2007~2008学年第一学期《高等数学CⅠ》试卷

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江苏省泰州市2007～2008学年度第一学期第一次联考高三数学试题

江苏省泰州市2007～2008学年度第一学期第一次联考高三数学试题(考试时间：120分钟总分160分)注意事项：所有试题的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上的无效．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 1．集合A={1，2，5}，B={1，3，5}，则A ∩B= ▲ ． 2．圆柱的底面周长为5cm ，高为2cm ，则圆柱的侧面积为 ▲ cm 2． 3．命题 “对任意R x ∈，都有12+x ≥x 2”的否定是 ▲ ．4．某教师出了一份共3道题的测试卷，每道题1分，全班得3分，2分，1分，0分的学生所占比例分别为30%，40%，20%，10%，若全班30人，则全班同学的平均分是 ▲ 分． 5．已知复数i m m m m )242()43(22--+-+（R m ∈）是纯虚数，则（im -1）2的值为 ▲ ． 6．若执行下面的程序图的算法，则输出的k 的值为 ▲ ．7．不共线的向量1m ，2m 的模都为2，若2123m m a -=，2132m m b -= ，则两向量b a +与b a - 的夹角为 ▲ ．8．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ▲ ． 9．若三角形ABC 的三条边长分别为2=a ，3=b ，4=c ，则=++C ab B ca A bc cos 2cos 2cos 2 ▲ ．10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数)]6(6cos[-+=x A a y π（x =1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温值为 ▲ ℃． 11．已知数列}{n a 的通项公式为n n n a )2(-⋅=，则数列{nnb a }成等比数列是数列}{n b 的通项公式为n b n =的 ▲ 条件（对充分性和必要性都要作出判断）12．已知直线x y l =:1，x y l 2:2=，6:3+-=x y l 和l 4：0=y ，由1l ，2l ，3l 围成的三角形区域记为D ，一质点随机地落入由直线l 2，l 3，l 4围成的三角形区域内，则质点落入区域D 内的概率为 ▲ ．13．有一种计算机病毒可以通过电子邮件进行传播，如果第一轮被感染的计算机数是1台，并且以后每一台已经被感染的计算机都感染下一轮未被感染的3台计算机，则至少经过 ▲ 轮后，被感染的计算机总数超过2000台． 14．观察下列恒等式：∵ ααααt a n 2)t a n 1(2t a n 1t a n 22--=-，∴ ααα2t an 2t an 1t an-=---------------------------① ∴ ααα4t an 22t an 12t an -=------------------------②∴ ααα8t an 24t an 14t an -=------------------------③由此可知：32tan18tan416tan232tanππππ-++ = ▲ ．二、解答题：（本大题共6小题,共90分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分15分）如图为正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1切去一个三棱锥B 1—A 1BC 1后得到的几何体．（1）画出该几何体的正视图；（2）若点O 为底面ABCD 的中心，求证：直线D 1O ∥平面A 1BC 1；（3）．求证：平面A 1BC 1⊥平面BD 1D ．16．（本小题满分15分）一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．（1）若抛掷一次，求能看到的三个面上数字之和大于6的概率；（2）若抛掷两次，求两次朝下面上的数字之积大于7的概率；（3）若抛掷两次，以第一次朝下面上的数字为横坐标a ，第二次朝下面上的数字为纵坐标b ，求点（b a ,）落在直线1=-y x 下方的概率．已知两个向量)sin ,(cos θθ=m ，)cos 22,sin 22(θθ-+=n ，其中),23(ππθ--∈，且满足1=⋅．（1）求)4sin(πθ+的值；（2）求)127cos(πθ+的值．18．（本小题满分15分）已知点)0,2(1A ，),1(2t A ，),0(3b A ，),1(4t A -，)0,2(5-A ，其中0>t ，b 为正常数．（1）半径为2的圆C 1经过i A （=i 1，2，…，5）这五个点，求b 和t 的值；（2）椭圆C 2以)0,(1c F -，)0,(2c F （0>c ）为焦点，长轴长是4．若421=+F A F A i i （=i 1，2，…，5），试用b 表示t ；（3）在（2）中的椭圆C 2中，两线段长的差2111F A F A -，2212F A F A -，…，2515F A F A -构成一个数列}{n a ，问}{n a 能否对=n 1，2，3，4都有n n a a <+1？如果能，请给出证明；如果不能，请举出反例．已知分别以1d 和2d 为公差的等差数列}{n a 和}{n b 满足181=a ，3614=b ．（1）若1d =18，且存在正整数m ，使得45142-=+m m b a ，求证：1082>d ；（2）若0==k k b a ，且数列1a ，2a ，…，k a ，1+k b ，2+k b ，…，14b 的前n 项和n S 满足k S S 214=，求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；（3）在（2）的条件下，令n a n a c =，n bn a d =，0>a ，且1≠a ，问不等式1+n n d c ≤n n d c +是否对一切正整数n 恒成立？请说明理由．20．（本小题满分17分）已知函数262)(23-++=bx ax x x f （a ，R b ∈）在3-=x 和2=x 处取到极值．（1）求a ，b 和)2()3(f f --的值；（2）求最大的正整数t ，使得],[,21t t x x -∈∀时，|)()(|21x f x f -≤125与|)()(|21x f x f '-'≤125同时成立．江苏省泰州市2007～2008学年度第一学期第一次联考高三数学试题参考答案一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．{1，5} 2．10 3．存在R x ∈，使得12+x <x 2 4．1.9 5．i 21 6．10 7．90° 8．3 9．29 10．20.5 11．必要不充分 12．4113．7 14．8- 二、解答题：（本大题共6小题,共90分．） 15．（本小题满分15分）解：（1）该几何体的正视图为：----------------------------------------------------------------------------3分（2）将其补成正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，设B 1D 1和A 1C 1交于点O 1，连接O 1B ，依题意可知，D 1O 1∥OB ，且D 1O 1=OB ，即四边形D 1OB O 1为平行四边形，---------7分则D 1O ∥O 1B ，因为BO 1⊂平面BA 1C 1，D 1O ⊄平面BA 1C 1，所以有直线D 1O ∥平面BA 1C 1；-------------------------------------------------------------------------------------------------------------9分（3）在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，则DD 1⊥A 1C 1，----------------------------------------------------------------------------------------11分另一方面，B 1D 1⊥A 1C 1，-----------------------------------------------------------------------------13分又∵DD 1∩B 1D 1= D 1，∴A 1C 1⊥平面BD 1D ，∵A 1C 1⊂平面A 1BC 1，则平面A 1BC 1⊥平面BD 1D ．