线、中线和高。
2．掌握三角形的分类，理解并掌握三角形的三边关系。
3．掌握三角形内角和定理及推论，三角形的外角性质与外角和。
4．了解三角形的稳定性。
知识要点:一、三角形中的边角关系1．三角形有三条内角平分线，三条中线,三条高线，它们都相交于一点。
注意：三角形的中线平分三角形的面积。
2。
三角形三边间的不等关系：三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
注意:判断三条线段能否构成一个三角形时,就看这三条线段是否满足任何两边之和大于第三边，其简便方法是看两条较短线段的和是否大于第三条最长的线段。
3．三角形各角之间的关系：①三角形的内角和定理：三角形的三个内角和为180°.②三角形的外角和等于360°（每个顶点处只取一个外角）； ③三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； ④三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。
4．三角形的分类①三角形按边的关系可以如下分类:②三角形按角的关系可以如下分类：5．三角形具有稳定性.知识结构：二、命题与证明1．判断一件事情的句子是命题，疑问句、感叹句不是命题，计算不是命题,画法不是命题。
三角形边角互换公式
三角形边角互换公式三角形是初中数学中一个非常重要的概念，它是由三条线段组成的图形。
三角形有很多种分类方法，比如按照边长分类、按照角度分类等等。
在学习三角形的过程中，我们会遇到一些定理和公式，这些定理和公式可以帮助我们更好地理解三角形。
其中一个非常重要的公式就是“三角形边角互换公式”。
三角形边角互换公式是指：在一个三角形中，三个角的对边分别为a、b、c，那么有以下三个等式成立：a/sinA = b/sinB = c/sinCsinA/a = sinB/b = sinC/ca =b +c - 2bc cosA这个公式的意义非常重要，它可以帮助我们求解三角形中的各种问题。
我们可以通过这个公式来求解三角形的边长、角度、面积等等。
下面我们来逐一解释一下这个公式的意义和应用。
第一个等式是a/sinA = b/sinB = c/sinC。
这个等式的意义是：在一个三角形中，对于任意一个角，它的对边与该角的正弦值之比是一个定值。
这个定值是三角形的周长的二分之一，即a+b+c的一半，也就是(s-a)+(s-b)+(s-c)。
这个公式可以帮助我们求解三角形的边长和角度。
比如，如果我们知道了三角形中一个角的正弦值和对边的长度，那么我们就可以通过这个公式求解出其他两个角的正弦值和对边的长度。
第二个等式是sinA/a = sinB/b = sinC/c。
这个等式的意义是：在一个三角形中，对于任意一个角，它的正弦值与该角的对边之比是一个定值。
这个定值是三角形的周长的二分之一，即a+b+c的一半，也就是(s-a)+(s-b)+(s-c)。
这个公式可以帮助我们求解三角形的角度。
比如，如果我们知道了三角形中一个角的正弦值和对边的长度，那么我们就可以通过这个公式求解出其他两个角的正弦值和对边的长度。
第三个等式是a = b + c - 2bc cosA。
这个等式的意义是：在一个三角形中，某一个角的余弦值与该角的对边平方之比是一个定值。
第5讲 三角形的边角关系 (修复的)
第二篇三角形本篇的主要内容是三角形、全等三角形和等腰三角形以及勾股定理，主要了解三角形的中线、角平分线．在知道三角形的三个内角的和等于180°的基础上．学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明．这些内容都是研究特殊的三角形，如等腰三角形、直角三角形）的基础，也是研究其他图形的基础知识．从全等三角形开始，我们要开始理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．这既是本篇的重点，也是学习的难点．研究三角形全等条件的重点应放在第一个条件（“边边边”条件）上，然后以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定．在掌握了“边边边”条件的基础上，学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了．在“角平分线和垂直平分线”一讲中，介绍了角的平分线和垂直平分线的作法，角平分线和垂直平分线的性质与判定，这些结论是用三角形全等证明得到的，利用这些结论证明线段相等和角度相等，比用全等知识来证明线段相等和角度相等更方便．本讲中探究三角形三条角平分线和垂直平分线相交于一点．也为今后在“圆”一章学习内心和外心作好了准备．等腰三角形是一种特殊的三角形，它除了具有一般三角形的所有性质外，还有许多特殊的性质．由于它的这些特殊性质，使它比一般三角形应用更广泛．而等腰三角形的许多特殊性质，又都和它是轴对称图形有关．在本讲中，利用等腰三角形的轴对称性，得出了“等边对等角”、“三线合一”等性质，并进一步讨论了等腰三角形的判定方法以及等边三角形的性质与判定方法的内容．课程标准对于推理证明的安排，在“全等三角形”已经要求会用符号表示推理（证明）的基础上，对于一些图形的性质（如线段垂直平分线的性质、等腰（边）三角形的性质与判定等），仍是要求证明．由于刚开始接触用符号表示推理，图形、题目的复杂程度明显增加，多练、多想、多总结是是学好本篇的基本方法．第5讲三角形边角关系〖学习目标〗1.理解三角形及与三角形有关的线段的概念，证明三角形两边的和大于第三边．2.理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握两个内角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．3.了解多边形有关的概念，探索并掌握多边形的内角和与外角和公式．※考情分析三角形是正式学习几何的第一步，其主要内容是三角形的三边关系和三角形的内角和，这些都是中考关注的热点，本篇涉及的一些几何证明已经具有一定的难度．在中考数学试卷中，如果是计算或证明，难度可能达到中等，而对概念的考查，就可能比较简单．题型一般为填空或选择为主，分值一般3分左右．〖基础知识·轻松学〗一、三角形的有关概念1．三角形定义的要点：①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次连接．2．三角形的分类（1）按边分类 （2）按角分类⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形等边三角形 ⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩直角三角形三角形锐角三角形斜三角形钝角三角形 精讲：（1）等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形．（2）不等边三角形是指三条边都不相等的三角形．无论哪种标准进行分类，原则上做到不重不漏．二、三角形三边关系（1）三角形任意两边之和大于第三边，三角形任意两边之差小于第三边．（2）三边关系的应用：①若两条较短的线段长度之和大于第三条线段，则这三条线段可以组成三角形．②当已知三角形两边长，两边之差＜第三边＜两边之和．精讲：这里的“两边”指的是任意两边．对于“两边之差”它可能是正数，也可能是负数，一般地取“差”的绝对值．三、三角形的高、角平分线和中线高：三角形的一个顶点到它对边的垂线段．中线：三角形的一个顶点到它对边中点的连线段．角平分线：一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段．精讲：（1）三条高所在的直线相交于一点（垂心）．①锐角三角形三条高的交点在三角形的内部（如图5-1）；②钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，这点在三角形外部（如图5-2）；③直角三角形的三条高的交点是直角顶点（如图5-3）．图5-1 图5-2 图5-3 图5-4（2）三角形的三条中线相交于一点，如图5-4（重心），三角形的每一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形．（3）三角形的三条角平分线相交于一点，如图（内心）四、三角形三个内角的和等于180°．表示：在△ABC 中，∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°．应用：在三角形中，已知两个角的度数，可求另一个角的度数；或已知各角之间的数量关系可求各角．推论：直角三角形的两个锐角互余，这个性质是由三角形的内角和定理得到的．反之，当一个三角形的两个锐角互余时，这个三角形是直角三角形．精讲：由三角形内角和定理可以推出以下几个常见结论：结论1：如图5-5，如果∠C ＝90°，则∠A ＋∠B ＝90°； AB C D AB CI A E C D B图5-5 图5-6 图5-7 图5-8 图5-9（图5-5未标注顶点ABC ）结论2：在△ABC 中，如果∠A ＋∠B ＝90°或∠A ＋∠B ＝∠C 或∠C －∠A ＝∠B 或∠C －∠B ＝∠A ，则△ABC 为直角三角形；结论3：如图5-6，在△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，则∠DBC ＝12∠A ； 结论4：如图5-7，在△ABC 中，∠ABC ,∠ACB 的角平分线相交于I ，则∠BIC ＝90°＋12∠A ． 结论5：如图5-8，在△ABC 中，AB ＝AC ，FD ⊥BC 于D ，DE ⊥AB 于E ，则∠EDF ＝∠B ＝∠C ；结论6：如图5-9，在△ABC 中，AD ，AE 分别是△ABC 的角平分线和高，则∠DAE ＝12|∠C －∠B |． A C B五、三角形的外角的性质性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和；性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．精讲：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证时经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．六、多边形1．多边形的对角线①从同一顶点出发，可以画（n－3）条对角线；②从同一顶点出发的对角线将n边形分成（n－2）个三角形；n n 条对角线．③n边形一共有(3)22．n边形的内角和等于(n－2)×180°．3．n边形的外角和等于360°．精讲：多边形的内角和随着边数的增加而增加，而且是每增一边，都增加180°，而外角和不随边数的变化而变化，保持度数不变．〖重难疑点·轻松破〗一、这三条线段能否构成三角形例1：下面分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形吗? .（1）5cm，8cm，2cm；（2）5cm，8cm，13cm；（3）5cm，8cm，5cm．分析：只要比较两条较短线段之和与最长线的大小即可.答案：（1）∵5＋2＝7< 8，不满足两边之和大于第三边∴不能摆成三角形.（2）∵5＋8＝13，出现两边之和等于第三边的情况∴不能摆成三角形.（3）∵5＋5＝10>8，两个较小边之和大于第三边，∴能摆成三角形．点评：如果三条线段能够构成三角形，则任意两边之和大于第三边．但是当两条较短线段长之和大于第三边的话，那么另外两组不等式也是成立的．变式练习1：下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（）A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cmC．0.1cm，0.1cm，0.1cm D．3cm，40cm，8cm二、中线等分对边的应用三角形中线的应用体现在两个方面，一是讨论中线将三角形周长分成的两部分的关系；二是中线等分三角形面积问题．例2：如图5-10，等腰△ABC中，AB＝AC，一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分成15和6两部分，求这个三角形的腰长及底边长．AB C D图5-10分析：由题意可知，中线BD 将△ABC 的周长分成AB ＋AD 和BC ＋CD 两部分（注意不是AB ＋AD ＋BD 和BC ＋CD ＋BD 两部分），故有两个可能（1）AB ＋AD ＝15且BC ＋CD ＝6；（2）AB ＋AD ＝6且BC ＋CD ＝15．