----------------------------------------15分16．（本小题满分15分）解：（1）记事件“抛掷后能看到的数字之和大于6”为A ，抛掷这颗正四面体骰子，抛掷后能看到的数字构成的集合有{2，3，4}，{1，3，4}，{1，2，4}，{1，2，3}，共有4种情形，其中，能看到的三面数字之和大于6的有3种，则43)(=A P ；-----------------------------------------------------------------------------5分（2）记事件“抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于7”为B ，两次朝下面上的数字构成的数对有共有16种情况，其中能够使得数字之积大于7的为（2，4），（4，2）（3，3），（3，4），（4，3），（4，4）共6种，则P （B ）=83166=．----------------------------------------------------------------------------10分（3）记事件“抛掷后点（b a ,）在直线1=-y x 的下方”为C ，要使点（b a ,）在直线`1=-y x 的下方，则须1-<a b ，当1=b 时，3=a 或4；当2=b 时，4=a ，则所求的概率P （C ）=163．-----15分17．（本小题满分12分）解：（1）依题意，)cos 22(sin )sin 22(cos θθθθ-++=⋅n m ----------------------2分1)4sin(4)cos (sin 22=+=+=πθθθ则41)4sin(=+πθ----------------------------------------------------------------------------5分（2）由于),23(ππθ--∈，则)43,45(4πππθ--∈+，----------------------------------9分结合41)4sin(=+πθ，可得415)4cos(-=+πθ，则8153234121)415(]31)41cos[()127cos(+-=⨯-⨯-=++=+ππθπθ．----12分18．（本小题满分15分）解：（1）∵A 1A 5=4，则A 1A 5为⊙C 1的直径，∴⊙C 1的方程是422=+y x ，2=b ，3=t ；----------------------------------------4分（2）依题意，椭圆C 2的方程是14222=+b y x ，将),1(2t A 代入，得141222=+b t ，得b t 23=；---------------------------------------------------------------9分（3）设i A 的坐标是（i i y x ,），椭圆C 2的左准线为ca x 2-=，则e cax F A i i =+21，则a ex c a x e F A i i i +=+=)(21，（其中a c e =为椭圆的离心率） i i i i ex a F A F A F A 222121=-=--------------------------------------------------------------13分由于}{i x 递减，则对=n 1，2，3，4都有n n a a <+1．----------------------------------15分（其它解法酌情给分，若直接应用焦半径公式未证明公式则扣1分）19．（本小题满分16分）解：（1）依题意，45)1414(36]18)1(18[22--++=⨯-+d m m ，即9)18(22-=md m ，-------------------------------------------------------------------------3分即1089182918222=⨯≥+=mm d ；等号成立的条件为m m 9182=，即61=m ，*N m ∈ ，∴等号不成立，∴原命题成立------------------------------- ------ ------ ---5分（2）由k S S 214=得：k k S S S -=14，即：)114(2362018+-⨯+=⨯+k k ，则)15(189k k -⨯=，得10=k --------------------------------------------------------------8分 291801-=-=d ，910140362=--=d ，则202+-=n a n ，909-=n b n ；----------------------------------------------------------10分（3）在（2）的条件下，n an a c =，n bn a d =，要使1+n n d c ≤n n d c +，即要满足)1)(1(--n n d c ≤0，-----------------------------12分当1>a 时，n n a c 220-=，数列}{n c 单调减；909-=n n a d 单调增，当正整数9≤n 时，01>-n c ，01<-n d ，0)1)(1(<--n n d c ；当正整数11≥n 时，01<-n c ，01>-n d ，0)1)(1(<--n n d c ；当正整数10=n 时，01=-n c ，01=-n d ，0)1)(1(=--n n d c ，则不等式1+n n d c ≤n n d c +对一切的正整数n 恒成立；------------------------------14分同理，当10<<a 时，也有不等式1+n n d c ≤n n d c +对一切的正整数n 恒成立．综上所述，不等式1+n n d c ≤n n d c +对一切的正整数n 恒成立．----------------16分20．（本小题满分17分）解：（1）依题意可知，262)(23-++=bx ax x x f ，b ax x x f ++='26)(2则：⎩⎨⎧-==⇒⎪⎩⎪⎨⎧-=⨯-==+-=-363623602362b a b a，-----------------------------------------------2分则263632)(23--+=x x x x f ， 55)3(=-f ，70)2(-=f ，125)2()3(=--f f ；---------------------------------------------------------------------4分（2）由（1）知263632)(23--+=x x x x f ，275)21(63666)(22-+=-+='x x x x f 0)(='x f 的两个根分别是3-和2，令0)(>'x f 得3-<x 或2>x ，令0)(<'x f 得23<<-x即函数263632)(23--+=x x x x f 在区间)3,(--∞上单调增，在区间)2,3(-上单调减，在区间),2(+∞上单调增，---------------------------------------------------------------6分又55)3(=-f ，70)2(-=f ，125|)2()3(|=--f f ，令55263632)(23=--+=x x x x f ，得081363223=--+x x x ，其有一个根为3-，则分解得：0)92()3(2=-⋅+x x ，得3-=x 或29=x ；--------8分令70263632)(23-=--+=x x x x f ，得044363223=+-+x x x ，其有一个根为2，则分解得：0)112()2(2=+⋅-x x ，得2=x 或211-=x ；--------10分则要使得1x ∀，],[2t t x -∈，125|)()(|21≤-x f x f ，必须满足：290≤<t ；-------12分又∵t 为正整数，∴t 最大为4，另一方面，275)21(63666)(22-+=-+='x x x x f ，由于Z t ∈，则要使得1x ∀，],[2t t x -∈，125|)()(|21≤'-'x f x f 成立，则125)275()(≤--'t f ，即125)275(36662≤---+t t ，024712122≤-+t t -------14分令2471212)(2-+=t t t g ，则07)4(<-=g ，0113)5(>=g ，则要使得1x ∀，],[2t t x -∈，125|)()(|21≤'-'x f x f 成立，4≤t ，（此处也可以对最大的正整数4=t ，在区间[]4,4-上验证125|)()(|min 'max '≤-x f x f ）综上所述，最大的正整数t 为4．--------------------------------------------------------------------17分（其它解法（如用整数值估）酌情给分）。