再由AB ＝AC ＝2AD ＝2CD 及三角形三边关系知（1）成立，（2）不成立．解：设AB ＝AC ＝2x ，则AD ＝CD ＝x ．（1）当AB ＋AD ＝15，BC ＋CD ＝6时，有2x ＋x ＝15，所以x ＝5，2x ＝10，BC ＝6－5＝1．（2）当AB ＋AD ＝6，BC ＋CD ＝15时，有2x ＋x ＝6．所以x ＝2，2x ＝4，所以BC ＝13．因为4＋4＜13，故不能组成三角形．答：三角形的腰长为10，底边长为1．点评：（1）由于AD ＝CD ，因此本题中线BD 将△ABC 周长分成的两部分之差，等于AB 与BC 边长之差．（2）涉及等腰三角形边的问题时，常要分情况讨论，然后看它们是否满足三边关系，不满足的要舍去．变式练习2：在△ABC 中，AB ＝AC ，AC 上的中线BD 把三角形的周长分为24cm 和30cm 的两个部分，求三角形的三边长．例3：如图5-11，在△ABC 中，AD ，BE ，CF 是三条中线，它们相交于同一点G ，问△AGF 的面积和△AGE 的面积是否相等？为什么？图5-11分析：三角形的中线可将三角形的面积分成面积相等的两部分，本题中除了AD ，CF ，BE 可以看作中线外，GF ，GE ，GD 也可以看作中线．解：这两个三角形的面积相等.理由：∵AD 是BC 边上的中线，∴△ABD 与△ADC 等底同高，∴S △ABD ＝S △ADC ．同理：S △BGD ＝S △CGD ．∴S △ABG ＝S △AGC ．∵GE ，GF 分别是△AGC ，△AGB 的中线．∴S △AGF ＝S △BFG ，S △AGE ＝S △GEC ．∴S △AGF ＝S △AGE点评：根据“三角形的面积＝21×底×高”可知，“同高等底的两个三角形的面积相等”本题正是利用这一性质解决问题的．变式练习3：如图5-12，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且ABC S △＝4cm 2，则BEF S △＝_______cm 2． AB DC EF图5-12三、基本图形――两角平分线的夹角问题三角形中两个内角平分线夹角、一个内角和一个外角平分线的夹角、以及两个外角平分线的夹角都与第三个内角有关，了解这些结论推导的过程，并熟记这些结论，对今后的解题有很大的帮助．例4：如图5-13，已知在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，BD 、CD 相交于点D ．求证：∠A ＝2∠D ；图5-13分析：根据外角性质可得∠A ＝∠ACE －∠ABC ，∠D ＝∠DCE －∠DBC ，要证明∠A ＝2∠D ，只需证明∠ACE －∠ABC ＝2(∠DCE －∠DBC )即可．证明：∵BD 平分∠ABC ，CD 平分△ABC 的外角∠ACE ，∴∠ACE ＝2∠DCE ，∠ABC ＝2∠DBC∵∠A ＝∠ACE －∠ABC ，∠D ＝∠DCE －∠DBC∴∠A ＝2∠D ．模型梳理：在三角形中，一个外角平分线和一个内角平分线的夹角等于第三个角度数的一半，即∠D ＝12∠A ； 类似的结论还有：（1）如图5-14，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB ，则∠BOC ＝90°＋12∠A ． （2）如图5-15，在△ABC 中，CP ，BP 分别是∠ACB ，∠ABC 的外角的平分线，则∠P ＝90°－12∠A ，可见∠P 为锐角． AB C O A B C P D E图5-14 图5-15变式练习4：如图5-16，在△ABC 中，∠A ＝42°，∠B 和∠C 的三等分线分别交于点D ，E ，则∠BDC 等于_______．图5-16四、利用外角求角度例5：一个零件的形状如图5-17，按规定，∠CAB 应等于90°，∠C ，∠B 应分别等于20°和300．李师傅量得∠CDB ＝142°，就断定了这个零件不合格，你能说出其中的道理吗？A B CD E图5-17分析：由于李师傅量得∠CDB ＝142°，我们可由∠CAB ＝90°,∠B ＝∠C ＝20°计算出∠CDB 的度数，如果∠CDB 不等于142°，则这个零件肯定不合适．解：延长BD 交AC 于E ，则∠CDB ＝∠C ＋∠CED ；又∠CED ＝∠CAB ＋∠B ，所以∠CDB ＝∠C ＋∠CAB ＋∠B ＝140°．而实际测量∠CDB ＝142°，所以可以断定这个零件不合格．点评：（1）解形如图5-17的图形的角度计算问题时，我们常常通过延长某条线段将该图形分割成两个三角形，构造三角形的外角解决问题．（2）从本题的解法可以总结出这样一个规律：∠CDB ＝∠C ＋∠CAB ＋∠B ．变式练习5：如图5-18，△ABC 的三条角平分线交于点O ，过O 作OE ⊥BC 于E ，求证：∠BOD ＝∠COEAB C DEC B AH G DE O图5-18五、基本图形――“又”字型例6：如图5-19，BE 与CD 交于A ，CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 平分线．（1）试探求：∠F 与∠B ，∠D 之间的关系？（2）若∠B ∶∠D ∶∠F ＝2∶4∶x ．求x 的值．DE FA B C G HD E F C G E F B C H D E A B C图5-19 图5-20 图5-21 图5-22分析：这个图形我们可分解为图5-20、图5-21、图5-22三个基本图形，这三个基本图形分别可得结论：①∠D ＋∠DEF ＝∠F ＋∠DCF ；②∠F ＋∠FEB ＝∠B ＋∠BCF ；③∠D ＋∠DEB ＝∠B ＋∠BCD ．我们可任选两个结论来探究∠F 与∠B ,∠D 之间的关系．证明：∵∠EGC ＝∠D ＋∠DEF ，∠EGC ＝∠F ＋∠DCF ，∴∠D ＋∠DEF ＝∠F ＋∠DCF ．即∠D －∠F ＝∠DCF －∠DEF ．同样道理：∠F －∠B ＝∠BCF －∠FEB ．∵CF 为∠BCD 的平分线，EF 为∠BED 平分线，∴∠DCF ＝∠BCF ，∠DEF ＝∠FEB ，∴∠DCF －∠DEF ＝∠BCF －∠FEB ．∴∠D －∠F ＝∠F －∠B ．即2∠F ＝∠B ＋∠D（2）设∠B ＝2k ，∠D =4k ，∠F ＝xk ，∵2∠F ＝∠B ＋∠D ，∴2xk ＝2k ＋4k ，解得：x ＝3．点评：本题问题的顺利解决主要得益于基本图形的使用，平时注意积累基本图形及其基本规律对于解题非常有帮助，同时对于复杂的图形，我们要善于将复杂的图形分解成简单的图形，从而发现解题思路．变式练习6：如图5-23，求∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F 的度数．图5-23六、多边形边数的探究思路例7：如果一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为1190°，则这个多边形的边数是多少？这个内角是多少度？分析：从n边形的内角和我们可以看出两方面内容：一是多边形的内角和是180°的倍数；二是多边形的内角和与多边形的边数有关，如果将内角和除以180°，然后加2后就等于多边形边数；在本题中，这个多边形的内角和是比1190°大，是180°的倍数，而且是与1190°最接近的那个180°的倍数，所以这个多边形的内角和为1260°．解：设这个多边形为n边形由题意：这个多边形的内角和为1260°∴180（n－2）＝1260，解得n＝91260°－1190°＝70°答：这个多边形为九边形，这个内角为70°．点评：判断一个多边形的内角和是否计算错误，首先这个内角和必须是180°的倍数，如果少计算了一个角，则内角和要比计算结果大，与计算结果最接近的那个180°的倍数，如果多计算了一个角，则内角和要比计算结果小，也是与计算结果最接近的那个180°的倍数．变式练习7：一个多边形截取一个角后，形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能例8：如果一个各边都相等的多边形，若它的每一个内角是144°，则这个多边形是（）A．正十边形B．正九边形C．正八边形D．正七边形分析：本题有两种解决问题的思路，思路一是借助多边形的内角和定理，设这个多边形为n 边形，则这个多边形的内角和为180(n－2)°或144n°，则可得方程180(n－2)＝144n，求出这个多边形的边数；思路二是转化为多边形的外角来求，由于这个多边形的每个内角为144°，所以它的每个外角等于36°，根据多边形的外角和是360°可知这个多边形是十边形．解：法一：设这个多边形为n边形．则180(n－2)＝144n，解得n＝10．答：这个多边形是十边形．法二：因为这个多边形的每一个内角是144°，所以这个多边形每个外角等于36°，360°÷36°＝10．答：这个多边形是十边形．点评：尽管多边形的内角和度数随着边数的增加而增加，但是多边形的外角和的度数始终保持不变，利用这一不变性，可使问题变得简单．变式练习8：一个正多边形的一个内角为120°，则这个正多边形的边数为（）．A．9B．8C．7D．6【课时作业·轻松练】A．基础题组1．如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点，那么这个三角形是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形2．能把一个三角形分成面积相等的两个三角形的是（ ）．A ．高B ．中线和角平分线C ．角平分线D ．中线3．如图5-24，AE ，AD 分别是△ABC 的高和角平分线，且∠B ＝36°，∠C ＝76°，则∠DAE 的度数为（ ）A ．40°B ．20°C ．18°D ．38° AE C D B图5-244．如图5-25，∠A ＝55°，∠B ＝30°，∠C ＝35°，求∠D 的度数．图5-255．一个正多边形的每个外角都是36°，这个正多边形的边数是_______．B ．提升题组6．如图5-26，把△ABC 的纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCED 内部时，则∠A 与∠1,∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找出这个规律为_______________． 1 2 BC AE D 图5-267．如图5-27，在△ABC 中E 是BC 上的一点，EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，设△ABC ,△ADF ,△BEF 的面积分别为S △ABC ，S △ADF ，S △BEF ，且S △ABC ＝12，则S △ADF －S △BEF ＝_________．图5-278．如图5-28，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，且∠B ＝3∠BAD ，求∠ADC 的度数．CAB D图5-289．（1）如图5-29，有一块直角三角板XYZ 放置在△ABC 上，恰好三角板XYZ 的两条直角边XY ，XZ 分别经过点B ，C ，△ABC 中，∠A ＝30°，则∠ABC ＋∠ACB ＝ 度，∠XBC ＋∠XCB ＝ 度；（2）如图5-30，改变直角三角板XYZ 的位置，使三角板XYZ 的两条直角边XY ,XZ 仍然分别经过点B ,C ，那么∠ABX ＋∠ACX 的大小是否变化？若变化，请举例说明；若不变化，请求出∠ABX ＋∠ACX 的大小．X XYA BCCB A YZ Z图5-29 图5-3010．如图5-31，∠XOY ＝90°，点A ，B 分别在射线OX ，OY 上移动，BE 是∠ABY 的平分线，BE的反向延长线与∠OAB 的平分线相交于点C ，试问∠ACB 的大小是否发生变化，如果保持不变，请给出证明，如果随点A ，B 移动发生变化，请求出变化范围．YXOA BCE图5-31〖中考试题初体验〗1．（2013湖南长沙 3， 3分）如果一个三角形的两边长分别是2和4，则第三边可能是（ ）．A ．2B ．4C ．6D ．82．（2013四川达州，17，3分）如图5-32，在△ABC 中，∠A ＝m °，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1；∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2；…∠A 2012BC 和∠A 2012CD 的平分线交于点A 2013，则∠A 2013＝___度．