2007-2008上学期高数I试A卷答案

暨南大学考试试卷一、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 设)(x y y =是由方程0sin 21=+-y y x 所确定，则=dy dx ycos 22-. 2. 数列的极限⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++∞→n n n n n 12111lim = __1____________________. 3. 函数xxe y =的带有佩亚诺余项的三阶麦克劳林公式为).(21332x o x x x +++4. 函数xe x y ++=4)1(的凹区间为),(+∞-∞.5. 抛物线22y x x y ==和围成的面积为____1/3________________________.二、选择题（共5小题，每小题3分，共15分）1. 当时, 不为等价无穷小量的是 (D) (A) 22sin x x 和; (B)nx x n和11-+;(C) x x 和)1ln(+; (D) 2cos 1x x 和-.2.设]1,0[上0)(">x f ,则)1()0()0()1(),1('),0('f f f f f f --或几个数的大小顺序为(B)(A) );0()1()0(')1('f f f f ->> (B) );0(')0()1()1('f f f f >-> (C) );0(')1(')0()1(•f f f f >>- (D) ).0(')1()0()1('f f f f >-> 3. 以下函数有可去间断点的是 (B )(A) ⎩⎨⎧>-≤-=;0,3,0,1)(x x x x x f (B) ;39)(2--=x x x f(C) ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=;0,0,0,1sin )(x x xx f (D) .|sin |)(x x x f = 4. 摆线⎩⎨⎧-=-=)cos 1(),sin (θθθa y a x 的一摆)20(πθ≤≤的长度为 (D)(A) a 2; (B) a 4; (C) a 6; (D) a 8.5. 函数],[)(b a x f 在区间上连续是],[)(b a x f 在可积的 (A) (A) 充分条件; (B) 必要条件;(D) 即不是充分条件也不是必要条件.三、计算题（共7小题，每小题7分，共49分）1. 求定积分⎰210arcsin xdx ;解: 原式⎰--=21022101|arcsin dx xx x x ----------------------------------4⎰--+=21022)1(112112x d x π----------------------------------5 2102112x -+=π--------------------------------------------6.12312-+=π----------------------------------------------7 2. 求极限3sin 1tan 1limx xx x +-+→;解: 原式)sin 1tan 1()sin 1(tan 1lim3x x x x x x ++++-+=→-------------------------------------------------230sin tan lim21x xx x -=→ )21~cos 1,~sin ,0(cos )cos 1(sin lim 21230x x x x x xx x x x -→-=→时当 --------5.4121lim 21320=⋅=→x x x x -----------------------------------------------------------------73. 设)(x y y =由参数方程⎪⎩⎪⎨⎧==te y t e x ttsin ,cos 所确定，求22dx y d ; 解:)sin (cos t t e dt dx t -=, )cos (sin t t e dtdyt +=,-------------------------------------2,s in c o s c o s s in t t t t dtdx dt dy dx dy -+==-------------------------------------------------------4dx dtt t t t dt d dx dy dx d dx y d ⋅-+==)sin cos cos sin ()(22------------------------------------------------6 )sin (cos 1)sin (cos )cos (sin )cos (sin 222t t e t t t t t t t -⋅-++-=.)s i n (c o s 23t t e t -=--------------------------------------------------------------------74. 求不定积分⎰+x x xdxcos sin cos ;解: 原式⎰+-++=dx x x x x x x cos sin )sin (cos )sin (cos 21-------------- -- ----------------------3⎰⎰+++=x x x x d dx cos sin )cos (sin 2121----------------------------------------------------5C x x x +++=|cos sin |ln 2121.---------------------------------------------------75. 求极限2020222)1(limxdte t x x tx ⎰-→+;解: 原式22222)1(limxdt e t ex t x x ⎰+=-→------------- ---------------------------------------222022)1(limx dt e t x t x ⎰+=→-----------------------------------------------------------4xxe x x x 22)1(lim 440⋅+=→------------------------------------------------------------61)1(lim 440=+=→x x e x .-------------------------------------------------------------76. 求过点)0,23(与曲线21xy =相切的直线方程; 解: 设切点为)1,(20x x , 32'xy -=, 所以切线方程为-----------------------------1 )(21032x x x x y --=-.-----------------------4因)0,23(过切线, 所以)23(210032x x x --=-.-----------------------6 解得.10=x 因此切线方程为 .032=-+x y --------------------------------------7 7. 讨论瑕积分⎰10q x dx(q >0)的收敛性，如果收敛则计算其值.解: 对任意)1,0(∈ε,⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠--=-=-==--⎰.1),1(1111,1,ln |ln 11111q q x q q x x dx q q q εεεεε------------------------------------------3因此⎪⎩⎪⎨⎧≥∞+<-=⎰+→.1,,1,11lim10q q q x dx qεε--------------------------------------------------------------------6即1≥q 发散,当1<q 时收敛,其值为q-11.----------------------------------------------------------7四、应用题（共2小题，每小题8分，共16分）h m, 底面半径为r m , 桶内盛满了某种液体. 试问要把桶内的液体全部吸出需要作多少功? 已知这种液体的密度为ρ.解: 建立如图所示的坐标. 在任一小区间上的一薄液体的 O的重力为dx r g 2ρπ(KN)----------------------------------3这薄层液体吸出桶外所做的功(功元素)为 xdx r g dW 2ρπ=----------------------------5所求的功为 hh x r g xdx r g W 02202|21ρπρπ==⎰2221h r g ρπ=(KN).---------------------8 2. 要做一个容积为V 的圆柱形罐头筒, 怎样设计才能使所用的材料最省? 解: 设底面半径为r , 则高为2r Vπ,表面积为 .0,2222222>+=⋅+=r r Vr rV r r S ππππ------------------------------------3令022'2=-=rV r S π得3πV r =,--------------------------------------------------------------------------5 又0|)42(|'333>+===πππV r Vr r V S , 因此当3πV r =时S 取最--------------------------------------7 即当底面半径为3πV,高为3πV时所用的材料最少.--------------------------------------------------8五、证明题（共1小题，每小题5分，共5分）1. 设)(x f 在区间],[b a 上连续,且0)(>x f ,⎰⎰∈+=x bx ab a x t f dtdt t f x F ],[,)()()(. 证明: (1) 2)('≥x F ; (2) 方程0)(=x F 在),(b a 内有且仅有一个根.证明: (1) .2)(1)(2)(1)()('=⋅≥+=x f x f x f x f x F ---------------------------------------------2 (2) )(x F 在],[b a 上连续, 且]d ,[x x x +0)()()()()()()(<-===⋅⎰⎰⎰⎰b a b a baa bdt t f t f dt •dt t f t f dt x F b F a F ,因此由介值定理)(x F 在),(b a 至少有一根, ----------------------------------------------------------4 又0)('>x F , 所以)(x F 在],[b a 上单调增, 因此)(x F 在),(b a 是只有一根.----------------5。