图5-32五、我的错题本参考答案变式练习1.答案：C解析：较短的两边长度之和大于较长的边．2.答案：三角形的三边长分别为20，20，14或16，16，223.答案：1解析：△BEF面积等于△BEC面积的一半，而△ABE与△BDE，△ACE与△CDE的面积相等，所以△BEF的面积等于△ABC面积的四分之一．4.答案：88°解析：∵∠B和∠C的三等分线分别交于点D，E，∴∠DBC＝23∠ABC，∠DCB＝23∠ACB，∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝138°，∴∠DBC＋∠DCB＝23(∠ABC＋∠ACB)＝92°．5. 证明：∵AD，BG，CH是△ABC的三条角平分线，∴∠ABG＝12∠ABC，∠BAD＝12∠BAC，∠BCH＝12∠ACB∵∠ABC＋∠BAC＋∠ACB＝180°，∴∠ABG＋∠BAD＋∠BCH＝90°∴∠ABG＋∠BAD＝90°－∠BCH∵OE⊥BC，∴∠BCH＋∠COE＝90°，∴∠COE＝90°－∠BCH∴∠BOD＝∠COE6.解：∵∠GKF＝∠E＋∠F，∠GKF＝∠KGH＋∠KHG，∴∠E＋∠F＝∠KGH＋∠KHG，同理：∠A＋∠B＝∠GKH＋∠KHG，∠C＋∠D＝∠KGH＋∠GKH．∴∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝2(∠KGH＋∠GKH＋∠KHG)=360°．7.答案：D解析：由多边形的内角和公式得，（n-2）180=1620,解得n=11；通过操作可以发现，一个多边形截取一个角后，所得出的边数与原多边形边数比较有三种情况：等于原边数、比原边数少1、比原边数多1．8.答案：D解析：设这个多边形的边数为n ，则有120n ＝(n －2)180，解得n ＝6． 课时作业·轻松练 A ．基础题组 1.答案：C 2．答案：D 3．答案：B 解析：∠DAE ＝12(∠C －∠B )． 4．延长BD 到点E ，∵∠A ＝55°，∠B ＝30°，∴∠BEC ＝∠A ＋∠B ＝85°，∴∠BDC ＝∠BEC＋∠C ＝120°． 5．答案：10解析：多边形的外角和为360°，而正多边形的每个外角都相等，都是36°． B.提升题组 6．2∠A ＝∠1＋∠2解析:∵∠1＝180°－2∠ADE , ∠2＝180°－2∠AED,∴∠1＋∠2=2(180°－∠ADE －∠AED )= 2∠A. 7．答案：2解析：∵EC ＝2BE ，点D 是AC 的中点，∴S △ACE ＝23S △ABC ＝8，S △BCD ＝12S △ABC ＝6，S △ADF －S △BEF ＝S △ACE －S △BCD ＝2．8．解：设∠BAD ＝x °，则∠B ＝3x °，∵AD 平分∠BAC ，∴∠BAC ＝2∠BAD ＝2x °，∵∠C ＝90°，∴∠BAC ＋∠B ＝90°，∴3x °＋2x °＝90°，解得：x ＝18，∴∠ADC ＝72°． 9．（1）150、90；（2）不变化、60°． 10．∠C 的大小保持不变．理由：∵∠ABY ＝90°＋∠OAB ，AC 平分∠OAB ，BE 平分∠ABY ， ∴∠ABE ＝21∠ABY ＝21（90°＋∠OAB ）＝45°＋21∠OAB ， 即∠ABE ＝45°＋∠CAB ，又∵∠ABE ＝∠C ＋∠CAB ， ∴∠C ＝45°，故∠ACB 的大小不发生变化，且始终保持45°. 中考试题初体验1．答案：B解析：本题考查了三角形的三边关系，由于“三角形两边之和大于第三边；三角形两边之差小于第三边”知三条线段能组成三角形的条件是任何两边之和都大于第三边，对于选项A 中2＋2＝4，不能构成三角形；选项C 中2＋4＝6，不能构成三角形；选项D 中2＋4＜8，不能构成三角形；只有选项B 能构成三角形．2．答案：20132m解析：利用角平分先性质、三角形外角性质，易证∠A 1＝21∠A ，进而可求∠A 1，由于∠A 1＝21∠A ，∠A 2＝21∠A 1＝221∠A ，…，以此类推可知∠A 2013＝201321∠A ＝ 20132m 度．。
三角形中的边角关系
三角形中的边角关系知识点梳理一、 边1、根本概念〔三角形、边、 顶点的定义；三角形的符号表示〕2、按边对三角形的分类：≠⎧⎪⎨⎧⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形腰底等腰三角形等边三角形☆3、三边关系：〔1〕任意两边之和大于第三边 〔2〕任意两边之差小于第三边 验证：两条较短边之和与第三边的关系 二、角1、根本概念〔内角、外角〕2、按角对三角形的分类：⎧⎧⎪⎨⎩⎨⎪⎩锐角三角形斜三角形三角形钝角三角形直角三角形3、三角形的内角和〔1〕三角形三个内角和等于180°； 〔2)直角三角形的两个锐角互余； 〔3〕一个三角形最多3个锐角，最多1个钝角，最多1个直角，最少2个锐角。
三、线1、中线(1) 定义 〔2〕 重心 〔3〕中线是线段 〔4〕 表示方法 2、高线〔1〕定义 〔2〕垂心 (3〕高是线段，垂线是直线 〔4〕表示方法 〔5〕钝角三角形高的画法 3、角平分线〔1〕定义 (2)外心 〔3〕画法 〔4〕表示方法 四、方法技能归纳法在规律探索中的应用。
根底练习第1题-〔1〕 第1题-〔2〕 第1题-〔2〕1、〔1〕以AB 为边的三角形有______________；含∠ACB 的三角形有 ；在△BOC 中，OC 的对角是___________；∠OCB 的对边是___________.〔2〕图〔1〕中三角形的个数是____________;★图〔2〕中三角形的个数是____________。
2、三角形按角分类可以分为〔 〕A ．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形；B ．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形；C ．直角三角形、等边直角三角形；D ．以上答案都不正确3、一个等腰三角形的两边长分别是4和9，那么它的周长是___________________________4、假设三角形的三边长分别为3,4，x -1，那么x 的取值范围是_________________________5、有3cm,6cm,8cm,9cm 长的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，那么最多能组成_____个三角形6、,,a b c 是ABC 的三条边，且()()0a b c a b ++-=，那么ABC 是__________三角形7、以下说法正确的选项是_____________________〔1〕等边三角形是等腰三角形； 〔2〕三角形的两边之差大于第三边；〔3〕有两边相等的三角形一定是等腰三角形； 〔4〕一个钝角三角形一定不是等腰三角形。
三角形中的边角关系、命题与证明
高效学案4、三角形中的重要线段（1）三角形的角平分线：三角形的一个内角的平分线与它的对边相交，连接这个角的顶点和交点之间的线段.（2）三角形的中线：三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线.（3）三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，三角形顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高.三、经典例题【例1】以下列各组线段长为边，能组成三角形的是（ ）A ．1cm ，2cm ，4cmB ．8cm ，6cm ，4cmC ．12cm ，5cm ，6cmD ．2cm ，3cm ，6cm【变式1】两根木棒的长分别为7cm 和10cm ，要选择第三根棒，将它钉成一个三角形框架，那么第三根木棒长x cm 的范围是__________．【变式2】若a 、b 、c 是△ABC 的三边，化简c b a a c b c b a +--+--+--．【变式3】如图，已知P 是△ABC 内一点，连结AP ，PB ，PC ．求证：PA+PB+PC >21(AB+AC+BC)．【例2】等腰三角形的两边长分别为5 cm 和10 cm ，则此三角形的周长是（ ）A ．15cmB ．20cmC ．25 cmD ．20 cm 或25 cm【例3】已知△ABC 中：（1）∠A=20°，∠B ﹣∠C=40°，则∠B=______；（2）∠A=120°，2∠B+∠C=80°，则∠B=_______；（3）∠B=∠A+40°，∠C=∠B ﹣50°，则∠B=_______；（4）∠A ：∠B ：∠C=1：3：5，则∠B=_______．E DA 2 1 ABC 【变式】如图把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 在四边形BCDE 的内部时，则∠A 与∠1、∠2之间有一种数量关系始终保持不变.请试着找出这个规律，你发现的规律是（ ）A.∠A=∠2＋∠1B.2∠A=∠2＋∠1C.3∠A=2∠1＋∠2D.3∠A=2∠1＋2∠2【例4】如图，α、β、γ分别是△ABC 的外角，且α：β：γ= 2：3：4，则α =__________．【变式1】如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数．【变式2】已知：如图1，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关 ；（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．利用（1）的结论，试求∠P 的度数；（3）如果图2中∠D 和∠B 为任意角时，其他条件不变，试问∠P 与∠D 、∠B 之间存在着怎样的数量关系？【例5】如图，∆ABC 中，AD 是BC 上的中线，BE 是∆ABD 中AD 边上的中线，若∆ABC 的面积是24，则∆ABE 的面积是________．【例6】如图，在△ABC 中，BE ⊥AC ，BC=5cm ，AC=8cm ，BE=3cm .（1）求△ABC 的面积；（2）画出△ABC 中的BC 边上的高AD ，并求出AD 的值．【例7】已知：如图AB//CD 直线EF 分别交AB 、CD 于点E 、F ，BEF ∠的平分线与DFE ∠的平分线相交于P ，求证 90=∠P ．【变式】如图，∠MON=90°，点A ，B 分别在射线OM ，ON 上运动，BE 平分∠NBA ，BE 的反向延长线与∠BAO 的平分线交于点C ．∠BAO=45°则∠C 的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．55°D ．60°【例8】如图，△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线交于点O ，若∠A=70°，则∠BOC= 度．【变式】认真阅读下面关于三角形内外角平分线所夹的探究片段，完成所提出的问题．探究1：如图1，在△ABC 中，O 是∠ABC 与∠ACB 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究2：如图2中，O 是∠ABC 与外角∠ACD 的平分线BO 和CO 的交点，试分析∠BOC 与∠A 有怎样的关系？ 探究3：如图3中，O 是外角∠DBC 与外角∠ECB 的平分线BO 和CO 的交点，则∠BOC 与∠A 有怎样的关系？四、方法归纳1、三角形的边的关系，只需验证：两个较短的边之和大于第三边即可.2、三角形的两边长分别为b a ,，则第三边长c 的取值范围是：b a c b a +<<-.3、三角形的几种“心”.（1）重心：三条中线的交点.（2）外心：三边垂直平分线的交点.（3）内心：三条内角平分线的交点.（4）垂心：三条高线的交点.五、课后作业【作业1】1.如图所示，共有_______个三角形，以AD 为一边的三角形有___________________，∠C 是△ADC 的________边的对角，AE 是△ABE 中∠_____的对边.2.一个三角形周长为27cm ，三边长为2：3：4，则最长边为______cm.3.已知在△ABC 中，5=a ，3=b ，那么第三边c 的取值范围是_____________.4.在△ABC 中，2∠A=3∠B=6∠C ，则△ABC 是________三角形.5.在△ABC 中，已知∠B －∠A=5°，∠C －∠B=20°，则∠A=_______.6.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=25°，CD ⊥AB 于D ，则∠ACD =_________.7.等腰三角形周长为14，其中一边长为3，则腰长为________.8.一个三角形有两条边相等，一边长为4cm ，另一边长为9cm ，那么这个三角形的周长是__________.9.在△ABC 中，∠B ，∠C 的平分线交与点O ，若∠BOC=132°，则∠A=________.10.如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 边上的点，DE ∥BC ，∠ADE=30°，∠C=120°，则∠A 等于（ ）A.60°B.45°C.30°D.20°11.如果三角形的一个角等于其他两个角的差，那么这个三角形一定是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定12.一个三角形的两边长分别为3和7，若第三边长为偶数，则第三边为（ ）A.4，6B.4，6，8C.6，8D.6，8，1013.能将三角形的面积分成相等的两部分的是（ ）A.三角形的角平分线B.三角形的中线C.三角形的高线D.以上都不对14.在△ABC 中，若∠A ：∠B ：∠C=1：2：3，则△ABC 是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形15.如图，AD 、AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B=36°，∠C=76°，求∠DAF 数.（提示：先证明∠DAF=21（∠C －∠B ））16.如图，已知I 为△ABC 的内角平分线的交点.求证：∠BIC=90°＋21∠A.17.如图，在△ABC 中，∠B = 60°，∠C = 50°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，求∠BDE 的度数.18.如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，垂足分别为D 、E ，已知∠AFD=150°，求∠EDF 等于多少度？【作业2】1.如图，AD ，BE ，CF 是△ABC 的中线、高、角平分线.则：BD=___=21___；∠___=∠___=90°；∠___=∠___=21∠___. 2.如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，CE ⊥AB ，已知AB=6，BC=4，AD=5，则CE=______.3.如图，AD 、AE 分别是△ABC 的中线、高，且AB=5，AC=3，则△ABD 与△ACD 的周长的差是_________，△ACD 与△ABD 的面积关系为__________.第1题 第2题 第3题 第4题 第5题4.如图，△ABC 的周长是21cm ，AB=AC ，中线BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长比△BCD 的周长大6cm ，则AB= ，BC=_________.5.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且2ABC cm 8=∆S ，则阴影部分的面积等于_________.6.在△ABC 中，若AB=5，AC=2，且三角形周长为偶数，则BC=________.7.△ABC 的三边长是a ，b ，c ，则c b a a c b c b a +++-----=________.第8题 第9题 第10题8.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，点B 沿CB 所在直线远离C 点移动，下列说法不正确的是（ ）A.三角形面积随之增大B.∠CAB 的度数随之增大C.边AB 的长度随之增大D.BC 边上的高随之增大9.如图，在△ABC 中，∠B 、∠C 的平分线BE ，CD 相交于点F ，∠ABC=42°，∠A=60°，则∠BFC=（ ）A.118°B.119°C.120°D.121°10.如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC 和∠ACB ，则∠BOC 与∠A 的大小关系是（ ）A.∠BOC=2∠AB.∠BOC=90°+∠AC.∠BOC=90°+21∠A D.∠BOC=90°21-∠A11.如图，∠ABC=∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF.以下结论：①AD∥BC；②∠ACB=2∠ADB；③∠ADC=90°﹣∠ABD；④∠BDC=∠BAC.其中正确的结论有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于D，已知∠A=50°，求∠BDC的度数．13.如图，已知BD为∠ABC的平分线，CD为△ABC的外角∠ACE的平分线，CD与BD交于点D，试说明∠A=2∠D．14.如图，已知AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，∠BEF与∠EFD的平分线相交于点P，求证：EP⊥FP．15.如图所示，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠BAC=63°，求∠DAC的度数．16.已知：∠MON=40°，OE 平分∠MON ，点A 、B 、C 分别是射线OM 、OE 、ON 上的动点（A 、B 、C 不与点O 重合），连接AC 交射线OE 于点D ．设∠OAC x =°.21（1）如图1，若AB ∥ON ，则①∠ABO 的度数是 ；②当∠BAD=∠ABD 时，=x ；当∠BAD=∠BDA 时，=x ．（2）如图2，若AB ⊥OM ，则是否存在这样的x 的值，使得△ADB 中有两个相等的角？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．第二节：命题与证明一、课堂导入有个学生请教爱因斯坦逻辑学有什么用。
.直角三角形的边角关系
教学过程一、复习预习复习勾股定理，复习直角三角形边与角的关系，学会掌握为什么是，台风问题等等二、知识讲解1.直角三角形的边角关系（如图）（1）边的关系（勾股定理）：；（2）角的关系： =∠C=900；（3）边角关系：①：00901230C BC AB A ⎫∠=⎪⇒=⎬∠=⎪⎭②：锐角三角函数：∠A 的 =A a sin A=c∠的对边，即斜边；∠A 的 =A b cos A=c∠的邻边，即斜边,∠A 的 =A a tan=A b∠的对边，即∠的邻边注：三角函数值是一个比值． 2.三角函数的大小比较 (1) 同名三角函数的大小比较①正弦、正切是增函数．三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 ． ②余弦、余切是减函数．三角函数值随角的增大而 ，随角的减小而 。
(2) 异名三角函数的大小比较①tanA ＞SinA ，由定义知tanA= ，sinA= ；因为b ＜c ，所以tanA ＞sinA ②cotA ＞cosA ．由定义知cosA= ，cotA= ；因为 a ＜c ，所以cotA ＞cosA ． ③若0○＜A ＜45○，则cosA ＞sinA ，cotA ＞tanA ；若45○＜A ＜90○，则cosA ＜sinA ，cotA ＜tanA3、运用三角函数解决与直角三角形有关的实际问题 1、实际问题中有关名词、术语的意义：①仰角与俯角：在进行测量时，从下往上看，视线与 的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做 .如图1.②坡角与坡度：坡面与 的夹角叫做坡角，图2中的 α 是坡角；坡面的垂直高度h 和 的比叫做坡度.即坡度αtan ==lhi三、例题精析【例1】等腰三角形底边长为10㎝，周长为36cm ，那么底角的余弦等于（ ）．（A ）513（B ）1213 （C ）1013（D ）512课堂训练题在△ABC 中，若三边BC ,CA,AB 满足 BC ：CA ：AB=5：12：13，则cosB= （ ）A.125 B.512 C.135 D.1312【例2】已知1sin 2A =，且∠A 为锐角，则∠A=（ ） ° ° ° °课堂训练题 cos30°=( )A .12B .2 C【例3】王英同学从A 地沿北偏西60º方向走100 m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时王英同学离A 地 （ ）（A ）350 m （B ）100 m （C ）150 m （D ）3100 m【解题思路】作出如图所示的图形，则∠BAD＝90°－60°＝30°，AB ＝100，所以BD ＝50，cos30°＝AD AB，所以AD ＝CD ＝200－50＝150，在Rt△ADC 中，AC .课堂训练题在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A 点出发，要到距离A 点1000m 的C 地去，先沿北偏东70︒方向到达B 地，然后再沿北偏西20︒方向走了500m 到达目的地C ,此时小霞在营地A 的（ ）A. 北偏东20︒方向上B. 北偏东30︒方向上C. 北偏东40︒方向上D. 北偏西30︒方向上【例4】如图，已知△ABC 中，∠ABC=45°，F 是高AD 和BE 的交点，CD=4，则线段DF 的长度为( )A ．B ．4C ．．课堂训练题如图6-32，在菱形ABCD 中，∠ADC=120°，则BD∶AC 等于（ ）（A ）2:3 （B ）3:3 （C ）1∶2 （D ）1:2【例5】如图，在高出海平面100米的悬崖顶A 处，观测海平面上一艘小船B ，并测得它的俯角为45°,则船与观测者之间的水平距离BC= 米．课堂训练题如图，孔明同学背着一桶水，从山脚A出发，沿与地面成30︒角的山坡向上走，送水到山上AB=米，则孔明从A到B上升的高度BC 因今年春季受旱缺水的王奶奶家（B处），80是米．【例6】如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB的长度.已知在离地面1500 m，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A、B两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB的长.∵OA 350033150030tan 1500=⨯=⨯=ο， OB=OC=1500， ∴AB=635865150035001500=-≈-(m).即隧道AB 的长约为635m.课堂训练题某兴趣小组用高为米的仪器测量建筑物CD 的高度．如示意图，由距CD 一定距离的A 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为β，在A 和C 之间选一点B ，由B 处用仪器观察建筑物顶部D 的仰角为α．测得A ，B 之间的距离为4米，tan 1.6α=，tan 1.2β=，试求建筑物CD 的高度．ACDBEFβ αG【例7】如图，一条小船从港口A 出发，沿北偏东40o方向航行20海里后到达B 处，然后又沿北偏西30o方向航行10海里后到达C 处．问此时小船距港口A 多少海里？（结果精确到1海里）友情提示：以下数据可以选用：sin 400.6428o ≈，cos 400.7660o ≈，tan 400.8391o≈，1.732．解：过B 点作BE AP ⊥，垂足为点E ；过C 点分别作CD AP ⊥，CF BE ⊥，垂足分别为点D F ，，则四边形CDEF 为矩形． CD EF DE CF ∴==，， 30QBC ∠=o Q ，60CBF ∴∠=o ．2040AB BAD =∠=o Q ，，cos 40200.766015.3AE AB ∴=⨯o g ≈≈；sin 40200.642812.85612.9BE AB =⨯=o g ≈≈．1060BC CBF =∠=o Q ，，sin 60100.8668.668.7CF BC ∴=⨯=o g ≈≈； cos60100.55BF BC ==⨯=o g ．12.957.9CD EF BE BF ∴==-=-=． 8.7DE CF =Q ≈，15.38.724.0AD DE AE ∴=++=≈．CQBFAED P北40o30o∴由勾股定理，得25AC ==．即此时小船距港口A 约25海里.