武汉大学2007-2008年高数

武汉大学2007—2008学年上学期《高等数学E1》（54学时）试题（A 卷）一．计算下列极限（12分） 1.x x x sin 2)31(lim +∞→ 2.x x x 1arctan 2lim -∞→π二．计算下列积分（12分）1.⎰xdx 3cos2.⎰+10222)1(dx x x 三．（10分）讨论函数⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,1sin 0,0)(x x x x x f 在0=x 处的连续性与可导性。

四．（10分）设函数)(x f 和)(x g 可导，且0)()(22≠+x g x f ，试求函数)()(22x g x f y +=的微分。

五．（10分）设函数()x y y =由方y xe y +=1所确定，求022=x dx y d 的值。

六．（10分）已知)(x f 的一个原函数为x xe-，求： 1.⎰dx x f )(； 2.⎰dx x xf)('； 3.⎰dx x xf )(；七．（10分）求21cos 2lim x dt e x t x ⎰-∞→八．（10分）在抛物线()102≤≤=x x y 上找一点P ，使经过P 的水平直线与抛物线和直线0=x ，1=x 围成的区域的面积最小。

九．（10分）设()21222-=-x x In x f ，且[]Inx x f =)(ϕ，求()⎰dx x ϕ十．（6分）设()x f 在[]1,0上连续，在()1,0内可导，且()()010==f f ，2121=⎪⎭⎫⎝⎛f ，证明必存在一点()1,0∈ξ，使得ηξ=)('f ，其中()1,0∈η为确定值。

提示：构造函数)()(x f x x F -=η。

大学高数试题(共7套)

2010-2011学年第一学期考试卷 A课程：高等数学Ⅰ1（90学时）考试形式：闭卷考试一．填空题(每小题3分,本大题满分15分) 1．设函数⎩⎨⎧>≤=1||01||1)(x x x f ，则 )]([x f f = .2．设函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0202sin )(x ax x xx x f ，当常数=a ______时,)(x f 在0x =处连续.3．曲线x e y 2=上点（0，1）处的切线方程为______ __.4．曲线53523++-=x x x y 的凹区间为_______ _____. 5．若x e -是)(x f 的原函数，则dx x f x )(ln 2⎰ = . 二．选择题(每小题3分,本大题满分15分) 1. 当1x →时，无穷小量x-1是x -1的( ).A. 高阶无穷小;B. 低阶无穷小;C. 等价无穷小;D. 同阶但不等价无穷小. 2．若∞=→)(lim x f ax ，∞=→)(lim x g ax 则必有（）A. ∞=+→)]()([lim x g x f ax ; B. ∞=-→)]()([lim x g x f ax ;C. 0)()(1lim=+→x g x f ax ; D. ∞=→)(lim x kf ax ，（0≠k 为常数）3.函数xxx x f πsin )(3-=的可去间断点个数为（）.A ．1; B. 2; C. 3; D. 无穷多个. 4. 设函数)(x f y =在点0x 处可导, 且0)(0≠'x f ，则 xdy y x ∆-∆→∆0lim 等于（）.A. 0；B. -1；C. 1；D. ∞ . 5. 设)(x f 连续，且⎰=24)(xx dt t f ，则)4(f = （）A. 2；B. 4；C. 8；D. 16 . 三．解答下列各题(每小题6分,本大题满分18分) 1．)3ln(tan 2x x y ⋅=，求dy .2．求由方程0)cos(=-+xy e y x 所确定的隐函数()y f x =在0x =处的导数.3．设⎩⎨⎧=+=t y t x cos 12，求dx dy 和22dx yd 。

2007—2008第一学期《高等数学B》期末考试试题及答案

武汉大学数学与统计学院2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题（180学时）一、（87'⨯）试解下列各题：1、计算lim n →∞-2、计算0ln(1)limcos 1x x x x →+--3、计算arctan d x x x ⎰4、计算4x ⎰5、计算d xxe x +∞-⎰6、设曲线方程为sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩，求此曲线在点4t π=处的切线方程。

7、已知2200d cos d yx te t t t =⎰⎰，求xy d d8、设11x y x-=+，求()n y二、（15分）已知函数32(1)xy x =-求：1、函数)(x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线。

三、（10分）设()g x 是[1,2]上的连续函数，0()()d x f x g t t =⎰1、用定义证明()f x 在(1,2)内可导；2、证明()f x 在1x =处右连续；四、（10分）1、设平面图形A 由抛物线2y x = ，直线8x =及x 轴所围成，求平面图形A 绕x轴旋转一周所形成的立体体积；2、在抛物线2(08)y x x =≤≤上求一点，使得过此点所作切线与直线8x =及x 轴所围图形面积最大。

五、（9分）当0x ≥，对()f x 在[0,]b 上应用拉格朗日中值定理有： ()(0)()(0,f b f f b b ξξ'-=∈ 对于函数()arcsin f x x =，求极限0lim b bξ→武汉大学数学与统计学院 B 卷2007—2008第一学期《高等数学B 》期末考试试题一、（86'⨯）试解下列各题：1、计算3arctan limln(12)x x x x →-+ 2、计算12ln(1)d (2)x x x +-⎰3、计算积分：21arctanx d xx +∞⎰4、已知两曲线()y f x =与1x y xy e ++=所确定，在点(0,0)处的切线相同，写出此切线方程，并求极限2lim ()n nf n→∞5、设，2221cos cos tx t uduy t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩⎰，试求：d d y x，22d |d t y x的值。

2007—2008学年度第一学期期中考试

2007—2008学年度第一学期期中考试琼山中学09届高二年级数学试卷时间：120分钟满分：120分第I 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的） • 1•“至多有三个”的否定为（）A. 至少有三个B .至少有四个C.有三个D.有四个2.设原命题：若 a +b > 2,则a , b 中至少有一个不小于 1.则原命题与其逆命题的真假情况是A. 原命题真，逆命题假B. 原命题假，逆命题真C. 原命题与逆命题均为真命题D. 原命题与逆命题均为假命题22x — 5x — 3 v 0的一个必要不充分条件是说词，然而他的实际效果大哩，原来这句话的等价命题是（，那么吸烟与健康之间存在什么关系（B.负相关C.无相关D.不确定3. B .—丄 v x v 02C.- 3v x v 12D.— 1 v x v 64. 某食品的广告词为：“幸福的人们都拥有”，初听起来，这似乎只是普通的赞美A .不拥有的人们不一定幸福 B. 不拥有的人们可能幸福 C. 拥有的人们不一定幸福D.不拥有的人们不幸福5. 有金盒、银盒、铅盒各一个，只有一个盒子里有肖像.金盒上写有命题 P ：肖像在这个盒子里；银盒上写有命题 q :肖像不在这个盒子里; 铅盒上写有命题r :肖像不在金盒里. p 、q 、r 中有且只有一个是真命题，则肖像在A .金盒里 B.银盒里 C .铅盒里 D.在哪个盒子里不能确定6.“吸烟有害健康”7.将两个数A = 9, B = 15交换使得A = 15, B = 9,下列语句正确的一组是（）中抽取50名进行抽查，若采用下面的方法选取：先用简单随机抽样从剔除7人，剩下2000人再按系统抽样的方法进行，则每人入选的机会（）A.不全相等B.均不相等C. 都相等D. 无法确定9.在统计中，样本的标准差可以近似地反映总体的（）10•将一枚均匀的硬币投掷两次，与事件“最多有一次正面”互斥的事件是（）A.至少有一次正面B .恰有两次正面C .恰有两次背面D .不多于两次正面11.（理科学生做）某乒乓球队共有男女队员18人，现从中选出男女队员各一人组一对双打组合。

工科数分(上) 2007-2008 第一学期期末考试参考答案(08-01-24)

1
=
1
1
dx = 2 1+ x = 2( 2 −1).
0 1+ x
0
………………5 分
3
2. lim x 2 ( x + 1 + x −1 − 2 x ) x→+
1
解:
当 x 充分大时,
利用 1+
1 2 的带有佩亚诺型余项
x

1 x2
的麦克劳林公式
1
x +1 =
x1+ 1 2 = x
x f (t)dt − a |=| 1
x
( f (t) − a)dt | 2 ，
x0
x0
所以
lim 1
x
f (t)dt = a .
x x→+ 0
………8 分
八、（本题满分 10 分）
用 Dirichlet 判别法判别级数 (1+ 1 + + 1 ) sin nx , x (0, ) 的敛散性?
（如是收敛的一般项级数，需明确是绝对收敛还是条件收敛）
1. ( 1 − ln n + 1)
n=1 n
n
（比较判别法）
解：
因为 ln
n +1 n
=
ln(1 +
1) n
=
1 n
−
1 2n 2
+
o(
1 n2
) ，且 ln
n +1 n