课堂训练题如图所示，MN 表示某引水工程的一段设计路线，从M 到N 的走向为南偏东︒30，在M 的南偏东︒60方向上有一点A ，以A 为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，则MN 上另一点B ，测得BA 的方向为南偏东︒75.已知400=MB 米，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？【例8】如图，某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西60°方向移动.距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响.（1） 问B 处是否会受到台风的影响？请说明理由.（2） 为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（供选用的数据：2≈，3≈）【参考答案】解：（1）过点B作BD⊥AC，垂足为D.依题意得：∠BAC=30°，Rt△ABD中，BD=AB=×20×16=160＜200，∴B处会受到台风的影响.（2）以点B为圆心，200海里为半径画圆交AC于E、F（如图），由勾股定理可求得：DE=120，AD=1603，AE=AD－DE=1603－120，∵40120－3160=（小时）∴该船应在小时内卸完货物.课堂训练题如图，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得该岛在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁.（1）试说明B点是否在暗礁区域外；（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由.课后自我检测A 类题（10道题）1.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，若43tan =A ，则sin A ＝（ ） A.34 B.43 C.35 D.53 2.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2，BC ＝3，则tan2A＝ .3.计算cos 60303+oo 的值是（ ） A.27 B.65 C.23 D.223+4.在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，31tan =A ，AC ＝6，则BC 的长为（ ）5.△ABC 中，∠A 、∠B 均为锐角，且0)3sin 2(3tan 2=-+-A B ，试确定△ABC 的形状.6.已知正方形ABCD 的两条对角线相交于O ，P 是OA 上一点，且∠CPD ＝60°，则PO ∶AO ＝ .7.在Rt△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高线，已知∠ACD 的正弦值是32，则ABAC 的值是（ ） A.52 B.53 C.25D.328.如图，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，sin A ＝52，D 为AC 上一点，∠BDC ＝45°，DC ＝6，求AB 的长.9.某水库大坝横断面是梯形ABCD，坝顶宽CD＝3米，斜坡AD＝16米，坝高8米，斜坡BC 的坡度i＝1∶3，求斜坡AB的坡角和坝底宽AB.10.在数学活动课上，老师带领学生去测河宽，如图，某学生在点A处观测到河对岸水边处有一点C，并测得∠CAD＝45°，在距离A点30米的B处测得∠CBD＝30°，求河宽CD（结果可带根号）.B 类题（10道题）1.某人沿倾斜角为β的斜坡前进100米，则他上升的高度为（ ）A.βsin 100米 B.βsin 100米 C.βcos 100米 D.βcos 100米2.10)1α+=o，则锐角α的度数是（ ）° ° ° ° 3.已知cos α＜，那么锐角α的取值范围是（ ）°＜α＜90° °＜α＜60°°＜α＜90°°＜α＜30°4.△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，则CBCD等于（ ）5.已知等腰梯形ABCD 中，AD ＋BC ＝18cm ，sin∠ABC ＝352，AC 与BD 相交于点O ，∠BOC ＝120°，试求AB 的长.6.如图，梯子AB 靠在墙上，梯子的底端A 到墙根O 的距离为2米，梯子的顶端B 到地面的距离为7米.现将梯子的底端A 向外移动到A '，使梯子的底端A '到墙根O 的距离等于3米，同时梯子的顶端B 下降到B '，那么B B '（ ） A.等于1米 B.大于1米 C.小于1米 D.不能确定7.如图，已知四边形ABCD中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，∠BAD＝75°，∠D＝60°，求CD 的长.8.如图，塔AB和楼CD的水平距离为80米，从楼顶C处及楼底D处测得塔顶A的仰角分别为45°和60°，试求塔高与楼高（精确到米）.（参考数据：2＝…，3＝…）9.如图，直升飞机在跨河大桥AB 的上方P 点处，此时飞机离地面的高度PO ＝450米，且A 、B 、O 三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别为30α=o ，45β=o ，求大桥AB 的长（精确到1米，选用数据：2＝，3＝）10.一艘渔船正以30海里／小时的速度由西向东追赶鱼群，在A 处看见小岛C 在船的北偏东60°方向，40分钟后，渔船行至B 处，此时看见小岛C 在船的北偏东30°方向，已知以小岛C 为中心周围10海里以内为我军导弹部队军事演习的着弹危险区，问这艘渔船继续向东追赶鱼群，是否有进入危险区域的可能？C 类题（10道题）1.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，下列式子不一定成立的是（ ）＝cosB ＝sinB＝cosB D.2cos 2sinBA C += 2.已知，在△ABC 中，∠A＝60°，∠B＝45°，AC ＝2，则AB 的长为 .3.如图，两条宽度都是1的纸条交叉叠在一起，且它们的夹角为α，则它们重叠部分（图中阴影部分）的面积是（ ）A.αsin 1 B.αcos 1 C.αsin4.在Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A、∠B 的对边分别是a 、b ，且满足022=--b ab a ，则tanA 等于（ ）B.251+ C.251- D.251± 5.如图，在△ABC 中，∠A＝30°，E 为AC 上一点，且AE∶EC＝3∶1，EF⊥AB 于F ，连结FC ，则tan∠CFB＝（ ）A.361 B.321 C.334 D.341 6.已知m =+ααcos sin ，n =⋅ααcos sin ，则m 与n 的关系是（ ）A.n m =B.12+=n mC.122+=n m D.n m 212-=。
边角互换公式
边角互换公式
相关信息
1、三角形的正弦定理的表达式为a/sina=b/sinb=c/sinc= 2r=d。
其中r为外接圆半径，d为直径。
2、表达的含义是在任意一个平面三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等且等于外接圆的直径。
3、正弦定理在数学和物理中的应用，三角形的三个角a、b、c和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素。
已知三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。
正弦定理是解三角形的重要工具。
4、在解三角形中，已知三角形的两角与一边，解三角形。
已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形。
5、运用a:b:c=sina:sinb:sinc解决角之间的转换关系。
6、边角互化不仅在等式、分式中可以用，不等式中也可以用。
当出现关于边角的分式，等式或不等式时，一般是关系，而不是具体的值，要考虑是否应用边角互化。
边角互化的原则是化繁为简，化未知于已知。
一般用正弦定理进行化简，当出现与余弦定理相关的式子之后，才会用余弦定理。
三角形中的边角关系
三角形基础知识说明：△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，p为三角形周长的一半，r为内切圆半径，R为外接圆半径，）h a，h b，h c分别为a，b，c边上的高S△ABC表示面积。
1．三角形的定义：三条线段首尾顺次连结所组成的图形，其中各条线段叫做三角形的边，每两条边组成的角叫做三角形的内角（简称三角形的角）．2．三角形的元素：三角形的边、角、中线、高线、角平分线、周长、面积等都叫三角形的元素．3．确定三角形的条件：在三角形的元素中，边和角叫做三角形的基本元素，其中角确定三角形的形状（定形），边确定三角形的大小（定量），三角形具有稳定性．确定三角形的条件是：已知三角形的三边（SSS）或两边及其夹角（SAS）或两角及其公共边（ASA）或两角与其中一角的对边（AAS），这也是判断两个三角形全等的主要方法，全等三角形的对应元素都相等．只知三角形的三角大小，不能确定三角形，具有相同大小的三个角的两个三角形是相似关系．4．三角形的“线”与“心”：（1）高线、垂心．（2）中线、重心及其的性质、坐标公式、向量公式及其物理意义、中线长定理．（3）中垂线、外接圆、外心．（4）内角平分线、内切圆、内心、内角平分线定理．（5）外角平分线、旁切圆、旁心、外角平分线定理．（6）中位线、中位线定理、中点三角形及其性质．5．三角形的分类：（1）按边的相等情况分：三边不等的三角形、等腰三角形、等边三角形。
（2）按最大角的情况分：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。
6．等腰三角形的判定与性质、四线合一7．等边三角形的判定与性质、四心合一（中心）8．三角形元素之间的关系：（1）角与角的关系：①内角和定理、②外角定理③角的性质：范围、关系．④最大角、最小角．⑤锐角三角形中任两角的和（2）边与边的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．（“三胞胎”）（3）边与角的关系：（“三胞胎”）①对边与对角的大小关系：在三角形中，大边所对的角也较大，相等两边所对的角也相等，反之也真．②正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比都相等，都等于该三角形外接圆的直径．③余弦定理：在一个三角形中，任何一边的平方都等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的乘积的二倍．④射影定理：在一个三角形中，任何两边在第三边上的射影之和都等于第三边．（4）直角三角形的性质：①勾股定理②两个锐角的关系③锐角的三角函数（边与角的联系）．④含30º角的直角三角形的性质⑤斜边上的中线长等于斜边长的一半．9．解三角形：根据三角形中已知的元素求其它未知的元素，叫解三角形．10．三角形面积公式：（1）ABC S ∆111222a b c ah bh ch === 111sin sin sin 222ab C ac B bc A === 2sin sin 2sin a B C A =CB A c BC A b sin 2sin sin sin 2sin sin 22== 22sin sin sin R A B C = (sin sin sin )Rr A B C =++4abc R =pr =． （2）若1122(),()AB x ,y AC x ,y ==，则ABC S ∆1212||x x y y =-．（3）若,AB AC ==c b ，则ABC S ∆=．1．正弦定理：(2sin sin sin R Cc B b A a ===R 为△ABC 外接圆半径）。
第13章 三角形中的边角关系、命题与证明(教材知识盘点+典例诠释解法+中考无缝对接,12页,PDF)
三边” 可以判断三条线段能否组成三角形. 取值范围是 m - n < x < m + n.
形的三边) ,Байду номын сангаас
边之和. 若三角形的两边长为 m, n ( m ≥ n ) , 则第三边长 x 的
长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.