1 n
，
………2 分
Page 3 of 8
A
所以
0

an
=
1 n

计量学院07-08第一学期高数C两套

( x 3) 2 4( x 1)
（4）找出函数曲线的单调区间及凹凸区间（6 分）
中国计量学院 200 7 ~~~200 8 学年第 1 学期《高等数学(C)(1) 》课程试卷(A) 第 8 页共 6 页
（5）求函数的所有渐近线（6 分）（6）在直角坐标系中画出函数图像（4 分）解：（1）函数的定义域为 (,1) (1, ) 令 y
学号
一、单项选择题（每题 3 分，共 15 分） 1. 当 x 0 时，两个无穷小量 1 cos x, x sin x 比较，正确的是（ (A) (B) ）
是的高阶无穷小；是的低阶无穷小；是的同阶无穷小，但不是等阶无穷小；是的等价无穷小。
2
dx (a 0)
解：
1 a2 x2
dx
1 a
1 x 1 ( )2 a 1
dx ……………………………………………… (+2 分)

x 1 ( )2 a
1 x d ( x) arcsin( ) C ………………………… (+3 分) a a
四、作图题（共 16 分）给定函数 y
（1）找出函数曲线的单调区间及凹凸区间（2）求函数的所有渐近线（3）在直角坐标系中画出函数图像
装
订
线
中国计量学院 200 7 ~~~200 8 学年第 1
学期
《高等数学(C)(1) 》课程试卷(A)
第 5 页共
6
页
五、应用题（共 8 分）已知某厂生产某种产品 x 件的费用为 C ( x ) 25000 200 x 售出，要使利润最大，应生产多少件产品，最大利润为多少？

2007-2008《高等代数I》秋季学期期末试卷C

1
a1 a2 。 "
an−1
第3页共6页
⎧
2、解方程组
⎪ ⎨
x1 + x2 − 3x3 − x4 + 5x5 = 1 3x1 − x2 − 3x3 + 4x4 − x5 = 0
，（用其导出方程组的基
⎪⎩x1 − 7x2 + 9x3 + 13x4 − 27x5 = −5
础解系表示其通解）。
第4页共6页
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶任∶
∶课∶
∶教∶
∶师∶
∶： ∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶
密
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶ 装
∶ ∶
考
∶ ∶ ∶ ∶ ∶ ∶
教学班号：
∶
∶
∶
∶ ∶
生
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶答
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶ ∶
∶ ∶
题
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶ ∶
姓名
∶ ∶
不
订：封
∶
∶
∶
∶
∶
∶得
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶ ∶
∶ ∶
过
∶
∶
∶
∶
∶
∶
∶ ∶ ∶ ∶ ∶
0 0 0"1 2 1
0 0 0"0 1 2
第2页共6页