所以∠A = ∠2 . ( 等量代换)
所以∠3 = ∠B,∠DEC = ∠A. ( 两直线平行,同位角相等)
又因为∠1+∠2+∠3 = 180 ° ,( 平角的定义) 所以∠A +∠B +∠C = 180 °. ( 等量代换) 方法四:如图 13-1-7, 过点 A 任作直线 l1 ( 不平行于三角
图 13-1-1
包括等边三角形. 等边三角形是特殊的等腰三角形, 即底边和 腰相等的等腰三角形. 2 三角形按角分类 形;有一个角是直角的三角形叫做 直角三角形; 有一个角是钝 角的三角形叫做钝角三角形. 直角三角形中夹直角的两边叫做直角边,直角相对的边叫 (2) 三角形按角的大小分类: (1) 三角形中, 三个角 都是 锐角 的三角形叫做 锐角三角
1 三角形的定义 由不在同一条直线上 的 三条 线段 首尾依次相接 所组成的 图形叫做三角形. 注意:(1) 三条线段必须 不在同一直线上” 才能组成三角
知识点 2 三角形的分类 ( 重点㊁难点)
1 三角形按边分类 形;有两条边相等的三角形叫做 等腰三角形; 三条边都相等 的 三角形叫做等边三角形( 又叫做正三角形) . 等腰三角形中,相等的两边叫做腰,第三边叫做底边. 两腰 (2) 三角形按边长关系分类: (1) 三角形中,三条边互不相等 的三角形叫做 不等边三角
第 13 章 三角形中的边角关系㊁命题与证明
直角三角形的边角关系(一)
课题直角三角形的边角关系（一）学习目标与 考点分析1、理解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的意义，能够运用tanA,sinA和cosA 表示直角三角形中两边之比。
2、能够进行含有30°，45°，60°角的三角函数值得计算。
学习重点1、正切的定义2、坡度（或坡比)的概念及表示3、正弦、余弦的定义4、三角函数的意义5、30°，45°，60°角的三角函数值 教学方法自主探究与练习学习内容与过程1、正切的定义在确定，那么A 的对边与邻边的比便随之确定，这个比叫做∠A 的正切，记作tanA 。
即tanA=baA =∠∠的邻边的对边A例1 如图，△ABC 是等腰直角三角形，求tanC.例2 如图， 已知在Rt △ABC 中，∠C=90°，CD ⊥AB ，AD=8，BD=4，求tanA 的值。
2、坡度的定义及表示（难点）我们通常把坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或坡比）。
坡度常用字母i 表示。
斜坡的坡度和坡角的正切值关系是：lha =tan 注意：（1）坡度一般写成1：m 的形式（比例的前项为1，后项可以是小数）； （2）若坡角为a ，坡度为a lhi tan ==，坡度越大，则a 角越大，坡面越陡。
例3 如图：铁路的路基的横截面是等腰梯形，斜坡AB 的坡度为1∶3，BE 为33米，基面AD 宽2米，求路基的高AE ，基底的宽BC 及坡角B 的度数.（答案可带根号）3、正弦、余弦的定义在Rt 中，锐角∠A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA 。
即sinA=ca=∠斜边的对边A∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA 。
即cosA=cb=∠斜边的邻边AD C B A例4在△ABC 中，∠C=90°，BC=1，AC=2，求sinA 、sinB 、cosA 、cosB 的值。
通过计算你有什么发现？请加以证明。
(新)初一几何——三角形的边角关系(一)
泛美国际学校数学教研室数学的学习可以让我们理性面对生活，可以让我们学会坚持和变得坚强。
——吴老师第 1 页 共 2 页 初一几何——三角形的边角关系（一）【学习目标】1． 根据三角形、多边形内角和定理计算较复杂图形中的相关角度。
2． 充分利用三角形三边关系解决相关问题。
3． 学会并掌握双垂直图形。
【知识库】1、三角形的边：三角形三边定理：三角形两边之和大于第三边即：△ABC 中，a+b>c,b+c>a,c+a>b （两点之间线段最短）由上式可变形得到： a>c －b ，b>a －c ，c>b －a 即有：三角形的两边之差小于第三边2、高：由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3、中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角形的中线【规律探索】（北京市竞赛题）如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变．请试着找一找这个规律，你发现的规律是（ ）．A ．∠A ＝∠1＋∠2B ．2∠A ＝∠1＋∠2C ．3∠A ＝2∠1＋∠2D ．3∠A ＝2（∠1＋∠2） 变式：想一想，如果当点A 落在四边形BCDE 外部时，∠A 与∠1、∠2之间又有什么数量关系呢？试画出图形并说明。
【题型精讲】重难点一：三角形的面积。
例一：如图，△ACB 中，∠ACB =90°，∠1=∠B ． 若AC =8，BC =6，AB =10，则CD 的长为 ． 例二：如图，等腰三角形ABC 中，两腰AB =AC ，点P 在底边BC 上任意一点，求证：点P 到两腰的距离之和等于等腰三角形腰上的高。
（要求画出草图再求证） 拓展延伸：已知等边△ABC 和点P ，设点P 到△ABC 三边的AB 、AC 、BC 的距离分别是h 1，h 2，h 3，△ABC 的高为h ，请你探索以下问题：（1）若点P 在一边BC 上（图1），此时h 3=0，问h 1、h 2与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （2）若当点P 在△ABC 内（图2），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由； （3）若点P 在△ABC 外（图3），此时h 1、h 2、h 3与h 之间有怎样的数量关系？请说明理由 重难点二：三角形的三边关系例三：已知三角形三边分别为2，a -1，4，那么a 的取值范围是( )A.1<a <5B.2<a <6C.3<a <7D.4<a <6例四：已知△ABC 的周长是12，三边为a 、b 、c ，若b 是最大边，确定b 的取值范围。
高三第一轮复习边角互化问题及三角形的形状判定
边角互化问题及三角形的形状判定【提纲挈领】主干知识归纳ABC ∆的6个基本元素：C B A c b a ,,,,,.其中三内角C B A ,,所对边边长分别为c b a ,,.1．正弦定理及其变式R CcB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是ABC ∆的外接圆的半径）变式1：C R c B R b A R asin 2,sin 2,sin 2===变式2：C B A c b a sin :sin :sin ::=变式3：Rc C R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin===2．余弦定理及其变式A bc c b a cos 2222-+=，B ca a c b cos 2222-+=，C ab b a c cos 2222-+=. 变式：abc a b C ac b a c B bc a c b A 2cos ,2cos ,2cos 222222222-+=-+=-+=.3.三角形中的一些重要结论 （1）内角和定理及其相关结论：π=++C B A ，)cos(cos ),sin(sin C B A C B A +-=+=，.2sin 2cos ,2cos 2sinCB AC B A +=+= （2）大边对大角，大角对大边，即B A B A b a sin sin >⇔>⇔>.（3）A 为锐角00cos 1222>-+⇔>≠⇔a c b A ；A 为钝角00cos 1222<-+⇔<≠-⇔a cb A .方法规律总结1.解三角形问题边角互化：（1）若已知等式（或不等式）中左右均有齐次边，一般利用正弦定理将边化为角； （2）若已知等式（或不等式）中左右均有角的正弦，也可利用正弦定理将角化为边； （3）遇到222,,c b a等，一般用余弦定理求角（范围）.2判定三角形形状主要有下面两种途径：（1）“角化边”：把已知条件（一般是边的一次式、角的正弦或余弦）转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得到边的关系，从而判断三角形形状；.（2）“边化角”：把已知条件（一般是边的二次式或两边之积、角的余弦）转化为内角的三角函数关系，通过三角恒等变换得到内角的关系，从而判断三角形形状.【指点迷津】【类型一】角化边【例1】在∆ABC 中．222sin sin sin sin sin A B C B C ≤+-．则A 的取值范围是 ( )A ．（0，6π] B ．[6π，π）C ．（0，3π] D ．[3π，π） 【解析】:由题意正弦定理22222222211cos 023b c a a b c bc b c a bc A A bc π+-≤+-⇒+-≥⇒≥⇒≥⇒<≤【答案】C【例2】【2015北京，理12】在ABC △中，4a =，5b =，6c =，则sin 2sin AC= ．【答案】1【例3】在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知sinAsinB+sinBsinC+cos2B=1.求证:a,b,c 成等差数列.[解析]：由已知得sinAsinB+sinBsinC+1-2sin 2B=1.故sinAsinB+sinBsinC=2sin 2B ，因为sinB 不为0,所以sinA+sinC=2sinB ，再由正弦定理得a+c=2b,所以a,b,c 成等差数列.【类型二】边化角【例1】在锐角△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别为a,b,c,且2asinB=3b .则角A= . 【解析】：利用正弦定理将条件化为B B A sin 3sin sin 2=,且),2,0(π∈B所以,0sin ≠B 所以23sin =A ,且),2,0(π∈A 所以3π=A .答案：3π【例2】[2014·全国卷] △ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求B .【解析】：由题设和正弦定理得3sin A cos C ＝2sin C cos A ，故3tan A cos C ＝2sin C . 因为tan A ＝13，所以cos C ＝2sin C ，所以tan C ＝12.所以tan B ＝tan[180°－(A ＋C )] ＝－tan(A ＋C ) ＝tan A ＋tan Ctan A tan C －1＝－1，所以B ＝135°.【例3】[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .(1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )； (2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．【解析】：(1)∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac . 由余弦定理得 cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12， 当且仅当a ＝c 时等号成立，∴cos B 的最小值为12.【类型三】三角形的形状判定【例1】（2012年上海理）在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是 （ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定[解析]: 由条件结合正弦定理,“角化边”得222c b a <+,再由余弦定理,得0cos 2222<=-+abc b a C ,所以C 是钝角,选C. 答案：C【例2】（2013年陕西理）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若cos cos sin b C c B a A +=,则△ABC 的形状为（ ） (A) 锐角三角形(B) 直角三角形 (C) 钝角三角形 (D) 不确定【解析】：由条件结合正弦定理,“边化角”得A B C C B 2sin cos sin cos sin =+，再由三角恒等变换得A A C B 2sin sin )sin(==+，所以1sin =A ，所以 A 是直角,选B.【答案】B【例3】在ABC ∆中，若)sin()cos(21)sin(C A C B B A +++=-，则ABC ∆的形状一定是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．不含060等腰三角形D ．钝角三角形【解析】：由条件可得0901sin )sin(sin cos 21)sin(=⇔==+⇔-=-C C B A B A B A,所以选B. 答案：B【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1. 在ABC ∆中，若5:4:3sin :sin :sin =CB A ，则ABC ∆的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形【解析】：由5:4:3sin :sin :sin =C B A 及正弦定理得a:b:c=3:4:5，由余弦定理得0432543cos 222=⨯⨯-+=c ，所以角C 为直角.又易知两直角边不相等，选B. 答案：B.2.在ABC ∆中，已知C B A cos sin 2sin =，则ABC ∆一定是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】：从角考虑：⇔=+⇔=C B C B C B A cos sin 2)sin(cos sin 2sin0)sin(0sin cos cos sin =-⇔=-C B C B C B ,所以C B =,选A.角化边：c b c b abc b a b a C B A =⇔=-⇔-+⨯=⇔=022cos sin 2sin 22222. 答案：A3．在ABC ∆中，若2cos2cos2cosC c B b A a ==，则ABC ∆的形状是（ ）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰或直角三角形D ．等边三角形【解析】：由正弦定理“边化角”和二倍角公式得：⇔==2cossin 2cos sin 2cos sin C CB B A A 2sin 2sin 2sinCB A ==，又)2,0(2,2,2π∈C B A ，所以2A =2B =2C,所以A=B=C. 答案：D 4. （2013年课标Ⅰ文）已知锐角ABC∆的内角,,A B C的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =（）A ．10B ．9C ．8D ．5[解析]：由223cos cos 20A A +=得251cos 252=A ，又A 为锐角，所以51cos =A ，由余弦定理有bb 127651222-+=0651252=--⇔b b ，解得5=b . 【答案】D5．在ABC ∆,内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >,则B ∠= （ ） A.6π B.3πC.23π D.56π【解析】：将条件用正弦定理“边化角”得B A B C C B A sin 21cos sin sin cos sin sin =+，进而有21sin =B，又a b >，所以=B 6π【答案】A二、填空题6．[2014·天津卷] 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝14a ，2sin B ＝3sin C ，则cos A 的值为________．[解析]： ∵2sin B ＝3sin C ，∴2b ＝3c .又∵b －c ＝a 4，∴a ＝2c ，b ＝32c ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc＝94c 2＋c 2－4c 22×32c ×c＝－14. 答案：－147．（2013年安徽理）设ABC ∆的内角,,A B C所对边的长分别为,,a b c .若2b c a +=,则3sin 5sin ,A B =则角C =_____.【解析】:由题意正弦定理有b a 53=，所以a b 53=，又2b c a +=，所以a c 57=，由余弦定理有 21)56()2515(2cos 22222-=÷-=-+=a a ab c a b C ，又),0(π∈C ，所以32π=C .【答案】32π=C8．[2014·广东卷] 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c .已知b cos C ＋c cos B ＝2b ，则ab＝________．【解析】：利用正弦定理，将b cos C ＋c cos B ＝2b 化简得sin B cos C ＋sin C cos B ＝2sin B ，即sin(B ＋C )＝2sin B ．∵sin(B ＋C )＝sin A ，∴sin A ＝2sin B ，利用正弦定理化简得a ＝2b ，故ab＝2.答案：2三、解答题 9．在ABC∆中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a、b、c，已知222a c b-=，且sin cos 3cos sin ,A C A C = 求b.【解析】法一：在ABC ∆中sin cos 3cos sin ,A C A C =则由正弦定理及余弦定理有:2222223,22a b c b c a a c ab bc+-+-=化简并整理得：2222()a c b -=.又由已知222a c b -=24b b ∴=.解得40(b b ==或舍）. 法二:由余弦定理得: 2222cos ac b bc A -=-.又222a c b -=,0b ≠.所以2cos 2b c A =+…………………………………①又sin cos 3cos sin A CA C =，sin cos cos sin 4cos sin A C A C A C ∴+=sin()4cos sin A C A C +=，即sin 4cos sin B A C =由正弦定理得sin sin bBC c=，故4cos b c A =………………………② 由①，②解得4b =. 答案：4b =10. （2009全国卷Ⅱ文）设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c ，23cos )cos(=+-B C A ,ac b =2，求B. 【解析】：由cos （A -C ）+cosB=32及B=π-（A+C ）得cos （A -C ）-cos （A+C ）=32，cosAcosC+sinAsinC -（cosAcosC -sinAsinC ）=32,sinAsinC=34.又由2b =ac 及正弦定理得2sin sin sin ,B A C =故23sin4B =，所以3sin B =或3sin B=（舍去），于是 B=3π 或 B=23π，又由2b ac =知a b ≤或c b ≤，所以B =3π. 答案：B=3π【二级目标】能力提升题组一、选择题1．△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab( ) （A ）23 （B ）22（C 3（D 2[解析]：将条件用正弦定理“边化角”得A A B B A sin 2cos sin sin sin 22=+，进而有A B sin 2sin =，所以2sin sin =A B ，再由正弦定理“角化边”得2sin sin ==ABa b .答案：D2．已知C a b sin =，B a c cos =，则ABC ∆一定是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等边三角形D ．等腰直角三角形【解析】:“边化角”：B A B A B A C B a c cos sin )sin(cos sin sin cos =+⇔=⇔=0sin cos =B A ，又因为0sin ≠B ，所以0cos =A ，所以2π=A ；C A B C a b sin sin sin sin =⇔=，又2π=A ，所以B=C ，综上ABC ∆是等腰直角三角形.“角化边”：2222222cos a c b ac b c a a c B a c =+⇔-+⨯=⇔=，所以2π=A ，后略.【答案】D 二、填空题3．(2016年上海9)已知ABC ∆的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________[解析]：不妨设7,5,3===c b a ，则1433sin 1413752375cos 222=⇒=⨯⨯-+=A A ，由正弦定理有3373314sin 2=⇒==R A a R.【答案】337． 三、解答题4. (2009湖南卷理)在ABC ∆，已知2233AB ACAB AC BC ⋅=⋅=，求角A ，B ，C 的大小.【解析】：设,,BC a AC b AB c ===,由23AB AC AB AC ⋅=⋅得2cos 3bc A bc =，所以3cos 2A =， 又(0,),A π∈因此6A π=，233AB AC BC ⋅=得23bc a =，于是23sin sin 3C B A ⋅=，所以53sin sin()6C C π⋅-=，133sin (cos )2C C C ⋅=，因此22sin cos 233,sin 2320C C C C C ⋅+=-=，既sin(2)03C π-=，由A=6π知506C π<<，所以3π-，4233C ππ-<，从而20,3C π-=或2,3C ππ-=，既,6C π=或2,3C π=故2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【答案】2,,,636A B C πππ===或2,,663A B C πππ===. 【高考链接】1. （2010上海文数18）若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC（A ）一定是锐角三角形 （B ）一定是直角三角形（C ）一定是钝角三角形 (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 [解析]：由sin :sin :sin 5:11:13A B C=及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 答案：C2. （2016年四川理17）在△ABC 中，角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos cos sin A B Ca b c+=. （I ）证明：sin sin sin A B C =； （II ）若22265bc a bc +-=，求tan B .【解析】：（Ⅰ）根据正弦定理，可设===k (k >0)．则a =k sin A ，b =k sin B ，c =k sin C ．代入+=中，有+=，变形可得sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B =sin(A +B )．在△ABC 中，由A +B +C =π，有sin(A +B )=sin(π–C )=sin C ， 所以sin A sin B =sin C ．（Ⅱ）由已知，b 2+c 2–a 2=bc ，根据余弦定理，有cos A ==．所以sin A ==．由（Ⅰ），sin A sin B =sin A cos B +cos A sin B ，所以sin B =cos B +sin B ，故tan B ==4．3. （2016全国I ，17）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，已知2cos (cos cos ).C a B+b A c =（I ）求C ；（II ）若7=c ，ABC ∆33，求ABC ∆的周长． 【解析】：（1）“边化角”，由条件可得C A B B A C sin )cos sin cos (sin cos 2=+21cos sin )sin(cos 2=⇔=+⇔C C B A C ，所以3π=C .“角化边”可得⇔=-+⨯+-+⨯⨯-+⨯c bc a c b b ca b a c a ba c a b )22(22222222222 ba c a b c c ba c a b =-+⇔=⨯-+222222，所以212cos 222=-+=ab c a b C ，所以3π=C .(II)由已知，233sin 21=C ab ，又3π=C ，所以6=ab ，由已知及余弦定理得7cos 222=-+C ab b a ，故1322=+b a ，从而525)(2=+⇒=+b a b a ，所以ABC ∆的周长为75+.。
13.1三角形中的边角关系 第1课时 三角形中边的关系 课件2024-2025学年沪科版数学八上册
新知讲解
三角形的构成要素：
点 A，B，C 叫做这个三角形的顶点； 线段 AB，BC，CA 叫做这个三角形的边； ∠A，∠B，∠C 叫做这个三角形的内角，简称三角形角．
新知讲解
三角形的表示： 我们把这个三角形记作“△ABC”，读作“三角形ABC”．
新知讲解
三角形边的表示：
三角形的三边有时用它所对角的相应小写字母表示： 如边 BC 对着∠A，记作 A；边 CA 记作 B；边 AB 记作 C.
作业布置
【综合拓展类作业】 6.如图①,D为△ABC的边AC上任意一点，连接BD,E为BD上任 意一点,连接CE.
(1)用不等号“>”或“<”填空: AB十AC ＞ DB十DC,DB十DC ＞
EB+ EC;
作业布置
【综合拓展类作业】 (2)如图②,M,N是△ABC内任意两点,试探索AB+AC与BM十 MN+NC之间的大小关系,并写出探究过程.
解：(2)延长BM交AC于点D,延长CN交BD于点E. 由(1)可得AB+AC> DB+DC> EB+ EC. ∵EB+EC=EM+BM+EN+NC=(EM+EN)+BM+NC, EM+EN>MN, ∴EB+ EC>MN+BM+NC, ∴AB+AC>BM+MN+NC.
新知讲解
任务二：三角形的分类 三角形的分类：
三角形中，三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形； 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形； 三条边都相等的三角形叫做等边三角形， 又叫做正三角形.