2007—2008年第一学期A卷

2007-2008年第一学期※※※※※※高等数学（180学时）试题A 卷※※※※※※一．试解下列各题（每小题7分，共56分） 1．计算.3lim ⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n解：=⎪⎭⎫ ⎝⎛--+∞→n n n n n 3lim nn n n n n -++∞→34lim.224111314lim==-++=∞→nn n 2．计算().1cos 1ln lim0--+→x xx x解：()=--+→1cos 1ln lim0x x x x xx x sin 111lim 0--+→().1cos 11lim 20=-+-=→x xx 3．计算.arctan ⎰xdx x解：.arctan ⎰xdx x ⎰⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2arctan 2x xd ⎰+-=dx x x x x 222121arctan .2⎰⎰++-=dx x dx x x 22112121arctan .2.arctan 2121arctan .22c x x x x ++-= 4．计算.14⎰+dx xx解：令x t =，即.2t x =则.2tdt dx =dt t t dx x x⎰⎰+=+20240121()dt tt t t ⎰++--+=2021112 dt t ⎰=202⎰⎰++-20201122dt t dt =.3ln 21ln 222.2|||20|20202=++-=t t t 5．计算.0⎰+∞-dx xe x解：=⎰+∞-0dx xe x ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-⎰⎰+∞-∞=-+∞-000|dx e xe e xd x x x .1|00=-==+∞-+∞-⎰x x e dx e6．设曲线方程为⎩⎨⎧==.2cos ,sin t y t x 求此曲线在点4π=t 处的切线方程.解：t dt dy 2sin 2-=，.cos t dt dx =故.sin 4cos 2sin 2t ttdt dx dtdydx dy -=-== 所以，.22|0-===t dx dy k 切，又，0=t 时，.0,22==y x ，所以，切点为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0,22，因此切线方程为：⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-22220x y . 7．已知⎰⎰=yx t tdt dt e 022cos ，求.dxdy解：⎰⎰=yx t tdt dt e 022cos 两边关于x 求导得：x x dxdye y 2.cos .22= 所以 ..cos 222y e x x dxdy-= 8．设,11x xy +-=求().n y 解：()().112111.21121-+=-+=++-=-x xx x y ()()212.1-+-='x y ； ()()()312.2.1-+--=''x y ；……… 归纳可得()()()()()()()111!.1.212.2.1+---+-=+---=n nn n x n x n y二．（15分）已知函数()(),123-=x x x f 求（1）函数()x f 的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；（2）函数图形的凸性区间、拐点、渐进线. 解： ()()+∞∞-=,11, D ； 1.因为()()32lim lim1x x x f x x →∞→∞==∞-，所以无水平渐进线；（具体地讲()()32lim lim1x x x f x x →-∞→-∞==-∞-；()()32lim lim1x x x f x x →+∞→+∞==+∞-.）；因为函数在1=x 处无定义，且()()3211lim lim1x x x f x x →→==+∞-，故有垂直渐进线1=x ；因为()()22lim lim 1,1x x f x x a x x →∞→∞===-，()()()32222lim lim lim 211x x x x x x b f x ax x x x →∞→∞→∞⎡⎤-=-=-==⎡⎤⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎣⎦均存在，所以，有斜渐进线2+=x y . 2．令()()()2123300, 3.1x x f x x x x -'==⇒==-；3．令()()4600.1xf x x x ''==⇒=-可得下表：（)0,∞- 0 ()1,0 1 ()3,1 3 ()+∞,3()f x ' + 0 + 不存在 — 0 + ()f x '' — 0 + 不存在 + + + ()x f 升拐点升间断降升三．（10分）设()x g 是[]2,1上的连续函数，()().1dt t g x f x⎰= （1）证明在()2,1内可导. （2）证明()x f 在1=x 处右连续. 解：（1）任取点()2,1∈x ，()()()().11dt t g dt t g x f x x f f xxx ⎰⎰-=-∆==∆∆+ ①其中 ()()()dt t g dt t g dt t g xx xxxx ⎰⎰⎰∆+∆++=11故 ()dt t g f x x x⎰∆+=∆（积分中值定理）()x g ∆=.ξ（ξ介于x 与x x ∆+之间）②所以 x f x ∆∆→∆0lim（因为②）()xxg x ∆∆=→.limξξ()().lim x g g x ==→ξξ 因此 ()x f 在()2,1内可导，且()()..x g x f =' （2）记()()=-∆+=∆11f x f f ()()x g dt t g x∆=-⎰∆+.011ξ （ξ介于1与x ∆+1之间）则 f x ∆+→∆0lim ()0.lim `=∆=+→x g ξξ，故()x f 在1=x 处右连续. 四．（10分）（1）设平面图形A 由抛物线2x y =，直线8=x 及x 轴所围成，求平面图形A 绕x 轴旋转一周所形成的立体积.（2）在抛物线2x y =求一点，使得过此点所作切线与直线8=x 及x 轴所围图形面积最大. 解：（1）()..58558052802|πππ===⎰x dx xV（2）任取抛物线2x y =上一点()2,t t ，则抛物线2x y =在点()2,t t 处切线方程为 ()t x t t y L -=-2:2 即 .22t tx y -=设由L 与直线8=x 及x 轴所围图形面积为()()216.2821t t t t S -⎪⎭⎫ ⎝⎛-=()80<<t 令 ()()()0216281621212=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--='t t t t t S ，得驻点 316=t 或.16=t （舍）又因为 ()()40321-=''t t S ，012316<-=⎪⎭⎫ ⎝⎛''S ，所以当316=t 时，()t S 取到极大值，所求之点为.9256,316⎪⎭⎫⎝⎛五．（9分）当0≥x 时，对在[]b ,0上应用拉格朗日中值定理，有()()()b f f b f .0ξ'=-. ()b ,0∈ξ.对于函数()x x f arcsin = ，求.lim 0bb ξ→证明：对()x x f arcsin =在[]b ,0上应用拉格朗日中值定理，有 ()0.110arcsin arcsin 2--=-b b ξ，().,0b ∈ξ所以22arcsin 1⎪⎭⎫⎝⎛-=b b ξ因此 ()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=→→220220arcsin 11lim lim b b b b b ξ()22220)(arcsin arcsin lim b b b b b -=→（等价） ()422)(arcsin arcsin lim b b b b -=→（令)arcsin b t =4220sin lim ttt t -=→ （洛必达）3042sin 2lim t t t t -=→（洛必达）()20122cos 12lim t t t -=→（等价）().3112221.2lim 220==→tt t 故 .31lim=→bb ξ。

聊城大学2007-2008学年第1学期高数试题(B)

我以一名大学生的人格尊严保证，在本场考试中，自觉遵守考试纪律，服从考试管理，决不作弊或帮助别人作弊！签名：学院专业学号级班··················密···················封·····················线··················命题人签字：系主任签字：审核院长签字：共印份数：第1页共4页聊城大学07—08学年第一学期期末考试2007级《高等数学一》试题（闭卷、B 卷）一、选择题（共5题，每题3分，共15分；请将正确答案填在下表对应空格里）1．当0→x 时，函数x cos 1-是2x 的（）无穷小．A ）等价.B ）同阶但不等价.C ）高阶.D ）低阶.2．设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在0x 处的增量，y ∆与dy 分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则( )．A ）0.y dy ∆<<B ）0.dy y <∆<C ） y dy ∆<<0D ）0.y dy <∆< 3．函数x x x f =)(在0=x 处（）．A ）连续且可导.B ）连续但不可导.C ）可导但不连续.D ）不连续也不可导.4．设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，”“N M ⇔ 表示“M 的充分必要条件是N ”，则必有( )． A ）F(x)是奇函数⇔f(x)是偶函数. B ）F(x)是偶函数⇔f(x)是奇函数. C ）F(x)是周期函数⇔f(x)是周期函数. D ）F(x)是单调函数⇔f(x)是单调函数. 5．设函数,11)(1-=-x xe xf 则（）．A ）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.B ）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点.C ）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.D ）x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.二、填空题（共5题，每题3分，共15分）1．0ln(1)lim1cos x x x x→+-= ．2．曲线122+=x xy 的斜渐近线方程为．3．曲线1)1(3++=x y 的拐点是______________． 4．⎰=++________________sin cos 1dx xx x ．5．设af f ='=')1(,0)0(，则dx x f x f )()(1'''⎰=______________．第2页共4页三、计算题（共7题，每题7分，共49分）1、求).111(lim 0xex xx --+-→2、设x x y )sin 1(+=，求dy .3、设)(x y y =是由y e xy y sin 2=-所确定的隐函数，求dxdy4、求不定积分⎰+dxxx x 4sin1cos sin第3页共4页5、求不定积分⎰xdx x ln6、求⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛→xtx t x dttedt e 0220022lim7、求⎰+π2cos 1dx x四、证明题（9分）设()()000=a f a a x f 内可导，且，上连续，在，在，证明：存在一点()a ,0∈ξ，使()()0='+ξξξf f ．第4页共4页五、应用题（12分）设平面图形D由曲线xy==,2所围成，xy(1) 求D的面积；(2) 求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积V．x。