新知讲解
等腰三角形：
九年级 第一章 直角三角形的边角关系
九年级下册第一章 直角三角形的边角关系 §1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一) 一 知识要点1. 能够用tanA 表示直角三角形中两边的比，表示生 活中物体的倾斜程度、坡度等正切的定义:在Rt △ABC 中,锐角A 的 与 锐角A 的比叫做∠A 的正切，记作tanA,即 tanA=2. 能够用正切进行简单的计算. 二、典型例题与分析例1：如图是甲，乙两个自动扶梯，哪一个自动扶梯比较陡?跟踪练习1、在Rt △ABC 中,锐角A 的对边和邻边同时扩大100 倍,tanA 的值（ ）A.扩大100倍B.缩小100倍C.不变D.不能确定 2、已知∠A,∠B 为锐角(1)若∠A=∠B,则tanA tanB; (2)若tanA=tanB,则∠A ∠B.例2：在△ABC 中，∠C=90°，BC=12cm ，AB=20cm ，求tanA 和tanB 的值.随堂练习(见课本P 6 1、2)3、补充:在等腰△ABC 中,AB=AC=13,BC=10,求tanB.三、拓展训练例3如图，Rt △ABC 是一防洪堤背水坡的横截面图，斜坡AB 的长为12 m ，它的坡角为45°，为了提高该堤的防洪能力，现将背水坡改造成坡比为1：1.5的斜坡AD ，求DB 的长.(结果保留根号)四、中考链接1：若某人沿坡度i＝3：4的斜坡前进10米，则他所在的位置比原来的位置升高_______米2、菱形的两条对角线分别是16和12.较长的一条对角线与菱形的一边的夹角为θ，则tanθ＝______.§1.2从梯子的倾斜程度谈起(2)正弦与余弦一．知识要点：1.正弦,余弦的定义（1）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即sinA=（2）.在Rt△ABC中,锐角A的与的比叫做∠A的余弦,记作cosA,即cosA=总结：①锐角三角函数的定义.锐角A的, , 都叫做∠A的三角函数.②定义中应该注意的几个问题（1）sinA,cosA,tanA, 是在直角三角形中定义的,∠A是锐角(注意数形结合,构造直角三角形).（2）sinA,cosA,tanA, 是一个完整的符号,表示∠A,习惯省去“∠”号；（3）sinA,cosA,tanA,是一个比值.注意比的顺序,且sinA,cosA,tanA,均﹥0,无单位.（4）sinA,cosA,tanA, 的大小只与∠A的大小有关,而与直角三角形的边长无关.（5）角相等,则其三角函数值相等；两锐角的三角函数值相等,则这两个锐角相等.练习：如图,分别根据图(1)和图(2)求∠A的三个三角函数值.二．典型例题与分析：例1.如图:在Rt△ABC中,∠B=090,AC=200,sinA=0.6.求:BC的长.跟踪练习：1．如图，已知直角三角形A B C中，斜边A B的长为m，40B∠=，则直角边B C的长是（）A．s in40m B．co s40mC．tan40m D．ta n40m2.如图, ∠C=90°CD⊥AB.（1）SinB=()()=()()=()()（2）若BD=6,CD=12.求cosA的值.3.在等腰△ABC中,AB=AC=13,BC=10,求sinB,cosB.三．基础练习：A BC 1．已知△ABC 中，90=∠C ，3cosB=2， AC=52 ，则AB= ． 2.在Rt ABC ∆中，90=∠C ，如果2=AB ，1=BC ，那么Bsin的值是（ ）A.21B.23C.33D.33.在R t A B C △中，90C ∠=°，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，若2b a =，则tan A =4.如图，一架梯子斜靠在墙上，若梯子到墙的距离A C =3米，3c o s 4B AC ∠=，则梯子A B 的长度为 米．5.如果a ∠是等腰直角三角形的一个锐角，则tan α的值是（ ） Ａ．12Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．2四．知识延伸1.如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点 P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( ) A ．35B ．45C ．34D ．432．如图，A D C D ⊥，13A B =，12B C =，3C D =，4A D =，则sin B =（ ） A ．513B ．1213C ．35D ．453.直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将A B C △如图那样折叠，使点A 与点B 重合，折痕为D E ，则tan C B E ∠的值是（ ） A ．247B ．3C ．724D ．134.如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DEF ，则cosE 的值等于 （ ） A. 12223五．中考链接 1．正方形网格中，A O B ∠如图放置，则co s A O B∠的值为（） 55Ｃ．12Ｄ．22.如图，在A B C △中，90A C B ∠=，C D A B ⊥于D ，若A C =A B =tan B C D ∠的值为（ ）2333.如图，在A B C ∆中，90C ∠=︒，点D 、E 分别在A C 、A B 上，B D 平分A B C ∠，D E A B ⊥，6A E =，3c o s 5A =.求（1）D E 、C D 的长； （2）tan D B C ∠的值.§1.3 300，450，600角的三角函数值(1)D ABCABO第1题一、知识要点（1）直角三角形中的边角关系（2）特殊角300,450,600角的三角函数值. （3）互余两角之间的三角函数关系. （4）同角之间的三角函数关系 二、典型例题例1：(1)sin300﹢cos450(2) sin 2600+cos 2600﹣tan450跟踪练习：(1)sin600﹣cos450; (2)cos600+tan600例2： 如图:一个小孩荡秋千,秋千链子的长度为2.5m,当秋千向两边摆动时,摆角恰好为600,且两边摆动的角度相同,求它摆至最高位置时与其摆至最低位置时的高度之差(结果精确到0.01m).跟踪练习：2.某商场有一自动扶梯,其倾斜角为300,高为7m,扶梯的长度是多少?例3、如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°, ∠A,∠B ,∠C 的对边分别是a,b,c.求证:sin 2A+cos 2A=1C跟踪练习：1.tan α×tan300 =1,且α为锐角。
第一章 直角三角形的边角关系 解直角三角形及其应用复习(含答案)
解直角三角形及其应用1. 定义：在直角三角形中，由除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形。
2. 直角三角形的边角关系：如图:（3）边角之间的关系：3. 解直角三角形的四种基本类型：如下图：已知直角三角形的两个基本元素（至少有一个是边），利用以上关系就可以求出其余的未知元素，其中恰当地选用边角关系是关键。
应注意以下原则：（1）有“斜”选“弦”，无“斜”选“切”。
（2）尽量使未知元素在分子的位置上，以便利用乘法运算求未知元素。
（3）尽量使用原始数据：以减少误差的积累，也可避免由于中间数据有错而产生新的误差。
4. 几个常用概念：（1）仰角：在测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫仰角。
（2）俯角：在测量时，从上向下看，视线与水平线的夹角叫俯角。
（3）坡度：（坡比）如图:坡面的铅直高度（h）和水平长度（l）的比，叫做坡面的坡度。
（4）坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α。
坡度越大，坡角越大，坡面越陡。
（5）方向角（如图）OA：北偏东30°OB：东南方（南偏东45°）OC：南偏西70°OD：北偏西60°东西与南北方向线互相垂直。
5. 运用解直角三角形的方法解决实际问题：基本思路：要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的边角关系。
（即构建数学模型：直角三角形），才能运用解直角三角形的方法求解。
一般有以下几个步骤：（1）审题：根据题意画出正确的平面图或截面示意图，在图形中弄清已知和未知。
（2）将已知条件转化为示意图中的边、角关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题。
（3）选择适当关系式解直角三角形。
典型例题例1.在Rt△ABC中，∠C＝90°，解直角三角形：（1）a＝8，b＝6（2）c＝16，∠A＝32°分析：略解：例2. 如图某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为20cm，深为30cm，为方便残疾人士，可以将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起点为C，现将斜坡的坡角∠BCA设计为12°，求AC的长度（精确到1cm）。
1.三角形的边角转换 (2)
第63课 三角形的边角转换
基本方法：
通常可以利用正余弦定理进行边角转换，之后结合诱导公式（通常与三角形内角和有关），两角和差公式，二倍角公式等进行化简.
一、典型例题
1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且cos cos cos 2b C c B B +.求B .
2. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=，证明：2A B =.
二、课堂练习
1. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小.
2. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-.求角C .
三、课后作业
1. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 2
a C c
b -=，求角A 的大小. 2. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ，且cos cos 2cos cos b C c B a A a A
+=，求角A . 3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin B C A B B C A =++=-m n ，且⊥m n .求角C 的大小.。
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计1
沪科版数学八年级上册13.1《三角形中的边角关系》教学设计1一. 教材分析《三角形中的边角关系》是沪科版数学八年级上册13.1章节的内容，本节课的主要内容是让学生掌握三角形的三边关系和三角形的内角和定理。
教材通过生活中的实例引入三角形的三边关系，让学生探讨和总结三角形的性质，从而培养学生独立思考和合作交流的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了多边形和角的概念，具备了一定的观察和思考能力。
然而，对于三角形的边角关系，学生可能还存在着一定的困惑，因此，在教学过程中，需要教师耐心引导，让学生在实践中掌握知识点。
三. 教学目标1.让学生了解三角形的三边关系，能运用三角形的边角关系解决实际问题。
2.引导学生探讨三角形的内角和定理，并能运用内角和定理解释生活中的现象。
3.培养学生的观察能力、思考能力和合作交流能力。
四. 教学重难点1.三角形的三边关系2.三角形的内角和定理五. 教学方法1.采用情境教学法，以生活中的实例引入三角形的三边关系，激发学生的学习兴趣。
2.采用探究式教学法，让学生通过合作交流，探讨三角形的内角和定理。
3.采用讲练结合的教学法，教师讲解知识点，学生练习巩固。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.准备练习题，用于巩固知识点。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一个生活中的实例，如：一个人在划船时，船和划桨的长度关系，引导学生观察和思考三角形的三边关系。
2.呈现（10分钟）教师通过讲解和展示相关的课件，向学生介绍三角形的三边关系，让学生理解和掌握。
3.操练（10分钟）教师给出一些练习题，让学生运用三角形的三边关系解决问题，教师及时进行指导和讲解。
4.巩固（10分钟）教师继续给出一些练习题，让学生巩固三角形的三边关系，教师进行点评和讲解。
5.拓展（10分钟）教师引导学生探讨三角形的内角和定理，让学生通过合作交流，共同探讨出结论。
6.小结（5分钟）教师对本节课的内容进行小结，让学生掌握三角形的三边关系和内角和定理。
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一、三角形的边角转换
基本方法：
通常可以利用正余弦定理进行边角转换，之后结合诱导公式（通常与三角形内角和有关），两角和差公式，二倍角公式等进行化简.
一、典型例题
1. 在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,,a b c 且cos cos cos 2b C c B B +.求B .
2. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos b c a B +=，证明：2A B =.
二、课堂练习
1. ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小.
2. 已知ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若()()()sin sin sin sin a c A C b A B -+=-.求角C .
三、课后作业
1. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且1cos 2
a C c
b -=，求角A 的大小. 2. 设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b
c ，且cos cos 2cos cos b C c B a A a A
+=，求角A . 3. 在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin B C A B B C A =++=-m n ，且⊥m n .求角C 的大小.。