07级高数(上)试题及答案

南昌大学 2007～2008学年第一学期期末考试试卷一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =。

2. 设'()f a 存在，则 0()()limx f a x f a x x→+--=。

3. 函数 23()(1)1f x x =-+ 的极小值等于，单调增加区间为。

4. 设()f x 是可导函数，则'(2)baf x dx =⎰。

二、单项选择题 (每小题3分,共15分)1. 0x = 是函数 2ln ,0,(),x x f x x x >⎧=⎨≤⎩ 的( )。

(A) 可去间断点；（B ）无穷间断点；（C ）跳跃间断点； (D) 振荡间断点。

2．设函数arctan y = 则dy =（）.（A ）dx ；（B ）；（C ）；（D ）1dx 。

3．函数()sin f x x = 在区间 ,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上（）。

（A ）满足罗尔定理条件，但无法求ξ；（B ）满足罗尔定理条件，且0ξ=；（C ）不满足罗尔定理条件；（D ）不满足罗尔定理条件，但有ξ能满足此定理的结论。

4．在积分曲线族 sin 3y xdx =⎰ 中，过点,16π⎛⎫⎪⎝⎭的曲线方程是（）。

（A ） 1cos 33y x =-；（B ） 1cos 33y x =；（C ） 1cos 313y x =-+；（D ） cos 3y x C =+。

5．已知10ln ()xet f x dt t=⎰，则'()f x =（）。

（A ） x ；（B ） xe ；（C ） e ；（D ） ln x 。

三、计算题（共2小题，每小题 8分，共 16 分）1．已知 lim 9,xx x a x a →∞+⎛⎫= ⎪-⎝⎭求常数a . 2．求极限 011lim 1x x x e →⎛⎫- ⎪-⎝⎭. 四、求下列导数（共2小题，每小题 7分，共 14 分） 1．设 arcsin(ln ),y x x = 求'y .2．求由方程 2cos 10xy ye x x -+= 所确定的隐函数()y y x = 在0x =处的导数'(0)y .五、解下列各题（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1．计算由参数方程ln arctan x y t ⎧⎪=⎨=⎪⎩ 所确定的函数的二阶导数22d y dx.2．求不定积分11xxe dx e-+⎰.六、计算下列积分（共2小题，每小题 7 分，共 14 分） 1．求不定积分cos(ln )x dx ⎰.2．计算定积分()2||2||x x x e dx --+⎰.七、解下列各题(共2小题, 第1小题7分, 第2小题5分, 共12分) 1. 设2()(),xaxF x f t dt x a =-⎰其中()f x 为连续函数,求lim ()x aF x →.2. 设不恒等于常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续, 在开区间(,)a b 内可导, 且()()f a f b =, 证明在(,)a b 内至少存在一点ξ, 使得'()0f ξ>.南昌大学 2007～2008学年第一学期期末考试试卷及答案一、填空题(每空 3 分，共 15 分)1. 设sin 4,0,()9cos ,0x xx f x axe x x ⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处连续，则常数a =12。

07-08高数C(上)试卷(A)

2007~2008第 1 高等数学C （上）A 卷数理学院机专与模专07级（答案写在答题纸上，写在试题纸上无效）一、填空题：（每题3分，共18分）1． 211y x=+-的定义域是 .2．设函数21sin0()0x x f x xa x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩在0x =点连续，则a = .3．设)(x f 在点0x 处可导，则___________)()(lim 000=∆∆--→∆xx x f x f x .4．曲线cos y x =上点1(,)32π处的切线方程是 . 5．已知()()2sin 2,f x dx x x f x ==⎰则 . 6．若223x td e dt dx=⎰.二、单项选择题: （每题3分，共18分）1、函数2()|sin |()xf x x x e x R =∈是（）A .奇函数B .偶函数C .周期函数D .有界函数2、下列命题正确的是（）A . 无穷小量是一个非常小的量.B .1x是无穷小量.C .可导的函数一定是连续函数.D .若函数在一点处极限存在，则函数在此点一定连续.3、下列变量在给定变化过程中是无穷小量的有（）课程考试试题学期学年拟题学院（系）: 适用专业:A .22(0)x x --→ sin .(0)x B x x→2)xC x →+∞ 21.(3sin)(0)1xD x x x-→+4、设2)(),()(xx h x g x f dxd ==，则)]([x h f dxd =( )A .)(2xg ； B .)(2x xg ； C .)(22x g x ； D .)(22xxg5、若)(x f 的原函数是1x，则()f x '=（）A .1xB . ln ||xC .32xD . 21x-6、若()f x 连续，则下列式子不成立的是（）()()()()()()()()....x ab adA f t dt f xB f x dx f x c dxddC f x dx f xD f t dt f x dxdx'==+==⎰⎰⎰⎰三、计算题（共38分）1、求3sin cos limsin x x x xx→- （6分）２、若,x y满足方程ln arctany x=，则求dy （6分）3、2ln(1)12arctan x t y t t⎧=++⎨=-⎩ ，求d yd x .（6分）4、ln(1)x x dx -⎰ （6分）5、411⎰（7分）６、设32(1)xy x =- ，（7分）求(1)函数的单调区间及极值； (2)函数的凹凸区间及拐点.四、应用题（8分）已知两条曲线2y x =与2y x =,求（1）所围成的平面图形的面积；（２）所围成的图形绕y 轴旋转所成旋转体的体积．五、证明题（18分）1.证明不等式：2ln(1),02xx x x x -<+<>.（9分）2.设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，试证至少存在一点(,)a b ξ∈，使得满足()()()ln b f b f a f aξξ'-=.（9分）。